31 Момент инерции материальной точки

Момент инерции материальной точки

При изучении вращения твердых тел будем пользоваться понятием момента инерции.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризует инертные свойства материальной точки (способность тела приобретать ускорение) при вращении вокруг выбранной оси. Момент инерции равен сумме произведений масс n материальных точек системы на фиксированные квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. В СИ .

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

,                                                                                                           (1)

где mi — масса i-й точки, ri — расстояние от i-й точки до оси.

          Момент импульса

Рекомендуемые файлы

          Значит можно сделать вывод о том, что:

                                                                                                              (2)

От чего же зависит момент инерции?

                                                                         (3)

Итак, мы вывели основной закон динамики вращательного движения для материальной точки относительно выбранной оси:

                                                                                                             (4)

Однако момент инерции существует безотносительно к вращению. Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо, движется оно или находится в покое.

Проинтегрируем формулу (1):

                                                                                  (5)

Учитывая, что , получим:

,                                                                                                          (6)

где ρ – плотность тела в точке, в которой взят объем dv, r – расстояние этого объема от оси, относительно которой вычисляется момент.

Если тело однородно, плотность ρ во всех его точках одинакова и ее можно вынести за знак интеграла

                                                                                                           (7)

Вычисление этого интеграла, а также предыдущего интеграла, представляет собой, вообще говоря, очень сложную задачу. Дело значительно упрощается в случае однородных осесимметричных тел.

Найдем связь между моментами инерции тела относительно двух различных параллельных осей. Предполагается, что эти оси перпендикулярны к плоскости рисунка и пересекает ее в точках О и А.

Разобьем мысленно тело на элементарные массы dm. Радиус-векторы одной из них, проведенные от осей О и А  параллельно плоскости рисунка, обозначим r и r^’ соответственно (на рис. 2 изображен такой случай, когда элементарная масса dm лежит в плоскости рисунка). Тогда r = r^’ – а, где а означает радиус-вектор ОА. Следовательно, r^,2 = r² + а² – 2(аr),

                                                               (8)

Рис. 2

Интеграл слева есть момент инерции I_A тела относительно оси А, первый интеграл справа – момент инерции относительно оси О. Последний интеграл можно представить в виде ∫rdm = mR_с, где R_с – радиус-вектор центра масс С тела относительно оси О (точнее, R_с есть слагающая радиус-вектора центра масс, параллельная плоскости рисунка). Таким образом,

                                                                                    (9)

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Допустим, что ось О проходит через центр масс С тела. Тогда R_с = 0, и предыдущая формула упрощается, принимая вид

                                                                                                      (10)

Люди также интересуются этой лекцией: Особенности экологического подхода к этологии.

Это важное геометрическое соотношение называется теоремой Гюйгенса-Штейнера (Якоб Штейнер (1796-1863) – швейцарский геометр). Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции  относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы  тела на квадрат расстояния между осями.

Для симметричных тел:

                                                                                                      (11)

Момент инерции. Момент инерции материальной точки, обруча, цилиндра. Теорема Штейнера.

Нужна помощь в написании работы?

Разобьем вращающееся тело на малые элементы Δmi. Расстояния до оси вращения обозначим через ri, модули линейных скоростей – через υi. Тогда кинетическую энергию вращающегося тела можно записать в виде:

Физическая величина зависит от распределения масс вращающегося тела относительно оси вращения. Она называется моментом инерции I тела относительно данной оси:

В пределе при Δm→ 0 эта сумма переходит в интеграл. Единица измерения момента инерции в СИ – килограмм-метр в квадрате (кг∙м2).

Момент инерции в динамике вращательного движения играет ту же роль, что и масса тела в динамике поступательного движения. Но есть и принципиальная разница. Если масса – внутреннее свойство данного тела, не зависящее от его движения, то момент инерции тела зависит от того, вокруг какой оси оно вращается.

Для разных осей вращения моменты инерции одного и того же тела различны.

Момент инерции материальной точки: .

На рис. изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Внимание!

Если вам нужна помощь в написании работы, то рекомендуем обратиться к профессионалам. Более 70 000 авторов готовы помочь вам прямо сейчас. Бесплатные корректировки и доработки. Узнайте стоимость своей работы.

Моменты инерции IC некоторых однородных твердых тел.

Если твердое тело вращается относительно некоторой неподвижной оси, то его момент инерции I можно выразить через момент инерции IC этого тела относительно оси, проходящей через центр масс тела и параллельной первой.

I = IC + md2

где m – полная масса тела, d- расстояние между осями. Это выражение называют теоремой Штейнера (теоремой о параллельном переносе оси вращения).

Поможем написать любую работу на аналогичную тему

Получить выполненную работу или консультацию специалиста по вашему учебному проекту

Узнать стоимость Поделись с друзьями

Момент инерции материальной точки, системы материальных точек, твердого тела. Теорема Штейнера. Основной закон динамики вращательного движения.

Момент инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») — физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где: — масса i-й точки, — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

Моментом инерции системы материальных точек (или тела) относительно полюса (точки) называют алгебраическую сумму произведений масс м.т., из которых состоит тело, на квадрат расстояния их до полюса 0.

При непрерывном распределении массы по объему тела момент инерции относительно полюса

— момент инерции твердого тела относительно оси.

Теорема Штейнера:

Момент инерции твёрдого тела вокруг произвольной оси равен моменту инерции тела вокруг оси, проходящей через центр массы данного тела параллельно данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.

Основной закон динамики вращательного движения.

Момент силы— векторная физическая величина, равная произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело.

В физике момент силы можно понимать как «вращающая сила». В системе СИ единицами измерения для момента силы является ньютон-метр.

Основным законом динамики вращательного движения является связь момента силы М с моментом инерции и угловым ускорением β:

 

Работа постоянной и переменной силы. Элементарная работа внешних сил при вращении твердого тела.

A = |F|·|S|·cosa = (F·S)

Работа постоянной силы равняется скалярному произведению силы на перемещение.

Единица измерения работы — Джоуль. 1 Дж = 1 Н·м.

Работа переменной силы
Пусть тело движется прямолинейно с равномерной силой под углом £ к направлению перемещения и проходит расстояние S/ Работой силы F называется скалярная физическая величина, равная скалярному произведению вектора силы на вектора перемещения. A=F·s·cos £. А=0, если F=0, S=0, £=90º. Если сила непостоянная (изменяется), то для нахождения работы следует разбивать траекторию на отдельные участки. Разбиение можно производить до тех пор, пока движение не станет прямолинейным, а сила постоянной │dr│=ds.. Работа, совершенная силой на данном участке определяется по представленной формуле dA=F· dS· cos £= = │F│·│dr│· cos £=(F;dr)=Ft·dS A=F·S· cos £=Ft·S . Таким образом работа переменной силы на участке траектории равна сумме элементарных работ на отдельных малых участках пути A=SdA=SFt·dS= =S(F·dr).

Момент инерции материальной точки равен

Моментом инерции системы относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведения масс n

материальных точек системы на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси.

теоремa Штейнера: момент инерции тела І относительно параллельной оси вращения равен моменту инерции І_с относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями

Например, для обруча на рисунке момент инерции относительно оси O’O’, равен

 

 

Момент силы. Моментом силы относительно неподвижной точкиO называется псевдовекторная величина равная векторному произведению радиус-вектора

, проведенному из точки O в точку приложения силы, на силу

Модуль момента силы:

— псевдовектор, его направление совпадает с направлением плоскости движения правого винта при его вращении от к . Направление момента силы можно также определить по правилу левой руки: четыре пальца левой руки поставить по направлению первого сомножителя , второй сомножитель входит в ладонь, отогнутый под прямым углом большой палец укажет направления момента силы . Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в котоой лежат векторы и .

-где кратчайшее расстояния между линией действия силы и точкой О

называется плечом силы.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина равнаяпроекции на эту ось вектора момента силы , определённого относительно произвольной точки O данной оси Z. Если ось Z перпендикулярна плоскости, в которой лежат векторы и , т.е. совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора совпадающего с осью.

Ось, положение которой в пространстве остается неизменнымпривращении вокруг тела в отсутствие внешних сил,называется свободной осью тела.

Для тела любой формы и с произвольным распределением массы существует 3 взаимно перпендикулярных, проходящих через центр инерции тела оси, которые могут служить свободными осями:они называются главными осями инерции тела.

 

Й билет

Моментом импульса материальной точки относительно некоторой точки О называется вектор , равный векторному произведению радиус-вектора материальной точки относительно точки О на импульс материальной точки

Модуль момента импульса

 

Направление момента импульса определяется по правилу правого винта (вектора и составляют правую тройку векторов).

Момент импульса системы материальных точек равен векторной сумме моментов импульсов отдельных материальных точек системы или векторному произведению радиус-вектора центра масс системы на импульс ее центра масс

Величина момента импульса твердого тела относительно оси вращения

где — момент инерции тела относительно оси z, w — угловая скорость тела.

Изотропность пространства (осевая симметрия пространства) приводит к закону сохранения момента импульса: в замкнутых системах момент импульса сохраняется.

 

7. Основной закон динамики вращательного движения.

Основной закон динамики вращательного движения можно получить из второго закона Ньютона для поступательного движения твердого тела

где m_i – масса

i-й точки; – угловое ускорение; r_i – ее расстояние до оси вращения.

– момент инерции i-й материальной точки.

Мгновенное значение углового ускорения , есть первая производная угловой скорости по времени , то есть

или , где – импульс момента силы – это произведение момента силы на промежуток времени

– изменение момента импульса тела, – момент импульса тела есть произведение момента инерции J на угловую скорость , а есть .

Поэтому основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса ”:

или

 

Момент инерции материальной точки относительно оси

Центр масс (инерции) системы материальных точек

Центром масс (инерции) системы материальных точек называется геометрическая точка С пространства, определенная радиус-вектором или , , где M – масса системы.

Момент инерции материальной точки относительно центра системы отсчета

Моментом инерции m_i – ой материальной точки относительно центра системы отсчета называется величина , где r_i — расстояние до центра.

Момент инерции материальной точки относительно оси

Моментом инерции материальной точки относительно оси z называется величина

, где — расстояние до оси. Моментом инерции системы материальных точек относительно оси z называется величина

, где — расстояние до оси.

Момент инерции тела относительно оси , где (в декартовых координатах).

Пример. Момент инерции стержня массы m и длины l относительно оси, проходящей через центр, равен , m/l — масса единицы длины стержня.

Момент инерции цилиндра массы M и радиуса R относительно оси, проходящей через центр, равен ,

Момент инерции тела зависит от выбора оси. Если известен момент относительно некоторой оси, проходящей через центр масс, то момент инерции относительно любой оси может быть найден по формуле Гюйгенса (Штейнера) , где d – расстояние между осями.

Понятие силы. Сложение сил. Главный вектор силы.

Силы потенциальные.

Силу, которая зависит только от координат и времени, и может быть представлена в виде градиента некоторой скалярной функции . называют потенциальной.

Силы гироскопические. Гироскопической силой называется сила, линейно зависящая от скорости точки и направленная всегда перпендикулярно этой скорости. Работа гироскопических сил всегда равна нулю. Сила Кориолиса.

Силы диссипативные Диссипативной силой . называется сила, направленная противоположно скорости тела относительно среды, вызывающей торможение этого тела. Такая сила имеет вид. . Изменение полной энергии системы: . Если . , то .

5.3. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной…

Сразу хочу сказать, что здесь никакой воды про момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения, и только нужная информация. Для того чтобы лучше понимать что такое момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения , настоятельно рекомендую прочитать все из категории Физические основы механики

. Об этом говорит сайт https://intellect.icu

Согласно второму закону Ньютона, для тангенциальной составляющейсилы , действующей на материальную точку массой m, и ускорения 

можем записать

С учетом, что

 и 

имеем

Домножимлевую и правую части на и получим

(5.2)

или

Произведение массы материальной точки  тела на квадрат ее расстояния  до оси вращения называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения:

(5.3)

Статью про момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения я написал специально для тебя. Если ты хотел бы внести свой вклад в развии теории и практики, ты можешь написать коммент или статью отправив на мою почту в разделе контакты. Этим ты поможешь другим читателям, ведь ты хочешь это сделать? Надеюсь, что теперь ты понял что такое момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения и для чего все это нужно, а если не понял, или есть замечания, то нестесняся пиши или спрашивай в комментариях, с удовольствием отвечу. Для того чтобы глубже понять настоятельно рекомендую изучить всю информацию из категории Физические основы механики

КИНЕТИЧЕСКИЙ МОМЕНТ • Большая российская энциклопедия

• В книжной версии

  Том 13. Москва, 2009, стр. 705

• Скопировать библиографическую ссылку:

  ---

Авторы: В. А. Самсонов

КИНЕТИ́ЧЕСКИЙ МОМЕ́НТ, век­тор­ная ди­на­мич. ме­ра ме­ха­нич. дви­же­ния. К. м. $\boldsymbol G$ ма­те­ри­аль­ной точ­ки от­но­си­тель­но не­по­движ­ной сис­те­мы ко­ор­ди­нат с на­ча­лом в точ­ке $O$ ра­вен $\boldsymbol G=\boldsymbol r \times m\boldsymbol v$, где $m$ – мас­са точ­ки, $\boldsymbol r$ – её ра­ди­ус-век­тор, $\boldsymbol v$ – ско­рость. К. м. ма­те­ри­аль­ной точ­ки на­зы­ва­ет­ся так­же мо­мен­том им­пуль­са или мо­мен­том ко­ли­че­ст­ва дви­же­ния. К. м. сис­те­мы ма­те­ри­аль­ных то­чек ра­вен гео­мет­рич. сум­ме К. м. всех то­чек сис­те­мы.

К. м. твёр­до­го те­ла, со­вер­шаю­ще­го по­сту­па­тель­ное дви­же­ние от­но­си­тель­но точ­ки $O$, оп­ре­де­ля­ет­ся мгно­вен­ны­ми по­ло­же­ни­ем и ско­ро­стью цен­тра масс те­ла: $\boldsymbol G=\boldsymbol r_\text{c} \times m\boldsymbol v_\text{c}$, где $m$ – мас­са те­ла, $\boldsymbol r_\text{c}$ – ра­ди­ус-век­тор цен­тра масс, $\boldsymbol v_\text{c}$ – ско­рость цен­тра масс. Для те­ла, вра­щаю­ще­го­ся во­круг не­под­виж­ной оси $Oz$, К. м. от­но­си­тель­но этой оси ра­вен про­из­ве­де­нию мо­мен­та инер­ции $I_z$ от­но­си­тель­но этой оси на уг­ло­вую ско­рость $\omega$ вра­ще­ния те­ла: $G_z=I_z \omega$. Для слу­чая вра­ще­ния те­ла во­круг не­под­виж­ной точ­ки $O$ К. м. те­ла от­но­си­тель­но точ­ки $O$ удоб­но за­да­вать в гл. осях инер­ции, свя­зан­ных с те­лом: $\boldsymbol G=\{I_x\omega_x,I_y\omega_y, I_z\omega_z\}$, где $I_x$, $I_y$, $I_z$ – мо­мен­ты инер­ции от­но­си­тель­но со­от­вет­ст­вую­щих осей, $\omega_x$, $\omega_y$, $\omega_z$ – про­ек­ции век­то­ра уг­ло­вой ско­ро­сти $\boldsymbol \omega$. Век­тор $\boldsymbol G$ кол­ли­неа­рен век­то­ру $\boldsymbol \omega$ лишь в тех слу­ча­ях, ко­гда по­след­ний на­прав­лен вдоль од­ной из гл. осей инер­ции. К. м. те­ла от­но­ситель­но лю­бой оси, про­хо­дя­щей че­рез точ­ку $O$ (в ча­ст­но­сти, мгно­вен­ной оси вра­ще­ния), ра­вен про­ек­ции $\boldsymbol G$ на эту ось. Для слу­чая про­из­воль­но­го дви­же­ния те­ла К. м. те­ла от­но­си­тель­но точ­ки $O$ вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле $\boldsymbol G=\boldsymbol r_\text{c} \times m \boldsymbol v_\text{c}+ \boldsymbol G_\text{c}$, где $\boldsymbol G_\text{c}=\{I_{cx}\omega_x, I_{cy}\omega_y,I_{cz}\omega_z\}$ – К. м. вра­ще­ния те­ла во­круг его цен­тра масс.

К. м. – од­но из важ­ней­ших по­ня­тий клас­сич. ме­ха­ни­ки, ко­то­рое ис­поль­зу­ет­ся в осн. для опи­са­ния эво­лю­ции вра­ща­тель­но­го дви­же­ния те­ла под дей­ст­ви­ем при­ло­жен­ной к не­му си­лы. В этом слу­чае, со­глас­но тео­ре­ме об из­ме­не­нии К. м. (см. Ди­на­ми­ка), по­след­ний мо­жет из­менять своё на­прав­ле­ние. Это при­во­дит к т. н. ги­ро­ско­пи­че­ским эф­фек­там, при ко­то­рых ось вра­щаю­ще­го­ся те­ла по­во­ра­чи­ва­ет­ся в на­прав­ле­нии, пер­пен­ди­ку­ляр­ном на­прав­ле­нию си­лы.

Си­лы, дей­ст­вую­щие ме­ж­ду точ­ка­ми сис­те­мы, не из­ме­ня­ют К. м. сис­те­мы, но мо­гут из­ме­нить кон­фи­гу­ра­цию сис­те­мы и уг­ло­вую ско­рость её вра­ще­ния. Так, при прыж­ках в во­ду с выш­ки спорт­смен груп­пи­ру­ет­ся для то­го, что­бы умень­шить мо­мент инер­ции сво­его те­ла и со­от­вет­ст­вен­но уве­ли­чить ско­рость вра­ще­ния за счёт по­сто­ян­ст­ва К. м. При рас­прям­ле­нии те­ла спорт­сме­на уг­ло­вая ско­рость вра­ще­ния за­мет­но па­да­ет, об­лег­чая ус­ло­вия вхо­да в во­ду.

Свойства поперечного сечения | MechaniCalc

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения. Пожалуйста, включите JavaScript.

---

Поведение элемента конструкции определяется его материалом и геометрией. Эта ссылка сосредоточена на влиянии геометрии на поведение элемента конструкции. Поперечное сечение и длина конструктивного элемента влияют на то, насколько этот элемент отклоняется под нагрузкой, а поперечное сечение определяет напряжения, которые существуют в элементе при данной нагрузке.

Недвижимость участков

Центроид

Центроид формы представляет собой точку, вокруг которой равномерно распределена площадь сечения. Если область дважды симметрична относительно двух ортогональных осей, центр тяжести лежит на пересечении этих осей. Если область симметрична только относительно одной оси, то центр тяжести лежит где-то вдоль этой оси (необходимо вычислить другую координату). Если точное местоположение центроида не может быть определено путем осмотра, его можно рассчитать следующим образом:

где dA представляет собой площадь бесконечно малого элемента, A — общая площадь поперечного сечения, а x и y — координаты элемента dA относительно интересующей оси.

Центроидные положения общих поперечных сечений хорошо задокументированы, поэтому обычно нет необходимости рассчитывать местоположение с помощью приведенных выше уравнений.

Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, центроидальное положение которых известно относительно некоторой контрольной точки, то центральное положение составного поперечного сечения можно рассчитать как:

где x _{c, i} и y _{c, i} — прямоугольные координаты центроидного положения секции i ^th относительно опорной точки, а A _i — площадь i ^th . раздел.

Центроидное расстояние

Центроидное расстояние , c — это расстояние от центра тяжести поперечного сечения до крайнего волокна. Центроидное расстояние в направлении y для прямоугольного поперечного сечения показано на рисунке ниже:

Обычно центроидное расстояние используется:

---

---

Первый момент области

Первый момент области указывает распределение области относительно некоторой оси.Первый момент области относительно интересующей оси рассчитывается как:

Q x = ∫ y dA

Q y = ∫ x dA

где Q _x — это первый момент относительно оси x, а Q _y — это первый момент относительно оси y. Значения x и y указывают положения относительно интересующей оси бесконечно малых областей dA каждого элемента при выполнении интегрирования.

Если область состоит из набора основных форм, чьи центроидные положения известны относительно интересующей оси, то первый момент составной области можно рассчитать как:

Если вы сравните приведенные выше уравнения для Q с уравнениями для вычисления центроида (обсуждавшимися в предыдущем разделе), вы увидите, что мы фактически используем первый момент площади при вычислении местоположения центроида относительно интересующего начала.

Первый момент также используется при расчете значения напряжения сдвига в определенной точке поперечного сечения. Напомним, что напряжение сдвига в любой точке, расположенной на расстоянии y ₁ от центра тяжести поперечного сечения, рассчитывается как:

где Q — первый момент области между точкой y ₁ и крайним волокном (верхним или нижним) поперечного сечения. Рассмотрим рисунок ниже. Нас интересует расчет напряжения сдвига в точке, находящейся на расстоянии y ₁ от центра тяжести поперечного сечения.Мы можем вычислить первый момент области выше или ниже этого местоположения. В этом случае интересующая точка находится выше нейтральной оси, поэтому проще рассмотреть верхнюю область, которая на рисунке ниже заштрихована синим цветом. Эта область простирается от точки y ₁ до крайнего волокна в верхней части поперечного сечения.

Первый момент относительно оси x области, заштрихованной синим на рисунке выше, вычисляется относительно центроида поперечного сечения (точка O на рисунке) как:

Если центроидное положение интересующей области известно, то первый момент области относительно центроида упрощается до (см. Рисунок выше):

Q _cx = y _c1 A ₁

Следует отметить, что первый момент области является положительным или отрицательным в зависимости от положения области относительно оси интереса.Следовательно, первый момент всей площади поперечного сечения относительно его собственного центра тяжести равен нулю.

Момент инерции площади

Второй момент площади, более известный как момент инерции , I, поперечного сечения, является показателем способности конструктивного элемента противостоять изгибу. ^{(Примечание 1)} I _x и I _y — моменты инерции относительно осей x и y, соответственно, и рассчитываются по формуле:

I x = ∫ y 2 dA

I y = ∫ x 2 dA

где x и y — координаты элемента dA относительно интересующей оси.

Чаще всего моменты инерции рассчитываются относительно центра тяжести сечения. В этом случае они обозначаются как центроидных моментов инерции и обозначаются как I _cx для инерции относительно оси x и I _cy для инерции относительно оси y.

Моменты инерции общих поперечных сечений хорошо задокументированы, поэтому обычно нет необходимости рассчитывать их с помощью приведенных выше уравнений. Свойства нескольких общих сечений приведены в конце этой страницы.

Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, все центроиды которых совпадают, то момент инерции составного сечения является просто суммой отдельных моментов инерции. Примером этого является балка коробчатого сечения, состоящая из двух прямоугольных секций, как показано ниже. В этом случае внешняя часть имеет «положительную площадь», а внутренняя часть имеет «отрицательную площадь», поэтому составной момент инерции представляет собой вычитание момента инерции внутренней части из внешней части.

В случае более сложного составного поперечного сечения, в котором центральные положения не совпадают, момент инерции может быть вычислен с использованием теоремы о параллельных осях .

Важно не путать момент инерции площади с массой момента инерции твердого тела. Момент инерции площади указывает на сопротивление поперечного сечения изгибу, тогда как момент инерции массы указывает на сопротивление тела вращению.

---

---

Теорема о параллельной оси

Если известен момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси, то для вычисления момента инерции относительно любой параллельной оси можно использовать теорему о параллельных осях :

I _{параллельная ось} = I _c & plus; А д ²

где I _c — момент инерции относительно центральной оси, d — расстояние между центральной осью и параллельной осью, а A — площадь поперечного сечения.

Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, центроидные моменты инерции которых известны вместе с расстояниями центроидов до некоторой контрольной точки, то теорема о параллельных осях может использоваться для вычисления момента инерции составного поперечного сечения.

Например, двутавровая балка может быть аппроксимирована 3 прямоугольниками, как показано ниже. Поскольку это составное сечение симметрично относительно осей x и y, центр тяжести сечения можно определить путем осмотра на пересечении этих осей.Центроид расположен в начале координат O на рисунке.

Момент инерции составной секции можно рассчитать с помощью теоремы о параллельности осей. Центроидный момент инерции секции относительно оси x, I _cx , рассчитывается как:

I _cx.IBeam = I _cx.W & plus; (I _cx.F1 & plus; A _F1 d ₁ ² ) & plus; (I _cx.F2 & plus; A _F2 d ₂ ² )

где члены I _cx представляют собой моменты инерции отдельных секций относительно их собственных центроидов в ориентации оси x, члены d представляют собой расстояния от центроидов отдельных секций до центроидов составной секции, а Термины — это площади отдельных разделов.Поскольку центроид сечения W и центроид составного сечения совпадают, d для этого сечения равно нулю, поэтому член Ad ² отсутствует.

Важно отметить, что из теоремы о параллельных осях следует, что по мере того, как отдельная секция перемещается дальше от центра тяжести составной секции, вклад этой секции в момент инерции составной секции увеличивается в d ² . Следовательно, если намерение состоит в том, чтобы увеличить момент инерции секции относительно определенной оси, наиболее эффективно расположить область как можно дальше от этой оси.Это объясняет форму двутавровой балки. Фланцы вносят основной вклад в момент инерции, а перегородка служит для отделения фланцев от оси изгиба. Однако полотно должно сохранять некоторую толщину, чтобы избежать коробления, а также потому, что полотно принимает на себя значительную часть напряжения сдвига в сечении.

Полярный момент инерции

Полярный момент инерции , J поперечного сечения является показателем способности конструктивного элемента противостоять скручиванию вокруг оси, перпендикулярной сечению.Полярный момент инерции для сечения относительно оси можно рассчитать следующим образом:

J = ∫ r ² dA = ∫ (x ² & plus; y ² ) dA

где x и y — координаты элемента dA относительно интересующей оси, а r — расстояние между элементом dA и интересующей осью.

Хотя полярный момент инерции можно рассчитать с помощью приведенного выше уравнения, обычно удобнее рассчитывать его, используя теорему о перпендикулярной оси , которая гласит, что полярный момент инерции области является суммой моментов инерции относительно любые две ортогональные оси, проходящие через интересующую ось:

J = I _x и плюс; Я _y

Чаще всего интересующая ось проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Модуль упругости сечения

Максимальное изгибающее напряжение в балке рассчитывается как σ _b = Mc / I _c , где c — расстояние от нейтральной оси до крайнего волокна, I _c — центроидный момент инерции, а M — изгибающий момент. Модуль сечения объединяет члены c и I _c в уравнении напряжения изгиба:

S = I _c / c

Используя модуль упругости сечения, напряжение изгиба рассчитывается как σ _b = M / S.Полезность модуля сечения заключается в том, что он характеризует сопротивление сечения изгибу одним термином. Это позволяет оптимизировать поперечное сечение балки, чтобы противостоять изгибу, за счет максимального увеличения одного параметра.

Радиус вращения

Радиус вращения представляет собой расстояние от центра тяжести секции, на котором вся площадь может быть сосредоточена без какого-либо влияния на момент инерции. Радиус вращения формы относительно каждой оси определяется как:

Полярный радиус вращения также может быть вычислен для задач, связанных с кручением вокруг центральной оси:

Прямоугольные радиусы вращения также можно использовать для вычисления полярного радиуса вращения:

r _p ² = r _x ² & plus; г _г ²

---

PDH Classroom предлагает курс повышения квалификации, основанный на этой справочной странице поперечных сечений.Этот курс можно использовать для выполнения требований к кредитам PDH для поддержания вашей лицензии PE.

Теперь, когда вы прочитали эту справочную страницу, получите за нее кредит!

Свойства общих сечений

В таблице ниже приведены свойства обычных поперечных сечений. Более подробные таблицы можно найти в перечисленных ссылках.

Свойства, вычисленные в таблице, включают площадь, центроидный момент инерции, модуль упругости сечения и радиус вращения.

---

---

Банкноты

Примечание 1: Прогиб балки

Прогиб балки при изгибе определяется моментом инерции поперечного сечения, длиной балки и модулем упругости материала. Более подробная информация представлена ​​в этом обсуждении отклонения балки.

---

Список литературы

1. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.
2. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму», 13-е изд.

Формула и уравнения момента инерции

Основы момента инерции

Момент инерции можно получить, получив момент инерции деталей и применив формулу передачи: I = I ₀ + Ad ² . У нас есть обширная статья, объясняющая подход к решению момента инерции.{2} dA [математика]

Чтобы увидеть вывод формул ниже, мы пытаемся найти момент инерции объекта, такого как прямоугольник, вокруг его большой оси, используя только приведенную выше формулу. Чтобы получить момент инерции, пределы должны быть определены так, чтобы они проводились от оси вращения до ее крайнего волокна. Это были бы пределы внешнего интеграла. Внутренний интеграл имеет предел от 0 до b. Тем не менее, мы также можем выразить dA как xdy, что станет bdy. Поскольку ось вращения находится на нейтральной оси, момент инерции может быть интегрирован с верхним пределом h / 2 и нижним пределом 0 и умножен вдвое из-за симметрии прямоугольника.{3}} {12} [математика]

Уравнения момента инерции (MoI) для сечений балки

SkyCiv составил сводные данные уравнений момента инерции (MoI) для секций балки (второй момент площади). Уравнения момента инерции чрезвычайно полезны для быстрых и точных расчетов. Для вашего удобства формулы сведены в простейшие формы. SkyCiv также предлагает калькулятор свободного момента инерции для быстрых вычислений или проверки правильности применения формулы.Приведена формула момента инерции для прямоугольных, круглых, полых и треугольных сечений балки. В отношении момента инерции площади балки следует помнить следующее:

• Момент инерции площади отличается от момента инерции массы
• Он также известен как второй момент площади
• Это значительный коэффициент прогиба (чем больше I _x , тем меньше прогиб)
• Длиной до 4-х
• Приведенные ниже уравнения дают момент инерции относительно центра тяжести сечения
.

Используйте SkyCiv Section Builder для ручных расчетов

Знаете ли вы, что SkyCiv Section Builder покажет полную ручную работу для следующих форм:

• прямоугольный, полый прямоугольный
• Круглый, полый круговой
• Балка двутавровая, Балка тавровая
• Уголок (L-образная балка), канал
• Профили треугольные

Мы надеемся, что вы найдете приведенную выше таблицу полезной для того, чтобы вычислить момент инерции круга, треугольника и момент инерции прямоугольника среди других форм. 2 dA

, где A — площадь формы, а y — расстояние любой точки внутри области A от заданной оси вращения.Из определения очевидно, что момент инерции всегда должен иметь положительное значение, поскольку внутри интеграла есть только квадратный член.

Концептуально второй момент площади связан с распределением площади фигуры. В частности, более высокий момент указывает на то, что площадь формы распределена далеко от оси. Напротив, более низкий момент указывает на более компактную форму, площадь которой расположена ближе к оси. Например, на следующем рисунке обе формы имеют равные площади, тогда как правая форма имеет более высокий второй момент площади вокруг красной оси, поскольку, по сравнению с левой, ее площадь распределена значительно дальше от оси. .

Терминология

Чаще всего термин момент инерции используется для второго момента площади, особенно в инженерных дисциплинах. Однако в физике момент инерции связан с распределением массы вокруг оси и, как таковой, является свойством объемных объектов, в отличие от второго момента площади, который является свойством плоских областей. На практике для описания второго момента площади можно использовать следующие термины:

• момент инерции
• момент инерции площади
• момент инерции площади
• момент инерции поперечного сечения
• момент инерции балка

Второй момент площади (момент инерции) имеет значение только тогда, когда определена ось вращения.Тем не менее, часто можно использовать термин «момент инерции окружности», отсутствующий для обозначения оси. В таких случаях, вероятно, подразумевается ось, проходящая через центр тяжести формы.

Произведение инерции

Произведение инерции плоской замкнутой области определяется как интеграл по площади произведения расстояний от пары осей x и y:

I_ {xy} = \ iint_A xy dA

, где A — площадь формы, а x, y — расстояния любой точки внутри области A от соответствующих осей.

Если одна из двух осей также является осью симметрии, то I_ {xy} = 0.

Также обратите внимание, что в отличие от второго момента площади, произведение инерции может принимать отрицательные значения.

Дополнительная информация

Понравилась страница? Поделись с друзьями!

Момент инерции: простое определение, формулы, примеры

Что такое инерция?

Определение

Формула

Теорема Гюйгенса-Штайнера

Расчет

Ссылки и дополнительная литература

Видео

Что такое инерция?

Инерция в физике — это способность тел сохранять состояние движения в течение определенного времени при отсутствии внешних сил.Однако понятие инерции часто используется не только в физике, но и в нашей повседневной жизни. Например, инертный человек — это человек, который вообще не проявляет никакой инициативы. Инертные люди делают только то, что им говорят другие, и делают это крайне медленно, без всякого энтузиазма. «Он движется по инерции», — говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без всякого смысла, а просто из-за привычки, приобретенной с годами. Благодаря таким повседневным примерам понятие инерции становится понятным, но термин «момент инерции» требует более подробного пояснения.

Определение

Мы прекрасно понимаем, что масса тела является мерой его инертности. Например, если в супермаркете сильно толкать две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая загружена разными товарами, то позже остановить загруженную товаром тележку будет сложнее из-за ее большей массы. Другими словами, чем больше масса тела, тем больше на него действует инерция и тем больше сил требуется, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.

В приведенном выше примере тележка движется по прямой и совершает поступательное движение. Если при поступательном движении какого-либо тела его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая называется моментом инерции.

Момент инерции — это скалярная физическая величина, мера инерции тела, когда оно вращается вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Формула

Как рассчитать момент инерции? Существует общее уравнение, которое помогает физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разделить на бесконечно малые части с массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет выглядеть так:

Дж — момент инерции, r — расстояние до оси вращения.

Для материальной точки массой m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, эта формула будет иметь следующий вид:

Теорема Гюйгенса-Штайнера

Говоря о моменте инерции, нельзя не упомянуть теорему двух математиков Гюйгенса и Штейнера, давших формулировку определения характеристики параллельных осей.

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси, и произведения масса тела квадратом расстояния между осями.

Если вы запишите приведенную выше математическую формулу, вы получите следующее:

Где d — расстояние между осями

Эта теорема значительно облегчает решение многих физических проблем, связанных с инерцией.Например, у вас есть объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. Используя формулу Штейнера, мы можем вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, проходящей через середину фигуры.

Расчет

Несмотря на свою простоту, вычисление моментов инерции для различных объектов требует знания интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с расчетами инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. Д.

Таким образом вычисляется момент инерции окружности.

Момент инерции цилиндра рассчитывается аналогично.

Предлагаем Вашему вниманию более подробные таблицы с формулами расчета момента инерции для основных геометрических фигур: диска, треугольника, сплошного цилиндра и др.

Ссылки и дополнительная литература

• Marion, JB; Торнтон, СТ (1995). Классическая динамика частиц и систем (4-е изд.). Томсон. ISBN 0-03-097302-3.
• Перейти к: a b Саймон, KR (1971). Механика (3-е изд.). Эддисон-Уэсли. ISBN 0-201-07392-7.
• Перейти к: a b Тененбаум, РА (2004). Основы прикладной динамики. Springer. ISBN 0-387-00887-X.
• Перейти к: a b c d e f g h Kane, T. R .; Левинсон, Д. А. (1985). Динамика, теория и приложения. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
• Перейти к: a b Winn, Will (2010). Введение в понятную физику: Том I — Механика.АвторДом. п. 10.10. ISBN 14430.

Момент инерции, видео

Автор: Павел Чайка, главный редактор журнала «Познавайка»

При написании этой статьи я старался сделать ее максимально интересной и полезной. Буду благодарен за любые отзывы и конструктивную критику в виде комментариев к статье. Вы также можете написать свое пожелание / вопрос / предложение на мою почту pavelchaika1983 @ gmail.com или в Facebook.

Прогиб балки

Расс Эллиот Благодарности : Существует ряд стандартных работ, касающихся принципов отклонения балки. Особенно хорошее описание, на котором основаны приведенные здесь уравнения, содержится в Механика материалов (четвертое издание SI) Дж. М. Гира и С. П. Тимошенко, Стэнли Торнса, ISBN 0 7487 3998 X.Для вывода уравнений следует обращаться к этой работе. Введение Прогиб пружинной балки зависит от ее длины, формы поперечного сечения, материала, места приложения отклоняющей силы и того, как балка поддерживается. Уравнения, приведенные здесь, относятся к однородным, линейно упругим материалам, в которых вращение балки невелико. В следующих примерах рассматриваются только нагрузки, действующие в одной точке или отдельных точках — точка приложения силы F на схемах предназначена для обозначения рожкового блока модели локомотива (или буксы транспортного средства), способного перемещаться вертикально. в рупорной направляющей и действуя против силы пружинной балки, прикрепленной к локомотиву или основным шасси транспортного средства или переносимых ими.Доля общего веса, действующего на каждую ось локомотива или транспортного средства, будет зависеть от положения его центра тяжести по отношению к оси (или точек крепления уравновешивающих балок шасси, если они используются). Приложение для моделирования рожковых блоков локомотивов Как видно из уравнений, толщина материала ( h или d ) очень важна, и, следовательно, увеличивающиеся размеры в диапазоне доступных гитарных струн делают их очень привлекательными для использования в качестве пружинные балки.Также существует значительная разница в прогибе балки для данной силы, в зависимости от того, как она поддерживается и фиксируется, а также от того, поддерживается ли она только на одном конце или на обоих концах. Предполагается, что конструкция должна быть основана на заданном прогибе рогового блока, а затем определить, какая длина, толщина и стиль балки наиболее подходят для конкретной силы, которая должна восприниматься каждой осью. Для локомотивов, вес которых составляет от 4 до 6 граммов на тонну прототипа, массы, поддерживаемые каждым отдельным роговым блоком локомотива, вероятно, будут находиться в диапазоне от 30 до 60 граммов (что соответствует нагрузке прототипа от 14 до 20 тонн на тонну). ось). Выбор значения отклонения Для разумного мелкого пути в масштабе 4 мм рекомендуемое значение прогиба рогового блока, δ , при конечной нагрузке локомотива составляет 0,5 мм. Приведенная выше рекомендация, как известно, является чрезмерно упрощенным и, возможно, неправильным предположением о том, каким должно быть расчетное значение прогиба, и вызвала серьезные споры. Приветствуется любой опыт применения этой рекомендации в реальной практике моделирования шасси — цель этой статьи — начало обсуждения, а не его заключение.Щелкните здесь, чтобы ознакомиться с вопросами по этому поводу. Момент инерции, I Момент инерции прямоугольного сечения I = bh 3 ∕ 12 где h — размер в плоскости изгиба, т. Е. По оси, по которой действует изгибающий момент Момент инерции круглого сечения I = π r 4 ∕ 4 = π d 4 ∕ 64 , где r и d — радиус и диаметр соответственно. Все приведенные ниже уравнения содержат I , момент инерции балки, который является константой, определяемой формой и толщиной поперечного сечения балки.Момент инерции не зависит от длины или материала балки. Здесь рассматриваются только прямоугольные и круглые цельные сечения. Пояснения к схемам и обозначениям прогибов На схемах показаны два типа опор: фиксированная и простая. На неподвижной опоре балка удерживается жестко, а угловой прогиб в точке крепления равен нулю. На простой опоре балка может скользить по опоре и вращаться в соответствии с силой, приложенной к балке. L = длина балки a = промежуточная длина балки δ = прогиб балки F = сила (т. Е. Доля веса локомотива, которому оказывает сопротивление букса) E = модуль Юнга I = момент инерции балки Уравнения и диаграммы прогиба Примечание к схемам и уравнениям .Приведенные здесь диаграммы были перевернуты по сравнению с их обычным описанием в учебниках, чтобы отразить их применение для моделей локомотивов и буксовых ящиков транспортных средств. Однако, несмотря на то, что уравнения для отклонения были согласованы с их описанием в учебниках, нормальное соглашение о знаках (+ или -, чтобы указать отклонения по вертикальной оси y от опорной линии балки) было проигнорировано, поскольку мы здесь обеспокоены только с абсолютной величиной прогиба балки. Концевая нагрузка на консольную балку с одинарной неподвижной опорой δ = FL 3 ∕ 3 EI Это уравнение также следует использовать для отклонения уравнительной балки, вращающейся вокруг фиксированной оси и опирающейся на два рупорных блока по обе стороны от оси поворота. Двойные нагрузки на балку с двумя простыми опорами (примеры применения этой конфигурации) Это может быть применено для двух роговых блоков, прижимающихся к единой балке. Прогиб на расстоянии a от соседней опоры составляет: δ = Fa 2 (3 L — 4 a ) ∕ 6 EI Свисающая нагрузка на балку, ограниченная двумя простыми опорами δ = Fa 2 ( L + a ) ∕ 3 EI Промежуточная / центральная нагрузка на балку с одной фиксированной и одной простой опорой Прогиб по длине a от неподвижной опоры составляет: δ = Fa 3 ( L — a ) 2 (4 L — a ) ∕ 12 EIL 3 Для нагрузки в центре балки, подставив в приведенное выше уравнение a = L ∕ 2 , прогиб составит: δ = 3.5 FL 3 ∕ 384 EI Центровка нагрузки на балку с двумя неподвижными опорами δ = FL 3 ∕ 192 EI При нагрузке в центре отклонение на расстоянии a от фиксированной опоры (где a меньше чем или равно L ∕ 2 ): δ = Fa 2 (3 L — 4 a ) ∕ 48 EI Промежуточная нагрузка на балку с двумя неподвижными опорами Отклонение на расстоянии a от неподвижной опоры составляет: δ = 2 Fa 3 ( L — a ) 2 ∕ 3 EI (2 а + L ) 2 Значения модуля Юнга, E Бериллиевая медь 124 ГПа 1 Латунь, твердость 70/30 117.2 ГПа Латунь неуточненная от 96 до 110 ГПа Нейзильбер 132,5 ГПа (127 ГПа 1 ) Бронза фосфористая, 5%, твердая 131,8 ГПа Фосфорно-бронзовая (92% Cu / 8% Sn или CuSn8) 111 ГПа 1 Сталь, легкая или инструментальная 212 ГПа Сталь мягкая, низкоуглеродистая 210 ГПа Сталь мягкая (закаленная) 201.4 ГПа Сталь нержавеющая 215,2 ГПа (190 ГПа 1 ) Сталь инструментальная (закаленная) 203,2 ГПа Следует отметить, что это теоретические значения. Типичное значение для стальной гитарной струны можно принять равным 205 ГПа. Значения, указанные для фосфористой бронзы, различаются: кажется, что они будут зависеть от материала типа «пружинный» или «экстрапружинный», состоящий из фосфористой бронзы 92% Cu / 8% Sn. обычно используется в переключателях с защелкой. 1 Шигли, Отдел машиностроения, 1980, McGraw Hill Примечания к агрегатам и размерам 1 Па = 1 Н · м -2 = 10 -6 Н · мм -2 = 10 -6 кг · м · с -2 · мм -2 = 1 г · мм -1 · с -2 Чтобы получить силу F в приведенных выше уравнениях, массу нужно умножить на гравитационную постоянную г (9.81 м · с -2 , или, что нам удобнее, 9810 мм · с -2 ) Размеры модуля Юнга E составляют ML -1 T -2 Размеры усилия F составляют L 2 ML -1 T -2 = MLT -2 Размеры момента инерции I составляют L 4 © Расс Эллиотт , впервые опубликовано 19 апреля 2000 г .; небольшая редакционная правка, август 2001 г .; уравнение для промежуточной нагрузки на балку с двумя фиксированными опорами исправлено и уравнение прогиба для промежуточной / центральной нагрузки на балку с одной фиксированной и одной простой опорой повторно выражено, январь 2005 г .; Диаграмма для свисающей нагрузки на балку, стесненную двумя простыми опорами, пересмотрена 8 октября 2009 г .; Уравнение промежуточной нагрузки на балку с двумя неподвижными опорами исправлено, 30 декабря 2010 г.

(PDF) Преобразование элементарных тел в системы материальных точек с одинаковыми инерционными свойствами

48 Николай Орэшану

Сначала мы находим элементарные тела, которые можно редуцировать.Для тел порядка 3 семейства многогранников

, а также для тел вырожденного многогранника

тел порядка 2 или 1 мы находим следующие элементарные тела: любой тетраэдр

, любую призму с основанием параллелограмма, любой треугольник, любой параллелограмм

и любой прямой стержень. Поскольку любой многогранник может быть образован из этих

элементарных тел, которые представлены выше, фактически любой многогранник может быть приведен к системе материальных точек

.

Кроме того, мы знаем, как расширить эту операцию сокращения для других семейств твердых тел

, и мы предполагаем, что они будут расширены для конкретных семейств твердых тел.

Заметим, что операция редукции дает много преимуществ, если

сравнивать с теоретическим исследованием. Кроме того, эту операцию легко применить в компьютерных программах

. Мы знаем, что в настоящее время существует множество компьютерных программ

, которые могут вычислить все свойства инерции для любого твердого тела, которое может быть спроектировано

с помощью технологий САПР, и наш подход может улучшить будущие программы

.Считаем данное исследование шагом в этом направлении.

Мы не можем сейчас оценить все применения этого метода, но мы

уверены, что многие приложения будут возможны, и не только в теоретической

механике. Как следствие идей, представленных в этой статье,

дает возможность редуцировать другие тела до тел низшего порядка. Мы представим все эти

и

в других статьях.

R E F E R E N C E S

[1] P.Брату, Теоретическая механика, Под ред. Impuls, Bucureşti, 2006 (на румынском языке).

[2] Р. Войня, В. Войкулеску, В. Чаушу, механик, Под ред. Didactică şi Pedagică, Bucureşti, 1983 (на румынском языке

).

[3] N.G. Четаев, Теоретическая механика, Под ред. Мир, Москва, 1989.

[4] М. Rădoi, E. Deciu, Mechanic, Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1993 (на румынском языке).

[5] S. Стайку, Теоретическая механика, Под ред. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1998 (на румынском языке).

[6] О. Драгня, Геометрия масс / Под ред. Didactică şi Pedagogică, Бухарест, 1972 г. (на румынском языке).

[7] S. Стайку, Динамика плоского параллельного робота 3ППП, UPB, Научный бюллетень, Серия D, т.

70, №2, 2008.

[8] H. Чандхари, С. Саха, Динамика и балансировка многотельных систем, Твердый переплет, 2009.

[9] Gh. Буздуган, Прочность материалов / Под ред. Tehnică, Bucureşti, 1980, (на румынском языке).

[10] R. Voinea, V. Voiculescu, Fl.Симион П. Введение в механику твердого тела с применением

в технике / Под ред. Academiei, Bucureşti, 1989, (на румынском языке).

[11] V. Vâlcovici, Şt. Бэлан, Р. Войня, Теоретическая механика, Под ред. Tehnică, Bucureşti, 1968, (на румынском языке

).

[12] В. Гюнтер, Л. Сунг-Хи, Символьная динамика и геометрия, А.К. Петерс, 2009.

(Момент инерции — TotalConstructionHelp)

Центроиды и момент инерции

Центроид двумерной поверхности (например, поперечное сечение структурной формы) — это точка, которая соответствует центру тяжести очень тонкой однородной пластины той же площади и формы.Плоская поверхность (или рисунок) может представлять фактическую площадь (например, площадь перекрытия притока или поперечное сечение балки) или образную диаграмму (например, диаграмму нагрузки или изгибающего момента). В любом случае часто бывает полезно определить центр тяжести области.

Симметрия может быть очень полезной для определения местоположения центра тяжести области. Если область (или сечение, или тело) имеет одну линию симметрии, центр тяжести будет лежать где-то вдоль линии симметрии. Это означает, что если бы требовалось уравновесить область (или тело, или секцию) в горизонтальном положении, подложив под нее карандаш или край, то карандаш лучше всего положить прямо под линией симметрии.

Если тело (или область, или сечение) имеет две (или более) линии симметрии, центр тяжести должен лежать где-то вдоль каждой из этих линий. Таким образом, центр тяжести находится в точке пересечения линий. Это означает, что если бы требовалось уравновесить область (или тело, или секцию) в горизонтальном положении, поместив под нее гвоздь, острие гвоздя лучше всего расположить непосредственно под точкой, где встречаются линии симметрии. Это может показаться очевидным, но понятие центроида очень важно понимать как графически, так и численно.Положение центра тяжести некоторых простых форм легко определяется при осмотре. Известно, что центр тяжести круга находится в его центре, а центр тяжести квадрата находится на пересечении двух линий, соединяющих середины параллельных сторон. У круга бесконечное количество линий симметрии, а у квадрата — четыре.

Центроид сечения не всегда находится в пределах площади или материала сечения. Полые трубы, L-образные и некоторые секции неправильной формы имеют центроид, расположенный вне материала секции.Это не проблема, поскольку центроид на самом деле используется только как точка отсчета, от которой измеряются расстояния. Точное положение центроида можно определить, как описано выше, с помощью графической статики или численно.

Центроид любой области можно найти, взяв моменты идентифицируемых областей (например, прямоугольников или треугольников) вокруг любой оси. Это делается так же, как центр тяжести можно найти, взяв моменты веса. Момент большой площади относительно любой оси равен алгебраической сумме моментов составляющих ее площадей.Это выражается следующим уравнением:

Сумма MAtotal = MA1 + MA2 + MA3 + …

Момент любой области определяется как произведение площади и перпендикулярного расстояния от центра тяжести площади до оси момента. С помощью этого принципа мы можем найти центр тяжести любой простой или составной области.

Центр тяжести:

Дано: пластина, показанная на схеме, имеет вес 1 # / дюйм ² (1 фунт на квадратный дюйм) горизонтальной поверхности.

Определить:
центр тяжести пластины, зная, что она симметрична относительно оси X-X.

Решение: Принцип моментов гласит, что общий вес вокруг оси равен сумме моментов весов компонентов относительно этой же оси. Таким образом, первое, что нужно сделать, — это разделить тарелку на несколько простых частей. Затем определите площадь и центр тяжести (или центроид) для каждой из составных частей. После этого измерьте моменты каждой из частей вокруг удобной оси (в этом случае выберите ось Z-Z, вокруг которой будут измеряться эти моменты).Ось Z-Z здесь обозначена как Ref Axis.

Сумма MAtotal = MA1 + MA2 + MA3

Это простое уравнение можно переписать следующим образом, в котором описана каждая из составных частей:

(Atotal) (расстояние от исходной оси до центральной оси) = (A1) (расстояние от центра тяжести A1 до исходной оси) + (A2) (расстояние от центра тяжести A2 до исходной оси) + (A3) (расстояние от центроида от A3 до оси отсчета)

, а затем решить относительно y… центроидная ось находится на расстоянии 7,3 дюйма от исходной оси.

Фактический центр тяжести находится на полпути по глубине пластины в точке, рассчитанной выше. По мере уменьшения толщины пластины линия действия центра тяжести останется, в то время как центр тяжести перемещается пропорционально этой линии действия, всегда действующей в средней точке глубины пластины. Если толщина пластины уменьшается до нуля, она не имеет веса, и прежнее положение центра тяжести теперь называется центроидом площади.

Момент инерции (I) — это термин, используемый для описания способности поперечного сечения сопротивляться изгибу. Он всегда учитывается относительно базовой оси, такой как X-X или Y-Y. Это математическое свойство сечения, связанное с площадью поверхности и тем, как эта площадь распределяется относительно базовой оси. Базовой осью обычно является центральная ось.

Момент инерции также известен как Второй момент области и математически выражается как:

Ixx = Сумма (A) (y ² )

В котором:

Ixx = момент инерции вокруг оси x
A = площадь плоскости объекта
y = расстояние между центром тяжести объекта и осью x

Момент инерции — это важное значение, которое используется для определения напряженного состояния в сечении, расчета сопротивления продольному изгибу и определения величины прогиба балки.
Например, если проектировщику дается определенный набор ограничений для структурной проблемы (то есть нагрузки, пролеты и конечные условия), может быть определено «требуемое» значение момента инерции. Тогда любой структурный элемент, который имеет хотя бы этот конкретный момент инерции, можно будет использовать в конструкции. Другой пример может быть, если верно обратное; конкретный элемент дается в дизайне. Затем можно было определить несущую способность элемента.

Давайте посмотрим на две доски, чтобы интуитивно определить, какая из них будет отклоняться больше и почему.Если две доски с фактическими размерами 2 дюйма на 10 дюймов были уложены рядом — одна со стороны двух дюймов, а другая — со стороны восьми дюймов, плата, которая опирается на ее 2-дюймовый край, будет значительно жестче, чем та, которая поддерживается вдоль. его 10-дюймовый край. Обе платы имеют одинаковую площадь поперечного сечения, но по-разному распределены относительно горизонтальной центральной оси.

Ixx = (1/12) (b) (h ³ ) = (1/12) x (b) x (h x h x h)

В котором значение b всегда принимается равным стороне, параллельной базовой оси, а h — высотой секции.Это очень важно отметить! Если принять неправильное значение для значения b, вычисления будут совершенно неверными.

Момент инерции

Дано: поперечное сечение.
Определите: моменты инерции, Ixx и Iyy этого раздела.

Решение:

Момент инерции прямоугольной формы, такой как эта, легко вычисляется с помощью уравнения I = 1/12 bh4. Однако очень важно, чтобы b и h были присвоены правильные значения.

Вы можете просто повернуть элемент на 90 градусов и произвести пересчет, всегда запоминая исходное положение элемента.

Ixx = 1/12 (4 дюйма) (10 дюймов) ³ = 333,2 дюйма ⁴
Iyy = 1/12 (10 дюймов) (4 дюйма) ³ = 53,312 дюйм ⁴

В этом случае наблюдение подтвердит выбор для b и h. Логично, что Ixx больше, чем Iyy, потому что большая часть прямоугольной области находится дальше от оси x-x, чем ось y-y. Это приводит к тому, что форма имеет большее сопротивление вращению вокруг оси x-x и, следовательно, больший момент инерции вокруг этой оси.

Важность распределения площади вокруг его центральной оси становится очевидной при сравнении значений момента инерции ряда типичных конфигураций балки. Все элементы, показанные ниже, имеют размер 2 x 10 дюймов; в поперечном сечении, равной длины и одинаковой нагрузки.

НАСТРОЕННЫЕ РАЗДЕЛЫ Часто бывает выгодно объединить несколько элементов меньшего размера, чтобы создать балку или колонну большей прочности. Момент инерции такой сборной секции определяется сложением моментов инерции составных частей.Это может быть сделано, если и только если моменты инерции каждой составляющей области взяты относительно общей оси, и тогда и только тогда, когда результирующее сечение действует как единое целое.

Застроенные секции

Дано:
следующие сечения
Определить:
Ix каждого раздела с учетом его составных частей.

Решение:
В этом примере Box разбит на 4 отдельных элемента, и показана процедура вычисления Ixx.

Расчет вручную с помощью компьютерного расчета, приведенного ниже.

Пример результатов компьютерной программы, доступной в нашем разделе бесплатного программного обеспечения

---

ФОРМУЛА ПЕРЕДАЧИ

Есть много составных секций, в которых составные части не распределены симметрично относительно центральной оси. Самый простой способ определить момент инерции такого сечения — это найти момент инерции составных частей относительно их собственной центральной оси, а затем применить формулу переноса.Формула переноса переносит момент инерции сечения или площади с его собственной центральной оси на другую параллельную ось. Из математического анализа известно, что это:

Ix = Ic + Ad ²

Где:

Ix = момент инерции относительно оси x-x (в ⁴ )
Ic = момент инерции относительно центральной оси c-c, параллельной x-x (в ⁴ )
A = площадь сечения (в ² )
d = расстояние по перпендикуляру между параллельными осями x-x и c-c (дюймы)

Формула передачи

Дано:
приклеенный асимметричный нарост внизу.
Определить:
момент инерции составной области относительно оси x.

---

Центроидная ось и формула переноса
Пример результатов компьютерной программы, доступной в нашем разделе бесплатного программного обеспечения

---

---

.