Сначала мы представим два предложения в виде письма-предложения :

• А : Дождь
• B : Джейк не пойдет в школу пешком

Тогда мы будем использовать условную связку, чтобы сделать наше утверждение.

А \(\к\) Б \(_\квадрат\)

Для уточнения смысла предложения или связки используется таблица истинности .

Таблицы истинности — это способ визуализации значений истинности предложений. Значение true представлен как « 1 «, а значение false представлен как « 0 «.

Например, рассмотрим следующие предложения:

• A : Марти носит зеленые ботинки.
• B : У Марти есть собака.
• C : Марти носит зеленые сапоги, и у Марти есть собака.

Предложение C принимает следующие значения истинности:

• Если Марти не носит зеленые сапоги и у него нет собаки, то предложение C равно ложному .
• Если Марти не носит зеленых сапог, но у него есть собака, то предложение C ложно .
• Если Марти носит зеленые сапоги, но у него нет собаки, то предложение C является ложным .
• Если Марти носит зеленые сапоги и у него есть собака, то предложение C верно .

Представленные в таблице истинности , у нас есть по одной строке для каждого из приведенных выше утверждений (включая все возможные комбинации Марти в зеленых ботинках и/или с собакой), и каждый столбец представляет возможные состояния каждого из утверждений. предложения A, B и C выше.

Таким образом, четыре приведенных выше утверждения представлены в следующей таблице истинности: 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Соединители — это логические символы, выражающие отношение между предложениями.

Есть пять основных связок:

• Отрицание
• Соединение
• Разделение
• Условный
• Биусловный

Эти концепции более подробно описаны ниже.

\(\color{Red} \textbf{Отрицание}\)

Отрицание является унарной логической связкой. Для любого предложения \(P\) отрицание \(P\), обозначаемое \(\neg P,\), есть предложение, из которого следует, что \(P\) ложно. \(\neg P\) также читается как «не» \(P\).

\[v(\neg B) = \left\{\begin{matrix} 1 &&& \text{если } v(B)= 0\\ 0 &&& \text{иначе.} \ _\квадрат \end{matrix}\right.\]

The truth table (1=true, 0=false) for negation is as follows:

За предложение:

A : Луна сделана из зеленого сыра.

Что такое \(\отрицательный A\)?

---

Отрицание суждения A было бы утверждением, которое всегда истинно, если A ложно, и всегда ложно, если A истинно. Следующее утверждение соответствует этому критерию::

\(\neg\) A : Луна не из зеленого сыра. \(_\квадрат\)

\(\color{Red} \textbf{Conjugation}\)

Логическая конъюнкция — это ассоциативная бинарная логическая связка, которая оценивается как истинная только в том случае, если оба высказывания, которые она связывает, истинны.

\[ v(A \клин B) = \left\{\begin{matrix} 1 && \text{если } v(B)= 1 \text{ и } v(A)= 1 \\ 0 && \text{иначе}. \ end {matrix} \ right. \]

Таблица истины для сопряжения следующая:

(1 = 1 0,9014

)

Рассмотрим следующий оператор:

Слоны зеленые, а Джордж носит красные сапоги.

Что это за предложение?

Этим высказываниям можно присвоить пропозициональные буквы:

E : Слоны зеленые

G : Джордж носит красные сапоги.

Тогда приведенный выше оператор переписывается как:

E \(\клин\) G

Итак, это предложение является союзом. \(_\квадрат\)

\(\color{Red} \textbf{Дизъюнкция}\)

Логическая дизъюнкция — это ассоциативная бинарная логическая связка, которая оценивается как истинная, если одно из высказываний, которые она связывает, истинно. Примечание : Это «включающее» определение дизъюнкции, не путать с «исключительной» формой, эквивалентной вентилю «исключающее ИЛИ» в компьютерной логике.

\[v(A \vee B) = \left\{\begin{matrix} 0 &&& \text{если } v(B)= 0 \text{ и } v(A)= 0 \\ 1 &&& \text{иначе.} \ _\квадрат \end{matrix}\right.\]

The truth table for disjunction iis as follows:

(1 = TRUE, 0 = False)

.

Рассмотрим следующий оператор:

Слоны зеленые, или Джордж носит красные сапоги (или и то, и другое).

Перепишите это, используя пропозициональную логику.

Этим высказываниям можно присвоить пропозициональные буквы:

E : Слоны зеленые

G : Джордж носит красные сапоги.

Тогда приведенный выше оператор переписывается как:

E \(\vee\) G \(_\квадрат\)

\(\color{Red} \textbf{Conditional}\)

Логическое условие эквивалентно выражению «Если A, то B». Результат верен, если он согласуется с этим утверждением. Единственная противоречивая ситуация — это если B ложно, когда A истинно. Это противоречит условному утверждению. Таким образом, определение выглядит следующим образом:

\[v(P \to Q) = \left\{\begin{matrix} 0 &&& \text{если } v(P)= 1, v(Q)= 0 \\ 1 &&& \text{иначе.} \ _\квадрат \end{matrix}\right.\]

И это соответствующая таблица истины:

(1 = 1 0,9014

)

Предположим, у нас есть следующее утверждение (составное предложение):

Если Ребекка закончит домашнее задание, она сможет смотреть Netflix.

Это логическое условие?

Это состоит из двух простых предложений, которые мы будем называть P и Q :

• P : Ребекка заканчивает домашнее задание.
• Q : Ребекка смотрит Netflix.

Затем мы можем установить следующий условный оператор, используя условную связку:

P \(\к\) Q

Итак, да, это логическое условие. \(_\квадрат\)

8, красный 8, красный, коричневый 8 8, Браун

Это известная проблема в изучении дедуктивных рассуждений и логики.

Вам показывают набор из четырех карточек, разложенных на столе, каждая из которых имеет номер на одной стороне и цветное пятно на другой стороне.

На видимых лицевых сторонах карточек изображены цифры 3, 8, красный и коричневый.

Какие карты нужно перевернуть, чтобы проверить истинность утверждения о том, что если на одной стороне карты изображено четное число, то ее противоположная сторона красная?

\(\color{Red} \textbf{Biconditional}\)

Biconditional — это связка, которая представляет условие «тогда и только если» .

Проверяет, имеют ли оба предложения одно и то же истинностное значение. Его также можно представить как \( (A \to B)\wedge(B \to A).\)

\[v(A \leftrightarrow B) = \left\{\begin{matrix} 1 &&& \text{если } v(A)= v(B) \\ 0 &&& \text{иначе.} \ _\квадрат \end{matrix}\right.\]

Эквивалент логического вентиля XNOR.

The truth table looks like this:

So far we have обсудили следующие простые предложения:

• А
• \(\нег\) А
• А \(\клин\) Б
• А \(\вее\) Б
• А \(\к\) Б

Однако мы можем построить гораздо более сложные предложения, комбинируя приведенные выше простые предложения для построения бесконечного числа комбинаций правильно построенной формулы, например: \) В ) \(\вее\) С ]

Предложение называется «правильной формулой» (или wff), если оно построено по следующему набору правил:

1. Любое атомарное предложение — это правильно построенная формула.
2. Если \(A\) — правильно построенная формула, то \(\neg A\) — также правильно построенная формула.
3. Если \(A\) и \(B\) — правильно построенные формулы, то \((A \клин B)\) также является правильно построенной формулой.
4. Если \(A\) и \(B\) — правильно построенные формулы, то \((A \vee B)\) также является правильно построенной формулой.
5. Если \(A\) и \(B\) — правильно построенные формулы, то \((A \to B)\) также является правильно построенной формулой.
6. Если \(A\) и \(B\) правильно построенные формулы, то \((A \leftrightarrow B)\) также является правильно построенной формулой. \(_\квадрат\)
7. Если предложение построено с использованием только 1-6 выше, то предложение не является правильно построенной формулой.

Ни один из них 3 1 2 и 3 Все они 1 и 2 2 1 и 3

Согласно логике высказываний, что из следующего не является правильно сформулированной формулой?

(1): (\(A \клин B) \к (C \ви D)\)
(2): (\(A \отриц B) \к (C \ви D)\ )
(3): (\(A \leftrightarrow B) \to (\neg D)\)

\(\color{Red} \textbf{Тавтология}\)

A тавтология это то, что верно только с точки зрения логики. Примером может быть «Либо идет дождь, либо нет дождя».

Формально мы говорим, что предложение является тавтологией , если оно истинно для всех возможных назначений истинности задействованных атомарных предложений. \(_\квадрат\)

Покажите, что это предложение является тавтологией :

.

\[ ((A \land B) \to C) \leftrightarrow (A \to (B \to C)).\]

---

Мы можем построить таблицу истинности, чтобы проверить это:

70087 0

\(А\)	\(Б\)	\(С\)	\(A \land B\)	\(((A \land B) \to C)\)	\(B \to C\)	\((A \to (B \to C ) \)
0	0	0	0	1	1	1
0	0
0	0
0	0
0	0
0	0
.
0	1	0	0	1	0	1
1	1	0	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1
1	1	0	1	0	0	0
1	1	1	1	1	1	1

Как видите, столбцы 5 и 7 содержат одинаковые записи для всех комбинаций A, B и C. Следовательно, \(((A \land B) \to C) \leftrightarrow (A \to (B \to C ))\) действительно тавтология . \(_\квадрат\)

\(\color{Red} \textbf{Противоречие}\)

Противоречие — это утверждение, которое является ложным с точки зрения логики. Примером может быть «Идет дождь, и не идет дождь».

Формально мы говорим, что предложение является противоречием , если оно ложно для всех возможных назначений истинности задействованных атомарных предложений. \(_\квадрат\)