Site Loader

Содержание

Момент инерции цилиндра сплошного и полого относительно разных осей. Пример задачи :: SYL.ru

Как известно, масса в динамике поступательного движения играет важную роль, определяя инерционные свойства движущихся тел. В динамике вращения вместо массы пользуются моментом инерции. Рассмотрим в статье, что это за величина и как определяется момент инерции цилиндра относительно оси.

Что такое момент инерции?

Эту величину обычно обозначают буквой I. Для материальной точки математическая формула момента инерции записывается так:

I = m*r2.

Где r — расстояние до оси вращения от точки массой m. Из формулы понятно, что единицей измерения величины являются килограммы на квадратный метр (кг*м2).

Если тело имеет сложную форму и его объемная плотность является переменной, тогда для определения I следует использовать такое интегральное выражение:

I = ∫m(r2*dm) = ∫V(r2*ρ*dV).

Где dm — это элементарная масса, находящаяся от оси вращения на расстоянии r.

Таким образом, момент инерции определяет распределение материи в теле сложной формы относительно конкретной оси вращения системы.

Сплошной цилиндр и главная ось

Момент инерции сплошного цилиндра может быть вычислен вокруг абсолютно любой оси с использованием интегрального выражения, записанного в предыдущем пункте. Здесь рассмотрим ситуацию, когда цилиндр массой M, радиусом R и высотой L вращается вокруг главной оси. Последняя представляет собой прямую, параллельную генератрисе фигуры и проходящую через центры ее круглых оснований.

Не будем вдаваться в подробности математических вычислений по интегральной формуле, а приведем сразу конечное выражение:

I1 = 1/2*M*R2.

Мы видим, что чем больше масса цилиндра и его радиус, тем больше момент инерции I1. В то же время эта величина никак не зависит от высоты фигуры L, то есть момент инерции тонкого диска можно вычислить также по этой формуле.

Отметим, что если всю массу цилиндра собрать в одну материальную точку, находящуюся от оси вращения на расстоянии радиуса R, то для нее момент инерции окажется в два раза больше, чем для сплошного цилиндра.

Однородный цилиндр и перпендикулярная генератрисе ось

Теперь возьмем однородный цилиндр из примера выше и перевернем его на бок. Начнем вращать объект вокруг оси, которая проходит также через центр его масс, но уже перпендикулярна генератрисе (главной оси). Чему будет равен момент инерции цилиндра однородного в данном случае?

Как и в примере выше, здесь также ограничимся приведением соответствующего выражения. Оно будет иметь следующий вид:

I2 = 1/4*M*R2 + 1/12*M*L2.

Момент инерции I2 имеет более сложную зависимость от параметров цилиндра, чем I1, поскольку он определяется не только массой и радиусом, но и высотой фигуры. Заметим, что два слагаемых этой формулы представляют собой два крайних случая:

  • Если цилиндр слишком маленькую высоту имеет, то мы получаем диск, который, вращаясь вокруг оси, проходящей через его диаметр, будет иметь момент 1/4*M*R2.
  • Если радиус цилиндра стремится к нулю, то рассматриваемый объект превратится в стержень, и его момент инерции станет равным 1/12*M*L2.

Полый цилиндр

Выше мы рассмотрели, как рассчитывать момент инерции цилиндра вращающегося и однородного. Теперь предположим, что высота цилиндра и его масса остались теми же самыми, однако он стал полым, то есть, имеет два радиуса: внешний R1 и внутренний R2.

Применение все той же интегральной формулы позволяет получить выражение для момента инерции цилиндра полого, который вращается вокруг своей главной оси. Соответствующая формула выглядит так:

I3 = 1/2*M*(R12+R22).

Это выражение позволяет сделать важный вывод: при одинаковых массах полого и сплошного цилиндров первый обладает большим моментом инерции. Связан этот факт с тем, что большая часть массы полого цилиндра находится дальше от оси вращения, а как видно из формул, от радиуса изучаемая величина растет квадратично.

Где используются знания величин I для цилиндров?

Пожалуй, основной областью применения изложенной выше теории является автомобильная промышленность. В частности, коленчатый вал автомобиля снабжен тяжелым сплошным маховиком, имеющим цилиндрическую форму. Необходим маховик для того, чтобы обеспечить максимальную плавность вращения коленчатого вала, что отражается на плавности автомобильного хода. Маховик гасит любые большие угловые ускорения как во время разгона транспортного средства, так при его торможении.

Из формулы выше для момента инерции I1 понятно, что для увеличения этой величины выгоднее увеличить радиус, чем массу цилиндра (маховика). Так, удвоение массы приведет лишь к удвоению момента инерции. Однако если увеличить в два раза радиус, то I1 возрастет аж в 4 раза, что обеспечит более эффективное использование маховика.

Пример решения задачи

Прежде чем решать задачу, скажем несколько слов о динамике вращения. Как и в динамике поступательного движения, в ней существует формула, подобная второму закону Ньютона. Эта формула называется уравнением моментов. Записывается она так:

dL/dt = M.

Где L — момент импульса, M — момент внешних сил. Чаще всего это уравнение записывают в следующем виде:

M = I*α.

Здесь α — ускорение угловое. Из этого выражения видна аналогия со вторым ньютоновским законом.

Теперь перейдем к решению задачи. Известно, что сила в 100 Н действует по касательной к цилиндрической поверхности перпендикулярно главной оси вращения сплошного цилиндра на расстоянии 20 см. Масса цилиндра равна 10 кг, а его радиус составляет 20 см. Необходимо определить угловую скорость ω цилиндра через 5 секунд после начала действия силы.

Угловая скорость рассчитывается по формуле для равноускоренного движения:

ω = α*t.

Выражая ускорение из уравнения моментов и подставляя его в выражение, получим:

ω = M*t/I.

Момент силы вычисляется так:

M = F*d.

Где по условию задачи d = R. Подставляя это выражение и выражение для I сплошного цилиндра, получим конечную рабочую формулу:

ω = 2*F*t/(m*R).

Осталось сюда подставить все величины в единицах СИ и записать ответ: ω = 500 рад/с, что равно приблизительно 80 оборотам в секунду.

Момент инерции цилиндра сплошного и полого: разное положение осей вращения

Знание момента инерции тела позволяет воспользоваться законом сохранения момента импульса либо выражением для описания кругового движения с угловым ускорением. В данной статье рассмотрим, как находить для цилиндра момент инерции при различном положении осей вращения.

Момент инерции: математическое определение

Осевой момент инерции вводится в физику благодаря изучению законов вращательного движения тел. Для точки материальной с массой m, вращающейся на расстоянии r от оси, момент инерции будет равен:

I = m*r2

В общем же случае для тела, которое имеет произвольное распределение вещества в пространстве (любую геометрическую форму), величину I можно вычислить так:

I = ∫r2dm

По сути, это выражение является обобщением предыдущего. В нем производится суммирование (интегрирование) моментов от каждой элементарной частицы dm, дистанция до оси от которой равна r.

Если говорить о физическом значении рассматриваемой величины I, то она показывает, насколько «сильно» система сопротивляется воздействию внешнего момента силы, который пытается ее раскрутить или, наоборот, остановить.

Момент инерции цилиндра относительно оси, его основаниям перпендикулярной

Из приведенной выше формулы можно понять, что величина I является характеристикой всей вращающейся системы, то есть она зависит как от формы тела и распределения в нем массы, так и от относительного положения оси.

В данном пункте рассмотрим простой случай: определить необходимо момент инерции для сплошного цилиндра, ось вращения которого перпендикулярна его основаниям и проходит через гравитационный центр фигуры.

Для решения проблемы применим интегральную формулу для I. В процессе операции интегрирования мысленно разобьем цилиндр на тонкие колечки толщиной dr. Каждое колечко будет иметь объем: dV = 2*pi*r*dr*h, здесь h — высота фигуры. Учитывая, что dm = ρ*dV, где ρ — плотность цилиндра, получаем:

I = ∫r2dm = ρ*∫r2dV = 2*pi*ρ*h*∫r3dr

Этот интеграл необходимо вычислить для пределов от 0 до R, где R — радиус фигуры. Тогда получим:

I = 2*pi*ρ*h*∫R0r3dr = 2*pi*ρ*h/ (r4)∣R0 = pi*ρ*h*R4/2

Воспользовавшись формулой для массы цилиндра через его объем и плотность, приходим к конечному выражению:

I = m*R2/2, где m = pi*ρ*h*R2

Мы получили формулу инерции момента цилиндра однородного. Она показывает, что величина I для этой фигуры в 2 раза меньше, чем для материальной точки аналогичной массы, которая вращается на расстоянии радиуса цилиндра от оси.

Момент инерции полого цилиндра

Теперь оставим ось на том же месте и найдем значение I для цилиндра с пустотой внутри (втулка, труба). Такую фигуру описывают двумя радиусами: внешним R1 и внутренним R2. В этом случае для интегрирования применяется абсолютно тот же подход, что и для сплошного цилиндра, только пределы теперь изменяются от R2 до R1. Имеем:

I = 2*pi*ρ*h/ (r4)∣R1R2 = pi*ρ*h*R4/2∣R1R2 = pi*ρ*h/2*(R14-R24)

Для дальнейшего упрощения этой формулы воспользуемся разложением на множители выражения в скобках, получим:

I = pi*ρ*h*(R12-R22)*(R12+R22)/2

Часть этого выражения вместе с первыми скобками является массой полого цилиндра, поэтому получаем конечную формулу:

I = m*(R12+R22)/2

Отсюда видно, что момент инерции полого цилиндра больше этого значения для сплошного цилиндра аналогичной массы и такого же внешнего радиуса на величину m*R22/2. Этот результат не вызывает удивления, поскольку в полом цилиндре центр масс находится от оси вращения дальше, чем в сплошном.

Величина I для цилиндра, ось вращения которого проходит параллельно плоскостям его основания

В такой системе ось вращения проходит также через центр массы цилиндра, но теперь он лежит как бы на боку (на цилиндрической поверхности, см. рис. ниже).

Расчет для момента инерции цилиндра для такой ситуации является непростой задачей, поскольку требует наличия дополнительных знаний для ее решения. Тем не менее приведем необходимые математические выкладки, чтобы читатели имели более полное представление о проведении интегрирования при вычислении I.

Начинаем решать задачу. Разбиваем сплошной цилиндр на отдельные диски бесконечно малой толщины. Чтобы узнать, каким моментом инерции обладает этот диск относительно оси, которая проходит через него и параллельна его основаниям, необходимо выполнить отдельное интегрирование. Оно дает следующий результат:

Ii = R2*dm/4

Чтобы найти, величину Ii для этого диска относительно уже новой оси, которая рассматривается в задаче, необходимо воспользоваться теоремой Штейнера. Получим:

Ii = R2*dm/4 + L2*dm, здесь L — расстояние от оси до тонкого диска.

Зная, что dm = pi*R2*dL*ρ, подставляем в интегральную формулу для I и проводим интегрирование по пределам (-L0/2; +L0/2), имеем:

I = ∫mIi = ∫m(R2*dm/4 + L2*dm) = pi*R2*ρ*∫L0/2-L0/2(R2*dL/4 + L2*dL)

Решение этого интеграла приводит к конечной формуле:

I = m*(R2/4 + L02/12)

Пример решения задачи

Решим интересную задачу на нахождение осевого момента инерции цилиндра. Пусть он лежит на цилиндрической поверхности, а ось вращения расположена параллельно его основанию и проходит через конец фигуры.

Эта ситуация полностью аналогична рассмотренной в предыдущем пункте, только ось пересекает не гравитационный центр цилиндра, а конец этой фигуры. Тем не менее для решения проблемы можно воспользоваться результатом предыдущего пункта статьи. Применим вышеупомянутую теорему Штейнера, получим:

I = m*R2/4 + m*L02/12 + m*(L0/2)2 = m*R2/4 + m*L02/3

Заметим, что если R<<L0, тогда первым слагаемым можно пренебречь, и формула сводится к равенству:

I = m*L02/3

Этот момент инерции соответствует стержню с осью вращения на его конце.

Теорема о параллельных осях

Теорема о параллельных осях
Момент инерции относительно конца

Сплошной цилиндр массой
m= кг
и радиус R = см
будет иметь момент инерции относительно своей центральной оси:

I центральная ось = кг м 2

Для цилиндра длиной
L = м, показаны моменты инерции цилиндра относительно других осей.
6
6
6 Моменты инерции для предельных геометрий с этой массой равны:
I центральный диаметр = кг м 2
I концевой диаметр = кг м 2
I диаметр тонкого диска = кг м 2
I тонкий наконечник стержня = кг м 2

Показать развитие выражений

Полый корпус цилиндра

Индекс

Понятия момента инерции

  6
Гиперфизика***** Механика R Ступица
Назад
Выражение для момента инерции сплошного цилиндра можно построить из момента инерции тонких цилиндрических оболочек.

Используя общее определение момента инерции:

Элемент массы может быть выражен через бесконечно малую радиальную толщину dr по

Подстановка дает полиномиальную форму интеграла:

Показать форму интеграла

Индекс

Понятия момента инерции

 
Гиперфизика***** Механика R Ступица
Назад

Выражение для момента инерции полого цилиндра или кольца конечной толщины получается тем же способом, что и для сплошного цилиндра.

Процесс включает сложение моментов бесконечно малых цилиндрических оболочек. Единственное отличие от сплошного цилиндра состоит в том, что интегрирование происходит от внутреннего радиуса a к внешнему радиусу b:

Показать разработку интегральной тонкой оболочки

Индекс

Понятия момента инерции

 
6
Гиперфизика***** Механика R Ступица
Назад

При построении выражения для момента инерции цилиндра относительно диаметра на его конце (ось x на диаграмме) используются как теорема о параллельной оси, так и теорема о перпендикулярной оси. Подход включает в себя нахождение выражения для тонкого диска на расстоянии z от оси и суммирование по всем таким дискам.

Получение момента инерции полного цилиндра около диаметра на его конце включает суммирование по бесконечному числу тонких дисков на различных расстояниях от этой оси.

Это включает интеграл от z=0 до z=L. Для любого заданного диска на расстоянии z от оси x использование теоремы о параллельной оси дает момент инерции относительно оси x.

Теперь, выражая элемент массы dm через z, мы можем проинтегрировать по длине цилиндра.

Эта форма может показаться правдоподобной, если вы заметите, что она представляет собой сумму выражений для тонкого диска около диаметра плюс выражение для тонкого стержня на его конце. Если вы возьмете предельный случай R = 0, вы получите выражение тонкого стержня, а если вы возьмете случай, когда L = 0, вы получите выражение тонкого диска.

На последних шагах используются полиномиальные формы интегралов.

Моменты инерции тонкого диска

9{2}}}{2}$

Полное пошаговое решение:
В задании требуется найти момент инерции сплошного цилиндра по его высоте, поэтому прежде всего нарисуем фигуру для наша простота,

Теперь, как показано на рисунке, мы рассмотрим диск массой $dm$ и толщиной $dx$ на расстоянии x от точки O.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *