ТОЭ Лекции — №20 Самоиндукция. Индуктивность. Ток в индуктивности

Если в катушке, изображенной на рис. 20.1, магнитное поле создается собственным током i, то магнитный поток называется потоком самоиндукции и обозначается ФL, а индуцируемая в катушке ЭДС еL – ЭДС самоиндукции. В соответствии с формулой (20.1) она равна:

где ψ – потокосцепление самоиндукции, величина, пропорциональная протекающему по катушке току: ψ = Li.

Коэффициент пропорциональности L между потокосцеплением и током называется собственной индуктивностью или просто индуктивностью катушки (контура). Она зависит от формы и размеров катушки, а также от магнитной проницаемости сердечника. Ее размерность В x с/А=Ом x с. Эта единица измерения называется генри (Гн).

Подставляя последнее выражение в (2.15) и полагая L = const, получаем следующую формулу, определяющую ЭДС самоиндукции:

На рис. 2.18 показано изображение индуктивности на электрической схеме; uL – напряжение на зажимах катушки, обусловленное электродвижущей силой самоиндукции, или другими словами, напряжение, наведенное в катушке собственным переменным магнитным полем.

Все три стрелки на схеме (i, eL, uL) принято направлять в одну сторону. Раньше мы видели, что при одинаковых направлениях стрелок напряжения и ЭДС они имеют разные знаки. Поэтому:

Знак минус в правой части формулы (2.16) обусловлен принципом Ленца, определяющим направление индуцированной ЭДС. В рассматриваемом случае он может быть сформулирован следующим образом:

ЭДС самоиндукции направлена так, что своим действием препятствует причине, вызвавшей ее появление.

Причина появления ЭДС самоиндукции – изменение тока. Поэтому при возрастании тока она направлена ему навстречу, при уменьшении тока – в одну с ним сторону.

Препятствуя изменению тока, ЭДС самоиндукции оказывает ему сопротивление, которое называется индуктивным и обозначается хL. В соответствии с формулой (2.16) его величина определяется индуктивностью и скоростью изменения тока, т.е. частотой. Формула, определяющая индуктивное сопротивление, имеет вид:

В цепях постоянного тока такого понятия мы не встречали, так как при постоянных магнитных полях ЭДС самоиндукции не возникает. Пусть ток, протекающий по индуктивности, определяется выражением (2.13). Тогда напряжение на ее зажимах, в соответствии с формулой (2.17), равно:

Это – мгновенное значение напряжения. Его амплитуда равна:

Аналогичное выражение получается (после деления на √2) и для действующих значений:

откуда

где Bl — индуктивная проводимость.

Запишем соответствующие формулы в символической форме:

Так как

то

Отсюда

Аналогично для действующих значений

Уравнения, связывающие напряжение и ток в индуктивности, как в вещественных, так и в комплексных числах, представляют собой закон Ома для индуктивности.

Начальная фаза напряжения больше начальной фазы тока на 90° . В индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода. Выражение закона Ома, записанное в символическое форме, указывает на этот сдвиг фаз. Вспомним, что умножение вектора на j приводит к его повороту на угол 90° против часовой стрелки.

Согласно уравнениям (2.18) UL получается путем умножения произведения IxL на j, в результате чего вектор UL оказывается повернутым относительно вектора I.

Пример 2.5. Мгновенное значение напряжения на индуктивности определяется выражением uL = 200 sin(ωt+60°)В. Записать выражение мгновенного значения тока, если L = 63,67 мГн, а частота питающего напряжения f = 50 Гц. Построить векторные диаграммы напряжения и тока.

Решение. При частоте f = 50 Гц циклическая частота ω = 314 с-1, и индуктивное сопротивление xL = ωL = 20 Ом. Амплитуда тока равна:

Так как в индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода, его начальная фаза меньше начальной фазы напряжения на 90° : ψi = ψu – 90° = 60–90–30°.

Итак, i = 10sin (ωt–30°). Векторная диаграмма показана на рис. 2.20.

Катушка индуктивности. Описание, характеристики, формула расчета

Катушка индуктивности является пассивным компонентом электронных схем, основное предназначение которой является сохранение энергии в виде магнитного поля. Свойство катушки индуктивности чем-то схоже с конденсатором, который хранит энергию в виде электрического поля.

Индуктивность (измеряется в Генри) — это эффект возникновения магнитного поля вокруг проводника с током. Ток, протекающий через катушку индуктивности, создает магнитное поле, которое имеет связь с электродвижущей силой (ЭДС) оказывающее противодействие приложенному напряжению.

Возникающая противодействующая сила (ЭДС) противостоит изменению переменного напряжения и силе тока в катушке индуктивности. Это свойство индуктивной катушки называется индуктивным сопротивлением. Следует отметить, что индуктивное сопротивление находится в противофазе к емкостному реактивному сопротивлению конденсатора в цепи переменного тока. Путем увеличения числа витков можно повысить индуктивность самой катушки.

Накопленная энергия в индуктивности

Как известно магнитное поле обладает энергией. Аналогично тому, как в полностью заряженном конденсаторе существует запас электрической энергии, в индуктивной катушке, по обмотке которой течет ток, тоже существует запас — только уже магнитной энергии.

Энергия, запасенная в катушке индуктивности равна затраченной энергии необходимой для обеспечения протекания тока I в противодействии ЭДС. Величина запасенной энергии в индуктивности можно рассчитать по следующей формуле:

где L — индуктивность, I — ток, протекающий через катушку индуктивности.

Гидравлическая модель

Работу катушки индуктивности можно сравнить с работой гидротурбины в потоке воды. Поток воды, направленный сквозь еще не раскрученную турбину, будет ощущать сопротивление до того момента, пока турбина полностью не раскрутится.

Далее турбина, имеющая определенную степень инерции, вращаясь в равномерном потоке, практически не оказывая влияния на скорость течения воды. В случае же если данный поток резко остановить, то турбина по инерции все еще будет вращаться, создавая движение воды. И чем выше инерция данной турбины, тем больше она будет оказывать сопротивление изменению потока.

Также и индуктивная катушка сопротивляется изменению электрического тока протекающего через неё.

Индуктивность в электрических цепях

В то время как конденсатор оказывает сопротивление изменению переменного напряжения, индуктивность же сопротивляется переменному тока. Идеальная индуктивность не будет оказывать сопротивление постоянному току, однако, в реальности все индуктивные катушки сами по себе обладают определенным сопротивлением.

В целом, отношение между изменяющимися во времени напряжением V(t) проходящим через катушку с индуктивностью L и изменяющимся во времени током I(t), проходящим через нее можно представить в виде дифференциального уравнения следующего вида:

Когда переменный синусоидальной ток (АС) протекает через катушку индуктивности, возникает синусоидальное переменное напряжение (ЭДС). Амплитуда ЭДС зависит от амплитуды тока и частоте синусоиды, которую можно выразить следующим уравнением:

где ω является угловой частотой резонансной частоты F:

Причем, фаза тока отстает от напряжения на 90 градусов. В конденсаторе же все наоборот, там ток опережает напряжение на 90 градусов. Когда индуктивная катушка соединена с конденсатором (последовательно либо параллельно), то образуется LC цепь, работающая на определенной резонансной частоте.

 Индуктивное сопротивление ХL определяется по формуле:

где ХL — индуктивное сопротивление, ω — угловая частота, F — частота в герцах, и L индуктивность в генри.

Индуктивное сопротивление — это положительная составляющая импеданса. Оно измеряется в омах. Импеданс катушки индуктивности (индуктивное сопротивление) вычисляется по формуле:

Схемы соединения катушек индуктивностей

Параллельное соединение индуктивностей

Напряжение на каждой из катушек индуктивностей, соединенных параллельно, одинаково. Эквивалентную (общую) индуктивность параллельно соединенных катушек можно определить по формуле:

Последовательное соединение индуктивностей

Ток, протекающий через катушки индуктивности соединенных последовательно, одинаков, но напряжение на каждой катушке индуктивности отличается. Сумма разностей потенциалов (напряжений) равна общему напряжению. Общая индуктивность последовательно соединенных катушек можно высчитать по формуле:

Эти уравнения справедливы при условии, что магнитное поле каждой из катушек не оказывает влияние на соседние катушки.

Добротность катушки индуктивности

На практике катушка индуктивности имеет последовательное сопротивление, созданное медной обмоткой самой катушки. Это последовательное сопротивление преобразует протекающий через катушку электрический ток  в тепло, что приводит к потере качества индукции, то есть добротности. Добротность является отношением индуктивности к сопротивлению.

Добротность катушки индуктивности может быть найдена через следующую формулу:

 где R является собственным сопротивлением обмотки.

Катушка индуктивности. Формула индуктивности

Базовая формула индуктивности катушки:

• L = индуктивность в генри
• μ 0 = проницаемость свободного пространства = 4π × 10 -7 Гн / м
• μ г = относительная проницаемость материала сердечника
• N = число витков
• A = Площадь поперечного сечения катушки в квадратных метрах (м 2 )
• l = длина катушки в метрах (м)

Индуктивность прямого проводника:

• L = индуктивность в нГн
• l = длина проводника
• d = диаметр проводника в тех же единицах, что и l

Индуктивность катушки с воздушным сердечником:

• L = индуктивность в мкГн
• r = внешний радиус катушки
• l = длина катушки
• N = число витков

Индуктивность многослойной катушки с воздушным сердечником:

• L = индуктивность в мкГн
• r = средний радиус катушки
• l = длина катушки
• N = число витков
• d = глубина катушки

Индуктивность плоской катушки:

• L = индуктивность в мкГн
• r = средний радиус катушки
• N = число витков
• d = глубина катушки

Конструкция катушки индуктивности

Катушка индуктивности представляет собой обмотку из проводящего материала, как правило, медной проволоки, намотанной вокруг либо железосодержащего сердечника, либо вообще без сердечника.

Применение в качестве сердечника материалов с высокой магнитной проницаемостью, более высокой чем воздух, способствует удержанию магнитного поля вблизи катушки, тем самым увеличивая ее индуктивность. Индуктивные катушки бывают разных форм и размеров.

Большинство изготавливаются путем намотки эмалированного медного провода поверх ферритового сердечника.

Некоторые индуктивные катушки имеют регулируемый сердечник, при помощи которого обеспечивается изменение индуктивности.

Миниатюрные катушки могут быть вытравлены непосредственно на печатной плате в виде спирали. Индуктивности с малым значением могут быть расположены в микросхемах с использованием тех же технологических процессов, которые используются при создании транзисторов.

Применение катушек индуктивности

Индуктивности широко используются в аналоговых схемах и схемах обработки сигналов. Они в сочетании с конденсаторами и другими радиокомпонентами образуют специальные схемы, которые могут усилить или отфильтровать сигналы определенной частоты.

Катушки индуктивности получили широкое применение начиная от больших катушек индуктивности, таких как дроссели в источниках питания, которые в сочетании с конденсаторами фильтра устраняют остаточные помехи и другие колебания на выходе источника питания, и до столь малых индуктивностей, которые располагаются внутри интегральных микросхем.

Две (или более) катушки индуктивности, которые соединены единым магнитным потоком, образуют трансформатор, являющимся основным компонентом схем работающих с электрической сетью электроснабжения. Эффективность трансформатора возрастает с увеличением частоты напряжения.

По этой причине, в самолетах используется переменное напряжение с частотой 400 герц вместо обычных 50 или 60 герц, что в свою очередь позволяет значительно сэкономить на массе используемых трансформаторов в электроснабжении самолета.

Так же индуктивности используются в качестве устройства для хранения энергии в импульсных стабилизаторах напряжения, в высоковольтных электрических системах передачи электроэнергии для преднамеренного снижения системного напряжения или ограничения ток короткого замыкания.

формула. Измерение индуктивности. Индуктивность контура

Кто в школе не изучал физику? Для кого-то она была интересна и понятна, а кто-то корпел над учебниками, пытаясь выучить наизусть сложные понятия. Но каждый из нас запомнил, что мир основан на физических знаниях. Сегодня мы поговорим о таких понятиях, как индуктивность тока, индуктивность контура, и узнаем, какие бывают конденсаторы и что такое соленоид.

Электрическая цепь и индуктивность

Индуктивность служит для характеристики магнитных свойств электрической цепи. Ее определяют как коэффициент пропорциональности между текущим электрическим током и магнитным потоком в замкнутом контуре. Поток создается этим током через поверхность контура. Еще одно определение гласит, что индуктивность является параметром электрической цепи и определяет ЭДС самоиндукции. Термин применяется для указания элемента цепи и приходится характеристикой эффекта самоиндукции, который был открыт Д. Генри и М. Фарадеем независимо друг от друга. Индуктивность связана с формой, размером контура и значением магнитной проницаемости окружающей среды. В единице измерения СИ эта величина измеряется в генри и обозначается как L.

Самоиндукция и измерение индуктивности

Индуктивностью называется величина, которая равна отношению магнитного потока, проходящего по всем виткам контура к силе тока:

Индуктивность контура находится в зависимости от формы, размеров контура и от магнитных свойств среды, в которой он находится. Если в замкнутом контуре протекает электрический ток, то возникает изменяющееся магнитное поле. Это впоследствии приведет к возникновению ЭДС. Рождение индукционного тока в замкнутом контуре носит название «самоиндукция». По правилу Ленца величина не дает изменяться току в контуре. Если обнаруживается самоиндукция, то можно применять электрическую цепь, в которой параллельно включены резистор и катушка с железным сердечником. Последовательно с ними подсоединены и электрические лампы. В этом случае сопротивление резистора равно сопротивлению на постоянном токе катушки. Результатом будет яркое горение ламп. Явление самоиндукции занимает одно из главных мест в радиотехнике и электротехнике.

Как найти индуктивность

Формула, которая является простейшей для нахождения величины, следующая:

где F – магнитный поток, I – ток в контуре.

Через индуктивность можно выразить ЭДС самоиндукции:

Из формулы напрашивается вывод о численном равенстве индукции с ЭДС, которое возникает в контуре при изменении силы тока на один амперметр за одну секунду.

Переменная индуктивность дает возможность найти и энергию магнитного поля:

«Катушка ниток»

Катушка индуктивности представляет собой намотанную изолированную медную проволоку на твердое основание. Что касается изоляции, то выбор материала широк – это и лак, и проводная изоляция, и ткань. Величина магнитного потока зависит от площади цилиндра. Если увеличить ток в катушке, то магнитное поле будет становиться все больше и наоборот.

Если подать электрический ток на катушку, то в ней возникнет напряжение, противоположное напряжению тока, но оно внезапно исчезает. Такого рода напряжение называется электродвижущей силой самоиндукции. В момент включения напряжения на катушку сила тока меняет свое значение от 0 до некоего числа. Напряжение в этот момент тоже меняет значение, согласно закону Ома:

где I характеризует силу тока, U – показывает напряжение, R – сопротивление катушки.

Еще одной особенной чертой катушки является следующий факт: если разомкнуть цепь «катушка – источник тока», то ЭДС добавится к напряжению. Ток тоже вначале вырастет, а потом пойдет на спад. Отсюда вытекает первый закон коммутации, в котором говорится, что сила тока в катушке индуктивности мгновенно не меняется.

Катушку можно разделить на два вида:

1. С магнитным наконечником. В роли материала сердца выступают ферриты и железо. Сердечники служат для повышения индуктивности.
2. С немагнитным. Используются в случаях, когда индуктивность не больше пяти миллиГенри.

Устройства различаются и по внешнему виду, и внутреннему строению. В зависимости от таких параметров находится индуктивность катушки. Формула в каждом случае разная. Например, для однослойной катушки индуктивность будет равна:

• L = 10µ0ΠN²R² : 9R + 10l.

А вот уже для многослойной другая формула:

• L= µ0N²R² :^{2Π(6R + 9l + 10w).}

Основные выводы, связанные с работой катушек:

1. На цилиндрическом феррите самая большая индуктивность возникает в середине.
2. Для получения максимальной индуктивности необходимо близко наматывать витки на катушку.
3. Индуктивность тем меньше, чем меньше количество витков.
4. В тороидальном сердечнике расстояние между витками не играет роли катушки.
5. Значение индуктивности зависит от «витков в квадрате».
6. Если последовательно соединить индуктивности, то их общее значение равно сумме индуктивностей.
7. При параллельном соединении нужно следить, чтобы индуктивности были разнесены на плате. В противном случае их показания будут неправильными за счет взаимного влияния магнитных полей.

Соленоид

Под этим понятием понимается цилиндрическая обмотка из провода, который может быть намотан в один или несколько слоев. Длина цилиндра значительно больше диаметра. За счет такой особенности при подаче электрического тока в полости соленоида рождается магнитное поле. Скорость изменения магнитного потока пропорциональна изменению тока. Индуктивность соленоида в этом случае рассчитывается следующим образом:

Еще эту разновидность катушек называют электромеханическим исполнительным механизмом с втягиваемым сердечником. В данном случае соленоид снабжается внешним ферромагнитным магнитопроводом – ярмом.

В наше время устройство может соединять в себе гидравлику и электронику. На этой основе созданы четыре модели:

• Первая способна контролировать линейное давление.
• Вторая модель отличается от других принудительным управлением блокировки муфты в гидротрансформаторах.
• Третья модель содержит в своем составе регуляторы давления, отвечающие за работу переключения скоростей.
• Четвертая управляется гидравлическим способом или клапанами.

Необходимые формулы для расчетов

Чтобы найти индуктивность соленоида, формула применяется следующая:

где µ0 показывает магнитную проницаемость вакуума, n – это число витков, V – объем соленоида.

Также провести расчет индуктивности соленоида можно и с помощью еще одной формулы:

где S – это площадь поперечного сечения, а l – длина соленоида.

Чтобы найти индуктивность соленоида, формула применяется любая, которая подходит по решению к данной задаче.

Работа на постоянном и переменном токе

Магнитное поле, которое создается внутри катушки, направлено вдоль оси, и равно:

где µ0 – это магнитная проницаемость вакуума, n – это число витков, а I – значение тока.

Когда ток движется по соленоиду, то катушка запасает энергию, которая равна работе, необходимая для установления тока. Чтобы вычислить в этом случае индуктивность, формула используется следующая:

где L показывает значение индуктивности, а E – запасающую энергию.

ЭДС самоиндукции возникает при изменении тока в соленоиде.

В случае работы на переменном токе появляется переменное магнитное поле. Направление силы притяжения может изменяться, а может оставаться неизменным. Первый случай возникает при использовании соленоида как электромагнита. А второй, когда якорь сделан из магнитомягкого материала. Соленоид на переменном токе имеет комплексное сопротивление, в которое включаются сопротивление обмотки и ее индуктивность.

Самое распространенное применение соленоидов первого типа (постоянного тока) — это в роли поступательного силового электропривода. Сила зависит от строения сердечника и корпуса. Примерами использования являются работа ножниц при отрезании чеков в кассовых аппаратах, клапаны в двигателях и гидравлических системах, язычки замков. Соленоиды второго типа применяются как индукторы для индукционного нагрева в тигельных печах.

Колебательные контуры

Простейшей резонансной цепью является последовательный колебательный контур, состоящий из включенных катушек индуктивности и конденсатора, через которые протекает переменный ток. Чтобы определить индуктивность катушки, формула используется следующая:

где XL показывает реактивное сопротивление катушки, а W — круговая частота.

Если используется реактивное сопротивление конденсатора, то формула будет выглядеть следующим образом:

Xc = 1 : W х C.

Важными характеристиками колебательного контура являются резонансная частота, волновое сопротивление и добротность контура. Первая характеризует частоту, где сопротивление контура имеет активный характер. Вторая показывает, как проходит реактивное сопротивление на резонансной частоте между такими величинами, как емкость и индуктивность колебательного контура. Третья характеристика определяет амплитуду и ширину амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) резонанса и показывает размеры запаса энергии в контуре по сравнению с потерями энергии за один период колебаний. В технике частотные свойства цепей оцениваются при помощи АЧХ. В этом случае цепь рассматривается как четырехполюсник. При изображении графиков используется значение коэффициента передачи цепи по напряжению (К). Эта величина показывает отношение выходного напряжения к входному. Для цепей, которые не содержат источников энергии и различных усилительных элементов, значение коэффициента не больше единицы. Оно стремится к нулю, когда на частотах, отличающихся от резонансной, сопротивление контура имеет высокое значение. Если же величина сопротивления минимальна, то коэффициент близок к единице.

При параллельном колебательном контуре включены два реактивных элемента с разной силой реактивности. Использование такого вида контура подразумевает знание, что при параллельном включении элементов нужно складывать только их проводимости, но не сопротивления. На резонансной частоте суммарная проводимость контура равна нулю, что говорит о бесконечно большом сопротивлении переменному току. Для контура, в котором параллельно включены емкость (C), сопротивление (R) и индуктивность, формула, объединяющая их и добротность (Q), следующая:

При работе параллельного контура за один период колебаний дважды происходит энергетический обмен между конденсатором и катушкой. В этом случае появляется контурный ток, который значительно больше значения тока во внешней цепи.

Работа конденсатора

Устройство представляет собой двухполюсник малой проводимости и с переменным или постоянным значением емкости. Когда конденсатор не заряжен, сопротивление его близко к нулю, в противном случае оно равно бесконечности. Если источник тока отсоединить от данного элемента, то он становится этим источником до своей разрядки. Использование конденсатора в электронике заключается в роли фильтров, которые удаляют помехи. Данное устройство в блоках питания на силовых цепях применяются для подпитки системы при больших нагрузках. Это основано на способности элемента пропускать переменную составляющую, но непостоянный ток. Чем выше частота составляющей, тем меньше у конденсатора сопротивление. В результате через конденсатор глушатся все помехи, которые идут поверх постоянного напряжения.

Сопротивление элемента зависит от емкости. Исходя из этого, правильнее будет ставить конденсаторы с различным объемом, чтобы улавливать разного рода помехи. Благодаря способности устройства пропускать постоянный ток только в период заряда его используют как времязадающий элемент в генераторах или как формирующее звено импульса.

Конденсаторы бывают многих типов. В основном используется классификация по типу диэлектрика, так как этот параметр определяет стабильность емкости, сопротивление изоляции и так далее. Систематизация по данной величине следующая:

1. Конденсаторы с газообразным диэлектриком.
2. Вакуумные.
3. С жидким диэлектриком.
4. С твердым неорганическим диэлектриком.
5. С твердым органическим диэлектриком.
6. Твердотельные.
7. Электролитические.

Существует классификация конденсаторов по назначению (общий или специальный), по характеру защиты от внешних факторов (защищенные и незащищенные, изолированные и неизолированные, уплотненные и герметизированные), по технике монтажа (для навесного, печатного, поверхностного, с выводами под винт, с защелкивающимися выводами). Также устройства можно различить по способности к изменению емкости:

1. Постоянные конденсаторы, то есть у которых емкость остается всегда постоянной.
2. Подстроечные. У них емкость не меняется при работе аппаратуры, но можно ее регулировать разово или периодически.
3. Переменные. Это конденсаторы, которые допускают в процессе функционирования аппаратуры изменение ее емкости.

Индуктивность и конденсатор

Токоведущие элементы устройства способны создавать его собственную индуктивность. Это такие конструктивные части, как кладки, соединительные шины, токоотводы, выводы и предохранители. Можно создать дополнительную индуктивность конденсатора путем присоединения шин. Режим работы электрической цепи зависит от индуктивности, емкости и активного сопротивления. Формула расчета индуктивности, которая возникает при приближении к резонансной частоте, следующая:

где Ce определяет эффективную емкость конденсатора, C показывает действительную емкость, f – это частота, L – индуктивность.

Значение индуктивности всегда должно учитываться при работе с силовыми конденсаторами. Для импульсных конденсаторов наиболее важна величина собственной индуктивности. Их разряд приходится на индуктивный контур и имеет два вида – апериодический и колебательный.

Индуктивность в конденсаторе находится в зависимости от схемы соединения элементов в нем. Например, при параллельном соединении секций и шин эта величина равна сумме индуктивностей пакета главных шин и выводов. Чтобы найти такого рода индуктивность, формула следующая:

где Lk показывает индуктивность устройства, Lp –пакета, Lm – главных шин, а Lb – индуктивность выводов.

Если при параллельном соединении ток шины меняется по ее длине, то тогда эквивалентная индуктивность определяется так:

• Lk = Lc : n + µ0 l х d : (3b) + Lb,

где l – длина шин, b – ее ширина, а d – расстояние между шинами.

Чтобы снизить индуктивность устройства, необходимо токоведущие части конденсатора расположить так, чтобы взаимно компенсировались их магнитные поля. Иными словами, токоведущие части с одинаковым движением тока нужно удалять друг от друга как можно дальше, а с противоположным направлением сближать. При совмещении токоотводов с уменьшением толщины диэлектрика можно снизить индуктивность секции. Этого можно достигнуть еще путем деления одной секции с большим объемом на несколько с более мелкой емкостью.

Катушка индуктивности в цепи постоянного и переменного тока

Как ведет себя катушка индуктивности в цепи постоянного и переменного тока?

Катушка индуктивности в цепи постоянного тока

Итак, для этого опыта нам понадобится блок питания, который выдает постоянное напряжение, лампочка накаливания и собственно сама катушка индуктивности.

Чтобы сделать катушку индуктивности с хорошей индуктивностью, нам надо взять ферритовый сердечник:

Намотать на него лакированного медного провода и зачистить выводы:

Замеряем индуктивность нашей катушки с помощью LC метра:

132 микрогенри.

Теперь собираем все это вот по такой схеме:

где

L – катушка индуктивности

La – лампочка накаливания на напряжение 12 Вольт

Bat – блок питания, с выставленным напряжением 12 Вольт

Лампочка засветилась!

Как вы помните из прошлой статьи, конденсатор у нас не пропускал  постоянный электрический ток:

Делаем вывод: постоянный электрический ток почти беспрепятственно течет через катушку индуктивности. Сопротивлением обладает только сам  провод, из которого намотана катушка.

Катушка индуктивности в цепи переменного тока

Для того, чтобы узнать, как ведет себя катушка индуктивности в цепи переменного тока, нам понадобится осциллограф, генератор частоты, собственно сама катушка индуктивности и резистор на 100 Ом.  Чем больше сопротивление, тем меньше будет проседать напряжение с моего генератора частоты, поэтому я взял резистор на 100 Ом.Он у меня будет в качестве шунта. Падение напряжения на этом резисторе будет зависеть от тока, протекающего через него

Собираем все это дело по такой схеме:

Получилось как то так:

Сразу договоримся, что у нас первый канал будет красным цветом, а второй канал – желтым. Следовательно, красная синусоида – это частота, которую нам выдает генератор частоты, а желтая синусоида – это сигнал, который снимается с резистора.

Мы с вами узнали, что при нулевой частоте (постоянный ток), катушка почти беспрепятственно пропускает через себя электрический ток. В нашем опыте мы будем подавать с генератора частоты синусоидальный сигнал с разной частотой и смотреть, меняется ли напряжение на резисторе.

Опыт N1

Для начала подаем сигнал  с частотой  в 1 Килогерц.

Давайте разберемся, что есть что. В зеленой рамочке я вывел автоматические замеры, которые делает осциллограф

Красный кружок с цифрой “1” – это замеры “красного”канала. Как мы видим, F (частота) =1 Килогерц, а Ма (амплитуда) = 1,96 Вольт. Ну грубо скажем 2 Вольта. Смотрим на кружочек с цифрой “2”. F=1 Килогерц, а Ма=1,96 Вольт. То есть можно сказать, что сигнал на выходе точно такой же, как и на входе.

Увеличиваем частоту до 10 Килогерц

Амплитуда не уменьшилась. Сигнал какой есть, такой и остался.

Увеличиваем до 100 Килогерц

Заметили разницу? Амплитуда желтого сигнала стала меньше, да еще и график желтого сигнала сдвигается вправо, то есть запаздывает, или научным языком, появляется сдвиг фаз. Красный сигнал никуда не сдвигается, запаздывает именно желтый. Это имейте ввиду.

Сдвиг фаз – это разность между начальными фазами двух измеряемых величин. В данном случае напряжения. Для того, чтобы произвести замер сдвига фаз, должно быть условие, что у этих сигналов одна и та же частота. Амплитуда может быть любой. Ниже на рисунке приведен этот самый сдвиг фаз или, как еще его называют, разность фаз:

Увеличиваем частоту до 200 Килогерц

На частоте 200 Килогерц амплитуда упала вдвое, да и разность фаз стала больше.

Увеличиваем частоту до 300 Килогерц.

Амплитуда  желтого сигнала упала уже до 720 милливольт. Разность фаз стала еще больше.

Увеличиваем частоту до 500 Килогерц

Амплитуда уменьшилась до 480 милливольт.

Добавляем еще частоту до 1 Мегагерц

Амплитуда желтого канала  стала 280 милливольт.

Ну и добавляем частоту до предела, который позволяет выдать генератор частоты: 2 Мегагерца

Амплитуда “желтого” сигнала стала настолько маленькой, что мне пришлось ее даже увеличить в 5 раз.

И можно сказать, что сдвиг фаз стал почти 90 градусов или π/2.

Но станет ли сдвиг фаз больше, чем 90 градусов, если подать очень-очень большую частоту? Эксперименты говорят, что нет. Если сказать просто, то при бесконечной частоте сдвиг фаз будет равняться 90 градусов. Если совместить наши графики на бесконечной частоте, то можно увидеть примерно вот такой рисунок:

Так какой вывод можно сделать?

С увеличением частоты сопротивление катушки растет,  а также увеличивается сдвиг фаз. И чем больше частота, тем больше будет сдвиг фазы, но не более, чем 90 градусов.

Опыт N2

Давайте же уменьшим индуктивность катушки. Прогоним еще раз по тем же самым частотам. Я убрал половину витков и сделал витки на край феррита, тем самым уменьшил индуктивность до 33 микрогенри.

Итак, прогоняем все по тем же значениям частоты

При  частоте в 1 Килогерц у  нас значение почти не изменилось.

10 Килогерц

Здесь тоже  ничего не изменилось.

100 Килогерц

Тоже почти ничего не изменилось, кроме того, что желтый сигнал стал тихонько сдвигаться.

200 Килогерц

Здесь уже видим, что амплитуда на желтом сигнале начинает проседать и сдвиг фаз наращивает обороты.

300 Килогерц

Сдвиг фаз стал больше и амплитуда просела еще больше

500 Килогерц

Сдвиг стал еще больше и амплитуда желтого сигнала тоже просела.

1 Мегагерц

Амплитуда желтого сигнала падает, сдвиг фаз прибавляется. 😉

2 Мегагерца, предел моего генератор частоты

Сдвиг фаз стал почти равен 90 градусов, а амплитуда стала даже меньше, чем пол Вольта.

Обратите внимание на амплитуду в Вольтах  на тех же самых частотах. В первом случае у нас индуктивность была больше, чем во втором случае, но амплитуда желтого сигнала во втором случае больше, чем в первом.

Отсюда вывод напрашивается сам собой:

При уменьшении индуктивности, сопротивление катушки индуктивности также уменьшается.

Реактивное сопротивление катушки индуктивности

С помощью нехитрых умозаключений, физиками была выведена формула:

где

Х_L –  реактивное сопротивление катушки, Ом

П – постоянная и равна  приблизительно 3,14

F – частота, Гц

L – индуктивность, Гн

В данном опыте мы с вами получили фильтр низких частот (ФНЧ). Как вы видели сами, на низких частотах катушка индуктивности почти не оказывает сопротивление напряжению, следовательно амплитуда  и мощность  на выходе такого фильтра будет почти такой же, как и на входе. Но с увеличением частоты у нас амплитуда гасится. Применив такой фильтр на динамик, можно с уверенностью сказать, что будет усиливаться только бас, то есть низкая частота звука.

Заключение

Постоянный ток протекает через катушку индуктивности без каких-либо проблем. Сопротивлением обладает только сам провод, из которого намотана катушка.

Сопротивление катушки зависит от частоты протекающего через нее тока и выражается формулой:

Расчёт индуктивности. Часть 1 | HomeElectronics

Всем доброго времени суток! В прошлой статье я рассказывал о таком явлении как электромагнитная индукция и ЭДС возникающая при самоиндукции и взаимной индукции. Устройства, в основе которых лежат данные явления и процессы, называются индуктивными элементами (катушки колебательных контуров, трансформаторы, дроссели, реакторы). В качестве одного из основных параметров данных элементов выступает индуктивность L(также имеет название коэффициента самоиндукции). О том, как рассчитать данный параметр пойдёт речь в данной статье.

Для сборки радиоэлектронного устройства можно преобрески DIY KIT набор по ссылке.

Методы расчёта индуктивностей

Индуктивностью (обозначается L) или коэффициентом самоиндукции называется коэффициент пропорциональности между потокосцеплением (обозначается Ψ­_L) и электрическим током, который возбуждает данное потокосцепление.

В простых случаях индуктивность можно рассчитать, применяя формулы для вычисления магнитной индукции B₀ (закон Био-Савара-Лапласа), магнитного потока Φ и потокосцепления Ψ­_L

где S – площадь поверхности ограниченная контуром, который создает магнитную индукцию;

n – количество контуров с током, которые пронизывает магнитный поток.

Однако это в идеальном случае, в реальности говоря о токе I, который протекает по проводнику, необходимо отметить, что его распределение по сечению проводника не всегда равномерно, вследствие возникновения скин-эффекта при переменном токе. В результате этого эффекта плотность электрического тока распределяется неравномерно, происходит её уменьшение от внешнего слоя проводника к его центру. Уменьшение плотности тока также происходит неравномерно и зависит от частоты переменного тока. Для оценки скин-эффекта ввели понятие толщины скин-слоя ∆, которая показывает, на каком расстоянии от поверхности проводника плотность тока падает в е = 2,718 раз. Толщину скин-слоя можно вычислить по выражению

где δ – глубина проникновения переменного тока или толщина скин-слоя;

μ – магнитная проницаемость вещества;

γ – удельная электрическая проводимость материала проводника;

ω – круговая частота переменного тока, ω = 2πf.

Поэтому непосредственный способ вычисления индуктивности практически не применяется.

На практике применяется выражения для индуктивности, выведенные с некоторыми допущениями, погрешности вычисления индуктивности по этим выражениями составляет порядка нескольких процентов.

Так как индуктивные элементы довольно разнообразны, их можно разделить на три группы:

индуктивные элементы без сердечников;

индуктивные элементы с замкнутыми сердечниками;

индуктивные элементы с сердечниками, имеющие воздушный зазор.

Самые простые по конструкции являются индуктивные элементы без сердечников, поэтому рассмотрим их в первую очередь. Простейшим из таких элементов является прямой провод.

Индуктивность прямолинейного провода круглого сечения

При расчёте индуктивности необходимо разделять индуктивность на постоянном токе и индуктивность на высокой частоте. Под высокой частотой следует понимать такую частоту, на которой толщина скин-слоя меньше размеров поперечного сечения провода. В случае если толщина скин-слоя больше поперечных размеров провода, то можно вести расчёт для постоянного тока.

Определение индуктивности прямого провода. l – это длина проводника, d = 2r – диаметр проводника.

В случае постоянного тока или тока низкой частоты индуктивность составит

где μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м;

l – длина провода, м;

d – диаметр провода, м.

Как я уже говорил, на величину индуктивности влияет частота переменного тока, поэтому в случае необходимости рассчитать индуктивность на любой частоте применяется следующее выражение

где ξ – коэффициент, вносящий поправку на распространение переменного тока по сечению провода. Данный коэффициент зависит от величины k*r, где

d = 2r – диаметр поперечного сечения провода, м.

где ω – угловая частота переменного тока, ω = 2πf;

μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м;

γ – удельная проводимость вещества проводника.

Тогда если k*r < 3, то

если k*r > 3, то

где

Пример. Необходимо рассчитать индуктивность прямолинейного провода круглого сечения из меди (γ = 5,81*10⁷ См/м) диаметром d = 2 мм и длиной l = 4 м, при постоянном токе и токе частотой f = 50 кГц.

На постоянном токе

На частоте 50 кГц

Индуктивность кругового кольца круглого сечения

Теперь рассмотрим, какова будет индуктивность если провод свернуть в кольцо. Такой индуктивный элемент будет иметь вид

Определение индуктивности кругового витка. D – диаметр кольца (витка), d – диаметр провода, из которого сделано кольцо (виток).

При этом его индуктивность можно вычислить по следующему выражению

для  постоянного тока

где R – радиус витка, м, R = D/2;

r – радиус провода, м, r = d/2;

μ₀ – магнитная постоянная, μ₀ = 4π•10^-7 Гн/м.

Так же как и для проводника существует выражение для индуктивности кругового витка на любой частоте

где ξ – коэффициент, вносящий поправку на распространение переменного тока по сечению провода. Определяется также как и для прямого проводника.

Пример. В качестве примера рассчитаем индуктивность такого же провода, как и в первом примере, только свёрнутом в кольцо. В этом случае диаметр провода d = 2 мм, а диаметр кольца D = l/π = 4/3,142 ≈ 1,273 м, провод выполнен из меди (γ = 5,81*10⁷ См/м).

Для постоянного тока индуктивность составит

На частоте 50 кГц

В следующей части я продолжу рассмотрение расчётов индуктивности для различных индуктивных элементов.

Теория это хорошо, но без практического применения это просто слова.Здесь можно всё сделать своими руками.

3. Факторы, влияющие на индуктивность катушки | 14. Катушки индуктивности | Часть1

3. Факторы, влияющие на индуктивность катушки

Факторы, влияющие на индуктивность катушки

На индуктивность катушки оказывают влияние следующие основные факторы:

Число витков провода в катушке: При прочих равных условиях, увеличение числа витков приводит к увеличению индуктивности; уменьшение числа витков приводит к уменьшению индуктивности.

Пояснение: чем больше количество витков, тем больше будет магнитодвижущая сила для заданной величины тока.

 

 

Площадь поперечного сечения катушки: При прочих равных условиях, катушка с большей площадью поперечного сечения будет иметь большую индуктивность; а катушка с меньшей площадью поперечного сечения — меньшую индуктивность.

Пояснение: Катушка с большей площадью поперечного сечения оказывает меньшее сопротивление формированию магнитного потока для заданной величины магнитодвижущей силы.

 

 

Длина катушки: При прочих равных условиях, чем больше длина катушки, тем меньше ее индуктивность; чем меньше длина катушки, тем больше ее индуктивность.

Пояснение: Чем больше длина катушки, тем большее сопротивление она оказывает формированию магнитного потока для заданной величины магнитодвижущей силы.

 

 

Материал сердечника: При прочих равных условиях, чем больше магнитная проницаемость сердечника, вокруг которого намотана катушка, тем больше индуктивность; чем меньше магнитная проницаемость сердечника — тем меньше индуктивность.

Пояснение: Материал сердечника с большей магнитной проницаемостью способствует формированию большего магнитного потока для заданной величины магнитодвижущей силы.

 

 

Приблизительное значение индуктивности любой катушки можно найти по следующей формуле:

 

 

Следует понимать, что данная формула дает только приблизительные цифры. Одной из причин такого положения дел является изменение величины магнитной проницаемости при изменении напряженности магнитного поля (вспомните нелинейность кривой В/Н для разных материалов). Очевидно, если проницаемость (µ) в уравнении будет непостоянна, то и индуктивность (L) также будет в некоторой степени непостоянна. Если гистерезис материала сердечника будет существенным, то это непременно отразится на индуктивности катушки. Разработчики катушек индуктивности пытаются минимизировать эти эффекты, проектируя сердечник таким образом, чтобы его намагниченность никогда не приближалась к уровням насыщения, и катушка работала в более линейной части кривой B/H.

Если катушку сделать таким образом, что любой из вышеперечисленных факторов у нее можно механически изменить, то получится катушка с регулируемой величиной индуктивности или вариометр. Наиболее часто встречаются вариометры, индуктивность которых регулируется количеством витков или  положением сердечника (который перемещается внутри катушки). Пример вариометра с изменяемым количеством витков можно увидеть на следующей фотографии:

 

 

Это устройство использует подвижные медные контакты, которые подключаются к катушке в различных точках ее длины. Подобные катушки, имеющие воздушный сердечник, применялись в разработке самых первых радиоприемных устройств.

Катушка с фиксированными значениями индуктивности, показанная на следующей фотографии, представляет собой еще одно раритетное устройство, использовавшееся в первых радиостанциях. Здесь вы можете увидеть несколько витков относительно толстого провода, а так же соединительные выводы:

 

 

А это еще одна катушка индуктивности, так же предназначенная для радиостанций. Для большей жесткости ее провод намотан на керамический каркас:

 

 

Многие катушки индуктивности обладают небольшими размерами, что позволяет монтировать их непосредственно на печатные платы. Посмотрев внимательно на следующую фотографию, можно увидеть две расположенные рядом катушки:

 

 

Две катушки индуктивности расположены справа в центре этой платы и имеют обозначения L₁ и L₂. В непосредственной близости от них находятся резистор R₃ и конденсатор С₁₆. Показанные на плате катушки называются «торроидальными», так как их провод намотан вокруг сердечника, имеющего форму тора.

Как резисторы и конденсаторы, катушки индуктивности могут выполняться в корпусе для поверхностного монтажа (SMD). На следующей фотографии представлено несколько таких катушек:

 

 

Две индуктивности здесь расположены справа в центре платы. Они представляют собой маленькие черные чипы с номером «100», а над одной из них можно увидеть обозначение L₅.

ИНДУКТИВНОСТЬ — это… Что такое ИНДУКТИВНОСТЬ?

в электродинамике (коэффициент самоиндукции) (от лат. inductio — наведение, побуждение) — параметр электрич. цепи, определяющий величину эдс самоиндукции, наводимой в цепи при изменении протекающего по ней тока и (или) при её деформации. Термин «И.» употребляется также для обозначения элемента цени (двухполюсника), определяющего её индуктивные свойства (синоним — катушка самоиндукции).И. является количеств. характеристикой эффекта самоиндукции, открытого независимо Дж. Генри (J. Henry) в 1832 и М. Фарадеем (М. Faraday) в 1835. При изменении тока в цепи и (или) при её деформации происходит изменение магн. поля, к-рое, в соответствии с законом индукции, приводит к возникновениювихревого электрич. поля E(r, t )с отличной от нуля циркуляцией

по замкнутым контурам l_i;пронизываемым магн. потоком Ф _i. Внутри проводника вихревое поле Е взаимодействует с порождающим его током и оказывает противодействие изменению магн. потока (Ленца правило). Циркуляция E_i и магн. поток Ф _i существенно зависят от выбора контура l_i внутри проводника конечной толщины. Однако при медленных движениях и квазистацнонарных процессах, когда полный ток

(j — плотностьтока) одинаков для всех нормальных сечений провода S _пр, допустим переход к усреднённым характеристикам: эдс самоиндукции E _си=<E_i> )и сцепленному с проводящим контуром магн. потоку Ф=<Ф _i>_. В предположении о том, что линии тока замыкаются сами на себя при одном обходе по контуру,

где r_^ , — радиус-векторы точек нормального сечения провода, Ф _j(r_^) — магн. поток через поверхность, ограниченную линией тока, проходящей через точку r_^, E_j(r_^) — циркуляция вектора E вдоль этой линии тока, j_n — нормальная к S_np составляющая j. В более сложных ситуациях, когда линии тока замыкаются после неск. обходов по контуру или вообще не являются замкнутыми кривыми, процедура усреднения требует уточнений, однако во всех случаях она должнаудовлетворять энергетич. соотношению: =E _сиI ( Р— суммарная мощность взаимодействия поля с током).Усреднённый магн. поток в случае квазистацнонарных процессов пропорц. току:

Ф=L.I (в СИ), Ф=¹/_c(LI)(в системе СГС). (1)

Коэф. L и Lназ. И. Величина L измеряется в генри, L — в см.

E _си=-d/dt(LI) (в СИ), E_cи⁼-(1/с ²)(d/dt)(LI)(2) (в системе СГС).

Производная по времени от И. определяет ту часть E _си, к-рая связана с деформацией проводящего контура; в случае недеформируемых цепей и квазистационарных процессов И. может быть вынесена из-под знака дифференцирования. энергия, запасённая в создаваемом им магн. поле, записывается в форме, аналогичной выражению для кинетич. энергии.

W^m=¹/₂LI² (в СИ), W^m=¹/₂c²LI² (в системе СГС). (3)

Соотношение (3) позволяет различать И. внутреннюю L_i, определяющую энергию магн. поля, сосредоточенного в проводниках, и внешнюю L_e, связанную с внеш. магн. полем (L=L_i+L_e, L=L_i+L_e). В важном частном случае токовой цепи, выполненной из проводов, толщина к-рых мала по сравнению с радиусамиих изгибов или расстояниями между соседними проводами, можно считать, что структура токов и ближнего магн. поля такая же, как и для прямого провода того же сечения (подобные проводники наз. квазилинейными). В приближении заданной структуры токов, не зависящей от способа их возбуждения, И. определяется только геометрией проводящей цепи (толщиной и длиной проводов и их формой). Для квазилинейного провода кругового сечения L_i=(m₀/8p)m_il (l — длина провода, m_i — магн. проницаемость проводника), а внешняя И. может быть представлена как индуктивность взаимная двух параллельных бесконечно тонких проводящих нитей, одна из к-рых (l₁) совпадает с осевой линией проводника, а другая (l₂) совмещена с его поверхностью:

где r₁, r₂ — радиус-векторы точек на контурах l_l,<sub>l2,m е — магн. проницаемость окружающей среды [для аналогия, соотношений в системе СГС L «(m0/4p)L]. Из (4) видно, что Le логарифмически расходится при стремлении радиуса провода к нулю, поэтому идеализацией бесконечно тонкого провода нельзя пользоваться при описании явлений самоиндукции. Приближённые вычисления интеграла в (4) с учётом внутренней И. дают:

где l и а — длина и радиус провода. Это выражение обладает логарифмич. точностью — его относит. погрешность порядка величины l/ln(l/a). Примеры типичных электрич. цепей и выражения для их И. приведены на рис. 1 и 2.

Рис. 1. Круговой виток. Индуктивность витка (проводящего тора): L=m0R(ln(8R/r)-2+¹/4mi), Гн, r<<R.</sub>

Особое значение в электротехнике и радиотехнике имеют проволочные катушки с достаточно плотной намоткой — соленоиды (рис. 3), применяемые для увеличения И. Поскольку И. цепей, в к-рые включены соленоиды, ими в основном и определяются, принято говорить об И. соленоида. Под величиной И. идеальногосоленоида понимают И. эфф. проводящей поверхности (совпадающей с его каркасом), по к-рой протекают азимутальные поверхностные токи с плотностью j _пов=Ik (I — ток в соленоиде, k — число витков на единице длины).

Понятие И. допускает обобщение на быстропеременные гармонич. ехр(iwt)-процессы, при описании к-рых нельзя пренебрегать запаздыванием эл.-магп. взаимодействий, скин-эффектом в проводниках, дисперсией среды. Комплексные амплитуды тока I_w и эдс самоиндукции E_w связаны соотношением:

И. L(w) зависит от частоты (как правило, уменьшается с её ростом). Эфф. сопротивление R_L(w) определяет часть энергетич. потерь, в т. ч. потери на излучение, и связано с L(w) Крамерса — Кронига соотношением:

где интеграл берётся в смысле гл. значения. На низких частотах сопротивлением R_L(w) можно пренебречь, тогда E_w и I_w сдвинуты по фазе на p/2. Соотношение (3) для высокочастотных процессов преобразуется к виду:

где W^m_w— усреднённая по периоду колебаний энергия ближних (квазистационарных) магн. полей (полная магн. энергия поля не определена из-за линейно растущей во времени энергии поля излучения).Если в цепи действует гармонич. сторонняя эдс , то во втором законе Кирхгофа величина E_w может быть перенесена (со сменой знака) в правую часть равенства:

где С —ёмкость, включённая в цепь. Соотношение (9) позволяет трактовать величину Z_L=iwLкак индуктивную часть импеданса цепи (при атом Z_C=-i/w С —ёмкостная, a Z_R=R— активная части полного импеданса Z=Z_L+Z_C+Z_R). Принято считать, что импеданс двухполюсника имеет индуктивный характер, если его мнимая часть больше нуля [если рассматриваются ехр (-iwt)-процессы, то меньше нуля]. В технике довольно часто И. наз. любой двухполюсник, импеданс к-рого имеет индуктивный характер п в опредсл. диапазоне частот линейно зависит от w. Если индуктивные элементы выполнены в виде катушек самоиндукции, то считать их двухполюсниками можно, вообще говоря, только в том случае, когда взаимодействие через магн. поля между ними и с др. элементами цепи пренебрежимо мало. Тогда их импедансы можно складывать в соответствии с правилами Кирхгофа: при последовательном соединении , а при параллельном При описании сильноточных цепей часто требуется обобщение понятия И. на случай нелинейных систем. Если неподвижный проводящий контур помещён всреду, в к-рой вектор магн. индукции В и напряжённость магн. поля Н связаны нелинейным локальным соотношением: B(r, t)=B[H(r, t)], то сцепленный с контуром магн. поток можно считать однозначной ф-цией тока Ф=Ф(I). В соответствии с законом индукции Фарадея, эдс самоиндукции в контуре равна:

Величина L _Д(I)=d Ф /dIназ. дифференциальной (или иногда динамической) И. Выражение для запасённой энергии пост. тока приобретает вид:

B линейном приближении (при I «0) L _Д «L и выражения (10), (11) переходят в (2) и (3) соответственно. Лит.: Тамм И. Е., Основы теории электричества9 изд., М., 1976; Калантаров П. Л., Цейтлин Л. А. Расчет индуктивностей, 3 изд., Л., 1986; Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М., Электродинамика сплошных сред, 2 изд. М., 1982. М. А. Миллер, Г. В. Пермитин

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.