| 1. |
Выражение, содержащее векторы
Сложность: лёгкое |
2 |
| 2. |
Сумма векторов
Сложность: среднее |
3 |
| 3. |
Сумма и разность векторов
Сложность: лёгкое |
2 |
| 4. |
Сложение и вычитание векторов
Сложность: лёгкое |
|
| 5. |
Арифметические операции с векторами
Сложность: лёгкое |
|
| 6. |
Выражение вектора суммы
Сложность: среднее |
3 |
| 7. |
Выражение вектора разности
Сложность: среднее |
3 |
| 8. |
Выражение с векторами
Сложность: среднее |
5 |
| 9. |
Сложение и вычитание векторов
Сложность: среднее |
4 |
| 10. |
Сумма нескольких векторов
Сложность: среднее |
3 |
| 11. |
Умножение вектора на число
Сложность: среднее |
4 |
| 12. |
Сложение и умножение на число
Сложность: сложное |
10 |
| 13. |
Арифметические действия с векторами, длина вектора
Сложность: сложное |
8 |
| 14. | Сложность: сложное |
8 |
Алгебра векторов, страница 10
1.5.2. Линейные операции в координатной форме.
Рассмотрим, как преобразуются координаты при сложении векторов и при умножении вектора на число.
Теорема 1.5.2. При сложении векторов их соответствующие координаты складываются.
Док-во. Пусть и . Тогда , что и требовалось доказать.
Теорема 1.5.3. При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Док-во. Пусть . Тогда , что и требовалось доказать.
При доказательстве обеих теорем используются свойства операций сложения векторов и умножения вектора на число, входящие в определение векторного пространства.
Следствие из теор. 1.5.3: Критерий коллинеарности векторов. Два ненулевых вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты в любом базисе пропорциональны.
Док-во. Необходимость. Пусть векторы а(х1, х2, х3) и b(y1, y2, y3) коллинеарны. Тогда по теореме 1.4.6. , т.е. .
Достаточность. Если координаты векторов пропорциональны, т.е. , то , и .
1.5.3. Ортонормированный базис. Направляющие косинусы.
Опр.1.5.4. Базис векторного пространства называется ортонормированным, если составляющие его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.
Ортонормированный базис на плоскости обычно вводят парой ортов i, j. Прежде чем ввести ортонормированный базис в пространстве, дадим определение ориентации тройки векторов.
Опр. 1.5.5. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a, b, c называется правой, если при приведении этих векторов к общему началу кратчайший поворот от a к b виден из конца вектора c против часовой стрелки (если кратчайший поворот от a к b совершается по часовой стрелке, то тройка векторов a, b, c называется левой).
Заметим, что если тройка a, b, c – правая (левая), то правыми (левыми) являются тройки b, c, a и c, a, b, т.е. ориентация не меняется при циклической перестановке векторов. В тоже время перестановка двух векторов меняет ориентацию: если тройка a, b, c – правая (левая), то тройка b, a, c (и, как следствие, тройки a, c, b и c, b,a) – левая (правая).
Ортонормированный базис в пространстве будем задавать правой тройкой ортов i, j, k. Произвольный вектор пространства a теперь может быть представлен в виде . На рисунке справа х = ОА2, у = ОА3, z = ОА4, все три координаты положительны. Если х, у, z – координаты вектора а в ортонормированном базисе, то (док-во: |a|2 = ОА2 = ОА12 + A1А2 (так как тр-к OAA1 – прямоугольный) = (ОА22 + A2А12) + A1А2 = ОА22 + ОА32 + ОА42).
МАСТЕР-КЛАСС ГЕОМЕТРИЯ 9 КЛАСС УРОК «СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ» Предмет
МАСТЕР-КЛАСС
ГЕОМЕТРИЯ, 9 КЛАСС, УРОК: «СЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ»
Предмет: Геометрия
Тема: Сложение векторов
Класс: 9 класс
Учащиеся
должны:
Знать, как находится сумма двух и нескольких векторов, законы сложения векторов; какие векторы называются противоположными.
Уметь строить сумму данных векторов, пользуясь правилом треугольника и параллелограмма, применять правила при решении задач.
Ход урока.
Организационный момент: объяснить цели урока
Проверка пройденного материала:
Тестирование:
1. Верно ли утверждение:
Если = , то и коллинеарны
да нет
2. № 751 (б). Определите вид четырехугольника АВСD, если:
, а векторы и не коллинеарны. (трапеция)
3. №748 (в).
В параллелограмме АВСD диагонали пересекаются в точке О. Равны ли векторы и
Да нет
III. Объяснение нового материала
План объяснения
1. Противоположные векторы
Определение:
Два вектора, имеющие равные модули и противоположные направления, называются противоположными.
Вектор, противоположный вектору , обозначается (- ) и (произносится «минус »).
На рисунке изображены противоположные векторы и , т.е. = и . Если =, то = —
2. Правило треугольника
Если переместить тело из точки А в точку В, а потом из точки В в точку С (Рисунок1), то суммарное перемещение из А в С представляется вектором . Так складывают векторы и :
+ =
В рассмотренном случае конец первого вектора является началом второго вектора . В общем случае векторы и складываются следующим образом ( рисунок справа). Сначала откладывают от какой-либо точки А вектор = , а потом от точки В вектор=. Тогда вектор представляет сумму векторов и : + = + =
3. Сумма двух векторов.
Итак, суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.
В частности, если вектор складывается с противоположным ему вектором (-), то в сумме получается нулевой вектор: + (-) = 0. Складывая векторы и по правилу треугольника, мы поступали так:
Выбирали точку А, откладывали от нее =, затем от точки В откладывали вектор = и получали вектор = +. Покажем, что полученный таким образом результат, т.е. сумма векторов и не зависит от выбора точки А. Для этого выберем какую-нибудь точку А1, отличную от точки А. По правилу треугольника построили векторы = и = .Требуется проверить, что векторы и АС равны. Действительно, т.к. = и =, то =, тогда АВВ1А1 — параллелограмм, отсюда АА1 = ВВ1. Аналогично из векторного равенства = вытекает, что = . Тогда т.к. два вектора и равны третьему вектору, то =. Следовательно,АСС1А1 — параллелограмм, отсюда =
При сложении векторов и имеют место следующие неравенства для модулей этих векторов:
+ + и + — причем равенство + = — достигается только в случае противоположно направленных векторов и .
Эти неравенства вытекают из неравенства треугольника для любых точек А,В и С ( в том числе и лежащих на одной прямой).
Анимация двух векторов.
4. Сложение векторов
При сложении векторов, как и при сложении чисел, выполняются переместительный и сочетательный законы. Кроме этого вы познакомитесь с правилом, по которому можно построить сумму двух неколлинеарных векторов.
5. Переместительный закон сложения.
Теорема: (Переместительный закон сложения векторов или коммутативность сложения)
Для любых векторов и справедливо равенство: + = +
Доказательство: Рассмотрим сначала случай коллинеарных векторов и . Тогда либо , либо . Если , то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор = , а затем от точки В отложим вектор = . Тогда по определению = + . Теперь на прямой b а от произвольной точки А1 отложим вектор =, затем =. Тогда по определению = +. , т.к. = + = + и = + = +. и — скаляры, то
+ = +, поэтому =.
Если , то отложим на прямой а от произвольной точки А вектор = , а затем от точки В отложим вектор = . Тогда по определению = + . Теперь на прямой b а от произвольной точки А1 отложим вектор =, затем =. Тогда по определению = +. , т.к. = + = - и = + = - . и — скаляры, то
- = - , поэтому =.
6. Правило параллелограмма
Правило параллелограмма.
Раньше, чтобы получить сумму векторов и , мы пользовались правилом треугольника. В доказательстве предыдущей теоремы мы получили правило параллелограмма: Если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма. Итак, чтобы сложить неколлинеарные векторы и , нужно отложить от произвольной точки О вектор = и = и построить параллелограмм ОАСВ. Тогда = +
Тренажер
Укажи вектор, равный сумме двух векторов
7.Сочетательный закон умножения
Операция сложения векторов, как и операция сложения чисел, обладает и сочетательным свойством.
Теорема: (Сочетательный закон сложения, или ассоциативность сложения).Для любых , и справедливо равенство: ( + )+ = + (+)
Доказательство: Отложим от точки А вектор = , а затем от точки В — вектор = и от точки С — вектор=. Т.к. по правилу треугольника + =+=
И + =+=, то ( + )+ = (+)+=+ =
И + (+) = +(+)=+=. Итак, ( + )+ = + (+)
Теорема доказана.
Замечание: Сочетательный закон сложения векторов справедлив для любого числа векторов
Тренажер (отрабатываются навыки законов сложения)
Укажите недостающие значения в формулах.
8. Сумма нескольких векторов
Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий и т.д. Сумма векторов , , и обозначается так: ++ +. Из определения вытекает способ построения суммы нескольких векторов.
Построим, например, сумму ++ + векторов , , и. От произвольной точки О отложим вектор =, от точки А отложим вектор =, а затем от точки В — вектор =, наконец, от точки С — вектор =. Тогда, по определению, вектор — сумма векторов , , и или = ++ +.
Тренажер (показ анимации сложения пяти и семи векторов)
Выводы по теме:
1. Два вектора, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными.
2. Суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника.
3. Правилом треугольника называется следующее последовательное построение: сначала откладывают от произвольной точки А вектор =, а потом от точки В — вектор =. Тогда = +
4. Если вектор складывается с противоположным ему вектором, то в сумме получится нулевой вектор.
5. Теорема (Переместительный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: +=+
6. Правило параллелограмма: если два вектора не коллинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного параллелограмма.
7. Теорема(Сочетательный закон сложения): Для любых векторов и справедливо равенство: ( +)+ = +(+ ).
8. Суммой нескольких векторов называется вектор, получающийся после ряда последовательных сложений: к первому вектору прибавляется второй, к полученному вектору прибавляется третий.
9. Способ построения суммы нескольких векторов называется правилом многоугольника.
10. Если начало первого вектора совпадает с концом последнего, то суммой таких векторов будет нулевой вектор.
IV. Закрепление полученных знаний:
Тестирование:
1. Дан треугольник АВС. Выразите через векторы = и = вектор
А) —
Б) —
В) +
2. Векторы и отложены от точек А и А1, причем = =, ==. Как называется фигура АСС1А1?
А) трапеция
б) параллелограмм
в) ромб
3. №770. Дан параллелограмм АВСD. Выразите вектор через векторы и, если =, =
а) =-
б) = —
в) =+
4. Какой вектор является суммой векторов , , и ?
А) Вектор
Б) Вектор
В) Вектор
V. Подведение итогов.
VI. Задание на дом: п.79-81, №№ 759, 761, 762 (а,в,г,д)
Могут ли три вектора неравной величины сложиться, чтобы получить нулевой вектор? — Реабилитацияrobotics.net
Могут ли три вектора неравной величины сложиться, чтобы получить нулевой вектор?
Поскольку существует разносторонний треугольник, сумма трех неравных векторов может равняться нулю. Условия для трех векторов, чтобы образовать треугольник: Сумма величин любых двух из них должна быть больше, чем величина третьего. величина суммы двух векторов должна быть равна величине третьего.
Можно ли сложить три или более вектора с неравными величинами так, чтобы их сумма была равна нулю, если это так, показать с помощью расположения векторов «хвост к голове», как это могло произойти?
3) Можно ли сложить три или более вектора с разными величинами так, чтобы их сумма была равна нулю? Если да, покажите с помощью расположения векторов «хвост к голове», как это могло произойти? да.Если три вектора при расположении хвоста к голове образуют замкнутый треугольник, их результат равен нулю.
Могут ли два вектора неравной величины в сумме дать нулевой вектор, могут ли три неравных вектора в сумме дать нулевой вектор?
Нет. Два неравных вектора никогда не могут дать нулевой вектор сложением. Но три неравных вектора при сложении могут дать нулевой вектор.
Могут ли два неравных вектора складываться в ноль?
Могут ли два вектора неравной величины? Да, два вектора одинаковой величины, которые указывают в противоположных направлениях, будут в сумме равны нулю.Сумма двух векторов неравной величины никогда не может быть равна нулю.
Могут ли три неравных силы в сумме равняться нулю?
Да! равнодействующая трех неравных сил может быть равна нулю. Мы складываем два из этих векторов и получаем результирующую силу.
Может ли равнодействующая двух неравных сил равняться нулю?
Да, два неравных вектора могут иметь нулевой результат.
Может ли результат двух векторов равен нулю?
Да, два вектора одинаковой величины, которые указывают в противоположных направлениях, будут в сумме равны нулю.Сумма двух векторов неравной величины никогда не может быть равна нулю.
Могут ли два вектора разной величины складываться с нулем?
С векторами невозможно объединить две разные величины (путем сложения или вычитания, в вашем вопросе не сказано), чтобы получить нулевой результат, поскольку векторы должны компенсировать величину результирующего.
Могут ли 2 одинаковых вектора разной величины дать нулевой результат, может ли 3 дать результат?
Нет, два вектора разной величины не могут дать нулевой результат.Три вектора могут дать нулевой результат, а два вектора — нет. Это связано с тем, что влияние векторов нейтрализуется только тогда, когда они действуют в противоположном направлении и имеют одинаковую величину.
Могут ли три вектора, лежащие на плоскости, давать нулевой результат?
Чтобы результат трех векторов был равен нулю, результат двух должен быть равен третьему и противоположен ему. Здесь, поскольку три вектора не лежат в одной плоскости, результирующая из двух не может быть в направлении, противоположном третьему, следовательно, результирующая не может быть равна нулю…..
Может ли равнодействующая трех неравных сил равняться нулю?
Ответ. Объяснение: Если одна сила в 5Н приложена к одной, а две силы — 2Н и 3Н соответственно, то результирующая сила будет равна 0.
Каковы условия, при которых равнодействующая трех копланарных сил равна нулю?
Когда в точке действуют три или более копланарных силы и векторная диаграмма закрывается, результат отсутствует. Силы, действующие в точке, находятся в равновесии.
Какие условия необходимы, чтобы три вектора смещения имели нулевую векторную сумму?
В любом случае результирующий вектор c одинаков по величине и направлению. Если три вектора последовательно представлены тремя сторонами треугольника, то результирующий вектор равен нулю.
Какой длины требуется, чтобы три вектора имели нулевую векторную сумму?
Какие ограничения длины требуются, чтобы три вектора имели нулевую векторную сумму? Объясните свои рассуждения.Нет Требуемое ограничение длины для трех векторов — сумма длин любых двух из них должна быть больше третьего. Это называется неравенством треугольника.
Может ли векторная сумма трех векторов равняться нулю?
Первоначальный ответ: Может ли результат трех векторов равняться нулю? Да, когда сумма (результирующая) любых двух из них равна и противоположна третьей.
Когда можно добавить три вектора к нулевому вектору?
Два вектора разной величины не могут складываться, чтобы дать нулевой результат.Три вектора разной величины могут складываться, чтобы дать нулевой результат, если они копанарны.
Верно ли, что три вектора, не лежащие в плоскости, никогда не могут в сумме дать нулевой вектор?
(e) Три вектора, не лежащие в плоскости, никогда не могут в сумме дать нулевой вектор. Ответ: (а) Верно. Величина вектора — это чистое число и не имеет направления.
Могут ли четыре вектора равняться нулю?
Могут ли еще четыре вектора? Результирующая из двух векторов лежит в одной плоскости.Следовательно, три вектора в одной плоскости не могут дать результирующий ноль. Чтобы результат трех векторов был равен нулю, результат двух должен быть равен третьему и противоположен ему.
Когда сумма двух векторов максимальная и минимальная?
Сумма двух векторов максимальна, когда оба тектро направлены в одном направлении, и минимальна, когда они действуют в противоположных направлениях.
Какое условие для того, чтобы два вектора были параллельны?
Два вектора параллельны, если они скалярно кратны друг другу.Если u и v — два ненулевых вектора и u = cv, то u и v параллельны.
Какое условие для того, чтобы два вектора были коллинеарны?
Два вектора коллинеарны, если отношения их координат равны, т.е. x1 / x2 = y1 / y2 = z1 / z2. Примечание. Это условие не выполняется, если один из компонентов вектора равен нулю. Два вектора коллинеарны, если их векторное произведение равно NULL-вектору.
Какой угол между двумя векторами, когда их сумма минимальна?
Если их сумма одновременно является минимумом и максимумом, то величина хотя бы одного из векторов равна 0, а угол может быть любым.Поскольку величина по крайней мере одного из векторов равна 0, угол между ними не влияет на результирующую величину.
Когда два вектора складываются вместе, их результирующий минимум равен углу между ними?
180 градусов
Какой угол между двумя равными векторами?
Итак, угол между двумя векторами одинаковой величины равен 120º.
Что такое сумма двух векторов?
Сумма двух или более векторов называется результирующей.Результат двух векторов может быть найден с помощью метода параллелограмма или метода треугольника.
Как сложить два вектора AB?
Чтобы сложить два вектора, совместите начальную точку второго вектора с конечной точкой первого, а затем завершите треугольник. Третья сторона (соединение начальной точки первого вектора с конечной точкой второго вектора) представляет собой сумму двух векторов. Найдите → a + → b a → + b →.
Как сложить два вектора с величиной и углом?
Чтобы сложить два вектора, сложите их в виде координат: (3.5, 3,5) + (5,7, 4,0) = (9,2, 7,5). Преобразуйте (9.2, 7.5) в форму величины / угла. Примените уравнение theta = tan – 1 (y / x), чтобы найти угол, который равен tan – 1 (7,5 / 9,2) = tan – 1 (0,82) = 39 градусов.
Может ли вектор иметь нулевую компоненту? — Mvorganizing.org
Может ли вектор иметь нулевую компоненту?
Если у нас есть произвольное количество измерений, нулевой вектор — это вектор, в котором каждый компонент равен нулю.
Может ли вектор иметь ненулевую величину, если компонент равен нулю?
Первоначальный ответ: Может ли вектор нулевой величины иметь ненулевые компоненты? AFAIK, нет.Величина вектора определяется (или измеряется) как квадратный корень из суммы квадратов его компонентов. Таким образом, величина будет равна 0 тогда и только тогда, когда «сумма квадратов его компонентов» равна 0.
Что означает ненулевой вектор?
Ненулевой вектор — это вектор с по крайней мере одним ненулевым элементом, по крайней мере, в Rn или Cn. В общем, ненулевой вектор — это вектор, который не является единичным элементом для добавления рассматриваемого векторного пространства.
Почему электрический ток не является вектором, даже если он имеет направление?
Электрический ток — это скалярная величина.В случае электрического тока, когда два тока встречаются в соединении, их результирующий ток будет алгебраической суммой, а не векторной суммой. Следовательно, электрический ток является скалярной величиной, хотя он имеет величину и направление.
Можно ли добавить к вектору скаляр?
Хотя векторы и скаляры представляют различные типы физических величин, иногда необходимо, чтобы они взаимодействовали. Хотя добавление скаляра к вектору невозможно из-за их различных пространственных размеров, вектор можно умножить на скаляр.
Можно добавить скаляр?
Скалярная величина — это величина, которая имеет только величину, но не имеет направления. Например, расстояние, скорость и т. Д. Сложить эти два значения невозможно из-за их разных размеров. Это в основном означает, что, будучи векторной величиной, конкретная физическая величина будет иметь как величину, так и направление.
Можно ли добавить к матрице скаляр?
Примером, где это разрешено, является язык MATLAB, где вы можете добавить скаляр к матрице A простым сложением: e.грамм. А + 3. Добавление скаляра к матрице можно определить как A + b = A + bJd, где d — размерности A. Это коммутативно и ассоциативно, как и обычное сложение матриц.
Можно добавить два скаляра?
Ответ: (a) Нет. Можно добавить только два таких скаляра, которые представляют одну и ту же физическую величину.
Да, любой вектор имеет нулевую компоненту в направлении, перпендикулярном ему. Например, вектор по оси x имеет нулевую составляющую по оси Y.
Может ли вектор иметь компоненту больше?
Компоненты вектора никогда не могут иметь величину больше самого вектора.В этом можно убедиться, используя Терезу Пифагора. Существует ситуация, когда компонент вектора может иметь величину, равную величине вектора.
Может ли составляющая вектора быть отрицательной?
Векторы отрицательны только по отношению к другому вектору. Величина или длина вектора не может быть отрицательной; он может быть либо нулевым, либо положительным. Знак минус используется здесь, чтобы указать, что вектор имеет направление, противоположное опорному вектору.
Какое минимальное количество неравных сил, векторная сумма которых может быть равна нулю?
три
Может ли компонент вектора быть длиннее, чем можно объяснить самим полным вектором?
Нет, вектор не может иметь компонент, величина которого больше, чем общая величина вектора.
Всегда ли каждый компонент вектора является скаляром?
каждый компонент вектора всегда является скаляром. 3. Общая длина пути всегда равна величине вектора смещения частицы. Три вектора, не лежащие в плоскости, никогда не могут в сумме дать нулевой вектор.
Какой компонент вектора всегда является скаляром?
(b) Каждый компонент вектора также является вектором. (c) Общая длина пути является скалярной величиной, а смещение — векторной величиной.Следовательно, общая длина пути всегда больше, чем величина смещения. Она становится равной величине смещения только тогда, когда частица движется по прямой.
Можем ли мы сложить три вектора, не лежащих в одной плоскости, чтобы получить нулевой вектор?
(e) Три вектора, не лежащие в плоскости, никогда не могут в сумме дать нулевой вектор.
Могут ли 3 вектора, лежащие на плоскости, давать нулевой результат?
Результирующая двух векторов лежит в одной плоскости.Следовательно, три вектора в одной плоскости не могут дать результирующий ноль. Чтобы результат трех векторов был равен нулю, результат двух должен быть равен третьему и противоположен ему.
Могут ли 3 вектора не в одной плоскости давать нулевой результат?
Три вектора, не лежащие в одной плоскости, не могут дать нулевой результат. Это потому, что равнодействующая двух векторов (в плоскости) прямолинейна в своей плоскости.
Может ли результат трех векторов быть нулевым?
Результат трех векторов будет равен нулю, если применимы все следующие условия: Если направление результирующего этих двух векторов точно противоположно направлению третьего вектора.3. Если величина равнодействующей двух векторов в точности равна величине третьего вектора.
Могут ли четыре вектора, не лежащие в плоскости, давать нулевой результат?
Но когда мы берем четыре вектора, которые не находятся в одной плоскости, их прямоугольные компоненты компенсируют друг друга, поэтому их результат равен нулю.
При каком условии три вектора не могут иметь нулевой результат?
(i) Когда три вектора не лежат в одном слое, бот может дать нулевой результат.(ii) Когда три вектора лежат в одном месте и представлены по величине и направлению тремя сторонами треугольника, взятыми в одном порядке, они могут дать нулевой результат.
При каких условиях 3 вектора могут дать нулевой результат B может дать нулевой результат?
При каком условии результирующая двух векторов будет равна нулю?
Да, два вектора одинаковой величины, которые указывают в противоположных направлениях, будут в сумме равны нулю. Сумма двух векторов неравной величины никогда не может быть равна нулю.Если они указывают на одну и ту же линию, поскольку их величина различна, сумма не будет равна нулю.
При каком условии результирующий вектор трех векторов, действующих одновременно на частицу, равен нулю?
Ответ: Если величина равнодействующей двух векторов в точности равна величине третьего вектора. Если направление результирующего этих двух векторов точно противоположно направлению третьего вектора. Если все вышеперечисленные условия выполнены, то результат трех векторов будет равен нулю.
Можете ли вы сложить три вектора равных величин и получить ноль?
Нет, невозможно получить ноль путем сложения двух векторов неравных величин. Да, можно сложить три вектора равных величин и получить ноль. Давайте возьмем три вектора одинаковой величины → A, → B и → C, учитывая, что эти три вектора составляют угол 120 ° друг с другом.
Какой длины требуется, чтобы три вектора имели нулевую векторную сумму?
Какие ограничения длины требуются, чтобы три вектора имели нулевую векторную сумму? Объясните свои рассуждения.Нет Требуемое ограничение длины для трех векторов — сумма длин любых двух из них должна быть больше третьего. Это называется неравенством треугольника.
Могут ли три вектора неравной величины давать нулевой результирующий вектор?
Утверждение: Минимальное количество векторов неравной величины, необходимое для получения нулевого результата, равно трем. Причина: три вектора неравной величины, которые могут быть представлены тремя сторонами треугольника, взятыми по порядку, дают нулевой результат.
Могут ли два вектора неравной величины в сумме дать нулевой вектор, может три из результирующего вектора?
Ответ. а) Нет. Два вектора неравной величины никогда не могут в сумме дать нулевой вектор. Три (или более) вектора неравной величины могут в сумме дать нулевой вектор.
Могут ли два вектора неравной величины в сумме дать нулевой вектор, могут ли три вектора неравной величины в сумме дать нулевой вектор?
Нет. Два неравных вектора никогда не могут дать нулевой вектор сложением.Но три неравных вектора при сложении могут дать нулевой вектор.
Можно ли сложить два ненулевых перпендикулярных вектора так, чтобы их сумма была равна нулю?
Можно ли сложить два ненулевых перпендикулярных вектора так, чтобы их сумма была равна нулю? ОТВЕТ: Нет. Сумма двух перпендикулярных ненулевых векторов никогда не может быть равна нулю.
Может ли сумма двух векторов быть перпендикулярной?
Сумма и разность двух векторов перпендикулярны друг другу.
Может ли когда-либо быть равной сумма величин двух векторов?
№Величина суммы может быть равна сумме величин, если векторы имеют одинаковое направление. В противном случае величина суммы будет меньше суммы величин.
Если сумма трех векторов равна нулю, какому геометрическому условию они удовлетворяют?
Вопрос:
Если сумма трех векторов равна нулю, какому геометрическому условию они удовлетворяют?
Вектор
Вектор — это геометрический объект, который определяется как величиной, так и направлением.\ circ {/ eq} в другой вектор.
Ответ и объяснение: 1
Чтобы три вектора суммировались до нуля,
- Все три вектора должны быть копланарными.
- Величина суммы любых двух векторов должна привести к третьему …
См. Полный ответ ниже.
Подробнее по теме:
Получите доступ к этому видео и всей нашей библиотеке вопросов и ответов
Что такое вектор в математике? — Определение и примерыиз
Глава 5 / Урок 1826K
Этот урок исследует векторы, операции с векторами и современное использование векторов.На уроке на соответствующих примерах и схемах будут продемонстрированы приложения векторов в мире.
Изучите нашу библиотеку вопросов и ответов для домашних заданий
* Наши специалисты постараются ответить в течение 30 минут, но это не гарантируется.
stl — Как суммировать элементы вектора C ++?
Prasoon уже предложил множество различных (и хороших) способов сделать это, ни один из которых не нуждается в повторении здесь.Однако я хотел бы предложить альтернативный подход к скорости.
Если вы собираетесь делать это совсем немного, вы можете рассмотреть возможность «подкласса» вашего вектора, чтобы сумма элементов сохранялась отдельно (а не на самом деле вектор подкласса , который является сомнительным из-за отсутствие виртуального деструктора — я говорю больше о классе, который содержит сумму и вектор внутри него, имеет , а не is- и предоставляет векторные методы).
Для пустого вектора сумма устанавливается равной нулю.При каждой вставке в вектор добавляйте вставляемый элемент к сумме. При каждом удалении вычитайте его. По сути, все, что может изменить базовый вектор, перехватывается для обеспечения согласованности суммы.
Таким образом, у вас есть очень эффективный метод O (1) для «вычисления» суммы в любой момент времени (просто верните текущую вычисленную сумму). Вставка и удаление займут немного больше времени, так как вы скорректируете общую сумму, и вы должны учитывать это снижение производительности.
Векторы, сумма которых требуется чаще, чем изменение вектора, вероятно, выиграют от этой схемы, поскольку затраты на вычисление суммы амортизируются по всем доступам. Очевидно, что если вам нужна сумма только каждый час, а вектор меняется три тысячи раз в секунду, это не подойдет.
Что-то вроде этого будет достаточно:
класс Uber
частный вектор vec
частная сумма int
общественный UberVector ():
vec = новый вектор ()
сумма = 0
общедоступный getSum ():
сумма возврата
публичное добавление (int val):
rc = vec.добавить (val)
если rc == OK:
сумма = сумма + значение
вернуть rc
публичный делиндекс (int idx):
val = 0
если idx> = 0 и idx Очевидно, что это псевдокод, и вы можете захотеть иметь немного больше функциональных возможностей, но он показывает основную концепцию.
Добавление стрелок - Доктора математики
Поскольку в последнее время у нас возник ряд вопросов о векторах, я подумал, что, возможно, пришло время рассмотреть различные аспекты этой темы.Здесь мы начнем с некоторых идей о том, что такое векторы и их основные операции. На следующей неделе мы займемся гораздо более интересной темой об умножении векторов.
Что такое вектор?
Мы можем начать с этого вопроса с 2002 года:
Что такое вектор? У меня возникли проблемы с пониманием , что именно представляет собой вектор , и я не могу найти простого и понятного объяснения. Пожалуйста помоги!
Патрику было всего 10, поэтому довольно простой ответ был уместен.Я ответил:
Привет, Патрик. Векторы можно формально определить несколькими сложными способами, но я могу дать базовое введение в эту концепцию. Проще говоря, вектор - это направленная величина .
Ниже мы рассмотрим более расширенный вид. Но здесь нам нужны основы.
Одно измерение: векторы на линии
Начнем с одномерного вектора . Это то же самое, что номер . Нарисуйте числовую линию, а нарисуйте стрелку, начинающуюся с нуля и заканчивающуюся 5.Это вектор (5). Нарисуйте еще одну стрелку, начиная с 5 и заканчивая 8; это вектор (3). Неважно, где начинается вектор; все, что имеет значение, это , как долго это и как далеко он идет. Таким образом, этот второй вектор имеет длину 3 единицы и указывает вправо, что делает его идентичным вектору, начинающемуся с 0 и идущему до 3. Помещая два вектора встык, как и я, я просто добавил векторы (5) и ( 3) получить вектор (8):
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + --- + -
о ------------------> о ---------->
5 3
о ------------------------------>
5 + 3 = 8 Мы можем думать о векторе в этом смысле как о движении.Вектор (3) означает «перемещение на 3 единицы вправо», независимо от того, с чего вы начали. А сложение векторов означает лишь одно движение за другим.
Если вы знакомы с отрицательными числами, вы можете видеть, что вектор, указывающий влево, будет соответствовать отрицательному числу. Если мы сложим векторы (5) и (-5), мы получим вектор (0), вектор вообще без размера. Для любого нарисованного вектора, если вы переместите его так, чтобы он начинался с 0, он будет указывать на его имя.
Поскольку одномерный вектор - это не что иное, как (подписанное) число, в этом нет ничего нового.Но это вводит основную концепцию: только размер и направление (в данном случае влево или вправо) учитываются, а - не позиция . Вт (3,3)
+ | +
\ | / \
v \ | и + v / \ v
\ | / \
\ | / \
о -------------> о ------>
u U (5,0) Вот это изображение, немного улучшенное:
Я нарисовал векторы и и v , оба начинающиеся в начале координат; затем я сделал копию v , начиная с конца u , чтобы добавить их.Это показывает, что \ ((5,0) + (-2,3) = (3,3) \):
Разместите каждый вектор так, чтобы он начинался в начале координат (0,0), и назовите его в соответствии с точкой, где он заканчивается, как мы это делали на числовой прямой. Наши векторы u = (5,0) и v = (-2,3), поскольку они заканчиваются в точках U и V, как показано. Их сумма w = u + v равна (3,3). Вы видите, как сложить два вектора? Вы просто добавляете их координаты x и их координаты y; u идет на 5 вправо, а v идет на 2 влево, поэтому w идет на 5-2 = 3 вправо. (Фактически, мы используем слово «координата» только для точек; для векторов мы используем слово « компонент .")
Итак, для векторов с компонентами \ ((a, b) \) и \ ((c, d) \) сумма будет \ ((a + c, b + d) \). В этом примере ходьба 5 футов на восток, затем 2 на запад и 3 на север эквивалентна ходьбе на 3 фута на восток и 3 фута на север. Сложение дает чистый результат двух или более движений.
Три измерения: векторы в пространстве
Вы можете сделать то же самое для векторов в трехмерном пространстве, но я не буду утруждать себя рисованием. Важно то, что векторы дают нам возможность говорить обо всем, что имеет и размер, и направление, но не положение - такие вещи, как скорости, , скорости ветра, силы и так далее.Если я гребу на своей лодке в направлении вектора u, но сама вода движется вдоль вектора v, тогда я действительно буду двигаться вдоль вектора u + v, поэтому сумма двух векторных скоростей говорит мне, насколько быстро , и в каком направлении я действительно иду.
В трех измерениях мы все еще можем использовать компоненты, такие как \ ((a, b, c) \), и мы по-прежнему добавляем векторы, складывая их встык.
Величина и скалярное умножение
Есть два конкретных представления о векторах, которые здесь явно не упоминаются.2} $$
Во-вторых, помимо возможности складывать векторы, мы можем умножить вектор на число (называемое скаляром , , чтобы отличить его от векторов) очевидным способом: удвоение вектора означало бы добавление его к самому себе, удвоение каждый компонент, и обычно $$ k \ mathbf {u} = k (a, b) = (ka, kb) $$
На (гораздо) более высоком уровне эта базовая картина векторов расширяется до более абстрактной концепции «векторных пространств», точно так же, как числа расширяются из того, что вы изучаете в детском саду (1, 2, 3), в действительные числа и далее.Вот вопрос через месяц после последнего вопроса, спрашивающий, как это согласуется с элементарным определением:
Определение вектора
Подробнее о добавлении векторов
Теперь нам нужно дополнительно изучить, как объединяются векторы. Вот вопрос от 2010 года:
величины векторов не складываются Я не понимаю, как сложение векторов приводит к треугольнику, в котором третья сторона эквивалентна сумме двух исходных векторов. В частности, я не понимаю, как сумма двух добавленных векторов может иметь ту же величину, что и сумма векторов.Вектор определяется как что-то с величиной и направлением, поэтому векторы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину и направление. Сложение векторов означает объединение двух векторов, поэтому результат сложения векторов должен давать вектор с тем же направлением и величиной, что и у комбинации добавленных векторов, верно? Я вижу, как сумма векторов A и B, если их объединить, будет иметь то же направление, что и третья сторона треугольника. Я не понимаю здесь , как величина третьей стороны может быть равна величине двух других сторон .Это означало бы, что две стороны треугольника суммируются с третьей стороной, не так ли?
Дело в том, что величина суммы не может равняться сумме величин, поэтому Дэвид что-то неправильно понял. Доктор Ян ответил:
Привет, Дэвид! Предположим, вы стоите на гигантской сетке. Вам даны два числа (a, b). Вы перемещаете a юнитов на восток и b юнитов на север. Теперь вам даны еще два числа (c, d). Вы перемещаете c юнитов на восток и d юнитов на север. На какое общее расстояние вы переместились на восток? Это а + с, правда? И на какое общее расстояние вы переместились на север? Это б + д, правда? Таким образом, вы могли бы добраться до той же конечной точки, задав числа (a + c, b + d) вместе с теми же инструкциями.Имеет ли это смысл? Вы видите, как это иллюстрирует правило сложения векторов?
В этом примере мы добавляем \ ((3,1) + (2,4) = (3 + 2,1 + 4) = (5,5) \).
Теперь доктор Йен комментирует два конкретных вопроса Дэвида. Первый:
"Вектор определяется как что-то с величиной и направлением, поэтому векторы равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую величину и направление. Сложение векторов означает объединение двух векторов, поэтому в результате сложения векторов должен получиться вектор с такое же направление и величина, как и у комбинации добавленных векторов, не так ли? " Верно.И они объединяются путем добавления своих компонентов , как показано в примере выше.
Не поймите неправильно: направление и величина суммы (результирующей) - это направление и величина комбинации , а не сумма их величин.
Следующая:
"Я вижу, как сумма векторов A и B, если их объединить, будет иметь то же направление, что и третья сторона треугольника. Я не понимаю, как величина третьей стороны может быть равна величина двух других сторон .Это означало бы, что две стороны треугольника суммируются с третьей стороной, не так ли? " Величины не складываются напрямую . Если вы сложите два вектора, величина результирующего вектора будет где-то между нулем и суммой индивидуальных величин. Последнее происходит, когда они имеют одинаковое направление , например, (3,0) + (4,0) = (7,0) Векторы слева имеют величины 3 и 4, а сумма имеет величину 7.
Первое происходит, когда они имеют противоположных направлений , но одинаковой величины, т.е.грамм., (3,0) + (-3,0) = (0,0) Векторы слева имеют величину 3, но они компенсируют друг друга, оставляя нулевой вектор без направления или величины.
Его утверждение о возможных величинах суммы можно усилить до «неравенства треугольника», которое мы скоро увидим. Мы увидим, что наименьшая из возможных величин суммы - это разность индивидуальных величин. В данном случае он был равен нулю только потому, что две величины были одинаковыми.-1 (4/3) = около 53 градусов Таким образом, мы могли бы заменить двух парней одним парнем, толкая его с силой 5 фунтов под углом 53 градуса от оси x, и ящик двигался бы так же, как когда двое парней толкали его. Итак, почему суммарная сила не имеет величины 7 фунтов? Что ж, подумайте об этом так: ящик движется под углом к силе, прикладываемой парнем, толкающим на восток. Так что только НЕКОТОРЫЕ его силы переместят коробку. То же самое и с парнем, который движется на восток.Таким образом, мы должны ожидать, что результирующая сила будет меньше любой из отдельных сил.
А теперь попробуйте подумать о тех других случаях. В одном из них два парня , оба толкают на восток, и их силы складываются, так что ящик перемещается на восток с силой 3 + 4 = 7 фунтов. В другом, , один парень толкает на восток, а другой толкает на запад , и, поскольку они применяют одинаковую величину силы, коробка вообще не движется. То есть к нему прилагается сила в 3 + -3 = 0 фунтов.
Таким образом, величина результирующего зависит от того, насколько исходные векторы «помогают друг другу» или «борются друг с другом».
Что касается треугольников, вы можете думать об этом так. Стрелки часов всегда образуют две стороны треугольника, верно? И третья сторона - линия, соединяющая руки. Ожидаете ли вы, что длина этой третьей стороны всегда будет суммой длин отдельных рук? Или угол между ними как-то связан?
Я предполагаю, что трудность Дэвида заключалась в основном в том, чтобы спутать «величину комбинации» с «суммой величин».
Визуализация суммы: неравенство треугольника
Наконец, вот вопрос 1996 года о суммах векторов:
Сумма двух векторов У моей дочери проблемы с изучением векторов. Как мне объяснить концепцию, согласно которой сумма двух векторов a + b может быть равна или меньше суммы вектора a + вектора b? Другими словами | a + b | <= | a | + | b | . Я попытался объяснить это с точки зрения силы, приложенной в одном и том же направлении, а не в немного разных направлениях.Однако успеха пока нет. Есть ли более простой способ выразить или доказать, что это отношение верно?
Обратите внимание, что в том, что говорит этот (анонимный) родитель, отсутствует слово: в неравенство вовлечены звездная величина , а не сами векторы. Символическая форма ясно показывает это.
Доктор Том ответил, изменив изображение с невидимых сил на осязаемые движения:
Я бы избегал такого понятия, как «сила», которое может показаться ей расплывчатым. Почему не это: Я начинаю дома и прохожу 3 мили в фиксированном направлении.Затем я прохожу 4 мили в фиксированном направлении, но не обязательно в том же направлении, что и первый шаг. Как далеко я от дома? Легко рисовать картинки с векторами, чтобы увидеть все возможности. Если вы продолжите движение точно по в том же направлении , вы окажетесь в 7 милях от вас, но должно быть ясно, что любой другой путь будет заканчиваться ближе, чем 7 миль. Фактически, если вам случится развернуться на 180 градусов, вы окажетесь всего в миле от дома.
Если мы пройдем 4 мили в том же направлении, в котором прошли первые 3, общее расстояние составит 7:
Если мы пройдем 4 мили в обратном направлении, мы закончим 1 милю от начала:
И мы можем закончить любое расстояние между ними, например, 6 миль:
Ни одна точка на синем кружке (возможные конечные точки) не находится дальше 7 миль от начала.И точно так же нет точки ближе, чем на 1 милю от начала. Это демонстрирует две стороны неравенства треугольника: $$ \ left || \ mathbf {a} | - | \ mathbf {b} | \ right | \ le | \ mathbf {a} + \ mathbf {b} | \ le | \ mathbf {a} | + | \ mathbf {b} | $$
Это называется неравенством треугольника, потому что оно верно для любого треугольника; каждая сторона не длиннее суммы длин двух других сторон. Или, иначе говоря, прямая линия - это кратчайшее расстояние между двумя точками.
Простое сложение векторов | Комплексные числа
Помните, что векторы - это математические объекты, подобные числам на числовой прямой: их можно складывать, вычитать, умножать и делить.Сложение - это, пожалуй, самая простая для визуализации векторная операция, поэтому мы начнем с нее. Если складывать векторы с общими углами, их величины (длины) складываются так же, как обычные скалярные величины: (рисунок ниже)
Точно так же, если источники переменного напряжения с одинаковым фазовым углом соединены последовательно, их напряжения складываются так же, как и следовало ожидать от батарей постоянного тока: (рисунок ниже)
Обратите внимание на обозначения полярности (+) и (-) рядом с выводами двух источников переменного тока.Несмотря на то, что мы знаем, что переменный ток не имеет «полярности» в том же смысле, что и постоянный ток, эти отметки важны, чтобы знать, как ссылаться на заданные фазовые углы напряжений. Это станет более очевидным в следующем примере.
Если векторы, прямо противоположные друг другу (180 ° не в фазе), складываются вместе, их величины (длины) вычитаются так же, как положительные и отрицательные скалярные величины вычитаются при сложении: (рисунок ниже)
Точно так же, если противоположные источники переменного напряжения подключены последовательно, их напряжения вычитаются, как и следовало ожидать, если батареи постоянного тока подключены противоположным образом: (Рисунок ниже)
Чтобы определить, противостоят ли эти источники напряжения друг другу, необходимо проверить их маркировку полярности и их фазовые углы.Обратите внимание, как маркировка полярности на приведенной выше диаграмме, кажется, указывает на аддитивные напряжения (слева направо мы видим - и + на источнике 6 В, - и + на источнике 8 В).
Несмотря на то, что эти маркировки полярности обычно указывают на добавочный эффект в цепи постоянного тока (два напряжения, работающие вместе, чтобы произвести большее общее напряжение), в этой цепи переменного тока они фактически толкают в противоположных направлениях, потому что одно из этих напряжений имеет фазовый угол 0 ° , а другой фазовый угол 180 ° .
Результат, естественно, общее напряжение 2 вольта.
С таким же успехом мы могли бы показать вычитание противоположных напряжений последовательно, как это: (Рисунок ниже)
Обратите внимание, как полярности теперь кажутся противоположными друг другу из-за перестановки проводов на источнике 8 Вольт.
Поскольку оба источника описываются как имеющие одинаковые фазовые углы (0 ° ), они действительно противоположны друг другу, и общий эффект такой же, как и в первом сценарии с «аддитивными» полярностями и разными фазовыми углами: общее напряжение всего 2 вольта.(Рисунок ниже)
Так же, как есть два способа выразить фазу источников, есть два способа выразить результирующую их сумму.
Результирующее напряжение может быть выражено двумя разными способами: 2 В при 180 ° с символом (-) слева и символом (+) справа, или 2 В при 0 ° с символом (+) на слева и символ (-) справа. Переворачивание проводов от источника переменного напряжения аналогично сдвигу фазы этого источника на 180 °.(Рисунок ниже)
Пример эквивалентных источников напряжения.
СВЯЗАННЫЕ РАБОЧИЕ ЛИСТЫ:
Онлайн-калькулятор для сложения двух векторов, дающих компоненты результата, его величину и направление. . Пусть u и v - два вектора, заданные в компонентной форме формулой Использование калькулятора сложения векторовЕсть два калькулятора, которые можно использовать для сложения двух векторов в зависимости от того, знаете ли вы компоненты или величину и направление добавляемых векторов.1 - Введите компоненты u 1 , u 2 и v 1 , v 2 двух векторов u и v соответственно как действительные числа и нажмите «Добавить два вектора». Выходы - это компоненты вектора u + v, его величина и направление в градусах. 2 - Введите величины (неотрицательные действительные) и направления в градусах двух векторов u и v соответственно как действительные числа и нажмите «Добавить два вектора». Выходы - это компоненты вектора u + v, его величина и направление в градусах. Дополнительные ссылки и ссылкиНайдите величину и направление векторов. |