Site Loader

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° сплошного ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… осСй. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ :: SYL.ru

Как извСстно, масса Π² Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния ΠΈΠ³Ρ€Π°Π΅Ρ‚ Π²Π°ΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ, опрСдСляя ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹Π΅ свойства двиТущихся Ρ‚Π΅Π». Π’ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ вращСния вмСсто массы ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. Рассмотрим Π² ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Π·Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ опрСдСляСтся ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ?

Π­Ρ‚Ρƒ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ I. Для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ матСматичСская Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ записываСтся Ρ‚Π°ΠΊ:

I = m*r2.

Π“Π΄Π΅ r β€” расстояниС Π΄ΠΎ оси вращСния ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ массой m. Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π΅ΠΉ измСрСния Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΊΠΈΠ»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹ Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ (ΠΊΠ³*ΠΌ2).

Если Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ ΠΈ Π΅Π³ΠΎ объСмная ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ являСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° для опрСдСлСния I слСдуСт ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

I = ∫m(r2*dm) = ∫V(r2*ρ*dV).

Π“Π΄Π΅ dm β€” это элСмСнтарная масса, находящаяся ΠΎΡ‚ оси вращСния Π½Π° расстоянии r.

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ опрСдСляСт распрСдСлСниС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ Π² Ρ‚Π΅Π»Π΅ слоТной Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΉ оси вращСния систСмы.

Бплошной Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ ΠΈ главная ось

Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… радиусов

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ вычислСн Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ любой оси с использованиСм ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ выраТСния, записанного Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅. Π—Π΄Π΅ΡΡŒ рассмотрим ΡΠΈΡ‚ΡƒΠ°Ρ†ΠΈΡŽ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ массой M, радиусом R ΠΈ высотой L вращаСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ оси. ПослСдняя прСдставляСт собой ΠΏΡ€ΡΠΌΡƒΡŽ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ гСнСратрисС Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρ‹ Π΅Π΅ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»Ρ‹Ρ… оснований.

НС Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ Π²Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² подробности матСматичСских вычислСний ΠΏΠΎ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅, Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ сразу ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅:

I1 = 1/2*M*R2.

ΠœΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ большС масса Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ радиус, Ρ‚Π΅ΠΌ большС ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ I1. Π’ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ врСмя эта Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊ Π½Π΅ зависит ΠΎΡ‚ высоты Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ L, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ диска ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΠΎ этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли всю массу Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΡΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄Π½Ρƒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΡΡ‰ΡƒΡŽΡΡ ΠΎΡ‚ оси вращСния Π½Π° расстоянии радиуса R, Ρ‚ΠΎ для Π½Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ окаТСтся Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° большС, Ρ‡Π΅ΠΌ для сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠžΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ ΠΈ пСрпСндикулярная гСнСратрисС ось

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠ²

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ возьмСм ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²Π΅Ρ€Π½Π΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π½Π° Π±ΠΎΠΊ. НачнСм Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, которая ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π΅Π³ΠΎ масс, Π½ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ пСрпСндикулярна гСнСратрисС (Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ оси). Π§Π΅ΠΌΡƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ случаС?

Как ΠΈ Π² ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅, здСсь Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ограничимся ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎ выраТСния. Оно Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄:

I2 = 1/4*M*R2 + 1/12*M*L2.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ I2 ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΎΠ² Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Ρ‡Π΅ΠΌ I1, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ ΠΎΠ½ опрСдСляСтся Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ массой ΠΈ радиусом, Π½ΠΎ ΠΈ высотой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° слагаСмых этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‚ собой Π΄Π²Π° ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½ΠΈΡ… случая:

  • Если Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ слишком ΠΌΠ°Π»Π΅Π½ΡŒΠΊΡƒΡŽ высоту ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ диск, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡΡΡŒ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Π΄ΠΈΠ°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€, Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ 1/4*M*R2.
  • Если радиус Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° стрСмится ΠΊ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Ρ‚ΠΎ рассматриваСмый ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚ прСвратится Π² ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ, ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ станСт Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΌ 1/12*M*L2.

ΠŸΠΎΠ»Ρ‹ΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€

Π¦ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ с двумя радиусами

Π’Ρ‹ΡˆΠ΅ ΠΌΡ‹ рассмотрСли, ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°ΡΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ высота Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΈ Π΅Π³ΠΎ масса ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΠΈΡΡŒ Ρ‚Π΅ΠΌΠΈ ΠΆΠ΅ самыми, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΎΠ½ стал ΠΏΠΎΠ»Ρ‹ΠΌ, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π²Π° радиуса: внСшний R1 ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΉ R2.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ всС Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ позволяСт ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ вращаСтся Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ своСй Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ оси. Π‘ΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° выглядит Ρ‚Π°ΠΊ:

I3 = 1/2*M*(R12+R22).

Π­Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ позволяСт ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄: ΠΏΡ€ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… массах ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠ² ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ большим ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. Бвязан этот Ρ„Π°ΠΊΡ‚ с Ρ‚Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ большая Ρ‡Π°ΡΡ‚ΡŒ массы ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° находится дальшС ΠΎΡ‚ оси вращСния, Π° ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ», ΠΎΡ‚ радиуса изучаСмая Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° растСт ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½ΠΎ.

Π’ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠΉ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€

Π“Π΄Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ знания Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ I для Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΎΠ²?

ΠŸΠΎΠΆΠ°Π»ΡƒΠΉ, основной ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡ‚ΡŒΡŽ примСнСния ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€ΠΈΠΈ являСтся Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½Π°Ρ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΡ‹ΡˆΠ»Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ. Π’ частности, ΠΊΠΎΠ»Π΅Π½Ρ‡Π°Ρ‚Ρ‹ΠΉ Π²Π°Π» автомобиля снабТСн тяТСлым ΡΠΏΠ»ΠΎΡˆΠ½Ρ‹ΠΌ ΠΌΠ°Ρ…ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠΎΠΌ, ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ. НСобходим ΠΌΠ°Ρ…ΠΎΠ²ΠΈΠΊ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ±Π΅ΡΠΏΠ΅Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΏΠ»Π°Π²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ вращСния ΠΊΠΎΠ»Π΅Π½Ρ‡Π°Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π°Π»Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ отраТаСтся Π½Π° плавности Π°Π²Ρ‚ΠΎΠΌΠΎΠ±ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ…ΠΎΠ΄Π°. ΠœΠ°Ρ…ΠΎΠ²ΠΈΠΊ гасит Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ большиС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹Π΅ ускорСния ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎ врСмя Ρ€Π°Π·Π³ΠΎΠ½Π° транспортного срСдства, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΏΡ€ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ€ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ.

ΠœΠ°Ρ…ΠΎΠ²ΠΈΠΊ автомобиля

Из Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ для ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ I1 понятно, Ρ‡Ρ‚ΠΎ для увСличСния этой Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹Π³ΠΎΠ΄Π½Π΅Π΅ ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ радиус, Ρ‡Π΅ΠΌ массу Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° (ΠΌΠ°Ρ…ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ°). Π’Π°ΠΊ, ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΠ΅ массы ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ‚ лишь ΠΊ ΡƒΠ΄Π²ΠΎΠ΅Π½ΠΈΡŽ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. Однако Ссли ΡƒΠ²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π΄Π²Π° Ρ€Π°Π·Π° радиус, Ρ‚ΠΎ I1 возрастСт Π°ΠΆ Π² 4 Ρ€Π°Π·Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎ обСспСчит Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ эффСктивноС использованиС ΠΌΠ°Ρ…ΠΎΠ²ΠΈΠΊΠ°.

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ Ρ‡Π΅ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ, скаТСм нСсколько слов ΠΎ Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ вращСния. Как ΠΈ Π² Π΄ΠΈΠ½Π°ΠΌΠΈΠΊΠ΅ ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния, Π² Π½Π΅ΠΉ сущСствуСт Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π°, подобная Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ ΠΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½Π°. Π­Ρ‚Π° Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° называСтся ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ². ЗаписываСтся ΠΎΠ½Π° Ρ‚Π°ΠΊ:

dL/dt = M.

Π“Π΄Π΅ L β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ°, M β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… сил. Π§Π°Ρ‰Π΅ всСго это ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π² ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΌ Π²ΠΈΠ΄Π΅:

M = I*Ξ±.

Π—Π΄Π΅ΡΡŒ Ξ± β€” ускорСниС ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅. Из этого выраТСния Π²ΠΈΠ΄Π½Π° аналогия со Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ Π½ΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΈΠΌ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ.

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ. Π˜Π·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ сила Π² 100 Н дСйствуСт ΠΏΠΎ ΠΊΠ°ΡΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊ цилиндричСской повСрхности пСрпСндикулярно Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΉ оси вращСния сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π½Π° расстоянии 20 см. Масса Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ€Π°Π²Π½Π° 10 ΠΊΠ³, Π° Π΅Π³ΠΎ радиус составляСт 20 см. НСобходимо ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ο‰ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· 5 сСкунд послС Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° дСйствия силы.

Угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ рассчитываСтся ΠΏΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅ для равноускорСнного двиТСния:

Ο‰ = Ξ±*t.

ВыраТая ускорСниС ΠΈΠ· уравнСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈ подставляя Π΅Π³ΠΎ Π² Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Ο‰ = M*t/I.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ силы вычисляСтся Ρ‚Π°ΠΊ:

M = F*d.

Π“Π΄Π΅ ΠΏΠΎ ΡƒΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ d = R. ΠŸΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ для I сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

Ο‰ = 2*F*t/(m*R).

ΠžΡΡ‚Π°Π»ΠΎΡΡŒ сюда ΠΏΠΎΠ΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ всС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π² Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ†Π°Ρ… БИ ΠΈ Π·Π°ΠΏΠΈΡΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚: Ο‰ = 500 Ρ€Π°Π΄/с, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ 80 ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚Π°ΠΌ Π² сСкунду.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° сплошного ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ: Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ осСй вращСния

Π—Π½Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° позволяСт Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ сохранСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠΌΠΏΡƒΠ»ΡŒΡΠ° Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ для описания ΠΊΡ€ΡƒΠ³ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния с ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ ускорСниСм. Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠ΅ рассмотрим, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ для Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ осСй вращСния.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ: матСматичСскоС ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ОсСвой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ вводится Π² Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΡƒ благодаря ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния Ρ‚Π΅Π». Для Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ с массой m, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ Π½Π° расстоянии r ΠΎΡ‚ оси, ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π²Π΅Π½:

I = m*r2

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ ΠΆΠ΅ случаС для Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ распрСдСлСниС вСщСства Π² пространствС (Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒ), Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ I ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ:

I = ∫r2dm

По сути, это Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ. Π’ Π½Π΅ΠΌ производится суммированиС (ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅) ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ элСмСнтарной частицы dm, дистанция Π΄ΠΎ оси ΠΎΡ‚ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ€Π°Π²Π½Π° r.

Если Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ физичСском Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ рассматриваСмой Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ I, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, насколько «сильно» систСма сопротивляСтся Π²ΠΎΠ·Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡŽ внСшнСго ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° силы, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ пытаСтся Π΅Π΅ Ρ€Π°ΡΠΊΡ€ΡƒΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ, Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, ΠΎΡΡ‚Π°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, Π΅Π³ΠΎ основаниям пСрпСндикулярной

Из ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° I являСтся характСристикой всСй Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅ΠΉΡΡ систСмы, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½Π° зависит ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΡ‚ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡ‹ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈ распрСдСлСния Π² Π½Π΅ΠΌ массы, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΈ ΠΎΡ‚ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ полоТСния оси.

Π’ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅ рассмотрим простой случай: ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ для сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ось вращСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ пСрпСндикулярна Π΅Π³ΠΎ основаниям ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π³Ρ€Π°Π²ΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.

Π’Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° силой тяТСсти

Для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для I. Π’ процСссС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ интСгрирования мыслСнно Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΠ΅ΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ Π½Π° Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ‡ΠΊΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½ΠΎΠΉ dr. КаТдоС ΠΊΠΎΠ»Π΅Ρ‡ΠΊΠΎ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ объСм: dV = 2*pi*r*dr*h, здСсь h β€” высота Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. Учитывая, Ρ‡Ρ‚ΠΎ dm = ρ*dV, Π³Π΄Π΅ ρ β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ:

I = ∫r2dm = ρ*∫r2dV = 2*pi*ρ*h*∫r3dr

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π» Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹Ρ‡ΠΈΡΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ для ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΎΠ² ΠΎΡ‚ 0 Π΄ΠΎ R, Π³Π΄Π΅ R β€” радиус Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

I = 2*pi*ρ*h*∫R0r3dr = 2*pi*ρ*h/4*(r4)∣R0 = pi*ρ*h*R4/2

Π’ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Π²ΡˆΠΈΡΡŒ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΎΠΉ для массы Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ объСм ΠΈ ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΡ€ΠΈΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΡŽ:

I = m*R2/2, гдС m = pi*ρ*h*R2

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ. Она ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° I для этой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹ Π² 2 Ρ€Π°Π·Π° мСньшС, Ρ‡Π΅ΠΌ для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ массы, которая вращаСтся Π½Π° расстоянии радиуса Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚ оси.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ оставим ось Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΆΠ΅ мСстС ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ I для Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° с пустотой Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ (Π²Ρ‚ΡƒΠ»ΠΊΠ°, Ρ‚Ρ€ΡƒΠ±Π°). Π’Π°ΠΊΡƒΡŽ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρƒ ΠΎΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ двумя радиусами: внСшним R1 ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌ R2. Π’ этом случаС для интСгрирования примСняСтся Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ ΠΏΠΎΠ΄Ρ…ΠΎΠ΄, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Ρ‹ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΡ‚ R2 Π΄ΠΎ R1. ИмССм:

I = 2*pi*ρ*h/4*(r4)∣R1R2 = pi*ρ*h*R4/2∣R1R2 = pi*ρ*h/2*(R14-R24)

ΠžΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°

Для дальнСйшСго упрощСния этой Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ выраТСния Π² скобках, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

I = pi*ρ*h*(R12-R22)*(R12+R22)/2

Π§Π°ΡΡ‚ΡŒ этого выраТСния вмСстС с ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌΠΈ скобками являСтся массой ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, поэтому ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ:

I = m*(R12+R22)/2

ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π° Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° большС этого значСния для сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½ΠΎΠΉ массы ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΆΠ΅ внСшнСго радиуса Π½Π° Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ m*R22/2. Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π½Π΅ Π²Ρ‹Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ удивлСния, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π² ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π΅ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс находится ΠΎΡ‚ оси вращСния дальшС, Ρ‡Π΅ΠΌ Π² сплошном.

ΠŸΠΎΠ»Ρ‹Π΅ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹

Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° I для Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ось вращСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ плоскостям Π΅Π³ΠΎ основания

Π’ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ систСмС ось вращСния ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ массы Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Π½ΠΎ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΠ½ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹ Π½Π° Π±ΠΎΠΊΡƒ (Π½Π° цилиндричСской повСрхности, см. рис. Π½ΠΈΠΆΠ΅).

РасчСт для ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° для Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ситуации являСтся нСпростой Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅ΠΉ, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ наличия Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π·Π½Π°Π½ΠΈΠΉ для Π΅Π΅ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ матСматичСскиС Π²Ρ‹ΠΊΠ»Π°Π΄ΠΊΠΈ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Ρ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ΅ прСдставлСниС ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΈ интСгрирования ΠΏΡ€ΠΈ вычислСнии I.

ИзмСнСниС полоТСния оси вращСния

НачинаСм Ρ€Π΅ΡˆΠ°Ρ‚ΡŒ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ. Π Π°Π·Π±ΠΈΠ²Π°Π΅ΠΌ сплошной Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ Π½Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ диски бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Ρ‹. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡƒΠ·Π½Π°Ρ‚ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°Π΄Π°Π΅Ρ‚ этот диск ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, которая ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Π³ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π° Π΅Π³ΠΎ основаниям, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅. Оно Π΄Π°Π΅Ρ‚ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚:

Ii = R2*dm/4

Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ, Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ Ii для этого диска ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡƒΠΆΠ΅ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ оси, которая рассматриваСтся Π² Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Π΅, Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°. ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

Ii = R2*dm/4 + L2*dm, здСсь L β€” расстояниС ΠΎΡ‚ оси Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ диска.

Зная, Ρ‡Ρ‚ΠΎ dm = pi*R2*dL*ρ, подставляСм Π² ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρƒ для I ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π°ΠΌ (-L0/2; +L0/2), ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ:

I = ∫mIi = ∫m(R2*dm/4 + L2*dm) = pi*R2*ρ*∫L0/2-L0/2(R2*dL/4 + L2*dL)

РСшСниС этого ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ ΠΊ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π΅:

I = m*(R2/4 + L02/12)

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡ΠΈ

РСшим ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Ρ€Π΅ΡΠ½ΡƒΡŽ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡Ρƒ Π½Π° Π½Π°Ρ…ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ осСвого ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠ½ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ Π½Π° цилиндричСской повСрхности, Π° ось вращСния располоТСна ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ основанию ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹.

Π­Ρ‚Π° ситуация ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Π° рассмотрСнной Π² ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅ΠΌ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π΅, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ось пСрСсСкаСт Π½Π΅ Π³Ρ€Π°Π²ΠΈΡ‚Π°Ρ†ΠΈΠΎΠ½Π½Ρ‹ΠΉ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Π° ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† этой Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Ρ‹. Π’Π΅ΠΌ Π½Π΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ для Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΏΡ€Π΅Π΄Ρ‹Π΄ΡƒΡ‰Π΅Π³ΠΎ ΠΏΡƒΠ½ΠΊΡ‚Π° ΡΡ‚Π°Ρ‚ΡŒΠΈ. ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΏΠΎΠΌΡΠ½ΡƒΡ‚ΡƒΡŽ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°, ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ:

I = m*R2/4 + m*L02/12 + m*(L0/2)2 = m*R2/4 + m*L02/3

Π—Π°ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли R<<L0, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΌ слагаСмым ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ, ΠΈ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° сводится ΠΊ равСнству:

I = m*L02/3

Π­Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ соотвСтствуСт ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ½ΡŽ с осью вращСния Π½Π° Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π΅.

Π“Π»Π°Π²Π° 4

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°

Β§ 16. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ вращСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ понятиСм ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ систСмы (Ρ‚Π΅Π»Π°) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΒ­ΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси вращСния называСтся физи­чСская Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, равная суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Β­Π½ΠΈΠΉ масс n ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ систСмы Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΡ… расстояний Π΄ΠΎ рассматри­ваСмой оси:

Π’ случаС Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ распрСдСлСния масс эта сумма сводится ΠΊ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρƒ

Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ производится ΠΏΠΎ всСму ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Π°. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° r Π² этом случаС Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция полоТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΒ­Π½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ

Ρ…, Ρƒ, z.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° высотой Π› ΠΈ радиусом R ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ гСомСтричСской оси (рис.23). РазобьСм

32

Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ Π½Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»Ρ‹Π΅ концСнтричС­скиС Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Ρ‹ dr с Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌ радиусом r ΠΈ внСшним β€” r+dr. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° dJ = r2dm (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ dr<<r, Ρ‚ΠΎ считаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расстояниС всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ†ΠΈΒ­Π»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚ оси Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ r), Π³Π΄Π΅ dm β€” масса всСго элСмСнтарного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°; Π΅Π³ΠΎ объСм

2rhdr. Если  β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°, Ρ‚ΠΎ dm=‒2rhdr ΠΈ dJ = 2r3dr. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΒ­ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°

Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ R’2h β€” объСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ масса m = R2h, Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

J = 1/2R2.

Если извСстСн ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΒ­Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси опрСдСляСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°: ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°

J ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ любой оси вращСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Jc ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, про­ходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс Π‘ Ρ‚Π΅Π»Π°, сло­ТСнному с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ массы m Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ расстояния Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осями: J = Jc + ma2. (16.1)

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1

Π’ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ значСния ΠΌΠΎΒ­ΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ (Ρ‚Π°Π±Π». 1) для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π» (Ρ‚Π΅Π»Π° ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚ β€” масса Ρ‚Π΅Π»Π°).

Β§ 17. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия вращСния

Рассмотрим Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ (см. Β§ 1), Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΒ­Π½ΠΎΠΉ оси z, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Π³ΠΎ (рис. 24). ΠœΡ‹ΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΠ΅ΠΌ это Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π½Π° малСнькиС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ с элСмСнтарными мас­сами m1, m2, …, mn, находящиСся Π½Π° рас­стоянии r1, r2, …, rn ΠΎΡ‚ оси вращСния. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅Β­ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΅Π³ΠΎ элСмСнтар­ныС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ массами mi, ΠΎΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ окруТно­сти Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… радиусов ri ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Β­Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ скорости vi.
Но Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ рассматриваСм Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Β­Π»ΠΎ, Ρ‚ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ вращСния этих объСмов ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°:

 = v1/r1= v2/r2 = … = vn/rn. (17.1)

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ сумму кинСтичСских энСр­гий Π΅Π³ΠΎ элСмСнтарных объСмов:

33

ΠΈΠ»ΠΈ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (17.1), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π³Π΄Π΅ Jz β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΒ­Π½ΠΎ оси 2. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, кинСтичСская энСргия Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π°

TΠ²Ρ€ = Jz2/2. (17.2)

Из сравнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (17.2) с Π²Ρ‹Β­Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (12.1) для кинСтичСской энСр­гии Ρ‚Π΅Π»Π°, двиТущСгося ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (T= mv2/2), слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния β€” ΠΌΠ΅Ρ€Π° инСр­тности Ρ‚Π΅Π»Π°.

Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (17.2) справСдлива для Ρ‚Π΅Π»Π°, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Β­Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси.

Π’ случаС плоского двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π°, Π½Π°Β­ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΡΠΊΠ°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ с Π½Π°Β­ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ плоскости Π±Π΅Π· скольТСния, энСр­гия двиТСния складываСтся ΠΈΠ· энСргии ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния ΠΈ энСргии вра­щСния:

Π³Π΄Π΅ m β€” масса катящСгося Ρ‚Π΅Π»Π°; vc β€” ΡΠΊΠΎΒ­Ρ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс Ρ‚Π΅Π»Π°; J с β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходя­щСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс;  β€” угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π°.

10. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… осСй (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π“ΡŽΠΉΠ³Π΅Π½ΡΠ°

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ – Π»ΠΈΠ±ΠΎ оси Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ этого Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси, слоТСнному с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ массы Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими осями.

β€” Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π“ΡŽΠΉΠ³Π΅Π½ΡΠ° – Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π°.

11. ΠžΡΠ΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π»: ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»Ρ‹ΠΉ ΠΈ сплошной Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹, ΡˆΠ°Ρ€.

β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ прямого стСрТня постоянного сСчСния

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ прямого Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ стСрТня ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси симмСтрии Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1/12 произвСдСния массы стСрТня Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ сплошного

ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ сплошного ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ оси вращСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния массы Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ радиуса.

β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

p

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ оси вращСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния массы Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π½Π° сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ радиусов.

12. ДинамичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ вращСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси.

(1), Π³Π΄Π΅

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ оси вращСния Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ всСх ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… сил ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ оси.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) называСтся динамичСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°.

13. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎΠ± ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ кинСтичСской энСргии ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы.

ИзмСнСниС кинСтичСской энСргии мСханичСской систСмы Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… сил, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ систСмы Π½Π° этом ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ.

, Π³Π΄Π΅ Π’ – кинСтичСская энСргия Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

Π’0 β€” кинСтичСская энСргия Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

βˆ‘ΠiΠ΅ +βˆ‘Πij – сумма Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… сил

УсловиС: Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ полоТСния.

14. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° КСнига.

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ систСма – ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π», связанных ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ связями.

ПолоТСния ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Π» Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ обусловлСно. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия мСханичСской систСмы опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ арифмСтичСская сумма кинСтичСских энСргий i-Π³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, входящСго Π² систСму.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° КСнига:

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия мСханичСской систСмы Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС кинСтичСской энСргии Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс систСмы, масса ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° массС всСй систСмы, ΠΈ кинСтичСской энСргии этой систСмы Π² Π΅Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс.

15. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΡ€ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π²ΠΈΠ΄Π°Ρ… Π΅Π³ΠΎ двиТСния.

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия Ρ‚Π΅Π»Π° опрСдСляСтся Π² зависимости ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ – ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΎΠ²Π΅Ρ€ΡˆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ.

1)ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

2)Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

3)ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

16. ДинамичСскоС ΠΏΠ»ΠΎΡΠΊΠΎΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°.

17. ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Π° для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

ГСомСтричСская сумма всСх ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ сил ΠΈ силы ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ Π½ΡƒΠ»ΡŽ. , Π³Π΄Π΅

18. ΠŸΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏ Π”Π°Π»Π°ΠΌΠ±Π΅Ρ€Π° для ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы.

(i=1,2,…,n), Π³Π΄Π΅ -Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… сил, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅;-Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΉ связСй, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅;-сила ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² любой ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ гСомСтричСская сумма Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Π·Π°Π΄Π°Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… сил, Ρ€Π°Π²Π½ΠΎΠ΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ Ρ€Π΅Π°ΠΊΡ†ΠΈΠΈ связСй ΠΈ силы ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ нСсвободной мСханичСской систСмы Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

19. Π“Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ сил ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°.

β€” ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅

β€” Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, β€” Π³Π»Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚, Π³Π΄Π΅Jz – ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси вращСния, Ξ΅ – алгСбраичСская Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ускорСния Ρ‚Π΅Π»Π°.

20. ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΈΠ΅ связи, ΡƒΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈ Π½Π΅ΡƒΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ связи, стационарныС ΠΈ нСстационарныС, Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ ΠΈ Π½Π΅Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅.

Бвязи – Ρ‚Π΅Π»Π°, ΠΎΠ³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ‡ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ свободу пСрСмСщСния Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°.

OA=l – гибкая Π½ΠΈΡ‚ΡŒ β€” ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ТСсткой связи

ΠšΠ»Π°ΡΡΠΈΡ„ΠΈΠΊΠ°Ρ†ΠΈΡ связСй:

1)Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ – связи, уравнСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ содСрТат

Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

2)Π½Π΅Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π½Ρ‹Π΅ – связи, уравнСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… содСрТат

Π΄ΠΈΡ„Ρ„Π΅Ρ€Π΅Π½Ρ†ΠΈΠ°Π»Ρ‹ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚.

β€” стационарныС (уравнСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Π½Π΅ содСрТат

ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ t.)

β€” нСстационарныС (уравнСния ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… содСрТат

ΠΏΠ°Ρ€Π°ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ t.)

β€” ΡƒΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ (ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ опрСдСляСтся

равСнством).

β€” Π½Π΅ΡƒΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ (ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ опрСдСляСтся нСравСнством).

Π“Π»Π°Π²Π° 4 ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° Β§ 16. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ вращСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π» Π±ΡƒΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ понятиСм ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ систСмы (Ρ‚Π΅Π»Π°) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси называСтся физичСская Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, равная суммСпроизвСдСний масс Π» ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ систСмы Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΡ… расстояний Π΄ΠΎ рассматриваСмой оси:

Π’ случаС Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ распрСдСлСния масс эта сумма сводится ΠΊ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρƒ

Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ производится ΠΏΠΎ всСму ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Π°. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° rΠ² этом случаС Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция полоТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈΡ…, Ρƒ, z.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° высотой hΠΈ радиусомRΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ гСомСтричСской оси (рис. 23). РазобьСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ Π½Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»Ρ‹Π΅ концСнтричСскиС Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Ρ‹drс Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌ радиусомrΠΈ внСшнимr+dr. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°dJ=r2dm(Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊdr<<r,Ρ‚ΠΎ считаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расстояниС всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚ оси Ρ€Π°Π²Π½ΠΎr), Π³Π΄Π΅dm —масса всСго элСмСнтарного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°; Π΅Π³ΠΎ объСм 2rhdr.Π•ΡΠ»ΠΈο²β€”ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°, Ρ‚ΠΎdm=2rhdrΠΈ dJ=2hrΠ·dr.Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°

Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ R2h β€”ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ массаm=R2h,Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

Если извСстСн ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси опрСдСляСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°:ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°JΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈJcΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ массБтСла, слоТСнному с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ массыттСла Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ расстоянияамСТду осями:

(16.1)

Π’ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ значСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ (Ρ‚Π°Π±Π». 1) для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π» (Ρ‚Π΅Π»Π° ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚ —масса Ρ‚Π΅Π»Π°).

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1

Β§ 17. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия вращСния

Рассмотрим Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ (см. Β§ 1), Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси z, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Π³ΠΎ (рис. 24). ΠœΡ‹ΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΠ΅ΠΌ это Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π½Π° малСнькиС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ с элСмСнтарными массамит1, Ρ‚2 ,…, Ρ‚n ,находящиСся Π½Π° расстоянииr1,r2,…,rnΠΎΡ‚ оси.

ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΅Π³ΠΎ элСмСнтар­ныС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ массами miΠΎΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ окруТности Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… радиусовri, ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ скоростиvi.Но Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ рассматриваСм Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, Ρ‚ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ вращСния этих объСмов ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°:

(17.1)

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ сумму кинСтичСских энСр­гий Π΅Π³ΠΎ элСмСнтарных объСмов:

ΠΈΠ»ΠΈ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (17.1), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ

Π³Π΄Π΅ Jz β€”ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси z. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, кинСтичСская энСргия Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π°

(17.2)

Из сравнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (17.2) с Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (12.1) для кинСтичСской энСргии Ρ‚Π΅Π»Π° двиТущСгося ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (T=mv2/2),слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ β€”ΠΌΠ΅Ρ€Π° инСртности Ρ‚Π΅Π»Π°ΠΏΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (17.2) справСдлива для Ρ‚Π΅Π»Π° Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси.

Π’ случаС плоского двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΡΠΊΠ°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ с Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ плоскости Π±Π΅Π· скольТСния, энСргия двиТСния складываСтся ΠΈΠ· энСргии ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния ΠΈ энСргии вращСния:

Π³Π΄Π΅ mβ€” масса катящСгося Ρ‚Π΅Π»Π°;vc β€”ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс Ρ‚Π΅Π»Π°;Jc β€”ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Β­Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс;— угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π°.

Π“Π»Π°Π²Π° 4

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ° Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°

Β§ 16. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ вращСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ понятиСм ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ систСмы (Ρ‚Π΅Π»Π°) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси вращСния называСтся физичСская Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, равная суммС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ масс n ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ систСмы Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Ρ‹ ΠΈΡ… расстояний Π΄ΠΎ рассматриваСмой оси:

Π’ случаС Π½Π΅ΠΏΡ€Π΅Ρ€Ρ‹Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ распрСдСлСния масс эта сумма сводится ΠΊ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€Π°Π»Ρƒ

Π³Π΄Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚Π΅Π³Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ производится ΠΏΠΎ всСму ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Π°. Π’Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° r Π² этом случаС Π΅ΡΡ‚ΡŒ функция полоТСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π°ΠΌΠΈ Ρ…, Ρƒ, z.

Π’ качСствС ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° высотой Π› ΠΈ радиусом R ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ гСомСтричСской оси (рис.23). РазобьСм

32

Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€ Π½Π° ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΏΠΎΠ»Ρ‹Π΅ концСнтричСскиС Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹ бСсконСчно ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΠ»Ρ‰ΠΈΠ½Ρ‹ dr с Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌ радиусом r ΠΈ внСшним β€” r+dr. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° dJ = r2dm (Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ dr<<r, Ρ‚ΠΎ считаСм, Ρ‡Ρ‚ΠΎ расстояниС всСх Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚ оси Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ r), Π³Π΄Π΅ dm β€” масса всСго элСмСнтарного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°; Π΅Π³ΠΎ объСм 2rhdr. Если  β€” ΠΏΠ»ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»Π°, Ρ‚ΠΎ dm=‒2rhdr ΠΈ dJ = 2r3dr. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ сплошного Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°

Π½ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ R’2h β€” объСм Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, Ρ‚ΠΎ Π΅Π³ΠΎ масса m = R2h, Π° ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ

J = 1/2R2.

Если извСстСн ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс, Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ любой Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси опрСдСляСтся Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠΎΠΉ Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π΅Ρ€Π°: ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° J ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ любой оси вращСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ Π΅Π³ΠΎ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Jc ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс Π‘ Ρ‚Π΅Π»Π°, слоТСнному с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ массы m Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ расстояния Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ осями: J = Jc + ma2. (16.1)

Π’Π°Π±Π»ΠΈΡ†Π° 1

Π’ Π·Π°ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ значСния ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ (Ρ‚Π°Π±Π». 1) для Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π» (Ρ‚Π΅Π»Π° ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚ΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ρ‚ β€” масса Ρ‚Π΅Π»Π°).

Β§ 17. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия вращСния

Рассмотрим Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ (см. Β§ 1), Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π΅ΡΡ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси z, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π½Π΅Π³ΠΎ (рис. 24). ΠœΡ‹ΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΎΠ±ΡŒΠ΅ΠΌ это Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π½Π° малСнькиС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ с элСмСнтарными массами m1, m2, …, mn, находящиСся Π½Π° расстоянии r1, r2, …, rn ΠΎΡ‚ оси вращСния. ΠŸΡ€ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΅Π³ΠΎ элСмСнтарныС ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΌΡ‹ массами mi, ΠΎΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ окруТности Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Ρ… радиусов ri ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½Ρ‹Π΅ скорости vi. Но Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ рассматриваСм Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, Ρ‚ΠΎ угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ вращСния этих объСмов ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Π°:

 = v1/r1= v2/r2 = … = vn/rn. (17.1)

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΡƒΡŽ ΡΠ½Π΅Ρ€Π³ΠΈΡŽ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊ сумму кинСтичСских энСргий Π΅Π³ΠΎ элСмСнтарных объСмов:

33

ΠΈΠ»ΠΈ

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (17.1), ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π³Π΄Π΅ Jz β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси 2. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, кинСтичСская энСргия Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Ρ‚Π΅Π»Π°

TΠ²Ρ€ = Jz2/2. (17.2)

Из сравнСния Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Ρ‹ (17.2) с Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ (12.1) для кинСтичСской энСргии Ρ‚Π΅Π»Π°, двиТущСгося ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ (T= mv2/2), слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния β€” ΠΌΠ΅Ρ€Π° инСртности Ρ‚Π΅Π»Π°. Π€ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»Π° (17.2) справСдлива для Ρ‚Π΅Π»Π°, Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси.

Π’ случаС плоского двиТСния Ρ‚Π΅Π»Π°, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°, ΡΠΊΠ°Ρ‚Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰Π΅Π³ΠΎΡΡ с Π½Π°ΠΊΠ»ΠΎΠ½Π½ΠΎΠΉ плоскости Π±Π΅Π· скольТСния, энСргия двиТСния складываСтся ΠΈΠ· энСргии ΠΏΠΎΡΡ‚ΡƒΠΏΠ°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния ΠΈ энСргии вращСния:

Π³Π΄Π΅ m β€” масса катящСгося Ρ‚Π΅Π»Π°; vc β€” ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс Ρ‚Π΅Π»Π°; J с β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси, проходящСй Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ масс;  β€” угловая ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π°.

9. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ ΠΎ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π΅ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π°. Радиус ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ – Π»ΠΈΠ±ΠΎ осиz (осСвым ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ) называСтся скалярная Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°, равная суммС, составлСнной ΠΈΠ· ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠΉ массы mk ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π΅Π΅ расстояния rk Π΄ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ бСсконСчно Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π° (ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ окруТности) ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ оси вращСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡŽ Π΅Π³ΠΎ массы Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ радиуса:

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ оси ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ произвСдСния массы Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° , Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ радиусом ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ оси:

Под радиусом ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ – Π»ΠΈΠ±ΠΎ оси ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒ радиус Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ бСсконСчно Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡ€Π΅Π΄ΠΎΡ‚ΠΎΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ всю массу М Ρ‚Π΅Π»Π°, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ»ΡŒΡ†Π°, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ этой оси.

10. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… осСй (Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π“ΡŽΠΉΠ³Π΅Π½ΡΠ° β€” Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π°).

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ – Π»ΠΈΠ±ΠΎ оси Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ этого Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ оси, слоТСнному с ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ массы Ρ‚Π΅Π»Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ расстояния ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими осями.

β€” Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° Π“ΡŽΠΉΠ³Π΅Π½ΡΠ° – Π¨Ρ‚Π΅ΠΉΠ½Π°.

11. ΠžΡΠ΅Π²Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚Π΅Π»: ΡΡ‚Π΅Ρ€ΠΆΠ΅Π½ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»Ρ‹ΠΉ ΠΈ сплошной Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Ρ‹, ΡˆΠ°Ρ€.

β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ прямого стСрТня постоянного сСчСния

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ прямого Ρ‚ΠΎΠ½ΠΊΠΎΠ³ΠΎ стСрТня ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ оси симмСтрии Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 1/12 произвСдСния массы стСрТня Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹.

β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ сплошного

ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ сплошного ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ оси вращСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния массы Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π½Π° ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π΅Π³ΠΎ радиуса.

β€” ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π°.

ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ€ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΡ€ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ³ΠΎ Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ оси вращСния Ρ€Π°Π²Π΅Π½ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ произвСдСния массы Ρ†ΠΈΠ»ΠΈΠ½Π΄Ρ€Π° Π½Π° сумму ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠ² Π΅Π³ΠΎ Π½Π°Ρ€ΡƒΠΆΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½Π΅Π³ΠΎ радиусов.

12. ДинамичСскоС ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ вращСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π° Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ оси.

(1), Π³Π΄Π΅

ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° ΠΈΠ½Π΅Ρ€Ρ†ΠΈΠΈ Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π΅Π³ΠΎ оси вращСния Π½Π° ΡƒΠ³Π»ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ ускорСниС Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π³Π»Π°Π²Π½ΠΎΠΌΡƒ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρƒ всСх ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΊ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… сил ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ оси.

Π£Ρ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ (1) называСтся динамичСским ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ двиТСния Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°.

13. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° ΠΎΠ± ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ кинСтичСской энСргии ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы.

ИзмСнСниС кинСтичСской энСргии мСханичСской систСмы Π½Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ суммС Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… сил, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΡ… Π½Π° ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ систСмы Π½Π° этом ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠΈ.

, Π³Π΄Π΅ Π’ – кинСтичСская энСргия Π² ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

Π’0 β€” кинСтичСская энСргия Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ

βˆ‘ΠiΠ΅ +βˆ‘Πij – сумма Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚ Π²Π½Π΅ΡˆΠ½ΠΈΡ… ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΡ… сил

УсловиС: Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ΅ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ‡Π½ΠΎΠ΅ полоТСния.

14. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ систСмы. Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° КСнига.

ΠœΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ систСма – ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π», связанных ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ собой Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ связями.

ПолоТСния ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈΠ· Ρ‚Π΅Π» Π²Π·Π°ΠΈΠΌΠ½ΠΎ обусловлСно. ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия мСханичСской систСмы опрСдСляСтся ΠΊΠ°ΠΊ арифмСтичСская сумма кинСтичСских энСргий i-Π³ΠΎ Ρ‚Π΅Π»Π°, входящСго Π² систСму.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° КСнига:

ΠšΠΈΠ½Π΅Ρ‚ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠ°Ρ энСргия мСханичСской систСмы Ρ€Π°Π²Π½Π° суммС кинСтичСской энСргии Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс систСмы, масса ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½Π° массС всСй систСмы, ΠΈ кинСтичСской энСргии этой систСмы Π² Π΅Π΅ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс.

alexxlab

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *