Учебный курс «Информатика»

Алгебра логики

Логические элементы

Построение комбинационных схем

Арифметико-логическое устройство

Моделирование памяти. Триггер

Вопросы и упражнения

     Современный этап промышленного развития характеризуется тем, что разработчики систем автоматики и вычислительной техники стремятся использовать функциональные модули, выполняющие определённые схемные задачи: логические преобразования, хранение информации и т.д. Конкретный вид электрической схемы, использованной для реализации заданной логической функции, как правило, не имеет существенного значения. Техническое устройство, реализующее логическую функцию, может рассматриваться просто как логический элемент, внутренняя структура которого не конкретизируется.     На принципиальных и функциональных схемах логический элемент

ИЛИ изображается прямоугольником с единицей в левом верхнем углу.

    Логический элемент ИЛИ предназначен для “вычисления” значения логического сложения. Работа этого логического элемента эквивалентна проверке составного условия со служебным словом “или”. Алгоритм работы логического элемента “или” записывается следующим образом: “Если А=1 или В=1, то f(А,В)=1, иначе f(А,В)=0”.     Логический элемент И предназначен для “вычисления” значения логического умножения. Работа этого логического элемента эквивалентна проверке составного условия со служебным словом “и”. Алгоритм работы логического элемента “и” записывается следующим образом: “Если А=1 и В=1, то f(А,В)=1, иначе f(А,В)=0”.     Изображение логических элементов

И на функциональных и принципиальных схемах выглядит так:

    Логические элементы НЕ изображаются с кружком, который называется индикатором уровня сигнала.

    Итак, нам известны три основных логических элемента И, ИЛИ, НЕ. Сигналы, вырабатываемые одним логическим элементом, можно подавать на вход другого элемента — это даёт возможность образовывать цепочки из отдельных логических элементов.
    Например:

    Каждую такую цепочку называют логическим устройством, а соответствующую схему — функциональной схемой. Функциональную схему, которую полностью можно описать таблицей истинности, называют комбинационной схемой.      Комбинационная схема — это схема, в которой значения входных переменных в текущий момент времени полностью определяют значения выходных переменных.     Комбинационные схемы строятся из элементарных логических элементов И, ИЛИ, НЕ, и более сложных элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др., соединяя их так, как это следует из логической функции. Рассмотрим элементы И-НЕ

и ИЛИ-НЕ:

    Логическая функция И-НЕ, которая представляет собой отрицание логического умножения, называется операцией Шеффера и кратко может быть записана в следующем виде:

    Логическая функция ИЛИ-НЕ, т.е. отрицание логического сложения, носит название «стрелка Пирса» и обозначается так:

    Связь операций И-НЕ и ИЛИ-НЕ с основными операциями алгебры логики устанавливается законами, открытыми английским математиком Августусом де Морганом (1806-1871) и поэтому носящими его имя. Первый из них устанавливает, что

отрицание логического умножения равносильно сумме отрицаний сомножителей:

    Второй закон показывает, что отрицание логического сложения равносильно произведению отрицаний слагаемых:

    Законы де Моргана сведены в таблицу законов алгебры логики.

Логические элементы

Мы с вами знаем следующие логические операции: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и инверсия (отрицание). Все эти операции используются в алгебре логики.

Сегодня на уроке мы с вами узнаем, что такое логический элемент, познакомимся с такими логическими элементами, как конъюнктор, дизъюнктор и инвертор. А также научимся находить выходные данные исходя из предоставленной электронной схемы.

Алгебра логики является незаменимым элементом в конструировании автоматических устройств, разработке аппаратных и программных средств информационных и коммуникационных технологий.

Мы с вами уже знаем, что любую информацию можно представить в дискретной форме. Дискретная форма – это форма представления, при которой информация преподнесена в виде фиксированного набора отдельных значений. То есть, например, последовательностью нулей и единиц. В свою очередь,

дискретные устройства – это устройства, которые обрабатывают дискретные значения (сигналы).

В свою очередь, логический элемент – это дискретный преобразователь, который выдаёт после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций.

Перед вами представлены условные обозначения (схемы) логических элементов, с помощью которых реализуется логическое умножение, логическое сложение и отрицание. Давайте разберёмся с каждой схемой отдельно.

Итак, первый логический элемент И (конъюнктор). С его помощью реализуется операция логического умножения. Рассмотрим его.

А – это входные данные первого элемента, B – второго, F – выходные данные. Вспомним таблицу истинности для конъюнкции.

Всевозможные входные данные А и B нам даны в первых двух столбцах. В третьем нам дан результат при выполнении конъюнкции – выходные данные. То есть значение F. Таким образом, можно сказать, что единица на выходе получится тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Или же, другими словами, в результате мы можем получить для F единицу тогда и только тогда, когда А и B равны единице.

Следующий логический элемент – ИЛИ (дизъюнктор).

Как вы уже, наверное, догадались, с его помощью реализуется операция логического сложения. И снова обратимся к таблице истинности для дизъюнкции.

В первых двух столбцах даны всевозможные входные данные для А и B. В третьем выходные данные, которые будут равны F. Исходя из этой таблицы можно сказать, что на выходе мы получим единицу тогда, когда хотя бы на одном входе будет единица. То есть, если А или B будет равно единице, то F также будет равно единице.

И последний логический элемент – НЕ (инвертор).

С его помощью реализуется операция отрицания.

Здесь всё просто. Снова нам понадобится таблица истинности для инверсии. Если на входе у нас элемент ноль, то на выходе будет единица, и наоборот. То есть, если А = 0, то F будет равно 1. И, если А = 1, то F = 0.

Также необходимо знать, что все компьютерные устройства, которые производят операции над двоичными числами, и ячейки, в которых хранятся данные, представляют собой электронные схемы. Они же в свою очередь состоят из отдельных логических операций.

А сейчас давайте попробуем проанализировать несколько электронных схем и узнать, какой сигнал получится на выходе.

Смотрим на первую схему.

В ней используется только один элемент А. Снова будем использовать таблицу истинности. В первый столбец внесём входные данные ноль и один. Во второй столбец будем вносить данные, которые получаются при конъюнкции, в третьей – при инверсии. Он же будет являться столбцом, который будет обозначать выходные данные.

Мы видим, что от А идут две прямые. Это говорит о том, что одни и те же данные будут идти в двух направлениях. Первая операция – конъюнкция. При конъюнкции получим те же данные, что и в самом начале.

Далее идёт операция отрицания. При исходных данных, равных нулю получаем единицу, и наоборот, при исходных данных, равных единице получаем ноль.

Таким образом в итоге мы получили Ā. То есть можно сказать, что F = Ā.

Рассмотрим ещё одну схему.

Она немного сложнее первой. Снова будем использовать таблицу истинности. Она будет состоять из 8 столбцов. В первых двух будут находится входные данные А и B. В третьем конъюнкция А, в четвёртом – конъюнкция B. В пятые и шестые столбцы запишем отрицания конъюнкций А и B соответственно. Для упрощения отрицания конъюнкций А и B запишем как Ā и . В седьмом будет находится конъюнкция Ā и . И в последнем отрицание конъюнкции Ā и .

Таким образом мы с вами переписали все операции со схемы в таблицу истинности. Нам осталось только заполнить таблицу соответствующими данными. Итак, при конъюнкции двух А мы получим такие же данные как и в первом столбце. Перепишем их.

Аналогично поступим и с конъюнкцией двух B. Только данные будем брать со второго столбца.

Пятый столбец – Ā. Преобразуем данные, находящиеся в третьем столбце. Необходимо помнить, что при исходных данных, равных нулю, мы получим единицу. А при исходных данных, равных единице, получим ноль.

Аналогично и с шестым столбцом, а данные будем брать с четвёртого.

Седьмой столбец – это конъюнкция Ā и . Данные будем брать из пятого и шестого столбцов. Мы с вами помним, что на выходе получим единицу тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Заполним таблицу.

И последняя операция – отрицание конъюнкции Ā и . Исходные данные будем брать из седьмого столбца. И снова нужно знать, что если исходные данные равны нулю, то на выходе мы получим один, и наоборот, если исходные данные равны единице, то на выходе получим ноль.

Таким образом мы с вами узнали, какие получатся выходные данные в нашей схеме. То есть данные из восьмого и есть наша F.

Если мы построим выражение исходя из таблицы истинности, то получим следующее:

И снова рассмотрим схему, но более простую.

Для начала составим логическое выражение. Будем идти справа налево. Последний логических элемент, который к нас изображён – это инвертор. В него поступают сигналы от дизъюнктора. В свою очередь в дизъюнктор поступают данные от входа А и входа Бэ. В результате мы получим следующее:

А сейчас давайте на основании этого логического выражения составим таблицу истинности и узнаем, какие данные получатся на выходе.

Таблица будет состоять из 4 столбцов. В первые два вносим исходные данные А и B соответственно. Далее мы будем выполнять дизъюнкцию, а затем инверсию. Это и будет являться заголовками наших столбцов.

Итак, первая операция – дизъюнкция. Мы с вами знаем, что на выходе мы получим единицу тогда, когда хотя бы на одном входе будет единица. Данные будем брать из первого и второго столбцов. Заполним третий столбец.

Для того, чтобы внести данные в четвёртый столбец, нам нужно брать входные данные из третьего. Если у нас входные данные равны нулю, то на выходе мы получим единицу, а если входные данные равны единицы, то на выходе будет ноль. Снова заполним таблицу.

В четвёртом столбце находятся выходные данные для нашего выражения F.

А сейчас давайте рассмотрим пример, в котором мы сами научимся строить электронную схему исходя из логического выражения. А также найдём выходные данные с помощью таблицы истинности.

Итак, наше выражение выглядит следующим образом:

Сначала будет выполняться конъюнкция А и B. Изобразим А и B.

От них проведём две прямых и нарисуем прямоугольник, который будет обозначать конъюнктор. Поставим внутри соответствующий знак.

Далее у нас идёт дизъюнкция конъюнкции А и B с C. Изобразим C.

Затем проведём от неё ломанную. От конъюнктора также проведём прямую. И снова нарисуем прямоугольник, который будет изображать дизъюнктор. Снова поставим внутри соответствующий знак.

Нам осталось изобразить инвертор. Проведём от правой стороны дизъюнктора прямую и на пересечении дизъюнктора и прямой нарисуем незакрашенный кружок. Над выходной прямой напишем букву F.

Мы построили электронную схему. Теперь осталось построить таблицу истинности и найти выходные данные.

Таблица будет состоять из 6 столбцов. В первых трёх запишем всевозможные входные данные для А, B и C.

Четвёртый столбец – конъюнкция А и B, пятый дизъюнкция конъюнкции А и B и переменной C. Шестой инверсия всего выражения.

Теперь осталось заполнить таблицу данными.

При конъюнкции на выходе единица будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Для заполнения четвёртого столбца будем брать данные из первого и второго. Внесём данные в соответствии с данными.

Пятый столбец – дизъюнкция. Данные будем брать из третьего и четвёртого столбцов. Заполним столбец в соответствии с правилом: на выходе будет единица тогда, когда хотя бы на одном входе будет единица.

И последний, шестой столбец – инверсия. Данные будем брать из пятого столбца. Если на входе у нас элемент ноль, то на выходе будет единица, и наоборот. Заполним столбец.

Данные этого столбца являются выходными данными построенной нами электронной схемы.

А теперь давайте исходя из таблицы истинности составим выражение, а исходя из выражения – построим электронную схему.

Нам дана таблица истинности, в которой записаны входные данные и операции, которые необходимо выполнить. Все операции указаны в порядке выполнения их в выражении. Для начала давайте заполним таблицу и найдём выходные данные.

Первая операция – дизъюнкция А и B. На выходе будет единица тогда, когда хотя бы на одном входе будет единица. Заполним четвёртый столбец исходя из данных первого и второго столбцов.

Вторая операция – инверсия C. Заполним пятый столбец исходя из данных третьего столбца. Необходимо помнить, что если входные данные равны нулю, то на выходе мы получим единицу. А если входные данные равны единице, то на выходе мы получим ноль. Внесём данные.

И последний столбец – конъюнкция дизъюнкции А или B и инверсии C. При выполнении конъюнкции мы с вами знаем, что на выходе единица будет тогда и только тогда, когда все входные данные равны единице. Заполним шестой столбец исходя из данных третьего и четвёртого столбцов.

Можно заметить, что всё наше выражение записано в шапке последнего шестого столбца. То есть, мы получим следующее:

Нам осталось построить электронную схему.

Запишем А и B и проведём от них прямые к прямоугольнику, который будет обозначать дизъюнктор. Обозначим это соответствующим символом.

Теперь нам нужно изобразить инвертор. Для этого от C идут ломанные к конъюнктору. А на пересечение прямой, которая выходит из конъюнктора изобразим кружок, который и будет изображать отрицание.

Теперь проводим кривые от дизъюнктора и конъюнктора к новому прямоугольнику. Он будет изображать конъюнктор. Обозначим его соответствующим знаком.

Проводим прямую из правой стороны крайнего конъюнктора, которая будет обозначать выходные данные. Обозначим её буквой F.

Мы выполнили с вами задание, в котором записали выражение исходя из таблицы истинности и построили электронную схему.

А сейчас пришла пора подвести итоги урока.

Сегодня мы с вами познакомились с такими логическими элементами, как конъюнктор, дизъюнктор и инвертор.

Научились исходя из схемы при помощи таблицы истинности определять, какие данные должны получиться на выходе, а также научились строить электронные схемы по данному выражению и таблице истинности.

Логические элементы компьютера

В 1938 году была опубликована магистерская диссертация (1937 года) Клода Шеннона «Символьный анализ реле и коммутаторов». В публикации Шеннон представил работу релейных схем с помощью булевой алгебры и двоичной арифметики, тем самым по сути заложив основы цифровой техники.

Устройства компьютера, предназначенные для выполнения арифметических и логических операций можно рассматривать как преобразователь, который получает на входы двоичные сигналы, а на выходе новую двоичную последовательность.

Определение. Дискретный преобразователь, который выдает после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называется логическим элементом (вентилем).

Логические элементы преобразуют сигнал в соответствие с таблицей состояния, которая по сути является таблицей истинности реализуемой логической функции.

Любую логическую функцию можно представить с помощью базиса «НЕ», «И» и «ИЛИ». Таким образом, для реализации сложных логических функций будет достаточно комбинаций трех элементов, реализующих указанные операции:

• Логический элемент «И» (конъюнктор) реализует операцию конъюнкции.
• Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) реализует операцию дизъюнкции.
• Логический элемент «НЕ» (инвертор) реализует операцию дизъюнкции.

В микроэлектронике базовыми также являются логические элементы «И-НЕ» и «ИЛИ-НЕ», которые соответственно реализуют функции штрих Шеффера и стрелка Пирса.

Для обозначения логических элементов в компьютерной схемотехнике используются несколько стандартов. Наиболее распространенными являются международный (IEC), российский (ГОСТ), американский (ANSI) и европейский (DIN).

Согласно ГОСТ 2.743-91 условные графические обозначения в электронных схемах простейших логических элементов выглядят следующим образом:

Небольшой кружок на выходе (или на входе) условного обозначения логического элемента означает операцию «НЕ».

Тема №5. Логические элементы компьютера.

Базовые логические элементы реализуют три основные логические операции:

• логический элемент «И» — логическое умножение
• логический элемент «ИЛИ» — логическое сложение
• логический элемент «НЕ» — инверсию

Так как любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех основных, то любые устройства компьютера, производящие обработку, либо хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов. У этих элементов два входа и один выход.

Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. Есть импульс — логическое значение сигнала — 1, нет импульса — 0.

Пример реализации логической схемы

Алгоритм реализации:

1) Определяем сколько переменных имеет данное выражение, следовательно столько входов будет иметь и наша схема. В данном случае это входы А, В, С

2) Реализуем с помощью базовых логических элементов основные операции в порядке их следования, а именно

I — инверсия переменных А, В, С реализуется с помощью базового логического элемента «НЕ»

II — реализуем логическое умножение, таких операций три, они реализуются с помощью логического элемента «И»

III — последняя операция логическое сложение реализуется с помощью логического элемента «ИЛИ»

На  выходе каждого элемента прописано логическое выражение, реализуемое данным элементом, что без труда позволит осуществить обратную задачу, а именно по готовой схеме прописать то логическое выражение, которое данная схема реализует.Y 

2. Прописать логическое выражение, которое реализует данная схема и построить её таблицу истинности.

Логические элементы компьютера

Основные логические элементы реализуют 3 основные логические операции:

• логическое умножение;
• логическое сложение;
• инверсию (отрицание).

Устройства компьютера, которые выполняют обработку и хранение информации, могут быть собраны из базовых логических элементов, у которых $2$ входа и $1$ выход. К логическим устройствам компьютера относятся группы переключателей, триггеры, сумматоры.

Связь между алгеброй логики и компьютерной техникой также лежит в двоичной системе счисления, которая используется в ЭВМ. Поэтому в устройствах ПК можно хранить и обрабатывать как числа, так и значения логических переменных.

Определение 1

Логический элемент компьютера – это часть электронной схемы, которая выполняет элементарную логическую функцию.

Переключательные схемы

В ЭВМ используются электрические схемы, которые состоят из большого количества переключателей. Переключатель, находясь в замкнутом состоянии ток пропускает, в разомкнутом – не пропускает. Работа таких схем удобно описывается при помощи алгебры логики. В зависимости от состояния переключателя можно регулировать получение или неполучение сигналов на выходах.

Вентили

Среди логических элементов компьютеров выделяют электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И–НЕ, ИЛИ–НЕ и другие (их называют вентили).

Эти схемы позволяют реализовать любую логическую функцию, которая описывает работу устройств ПК. Обычно вентили имеют $2–8$ входов и $1$ или $2$ выхода.

Для представления двух логических состояний ($1$ и $0$) в вентилях, входные и выходные сигналы имеют разные уровни напряжения. Например, $+3 \ B$ (вольт) для состояния $«1»$ и $0 \ B$ для состояния $«0»$.

У каждого логического элемента есть условное обозначение, выражающее его логическую функцию, но не указывающее на электронную схему, которая в нем реализована. Такой подход реализован для упрощения записи и понимания сложных логических схем.

Готовые работы на аналогичную тему

Работа логических элементов описывается таблицами истинности.

Рисунок 1.

Триггер

Триггеры и сумматоры состоят из вентилей.

Триггер – важнейшая структурная единица оперативной памяти ПК и внутренних регистров процессора.

Определение 2

Триггер – логическая схема, которая способна хранить $1$ бит информации ($1$ или $0$). Строится на $2$-х элементах ИЛИ–НЕ или на $2$-х элементах И–НЕ.

Рисунок 2.

Самый распространённый тип триггера – $RS$-триггер (Reset/Set), который имеет $2$ входа $S$ и $R$ и два выхода $Q$ и $\bar{Q}$. На каждый из входов $S$ и $R$ могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов (рис.3): есть импульс – $1$, нет импульса – $0$.

Рисунок 3. Кратковременный импульс

Сумматор

Сумматоры широко применяются в арифметико-логических устройствах процессора и отвечают за суммирование двоичных разрядов.

Определение 3

Сумматор – логическая схема, которая способна суммировать 2 одноразрядных двоичных числа с переносом из предыдущего разряда.

Рисунок 4.

Сумматор может находить применение и в других устройствах машины.

Для суммирования двоичных слов длиной от двух бит можно использовать последовательное соединение многоразрядных сумматоров, причём для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Пример реализации логической схемы

Рисунок 5.

Алгоритм реализации:

1. Определим количество переменных данного выражения, значит столько входов будет иметь схема. В данном случае это входы $A, B, C$.

2. С помощью базовых логических элементов реализуются основные операции в порядке их следования:

   I – инверсия переменных $A, B, C$ реализуется логическим элементом «НЕ»;

   II – логическое умножение реализуется логическим элементом «И»;

   III – логическое сложение реализуется логическим элементом «ИЛИ».

На выходе каждого элемента прописывается логическое выражение, которое реализуется данным элементом, что позволяет осуществить обратную задачу, т.е. по готовой схеме составить логическое выражение, которое реализует данная схема.

Логические элементы и узлы | Кабинет информатики

В настоящее время фундаментом всех компьютерных устройств являются двоичные электронные логические элементы. Поэтому понимание базовых идей их функционирования для представления об общей логике работы компьютера трудно переоценить.

Логические элементы

Может показаться, что для реализации сложных логических функций требуется большое разнообразие логических элементов. Тем не менее из теории логических функций следует, что достаточно очень небольшого базового набора, чтобы с помощью различных комбинаций, его составляющих, можно было получить абсолютно произвольную функцию (такой набор называется полным ¹). Базисный набор может быть сформирован различными способами, но чаще всего используется классическая “тройка” логических операций И, ИЛИ, НЕ. Именно эта “тройка” применяется в книгах по логике, а также во всех языках программирования: от машинных кодов до языков высокого уровня. Обозначения логических элементов ², реализующих соответствующие операции, показаны на схемах a–c. Соответствующие им таблицы истинности приведены в статье “Логические операции. Кванторы”.

Часто к указанному списку добавляют еще элемент “исключающее ИЛИ” (схема d), который позволяет сравнивать двоичные коды на совпадение. Данная операция имеет и другие практически полезные свойства, в частности, восстанавливает исходные данные в случае повторного применения, что удобно использовать, например, для временного наложения видеоизображений.

Классический базис не является единственным. Более того, на практике инженеры предпочитают альтернативный вариант на основе единственного комбинированного логического элемента И-НЕ (схема e). Несложно показать, что из элементов И-НЕ можно построить все примитивы классического базиса ³.

Отметим, что на практике логические элементы могут иметь не только два, но и значительно большее количество входов (для примера см. схему на с. 4).

Внутренняя электронная схема логического элемента может быть различной, более того, она может существенно совершенствоваться по мере развития технологий производства.

Изготовление логических микросхем прошло огромный путь — от одиночных логических элементов до больших интегральных схем (БИС) вплоть до микропроцессора. Уровень сложности БИС таков, что разобраться в их внутреннем устройстве для неспециалиста не то что нецелесообразно, а просто невозможно. В результате для понимания наиболее общих принципов работы современной ЭВМ удобнее и правильнее рассмотреть несколько типовых узлов, а изучение поведения отдельных БИС заменить изучением функциональной схемы компьютера.

В качестве характерных цифровых узлов выберем два наиболее важных и интересных — сумматор и триггер. Первый из них замечателен тем, что составляет основу арифметико-логического устройства процессора, а второй, будучи универсальным устройством для хранения одного бита информации, имеет еще более широкое применение — от регистров процессора до элементов памяти. Подчеркнем, что выбранные логические схемы принадлежат к разным типам. Так, выходные сигналы сумматора определяются исключительно установившимися на входе напряжениями и никак не зависят от поступавших ранее сигналов (в литературе такие схемы называют комбинационными). Состояние триггера, напротив, зависит от предыстории, т.е. схема имеет память.

Рассмотрим логическую схему сумматора. Для простоты ограничимся изучением работы отдельного двоичного разряда. В этом случае сумматор будет содержать три входа — бит первого слагаемого А, второго — В и перенос из предыдущего разряда Ci (обозначение происходит от английских слов Carry in — входной перенос), и два выхода — результирующая сумма S и выходной перенос Co (Carry out). Таблица истинности для полного одноразрядного сумматора имеет вид:

При построении практической схемы оказывается удобным сумматор представить в виде двух полусумматоров, первый из которых складывает разряды А и В, а второй к полученному результату прибавляет бит переноса из предыдущего разряда Ci. Таблица истинности для полусумматора значительно упрощается:

Несложный анализ таблицы показывает, что для реализации полусумматора достаточно соединить параллельно входы двух логических элементов: И и исключающее ИЛИ (см. схему a). Если скомбинировать два полусумматора, как показано на схеме b, то получится полный сумматор, способный осуществить сложение одного бита чисел с учетом возможности переноса.

Перейти к многоразрядным числам можно, например, путем последовательного соединения соответствующего количества сумматоров. Мы не будем обсуждать возникающие при этом проблемы ускорения процесса переноса в такой схеме: для того чтобы иметь некоторое представление о том, как компьютер производит вычисления, полученных знаний уже достаточно.

Стоит особо подчеркнуть, что сумматор играет важную роль в реализации не только сложения, но и других арифметических действий — он фактически является основой арифметического устройства современного компьютера.

Его схема приведена на рисунке, а таблица истинности имеет следующий вид:

Как видно из схемы выше, триггер собран из четырех логических элементов И-НЕ, причем два из них играют вспомогательную роль инверторов входных сигналов. Триггер имеет два входа, обозначенные на схеме R и S, а также два выхода, помеченные буквой Q, — прямой и инверсный (черта над Q у инверсного выхода означает отрицание). Триггер устроен таким образом, что на прямом и инверсном выходах сигналы всегда противоположны.

Как работает триггер? Пусть на входе R установлена 1, а на S — 0. Логические элементы D1 и D2 инвертируют эти сигналы, т.е. меняют их значения на противоположные. Поскольку на одном из входов D4 имеется 0, независимо от состояния другого входа на его выходе обязательно установится 1. Эта единица передается на вход элемента D3 и в сочетании с 1 на другом входе порождает на выходе D3 логический 0. Итак, при R = 1 и S = 0 на прямом выходе триггера устанавливается 0, а на инверсном — 1.

Обозначение состояния триггера по договоренности связывается с прямым выходом. Тогда при описанной выше комбинации входных сигналов результирующее состояние можно условно назвать нулевым: говорят, что триггер устанавливается в 0 или сбрасывается. Сброс по-английски называется Reset, отсюда вход, появление сигнала на котором приводит к сбросу триггера, принято обозначать буквой R.

Аналогичные рассуждения для “симметричного” случая R = 0 и S = 1 приводят к тому, что, наоборот, на прямом выходе получится логическая 1, а на инверсном — 0. Триггер перейдет в единичное состояние — установится (установка по-английски Set).

Проанализировав состояние схемы при отсутствии входных сигналов (рекомендуем читателям проделать это самостоятельно), убедимся, что триггер сохраняет свое “предыдущее” состояние, а значит, может служить устройством для хранения одного бита информации.

Комбинация входных сигналов R = 1 и S = 1 приводит к тому, что в этом случае на обоих выходах триггера установится 1! Такое состояние, помимо своей логической абсурдности, еще и является неустойчивым: после снятия входных сигналов триггер случайным образом перейдет в одно из своих устойчивых состояний. Вследствие этого комбинация R = 1 и S = 1 на практике не используется и является запрещенной.

Мы рассмотрели простейший RS-триггер. Существуют и другие разновидности этого интересного и полезного устройства. Все они различаются не столько принципом работы, сколько входной логикой, усложняющей “поведение” триггера.

Подобно тому, как объединяются для обработки двоичных чисел однобитовые схемы сумматоров, для хранения многоразрядных данных триггеры объединяются в единый блок, называемый регистром. Над регистром, как над единым целым, можно производить ряд стандартных операций: сбрасывать (обнулять), заносить в него код и некоторые другие. Часто регистры способны не просто хранить информацию, но и обрабатывать ее. Примером такого типа может служить регистр, который способен сдвигать находящийся в нем двоичный код, или регистр, подсчитывающий количество поступающих импульсов, — счетчик.

С выходов триггеров регистра сигналы могут поступать на другие цифровые устройства. Особый интерес с точки зрения принципов функционирования компьютера представляет схема анализа равенства (или неравенства) регистра нулю, которая позволяет организовать по этому признаку условный переход. Для n-разрядного двоичного регистра потребуется n-входовый элемент И (см. схему), сигналы для которого удобнее снимать с инверсных выходов триггеров. Фактически такая схема анализа выполняет комбинированную логическую операцию НЕ-И.

z = 0 — результат равен 0
z = 1 — результат не равен 0

В самом деле, пусть содержимое всех битов регистра равно 0. Тогда на входы элемента И с инверсных выходов триггеров поступают все 1 и результат z = 1. Если хотя бы один из разрядов отличен
от 0, то с его инверсного выхода снимается 0 и этого, как известно, уже достаточно, чтобы получить выходной сигнал z = 0 независимо от состояния всех остальных входов элемента И.

Заметим, что проверку знака числа реализовать еще проще — достаточно проанализировать состояние знакового (обычно старшего) разряда: если он установлен в 1, то регистр содержит отрицательное число.

Триггеры очень широко применяются в компьютерной технике. Помимо уже описанного применения в составе разнообразных регистров, на их основе могут еще изготовляться быстродействующие ИМС статического ОЗУ (в том числе кэш-память).

Логические узлы как основа устройства компьютера

Мы изучили только два из многочисленных узлов вычислительной техники — сумматор и регистры. Казалось бы, много ли можно понять, зная всего два этих устройства? Оказывается, не так уж и мало. Можно, например, весьма успешно попытаться представить себе, как строится арифметическое устройство процессора. В самом деле, подумаем, каким образом можно спроектировать схему для реализации сложения двух чисел. Очевидно, что для хранения исходных чисел потребуется два триггерных регистра. Их выходы подадим на входы сумматора, так что на выходах последнего сформируются сигналы, соответствующие двоичному коду суммы. Для фиксации (запоминания) результирующего числа потребуется еще один регистр, который можно снабдить описанными выше схемами формирования управляющих признаков. Наша картина получается настолько естественной и реалистичной, что мы можем найти ее в наиболее подробной учебной литературе в качестве основы устройства простых учебных моделей компьютера. В частности, очень похоже выглядит описание внутреннего устройства процессора учебного компьютера “Нейман” ⁴.

Методические рекомендации

В процессе рассмотрения материала статьи мы прошли путь от изучения простейшего единичного логического элемента до понимания наиболее общих идей построения весьма крупных узлов ЭВМ, таких, как арифметическое устройство. Следующий уровень знакомства с логикой работы компьютера — на уровне функциональных устройств (процессор, память и устройства ввода/вывода), будет подробно изложен в статье “Функциональное устройство”.

В связи с этим особо хотелось бы подчеркнуть важность темы с точки зрения формирования у учеников некоторого единого представления об устройстве компьютера. Мировоззрение складывается не только (а может даже и не столько) в ходе рассуждений “о высоких материях”, но и в результате создания некоторой единой связной картины изучаемого материала. Очень важно, чтобы темы отдельных уроков не казались независимыми, выбранными кем-то по недоступным нам соображениям.
В этом смысле значение вопроса, соединяющего отдельные логические элементы с узлами реального вычислительного устройства, трудно переоценить. Иными словами, ценность материала заключается в том, что он “перекидывает мостик” между разрозненными абстрактными знаниями о логических элементах и устройством реального компьютера. В школьной практике это служит надежным средством борьбы с традиционным “Зачем все это нужно?”.

Ситуация с включением описанного материала в школьный курс информатики согласно опубликованным нормативным документам выглядит, мягко говоря, непрозрачно. В Стандартах и Примерных программах, несмотря на включение всевозможных вопросов математической логики, ни логические элементы, ни логические узлы ниже уровня “процессор–память–устройства ввода/вывода” даже не упоминаются. Зато в рекомендованных Министерством образования билетах выпускного экзамена по информатике четко сформулирован вопрос “Логические элементы и схемы. Типовые логические устройства компьютера: полусумматор, сумматор, триггеры, регистры”.

Если же руководствоваться логикой курса информатики и стремлением сформировать у школьников некоторое общее представление о том, что такое компьютер и как он работает, то необходимость изложения на уроках приведенного в данной статье материала не вызывает никаких сомнений.

---

¹Андреева Е.В., Босова Л.Л., Фалина И.Н. Математические основы информатики. М.: БИНОМ, Лаборатория Знаний, 2005, 328 с.

²Ямпольский В.С. Основы автоматики и электронно-вычислительной техники. М.: Просвещение, 1991, 223 с.

³Токхейм Р. Основы цифровой электроники. М.: Мир, 1988, 392.

⁴ Информатика. Задачник-практикум в 2 т. / Под ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера: Т. 1. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 1999.

Логические элементы и логические схемы компьютера. 10-й класс

Цель урока:

• дать учащимся представление о том, как в компьютере при помощи логических элементов выполняются арифметические и логические операции.

Опорные понятия:

• логическая операция;
• сложное логическое выражение (формула).

Новые понятия:

• логический элемент,
• логическая схема.

Задачи учителя:

• на аналогиях из повседневной жизни показать, что логика хорошо реализуется при помощи электронных схем;
• познакомить учащихся с логическими элементами;
• познакомить учащихся с некоторыми логическими устройствами компьютера;
• дать представление учащимся о последовательности создания логического устройства.

Методика проведения урока

ПОВТОРЕНИЕ.

Аналоги логических операций в повседневной жизни

Примеры для повторения операции логического сложения

1. Ученик должен быть толковым и усидчивым (т.е. ученик достигает хороших результатов, если он либо толковый, либо усидчивый, либо и то и другое вместе).
2. Для сдачи экзамена необходимы знание или везение.
3. Высказывание А: «p – четное число»; высказывание В: «p делится на 3». Каков результат операции логического сложения: А + В?

РЕШЕНИЕ. Множество всех случаев, когда А истинно: p = 2, 4, 6, 8, 10,… Множество всех случаев, когда В истинно: p = 3, 6, 9,… Множество всех случаев, когда истинно А+ В: p = 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10,…, т.е. объединение двух множеств.

Примеры для повторения операции логического умножения

1. Учитель должен быть умным и терпеливым (только одновременное наличие двух качеств, ума и терпения, делает выражение истинным).
2. Только умение и настойчивость приводят к достижению цели (достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок – наличия и умения, и настойчивости).
3. Высказывание А: «p делится на 5»; высказывание В: «p меньше 20». Чему равен результат логического умножения: А & В?

РЕШЕНИЕ. Множество всех случаев, когда А истинно: p = 5, 10, 15, 20, 25, … Множество всех случаев, когда В истинно: p = 1, 2, 3,…, 19. Множество всех случаев, когда истинно А & В: p = 5, 10, 15, т.е. пересечение двух множеств.

Примеры для повторения операции импликации

1. Если выучить материал, то сдашь зачет (высказывание ложно только тогда, когда материал выучен, а зачет не сдан, ведь сдать зачет можно и случайно, например если попался единственный знакомый вопрос или удалось воспользоваться шпаргалкой).
2. Высказывание А: «х делится на 9»; высказывание В: «х делится на 3». Операция означает следующее: «если число делится на 9, то оно делится и на 3».

При анализе этого примера можно перебрать следующие варианты:

o А – ложно, В – ложно. Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание: «если А – ложно, то и В – ложно». Например, х = 4, 17, 22…

o А – ложно, В – истинно. Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание: «если А – ложно, то и В – истинно». Например, х = 6, 12, 21…

o А – истинно, В – истинно. Можно найти такие числа, для которых истиной является высказывание: «если А – истинно, то и В – истинно». Например, х = 9, 18, 27…

o А – истинно, В – ложно. Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3, т.е. истинная предпосылка не может приводить к ложному результату импликации.

Примеры для повторения операции эквивалентности

Когда в зимний день светит солнце и «кусает» мороз, это значит, что атмосферное давление высокое.

Высказывание А: «сумма цифр, составляющих число х, делится на 3», высказывание В: «х делится на 3». Операция означает следующее: «число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3».

2.РЕАЛИЗАЦИЯ ЛОГИКИ ПРИ ПОМОЩИ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ

Можно начать урок с исторической справки.

Историческая справка

С 1867 года американский логик Чарльз Сандерс Пирс ( в его честь названа одна из логических операций – «стрелка Пирса») работает над модификацией и расширением булевой алгебры. Пирс первым осознал, что бинарная логика имеет сходство с работой электрических переключательных схем. Электрический переключатель либо пропускает ток (что соответствует значению Истина), либо не пропускает (что соответствует значению Ложь). Позже Пирс даже придумал простую электрическую логическую схему, но так и не собрал ее.

Учитель предлагает учащимся самим воспроизвести возможный ход рассуждений Ч.Пирса.

ВАРИАНТ ДИАЛОГА

Вопрос: Есть электрическое устройство, которым мы пользуемся каждый день. Оно реализует логическую операцию отрицания. Подумайте, что это за устройство?

Ответ: Выключатель. Если свет не горел, он его включает, если горел – выключает.

Вопрос: Вспомните Новый год и старую елочную гирлянду. Почему она была недолговечна?

Ответ: В старых гирляндах лампочки включались последовательно. Гирлянда горела только тогда, когда все лампочки были исправны. Стоило перегореть хотя бы одной, вся гирлянда не работала.

Вопрос: На какую логическую операцию это похоже?

Ответ: На логическое умножение.

Вопрос: А в современных гирляндах как подключаются лампочки?

Ответ: Параллельно. Гирлянда горит, если хотя бы одна лампочка исправна.

Вопрос: На какую логическую операцию это похоже?

Ответ: На логическое сложение.

Учитель подводит итоги диалога: подобно Пирсу, вы сейчас убедились, как хорошо реализуются логические операции в простейших схемах. В настоящее время существуют электронные схемы, реализующие все логические операции.

3. В КАКОМ ВИДЕ ЗАПИСЫВАЮТСЯ В ПАМЯТИ КОМПЬЮТЕРА И В РЕГИСТРАХ ПРОЦЕССОРА ДАННЫЕ И КОМАНДА

Существуют различные физические способы кодирования двоичной информации, но чаще всего единица кодируется более высоким уровнем напряжения, чем нуль (или наоборот).

4.ЧТО ТАКОЕ ЛОГИЧЕСКИЙ ЭЛЕМЕНТ КОМПЬЮТЕРА.

Как при строительстве дома применяют различного рода типовые блоки – кирпичи, рамы, двери и т.п., так и при разработке компьютера используют типовые электронные схемы. Каждая схема состоит из определенного набора типовых электронных элементов.

Электронным элементом называется соединение различных деталей, в первую очередь – диодов и транзисторов, а также резисторов и конденсаторов, в виде электрической схемы, выполняющей некоторую простейшую функцию.

Электронный элемент, реализующий логическую функцию, называется логическим элементом.

ИЛИ

Логический элемент компьютера – это часть электронной логической схемы, которая реализует элементарную логическую функцию.

Тысячи микроскопических электронных переключателей в кристалле интегральной схемы сгруппированы в системы, выполняющие логические операции, т.е. операции с предсказуемыми результатами, и арифметические операции над двоичными числами. Соединенные в различные комбинации, логические элементы дают возможность компьютеру решать задачи, используя язык двоичных кодов.

Логическими элементами компьютеров являются электронные схемы И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ и др. (называемые также вентилями), а также триггер, регистр, сумматор.

Триггер – это логическая схема, способная сохранять одно из двух состояний до подачи нового сигнала на вход. Это, по сути, разряд памяти, способный хранить 1 бит информации.

Регистр – это устройство, состоящее из последовательности триггеров. Регистр предназначен для хранения многоразрядного двоичного числового кода, которым можно представлять и адрес, и команду, и данные.

Сумматор – это устройство, предназначенное для суммирования двоичных кодов.

С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу устройств компьютера. Обычно у вентилей бывает от двух до восьми входов и один или два выхода.

Чтобы представить два логических состояния «1» и «0» в вентилях, соответствующие им входные и выходные сигналы имеют один из двух установленных уровней напряжения. Например, +5 вольт и 0 вольт.

Высокий уровень обычно соответствует значению «истина» («1»), а низкий – значение «ложь («0»).

Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем.

Работу логических элементов описывают с помощью таблиц истинности.

Таблица истинности – это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значениями истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

5. ФИЗКУЛЬТПАУЗА.

6. ЧТО ТАКОЕ СХЕМЫ И, ИЛИ, НЕ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ.

Схема И реализует конъюнкцию двух или более логических значений.

Условное обозначение на структурных схемах схемы И с двумя входами представлено на рис.1, а таблица истинности в таблице 1.

Таблица 1

х	у	х * у
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Единица на выходе схемы И будет тогда и только тогда, когда на всех входах будут единицы. Когда хотя бы на одном входе будет ноль, на выходе также будет ноль.

Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается отношением z = х * у (читается как «х и у»).

Операция конъюнкции на функциональных схемах обозначается знаком & (читается как «амперсэнд»), являющимся сокращенной записью английского слова and.

Схема ИЛИ реализует дизъюнкцию двух или более логических значений.

Когда хотя бы на одном входе схемы ИЛИ будет единица, на ее выходе также будет единица.

Условное обозначение схемы ИЛИ знак «1». Связь между выходом z этой схемы и входами х и у описывается соотношением z = х + у (читается как «х или у»). Рис.2 и таблица 2.

Таблица 2

х	у	х + у
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Схема НЕ (инвертор) реализует операцию отрицания.

Связь между входом х этой схемы и выходом z можно записать соотношением z = , где читается как «не х» или «инверсия х».

Если на входе схемы 0, то на выходе 1. Когда на входе 1, на выходе 0. Условное обозначение инвертора — на рис.3, а таблица истинности – в таблице 3

.

Таблица 3

x
0	1
1	0

Схема И-НЕ состоит из элемента И и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы И.

Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают следующим образом:

z = , где читается как «инверсия х и у».

рис. 4

Таблица 4

х	у
0	0	1
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Условное обозначение схемы И-НЕ представлено на рис. 4, а таблица истинности схемы И-НЕ – в таблице 4.

Схема ИЛИ-НЕ состоит из элемента ИЛИ и инвертора и осуществляет отрицание результата схемы ИЛИ.

Связь между выходом z и входами х и у схемы записывают следующим образом:

z = , где читается как «инверсия х или у».

Таблица 5

х	у
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	0

Условное обозначение схемы ИЛИ-НЕ представлено на рис. 5, а таблица истинности схемы ИЛИ-НЕ – в таблице 5.

Что такое триггер.

Триггер – это электронная схема, широко применяемая в регистрах компьютера для надежного запоминания одного разряда двоичного кода. Триггер имеет два устойчивых состояния, одно из которых соответствует двоичной единице, а другое – двоичному нулю.

Термин «триггер» происходит от английского слова trigger – защелка, спусковой крючок. Для обозначения этой схемы в английском языке чаще употребляется термин flip – flop, что в переводе означает «хлопанье». Это звукоподражательное название электронной схемы указывает на ее способность почти мгновенно переходить из одного электрического состояния в другое и наоборот.

Самый распространенный тип триггера – так называемый RS – триггер ( S и R соответственно от английских слов set – установка и reset – сброс). Условное обозначение триггера – на рис.6. Он имеет два симметричных входа S и R и два симметричных выхода Q и , причем выходной сигнал Q является логическим отрицанием сигнала . На каждый из двух входов S и R могут подаваться входные сигналы в виде кратковременных импульсов. Наличие импульса на входе будем считать единицей, а его отсутствие – нулем.

На рис. 7 показана реализация триггера с помощью вентилей ИЛИ-НЕ, в таблице 6 – соответствующая таблица истинности.

Таблица 6

S	R	Q
0	0	Запрещено
0	1	1	0
1	0	0	1
1	1	Хранение бита

Проанализируем возможные комбинации значений входов R и S триггера, используя его схему и таблицу истинности схемы ИЛИ-НЕ (см. табл. 5).

1. Если на входы триггера подать S = «1», R = «0», то (независимо от состояния) на выходе Q верхнего вентиля появится «0». После этого на входах нижнего вентиля окажется R = «0», Q = «0» и выход станет равным «1».
2. Точно так же при подаче «0» на вход S и «1» на вход R на выходе появится «0», а на Q – «1».
3. Если на входы S и R подана логическая «1», то состояние Q и не меняется.
4. Подача на оба входа R и S логического «0» может привести к неоднозначному результату, поэтому эта комбинация входных сигналов запрещена.

Поскольку один триггер может запомнить только один разряд двоичного кода, то для запоминания байта нужно 8 триггеров, для запоминания килобайта соответственно 8*2¹⁰=8192 триггеров. Современные микросхемы памяти содержат миллионы триггеров.

Что такое сумматор.

Сумматор – это электронная логическая схема, выполняющая суммирование двоичных чисел.

Сумматор служит прежде всего центральным узлом арифметико–логического устройства компьютера, однако он находит применение также и в других устройствах машины.

Многоразрядный двоичный сумматор, предназначенный для сложения многоразрядных двоичных чисел, представляет собой комбинацию одноразрядных сумматоров, с рассмотрения которых мы и начнем. Условное обозначение одноразрядного сумматора приведено на рис. 8.

При сложении чисел А и В в одном i –м разряде приходится иметь дело с тремя цифрами:

1. цифра а_i первого слагаемого;

2. цифра b_i второго слагаемого;

3. перенос р_i-1 из младшего разряда.

В результате сложения получаются две цифры:

1) цифра с_i для суммы;

2) перенос р_i из данного разряда в старший.

Таким образом, одноразрядный двоичный сумматор есть устройство с тремя входами и двумя выходами, работа которого может быть описана следующей таблицей истинности – табл.7.

Схема полусумматрора.

Таблица 7

Входы			Выходы
Первое слагаемое	Второе слагаемое	Перенос	Сумма	Перенос
0	0	0	0	0
0	0	1	1	0
0	1	0	1	0
0	1	1	0	1
1	0	0	1	0
1	0	1	0	1
1	1	0	0	1
1	1	1	1	1

Если требуется складывать двоичные слова длиной два и более бит, то можно использовать последовательное соединение таких сумматоров, причем для двух соседних сумматоров выход переноса одного сумматора является входом для другого.

Домашнее задание

1. Читать: стр.140 — 145.

2. Письменно: задание 3.10 стр. 145.

Logic Gates — IB COMPUTER SCIENCE

Logic gate: схемы, которые сравнивают

Логический вентиль может показаться ужасно сложным, но это просто электрическая схема с двумя входами и выходом. Он принимает два входящих электрического тока, сравнивает их и посылает новый исходящий электрический ток в зависимости от того, что он обнаруживает. Логические ворота немного похожи на швейцара или вышибалу, которому разрешено впускать людей в ночной клуб, только если они проходят определенные тесты. Существует довольно много различных типов логических элементов, наиболее распространенные из которых называются И, ИЛИ, НЕ, ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (исключающее ИЛИ), И-И (НЕ И) и ИЛИ (НЕ ИЛИ).Давайте посмотрим на три более простых: AND, OR и NOT:

И

Предположим, вы идете в ночной клуб, где работа швейцара заключается в соблюдении простого правила: «Каждый в вашей группе должен быть в галстуке, чтобы войти». . Однажды ночью вы идете вместе с другом. Если вы оба носите галстуки, вы войдете. Если только один из вас носит галстук или ни один из вас не войдет, ни один из вас не войдет. Логический вентиль И работает таким же образом с двумя электрическими входами . Если оба входа включены (то есть имеют номер 1), на выходе также будет 1.В противном случае на выходе будет 0. В электронике мы можем представить логический элемент И этим маленьким символом. Ниже показаны три способа работы ворот.

OR

У вас нет галстука, поэтому вы идете в другой клуб дальше по улице. Здесь человек в дверях применяет другое правило: «Группа людей может войти, если кто-то из них является ее членом». Если вы или ваш друг являетесь участником, или если вы оба являетесь участниками, вы можете войти оба. Если ни один из вас не является участником, вы оба останетесь без внимания.Логический вентиль ИЛИ работает таким образом с двумя электрическими входами. Если какой-либо вход включен (то есть имеет номер 1), на выходе также будет 1. В противном случае на выходе будет 0. В электронике мы представляем логический элемент ИЛИ другим символом. Три способа, которыми это может работать, показаны ниже:

НЕ

До сих пор вам не удалось попасть ни в один из клубов. Но есть одна последняя надежда: вы знаете, что друг устраивает вечеринку в нескольких улицах отсюда. Единственная проблема в том, что за дверью стоит действительно спорный и противоречивый человек.Он разговаривает с каждым человеком по очереди, когда они подходят к нему. Если вы вежливы и милы, он ругает вас и отворачивает. Но если вы с ним грубо, ему это по какой-то причине нравится, и он вас впускает. Другими словами, он делает прямо противоположное тому, чего вы ожидаете! В электронике есть логический вентиль, который работает точно так же, наоборот, и называется вентилем НЕ или инвертором. В отличие от логических элементов И и ИЛИ, он имеет только один вход и один выход. Выходной сигнал прямо противоположен входу, поэтому, если вход равен 0, выход равен 1, и наоборот.Вот как мы представляем НЕ в электронике. Ниже показаны два способа, которыми это может работать.

Три других общих логических элемента являются вариациями этих трех. ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ (Исключающее ИЛИ) похоже на ИЛИ, но оно отключается, если оба входа включены. NAND аналогичен AND, только конечный результат заменяется местами (так, где AND дает на выходе 1, NAND дает на выходе 0). ИЛИ — это похоже на ИЛИ, причем конечный результат меняется таким же образом.

Этот логический способ сравнения чисел для принятия решений, которые производят либо да, либо нет, 1 или 0, истину или ложь, называется булевой алгеброй в честь ее первооткрывателя, английского математика Джорджа Буля (1815–1864), который изложил идею в книга 1854 года под названием «Исследование законов мысли, на которых основаны математические теории логики и вероятностей».Его цель заключалась в том, чтобы показать, как сложные человеческие рассуждения могут быть представлены в логической математической форме.

Управление дисплеем калькулятора с помощью логических вентилей

Калькуляторы могут делать все, что им необходимо, используя различные комбинации логических вентилей. Это логические вентили, которые контролируют работу дисплея в калькуляторе, и другие логические вентили, которые определяют результаты вычислений.

Например, каждый сегмент дисплея калькулятора включается и выключается серией логических вентилей, соединенных вместе.Рассмотрим только нижний правый нижний сегмент (показан на картинке справа синим цветом). Нам нужно включить этот сегмент, если мы показываем числа 0 (двоичное 00), 1 (01), 3 (11), 4 (100), 5 (101), 6 (110), 7 (111), 8 (1000) и 9 (1001) — но нет, если мы показываем число 2 (10). Мы можем правильно включить и выключить сегмент для чисел 1–10, установив три логических элемента ИЛИ и один вентиль НЕ.

Если мы введем образцы двоичных чисел в четыре входа слева, сегмент будет правильно включаться и выключаться для каждого из них.Например, введите число 7 в качестве четырех входов 0111, и вентили сработают следующим образом, правильно включив сегмент:

Остальные шесть сегментов каждой цифры управляются другими комбинациями логических вентилей.

Логический вентиль — обзор

VIII.B Массивы вентилей

Логические вентили — это логические вентили, которые предварительно размещены в матричной форме на кристалле, как показано на рис. 20. Фактически, несвязанные компоненты логических вентилей, которые называются ячейками (эти ячейки следует отличать от ячеек в библиотеке ячеек, которая будет описана позже), предварительно заложены вместо логических вентилей.Соединив компоненты в ячейке соответствующим образом, мы можем реализовать один из нескольких различных типов логических вентилей. Ячейка матрицы затворов КМОП, в качестве примера, показана на рис. 21, где пара полевых МОП-транзисторов и пара полевых МОП-транзисторов размещены слева и справа, соответственно, без соединений между ними. Логический элемент И-НЕ, показанный на фиг. 22a, может быть реализован путем соединения компонентов, показанных на фиг. 21, двумя металлическими слоями, как показано на фиг. 22b. Эти два металлических слоя формируются путем формирования первого металлического слоя, показанного на рис.22c, изоляционный слой (не показан), а затем второй металлический слой, показанный на (d).

РИСУНОК 20. Матрица ворот.

РИСУНОК 21. Ячейка вентильной матрицы CMOS (любезно предоставлена ​​Fujitsu Ltd.).

РИСУНОК 22. Пример схемы подключения ячейки на рис. 21 (любезно предоставлено Fujitsu Ltd.)

После того, как разработчики завершат логический дизайн, логические сети реализуются путем соответствующего соединения компонентов в ячейке для формирования логических вентилей. а затем соответствующим образом подключив логические вентили.Таким образом, была получена схема всей микросхемы. В этом случае проектирование электронной схемы и компоновка, которые требуются при полностью индивидуальном проектировании, по существу пропускаются.

Матрицы ворот имеют следующие преимущества. Скорость улучшена по сравнению с PLA. Только 2 или 3 маски для соединений и контактных окон должны быть изготовлены на заказ вместо всех двух десятков масок, необходимых для полностью индивидуального дизайна. Кроме того, с помощью САПР необходимо эффективно выполнять только компоновку соединений и распределение ворот, что значительно сокращает время компоновки.Таким образом, конструкция с вентильными матрицами является очень недорогой и быстрой по сравнению с полностью индивидуализированной конструкцией. Широко используются вентильные матрицы CMOS. Когда новая технология обработки должна быть внедрена в вентильную матрицу, нам необходимо обновить компоновку несвязанных компонентов только одной ячейки, что позволит нам быстро и недорого внедрить новую технологию.

С другой стороны, вентильные матрицы имеют следующие недостатки, такие как большой размер микросхемы, много неиспользуемых ячеек (ограниченных доступным количеством контактных площадок) и неоднородные задержки на вентилях.Микросхема больше, чем микросхема, разработанная с помощью подхода к проектированию библиотеки ячеек, который будет описан ниже, потому что каждый логический вентиль не обязательно является самым компактным, и все логические элементы не имеют компактной компоновки. Поскольку готовые компоненты одинакового размера используются во всех ячейках, каждая электронная схема в ячейке не настроена на потребности каждого конкретного логического элемента. Например, даже если затвор имеет длинное выходное соединение, размер схемы транзистора не может быть увеличен для увеличения задержки смещения.Таким образом, скорость приносится в жертву, и логические ворота на разных сайтах имеют разные задержки. Кроме того, программа САПР может не обеспечивать хорошую маршрутизацию, несмотря на важность маршрутизации САПР для сокращения времени и затрат на проектирование. Когда межсетевые соединения между воротами перегружены в некоторых областях, новые межсоединения необходимо обходить, используя длинные межсоединения и, таким образом, увеличивая задержку.

В отличие от программируемых пользователем вентильных матриц, которые будут описаны ниже, вентильные матрицы здесь называются вентильными матрицами, программируемыми по маске.

Logic Gates — уровень компьютерных наук

Ознакомительное видео

Таблицы истинности

Когда мы выясняем, какие возможности существуют для конкретной структуры логической логики, мы можем использовать таблицу истинности для представления этих данных.

Используя предыдущий пример, мы можем составить простую таблицу истинности для результатов.

И Гейтс

Логический элемент И работает по следующим правилам:

1. Если оба входа истинны, то на выходе будет Истина.
2. В противном случае результат будет ложным

Пример царапины

Задача 1 — Таблица истинности ворот И

Можете ли вы заполнить таблицу истинности для логического элемента И?

Нажмите, чтобы проверить свой ответ

OR Gates

Логический элемент ИЛИ работает по следующей логике:

1. Если любой из входов — Истина, выход — Истина.
2. Если оба входа — Истина, выход — Истина.
3. В противном случае результат будет ложным.

Пример царапины

Задача 2 — Можете ли вы составить таблицу истинности для логического логического элемента ИЛИ?

Щелкните, чтобы проверить свой ответ!

НЕ Выходной

Логический элемент НЕ просто меняет местами любой заданный ввод.

1. Если вход True, выход False
2. Если на входе значение False, на выходе будет True

Царапина Нет ворот Пример

Задача 3 — Можете ли вы написать таблицу истинности для ворот НЕ?

Нажмите, чтобы проверить свой ответ!

Попробуйте подключить несколько логических вентилей, чтобы увидеть, что происходит, используя симулятор, представленный ниже.Можете ли вы проработать входы и выходы для следующих примеров.

https://academo.org/demos/logic-gate-simulator/

Пример 1

Пример 2

Пример 3

Пример 4

Действие 2 — Применение логических вентилей

Используя ссылку ниже, посмотрите, сможете ли вы сделать следующие системы:

Симулятор приложений Logic Gates

Система 1 — Вентиляторная система охлаждения.

Если главный выключатель системы включен, вентилятор будет работать, когда:

• Каждые 5 секунд
• Когда нажата кнопка ручного управления.

Система 2 — Базовая система сигнализации

Создайте систему, в которой при срабатывании любого из 3 датчиков (используйте 3 переключателя для обозначения датчиков) сигнальная лампа будет мигать КРАСНЫМ.

Система 3 — Расширенная система сигнализации

Адаптируйте систему так, чтобы:

• Тревога не сработает, если система не была поставлена ​​на охрану первой (используйте для этого другой переключатель)
• Тревога должна попеременно мигать красным и включать сирену каждые 1 секунду.

Система 4 — светофор с кнопочным управлением.

Сделайте светофор, который сначала загорается зеленым, затем снова становится желтым — красным — желтым — зеленым.

Подсказка — вам нужно будет перевернуть флип-флоп!

1.3.1: Логические ворота — Разработка LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Без заголовков

Провод в компьютере может находиться в одном из двух состояний, которые мы можем представить как «включен» и «
» — выключен.Эти два состояния могут быть естественным образом связаны с логическими значениями T и F. Когда
компьютер выполняет вычисления, множество проводов внутри него включаются и выключаются по шаблонам
, которые определяются определенными правилами. Используемые правила можно наиболее естественно выразить 2 в терминах логики. Простое правило может быть таким: «включайте провод C всякий раз, когда включен провод A, и

».

провод B включен ». Это правило может быть реализовано аппаратно в виде логического элемента И. An and gate — это электронный компонент с двумя входными проводами и одним выходным проводом, чья работа состоит в том, чтобы включать его выход, когда оба его входа включены, и выключать его выход в любом другом случае.Если мы свяжем «on» с T и «off» с F, и если мы дадим имена A и B входам логического элемента, то вентиль вычислит значение логического выражения A ∧ В . Фактически, A — это предложение со значением «первый вход включен», а B — это предложение со значением «второй вход включен». Логические элементы и служат для обеспечения того, чтобы вывод описывался предложением A ∧ B .То есть выход включен тогда и только тогда, когда включен первый вход и включен второй вход.

Как вы, надеюсь, знаете из Computer Organization, логический элемент ИЛИ — это электронный компонент с двумя входами и одним выходом, который включает его выход, если один (или оба) входа включены. Если входам присвоены имена A и B , то вентиль или вычисляет логическое значение A ∨ B . Элемент НЕ имеет один вход и один выход, и он выключает свой выход, когда вход включен, и включается, когда вход выключен.Если вход назван A , то вентиль запрета вычисляет значение ¬ A .

Как я упоминал ранее, в других учебниках могут использоваться другие обозначения для обозначения отрицания. Например, черта над переменной x ̄ или символ ∼. В цифровой логике (и, следовательно, в вашем курсе «Организация компьютеров») вы также часто встретите символ «+», обозначающий «или», и символ · (точка), обозначающий «и».

Конечно, возможны и другие типы логических вентилей.Шлюз может быть использован для вычисления, например, A → B или A ⊕ ​​ B . Однако любое вычисление, которое может быть выполнено с помощью логических вентилей, может быть выполнено с использованием только и, или, а не вентилей, как мы увидим ниже. (На практике, однако, вентили nand и вентили Nor, которые вычисляют значения ¬ ( A ∧ B ) и¬ ( A ∨ B ) соответственно, часто используются, потому что их легче построить из транзисторы, чем и и или вентили.)

логических вентилей | 101 Вычислительная техника

В предыдущем посте блога «От транзисторов к процессорам» мы выяснили, что ЦП состоит из логических вентилей, которые выполнены на транзисторах. В этом сообщении блога мы рассмотрим, как эти логические ворота могут быть объединены, чтобы …

В этом посте мы создадим арифметическое и логическое устройство (ALU), используя логические элементы.АЛУ — один из основных компонентов ЦП. Он используется на этапе выполнения цикла FDE для выполнения всех…

Двоичный сдвиг — это бинарная операция, которая состоит из сдвига всех цифр двоичного числа влево или вправо на фиксированную величину. Бинарные сдвиги можно использовать для умножения числа на…

Двоичные компараторы — это логические схемы, используемые для сравнения двух двоичных входов.Есть два типа двоичных компараторов: Компараторы равенства используются для проверки, равны ли два двоичных входа (A и B) или нет. Компараторы величин — это…

Декодер — это логическая схема, которая преобразует кодированный ввод в «декодированный» вывод путем преобразования ввода в другой формат. Двоичные декодеры могут использоваться для: Преобразования BCD / двоичного значения в «десятичный формат», «восьмеричный формат» или «шестнадцатеричный формат»,…

Компаратор равенства — это аппаратная электронная схема, состоящая из логических элементов, которая принимает два двоичных числа в качестве входных данных, определяющих, равны они или нет.Компараторы равенства и компараторы величины (используются для определения того, больше ли двоичный вход,…

Посмотрите на схемы логических вентилей ниже. Для каждой из этих диаграмм заполните Таблицу истинности, соответствующую диаграмме. Можете ли вы назвать логический элемент, которому эквивалентна каждая диаграмма? Проверьте свои ответы Теперь вы можете воссоздать эти…

В наших предыдущих сообщениях в блоге мы рассмотрели несколько схем логических вентилей, используемых внутри ЦП для выполнения двоичного сложения (полусумматоры и полные сумматоры) и для сохранения небольшого количества информации с помощью схемы триггера D-типа (данные…

В нашей предыдущей публикации блога «Бинарные сложения с использованием логических вентилей» мы исследовали, как логические вентили могут использоваться вместе для создания схемы, используемой в ALU (арифметическом и логическом блоке процессора) для сложения двух двоичных чисел вместе.…

В предыдущем посте блога «От транзисторов к процессорам» мы выяснили, что ЦП состоит из логических вентилей, которые выполнены на транзисторах. В этом сообщении блога мы рассмотрим, как эти логические ворота могут быть объединены, чтобы . {2 +} \) для логических элементов И или ИЛИ. .{2 +} \) сигнальный активированный уровень, а также значения \ (T_b \) на основе входных данных сети астроцитов в ядро ​​(в то время как это будет поступать напрямую из культуры, в нашем случае мы используем симулятор для создания входные данные). Ядро — это более сложная часть, посредством которой обработанные входные данные клеточного населения проходят обучение и усиленный процесс обучения. Для простоты мы использовали входные значения клеточной популяции структуры непосредственно в качестве обучающих функций. Как показано на рис.{2 +} \) передача сигналов, ионы распространяются через клеточные ткани через физические ворота, которые соединяют цитозольные области двух соседних клеток, и эти ворота называются щелевыми соединениями . Рисунок 1d показывает, как щелевые соединения соединяют два цитозоля. Щелевые соединения состоят из двух коннексонов , по одному в каждой соединительной клетке, которые образованы шестью белками, называемыми коннексинами . Межклеточная диффузия происходит только тогда, когда оба коннексона открываются одновременно. Предполагается, что чувствительные к напряжению щелевые переходы имеют два состояния проводимости для каждого коннексина: открытое состояние с высокой проводимостью и закрытое состояние с низкой проводимостью.{2 +} \) выходной сигнал одной популяции астроцитов является входом для соседней популяции, и эта межклеточная передача сигналов будет определяться пороговым значением от платформы усиленного обучения. Этот процесс активации межклеточной сигнализации может быть дополнительно исследован в будущих работах, имея уникальную настройку пороговых значений для разных типов клеток. Наш экспериментальный план основан на подходе ²⁸ .

Культура клеток и экспрессия гена hGPR-17

Клетки астроцитомы человека, 1321N1, культивировали в среде Игла, модифицированной Дульбекко, с L-глутамином (DMEM с высоким содержанием глюкозы) (Sigma-Aldrich) с добавлением 10% (об. / Об.) Плода бычья сыворотка (FBS) (Sigma-Aldrich), пенициллин и стрептомицин (100U / мл) (Sigma-Aldrich), пируват натрия 1 мМ (Sigma-Aldrich) и амфотерицин B 250 \ (\ upmu \) г / мл (Sigma- Aldrich) и выращивали при 37 \ ({^ \ circ} \) C в \ (\ hbox {CO} _2 \) инкубаторе.\ circ} \) C, следуя инструкциям производителя. Разницу между уровнем флуоресценции образцов, обработанных контрольными и сигнальными молекулами, измеряли с помощью планшет-ридера (Ascent). В экспериментальной установке были использованы следующие условия: (1) клетки без трансфекции плазмиды, (2) клетки с трансфекцией плазмиды и без инкубации соединения, (3) клетки без трансфекции плазмиды и с инкубацией 50 \ (\ upmu \) M концентрация соединений, (4.{2 +} \), использовался протокол комплекта, предоставленный поставщиком. Технические и биологические повторы использовали для измерения флуоресценции и усредняли. Флуоресцентный сигнал измеряли с использованием считывающего устройства для микропланшетов (Spark \ (\ circledR \), Tecan) при двух длинах волн двойного возбуждения / излучения: 340/510 нм и 380/510 нм.

Логика в информатике и искусстве Intelligence

COMP 409/509: логика в компьютерных науках и искусственном интеллекте Интеллект Составлено Моше Варди, который не уважает тех, кто не уважает логику.

---

P.R.H. Анонимный

Если вы думаете, что ваша статья пуста,
Используйте функциональное исчисление первого порядка.
Тогда это становится логикой,
И, как по волшебству,
Очевидное приветствуется как чудо.

---

Логику называют «исчислением информатики». Аргумент состоит в том, что логика играет фундаментальную роль в компьютере. наука, подобная той, в которую играют исчисления в физических науках и традиционные инженерные дисциплины. Действительно, логика играет важную роль в таких разных областях компьютерных наук, как искусственный интеллект (автоматизированное рассуждение), архитектура (логические вентили), программная инженерия (спецификация и верификация), языков программирования (семантика, логическое программирование), базы данных (реляционная алгебра и SQL), алгоритмы (сложность и выразительность), и теория вычислений (общие понятия вычислимости).

COMP 409/509 дает студенту подробное введение в вычислительная логика, подробно охватывающая темы синтаксиса, семантика, процедуры принятия решений, формальные системы и определимость как для логики высказываний, так и для логики первого порядка. Материал преподается с точки зрения информатики, с упором на алгоритмы автоматического мышления. Цель — подготовить студентов к использованию логики в качестве формального инструмента. в области информатики в целом и искусственного интеллекта в частности.

Материалы курса:

Формат DIMACS SAT

Краткая история логики

О необычной эффективности логики в компьютерных науках

Постмодернистская перспектива

Поэтическое доказательство неразрешимости

Логика о аргументы; посмотреть видео

Соблазнительные чары безрассудства

Логические ошибки

Информация о курсе

LaTeX для логиков

Учебный план

Конспект лекций

Задания и решения

---

Ссылки

---

В 2005 году: Курс предлагается осенью.Весной эта веб-страница неактивна. .