Как определить сумму векторов

Определение. Суммой векторов называется такой вектор , начало которого совпадает с началом вектора , а конец – с концом вектора (правило треугольника).

Из определения следует, что сумма двух противоположных векторов равна нулевому вектору:

Сложение векторов подчиняется следующим законам:

а) переместительному закону

б) сочетательному закону

Операция сложения может быть распространена на любое число слагаемых векторов.

Для того чтобы сложить n векторов, надо к концу первого вектора приложить начало второго, затем к концу второго вектора приложить начало третьего и т.д. и, наконец, приложить к концу предпоследнего вектора начало последнего; тогда замыкающий вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, и будет являться вектором-суммой данных векторов.

При сложении векторов можно любым образом переставлять и группировать слагаемые.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10070 – | 7513 – или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Для векторов a и b определим:

3). Умножение вектора a на число k вектор с координатами <k · a_x ; k · a_y> и обозначаемый как k · a .

Сумма векторов

Сумму a + b

Сперва сделаем чертеж этих векторов:

Для вычисления суммы a + b разместим начало вектора a на начало вектора b :

Теперь дополним эту схему до параллелограмма:

Сумма a + b будет вектор начало которого совпадает с началом вектора a а конец с концом вектора b :

По последней схеме сумма a + b равна диагонали параллелограмма поэтому это правило называется правилом параллелограмм.

Разность векторов

Разность a – b векторов a и b вычисляется по правилу треугольника:

Для этого сначала начертим эти векторы:

Объединим концы векторов a и b :

Разность a – b будет вектор у которого конец совпадает с началом вектора a а начало с началом вектора b :

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

• скалярные величины, задающие некоторое числовое значение – время, температура, масса и т.д.
• векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление – скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Пусть даны два вектора, заданные покоординатно ( чтобы вычислить координаты вектора, нужно вычесть из соответствующих координат его конца соответствующие координаты его начала, т.е. из первой координаты – первую, из второй – вторую и т.д.):

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов: .

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

• правило параллелограмма
• правило треугольника
• тригонометрический способ

Правило параллелограмма.

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
• от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
• дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора – это его стороны
• результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

• нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
• от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
• результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец – с концом второго.

Тригонометрический способ

Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

F = числовое значение вектора

α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

α = угол между исходными векторами

Пример – сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

F_рез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 – 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o – (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o – (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Векторы. Сложение векторов — презентация онлайн

1. Векторы

2. Сложение векторов

3. Свойства сложения векторов

4. Пример

5. Упражнение 1

6. Упражнение 2

7. Упражнение 3

8. Упражнение 4

9. Упражнение 5

10. Упражнение 6

11. Упражнение 7

12. Упражнение 8

13. Упражнение 9

14. Упражнение 10

15. Упражнение 11*

§4. Примеры из физики — ЗФТШ, МФТИ

Простейшие примеры векторов в физике — скорость и сила.

1. Всякое движение можно представить как результат сложения нескольких движений, его составляющих. Скорость результирующего движения изображается по величине и направлению диагональю параллелограмма, построенного на отрезках, изображающих составляющие скорости, как на сторонах. Рассмотрим конкретный пример.

Рыбак переправляется на лодке `A` через реку, которая течёт в сторону, указанную стрелкой (рис. 18). Пусть скорость течения воды `vec(v_1)` изображается по величине и направлению отрезком `AB`, а скорость `vec(v_2)` движения лодки относительно воды под влиянием усилий гребца изображается отрезком `AC` (в стоячей воде лодка двигалась бы по направлению `AC` со  скоростью `vec(v_2)`). Лодка будет двигаться относительно берега по направлению `AM` со скоростью `vec v`, изображаемой диагональю `AD` параллелограмма, постро­енного на векторах `vec(v_1)` и `vec(v_2)` (в данном случае параллелограмм `ABCD` является прямоугольником).

2. Сила — как векторная величина — всегда имеет определённое направление, модуль, а также точку приложения.

Часто встречаются случаи, когда на тело действуют несколько сил. Тогда бывает удобно заменить их одной силой, которая производит на тело такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил. Такую силу (если она существует) называют равнодействующей. Нахождение равнодействующей нескольких сил осуществляется с по­мощью правил векторного сложения, при этом слагаемые силы назы­вают составляющими.

Так, несколько сил, действующих на одну и ту же точку тела, всегда можно заменить одной равнодействующей, как бы ни были направлены силы  и каковы бы ни были их величины.@`. Силы последовательно равны `1`, `2`, `3`, `4`, `5` и `6 Н`. Найти равнодействующую `vec R`  этих шести сил.

Сложение сил по правилу многоугольника здесь нецелесообразно. Поступим иначе.  Сложим сначала попарно силы, направленные вдоль одной прямой (см. рис. 22 а, б, в). 

Получим

 `|vec(F_2) + vec(F_4)| = 4 — 1 = 3`,

аналогично  `|vec(F_2) + vec(F_5)| = 5 — 2 = 3`  и `|vec(F_3) + vec(F_6)| = 6 — 3 = 3`.

Сумма сил `vec(F_2) + vec(F_5)` направлена вдоль вектора `vec(F_5)`. Туда же направлена и сумма сил `vec(F_1) + vec(F_4) + vec(F_3) + vec(F_6)`, причём модуль этой силы равен `3`. В итоге получаем, что сумма всех шести сил `vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + vec(F_4) + vec(F_5) + vec(F_6)` направлена вдоль направления силы `vec(F_5)`, а модуль этой силы `|vec(F_1) + vec(F_2) + vec(F_3) + vec(F_4) + vec(F_5) + vec(F_6)| = 3 + 3 = 6 Н`.

Найти равнодействующую `vec R` пяти равных по модулю сил, приложенных к телу в одной точке и расположенных в одной плоскости, если углы между всеми соседними силами равны между собой (см.@`.) 

В отличие от предыдущего примера здесь мы имеем нечётное число сил, поэтому невозможно образовать из них целое число пар. Поступим иначе. Возьмём какую-нибудь силу, например, `vec(F_1)`, а остальные сгруппируем в пары и попарно сложим их (см. рис. 24):

 `vec(F_2) + vec(F_5)` и `vec(F_3) + vec(F_4)`.

Почему удобна именно такая группировка сил в пары? Дело в том, что обе суммы сил (и `vec(F_2) + vec(F_5)` и `vec(F_3) + vec(F_4)`)  направлены вдоль линии действия силы `vec(F_1)`. Ясно, что равнодействующая всех сил будет направлена вдоль линии действия силы `vec(F_1)`. Модули сумм сил легко найти из геометрии. Например, в силовом параллелограмме, построенном на векторах `vec(F_2)` и `vec(F_5)`, который является ромбом, длина диагонали ромба (модуль силы `vec(F_2) + vec(F_5)`) равна удвоенной половинке диагонали, а та легко ищется из любого из четырёх прямоугольных треугольников, на которые ромб разбивается диагоналями. В результате

`|vec(F_2) + vec(F_5) | = 2F cos 72^@`,

где `F` — модуль любой из пяти исходных сил.@`. Пользуясь калькулятором, можно, однако, показать, что согласно формуле (*) `R = 0`.

Имеется и более красивое доказательство того, что результирующий вектор есть нулевой вектор. В самом деле, мы довольно произвольно взяли в качестве силы, которой не хватило пары, силу `vec(F_1)`. Если бы в качестве такой взять силу `vec(F_2)`, а в пары объединить `vec(F_1)` и `vec(F_3)` (одна пара) и `vec(F_4)` и `vec(F_5)`, то, повторив рассуждения, получим, что равнодействующая всех пяти сил `vec R` должна быть направлена вдоль линии действия силы `vec(F_2)`. Возможно ли, чтобы вектор был одновременно направлен вдоль двух несовпадающих друг с другом направлений (и `vec(F_1)`, и `vec(F_2)`; а на самом деле, как догадался читатель, ещё и вдоль направления действия сил `vec(F_3)`, `vec(F_4)` и `vec(F_5)`!)? Ненулевым вектор не может быть! Остаётся одна возможность: суммарный вектор – нулевой!

В примерах 10 и 11 мы искали по правилу параллелограмма суммы сил.

В примере 12 нас  интересовала лишь проекция равнодействующей силы на направление (например, силы `vec(F_1)`).

В следующих примерах наш интерес будет также скорее не к равнодействующей силе, а только к каким-то её проекциям.

Электрический фонарь весом `Q = 16 Н` укреплён, как показано на рис. 25. 

Определите отношение натяжений `T_1` и `T_2` в проволоках `BA` и `BC`, углы наклона которых даны на рисунке.

В условиях равновесия сумма всех сил, приложенных к точке `B`, равна нулю. Поэтому проекция равнодействующей всех сил на горизонтальное направление тоже равна нулю. Проекция силы со стороны проволоки, идущей к фонарю, на это направление равна нулю (эта сила вертикальна). Остаются вклады от двух натяжений со стороны проволок `BA` и `BC`. Горизонтальную ось направим слева направо. Тогда имеем:  T1, гор+T2, гор=0T_{1,\;\mathrm{гор}}+T_{2,\;\mathrm{гор}}=0 (см.@ = sqrt3 //2`, получаем:

`mg — sqrt3 * T_2 * sqrt3 //2 — T_2 //2 = 0`,  

откуда

`T_2 = mg//2` и `T_1 = sqrt3 mg//2`.

На гладкой наклонной плоскости с углом наклона `alpha` лежит брусок массой `m`. Какую горизонтальную силу нужно приложить к бруску, чтобы он находился в покое (рис. 29)? 

Определите также модуль нормальной силы реакции на брусок со стороны наклонной плоскости.

Брусок по условию задачи  покоится. Значит, сумма всех сил, приложенных к бруску, равна нулю. Равны нулю и суммы проекций сил на любые направления,  в частности, на направление вдоль наклонной плоскости и перпендикулярное ему. Нормальная сила реакции `vec N` со стороны наклонной плоскости имеет равную нулю составляющую вдоль наклонной плоскости.

Проекция сила тяжести `m vec g` на ось `Ox` вдоль наклонной плоскости (рис. 30) равна `- mg sin alpha`, а проекция горизонтальной силы `F` на эту ось равна `F cos alpha`. Других сил вдоль наклонной плоскости не действует (плоскость, по условию задачи, гладкая, т.2 alpha = 1`, получаем окончательно

`N = (mg)/(cos alpha)`.

На шероховатой поверхности доски лежит брусок массой `m`. К нему приложена сила, направленная под углом `alpha` к горизонту (см. рис. 31). 

Определите модуль нормальной силы реакции со стороны поверхности.

Поскольку брусок не проваливается и не подскакивает вверх, то сумма проекций сил на вертикальную ось равна нулю:

`N + F * sin alpha — mg = 0`,

(см. рис. 32), откуда находим

                 `N = mg — F * sin alpha`.

Часто совершенно безосновательно приравнивают силу реакции `N` силе тяжести `mg`. Мы видим, что даже в случае горизонтальной поверхности это в общем случае не так. Для наклонной плоскости это тоже не так. В предыдущем примере нормальная сила реакции равнялась `mg//cos alpha`. Кстати, если бы удерживающая сила `F` действовала там не вдоль горизонтали, а вдоль наклонной плоскости, то для удержания бруска на наклонной плоскости потребовалась бы сила величиной `F = mg sin alpha`, а нормальная сила реакции была бы равна `N = mg cos alpha` (и снова не равнялась бы `mg`!)  

Докажите это самостоятельно.@` к горизонту. Найдите модули горизонтальной и вертикальной составляющих скорости самолёта.

(См. рис. 33). В данном примере мы имеем дело с весьма простым случаем разложения скорости на два взаимно перпендикулярных направления:  

`vec v = vec(v _sf»гор») + vec(v_sf»верт»)`,

vгор=v cos α≈207 км/чv_\mathrm{гор}=v\;\cos\;\alpha\approx207\;\mathrm{км}/\mathrm ч,  vверт=v sin α≈75 км/чv_\mathrm{верт}=v\;\sin\;\alpha\approx75\;\mathrm{км}/\mathrm ч.

В  безветренную  погоду  самолёт  летит на север со   скоростью 180 км/ч180\;\mathrm{км}/\mathrm ч (50 м/с50\;\mathrm м/\mathrm с) относительно земли. С какой скоростью относительно земли будет лететь самолёт, если дует западный ветер со скоростью   10 м/с10\;\mathrm м/\mathrm с?

(См. рис. 34). В данном случае мы имеем дело со сложением движений: `vec(v_sf»с») = vec(v_sf»св») + vec(v_sf»в»)`, где `vec(v_sf»св»)` — скорость самолёта относительно воздуха (модуль которой равен скорости самолёта относительно земли в безветренную погоду), а `vec(v_sf»в»)` — скорость воздуха.2}=\sqrt{2600}\approx51\;\mathrm м/\mathrm с.

Лодка пытается пересечь реку, текущую со скоростью u=3 км/чu=3\;\mathrm{км}/\mathrm ч. Скорость лодки в стоячей воде v=5 км/чv=5\;\mathrm{км}/\mathrm ч. Под каким углом `alpha` к нормали к берегу надо направить лодку, чтобы она двигалась поперек реки (без сноса)? Какой будет при этом модуль скорости лодки `v` относительно берега?

Как и в примере 9, мы также имеем дело со случаем сложения движений. Но там было проще: не требовалось выбирать никакой стратегии, рыбак лишь наблюдал, как снесёт его лодку течением воды в реке. Если бы вода в реке покоилась, то, направив корпус лодки под углом `alpha` к нормали, мы заставили бы её двигаться в направлении вектора `vec V` (см. рис. 35). В действительности, вода в реке не стоячая, а имеет скорость `vec u` Поэтому сносимая течением лодка будет двигаться в направлении вектора `vec v` таком, что `vec v = vec V + vec u`. Учитывая, что оба треугольника в параллелограмме на рис.2}=4\;\mathrm м/\mathrm с.

Лодка  пытается  пересечь  реку, текущую  со    скоростью u=5 км/чu=5\;\mathrm{км}/\mathrm ч. Скорость лодки в стоячей воде V=3 км/чV=3\;\mathrm{км}/\mathrm ч.   Под каким углом `alpha` к нормали к берегу надо направить корпус лодки, чтобы её снесло как можно меньше? Под каким углом `beta` к нормали к берегу будет при этом плыть лодка?

В данном примере скорость лодки относительно воды меньше, чем скорость воды в реке, `V < u`, поэтому реализовать план из предыдущего примера (рис. 35) невозможно. Наша цель состоит в том, чтобы направить корпус лодки под таким углом `alpha` к нормали к берегу, чтобы сносимая течением лодка двигалась под углом `beta`, по возможности наименьшим (см. рис. 36 ф, б, в).

В данном примере складывать скорости (лодки относительно воды `vec V` и воды в реке `vec u`) удобно по правилу треугольника, а не параллелограмма: приставим начало вектора `vec V` к концу вектора `vec u`. Выбирая оптимальный план (с наименьшим углом сноса), будем мысленно поворачивать вектор `vec V`.@`.   

Лодку вытягивают из воды, стоя на крутом берегу и выбирая верёвку, которая привязана к носу лодки, со скоростью `v` (см. рис. 37).

Какой будет скорость лодки `u` в момент, когда верёвка будет составлять угол `alpha` с горизонтом? Верёвка нерастяжима.

Традиционная ошибка решающих эту задачу состоит в том, что пытаются разложить движение лодки на два направления – горизонтальное и вертикальное, делая (неправильное!) построение, как показано на рис. 38а и получая неверный ответ `u = v * cos alpha`. Что здесь неправильно? В отличие от самолёта из примера 17, который двигался под отличным от нуля углом к горизонту (см. рис. 33), здесь лодка движется горизонтально! Сделаем другое разложение скорости лодки `vec u` по двум направлениям – вдоль верёвки (в данный момент времени!) и перпендикулярно ей (см. рис. 38б).

Проекция вектора `vec u` на направление верёвки будет равна скорости `v`, с которой выбирают верёвку: `v = u cos alpha`, поэтому `u = v/(cos alpha)`.

Поясним ещё, почему проекция вектора `vec u` на направление верёвки будет равна скорости `v` с которой выбирают верёвку. Если мы имеем абсолютно твердое тело (АТТ), деформациями в котором можно пренебречь, или нерастяжимую нить (но уже максимально натянутую), то как бы ни двигались АТТ или нерастяжимая нить, они будут обладать следующим свойством. Возьмём две произвольные точки `A` и `B` нити или АТТ и мысленно соединим их прямой. Тогда составляющие скоростей выбранных точек вдоль этой прямой в любой момент времени будут равны друг другу: vA∥→=vB∥→\overrightarrow{v_{A\parallel}}=\overrightarrow{v_{B\parallel}} (см. рис. 39). В противном случае изменялось бы расстояние между точками `A` и `B`. Составляющие скорости, перпендикулярные отрезку прямой `AB`, могут быть при этом любыми.

Две лодки 1 и 2 буксируют третью лодку с помощью двух тросов (см. рис. 40). В некоторый момент времени силы натяжения тросов, идущих от лодок 1 и 2, равны друг другу по модулю и равны `F`. Угол между тросами равен `2 alpha`. Какая равнодействующая сила приложена к буксируемой лодке со стороны тянущих её лодок? Чему будет равна эта сила в случае малого угла `alpha`  (когда буксирующие лодки тянут третью лодку почти в одном направлении)?

Две силы нужно сложить по правилу параллелограмма, который в данном случае будет ещё и ромбом с перпендикулярными друг другу диагоналями, разбивающими его на четыре равных прямоугольных треугольника. Из геометрии рис. 41 видно, что модуль равнодействующей силы `R` равен удвоенной длине прилежащего катета: `R = 2F cos alpha`. При стремлении угла между направлениями тросов к нулю `R -> 2F`   (`cos alpha -> 1`  при  `alpha -> 0`).

Хитрее оказывается похожая задача, когда заданы не силы, а скорости.

Две лодки 1 и 2 буксируют третью лодку с помощью двух тросов (см. рис. 42). В некоторый момент времени модули скоростей лодок 1 и 2 равны друг другу и равны `v_1 = v_2 = v`. Найти модуль и направление скорости буксируемой лодки `u`. Тросы нерастяжимы. Чему будет равна эта скорость в случае малого угла `alpha`  (когда буксирующие лодки тянут третью лодку почти в одном направлении)?

Ясно, что «решение» `u = 2v cos alpha` (как в предыдущем примере) не подходит, т. к. при `alpha -> 0` мы получили бы, что `u -> 2v`, чего не может быть. Если, например, две собаки в упряжке бегут с одинаковыми скоростями `v` в одном направлении, то и скорость упряжки будет равна этой же скорости `v` (если, конечно, упряжка не отцепилась или к ней не подключили дополнительно мотор).

Решение задачи такое же, как в примере 21. В данном примере важнейшими словами являются «Тросы нерастяжимы». Ясно, что правильное построение, учитывающее это условие, должно быть таким, как на рис. 43, откуда немедленно получаем `v = u cos alpha`, поэтому `u = v/(cos alpha)`. Тогда в предельном случае, когда `alpha -> 0`, имеем `u -> v`,  как и должно быть.

Заметим, что четырёхугольник на рис.2) = sqrt5 * v ~~ 2,2 v`. 

Урок 2. сумма двух векторов. правило треугольника. законы сложения векторов. правило параллелограмма. сумма нескольких векторов — Геометрия — 9 класс

По правилу треугольника вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AB) ⃗и (BC) ⃗. С другой стороны, вектор (AC) ⃗ равен сумме векторов (AD) ⃗ и (DС) ⃗.

(AC) ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ = a ⃗ + b ⃗.
(AC) ⃗ = (AD) ⃗ + (DC) ⃗ = b ⃗ +(a) ⃗.
a ⃗ + b ⃗= b ⃗ + (a) ⃗ (переместительный закон)
При доказательстве переместительного закона сложения векторов мы обосновали правило сложения неколлинеарных векторов – правило параллелограмма.
Чтобы сложить неколлинеарные векторы a ⃗ и b ⃗, нужно выбрать произвольную точку и отложить от неё векторы, равные данным. На этих векторах построить параллелограмм. Вектор с началом в выбранной точке и являющийся диагональю параллелограмма, будет суммой данных векторов a ⃗ и b ⃗.
Докажем ещё одно свойство сложения векторов: сочетательный закон.
Выберем произвольную точку А и отложим от неё вектор (AB) ⃗, равный(a) ⃗, от точки В – вектор (BC) ⃗, равный вектору b ⃗, а от точки С – вектор (CD) ⃗, равный вектору c ⃗.

Пользуясь правилом треугольника, найдём значения суммы трёх данных векторов.
(a ⃗ + b ⃗) + c ⃗ = (AB) ⃗+ (BC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AC) ⃗ + (CD) ⃗ = (AD) ⃗.
Найдём сумму этих же векторов, изменив порядок действий.
Построим сумму векторов b ⃗ и c ⃗, а затем к вектору a ⃗ прибавим получившийся результат.
a ⃗+ (b ⃗+ c ⃗) = (AB) ⃗+ ((BC) ⃗ + (CD) ⃗) = (AB) ⃗ + (BD) ⃗ = (AD) ⃗.
Мы доказали, что сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.
При сложении нескольких векторов пользуются правилом многоугольника: при сложении векторов их последовательно откладывают один за другим, так чтобы начало следующего вектора совпадало с концом предыдущего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов.
p ⃗ = (a₁) ⃗+ (a₂) ⃗ + (a₃) ⃗ + (a₄) ⃗+ (a₅) ⃗

Векторы. Сложение векторов. 9 кл

Векторы

Напомним, что вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, в котором указаны его начало и конец.

Вектор с началом в точке А и концом в точке В обозначается и изображается стрелкой с началом в точке А и концом в точке В .

Длиной , или модулем , вектора называется длина соответствующего отрезка. Длина векторо в , обозначается соответственно | |, | |.

Два вектора называются равными , если они имеют одинаковую длину и направление.

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Рассматривают также нулевые векторы, у которых начало совпадает с концом. Все нулевые векторы считаются равными между собой. Они обозначаются , и их длина считается равной нулю.

Сложение векторов

Для векторов определена операция сложения. Для того чтобы сложить два вектора и , вектор откладывают так, чтобы его начало совпало с концом вектора . Вектор, у которого начало совпадает с началом вектора , а конец — с концом вектора , называется суммой векторов и , обозначается

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Свойства сложения векторов

Свойство 1. (переместительный закон).

Свойство 2. (сочетательный закон).

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Пример

Сколько различных векторов задают пары вершин параллелограмма ABCD ?

Ответ: Восемь векторов .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 1

Сколько различных векторов задают стороны трапеции ABCD ?

Ответ: Восемь векторов .

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Упражнение 2

В прямоугольнике АВС D АВ = 3 см, ВС = 4 см. Найдите длины векторов: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Ответ: а) 3 см;

б) 4 см;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

в) 3 см;

г) 5 см;

д) 5 см.

Упражнение 3

Основание AD трапеции АВС D с прямым углом А равно 12 см, АВ = 5 см, D = 45°. Найдите длины векторов: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) 13 см;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) см;

в) см.

7

Упражнение 4

В параллелограмме АВС D диагонали пересекаются в точке О . Равны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ?

Ответ: а) Да;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) нет ;

в) да;

г) нет.

Упражнение 5

Точки S и T являются серединами боковых сторон соответственно MN и LK равнобедренной трапеции MNLK . Равны ли векторы: а) и ; б) и ; в) и ; г) и ?

Ответ: а) Да;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) нет ;

в) нет.

г) д а .

Упражнение 6

В треугольнике АВС укажите векторы:

а)

б)

в)

г)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) ;

в) ;

г) .

10

Упражнение 7

На рисунке укажите векторы:

а)

б)

в)

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) ;

б) ;

в) .

11

Упражнение 8

А , В , С , D — произвольные точки плоскости. Выразите через векторы , , векторы: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) ;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) ;

в) .

12

Упражнение 9

Сторона равностороннего треугольника АВС равна а . Найдите: а) ; б) ; в) .

Ответ: а) a ;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) ;

в) .

13

Упражнение 10

В треугольнике АВС АВ = 6, ВС = 8, B = 90°. Найдите: а) ; б) ; в) ; г) .

Ответ: а) 14;

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

б) 10;

в) 14;

г) 10.

Упражнение 1 1*

Стороны треугольника ABC равны a , b , c . O – точка пересечения медиан. Найдите сумму векторов

Решение: Продолжим медиану CC 1 и отложим отрезок C 1 C’ = OC 1 . AOBC’ – параллелограмм, OC’ = 2 OC 1 = OC . Следовательно,

и, значит,

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Найдите сумму трех векторов по математике класса 11 CBSE

Полный пошаговый ответ:
Здесь, предположим, три вектора.
Первый вектор — это $ a = {x_1} i + {y_1} j + {z_1} k $, второй вектор — $ b = {x_2} i + {y_2} j + {z_2} k $, а третий вектор равен $ c = {x_3} i + {y_3} j + {z_3} k $.
Применим сложение двух векторов a и b. Для этого нам нужно добавить все i компонентов векторов по отдельности, затем j компонентов и, наконец, k компонентов всех трех векторов.
Следовательно,
$ \ Rightarrow a + b = \ left ({{x_1} i + {y_1} j + {z_1} k} \ right) + \ left ({{x_2} i + {y_2} j + {z_2 } k} \ right) $
То есть,
$ \ Rightarrow a + b = \ left ({{x_1} + {x_2}} \ right) i + \ left ({{y_1} + {y_2}} \ right) j + \ left ({{z_1} + {z_2}} \ right) k $
Теперь давайте добавим вектор c с указанным выше выражением.
$ \ Rightarrow a + b + c = \ left [{\ left ({{x_1} + {x_2}} \ right) i + \ left ({{y_1} + {y_2}} \ right) j + \ left ({{z_1} + {z_2}} \ right) k} \ right] + \ left ({{x_3} i + {y_3} j + {z_3} k} \ right) $
То есть
$ \ Rightarrow a + b + c = \ left ({{x_1} + {x_2} + {x_3}} \ right) i + \ left ({{y_1} + {y_2} + {y_3}} \ right) j + \ left ({{z_1} + {z_2} + {z_3}} \ right) k $
Следовательно, сумма трех векторов $ a = {x_1} i + {y_1} j + {z_1} k $, $ b = {x_2} i + {y_2} j + {z_2} k $, а $ c = {x_3} i + {y_3} j + {z_3} k $ равно $ a + b + c = \ left ({{x_1 } + {x_2} + {x_3}} \ right) i + \ left ({{y_1} + {y_2} + {y_3}} \ right) j + \ left ({{z_1} + {z_2} + {z_3 }} \ right) k $.

Примечание: Сложение векторов отличается от обычного сложения, поскольку векторы имеют направление. Здесь i, j и k представляют направления x, y и z соответственно. Таким образом, при сложении или вычитании векторов мы должны складывать или вычитать значение только одного и того же направления. Мы также должны быть осторожны с вывеской. Следовательно, мы должны позаботиться о квадранте, в котором лежит вектор.
Мы можем напрямую сложить три вектора данного вопроса.
Первый вектор — это $ a = {x_1} i + {y_1} j + {z_1} k $, второй вектор — $ b = {x_2} i + {y_2} j + {z_2} k $, а третий вектор равен $ c = {x_3} i + {y_3} j + {z_3} k $.
Применим сложение двух векторов a и b. Для этого нам нужно добавить все i компонентов векторов по отдельности, затем j компонентов и, наконец, k компонентов всех трех векторов.
Следовательно,
$ \ Rightarrow a + b + c = \ left ({{x_1} i + {y_1} j + {z_1} k} \ right) + \ left ({{x_2} i + {y_2} j + {z_2} k} \ right) + \ left ({{x_3} i + {y_3} j + {z_3} k} \ right) $
То есть
$ \ Rightarrow a + b + c = \ left ({{x_1} + {x_2} + {x_3}} \ right) i + \ left ({{y_1} + {y_2} + {y_3}} \ right) j + \ left ({{z_1} + {z_2 } + {z_3}} \ right) k $

Как сложить векторы с двумя векторами в компонентной форме | Геометрия

Добавление векторов в форму компонента

Шаг 1: Перепишите сложение как покомпонентное сложение.Другими словами, сложите вместе первые компоненты и сложите вместе вторые компоненты.

Шаг 2: Упростите, завершив сложение.

Добавление векторов в форму компонента — Словарь и уравнения

Вектор: Вектор — это объект, который имеет как величину, так и направление. Векторы часто обозначаются отрезком линии со стрелкой, соединяющей начало координат {eq} (0,0) {/ eq} в точку {eq} (x, y) {/ экв}.

Форма компонента: Форма компонента вектора записывается как {eq} \ left {/ eq} где x — координата x , а y — координата y точки, которой достигает вектор, когда он начинается в начале координат.

Мы будем использовать эти шаги, определения и уравнения для сложения векторов, заданных двумя векторами в компонентной форме, в следующих двух примерах.

Пример задачи 1: Добавление векторов в форму компонента

Складываем векторы {eq} \ left <4, 9 \ right> {/ eq} и {eq} \ left <11,2 \ right> {/ экв}.

Шаг 1: Перепишите сложение как покомпонентное сложение. Другими словами, сложите вместе первые компоненты и сложите вместе вторые компоненты.

Мы можем переписать сложение векторов {eq} \ left <4,9 \ right> + \ left <11,2 \ right> {/ eq} добавляя покомпонентно.Первые компоненты — это 4 и 11. Вторые компоненты — это 9 и 2. Следовательно, мы перепишем нашу сумму векторов как покомпонентное сложение следующим образом:

$$ \ left <4,9 \ right> + \ left <11,2 \ right> = \ left <4 + 11, 9 + 2 \ right> $$

Шаг 2: Упростите, завершив сложение.

Завершая покомпонентное сложение, выполняем указанное сложение, чтобы получить следующее:

$$ \ left <4 + 11, 9 + 2 \ right> = \ left <15, 11 \ right> $$

Следовательно, {eq} \ left <4,9 \ right> + \ left <11,2 \ right> = \ left <15,11 \ right> {/ экв}.

Пример задачи 2: Добавление векторов в форму компонента

Складываем векторы {eq} \ left <3, -4 \ right> {/ eq} и {eq} \ left <-1, -5 \ right> {/ экв}.

Шаг 1: Перепишите сложение как покомпонентное сложение. Другими словами, сложите вместе первые компоненты и сложите вместе вторые компоненты.

$$ \ left <3, -4 \ right> + \ left <-1, -5 \ right> = \ left <3 + (- 1), -4 + (- 5) \ right> $$

Шаг 2: Упростите, завершив сложение.

$$ \ left <3 + (- 1), -4 + (- 5) \ right> = \ left <2, -9 \ right> $$

Следовательно, {eq} \ left <3, -4 \ right> + \ left <-1, -5 \ right> = \ left <2, -9 \ right> {/ экв}.

Как добавлять векторы в программировании на R

Вектор в R — это последовательность элементов данных одного типа. Чтобы создать вектор в R, мы обычно используем функцию c () .Поскольку вектор содержит элементы данных, мы можем выполнять любые арифметические операции, такие как сложение, вычитание, умножение и деление. Арифметические операции будут выполняться поэлементно в векторе.

Чтобы добавить векторы в R, используйте оператор +. При добавлении векторов необходимо соблюдать правило повторного использования. Если два вектора имеют одинаковую длину, проблем нет. Но если длины векторов различаются, то более короткий повторяется до тех пор, пока его длина не станет равной длине более длинного.

Чтобы сложить два вектора, используйте оператор +.

  fv <- 1: 4
cat ("Первый вектор:", fv, "\ n")
св <- 5: 8
cat ("Второй вектор:", sv, "\ n")

добавить <- fv + sv
cat ("Последний вектор:", добавить)  

  Первый вектор: 1 2 3 4
Второй вектор: 5 6 7 8
Окончательный вектор: 6 8 10 12  

Здесь мы сложили fv и sv вместе; сумма будет вектором fv , члены которого являются суммой соответствующих членов из fv и sv .

Вы можете видеть, что fv и sv имеют одинаковую длину вектора, и их можно без труда сложить.

Что делать, если два вектора имеют разную длину? Тогда мы получим предупреждающее сообщение: более длинного объекта не кратно более короткой длине объекта.

Например, возьмем длину fv от до 4 и sv до 8 и сложим два вектора.

  fv <- 1: 4
cat ("Первый вектор:", fv, "\ n")
sv <- 5:13
cat ("Второй вектор:", sv, "\ n")

добавить <- fv + sv
cat ("Последний вектор:", добавить)  

  Первый вектор: 1 2 3 4
Второй вектор: 5 6 7 8 9 10 11 12 13
Предупреждение:
В fv + sv:
длина большего объекта не кратна длине более короткого объекта
Окончательный вектор: 6 8 10 12 10 12 14 16 14  

Вы можете видеть, что сложение происходит до тех пор, пока оба вектора не будут иметь одинаковую длину; после этого элементы вектора большей длины добавляются как есть к вектору окончательной суммы.

Если мы попытаемся сложить два вектора разных типов, например, вектор целого числа и строку, то будет выдана ошибка как Ошибка в fv + sv нечисловой аргумент бинарного оператора.

  fv <- 1: 4
cat ("Первый вектор:", fv, "\ n")
sv <- c («Снейп», «Минерва», «Гораций», «Люпин»)
cat ("Второй вектор:", sv, "\ n")

добавить <- fv + sv
cat ("Последний вектор:", добавить)  

  Первый вектор: 1 2 3 4
Второй вектор: Снейп Минерва Гораций Люпин.
Ошибка в fv + sv: нечисловой аргумент бинарного оператора
Исполнение остановлено  

Как и ожидалось, мы получили нечисловой аргумент бинарного оператора , ошибка.

Если мы попытаемся сложить векторы строк, то это даст ту же ошибку, что и в случае добавления векторов целочисленных и строковых типов данных.

  дв <- rep ("Грогу", 3)
cat ("Первый вектор:", dv, "\ n")
iv <- rep ("Grogu", 3)
cat ("Второй вектор:", iv, "\ n")
добавить <- dv + iv
распечатать (добавить)
cat ("Последний вектор:", добавить)  

  Первый вектор: MJ MJ MJ
Второй вектор: MJ MJ MJ
Ошибка в dv + iv: нечисловой аргумент бинарного оператора
Исполнение остановлено  

И получаем ту же ошибку: нечисловой аргумент бинарного оператора.

Если мы сложим десятичный и целочисленный векторы, это не даст нам сообщения об ошибке.

  dv <- seq (1, 2, by = 0,2)
cat ("Первый вектор:", dv, "\ n")
iv <- rep (1, 6)
cat ("Второй вектор:", iv, "\ n")
добавить <- dv + iv
распечатать (добавить)
cat ("Последний вектор:", добавить)  

  Первый вектор: 1 1.2 1,4 1,6 1,8 2
Второй вектор: 1 1 1 1 1 1
[1] 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0
Окончательный вектор: 2 2,2 2,4 2,6 2,8 3  

Для создания первого вектора мы использовали функцию seq () , которая генерирует последовательность.

Для создания второго вектора мы использовали функцию rep () .

Добавление векторов в R - обычная операция, и есть много вещей, которые имеют значение, когда вы складываете два вектора.Вы можете добавлять векторы одинаковой или разной длины. Вы можете добавлять векторы целочисленного и десятичного типов данных, но нельзя складывать векторы двух совершенно разных типов данных, таких как строковый и целочисленный.

Просмотры сообщений: 845

Векторы

Пример:
vmd> veczero
Инфо) 0 0 0
 

Примеры:
vmd> vecadd {1 2 3} {4 5 6} {7 8 9} {-11-11 -11}
Инфо) 1 4 7
vmd> vecadd {0,1 0,2 0,4 0,8} {1 1 2 3} {3 1 4 1}
Информация) 4,1 2,2 6,4 4,8
vmd> vecadd 4 5
Инфо) 9
 

Примеры:
vmd> vecsub 6 3.2
Информация) 2.8
vmd> vecsub {10 9,8 7} {0,1 0 -0,1}
Инфо) 9,9 9,8 7,1
vmd> vecsub {1 2 3 4 5} {6 7 8 9 10}
Инфо) -5-5-5-5-5
 

Примеры:
vmd> vecscale.2 {1 2 3}
Инфо) 0,2 0,4 0,6
vmd> vecscale {-5 4 -3 2} -2
Инфо) 10-8 6-4
vmd> vecscale -2 3
Инфо) -6
 

Примеры:
vmd> vecdot {1–2 3} {4 5 6}
Инфо) 12
vmd> vecdot {3 4} {3 4}
Инфо) 25
vmd> vecdot {1 2 3 4 5} {5 4 3 2 1}
Инфо) 35
vmd> vecdot 3 -2
Инфо) -6
 

Примеры:
vmd> veccross {1 0 0} {0 1 0}
Инфо) 0 0 1
vmd> veccross {2 2 2} {-1 0 0}
Инфо) 0-2 2
 

Примеры:
vmd> veclength 5
Информация) 5.0
vmd> длина {5 12}
Инфо) 13.0
vmd> длина {3 4 12}
Информация) 13.0
vmd> veclength {1 -2 3 -4}
Инфо) 5.47723
 

Примеры:
vmd> veclength3 5
Инфо) 25
vmd> veclength3 {5 12}
Инфо) 169
vmd> veclength3 {3 4 12}
Инфо) 169
vmd> veclength3 {1 -2 3 -4}
Инфо) 30
 

Примеры:
vmd> vecnorm -10
Информация) -1.0
vmd> vecnorm {1 1}
Информация) 0.707109 0.707109
vmd> vecnorm {2 -3 1}
Инфо) 0,534522 -0,801783 0,267261
vmd> vecnorm {2 2 -2 2 -2 -2}
Информация) 0,408248 0,408248 -0,408248 0,408248 -0,408248 -0,408248
 

Примеры:
vmd> vecdist -1,5 5,5
Информация) 7.0
vmd> vecdist {0 0 0} {3 4 0}
Информация) 5.0
vmd> vecdist {0 1 2 3 4 5 6} {-6-5-4-3-2-1 0}
Инфо) 15.8745
 

Примеры:
vmd> vecinvert -11.1
Информация) 11.1
vmd> vecinvert {3–4 5}
Инфо) -3 4-5
vmd> vecinvert {0 -1 2 -3}
Инфо) 0 1-2 3
 

Найдите сумму следующих четырех векторов ((a) и (b) для компонентов x и y соответственно) и как (c) величину и (d) угол относительно + x (включая знак плюс или минус).

Давайте сначала начнем с поиска компонентов x и y каждого вектора.

Вектор 1: 17,0 м под углом 31,0 градуса против часовой стрелки от + x

1. 17.Линия 0m будет указывать на 31 градус против часовой стрелки от + x, что означает, что вектор будет в первом квадранте плоскости xy (что означает, что компоненты x и y будут положительными).
2. Мы можем создать прямоугольный треугольник и использовать тригонометрию, чтобы найти катеты прямоугольного треугольника (которые также будут компонентами x и y вектора). Используя угол 31 градус и известную гипотенузу 17 м, мы можем использовать синусоидальную функцию, чтобы найти y-компонент, и косинусную функцию, чтобы найти x-компонент.

sin (θ) = противоположный / гипотенуза :: гипотенуза * sin (θ) = противоположный (y-компонента)

cos (θ) = смежный / гипотенуза :: гипотенуза * cos (θ) = смежный (x-компонент)

17sin (31 градус) = y-компонента = 8,76

17cos (31 градус) = x-component = 14,57

Вектор 1 равен 14,57i + 8,76j

Вектор 2: 16,0 м при 12,0 градусах против часовой стрелки from + y

1. Линия 16,0 м будет указывать на 12 градусов против часовой стрелки от + y, что означает, что вектор будет во втором квадранте плоскости xy (это означает, что компонент x будет отрицательным, а компонент y будет положительным ).
2. Мы можем создать прямоугольный треугольник и использовать тригонометрию, чтобы найти катеты прямоугольного треугольника (которые также будут компонентами x и y вектора). Используя угол 12 градусов и известную гипотенузу 16 м, мы можем использовать функцию синуса, чтобы найти x-компоненту, и функцию косинуса, чтобы найти y-компонент.

sin (θ) = противоположный / гипотенуза :: гипотенуза * sin (θ) = противоположный (x-компонент)

cos (θ) = смежный / гипотенуза :: гипотенуза * cos (θ) = смежный (y-компонент)

16sin (12 градусов) = компонент x = 3.33

16cos (12 градусов) = y-компонента = 15,65

Наконец, давайте добавим отрицательный знак к x-компоненту, поскольку мы знаем, что вектор находится во втором квадранте

.

Вектор 2 равен -3,33i + 15.65j

Вектор 3: 15,0 м на 17,0 градуса по часовой стрелке от -y

1. Линия 15,0 м будет указывать на 17 градусов по часовой стрелке от -y, что означает, что вектор будет в третий квадрант плоскости xy (то есть компоненты x и y будут отрицательными).
2. Мы можем создать прямоугольный треугольник и использовать тригонометрию, чтобы найти катеты прямоугольного треугольника (которые также будут компонентами x и y вектора).Используя угол 17 градусов и известную гипотенузу 15 м, мы можем использовать функцию синуса, чтобы найти x-компоненту, и функцию косинуса, чтобы найти y-компонент.

sin (θ) = противоположный / гипотенуза :: гипотенуза * sin (θ) = противоположный (x-компонента)

cos (θ) = смежный / гипотенуза :: гипотенуза * cos (θ) = смежный (y-компонент)

15sin (17 градусов) = x-компонент = 4,39

15cos (17-градусов) = y-component = 14,34

Наконец, давайте добавим отрицательный знак в x и y-компоненты, поскольку мы знаем, что вектор в третьем квадранте

.

Вектор 3 равен -4.39i-14.34j

Вектор 4: 13,0 м под углом 47,0 градусов против часовой стрелки от -y

1. Линия 13,0 м будет указывать на 47 градусов против часовой стрелки от -y, что означает, что вектор будет внутри четвертый квадрант плоскости xy (это означает, что компонент x будет положительным, а компонент y будет отрицательным).
2. Мы можем создать прямоугольный треугольник и использовать тригонометрию, чтобы найти катеты прямоугольного треугольника (которые также будут компонентами x и y вектора).Используя угол 47 градусов и известную гипотенузу 13 м, мы можем использовать синусоидальную функцию, чтобы найти x-компоненту, и косинусную функцию, чтобы найти y-компонент.

sin (θ) = противоположный / гипотенуза :: гипотенуза * sin (θ) = противоположный (x-компонента)

cos (θ) = смежный / гипотенуза :: гипотенуза * cos (θ) = смежный (y-компонент)

13sin (47 градусов) = x-компонент = 9,51

13cos (47-градусов) = y-component = 8,87

Наконец, давайте добавим отрицательный знак в y-компонент, поскольку мы знаем, что вектор находится в четвертый

квадрант.

Вектор 4 равен 9.51i-8.87j

Вектор 1 равен 14.57i + 8.76j

Вектор 2 равен -3.33i + 15.65j

Вектор 3 равен -4.39i-14.34j

Теперь мы можем сложить все четыре векторов вместе:

(a) x-компонента: 14.57-3.33-4.39 + 9.51 = 16.36

(b) y-component: 8.76 + 15.65-14.34-8.87 = 1.2

Sum Vector: 16.36i + 1.2j

Отсюда мы можем найти величину вектора, суммируя квадраты его компонентов и извлекая квадратный корень из этой суммы (Примечание: sqrt предназначен для представления квадратного корня)

(c) Величина: sqrt (16.36 ² +1,2 ² ) = 4,19

Мы также можем использовать тригонометрическую функцию касательной, чтобы найти угол относительно оси + x. (Обратите внимание, что, поскольку вектор суммы имеет положительные x и y-компоненты, вектор находится в первом квадранте и будет иметь положительный угол) Скажем, угол между вектором и осью + x равен θ.

тангенс угла (θ) = напротив / рядом = y-компонента / x-компонента

tan (θ) = 1,2 / 16.36

θ = tan ^-1 (1,2 / 16,36)

(d) θ = 4,20 градуса

Проверка работоспособности: 4,20 градуса имеет смысл, поскольку вектор суммы имеет большую x-компоненту и малую y-компонент, предполагающий, что вектор будет близко к оси x и составит острый угол с осью x.

Векторная арифметика - Векторы - Edexcel - GCSE Maths Revision - Edexcel

Умножение векторов на скаляр

Векторы можно умножить на скаляр, который изменяет размер вектора, но не направление.

\ [\ mathbf {k} = \ begin {pmatrix} 3 \\ -2 \ end {pmatrix} \]

Вектор \ (2k \) вдвое длиннее вектора \ (k \). Удвойте каждое число в \ (k \), чтобы получить \ (2k \).

\ [\ mathbf {2k} = \ begin {pmatrix} 6 \\ -4 \ end {pmatrix} \]

\ [\ mathbf {m} = \ begin {pmatrix} 4 \\ 4 \ end {pmatrix } \]

Вектор \ (\ frac {1} {2} \ mathbf {m} \) вдвое короче вектора \ (\ mathbf {m} \). Уменьшите вдвое каждое число в \ (\ mathbf {m} \), чтобы получить \ (\ frac {1} {2} \ mathbf {m} \).

\ [\ frac {1} {2} \ mathbf {m} = \ begin {pmatrix} 2 \\ 2 \ end {pmatrix} \]

Добавление векторов

Векторы можно добавить, нарисовав первый вектор, затем запуск второго вектора там, где заканчивается первый вектор.

\ [\ overrightarrow {XY} + \ overrightarrow {YZ} = \ overrightarrow {XZ} \]

\ [\ begin {pmatrix} 4 \\ 2 \ end {pmatrix} + \ begin {pmatrix} 1 \\ -4 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 4 + 1 \\ 2 + -4 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 5 \\ -2 \ end {pmatrix} \]

Единый вектор они создают (\ (\ overrightarrow {XZ} \)) - результирующий вектор.

Путешествие из \ (X \) в \ (Y \), затем из \ (Y \) в \ (Z \), то же самое, что путешествие из \ (X \) в \ (Z \).

Вычитание векторов

Вычитание вектора аналогично добавлению отрицательного вектора.

\ [\ overrightarrow {YX} + \ overrightarrow {XZ} = \ overrightarrow {YZ} \]

Поскольку вектор \ (\ overrightarrow {YX} \) имеет ту же величину, но противоположное направление вектору \ (\ overrightarrow {XY} \):

\ [\ overrightarrow {YX} = \ overrightarrow {-XY} \]

\ [\ overrightarrow {-XY} + \ overrightarrow {XZ} = \ overrightarrow {YZ} \]