Осевые моменты инерции некоторых тел

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Тело	Описание	Положение оси a	Момент инерции Ja
	Материальная точка массы m	На расстоянии r от точки, неподвижная
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m	Ось цилиндра
	Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1	Ось цилиндра
	Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
	Прямой тонкий стержень длины l и массы m	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
	Тонкостенная сфера радиуса r и массы m	Ось проходит через центр сферы
	Шар радиуса r и массы m	Ось проходит через центр шара
	Конус радиуса r и массы m	Ось конуса
	Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
	Правильный треугольник со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
	Квадрат со стороной a и массой m	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой

dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Определение момента инерции тела методом крутильных колебаний

Цель работы:определение момента инерции диска.

Приборы и принадлежности: кронштейн с закрепленной проволокой,

испытуемое тело, два цилиндра,

секундомер, штангенциркуль.

 

Краткая теория

 

Основными характеристиками динамики вращательного движения являются: момент инерции и момент силы.

Момент инерции– есть мера инертности тела, имеющего ось вращения.

Во вращательном движении момент инерции имеет такую же роль, как масса при поступательном движении. Как и масса момент инерции (относительно оси вращения) скалярная величина. Однако величина момента инерции тела зависит от положения оси вращения.

Момент инерции материальной точки относительно оси вращения, находящейся на расстоянии r, равен произведению массы на квадрат расстояния до оси вращения .

Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции его составных точек . В случае непрерывного тела момент инерции тела относительно заданной оси представится выражением .

Момент инерции относительно произвольной оси, не проходящей через центр масс, можно вычислить по теореме Штейнера.

Момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, параллельно заданной оси и произведению массы на квадрат расстояния между осями (рис.1).

 

I=I_o+ma². (1)

 

Момент силы – величина векторная, численно равная произведению силы на плечо

. (2)

 

Плечом называется кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы (

рис.2).

Момент силы и момент инерции связаны соотношением:

,(3)

 

где ε – угловое ускорение.

Это есть основное уравнение динамики для вращательного движения.

Крутильные колебания – это такие колебания, которые совершает подвешенное твердое тело вокруг вертикальной невесомой упругой нити, верхний конец которой закреплен (рис.3).

Применим к этим колебаниям основное уравнение вращательного движения. При крутильных колебаниях на тело действует возвращающий момент со стороны нити подвеса, обусловленный упругими силами.

и ,

тогда

,

. (4)

 

Полученное уравнение является дифференциальным уравнением крутильных колебаний, в этом уравнении отношение D/I = w² – циклическая частота – ω.

 

. (5)

 

Вывод рабочей формулы.Воспользуемся методом крутильных колебаний для определения момента инерции диска, подвешенного на упругой нити (рис.4).

Для этого используем формулу периода крутильных колебаний. Однако в этой формуле две неизвестные величины: I – момент инерции диска относительно оси О, проходящей через центр масс диска, и D – модуль упругости нити.

Учитывая аддитивные свойства момента инерции, поставим на диск два груза и запишем второе уравнение

 

, (6)

 

где I_a – момент инерции двух грузов относительно оси О. Возведем (5,6) в квадрат и разделим одно уравнение на другое:

 

, , .

 

Выразим момент инерции диска

.

 

Момент инерции двух грузов относительно оси О по теореме Штейнера равен:

,

 

где I₀ – момент инерции цилиндра относительно его оси, проходящей через центр масс. Подставим полученное выражение в предыдущую формулу и получим:

 

, (7)

где r – радиус цилиндра, a – расстояние между осями диска и цилиндра.

Выражение (7) является рабочей формулой для расчета момента инерции диска.

Выполнение работы

1. Запустите крутильные колебания и дайте им установиться, измерьте время t заданного числа колебаний. Найдите период колебаний диска без грузов , где N – число колебаний.

2. Поставьте на диск одновременно цилиндры, измерьте время t₁ и период T₁ с грузами.

3. По рабочей формуле рассчитайте момент инерции диска.

№	t, c	T, c	t1,c	T1,c	I, кг м2	D I, кг м2
Среднее значение

Расчет погрешности

 

Абсолютная ошибка измерения момента инерции вычисляется по формуле:

ΔT=ΔT₁=0,01 c

Δа= Δr=1мм

 

Задачи

1. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом R=40 см и массой m=1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска.

Ответы:1) 0,22 кг^.м²; 2) 0,12 кг^.м²; 3) 0,32 кг^.м²; 4) 0,08 кг^.м²; 5) 0,28 кг^.м².

2. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной ℓ=50 см и массой m=360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через конец стержня.

Ответы:1) 3^.10^–2 кг^.м²; 2) 1,8^.10^–2 кг^.м²; 3) 2,6^.10^–2 кг^.м²; 4) 1,3^.10^–2 кг; 5) 2,8^.10^–2 кг^.м².

3. Твердое тело совершает крутильные колебания на упругой нити. Чему равен модуль упругости нити, если момент инерции тела I=1,12^.10^–2 кг^.м², а период колебаний 4,35 с?

Ответы:1) 2,15^.10^–1Дж; 2) 3, 85^.10^–2Дж; 3) 2,33^.10^–2Дж; 4) 1,23^.10^–1Дж; 5) 2,95^.10^–2Дж.

4. К ободу колеса, имеющего форму диска, радиусом 0,5 м и массой m=50 кг приложена касательная сила 98,1 Н. Найти угловое ускорение колеса.

Ответы:1) 5,82 рад/с²;2) 7,8 рад/с²; 3) 4,53 рад/с²; 4) 8,5 рад/с²; 5) 3,52 рад/с².

5. Определите момент инерции тонкого однородного стержня длиной ℓ=50 см и массой m=360 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через точку, отстоящую от конца стержня на 1/6 его длины:

Ответы:1) 2,27^.10^–2 кг^.м²; 2) 2,8^.10^–2 кг^.м²; 3) 2,15^.10^–2 кг^.м²; 4) 1,75^.10^–2 кг^.м²; 5) 3,30^.10^–2 кг^.м².

6. Однородный диск радиусом R=0,2 м и массой m=5 кг вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угловой скорости вращения диска от времени дается уравнением ω=А+Вt, где В=8рад/с². Найти величину касательной силы, приложенной к ободу диска.

Ответы:1) 2,3 Н; 2) 5,3 Н; 3) 4 Н; 4) 4,8 Н; 5) 1,23 Н.

Контрольные вопросы

 

1. Цель работы.

2. Вывод рабочей формулы.

3. Физический смысл момента инерции твердого тела и материальной точки.

4. Теорема Штейнера.

5. Где при выводе рабочей формулы использовалась теорема Штейнера? Когда применяется эта теорема?

6. Основное уравнение динамики вращательного движения.

7. Вывод дифференциального уравнения крутильных колебаний.

8. Момент силы. Направление момента силы.

 

Литература

 

1. Савельев И. В. Курс общей физики, т. 1. М.: Наука, 1989. с.104–108.

2. Трофимова Т. И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002, с.36–38.

3. Бондарев Б. В., Спирин Г. Г., Калашников Н. П. Курс физики. М.: Курс общей физики, 2003, т.1, с.191–194.

Лабораторная работа 1.6

 

Измерение ускорения силы тяжести с помощью оборотного маятника

 

Приборы и принадлежности: оборотный маятник, секундомер, линейка,

опорная призма.

 

Краткая теория

 

Физический маятник – твердое тело, которое совершает колебания вокруг горизонтальной оси, не проходящей через центр масс (рисунок). В положении равновесия вращающий момент силы тяжести равен нулю, так как плечо этой силы равно нулю. При отклонении от положения равновесия на угол j (рисунок) возникает вращающий момент, равный

. (1)

При малых углах (j »5⁰) sinj »j и тогда

 

. (2)

 

Минус означает, что вращающий момент стремится вернуть маятник в положение равновесия. Из основного уравнения динамики вращательного движения вращающий момент , подставив в (2), получим

 

. (3)

 

Выражение (3) называют дифференциальным уравнением колебаний физического маятника. В этом уравнении собственная циклическая частота колебаний физического маятника равна . Период колебаний физического маятника

. (4)

Если в формуле (4) вместо выражения подставим , то получим формулу для периода математического маятника

 

, (5)

 

где – приведенная длина физического маятника. Эта величина показывает, что при длине математического маятника равной _, периоды колебаний математического и физического маятника станут одинаковыми.

Точка, лежащая на прямой, проведенной через точку подвеса В₁ и центр тяжести С, на расстоянии приведенной длины от оси вращения, называется центром качания В₂. Если всю массу физического маятника сосредоточить в центре качания, то период его колебаний останется без изменений.

Точка подвеса В₁ и центр качания В₂ являются взаимозаменяемыми. Если маятник подвесить за центр качания или за точку подвеса, то периоды колебаний не изменятся. На этом свойстве основано измерение ускорения силы тяжести с помощью оборотного маятника (рис.1). Следует отметить, что при небольших смещениях подвижного груза М маятника, можно принять почти линейной зависимость периода колебаний маятника от положения груза.

 

Порядок выполнения работы

Оборотный маятник представляет собой две параллельные друг другу, закрепленные вблизи его концов, опорные призмы В₁и В₂, за которые он может поочередно подвешиваться. Вдоль стержня маятника может перемещаться груз М. Для выполнения работы следует:

1. Получить два значения для положения груза М (2–13 см).

2. Пользуясь секундомером, определить периоды колебаний маятника на призмах В₁ и В₂, когда груз М находится в первом и втором положениях. По формуле определить периоды колебаний , , , где n– число колебаний маятника (задается преподавателем), – период колебаний, когда груз М маятника находится в первом положении, а маятник висит на призме В₁, – период колебаний, когда груз М маятника находится в первом положении, а маятник висит на призме В₂, – период колебаний, когда груз М маятника находится во втором положении, а маятник висит на призме В₁, – период колебаний, когда груз М маятника находится во втором положении, а маятник висит на призме В₂.

3. Полученные значения периодов поставить на графике, по оси ординат отложить период, а по оси абсцисс положение груза М(х). Соединить точки для периодов при первом положении и при втором положении груза М(х).

4. Установить положение груза в точку пересечения прямых.

5. Определить период колебаний, когда маятник висит на призме В₁– , и определите период колебаний, когда маятник висит на призме В₂–

6. Измерить расстояние между призмами, которое равно приведенной длине маятника

7. Используя периоды колебаний и , из формулы (5) определить значение ускорения свободного падения.

8. Заполнить таблицу.

№	n	t1, c	t2, c	t0, c	, с	, с	, с	, м	g, м/c2	Dg, м/c2	gист=gср±Dgср
Среднее значение

Расчет погрешности

 

Относительная погрешность:

 

 

абсолютная погрешность:

 

 

Задачи

 

1. Тонкий обруч, повешенный гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости параллельной стене. Радиус обруча R=30 см. Вычислить период колебаний.

Ответы:1) 1,35 с; 2) 1,55 с; 3) 2,32 с; 4) 1,95 с; 5) 1,21с.

2. Диск радиусом R=24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину такого маятника.

Ответы:1) 53,2 см; 2) 63,5 см; 3) 24,4 см; 4) 36 см; 5) 43,2 см.

3. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если вращающий момент равен 9,81^.10^–2 Н^.м?

Ответы:1) 23,5^.10^–2 рад/с²; 2) 18,3^.10^–2 рад/с²; 3) 1,2^.10^–1 рад/с²; 4) 32,5^.10^–2 рад/с²; 5) 3,12^.10^–1 рад/с².

4. Обруч диаметром 56,5 висит на гвозде, вбитом в стену и совершает колебания в плоскости, параллельной стене. Найти период этих колебаний.

Ответы:1) 2,32 с; 2) 1,50 с; 3) 1,85 с; 4) 2,02 с; 5) 1,38 с.

5. Чему равен период колебаний математического маятника на Земле длиной 1м?

Ответы:1) 5,38 с; 2) 3,04 с; 3) 2,88 с; 4) 3,56 с; 5) 4,01 с.

6. Маховик, момент инерции которого I = 63,6 кг/м², вращается с постоянной угловой скоростью ω=31,4 рад/с. Найти тормозящий момент М, под действием которого маховик останавливается через 20 с.

Ответы:1) 100 Нм; 2) 200 Нм; 3) 150 Нм; 4) 230 Нм; 5) 99,8 Нм.

 

Контрольные вопросы

 

1. Что называется физическим маятником ?

2. Что называется осью вращения и осью качения?

3. Что называется математическим маятником?

4. Какой маятник называется оборотным?

5. Что называется приведенной длиной физического маятника?

6. Запишите дифференциальное уравнение физического маятника?

7. Как определить положение подвижного груза, чтобы расстояние между призмами стало равно приведенной длине физического маятника?

8. Ход работы.

 

Литература

 

1. Бондарев Б. В., Спирин Г. Г., Калашников Н. П. Курс физики. М.: Курс общей физики, 2003, т.1, с.205.

2. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики, М.: Высшая школа, 1989, с.300–302.

 

Лабораторная работа 1.7

Как вывести формулу момента инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Материальная точка массы m

На расстоянии r от точки, неподвижная

Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m

Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m

Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r₂ и внутренним радиусом r₁

Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

Прямой тонкий стержень длины l и массы m

Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс

Тонкостенная сфера радиуса r и массы m

Ось проходит через центр сферы

Шар радиуса r и массы m

Ось проходит через центр шара

Конус радиуса r и массы m

Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину

Правильный треугольник со стороной a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс

Квадрат со стороной a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Сплошной однородный шар

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла

, (4.14)

в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.

Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).

Для момента инерции можно написать I_A = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера I_A = I_C + m(l/2) 2 . Величину I_C можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, I_C = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим

,

откуда k = 1/3. В результате находим

(4.15)

(4.16)

Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен

где R – радиус кольца. Ввиду симметрии I_X = I_У.

Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.

Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dI_z = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим

(4.18)

Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.

Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.

Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей

Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому

Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.

Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.

Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии I_X = I_Y = I_Z = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра

. (4.20)

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9812 – | 7680 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Что такое инерция

Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

От каких величин зависит момент инерции. Момент инерции

Системы на квадраты их расстояний до оси:

• m i — масса i -й точки,
• r i — расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x , y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .

Из него выражается момент сопротивления сечения:

.

Геометрические моменты инерции некоторых фигур
Прямоугольника высотой и шириной :
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно
Круга диаметром

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :

(1),

где — тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

,
.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где —

Системы на квадраты их расстояний до оси:

• m i — масса i -й точки,
• r i — расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x , y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .

Из него выражается момент сопротивления сечения:

.

Геометрические моменты инерции некоторых фигур
Прямоугольника высотой и шириной :
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно
Круга диаметром

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :

(1),

где — тензор инерции .{2}.}

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2 ). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра .

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины :

J x y = ∫ (m) x y d m = ∫ (V) x y ρ d V , {\displaystyle J_{xy}=\int \limits _{(m)}xydm=\int \limits _{(V)}xy\rho dV,} J x z = ∫ (m) x z d m = ∫ (V) x z ρ d V , {\displaystyle J_{xz}=\int \limits _{(m)}xzdm=\int \limits _{(V)}xz\rho dV,} J y z = ∫ (m) y z d m = ∫ (V) y z ρ d V , {\displaystyle J_{yz}=\int \limits _{(m)}yzdm=\int \limits _{(V)}yz\rho dV,}

где x , y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю.{2}\cdot J_{Z}=1.}

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку.

В решении задач 12.1 -12.4 не учитывалась инертность вращающихся частей (барабана, редуктора и электродвигателя). Работа, затрачиваемая на ускорение вращательного движения, может быть определена через кинетическую энергию вращающейся массы т. Для объема массой dm, находящегося на расстоянии г от центра вращения, кинетическая энергия равна dmx> 2 / 2. Скорость ц = cor, тогда кинетическая энергия объема массой dm вращающегося тела равна dm со 2 г 2 / 2. По аналогии с выражением кинетической энергии объема массой dm при поступательном движении как функции от ц 2 / 2 запишем выражение для кинетической энергии при вращательном движении как функцию от со 2 / 2:

где dJ = r 2 dm — мера инертности во вращательном движении элементарного объема массой dm, находящегося на расстоянии гот оси вращения.

Интеграл по объему тела

момент инерции тела относительно оси вращения Z-

Моменты инерции тел простой формы

1. Круглый однородный тонкий диск радиуса R постоянной толщины И и плотности р (рис. 12.1, а).

Ось вращения проходит через центр диска. Момент инерции диска равен

Рис. 12.1.

Масса диска т = рhnR 2 . Таким образом, момент инерции тонкого однородного диска относительно собственного центра массы (центра тяжести) равен J Cz = mR 2 / 2.

2. Круглое тонкое кольцо радиуса R постоянной ширины b и толщины И (рис. 12.1, б).

Интеграл

Масса кольца

Следовательно, момент инерции кольца равен

и для очень узкого кольца при b« R момент инерции J Cz = mR 2 .

• 3. Тонкий однородный стержень сечением s и длиной I.
• 3.1. Пусть ось вращения г проходит через центр тяжести (рис. 12.1, в). Интеграл

где 5 — площадь поперечного сечения стержня.

Масса стержня т = рsi. Следовательно, J Cz = тР / 12.

3.2. Ось вращения? проходит через один из концов стержня (рис. 12.1, г).

Интеграл

т.е. в 4 раза больше J c z —

Момент инерции тела относительно произвольной оси вращения

Момент инерции тела J z относительно оси вращения, смещенной на расстояние с относительно центра масс тела, запишем в виде

Интеграл по объему где т — масса тела. Интеграл

относительно оси, проходящей через центр тяжести (центр

Следовательно, при параллельном переносе момент инерции тела относительно оси, находящейся на расстоянии с от центра тяжести, равен

где У с, =jr 2 dm — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести этого тела.

? Задача 12.5

Используя формулу (12.9), определить момент инерции тонкого стержня длиной / и постоянной площади сечения s. Ось вращения проходит через один из концов стрежня.

Решение

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен J Cz = тР / 12. Момент инерции относительно оси, проходящей от центра тяжести на расстоянии 1/2 , равен

Согласно (12.9) из всех осей данного направления наименьшее значение имеет момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести тела.

Совместим начало ортогональной системы координат с центром тяжести тела. Используя формулу (12.8), можно определить моменты инерции тела J x , J y и J относительно каждой из трех осей координат. Мысленно поворачивая тело поочередно относительно каждой из координатных осей, можно заметить, что в некоторых положениях значения моментов инерции достигают экстремальных значений. Оси, относительно которых один из моментов инерции тела достигает наибольшего значения (из всех возможных при любых поворотах), а другие — наименьших значений, называют главными осями инерции тела. Очевидно, что для тела с центром симметрии (шар, полый шар) все оси главные. Ось симметрии тела (цилиндра, прямоугольного параллелепипеда и т.п.) также является главной осью.

Если главная ось инерции детали, например ротора турбины, смещена параллельно оси вращения (рис. 12.2, а ), то на ротор действует центростремительная сила, равная С е = тоз 2 е с (т — масса ротора; е с — смещение главной оси инерции ротора относительно оси вращения). Сила С е воспринимается опорами ротора и пере-

Рис. 12.2. Схема сил инерции при вращении неуравновешенного ротора дается фундаменту машины. Заметим, что вектор силы С г по отношению к неподвижным опорам и фундаменту вращается с частотой со. Возникают колебания машины и фундамента. Очевидно, для уравновешивания ротора необходимо обеспечить г с = 0. Такое уравновешивание называется статическим и может быть выполнено при невращающемся роторе.

На рис. 12.2, б показана схема сил инерции, действующих при вращении на статически уравновешенный ротор. При этом главная ось инерции может не совпадать с осью вращения, образуя с ней некоторый угол а.

Центростремительные силы С а, действующие на правую и левую части ротора, противоположно направлены и создают момент сил. Этот момент сил передается на опоры ротора, возбуждая колебания машины и фундамента. Для уравновешивания ротора необходимо обеспечить а = 0, что возможно только при вращении ротора, и поэтому оно называется динамическим. По данным измерения колебаний машины определяют, в каком месте ротора необходимо установить противовес или удалить часть материала ротора.

Учитывая некоторое различие плотности и других свойств литого материала, слитки для поковок роторов паровых турбин изготавливают в форме тел с осевой симметрией относительно продольной оси, с которой должна будет совпадать ось вращения ротора.

? Задача 12.6

Определить ускорение тележки с грузом по условию задачи 12.4.

Момент инерции ротора электродвигателя равен / = 0,03 кгм 2 . Масса барабана т 6 = 200 кг, а радиус R = 0,2 м.

Решение

При возможных перемещениях 8ф и 8х зависимость (12.5) запишем в виде

где 8х = R 5(р / / (/ пр — передаточное отношение между валами электродвигателя и подъемника).

Соответственно, ускорение х = /?ф// пр; угол поворота барабана 8ф б = = 8ф / / ; угловое ускорение барабана ф б = ф// пр. Тогда

Момент инерции барабана определим, полагая, что масса барабана сосредоточена на радиусе R. Тогда / б = тЮ = 200 0,2 2 = 8 кг м 2 . Передаточное число / = to R / х> = 60,7.

Угловое ускорение ротора электродвигателя

Ускорение тележки с грузом х = 0,573 м/с 2 . Это значение почти в 4 раза меньше, чем расчетное ускорение без учета инертности двигателя и барабана (см. задачу 12.3). ?

В задаче 12.6 сомножитель при угловом ускорении представляет собой момент инерции системы, приведенный к оси электродвигателя. Очевидно, что для получения приведенного момента инерции деталей, установленных на тихоходном валу, к оси более быстроходного вала следует уменьшить его значение в / 2 раза (/ — передаточное отношение между этими валами).

Рассмотрим материальную точку массой m, которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инерции J материальной точки относительно оси называется скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr 2 (75)

Момент инерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инерции отдельных точек:

Рис. 26.

К определению момента инерции точки.

Если масса распределена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объемы dv, каждый из которых обладает массой dm.

В результате получается следующее выражение:

Для однородного по объему тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде:

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

Размерность момента инерции — кг*м 2 .

Момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности при поступательном движении.

Момент инерции — это мера инертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределения массы относительно оси вращения. Иными словами, момент инерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска :

Момент инерции шара радиуса R :

Момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера :

Момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

К расчету момента инерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:

Очевидно: момент инерции неодинаков относительно разных осей, и поэтому, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, например, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на железнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инерции нестандартной детали опытным путем.

Момент силы F относительно точки O

Момент инерции тела формула. Момент инерции

Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции объекта относительно оси имеет вид

,

Иными словами, нужно сложить все массы, умножив каждую из них на квадрат ее расстояния до оси . Заметьте, что это верно даже для трехмерного тела, несмотря на то, что расстояние имеет такой «двумерный вид». Впрочем, в большинстве случаев мы будем ограничиваться двумерными телами.

В качестве простого примера рассмотрим стержень, вращающийся относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной к нему (фиг. 19.3). Нам нужно просуммировать теперь все массы, умноженные на квадраты расстояния (в этом случае все — нулевые). Под суммой, разумеется, я имею в виду интеграл от , умноженный на «элементики» массы. Если мы разделим стержень на кусочки длиной , то соответствующий элемент массы будет пропорционален , а если бы составляло длину всего стержня, то его масса была бы равна . Поэтому

. (19.5)

Размерность момента инерции всегда равна массе, умноженной на квадрат длины, так что единственная существенная величина, которую мы вычислили, это множитель .

Фиг. 19.3. Прямой стержень, вращающийся вокруг оси, проходящей черед один из его концов.

А чему будет равен момент инерции , если ось вращения проходит через середину стержня? Чтобы найти его, нам снова нужно взять интеграл, но уже в пределах от до . Заметим, однако, одну особенность этого случая. Такой стержень с проходящей через центр осью можно представлять себе как два стержня с осью, проходящей через конец, причем масса каждого из них равна , а длина равна . Моменты инерции двух таких стержней равны друг другу и вычисляются по формуле (19.5). Поэтому момент инерции всего стержня равен

. (19.6)

Таким образом, стержень гораздо легче крутить за середину, чем за конец.

Можно, конечно, продолжить вычисление моментов инерции других интересующих нас тел. Но поскольку такие расчеты требуют большого опыта в вычислении интегралов (что очень важно само по себе), они как таковые не представляют для нас большого интереса. Впрочем, здесь имеются некоторые очень интересные и полезные теоремы. Пусть имеется какое-то тело и мы хотим узнать его момент инерции относительно какой-то оси. Это означает, что мы хотим найти его инертность при вращении вокруг этой оси. Если мы будем двигать тело за стержень, подпирающий его центр масс так, чтобы оно не поворачивалось при вращении вокруг оси (в этом случае на него не действуют никакие моменты сил инерции, поэтому тело не будет поворачиваться, когда мы начнем двигать его), то для того, чтобы повернуть его, понадобится точно такая же сила, как если бы вся масса была сосредоточена в центре масс и момент инерции был бы просто равен , где — расстояние от центра масс до оси вращения. Однако формула эта, разумеется, неверна. Она не дает правильного момента инерции тела. Ведь в действительности при повороте тело вращается. Крутится не только центр масс (что давало бы величину ), само тело тоже должно поворачиваться относительно центра масс. Таким образом, к моменту инерции нужно добавить — момент инерции относительно центра масс. Правильный ответ состоит в том, что момент инерции относительно любой оси равен

Эта теорема называется теоремой о параллельном переносе оси. Доказывается она очень легко. Момент инерции относительно любой оси равен сумме масс, умноженных на сумму квадратов и , т. е. . Мы сейчас сосредоточим наше внимание на , однако все в точности можно повторить и для . Пусть координата есть расстояние данной частной точки от начала координат; посмотрим, однако, как все изменится, если мы будем измерять расстояние от центра масс вместо от начала координат. Чтобы это выяснить, мы должны написать

Возводя это выражение в квадрат, находим

.

Что получится, если умножить его на и просуммировать по всем ? Вынося постоянные величины за знак суммирования, находим

.

Третью сумму подсчитать легко; это просто . Второй член состоит из двух сомножителей, один из которых ; он равен -координате центра масс. Но это должно быть равно нулю, ведь отсчитывается от центра масс, а в этой системе координат среднее положение всех частиц, взвешенное их массами, равно нулю. Первый же член, очевидно, представляет собой часть от . Таким образом, мы и приходим к формуле (19.7).

Давайте проверим формулу (19.7) на одном примере. Просто проверим, будет ли она применима для стержня. Мы уже нашли, что момент инерции стержня относительно его конца должен быть равен . А центр масс стержня, разумеется, находится на расстоянии . Таким образом, мы должны получить, что . Так как одна четвертая + одна двенадцатая = одной третьей, то мы не сделали никакой грубой ошибки.

Кстати, чтобы найти момент инерции (19.5), вовсе не обязательно вычислять интеграл. Можно просто предположить, что он равен величине , умноженной на некоторый неизвестный коэффициент . После этого можно использовать рассуждения о двух половинках и для момента инерции (19.6) получить коэффициент . Используя теперь теорему о параллельном переносе оси, докажем, что , откуда . Всегда можно найти какой-нибудь окольный путь!

При применении теоремы о параллельных осях важно помнить, что ось должна быть параллельна оси, относительно которой мы хотим вычислять момент инерции.

Стоит, пожалуй, упомянуть еще об одном свойстве, которое часто бывает очень полезно при нахождении момента инерции некоторых типов тел. Оно состоит в следующем: если у нас есть плоская фигура и тройка координатных осей с началом координат, расположенным в этой плоскости, и осью , направленной перпендикулярно к ней, то момент инерции этой фигуры относительно оси равен сумме моментов инерции относительно осей и . Доказывается это совсем просто. Заметим, что

(поскольку все ). Аналогично,

,

Момент инерции однородной прямоугольной пластинки, например с массой , шириной и длиной относительно оси, перпендикулярной к ней и проходящей через ее центр, равен просто

,

поскольку момент инерции относительно оси, лежащей в плоскости пластинки и параллельной ее длине, равен , т. е. точно такой же, как и для стержня длиной , а момент инерции относительно другой оси в той же плоскости равен , такой же, как и для стержня длиной .

Итак, перечислим свойства момента инерции относительно данной оси, которую мы назовем осью :

1. Момент инерции равен

.

2. Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них известен, то полный момент инерции равен сумме моментов инерции этих частей.

3. Момент инерции относительно любой данной оси равен моменту инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс, плюс произведение полной массы на квадрат расстояния данной оси от центра масс.

4. Момент инерции плоской фигуры относительно оси, перпендикулярной к ее плоскости, равен сумме моментов инерций относительно любых двух других взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости фигуры и пересекающихся с перпендикулярной осью.

В табл. 19.1 приведены моменты инерции некоторых элементарных фигур, имеющих однородную плотность масс, а в табл. 19.2 — моменты инерции некоторых фигур, которые могут быть получены из табл. 19.1 с использованием перечисленных выше свойств.

Таблица 19.1 Простые примеры моментов инерции

Тонкий стержень длиной	Проходит через центр перпендикулярно к стержню
Тонкое концентрическое кольцо с радиусами и	Проходит через центр кольца перпендикулярно к плоскости кольца
Сфера радиуса	Проходит через центр

Таблица 19.2 Моменты инерции, полученные из табл. 19.1

Прямоугольник со сторонами и Прямоугольный параллелепипед со сторонами Проходит через центр параллельно

Наименование параметра	Значение
Тема статьи:	Момент инерции
Рубрика (тематическая категория)	Механика

Рассмотрим материальную точку массой m , которая находится на расстоянии r, от неподвижной оси (рис. 26). Моментом инœерции J материальной точки относительно оси принято называть скалярная физическая величина, равная произведению массы m на квадрат расстояния r до этой оси:

J = mr 2 (75)

Момент инœерции системы N материальных точек будет равен сумме моментов инœерции отдельных точек

(76)

К определœению момента инœерции точки

В случае если масса распределœена в пространстве непрерывно, то суммирование заменяется интегрированием. Тело разбивается на элементарные объёмы dv, каждый из которых обладает массой dm. В результате получается следующее выражение:

(77)

Для однородного по объёму тела плотность ρ постоянна, и записав элементарную массу в виде

dm = ρdv, преобразуем формулу (70) следующим образом:

(78)

Размерность момента инœерции – кг*м 2 .

Момент инœерции тела является мерой инœертности тела во вращательном движении, подобно тому, как масса тела является мерой его инœертности при поступательном движении.

Момент инœерции — это мера инœертных свойств твердого тела при вращательном движении, зависящая от распределœения массы относительно оси вращения . Иными словами, момент инœерции зависит от массы, формы, размеров тела и положения оси вращения.

Всякое тело, независимо от того, вращается оно или покоится, обладает моментом инœерции относительно любой оси, подобно тому, как тело обладает массой независимо от того, движется оно или находиться в покое. Аналогично массе момент инœерции является величиной аддитивной.

В некоторых случаях теоретический расчёт момента инœерции достаточно прост. Ниже приведены моменты инœерции некоторых сплошных тел правильной геометрической формы относительно оси, проходящей через центр тяжести.

Момент инœерции бесконечно плоского диска радиуса R относительно оси, перпендикулярной плоскости диска:

Момент инœерции шара радиуса R :

Момент инœерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно ему:

Момент инœерции бесконечно тонкого обруча радиуса R относительно оси, перпендикулярной его плоскости:

Момент инœерции тела относительно произвольной оси рассчитывается с помощью теоремы Штейнера:

Момент инœерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инœерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассчитаем при помощи теоремы Штейнера момент инœерции стержня длиной L относительно оси, проходящей через конец перпендикулярно ему (рис. 27).

К расчету момента инœерции стержня

Согласно теореме Штейнера, момент инœерции стержня относительно оси O′O′ равен моменту инœерции относительно оси OO плюс md 2 . Отсюда получаем:

Очевидно: момент инœерции неодинаков относительно разных осœей, и в связи с этим, решая задачи на динамику вращательного движения, момент инœерции тела относительно интересующей нас оси каждый раз приходится искать отдельно. Так, к примеру, при конструировании технических устройств, содержащих вращающиеся детали (на желœезнодорожном транспорте, в самолетостроении, электротехнике и т. д.), требуется знание величин моментов инœерции этих деталей. При сложной форме тела теоретический расчет его момента инœерции может оказаться трудно выполнимым. В этих случаях предпочитают измерить момент инœерции нестандартной детали опытным путем.

Момент силы F относительно точки O

Момент инерции — понятие и виды. Классификация и особенности категории «Момент инерции» 2017, 2018.

— Момент инерции тела относительно произвольной оси.

Рис.35 Проведем через центр масс С тела произвольные оси Cx»y»z», а через лю­бую точку О на оси Сх» — оси Oxyz, такие, что Оy½½Сy», Oz½½Cz» (рис. 35). Расстояние между осями Cz» и Оz обозначим через d. Тогда но, как видно из рисунка, для любой точки тела или, а. Подставляя… .

— Момент инерции тела

Момент инерции тела – величина, определяющая его инертность во вращательном движении. В динамике поступательного движения инерцию тела полностью характеризует его масса. Влияние собственных свойств тела на динамику вращательного движения оказывается более сложным,… .

— Лекция 4-5. Момент силы относительно неподвижной точки и оси. Момент инерции, момент импульса материальной точки и механической системы относительно неподвижной точки и оси.

Лекция 3. Силы. Масса, импульс материальной точки и механической системы. Динамика поступательного движения в инерциальных системах отсчета. Закон изменения импульса механической системы. Закон сохранения импульса. Динамика изучает движение тел с учетом причин,… .

— Момент инерции твердого тела.

Проанализируем формулу для момента инерции твердого тела. Момент инерции зависит от 1) массы тела, 2) формы и размеров тела, 3) положения оси вращения относительно тела (рис 2) Рис. 2а Рис.2б Итак, момент инерции есть мера инертности тела при вращательном движении,… .

— Момент инерции относительно центральной оси называется центральным моментом инерции.

Момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями. Из формулы видно, что момент инерции относительно центральной оси меньше, чем момент…

В динамике поступательного движения материальной точки кроме кинематических характеристик вводились понятия силы и массы. При изучении динамики вращательного движения вводятся физические вели­чины — момент сил и момент инерции , физический смысл которых рас­кроем ниже.

Пусть некоторое тело под действием силы , приложенной в точке А , приходит во вращение вокруг оси ОО» (рисунок 5.1).

Рисунок 5.1 – К выводу понятия момента силы

Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р , опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, назы­вают плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль мо­мента силы относительно точки О :

(5.1)

Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы :

(5.2)

Единица момента силы — ньютон-метр (Н . м). Направление вектора момента силы находиться с помощью пра­вила правого винта .

Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, назы­ваемая моментом инерции тела относительно оси вращения.

Момент инерции материальной точки относительно оси враще­ния — произведение массы этой точки на квадрат расстояния от оси :

Момент инерции тела относительно оси вращения — сумма мо­ментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело :

(5.4)

В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокуп­ность точек с малыми массами dm , момент инерции определяется интег­рированием:

, (5.5)

где r — расстояние от оси вращения до элемента массой dm .

Если тело однородно и его плотность ρ = m /V , то момент инерции тела

(5.6)

Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.

Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих пра­вильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, прохо­дящей через центр инерции и перпендикулярной стержню,

Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпен­дикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,

(5.8)

Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относи­тельно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,

Момент инерции шара относительно диаметра

(5.10)

Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей че­рез центр инерции и перпендикулярной плоско­сти вращения. Пусть масса диска – m , а его радиус – R .

Площадь кольца (рисунок 5.2), заключенного между r и , равна .

Рисунок 5.2 – К выводу момента инерции диска

Площадь диска . При постоянной толщине кольца,

откуда или .

Тогда момент инерции диска,

Для наглядности на рисунке 5.3 изображены однородные твердые тела различной формы и указаны моменты инерции этих тел относительно оси, проходящей через центр масс.

Рисунок 5.3 – Моменты инерции I C некоторых однородных твердых тел.

Теорема Штейнера

Приведенные выше формулы для моментов инерции тел даны при усло­вии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует восполь­зоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции J 0 отно­сительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инер­ции тела, и величины md 2:

(5.12)

где m — масса тела, d — расстояние от центра масс до выбранной оси вра­щения. Единица момента инерции — килограмм-метр в квадрате (кг . м 2).

Так, момент инерции однородного стержня длиной l относительно оси, про­ходящей через его конец, по теореме Штейнера равен

Относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J a , равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

• m i — масса i -й точки,
• r i — расстояние от i -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x , y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .

Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .

Из него выражается момент сопротивления сечения:

.

Геометрические моменты инерции некоторых фигур
Прямоугольника высотой и шириной :
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно
Круга диаметром

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :

(1),

где — тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

,
.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

,

откуда получается уравнение

Пусть твёрдое тело вращается вокруг оси Z (рисунок 6). Его можно представить как неизменную с течением времени систему разных материальных точек m i , каждая из которых движется по окружности радиусом r i , лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Z. Угловые скорости всех материальных точек одинаковы. Моментом инерции тела относительно оси Z называется величина:

где – момент инерции отдельной материальной точки относительно оси ОZ. Из определения вытекает, что момент инерции – аддитивная величина , т. е. момент инерции тела, состоящего из отдельных частей, равен сумме моментов инерции частей.

Рисунок 6

Очевидно, [I ] = кг×м 2 . Важность понятия момента инерции выражается в трёх формулах:

; ; .

Первая из них выражает момент импульса тела, которое вращается вокруг неподвижной оси Z (полезно эту формулу сравнить с выражением для импульса тела P = mV c , где V c – скорость центра масс). Вторая формула носит название основного уравнения динамики вращательного движения тела вокруг неподвижной оси, т.е., иначе говоря, второго закона Ньютона для вращательного движения (сравним с законом движения центра масс: ). Третья формула выражает кинетическую энергию тела, вращающегося вокруг неподвижной оси (сравним с выражением для кинетической энергии частицы ). Сравнение формул позволяет сделать вывод о том, что момент инерции во вращательном движении играет роль, аналогичную массе в том смысле, что чем больше момент инерции тела, тем меньше угловое ускорение при прочих равных условиях оно приобретает (тело, образно говоря, труднее раскрутить). Реально вычисление моментов инерции сводится к вычислению тройного интеграла и может быть произведено лишь для ограниченного числа симметричных тел и лишь для осей симметрии. Количество осей, вокруг которых может вращаться тело, бесконечно велико. Среди всех осей выделяется та, которая проходит через замечательную точку тела – центр масс (точку, для описания движения которой достаточно представить, что вся масса системы сосредоточена в центре масс и к этой точке приложена сила, равная сумме всех сил). Но осей, проходящих через центр масс, также бесконечно много. Оказывается, что для любого твёрдого тела произвольной формы существуют три взаимно перпендикулярных оси С х, С у, С z , называемые осями свободного вращения , обладающие замечательным свойством: если тело закрутить вокруг любой из этих осей и подбросить вверх, то при последующем движении тела ось останется параллельной самой себе, т.е. не будет кувыркаться. Закручивание вокруг любой другой оси этим свойством не обладает. Значение моментов инерции типичных тел относительно указанных осей приведено ниже. Если ось проходит через центр масс, но составляет углы a, b, g с осями С х, С у, С z соответственно, то момент инерции относительно такой оси равен

I c = I cx cos 2 a + I cy cos 2 b + I cz cos 2 g (*)

Рассмотрим кратко вычисление момента инерции для простейших тел.

1. Момент инерции длинного тонкого однородного стержня относительно оси, проходящей через центр масс стержня и ему перпендикулярной.

Пусть т – масса стержня, l – его длина.

,

Индекс «с » у момента инерции I c означает, что это момент инерции относительно оси, проходящий через точку центра масс (центр симметрии тела), C(0,0,0).

2. Момент инерции тонкой прямоугольной пластинки.

; ;

3. Момент инерции прямоугольного параллелепипеда.

, т. С(0,0,0)

4. Момент инерции тонкого кольца.

;

, т. С(0,0,0)

5. Момент инерции тонкого диска.

В силу симметрии

; ;

6. Момент инерции сплошного цилиндра.

;

В силу симметрии:

7. Момент инерции сплошного шара.

, т. С(0,0,0)

8. Момент инерции сплошного конуса.

, т. С(0,0,0)

где R – радиус основания, h – высота конуса.

Напомним, что cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1. Наконец, если ось О не проходит через центр масс, то момент инерции тела может быть вычислен с помощью теоремы Гюйгенса Штейнера

I о = I с + md 2 , (**)

где I о – момент инерции тела относительно произвольной оси, I с – момент инерции относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс,
m – масса тела, d – расстояние между осями.

Процедура вычисления моментов инерции для тел стандартной формы относительно произвольной оси сводится к следующему.

Момент инерции сплошного цилиндра формула

Момент инерции однородного сплошного цилиндра радиуса R относительно его геометрической оси__

Разобьем цилиндр на отдельные полые концент­рические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом rи внешним (r+ dr). Момент инерции каждого полого цилиндра dJ = r 2 dm (dr 3 · dr (p — плотность материала). Момент инерции сплошного цилиндра

.

Поскольку πR 2 h — объем цилиндра, его масса т = πR 2 hp, а .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8944 — | 7612 — или читать все.

91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Как известно, масса в динамике поступательного движения играет важную роль, определяя инерционные свойства движущихся тел. В динамике вращения вместо массы пользуются моментом инерции. Рассмотрим в статье, что это за величина и как определяется момент инерции цилиндра относительно оси.

Что такое момент инерции?

Эту величину обычно обозначают буквой I. Для материальной точки математическая формула момента инерции записывается так:

Где r — расстояние до оси вращения от точки массой m. Из формулы понятно, что единицей измерения величины являются килограммы на квадратный метр (кг*м 2 ).

Если тело имеет сложную форму и его объемная плотность является переменной, тогда для определения I следует использовать такое интегральное выражение:

Где dm — это элементарная масса, находящаяся от оси вращения на расстоянии r.

Таким образом, момент инерции определяет распределение материи в теле сложной формы относительно конкретной оси вращения системы.

Сплошной цилиндр и главная ось

Момент инерции сплошного цилиндра может быть вычислен вокруг абсолютно любой оси с использованием интегрального выражения, записанного в предыдущем пункте. Здесь рассмотрим ситуацию, когда цилиндр массой M, радиусом R и высотой L вращается вокруг главной оси. Последняя представляет собой прямую, параллельную генератрисе фигуры и проходящую через центры ее круглых оснований.

Не будем вдаваться в подробности математических вычислений по интегральной формуле, а приведем сразу конечное выражение:

Мы видим, что чем больше масса цилиндра и его радиус, тем больше момент инерции I₁. В то же время эта величина никак не зависит от высоты фигуры L, то есть момент инерции тонкого диска можно вычислить также по этой формуле.

Отметим, что если всю массу цилиндра собрать в одну материальную точку, находящуюся от оси вращения на расстоянии радиуса R, то для нее момент инерции окажется в два раза больше, чем для сплошного цилиндра.

Однородный цилиндр и перпендикулярная генератрисе ось

Теперь возьмем однородный цилиндр из примера выше и перевернем его на бок. Начнем вращать объект вокруг оси, которая проходит также через центр его масс, но уже перпендикулярна генератрисе (главной оси). Чему будет равен момент инерции цилиндра однородного в данном случае?

Как и в примере выше, здесь также ограничимся приведением соответствующего выражения. Оно будет иметь следующий вид:

Момент инерции I₂ имеет более сложную зависимость от параметров цилиндра, чем I₁, поскольку он определяется не только массой и радиусом, но и высотой фигуры. Заметим, что два слагаемых этой формулы представляют собой два крайних случая:

• Если цилиндр слишком маленькую высоту имеет, то мы получаем диск, который, вращаясь вокруг оси, проходящей через его диаметр, будет иметь момент 1/4*M*R 2 .
• Если радиус цилиндра стремится к нулю, то рассматриваемый объект превратится в стержень, и его момент инерции станет равным 1/12*M*L 2 .

Полый цилиндр

Выше мы рассмотрели, как рассчитывать момент инерции цилиндра вращающегося и однородного. Теперь предположим, что высота цилиндра и его масса остались теми же самыми, однако он стал полым, то есть, имеет два радиуса: внешний R₁ и внутренний R₂.

Применение все той же интегральной формулы позволяет получить выражение для момента инерции цилиндра полого, который вращается вокруг своей главной оси. Соответствующая формула выглядит так:

Это выражение позволяет сделать важный вывод: при одинаковых массах полого и сплошного цилиндров первый обладает большим моментом инерции. Связан этот факт с тем, что большая часть массы полого цилиндра находится дальше от оси вращения, а как видно из формул, от радиуса изучаемая величина растет квадратично.

Где используются знания величин I для цилиндров?

Пожалуй, основной областью применения изложенной выше теории является автомобильная промышленность. В частности, коленчатый вал автомобиля снабжен тяжелым сплошным маховиком, имеющим цилиндрическую форму. Необходим маховик для того, чтобы обеспечить максимальную плавность вращения коленчатого вала, что отражается на плавности автомобильного хода. Маховик гасит любые большие угловые ускорения как во время разгона транспортного средства, так при его торможении.

Из формулы выше для момента инерции I₁ понятно, что для увеличения этой величины выгоднее увеличить радиус, чем массу цилиндра (маховика). Так, удвоение массы приведет лишь к удвоению момента инерции. Однако если увеличить в два раза радиус, то I₁ возрастет аж в 4 раза, что обеспечит более эффективное использование маховика.

Пример решения задачи

Прежде чем решать задачу, скажем несколько слов о динамике вращения. Как и в динамике поступательного движения, в ней существует формула, подобная второму закону Ньютона. Эта формула называется уравнением моментов. Записывается она так:

Где L — момент импульса, M — момент внешних сил. Чаще всего это уравнение записывают в следующем виде:

Здесь α — ускорение угловое. Из этого выражения видна аналогия со вторым ньютоновским законом.

Теперь перейдем к решению задачи. Известно, что сила в 100 Н действует по касательной к цилиндрической поверхности перпендикулярно главной оси вращения сплошного цилиндра на расстоянии 20 см. Масса цилиндра равна 10 кг, а его радиус составляет 20 см. Необходимо определить угловую скорость ω цилиндра через 5 секунд после начала действия силы.

Угловая скорость рассчитывается по формуле для равноускоренного движения:

Выражая ускорение из уравнения моментов и подставляя его в выражение, получим:

Момент силы вычисляется так:

Где по условию задачи d = R. Подставляя это выражение и выражение для I сплошного цилиндра, получим конечную рабочую формулу:

Осталось сюда подставить все величины в единицах СИ и записать ответ: ω = 500 рад/с, что равно приблизительно 80 оборотам в секунду.

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Материальная точка массы m

На расстоянии r от точки, неподвижная

Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m

Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m

Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r₂ и внутренним радиусом r₁

Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m

Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс

Прямой тонкий стержень длины l и массы m

Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс

Тонкостенная сфера радиуса r и массы m

Ось проходит через центр сферы

Шар радиуса r и массы m

Ось проходит через центр шара

Конус радиуса r и массы m

Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину

Правильный треугольник со стороной a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс

Квадрат со стороной a и массой m

Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Сплошной однородный шар

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Момент инерции

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инерции во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.

Осевой момент инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

J a = ∑ i = 1 n m i r i 2 , {displaystyle J_{a}=sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},}

где:

• mi — масса i-й точки,
• ri — расстояние от i-й точки до оси.{3}dr=} = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h ( R 4 − R 1 4 ) = 1 2 π ρ h ( R 2 − R 1 2 ) ( R 2 + R 1 2 ) .{4}dh;}

  Интегрируя, получим

  J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ ( R H ) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ ( R H ) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = ( ρ ⋅ 1 3 π R 2 H ) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2 .{2}dh;} d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ ( R 2 − h 2 ) 2 d h = 1 2 π ρ ( R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4 ) d h .{4} ight)dh.}

  Момент инерции шара найдём интегрированием:

  J = ∫ − R R d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R ( R 4 − 2 R 2 h 2 + h 4 ) d h = = π ρ ( R 4 h − 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5 ) | 0 R = π ρ ( R 5 − 2 3 R 5 + 1 5 R 5 ) = 8 15 π ρ R 5 = = ( 4 3 π R 3 ρ ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2 .{5}.}

  Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

  J = d J 0 d R d R = d d R ( 8 15 π ρ R 5 ) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = ( ρ ⋅ 4 π R 2 d R ) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2 .{2}dr}{l}}.}

  Интегрируя, получим

  J = ∫ − l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2 .{2}.}

  Тонкий стержень (ось проходит через конец)

  Вывод формулы

  При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l⁄2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

  J = J 0 + m r 2 = J 0 + m ( l 2 ) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2 .{2}.}

  Безразмерные моменты инерции планет и спутников

  Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

  Центробежный момент инерции

  Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

  J x y = ∫ ( m ) x y d m = ∫ ( V ) x y ρ d V , {displaystyle J_{xy}=int limits _{(m)}xydm=int limits _{(V)}xy ho dV,} J x z = ∫ ( m ) x z d m = ∫ ( V ) x z ρ d V , {displaystyle J_{xz}=int limits _{(m)}xzdm=int limits _{(V)}xz ho dV,} J y z = ∫ ( m ) y z d m = ∫ ( V ) y z ρ d V , {displaystyle J_{yz}=int limits _{(m)}yzdm=int limits _{(V)}yz ho dV,}

  где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

  Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела.

  Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

  Геометрические моменты инерции

  Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

  J V a = ∫ ( V ) r 2 d V , {displaystyle J_{Va}=int limits _{(V)}r^{2}dV,}

  где, как и ранее r — расстояние от элемента dV до оси a.{4}} } ), соответственно единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см4.

  Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

  W = J S a r m a x . {displaystyle W={frac {J_{Sa}}{r_{max}}}.}

  Здесь rmax — максимальное расстояние от поверхности до оси.

  Момент инерции относительно плоскости

  Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости.

  Если через произвольную точку O {displaystyle O} провести координатные оси x , y , z {displaystyle x,y,z} , то моменты инерции относительно координатных плоскостей x O y {displaystyle xOy} , y O z {displaystyle yOz} и z O x {displaystyle zOx} будут выражаться формулами:

  J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2   , {displaystyle J_{xOy}=sum _{i=1}^{n}m_{i}z_{i}^{2} ,} J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2   , {displaystyle J_{yOz}=sum _{i=1}^{n}m_{i}x_{i}^{2} ,} J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2   .{2}dV,}

  где:

  • d m = ρ d V {displaystyle dm= ho dV} — масса малого элемента объёма тела d V {displaystyle dV} ,
  • ρ {displaystyle ho } — плотность,
  • r {displaystyle r} — расстояние от элемента d V {displaystyle dV} до точки O.

  Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей:

  J O = 1 2 ( J x + J y + J z ) , {displaystyle J_{O}={frac {1}{2}}left(J_{x}+J_{y}+J_{z} ight),} J O = J x O y + J y O z + J x O z . {displaystyle J_{O}=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.}

  Тензор инерции и эллипсоид инерции

  Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором s → = ‖ s x , s y , s z ‖ T , | s → | = 1 {displaystyle {vec {s}}=leftVert s_{x},s_{y},s_{z} ightVert ^{T},leftvert {vec {s}} ightvert =1} , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

  I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s → , {displaystyle I_{s}={vec {s}}^{T}cdot {hat {J}}cdot {vec {s}},qquad } (1)

  где J ^ {displaystyle {hat {J}}} — тензор инерции. = ‖ J x x − J x y − J x z − J y x J y y − J y z − J z x − J z y J z z ‖ , {displaystyle {hat {J}}=leftVert {egin{array}{ccc}J_{xx}&-J_{xy}&-J_{xz}-J_{yx}&J_{yy}&-J_{yz}-J_{zx}&-J_{zy}&J_{zz}end{array}} ightVert ,} J x y = J y x , J x z = J z x , J z y = J y z , {displaystyle J_{xy}=J_{yx},quad J_{xz}=J_{zx},quad J_{zy}=J_{yz},quad } J x x = ∫ ( m ) ( y 2 + z 2 ) d m , J y y = ∫ ( m ) ( x 2 + z 2 ) d m , J z z = ∫ ( m ) ( x 2 + y 2 ) d m . d = ‖ J X 0 0 0 J Y 0 0 0 J Z ‖ , {displaystyle {hat {J}}_{d}=leftVert {egin{array}{ccc}J_{X}&0&0 &J_{Y}&0 &0&J_{Z}end{array}} ightVert ,}

  где Q ^ {displaystyle {hat {Q}}} — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины J X , J Y , J Z {displaystyle J_{X},J_{Y},J_{Z}} — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:
  

  I s = J X ⋅ s x 2 + J Y ⋅ s y 2 + J Z ⋅ s z 2 , {displaystyle I_{s}=J_{X}cdot s_{x}^{2}+J_{Y}cdot s_{y}^{2}+J_{Z}cdot s_{z}^{2},}

  откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на I s {displaystyle I_{s}}
  

  ( s x I s ) 2 ⋅ J X + ( s y I s ) 2 ⋅ J Y + ( s z I s ) 2 ⋅ J Z = 1 {displaystyle left({s_{x} over {sqrt {I_{s}}}} ight)^{2}cdot J_{X}+left({s_{y} over {sqrt {I_{s}}}} ight)^{2}cdot J_{Y}+left({s_{z} over {sqrt {I_{s}}}} ight)^{2}cdot J_{Z}=1}

  и произведя замены:

  ξ = s x I s , η = s y I s , ζ = s z I s , {displaystyle xi ={s_{x} over {sqrt {I_{s}}}},eta ={s_{y} over {sqrt {I_{s}}}},zeta ={s_{z} over {sqrt {I_{s}}}},}

  получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ξ η ζ {displaystyle xi eta zeta } :

  ξ 2 ⋅ J X + η 2 ⋅ J Y + ζ 2 ⋅ J Z = 1.{2}cdot J_{Z}=1.}

  Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

  r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = ( s x I s ) 2 + ( s y I s ) 2 + ( s z I s ) 2 = 1 I s .{2}={1 over I_{s}}.}
  

  классической механики — Момент инерции диска

  классической механики — Момент инерции диска — Mathematics Stack Exchange

  Сеть обмена стеков

  Сеть Stack Exchange состоит из 178 сообществ вопросов и ответов, включая Stack Overflow, крупнейшее и пользующееся наибольшим доверием онлайн-сообщество, где разработчики могут учиться, делиться своими знаниями и строить свою карьеру.

  Посетить Stack Exchange
  2. 0
  3. +0
  6. Авторизоваться Зарегистрироваться

  Mathematics Stack Exchange — это сайт вопросов и ответов для людей, изучающих математику на любом уровне, и профессионалов в смежных областях.Регистрация займет всего минуту.

  Зарегистрируйтесь, чтобы присоединиться к этому сообществу

  Кто угодно может задать вопрос

  Кто угодно может ответить

  Лучшие ответы голосуются и поднимаются наверх

  Спросил 7 лет, 5 мес. Назад

  Просмотрено 32к раз

  $ \ begingroup $

  В моем учебнике механики есть вывод момента инерции диска с массой $ m $ и радиусом $ r $ вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоской поверхности, который выглядит примерно так:

  Масса на единицу площади равна $ \ dfrac {m} {\ pi r ^ 2} $. 2 \ pi} $.2 мес. $$ часть с волнистой рукой — это просто стандартный способ избежать интегрирования с помощью аппроксимации суммы с удобной волнистой суммой интеграла

  Создан 18 фев.

  Бла-Бла

  4,8441515 серебряных знаков1818 бронзовых знаков

  $ \ endgroup $ 1 $ \ begingroup $

  $ \ delta x $ должно быть маленьким.Член 2 $ незначителен по сравнению с линейным членом.

  Создан 18 фев.

  Эйлер .. 2 <\ delta x $.

  Создан 18 фев.

  Джоэл Рейес НочеJoel Reyes Noche

  6,17933 золотых знака3434 серебряных знака5959 бронзовых знаков

  $ \ endgroup $ 0 Mathematics Stack Exchange лучше всего работает с включенным JavaScript

  Ваша конфиденциальность

  Нажимая «Принять все файлы cookie», вы соглашаетесь с тем, что Stack Exchange может хранить файлы cookie на вашем устройстве и раскрывать информацию в соответствии с нашей Политикой в ​​отношении файлов cookie.

  Принимать все файлы cookie Настроить параметры

  Момент инерции диска — объяснение, вывод и часто задаваемые вопросы

  Сопротивление любого физического объекта любому изменению его скорости известно как инерция.Изменения скорости или направления движения объекта учитываются по инерции. Когда на них не действуют никакие силы, аспектом этого свойства является тенденция объектов продолжать движение по прямой с постоянной скоростью.

  Значение «Инерция» произошло от латинского слова iners, что означает праздный, вялый. Одним из основных проявлений массы является инерция, которая является количественным свойством физических систем. Инерция определена Исааком Ньютоном как его первый закон в его Philosophi Naturalis Principia Mathematica, в котором говорится:

  Врожденная сила материи или vis insita — это сила сопротивления, с помощью которой каждое тело, в той мере, в какой оно находится, стремится к сохранить свое нынешнее состояние, будь то движение равномерно или покой вперед по прямой.

  При постоянной скорости объект будет продолжать движение со своим текущим положением скорости до тех пор, пока какая-либо другая внешняя сила не заставит его скорость или направление измениться.

  На поверхности Земли инерция часто маскируется эффектами трения, силы тяжести и сопротивления воздуха, которые снижают скорость движущихся объектов (обычно до точки покоя). Философ Аристотель был введен в заблуждение, полагая, что объекты будут двигаться только до тех пор, пока к ним будет приложена сила.

  Одним из фундаментальных принципов классической физики является принцип инерции, который до сих пор используется для описания движения объектов и того, как на них действуют силы, действующие на них.

  Момент инерции

  Момент инерции иначе известен как момент массы инерции, величина, которая определяет крутящий момент, необходимый для желаемого углового ускорения вокруг оси вращения, представляет собой угловую массу или инерцию вращения твердого тела. аналогично тому, как масса определяет силу, необходимую для желаемого ускорения. Это зависит от выбранной оси и распределения массы тела, при этом для увеличения моментов требуется больший крутящий момент для изменения скорости вращения тела.

  В качестве экстенсивного (аддитивного) свойства: для точки массы момент инерции равен массе, умноженной на квадрат перпендикулярного расстояния к оси вращения. Сумма моментов инерции составляющих ее подсистем (взятых относительно одной оси) и есть момент инерции жесткой составной системы. Второй момент массы по отношению к расстоянию от оси — это простейшее определение.

  Момент инерции относительно оси, перпендикулярной плоскости, скалярное значение, имеет значение для тел, вынужденных вращаться в плоскости.Моменты для тел, которые могут свободно вращаться в трех измерениях, можно понять с помощью асимметричных матриц 3 × 3, с набором, можно сказать, взаимно перпендикулярных главных осей для этой матрицы диагональными, а крутящие моменты, которые сами по себе являются своего рода силой, находятся вокруг оси действуют независимо друг от друга.

  Момент инерции диска

  Момент инерции, который также обозначается буквой «i», измеряет степень, в которой сопротивление объекта представляет собой ускорение вращения вокруг определенной оси, и является вращательным аналогом массы.ML2 ([масса] × [длина] 2) — единица измерения моментов инерции масс. Второй момент площади не следует путать с тем, который используется при расчетах балок. инерция вращения, а иногда и угловая масса, часто также известна как момент инерции массы.

  В этой статье в основном рассматривается симметричное распределение массы, если не указано иное, с постоянной плотностью по всему объекту, а ось вращения берется через центр масс.

  Derivation

  (изображение скоро будет загружено)

  Масса распределена по всей плоскости x и y на тонком диске. Затем мы переходим к установлению соотношения для поверхностной плотности массы (σ), где она определяется или называется массой на единицу площади поверхности. Плотность поверхностной массы также будет постоянной, так как диск однороден;

  σ = m / A

  Или

  σA = m

  Итак,

  dm = σ (dA)

  Для упрощения области, где можно предположить, что область будет состоять из набора колец которые в основном тонкие по своей природе.{2} \]

  Физический маятник: определение момента инерции

  Введение в физический маятник

  Установите любое твердое тело так, чтобы оно могло качаться в вертикальной плоскости вокруг оси, проходящей через тело. Вы построили так называемый физический маятник . На видео ниже показан пример такого маятника. На этом видео твердое круглое тело качается вокруг оси очень близко к краю круга. Круг был вырезан из куска картона.PocketLab Voyager опирается на нижнюю часть подставки для колец, прямо под точкой поворота маятника. К нижней части круга прикреплен крошечный магнит. Вы заметите, что дважды в течение каждого периода PocketLab регистрирует всплеск напряженности магнитного поля, когда магнит находится ближе всего к PocketLab. Анализ этих всплесков за несколько периодов дает точное определение периода колебаний физического маятника.

  Физическая теория маятника

  На рисунке 1 показан объект неправильной формы, который вращается вокруг оси без трения, перпендикулярной плоскости фигуры в точке P.Объект смещен из положения равновесия на угол θ . Положение равновесия — это когда центр масс C объекта находится непосредственно под точкой поворота. Расстояние между точкой поворота и центром масс составляет d . С учетом задействованной динамики на рисунке показан вывод уравнения для периода T физического маятника. Решая это уравнение для момента инерции I , получается уравнение в прямоугольнике внизу рисунка.Ускорение свободного падения g принято как известная величина, а T , M и d все измеримы. Таким образом, это уравнение позволяет нам определить момент инерции любого объекта через любую конкретную точку поворота на этом объекте! Обратите внимание на предположение, что θ предполагается малым. Если угол поворота поддерживается не более чем примерно 30⁰, тогда θ и sin θ будут отличаться не более чем примерно на 4%.Расчет I немного утомителен, когда его нужно повторять много раз. Поэтому вам может быть удобно создать электронную таблицу для расчета I после ввода значений для T, g, M, и d.

  Рисунок 1 — Теория физического маятника

  Роль PocketLab в этом уроке

  Существует явное преимущество использования PocketLab, как описано выше в этом уроке. PocketLab позволяет рассчитать период физического маятника намного точнее, чем это возможно с помощью секундомера.Использование PocketLab для этой цели устраняет ошибки, связанные с временем реакции при запуске и остановке секундомера. PocketLab также следует установить на максимально возможную скорость передачи данных (50 точек в секунду). Успех этого урока зависит от точного измерения периода T физического маятника. Также рекомендуется измерять массу маятника с помощью весов с точностью до 0,1 г или даже 0,01, если это возможно.

  Физическая установка маятника

  Для ясности на рисунке 2 показан вид устройства под углом.Физический маятник, картонный прямоугольник, подвешен к точке поворота очень близко к короткому краю прямоугольника. Ось представляет собой тонкий металлический стержень, прикрепленный к кольцевой стойке. Также используется деревянный стержень для дюбеля (или что-то подобное), поскольку винт зажима не завинчивается достаточно сильно, чтобы зажать металлический стержень в зажиме. Учащиеся должны носить защитные очки, чтобы не ткнуть их в глаз тонким металлическим стержнем. PocketLab опирается на нижнюю часть подставки для колец.К центру короткого нижнего края прямоугольника приклеен крошечный магнит. Магнитометр PocketLab определяет магнитное поле каждый раз, когда магнит проходит мимо PocketLab.

  Рисунок 2 — Угловой вид устройства

  Определение момента инерции

  Момент инерции объекта, вращающегося вокруг определенной оси, в некоторой степени аналогичен обычной массе объекта. Момент инерции можно определить по уравнению

  Момент инерции — это сумма масс частиц, составляющих объект, умноженная на их соответствующие расстояния, возведенные в квадрат от оси вращения .Для непрерывных твердых объектов уравнение будет аналогичным, но с использованием интегралов вместо суммы. Следует отметить, что по определению момент инерции тела зависит не только от конкретной оси, на которой оно вращается, но также от его формы и способа распределения его массы. Вычисление этих интегралов может быть очень утомительным. Поэтому в этом уроке мы будем использовать таблицу моментов инерции, чтобы мы могли сосредоточиться на физике и не беспокоиться о вычислении того, что часто является комплексными интегралами.

  Цели урока по физическому маятнику

  1. В этом уроке вы определите момент инерции для нескольких распространенных геометрических фигур из картона относительно определенной точки поворота в каждом объекте. Объекты будут физическими маятниками, которые вращаются вокруг указанной оси, перпендикулярной плоскости формы. PocketLab будет использоваться для измерения периода каждого маятника.
  2. Затем вы сравните свои экспериментальные моменты инерции с теоретическими моментами инерции, представленными в статье Википедии «Список моментов инерции».Сравнения будут выражены как процентная разница между вашим экспериментальным результатом и теоретическим моментом инерции, основанная на доле теоретического момента инерции. Разница в процентах будет отрицательной, если ваш экспериментальный результат меньше теоретического, и положительным, если экспериментальный результат больше теоретического. Формы будут исследованы в порядке сложности задействованных физико-математических наук. Эти формы, в том порядке, в котором они исследуются, следующие:
     • Прямоугольник
     • Круг
     • Квадрат
     • Равносторонний треугольник
  3. Наконец, вы определите момент инерции относительно определенной оси обычного прямоугольника, неправильной изогнутой формы и объекта с «отрицательным пространством».Никаких теоретических формул для этих фигур в таблице Википедии не представлено. Тем не менее, вы все еще можете экспериментально определить эти моменты инерции . Основываясь на процентах ошибок, которые вы получили от известных форм в задаче 2, насколько вы уверены в моментах инерции общего прямоугольника, неправильной изогнутой формы и объекта с отрицательным пространством?

  Исследование прямоугольника

  Вырежьте из картона прямоугольник, который по размеру и форме аналогичен изображенному на Рисунке 2.Экспериментально определите его момент инерции относительно оси, показанной на рисунке 2.

  Прокрутите вниз список моментов инерции Википедии, пока не увидите запись, показанную на рисунке 3. Эта запись соответствует прямоугольнику, который вы в настоящее время исследуете. Используя формулу, показанную на рисунке 3, определите теоретический момент инерции вашего прямоугольника относительно оси вращения x . Вычислите разницу в процентах и ​​запишите свои результаты в таблицу данных.

  Рисунок 3 — Прямоугольная пластина (из Списка моментов инерции Википедии)

  Circle Investigation

  Вырежьте из картона круг, который по размеру похож на тот, что показан во встроенном видео.Экспериментально определите его момент инерции относительно оси, показанной на видео.

  Прокрутите вниз Список моментов инерции Википедии, пока не увидите запись, показанную на рисунке 4. Вас интересует момент инерции z . Это дает вам момент инерции круга, который на вращается вокруг своего центра масс на . Но ваш круглый картон на вращается вокруг точки на краю круга! Как упоминалось ранее, момент инерции зависит от конкретной оси вращения .Итак … как мы можем определить момент инерции, когда круг вращается вокруг точки около своего края?

  Рисунок 4 — Круглая пластина (из Списка моментов инерции Википедии)

  Как оказалось, существует простая и чрезвычайно полезная теорема, известная как Теорема о параллельных осях , которая выражает взаимосвязь между моментом инерции. I объекта относительно любой оси и его момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс.Если Ic — это момент инерции относительно центра масс, m — масса объекта, а w — расстояние между двумя осями, эта теорема говорит нам, что момент инерции I определяется выражением уравнение

  Используйте теорему о параллельной оси и запись z в таблице Википедии, чтобы определить уравнение для момента инерции относительно точки около края круглой пластины. Полученное уравнение должно соответствовать записи в Википедии, показанной на рисунке 5.

  Рисунок 5 — Равномерный диск (из Списка моментов инерции Википедии)

  Рассчитайте теоретическое значение для этого момента инерции и сравните его со значением, полученным экспериментально. Вычислите разницу в процентах и ​​запишите свои результаты в таблицу данных.

  Square Investigation

  Вырежьте из картона квадрат, размер которого аналогичен показанному на рисунке 6. Экспериментально определите его момент инерции относительно оси, показанной на этом рисунке, т.е.е., ось, которая очень близка к одной из вершин квадрата.

  Рисунок 6 — Квадратный физический маятник

  Прокрутите список моментов инерции Википедии вниз, пока не увидите запись, показанную на рисунке 7.

  • Какое значение имеет значение n в уравнении, показанном для вашего квадрата?
  • Получите формулу для момента инерции относительно центра масс (центра масс) в единицах м и R ?
  • Перепишите уравнение в виде м и a , где a — длина каждой стороны квадрата.
  • Используйте теорему о параллельных осях, чтобы определить уравнение для теоретического момента инерции относительно вершины квадрата в виде м и a .
  • Рассчитайте теоретическое значение этого момента инерции и сравните его со значением, полученным экспериментально. Вычислите разницу в процентах и ​​запишите свои результаты в таблицу данных.

  Рисунок 7 — Правильный многоугольник (из Списка моментов инерции Википедии)

  Исследование равностороннего треугольника

  Вырежьте из картона равносторонний треугольник, размер которого аналогичен изображенному на рисунке 8.Экспериментально определите его момент инерции относительно оси, показанной на этом рисунке, то есть оси, которая очень близка к одной из вершин равностороннего треугольника.

  Рисунок 8 — Равносторонний треугольник Физический маятник

  Теоретическое уравнение для момента инерции равностороннего треугольника относительно его центра масс следует из рисунка 7 для правильного многоугольника.

  • Какое значение имеет значение n в уравнении, показанном для вашего равностороннего треугольника?
  • Получите формулу для момента инерции относительно центра масс в единицах м и R ?
  • Перепишите уравнение в виде м и a , где a — длина каждой стороны равностороннего треугольника.
  • Используйте теорему о параллельной оси, чтобы определить уравнение для теоретического момента инерции относительно вершины равностороннего треугольника в виде м и a .
  • Рассчитайте теоретическое значение этого момента инерции и сравните его со значением, полученным экспериментально. Вычислите разницу в процентах и ​​запишите свои результаты в таблицу данных.

  Общее расследование треугольника

  В таблице моментов инерции Википедии нет записей для общего треугольника.Следовательно, вы будете определять момент инерции такого треугольника только экспериментально. Вырежьте из картона общий треугольник, который по форме и размеру похож на показанный на рисунке 9. Точку поворота следует выбрать около одной из трех вершин.

  Рисунок 9 — Общий треугольник

  Как обычно, чтобы использовать уравнение для момента инерции, показанное на рисунке 1, вам необходимо знать расстояние d между точкой поворота и центром масс. Это означает, что вам нужно знать расположение центра масс.Чтобы найти центр масс, вам нужно только вспомнить основную теорему из геометрии. Эта теорема утверждает, что три медианы треугольника пересекаются в его центроиде (центре масс). Каждая медиана проводится от вершины к центру противоположной стороны, как показано на рисунке 9. Вас не должно удивлять, что, когда треугольник подвешен к одной из его вершин, медиана лежит вертикально вверх и вниз. Это показано на Рисунке 9.

  Запишите экспериментальный момент инерции в таблицу данных.

  Исследование неправильной криволинейной формы

  Вырежьте из картона изогнутую форму неправильной формы, которая по размеру и форме аналогична изображенной на рисунке 10. Определите момент этой изогнутой формы. Он вращается вокруг внутренней оси, перпендикулярной форме. Запишите экспериментальный момент инерции в таблице данных.

  Рисунок 10 — Неправильная кривая форма

  Объект с исследованием «отрицательного пространства»

  Вам может быть интересно, что подразумевается под термином отрицательное пространство ? Согласно определению художника, негативное пространство можно рассматривать как пространство между предметом и вокруг него.Вырежьте из картона предмет, который по размеру и форме аналогичен изображенному на рисунке 11. Определите момент инерции этой изогнутой формы. Он вращается вокруг оси около одной из вершин фигуры. Запишите экспериментальный момент инерции в таблице данных.

  Рисунок 11 — Объект с «отрицательным пространством»

  На основе процента ошибок, полученных вами для известных форм, насколько вы уверены в моментах инерции обычного прямоугольника, неправильной изогнутой формы и объекта с отрицательным пространством?

  Таблица данных

  Момент инерции

  Момент инерции
  Далее: Крутящий момент Вверх: Вращательное движение Предыдущее: Центр масс

  
  Момент инерции Рассмотрим расширенный объект, состоящий из элементов.Пусть th элемент обладают массой, вектором положения и скоростью. В полная кинетическая энергия объекта записывается
  

  (334)

  
  Предположим, что движение объекта состоит просто из жесткого вращения на угловой скорость . Как следует из разд. 8.4, что
  

  (335)

  
  Напишем
  

  (336)

  
  где — единичный вектор, выровненный вдоль оси вращения (которая предполагается, что проходит через начало нашей системы координат).Это следует из приведенные выше уравнения, что кинетическая энергия вращения объекта принимает форма
  

  (337)

  
  или
  

  (338)

  
  Здесь величина называется моментом инерции объекта, и написано
  

  (339)

  
  куда — расстояние по перпендикуляру от th элемента до оси вращение.Обратите внимание, что для поступательного движения мы обычно пишем
  

  (340)

  
  где представляет собой массу и представляет собой скорость. Сравнение Уравнения. (338) и (340) предполагают, что момент инерции играет та же роль во вращательном движении, что и масса в поступательном движении.

  Для непрерывного объекта аргументы, аналогичные тем, которые используются в разд. 8,5 урожай
  

  (341)

  
  где — массовая плотность объекта, является расстояние по перпендикуляру от оси вращения, и является элементом объема.Наконец, для объекта постоянной плотности приведенное выше выражение сводится к
  

  (342)

  
  Здесь — полная масса объекта. Отметим, что интегралы берутся по всей объем объекта.

  Момент инерции однородного объекта зависит не только от его размера и формы. объект, но на месте оси, вокруг которой объект вращается. В частности, один и тот же объект может иметь разные моменты инерции при вращении вокруг разные оси.

  К сожалению, оценка момента инерции данного тела относительно данной оси неизменно вовлекает выполнение неприятного интеграла объема. На самом деле есть только один тривиальный момент инерции расчета, а именно момент инерции тонкого круговое кольцо вокруг оси симметрии, проходящей перпендикулярно в плоскость кольца. См. Рис. 75. Предположим, что это масса кольца, а это его радиус. Каждый элемент кольца разделяет общее перпендикулярное расстояние от ось вращения — i.е. , г. Следовательно, уравнение. (342) сводится к
  

  (343)

  
  

  Рисунок 75: Момент инерции кольца относительно перпендикулярной оси симметрии.

  В общем, моменты инерции довольно утомительно вычислять. К счастью, есть две мощные теоремы, которые позволяют нам просто связать момент инерции данного тела относительно данной оси до момента инерции того же тела относительно другой оси.Первый из Эти теоремы называются теоремой о перпендикулярной оси и применимы только к однородный ламинарный объектов. Рассмотрим ламинарный объект (, то есть , тонкий плоский объект). однородной плотности. Предположим, для простоты, что объект лежит в плоскости -. Момент инерции объекта относительно -ось задается
  

  (344)

  
  где мы подавили тривиальное -интегрирование, а интеграл берется по протяженности объекта в плоскости.Кстати, Вышеприведенное выражение следует из наблюдения, что когда ось вращения совпадает с осью. Точно так же моменты инерция объекта относительно осей — и — принимает вид
  
  соответственно. Здесь мы использовали тот факт, что внутри объекта. Отсюда следует при осмотре из предыдущих трех уравнений, которые
  

  (347)

  
  См. Рис.76.

  Рисунок 76: Теорема о перпендикулярной оси.

  Воспользуемся теоремой о перпендикулярной оси, чтобы найти момент инерции тонкого кольца относительно ось симметрии, лежащая в плоскости кольца. Принятие системы координат, показанной на Рис. 77, из симметрии ясно, что. Теперь мы это уже знаем, где — масса кольца, — его радиус. Следовательно, перпендикулярная ось Теорема говорит нам, что
  

  (348)

  
  или
  

  (349)

  
  Конечно, потому что, когда кольцо вращается вокруг оси -оси, его элементы в среднем составляют дальше от оси вращения, чем когда он вращается вокруг оси.

  Рисунок 77: Момент инерции кольца относительно компланарной оси симметрии.

  Вторая полезная теорема относительно моментов инерции называется параллелью . Теорема оси . Теорема о параллельных осях, которая носит довольно общий характер, утверждает, что если момент инерции данного тела относительно оси, проходящей через центр масс этого тела, то момент инерции того же тела относительно второй оси который параллелен первому
  

  (350)

  
  где — масса тела, а — перпендикулярное расстояние между две оси.

  Чтобы доказать теорему о параллельности осей, выберем начало координат нашего систему координат, чтобы она совпадала с центром масс рассматриваемого тела. Кроме того, давайте сориентируем оси нашей системы координат так, чтобы ось совпадает с первой осью вращения, а вторая ось ось кусочков — плоскость. Из уравнения. (328), тот факт, что центр масс расположен в начале координат означает, что
  

  (351)

  
  где интегралы берутся по объему тела.Из уравнения. (342), выражение для первого момента инерции:
  

  (352)

  
  поскольку — это перпендикулярное расстояние общей точки от оси -оси. Точно так же выражение для второго момента инерции принимает форма
  

  (353)

  
  Приведенное выше уравнение можно расширить, чтобы получить
  
  Как следует из Ур. (351) и (352) следует, что
  

  (355)

  
  что доказывает теорему.

  Давайте воспользуемся теоремой о параллельных осях, чтобы вычислить момент инерции тонкого кольцо вокруг оси, которая проходит перпендикулярно плоскости кольца и проходит по окружности кольца. Мы знаем, что момент инерции кольца массы и радиус вокруг оси, которая проходит перпендикулярно плоскости кольца и проходит через центр кольца — который совпадает с центром массы кольца — есть. Наша новая ось параллельна этой первоначальной оси, но смещена боком на перпендикулярное расстояние.Следовательно, параллель теорема оси говорит нам, что
  

  (356)

  
  См. Рис.78.

  Рисунок 78: Применение теоремы о параллельных осях.

  В качестве иллюстрации прямого применения формулы (342) позвольте нам вычислить момент инерции тонкого круглого диска массы и радиуса, вокруг оси, которая проходит через центр диска и проходит перпендикулярно к плоскость диска.Выберем нашу систему координат так, чтобы диск лежит в плоскости — с центром в начале координат. Ось вращения, следовательно, совпадает с осью. Следовательно, формула (342) сводится к
  

  (357)

  
  где интегралы берутся по площади диска, а избыточное -интегрирование был подавлен. Разобьем диск на тонкие кольца. Рассмотрим кольцо радиуса и радиальная толщина.Площадь этого кольца просто . Следовательно, мы можем заменить в приведенных выше интегралах на , чтобы дать
  

  (358)

  
  Вышеприведенное выражение дает
  

  (359)

  
  

  Расчеты, аналогичные приведенным выше, дают следующие стандартные результаты:

  ---

  
  Далее: Крутящий момент Вверх: Вращательное движение Предыдущее: Центр масс

  Ричард Фицпатрик 2006-02-02

  Момент инерции — вывод для твердой сферы

  Введение

  Здравствуйте и добро пожаловать в третий пост о выводе уравнений момента инерции для различных форм.Если вы еще не читали мою публикацию о вычислении момента инерции для тонкого стержня или цилиндра, то, пожалуйста, прочтите. Этот пост будет основан на информации, которую я объяснил в первых двух постах. Это относительно сложный вывод, поэтому не бойтесь, если вам понадобится время, чтобы понять его.

  Момент образования инерции — твердая сфера

  Теперь я выведу соответствующее уравнение для момента инерции однородной твердой сферы.Я определил, что сплошная сфера имеет радиус R и массу M . Ось вращения проходит через центр сферы. Я включил изображение этого ниже:

  Наш общий интеграл для момента инерции остается таким же, как и в предыдущих выводах. Я добавил изображение ниже, чтобы напомнить себе:

  Теперь рассмотрим момент инерции сферы относительно оси z и центра масс, который обозначен как CM .2 в наш интеграл, чтобы вычислить момент относительно оси z относительно центра масс, CM , как я включил в изображение ниже:

  Теперь мы можем применить тот же принцип для вычисления момента инерции относительно оси x и оси y соответственно. Ниже я включил следующие интегралы:

  Вы можете спросить, почему все это имеет отношение к вычислению момента инерции твердой сферы. По симметрии сферы должно быть очевидно, что все три интеграла и, следовательно, моменты равны и, следовательно, соответственно дадут нам общий момент инерции, который мы ищем.2 , небольшой сферы толщиной др и массой дм . Поэтому мы можем изменить нашу начальную диаграмму для сферы, чтобы включить это — я включил это на изображение ниже:

  Как и в любом другом выводе, теперь мы должны создать выражение для массы сферы, дм , через dr , так как это позволит нам вычислить наш интеграл. Мы можем выразить дм как равную объемной плотности сферы, ρ , умноженной на объем тонкой маленькой сферы, который просто равен dV .2 , которая представляет собой площадь поверхности бесконечно тонкой сферы, умноженную на ее толщину, dr . Таким образом, мы можем подставить эти соответствующие выражения в наш интеграл. Я включил изображение этого ниже:

  Это позволяет нам использовать алгебраические манипуляции для очистки интеграла, как я включил ниже:

  Отсюда мы можем установить пределы нашего интеграла как 0 и R и можем вычислить наш интеграл. Я включил это на изображение ниже:

  Это дает нам очень точный окончательный ответ для момента инерции твердой сферы с осью вращения, проходящей через ее центр масс.Я включил изображение этого ниже:

  Вот и все для вывода! Я мог бы продолжить вычисление моментов инерции для разных форм, но я планирую создать новую «серию». В рамках моей версии A-Level Physics я вывел множество уравнений, которые используются в спецификации, поскольку это позволяет мне лучше понять фундаментальную физику, лежащую в основе каждого уравнения. Таким образом, я планирую загрузить некоторые из наиболее «интересных» производных, чтобы поделиться с вами этими знаниями.Не стесняйтесь комментировать, какое происхождение вы хотели бы видеть в частности. Спасибо, что прочитали этот пост, и следите за обновлениями!

  Формула углового момента (момент инерции и угловая скорость)

  Угловой момент относится к тому, на сколько вращается объект. У объекта есть постоянный угловой момент, когда он не ускоряется и не замедляется. Угловой момент объекта зависит от распределения массы объекта. Момент инерции — это величина, описывающая распределение.Его можно найти, интегрировав массу всех частей объекта и их расстояния до центра вращения, но также можно найти моменты инерции для общих форм. Угловой момент является произведением момента инерции и угловой скорости вокруг оси. Единицы углового момента равны кг ∙ м ² / с.

  угловой момент = (момент инерции) (угловая скорость)

  L = Iω

  L = угловой момент ( кг ∙ м ² / с )

  I = момент инерции ( кг ∙ м ² )

  ω = угловая скорость ( радиан / с )

  Формула углового момента Вопросы:

  1) DVD-диск имеет радиус 0.0600 м , а массой 0,0200 кг . Момент инерции твердого диска равен, где M, — масса диска, а R — радиус. Когда DVD на определенной машине начинает воспроизводиться, он имеет угловую скорость 160,0 радиан / с . Каков угловой момент этого диска?

  Ответ: Угловой момент можно найти по формуле, а момент инерции твердого диска (без учета отверстия в середине). Угловой момент:

  L = Iω

  L = 0.00576 кг ∙ м ² / с

  Угловой момент этого DVD диска составляет 0,00576 кг ∙ м ² / с .

  2) Баскетбольный мяч, вращающийся на пальце спортсмена, имеет угловую скорость ω = 120,0 рад / с . Момент инерции полой сферы равен, где M — масса, а R — радиус. Если баскетбольный мяч весит 0,6000 кг и имеет радиус 0,1200 м , каков угловой момент баскетбольного мяча?

  Ответ: Момент импульса баскетбольного мяча можно найти, используя момент инерции полой сферы и формулу.Угловой момент:

  L = Iω

  L = 0,6912 кг ∙ м ² / с

  Момент импульса вращающегося баскетбольного мяча составляет 0,6912 кг ∙ м ² / с.

  Момент инерции: определение, формулы и уравнение

  формулы момента инерции

  В этом посте вы узнаете список формул момента инерции для различных форм с примерами.
  Состав:

  • Моменты инерции Определение
  • Формула момента инерции
  • Уравнение
  • Блок
  • Намного больше

  Продолжайте читать…

  Что такое момент инерции?

  Момент инерции ( I ) определяется как сумма произведений массы каждой частицы тела и квадрата ее перпендикулярного расстояния от оси.Это также известно как инерция вращения. Момент инерции отражает распределение массы тела или системы вращающихся частиц относительно оси вращения. Момент инерции зависит только от геометрии тела и положения оси вращения, но не зависит от сил, задействованных в движении.

  Момент инерции отражает распределение массы тела или системы вращающихся частиц относительно оси вращения. Момент инерции зависит только от геометрии тела и положения оси вращения, но не зависит от сил, задействованных в движении.
  Момент инерции играет роль, аналогичную роли инерционной массы в случае прямолинейного и равномерного движения. Это скалярное значение продольного момента количества движения твердого тела.

  I = mr²

  Для твердого тела, движущегося вокруг фиксированной оси, законы движения имеют ту же форму, что и законы прямолинейного движения, с моментом инерции, заменяющим массу, угловым, заменяющим линейную скорость, угловым моментом, заменяющим линейный момент, и т. Д. Следовательно, кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг фиксированной оси с угловой скоростью ω, составляет ½ω², что соответствует ½mv² для кинетической энергии тела массы m, перемещаемой со скоростью v.См. Также правило Рауса; Теорема о параллельных осях.

  Уравнение момента инерции

  Рассмотрим массу m, прикрепленную к концу безмассового стержня. Предположим, что подшипник в точке поворота O не имеет трения. Пусть система находится в горизонтальной плоскости. Сила F действует на массу, перпендикулярную стержню, и, следовательно, это ускоряет массу в соответствии с:

  F = ma

  При этом сила заставит массу вращаться вокруг оси O. Поскольку тангенциальное ускорение связано с угловым ускорением
  α уравнением.

  угловое ускорение = rα

  Поскольку вращающий эффект создается крутящим моментом τ, поэтому было бы лучше записать уравнение для вращения в терминах крутящего момента. Это можно сделать, умножив обе части приведенного выше уравнения на r. Таким образом,

  rF = τ = крутящий момент = mr²α

  Какой вращательный аналог второго закона движения Ньютона?
  Здесь F заменяется на τ, a на α и m на mr². Величина mr² известна как момент инерции и обозначается I.

  Важность момента инерции

  Момент инерции играет ту же роль при угловом движении, что и масса при линейном движении. Можно отметить, что момент инерции зависит не только от массы m, но и от r².

  Момент инерции Формулы

  Вот список формул момента инерции различной формы:

  • Момент инерции обруча

  момент инерции гильзы цилиндра

  • Момент инерции диска

  Момент инерции диска

  • Момент инерции твердого шара

  момент инерции сплошного цилиндра

  • Момент инерции полого цилиндра

  момент инерции полого цилиндра

  • Момент инерции тонкого стержня

  момент инерции длинного тонкого стержня

  • Момент инерции прямоугольника

  момент инерции прямоугольника

  • Момент инерции длинного тонкого стержня

  момент инерции тонкого стержня

  • Момент инерции сферической оболочки

  Момент инерции тонкой сферической оболочки

  Момент инерции (видео)