Равные вектора.

Навигация по странице:

• Определение равных векторов
• Условие равенства векторов
• Примеры задач на равенство векторов
  • плоские задачи
  • пространственные задачи

Определение. Вектора a и b называются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных прямых или на одной прямой, и направлены в одном направлении. (рис. 1).

То есть, два вектора равны, если они коллинеарные, сонаправленые и имеют равные длины:

a = b, если a↑↑b и |a| = |b|.

Условие равенства векторов.Вектора равны, если их координаты равны.

рис. 1

Примеры плоских задач на равенство векторов

Пример 1. Определить какие из векторов равны a = {1; 2}, b = {1; 2}, c = {3; 2}.

Решение:

a = b — так как их координаты равны,
a ≠ c — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 2. При каком значении параметра n вектора a = {1; 8;} и b = {1; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y => 8 = 2n => n = 8/2 = 4

Ответ: при n = 4 вектора a и b равны.

Примеры пространственных задач на равенство векторов

Пример 3. Определить какие из векторов равны a = {1; 2; 4}, b = {1; 2; 2}, c = {1; 2; 4}.

Решение:

a = c — так как их координаты равны,
a ≠ b — так как их координаты не равны,
b ≠ c — так как их координаты не равны.

Пример 4. При каком значении параметра n вектора a = {1; 2; 4} и b = {1; 2; 2n} равны.

Решение:

Проверим равенство компонентов векторов
a_x = b_x = 1
a_y = b_y = 2
a_z = b_z => 4 = 2n => n = 4/2 = 2

Ответ: при n = 2 вектора a и b равны.

Вектора Вектор: определение и основные понятия Определение координат вектора заданного координатами его начальной и конечной точки Модуль вектора. Длина вектора Направляющие косинусы вектора Равенство векторов Ортогональность векторов Коллинеарность векторов Компланарность векторов Угол между векторами Проекция вектора Сложение и вычитание векторов Умножение вектора на число Скалярное произведение векторов Векторное произведение векторов Смешанное произведение векторов Линейно зависимые и линейно независимые вектора Разложение вектора по базису

Онлайн калькуляторы с векторами

Онлайн упражнения с векторами на плоскости

Онлайн упражнения с векторами в пространстве

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Равные вектора — презентация онлайн

Похожие презентации:

Элементы комбинаторики ( 9-11 классы)

Применение производной в науке и в жизни

Проект по математике «Математика вокруг нас. Узоры и орнаменты на посуде»

Знакомство детей с математическими знаками и монетами

Тренажёр по математике «Собираем урожай». Счет в пределах 10

Методы обработки экспериментальных данных

Лекция 6. Корреляционный и регрессионный анализ

Решение задач обязательной части ОГЭ по геометрии

Дифференциальные уравнения

Подготовка к ЕГЭ по математике. Базовый уровень Сложные задачи

2. Равенство векторов
Введем определение равных векторов.
Векторы называются равными, если

они сонаправлены и их длины равны.
Текст
Равенство векторов
Определение: Векторы называются
равными, если они сонаправлены и их
длины равны.
Для примера рассмотрим прямоуголь- Рисунок параллелепипеда с выделенный параллелепипед. Векторы АВ и ными векторами АВ и ЕС
ЕС, отмеченные на параллелепипеде,
равны, так как они сонаправлены и их
длины равны.
Текст
АВ ЕС.
А на этом рисунке векторы АВ и СМ Рисунок параллелепипеда с выделеннеравны, так как они сонаправлены, ными векторами
но их длины неравны.
Текст
АВ СМ
На этом параллелепипеде векторы АН Рисунок параллелепипеда с выделени ОК так же неравны, так как наруше- ными векторами
но условие сонаправленности.
Текст
АН ОК
Если точка М – начало вектора а, то Рисунок вектора с началом в точке М
говорят, что вектор а отложен от точ- М
а
ки М.
Докажем, что от любой точки пространства можно отложить вектор,
равный данному, и притом только
один.
Вспомним определения: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. И
Если векторы коллинеарны и при
этом их лучи сонаправлены, то эти
векторы называются сонаправленными.
Пусть нам дан вектор а и точка М.
Проведем через вектор а и точку М
плоскость. В этой плоскости построим вектор МК, равны вектору а.
Очевидно, что вектор МК – искомый

вектор. Из построения следует, что
этот вектор единственный с началом
в точке М и равный вектору а.
Решим задачу № 323.
На рисунке изображен
Текст
Дано
М.
Доказать:
,
единственный.
Рисунок
Плоскости и на них два равных
вектора
Текст
тетраэдр Задача № 323
АВСD, ребра которого все равны.
Точки М, N, P и Q – середины сторон
AB, AD, DC, BC. Необходимо выписать все пары равных векторов, изображенных на рисунке, и определить
вид четырехугольника МNPQ.
Дано: точки М, N, P,Q – середины
сторон AB, AD, DC, BC;
AB=AD= DC=BC=DD=AC;
Задание: а) выписать пары равных
векторов;
б) определить вид четырехугольника
MNHQ .
Рисунок тетраэдра с серединами
сторон из условия задачи
Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. Из условия задачи знаем, что точка Р середина
DC,значит, отрезки DP и PC равны.
Векторы DP и PC сонаправлены, а,
значит, эти векторы равны.
NP-средняя линия треугольника
ADC, значит, NP равно половинеAC и
параллельно AC;
MQ-средняя линия тр. ABC, MQ равно половине AC и параллельно AC;
Значит, NP равно MQ, NP параллельно MQ. Из рисунка видим, что они сонаправленны. Векторы PN и QM равны.
PQ-средняя линия треугольника
DВC; PQ равно половине DB и параллельно DB;
NM-средняя линия треугольника
ADB, MN равно половине DB и параллельно DB. Делаем вывод, что
вектор QP равен вектору MN.
Рисунок прежний
Ткст:
Решение:
DP = PC, DP PC DP = PC .
NP-средняя линия ADC, значит,
1
NP = 2 AC, NP || AC ;
ABC, значит, MQ =
1
2
AC, MQ ||
AC;
Значит, NP = MQ, NP || MQ,
QM NP = QM .
NP
1
PQ-средняя линия DВC; PQ = 2
DB, PQ ||DB;
1
NM-средняя линия ADB, MN = 2
DB, MN || DB. Делаем вывод, что
= MN .
Пары равных векторов: MN и QP, PN Рисунок прежний
и QM, DP и PC.
QP
Определим вид четырехугольника Рисунок прежний
МNPQ. По условию все ребра тетраэдра равны, значит, он правильный
и скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны.
Имеем: NP параллельно АС и параллельно QM.
MN параллельно DB и параллельно
QP.
Отрезки MN, QP, PN и QM равны.
Учитывая перпендикулярность DB и
АС, можно сделать вывод, что MNPQ б) NP||АС, QM||АС.
MN || DB, QP|| DB.
— квадрат. Задача решена.
MN=QP=PN=QM. и DB и АС,
MNPQ — квадрат.

English     Русский Правила

линейная алгебра — Каковы условия равенства двух векторов?

В обычной математической формулировке общих векторов, т. е. как элементов векторного пространства, векторы не имеют такой вещи, как «позиции», как и обычные числа. Вам не нужна «позиция», чтобы сказать, что температуры, измеренные в двух разных точках комнаты, равны, поэтому пара векторов, которые применяются в двух разных точках, также не нуждаются в «позициях», чтобы называть их «равный».

Важным свойством векторов является то, что вы можете «добавлять» их от до «позиций» или лучше, точки . В частности, если $P$ — точка, а $\mathbf{v}$ — вектор, то $P + \mathbf{v}$ — другая точка, удаленная от нее на $|\mathbf{v}|$, и от $P$ к направлению, закодированному в $\mathbf{v}$. Покоординатно, если $P = (P_x, P_y)$ и $\mathbf{v} = \langle v_x, v_y \rangle$, то $P + \mathbf{v} = (P_x + v_x, P_y + v_y)$.

В контексте физики такие векторы, как сила и скорость, которые не непосредственно имеют единицы (или физического измерения) позиции, конечно, не могут быть добавлены к позициям, но в конечном счете они относятся к ним каким-то другим более косвенным образом, который все еще согласуется с этим, часто предполагая комбинации с другими векторами, и константы, которые при умножении изменяют свою физическую размерность. Конечно, в вашем случае оба вектора и имеют такие единицы, поэтому имеет смысл говорить о них именно так, но важно помнить о таких вещах, как сила, скорость и так далее.

В геометрическом контексте сказать, что «вектор является нормальным», означает на самом деле сказать, что сегмент , созданный применением этого вектора, является нормальным к поверхности в данной точке, то есть сегмент $\overline{PQ} $ с $Q = P + \mathbf{v}$, когда $P$ — искомая точка на поверхности. Другой, эквивалентный способ, который является более прямо «векторным», состоит в том, что вектор нормальен к плоскости, если вектор нормальен к любому вектору, который переводит точку на плоскости в любую другую точку на плоскости, и для криволинейных поверхностей конечно, естественное продолжение обоих из них через касательную плоскость.

Так почему два вектора равны? Вообще говоря, любые два математических объекта равны , если все характеризующие данные между ними идентичны. Для векторов релевантными характеристиками являются величина и направление, хотя последнее довольно сложно сформулировать, поэтому часто проще вместо этого с самого начала характеризовать их декартовыми компонентами, а именно. для любого вектора $\mathbf{v}$, $\mathbf{v}$ равно , формально определяемому как упорядоченная пара $\langle v_x, v_y \rangle$, где мы использовали угловые скобки для обозначения семантической разницы относительно точки координат. То есть вектор — это этот объект для математических манипуляций. Поскольку эти данные полностью характеризуют вектор, если у нас есть другой $\mathbf{u}$ с $\mathbf{u} = \langle u_x, u_y \rangle$, то $\mathbf{u} = \mathbf{v}$ тогда и только тогда, когда $u_x = v_x$ и $u_y = v_y$.

линейная алгебра — Как лучше всего проверить, равны ли векторы?

спросил

7 лет, 9 месяцев назад

Изменено 7 лет, 9несколько месяцев назад

Просмотрено 14 тысяч раз

$\begingroup$

Может быть, это глупый вопрос, но когда я начал думать об этом, я начал чувствовать себя довольно неуверенно. Вопрос в том, как лучше всего проверить, равны ли векторы или, точнее, собственные векторы? Я хочу сравнить два разных метода, которые генерируют собственные значения и собственные векторы, и я хочу показать, что полученные мной собственные векторы более или менее равны.

Я знаю, что могу сравнить нормы векторов и посмотреть, равны ли они друг другу, но это неужели говорят что они равны? У них тоже есть направление! Мои собственные векторы содержат много элементов, поэтому я не могу поставить их рядом друг с другом и сказать: «Смотрите! Они равны!». Как лучше всего определить, равны ли два собственных вектора?

• линейная алгебра
• собственные значения-векторы

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Вы можете вычислить скалярное произведение двух векторов, и если они параллельны (в одном направлении), их скалярное произведение будет равно произведению их индивидуальных норм. Затем вы можете проверить нормы и посмотреть, если

они равны (одинаковые величины).

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны все их компоненты.

Итак, (1,2,3) равно (1,2,3). Но (1,2,3) не равно
(1, 40, 3), так как вторые компоненты разные.

$\endgroup$

4

$\begingroup$

Один из способов сделать это — взять разность между векторами по компонентам и затем проверить, равен ли полученный вектор вектору $0$.

Этот метод позволяет легче «увидеть», что векторы совпадают. Например, гораздо проще подтвердить $$(0,0,12390330)\ne\vec{0}$$ а не $$(18921049890,128433,352983620)\ne(18921049890,128433,340593290)$$

$\endgroup$

2

$\begingroup$

Норма мало что вам скажет, потому что если $v$ является собственным вектором, то и любой кратен $v$.

Что вы можете сделать, так это сначала нормализовать все ваши векторы до одинаковой длины.