Site Loader

Содержание

Момент инерции ℹ️ формулы определения осевого, полярного и центробежного момента инерции геометрических фигур, физический смысл в теореме Гюйгенса-Штейнера, единицы измерения

Момент инерции: физический смысл

Основные понятия и суть

Момент инерции, формулы с примерами

Инерция — это способность тела сохранять приданную ей скорость движения при отсутствии какого-либо внешнего воздействия. Например, во время езды на общественном транспорте всем приходится держаться за поручни. Если этого не сделать, то при изменении скорости движения транспортного средства существует большая вероятность упасть вперёд или назад. Другими словами, возникает какая-то сила, влияющая на пассажира. Когда её действие заканчивается, движение человека всё равно продолжается.

Это свойство и описывается понятием инертность. Раньше изучали это явление известные учёные Галилей, Ньютон, Мах. В соответствии с их исследованиями было установлено классическое правило момента вращения, физический смысл которого заключается в распределении массы в теле, определяемой суммой произведения простейшей массы на расстояние до начального множества в квадрате. Классическая формула, описывающая характеристику, выглядит следующим образом: Ja = Σmi*r

2j. В ней:

  • mi — масса в точке;
  • rj — расстояние от точки до координаты.

То есть момент — это скалярная величина, являющаяся мерой инертности. В качестве единицы измерения по международной системе принято использовать произведение килограмма на квадратный метр (кг*м²). Обозначают параметр латинской буквой I или J. При умножении момента инерции на угловое ускорение можно определить сумму моментов всех сил, приложенных к телу: M = I * E. Фактически это уравнение является аналогом второго закона Ньютона.

М — это момент силы, оказывающий вращательное движение и воздействующий на ускорение тела, а E — угловое ускорение. Мера инертности тела отличается от массы тем, что вторая проявляется, когда его необходимо разогнать, а первая — при его раскручивании.

Вычисление параметра

Момент инерции, единица измерения

Характеристика инерции тел зависит от их количественных показателей и формы. Для того чтобы найти характеристику, можно рассмотреть вращение материальной точки, находящейся на невесомой штанге, имеющей длину r и массу m. Для такой ситуации формулу момента инерции можно записать: I = m*r2. Длина r представляет собой радиус кольца, по которому происходит вращение объекта по оси. Таким образом, рассматриваемый момент зависит не только от массы тела, но и геометрических характеристик.

Любое тело можно описать совокупностью материальных точек. Для понятия процесса лучше всего рассмотреть простой пример. Пусть имеется невесомый цилиндр, способный вращаться по радиусу Rc. На него намотана верёвка, к которой приложена сила F. На цилиндр будут насаживаться тела с различной формой. Если известны его радиус и сила, с которой происходит раскручивание, то справедливо будет записать следующее выражение: M = F*Rc.

Допустим, на цилиндр помещены два тела. Одно имеет массу m1 и радиус вращения r1, а другое — m2 и r2. Используя основное уравнение динамики вращательного движения для первого тела с угловым ускорением ƹ1, момент силы можно определить как M1 = I1 * ƹ1. Соответственно, для второго предмета сила будет определяться по формуле: M1 = I2 * ƹ2.

Если эти два тела жёстко скрепить между собой, то они буду представлять собой составные части одного предмета, поэтому их угловые ускорения станут одинаковы (ƹ1 + ƹ2 = ƹ), а требующийся момент M станет равный сумме M1 + M2. Подставив значения, получим равенство M = I1*ƹ + I2*ƹ. Выражение можно упростить до вида M = ƹ (I1+I2). То есть нужный момент для тела, состоящего из совокупности точек, будет равен произведению суммы моментов инерции на угловое ускорение обоих тел.

Из сказанного можно сделать вывод, что момент инерции всего тела равен сумме моментов составных частей. Другим словами, он обладает свойством аддитивности. Используя это, можно составить алгоритм расчёта для любой формы.

Методика решения

Существует универсальный алгоритм, подходящий для расчёта параметра прямоугольника, треугольника, круга или другой фигуры произвольной формы. Допустим, есть сложное тело с заданной осью вращения. Необходимо найти момент его вращения. Для того чтобы решить поставленную задачу, используются два принципа:

  • Аддитивность — свойство, обозначающее, что величина целого значения определяется суммой соответствующих ему частей.
  • Формула нахождения момента для материальной точки I = m*r2.

Всё тело можно разделить на мельчайшие частички, которые представляют собой материальные точки. Номера этих кусков обозначают в виде i. Масса произвольной части будет определяться как дельта mi. Пусть этот кусок находится на расстоянии ri от оси вращения O. Для этой части момент вращения находится с помощью выражения Ii = Δ mi*ri

2. Учитывая аддитивность, общий момент будет равен I = Σ Δ mi*ri2, где i принимает значение от 1 до n.

Эта формула является приближённой, так как точность зависит от массы частей и размера. Если кусочки, на которые разбивается тело, большие, считать их материальными точками нельзя. Чем мельче части, тем точнее будет результат. В соответствии с математическим анализом такие задачи решаются с помощью интегрирования. Понимая физический смысл момента инерции, можно отметить следующие зависимости:

  • прямая пропорциональность массе;
  • соответствие квадрату размера;
  • изменение с учетом оси вращения.

Роль последнего пункта огромна. Например, если рассмотреть два момента вращения велосипедной спицы диаметром 2 мм и длиной 30 сантиметров, то можно увидеть зависимость от выбранной оси поворота.

Относительно вертикальной оси вращение обозначим I1, горизонтальной — I2. Подставив в формулы выражения, используемые для расчётов, можно получить отношение I1/I2 = (m*l2/12) / ((m*d2/8). После его упрощения будет верна запись I1/ I2 = (2/3)*(l/d)2. В итоге получится ответ 15000. Получается, если спицу будут закручивать с одинаковым моментом вокруг вертикальной оси и горизонтальной, то в первом случае она станет крутиться в 15 тыс. раз быстрее.

Моменты простейших объектов

Проведение интегрирования — довольно трудная операция, предполагающая хорошее знание высшей математики. Существует таблица, в которой собраны вычисления инерции для простейших геометрических фигур. При взятии сведений из неё важно обращать внимание на то, относительно какой оси приводится момент вращения объекта.

Характеристика инерции для наиболее используемых объектов в физике имеет следующий вид:

Формулировка теоремы Гюйгенса — Штейнера Момент инетрции, сплошной цилиндр
  1. Кольцо. Предположив, что точка имеет симметричное значение с противоположной стороны оси, можно утверждать, что формула не изменится. Если же точку распределить по плоскости перпендикулярной оси, то получится кольцо. Оно будет иметь такую же массу с кусками, находящимися на одинаковом расстоянии от центра r. Вычисление момента относительно оси вращения выполняют по той же формуле, что и для материальной точки: I = m * r
    2
    .
  2. Тонкостенный цилиндр. Нарисовав такую фигуру и указав на ней ось вращения, массу и радиус, несложно будет увидеть, что формула для нахождения момента будет аналогична кольцу.
  3. Диск. Вращение его происходит относительно оси, проходящей через его центр. Учитывая, что масса однородного диска распределена по всей его площади, то момент его будет меньше, чем у кольца. Проведённые расчёты показали, что момент диска будет меньше в два раза. Таким образом, формула выглядит как I = m*r2 / 2.
  4. Сплошной цилиндр. Получают такую фигуру простым распределением массы сплошного диска вдоль оси. По аналогии с кольцом расчёт его характеристики инерции будет совпадать с однородным диском.
  5. Шар. Момент проходящей оси через центр тяжести равен удвоенному произведению m*r2, разделенному на 5: I = (m*r2) * 2/5.
  6. Сфера. Такой объект отличается от шара лишь тем, что внутри он полый. Направление вращения оси происходит через центр. Значение параметра для неё будет больше, чем шара, так как масса собрана не статически в одном месте, а размещена по всей поверхности. Расчёты показывают, что найти момент можно по формуле I =2*m*r2 /3.
  7. Стержень. Момент вращения проходит через центр вдоль оси, перпендикулярной стержню: I = (1/12) * m*L2. L — длина стержня.

При использовании этих формул необходимо учитывать, что единицей измерения момента инерции является кг* м², поэтому при расчёте величины следует приводить значения к этим единицам.

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции формула

Теорема была названа в честь двух математиков, давших формулировку определению характеристики параллельных осей. Например, пусть имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. Используя формулу Штейнера, можно вычислить момент тела относительно любой оси параллельной линии, проходящей через середину фигуры. В своём выводе учёные опирались на две формулы:

  1. Вычисления координаты центра масс: X = (m1*x1 + m2*x2+…+Mi*Xi) / (m1+m2+…+Mi) = (Σ Δ mi*ri 2)/ m.
  2. Универсального расчёта инерции любого тела: I = Σ Δ mi*ri 2.

Обозначив центр произвольной оси буквой O, а один из множества кусков — Δm, можно воспользоваться универсальной формулой. Сначала необходимо определить квадрат расстояния до оси вращения ri. Для этого через центр проведём ось Oц, а расстояние между O и Oц обозначим как d.

Указанные значения нужно выразить через координаты кусочка. Для этого строится ось абсциссы, проходящая через Oц, и ординаты — O. При таком выборе направления начала координат x центр масс равняется d, а у — нулю. Фактически получится прямоугольный треугольник. Воспользовавшись теоремой Пифагора, можно записать: I = Σ Δ mi* (xi2 + yi2).

В результате можно отметить, что момент в точке O будет прямо пропорционален расстоянию между Δ m и центром. Это и есть главный вектор на чертеже. Для его обозначения вводится длина r’.

Находится ri’2 по формулам для прямоугольного треугольника, в котором один катет равняется yi, а другой — xi — Oц. Значение ri’ совпадает с длиной гипотенузы. Таким образом, ri’

2 = (xi — Oц)2 + yi2. Подставив полученное равенство в формулу нахождения параметра момента в центре, можно получить следующую формулу: Io = Σ Δ mi* ((xi — Oц)2 + yi2). После ряда подстановок и упрощения выражения в итоге получится равенство Io = I + m*x i2 — 2*m*xi2 = I — m*xi2.

Вычисление параметра

Так как x центра масс совпадает с d, расстоянием между осями, одну из которых можно направить через центр, то формулу можно переписать как Io = I — m*d2. Выразив из выражения произвольный момент, формула Штейнера примет вид I = Io + m*d2.

Другими словами, теорема определяет, что характеристика инерции тела относительно любой оси находится как сумма моментов относительно параллельной оси, пересекающей центр масс, и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями. Сопротивлением вращению пренебрегают.

Пример задачи

Решение задач, вычисление параметра

Допустим, есть монета с массой m и радиусом r. Вращение происходит вокруг оси, распложенной по касательной. Необходимо найти момент вращения.

Для этого нужно знать характеристику прямой, пересекающей центр монеты Io. Решение будет определяться суммой Io и расстоянием от центра до касательной, которая равняется диаметру монеты: I = Io + md2. Фактически задача состоит в нахождении Io. Определяется этот параметр согласно теореме о взаимно перпендикулярных осях.

Момент вращения относительно диска определяется с помощью выражения I1 = m* d2 / 2. Для решения задачи она будет выглядеть Io = m* d2 / 4. Подставив все данные, получим: I = (1m*d2 / 4) + (md)2 = 5*m*d2 /4.


9. Момент инерции твердого тела

Из формулы (7.24) видно, что угловое ускорение, сообщаемое телу вращающим моментом, зависит от момента инерции тела; чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Следовательно, момент инерции характеризует инерционные свойства тела при вращательном движении, как и масса при поступательном движении. В отличие от массы тела момент инерции зависит от радиуса окружности, описываемой точкой приложения силы, а, следовательно, от выбора оси вращения.

Из формулы следует, что единицей измерения момента инерции является кг.мІ.

Из определения момента инерции

(7.25)

видно, что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей:

(7.26)

Момент инерции существует безотносительно к вращению. Каждое тело независимо от того, вращается оно или покоится, обладает определенным моментом инерции относительно любой оси.

Для неоднородных тел и тел неправильной формы момент инерции определяют экспериментально, а для однородных тел геометрически правильной формы – посредством интегрирования.

Как было ранее указано, в силу формулы (7.3) элементарная масса равна произведению плотности телав данной точке на соответствующий элементарный объем:.

Следовательно, момент инерции можно представить в виде: .

Если плотность тела постоянна, её можно вынести за знак суммы задача нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:

(7.27)

Интегралы в (7.27) берутся по всему объему тела. Величины  и r в этих интегралах являются функциями точки.

В качестве примера вычислим момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис. 7.10).

Рис. 7.10.

Разобьем диск на кольцевые слои толщиной . Все точки одного слоя будут находиться на одинаковом расстоянии от оси, равном. Объем такого слоя равен, где– толщина диска. Поскольку диск однороден, плотность его во всех точках одинакова, (7.27) можем вынести за знак интеграла:, где– радиус диска.

Так как масса диска , то получим

(7.28)

Для однородных и симметричных тел обычно основной осью вращения является ось симметрии. В этом случае момент инерции, как мы видели, легко вычисляется.

Для некоторых тел правильной формы значение моментов инерции относительно осей, проходящих через центр их симметрии приведены в таблице 2.

Таблица 2

Форма тела

Расположение оси

Величина момента инерции

Обруч

Цилиндр

Шар

Примечание: m – масса тела, R0 – его радиус

10. Теорема Штейнера

Рассмотрим произвольное тело и две параллельные друг другу оси, одна из которых (ось С) проходит через центр масс тела, а другая (ось О) отстоит от первой на расстояние а (рис. 7.11). Выберем оси координат итак, как показано на рис. 7.11.

Рис. 7.11

Момент инерции относительно оси О определяется выражением

Разобьем это выражение на три суммы:

Первая сумма представляет собой момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс. Суммадает массу тела. Наконец,, где– координата центра масс, которая при сделанном выборе начала координат равна нулю. Таким образом, мы приходим к соотношению:

(7.29)

Это соотношение выражает теорему Штейнера, которая гласит, что момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведением массы т тела на квадрат расстояния а между осями.

В соответствии с теоремой Штейнера момент инерции диска относительно оси ОґОґ, отстоящей на расстоянии от оси, проходящей через центр масс, равен найденному нами моменту инерции (7.28) относительно оси, проходящей через центр диска, плюс :.

§16. Момент инерции твердого тела. Абсолютно твердое тело.

Кроме материальной точки и системы материальных точек в классической механике рассматривают твердые тела. Как правили, в этом случае выделение отдельных материальных точек не производят. Твердое тело рассматривают как единое целое. Естественно, что для его описания вводят новые понятия. Например, вместо массы удобнее рассматривать момент инерции. Как и масса, момент инерции это скалярная и аддитивная величина. Но она не имеет смысла, если не указана ось, относительно которой определяется этот момент.

Проще всего момент инерции ввести для одной материальной точки m(см. рис. 3).

Рисунок 3 показывает, что момент инерции определяется (в данном случае) относительно оси ОО. Если материальная точка находится на расстоянии Х от оси, то момент инерции определяется формулой

.

Если же взять другую ось, то, естественно, расстояние материальной точки Х1до новой оси буден иным, а значит, изменится и момент инерции.

Если имеется несколько материальных точек, то рисунок 3 обобщается, давая для полного момента инерции выражение

.

Это равенство записано при определенном выборе оси и выражает свойство аддитивности моментов инерции (т.е. возможность сложения моментов инерции отдельных элементов).

Два этих определения позволяют найти моменты инерции простых твердых тел. Например, момент инерции обруча, радиус которого равен , а масса равна,относительно оси, перпендикулярной плоскости обруча и проходящей через его центр, равен (в силу того, что все элементы обруча находятся на одинаковых расстояниях от оси) величине

.

Эта же формула определяет момент инерции пустотелого цилиндра относительно оси его симметрии.

Приведет два примера вычисления моментов инерции более сложных твердых тел.

1. Сплошной диск или сплошной цилиндр. Ось по-прежнему перпендикулярна плоскости диска и проходит через его центр. Выделим коаксиальное кольцо радиусом и толщиной. Площадь кольца равнаи на него приходится масса

.

Соответственно этому момент инерции выделенного кольца равен

.

Полный момент инерции диска получим, проведя интегрирование поот нуля до. Легко видеть, что после интегрирования и сокращения на множитель, результатом является

.

В силу симметрии этот же результат пригоден для сплошного цилиндра любой длины, относительно оси, совпадающей с осью цилиндра.

2. Пусть имеется однородный стержень массой и длиной(см. Рис. 4)

Выберем на оси интервал значений и определим момент инерции массы, соответствующей этому интервалу. Эта масса равна

,

а соответствующий элемент момента инерции

.

Полный момент инерции равен интегралу от в пределах отдо(т.е. по области, где масса отличается от нуля). Вычисление интеграла дает

.

Нам важны два частных случая:

А). a= 0; тогда.

Б). ; тогда.

Заметим, что случай А) соответствует оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, тогда как случай Б) соответствует оси, проходящей через центр масс стержня. Сопоставление двух этих случаев дает

.

Последнее соотношение – частный случай теоремы Штейнера:момент инерции твердого тела относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно заданной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями.Эта теорема позволяет переходить от моментов инерции простых систем к более сложным. Например, момент инерции сплошного диска относительно оси, походящей через его край перпендикулярно плоскости диска равен.

Заметим еще, что абсолютно твердым телом называют тело, момент инерции которого постоянен (не зависит от времени). Ведро воды, например, нельзя считать абсолютно твердым телом.

Момент инерции — это… Что такое Момент инерции?

У этого термина существуют и другие значения, см. Момент.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

  • mi — масса i-й точки,
  • ri — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

,

где  — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы  

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы  

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы  

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы  

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы  

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы  

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников[1][2]

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. [3][4]

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где  — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см4.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

,

где:

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

(1),

где  — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

,
.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где  — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины  — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

,

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на


и произведя замены:

,

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:


См. также

Примечания

Литература

  • Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm
  • Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
  • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
  • Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
  • Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm
  • Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки

Центробежный момент инерции — это… Что такое Центробежный момент инерции?

Момент инерции — скалярная физическая величина, характеризующая распределение масс в теле, равная сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Осевой момент инерции

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси a («осевой момент инерции») называется физическая величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

J_a=\sum_{i=1}^n m_i r_i^2\,\!,

где:

  • mi — масса i-й точки,
  • ri — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси a подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV\,\!,

где:

  • dm = ρdV — масса малого элемента объёма тела dV,
  • ρ — плотность,
  • r — расстояние от элемента dV до оси a.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

J_a=D\int\limits_{(V)} r^2dV\,\!

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

J=J_c+md^2\,\!

Если ~J_0 — момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, то момент инерции относительно параллельной оси, расположенной на расстоянии ~d от неё, равен

~J=J_0+md^2,

где ~m — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

~J=J_0+md^2=\frac{1}{12}ml^2+m\left(\frac{l}{2}\right)^2=\frac{1}{3}ml^2

Осевые моменты инерции некоторых тел

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

J_{xy}=\int\limits_{(m)} xydm=\int\limits_{(V)} xy\rho dV\,\!

J_{xz}=\int\limits_{(m)} xzdm=\int\limits_{(V)} xz\rho dV\,\!

J_{yz}=\int\limits_{(m)} yzdm=\int\limits_{(V)} yz\rho dV\,\!

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения, пропорциональная площади сечения и квадратно пропорциональная расстоянию до этого сечения. Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости и взаимного расположения различных элементов конструкции.

Геометрический момент инерции двух стержней диаметром d на расстоянии L:

J = 2dL2

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции ~J_O (или момент инерции относительно точки O) — это величина

J_a=\int\limits_{(m)} r^2dm=\int\limits_{(V)} \rho r^2dV\,\!,

где:

  • ~dm=\rho dV — масса малого элемента объёма тела dV,
  • ~\rho — плотность,
  • ~r — расстояние от элемента dV до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: ~J_O=J_{xy}+J_{yz}+J_{xz}=\frac{1}{2}\left(J_x+J_y+J_z\right).

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором ~\vec s =  \left \Vert s_x ,  s_y , s_z \right \Vert^T  ,\left \vert \vec s \right \vert=1 , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :

~ I_s= \vec s^T \cdot \hat J \cdot \vec s \qquad (1),

где ~ \hat J  — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры ~ 3 \times 3 и состоит из компонент центробежных моментов:

~  \hat J = \left \Vert  \begin{array}{ccc} J_{xx} & -J_{xy} & -J_{xz} \\ -J_{yx} & J_{yy} & -J_{yz} \\-J_{zx} & -J_{zy} & J_{zz} \end{array} \right \Vert ,  ~ J_{xy}= J_{yx}, J_{xz}= J_{zx},  J_{zy}= J_{yz},
~J_{xx}=\int\limits_{(m)} (y^2+z^2)dm , J_{yy}=\int\limits_{(m)} (x^2+z^2)dm,  J_{zz}=\int\limits_{(m)} (x^2+y^2)dm

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора ~  \hat J :
~ \hat J_d = \hat Q^T \cdot \hat J \cdot \hat Q ;~  \hat J_d = \left \Vert  \begin{array}{ccc} J_{X} & 0 & 0 \\ 0 & J_{Y} & 0 \\0 & 0 & J_{Z} \end{array} \right \Vert
Где, ~ \hat Q  — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины ~ J_{X},J_{Y},J_{Z}  — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

~ I_s= J_{X} \cdot s_x^2 +J_{Y} \cdot s_y^2 + J_{Z} \cdot s_z^2   .

Откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на ~ I_s

~ \left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{X}  + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Y} + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 \cdot J_{Z}  =1

и произведя замены:

~ \xi=  {s_x \over \sqrt {I_s}}, \eta=  {s_y \over \sqrt {I_s}}, \zeta=  {s_z \over \sqrt {I_s}} ,

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах ~ \xi \eta \zeta:

~ \xi^2 \cdot J_{X}  + \eta^2 \cdot J_{Y} + \zeta^2 \cdot J_{Z}  =1

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

~ r^2 = \xi^2 + \eta^2 + \zeta^2 = \left ( {s_x \over \sqrt {I_s}}\right )^2  + \left ( {s_y \over \sqrt {I_s}}\right )^2  + \left ( {s_z \over \sqrt {I_s}}\right )^2 = {1 \over I_s}

См. также

Литература

  • Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm
  • Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
  • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
  • Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
  • Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm

Ссылки

Wikimedia Foundation. 2010.

Момент инерции — это… Что такое Момент инерции?

У этого термина существуют и другие значения, см. Момент.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Ja, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

,

где:

  • mi — масса i-й точки,
  • ri — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Ja является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

,

где:

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Jc относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

,

где  — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы  

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы  

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы  

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы  

Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы  

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы  

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы  

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников[1][2]

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. [3][4]

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Jxy и Jxz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где  — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м4. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см4.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

,

где:

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

(1),

где  — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

,
.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где  — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины  — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

,

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на


и произведя замены:

,

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:


См. также

Примечания

Литература

  • Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm
  • Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
  • Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
  • Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
  • Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
  • Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm
  • Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *