Коливальний контур — Вікіпедія

Колива́льний ко́нтур або коливний контур — електричне коло, складене з резистора, конденсатора та котушки індуктивності, в якому можливі коливання напруги й струму. Коливальні контури широко застосовуються в радіотехніці та електроніці, зокрема в генераторах електричних коливань, в частотних фільтрах. Вони використовуються практично в кожному електротехнічному пристрої.

Послідовний RLC-коливальний контур: V — напруга в контурі І — сила струму в контурі R — резистор L — котушка індуктивності C — конденсатор

Коливальний контур без джерела напруги[ред. | ред. код]

Коливальний контур, що складається із послідовно з’єднаних котушки індуктивністю L {\displaystyle L\ }, конденсатора ємністю C {\displaystyle C\ } та активного резистора R {\displaystyle R\ } називається RLC-контуром.

В загальному випадку активний опір R{\displaystyle R} включає не тільки активні опори провідників, а й опір, зв’язаний з витратами на випромінювання, що виникає внаслідок відкритості конденсатора та індуктивності.

У випадку, коли активний опір малий, і ним можна знехтувати, коливальний контур називають LC-контуром.

В ланку коливального контура можна додати перемикач для аналізу процесу накопичення зарядів на ємності.

Якісний опис[ред. | ред. код]

Нехай у певний момент часу на обкладинках конденсатора C існує певний заряд: додатній на одній із них, від’ємний на іншій. Оскільки обкладинки сполучені між собою колом, що складається з індуктивності і опору, то конденсатор почне розряджатися, а через коло потече струм. Збільшення струму на котушці індуктивності викликає в ній електрорушійну силу, яка діятиме проти струму, перешкоджаючи йому зростати миттєво. Крім того, проходячи через активний опір, струм буде викликати нагрівання цього опору за законом Джоуля-Ленца, призводячи до втрат енергії.

Сила струму в колі буде збільшуватися доти, доки на обкладинках конденсатора залишатиметься заряд. Тоді, коли заряд на обкладинках конденсатора дорівнюватиме нулю, сила струму в колі буде максимальною, і відтоді почне зменшуватися. Зменшення струму в індуктивності призводить до виникнення електрорушійної сили, яка намагатиметься сповільнити це зменшення, тому струм в колі не зменшиться до нуля миттєво, а продовжуватиме протікати, заряджаючи конденсатор уже оберненим зарядом. На обкладинці, зарядженій спочатку додатньо, зосереджуватиметься від’ємний заряд, і навпаки. Максимального значення заряд досягне тоді, коли струм через коло спаде до нуля. В цю мить на обкладинках конденсатора утвориться заряд майже рівний початковому, тільки з оберненим знаком. Зменшення заряду зумовлене втратами в активному опорі, що викликають зменшення струму перезарядки. Далі процес повторюється в зворотньому напрямку — конденсатор починає розряджатися, викликаючи в колі струм, індуктивність спочатку обмежує швидкість зростання струму, а потім швидкість його зменшення викликає електрорушійну силу , що втримує заряд, і, як наслідок, конденсатор знову заряджається.

Якщо втрати струму (на утворення тепла, на випромінювання електромагнітних хвиль тощо) невеликі, то коливання можуть продовжуватися дуже довго. У ідеальному випадку нульвого опору — вічно. В реальних колах активний опір завжди існує, а тому реальні коливання завжди затухають.

Математичне формулювання[ред. | ред. код]

Основним критерієм розгляду є умова постійності сили струму у всіх точках контура. Тобто сила струму в довільний момент часу повинна задовольняти всім законам притаманним постійному струму. Такий змінний струм називаєть квазістаціонарним. Диференціальне рівняння для класичного RLC-контура записується для невідомої динамічної змінної — електричного заряду q(t) {\displaystyle q(t)\ } і є математичним виразом закону Кірхгофа. Рівняння складається з трьох доданків — спадів напруги на індуктивності, на резисторі та напрузі на ємності, які в сумі повинні давати нуль:

Ld2qdt2+Rdqdt+qC=0{\displaystyle L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+R{\frac {dq}{dt}}+{\frac {q}{C}}=0},

Розв’язок цього рівняння має вигляд:

q(t)=A0e−Rt/2Lsin⁡(ωt+α0) ,   ω=1LC−R24L2{\displaystyle q(t)=A_{0}e^{-Rt/2L}\sin(\omega t+\alpha _{0})~,~~~\omega ={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}}

де ω{\displaystyle \omega } — резонансна частота контура, A0{\displaystyle A_{0}} — амплітуда коливань, α0{\displaystyle \alpha _{0}} — фаза. Таким чином, при замиканні перемикача в RLC-контурі виникають затухаючі коливання. Тому цей контур і називають коливальним контуром. Декремент затухання коливань у контурі визначається активним опором за формулою:

β=R2L{\displaystyle \beta ={\frac {R}{2L}}}.

Через цей коефіцієнт затухання можна виразити миттєву амплітуду коливань заряду конденсатора:

A=A0e−Rt/2L=A0e−βt {\displaystyle A=A_{0}e^{-Rt/2L}=A_{0}e^{-\beta t}\ }.

Різниця потенціалів Δϕ {\displaystyle \Delta \phi \ } на обкладинках конденсатора пропорційна заряду q{\displaystyle q}:

Δϕ=qC=A0Ce−Rt/2Lsin⁡(ωt+α0) {\displaystyle \Delta \phi ={\frac {q}{C}}={\frac {A_{0}}{C}}e^{-Rt/2L}\sin(\omega t+\alpha _{0})\ }

Залежність сили струму в коливальному контурі від часу має вигляд:

I=−dqdt=A0e−Rt/2LR2Lsin⁡(ωt+α0) −ωcos⁡(ωt+α0) {\displaystyle I=-{\frac {dq}{dt}}=A_{0}e^{-Rt/2L}{{\frac {R}{2L}}\sin(\omega t+\alpha _{0})\ -\omega \cos(\omega t+\alpha _{0})\ }}.

Якщо в початковий момент часу t=0 {\displaystyle t=0\ } заряд на обкладках конденсатора дорівнював q=q0 {\displaystyle q=q_{0}\ }, а струм в контурі був відсутній, то початкову фаза коливань α0{\displaystyle \alpha _{0}} та їхня амплітуда дорівнюють:

α0=arctgωβ=arctg 4LCR2−1 ,   A0=q0sin⁡α0=q01−CR24L{\displaystyle \alpha _{0}={\text{arctg}}\;{\frac {\omega }{\beta }}={\text{arctg}}\ {\sqrt {{\frac {4L}{CR^{2}}}-1}}~,~~~A_{0}={\frac {q_{0}}{\sin \alpha _{0}}}={\frac {q_{0}}{\sqrt {1-{\frac {CR^{2}}{4L}}}}}}.

Незатухаючі коливання[ред. | ред. код]

Якщо опір контура зменшувати до нуля R→0 {\displaystyle R\to \;0\ }, тоді в LC− {\displaystyle LC-\ } контурі виникають незатухаючі коливання, для яких справедливі такі співвідношення:

ω0=1LC ,   α0=π2 {\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}~,~~~\alpha _{0}={\frac {\pi }{2}}\ }.

Заряди, напруги та струми в коливальному контурі будуть у цьому випадку рівні:

q=q0sin⁡(ω0t+π/2) {\displaystyle q=q_{0}\sin(\omega _{0}t+\pi /2)\ }

Δϕ=q0Csin⁡(ω0t+π/2) {\displaystyle \Delta \phi ={\frac {q_{0}}{C}}\sin(\omega _{0}t+\pi /2)\ }

I=−q0ω0cos⁡(ω0t+π/2) {\displaystyle I=-q_{0}\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\pi /2)\ }

Період власних незатухаючих коливань дорівнює

T=2πω0=2πLC{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}} (12)

Ця формула вперше була отримана в 1853 році В. Томсоном, тому і називається формулою Томсона.

Струм I(t){\displaystyle I(t)} в контурі можна переписати у вигляді:

I=−q0ω0cos⁡(ω0t+π/2) =q0ω0sin⁡ω0t {\displaystyle I=-q_{0}\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\pi /2)\ =q_{0}\omega _{0}\sin \omega _{0}t\ }.

Тобто він відстає по фазі від різниці потенціалів на обкладках конденсатора на π/2{\displaystyle \pi /2}. Амплітуда I0 {\displaystyle I_{0}\ } сили струму, та амплітуда Δϕ{\displaystyle \Delta \phi } різниці потенціалів дорівнюють:

I0=q0ω0=q0/LC ,   Δϕ=q0/C {\displaystyle I_{0}=q_{0}\omega _{0}=q_{0}/{\sqrt {LC}}~,~~~\Delta \phi =q_{0}/C\ }

тому

I0=Δϕ0⋅C/L=Δϕ0/ρ ,   ρ=LC{\displaystyle I_{0}=\Delta \phi _{0}\cdot {\sqrt {C/L}}=\Delta \phi _{0}/\rho ~,~~~\rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}},

де величину ρ{\displaystyle \rho } називають хвилевим опором контура.

Закон збереження енергії[ред. | ред. код]

Повна енергія контура складається із суми двох енергій: енергії заряду q(t){\displaystyle q(t)}, накопиченого на ємності, WC{\displaystyle W_{C}} та магнітної енергії на індуктивності WL{\displaystyle W_{L}}:

WLC=WC+WL=q(t)22C+LI(t)22=q(t)22C+L2(dq(t)dt)2{\displaystyle W_{LC}=W_{C}+W_{L}={\frac {q(t)^{2}}{2C}}+{\frac {LI(t)^{2}}{2}}={\frac {q(t)^{2}}{2C}}+{\frac {L}{2}}\left({\frac {dq(t)}{dt}}\right)^{2}}.

Максимальна енергія, що накопичується на ємності дорівнює максимальній енергії, що накопичується на індуктивності і дорівнює повній енергії контутру

WC0=CΔϕ022=q022C=LI022=WL0=WLC{\displaystyle W_{C0}={\frac {C\Delta \phi _{0}^{2}}{2}}={\frac {q_{0}^{2}}{2C}}={\frac {LI_{0}^{2}}{2}}=W_{L0}=W_{LC}}.

Коливальні контури із джерелом напруги[ред. | ред. код]

Послідовний контур[ред. | ред. код]

Послідовний контур — це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено послідовно.

Паралельний контур[ред. | ред. код]

Паралельний контур — це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено паралельно.

В класичному коливальному контурі максимальне значення заряду на обкладках конденсатора завжди визначається початковими умовами. Скільки заряду q0 {\displaystyle q_{0}\ } посадили на ємність, стільки ж і буде брати участь в коливаннях у випадку незатухаючих коливань. У випадку затухаючих коливань, кількість заряду буде перманентно зменшуватися.

• Яворский Б. М., Детлаф А. А., Милковская Л. Б. Курс физики. Том 2. Электричество и магнетизм. Изд. 3-е, испр. И доп., М.:Высшая школа, 1966.- 412с.

Електричний коливальний контур. Власнi коливання. Формула Томсона | Квазiстацiонарнi струми | Електрика та магнетизм | фізика

 Коливальним контуром називають електричне коло, складене із конденсатора та котушки індуктивності.  У такому колі енергія електричного поля конденсатора може перетворюватись в енергію магнітного поля котушки.  Одночасні зміни взаємозв’язаних між собою електричного і магнітного полів називаються електромагнітними коливаннями.

 Щоб одержати електромагнітні коливання необхідно зарядити конденсатор та замкнути електричне коло (рис.12.9,а). Якщо конденсатор має електричну ємність С, а зарядили його до напруги  U₀=q₀/C, то між його обкладками наведеться електричне поле:

  енергією    

 

 При замиканні ключа К конденсатор почне розряджатись через котушку, але розряд не буде миттєвим, оскільки, відповідно до закону Ленца, ЕРС, що збуджується, протидіятиме наростанню струму. Через t=T/4 конденсатор повністю розрядиться, в котушці індуктивності буде наведене магнітне поле максимальної індукції (рис.12.8,б) та енергії  .

 Якщо вважати, що енергія не втрачається на випромінювання та нагрівання провідників, то:

, або .

У момент часу t=T/2 між обкладинками конденсатора знову існуватиме електричне поле, але протилежного напрямку від початкового (рис.12.8,в).

Наступна розрядка проходитиме аналогічно до розглянутої. Так у колі відбуватиметься періодичний рух електронів від однієї обкладинки конденсатора до іншої із частотою, що залежить від параметрів контуру  L, C i R.

Коливання, які відбуваються в коливальному контурі без зовнішніх впливів і втрат енергії називаються власними електромагнітними випромінюваннями.

Миттєве значення розрядного струму можна оцінити із таких міркувань. Якщо у початковий момент напруга на конденсаторі U₀=q₀/C, ЕРС самоіндукції  , то відповідно до закону Ома:

.

Оскільки,  , , тоді після перетворень одержимо:

.

Якщо коливання власні, то значить, що R=0 і тому кінцево маємо:

.

Це і буде рівняння власних електромагнітних коливань в електричному коливальному контурі. Як бачимо, це рівняння подібне до рівняння власних механічних коливань.

Розв’язком такого рівняння є гармонічна функція: ,

де  − власна частота контура.

Формула Томсона визначає період власних коливань, отже  .

Під час розглянутих власних коливань на обкладках конденсатора змінюється напруга на конденсаторі за законом  а величина розрядного струму відповідно до закону 

Коливальний контур — це … Принцип дії — Наука

Коливальний контур — це пристрій, призначений для генерації (створення) електромагнітних коливань. З моменту його створення і по сьогоднішній день він використовується в багатьох областях науки і техніки: від повсякденного життя до величезних заводів, що виробляють найрізноманітнішу продукцію.

З чого він складається?

Коливальний контур складається з котушки і конденсатора. Крім того, в ньому також може бути присутнім резистор (елемент зі змінним опором). Котушка індуктивності (або соленоїд, як її іноді називають) являє собою стрижень, на який намотуються кілька шарів обмотки, яка, як правило, являє собою мідний дріт. Саме цей елемент створює коливання в коливальному контурі. Стрижень, що знаходиться в середині, часто називають дроселем, або сердечником, а котушку іноді називають соленоїдом.

Котушка коливального контуру створює коливання тільки при наявності запасені заряду. При проходженні через неї струму вона накопичує заряд, який потім віддає в ланцюг, якщо напруга падає.

Провід котушки зазвичай мають дуже маленький опір, яке завжди залишається постійним. У ланцюзі коливального контуру дуже часто відбувається зміна напруги і сили струму. Ця зміна підпорядковується певним математичним законам:

• U = U ₀ * cos (w * (tt _0), де
  U — напруга в даний момент часу t,
  U ₀ — напруга під час t _0,
  w — частота електромагнітних коливань.

Іншим невід’ємним компонентом контуру є електричний конденсатор. Це елемент, що складається з двох обкладок, які розділені між собою діелектриком. При цьому товщина шару між обкладинками менше їх розмірів. Така конструкція дозволяє накопичувати на діелектрику електричний заряд, який потім можна віддати в ланцюг.

Відмінність конденсатора від акумулятора в тому, що в ньому не відбувається перетворення речовин під дією електричного струму, а відбувається безпосереднє накопичення заряду в електричному полі. Таким чином, за допомогою конденсатора можна накопичити достатньо великий заряд, віддавати який можна весь відразу. При цьому сила струму в ланцюзі сильно зростає.

Також коливальний контур складається з ще одного елемента: резистора. Цей елемент має опір і призначений для контролювання сили струму і напруги в ланцюзі. Якщо при постійній напрузі збільшувати опір резистора, то сила струму буде зменшуватися за законом Ома:

• I = U / R, де
  I — сила струму,

Коливальний контур — Gpedia, Your Encyclopedia

Колива́льний ко́нтур або коливний контур — електричне коло, складене з резистора, конденсатора та котушки індуктивності, в якому можливі коливання напруги й струму. Коливальні контури широко застосовуються в радіотехніці та електроніці, зокрема в генераторах електричних коливань, в частотних фільтрах. Вони використовуються практично в кожному електротехнічному пристрої.

Послідовний RLC-коливальний контур: V — напруга в контурі І — сила струму в контурі R — резистор L — котушка індуктивності C — конденсатор

Коливальний контур без джерела напруги

Коливальний контур, що складається із послідовно з’єднаних котушки індуктивністю L {\displaystyle L\ }, конденсатора ємністю C {\displaystyle C\ } та активного резистора R {\displaystyle R\ } називається RLC-контуром.

В загальному випадку активний опір R{\displaystyle R} включає не тільки активні опори провідників, а й опір, зв’язаний з витратами на випромінювання, що виникає внаслідок відкритості конденсатора та індуктивності.

У випадку, коли активний опір малий, і ним можна знехтувати, коливальний контур називають LC-контуром.

В ланку коливального контура можна додати перемикач для аналізу процесу накопичення зарядів на ємності.

Якісний опис

Нехай у певний момент часу на обкладинках конденсатора C існує певний заряд: додатній на одній із них, від’ємний на іншій. Оскільки обкладинки сполучені між собою колом, що складається з індуктивності і опору, то конденсатор почне розряджатися, а через коло потече струм. Збільшення струму на котушці індуктивності викликає в ній електрорушійну силу, яка діятиме проти струму, перешкоджаючи йому зростати миттєво. Крім того, проходячи через активний опір, струм буде викликати нагрівання цього опору за законом Джоуля-Ленца, призводячи до втрат енергії.

Сила струму в колі буде збільшуватися доти, доки на обкладинках конденсатора залишатиметься заряд. Тоді, коли заряд на обкладинках конденсатора дорівнюватиме нулю, сила струму в колі буде максимальною, і відтоді почне зменшуватися. Зменшення струму в індуктивності призводить до виникнення електрорушійної сили, яка намагатиметься сповільнити це зменшення, тому струм в колі не зменшиться до нуля миттєво, а продовжуватиме протікати, заряджаючи конденсатор уже оберненим зарядом. На обкладинці, зарядженій спочатку додатньо, зосереджуватиметься від’ємний заряд, і навпаки. Максимального значення заряд досягне тоді, коли струм через коло спаде до нуля. В цю мить на обкладинках конденсатора утвориться заряд майже рівний початковому, тільки з оберненим знаком. Зменшення заряду зумовлене втратами в активному опорі, що викликають зменшення струму перезарядки. Далі процес повторюється в зворотньому напрямку — конденсатор починає розряджатися, викликаючи в колі струм, індуктивність спочатку обмежує швидкість зростання струму, а потім швидкість його зменшення викликає електрорушійну силу , що втримує заряд, і, як наслідок, конденсатор знову заряджається.

Якщо втрати струму (на утворення тепла, на випромінювання електромагнітних хвиль тощо) невеликі, то коливання можуть продовжуватися дуже довго. У ідеальному випадку нульвого опору — вічно. В реальних колах активний опір завжди існує, а тому реальні коливання завжди затухають.

Математичне формулювання

Основним критерієм розгляду є умова постійності сили струму у всіх точках контура. Тобто сила струму в довільний момент часу повинна задовольняти всім законам притаманним постійному струму. Такий змінний струм називаєть квазістаціонарним. Диференціальне рівняння для класичного RLC-контура записується для невідомої динамічної змінної — електричного заряду q(t) {\displaystyle q(t)\ } і є математичним виразом закону Кірхгофа. Рівняння складається з трьох доданків — спадів напруги на індуктивності, на резисторі та напрузі на ємності, які в сумі повинні давати нуль:

Ld2qdt2+Rdqdt+qC=0{\displaystyle L{\frac {d^{2}q}{dt^{2}}}+R{\frac {dq}{dt}}+{\frac {q}{C}}=0},

Розв’язок цього рівняння має вигляд:

q(t)=A0e−Rt/2Lsin⁡(ωt+α0) ,   ω=1LC−R24L2{\displaystyle q(t)=A_{0}e^{-Rt/2L}\sin(\omega t+\alpha _{0})~,~~~\omega ={\sqrt {{\frac {1}{LC}}-{\frac {R^{2}}{4L^{2}}}}}}

де ω{\displaystyle \omega } — резонансна частота контура, A0{\displaystyle A_{0}} — амплітуда коливань, α0{\displaystyle \alpha _{0}} — фаза. Таким чином, при замиканні перемикача в RLC-контурі виникають затухаючі коливання. Тому цей контур і називають коливальним контуром. Декремент затухання коливань у контурі визначається активним опором за формулою:

β=R2L{\displaystyle \beta ={\frac {R}{2L}}}.

Через цей коефіцієнт затухання можна виразити миттєву амплітуду коливань заряду конденсатора:

A=A0e−Rt/2L=A0e−βt {\displaystyle A=A_{0}e^{-Rt/2L}=A_{0}e^{-\beta t}\ }.

Різниця потенціалів Δϕ {\displaystyle \Delta \phi \ } на обкладинках конденсатора пропорційна заряду q{\displaystyle q}:

Δϕ=qC=A0Ce−Rt/2Lsin⁡(ωt+α0) {\displaystyle \Delta \phi ={\frac {q}{C}}={\frac {A_{0}}{C}}e^{-Rt/2L}\sin(\omega t+\alpha _{0})\ }

Залежність сили струму в коливальному контурі від часу має вигляд:

I=−dqdt=A0e−Rt/2LR2Lsin⁡(ωt+α0) −ωcos⁡(ωt+α0) {\displaystyle I=-{\frac {dq}{dt}}=A_{0}e^{-Rt/2L}{{\frac {R}{2L}}\sin(\omega t+\alpha _{0})\ -\omega \cos(\omega t+\alpha _{0})\ }}.

Якщо в початковий момент часу t=0 {\displaystyle t=0\ } заряд на обкладках конденсатора дорівнював q=q0 {\displaystyle q=q_{0}\ }, а струм в контурі був відсутній, то початкову фаза коливань α0{\displaystyle \alpha _{0}} та їхня амплітуда дорівнюють:

α0=arctgωβ=arctg 4LCR2−1 ,   A0=q0sin⁡α0=q01−CR24L{\displaystyle \alpha _{0}={\text{arctg}}\;{\frac {\omega }{\beta }}={\text{arctg}}\ {\sqrt {{\frac {4L}{CR^{2}}}-1}}~,~~~A_{0}={\frac {q_{0}}{\sin \alpha _{0}}}={\frac {q_{0}}{\sqrt {1-{\frac {CR^{2}}{4L}}}}}}.

Незатухаючі коливання

Якщо опір контура зменшувати до нуля R→0 {\displaystyle R\to \;0\ }, тоді в LC− {\displaystyle LC-\ } контурі виникають незатухаючі коливання, для яких справедливі такі співвідношення:

ω0=1LC ,   α0=π2 {\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}~,~~~\alpha _{0}={\frac {\pi }{2}}\ }.

Заряди, напруги та струми в коливальному контурі будуть у цьому випадку рівні:

q=q0sin⁡(ω0t+π/2) {\displaystyle q=q_{0}\sin(\omega _{0}t+\pi /2)\ }

Δϕ=q0Csin⁡(ω0t+π/2) {\displaystyle \Delta \phi ={\frac {q_{0}}{C}}\sin(\omega _{0}t+\pi /2)\ }

I=−q0ω0cos⁡(ω0t+π/2) {\displaystyle I=-q_{0}\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\pi /2)\ }

Період власних незатухаючих коливань дорівнює

T=2πω0=2πLC{\displaystyle T={\frac {2\pi }{\omega _{0}}}=2\pi {\sqrt {LC}}} (12)

Ця формула вперше була отримана в 1853 році В. Томсоном, тому і називається формулою Томсона.

Струм I(t){\displaystyle I(t)} в контурі можна переписати у вигляді:

I=−q0ω0cos⁡(ω0t+π/2) =q0ω0sin⁡ω0t {\displaystyle I=-q_{0}\omega _{0}\cos(\omega _{0}t+\pi /2)\ =q_{0}\omega _{0}\sin \omega _{0}t\ }.

Тобто він відстає по фазі від різниці потенціалів на обкладках конденсатора на π/2{\displaystyle \pi /2}. Амплітуда I0 {\displaystyle I_{0}\ } сили струму, та амплітуда Δϕ{\displaystyle \Delta \phi } різниці потенціалів дорівнюють:

I0=q0ω0=q0/LC ,   Δϕ=q0/C {\displaystyle I_{0}=q_{0}\omega _{0}=q_{0}/{\sqrt {LC}}~,~~~\Delta \phi =q_{0}/C\ }

тому

I0=Δϕ0⋅C/L=Δϕ0/ρ ,   ρ=LC{\displaystyle I_{0}=\Delta \phi _{0}\cdot {\sqrt {C/L}}=\Delta \phi _{0}/\rho ~,~~~\rho ={\sqrt {\frac {L}{C}}}},

де величину ρ{\displaystyle \rho } називають хвилевим опором контура.

Закон збереження енергії

Повна енергія контура складається із суми двох енергій: енергії заряду q(t){\displaystyle q(t)}, накопиченого на ємності, WC{\displaystyle W_{C}} та магнітної енергії на індуктивності WL{\displaystyle W_{L}}:

WLC=WC+WL=q(t)22C+LI(t)22=q(t)22C+L2(dq(t)dt)2{\displaystyle W_{LC}=W_{C}+W_{L}={\frac {q(t)^{2}}{2C}}+{\frac {LI(t)^{2}}{2}}={\frac {q(t)^{2}}{2C}}+{\frac {L}{2}}\left({\frac {dq(t)}{dt}}\right)^{2}}.

Максимальна енергія, що накопичується на ємності дорівнює максимальній енергії, що накопичується на індуктивності і дорівнює повній енергії контутру

WC0=CΔϕ022=q022C=LI022=WL0=WLC{\displaystyle W_{C0}={\frac {C\Delta \phi _{0}^{2}}{2}}={\frac {q_{0}^{2}}{2C}}={\frac {LI_{0}^{2}}{2}}=W_{L0}=W_{LC}}.

Коливальні контури із джерелом напруги

Послідовний контур

Послідовний контур — це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено послідовно.

Паралельний контур

Паралельний контур — це такий коливальний контур, в якому джерело живлення підключено паралельно.

Висновки

В класичному коливальному контурі максимальне значення заряду на обкладках конденсатора завжди визначається початковими умовами. Скільки заряду q0 {\displaystyle q_{0}\ } посадили на ємність, стільки ж і буде брати участь в коливаннях у випадку незатухаючих коливань. У випадку затухаючих коливань, кількість заряду буде перманентно зменшуватися.

Див. також

Література

• Яворский Б. М., Детлаф А. А., Милковская Л. Б. Курс физики. Том 2. Электричество и магнетизм. Изд. 3-е, испр. И доп., М.:Высшая школа, 1966.- 412с.

Коливальний контур | Електромагнітні коливання та хвилі, 11 клас

Мета уроку:   ознайомити учнів з вільними електромагнітними коливаннями в ідеальному коливальному контурі.

Тип уроку:     урок вивчення нового матеріалу.

ПЛАН УРОКУ

Контроль знань	5 хв.	1.     Види коливань і умови їх виникнення. 2.     Гармонічні коливання. 3.     Фізичні величини, що характеризують коливальний рух.
Демонстрації	3 хв.	Вільні електромагнітні коливання в коливальному контурі
Вивчення нового матеріалу	25 хв.	1.     Вільні електромагнітні коливання в коливальному контурі. 2.     Ідеальний коливальний контур. 3.     Аналогія між вільними електромагнітними й механічними коливаннями.
Закріплення вивченого матеріалу	12 хв.	1.     Якісні питання. 2.     Навчаємося розв’язувати задачі.

ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

1.     Вільні електромагнітні коливання в коливальному контурі

Найпростіше коло, у якому можуть відбуватися вільні електричні коливання, складається з конденсатора й котушки, приєднаної до його обкладок. Активний опір провідників, з яких виготовлений коливальний контур, має бути малим.

Щоб у коливальному контурі виникли вільні коливання, системі необхідно передати енергію, наприклад зарядити конденсатор. На обкладках конденсатора накопичується певний зарядqmax, а між обкладками виникає електричне поле, енергія якого дорівнює:

Якщо після заряджання конденсатор замкнути на котушку індуктивності, то під дією електричного поля конденсатора вільні заряджені частинки в контурі почнуть рухатися напрямлено. У контурі виникне електричний струм i, а конденсатор почне розряджатися. Внаслідок явища самоіндукції сила струму в котушці буде збільшуватися поступово й досягне максимуму, коли конденсатор повністю розрядиться.

Однак через явище самоіндукції після розряджання конденсатора струм не припиниться миттєво: він буде продовжувати текти ще певний час у тому самому напрямку, знову заряджаючи пластини конденсатора. Після цього весь процес повториться в «протилежному» напрямку і коливальний контур повернеться у вихідний стан, готовий до наступного коливання.

Таким чином, протягом першої чверті періоду енергія електричного поля конденсатора перетворюється в енергію магнітного поля котушки. Повна енергія коливального контуру дорівнює:

.

У момент, коли конденсатор повністю розрядиться, енергія електричного поля дорівнюватиме нулю, сила струму досягне максимального значення, а повна енергія коливального контуру дорівнюватиме:

.

Протягом другої чверті періоду енергія магнітного поля котушки перетворюється в енергію електричного поля конденсатора. Конденсатор буде перезаряджатися, поки сила струму не досягне нуля. Енергія магнітного поля котушки в цей момент також дорівнюватиме нулю, а енергія електричного поля конденсатора досягне максимального значення.

Наступну половину періоду характер зміни електричного заряду на обкладках конденсатора й характер зміни сили струму в контурі будуть такими самими, тільки у зворотному напрямку. Коли заряд на обкладках конденсатора досягне максимального значення, завершиться одне повне коливання.

Електромагнітними коливаннями називають періодичні (або майже періодичні) зміни заряду, сили струму й напруги.

Коливальний контур можна вважати замкнутою системою, тому коливання є вільними.

2.     Ідеальний коливальний контур

Якби не було втрат енергії, амплітуда коливань у коливальному контурі залишалася б незмінною, і коливання були б незатухаючими.

ØФізична модель, що являє собою коливальний контур, у якому відсутні втрати енергії, називається ідеальним коливальним контуром, а коливання в ньому — власними коливаннями.

Закон збереження енергії для ідеального коливального контуру має такий вигляд:

  або   .

 

3.     Аналогія між вільними електромагнітними й механічними коливаннями

Якщо порівняти вільні електромагнітні коливання в коливальному контурі й механічні коливання вантажу на пружині, то можна помітити, що коливання різної природи мають подібні закономірності. Потрібно звернути увагу на те, що коливання схожі за закономірностями, а не за природою. Наприклад, якщо однією із причин механічних коливань є інертність тіла, що характеризується його масою, то однією з причин електромагнітних коливань є вихрове електричне поле, що характеризується ЕРС самоіндукції. Саме завдяки вихровому полю, а не інертності електрони продовжують рух у попередньому напрямку.

Скористаємося аналогією з коливаннями пружинного маятника. Початковий стан системи відповідає моменту, коли вантаж на пружині відвели від положення рівноваги й відпустили без поштовху.

Механічні явища	Електромагнітні явища
Вантаж починає рухатися й наближається до положення рівноваги. Швидкість вантажу збільшується поступово через його інертність	У коливальному контурі виникає струм розряджання конденсатора. Сила струму в контурі збільшується поступово через індуктивність котушки
Вантаж не може зупинитися в положенні рівноваги: він набув певної швидкості і не може втратити цю швидкість миттєво через інертність	Конденсатор не може залишатися незарядженим, тому що сила струму не може миттєво зменшиться через явище самоіндукції
Починаючи із цього моменту швидкість буде зменшуватися, а вантаж відхилятиметься від положення рівноваги в протилежний бік	Починаючи із цього моменту сила струму буде зменшуватися, а пластини конденсатора набуватимуть зарядів протилежного знака

ПИТАННЯ ДО УЧНІВ У ХОДІ ВИКЛАДУ НОВОГО МАТЕРІАЛУ

Перший рівень

1.     Назвіть основні елементи коливального контуру.

2.     Чи відбуватимуться електричні коливання в контурі, якщо передати енергію котушці індуктивності, а не конденсатору?

3.     Які перетворення енергії відбуваються під час вільних незатухаючих коливань у коливальному контурі?

Другий рівень

1.          Чому коливання в коливальному контурі не припиняються в той момент, коли заряд конденсатора стає рівним нулю?

2.          Чому дорівнює енергія контуру в довільний момент часу?

ЗАКРІПЛЕННЯ ВИВЧЕНОГО МАТЕРІАЛУ

1)    Якісні питання

1.     Чи виникнуть коливання в коливальному контурі, якщо замінити котушку індуктивності резистором?

2.     Де зосереджена енергія під час вільних коливань у контурі через 1/8, 1/4, 1/2 і 3/4 періоду після початку розряджання конденсатора?

2)    Навчаємося розв’язувати задачі

1.          Ідеальний коливальний контур складається з конденсатора ємністю 0,4 мкФ і котушки індуктивністю 1 мГн. Конденсатор зарядили до напруги 100 В и замкнули на котушку. Визначте електричну енергію, передану конденсатору, і максимальну силу струму в котушці.

Розв’язання. Скористаємося законом збереження енергії для ідеального коливального контуру:

,  а  , де  .

Із цих формул одержуємо: 

Перевіривши одиниці величин і провівши розрахунки, одержуємо, що енергія, передана конденсатору, дорівнює 2 мДж; максимальна сила струму в котушці 2 А.

2.          Ідеальний коливальний контур складається з конденсатора 1 мкФ і котушки індуктивністю 10 мГн. Який максимальний заряд на обкладках конденсатора, якщо максимальна сила струму в котушці становить 100 мА?

3.          Максимальне значення сили струму в коливальному контурі 1,2 мА, а амплітудне значення заряду на обкладках конденсатора 30 нКл. Визначте індуктивність котушки, якщо ємність конденсатора 200 пФ.

ЩО МИ ДІЗНАЛИСЯ НА УРОЦІ

•            Електричним коливальним контуром називається електричне коло, що складається з конденсатора C й котушки L.

•            Електромагнітними коливаннями називають періодичні (або майже періодичні) зміни заряду, сили струму й напруги.

•            Фізична модель, що являє собою коливальний контур, у якому відсутні втрати енергії, називається ідеальним коливальним контуром, а коливання в ньому — власними коливаннями.

•            Повна енергія коливань у контурі: 

Домашнє завдання

1.     Опрацювати конспект.

2.     Зб.: № 11.1; 11.2; 11.3; 11.5.

Вільні коливання в контурі

Коливальним контуром називається електричний ланцюг, що складається з конденсатора С та індуктивної котушки L із малим активним опором R.

Якщо такому контуру надати початковий запас електричної енергії (наприклад, зарядити конденсатор), то в ньому виникнуть електричні коливання.

Розглянемо спочатку фізичну сутність електричних коливань в ідеальному контурі, тобто в контурі без втрат (R = 0), зображеному на мал. 1, а.

Встановимо перемикач SA у ліве положення, тобто підключимо конденсатор до батареї GВ. При цьому конденсатор почне заряджатися, і напруга на його обкладках досягне напруги батареї U_б. У електричному полі між обкладками конденсатора запасається енергія

Wс=CU/2.(2.71 )

Перемикаємо тепер перемикач у праве положення, тобто створимо ланцюг розряду конденсатора на котушку. Струм розряду конденсатора, який протікає по котушці, утворить магнітне поле, що при своєму виникненні індукує у котушці ЕРС самоіндукції. Через те, що в даному випадку причиною виникнення індукованої ЕРС є наростання струму в котушці, ЕРС відповідно до закону Ленца буде спрямована проти струму. Внаслідок цього струм розряду наростає поступово.

Мал. 1. До розгляду процесів, що відбуваються в ідеальному коливальному контурі

Наростання струму розряду припиняється, коли напруга між обкладками конденсатора стане рівною нулю. На цьому перша чверть коливального процесу закінчується. Протягом даної чверті періоду відбувалося поступове зменшення потенційної енергії, електричного поля конденсатора і наростання кінетичної енергії магнітного поля котушки. Оскільки втрат енергії в контурі немає, до кінця розглянутої частини коливального процесу енергія магнітного поля котушки w= LI/2 чисельно дорівнює початкової енергії електричного поля конденсатора Wс = CU/2. Розглянутий процес розряду конденсатора показаний на тимчасовій діаграмі (мал. 1, б) на відрізку часу 0 — Т/4.

Коли розряд конденсатора закінчений, струм у ланцюзі повинний припинитися, повинно зникнути і магнітне поле котушки. Магнітне поле, що спадає, індукує у котушці ЕРС самоіндукції, що за законом Ленца підтримує струм, що зменшується, у результаті чого спадання струму відбувається поступово (мал. 1, б, відрізок часу Т/4 — Т/2). Струм, протікаючи в старому напрямку, заряджає конденсатор, і на його обкладках знову виникає напруга Uc, але оберненої (у порівнянні з вихідної) полярності. У момент Т/2 струм у ланцюзі котушки спадає до нуля, і вся енергія знову сконцентрована в електричному полі конденсатора. Через відсутність втрат ця енергія дорівнює початковому запасу, отримана від батареї, і, отже, напруга між обкладками конденсатора за значенням дорівнює, а по полярності обернено напрузі батареї. На цьому друга чверть коливального процесу закінчується.

Протягом третьої і четвертої чверті відбувається відповідно розряд і заряд конденсатора і до кінця четвертої чверті (мал. 1, б) конденсатор знову буде заряджений до напруги, за значенням і полярністю відповідній напрузі батареї. З цього моменту процес почне повторюватися з періодом коливань, рівним Т.

Отже, при наданні контуру початкового запасу енергії в ньому виникає коливальний процес, що полягає в переході енергії з електричного поля конденсатора в магнітне поле котушки й обернено. При цьому в контурі протікає змінний струм, а на котушці і конденсаторі виділяються змінні напруги. Процеси такого роду називаються вільними коливаннями.

Дослідження показали, що струм і напруги при вільних коливаннях змінюються по гармонійному (синусоїдальному) закону. Вільні електричні коливання можна порівняти з коливаннями маятника (мал. 1, б), потенційна енергія якого при виведенні з рівноваги переходить у кінетичну енергію й обернено. Моменти часу 0, Т/2 і Т відповідають максимуму потенційної енергії, аТ/4 і ЗТ/4 — максимуму кінетичної.

З фізичної сутності процесу вільних коливань випливає, що період їх повинний збільшуватися із збільшенням ємності конденсатора С та індуктивності котушки L. Дійсно, чим більше ємність, тим довше тривають розряд і заряд конденсатора, тим більше період Т. Чим більше індуктивність, тим більше ЕРС самоіндукції, тим повільніше наростає і спадає струм, тим більше період коливань. Залежність періоду коливань Т (с) від параметрів контуру (L і С) виражається формулою

Т=2, (2.72)

де L — індуктивність котушки, Гн; С — ємність конденсатора, Ф. Відповідно частота вільних коливань (Гц).

fo=1/Т=1/2(2.73)

У практичних розрахунках зручно користуватися наближеною формулою

fo=160/(2.74)

де L виражається в мікрогенрі, С — у пікофарадах, a fо визначається в мегагерцах. Залежність між амплітудами напруги на конденсаторі і току в контурі знайдемо зі співвідношення:

=(2.75)

відкіля I =і

I=(2.76)

Вираз (2.76) подібно формулі, що виражає закон Ома; у ньому розмір L/C за змістом і розмірністю є опір. Оскільки цей розмір являє собою опір контуру коливальному токові, її називають хвильовим опором  (Ом), тобто

=,(2.77)

де L — індуктивність, Гн; С — ємність, Ф.

При вільних коливаннях опори реактивних елементів контуру рівні між собою і рівні хвилястому опорові контуру. Дійсно, підрахуємо опори котушки і конденсатора при частоті вільних коливань:

Х = 2fL=2L =;

X==.

У дійсності активний опір котушки, як би мало воно ні було, не дорівнює нулю; тому в реальному коливальному контурі в процесі розряду і заряду конденсатора частина енергії переходить у тепло за законом Джоуля — Ленца. У результаті амплітуда коливань поступово зменшується, коливання загасають (мал. 2). Аналогічно загасають коливання маятника унаслідок втрат енергії на тертя. Втрати впливають і на частоту вільних коливань. Дійсно, чим більше активний опір котушки, тим довше повинні тривати розряд і заряд конденсатора, тим, отже, менше частота коливань. Аналогічно, якщо помістити маятник у більш щільне середовище, то час повного коливання повинно, очевидно, збільшитися.

Практично (при малих значеннях активного опору) можна не рахуватися з його впливом на частоту вільних коливань і вважати її рівній частоті вільних коливань в ідеальному контурі [формула (2.73)].

Мал. 2. Загасаючі коливання

Мал. 3. Графіки напруги на конденсаторі і току в контурі при аперіодичному розряді конденсатора

Для кількісної оцінки загасання коливань використовують поняття декремент затухання (загасання контуру) (а), під яким розуміється відношення активного опору контуру до його хвилястого опору:

а = r/. (2.78)

Тому що при вільних коливаннях  ще можна записати:

a=r/X=r/Xс. (2.79 ):

На практиці для оцінки коливальних ланцюгів частіше користуються розміром, оберненої загасанню, що називається добротністю контуру (Q). По визначенню

Q=1/а= ==(2.80 )

Щоб краще усвідомити фізичний зміст добротності помножим у формулі (2.80) чисельник і знаменник на I;

тоді

Q==(2.81)

Розміри IХ и IХ виражають відповідно реактивні потужності котушки і конденсатора (Р и Р),розмір Ir являє собою активну потужність утрат (Р). Отже,

Q= Р /Р= Р/P, (2.82)

тобто добротність являє собою відношення накопиченої контуром реактивної потужності до активної потужності втрат у контурі.

Доведено, що при Q  2 коливальний процес у контурі не виникає, фізично це означає, що при першому ж розряді конденсатора вся запасена в контурі енергія переходить у тепло. Подібно цьому маятник, приміщений у грузле середовище, при відхиленні відразу повертається в положення рівноваги, не роблячи коливань. На мал. 3 показані графіки напруги на конденсаторі і току в контурі при неколивальному (аперіодичному) розряді конденсатора.

Паралельний коливальний контур. Резонанс струмів

Коло з двома паралельними вітками: одна з яких з опором та індуктивністю, а інша – з опором та ємністю (рис.77). Таке коло називають паралельним коливальним контуром.

Провідність кола:

Резонанс у такому колі настає, коли вхідна реактивна провідність дорівнює нулю: . Якщо , то реактивні струми віток рівні за величиною, але протилежні за фазами. Такий режим має назву — резонанс струмів.

; ; ; .

Як витікає з векторної діаграми (рис.78), вхідний струм і може бути меншим за струми віток . Якщо активні опори відсутні (контур без втрат) , струми та мають зсуви фаз відносно напруги відповідно +?/2 та -?/2, а вхідний струм контуру . У цьому ідеальному випадку вхідний опір кола нескінченний.

Умова резонансу:

.

Зміною однієї з величин ?, L, C, R₁, R₂ при незмінних інших параметрах кола можна досягти виконання цієї умови. Якщо значення величини, що змінюється, при її визначенні за наведеним співвідношенням буде комплексним, це означає, що резонанс відсутній. Для ?, R₁, R₂ може бути тільки по одному значенню при яких виконується умова резонансу, а для L та C можуть бути два різних дійсних значення. У таких випадках зміною L або C можна досягти двох різних резонансних режимів.

Якщо рівняння умови резонансу розв’язати відносно ?, то будемо мати:

.

Для того, щоби ?₀ мало дійсне значення (існував резонансний режим) необхідно виконання нерівностей:

 або .

У протилежному випадку ?₀ – уявна величина, тобто резонанс неможливий.

Якщо , то , тобто має таке ж значення, як у послідовному колі.

Якщо , то контур резонує на будь-якій частоті (“байдужий” резонанс). Дійсно у цьому випадку еквівалентний опір кола буде дорівнювати:

 Таким чином, еквівалентний опір буде мати чисто активний характер і не буде залежати від частоти. Отже струм співпадає по фазі з напругою на будь-якій частоті, а його значення буде незмінним .

У радіоелектронних приладах використовують контури з малими втратами, тобто За таких умов:

 .

У багатьох випадках опором R₂ ємнісної вітки нехтують, тобто .

Тоді :

 .

Графіки залежності g, b, Y від частоти мають вигляд, наведений на рис.79.

Мінімум повної провідності Y контуру (а отже і струму) досягається не на резонансній частоті ?₀, а на дещо вищій.

24) На частотах близьких до частоти резонансу АЧХ контура стрімко спадає при зростанні розстроювання (mistuning). Тому, при подачі на вхід контуру сукупності гармонічних коливань (harmonic oscillation) з різними частотами, коливання, частоти яких близькі до частоти резонансу, викликають в контурі великі відгуки (струм і напругу на виході) і, навпаки, малі на частотах далеких від частоти резонансу. Спроможність контуру виділити з сукупності коливань ті коливання, частоти яких близькі до частоти резонансу називають селективністю або вибірністю. Кількісно вибірні властивості характеризують смугою пропускання, яка визначається за домовленістю.

Смугою пропускання контуру називають проміжок частот біля частоти резонансу, на границях якого АЧХ знижується відносно максимуму до певного рівня, який визначається домовленістю. Для послідовного коливального контуру цей рівень зручно задавати граничними значеннями узагальненим розстроюванням. Найчастіше беруть . В цьому випадку границям смуги пропускання відповідає зниження АЧХ високодобротних контурів до рівня відносно максимуму.

25) Послідовний коливальний контур. Резонанс напруг

Послідовний коливальний контур (рис.74). Комплексний опір такого кола залежить від частоти:

.