УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА СКАЛЯР

Пусть даны вектор и скаляр . При умножении вектора на скаляр модуль вектора изменяется в раз, а его направление остаётся прежним или меняется на противоположное в зависимости от того, будет скаляр положительным или отрицательным числом. В результате такого действия образуется новый вектор ma, который называется произведением вектора на скаляр , т.е. , где — абсолютная величина числа .

Введём понятие единичного вектора. Единичным вектором, или «ортом », направления называется , имеющий направление вектора и модуль, равный единице: , тогда вектор можно записать через единичный вектор следующим образом: , где а – модуль вектора .

Любой вектор можно представить как произведение единичного вектора на модуль данного вектора. Например, дан вектор , пусть — единичный вектор, с – модуль вектора , тогда .

Проекция любого вектора, на какую либо ось равна его модулю, умноженному на косинус угла между положительным направлением оси проекции и направлением самого вектора.

Из рисунка 5 следует, что

 

.

 

 

А теперь рассмотрим, что происходит в случае умножения вектора на положительный скаляр и на отрицательный скаляр.

Пусть у нас будут даны: вектор A и скаляр .

При умножении вектора A на положительный скаляр получаем новый вектор ( A), направление которого совпадает с направлением вектора A, а числовое значение отличается в раз.

Пример 3: Определить импульс тела массой 2 кг, движущегося со скоростью 5 м/с.

Решение: Импульс тела равен: кг · м/с и направлен в сторону (рис.6).

 

 

При умножении вектора A на отрицательный скаляр получаем новый вектор ( A), направление которого противоположно вектору A, а числовое значение отличается в раз.

Пример 4: Заряд нКл помещён в электрическое поле с напряженностью В/м. Найти модуль и направление силы, действующей на заряд.

Решение:

Сила, по определению, равна . Так как заряд отрицателен, то вектор силы направлен в сторону, противоположную (рис.7). Модуль силы равен Н мкН.

 

 

 

5. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Скалярное произведение обозначается через ( или .

Итак, по определению скалярное произведение двух векторов и равно

,

 

где — угол между векторами и .

Скалярное произведение двух векторов есть скалярная величина, положительная или отрицательная, в зависимости от того, будет больше или меньше нуля, т.е. острый или тупой угол образуют векторы

и . Примером скалярного произведения является механическая работа , равная произведению силы на вектор перемещения и косинус угла между ними, т.е.

.

 

Если векторы параллельны, то скалярное произведение равно , так как ; .

Если векторы перпендикулярны , то скалярное произведение векторов равно нулю: , так как

 

Пример5: Найти работу постоянной силы 20 Н, если перемещение тела 7,5 м , а угол между силой и перемещением равен 120

0.

Решение: Работа силы равна, по определению, скалярному произведению силы и перемещения:

 

Дж

Узнать еще:

Как производится умножения вектора на скаляр?

решите пожалуйста задачу 27 20 баллов

решите пожалуйста задачу 26 20 баллов

решите пожалуйста задачу 25 баллов

В калориметре находится кусок льда массой 85 г при температуре 0°С. Какую массу воды с начальной температурой 100 °С нужно налить в калориметр, чтобы … весь лёд растаял, а температура образовавшейся воды стала равной 35 °С ? Ответ выразить в граммах [г]. Удельная теплота плавления льда 335 х 10″3 Дж/кг, удельная теплоёмкость воды 4200 Дж/(кг×К). Тепловыми потерями в окружающую среду пренебречь.

С ПОДРОБНЫМ РЕШЕНИЕМ!!!Баржу перемещают с помощью двух буксиров, движущихся со скоростями 3 м/с и 5 м/с, образующими угол а (рис. 56), тангенс которог … о равен tga = 2. Тросы, с помощью которых буксируют баржу, нерастяжимы и прикреплены к одной точке баржи. Под каким углом В к скорости і, будет направлена скорость точки крепления тросов и че- му равна скорость этой точки? Воспользоваться формулой для косину- са разности двух углов cos(а — в) = cos a cos B + sin a sin В.​

Какое количество теплоты выделится при конденсации водяного пара массой 3 кг при температуре 100оС? Удельная теплота парообразования воды равна 2,3∙10 … 6 Дж/кг. 2,3 МДж 6,9МДж 3 МДж 23 МДж

Погрешность измерения тока I специальным амперметром, рассчитанным на токи до Imax=50 мА, определяется только погрешностью считывания и равна ΔI=1 мА. … У вас в распоряжении много таких амперметров. Какое наименьшее количество амперметров нужно использовать, чтобы можно было измерить ток 1 А с наименьшей относительной погрешностью? Чему равна относительная погрешность измерения такого тока? Ответ выразите в процентах, округлите до целого числа.

222. Первую треть пути автомобиль проехал с постоянной скоростью 10 км/ч, вторую треть со скоростно 60 км/ч, третью 30 км/ч. Вычислите среднюю скорост … ь автомобиля на всем пути. (С РЕШЕНИЕМ!!!) Спасибо!!!!!

Извините, я не уловил мысль. Помогите понять, что имелось ввиду. «Как и в случае равномерного движения, можно пользоваться формулой [tex]s \: = ut[/t … ex]для определения пути, пройденного за данный промежуток времени при определённой средней скорости, и формулой [tex]t \: = \frac{s}{u} [/tex]для определения времени, за которое пройден данный путь с данной средней скоростью. Но пользоваться этими формулами можно только для того участка пути и для того промежутка времени, для которых эта средняя скорость была рассчитана. Например, зная среднюю скорость на участке пути AB и зная длину AB, можно определить время, за которое был пройден этот участок, но нельзя найти время, за которое была пройдена половина участка АВ, т.к. средняя скорость на половине участка при неравномерном движении, вообще говоря, не будет равна средней скорости на всём участке.Что имеется ввиду под предпоследним предложением? Объясните просторно и понятно, даю 40 баллов​

ПОЖАЛУЙСТА, СРОЧНО! 1). Известно, что нота «до» первой октавы имеет частоту 262 Hz. Также известно, что частоты двух одноимённых нот соседних октав от … личаются ровно в 2 раза. В какой октаве находится звук, порождённые колебаниями, ищображенными на графике? (график приложен) 2). Нарисовать график 3). Определить музыкальный инструмент

Умножение векторов на скаляр

Физика > Умножение векторов на скаляр

При умножении вектора на скаляр меняется величина вектора, но не направление.

Задача обучения

• Обобщить взаимодействие между векторами и скалярами.

Основные пункты

• Вектор характеризуется величиной и направлением.
• Скаляр отображается лишь величиной.
• Умножение вектора на скаляр эквивалентно умножению вектора величины на скаляр.

Термины

• Вектор – количество, обладающее величиной и направлением (между двумя точками).
• Скаляр – количество с величиной (лишено направления).
• Величина – число вектора, указывающее на длину.

Обзор

Вектор и скаляры отображают разные типы физических величин, но иногда вынуждены контактировать. Конечно, они обладают разными размерами в пространстве, поэтому добавление невозможно. Однако вектор можно умножить на скаляр, а вот умножить скаляр на вектор не получится.

Чтобы проделать подобную операцию, следует умножать компоненты, а именно величины. Это создаст новый вектор с тем же направлением, но будет уже результатом двух величин.

Пример

Допустим, вы располагаете вектором А с определенными величиной и направлением. Если умножить его на скаляр с величиной 0.5, то новый вектор будет вдвое меньше изначального. Если же величина 3, то втрое больше. Чтобы разобраться детальнее, возьмем силу гравитации. Сила отображает вектор с величиной, зависящей от скаляра (масса), а направление идет вниз. Если массу удвоить, то сила тяжести также удвоится.

(I

) – Умножение вектора А на скаляр (а = 0.5) создает вектор В, который вдвое длиннее.

(Ii) – Умножение вектора А на 3 утраивает его длину.

(Iii) – Удвоение массы (скаляр) удваивает и силу тяжести (вектор).

В физике умножение вектора на число приносит много пользы. Большая часть единиц в векторных величинах выступает внутренними скалярами, умноженными на вектор. К примеру, м/с для отображения скорости состоит их двух величин: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах. Теперь вы знаете, как проводить умножение векторов.

---

Умножение векторов, формулы и примеры

Для векторов существует три вида умножения векторов: скалярное и векторное произведение двух векторов и смешанное произведение трех векторов. Результатом первого и последнего есть число, а результатом векторного произведения – вектор.

Скалярное умножение векторов

Замечание. Если один из векторов нулевой, то скалярное произведение равно нулю.

Замечание. Из определения скалярного произведения получаем, что угол (а точнее его косинус) между векторами-сомножителями вычисляется по формуле:

   

Скалярное произведение вектора на самого себя называется скалярным квадратом и обозначается .

Скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля:

   

Тогда длина вектора может быть найдена по формуле:

   

Скалярное произведение двух векторов положительно, если угол между векторами острый; и отрицательно, если угол тупой.

Критерий ортогональности векторов. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, то есть когда эти векторы ортогональны (перпендикулярны):

   

Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   

Векторное умножение векторов

Замечание. Таким образом, длина (модуль) вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и :

   

Критерий коллинеарности векторов. Два вектора и коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю:

   

Если векторы и заданы своими координатами в пространстве, то их векторное произведение определяется формулой:

   

Смешанное умножение векторов

Геометрический смысл смешанного произведения. Модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами :

   

Критерий компланарности векторов. Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.

Если векторы заданы в пространстве своими координатами: , то их смешанное произведение можно вычислить по формуле:

   

Операция — сложение — вектор

Операция — сложение — вектор

Cтраница 3

Рассматривая векторы на плоскости, нетрудно убедиться в том, чта они образуют группу по сложению-векторов. Операция сложения векторов производится по правилу параллелограмма.  [31]

Умножение элементов группы сводится в данном случае к сложению векторов. Операция сложения векторов обладает свойством ассоциативности. Единичным элементом является вектор нулевой длины. Взаимно обратными элементами группы являются равные по величине и противоположно направленные векторы.  [32]

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.  [33]

Бесконочная совокупность Т то аь таких векторов образует для па-шого дисконтинуума группу в математическом смысле, называемую группой трансляций. Принимая за групповую операцию операцию сложения векторов, легко проверить выполнимость в множестве Т четырех групповых аксиом ( см. стр.  [34]

Линейными операциями принято называть операцию сложения векторов и операцию умножения векторов на вещественные числа.  [35]

К топологическим линейным пространствам относятся прежде всего все нормированные пространства. Действительно, из свойств нормы сразу следует, что операции сложения векторов и умножения их на числа в нормированном пространстве непрерывны в той топологии, которая определяется нормой.  [36]

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА — раздел векторного исчисления, в к-ром изучаются простейшие операции над ( свободными) векторами. К числу этих операций относятся линейные операции над векторами: операция сложения векторов и умножения вектора на число.  [37]

Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил.  [38]

Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частйости, сил.  [39]

Рассмотренных выше моделей недостаточно для отражения свойств нашего обыкновенного пространства, так как в этих моделях не участвуют понятия длины отрезка и величины угла. Для того чтобы охватить наиболее существенные свойства обыкновенного пространства, дополнительно к операциям сложения векторов и умножения их на число вводится так называемое скалярное произведение, которое включает понятия длины и угла.  [40]

Легко видеть, что этими условиями вектор МР определен однозначно. Корректность определения операции умножения вектора на число проверяется так же, как и для операции сложения векторов.  [41]

Понятие векторного пространства определяется в соответствии с общепринятой аксиоматикой. Следствием этого является, например, то, что в любом пространстве автоматически определены операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр. Операции эти индуцируются соответствующими операциями в поле скаляров, связанном с векторным пространством.  [42]

В этом пространстве, которое в дальнейшем для краткости будем называть П — пространством, также формально можно определить многомерные векторы, компонентами которых будут соответствующим образом образованные подмножества показателей. В отличие от S-пространства П — пространство является эвклидовым векторным пространством, так как в нем можно определить операции сложения векторов и умножения их на скаляр.  [43]

Векторным пространством строк длины п над R называется множество Rn ( его элементами являются векторы-строки УШИ просто векторы), рассматриваемое вместе с операциями сложения векторов и умножения их на скаляры — вещественные числа. Скаляры обозначаются строчными буквами латинского или греческого алфавита, а векторы — заглавными латинскими буквами, как матрицы.  [44]

Векторным пространством строк длины п над R называется множество R ( его элементами являются векторы-строки или просто векторы), рассматриваемое вместе с операциями сложения векторов и умножением их на скаляры — вещественные числа. Скаляры обозначаются строчными буквами латинского или греческого алфавита, а векторы — заглавными латинскими буквами, как матрицы.  [45]

Страницы:      1    2    3    4

умножение, сложение векторов по правилу многоугольника

Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

Определение 1

Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

Определение 2

Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

Определение 3

Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

Определение 4

Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

Сложение двух векторов

Определение 5

Исходные данные: векторы a→ и b→ . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки отложить вектор AB→, равный вектору а→; из полученной точки undefined – вектор ВС→, равный вектору b→. Соединив точки undefined и C, получаем отрезок (вектор) АС→, который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

Геометрически сложение векторов выглядит так:

— для неколлинеарных векторов:

— для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

Сложение нескольких векторов

Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

Определение 6

Исходные данные: векторы a→ , b→, c→,d→. Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a→; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b→; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B, а полученный отрезок (вектор) AB→ – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

Геометрически оно выглядит следующим образом:

Нужна помощь преподавателя?

Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Описать задание Определение 7

Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов a→и b→есть сумма векторов a→ и — b→.

Умножение вектора на число

Определение 8

Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k, необходимо учитывать следующие правила:
— еслиk>1, то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
— если 0<k<1, то это число приведет к сжатию вектора в 1k раз;
— если k<0, то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
— если k=1, то вектор остается прежним;
— если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

Исходные данные:
1) вектор a→и число k=2;
2) вектор b→и число k=-13.

Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

Свойства операций над векторами

Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

Исходные данные: векторы a→, b→, c→и произвольные действительные числа λ и μ.

1. Свойство коммутативности: a⇀+b→=b→+a→ .
   
2. Свойство ассоциативности: (a→+b→)+c→=a→+(b→+c→) .
   
3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0→ ⃗). Это очевидное свойство: a→+0→=a→
4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1·a→=a→. Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
5. Любой ненулевой вектор a→ имеет противоположный вектор -a→ и верным является равенство: a→+(-a→)=0→. Указанное свойство — очевидное.
6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a→ = λ · ( µ·a→ ). Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a→ = λ ·a→ + µ · a→.
8. Второе распределительное свойство: λ · (a→ +b→) = λ ·a→ + λ · b→ .
   Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:
   

Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

Пример 1

Задача: упростить выражение a→-2·(b→+3·a→)
Решение
— используя второе распределительное свойство, получим: a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·(3·a→)
— задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a→-2·b→-2·(3·a→)=a→-2·b→-(2·3)·a→=a→-2·b→-6·a→
— используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые:a→-2·b→-6·a→=a→-6·a→-2·b→
— затем по первому распределительному свойству получаем:a→-6·a→-2·b→=(1-6)·a→-2·b→=-5·a→-2·b→Краткая запись решения будет выглядеть так:a→-2·(b→+3·a→)=a→-2·b→-2·3·a→=5·a→-2·b→
Ответ: a→-2·(b→+3·a→)=-5·a→-2·b→

Автор: Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Векторы и действия над векторами

Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?

А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.

Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».

Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.

Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с². Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.

Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:

Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .

Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или

До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.

Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.

Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.

А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.

Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:

Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.

Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Сложение векторов

Для сложения векторов есть два способа.

1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .

Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.

2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .

По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.

При сложении векторов и получаем:

Вычитание векторов

Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.

Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .

Умножение вектора на число

При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.

Скалярное произведение векторов

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.

Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче 14 Профильного ЕГЭ по математике нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью. Часто векторным методом задача 14 решается в несколько раз быстрее, чем классическим.

В школьной программе по математике изучают только скалярное произведение векторов.
Оказывается, кроме скалярного, есть еще и векторное произведение, когда в результате умножения двух векторов получается вектор. Кто сдает ЕГЭ по физике, знает, что такое сила Лоренца и сила Ампера. В формулы для нахождения этих сил входят именно векторные произведения.

Векторы — полезнейший математический инструмент. В этом вы убедитесь на первом курсе.

---

Онлайн-курс «Математика 10+11 100 баллов»

— Теория: учебник Анны Малковой + 70 ч. видеоразборов.
— 144 ч. мастер-классов: 8 онлайн мастер-классов с Анной Малковой в месяц.
— Тренажер для отработки задач ЕГЭ (800+ задач): автоматическая + ручная проверки.
— Связь с Анной Малковой (чаты и почта).
— 9 репетиционных ЕГЭ: ежемесячно.
— Контроль: страница личных достижений учащегося, отчеты родителям.
— Личный кабинет.

ПОДРОБНЕЕ

---

векторов | Безграничная физика

Компоненты вектора

Векторы — это геометрические представления величины и направления, которые могут быть выражены в виде стрелок в двух или трех измерениях.

Цели обучения

Контрастность двумерных и трехмерных векторов

Основные выводы

Ключевые моменты

• Векторы можно разбить на две составляющие: величину и направление.
• Взяв вектор, который нужно проанализировать, как гипотенузу, можно найти горизонтальную и вертикальную составляющие, заполнив прямоугольный треугольник.Нижний край треугольника — это горизонтальная составляющая, а сторона, противоположная углу, — вертикальная составляющая.
• Угол, который вектор образует с горизонталью, можно использовать для вычисления длины двух компонентов.

Ключевые термины

• координаты : числа, указывающие положение относительно некоторой оси. Пример: [latex] \ text {x} [/ latex] и [latex] \ text {y} [/ latex] координаты указывают положение относительно [latex] \ text {x} [/ latex] и [latex] \ text {y} [/ latex] топоры.
• ось : воображаемая линия, вокруг которой объект вращается или симметрично расположен.
• величина : Число, присвоенное вектору, указывающее его длину.

Обзор

Векторы — это геометрические представления величины и направления, которые часто представлены прямыми стрелками, начинающимися в одной точке на координатной оси и заканчивающимися в другой точке. Все векторы имеют длину, называемую величиной, которая представляет некоторое интересное качество, так что вектор можно сравнивать с другим вектором.Векторы, будучи стрелками, тоже имеют направление. Это отличает их от скаляров, которые представляют собой простые числа без направления.

Вектор определяется своей величиной и ориентацией относительно набора координат. При анализе векторов часто бывает полезно разбить их на составные части. Для двумерных векторов эти компоненты бывают горизонтальными и вертикальными. Для трехмерных векторов компонент величины такой же, но компонент направления выражается в терминах [латекс] \ text {x} [/ latex], [latex] \ text {y} [/ latex] и [latex] \ text {z} [/ латекс].

Разложение вектора

Чтобы визуализировать процесс разложения вектора на его компоненты, начните с рисования вектора из начала набора координат. Затем нарисуйте прямую линию от начала координат по оси x до тех пор, пока линия не сравняется с концом исходного вектора. Это горизонтальная составляющая вектора. Чтобы найти вертикальный компонент, нарисуйте линию прямо вверх от конца горизонтального вектора, пока не дойдете до конца исходного вектора. Вы должны обнаружить, что у вас есть прямоугольный треугольник, в котором исходный вектор является гипотенузой.

Разложение вектора на горизонтальные и вертикальные компоненты — очень полезный метод для понимания физических задач. Всякий раз, когда вы видите движение под углом, вы должны думать о нем как о движении одновременно по горизонтали и вертикали. Такое упрощение векторов может ускорить вычисления и помочь отслеживать движение объектов.

Скаляры и векторы : Г-н Андерсен объясняет различия между скалярными и векторными величинами.Он также использует демонстрацию, чтобы показать важность векторов и сложения векторов.

Компоненты вектора : исходный вектор, определенный относительно набора осей. Горизонтальный компонент простирается от начала вектора до его самой дальней координаты x. Вертикальный компонент простирается от оси x до самой вертикальной точки вектора. Вместе два компонента и вектор образуют прямоугольный треугольник.

Скаляры против векторов

Скаляры — это физические величины, представленные одним числом, а векторы представлены как числом, так и направлением.

Цели обучения

Обратите внимание на разницу между скалярами и векторами величин

Основные выводы

Ключевые моменты

• Скаляры — это физические величины, представленные одним числом без направления.
• Векторы — это физические величины, которые требуют как величины, так и направления.
• Примеры скаляров включают высоту, массу, площадь и объем. Примеры векторов включают смещение, скорость и ускорение.

Ключевые термины

• Оси координат : набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Пример: оси координат x и y определяют горизонтальное и вертикальное положение.

Физические величины обычно можно разделить на две категории: векторы и скаляры. Эти две категории типичны в зависимости от того, какая информация им требуется. Векторы требуют двух частей информации: величины и направления. Напротив, скаляры требуют только величины.Скаляры можно рассматривать как числа, тогда как векторы следует рассматривать как стрелки, указывающие в определенном направлении.

Вектор : пример вектора. Векторы обычно представлены стрелками, длина которых представляет величину, а направление — направлением, указанным стрелкой.

Векторы требуют как величины, так и направления. Величина вектора — это число для сравнения одного вектора с другим. В геометрической интерпретации вектора вектор представлен стрелкой.Стрелка состоит из двух частей, определяющих ее. Две части — это его длина, которая представляет величину и направление относительно некоторого набора осей координат. Чем больше величина, тем длиннее стрелка. Физические понятия, такие как смещение, скорость и ускорение, являются примерами величин, которые могут быть представлены векторами. Каждая из этих величин имеет как величину (как далеко или как быстро), так и направление. Чтобы указать направление, должно быть что-то, относительно чего это направление.Обычно эта контрольная точка представляет собой набор осей координат, таких как плоскость x-y.

Скаляры отличаются от векторов тем, что у них нет направления. Скаляры используются в основном для представления физических величин, для которых направление не имеет смысла. Вот некоторые из них: масса, высота, длина, объем и площадь. Говорить о направлении этих величин не имеет смысла, и поэтому они не могут быть выражены в виде векторов.

Разница между векторами и скалярами, Введение и основы : В этом видео представлена ​​разница между скалярами и векторами.Представлены идеи о величине и направлении, а также приведены примеры векторов и скаляров.

Сложение и вычитание векторов графически

Векторов можно добавлять или вычитать графически, накладывая их встык по набору осей.

Цели обучения

Смоделируйте графический метод сложения и вычитания векторов

Основные выводы

Ключевые моменты

• Чтобы добавить векторы, поместите первую на наборе осей так, чтобы ее хвост находился в начале координат.Поместите следующий вектор хвостом в голову предыдущего вектора. Когда векторов больше нет, проведите прямую линию от начала до конца последнего вектора. Эта линия представляет собой сумму векторов.
• Для вычитания векторов действуйте так, как если бы складывались два вектора, но переверните вектор для вычитания по осям, а затем соедините его хвостом к голове, как если бы складывались.
• Сложение или вычитание любого количества векторов дает результирующий вектор.

Ключевые термины

• начало координат : центр координатной оси, определенный как координата 0 по всем осям.
• Оси координат : набор перпендикулярных линий, определяющих координаты относительно начала координат. Пример: оси координат x и y определяют горизонтальное и вертикальное положение.

Сложение и вычитание векторов

Одним из способов, которым представление физических величин в виде векторов упрощает анализ, является легкость, с которой векторы могут быть добавлены друг к другу. Поскольку векторы представляют собой графические визуализации, сложение и вычитание векторов можно выполнять графически.

Графический метод сложения векторов также известен как метод «голова к хвосту». Для начала нарисуйте набор осей координат. Затем нарисуйте первый вектор с его хвостом (базой) в начале координатных осей. Для сложения векторов не имеет значения, какой вектор вы рисуете первым, поскольку сложение коммутативно, но для вычитания убедитесь, что вектор, который вы рисуете первым, — это тот, который вы вычитаете из . Следующий шаг — взять следующий вектор и нарисовать его так, чтобы его хвост начинался с головы предыдущего вектора (сторона стрелки).Продолжайте помещать каждый вектор в начало предыдущего, пока все векторы, которые вы хотите добавить, не будут объединены. Наконец, проведите прямую линию от начала координат до головы последнего вектора в цепочке. Эта новая линия является векторным результатом сложения этих векторов вместе.

Графическое сложение векторов : Метод сложения векторов «голова к хвосту» требует, чтобы вы расположили первый вектор вдоль набора осей координат. Затем поместите хвост следующего вектора на голову первого.Нарисуйте новый вектор от начала до конца последнего вектора. Этот новый вектор представляет собой сумму двух исходных.

Сложение векторов Урок 1 из 2: Метод сложения «голова к хвосту» : Это видео знакомит зрителей с добавлением и вычитанием векторов. В первом уроке показано графическое сложение, а во втором видео используется более математический подход и показано сложение векторов по компонентам.

Метод вычитания векторов аналогичен.Убедитесь, что первый вектор, который вы рисуете, — это тот, из которого нужно вычесть. Затем, чтобы вычесть вектор, действуйте так, как если бы добавляли напротив этого вектора. Другими словами, переверните вектор, который нужно вычесть, по осям, а затем соедините его хвостом к голове, как будто складывая. Чтобы перевернуть вектор, просто поместите его голову на место хвоста и хвост на место головы.

Сложение и вычитание векторов с использованием компонентов

Часто проще складывать или вычитать векторы, используя их компоненты.

Цели обучения

Продемонстрируйте, как складывать и вычитать векторы по компонентам

Основные выводы

Ключевые моменты

• Векторы можно разложить на горизонтальные и вертикальные составляющие.
• После того, как векторы разложены на компоненты, можно добавлять компоненты.
• Сложение соответствующих компонентов двух векторов дает вектор, который является суммой двух векторов.

Ключевые термины

• Компонент : часть вектора.Например, горизонтальная и вертикальная составляющие.

Использование компонентов для сложения и вычитания векторов

Другой способ добавления векторов — это добавление компонентов. Ранее мы видели, что векторы можно выразить через их горизонтальные и вертикальные компоненты. Чтобы добавить векторы, просто выразите их оба в терминах их горизонтальных и вертикальных компонентов, а затем сложите компоненты вместе.

Вектор с горизонтальными и вертикальными компонентами : вектор на этом изображении имеет величину 10.3 единицы и направление на 29,1 градуса выше оси абсцисс. Его можно разделить на горизонтальную и вертикальную части, как показано на рисунке.

Например, вектор длиной 5 под углом 36,9 градусов к горизонтальной оси будет иметь горизонтальную составляющую 4 единицы и вертикальную составляющую 3 единицы. Если бы мы добавили это к другому вектору той же величины и направления, мы бы получили бы вектор вдвое большей длины под тем же углом. Это можно увидеть, сложив горизонтальные компоненты двух векторов ([latex] 4 + 4 [/ latex]) и двух вертикальных компонентов ([latex] 3 + 3 [/ latex]).Эти добавления дают новый вектор с горизонтальной составляющей 8 ([latex] 4 + 4 [/ latex]) и вертикальной составляющей 6 ([latex] 3 + 3 [/ latex]). Чтобы найти результирующий вектор, просто поместите хвост вертикального компонента в головку (со стороны стрелки) горизонтального компонента, а затем проведите линию от начала до вершины вертикального компонента. Эта новая строка является результирующим вектором. Он должен быть вдвое длиннее оригинала, так как оба его компонента в два раза больше, чем были ранее.

Чтобы вычесть векторы по компонентам, просто вычтите два горизонтальных компонента друг из друга и сделайте то же самое для вертикальных компонентов. Затем нарисуйте получившийся вектор, как вы делали в предыдущей части.

Добавление векторов Урок 2 из 2: Как добавлять векторы по компонентам : Это видео знакомит зрителей с добавлением векторов с использованием математического подхода и демонстрирует сложение векторов по компонентам.

Умножение векторов на скаляр

Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но не направление.

Цели обучения

Обобщить взаимодействие между векторами и скалярами

Основные выводы

Ключевые моменты

• Вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление.
• Скаляр — это величина, имеющая только величину.
• Умножение вектора на скаляр эквивалентно умножению величины вектора на скаляр. Вектор удлиняется или сжимается, но не меняет направления.

Ключевые термины

• вектор : Направленная величина, имеющая как величину, так и направление; между двумя точками.
• величина : Число, присвоенное вектору, указывающее его длину.
• скаляр : величина, имеющая величину, но не направление; сравнить вектор.

Обзор

Хотя векторы и скаляры представляют различные типы физических величин, иногда необходимо, чтобы они взаимодействовали. Хотя добавление скаляра к вектору невозможно из-за их различных пространственных размеров, вектор можно умножить на скаляр.Однако скаляр нельзя умножить на вектор.

Чтобы умножить вектор на скаляр, просто умножьте аналогичные компоненты, то есть величину вектора, на величину скаляра. Это приведет к новому вектору с тем же направлением, но произведению двух величин.

Пример

Например, если у вас есть вектор A с определенной величиной и направлением, умножение его на скаляр a с величиной 0,5 даст новый вектор с величиной, равной половине исходной.Точно так же, если вы возьмете число 3, которое является чистым скаляром без единиц измерения, и умножите его на вектор, вы получите версию исходного вектора, которая в 3 раза длиннее. В качестве более физического примера возьмем гравитационную силу, действующую на объект. Сила — это вектор, величина которого зависит от скаляра, известного как масса, и его направления вниз. Если масса объекта удваивается, сила тяжести также удваивается.

Умножение векторов на скаляры очень полезно в физике. Большинство единиц, используемых в векторных величинах, по своей сути являются скалярами, умноженными на вектор.Например, единица измерения скорости в метрах в секунду, которая является вектором, состоит из двух скаляров, которые являются величинами: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах. Чтобы преобразовать величины в скорость, нужно умножить единичный вектор в определенном направлении на эти скаляры.

Скалярное умножение : (i) Умножение вектора [latex] \ text {A} [/ latex] на скаляр [latex] \ text {a} = 0,5 [/ latex] дает вектор [latex] \ text { B} [/ latex] который вдвое короче.(ii) Умножение вектора [латекс] \ text {A} [/ latex] на 3 увеличивает его длину в три раза. (iii) Удвоение массы (скаляр) удваивает силу (вектор) гравитации.

Единичные векторы и умножение на скаляр

Умножение вектора на скаляр — это то же самое, что умножение его величины на число.

Цели обучения

Предсказать влияние умножения вектора на скаляр

Основные выводы

Ключевые моменты

• Единичный вектор — это вектор величины (длины) 1.
• Скаляр — это физическая величина, которая может быть представлена ​​одним числом. В отличие от векторов, скаляры не имеют направления.
• Умножение вектора на скаляр — это то же самое, что умножение величины вектора на число, представленное скаляром.

Ключевые термины

• скаляр : Величина, которая может быть описана одним числом, в отличие от вектора, который требует направления и числа.
• единичный вектор : вектор величины 1.

Помимо сложения векторов, векторы также можно умножать на константы, известные как скаляры. Скаляры отличаются от векторов тем, что они представлены величиной, но не направлением. Примеры скаляров включают массу, высоту или объем объекта.

Скалярное умножение : (i) Умножение вектора A на 0,5 уменьшает его длину вдвое. (ii) Умножение вектора A на 3 увеличивает его длину втрое. (iii) Увеличение массы (скаляр) увеличивает силу (вектор).

При умножении вектора на скаляр направление вектора не изменяется, а величина умножается на величину скаляра. Это приводит к тому, что новая векторная стрелка указывает в том же направлении, что и старая, но с большей или меньшей длиной. Вы также можете выполнить скалярное умножение с помощью компонентов вектора. Когда у вас есть компоненты вектора, умножьте каждый из компонентов на скаляр, чтобы получить новые компоненты и, следовательно, новый вектор.

Полезной концепцией при изучении векторов и геометрии является концепция единичного вектора. Единичный вектор — это вектор с длиной или величиной, равной единице. Единичные векторы различны для разных координат. В декартовых координатах направлениями являются x и y, обычно обозначаемые [latex] \ hat {\ text {x}} [/ latex] и [latex] \ hat {\ text {y}} [/ latex]. С треугольником над буквами называется «шляпа». Единичные векторы в декартовых координатах описывают круг, известный как «единичный круг» с радиусом один.Это можно увидеть, взяв все возможные векторы длины один под всеми возможными углами в этой системе координат и поместив их в координаты. Если бы вы провели линию, соединяющую все головы всех векторов вместе, вы бы получили круг радиуса один.

Положение, смещение, скорость и ускорение как векторы

Положение, смещение, скорость и ускорение могут быть показаны векторами, поскольку они определены в терминах величины и направления.

Цели обучения

Изучить применение векторов в анализе физических величин

Основные выводы

Ключевые моменты

• Векторы — это стрелки, состоящие из величины и направления. Они используются в физике для обозначения физических величин, которые также имеют как величину, так и направление.
• Смещение — это физический термин, означающий расстояние объекта от контрольной точки. Поскольку смещение содержит две части информации: расстояние от опорной точки и направление от точки, оно хорошо представлено вектором.
• Скорость определяется как скорость изменения смещения во времени. Чтобы узнать скорость объекта, нужно знать, как быстро изменяется смещение, и в каком направлении. Следовательно, он также хорошо представлен вектором.
• Ускорение, являющееся скоростью изменения скорости, также требует как величины, так и направления относительно некоторых координат.
• При рисовании векторов часто не хватает места, чтобы нарисовать их в масштабе, который они представляют, поэтому важно где-нибудь указать, в каком масштабе они нарисованы.

Ключевые термины

• скорость : Скорость изменения смещения относительно изменения во времени.
• смещение : длина и направление прямой линии между двумя объектами.
• ускорение : скорость, с которой скорость тела изменяется со временем

Использование векторов

Векторы могут использоваться для представления физических величин. Чаще всего в физике векторы используются для обозначения смещения, скорости и ускорения.Векторы представляют собой комбинацию величины и направления и отображаются в виде стрелок. Длина представляет собой величину, а направление этой величины — это направление, в котором указывает вектор. Поскольку векторы строятся таким образом, полезно анализировать физические величины (как с размером, так и с направлением) как векторы.

Приложения

В физике векторы полезны, потому что они могут визуально представлять положение, смещение, скорость и ускорение. При рисовании векторов у вас часто не хватает места, чтобы нарисовать их в масштабе, который они представляют, поэтому важно где-то обозначить, в каком масштабе они нарисованы.Например, при рисовании вектора, представляющего величину 100, можно нарисовать линию длиной 5 единиц в масштабе [латекс] \ displaystyle \ frac {1} {20} [/ latex]. Когда величина, обратная шкале, умножается на нарисованную величину, она должна равняться действительной величине.

Положение и перемещение

Смещение определяется как расстояние объекта в любом направлении относительно положения другого объекта. Физики используют концепцию вектора положения как графический инструмент для визуализации смещений.Вектор положения выражает положение объекта от начала системы координат. Вектор положения также может использоваться для отображения положения объекта относительно опорной точки, вторичного объекта или исходного положения (при анализе того, насколько далеко объект переместился от своего исходного положения). Вектор положения — это прямая линия, проведенная от произвольной исходной точки к объекту. После рисования вектор имеет длину и направление относительно используемой системы координат.

Скорость

Скорость также определяется величиной и направлением.Чтобы сказать, что что-то набирает или теряет скорость, нужно также сказать, насколько и в каком направлении. Например, самолет, летящий в 200 [latex] \ frac {\ text {km}} {\ text {h}} [/ latex] на северо-восток, может быть представлен вектором, указывающим в северо-восточном направлении, с магнитудой 200 [латекс] \ frac {\ text {km}} {\ text {h}} [/ latex]. При рисовании вектора величина важна только как способ сравнения двух векторов одинаковых единиц. Итак, если бы другой самолет летел на 100 [latex] \ frac {\ text {km}} {\ text {h}} [/ latex] на юго-запад, векторная стрелка должна быть вдвое короче и указывать в направлении юго-запад.

Разгон

Ускорение, представляющее собой скорость изменения скорости во времени, складывается из величины и направления и строится по той же концепции, что и вектор скорости. Значение ускорения не помогло бы в физике, если бы величина и направление этого ускорения были неизвестны, поэтому эти векторы важны. На диаграмме свободного тела, например, падающего объекта, было бы полезно использовать вектор ускорения рядом с объектом, чтобы обозначить его ускорение по направлению к земле.2} [/ латекс] _.

Векторная диаграмма : Мужчина поднимается на холм. Его направление движения определяется углом тета относительно вертикальной оси и длиной стрелки, идущей вверх по холму. Он также ускоряется вниз под действием силы тяжести.

Скалярное умножение векторов

Чтобы умножить вектор на скаляр, умножьте каждый компонент на скаляр.

Если ты → знак равно 〈 ты 1 , ты 2 〉 имеет величину | ты → | и направление d , тогда п ты → знак равно п 〈 ты 1 , ты 2 〉 знак равно 〈 п ты 1 , п ты 2 〉 где п положительное действительное число, величина | п ты → | , а его направление d .

Обратите внимание, что если п отрицательно, то направление п ты противоположен d .

Пример :

Позволять ты знак равно 〈 — 1 , 3 〉 , Находить 7 ты .

7 ты знак равно 7 〈 — 1 , 3 〉 знак равно 〈 7 ( — 1 ) , 7 ( 3 ) 〉 знак равно 〈 — 7 , 21 год 〉

Свойства скалярного умножения:

Позволять ты а также v быть векторами, пусть c а также d быть скалярами.Тогда верны следующие свойства.

Свойства скалярного умножения
Величина масштабированного вектора равна абсолютному значению скаляра, умноженному на величину вектора.	‖ c v ‖ знак равно | c | v
Ассоциативное свойство	c ( d ты ) знак равно ( c d ) ты
Коммутативная собственность	c ты знак равно ты c
Распределительное свойство	( c + d ) ты знак равно c ты + d ты c ( ты + v ) знак равно c ты + c v
Собственность идентичности	1 ⋅ ты знак равно ты
Мультипликативное свойство — 1	( — 1 ) c знак равно — c
Мультипликативное свойство 0	0 ( ты ) знак равно 0

Умножение на скаляр — объяснение и примеры

Умножение на скаляр — это способ изменения величины или направления вектора.Положим, это

«Умножение векторной величины на скалярную величину».

Напомним, что скаляр — это просто действительное число. Умножение вектора на скаляр вызывает изменение масштаба этого вектора.

В этом разделе мы обсудим следующие аспекты скалярного умножения:

• Что такое скалярное умножение?
• Как умножить вектор на скаляр?
• Умножение вектора на скаляр

Что такое скалярное умножение?

Скалярное умножение включает в себя умножение заданной величины на скалярную величину.Если данная величина является скалярной, умножение дает другую скалярную величину. Но если величина является вектором, умножение на скаляр дает векторный результат.

Например, , умножение скаляра C на вектор A даст другой вектор. Мы запишем эту операцию как:

C * A = C A

В приведенном выше примере результирующий вектор C A является масштабированной версией вектора A , величина которого в C умножена на величину исходный вектор А .Его направление определяется значением C следующим образом:

• Если C> 0, то результирующий вектор C A будет иметь то же направление, что и вектор A.
• Если C <0, то результирующий вектор:
  -C * A = — C A
  Отрицательный знак изменит направление результирующего вектора относительно опорного вектора A.
• Если C = 0, то умножение даст нулевой вектор как:
  0 * A = 0

Обратите внимание, что если C = 1, то умножение любого вектора на C сохраняет этот вектор неизменным.

1 * A = A

Как умножить вектор на скаляр?

Предположим, что вектор P выражен как вектор-столбец:

P = (x1, y1).

Умножение его на скаляр означает масштабирование каждого компонента вектора P на C следующим образом:

C * P = C (x1, y1)

C * P = (Cx1, Cy1)

Теперь величину результирующего вектора можно найти так же, как мы можем найти величину вектора P:

| C * P | = √ (Cx1) ^ 2 + (CX2) ^ 2

Умножение вектора на скаляр

В этом разделе мы обсудим некоторые важные свойства скалярного умножения.Обратите внимание, что эти свойства верны независимо от того, умножается ли скаляр на вектор или на другой скаляр.

Давайте сначала рассмотрим два вектора, A, и B, и два скаляра, c и d. Тогда имеют место следующие свойства:

1. | c A | = | c | * | A |. Величина результирующего масштабированного вектора равна абсолютному значению скаляра, умноженному на величину.
2. Ассоциативное свойство: c (d B ) = (cd) * B
3. Коммутативное свойство: c * A = A * c
4. Распределительное свойство: (c + d) A = c * A + d * A

d * ( A + B ) = d * A + d * B

Примеры

В этом разделе мы будем обсудите некоторые примеры и их пошаговые решения, чтобы помочь лучше понять скалярное умножение.

Пример 1

Автомобиль движется на север со скоростью V = 30 м / с. Определяет вектор, который вдвое больше этого вектора.

Решение

Из приведенных данных мы имеем следующую информацию:

V = 30 м / с север.

Чтобы определить вектор, равный удвоенному этому вектору, мы умножаем данный вектор на скалярное значение 2. Это дает нам:

2 * V = 2 * (30 м / с)

2 V = 60 м / с, север

Поскольку данное скалярное значение положительно, направление V не изменяется . Однако он меняет свою величину в два раза по сравнению с начальным значением. Таким образом, машина продолжит движение на север с удвоенной начальной скоростью.

Пример 2

Дан вектор S = (2, 3), определите и нарисуйте 2 * S. Каковы величина и направление вектора 2 S ?

Решение

Данный вектор S является вектором-столбцом, а скалярная величина равна 2. Умножение вектора S на 2 дает нам:

2 * S = 2 * (2, 3)

Умножение каждой из составляющих вектора S на 2 дает:

2 * S = (2 * 2, 2 * 3)

2 * S = (4, 6).2

| 2 S | = √16 + 36

| 2 S | = √52

| 2 S | = √4 * 13

| 2 S | = 2 * (√13)

Из последнего уравнения ясно видно, что скалярное умножение привело к удвоению величины вектора S.

На приведенном ниже изображении показаны два вектора: S, и 2. S . Можно видеть, что направление вектора 2 S параллельно направлению вектора S .Это дополнительно подтверждает, что масштабирование вектора на положительную величину изменяет только величину и не меняет направление.

Пример 3

Учитывая вектор S = (2, 3), определите и нарисуйте -2 * S. Найдите величину и направление вектора -2 S .

Решение

Данный вектор S является вектором-столбцом, а скалярная величина равна 2. Умножение вектора S на 2 дает нам:

-2 * S = -2 * (2, 3 )

Умножение каждой из составляющих вектора S на 2 дает:

-2 * S = (-2 * 2, -2 * 3)

-2 * S = (- 4, -6).2

| -2 S | = √16 + 36

| -2 S | = √52

| -2 S | = √4 * 13

| -2 S | = 2 * (√13)

Из последнего уравнения ясно видно, что скалярное умножение удвоило величину вектора S . Кроме того, отрицательный знак не влияет на величину вектора -2 S.

На приведенном ниже изображении показаны два вектора S и -2 S. . -2 S противоположен вектору S .Это дополнительно подтверждает, что масштабирование вектора на отрицательную величину не влияет на его величину (т.е. векторы 2 S и -2 S имеют одинаковую величину), но меняет направление на противоположное.

Пример 4

Дан вектор A = (-4, 6), определите и нарисуйте вектор 1/2 * A .

Решение

Данный вектор A является вектором-столбцом, а скалярная величина равна 1/2.2

| 1/2 A | = √4 + 9

| 1/2 A | = √13

Умножение на скаляр со значением, равным половине, уменьшило величину исходного вектора наполовину.

На приведенном ниже изображении показаны два вектора A, и ½ A. Оба вектора имеют одинаковое направление, но разные величины.

Пример 5

Учитывая вектор m = 5i + 6j +3 в ортогональной системе, определите результирующий вектор, если m умножить на 7.

Решение

В этом сценарии результирующий вектор может быть получен простым умножением данного вектора на 7:

7 m = 7 * (5i + 6j +3)

7 m = ( 7 * 5i + 7 * 6j + 7 * 3)

7 m = 35i + 42j + 21

Результирующий вектор имеет в 7 раз большую величину, чем исходный вектор m , но без изменения направления.

Практические вопросы

1. Учитывая вектор M = 10 м восточной долготы, определите результирующий вектор, полученный умножением данного вектора на 3.
2. Для данного вектора N = 15 м северной широты, определите результирующий вектор, полученный умножением данного вектора на -4.
3. Пусть u = (-1, 4). Найдите 5 u .
4. Пусть v = (3, 9). Найдите -1/3 v .
5. Для вектора b = -3i + 2j +2 в ортогональной системе найти 5 b .

Ответы

1. 3 M = 30 м, вост.
2. -4 с.ш. = -60 м, юг.
3. 5 u = (-5, 20), | u | = √17, | 5 u | = 5 * √17. Направление u и 5 u одинаковое.
4. -1/3 v = (-1, -3), | v | = 3 * √10, | -1/3 v | = √10, направление вектора -1/3 v противоположно направлению вектора v .
5. 5 b = -15i + 10j + 10

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Умножение вектора на скаляр — примеры и практическое применение

Вы когда-нибудь задумывались, что такое вектор и что можно делать с векторами? Если да, то ответы на все ваши вопросы о векторах можно найти в этой статье.Физическая величина — это та величина, которую можно физически измерить с помощью научного устройства. Однако такие величины, как голод, любовь, депрессия, гнев и т. Д., Не могут быть охарактеризованы как физические величины, поскольку их нельзя измерить вручную. Физическая величина, имеющая только величину, называется скалярной величиной. Скалярная величина не зависит от направления. Физическая величина, которая имеет как величину, так и направление, называется векторной величиной. Скаляры представлены отрезками прямых линий без стрелок, тогда как векторы представлены прямыми линиями с острием стрелки — одной из конечных точек, указывающих направление вектора.

Умножение векторов

Правила умножения векторов — одно из самых простых и интересных понятий в математике. Векторное умножение — это нахождение произведения любых двух векторов либо в виде скаляра, либо в виде вектора. Умножение векторов может быть выполнено в двух формах: скалярное произведение и перекрестное произведение. Если вектор умножается на скаляр, это означает, что величина вектора умножается на число.

Умножение векторов на скаляры

Хотя векторы и скаляры представляют различные разновидности физических величин, иногда необходимо, чтобы они оба взаимодействовали.Добавление скаляра к векторной величине крайне невозможно из-за их разницы в размерах. Однако векторная величина может быть умножена на скаляр. В то же время обратное невозможно. т.е. скаляр никогда не может быть умножен на вектор.

При умножении векторов на скаляры аналогичные величины подвергаются арифметическому умножению. т.е. величина векторов умножается на величину скалярных величин. Произведение, полученное умножением векторов на скаляры, является вектором.Вектор произведения имеет то же направление, что и вектор, который умножается на скаляр, и его величина увеличивается столько раз, сколько произведение умноженных величин вектора и скаляра.

Пример правил умножения скалярных векторов

Пример 1 умножения скалярных векторов

Рассмотрим некоторый вектор, скажем, вектор «a» умножается на скаляр, величина которого равна 0,25. В этом случае вектор произведения — это вектор, который представляет вектор, направление которого совпадает с направлением вектора ‘a’, а величина равна ¼ раз больше вектора ‘a’ (поскольку 0.25 представляет ¼).

Пример 2 скалярного умножения векторов:

Физическая величина сила является векторной величиной. Проделанная работа зависит как от величины, так и от направления силы, приложенной к объекту. Эта сила на самом деле является произведением вектора со скалярной величиной согласно второму закону линейного движения Ньютона.

Сила задается как:

F ​​= m x a

В приведенном выше уравнении «a» обозначает ускорение, которое является векторной величиной, а «m» обозначает массу объекта, которая является скалярной.

Итак, это один из примеров в физике умножения векторов на скаляры.

Пример 3 умножения скалярных векторов

Пусть в качестве скалярной величины будет использовано любое безразмерное арифметическое число. При умножении векторов на этот скаляр полученный продукт является масштабированной версией исходного вектора. Предположим, что число, рассматриваемое как скаляр, равно 3, тогда вектор, умноженный на этот скаляр, дает вектор произведения, который совпадает с троекратным начальным вектором.

Изображение будет загружено в ближайшее время

Практическое применение умножения векторов на скаляры

Умножение векторов на скаляры находит широкий спектр приложений в физике. Многие единицы СИ векторных величин являются произведениями вектора и скаляров. Например, единица измерения скорости в системе СИ — метр в секунду. Скорость — это векторная величина. Это получается путем умножения двух скалярных величин: длины и времени на единичный вектор в определенном направлении.В математике и физике есть много других примеров, где используется умножение вектора на скаляр.

Интересные факты о правилах умножения векторов

• Вектор можно умножить на скаляр. Но скалярная величина не может быть умножена на вектор.

• Когда вектор умножается на скаляр, полученное произведение представляет собой вектор с тем же направлением, но с увеличенной величиной.

Умножение векторов на скаляр

Обзор

Хотя векторы и скаляры представляют различные типы физических величин, иногда необходимо, чтобы они взаимодействовали.Хотя добавление скаляра к вектору невозможно из-за их различных пространственных размеров, вектор можно умножить на скаляр. Однако скаляр нельзя умножить на вектор.

Чтобы умножить вектор на скаляр, просто умножьте аналогичные компоненты, то есть величину вектора, на величину скаляра. Это приведет к новому вектору с тем же направлением, но произведению двух величин.

Пример

Например, если у вас есть вектор A с определенной величиной и направлением, умножьте его на скаляр a с величиной 0.5 даст новый вектор с величиной, равной половине оригинала. Точно так же, если вы возьмете число 3, которое является чистым скаляром без единиц измерения, и умножите его на вектор, вы получите версию исходного вектора, которая в 3 раза длиннее. В качестве более физического примера возьмем гравитационную силу, действующую на объект. Сила — это вектор, величина которого зависит от скаляра, известного как масса, и его направления вниз. Если масса объекта удваивается, сила тяжести также удваивается.

Умножение векторов на скаляры очень полезно в физике.Большинство единиц, используемых в векторных величинах, по своей сути являются скалярами, умноженными на вектор. Например, единица измерения скорости в метрах в секунду, которая является вектором, состоит из двух скаляров, которые являются величинами: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах. Чтобы преобразовать величины в скорость, нужно умножить единичный вектор в определенном направлении на эти скаляры.

Скалярное умножение

(i) Умножение вектора $ A $ на скаляр $ a = 0.5 $ дает вектор $ B $, который вдвое короче. (ii) Умножение вектора $ A $ на 3 увеличивает его длину втрое. (iii) Удвоение массы (скаляр) удваивает силу (вектор) гравитации.

линейная алгебра — Концепция: умножение вектора на скалярную величину

Скаляр — это величина, имеющая единственную величину $ \ | m \ | $ в отличие от вектора, который имеет как направление, так и величину $ \ | m \ | \ angle \ theta $. Интуитивно, умножение вектора на скаляр масштабирует вектор на соответствующую величину.2) \ | \ angle {\ left (\ pi + \ arctan \ frac {y} {x} \ right)} $.

Многие известные тексты утверждают, что такое поведение является допустимым. Но я нахожу несколько противоречий

1. Если путем умножения вектора $ \ vec v $ масштабирует вектор, какова интуиция отрицательного масштабирования?
2. Если величина абсолютная, а скаляр имеет единственную величину, как скаляр может быть отрицательным?
3. Если умножение на скаляр не меняет направления, почему умножение вектора на отрицательную величину и, таким образом, переворачивание его, является допустимым поведением?

Я пытаюсь понять, что умножение на отрицательный скаляр — это на самом деле две операции.

1. Умножение вектора на (-1), которое переворачивает вектор. Это порождает отрицательный обратный вектор $ \, потому что \ vec v + (-1) \ times \ vec v = 0 $
2. Масштабируйте результирующий вектор соответствующей скалярной величиной.

Итак, скаляр -q на самом деле равен $ \ | q \ | \ times -1 $ и умножение на вектор $ \ vec v = \ | v \ | \ angle \ theta $

$$ \ Rightarrow -q \ times \ vec v = \ | q \ | \ раз -1 \ vec v = \ | q \ | \ times \ | v \ | \ angle \ left (\ pi + \ theta \ right) $$

Но я не могу найти источник, подтверждающий мои рассуждения, и нуждаюсь в поддержке сообщества, чтобы помочь мне с моим пониманием.

Скалярное умножение векторов: определение и расчеты — Видео и стенограмма урока

Скалярное умножение

Работа, вероятно, самый простой пример скалярного умножения векторов. Работа равна перемещению, умноженному на силу, или, другими словами, насколько далеко перемещается объект, умноженному на силу, приложенную для его перемещения. И смещение, и сила — векторы.

Но если сила прикладывалась под углом … скажем, давя на метлу по диагонали, когда она огибает пол, мы можем сделать определение работы более конкретным.Можно сказать, что работа равна перемещению, умноженному на компонент силы, действующей в направлении движения. Если вы толкаете метлу вниз под углом, то нас интересует только та часть силы, которая направлена ​​вдоль пола. Когда бы это ни происходило в физической ситуации, мы выполняем скалярное умножение; мы завершаем точечный продукт. Таким образом, скалярное умножение — это умножение одного вектора на компонент второго вектора, который действует в направлении первого вектора.

Есть два основных уравнения для вычисления скалярного произведения. Если у вас есть общие величины и углы вектора, используйте это уравнение:

Уравнение для вычисления скалярного произведения, когда известны общие величины и векторные углы

Итак, если вы умножаете вектор A на вектор B , вы берете величину вектора A , умножаете ее на величину вектора B и умножаете на косинус угол между ними.Таким образом, это будет похоже на умножение вашего смещения на F косинус theta , составляющую силы, действующей в направлении смещения.

Но что, если вам дано количество в виде компонентов? Возможно, вы не знаете общую величину вектора, но вы знаете компоненты x и y для A и компоненты x и y для B . В этом случае вы воспользуетесь приведенным ниже уравнением, и оно будет работать точно так же.Просто умножьте два компонента x вместе и два компонента y (и, если бы вы были в трех измерениях, вы бы проделали то же самое с двумя компонентами z ) и сложите их все.

Уравнение для расчета скалярного произведения, когда у вас нет общей величины

Помимо работы, другие примеры скалярных произведений включают магнитную потенциальную энергию (которая представляет собой дипольный момент, умноженный на магнитное поле), магнитный поток (магнитное поле, умноженное на площадь) и мощность (сила, умноженная на скорость).

Пример расчетов

Хорошо, теперь давайте рассмотрим пример.

Допустим, вы тащите своего кузена по улице в фургоне. Из-за своего роста вы не можете не подтянуться под углом. Постоянно сгибаться в коленях будет больно. Если вы потянете под углом 40 градусов к горизонтали с силой 50 ньютонов, а тележка переместится на 8 метров в положительном направлении оси x, сколько работы будет выполнено в Джоулях?

Схема для примера 1

Прежде всего, мы записываем то, что знаем.Сила, F , составляет 50 ньютонов, а смещение — 8 метров. И, как мы обсуждали ранее, работа — это скалярное умножение вектора силы и вектора смещения. Если мы посмотрим на диаграмму ситуации (см. Выше), мы увидим, что заданный нам угол, 40 градусов, также является углом между этими двумя векторами. Итак, угол theta равен 40 градусам. Затем, используя наше скалярное уравнение умножения, мы просто подставляем числа и решаем.8, умноженное на 50, умноженное на косинус 40, дает 306 джоулей работы. Итак, это наш ответ.

Еще один пример. На этот раз более абстрактный.

Если вектор A представлен уравнением 3i + 2j, а вектор B представлен уравнением 4i + j, каково скалярное произведение этих векторов?

На этот раз у нас есть векторы в компонентной форме. Например, вектор A равен 3 единицам в направлении x и 2 единицам в направлении y .Итак, мы можем использовать наше другое уравнение для этого примера, умножив компоненты x и компоненты y , а затем сложив их. Подставляя конкретные числа, мы находим, что скалярное произведение равно 3, умноженному на 4, плюс 2, умноженному на 1, что составляет 14. Итак, 14 — наш ответ.

Резюме урока

В физике существует скаляров и векторов . Скаляры — это просто числа, как температура на вашем велосипеде. Но векторы также имеют направление, как и скорость вашего велосипеда.Когда два вектора умножаются вместе в одном из этих уравнений, например сила, умноженная на смещение (что является работой), или скорость заряда, умноженная на магнитное поле (которое связано с магнитной силой), мы можем умножить их двумя разными способами: векторное умножение (также известное как перекрестное произведение) и скалярное умножение (также известное как скалярное произведение). Некоторые уравнения требуют скалярного произведения, а другие — перекрестного произведения. В случае работы ваш ответ — скаляр (у него нет направления), поэтому это пример скалярного произведения.

Скалярное произведение , в двух словах, представляет собой один вектор, умноженный на компонент второго вектора, указывающий в направлении первого вектора. Итак, для примера работы это смещение, умноженное на составляющую силы, действующую в направлении смещения (направление движения объекта).

Первое скалярное уравнение умножения говорит, что нужно взять величину вектора A , умножить ее на величину вектора B и умножить на косинус угла между ними.