Site Loader
Posted on 30.12.1981

Содержание

Как определить направление момента силы

Момент силы рассматривается относительно точки и относительно оси. В первом случае момент силы является вектором, имеющим определенное направление. Во втором случае следует говорить лишь о проекции вектора на ось.

Пусть Q – точка, относительно которой рассматривается момент силы. Эта точка называется полюсом. Проведите радиус-вектор r из этой точки к точке приложения силы F. Тогда момент силы M определяется как векторное произведение r на F: M=[rF].

Результатом векторного произведения является вектор. Длина вектора выражается модулем: |M|=|r|·|F|·sinφ, где φ – угол между векторами r и F. Вектор M ортогонален как вектору r, так и вектору F: M⊥r, M⊥F.

Направлен вектор M таким образом, что тройка векторов r, F, M является правой. Как определить, что тройка векторов именно правая? Представьте себе, будто вы (ваш глаз) находитесь на конце третьего вектора и смотрите на два других вектора. Если кратчайший переход от первого вектора ко второму кажется происходящим против часовой стрелки, значит, это правая тройка векторов. В противном случае, вы имеете дело с левой тройкой.

Итак, совместите начала векторов r и F. Это можно сделать параллельным переносом вектора F в точку Q. Теперь через эту же точку проведите ось, перпендикулярную плоскости векторов r и F. Данная ось будет перпендикулярна обоим векторам сразу. Тут возможны, в принципе, только два варианта направить момент силы: вверх или вниз.

Попробуйте направить момент силы F вверх, нарисуйте стрелочку вектора на оси. Из этой стрелочки как бы взгляните на вектора r и F (можете нарисовать символический глаз). Кратчайший переход от r к F можете обозначить закругленной стрелочкой. Является ли тройка векторов r, F, M правой? Стрелочка указывает направление против часовой стрелки? Если да, то вы выбрали верное направление для момента силы F. Если же нет, значит, надо сменить направление на противоположное.

Определить направление момента силы можно также по правилу правой руки. Указательный палец совместите с радиус-вектором. Средний палец совместите с вектором силы. С конца поднятого вверх большого пальца посмотрите на два вектора. Если переход от указательного к среднему пальцу осуществляется против часовой стрелки, то направление момента силы совпадает с направлением, которое указывает большой палец. Если переход идет по часовой стрелке, то направление момента силы противоположно ему.

Правило буравчика очень похоже на правило руки. Четырьмя пальцами правой руки как бы вращайте винт от r к F. Векторное произведение будет иметь то направление, куда закручивается буравчик при таком мысленном вращении.

Пусть теперь точка Q располагается на той же прямой, которая содержит вектор силы F. Тогда радиус-вектор и вектор силы будут коллинеарны. В этом случае их векторное произведение вырождается в нулевой вектор и изображается точкой. Нулевой вектор не имеет никакого определенного направления, но считается сонаправленным любому другому вектору.

Физика. Механика

Мы уже говорили, что законы сохранения энергии и импульса связаны с однородностью времени и пространства, соответственно. Но у трехмерного пространства, в отличие от одномерного времени, имеется еще одна симметрия. Пространство изотропно, в нем нет выделенных направлений. С этой симметрией связан закон сохранения момента импульса. Эта связь проявится в том, что момент количества движения, как мы увидим в дальнейшем, является одной из основных величин, описывающих вращательное движение.

Момент импульса L отдельной частицы равен векторному произведению радиус-вектора r частицы на ее импульс р :

Направление вектора L определяется по правилу буравчика (штопора), а его величина равна

где — угол между векторами r и р. Величина l = r равна расстоянию от начала координат 0 до прямой, вдоль которой направлен импульс частицы. Эта величина называется

плечом импульса (рис. 4.22). Вектор L зависит от выбора начала координат, поэтому говоря о нем, обычно указывают: «момент импульса относительно точки 0».

Рис. 4.22. Момент импульса L частицы массой m

Рассмотрим производную по времени от момента импульса:

Первое слагаемое равно нулю, так как и очевидным образом параллельны

Во втором слагаемом, согласно второму закону Ньютона, производную импульса можно заменить на силу, действующую на частицу.

Векторное произведение радиус-вектора на силу называется моментом силы относительно точки 0 :

Направление момента силы определяется тем же правилом буравчика. Его величина

где — угол между радиус-вектором и силой. Аналогично тому, как это было сделано выше, определяется и плечо силы l = r — расстояние от точки 0 до линии действия силы. В итоге из полученного в результате дифференцирования соотношения находим уравнение движения для момента импульса частицы:

По форме уравнение аналогично второму закону Ньютона: вместо импульса частицы стоит момент импульса, а вместо силы — момент силы.

Если M = 0, то L = const, то есть

Момент импульса частицы постоянен в отсутствие моментов сил, действующих на нее.

Для центральных сил

и момент силы относительно силового центра равен нулю:

Таким образом, для центральных сил

то есть L = const.

Другими словами,

При движении в поле центральных сил момент импульса частицы сохраняется.

Отсюда вытекает важное следствие. Поскольку момент импульса ортогонален плоскости, задаваемой импульсом тела и радиус-вектором, проведенным из центра сил, эта плоскость не меняет своего положения со временем. Иными словами, орбита каждого тела в поле центральных сил лежит в одной плоскости, проходящей через центр сил (хотя для разных тел эти плоскости могут различаться). Таким образом, в поле центральных сил невозможны, например, винтовые траектории.

Рассмотрим теперь систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц (рис. 4.23).

Рис. 4.23. Система, состоящая из двух взаимодействующих частиц

Уравнения движения этих частиц имеют вид:

где F1 и F2 — внешние силы, a f12=-f21 — внутренние силы взаимодействия между частицами, направленные вдоль линии, их соединяющей

Умножим первое уравнение векторно слева на радиус-вектор первой частицы

r1, а второе — векторно слева на радиус-вектор второй частицы r2

Учтем, что

поскольку

и

Используя третий закон Ньютона f12 = –f21, перепишем систему уравнений движения частиц в виде:

Сложим полученные соотношения:

Имеет место соотношение между векторами

Поэтому их векторное произведение равно нулю.

Таким образом, мы получаем

В левой части равенства стоит производная от суммы моментов импульса частиц (ее называют полным моментом импульса

L системы), а в правой — сумма моментов внешних сил — полный момент М внешних сил, действующих на тела системы. Обобщение на случай системы из многих частиц (или твердого тела) очевидно.

Момент импульса системы N частиц равен

Полный момент внешних сил будет

Уравнение, определяющее изменение во времени момента импульса системы частиц имеет вид:

Отсюда следует, что при М = 0 и, соответственно, L = const следует закон сохранения момента импульса системы:

Если система замкнута или суммарный момент внешних сил, действующих на нее, равен нулю, то суммарный момент импульса системы сохраняется.

Видео 4.12. Демонстрация закона сохранений момента импульса: стрельба из пушки, установленной на вращающейся платформе по касательной, по диаметру и «кривым» снарядом.

Пример. Выясним, при каких условиях момент импульса системы не зависит от выбора начала координат 0.

Найдем сначала, как изменяется момент импульса при смене начала координат. Возьмем некую точку 0′, положение которой относительно точки 0 задается радиус-вектором r0. Радиус-векторы ri‘, проведенные из 0′, связаны с радиус-векторами

ri соотношениями

Подставим это выражение в формулу для момента импульса L относительно точки 0 :

В первом члене мы введем полный импульс системы

а второй член есть не что иное, как момент импульса L’ относительно точки 0′.

Имеем

Мы ищем условие, когда

для произвольного вектора r0. Это возможно только при равенстве нулю полного импульса системы р = 0. Иными словами, момент импульса не зависит от выбора начала координат в системе отсчета, связанной с центром масс системы.

1.3.1 Момент силы относительно оси вращения

Видеоурок 1: Вращающий момент

Видеоурок 2: Момент силы

Лекция: Момент силы

Момент силы (МС) — это векторная ФВ, которая определяется силой, приложенной к телу, на радиус-вектор, соединяющий ось вращения с точкой, к которой приложена сила.

Данная величина объясняет причины, по которым тело может вращаться вокруг оси.

Единицей измерения момента силы является [М] = 1 Н*м.

Величина момента силы зависит от модуля прикладываемой силы, а также от величины плеча, к которому данная сила была приложена относительно оси вращения.

Момент силы на примере поворачивания гаечного ключа:

Существует иное название у данной величины — вращающая сила. Иногда под моментом сил понимают действие пары сил, приводящее к вращению или наоборот равновесию.

Под парой сил можно понимать две параллельные силы, направленные в противоположные направления относительно оси, которые равны по величине. Самое короткое расстояние между парой сил называется плечом данной пары.

Для определения момента пары сил необходимо найти произведение одной из сил на плече пары.

Данный раздел физики имеет огромное применение даже в быту. Например, именно поэтому ручка на двери располагается не возле креплений, а со стороны свободной части. Этот принцип рассматривался многими детьми при катании на качелях.


Направление момента силы

Для определения направления данной физической величины не подойдут, известные нам правила проекции на ось. В данном случае следует запомнить:

При вращении тела по часовой стрелке момент принимает положительное направление, в случае вращения против часовой стрелки — отрицательное.

Характеристика момента силы

Для характеристики момента силы следует знать следующие сведения о нем:

  • Величина момента по модулю.
  • В какой плоскости происходит поворот.
  • В каком направлении вращается тело.
Момент силы относительно оси

Данный момент можно определить для любой, приложенной силы, которая не совпадает с осью, не пересекает её или не является параллельной ей.


Вращательное движение

Страница 1 из 3

Существует большое количество расчетных задач, которые моделируют явления, происходящие в различных вращающихся агрегатах или около них. При постановке подобной численной задачи важно выбрать способ описания вращения в численной модели, который будет корректен с точки зрения физики и оптимален с точки зрения производительности вычислений. FlowVision позволяет задавать вращение различными способами: с помощью вращающейся локальной системы координат; с помощью подвижных тел; с помощью скользящих поверхностей. С целью помочь пользователю разобраться с постановкой такого типа задач, рассмотрены примеры задач разного типа, начиная с физико-математических основ.                                                                                                          

1. Кинематика вращательного движения

1.1. Вращательное движение материальной точки

Вращательное движение материальной точки (м.т.) вокруг неподвижной оси – это движение материальной точки по окружности радиуса R, центр которой лежит на неподвижной относительно данной системы отсчета прямой (ось вращения), перпендикулярной плоскости, в которой лежит траектория точки.

Рис.1.

Вращательное движение тела вокруг неподвижной оси — движение тела, при котором все его точки, двигаясь в параллельных плоскостях, описывают окружности с центрами, лежащими на одной неподвижной прямой, называемой осью вращения. Тело, совершающее вращательное движение, имеет одну степень свободы, и его положение относительно данной системы отсчёта определяется углом поворота φ между неподвижной полуплоскостью и полуплоскостью, жёстко связанной с телом, проведёнными через ось вращения.

Рис.2.

1.2. Угол поворота

Угол φ считается положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az), и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Чтобы знать положение в любой момент времени, надо знать зависимость угла φ от времени t, т.е. φ=f(t).          

1.3. Основные кинематические характеристики вращательного движения

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость   и угловое ускорение  .                                        
Угловая скорость и угловое ускорение величины векторные. Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки (рис.3). Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси. Аналогично углу поворота, когда вращение происходит против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца оси Az) ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, то ω<0. Таким образом, знак ωопределяет направление вращения.
а)    б)    в)

Рис.3

1.4. Прочие кинематические характеристики

Скорость точки M на расстоянии R от оси (рис.2):  

Тангенциальная составляющая ускорения точки M (рис.3б): 

Нормальная составляющая ускорения точки M (рис.3б): 

Полное ускорение точки M (рис.3б): 

Формула Эйлера (рис.3в):  

2. Силы инерции, действующие на материальную точку во вращающейся системе отсчета

2.1. Материальная точка, покоящаяся во вращающейся системе отсчета

Если рассмотреть движение вращающейся точки M, то относительно  неподвижной системы координат (СК) XYZ (рис.4а) силу, действующую на неё можно определить  из второго закона Ньютона:  . Относительно вращающейся системы координат X’Y’Z’ точка M неподвижна (рис.4б). Это обеспечивается тем, что равнодействующая сил уравновешивается инерциальной силой (центробежной):  .

Рис.4 (а,б)

2.2. Материальная точка, движущаяся во вращающейся системе отсчета

Если же точка движется во вращающейся системе отсчета, то помимо центробежной силы на неё действует ещё одна сила инерции – сила Кориолиса   (рис.5). Направление силы Кориолиса определяется правилом правого винта.   


Рис. 5.

Таким образом, при переходе от основной неподвижной СК к локальной СК, которая является вращающейся системой отсчета, появляются дополнительные составляющие вектора силы, которые действуют на материальную точку: центробежная сила    и сила Кориолиса   .

Как определить знак момента силы. Правило знаков изгибающих моментов и поперечных сил. Алгоритм решения задачи

Составляя сумму моментов, мы используем правило знаков термеха: против часовой стрелки «+», по часовой стрелке «-». Это не формулировка, но так гораздо проще запомнить.

У многих встречается проблема: как понять в какую сторону сила вращает конструкцию?

Вопрос не очень сложный и если знать некоторые хитрости — довольно легкий в понимании.

Начнем с простого, у нас есть схема

И для примера нам нужна сумма моментов относительно точки А.

Будем идти по порядку слева на право:

Ra и Ha не дадут момента, так как они действуют в точке А и у них к этой точке не будет плеча.

Это пример: зеленая линия — линия силы Ra, желтая — На. К точке А нету плеч, т.к. она лежит на линиях действия этих сил.

Продолжим: момент, возникающий в жесткой заделке Ма. С моментами довольно просто, в какую сторону он направлен разберется любой, в данном случае он направлен против часовой стрелки.

Сила от распределенной нагрузки Q направлена вниз с плечом 2,5 . Куда же она вращает нашу конструкцию?

Отбросим все силы, кроме Q. Помним, что в точке А у нас забит «гвоздь».

Если представить, что точка А — центр циферблата часов, то видно, что сила Q вращает нашу балку по часовой стрелке, а значит знак будет «-».

Точка А — центр циферблата и F вращает балку против часовой стрелки, знак будет «+»

С моментом все понятно, он направлен против часовой стрелки, а значит вращает балку в ту же сторону.

Бывают другие моменты:

Дана рама. Нам нужно составить сумму моментов относительно точки А.

Рассматриваем только силу F, не трогаем реакции в заделке.

И так, в какую сторону сила F вращает конструкцию относительно точки А?

Для этого, как и раньше мы проводим из точки А оси, а для F — линию действия силы

Теперь все видно и понятно — конструкция вращается по часовой стрелке

Таким образом, проблем с направлением быть не должно.

Действие одной силы или системы сил на твёрдое тело может быть связано не только с поступательным, но и с вращательным движением. Как известно, силовым фактором вращательного движения является момент силы.

Рассмотрим гайку, которую затягивают гаечным ключом определённой длины, прикладывая к концу ключа мускульное усилие. Если взять гаечный ключ в несколько раз длиннее, то, прилагая то же усилие, гайку можно затянуть значительно сильнее. Из этого следует, что одна и та же сила может оказывать различное вращательное действие. Вращательное действие силы характеризуется моментом силы .

Понятие момента силы относительно точки ввёл в механику итальянский учёный и художник эпохи Возрождения Леонардо да Винчи.

Моментом силы относительно точки называется произведение модуля силы на ее плечо (рис. 5.1):

Точка, относительно которой берется момент, называется центром момента. Плечом силы относительно точки называется кратчайшее расстояние от центра момента до линии действия силы.

Единица момента силы в системе СИ:

[М] = [Р] · [h] = сила ∙ длина = ньютон ∙ метр = Н ∙м .

Рис. 5.1. Момент силы относительно точки

Рис. 6.1

Понятие пары сил введено в механику в начале XIX в. французским учёным Пуансо, который разработал теорию пар. Рассмотрим основные понятия.

Любые две силы, кроме сил, образующих пару, можно заменить равнодействующей. Пара сил не имеет равнодействующей, и никакими способами пару сил нельзя преобразовать к одной эквивалентной силе. Пара – такой же самостоятельный простейший механический элемент, как и сила.

Плоскость, в которой лежат силы, образующие пару, называют плоскостью действия пары . Кратчайшее расстояние между линиями сил, образующих пару, называют плечом пары h . Произведение модуля одной из сил пары на её плечо называют моментом пары и обозначают

М = ± Ph . (6.1)

Действие пары на тело характеризуется моментом, стремящимся вращать тело. При этом, если пара сил вращает тело против часовой стрелки, то момент такой пары считается положительным, если по часовой стрелке, то момент считается отрицательным.

Свойства пар

Не изменяя действия на тело, пару сил можно:

1) как угодно перемещать в её плоскости;

2) переносить в любую плоскость, параллельную плоскости действия этой пары;

3) изменять модуль сил и плечо пары, но так, чтобы ее момент (т. е. произведение модуля силы на плечо) и направление вращения оставались неизменными;

4) алгебраическая сумма проекций сил, образующих пару, на любую ось равна нулю;

5) алгебраическая сумма моментов сил, образующих пару, относительно любой точки постоянна и равна моменту пары.

Две пары считают эквивалентными, если они стремятся вращать тело в одну сторону и их моменты численно равны. Пару может уравновесить только другая пара с моментом, имеющим противоположный знак.

Сложение пар

Система пар, лежащих в одной плоскости или параллельных плоскостях, эквивалентна одной равнодействующей паре , момент которой равен алгебраической сумме моментов слагаемых пар, т. е.

Равновесие пар

Плоская система пар находится в равновесии, если алгебраическая сумма моментов всех пар равна нулю, т. е. .

Часто бывает удобным представить момент пары в виде вектора. Вектор-момент пары направлен перпендикулярно к плоскости действия пары в сторону, откуда вращательное действие пары наблюдается против часовой стрелки (рис. 6.2).

Рис. 6.2. Вектор-момент пары сил

Пример 7. На балку, свободно опирающуюся на гладкий уступ А и шарнирно укреплённую в точке В, действует пара с моментом М = 1500 Нм. Определить реакции в опорах, если l = 2 м (рис. 6.3, а ).

Решение . Пару может уравновесить только другая пара с равным, но противоположно направленным моментом (рис. 6.3, б ). Следовательно,

Теоретическая механика. Статика :

Система сходящихся сил
Определение и теорема о трех силах
Графическое определение равнодействующей сходящихся сил
Аналитическое задание силы
Аналитическое определение равнодействующей сходящихся сил
Условия и уравнения равновесия системы сходящихся сил
Решение задач
★ Равновесие под действием сходящейся системы сил

Теория пар сил

Пара сил и ее свойства
Теоремы об эквивалентности пар
Сложение пар сил
Равновесие систем пар

Приведение плоской системы сил
Лемма Пуансо
Теорема о приведении плоской системы сил
Частные случаи приведения плоской системы сил
Уравновешенная система сил

Определение опорных реакций плоских стержневых систем
★ Равновесие под действием системы параллельных сил на плоскости
Система параллельных сил
Произвольная плоская система сил
Произвольная плоская система сил. РГР 1
★ Равновесие плоской произвольной системы сил
Расчет составных систем
Расчет составных систем. РГР 2
★ Равновесие системы тел 1
★ Равновесие системы тел 2
★ Равновесие системы тел 3
Графическое определение опорных реакций

subjects:termeh:statics:момент_силы_относительно_центра

Рассмотрим тело, которое закреплено в центре О и может поворачиваться вокруг оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости чертежа. Приложим в точке А этого тела силу P и выясним, чем определяется вращательное действие этой силы (Рис.1 ).

Очевидно, что воздействие силы на тело будет зависеть не только от ее величины, но и от того, как она направлена, и в конечном итоге будет определяться ее моментом относительно центра О .

Определение 1. Моментом силы Р относительно центра О называется взятое со знаком $\pm$ произведение модуля силы на ее плечо – то есть длину перпендикуляра, опущенного из моментной точки на линию действия силы.

Правило знаков: момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело против хода часовой стрелки и отрицательным, если она вращает тело по ходу часовой стрелки.

В соответствии с данным определением момент силы численно равен удвоенной площади треугольника OAB, построенного на векторе силы P с вершиной в моментной точке: $M_0(P) = P\cdot d = 2S\Delta_{OAB}$ .

Отметим, что момент силы относительно точки О равен нулю, если линия действия силы проходит через моментную точку .

Рассмотренное определение момента силы подходит только для плоской системы сил. В общем случае для однозначного описания вращательного действия силы введем следующее определение.

Определение 2. Вектор-моментом силы Р относительно центра О называется вектор, который:

    приложен в моментной точке О перпендикулярно к плоскости треугольника, построенного на векторе силы с вершиной в моментной точке ;

    направлен по правилу право винта ;

    равен по модулю моменту силы Р относительно центра О ( Рис.1а ).

Правило правого винта , известное также из курса физики как правило буравчика , означает, что если смотреть навстречу вектор-моменту $\vec{М_0}(\vec{P})$ , мы увидим вращение силой $\vec{P}$ плоскости своего действия, происходящим против хода часовой стрелки .

Обозначим через $\vec{r}$ радиус-вектор точки приложения силы $\vec{P}$ и докажем, что справедлива следующая

Теорема 1. Вектор-момент силы $\vec{P}$ относительно центра О равен векторному произведению радиус-вектора $\vec{r}$ и вектора силы $\vec{P}$ :

$$\vec{M_0}(\vec{P}) = (\vec{r} \times \vec{P})$$

Напомним, что векторным произведением векторов $\vec{a}\text{ и }\vec{b}$ называется вектор $\vec{c}$ , который (Рис.2б ):

    перпендикулярен к векторам $\vec{a}\text{ и }\vec{b}$ ;

    образует с ними правую тройку векторов, то есть, направлен так, что, смотря навстречу этому вектору, мы увидим поворот от вектора $\vec{a}$ к вектору $\vec{b}$ на наименьший угол происходящим против хода часовой стрелки;

    равен по модулю удвоенной площади треугольника, построенного на этих векторах:

$$|\vec{c}| = |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot\sin(\vec{a},\,\vec{b})$$

Для доказательства теоремы отметим, во-первых, что вектор, равный векторному произведению векторов $\vec{r}\text{ и }\vec{P}$ будет коллинеарным вектору $\vec{M_0}(\vec{P})$.{i=n}M_{0\,\,i}(\vec{P_i})$$

Примечание

    В учебной литературе термин «момент» применяют для обозначения как момента силы, так и ее вектор-момента.

subjects/termeh/statics/момент_силы_относительно_центра.txt · Последние изменения: 2013/07/19 19:53 — ¶

Момент силы относительно точки определяется произведением модуля силы на длину перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы (рисунок 4).

Рисунок 4 – Момент силы F относительно точки О

При закреплении тела в точке О сила F стремится поворачивать его вокруг этой точки. Точка О, относительно которой берется момент, называется центром момента, а длина перпендикуляра а называется плечом силы относительно центра момента.

Момент силы F относительно О определяется произведением силы на плечо.

М О (F) = F·a.

Момент принято считать положительным, если сила стремится вращать тело по часовой стрелке, а отрицательным — против часовой стрелки. Когда линия действия силы проходит через данную точку, момент силы относительно этой точки равен нулю, так как в рассматриваемом случае плечо а = 0 (рисунок 5).

Рисунок 5 – Определение знака момента силы относительно точки

Между моментом пары и моментом силы есть одно существенное различие. Численное значение и направление момента пары сил не зависят от положения этой пары в плоскости. Значение и направление (знак) момента силы зависят от положения точки, относительно которой определяется момент.

Уравнения равновесия плоской системы сил

Условия равновесия сил на плоскости: для равновесия системы сил, произвольно расположенных в плоскости, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этих сил относительно любого центра каждый в отдельности равнялся нулю.

F ГЛ = 0; М ГЛ = Σ М О (F i) = 0.

Получим основную форму уравнения равновесия:

Теоретически уравнений моментов можно записать бесконечное множество, но практически для решения задач на плоскости достаточно трех уравнений равновесия. В каждом конкретном случае используются уравнения с одним неизвестным.

Для разных случаев используются три группы уравнений рав­новесия:

1. Первая форма уравнений равновесия

2. Вторая форма уравнений равновесия

3. Третья форма уравнений равновесия

Для системы параллельных сил (рисунок 43), можно составить только два уравнения равновесия:

Пример.

Дано: F = 24 кH; q = 6 кН/м; М = 12 кН·м α = 60°; а = 1,8 м; b = 5,2 м; с = 3,0 м. Определить реакции V A , H A и V В (рисунок 6).

Рисунок 6 – Заданная двухопорная балка

Отбрасываем связи (опоры А и В), заменяем их действие реакциями: неподвижная опора имеет реакции V А (вертикаль­ная) и H А (горизонтальная). Подвижная опора — реакцию V B (вертикальная). Выби­раем систему координат ХУ с началом в левой опоре, определяем равнодействующую распределенной нагрузки:

Q = q·a 2 = 6·5,2 = 31,2 кН.

Чертим расчетную схему балки (рисунок 7).

Рисунок 7 – Расчётная схема балки

Для полученной произвольной плоской системы сил составляем уравнения рав­новесия:

∑F ix = 0; H A – F·cos60° = 0;

∑F i у = 0; V A – F·cos30° – Q + V B = 0;

∑М А (F i) = 0; Q·(1,8 + 2,6) + F·cos30°·(1,8 + 5,2) – М – V B ·(1,8 + 5,2 + 3) = 0.

Решаем систему уравнений.

H A = F·cos60° = 24·0,5 = 12 кН;

V A = F·cos30° + Q – V B = 24·0,866 + 31,2 – 27,08 = 24,9 кН.

Для проверки правильности решения составим сумму моментов относительно точки приложения наклонной силы F:

∑М А (F i) = V A ·(1,8 + 5,2) – Q·2,6 – М – V B ·3 = 24,9·7 – 31,2·2,6 – 12 – 27,08·3 = – 0,06.

Ответ: опорные реакции балки равны V A = 24,9 кН; V В = 27,08 кН; Н А = 12 кН.

Контрольные вопросы:

1. Что определяет эффект действия пары сил?

2. Зависит ли эффект действия пары сил от её положения в плоскости?

3.Зависят ли значения и направление момента силы относительно точки от взаимного расположения этой точки и линии действия силы?

4. Когда момент силы относительно точки равен нулю?

5. Сколь независимых уравнений равновесия можно составить для плоской системы параллельных сил?

Инструкция

Пусть Q – точка, относительно которой рассматривается момент силы. Эта точка называется полюсом. Проведите радиус-вектор r из этой точки к точке приложения силы F. Тогда момент силы M определяется как векторное произведение r на F: M=.

Результатом векторного произведения является вектор. Длина вектора выражается модулем: |M|=|r|·|F|·sinφ, где φ – угол между r и F. Вектор M ортогонален как вектору r, так и вектору F: M⊥r, M⊥F.

Направлен вектор M таким образом, что тройка векторов r, F, M является правой. Как определить, что тройка векторов именно правая? Представьте себе, будто вы (ваш глаз) находитесь на конце третьего вектора и смотрите на два других вектора. Если кратчайший переход от первого вектора ко второму кажется происходящим против часовой стрелки, это правая тройка векторов. В противном случае, вы имеете дело с левой тройкой.

Итак, совместите начала векторов r и F. Это можно сделать параллельным переносом вектора F в точку Q. Теперь через эту же точку проведите ось, перпендикулярную плоскости векторов r и F. Данная ось будет перпендикулярна векторам сразу. Тут возможны, в принципе, только два варианта направить момент силы: вверх или вниз.

Попробуйте направить момент силы F вверх, нарисуйте стрелочку вектора на оси. Из этой стрелочки как бы взгляните на вектора r и F (можете символический глаз). Кратчайший переход от r к F можете обозначить закругленной стрелочкой. Является ли тройка векторов r, F, M правой? Стрелочка указывает направление против часовой стрелки? Если да, то вы верное направление для момента силы F. Если же нет, значит, надо сменить направление на противоположное.

Определить направление момента силы можно также по правилу правой руки. Указательный палец совместите с радиус-вектором. Средний палец совместите с вектором силы. С конца поднятого вверх большого пальца посмотрите на два вектора. Если переход от указательного к среднему пальцу осуществляется против часовой стрелки, то направление момента силы совпадает с направлением, которое указывает большой палец. Если переход идет по часовой стрелке, то направление момента силы противоположно ему.

Правило буравчика очень похоже на правило руки. Четырьмя пальцами правой руки как бы вращайте винт от r к F. Векторное произведение будет иметь то направление, куда закручивается буравчик при таком мысленном вращении.

Пусть теперь точка Q располагается на той же прямой, которая содержит вектор силы F. Тогда радиус-вектор и вектор силы будут коллинеарны. В этом случае их векторное произведение вырождается в нулевой вектор и изображается точкой. Нулевой вектор не имеет никакого определенного направления, но считается сонаправленным любому другому вектору.

Чтобы правильно рассчитать действие силы, вращающей тело, определите точку ее приложения и расстояние от этой точки до оси вращения. Это важно для определения технических характеристик различных механизмов. Крутящий момент двигателя можно рассчитать, если известна его мощность и частота вращения.

Вам понадобится

  • Линейка, динамометр, тахометр, тестер, тесламетр.

Инструкция

Определите точку или ось, вокруг которой тело. Найдите точку приложения силы. Соедините точку приложения силы и точку вращения, или опустите перпендикуляр на ось вращения. Измерьте это расстояние, оно «плечо силы». Измерение проводите в метрах. Силу измерьте в ньютонах с помощью динамометра. Измерьте угол между плечом и вектором силы. Для расчета вращающего момента найдите произведение силы и синус угла между ними M=F r sin(α). Результат получите в ньютонах на метр.

Момент силы, момент импульса

Предположим, что некоторая материальная точка массой m вращается по окружности радиуса r под действием постоянной силы F,ориентированной под некоторым углом a к вектору скорости частицы (иначе движение не будет ни вращательным, ни криволинейным). Разложим силу F на составляющие (рисунок 1.19):

Fn – нормальная составляющая, удерживающая точку m на криволинейной траектории,

Ft – тангенциальная составляющая силы, способная изменить величину скорости движения точки.

Из геометрических соображений

Ft = F×sin a.

С другой стороны, по второму закону Ньютона

Ft = m×at,

здесь аt — линейное тангенциальное ускорение. Из кинематики вращательного движения известно, что аt = e×r.

Итак, можно записать F×sina = m×e×r.

Домножим обе части полученного равенства на r

F×r×sina = mr2×e. (1.17)

Но r×sina = ro – плечо силы F относительно центра вращения О, а произведение силы на её плечо

F×ro = M(1.18)

– момент этой силы относительно оси вращения, в нашем случае проходящей через точку О перпендикулярно рисунку. В векторной форме Направление вектора момента силы определяется по известному уже правилу векторного произведения или правого винта.

Величинуназывают моментом импульса тела, а величина является импульсом момента силы.

Общепризнанным является обозначение момента импульса в форме

.

Понятно, что момент импульса тела – величина векторная, причем направление вектора L точно совпадает с направлением w только если это относится к вращательному движению материальной точки (рис.1.18)

Рисунок 1.18 Определение направления вектора момента импульса – по правилу правого винта. Вы можете выбрать любой удобный для Вас способ определения направлений векторов .

Из рисунка 1.18 видно также:

1) линия действия вектора Lсовпадает с осью вращения;

2) момент импульса движущейся по окружности материальной точки можно представить как момент вектора ротносительно центра вращения, то есть с плечом r

Полученную в (1.17) величину “mr2” обозначают “I” и называют «момент инерции тела массой m, движущейся по криволинейной траектории радиусом r».

Fn

r a Ft

О roF

Рис1.19. К выводу основного закона динамики вращательного движения

С учетом (1.17) и (1.18) получили, что

M = I×e,

которое называют основным уравнением динамики вращательного движения.

Удобнее это уравнение представить в виде , при этом видно, что уравнение является аналогом уравнения второго закона Ньютона для поступательного движения , лишь вместо силы выступает механический момент силы, роль массы m выполняет момент инерции I.

Теперь рассмотрим вращение абсолютно твердого тела произвольной формы относительно произвольной оси, проходящей через любую точку тела (рис.1.20) Разобьем тело на множество элементарных масс. Тогда для каждой из них можно записать выражение, уже полученное нами

Fi×ri×sinai = Dmiri2×e,

где e – угловое ускорение, одинаковое для всех точек тела.

O

Рисунок 1.20 Вращение тела произвольной формы

ri mi

a Fi

`

O

Для всего тела тогда можно записать

Суммирование по всему объему дает

– полный момент сил (относительно оси OO`), действующих на тело.

– момент инерции тела относительно оси OO`.

Итого получили – выражение, аналогичное полученному для материальной точки.

Рассмотрим основной закон динамики вращательного движения поподробнее.

Итак, , но, по определению углового ускорения e, его величина равна , следовательно,

Откуда получаем . Если I = const, то момент инерции можно внести под знак дифференциала и можно записать

Это выражение иногда называют основным законом динамики вращательного движения в импульсной формулировке, а величина является импульсом момента силы.

Общепризнанным является запись основного уравнения динамики вращения в форме

Момент инерции тела

Для тела произвольной формы и массы момент инерции может быть найден суммированием где Dmi – элементарные массы, на которые следует разбить тело при определении его момента инерции, а ri – расстояние i-того элемента до оси вращения. Для симметричных тел простой формы операция суммирования заменяется интегрированием.

Так как физические тела могут иметь весьма сложную форму и ось вращения может иметь бесконечное множество ориентаций, бессмысленно говорить о величине момента инерции любого тела, как о чем-то фиксированном и навечно застывшем.

При выборе положения оси вращения естественное преимущество отдают осям вращения, проходящим через центр инерции (ЦИ) тела. Пусть выбрана обычная прямоугольная система, с направлениями осей, совпадающими с направлениями геометрической симметрии тела. Для всех тел, кроме простейшего — однородного шара, момент инерции относительно каждой из осей оказывается различным. В общем случае момент инерции тела характеризуется тензором второго ранга (определитель 3´3).

, где

Момент инерции тела относительно оси, проходящей через его ЦИ, называется собственным моментом инерции.

В случае непрерывного распределения массы (без пустот, вырезок, инородных включений и т.п.) компоненты тензора относительно, например, оси y, приобретают интегральный вид

Рассмотрим частные случаи вычисления моментов инерции.

Момент инерции цилиндра

Момент инерции однородного цилиндра, диска, полого цилиндра и т. п. вычислим относительно его геометрической оси. Любое из этих тел мы можем мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Разобьем цилиндр радиуса Ro на концентрические слои толщиной dR (рис.1.21). Пусть радиус какого-то слоя R; тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна

dm = 2pRhr×dR,

где h – высота цилиндра;

r – плотность вещества цилиндра.

Все частицы слоя будут находиться на расстоянии R от оси, следовательно, момент инерции этого слоя (рис.1.21):

Рисунок 1.21

dI = dm×R2 = 2prhR3×dR

Представим, что весь цилиндр разбит на такие слои; тогда момент инерции всего цилиндра будет равен сумме бесконечно малых моментов или момент инерции всего цилиндра

(1.19)

Вспоминая, что масса цилиндра m = pRo2hr, можно записать так:

(1.20)

Формула (1.20) выражает момент инерции сплошного однородного цилиндра .

Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус R1, а внешний R0 просто вычислить по формуле (1.19), нужно только в интеграле поставить другие пределы, а именно:

Замечая, что масса полого цилиндра равна , запишем момент инерции полого толстостенного цилиндра так:

(1.21)

Таким же простым путем можно вычислить момент инерции любого тела, которое можно разбить на совокупность полых цилиндров, колец, дисков.

Момент инерции стержня

Рассмотрим еще пример определения момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс, но не являющейся осью симметрии. До сих пор мы вычисляли момент инерции относительно оси симметрии; вычисление же момента инерции относительно любой оси, проходящей через центр масс, представляет более сложную задачу. Поэтому рассмотрим сначала самый простой пример: определим момент инерции тонкой палочки длиной l и массы m относительно оси, составляющей с направлением палочки угол a и проходящей через ее центр масс (рис.1.22).

Рисунок 1.22 О моменте инерции стержня

Обозначим через х расстояние от середины палочки какой-то частицы длиной dx. Масса частицы равна и находится она на расстоянии f от оси, f = x×sina. Момент инерции равен

,

а момент инерции всей палочки

(1.22)

Очевидно, если палочка перпендикулярна к оси вращения , то

(1.23)

Здесь при вычислении момента инерции мы считали палочку очень тонкой, математически это значит, что диаметр сечения палочки имеет бесконечно малую величину, а при обычных приближенных вычислениях мы полагаем, что диаметр палочки ничтожно мал по сравнению с ее длиной.

Теорема Штейнера.

Выше было показано, что момент инерции тела зависит от массы тела и закона распределения этой массы в пространстве, т.е. формы тела. Зависит он также и от положения оси вращения в пространстве.

Если мы каким-либо способом определим момент инерции тела относительно некоторой оси, проходящей через центр масс (собственный момент инерции, обозначаемый Io), то очень просто определить момент инерции относительно любой параллельной ей оси.

Если момент инерции относительно оси, проходящей через ЦИ, равен Io, то момент инерции относительно оси, параллельной первичной и проходящей от неё на расстоянии «а», будет равен

I = Io + ma2,

где Io – собственный момент инерции,

m – масса тела,

а – расстояние между осями.

Это и есть теорема Гюйгенса-Штейнера, или просто теорема Штейнера.

Момент силы, формулы. Как рассчитать вращательный момент

Определение 1

Моментом силы представляется крутящий или вращательный момент, являясь при этом векторной физической величиной.

Она определяется как векторное произведение вектора силы, а также радиус-вектора, который проведен от оси вращения к точке приложения указанной силы.

Момент силы выступает характеристикой вращательного воздействия силы на твердое тело. Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты не будут считаться при этом тождественными, поскольку в технике понятие «вращающий» момент рассматривают как внешнее, прикладываемое к объекту, усилие.

В то же время, понятие «крутящий» рассматривается в формате внутреннего усилия, возникающего в объекте под воздействием определенных приложенных нагрузок (подобным понятием оперируют при сопротивлении материалов).

Понятие момента силы

Момент силы в физике может рассматриваться в виде так называемой «вращающей силы». В СИ за единицу измерения принимают ньютон-метр. Момент силы также может называться «моментом пары сил», что отмечено в работах Архимеда над рычагами.

Замечание 1

В простых примерах, при приложении силы к рычагу в перпендикулярном отношении к нему, момент силы будет определяться в виде произведения величины указанной силы и расстояния до оси вращения рычага.

К примеру, сила в три ньютона, приложенная на двухметровом расстоянии от оси вращения рычага, создает момент, равнозначный силе в один ньютон, приложенной на 6-метровом расстоянии к рычагу. Более точно момент силы частицы определяют в формате векторного произведения:

$\vec {M}=\vec{r}\vec{F}$, где:

  • $\vec {F}$ представляет силу, воздействующая на частицу,
  • $\vec {r}$ является радиусом вектора частицы.

В физике следует понимать энергию как скалярную величину, в то время как момент силы будет считаться величиной (псевдо) векторной. Совпадение размерностей подобных величин не будет случайным: момент силы в 1 Н м, который приложен через целый оборот, совершая механическую работу, сообщает энергию в 2 $\pi$ джоулей. Математически это выглядит так:

$E = M\theta $, где:

  • $E$ представляет энергию;
  • $M$ считается вращающимся моментом;
  • $\theta $ будет углом в радианах.

Сегодня измерение момента силы осуществляют посредством задействования специальных датчиков нагрузки тензометрического, оптического и индуктивного типа.

Формулы расчета момента силы

Интересным в физике является вычисление момента силы в поле, производимого по формуле:

$\vec{M} = \vec{M_1}\vec{F}$, где:

  • $\vec{M_1}$ считается моментом рычага;
  • $\vec{F}$ представляет величину действующей силы.

Недостатком такого представления будет считаться тот факт, что оно не определяет направление момента силы, а только лишь его величину. При перпендикулярности силы вектору вектору $\vec{r}$ момент рычага будет равен расстоянию от центра до точки приложенной силы. При этом момент силы окажется максимальным:

$\vec{T}=\vec{r}\vec{F}$

При совершении силой определенного действия на каком-либо расстоянии, она совершит механическую работу. Точно также и момент силы (при выполнении действия через угловое расстояние) совершит работу.

$P = \vec {M}\omega $

В существующей международной системе измерений мощность $P$ будет измеряться в Ваттах, а непосредственно момент силы- в ньютон-метрах. При этом угловая скорость определяется в радианах в секунду.

Момент нескольких сил

Замечание 2

При воздействии на тело двух равных, а также противоположно направленных сил, не лежащих при этом на одной и той же прямой, наблюдается отсутствие пребывания этого тела в состоянии равновесия. Это объясняется тем, что результирующий момент указанных сил относительно любой из осей не имеет нулевого значения, поскольку обе представленные силы имеют направленные в одну сторону моменты (пара сил).

В ситуации, когда тело закрепляется на оси, произойдет его вращение под воздействием пары сил. Если пара сил будет приложенной в отношении свободного тела, оно в таком случае станет вращаться вокруг проходящей сквозь центр тяжести тела оси.

Момент пары сил считается одинаковым в отношении любой оси, которая перпендикулярна плоскости пары. При этом суммарный момент $М$ пары всегда будет равным произведению одной из сил $F$ на расстояние $l$ между силами (плечо пары) в независимости от типов отрезков, на которые оно разделяет положение оси.

$M={FL_1+FL-2} = F{L_1+L_2}=FL$

В ситуации, когда равнодействующая момента нескольких сил равнозначна нулю, он будет считаться одинаковым относительно всех параллельных друг другу осей. По этой причине воздействие на тело всех этих сил возможно заменить действием всего лишь одной пары сил с таким же моментом.

Моментом силы относительно оси вращения называется физическая величина, равная про­изведению силы на ее плечо.

Момент силы определяют по формуле:

М — FI , где F — сила, I — плечо силы.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения тела.


На рис. 1.33, а изображено твердое тело, способное вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через точку, обозначенную буквой О. Пле­чом силы F здесь является расстояние 1Хот оси вращения до линии действия силы. Находят его следующим образом. Сначала проводят линию действия силы. Затем из точки О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра является плечом данной силы.

Момент силы характеризует вращающее действие силы. Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу надо приложить, чтобы получить желаемый результат, т. е. один и тот же момент силы (см. (1.33)). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, гораздо труднее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть гораздо проще длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н, плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н м).

Правило моментов

Твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы М2, вращающей его против часовой стрелки:

М1 = -М2 или F 1 ll = — F 2 l 2 .

Правило моментов является следствием одной из теорем механики, сформулированной фран­цузским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Если на тело действуют две равные и противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, поскольку результирующий момент этих сил относительно любой оси не равен нулю, т. к. обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил. Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена ксвободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси, проходящей через центр тяжести тела, рис. 1.33, б.

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние I между силами, которое называется плечом пары,независимо от того, на какие отрезки и /2 разделяет положение оси плечо пары:

M = Fll + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи­тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме­нить действием одной пары сил с тем же моментом.

Почти две тысячи лет просуществовало правило рычага, открытое Архимедом еще в третьем веке до нашей эры, пока в семнадцатом веке с легкой руки французского ученого Вариньона не получило более общую форму.

Правило момента сил

Было введено понятие момента сил. Момент силы — это физическая величина, равная произведению силы на ее плечо:

где M — момент силы,
F — сила,
l — плечо силы.

Из правила равновесия рычага напрямую вытекает правило моментов сил:

F1 / F2 = l2 / l1 или, по свойству пропорции F1 * l1= F2 * l2, то есть M1 = M2

В словесном выражении правило моментов сил звучит следующим образом: рычаг находится в равновесии под действием двух сил, если момент силы, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы, вращающей его против часовой стрелки. Правило моментов сил справедливо для любого тела, закрепленного вокруг неподвижной оси. На практике момент силы находят следующим образом: по направлению действия силы проводят линию действия силы. Потом из точки, в которой находится ось вращения, проводят перпендикуляр до линии действия силы. Длина этого перпендикуляра будет равняться плечу силы. Умножив значение модуля силы на ее плечо, получаем значение момента силы относительно оси вращения. То есть, мы видим, что момент силы характеризует вращающее действие силы. Действие силы зависит и от самой силы и от ее плеча.

Применение правила моментов сил в различных ситуациях

Отсюда вытекает применение правила моментов сил в различных ситуациях. Например, если мы открываем дверь, то толкать ее мы будем в районе ручки, то есть, подальше от петель. Можно проделать элементарный опыт и убедиться, что толкать дверь тем легче, чем дальше мы прилагаем силу от оси вращения. Практический эксперимент в данном случае прямо подтверждается формулой. Так как, дабы моменты сил при разных плечах были равны, надо, чтобы большему плечу соответствовала меньшая сила и наоборот, меньшему плечу соответствовала большая. Чем ближе к оси вращения мы прилагаем силу, тем она должна быть больше. Чем дальше от оси мы воздействуем рычагом, вращая тело, тем меньшую силу нам необходимо будет приложить. Числовые значения легко находятся из формулы для правила моментов.

Именно исходя из правила моментов сил мы берем лом или длинную палку, если нам надо приподнять что-то тяжелое, и, подсунув под груз один конец, тянем лом возле другого конца. По этой же причине шурупы мы вворачиваем отверткой с длинной ручкой, а гайки закручиваем длинным гаечным ключом.

Момент силы относительно оси или просто момент силы называется проекция силы на прямую, которая перпендикулярна радиусу и проведена в точке приложения силы умноженная на расстояние от этой точки до оси. Либо произведение силы на плечо ее приложения. Плечо в данном случае это расстояние от оси до точки приложения силы. Момент силы характеризует вращательное действие силы на тело. Ось в данном случае это место крепления тела, относительно которого оно может совершать вращение. Если тело не закреплено, то осью вращения можно считать центр масс.

Формула 1 — Момент силы.

F — Сила действующая на тело.

r — Плечо силы.

Рисунок 1 — Момент силы.

Как видно из рисунка, плечо силы это расстояние от оси до точки приложения силы. Но это в случае если угол между ними равен 90 градусов. Если это не так, то необходимо вдоль действия силы провести линию и из оси опустить на нее перпендикуляр. Длинна этого перпендикуляра и будет равна плечу силы. А перемещение точки приложения силы вдоль направления силы не меняет ее момента.

Принято считать положительным такой момент силы, который вызывает поворот тела по часовой стрелки относительно точки наблюдения. А отрицательным соответственно вызывающий вращение против нее. Измеряется момент силы в Ньютонах на метр. Один Ньютонометр это сила в 1 Ньютон действующая на плечо в 1 метр.

Если сила, действующая на тело, проходит вдоль лини идущей через ось вращения тела, или центр масс, если тело не имеет оси вращения. То момент силы в этом случае будет равен нулю. Так как эта сила не будет вызывать вращения тела, а попросту будет перемещать его поступательно вдоль лини приложения.

Рисунок 2 — Момент силы равен нулю.

В случае если на тело действует несколько сил, то момент силы будет определять их равнодействующая. К примеру, на тело могут действовать две силы равные по модулю и направленные противоположно. При этом суммарный момент силы будет равен нулю. Так как эти силы будут компенсировать друг друга. Если по простому, то представьте себе детскую карусель. Если один мальчик ее толкает по часовой стрелке, а другой с той же силой против, то карусель останется неподвижной.

В физике рассмотрение задач с вращающимися телами или системами, которые находятся в равновесии, осуществляется с использованием концепции «момент силы». В этой статье будет рассмотрена формула момента силы, а также ее использование для решения указанного типа задач.

в физике

Как было отмечено во введении, в данной статье пойдет речь о системах, которые могут вращаться либо вокруг оси, либо вокруг точки. Рассмотрим пример такой модели, изображенной на рисунке ниже.

Мы видим, что рычаг серого цвета закреплен на оси вращения. На конце рычага имеется черный кубик некоторой массы, на который действует сила (красная стрелка). Интуитивно понятно, что результатом воздействия этой силы будет вращение рычага вокруг оси против часовой стрелки.

Моментом силы называется величина в физике, которая равна векторному произведению радиуса, соединяющего ось вращения и точку приложения силы (зеленый вектор на рисунке), и самой внешней силе. То есть силы относительно оси записывается следующим образом:

Результатом этого произведения будет вектор M¯. Направление его определяют, исходя из знания векторов-множителей, то есть r¯ и F¯. Согласно определению векторного произведения, M¯ должен быть перпендикулярен плоскости, образованной векторами r¯ и F¯, и направлен в соответствии с правилом правой руки (если четыре пальца правой руки расположить вдоль первого умножаемого вектора в направлении к концу второго, то отставленный вверх большой палец укажет, куда направлен искомый вектор). На рисунке можно видеть, куда направлен вектор M¯ (синяя стрелка).

Скалярная форма записи M¯

На рисунке в предыдущем пункте сила (красная стрелка) действует на рычаг под углом 90 o . В общем же случае она может быть приложена под совершенно любым углом. Рассмотрим изображение ниже.

Здесь мы видим, что на рычаг L сила F уже действует под некоторым углом Φ. Для этой системы формула момента силы относительно точки (показана стрелкой) в скалярном виде примет форму:

M = L * F * sin(Φ)

Из выражения следует, что момент силы M будет тем больше, чем ближе направление действия силы F к углу 90 o по отношению к L. Наоборот, если F действует вдоль L, то sin(0) = 0, и сила не создает никакого момента (M = 0).

При рассмотрении момента силы в скалярной форме часто пользуются понятием «рычага силы». Эта величина представляет собой расстояние между осью (точкой вращения) и вектором F. Применяя это определение к рисунку выше, можно сказать, что d = L * sin(Φ) — это рычаг силы (равенство следует из определения тригонометрической функции «синус»). Через рычаг силы формулу для момента M можно переписать так:

Физический смысл величины M

Рассматриваемая физическая величина определяет способность внешней силы F оказывать вращательное воздействие на систему. Чтобы привести тело во вращательное движение, ему необходимо сообщить некоторый момент M.

Ярким примером этого процесса является открывание или закрывание двери в комнату. Взявшись за ручку, человек прикладывает усилие и поворачивает дверь на петлях. Каждый сможет это сделать. Если же попытаться открыть дверь, воздействуя на нее вблизи петель, то потребуется приложить большие усилия, чтобы сдвинуть ее с места.

Другим примером является откручивание гайки ключом. Чем короче будет этот ключ, тем труднее выполнить поставленную задачу.

Указанные особенности демонстрирует формула момента силы через плечо, которая была приведена в предыдущем пункте. Если M считать постоянной величиной, то чем меньше d, тем большую F следует приложить для создания заданного момента силы.

Несколько действующих сил в системе

Выше были рассмотрены случаи, когда на систему, способную к вращению, действует всего одна сила F, но как быть, когда таких сил несколько? Действительно, эта ситуация является более частой, поскольку на систему могут действовать силы различной природы (гравитационная, электрическая, трение, механическая и другие). Во всех этих случаях результирующий момент силы M¯ может быть получен с помощью векторной суммы всех моментов M i ¯, то есть:

M¯ = ∑ i (M i ¯), где i — номер силы F i

Из свойства аддитивности моментов следует важный вывод, который получил название теоремы Вариньона, названной так по фамилии математика конца XVII — начала XVIII века — француза Пьера Вариньона. Она гласит: «Сумма моментов всех сил, оказывающих воздействие на рассматриваемую систему, может быть представлена в виде момента одной силы, которая равна сумме всех остальных и приложена к некоторой точке». Математически теорему можно записать так:

∑ i (M i ¯) = M¯ = d * ∑ i (F i ¯)

Эта важная теорема часто используется на практике для решения задач на вращение и равновесие тел.

Совершает ли работу момент силы?

Анализируя приведенные формулы в скалярном или векторном виде, можно прийти к выводу, что величина M — это некоторая работа. Действительно, ее размерность равна Н*м, что в СИ соответствует джоулю (Дж). На самом деле момент силы — это не работа, а лишь величина, которая способна ее совершить. Чтобы это произошло, необходимо наличие кругового движения в системе и продолжительного во времени действия M. Поэтому формула работы момента силы записывается в следующем виде:

В этом выражении θ — это угол, на который было произведено вращение моментом силы M. В итоге единицу работы можно записать как Н*м*рад или же Дж*рад. Например, значение 60 Дж*рад говорит о том, что при повороте на 1 радиан (приблизительно 1/3 окружности) создающая момент M сила F совершила работу в 60 джоулей. Эту формулу часто используют при решении задач в системах, где действуют силы трения, что будет показано ниже.

Момент силы и момент импульса

Как было показано, воздействие на систему момента M приводит к появлению в ней вращательного движения. Последнее характеризуется величиной, которая получила название «момент импульса». Его можно вычислить, применяя формулу:

Здесь I — это момент инерции (величина, которая играет такую же роль при вращении, что и масса при линейном движении тела), ω — угловая скорость, она связана с линейной скоростью формулой ω = v/r.

Оба момента (импульса и силы) связаны друг с другом следующим выражением:

M = I * α, где α = dω / dt — угловое ускорение.

Приведем еще одну формулу, которая важна для решения задач на работу моментов сил. С помощью этой формулы можно вычислить кинетическую энергию вращающегося тела. Она выглядит так:

Равновесие нескольких тел

Первая задача связана с равновесием системы, в которой действуют несколько сил. На рисунке ниже приведена система, на которую действуют три силы. Необходимо рассчитать, какой массы предмет необходимо подвесить к этому рычагу и в какой точке это следует сделать, чтобы данная система находилась в равновесии.

Из условия задачи можно понять, что для ее решения следует воспользоваться теоремой Вариньона. На первую часть задачи можно ответить сразу, поскольку вес предмета, которые следует подвесить к рычагу, будет равен:

P = F 1 — F 2 + F 3 = 20 — 10 + 25 = 35 Н

Знаки здесь выбраны с учетом того, что сила, вращающая рычаг против часовой стрелки, создает отрицательный момент.

Положение точки d, куда следует подвесить этот вес, вычисляется по формуле:

M 1 — M 2 + M 3 = d * P = 7 * 20 — 5 * 10 + 3 * 25 = d * 35 => d = 165/35 = 4,714 м

Отметим, что с помощью формулы момента силы тяжести мы вычислили эквивалентную величину M той, которую создают три силы. Чтобы система находилась в равновесии, необходимо подвесить тело весом 35 Н в точке 4,714 м от оси с другой стороны рычага.

Задача с движущимся диском

Решение следующей задачи основано на использовании формулы момента силы трения и кинетической энергии тела вращения. Задача: дан диск радиуса r = 0,3 метра, который вращается со скоростью ω = 1 рад/с. Необходимо рассчитать, какое расстояние способен он пройти по поверхности, если коэффициент трения качения равен μ = 0,001.

Эту задачу легче всего решить, если воспользоваться законом сохранения энергии. Мы располагаем начальной кинетической энергией диска. Когда он начнет катиться, то вся эта энергия расходуется на нагрев поверхности за счет действия силы трения. Приравнивая обе величины, получим выражение:

I * ω 2 /2 = μ * N/r * r * θ

Первая часть формулы — это кинетическая энергия диска. Вторая часть — это работа момента силы трения F = μ * N/r, приложенной к краю диска (M=F * r).

Учитывая, что N = m * g и I = 1/2m * r 2 , вычисляем θ:

θ = m * r 2 * ω 2 /(4 * μ * m * g) = r 2 * ω 2 /(4 * μ *g) = 0,3 2 * 1 2 /(4 * 0,001 * 9,81) = 2,29358 рад

Поскольку 2pi радиан соответствуют длине 2pi * r, тогда получаем, что искомое расстояние, которое пройдет диск, равно:

s = θ * r = 2,29358 * 0,3 = 0,688 м или около 69 см

Отметим, что на данный результат масса диска никак не влияет.

Момент Силы | bartleby

Что такое момент силы?

Идея моментов — важное понятие в физике. Это происходит из-за того, что расстояние часто играет важную роль во взаимодействии или в определении воздействия сил на тела. Моменты часто описываются в их порядке [первый, второй или более высокий порядок] в зависимости от степени, до которой необходимо увеличить расстояние, чтобы понять явление. Особо следует отметить момент массы второго порядка (момент инерции) и моменты силы.

Момент силы — это произведение силы на расстояние до фиксированной точки. Часто неподвижной точкой является точка опоры, ось вращения или точка поворота. Предположим, что тело вращается вокруг точки P. Сила F, действующая на тело на расстоянии d от P, создаст момент M = F x d. Момент силы — это вектор, величина которого равна произведению Силы на перпендикулярное расстояние от оси.

Во многих практических примерах момент силы оказывает вращательное воздействие на систему.

Пример момента силы

Простой рычаг — хорошая система, работающая по принципу «момента силы». У простого рычага есть точка опоры или шарнир, нагрузка и точка приложения силы. В точке опоры момент силы служит для изменения направления приложения силы.

На рисунке выше объект массы M находится на левом конце рычага. Точка опоры находится в точке F, зеленый цвет показывает силы, действующие на систему, а красная стрелка показывает вес груза (M x g).Когда система находится в равновесии, силы, действующие вокруг точки опоры, равны. Другими словами, сила, приложенная к правой стороне рычага, равна весу объекта слева. Более того, в состоянии равновесия моменты относительно F равны. Если рассматривать только силы, действующие слева от F, момент (слева) определяется как:

M L = Mg xd 1

, где d 1 — расстояние между массой и F. В состоянии равновесия он равен моменту сил, действующих с правой стороны.Таким образом,

M L = M R

Mg xd 1 = M R

Предполагая силу F R , действующую на расстоянии d 2 от F, тогда M R определяется по формуле:

M R = F R xd 2

Следует отметить, что расстояния (d 1 и d 2 ) представляют собой перпендикулярные расстояния от оси вращения.

Крепление d 2 или знание d 2 позволяет легко рассчитать силу, необходимую для достижения равновесия.

F R = M L / d 2

F R = Mx gxd 1 / d 2

Это можно упростить, приняв единицу силы слева (M = 1). Тогда сила, необходимая для поднятия объекта единичной массы, расположенного на расстоянии d 1 единиц от точки опоры, пропорциональна отношению расстояний от точки опоры.

F R ∝ d 1 / d 2

Момент силы, действующий на рычаг, рассчитывается исходя из предположения, что сила перпендикулярна телу / системе, на которую они действуют.Когда рычаг находится под углом к ​​перпендикулярной плоскости, тогда эффективная длина или «перпендикулярное расстояние» уменьшается в зависимости от угла θ как cos (θ) и, следовательно, уменьшает эффективный момент. Для заданной силы общая формула для эффективного момента выглядит следующим образом:

M eff = F * L * cos (θ)

Таким образом, при использовании гаечного ключа эффект поворота направленной вниз или вверх силы является максимальным, когда рычаг гаечного ключа перпендикулярен приложенной силе. Более крутой угол (приближающийся к 90 градусам) означает пропорционально меньший эффективный момент или эффект поворота, который может вызвать вращение вокруг центра.

Как определить направление момента силы

Момент силы считается относительно точки и относительно оси. В первом случае момент силы — это вектор, имеющий определенное направление. Во втором случае следует говорить только о проекции вектора на ось.

Инструкция по эксплуатации

1

Пусть Q будет точкой, относительно которой считается момент силы. Эта точка называется полюсом. Проведите радиус-вектор r от этой точки до точки приложения силы F.Тогда момент силы M определяется как векторное произведение r и F: M = [rF].

2

Результат векторного произведения — вектор. Длина вектора выражается модулем: | M | = | г | · | F | · Sinφ, где φ — угол между векторами r и F. Вектор M ортогонален как вектору r, так и вектору F: M⊥r, M⊥F.

3

Вектор M направлен таким образом, что тройка векторов r, F, M правая. Как определить, что тройка векторов верна? Представьте, что вы (ваш глаз) находитесь в конце третьего вектора и смотрите на два других вектора.Если кажется, что кратчайший переход от первого вектора ко второму происходит против часовой стрелки, то это правая тройка векторов. В противном случае вы имеете дело с левой тройкой.

4

Итак, объедините начала векторов r и F. Это можно сделать параллельным переносом вектора F в точку Q. Теперь через ту же точку проведите ось, перпендикулярную плоскости векторов r и F. Эта ось сразу будет перпендикулярно обоим векторам. Здесь в принципе возможно только два варианта направления момента силы: вверх или вниз.

5

Попробуйте направить момент силы F вверх, нарисуйте векторную стрелку на оси. С этой стрелки как бы посмотрите на векторы r и F (вы можете нарисовать символический глаз). Кратчайший переход от r к F можно обозначить закругленной стрелкой. Верна ли тройка векторов r, F, M? Стрелка указывает направление против часовой стрелки? Если да, то вы выбрали правильное направление для момента силы F. Если нет, то вам нужно изменить направление на противоположное.

6

Направление момента силы также можно определить по правилу правой руки. Указательный палец совместите с радиус-вектором. Средний палец сочетается с вектором мощности. Кончиком большого пальца вверх посмотрите на два вектора. Если переход от указательного пальца к среднему пальцу происходит против часовой стрелки, то направление момента силы совпадает с направлением, указанным большим пальцем. Если переход по часовой стрелке, то направление момента силы ему противоположно.

7

Правило буравчика очень похоже на правило руки. Четыре пальца правой руки как бы вращают винт от r до F. Векторное произведение будет иметь направление, в котором буравчик крутится с таким мысленным вращением.

8

Пусть теперь точка Q находится на той же линии, которая содержит вектор силы F. Тогда радиус-вектор и вектор силы будут коллинеарны. В этом случае их векторное произведение вырождается в нулевой вектор и представляется точкой.Нулевой вектор не имеет определенного направления, но считается сонаправленным с любым другим вектором.

  • «Механика», Д.В. Сивухин, 2006.
  • «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии», Р.Ф. Апатенок, 1986.
  • «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», Д.В. Беклемишев, 2001.
  • как рассчитать момент силы

Ошибка разрыва связи

    Щиток приборов

    Сп16 ЭНГР-2140-ЛО1

    Перейти к содержанию Щиток приборов

    • Авторизоваться

    • Панель приборов

    • Календарь

    • Входящие

    • История

    • Помощь

    Закрывать