Как найти вектор перпендикулярный двум другим: Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Как найти вектор перпендикулярный двум другим

Начнем с постановки задачи.

Пусть нам требуется найти координаты вектора в трехмерном пространстве, который одновременно перпендикулярен двум не коллинеарным векторам и . Если векторы и коллинеарные, то решением задачи будет вектор, перпендикулярный одному из векторов или (о нахождении такого вектора мы говорили в предыдущем пункте).

Одно из решений такой задачи основано на использовании понятия векторного произведения векторов.

Нам известно, что векторное произведение векторов и представляет собой вектор, перпендикулярный одновременно и вектору и . Таким образом, векторное произведение является решением нашей задачи. В координатной форме оно имеет вид

Разберем на примере.

Найдите координаты какого-нибудь вектора, перпендикулярного одновременно двум векторам и .

Решением нашей задачи является векторное произведение заданных векторов. Найдем его (при необходимости смотрите статью вычисление определителя матрицы):

— один из векторов, одновременно перпендикулярный и вектору и .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9816 — | 7682 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Данная статья раскрывает смысл перпендикулярности двух векторов на плоскости в трехмерном пространстве и нахождение координат вектора, перпендикулярному одному или целой паре векторов. Тема применима для задач, связанных с уравнениями прямых и плоскостей.

Мы рассмотрим необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов, решим по методу нахождения вектора, перпендикулярному заданному, затронем ситуации по отысканию вектора, который перпендикулярен двум векторам.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° ( π 2 радиан) называют перпендикулярными.

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Установление перпендикулярности возможно через чертеж. При отложении вектора на плоскости от заданных точек можно геометрически измерить угол между ними. Перпендикулярность векторов если и будет установлена, то не совсем точно. Чаще всего данные задачи не позволяют делать это при помощи транспортира, поэтому данный метод применим только в случае, когда ничего больше о векторах неизвестно.

Скалярное произведение двух ненулевых векторов a → и b → равном нулю для выполнения равенства a → , b → = 0 достаточно для их перпендикулярности.

Пусть заданные векторы a → и b → перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a ⇀ , b → = 0 . векторов a → и b → равен 90 ° . По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y , справедливое для векторов с координатами a → = ( a x , a y ) и b → = ( b x , b y ) , на плоскости и ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y для векторов a → = ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x · b x + a y · b y = 0 , для трехмерного пространства a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = ( 2 , — 3 ) , b → = ( — 6 , — 4 ) .

Для решения данной задачи необходимо найти скалярное произведение. Если по условию оно будет равным нулю, значит, они перпендикулярны.

( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = 2 · ( — 6 ) + ( — 3 ) · ( — 4 ) = 0 . Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.

Даны координатные векторы i → , j → , k → . Проверить, могут ли векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → быть перпендикулярными.

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про

координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты ( 1 , — 1 , 0 ) и ( 1 , 2 , 2 ) . Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → = 1 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 2 = — 1 .

Выражение не равно нулю, ( i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → ) ≠ 0 , а это означает, что векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.

Даны векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( λ , 5 , 1 ) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.

Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим

a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + ( — 2 ) · 1 = 0 ⇔ λ = 2

Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .

Имеются случаи, когда вопрос о перпендикулярности невозможен даже при необходимом и достаточном условии. При известных данных о трех сторонах треугольника на двух векторах, возможно, найти угол между векторами и проверить его.

Дан треугольник А В С со сторонами А В = 8 , А С = 6 , В С = 10 см. проверить на перпендикулярность векторы A B → и A C → .

При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С – гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С , следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Важно научиться находить координаты вектора, перпендикулярного заданному. Это возможно как на плоскости, так и в пространстве при условии перпендикулярности векторов.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Ненулевой вектор a → может иметь бесконечное количество перпендикулярных векторов на плоскости. Изобразим это на координатной прямой.

Задан ненулевой вектор a → , лежащий на прямой а. Тогда заданный b → , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и a → . Если вектору i → перпендикулярен вектор j → или любой из векторов λ · j → при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b → , перпендикулярному a → = ( a x , a y ) , сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a → = ( a x , a y ) . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме a x · b x + a y · b y = 0 . Имеем b x и b y , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда a x ≠ 0 , значение b y является ненулевым, а b x вычислим из неравенства a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = — a y · b y a x . При a x = 0 и a y ≠ 0 присваиваем b x любое значение кроме нуля, а b y находим из выражения b y = — a x · b x a y .

Дан вектор с координатами a → = ( — 2 , 2 ) . Найти перпендикулярный данному вектор.

Обозначим искомый вектор как b → ( b x , b y ) . Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a → и b → . Тогда получим: ( a → , b → ) = a x · b x + a y · b y = — 2 · b x + 2 · b y = 0 . Присвоим b y = 1 и подставим: — 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ — 2 · b x + 2 = 0 . Отсюда из формулы получим b x = — 2 — 2 = 1 2 . Значит, вектор b → = ( 1 2 , 1 ) является вектором, перпендикулярным a → .

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a → = ( a x , a y , a z ) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a → , лежащая на прямой a . Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α . В этом случае любой ненулевой вектор b → из плоскости α перпендикулярен a → .

Необходимо найти координаты b → , перпендикулярного ненулевому вектору a → = ( a x , a y , a z ) .

Пусть задан b → с координатами b x , b y и b z . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 должно выполняться. Из условия a → — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что a x ≠ 0 , ( a y ≠ 0 или a z ≠ 0 ). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , получим выражение b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = — a y · b y + a z · b z a x . Присваиваем координатам b y и b x любое значение, вычисляем значение b x , исходя из формулы, b x = — a y · b y + a z · b z a x . Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a → = ( a x , a y , a z ) .

Рассмотрим доказательство на примере.

Дан вектор с координатами a → = ( 1 , 2 , 3 ) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Обозначим искомый вектор за b → = ( b x , b y , b z ) . Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = — ( 2 · b y + 3 · b z )

Если значение b y = 1 , b z = 1 , тогда b x = — 2 · b y — 3 · b z = — ( 2 · 1 + 3 · 1 ) = — 5 . Отсюда следует, что координаты вектора b → ( — 5 , 1 , 1 ) . Вектор b → является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b → = ( — 5 , 1 , 1 ) .

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам a → ( a x , a y , a z ) и b → = ( b x , b y , b z ) . При условии коллинеарности векторов a → и b → в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a → или b → .

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Векторным произведением векторов a → и b → называют вектор, одновременно перпендикулярный и a → и b → . Для решения данной задачи применяется векторное произведение a → × b → . Для трехмерного пространства имеет вид a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Заданы векторы b → = ( 0 , 2 , 3 ) и a → = ( 2 , 1 , 0 ) . Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

Для решения необходимо найти векторное произведение векторов. (Необходимо обратиться к пункту вычисления определителя матрицы для нахождения вектора). Получим :

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 — k → · 1 · 0 — j → · 2 · 3 — i → · 0 · 2 = 3 · i → + ( — 6 ) · j → + 4 · k →

Ответ: ( 3 , — 6 , 4 ) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .

Понятие вектора и перпендикулярности векторов

Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.

Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.

Обозначение: $overline$ — вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.

Иначе одной маленькой буквой: $overline$ (рис. 1).

Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

Два ненулевых вектора будем называть перпендикулярными (ортогональными), если они лежат на каких-либо перпендикулярных прямых (рис.2).

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.

Математически это может выглядеть следующим образом:

Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом

$overline<α>overline<β>=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.

Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline<α>$ и $overline<β>$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они перпендикулярны друг другу.circ =|overline<α>||overline<β>|cdot 0=0$

Достаточность: Пусть верно равенство $overline<α>cdot overline<β>=0$. Докажем, что векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут перпендикулярны друг другу.

По определению 6, будет верно равенство

Следовательно, векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут перпендикулярны друг другу.

Доказать, что векторы с координатами $(1,-5,2)$ и $(2,1,3/2)$ перпендикулярны.

Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше

$overline<α>cdot overline<β>=1cdot 2+(-5)cdot 1+2cdot frac<3><2>=2cdot 5+3=0$

Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.

Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами $overline<α>=(1,2,3)$ и $overline<β>=(-1,0,3)$

Найдем векторное произведение данных векторов.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Как найти вектор перпендикулярный двум другим векторам. Как найти вектор, перпендикулярный вектору

Инструкция

Если исходный вектор изображен на чертеже в прямоугольной двухмерной системе координат и перпендикулярный ему нужно построить там же, исходите из определения перпендикулярности векторов на плоскости. Оно гласит, что угол между такой парой направленных отрезков должен быть равен 90°. Таких векторов можно построить бесконечное . Поэтому начертите в любом удобном месте плоскости перпендикуляр к исходному вектору, отложите на нем отрезок, равный длине заданной упорядоченной пары точек и назначьте один из его концов началом перпендикулярного вектора. Сделайте это с помощью транспортира и линейки.

Если же исходный вектор задан двухмерными координатами ā = (X₁;Y₁), исходите из того, что скалярное произведение пары перпендикулярных векторов должно быть равно нулю. Это значит, что вам надо подобрать для искомого вектора ō = (X₂,Y₂) такие координаты, при которых будет выполняться равенство (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0. Это можно сделать так: выберите любое ненулевое значение для координаты X₂, а координату Y₂ рассчитайте по формуле Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Например, для вектора ā = (15;5) будет вектор ō, с абсциссой, равной единице, и ординатой, равной -(15*1)/5 = -3, т.е. ō = (1;-3).

Для трехмерной и любой другой ортогональной системы координат верно то же самое необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов — их скалярное произведение должно быть равно нулю. Поэтому, если исходный направленный отрезок задан координатами ā = (X₁,Y₁,Z₁), подберите для перпендикулярной ему упорядоченной пары точек ō = (X₂,Y₂,Z₂) такие координаты, при которых выполняется условие (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Проще всего присвоить X₂ и Y₂ единичные значения, а Z₂ рассчитать из упростившегося равенства Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/Z₁. Например, для вектора ā = (3,5,4) эта приобретет такой вид: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Тогда абсциссу и ординату перпендикулярного вектора примите за единицу, а в этом случае будет равна -(3+5)/4 = -2.

Источники:

найти вектор если он перпендикулярный

Перпендикулярными называются вектора , угол между которыми составляет 90º. Перпендикулярные вектора строятся при помощи чертежных инструментов. Если известны их координаты, то проверить или найти перпендикулярность векторов можно аналитическими методами.

Вам понадобится

— транспортир;
— циркуль;
— линейка.

Инструкция

Постройте вектор перпендикулярный данному. Для этого в точке, которая началом вектора, восстановите к нему перпендикуляр. Это можно при помощи транспортира, отложив угол 90º. Если транспортира нет, сделайте это циркулем.

Установите его в точку начала вектора. Проведите окружность произвольным радиусом. Затем постройте две с центрами в точках, где первая окружность пересекла прямую, на которой лежит вектор. Радиусы этих окружностей должны быть равны между собой и больше первой построенной окружности. На точках пересечения окружностей постройте прямую, которая будет перпендикулярна исходному вектору в точке его начала, и отложите на ней вектор, перпендикулярный данному.

ом. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Определение 1

Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.

Определение 2

Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Определение 3

Обозначение: \overline{AB} — вектор AB , имеющий начало в точке A , а конец в точке B .

Иначе одной маленькой буквой: \overline{a} (рис. 1).

Определение 4

Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.

Обозначение: \overline{0} .

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

Определение 6

Математически это может выглядеть следующим образом:

\overline{α}\overline{β}=|\overline{α}||\overline{β}|cos⁡∠(\overline{α},\overline{β})

Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом

\overline{α}\overline{β}=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Теорема 1

Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.\circ

Следовательно, векторы \overline{α} и \overline{β} будут перпендикулярны друг другу.

Теорема доказана.

Пример 1

Доказать, что векторы с координатами (1,-5,2) и (2,1,3/2) перпендикулярны.

Доказательство.

Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше

\overline{α}\cdot \overline{β}=1\cdot 2+(-5)\cdot 1+2\cdot \frac{3}{2}=2\cdot 5+3=0

Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Определение 7

Обозначение: \overline{α}х\overline{β} х .

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix} х

Пример 2

Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами \overline{α}=(1,2,3) и \overline{β}=(-1,0,3)

Найдем векторное произведение данных векторов.

\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\1&2&3\\-1&0&3\end{vmatrix}=(6-0)\overline{i}-(3+3)\overline{j}+(0+2)\overline{k}=6\overline{i}-6\overline{j}+2\overline{k}=(6,6,2) х

В разделе на вопрос найти вектор, перпендикулярный двум заданным векторам заданный автором Anna Afanasyeva лучший ответ это Вектор, перпендикулярный двум не параллельным векторам находится как их векторное произведение ахв, чтобы его найти нужно составить определитель, первая строка которого будет состоять из единичных векторов I,j,k, вторая-из координат вектора а, третья из координат вектора в. Считается определитель разложением по первой строке, в Вашем случае получится ахв=20i-10k, или ахв=(20,0,-10).

Ответ от 22 ответа [гуру]

Привет! Вот подборка тем с ответами на Ваш вопрос: найти вектор, перпендикулярный двум заданным векторам

Ответ от Простереть [новичек]
Вектор, перпендикулярный двум не параллельным векторам находится как их векторное произведение ахв, чтобы его найти нужно составить определитель, первая строка которого будет состоять из единичных векторов I,j,k, вторая-из координат вектора а, третья из координат вектора в. Считается определитель разложением по первой строке, в Вашем случае получится ахв=20i-10k, или ахв=(20,0,-10).

Ответ от ЇАЙКА [гуру]
Примерно решай так; Но, сначала сама прочитай все!! !
Вычислите скалярное произведение векторов d и r, если d=-c+a+2b; r=-b+2a.
Модуль вектора a равен 4, модуль вектора b равен 6. Угол между векторами a и b равен 60 градусам, вектор с перпендикулярен векторам a и b.
Точки Е и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD, причем AE=ED, BF: FC = 4: 3. а) Выразите вектор EF через векторы m = вектору AB и вектор n = вектору AD. б) Может ли при каком – нибудь значении x выполняться равенство вектор EF = x умножить на вектор CD. .

Единичный вектор находится: , где– модуль вектора.

Ответ:
.

Примечание. Координаты единичного вектора должны быть не больше единицы.

6.3. Найти длину и направляющие косинусы вектора . Сравните с ответом в предыдущем пункте. Сделайте выводы.

Длина вектора – это есть его модуль:

А направляющие косинусы мы можем найти по формуле одного из способов задания векторов:

Из полученного мы видим, что направляющие косинусы это и есть координаты единичного вектора.

Ответ:
,
,
,
.

6.4. Найти
.

Необходимо выполнить действия умножения вектора на число, сложения и модуль.

Почленно перемножаем координаты векторов на число.

Почленно складываем координаты векторов.

Находим модуль вектора.

Ответ:

6.5. Определить координаты вектора
, коллинеарного вектору, зная, что
и он направлен в сторону, противоположную вектору.

Вектор коллинеарен вектору, значит, его единичный вектор равен единичному векторутолько со знаком минус, т.к. направлен в противоположную сторону.

Единичный вектор имеет длину равную 1, значит, если его умножить на 5, то его длинна будет равна пяти.

Находим

Ответ:

6.6. Вычислить скалярные произведения
и
. Перпендикулярны ли векторыи,имежду собой?

Выполним скалярное произведение векторов.

Если вектора перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.

Мы видим, что в нашем случае вектораиперпендикулярны.

Ответ:
,
, векторы не перпендикулярны.

Примечание. Геометрический смысл скалярного произведения малоприменим на практике, но все-таки существует. Результат такого действия можно изобразить и вычислить геометрически.

6.7. Найти работу, совершённую материальной точкой к которой приложена сила
, при перемещении её из точки B в точку С.

Физический смысл скалярного произведения – это работа. Вектор силы здесь , вектор перемещения – это
. А произведение этих векторов и будет искомой работой.

Находим работу

6.8. Найти внутренний угол при вершине A и внешний угол при вершине C треугольника ABC .

Из определения, скалярного произведения векторов получим формулу нахождения угла: .

В
нутренний угол будем искать как угол между векторами, выходящими из одной точки.

Для нахождения внешнего угла нужно совмещать вектора, таким образом, чтоб они выходили из одной точки. Рисунок это поясняет.

Стоит заметить, что
, только имеют разные начальные координаты.

Находим необходимые вектора и углы

Ответ: внутренний угол при вершине А = , внешний угол при вершине В =.

6.9. Найти проекции векторов: и

Вспомним вектора-орты:
,
,
.

Проекция находится также из скалярного произведения

–проекция b на a .

Ранее полученные нами вектора

,
,

Находим проекцию

Находим вторую проекцию

Ответ:
,

Примечание. Знак минуса при нахождении проекции означает то, что проекция опускается не на сам вектор, а в противоположную сторону, на линию на которой лежит этот вектор.

6.10. Вычислить
.

Выполним векторное произведение векторов

Найдем модуль

Синус угла между векторами найдём из определения векторного произведения векторов

Ответ:
,
,
.

6.11. Найти площадь треугольника ABC и длину высоты, опушенной из точки С.

Геометрический смысл модуля векторного произведения состоит в том, что это площадь параллелограмма, образованного этими векторами. А площадь треугольника равна половине площади параллелограмма.

Площадь треугольника также можно найти как произведение высоты, на основание, делённое на два, из этого можно вывести формулу нахождения высоты.

Таким образом, найдём высоту

Ответ:
,
.

6.12. Найти единичный вектор, перпендикулярный векторам и.

Результатом скалярного произведения есть вектор, который перпендикулярный двум исходным. А единичный вектор – это вектор, делённый на его длину.

Ранее, нами было найдено:

Ответ:
.

6.13. Определить величину и направляющие косинусы момента силы
, приложенной к А относительно точки С.

Физический смысл векторного произведения – это момент силы. Приведём иллюстрацию к данному заданию.

Находим момент силы

Ответ:
.

6.14. Лежат ли векторы ,ив одной плоскости? Могут ли эти векторы образовывать базис пространства? Почему? Если могут, разложите по этому базису вектор
.

Чтобы проверить лежат ли вектора в одной плоскости необходимо выполнить смешанное произведение этих векторов.

Смешанное произведение не равно нулю, следовательно, вектора не лежат в одной плоскости (не компланарные) и могут образовывать базис. Разложим по этому базису.

Разложим по базису, решив уравнение

Ответ: Векторы ,ине лежат в одной плоскости.
.

6.15. Найти
. Чему равен объём пирамиды с вершинами A, B, C, D и её высота, опущенная из точки A на основание BCD.

Геометрический смысл смешанного произведения в том, что это объём параллелепипеда образованного этими векторами.

Объём же пирамиды в шесть раз меньше объёма параллелепипеда.

Объём пирамиды, ещё можно найти так:

Получим формулу нахождения высоты

Находим высоту

Ответ: объём = 2.5, высота =.

6.16. Вычислить
и
.

–над этим заданием предлагаем вам подумать самим.

–выполним произведение.

Ранее было получено

Ответ:
.

6.17. Вычислить

Выполним действия по частям

Суммируем полученные значения

Ответ:
.

6.18. Найти вектор
, зная, что он перпендикулярен векторами, а его проекция на векторравна 5.

Разобьем данную задачу на две подзадачи

1) Найдём вектор, перпендикулярный векторам ипроизвольной длинны.

Перпендикулярный вектор мы получим в результате векторного произведения

Ранее, нами было найдено:

Искомый вектор отличается лишь длинной, от полученного

2) Найдем через уравнение

6.19. Найти вектор
, удовлетворяющий условиям
,
,
.

Рассмотрим более детально данные условия.

Это система линейных уравнений. Составим и решим данную систему.

Ответ:

6.20. Определить координаты какого-либо вектора
, компланарного с векторамии, и перпендикулярного вектору
.

В данном задании два условия: компланарность векторов и перпендикулярность, выполним сначала первое условие, а потом второе.

1) Если вектора компланарны, значит их смешанное произведение равно нулю.

Отсюда получим некоторую зависимость координат вектора

Найдем вектор .

2) Если вектора перпендикулярны, значит их скалярное произведение равно нулю

Мы получили вторую зависимость координат искомого вектора

Для любого значения вектор будет удовлетворять условиям. Подставим
.

Ответ:
.

Аналитическая геометрия

Yandex.RTB R-A-339285-1

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

Определение 1

При условии значения угла между двумя ненулевыми векторами равным 90 ° (π 2 радиан) называют перпендикулярными .

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Большинство случаев доказательства перпендикулярности двух ненулевых векторов на плоскости или в пространстве производится с помощью необходимого и достаточного условия перпендикулярности двух векторов . векторов a → и b → равен 90 ° . По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Раздел скалярного произведения в координатах демонстрирует неравенство (a → , b →) = a x · b x + a y · b y , справедливое для векторов с координатами a → = (a x , a y) и b → = (b x , b y) , на плоскости и (a → , b →) = a x · b x + a y · b y для векторов a → = (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) в пространстве. Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух векторов в координатной плоскости имеет вид a x · b x + a y · b y = 0 , для трехмерного пространства a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 .

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Пример 1

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = (2 , — 3) , b → = (- 6 , — 4) .

Решение

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y = 2 · (- 6) + (- 3) · (- 4) = 0 . Условие выполнено, значит, заданные векторы перпендикулярны на плоскости.

Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.

Пример 2

Решение

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты (1 , — 1 , 0) и (1 , 2 , 2) . Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → = 1 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 2 = — 1 .

Выражение не равно нулю, (i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j →) ≠ 0 , а это означает, что векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны, так как условие не выполнилось.

Ответ: нет, векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.

Пример 3

Даны векторы a → = (1 , 0 , — 2) и b → = (λ , 5 , 1) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.

Решение

Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим

a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + (- 2) · 1 = 0 ⇔ λ = 2

Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .

Пример 4

Решение

При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С – гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С, следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Задан ненулевой вектор a → , лежащий на прямой а. Тогда заданный b → , расположенный на любой прямой, перпендикулярной прямой а, становится перпендикулярным и a → . Если вектору i → перпендикулярен вектор j → или любой из векторов λ · j → при λ равной любому действительному числу кроме нуля, то нахождение координат вектора b → , перпендикулярному a → = (a x , a y) , сводится к бесконечному множеству решений. Но необходимо найти координаты вектора, перпендикулярного a → = (a x , a y) . Для этого необходимо записать условие перпендикулярности векторов в такой форме a x · b x + a y · b y = 0 . Имеем b x и b y , являющиеся искомыми координатами перпендикулярного вектора. Когда a x ≠ 0 , значение b y является ненулевым, а b x вычислим из неравенства a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = — a y · b y a x . При a x = 0 и a y ≠ 0 присваиваем b x любое значение кроме нуля, а b y находим из выражения b y = — a x · b x a y .

Пример 5

Дан вектор с координатами a → = (- 2 , 2) . Найти перпендикулярный данному вектор.

Решение

Обозначим искомый вектор как b → (b x , b y) . Найти его координаты можно из условия перпендикулярности векторов a → и b → . Тогда получим: (a → , b →) = a x · b x + a y · b y = — 2 · b x + 2 · b y = 0 . Присвоим b y = 1 и подставим: — 2 · b x + 2 · b y = 0 ⇔ — 2 · b x + 2 = 0 . Отсюда из формулы получим b x = — 2 — 2 = 1 2 . Значит, вектор b → = (1 2 , 1) является вектором, перпендикулярным a → .

Ответ: b → = (1 2 , 1) .

Если ставится вопрос о трехмерном пространстве, задача решается по такому же принципу. При заданном векторе a → = (a x , a y , a z) существует бесконечное множество перпендикулярных векторов. Зафиксирует это на координатной трехмерной плоскости. Дана a → , лежащая на прямой a . Перпендикулярную прямой a плоскость обозначаем α . В этом случае любой ненулевой вектор b → из плоскости α перпендикулярен a → .

Необходимо найти координаты b → , перпендикулярного ненулевому вектору a → = (a x , a y , a z) .

Пусть задан b → с координатами b x , b y и b z . Чтобы найти их, необходимо применить определение условия перпендикулярности двух векторов. Равенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 должно выполняться. Из условия a → — ненулевой, значит, одна из координат имеет значение не равное нулю. Предположим, что a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 или a z ≠ 0). Следовательно, имеем право разделить на эту координату все неравенство a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , получим выражение b x + a y · b y + a z · b z a x = 0 ⇔ b x = — a y · b y + a z · b z a x . Присваиваем координатам b y и b x любое значение, вычисляем значение b x , исходя из формулы, b x = — a y · b y + a z · b z a x . Искомый перпендикулярный вектор будет иметь значение a → = (a x , a y , a z) .

Рассмотрим доказательство на примере.

Пример 6

Дан вектор с координатами a → = (1 , 2 , 3) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

Решение

Обозначим искомый вектор за b → = (b x , b y , b z) . Исходя из условия о перпендикулярности векторов, скалярное произведение должно быть равным нулю.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = — (2 · b y + 3 · b z)

Если значение b y = 1 , b z = 1 , тогда b x = — 2 · b y — 3 · b z = — (2 · 1 + 3 · 1) = — 5 . Отсюда следует, что координаты вектора b → (- 5 , 1 , 1) . Вектор b → является одним из перпендикулярных векторов заданному.

Ответ: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Нужно найти координаты вектора в трехмерном пространстве. Он перпендикулярен не коллинеаренным векторам a → (a x , a y , a z) и b → = (b x , b y , b z) . При условии коллинеарности векторов a → и b → в задаче достаточно будет найти вектор, перпендикулярный a → или b → .

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Пример 7

Заданы векторы b → = (0 , 2 , 3) и a → = (2 , 1 , 0) . Найти координаты любого перпендикулярного вектора данным одновременно.

Решение

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → · 1 · 3 + j → · 0 · 0 + k → · 2 · 2 — k → · 1 · 0 — j → · 2 · 3 — i → · 0 · 2 = 3 · i → + (- 6) · j → + 4 · k →

Ответ: (3 , — 6 , 4) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Вектор перпендикулярен векторам найти модуль вектора

Начнем с постановки задачи.

Одно из решений такой задачи основано на использовании понятия векторного произведения векторов.

Разберем на примере.

Найдите координаты какого-нибудь вектора, перпендикулярного одновременно двум векторам и .

– один из векторов, одновременно перпендикулярный и вектору и .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась – это был конец пары: «Что-то тут концом пахнет». 8406 – | 8023 – или читать все.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Понятие вектора и перпендикулярности векторов

Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.

Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.

Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.

Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.

Обозначение: $overline$ – вектор $AB$, имеющий начало в точке $A$, а конец в точке $B$.

Иначе одной маленькой буквой: $overline$ (рис. 1).

Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.

Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.

По определению 6, будет верно равенство

Следовательно, векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут перпендикулярны друг другу.

Доказать, что векторы с координатами $(1,-5,2)$ и $(2,1,3/2)$ перпендикулярны.

Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше

$overline<α>cdot overline<β>=1cdot 2+(-5)cdot 1+2cdot frac<3><2>=2cdot 5+3=0$

Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Введем вначале понятие векторного произведения.

Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой

Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами $overline<α>=(1,2,3)$ и $overline<β>=(-1,0,3)$

Найдем векторное произведение данных векторов.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

Векторное произведение — это псевдовектор, который перпендикулярен плоскости, построенной по двум

сомножителям, которые являются результатом бинарной операции «векторное умножение» над

векторами в трёхмерном евклидовом пространстве.

Векторное произведение не имеет свойств коммутативности и ассоциативности (антикоммутативное)

Векторное произведение помогает в «измерении» перпендикулярности векторов — модуль

векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов, если они

перпендикулярны, и стремится к нулю, если векторы параллельны или антипараллельны.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в

трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит

от ориентации прямоугольной системы координат или, говоря другими словами, её «хиральности».

Векторное произведение двух векторов обозначается квадратными скобками:

Свойства векторного произведения векторов.

1. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Векторным произведением вектора на вектор является

вектор , длина его численно соответствует площади

параллелограмма, который построен на векторах и ,

перпендикулярный к плоскости этих векторов и направлен

так, чтоб самое маленькое вращение от к около

вектора происходило против часовой стрелки, если взгляд вести

с конца вектора .

Модуль векторного произведения двух векторов и = площади параллелограмма, который

построен на них:

Площадь треугольника строящегося на векторах и соответствует одной второй модуля

векторного произведения векторов и :

2. Вектор перпендикулярен векторам и , то есть и ;

3. Вектор направлен таким образом, что поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки, если смотришь с конца вектора (в таком случае тройка векторов , и – правая).

Вектор перпендикулярный плоскости называется | Gadget-apple.ru

Хорошее представление о прямой линии начинается с момента, когда вместе с ее образом одновременно возникают образы ее направляющих и нормальных векторов. Аналогично, при упоминании о плоскости в пространстве, она должна представляться вместе со своим нормальным вектором. Почему так? Да потому что во многих случаях удобнее использовать нормальный вектор плоскости, чем саму плоскость.

В этой статье мы сначала дадим определение нормального вектора плоскости, приведем примеры нормальных векторов и необходимые графические иллюстрации. Далее поместим плоскость в прямоугольную систему координат в трехмерном пространстве и научимся определять координаты нормального вектора плоскости по ее уравнению.

Навигация по странице.

Нормальный вектор плоскости — определение, примеры, иллюстрации.

Для хорошего усвоения материала нам потребуется хорошее представление о прямой в пространстве, представление о плоскости и определения из статьи векторы — основные определения.

Дадим определение нормального вектора плоскости.

Нормальный вектор плоскости — это любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к данной плоскости.

Из определения следует, что существует бесконечное множество нормальных векторов данной плоскости.

Так как все нормальные векторы заданной плоскости лежат на параллельных прямых, то все нормальные векторы плоскости коллинеарны. Другими словами, если

— нормальный вектор плоскости , то вектор при некотором ненулевом действительном значении t также является нормальным вектором плоскости (смотрите статью условие коллинеарности векторов).

Также следует заметить, что любой нормальный вектор плоскости можно рассматривать как направляющий вектор прямой, перпендикулярной к этой плоскости.

Множества нормальных векторов параллельных плоскостей совпадают, так как прямая, перпендикулярная к одной из параллельных плоскостей, перпендикулярна и ко второй плоскости.

Из определения перпендикулярных плоскостей и определения нормального вектора плоскости следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей перпендикулярны.

Приведем пример нормального вектора плоскости.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz . Координатные векторы

являются нормальными векторами плоскостей Oyz , Oxz и Oxy соответственно. Это действительно так, потому что векторы ненулевые и лежат на координатных прямых Ox , Oy и Oz соответственно, которые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz , Oxz и Oxy соответственно.

Координаты нормального вектора плоскости — нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости.

Озвучим цель, которая преследовалась при создании этого пункта статьи: научиться находить координаты нормального вектора плоскости, если известно уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz .

Общее уравнение плоскости вида

определяет в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, нормальным вектором которой является вектор . Таким образом, чтобы найти координаты нормального вектора плоскости нам достаточно иметь перед глазами общее уравнение этой плоскости.

Рассмотрим несколько примеров.

Найдите координаты какого-либо нормального вектора плоскости

Нам дано общее уравнение плоскости, коэффициенты перед переменными x , y и z представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой плоскости. Следовательно,

— один из нормальных векторов заданной плоскости. Множество всех нормальных векторов этой плоскости можно задать как , где t — произвольное действительное число, отличное от нуля.

Плоскость задана уравнением

. Определите координаты ее направляющих векторов.

Нам дано неполное уравнение плоскости. Чтобы стали видны координаты ее направляющего вектора, перепишем уравнение

в виде . Таким образом, нормальный вектор этой плоскости имеет координаты , а множество всех нормальных векторов запишется как .

Уравнение плоскости в отрезках вида

, как и общее уравнение плоскости, позволяет сразу записать один из нормальных векторов этой плоскости — он имеет координаты .

В заключении скажем, что с помощью нормального вектора плоскости могут быть решены различные задачи. Самыми распространенными являются задачи на доказательство параллельности или перпендикулярности плоскостей, задачи на составление уравнения плоскости, а также задачи на нахождение угла между плоскостями и на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Применим правило о перпендикулярных векторах на плоскости и в трехмерном пространстве.

Что это значит, и в каких ситуациях необходимо знать про их перпендикулярность?

Пусть заданные векторы a → и b → перпендикулярны, тогда выполним доказательство равенства a ⇀ , b → = 0 .

Из определения про скалярное произведение векторов мы знаем, что оно равняется произведению длин заданных векторов на косинус угла между ними. векторов a → и b → равен 90 ° . По определению это и есть необходимое и достаточное свойство.

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Применим на практике и рассмотрим на примерах.

Проверить свойство перпендикулярности двух векторов a → = ( 2 , — 3 ) , b → = ( — 6 , — 4 ) .

Ответ: да, заданные векторы a → и b → перпендикулярны.

Для того, чтобы вспомнить, как определяются координаты вектора, нужно прочитать статью про координаты вектора в прямоугольной системе координат. Таким образом получаем, что у заданных векторов i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → имеются соответствующие координаты ( 1 , — 1 , 0 ) и ( 1 , 2 , 2 ) . Подставляем числовые значения и получаем: i → + 2 · j → + 2 · k → , i → — j → = 1 · 1 + ( — 1 ) · 2 + 0 · 2 = — 1 .

Ответ: нет, векторы i → — j → и i → + 2 · j → + 2 · k → не перпендикулярны.

Даны векторы a → = ( 1 , 0 , — 2 ) и b → = ( λ , 5 , 1 ) . Найти значение λ , при котором данные векторы перпендикулярны.

Используем условие перпендикулярности двух векторов в пространстве в квадратной форме, тогда получим

a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · λ + 0 · 5 + ( — 2 ) · 1 = 0 ⇔ λ = 2

Ответ: векторы перпендикулярны при значении λ = 2 .

При перпендикулярности векторов A B → и A C → треугольник A B C считается прямоугольным. Тогда применим теорему Пифагора, где В С — гипотенуза треугольника. Равенство B C 2 = A B 2 + A C 2 должно выполниться. Отсюда следует, что 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Значит, А В и А С являются катетами треугольника А В С , следовательно, A B → и A C → перпендикулярны.

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Нахождение вектора, перпендикулярного данному в плоскости.

Дан вектор с координатами a → = ( — 2 , 2 ) . Найти перпендикулярный данному вектор.

Необходимо найти координаты b → , перпендикулярного ненулевому вектору a → = ( a x , a y , a z ) .

Рассмотрим доказательство на примере.

Дан вектор с координатами a → = ( 1 , 2 , 3 ) . Найти вектор, перпендикулярный данному.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 ⇔ 1 · b x + 2 · b y + 3 · b z = 0 ⇔ b x = — ( 2 · b y + 3 · b z )

Ответ: b → = ( — 5 , 1 , 1 ) .

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

При решении применяется понятие векторного произведения векторов.

Разберем подробнее векторное произведение на примере задачи.

Ответ: ( 3 , — 6 , 4 ) — координаты вектора, одновременно перпендикулярного заданным a → и b → .

1. Различные уравнения плоскости.

а). Уравнение плоскости, заданной точкой М_о и вектором нормали.

При аксиоматическом построении геометрии плоскость считается

основным неопределяемым понятием, основные свойства которой определяются аксиомами и их свойствами.

В аналитической геометрии основным методом изучения свойств геометрических фигур является метод координат, основной особенностью которого является возможность каждой геометрической фигуре поставить в соответствие уравнение или неравенство и изучать свойство исследуемой фигуры на основе следствий, вытекающих из анализа полученного уравнения.

Определение. Вектор, перпендикулярный плоскости, называется вектором нормали плоскости. (Рис.9)

Поставим перед собой задачу получить уравнение плоскости в пространстве, заданной точкой и вектором нормали.

Введём пространстве прямоугольную систему координат и рассмотрим плоскость, заданную точкой М_о(х_о,у_о) и вектором

перпендикулярным плоскости α. Приведённые данные определяют положение плоскости α в пространстве единственным образом.

Пусть точка М(x;y;z) — произвольная точка плоскости α. Очевидно, что точка М(x,y,z)

тогда и только тогда, когда векторы и взаимно перпендикулярны. => . Координаты вектора и вектора ( ) известны, =>

Уравнение (6) называется уравнением плоскости, заданной точкой М_о(х_о,у_о) и вектором нормали .

б). Условие параллельности вектора плоскости.

Теорема I. Вектор

параллелен плоскости α

Пусть вектор

параллелен плоскости α. (Рис.7) Тогда

и перпендикулярны =>

Пусть дан вектор даны вектор

и плоскость α своим уравнением . Кроме того пусть для координат вектора даны вектор выполнено условие . Возьмем в плоскости α некоторую точку А(х_А;у_А;z_А) принадлежащую плоскости α. Тогда координаты точки А удовлетворяют уравнению плоскости α, то есть

. (8)

Отложим от точки А вектор, равный вектору

и пусть его концом будет точка В(x_B;y_B_;z_B). Очевидно, что для координат вектора справедливы соотношения: р₁= x_B-x_A_; : р₂= y_B-y_A_; : р₃= z_B-z_A . Подставив эти выражения для координат вектора даны вектор в (9), получаем . (9)

Сложив уравнение (8) с уравнением (9), получим

Точка В принадлежит плоскости α, то есть вектор

║ α. Ч.т.д.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. 8829 —

| 7541 — или читать все.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Метки:

НАШ САЙТ РЕКОМЕНДУЕТ:

Как найти перпендикулярный вектор

Перпендикулярными называются вектора, угол между которыми составляет 90º. Перпендикулярные вектора строятся при помощи чертежных инструментов. Если известны их координаты, то проверить или найти перпендикулярность векторов можно аналитическими методами.Вам понадобится

Постройте вектор перпендикулярный данному. Для этого в точке, которая является началом вектора, восстановите к нему перпендикуляр. Это можно сделать при помощи транспортира, отложив угол 90º. Если транспортира нет, сделайте это циркулем.

Установите его в точку начала вектора. Проведите окружность произвольным радиусом. Затем постройте две окружности с центрами в точках, где первая окружность пересекла прямую, на которой лежит вектор. Радиусы этих окружностей должны быть равны между собой и больше радиуса первой построенной окружности. На точках пересечения окружностей постройте прямую, которая будет перпендикулярна исходному вектору в точке его начала, и отложите на ней вектор, перпендикулярный данному.

Определите перпендикулярность двух произвольных векторов. Для этого с помощью параллельного переноса постройте их так, чтобы они исходили из одной точки. Измерьте угол между ними, при помощи транспортира. Если он равен 90º, то вектора перпендикулярны.

Найдите вектор, перпендикулярный тому, координаты которого известны и равны (x;y). Для этого найдите такую пару чисел (x1;y1), которая удовлетворяла бы равенству x•x1+y•y1=0. В этом случае вектор с координатами (x1;y1) будет перпендикулярен вектору с координатами (x;y).

ПримерНайдите вектор, перпендикулярный вектору с координатами (3;4). Используйте свойство перпендикулярных векторов. Подставив в него координаты вектора, получите выражение 3•x1+4•y1=0. Подберите пары чисел, которые делают это тождество верным. Например, пара чисел x1=-4; y1=3 делает тождество верным. j ;

2) |k |=1, но | i x j | = |i | |J | sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы а хb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , b x a противоположной ориентации). Стало быть a xb = -(b xa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l (а хb ) = (l а ) х b = а х (l b ).

Пусть l >0. Вектор l (а хb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( l а )хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а , l а лежат в одной плоскости). Значит, векторы l (а хb ) и ( l а )хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l (a хb )= l а хb . Аналогично доказывается при l

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а ||b а хb =0 .

В частности, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a +b ) хс = а хс +b хс .

Примем без доказательства.

7.3. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а =а х i +a y j +a z k и b =b x i +b y j +b z k . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

7.4. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а | * |b |sin g , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, D S =1/2|а х b |.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом си лы F относительно точки О называется вектор М , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В .

Стало быть, М =ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ , где О-некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Угол между векторами

Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.

Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Определение 1

Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Ответ: $12$.

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Пример 2

Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение .

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$

Ответ: $(12,-3,3)$.

Свойства векторного произведения векторов

Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:

Пример 3

Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.

Решение .

Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):

Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$.2}=24$

Использование векторного произведения ВЕКТОРОВ

для вычисления площади

некоторых геометрических фигур

Исследовательская работа по математике

Ученика 10 Б класса

МОУ СОШ №73

Перевозникова Михаила

Руководители:

Ассистент каф. математического анализа механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб Сергеевич

Саратов, 2015

Введение.

1. Теоретический обзор.

1.1. Векторы и вычисления с векторами.

1.2. Использование скалярного произведения векторов в решении задач

1.3 Скалярное произведение векторов в координатах

1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве: определение понятия.

1.5. Координаты векторного произведения векторов.

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного произведения векторов.

2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника. Доказательство теоремы

2.3. Проверка на примерах правильности формулы.

2.4. Практическое использование векторной алгебры и произведения векторов.

Заключение

Введение

Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа решения – графический и аналитический. Графический метод связан с построением графиков и чертежей, а аналитический предполагает решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений. При этом в этой науке для расширения пространственного понимания фигур помимо иногда применяется векторное произведение векторов.

В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.

В связи с этим была обозначена цель данного проекта – использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых геометрических фигур.

В связи с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и дать определение векторному произведению векторов в системе координат;

2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма;

3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в координатах;

4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.

1. Теоретический обзор.

Векторомназывается направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка А , концом отрезка – точка В . Сам вектор обозначен через
или . Чтобы найти координаты вектора
, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:

= { B x — A x ; B y — A y }

Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. При этом вектор отрезок, характеризующийся длиной и направлением.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

Длина вектора || в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

С векторами можно совершать различные действия.

Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго (рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.

Сумму векторов = {a x ; a y } и = {b x ; b y } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

+ = {a x + b x ; a y + b y }

Рис. 1. Действия с векторами

Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом соединить конец второго с концом первого.

Разность векторов = {a x ; a y } и = {b x ; b y } можно найти по формуле:

— = { a x — b x ; a y — b y }

Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор, который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном – противоположно направлены.

Произведение вектора = {a x ; a y } и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · = {k · a x ; k · a y }

А можно ли умножать вектор на вектор? Конечно, и даже двумя вариантами!

Первый вариант – скалярное произведение.

Рис. 2. Скалярное произведение в координатах

Для нахождения произведения векторов можно использовать угол  между данными векторами, показанный на рисунке 3.

Из формулы следует, что скалярное произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними равен нулю.

В координатной плоскости вектор также имеет координаты. Вектора, их координаты и скалярное произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между прямыми (или их отрезками), если введена система координат. И если координаты
, то их скалярное произведение равно:

В трехмерном пространстве существует 3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3 координаты, а скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.

Вторым вариантом вычисления произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец вектора имеют по 3 координаты.

В отличие от скалярного произведения векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.

Очевидно, что при построении результирующего вектора , перпендикулярного двум, вступившим в произведение — и , может быть выбрано два противоположных направления. При этом направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, или правилу буравчика.Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения (рис. 7).

Рис. 7. Правило правой руки

1.3. Свойства векторного произведения векторов.

Длина результирующего вектора определяется по формуле

При этом
векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет перпендикулярен
, а его направление определяется по правилу правой руки.

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

Векторное произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла между ними будет равен 0.

Координаты векторов в трехмерном пространстве выражаются следующим образом: . Тогда координаты результирующего вектора находим по формуле

Длина результирующего вектора находится по формуле:

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Пусть нам дан треугольник ABC (рис. 8). Известно, что .

Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:

Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):

длина векторного произведения векторов равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки.

Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , со сторонами и и углом между ними, равным .

Рис. 9. Геометрический смысл векторного произведения векторов

В связи с этим, можно привести еще одно определение векторного произведения векторов:

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 10).

Рис. 10. Определение векторного произведения векторов

с использованием параллелограмма

2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника в координатах.

Итак, нам дан треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого треугольника (рис. 11).

Рис. 11. Пример решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин

Решение.

Для начала, рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и АС.

По данной прежде формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.

Более того, если мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема: Пусть дан треугольник АВС и координаты его вершин (рис. 12).

Тогда .

Рис. 12. Доказательство теоремы

Доказательство.

Рассмотрим точки в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. . По приведенной раньше формуле вычислим координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все члены, содержащие z 1 или z 2, равны 0, т.к. z 1и z 2 = 0. УБРАТЬ!!!

Итак, следовательно,

2.3. Проверка правильности формулы на примерах

Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b=

I(2 · (-1) — (-2) · 1) — j((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k((-1) · 1 — 2 · 2) =

I(-2 + 2) — j(1 + 4) + k(-1 — 4) = -5 j — 5 k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ =

| a × b| =

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

Ответ: SΔ = 2.5√2.

Заключение

2.4. Приложения векторной алгебры

и скалярного и векторного произведения векторов.

Где же нужны векторы? Векторное пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют вполне реальное практическое применение в современном мире.

В механике и физике многие величины имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются векторными. Вместе с использованием элементарных механических понятий, опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов. Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила (рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются с помощью векторов.

В физике важны не только сами вектора, но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения коллинеарности векторов модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы сонаправленны или противоположно направленны.

Еще один пример: скалярное произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле, где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.

Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением. Найти подтверждения, привести примеры.

Стоит еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях науки и промышленности.

В то же время результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной.

Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых удивительных положений аналитической геометрии.

Векторное произведение векторов может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы, доказательством теоремы и решением практических задач.

Векторы широко используются в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.

Список использованных источников

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: , 2013. 383 с.

Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. М.: , 2013. 255 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.

Аналитическая геометрия.

Математика. Клевер.

Изучение математики онлайн.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

Сайт В. Глазнева.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

Википедия.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным) и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

Определение:
Векторным произведением вектора a на вектор b в пространстве R 3 называется вектор c , удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой;
в случае пространства R7 требуется ассоциативность тройки векторов a,b,c.
Обозначение:
c===a × b

Рис. 1. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения

Геометрические свойства векторного произведения :
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b (см. рис.1).

Если e — единичный вектор, ортогональный векторам a и b и выбранный так, что тройка a,b,e — правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
=S e

Рис.2. Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений

Если c — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор, e — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c,g — единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула:
=Pr e a |c|g
где Pr e a проекция вектора e на a
|c|-модуль вектора с

При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c . Такое произведение трех векторов называется смешанным.
V=|a (b×c)|
На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:
V=a×b c=a b×c

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Для запоминания этой формулы:
i =∑ε ijk a j b k
где ε ijk — символ Леви-Чивиты.

c++ — Нахождение точки, перпендикулярной двум пересекающимся линиям в 3D

У меня есть две линии (L1, L2) в 3D.

L имеет следующие координаты начала и окончания: P1(x1, y1, z1) и P2(x2, y2, z2).

L2 содержит P3(x3, y3, z3) и P2(x2, y2, z2). Обратите внимание на то, что и L1, и L2 P2 одинаковы: это означает, что они пересекаются в этой конкретной точке.

Теперь я хочу найти точку P(x,y,z) на любом расстоянии от P2, при котором линия (P,P2) перпендикулярна плоскости, на которой размещены точки (P1,P2,P3).

Mohammad Sohaib 13 Мар 2016 в 15:51

3 ответа

Лучший ответ

Перекрестное произведение — это способ вычисления перпендикулярности по отношению к вашим двум линиям. Вам нужно сделать векторы параметров вашей линии, простой способ:

vecL1 = (x1-x2, y1-y2, z1-z2) and
vecL2 = (x3-x2, y3-y2, z3-z2)

Перекрестный продукт вы можете погуглить, как рассчитать, но в этом сценарии:

//Replacing the new x,y,z's with i, j, k to avoid naming confusion.
vecL3 = vecL1 x vecL2 = (j1*k2 - j2*k1, k1*i2 - k2*i1, i1*j2 - j1*i2)

Теперь перекрестное произведение по определению — это новый вектор (линия), который строго перпендикулярен двум линиям / векторам, которые вы использовали для его вычисления. Но у векторов отсутствует позиция, поэтому вам нужно добавить точку пересечения к этому вектору, чтобы найти какую-то точку.

//i3, j3, k3 being the third vector's parameters
P3(i3+x2, j3+y2, k3+z2)

PS: Расстояние от вашего P2 до P3 определяется по определению (как работают перекрестные произведения) до площади параллелограмма, стороны которой являются двумя линиями, я нашел ссылку для иллюстрации:

Нормализация 3-го вектора сделает расстояние от P2 равным 1.

Community 8 Фев 2017 в 15:08

cross product даст вам вектор, перпендикулярный плоскости, описываемой двумя другими векторами, в псевдо- код:

normal = cross(normalize(P1-P2), normalize(P3-P2))

Поскольку вы определили P2 как точку пересечения, вы можете просто добавить этот вектор нормали к P2, чтобы получить перпендикулярную точку.

melak47 13 Мар 2016 в 12:58

Если у вас есть линия AB , то произвольная точка C всегда будет перпендикулярна AB IFF треугольник ABC не имеет угол больше π / 2

Это означает, что на линии AB всегда будет точка D , такая что CD перпендикулярна AB .

Adl A 13 Мар 2016 в 13:32

12,5 линий и плоскостей

Линии и плоскости, пожалуй, самые простые из кривых и поверхностей в трехмерное пространство. Они также окажутся важными, поскольку мы стремимся понимать более сложные кривые и поверхности.

Уравнение прямой в двух измерениях: $ ax + by = c $; это разумно ожидать, что линия в трех измерениях задано $ ax + by + cz = d $; разумно, но неверно — оказывается, что это уравнение плоскости.

Самолет не имеет очевидного «направления», как линия.это можно очень удобно связать плоскость с направлением, однако: есть ровно два направления, перпендикулярных к самолет. Любой вектор с одним из этих двух направлений называется нормальный к самолету. Итак, хотя есть много нормальных векторов к данной плоскости, все они параллельно или антипараллельно друг другу.

Предположим, что две точки $ \ ds (v_1, v_2, v_3) $ и $ \ ds (w_1, w_2, w_3) $ находятся на плоскости; то вектор $ \ ds \ langle w_1-v_1, w_2-v_2, w_3-v_3 \ rangle $ параллелен к самолету; в частности, если этот вектор поместить хвостом в $ \ ds (v_1, v_2, v_3) $, то его голова находится в $ \ ds (w_1, w_2, w_3) $, и он лежит в самолет.В результате любой вектор, перпендикулярный плоскости, равен перпендикулярно к $ \ ds \ langle w_1-v_1, w_2-v_2, w_3-v_3 \ rangle $. Фактически, это Нетрудно заметить, что плоскость состоит из , а именно из тех точек $ \ ds (w_1, w_2, w_3) $, для которого $ \ ds \ langle w_1-v_1, w_2-v_2, w_3-v_3 \ rangle $ перпендикулярно нормали к плоскости, как указано в рисунок 12.5.1. То есть предположим мы знаем, что $ \ langle a, b, c \ rangle $ нормально к плоскости, содержащей точка $ \ ds (v_1, v_2, v_3) $. Тогда $ (x, y, z) $ находится в плоскости тогда и только тогда, когда если $ \ langle a, b, c \ rangle $ перпендикулярно $ \ ds \ langle x-v_1, y-v_2, z-v_3 \ rangle $.В свою очередь, мы знаем, что это правда именно тогда, когда $ \ ds \ langle a, b, c \ rangle \ cdot \ langle x-v_1, y-v_2, z-v_3 \ rangle = 0 $. Таким образом, $ (x, y, z) $ находится в плоскости, если и только если $$ \ eqalign { \ langle a, b, c \ rangle \ cdot \ langle x-v_1, y-v_2, z-v_3 \ rangle & = 0 \ cr а (x-v_1) + b (y-v_2) + c (z-v_3) & = 0 \ cr ax + by + cz-av_1-bv_2-cv_3 & = 0 \ cr ax + by + cz & = av_1 + bv_2 + cv_3. \ cr } $$ Работая в обратном направлении, обратите внимание, что если $ (x, y, z) $ — точка, удовлетворяющая $ ax + by + cz = d $, тогда $$ \ eqalign { ах + по + cz & = d \ cr ах + по + cz-d & = 0 \ cr a (x-d / a) + b (y-0) + c (z-0) & = 0 \ cr \ langle a, b, c \ rangle \ cdot \ langle x-d / a, y, z \ rangle & = 0.\ cr } $$ А именно, $ \ langle a, b, c \ rangle $ перпендикулярно вектору с хвост в точке $ (d / a, 0,0) $ и голова в точке $ (x, y, z) $. Это означает, что точки $ (x, y, z) $, которые удовлетворяют уравнению $ ax + by + cz = d $, образуют плоскость перпендикулярно $ \ langle a, b, c \ rangle $. (Это не работают, если $ a = 0 $, но в этом случае мы можем использовать $ b $ или $ c $ в роли $ a $. То есть либо $ a (x-0) + b (y-d / b) + c (z-0) = 0 $, либо $ a (x-0) + b (y-0) + c (z-d / c) = 0 $.)

Рисунок 12.5.1. Плоскость, определяемая векторами, перпендикулярными нормали.

Таким образом, по вектору $ \ langle a, b, c \ rangle $ мы знаем, что все плоскости перпендикулярные этому вектору имеют вид $ ax + by + cz = d $, а любая поверхность этой формы — плоскость, перпендикулярная к $ \ langle a, b, c \ rangle $.

Пример 12.5.1 Найдите уравнение плоскости, перпендикулярной $ \ langle 1,2,3 \ rangle $. и содержащий точку $ (5,0,7) $.

Используя вывод выше, плоскость равна $ 1x + 2y + 3z = 1 \ cdot5 + 2 \ cdot0 + 3 \ cdot7 = 26 $. Поочередно мы знать, что плоскость равна $ x + 2y + 3z = d $, и чтобы найти $ d $, мы можем заменить известная точка на плоскости, чтобы получить $ 5 + 2 \ cdot0 + 3 \ cdot7 = d $, поэтому $ d = 26 $.Мы также могли бы записать это просто как $ (x-5) +2 (y) +3 (z-7) = 0 $, что для много целей прекрасное представление; его всегда можно приумножить чтобы дать $ x + 2y + 3z = 26 $. $ \ квадрат $

Пример 12.5.2 Найдите вектор, нормальный к плоскости $ 2x-3y + z = 15 $.

Один из примеров — $ \ langle 2, -3,1 \ rangle $. Любой вектор, параллельный или антипараллельно с этим тоже работает, например, $ -2 \ langle 2, -3,1 \ rangle = \ langle -4,6, -2 \ rangle $ также перпендикулярно плоскости. $ \ квадрат $

Нам часто нужно будет найти уравнение для плоскости при определенных информация о самолете.Хотя иногда может быть немного короче способы добраться до желаемого результата, это всегда возможно, и обычно рекомендуется использовать данную информацию, чтобы найти нормальный плоскости и точки на плоскости, а затем найти уравнение как выше.

Пример 12.5.3 Плоскости $ x-z = 1 $ и $ y + 2z = 3 $ пересекаются по прямой. Найди третья плоскость, которая содержит эту линию и перпендикулярна плоскости $ x + y-2z = 1 $.

Прежде всего отметим, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны.Таким образом, ищем вектор $ \ langle a, b, c \ rangle $, то есть перпендикулярно к $ \ langle 1,1, -2 \ rangle $. Кроме того, поскольку желаемая плоскость должна содержать определенную линию, $ \ langle a, b, c \ rangle $ должны быть перпендикулярны любому вектору, параллельному этому линия. Поскольку $ \ langle a, b, c \ rangle $ должны быть перпендикулярны двум векторам, мы можем найти это по вычисление перекрестного произведения двух. Итак, нам нужна векторная параллель до линии пересечения данных плоскостей. Для этого достаточно знать две точки на линии.Чтобы найти две точки на этой линии, мы должен найти две точки, которые одновременно находятся на двух плоскостях, $ x-z = 1 $ и $ y + 2z = 3 $. Любая точка на обеих плоскостях удовлетворит $ x-z = 1 $ и $ y + 2z = 3 $. Легко найти значения для $ x $ и $ z $ удовлетворяющие первому, например, $ x = 1, z = 0 $ и $ x = 2, z = 1 $. потом мы можем найти соответствующие значения для $ y $, используя второе уравнение, а именно $ y = 3 $ и $ y = 1 $, поэтому $ (1,3,0) $ и $ (2,1,1) $ оба на линии пересечения, потому что оба находятся на обеих плоскостях. Теперь $ \ langle 2-1,1-3,1-0 \ rangle = \ langle 1, -2,1 \ rangle $ параллельно линия.Наконец, мы можем выбрать $ \ langle a, b, c \ rangle = \ langle 1,1, -2 \ rangle \ times \ langle 1, -2,1 \ rangle = \ langle -3, -3, -3 \ rangle $. Хотя этот вектор отлично подойдет, любой вектор, параллельный или антипараллельность к нему тоже будет работать, поэтому, например, мы можем выбрать $ \ langle 1,1,1 \ rangle $, антипараллельно ему.

Теперь мы знаем, что $ \ langle 1,1,1 \ rangle $ нормальна к искомой плоскости. а $ (2,1,1) $ — точка на плоскости. Следовательно, уравнение Самолет $ x + y + z = 4 $. В качестве быстрой проверки, поскольку $ (1,3,0) $ также находится на линия, она должна быть на плоскости; так как $ 1 + 3 + 0 = 4 $, мы видим, что это действительно так.

Обратите внимание, что если бы мы использовали $ \ langle -3, -3, -3 \ rangle $ как нормальные, мы открыли бы уравнение $ -3x-3y-3z = -12 $, тогда мы могли бы заметили, что мы можем разделить обе стороны на $ -3 $, чтобы получить эквивалент $ x + y + z = 4 $. $ \ квадрат $

Итак, теперь мы понимаем уравнения плоскостей; давайте обратимся к линий. К сожалению, оказывается довольно неудобно представляют собой типичную линию с одним уравнением; нам нужно подойти линии по-другому.

В отличие от самолета, трехмерная линия имеет очевидную направление, а именно направление любого параллельного ему вектора.По факту линию можно определить и однозначно идентифицировать, указав одну точку на прямой и вектор, параллельный прямой (в одном из двух возможных направления). То есть линия состоит именно из тех точек, которые мы можем добраться, начав с точки и пройдя некоторое расстояние в направление вектора. Давайте посмотрим, как мы можем перевести это на большее математический язык.

Предположим, что линия содержит точку $ \ ds (v_1, v_2, v_3) $ и параллельна к вектору $ \ langle a, b, c \ rangle $; мы называем $ \ langle a, b, c \ rangle $ a вектор направления для линии.Если поместить вектор $ \ ds \ langle v_1, v_2, v_3 \ rangle $ хвостом в начале координат и головой в $ \ ds (v_1, v_2, v_3) $, а если поместить вектор $ \ langle a, b, c \ rangle $ хвостом в точке $ \ ds (v_1, v_2, v_3) $, затем голова $ \ langle a, b, c \ rangle $ находится в точке на линии. Мы можем добраться до любой точки на линии, проделав то же самое, за исключением использования $ t \ langle a, b, c \ rangle $ вместо $ \ langle a, b, c \ rangle $, где $ t $ какое-то реальное число. Из-за того, как работает сложение векторов, точка в голове вектора $ t \ langle a, b, c \ rangle $ — это точка во главе вектора $ \ ds \ langle v_1, v_2, v_3 \ rangle + t \ langle a, b, c \ rangle $, а именно $ \ ds (v_1 + ta, v_2 + tb, v_3 + tc) $; видеть рисунок 12.5.2.

Рисунок 12.5.2. Векторная форма линии.

Другими словами, когда $ t $ пробегает все возможные действительные значения, вектор $ \ ds \ langle v_1, v_2, v_3 \ rangle + t \ langle a, b, c \ rangle $ указывает на каждая точка на линии, когда ее хвост находится в начале координат. Другой распространенный способ написать это как набор параметрических уравнений : $$ x = v_1 + ta \ qquad y = v_2 + tb \ qquad z = v_3 + tc. $$ Иногда бывает полезно использовать эту форму линии даже в двух Габаритные размеры; векторная форма для прямой в плоскости $ x $ — $ y $ имеет вид $ \ ds \ langle v_1, v_2 \ rangle + t \ langle a, b \ rangle $, что совпадает с $ \ ds \ langle v_1, v_2,0 \ rangle + t \ langle a, b, 0 \ rangle $.

Пример 12.5.4 Найдите векторное выражение для линии, проходящей через $ (6,1, -3) $ и $ (2,4,5) $. Чтобы получить вектор, параллельный прямой, вычтем $ \ langle 6,1, -3 \ rangle- \ langle2,4,5 \ rangle = \ langle 4, -3, -8 \ rangle $. Линия тогда задается как $ \ langle 2,4,5 \ rangle + t \ langle 4, -3, -8 \ rangle $; там конечно, есть много других возможностей, например $ \ langle 6,1, -3 \ rangle + t \ langle 4, -3, -8 \ rangle $. $ \ квадрат $

Пример 12.5.5 Определите, соответствуют ли линии $ \ langle 1,1,1 \ rangle + t \ langle 1,2, -1 \ rangle $ и $ \ langle 3,2,1 \ rangle + t \ langle -1, -5,3 \ rangle $ параллельны, пересекаются или ни один.

В двух измерениях две линии либо пересекаются, либо параллельны; в В трех измерениях линии, которые не пересекаются, могут не быть параллельны. В этом случае, поскольку векторы направления для линий не параллельные или антипараллельные, мы знаем, что линии не параллельны. Если они пересекаются, должно быть два значения $ a $ и $ b $, чтобы $ \ langle 1,1,1 \ rangle + a \ langle 1,2, -1 \ rangle = \ langle 3,2,1 \ rangle + b \ langle -1, -5,3 \ rangle $, то есть $$ \ eqalign { 1 + a & = 3-b \ cr 1 + 2a & = 2-5b \ cr 1-а & = 1 + 3b \ cr } $$ Это дает три уравнения с двумя неизвестными, поэтому может быть, а может и не быть решение в целом.В этом случае легко обнаружить, что $ a = 3 $ и $ b = -1 $ удовлетворяет всем трем уравнениям, поэтому прямые пересекаются в точка $ (4,7; -2) $. $ \ квадрат $

Пример 12.5.6 Найти расстояние от точки $ (1,2,3) $ до плоскости. $ 2x-y + 3z = 5 $. Расстояние от точки $ P $ до плоскости — кратчайшее. расстояние от $ P $ до любой точки на плоскости; это расстояние, отсчитываемое от $ P $ перпендикулярно плоскости; видеть рисунок 12.5.3. Это расстояние — модуль скалярной проекции $ \ ds \ overrightarrow {\ strut QP} $ на вектор нормали $ \ bf n $, где $ Q $ — любая точка на плоскости.На плоскости легко найти точку, скажем, $ (1,0,1) $. Таким образом, расстояние $$ {\ overrightarrow {\ strut QP} \ cdot {\ bf n} \ over | {\ bf n} |} = {\ langle 0,2,2 \ rangle \ cdot \ langle 2, -1,3 \ rangle \ over | \ langle 2, -1,3 \ rangle |} = {4 \ over \ sqrt {14}}. $$ $ \ квадрат $

Рисунок 12.5.3. Расстояние от точки до плоскости.

Пример 12.5.7 Найдите расстояние от точки $ (- 1,2,1) $ до линии. $ \ langle 1,1,1 \ rangle + t \ langle 2,3, -1 \ rangle $. Снова мы хотим расстояние измеряется перпендикулярно линии, как указано в рисунок 12.5.4. Желаемое расстояние $$ | \ overrightarrow {\ strut QP} | \ sin \ theta = {| \ overrightarrow {\ strut QP} \ times {\ bf A} | \ over | {\ bf A} |}, $$ где $ \ bf A $ — любой вектор, параллельный прямой. Из уравнения строку, мы можем использовать $ Q = (1,1,1) $ и $ {\ bf A} = \ langle 2,3, -1 \ rangle $, поэтому расстояние $$ {| \ langle -2,1,0 \ rangle \ times \ langle2,3, -1 \ rangle | \ over \ sqrt {14}} = {| \ langle-1, -2, -8 \ rangle | \ over \ sqrt {14}} = {\ sqrt {69} \ over \ sqrt {14}}. $$ $ \ квадрат $

Рисунок 12.5.4. Расстояние от точки до линии.

Упражнения 12,5

Вы можете использовать Sage для вычисления расстояний до линий и плоскостей, так как это просто включает в себя векторную арифметику, которую мы уже видели. Конечно, вы также можете использовать Sage для выполнения некоторых вычислений, связанных с нахождение уравнений плоскостей и прямых.

Пр. 12.5.1 Найдите уравнение плоскости, содержащее $ (6,2,1) $ и перпендикулярно $ \ langle 1,1,1 \ rangle $. (отвечать)

Пр. 12.5.2 Найдите уравнение плоскости, содержащее $ (- 1,2, -3) $ и перпендикулярно $ \ langle 4,5, -1 \ rangle $.(отвечать)

Пр. 12.5.3 Найдите уравнение плоскости, содержащей $ (1,2, -3) $, $ (0,1, -2) $ и $ (1,2, -2) $. (отвечать)

Пр. 12.5.4 Найдите уравнение плоскости, содержащей $ (1,0,0) $, $ (4,2,0) $ и $ (3,2,1) $. (отвечать)

Пример 12.5.5 Найдите уравнение плоскости, содержащей $ (1,0,0) $ и строка $ \ langle 1,0,2 \ rangle + t \ langle 3,2,1 \ rangle $. (отвечать)

Пример 12.5.6 Найдите уравнение плоскости, содержащей линию пересечение $ x + y + z = 1 $ и $ x-y + 2z = 2 $ и перпендикулярно самолет $ 2x + 3y-z = 4 $.(отвечать)

Пример 12.5.7 Найдите уравнение плоскости, содержащей линию пересечение $ x + 2y-z = 3 $ и $ 3x-y + 4z = 7 $ и перпендикулярно самолет $ 6x-y + 3z = 16 $. (отвечать)

Пример 12.5.8 Найдите уравнение плоскости, содержащей линию пересечение $ x + 3y-z = 6 $ и $ 2x + 2y-3z = 8 $ и перпендикулярно самолет $ 3x + y-z = 11 $. (отвечать)

Пример 12.5.9 Найдите уравнение прямой, проходящей через $ (1,0,3) $ и $ (1,2,4) $. (отвечать)

Пр. 12.5,10 Найдите уравнение прямой, проходящей через $ (1,0,3) $ и перпендикулярно плоскости $ x + 2y-z = 1 $. (отвечать)

Пр. 12.5.11 Найдите уравнение прямой, проходящей через начало координат и перпендикулярно плоскости $ x + y-z = 2 $. (отвечать)

Пр. 12.5.12 Найдите $ a $ и $ c $ так, чтобы $ (a, 1, c) $ находился на линии, проходящей через $ (0,2,3) $ и $ (2,7,5) $. (отвечать)

Пр. 12.5.13 Объясните, как найти решение в пример 12.5.5.

Пр. 12.5,14 Определите, соответствуют ли линии $ \ langle 1,3, -1 \ rangle + t \ langle 1,1,0 \ rangle $ и $ \ langle 0,0,0 \ rangle + t \ langle 1,4,5 \ rangle $ — это параллельно, пересекаются или ни то, ни другое. (отвечать)

Пр. 12.5.15 Определите, соответствуют ли линии $ \ langle 1,0,2 \ rangle + t \ langle -1, -1,2 \ rangle $ и $ \ langle 4,4,2 \ rangle + t \ langle 2,2, -4 \ rangle $ являются параллельно, пересекаются или ни то, ни другое. (отвечать)

Пример 12.5.16 Определите, соответствуют ли линии $ \ langle 1,2, -1 \ rangle + t \ langle 1,2,3 \ rangle $ и $ \ langle 1,0,1 \ rangle + t \ langle 2 / 3,2,4 / 3 \ rangle $ — это параллельно, пересекаются или ни то, ни другое.(отвечать)

Пр. 12.5.17 Определите, соответствуют ли линии $ \ langle 1,1,2 \ rangle + t \ langle 1,2, -3 \ rangle $ и $ \ langle 2,3, -1 \ rangle + t \ langle 2,4, -6 \ rangle $ — это параллельно, пересекаются или ни то, ни другое. (отвечать)

Пр. 12.5.18 Найдите единичный вектор нормали к каждой из координатных плоскостей.

Пр. 12.5.19 Покажите, что $ \ langle 2,1,3 \ rangle + t \ langle 1,1,2 \ rangle $ и $ \ langle 3, 2, 5 \ rangle + s \ langle 2, 2, 4 \ rangle $ одинаковы линия.

Пример 12.5.20 Дайте краткое описание каждого из следующих процессов:

а. Учитывая две различные точки, найдите линию, которая проходит через них.

г. Учитывая три точки (не все на одной прямой), найдите самолет что проходит через них. Зачем нужен нюанс, что не все точки быть на одной линии?

г. Учитывая прямую и точку не на прямой, найдите плоскость, которая содержит их обоих.

г. Учитывая плоскость и точку не на плоскости, найдите прямую, которая перпендикулярна плоскости, проходящей через данную точку.

Пр. 12.5.21 Найдите расстояние от $ (2,2,2) $ до $ x + y + z = -1 $. (отвечать)

Пр. 12.5.22 Найдите расстояние от $ (2, -1, -1) $ до $ 2x-3y + z = 2 $. (отвечать)

Пример 12.5.23 Найти расстояние от $ (2, -1,1) $ до $ \ langle 2,2,0 \ rangle + t \ langle 1,2,3 \ rangle $. (отвечать)

Пр. 12.5.24 Найти расстояние от $ (1,0,1) $ до $ \ langle 3,2,1 \ rangle + t \ langle 2, -1, -2 \ rangle $. (отвечать)

Пр. 12.5,25 Найдите расстояние между линиями $ \ langle 5,3,1 \ rangle + t \ langle 2,4,3 \ rangle $ и $ \ langle 6,1,0 \ rangle + t \ langle 3,5,7 \ rangle $. (отвечать)

Пр. 12.5.26 Найдите расстояние между линиями $ \ langle 2,1,3 \ rangle + t \ langle -1,2, -3 \ rangle $ и $ \ langle 1, -3,4 \ rangle + t \ langle 4, -4,1 \ rangle $. (отвечать)

Пр. 12.5.27 Найдите расстояние между линиями $ \ langle 1,2,3 \ rangle + t \ langle 2, -1,3 \ rangle $ и $ \ langle 4,5,6 \ rangle + t \ langle -4,2, -6 \ rangle $.(отвечать)

Пр. 12.5.28 Найдите расстояние между линиями $ \ langle 3,2,1 \ rangle + t \ langle 1,4, -1 \ rangle $ и $ \ langle 3,1,3 \ rangle + t \ langle 2,8, -2 \ rangle $. (отвечать)

Пр. 12.5.29 Найдите косинус угла между плоскостями $ x + y + z = 2 $ и $ x + 2y + 3z = 8 $. (отвечать)

Пример 12.5.30 Найдите косинус угла между плоскостями $ x-y + 2z = 2 $ и $ 3x-2y + z = 5 $. (отвечать)

Найдите единичный вектор, перпендикулярный как вектору a, так и математике класса 11 CBSE

Подсказка: В перекрестном произведении (или векторном произведении) двух ненулевых векторов $ \ vec a $ и $ \ vec b $, результирующий вектор перпендикулярен к обоим векторам $ \ vec a $ и $ \ vec b $.
Итак, вы получили подсказку, чтобы найти вектор, перпендикулярный двум ненулевым векторам $ \ vec a $ и $ \ vec b $, мы должны найти перекрестное произведение этих двух векторов.
Помните, что результирующий вектор может быть или не быть единичным вектором.
Единичные векторы — это те векторы, величина которых равна 1.
Следовательно, найдите единичный вектор, разделив вектор на его величину.

Полный пошаговый ответ:
Шаг 1. Найдите перекрестное произведение $ \ vec a $ и $ \ vec b $.
$ \ hat a \ times \ hat b $ — определитель матрицы $ \ left [{\ begin {array} {* {20} {c}}
{\ hat i} & {\ hat j} & { \ hat k} \\
1 & {- 2} & 3 \\
1 & 2 & {- 1}
\ end {array}} \ right] $
$ \ hat a \ times \ hat b $ $ = \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}}
{\ hat i} & {\ hat j} & {\ hat k} \\
1 & {- 2} & 3 \\
1 & 2 & {- 1}
\ end {array}} \ right | $
\ [\ Rightarrow \ hat i \ left ({2-6} \ right) — \ hat j \ left ({- 1 — 3} \ right) + \ hat k \ left ({2 + 2} \ right) \]
\ [\ Rightarrow \ hat i \ left ({- 4} \ right) — \ hat j \ left ({- 4} \ right) + \ hat k \ left (4 \ right) \]
\ [\ Rightarrow — 4 \ hat i + 4 \ hat j + 4 \ hat k \]
Пусть $ \ vec c = \ hat a \ times \ hat b $
Шаг 2: Найдите единичный вектор $ \ hat c $:
\ [\ vec c = — 4 \ hat i + 4 \ hat j + 4 \ hat k \]
Величина \ [\ vec c \]:
$
\ left | {\ vec c} \ right | = \ sqrt {{{\ left ({- 4} \ right)} ^ 2} + {{\ left (4 \ right)} ^ 2} + {{\ left (4 \ right)} ^ 2}} \ \
\ Rightarrow {\ text {}} = \ sqrt {16 + 16 + 16} \\
\ Rightarrow {\ text {}} = 4 \ sqrt 3 \\
$
Единичный вектор $ \ hat c = \ dfrac {{\ vec c}} {{\ left | {\ vec c} \ right |}} $
Следовательно, $ \ hat c $ \ [= \ dfrac {{- 4 \ hat i + 4 \ hat j + 4 \ hat k}} {{4 \ sqrt 3} } \]
Итак, $ \ hat c $ \ [= — \ dfrac {1} {{\ sqrt 3}} \ hat i + \ dfrac {1} {{\ sqrt 3}} \ hat j + \ dfrac { 1} {{\ sqrt 3}} \ hat k \]
Единичный вектор, перпендикулярный как $ \ vec a $, так и $ \ vec b $, где $ \ vec a = \ hat i — 2 \ hat j + 3 \ hat k $ и $ \ vec b = \ hat i + 2 \ hat j — \ hat k $ равно \ [- \ dfrac {1} {{\ sqrt 3}} \ hat i + \ dfrac {1} {{\ sqrt 3}} \ hat j + \ dfrac {1} {{\ sqrt 3}} \ hat k \]. 2}} \]
\ [= \ sqrt {\ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {3} + \ dfrac {1} {3}} \]
\ [= \ sqrt {\ dfrac {3} {3}} = \ sqrt 1 \]

\ [= 1 \]
$ \ hat a \ times \ hat b = — \ left ({\ hat b \ times \ hat a} \ right) $.Итак, если вы вычислили $ \ hat b \ times \ hat a $$ = \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}}
{\ hat i} & {\ hat j} & {\ hat k} \\
1 & 2 & {- 1} \\
1 & {- 2} & 3
\ end {array}} \ right | $, результирующий вектор, т.е. \ [4 \ hat i — 4 \ hat j — 4 \ hat k \] по-прежнему будет вектором, перпендикулярным как $ \ vec a $, так и $ \ vec b $, но в направлении, противоположном $ \ hat a \ times \ hat b $.
Кроме того, произведение двух ненулевых векторов $ \ vec a $ и $ \ vec b $ является произведением модуля обоих векторов $ \ vec a $ и $ \ vec b $ и синуса угла между ними.то есть
$ \ hat a \ times \ hat b = \ left | {\ hat a} \ right | \ left | {\ hat b} \ right | \ sin \ theta {\ text {}} \ hat n $, где $ \ theta $ — острый угол между векторами $ \ vec a $ и $ \ vec b $. Здесь $ \ hat n $ — единичный вектор, перпендикулярный плоскости, содержащий векторы $ \ vec a $ и $ \ vec b $.

Параллельные векторы — объяснение и примеры

Скалярное умножение дает параллельных векторов. Это векторы, которые:

«имеют одинаковое или противоположное направление и являются скалярными кратными друг другу.”

В этом разделе мы обсудим следующие важные аспекты параллельных векторов:

Что такое параллельные векторы?
Как определить, параллельны ли два вектора.

Что такое параллельные векторы?

Обычно два параллельных вектора являются скалярными, кратными друг другу. Предположим, что два вектора a и b, определены как:

b = c * a

Где c — некоторое скалярное действительное число.В приведенном выше уравнении вектор b выражается как скалярное кратное векторам a, , и два вектора называются параллельными. Знак скаляра c будет определять направление вектора b. Если значение c положительное, c> 0, оба вектора будут иметь одинаковое направление. Если значение c отрицательное, то есть c <0, вектор b будет указывать в направлении, противоположном вектору a.

Аналогично, из приведенного выше уравнения вектор a может быть выражен как:

a = 1 / c * b

Таким образом, ясно, что они должны быть скалярными кратными друг другу для любые два вектора должны быть параллельны.Рассмотрим случай, когда значение c равно нулю. Тогда мы можем написать:

b = 0 * a

b = 0

Вектор b становится нулевым вектором в этом случае, и нулевой вектор считается параллельным каждому вектору .

Как определить, параллельны ли два вектора

Чтобы определить, параллельны ли два вектора или нет, мы проверяем, могут ли данные векторы быть выражены как скалярные кратные друг другу.Например, два вектора U и V параллельны, если существует действительное число t, такое, что:

U = t * V

Это число t может быть положительным, отрицательным, или ноль.

Примеры

В этом разделе мы обсудим примеры, связанные с параллельными векторами и их пошаговые решения. Это поможет глубже понять параллельные векторы.

Пример 1

Автомобиль движется с вектором скорости V1 = 30 м / с на север, а другой автомобиль движется на север с вектором скорости V2 = 60 м / с.Определите, параллельны два вектора скорости или нет.

Решение

У нас есть следующая информация:

V1 = 30 м / с, север

V2 = 60 м / с, север

Чтобы определить, параллельны ли заданные векторы или нет, мы проверяем, могут ли они быть кратными друг другу или нет. Мы можем связать два вектора следующим образом:

V2 = 2 * (30 м / с)

V2 = 2 * V1

V2 = 2 * (30 м / с)

Или,

V1 = 1/2 * V1

V1 = 1/2 * (60 м / с)

V1 = 30 м / с.

Поскольку данные векторы могут быть связаны друг с другом скалярным множителем 2 или 1/2, мы можем заключить, что два вектора скорости V1, и V2, параллельны друг другу.

Пример 2

Для двух векторов, S1 = (2, 3) и S2 = (10, 15), определите, параллельны два вектора или нет. Затем определите величину двух векторов.

Решение

Данные векторы S1 и S2 выражены в виде столбцов.Чтобы определить, являются ли они параллельными, мы можем проверить, могут ли их соответствующие компоненты быть выражены как скалярные кратные друг другу или нет.

S2 = (5 * 2, 5 * 3)

S2 = 5 * (2, 3)

S2 = 5 * S1

Или,

S1 = 1 / 5 * S2

Из приведенных выше уравнений очевидно, что векторы S1 и S2 являются скалярными, кратными друг другу, а коэффициент масштабирования равен 5 или 1/5.2

| S2 | = √100 + 225

| S2 | = √325

| S2 | = √25 * 13

| S2 | = 5 * √13

Величины двух векторов также связаны коэффициентами масштабирования.

Пример 3

Для двух векторов, P = (4, 6) и Q = (-2, -3), определите, параллельны два вектора или нет.

Решение

Данные векторы P и Q выражены в виде столбцов.Чтобы определить, являются ли они параллельными, мы можем проверить, могут ли их соответствующие компоненты быть выражены как скалярные кратные друг другу или нет.

P = (4, 6)

Q = (-2, -3)

P = -2 (-2, -3)

P = -2 * Q

Поскольку вектор P в 2 раза больше вектора Q , два вектора параллельны друг другу, а направление вектора Q противоположно направлению вектора P .

Пример 4

Обратитесь к изображению, приведенному ниже, и определите параллельные векторы.

Решение

Все четыре вектора, показанные на изображении, параллельны друг другу, потому что их можно выразить как скалярное кратное другим.

Чтобы проверить это, выразите векторы в их формах столбцов как:

A = (10,10) , вектор B = (-10, -10), C = (-5, -5) и D = (5, 5)

Сначала мы проверяем, параллельны ли векторы A и B .

Очевидно, что вектор B может быть выражен как:

B = (-10, -10)

B = -1 * (10,10)

Или,

B = -1 * A

Таким образом, векторы A, и B параллельны друг другу.

Затем мы проверяем векторы C и D как:

D = (5, 5)

C = -1 * (5,5)

C = -1 * D

Векторы C и D также являются скалярными кратными друг другу.

Аналогично проверяем взаимосвязь между оставшимися векторами:

B = 2 * C

B = — 2 * D

C = — 2 * A

D = 2 * A

Таким образом, из приведенных выше уравнений и данного изображения ясно, что все четыре вектора, A, , B, , C, и D, , параллельны друг другу.

Пример 5

Учитывая, что векторы A = (-4, 6) и B = (x, 12) являются параллельными векторами, определите значение x.

Решение

Поскольку векторы параллельны, мы знаем, что:

B = c * A

Где c — некоторое скалярное значение. Подстановка значений векторов дает нам:

(x, 12) = c * (-4, 6)

(x, 12) = (-4c, 6c)

Установив значения отдельных компонентов, равные каждому другое, мы получаем:

x = -4c

12 = 6c

Упрощение приведенных выше уравнений дает нам:

c = 2

Если мы поместим значение c в другое уравнение и упростим, мы получим:

x = -4 * 2

x = -8

Таким образом, вектор B становится:

B = (-8, 12).

Пример 6

Для вектора m = 5i + 6j +3 в ортогональной системе определите вектор, параллельный этому вектору, и укажите в противоположном направлении.

Решение

Рассмотрим вектор n , который является вектором, параллельным данному вектору m. Вектор n может быть выражен как:

n = k * m

n = k * (5i + 6j +3)

Где k — скалярное кратное вектора m . Кроме того, k может быть положительным, отрицательным или нулевым. Поскольку было указано, что данный вектор должен указывать в направлении, противоположном направлению м , k не должно быть положительным. То есть k <0. Если k = -3 и мы получаем:

n = -3 * (5i + 6j +3)

n = ((-3 * 5i + (-3 * 6j ) + (-3 * 3))

n = -15i -18j -9

Результирующий вектор n параллелен данному вектору и противоположен по направлению, хотя существует бесконечно много векторов, удовлетворяющих этому критерию .

Практические вопросы
Дан вектор M = 10 м, восток и второй вектор, 3 M, запад . Определите, параллельны два вектора или нет.
Для данного вектора N = 15 м северной широты, определите результирующий вектор, полученный умножением данного вектора на -4. Затем проверьте, параллельны ли два вектора друг другу или нет.
Пусть u = (-1, 4) и v = (n, 20) два параллельных вектора.Определите значение n.
Пусть v = (3, 9). Найдите 1/3 v и проверьте, параллельны ли два вектора или нет.
Дан вектор b = -3i + 2j +2 в ортогональной системе, найдите параллельный вектор.
Пусть a = (1, 2), b = (2, 3) и c = (2,4). Определите, параллельны ли данные векторы друг другу или нет.
Ответы
3 M = 30 м, и направление — запад.Ясно, что новый вектор параллелен вектору M , но его направление противоположно направлению вектора M .
-4 N = -60 м. Направление — юг. Два вектора действительно параллельны друг другу.
u = k * v , где k = 1/5 и n = -5, v = (-5, 20). Направление u и v остается прежним.
1/3 v = (1, 3), | v | = 3 * √10, | 1/3 v | = √10.Направление вектора 1/3 v такое же, как направление вектора v, , и два вектора параллельны друг другу.
5 b = -15i + 10j + 10 — один из бесконечного множества векторов, параллельных b .
Векторы a и c параллельны друг другу, но вектор b не параллелен ни одному из двух других.
Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок
MathScene — Векторы — Урок 5
MathScene — Векторы — Урок 5
2008 Расмус Эхф и Джанн Сак
Урок 5
Векторы и прямые
Пример 1:
Найдите один вектор, параллельный прямой y = 3x + 2, и второй вектор, который перпендикулярно линии
Мы начните с поиска двух точек, лежащих на линии.
Выберите x = 0 и найдите соответствующее значение y.
y = 30 + 2 = 2. Точка (0, 2) лежит на прямой.
Выбирать x = 1 и найдите y.
y = 31 + 2 = 5. Точка (1, 5) лежит на прямой.
Мы можем переписать уравнение линии в примере y = 3x + 2 в виде 3x y + 2 = 0, переместив y над знаком равенства и расположив так что сначала идет член в x, затем член в y и, наконец, постоянный срок.Обратите внимание, что коэффициенты при x и y, 3 и 1 такие же, как координаты вектора нормали .
Теперь покажем, что это верно для всех прямых линий.
Мы используем общий вид прямой: ax + by + c = 0.
Найдите две точки на прямой, сначала выбрав x = 0 и найдя y, а затем выбрав y = 0 и найдя x.
а0 + по + с = 0
y = c / b, если х = 0
топор + b0 + с = 0
x = c / a, если у = 0
Точки (0, c / b) и (c / a, 0) лежат на прямой.
Таким образом, вектор направления равен а нормальный вектор .
Обычно и проще работать с целыми числами. чем дроби, поэтому мы умножаем координаты векторов на ab / c. При выполнении при этом мы изменяем только длину векторов, но не направление. Векторы все еще параллельны или перпендикулярны линии.
Новый вектор направления будет и новый вектор нормали будет
Чтобы найти вектор направления или вектор нормали для прямой линии все, что нам нужно сделать, это написать уравнение в общем виде.Затем мы можем прочитать прямо из уравнения.
Общее уравнение прямой: ах + по + с = 0.
Нормальный вектор
Вектор направления
Мы можем использовать эти векторы, чтобы найти угол между прямыми линиями, используя скалярное произведение векторов.Угол между линиями такой же, как у угол между их векторами направления. Простая геометрия показывает, что угол между линиями также равен углу между их векторами нормали.
Пример 2:
Найдите угол v между прямыми l ₁ , с уравнением y = 3x + 2 и прямой l ₂ с уравнением y = x + 4 (см. Схему).
Приводя уравнения к общему виду, получаем: 3x y + 2 = 0 и x y + 2 = 0.
В нормальные векторы и
Длины нормальных векторов:
Мы теперь у нас есть вся необходимая информация, чтобы использовать скалярное произведение, чтобы найти угол v между нормальными векторами, которые равен углу между линиями.
v ≈ 26,6
Найдите вектор, который начинается в точке (1, 2) и перпендикулярно вектору
Если мы дадим конечную точку векторных координат (x, y), то увидим, что все векторы вида перпендикулярны данному вектору.
Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0, что означает, что мы можем записать следующее уравнение:
3 (х 1) + (1) (y 2) = 0
3х 3 года + 2 = 0
3х у 1 = 0
Это уравнение прямой, проходящей через точку (1, 2) с нормальным вектором
Это дает нам метод нахождения уравнения прямой, если мы знаем одна точка на линии и вектор нормали.
Уравнение прямой, проходящей через точку (x ₁, y ₁) и имеет вектор нормали это:
а (х — х ₁) + b (x — y ₁) = 0
Пример 3:
Найдите уравнение двух прямых l ₁ и l ₂ которые пересекаются в точке (3, 3).l ₁ параллельно и l ₂ перпендикулярна прямой 3x y + 2 = 0.
Вектор нормали l ₁ такой же, как и нормаль 3x y + 2 = 0, то есть .
Мы можем поместить эту информацию прямо в уравнение
а (х х ₁) + b (х y ₁) = 0
3 (х 3) + (1) (y 3) = 0
3х 9 лет + 3 = 0
3x y 6 = 0 (уравнение линии l ₁)
Вектор нормали для l ₂ совпадает с вектором направления из 3x y + 2 = 0, то есть .
Мы снова можем поместить эти значения в основное линейное уравнение
.
а (х х ₁) + b (х y ₁) = 0
1 (х 3) + 3 (y 3) = 0
х 3 + 3у 9 = 0
х + 3у 12 = 0 (уравнение прямой l ₂)
Наконец, давайте посмотрим на диаграмму.
Пример 4:
Найдите расстояние между параллельными прямыми 3x y + 2 = 0 и 3x y 6 = 0. (см. схему).
Выбираем любую точку, например (1, 5) на прямой 3x y + 2 = 0 и находим кратчайшее расстояние точки от другой линии
3x y 6 = 0. Это даст нам необходимое расстояние между двумя линиями.
Длина вектора нормали обычно не является требуемым расстоянием.
Из диаграммы мы видим, что в этом примере вектор нормали, , больше, чем расстояние между двумя линиями. Поэтому нам нужно найти число t, которое при умножении на , дает нам вектор точно нужной длины.
Назовите конечную точку вектора (во второй строке) (x, y). Теперь мы можем написать следующее векторное уравнение:
Это дает нам два уравнения, которые можно решить относительно x и y.
3t = х 1 а также t = y 5
х = 3т +1 y = т + 5
Точка (x, y) лежит на второй строке, поэтому мы можем поместить эти значения x и y в уравнение линии.
3x у 6 = 0
3 (3т + 1) (т + 5) 6 = 0
9т + 3 + т 5 6 = 0
10т = 8
т = 0,8
В пример 2 мы обнаружили, что длина была .
Следовательно, расстояние между двумя линиями равно t или необходимое расстояние 0,8
Теперь мы сделаем приведенный выше пример с буквами вместо цифр. Это ведет к очень полезная формула для определения расстояния точки от линии.
Общее уравнение прямой: ax + by + c = 0, и мы выбираем точку с координатами (x ₁, y ₁).
Теперь мы можем написать следующее уравнение:
Мы решаем это векторное уравнение относительно x и y.
ta = х х ₁ и tb = г г ₁
х = та + х ₁ у знак равно tb + у ₁
Подставляя эти значения в уравнение и решая для t:
ах + по + с = 0
а (та + x ₁) + b (tb + y ₁) + c = 0
та ² + ax ₁ + tb ² + по ₁ + c = 0
ta ² + tb ² = ax ₁ по ₁ с
т (а ² + б ²) = ax ₁ по ₁ с
Длина вектора нормали равна || ² = a ² + b ², поэтому мы можем переписать уравнение как:
т || ² = ax ₁ по ₁ c
Если разделить на || ² мы получаем значение t, которое мы можем умножить на длину нормального вектор .Нам нужно помнить, что длина не может быть отрицательной, поэтому мы используем абсолютное значение подписать.
т = | топор ₁ by ₁ c | / || ²
Если умножить на || получаем следующую формулу:
Расстояние до точки (x ₁, y ₁) с линии ax + by + c = 0 равно
или
Пример 5:
Теперь мы собираемся отразить точку (3, 5) на прямой 3x y 6 = 0 и найти точку отражения.
План такой. Сначала найдите вектор, перпендикулярный линии 3x y 6 = 0 из точки (3, 5) в точку
P = (x, y), лежащая на прямой. Это будет вектор нормали t (видеть диаграмму). Находим отраженную точку S, добавляя вектор t к вектор положения P.
Начнем с нахождения значения t тем же методом, что и в предыдущем. пример:
Решая эти два уравнения относительно x и y, мы получаем:
3t = х + 3 а также t = y 5
х = 3т 3 y = т + 5
Подставляя эти значения для x и y в уравнение, мы можем найти t.
3x у 6 = 0
3 (3т 3) (т + 5) 6 = 0
9т 9 + т 5 6 = 0
10т = 20
т = 2
Этот дает нам вектор а также мы можем найти координаты вектора положения P.
Теперь мы добавляем 2 ( т) к этому и получить вектор положения для S.
Координаты точки отражения: S = (9, 1)
Пример 6:
Найдите уравнения двух прямых l ₁ и l ₂ которые пересекаются в точке (3, 4) и параллельны векторам и соответственно.
Затем найдите уравнение биссектрисы угла между двумя прямыми.
Нормальные векторы l ₁ и l ₂ равны и
Таким образом, уравнение l ₁ имеет вид:
1 (х 3) 3 (y 4) = 0
х 3 3у + 12 = 0
х 3у + 9 = 0
а уравнение l ₂ равно
3 (х 3) 1 (y 4) = 0
3x 9 лет + 4 = 0
3х у 5 знак равно 0.
Все точки (x, y) на биссектрисе угла равноудалены от прямых l ₁ и l ₂. Таким образом, мы можем найти уравнение угла биссектриса, найдя расстояние (x, y) от каждой линии и приравняв их.
х + 3у 9 = (3х + у + 5)
из-за абсолютного значение
Это дает нам два уравнения.
х + 3х + 3у у 9 5 = 0 или х 3x + 3y + y 9 + 5 = 0
2х + 2у 14 = 0 4х + 4у 4 = 0
х + у 7 = 0 х у + 1 = 0
Есть два ответа, потому что есть два угла между линиями и следовательно, две биссектрисы угла (см. диаграмму).

Попробовать викторину 5 по векторам.
Не забудьте использовать контрольный список, чтобы отслеживать свою работу.
Пример 23 — Найдите единичный вектор, перпендикулярный a + b, a
Последнее обновление: 6 мая 2021 г., Teachoo

Выписка
Пример 23 Найдите единичный вектор, перпендикулярный каждому из векторов 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗ и 𝑎 ⃗ — 𝑏 ⃗, где 𝑎 ⃗ = 𝑖 ̂ + 𝑗 ̂ + 𝑘 ̂, b = 𝑖 ̂ + 2 𝑗 ̂ + 3𝑘 ̂.Нахождение (𝒂 ⃗ + 𝒃 ⃗) и (𝒂 ⃗ — 𝒃 ⃗) (𝒂 ⃗ + 𝒃 ⃗) = (1 + 1) 𝑖 ̂ + (1 + 2) 𝑗 ̂ + (1 + 3) 𝑘 ̂ = 2𝒊 ̂ + 3𝒋 ̂ + 4𝒌 ̂ (𝒂 ⃗ — 𝒃 ⃗) = (1 — 1) 𝑖 ̂ + (1-2) 𝑗 ̂ + (1-3) 𝑘 ̂ = 0𝒊 ̂ — 1𝒋 ̂ — 2𝒌 ̂ Теперь нам нужно найти вектор, перпендикулярный как 𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗, так и 𝑎 ⃗ — 𝑏 ⃗, Мы знаем это (𝑎 ⃗ × 𝑏 ⃗) перпендикулярно 𝑎 ⃗ и 𝑏 ⃗ Замена 𝑎 ⃗ на (𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗) и 𝑏 ⃗ на (𝑎 ⃗ — 𝑏 ⃗) (𝒂 ⃗ + 𝒃 ⃗) × (𝒂 ⃗ — 𝒃 ⃗) будет перпендикулярно (𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗) и (𝑎 ⃗ — 𝑏 ⃗) Пусть 𝑐 ⃗ = (𝑎 ⃗ + 𝑏 ⃗) × (𝑎 ⃗ — 𝑏 ⃗) 𝒄 ⃗ = | ■ 8 (𝑖 ̂ & 𝑗 ̂ & 𝑘 ̂ @ 2 & 3 & 4 @ 0 & −1 & −2) | = 𝑖 ̂ [(3 × −2) — (- 1 × 4)] −𝑗 ̂ [(2 × −2) — (0 × 4)] + 𝑘 ̂ [(2 × −1) — (0 × 3 )] = 𝑖 ̂ [−6 — (- 4)] −𝑗 ̂ [−4−0] + 𝑘 ̂ [−2−0] = 𝑖 ̂ (−6 + 4) −𝑗 ̂ (−4) + 𝑘 ̂ (−2) = −2𝒊 ̂ + 4𝒋 ̂ — 2𝒌 ̂ Поскольку нам нужно найти единичный вектор, перпендикулярный Единичный вектор ⃗ = 𝟏 / (𝑴𝒂𝒈𝒏𝒊𝒕𝒖𝒅𝒆 𝒐𝒇𝒄 ⃗) × 𝒄 ⃗ = 1 / √ ((- 2) 2 + (4) ^ 2 + (−2) 2) × (−2𝑖 ̂ + 4𝑗 ̂ — 2𝑘 ̂) = 1 / √ (4 + 16 + 4) × (−2𝑖 ̂ + 4𝑗 ̂ — 2𝑘 ̂) = 1 / (2√6) × (−2𝑖 ̂ + 4𝑗 ̂ — 2𝑘 ̂) = (−𝟏) / √𝟔 𝒊 ̂ + 𝟐 / √𝟔 𝒋 ̂ — 𝟏 / √𝟔 𝒌 ̂ Примечание: Всегда есть два перпендикулярных вектора Итак, другой вектор будет = — ((- 1) / √6 𝑖 ̂ «+» 2 / √6 𝑗 ̂ «-» 1 / √6 𝑘 ̂) = 𝟏 / √𝟔 𝒊 ̂ «-» 𝟐 / √𝟔 𝒋 ̂ «+» 𝟏 / √𝟔 𝒌 ̂ Следовательно, перпендикулярные векторы равны (−1) / √6 𝑖 ̂ + 2 / √6 𝑗 ̂ — 1 / √6 𝑘 ̂ & 1 / √6 𝑖 ̂ «-» 2 / √6 𝑗 ̂ «+» 1 / √ 6 𝑘 ̂
Показать больше
Разложение вектора на компоненты
Во многих приложениях необходимо разложить вектор на сумму двух перпендикулярных компонент вектора.Это верно для многих приложений физики, включающих силу, работу и другие векторные величины. Перпендикулярные векторы имеют скалярное произведение, равное нулю, и называются ортогональными векторами .
На рисунке 1 показаны векторы u и v с вектором u , разложенным на ортогональные компоненты w ₁ и w ₂.
Вектор u теперь можно записать как u = w ₁ + w ₂, где w ₁ параллельно вектору v , а w ₁ перпендикулярно / ортогонально w ₂.Компонента вектора w ₁ также называется проекцией вектора u на вектор v , proj _v u .
Proj _v u можно рассчитать следующим образом:
ПРОЕКЦИЯ U ONTO V:
Пусть u и v ненулевые векторы:
ujv u = vv2] v

Как только компонент вектора proj _v u найден, поскольку u = w ₁ + w ₂, вектор компонента w ₂ может быть найден путем вычитания w ₁ из u .
w ₂ = u — w ₁
Давайте рассмотрим несколько примеров.
Для работы этих примеров требуется использование различных векторных правил. Если вы не знакомы с правилом, перейдите к соответствующей теме для обзора.
Пример 1: Пусть u = 〈- 2,2〉 и v = 〈3,5〉. Запишите вектор u как сумму двух ортогональных векторов, один из которых является проекцией u на v.
Шаг 1. Найдите proj _v u .
projvu = [u · v∥v∥2] v = w1
projvu = [u · v∥v∥2] v
projvu = [(- 2 · 3) + (2 · 5) 32 + 522] 〈3,5〉
projvu = [- 6 + 10342] 〈3,5〉
projvu = [434] 〈3,5〉 = [217] 〈3,5〉
projvu = 〈617,1017〉
Шаг 2: Найдите ортогональный компонент.
w ₂ = u — w ₁
w ₂ = u — w ₁
w2 = 〈- 2,2〉 — 〈617,1017〉
w2 = 〈(- 2−617), (2−1017)〉
w2 = 〈- 4017,2417〉
Шаг 3: Запишите вектор как сумму двух ортогональных векторов.
u = w ₁ + w ₂
u = w ₁ + w ₂
u = 〈617,1017〉 + 〈- 4017,2417〉
Пример 2: Для данного вектора u = 〈1,3〉 и v = 〈- 4,5〉 запишите u как сумму двух ортогональных векторов, один из которых является проекцией u на v.
Шаг 1. Найдите proj _v u .
projvu = [u · v∥v∥2] v = w1
projvu = [u · v∥v∥2] v
projvu = [(1 · −4) + (3 · 5) (- 4) 2 + 522] 〈- 4,5〉
projvu = [- 4 + 15412] 〈- 4,5〉
projvu = [1141] 〈- 4,5〉
projvu = 〈- 4441,5541〉
Шаг 2: Найдите ортогональный компонент.
w ₂ = u — w ₁
w ₂ = u — w ₁
w2 = 〈1,3〉 — 〈- 4441,5541〉
w2 = 〈(1 + 4441), (3−5541)〉
w2 = 〈8541,6841〉
Шаг 3: Запишите вектор как сумму двух ортогональных векторов.
u = w ₁ + w ₂
u = w ₁ + w ₂
u = 〈- 4441,5541〉 + 〈8541,6841〉
Независимость перпендикулярных составляющих движения
Вектор силы, направленный вверх и вправо, состоит из двух частей — верхней и правой.То есть, если вы тянете за объект в направлении вверх и вправо, то вы оказываете влияние на объект в двух разных направлениях — вверх и вправо. Эти две части двумерного вектора называются компонентами. Компонент описывает влияние одного вектора в заданном направлении. Любой вектор силы, действующий под углом к горизонтали, можно рассматривать как состоящий из двух частей или компонентов. Векторная сумма этих двух составляющих всегда равна силе под данным углом.Это показано на диаграмме ниже.
Любой вектор — будь то вектор силы, вектор смещения, вектор скорости и т. Д. — направленный под углом, можно рассматривать как состоящий из двух перпендикулярных компонентов. Эти два компонента могут быть представлены в виде катетов прямоугольного треугольника, образованного путем проецирования вектора на оси x и y.

Две перпендикулярные части или компоненты вектора не зависят друг от друга.Рассмотрим в качестве примера притяжение Фидо. Если горизонтальное притяжение Фидо увеличивается, то вправо Фидо ускоряется с большей скоростью; однако это большее горизонтальное притяжение не окажет никакого вертикального влияния на Фидо. Тяга в горизонтальном направлении с большей силой не поднимает Фидо вертикально над землей. Изменение горизонтальной составляющей не влияет на вертикальную составляющую. Это то, что подразумевается под фразой «перпендикулярные компоненты векторов независимы друг от друга». Изменение одного компонента не влияет на другой компонент.Изменение компонента повлияет на движение в этом конкретном направлении. Хотя изменение одного из компонентов изменит величину результирующей силы, оно не изменит величину другого компонента.

Результирующее движение самолета, летящего при боковом ветре, представляет собой комбинацию (или сумму) двух одновременных векторов скорости, перпендикулярных друг другу. Предположим, что самолет пытается лететь на север от Чикаго до границы с Канадой, просто направляя самолет строго на север.Если самолет встречает боковой ветер, направленный на запад, то результирующая скорость самолета будет северо-западной. Вектор северо-западной скорости состоит из двух составляющих — северной составляющей, обусловленной двигателем самолета (скорость в плоскости ), и западной составляющей, обусловленной боковым ветром (скорость ветра ). Эти два компонента не зависят друг от друга. Изменение одного из компонентов не повлияет на другой компонент. Например, если бы скорость ветра увеличилась, самолет по-прежнему будет покрывать землю в северном направлении с той же скоростью.Верно, что изменение скорости ветра заставило бы самолет двигаться дальше на запад; однако самолет все еще летит на север с той же скоростью. Перпендикулярные составляющие движения не влияют друг на друга.
Теперь представьте воздушный шар, спускающийся по воздуху к земле в присутствии ветра, дующего с востока. Предположим, что скорость нисходящего воздушного шара составляет 3 м / с, а ветер дует на восток со скоростью 4 м / с.Результирующая скорость воздушного шара будет комбинацией (то есть векторной суммой) этих двух одновременных и независимых векторов скорости. Воздушный шар будет двигаться вниз и на восток.
Если бы скорость ветра увеличилась, воздушный шар начал бы двигаться в восточном направлении быстрее, но его нисходящая скорость не изменилась бы. Если бы воздушный шар был расположен на высоте 60 метров над землей и двигался вниз со скоростью 3 м / с, то на преодоление этого вертикального расстояния потребовалось бы 20 секунд.
d = v • t Итак t = d / v = (60 м) / (3 м / с) = 20 секунд
В течение 20 секунд, необходимых воздушному шару, чтобы упасть с высоты 60 метров на землю, ветер будет нести шар в восточном направлении. При скорости ветра 4 м / с расстояние на восток за 20 секунд составит 80 метров. Если скорость ветра увеличится со значения 4 м / с до значения 6 м / с, то воздушному шару все равно потребуется 20 секунд, чтобы упасть на 60 метров вниз.На движение в нисходящем направлении влияют только нисходящие компоненты движения. Изменение горизонтальной составляющей движения (например, скорости восточного ветра) не повлияет на вертикальное движение. Перпендикулярные компоненты движения не зависят друг от друга. Изменение скорости восточного ветра от значения 4 м / с до значения 6 м / с приведет только к тому, что воздушный шар унесет на восток на расстояние 120 метров вместо первоначальных 80 метров.
В последнем разделе Урока 1 обсуждалась тема относительной скорости и движения речных судов.Лодка на реке часто плывет прямо через реку, перпендикулярно ее берегам. Однако из-за того, что поток воды (т. Е. Течение) движется параллельно берегу реки, лодка не садится на берег прямо напротив места старта. Результирующее движение лодки представляет собой комбинацию (т. Е. Векторную сумму) этих двух одновременных и независимых векторов скорости — скорости лодки плюс скорость реки. На диаграмме справа лодка изображена движущейся на восток через реку, в то время как река течет на юг.Лодка стартует в точке А и направляется к точке Б. Но из-за того, что река течет на юг, лодка достигает противоположного берега реки в точке С. Время, необходимое лодке, чтобы пересечь реку с одного берега на другой. другая сторона зависит от скорости лодки и ширины реки. Только компонент движения, направленный на восток, мог повлиять на время перехода на восток через реку.
Предположим, что скорость лодки 4 м / с, а скорость реки 3 м / с.Величина результирующей скорости может быть определена как 5 м / с с использованием теоремы Пифагора. Время, необходимое лодке для пересечения реки шириной 60 метров, будет зависеть от скорости лодки 4 м / с. Чтобы пересечь реку шириной 60 метров, потребуется 15 секунд.
d = v • t Итак t = d / v = (60 м) / (4 м / с) = 15 секунд
Скорость реки в южном направлении не влияет на время, необходимое лодке для движения в восточном направлении.Если течение увеличится так, что скорость реки станет 5 м / с, то все равно потребуется 15 секунд, чтобы пересечь реку. Перпендикулярные компоненты движения не зависят друг от друга. Увеличение скорости реки просто заставит лодку двигаться дальше в южном направлении в течение этих 15 секунд движения. Изменение компонента движения на юг влияет только на движение на юг.
Все векторы можно рассматривать как имеющие перпендикулярные компоненты.Фактически, любое движение под углом к горизонтали или вертикали можно рассматривать как два перпендикулярных движения, происходящих одновременно. Эти перпендикулярные компоненты движения происходят независимо друг от друга. Любая составляющая движения, происходящая строго в горизонтальном направлении, не будет влиять на движение в вертикальном направлении. Любое изменение в одном наборе этих компонентов не повлияет на другой набор. В Уроке 2 мы применим этот принцип к движению снарядов, которые обычно имеют как горизонтальное, так и вертикальное движение.

Проверьте свое понимание
1. Самолет летит на северо-запад из аэропорта О’Хара в Чикаго со скоростью 400 км / ч в направлении 150 градусов (то есть 30 градусов к северу от запада). Канадская граница расположена на расстоянии 1500 км к северу от Чикаго. Самолет прибудет в Канаду примерно через ____ часов.
а.0,13
г. 0,23
г. 0,27
г. 3,75
e. 4,33
ф. 6,49
г. 7,50
ч.Ни один из них даже близко не подходит.
2. Предположим, что рассматриваемый самолет 1 летел со скоростью 358 км / ч в направлении 146 градусов (т. Е. 34 градуса к северу от запада). Если канадская граница все еще находится на расстоянии 1500 км к северу от Чикаго, то сколько времени потребуется, чтобы пересечь границу?
3. ИСТИНА или ЛОЖЬ :
Лодка плывет прямо через реку. Река течет на север со скоростью 3 м / с. Если бы течение реки было больше, то время, необходимое лодке для достижения противоположного берега, не изменилось бы.
а. Правда
г. Ложь
4. Лодка начинается в точке А и направляется прямо через реку шириной 60 метров со скоростью 4 м / с (относительно воды).Речная вода течет на север со скоростью 3 м / с (относительно берега). Лодка достигает противоположного берега в точке C. Что из перечисленного может привести к тому, что лодка достигнет противоположного берега в точке ЮЖЬ от C?
а.

а.0,13	г. 0,23	г. 0,27
г. 3,75	e. 4,33	ф. 6,49
г. 7,50
ч.Ни один из них даже близко не подходит.

Как найти вектор перпендикулярный двум другим

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Понятие вектора и перпендикулярности векторов

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Как найти вектор перпендикулярный двум другим векторам. Как найти вектор, перпендикулярный вектору

Признак перпендикулярности через пропорциональность

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

6.9. Найти проекции векторов: и

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

Вектор перпендикулярен векторам найти модуль вектора

Понятие вектора и перпендикулярности векторов

Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение

Вектор перпендикулярный плоскости называется | Gadget-apple.ru

Нормальный вектор плоскости — определение, примеры, иллюстрации.

Координаты нормального вектора плоскости — нахождение координат нормального вектора плоскости по уравнению плоскости.

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов

Условие перпендикулярности на координатной плоскости

Нахождение вектора, перпендикулярного данному

Нахождение координат вектора, перпендикулярного двум заданным векторам

НАШ САЙТ РЕКОМЕНДУЕТ:

Как найти перпендикулярный вектор

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Свойства векторного произведения векторов

Перевозникова Михаила

1.3 Скалярное произведение векторов в координатах

Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:

Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):

Заключение

c++ — Нахождение точки, перпендикулярной двум пересекающимся линиям в 3D

3 ответа

12,5 линий и плоскостей

Упражнения 12,5

Найдите единичный вектор, перпендикулярный как вектору a, так и математике класса 11 CBSE

Параллельные векторы — объяснение и примеры

Что такое параллельные векторы?

Как определить, параллельны ли два вектора

Примеры

MathScene — Векторы — Урок 5

Урок 5

Пример 1:

Пример 2:

Пример 3:

Пример 4:

Пример 5:

Пример 6:

Пример 23 — Найдите единичный вектор, перпендикулярный a + b, a

Разложение вектора на компоненты

Независимость перпендикулярных составляющих движения

Проверьте свое понимание

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики