Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика.

1 Доля П.Г. Харьковский Национальный Университет механико математический факультет кафедра геометрии им. А.В. Погорелова Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление 1. Алгебра высказываний и логика. 1.1 Высказывания и логические операции Условные высказывания Основные теоремы алгебры логики Полнота в логике высказываний Упражнения Высказывания и логические операции Логика это наука о рассуждениях, которая позволяет определить истинность или ложность того или иного математического утверждения, исходя из совокупности первичных предположений, называемых аксиомами. Блоками формальной логики являются высказывания. Высказывание это утверждение или повествовательное предложение, о котором можно сказать, что оно истинно или ложно. Истинность или ложность, приписываемые некоторому высказыванию, называются его значением. Пример высказываний: земля плоская; Вася студент; 18 четное число. Вот примеры предложений, не являющихся высказываниями: Кто вы? (вопрос), Прочтите эту главу до следующего занятия (приказ или восклицание), Это утверждение ложно (внутренне противоречивое утверждение). Будем обозначать высказывания буквами латинского алфавита р, q, r,… Например, р может обозначать утверждение: Завтра будет дождь, a q утверждение: Квадрат целого числа есть число положительное. В обыденной речи для образования сложного предложения из простых используются связки особые части речи, соединяющие отдельные предложения. Наиболее часто употребляются связки и, или, нет, если… то, только если, тогда и только тогда. В отличие от обыденной речи, в логике смысл таких связок должен быть определен однозначно.

2 Истинность сложного высказывания однозначно определяется истинностью или ложностью составляющих его частей. Высказывание, не содержащее связок, называется простым. Высказывание, содержащее связки, называется сложным. Чтобы при формулировке сложных высказываний не возникали неоднозначности трактовки необходимо соблюдать некоторые правила. Правило тождественности: значения слов использованных в повествовательном предложении (высказывании) должны быть уточнены так, чтобы сказанное в нем было безусловно верным или неверным, но не тем и другим одновременно. Значение слов, сказанных в предложении, в продолжение обсуждения не меняется. Правило исключающего третьего: Все используемые утверждения или правильные или нет другие оценки невозможны. Правило противоречия: утверждение и его отрицание не могут быть истинными одновременно. Рассмотрим пример. Пусть р и q обозначают высказывания p: Николай водит автомобиль, q: У Елены светлые волосы. Сложное высказывание Николай водит автомобиль и у Елены светлые волосы. состоит из двух частей, объединенных связкой И. Это высказывание может быть символически записано в виде p и q или p q где символ заменяет союз и на языке символических выражений. Выражение p q называется конъюнкцией высказываний p и q или логическим умножением. Другое высказывание Николай водит автомобиль или у Елены светлые волосы. символически выражается как p или q или p q где символ заменяет союз или в переводе на символический язык. Выражение p q называется дизъюнкцией высказываний p и q или логическим сложением. Опровержение, или отрицание высказывания р обозначается через ~p. Например, если р есть высказывание Николай водит автомобиль, то ~р это утверждение Николай не водит автомобиль. Пусть есть еще одно утверждение r: Саше нравится программирование. Тогда предложение

3 Николай не водит автомобиль и у Елены светлые волосы или Саше нравится программирование символически запишется так (( ~ p) q) r. Наоборот, выражение p ( ~ q) r является символической записью высказывания Николай водит автомобиль, у Елены волосы не светлые и Саше нравится программирование. Рассмотрим выражение p q. Если некто говорит: Николай водит автомобиль и у Елены светлые волосы, то мы представляем Николая за рулем автомобиля и светловолосую Елену. В любой другой ситуации (например, если Елена имеет темные волосы или Николай не водит автомобиль) мы скажем, что говорящий не прав, т.е. его высказывание ложно. Всего возможны четыре случая. Высказывание р может быть истинным (Т = True = Истина) или ложным (F = False = Ложь). Независимо от значения p высказывание q также может быть истинным (Т) или ложным (F). Таблица истинности перечисляет все возможные комбинации значений входящих в него простых высказываний и для каждой из них (комбинаций) сообщает результат сложного высказывания. На следующем рисунке представлены два варианта таблицы истинности для высказывания p q. p q p q q T F 1 T T T p 2 T F F T T F 3 F T F F F F 4 F F F Если некто скажет: Николай водит автомобиль или у Елены светлые волосы, то он будет не прав только тогда, когда Николай не сможет управлять автомобилем, а Елена не будет светловолосой. Для того чтобы все высказывание было истинным, достаточно, чтобы одна из двух составляющих его компонент была истинной. Поэтому p q имеет таблицу истинности Случай p q p q q T F 1 T T T 2 T F T 3 F T T 4 F F F p T T T F T F Таблица истинности для отрицания р имеет вид Случай p ~p 1 T F 2 F T Истинностное значение ~р всегда противоположно значению р. В таблицах истинности отрицание всегда выполняется первым (имеет приоритет перед операциями и ), поэтому высказывание ~ p q интерпретируется как

4 ( p) q ~, так что отрицание применяется только к р. Если мы хотим отрицать все высказывание p q, то следует использовать скобки ~ ( p q). Символы и называют бинарными связками (или бинарными операциями), поскольку они связывают два высказывания. Символ ~ является унарной связкой, так как применяется только к одному высказыванию. Иногда используют еще одну бинарную связку исключающее или, которое мы будем обозначать. Высказывание p q истинно, когда истинно р или q, но не оба одновременно. Эта связка имеет таблицу истинности Случай p q p q q T F 1 T T F p 2 T F T T F T 3 F T T F T F 4 F F F В повествовательном предложении, используя союз или, мы можем иметь в виду исключающее или. Например, когда мы говорим, Сергей сдаст экзамен по дискретной математике или не сдаст этот экзамен, мы, конечно, предполагаем, что Сергей сделает что-то одно. В этом примере каждое из простых высказываний p: Сергей сдаст экзамен по дискретной математике q: Сергей не сдаст экзамен по дискретной математике рассматриваемых автономно (без рассмотрения другого) может принимать значение ИСТИНА, но результат сложного высказывания p или q будет ЛОЖЬ. Поэтому в ячейке таблицы истинности, соответствующей значениям p = T, q = T, мы должны поставить F (ЛОЖЬ). Аналогично, можно составить сложное высказывание На улице идет дождь или на улице дождь не идет которое мы можем записать символически p q с использованием исключающего или. Здесь элементарными высказываниями являются предложения p: На улице идет дождь q: На улице нет дождя Но высказывание На улице идет дождь или на улице снег не идет мы должны записать символически p q, где p: На улице идет дождь q: На улице нет снега Поскольку в случае истинности обоих простых высказываний сложное высказывание будет также истинным, то следует использовать обычное или.

5 Рассмотрим высказывание: Николай сдаст экзамен по дискретной математике или Николай будет исключен из университета и пойдет работать. Для простых высказываний введем обозначения p: Николай сдаст экзамен по дискретной математике q: Николай останется студентом r: Николай пойдет работать Тогда наше сложное высказывание можно представить в виде p (( ~ q) r), где скобки использованы, чтобы показать, какие именно высказывания являются компонентами каждой операции. Таблица истинности дает возможность однозначно указать те ситуации, когда высказывание p (( ~ q) r) является истинным; при этом мы должны быть уверены, что учтены все случаи. Поскольку сложное высказывание содержит три простых высказывания p, q и r, то возможны восемь вариантов Случай p q r ~q ( ~ q) r p (( ~ q) r) 1 T T T F F T 2 T T F F F T 3 T F T T T T 4 T F F T F T 5 F T T F F F 6 F T F F F F 7 F F T T T T 8 F F F T F F Для нахождения значений столбца ( ~ q) r мы используем столбцы для ~q и r, а также таблицу истинности для. Для нахождения значений столбца p (( ~ q) r) используем значения столбца p и значения уже заполненного столбца ( ~ q) r.

6 1.2 Условные высказывания. Допустим, некто утверждает, что если случится одно событие, то случится и другое. Предположим, декан говорит студенту: Если ты сдашь все экзамены на «отлично», то получишь повышенную стипендию. Высказывание имеет вид: если p, то q, где p высказывание: Ты сдашь все экзамены на «отлично», а q высказывание: получишь повышенную стипендию. Такие сложные высказывания обозначают символически p q (или p q ) и называются импликацией. Спрашивается, при каких условиях декан говорит правду? Если проанализировать все случаи, а их четыре, то единственный случай, когда высказывание декана ложно — это когда он дал обещание и не выполнил его. Таким образом, таблица истинности для высказывания p q имеет вид p q p q 1 T T T 2 T F F 3 F T T 4 F F T Может показаться, что p q носит характер причинно следственной связи, но это не является необходимым. Чтобы увидеть отсутствие причины и следствия в импликации, вернемся к примеру, в котором р есть высказывание Николай водит автомобиль, а q утверждение У Елены светлые волосы. Тогда утверждение Если Николай водит автомобиль, то у Елены светлые волосы запишется как если p, то q или символически p q То, что Николай водит автомобиль, никак причинно не связано с тем, что Елена светловолосая. Истинность или ложность сложного высказывания зависит только от истинности составляющих его частей и не зависит от наличия или отсутствия между ними какой-либо связи. Таким образом, импликацией называется формализация сложного союза если то, который записывается в виде p q. Знак называется знаком импликации, или условной связкой. Условные высказывания могут выражаться в виде различных языковых конструкций, но символически все они записываются как p q. Вот несколько примеров таких конструкций: если р, то q. р достаточно для q. р является достаточным условием для q. q необходимо для р. q является необходимым условием для р. р, только если q (или: только если q, то р).

7 Таблица для p q показывает, что если p q истинно и р истинно, тогда q должно быть истинным, т.е. истинность р достаточна для истинности q. Поэтому р достаточно для q имеет тот же смысл, что и p q. Аналогично, если q ложно и q необходимо для р, тогда р должно быть ложно. Поэтому, если ~q истинно, тогда ~р должно быть истинно и ~ q ~ p. Следовательно, q необходимо для р имеет то же значение, что и ~ q ~ p. Но это эквивалентно p q. Действительно выражения p q, ~ q ~ p, имеют одинаковые таблицы истинности p q p q ~q ~p ~ q ~ p F F T T T T F T T F T T T F F T F F T T T F F T Логические выражения, имеющие различное строение, но являющиеся истинными в одних и тех же случаях, называются эквивалентными. Т.о. выражения p q и ~ q ~ p эквивалентны. Анализ значения р только если q проводится аналогично. Получаем, что р может быть истинным, только если q истинно. Если q не истинно, то р не может быть истинным. Но это эквивалентно утверждению, что если ~q истинно, то ~р должно быть истинно и ~ q ~ p. Поэтому р только если q имеет то же значение, что и p q. С импликацией p q связаны три типа высказываний: конверсия, инверсия и контрапозиция. Они определяются следующим образом: p q импликация; q p конверсия высказывания p q ; ~ p ~ q инверсия высказывания p q ; ~ q ~ p контрапозиция высказывания p q. Например, пусть дано высказывание импликация: Если он играет в футбол, то он популярен. Для этой импликации имеем конверсия: Если он популярен, то он играет в футбол инверсия: Если он не играет в футбол, то он не популярен контрапозиция: Если он не популярен, то он не играет в футбол Таблица истинности для выражений p q и ~ q ~ p, построенная выше, говорит о том, что импликация и ее контрапозиция эквивалентны. В качестве примера найдем таблицу истинности для выражения ( p q) ( q r). Используя таблицу истинности для, приведенную выше, построим сначала таблицы (столбцы) истинности для p q и q r, учитывая, что импликация ложна только в случае, когда T F. Затем p q q r заполняем столбец ( ) ( )

8 p q r p q q r ( p q) ( q r) 1 T T T T T T 2 T T F T F F 3 T F T F T F 4 T F F F T F 5 F T T T T T 6 F T F T F F 7 F F T T T T 8 F F F T T T Высказывание вида ( p q) ( q p) обозначается через p q (или p q ) и называется эквиваленцией. Очевидно, таблица истинности для ( p q) ( q p) определяет таблицу истинности для p q. p q p q q p ( p q) ( q r) 1 T T T T T 2 T F F T F 3 F T T F F 4 F F T T T Непосредственно из определения вытекает, что эквиваленция истинна только в случае, когда р и q имеют одинаковые значения. Эквиваленция является формализацией сложного союза тогда и только тогда. Если есть два высказывания p и q, то высказывание p тогда и только тогда когда q записывается в символьном виде p q, а знак называется знаком эквиваленции или равнозначности. Записи p q и q p означают одно и то же. Конъюнкцию, дизъюнкцию, отрицание ~, исключающее или, импликацию и эквиваленцию называют логическими союзами, логическими связками, логическими операторами или операциями. Можно сконструировать и другие логические операции, но мы их здесь пока не рассматриваем. Возникает вопрос о том, как интерпретировать сложные выражения, например такие как ~ p q, p q r, p q r, p q q r, в которых отсутствуют скобки. Во избежание неоднозначности лучше всегда использовать скобки. Однако в логике, как и в алгебре, имеется приоритет выполнения операций. Они выполняются в следующей последовательности: ~,,,,. Поэтому указанные выражения следует интерпретировать следующим образом: ( ~ p ) q, ( p q) r, ( p q) r, ( p q) ( q r).

9 1.3 Основные теоремы алгебры логики. Особый интерес представляют сложные высказывания, имеющие различное строение, но являющиеся истинными в одних и тех же случаях. Как говорилось ранее, такие высказывания называются логически эквивалентными. Эквивалентность двух высказываний легко установить посредством сравнения их таблиц истинности. Например, пусть р и q обозначают высказывания р : Сегодня шел дождь, q : Сегодня шел снег. Рассмотрим сложные высказывания Неверно, что сегодня шел дождь или снег, или символически и Сегодня не шел дождь и сегодня не шел снег, или символически Построим таблицы истинности для обоих высказываний. Случай p q ~ ( p q) ~ p ~ q 1 T T F F 2 T F F F 3 F T F F 4 F F T T Итак, во всех четырех строках истинностные значения для ~ ( p q) и для ~ p ~ q совпадают. Это означает, что два рассматриваемых высказывания логически эквивалентны, т.е. ~ ( p q) ~ p ~ q ТЕОРЕМА (законы логики). Используя таблицы истинности, можно доказать следующие логические эквивалентности: a) Свойства коммутативности б) Свойства ассоциативности в) Свойства дистрибутивности г) Законы идемпотентности

10 д) Закон двойного отрицания е) Законы де Моргана ж) Закон контрапозиции з) Другие полезные свойства p q ~ q ~ p, В предыдущем параграфе мы показали, что импликация и ее контрапозиция (пункт ж) эквивалентны. В начале этого параграфа был доказан закон де Моргана (пункт e 1 ). Другие пункты доказываются аналогично. Высказывание, истинное во всех случаях, называется логически истинным, или тавтологией. Например, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Теоремы в математике являются примерами тавтологий. Высказывание Он сдаст или не сдаст экзамен есть пример тавтологии, поскольку либо одно событие, либо другое обязательно должно иметь место. Высказывание Быть или не быть, это и есть тавтология. Каждое высказывание вида p ~ p тавтология. Высказывание, построенное так, что оно ложно в любом случае, называется логически ложным, или противоречием. Высказывание Он сдаст зачет и не сдаст зачет всегда ложно. Следовательно, это противоречие. Рассмотрим высказывание вида ( p ( p q) ) q Ему соответствует таблица истинности p q p q p ( p q) ( p ( p q) ) q 1 T T T T T 2 T F F F T 3 F T T F T 4 F F T F T Все значения в столбце ( p ( p q) ) q равны T. Высказывание истинно во всех четырех возможных случаях, следовательно, оно является тавтологией. Имея логически истинное высказывание-тавтологию, легко построить логически ложное высказывание — противоречие. Для этого достаточно взять отрицание логически истинного высказывания. Поэтому высказывание ~ (( p ( p q) ) q) логически ложно. Ложным также будет высказывание ~ ( p ~ p). Пусть символ Т обозначает высказывание, которое есть тавтология и поэтому имеет таблицу истинности, состоящую из одних T. Символом F обозначим противоречие, т.е. высказывание, таблица истинности которого

11 содержит F во всех строках. Используя таблицы истинности, легко проверить, что В высказывании можно заменить любую его компоненту на логически эквивалентное ей высказывание. Полученное в результате такой замены высказывание будет логически эквивалентно исходному, поскольку истинностное значение высказывания зависит исключительно от истинностных значений составляющих его компонент (но не от их формы или сложности). Например, Здесь мы использовали законы логики для образования новых эквивалентных высказываний. 1.4 Полнота в логике высказываний. Соберем вместе таблицы истинности для рассмотренных ранее бинарных логических операций и унарной операции отрицания. И p q Или p q Исключающее или p q Импликация p q Эквиваленция p q Отрицание ~p Мы также знаем таблицы истинности для тавтологии (состоит из одних T) и противоречия (состоит из одних F). Существуют ли другие бинарные логические операции. Поскольку в каждой клетке таблицы 2 2 может

12 стоять только два значения T или F, то всего различных таблиц будет 2 4 = 16. Каждая таблица истинности определяет свою бинарную логическую операцию и для них, конечно, придуманы свои названия и обозначения. Но мы на них останавливаться не будем, поскольку для конструирования любого сложного выражения нам всегда будет достаточно нескольких из выше приведенных логических операций. Допустим, что задана произвольная таблица истинности. Существует простой способ найти высказывание, которому она соответствует. Например, предположим, что имеется таблица истинности Известно, что p q истинно в случае 1 и ложно во всех остальных случаях. Аналогично, p ~ q истинно только в случае 2, ~ p q истинно только в случае 3, а ~ p ~ q истинно только в случае 4. Указанное в примере высказывание должно быть истинным в случаях 1, 2 и 4. Возьмем высказывания, истинные только в этих случаях, и соединим их связкой или. Тогда мы получим высказывание, истинное только в требуемых случаях (строках). В нашем случае рассматриваемая таблица истинности соответствует высказыванию ( p q) ( p ~ q) ( ~ p ~ q) Конечно, полученная форма высказывания не является простейшей. Используя законы логики, почти всегда можно получить более короткую запись. В случае таблиц истинности с тремя переменными имеем аналогичную ситуацию. Для каждой строки следующей таблицы приведено высказывание, истинное только для этой строки. Если требуется построить высказывание, соответствующее конкретной таблице истинности, необходимо выбрать выражения, соответствующие случаям (строкам), где высказывание истинно, и соединить их связкой или. Например, пусть дана таблица истинности

13 p q r T T T T T T F F T F T F T F F F F T T T F T F F F F T T F F F T Тогда соответствующее ей высказывание может иметь вид ( p q r) ( ~ p q r) ( ~ p ~ q r) ( ~ p ~ q ~ r) Заметим, что в п.1.2 мы строили таблицу истинности для высказывания ( p q) ( q r), которая была такой же, как в нашем примере. Т.о. для логического выражения ( p q) ( q r) мы построили эквивалентное высказывание без использования значка (логической связки) импликации. Рассмотрим вопрос о минимальном количестве логических связок, необходимых для представления любого высказывания, образованного с помощью определенных нами выше логических связок. Известно, что p q можно выразить как ( p q) ( q p), т.е. p q ( p q) ( q p). Так что использовать операцию удобно, но не необходимо. К тому p q ( p ~ q) ( ~ p q). p q ~ p q Поэтому нет необходимости использовать и, если применяется ~ и. Выше мы показали, что трех логических связок ~,, достаточно для представления любого логического выражения (с любой таблицей истинности). Но поскольку p q ~ ( ~ p ~ q) p q ~ ( ~ p ~ q), то можно обойтись парой связок ~, или парой ~,, причем в любом случае необходимы обе связки. Однако существуют две связки, обладающие тем свойством, что любое высказывание может быть выражено с использованием только одной из них. Эти связки: штрих Шеффера и стрелка Пирса. Этим связкам соответствуют таблицы истинности Для того чтобы показать, что любую связку можно заменить связкой, достаточно показать это для пар связок ~ и или ~ и, поскольку возможность выразить любую связку одной из этих пар уже показана.

14 Эквивалентность p p ~ p устанавливается при помощи следующей таблицы истинности: p p p 1 T F 4 F T Точно так же таблица p q p p q q ( p p) ( q q) 1 T T F F T 2 T F F T T 3 F T T F T 4 F F T T F показывает, что ( p p) ( q q) p q. Аналогично можно показать, что ( p q) ( p q) p q. Проверив, что ~ и или ~ и можно выразить, используя только операцию, мы доказали, что любую связку можно выразить, используя лишь штрих Шеффера. Проверьте самостоятельно, что p p ~ p Заметим, что ( p q) ( p q) p q ( p p) ( q q) p q p q эквивалентно ~ ( p q), а q эквивалентно p ( p q) ~. Поэтому связка называется не — и, а связка называется не — или. Упражнения. Упражнения к п Среди приведенных ниже предложений найдите высказывания. Укажите их истинностные значения. a) Который час? b) Число 1 есть наименьшее положительное целое число. c) Если х = 3, то х 2 = 6. d) Берегись автомобиля! e) Симферополь южный город. f) Все четные числа делятся на 2. g) Положите деньги в карман. h) Земля ближайшая к солнцу планета. i) Не следует хранить компакт-диски в микроволновой печи. 2. Пусть р, q и r обозначают следующие высказывания: р : Поездка в Париж является дорогостоящей, q : Я совершу поездку в Париж, r: У меня есть деньги.

15 Запишите в символической форме такие высказывания: У меня нет денег и я не совершу поездку в Париж. У меня нет денег и поездка в Париж является дорогостоящей или я совершу поездку в Париж. Неверно, что у меня есть деньги и я поеду в Париж. Поездка в Париж не является дорогостоящей и я поеду в Париж или поездка в Париж является дорогостоящей и я не поеду в Париж. 3. Пусть р, q и r обозначают следующие высказывания: р : Мой компьютер быстродействующий, q : Я окончу писать программу вовремя, r : Я сдам зачет. Запишите в символической форме такие высказывания: У меня не быстродействующий компьютер или я закончу писать программу вовремя. Я не закончу писать программу вовремя и не сдам зачет. Неверно, что я закончу писать программу вовремя и сдам зачет. У меня быстродействующий компьютер или я не закончу писать программу вовремя и сдам зачет. 4. Постройте таблицы истинности для каждого высказывания в упражнениях 2 и Пусть р, q и r обозначают следующие высказывания: р : Эта игра очень трудна, q : Я играю в шахматы, r : Игра в шахматы требует времени. Интерпретируйте следующие выражения как обычные высказывания: a) q r b) ~ p ~ q c) ( p r) q d) p q r 6. Пусть р, q и r обозначают следующие высказывания: р : Доги большие собаки, q : У меня маленький дом, r : У меня есть дог. Представьте следующие символические выражения как обычные высказывания 7. Постройте таблицы истинности для каждого высказывания в упражнениях 5 и Постройте таблицы истинности для следующих высказываний:

16 Упражнения к п Пусть р, q и r обозначают следующие высказывания: р : Он купит компьютер, q : Он будет праздновать всю ночь, r : Он выиграет в лотерею. Запишите следующие высказывания в виде символических выражений: а) Если он выиграет в лотерею, он купит компьютер и будет праздновать всю ночь. б) Если он не купит компьютер, то и праздновать всю ночь не будет. в) Если он выиграет в лотерею, то будет праздновать всю ночь и если он не выиграет в лотерею, то не купит компьютер. г) Если он не выиграет в лотерею или не купит компьютер, то праздновать всю ночь не будет. 2. Пусть р, q и r обозначают следующие высказывания: р : Он читает комиксы. q : Он любит научную фантастику. r : Он ученый — информатик. Запишите следующие высказывания в виде символических выражений: а) Если он читает комиксы и любит научную фантастику, то он ученый — информатик. б) Если он не читает комиксы и не любит научную фантастику, то он не является ученым — информатиком. в) Если он читает комиксы, то он любит научную фантастику и если он не читает комиксы, то он ученый — информатик. г) Если он ученый — информатик, то он читает комиксы или он не любит научную фантастику. 3. Пусть р, q и r обозначают следующие высказывания: р : Он удачлив, q : Он популярен, r : Он богат. Запишите следующие символические выражения как высказывания:

17 4. Постройте таблицы истинности для следующих выражений: 5. Постройте таблицы истинности для следующих выражений: 6. Укажите, какие из следующих высказываний являются истинными: 7. Запишите в символическом виде высказывания: а) Сейчас январь, но сейчас зима тогда и только тогда, когда мы находимся в северном полушарии. б) Сейчас январь и сейчас зима в том и только том случае, если мы находимся в северном полушарии. Ответ: а) p ( q r) ; б) ( p q) r, где p: Сейчас январь; q: Сейчас зима; r: Мы находимся в северном полушарии Упражнения к п Приведите следующие высказывания к виду p q или q p : а) Он добьется успеха, только если будет усердно работать. б) Он счастлив, только если управляет автомобилем. в) Наличия денег достаточно, чтобы быть счастливым. г) Наличие денег необходимо, чтобы быть счастливым. д) Чтобы победить на выборах, нужно набрать достаточно голосов. Ответ: а) Пусть p: Он добьется успеха; q: Он будет усердно работать, то высказывание если р, то q (т.е. p q ) примет вид: Если он добивается успеха, то он работает усердно. б) Пусть p: Он управляет автомобилем; q: Он счастлив, то высказывание q только если р (т.е. q p ) примет вид: Если он счастлив, то он управляет автомобилем.

18 в) Пусть p: У него есть деньги; q: Он счастлив, то высказывание р достаточно для q (т.е. p q ) примет вид: Если у него есть деньги, он счастлив. г) Пусть p: У него есть деньги; q: Он счастлив, то высказывание р необходимо для q (т.е. q p ) примет вид: Если он счастлив, то у него есть деньги. д) Пусть p: Он победит на выборах; q: Он получит достаточное количество голосов, то высказывание q необходимо для р, или если р, то q (т.е. p q ) может быть записано в виде Если он победит на выборах, то он получит достаточное количество голосов. 2. Используя таблицы истинности, докажите следующие эквивалентности: а) Закон де Моргана б) Свойство ассоциативности связки V в) Свойство дистрибутивности связки или относительно и г) Эквивалентность импликации и высказывания со связкой или 3. Используя пункт (г) предыдущего упражнения, покажите, что отрицание для p q эквивалентно ~ ( p ~ q). 4. Докажите, что p q ~ q ~ p не используя непосредственно таблицы истинности. 5. Используя логически эквивалентные высказывания и не применяя непосредственно таблицы истинности, покажите, что 6. Используя таблицы истинности, докажите, что p q / q p. 7. Дано высказывание Если я голосую, то я хороший гражданин. а) Сформулируйте конверсию этого выражения. б) Сформулируйте инверсию этого выражения. в) Сформулируйте контрапозицию этого выражения. Упражнения к п Используя таблицы истинности, докажите, что 2. Найдите высказывания, которым отвечают следующие таблицы истинности:

19

Упрощение логических выражений | Законы алгебры логики (курс pol 136 ч.)

Содержание урока

Законы алгебры логики

Логические уравнения

Задачи

Законы алгебры логики

Для упрощения логических выражений используют законы алгебры логики. Они формулируются для базовых логических операций — «НЕ», «И» и «ИЛИ».

Закон двойного отрицания означает, что операция «НЕ» обратима: если применить ее два раза, логическое значение не изменится. Закон исключённого третьего основан на том, что в классической (двузначной) логике любое логическое выражение либо истинно, либо ложно («третьего не дано»). Поэтому если А = 1, то А = 0 (и наоборот), так что произведение этих величин всегда равно нулю, а сумма — единице.

Операции с константами и закон повторения легко проверяются по таблицам истинности операций «И» и «ИЛИ». Переместительный и сочетательный законы выглядят вполне привычно, так же, как и в арифметике. Почти везде «работает» аналогия с алгеброй чисел, нужно только помнить, что в логике 1 + 1 = 1, а не 2.

Распределительный закон для операции «ИЛИ» — это обычное раскрытие скобок. А вот для операции «И» мы видим незнакомое выражение, в алгебре чисел это равенство неверно. Доказательство можно начать с правой части, раскрыв скобки:

(А + В) • (А + С) = А • А + А • С + В • А + В • С.

Дальше используем закон повторения (А • А = А) и заметим, что

А + А • С = А • (1 + С) = А • 1 = А.

Аналогично доказываем, что А + В • А = А • (1 + В) = А, таким образом,

(А + В) • (А + С) = А + В • С.

Равенство доказано. Попутно мы доказали также и закон поглощения для операции «И» (для операции «ИЛИ» вы можете сделать это самостоятельно). Отметим, что из распределительного закона следует полезное тождество:

А + А • В = (А + А) • (А + В) = А + В.

Правила, позволяющие раскрывать отрицание сложных выражений, названы в честь шотландского математика и логика Огастеса (Августа) де Моргана. Обратите внимание, что при этом не просто «общее» отрицание переходит на отдельные выражения, но и операция «И» заменяется на «ИЛИ» (и наоборот). Доказать законы де Моргана можно с помощью таблиц истинности.

Теперь с помощью приведённых законов алгебры логики упростим полученное ранее логическое выражение для объединения областей 3 и 4 на диаграмме с тремя переменными (§ 20, рис. 3.15):

(А • В • C) + А • В • C = (А + А) • В • C = В • C.

Здесь мы сначала вынесли общий множитель двух слагаемых за скобки, а затем применили закон исключённого третьего.

В общем случае можно рекомендовать такую последовательность действий.

1. Заменить все «небазовые» операции (исключающее ИЛИ, импликацию, эквивалентность и др.) на их выражения через базовые операции «НЕ», «И» и «ИЛИ».

2. Раскрыть отрицания сложных выражений по законам де Моргана так, чтобы операции отрицания остались только у отдельных переменных.

3. Используя вынесение общих множителей за скобки, раскрытие скобок и другие законы алгебры логики, упростить выражение.

Пример

(А + B) • (А + B) • (А + С)=(А + B) • А • B • (А + C = (А • А + B • А) • B • (А + С) = B • А • B • (А + С) = А • B • B • (А + С) = B • А • (А + С) = B • (А.

Здесь последовательно использованы закон де Моргана, распределительный закон, закон исключённого третьего, переместительный закон, закон повторения, снова переместительный закон и закон поглощения.

Следующая страница Логические уравнения

Cкачать материалы урока

Кафедра алгебры и математической логики

Кафедра алгебры и математической логики НГУ создана в 1960 году. Основатель кафедры и первый заведующий — академик А.И. Мальцев. Затем кафедрой руководил чл.-корр. АН СССР М.И. Каргаполов. Одним из «отцов» кафедры являлся также чл.-корр. АН СССР А.И. Ширшов. С 1977 года по 2003 год кафедрой руководил её выпускник академик РАН Ю.Л. Ершов. С 2003 по 2012 года кафедрой руководил чл.-корр. РАН В.Д. Мазуров. В настоящий момент кафедрой заведует профессор А.В. Васильев.

О специализации на кафедре

Алгебра и математическая логика играют существенную роль в современной науке. Трудно выделить область естествознания, в которой они не имеют приложений. Тем не менее, в исследованиях, ведущихся на нашей кафедре, основной упор делается на теоретических вопросах, как пришедших из запросов практики, так и естественно возникающих при развитии самой теории. Поэтому мы прежде всего заинтересованы в студентах, склонных к глубокой «чистой» математике, способных видеть «живое» существо дела за абстрактным языком науки, желающих сделать математику своей будущей профессией. Предполагается, что студент успешно справился с основными учебными курсами первых одного-двух лет обучения: алгеброй, математической логикой, математическим анализом, аналитической геометрией и т.д.
Традиционно мы приветствуем «ранний» выбор: на втором курсе, после окончания основного курса алгебры и семестрового курса матетматической логики, имеет смысл выбрать один-два спецкурса, читаемых сотрудниками кафедры (обратите внимание, что существуют спецкурсы/спецсеминары, доступные и первокурсникам). Если понравится, стоит обратиться к кому-нибудь из сотрудников кафедры, готовых работать со студентами (см. ниже), или, как вариант, к знакомому вам преподавателю кафедры за советом. Чем раньше вы это сделаете, тем больше шансов на то, что на 4 курсе вам удастся подготовить стоящую дипломную работу: по традиции оценка «отлично» за нее ставится только при условии, что это — самостоятельная научная работа, как правило, заслуживающая публикации в серьезном научном журнале. Естественно предполагается, что в дальнейшем вы планируете продолжить учебу в магистратуре, а в случае успешного ее окончания и в аспирантуре. Коротко говоря, на нашей кафедре – трудно, но интересно.

Математическая логика — rajak.rs

Высказывание — это повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.  

Высказывания обозначаются: $p$, $q$, $r$ …

Для того, чтобы не писать «истина» и «ложь» («true» и «false«) часто используют лишь начальные буквы этих слов «и» и «л» или «1« и «0«, или символы «$ \top $» и «$ \bot $«.

Основные логические операции

Введем следующие обозначения для операций: $ \wedge $ или & – конъюнкция, $ \vee $ – дизъюнкция, $\neg $ – отрицание, $ \Rightarrow $ – импликация, $ \Leftrightarrow $ – эквиваленция. Символы $ \wedge $ или &, $ \vee $, $\neg $, $ \Rightarrow $, $ \Leftrightarrow $, называются логическими операциями или связками.

операция	логическая операция	новое высказывание
конъюнкция ($p$ и $q$)	$ \wedge $	$p \wedge q$  ($p$ и $q$)
дизъюнкция ($p$ или $q$)	$ \vee $	$p \vee q$  ($p$ или $q$)
импликация (если $p$ … тогда $q$)	$ \Rightarrow $	$p \Rightarrow q$  (если $p$, тогда $q$)
эквиваленция($p$ тогда и только тогда, когда $q$)	$ \Leftrightarrow $	$p \Leftrightarrow q$  ($p$ тогда и только тогда, когда $q$)
отрицание (не)	$\neg $	$\neg p$ (не $p$)
дисјункција (или – или)	$\underline  \vee  $	$p \underline  \vee  q$  ($p$ или $q$, али не оба)

 Таблица истинности логических операций

$p$	$q$	$p \wedge q$	$p \vee  q$	$p \Rightarrow  q$	$p \Leftrightarrow q$	$p \underline  \vee  q$
$\top$	$\top$	$\top$	$\top$	$\top$	$\top$	$ \bot $
$\top$	$ \bot $	$ \bot $	$\top$	$ \bot $	$ \bot $	$\top$
$ \bot $	$ \bot $	$\top$	$\top$	$\top$	$ \bot $	$\top$
$ \bot $	$ \bot $	$ \bot $	$ \bot $	$\top$	$\top$	$ \bot $

 

$p$	$\neg p$
$\top$	$ \bot $
$ \bot $	$\top$

Формулы логики высказываний

Формулами логики высказываний называются

1. атомаоные формулы логики высказываний (высказывания $p$, $q$, $r$… и символы истины и лжи «1» и «0«, или «$ \top $» и «$ \bot $»)
2. и выражения вида: $A \vee B$, $A \wedge B$, $A \Rightarrow B$, $A \Leftrightarrow B$, $\neg A$, где $A$ и $B$ формулы логики высказываний.

При написании сложных формул, для задания приоритета логических операций используют скобки.

Тавтология

Тавтологией называется тождественно истинное высказывание относительно значений своих компонентов.

Свойства логтческих операций

1. Коммутативность конъюнкции, дизъюнкции и еквиваленции
   $p \wedge q \Leftrightarrow q \wedge  p$, 
   $p \vee q \Leftrightarrow q \vee p$,
   $(p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow p)$
2. Асоциативность конъюнкции, дизъюнкции и еквиваленции
   $(p \wedge q) \wedge r \Leftrightarrow p \wedge (q \vee r)$,
   $(p \vee q) \vee r \Leftrightarrow p \vee (q \vee r)$,
   $(p \Leftrightarrow q) \vee r \Leftrightarrow p \Leftrightarrow (q \Leftrightarrow r)$.
3. Идемпотентность конъюнкции, дизъюнкции
   $p \wedge p \Leftrightarrow p$,
   $p \vee p \Leftrightarrow p$.
4. Дистрибутивность конконъюнкции относительно дизъюнкции и обратно
   $p \wedge (q \vee r) \Leftrightarrow (p \wedge q) \vee (p \wedge r)$,
   $p \vee (q \wedge r) \Leftrightarrow (p \vee q) \wedge (p \vee r)$.
5. Асоциативность конконъюнкции относительно дизъюнкции и обратно
   $p \wedge (q \vee q) \Leftrightarrow p$,
   $p \vee (q \wedge q) \Leftrightarrow p$.
6. Инволютивность отрицания
   $\neg (\neg p) \Leftrightarrow p$.
7. Нейтральный элемент для операции конъюнкции и дизъюнкции
   $p \wedge 0 \Leftrightarrow p$,
   $p \vee 0 \Leftrightarrow p$.

 

Логика и компьютер

Определение 1

Логика в информатике – это те отрасли знания и направления исследований, в которых логика применяется в информатике и искусственном интеллекте. В информатике логика оказалась гораздо более эффективной, чем это было в математике.

Основные направления прикладного использования логики в информатике

1. написание компьютерных программ и их верификация.
2. при проектировании вычислительных устройств используется как теоретический инструмент.
3. Использование логических операций в электронных микросхемах в качестве базовых.
4. логический подход к представлению и решению различных практических задач с использованием вычислительной техники.

Определение 2

Стандартное математическое представление любого вычисления − это отображение переменных (их внутреннего состояния) вычислительного устройства на входе в новое состояние на выходе. В алгебре логики решается стандартная задача, а именно: определяется функциональная полнота логических связок, то есть проверяется, является ли фиксированный набор логических операций достаточным для того, чтобы представить новое результирующее значение путём комбинации любых других (базовых) функций. А это значит, что базовые логические устройства должны быть универсальными и позволять решать большое число задач.

Работу большинства вычислительных устройств, которые существуют в настоящее время, прекрасно описывает алгебра логики, разработанная Джорджем Булем. К таким устройствам относятся триггеры, сумматоры, группы переключателей, Кроме того булева алгебра и компьютеры связаны между собой при помощи используемой в ЭВМ двоичной системы счисления. Поэтому в устройствах компьютера можно хранить и преобразовывать и значения логических переменных, и числа.

Определение 3

Логические элементы — это электронные устройства, которые по определенному закону преобразуют проходящие через них двоичные электрические сигналы.

Логические элементы имеют один (инвертор) или несколько входов, на которые подаются электрические сигналы, обозначаемые условно $0$, если сигнал отсутствует, и $1$, если электрический сигнал имеется. Выход у логических элементов один, откуда снимается новый, преобразованный электрический сигнал.

Готовые работы на аналогичную тему

Все электронные схемы компьютера могут быть реализованы с помощью трёх базовых логических элементов И, ИЛИ, НЕ.

Логический элемент НЕ (инвертор). Простейший логический элемент, реализующий функцию отрицания (инверсию). Унарный элемент – элемент, у которого один вход и один выход.

На функциональных схемах обозначается

Рисунок 1.

Если на вход инвертора подаётся $1$, то на выходе реализуется $0$ и наоборот.

Логический элемент И (конъюнктор) реализует умножение двух или более логических значений, т.е. имеет два или более входов и один выход. На функциональных схемах обозначается:

Рисунок 2.

Если на входе конъюнктора все входные сигналы имеют значение $1$, то на выходе тоже будет сигнал $1$, в противном случае на выходе будет сигнал $0$.

Логический элемент ИЛИ (дизъюнктор) реализует сложение двух или более логических значений, т.е. имеет два или более входов и один выход. На функциональных схемах обозначается:

Рисунок 3.

Если на вход дизъюнктора поступает хотя бы один сигнал равный $1$, то выходе тоже будет сигнал $1$.

Роль базовых логических элементов в создании схем играют ещё два логических элемента: И-НЕ и ИЛИ-НЕ.

Логический элемент И-НЕ (отрицание конъюнкции) выполняет логическую функцию штрих Шеффера. Операция бинарная, поэтому имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах обозначается следующим образом:

Рисунок 4.

Логический элемент ИЛИ-НЕ (отрицание дизъюнкции) выполняет логическую функцию стрелка Пирса. Тоже бинарная операция, поэтому имеет, как минимум, два входа. На функциональных схемах обозначается так:

Рисунок 5.

Функциональные схемы

Сигнал, который вырабатывает один логический элемент, можно подать на вход другого элемента. Это даст возможность образовать цепочку из отдельных логических элементов – функциональную схему.

Пример 1

Функциональная (логическая) схема – это схема, которая выполняет определённую функцию и состоит из базовых логических элементов. Проанализировав фунциональную схему, можно понять, как работает логическое устройство, то есть ответить на вопрос, какую же функцию она выполняет. А чтобы описать функциональную схему, нужна структурная формула.

Как по заданной функциональной схеме записать структурную формулу?

Рисунок 6.

Элемент И осуществляет конъюнкцию $\bar{X}$ и $Y$, над результатом в элементе НЕ выполняется операция отрицания, то есть вычисляется значение выражения

Рисунок 7.

Записали, что структурной формулой данной функциональной схемы является формула

Рисунок 8.

Для функциональной схемы нужно составить таблицу значений сигналов на входах и выходах схемы, по которой можно понять, какую функцию выполняет данная схема, – таблицу истинности.

Составим таблицу истинности для вышеприведённой схемы. Количество столбцов таблицы равно суммарному количеству входов и выходов нужной схемы. Итого $5$ столбцов.n$, где $n$ – количество входов (здесь два), строк $4$.

Рисунок 9.

Обработка любой информации на компьютере − выполнение процессором различных арифметических и логических операций. Для этого в составе процессора есть арифметико-логическое устройство (АЛУ), которое состоит из ряда устройств, построенных на логических элементах, рассмотренных выше. Главными устройствами являются триггеры, полусумматоры, сумматоры, шифраторы, дешифраторы, счетчики, регистры.

Конструируется логическое устройство по следующему алгоритму:

1. по заданным условиям работы проектируемого узла (т.е. по соответствию его входных и выходных сигналов) строится таблица истинности;
2. конструируется логическая функция данного узла по таблице истинности, выполняется при необходимости её преобразование (упрощение), если cоставляется функциональная схема проектируемого узла по формуле логической функции;
3. реализуется полученная схема.

Логика — МФТИ

Глухова Елена Владимировна, доктор технических наук , профессор

Формальная логика исследует организацию, строение и закономерности функционирования мышления человека. Она является философской наукой и относится к числу важнейших гуманитарных дисциплин, формирующих у студентов способность рассуждать чётко, непротиворечиво, последовательно и аргументировано, что в целом составляет неотъемлемый компонент интеллектуального развития и профессиональной подготовки будущих специалистов. Логика призвана научить студентов самостоятельно анализировать, логически грамотно рассуждать и делать доказательные выводы из имеющихся данных.
Тем самым, логика — это не только «описательная» наука, исследующая процессы человеческого мышления, но и «нормативная» дисциплина, которая предписывает, как надо мыслить, чтобы с необходимостью приходить от истинных посылок к истинным выводам в любых, самых сложных познавательных ситуациях. Логика — прежде всего «техника», «инженерия» правильного, то есть логически последовательного рассуждения. Уяснение основ логического знания, приобретение систематических навыков логического вывода дисциплинируют мышление индивида, делают его более строгим и точным, ясным и лаконичным.
С целью выработки у студентов практических навыков осуществления разнообразных логических навыков и процедур программа предполагает выполнение соответствующих упражнений и решение логических задач на занятиях и при самостоятельной подготовке.
Студенты должны знать: предмет логики, суть логического мышления, законы логики, операции с понятиями, правила суждений и умозаключений.
Студенты должны уметь: логически грамотно готовить документы, обнаруживать логические ошибки в документах, полемизировать с оппонентами, доказательно строить свои публичные выступления, разоблачать софистические уловки.
Студенты должны получить навыки: решения логических задач и упражнений.

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Тема I. Предмет логики (2 часа)
Мышление как предмет логики. Формально-логическое понимание процесса познания. Чувственное познание и абстрактное мышление. Основные компоненты содержания мышления как представления реальности.
Мышление и язык. Естественные и искусственные языки. Семантические категории, соответствующие основным компонентам мышления: дескриптивные (описательные) и логические термины (логические постоянные константы). Виды дескриптивных выражений: имена предметов, имена свойств и отношений (одноместные и многоместные предикаты). Понятие логической (пропозициональной) функции. Истолкование свойств, отношений и логических связок как пропозициональных функций.
Понятие о логической форме как структуре мышления. Основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение. Выражение структуры мыслей при помощи символов. Истинность мысли и формальная правильность рассуждения. Понятие о процессе формализации.
Понятие логического закона. Соблюдение законов логики — необходимое условие достижения истины в процессе рассуждения.
Формальная логика. Символическая логика. Диалектическая логика. Возникновение логики как науки. Основные этапы развития логики. Соотношение логики, философии, психологии, лингвистики, математики и кибернетики.
Теоретическое и практическое значение логики. Значение логики для науки и техники. Роль логики в повышении культуры мышления.

Тема 2. Понятие (6 часов)
Понятие как форма мышления (представления реальности). Языковые формы выражения понятий. Основные логические приёмы формирования понятий: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение. Роль понятий в познании.
Содержание понятия. Виды признаков предметов: свойства и отношения. Понятие логического предмета. Основные логические характеристики двухместных отношений: рефлексивность, симметричность, транзитивность. Существенные и несущественные признаки.
Объём понятия. Классы, подклассы, элементы класса. Отношение принадлежности элемента к классу и включение класса в класс.
Закон обратного отношения между объёмом и содержанием понятия.
Виды понятий. Общие и единичные понятия: понятия с нулевым и универсальным объёмом; относительные и безотносительные понятия; положительные и отрицательные понятия; собирательные и несобирательные понятия; абстрактные и конкретные понятия.
Отношения между понятиями. Совместимые и несовместимые понятия. Типы совместимости: тождество, перекрещивание, подчинение (родо-видовое отношение). Типы несовместимости: соподчинение, противоположность, противоречие. Круговые схемы Эйлера для выражения отношений между понятиями.
Операции над классами (объёмами понятий): пересечение, объединение и дополнение. Основные законы логики классов: коммутативность, ассоциативность операций пересечения и объединения; законы дистрибутивности; законы поглощения. Законы операций дополнения.
Ограничение и обобщение понятий. Роль операции обобщения в формировании понятий. Операция ограничения и конкретизация научных знаний.
Деление понятий. Виды деления: по видоизменению признака, дихотомическое. Правила и ошибки в делении.
Классификация. Естественная и искусственная классификация. Значение деления и классификации в науке и практике.
Определение (дефиниция) понятий. Номинальные и реальные определения. Явные и неявные определения. Основной вид явных определений: определение через род и видовое отличие. Неявные определения: контекстуальные, индуктивные, через отношение, аксиоматические. Приёмы, граничащие с определением: описание, характеристика, разъяснение посредством примера (остенсивное определение) и так далее. Правила явного определения. Ошибки в определении. Значение определения в науке и практике. Научная терминология. Роль уточнения смысла слов в процессе рассуждения.

Тема 3. Суждение (6 часов)
Суждение как форма мышления. Общая характеристика суждения. Суждение и предложение. Повествовательные, побудительные и вопросительные предложения, их логический смысл. Простые и сложные суждения.
Простое суждение. Состав простого суждения: субъект, предикат, связка, кванторы. Виды простых суждений: атрибутивные суждения, суждения с отношениями (реляционные), экзистенциальные суждения. Единичные и множественные суждения; роль кванторов в образовании множественных суждений.
Категорические суждения и их виды (деление по количеству и качеству). Выделяющие и исключающие суждения. Круговые схемы отношений между терминами. Объединённая классификация простых категорических суждений по количеству и качеству. Представление о «логическом квадрате».
Сложное суждение и его виды. Образование сложных суждений из простых с помощью логических связок: конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции и отрицания. Табличное определение основных логических связок. Строгая и нестрогая дизъюнкция. Условное суждение. Понятие необходимого и достаточного условий.
Деление суждений по модальности. Понятие о модальности суждений. Значение модальных суждений в науке и практике.
Логическая структура вопроса. Виды вопросов и ответов. Роль вопросов в познании.

Тема 4. Формально-логические законы (2 часа)
Понятие о формально-логическом законе. Логические законы мышления и культура.
Основные формально-логические законы. Закон тождества. Закон непротиворечия. Закон исключённого третьего. Закон достаточного основания. Софистика и нарушение законов логики. Методологическое значение законов логики в познании.

Тема 5. Умозаключение (6 часов)
Умозаключение как форма мышления. Общее понятие об умозаключении (выводе). Посылки и заключение. Понятие логического следования. Виды умозаключений: дедуктивные, индуктивные и по аналогии. Непосредственные и опосредованные умозаключения.
Непосредственные умозаключения и их виды: обращение, превращение, противопоставление предикату, выводы по «логическому квадрату».
Дедуктивные умозаключения. Общее понятие о дедуктивных умозаключениях. Категорический силлогизм: структура категорического силлогизма, фигуры и модусы категорического силлогизма, их правила. Сокращённый категорический силлогизм (энтимема). Сложные и сложно-сокращённые силлогизмы (полисилогизмы, сориты, эпихейремы). Условные умозаключения. Разделительные умозаключения. Условно-разделительные (лемматические) умозаключения. Непрямые (косвенные) выводы.
Индуктивные умозаключения. Общее представление об индукции. Полная индукция. Виды неполной индукции: популярная и научная. Понятие вероятности. Индуктивные методы установления причинных связей: метод единственного сходства, метод единственного различия, соединенный метод сходства и различия, метод сопутствующих изменений, метод остатков.
Умозаключения по аналогии. Понятие аналогии. Виды аналогии: аналогия предметов, аналогия отношений. Условия состоятельности выводов по аналогии. Значение аналогии в науке и практике.

Тема 6. Основы аргументации (2 часа)
Общая характеристика аргументации и доказательства. Доказательство — логическая основа научного знания. Доказательство и убеждение. Связь доказательства с выводным знанием. Структура доказательства: тезис, аргументы, демонстрация.
Прямое и косвенное доказательство. Понятие прямого доказательства. Виды непрямых (косвенных) доказательств.
Опровержение. Прямой и косвенный способы опровержения. Опровержение тезиса, аргументов и демонстрации.
Правила доказательства и опровержения. Ошибки, наиболее часто встречающиеся в доказательствах и опровержениях.
Софизмы и паралогизмы. Понятие о логических парадоксах.
Роль аргументации в познании и в дискуссиях.

Тема 7. Гипотеза (2 часа)
Общая характеристика гипотезы. Методологические условия состоятельности научных гипотез. Виды гипотез. Общие и частные гипотезы. Понятие рабочей гипотезы (версии). Конкурирующие гипотезы в науке.
Построение гипотез. Роль анализа, синтеза, различных форм умозаключений и опытных данных при построении гипотез. Метод множественных гипотез.
Способы подтверждения гипотез. Основной метод подтверждения гипотез: выведение следствий и их верификация. Роль эксперимента в процессе верификации. Вероятностная оценка степени подтверждения гипотез.
Опровержение гипотез путём опровержения (фальсификации) следствий.
Гипотеза и достоверное знание. Прямой и косвенный способы превращения гипотезы в достоверное знание. Роль гипотезы в развитии знаний.

ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ

1. Формы познания. Проблема познания в науке.
2. Формальная логика как наука.
3. Семантические категории языка: дескриптивные и логические термины.
4. Истинность мысли и формальная правильность рассуждений.
5. Логическая форма мысли и логические законы. Роль логических законов в науке.
6. Понятие как форма мышления. Языковые способы выражения понятий. Логическая оценка научной терминологии.
7. Основные логические приёмы формирования понятий: анализ, синтез, сравнение, абстрагирование, обобщение.
8. Объём и содержание понятий. Закон обратного отношения между объёмом и содержанием понятий.
9. Виды понятий по объёму и содержанию.
10. Отношения между понятиями.
11. Дефиниция. Научные дефиниции.
12. Приёмы, сходные с определением понятий.
13. Деление понятий.
14. Классификация. Роль классификации в науке.
15. Ограничение понятий.
16. Обобщение понятий.
17. Суждение как форма мышления. Суждение и предложение.
18. Виды простых суждений.
19. Категорические суждения и их виды (деление по количеству и качеству).
20. Распределённость терминов в категорических суждениях.
21. Образование сложных суждений из простых с помощью логических связок.
22. Отрицание суждений.
23. Выражение логических связок в естественном языке.
24. Модальность суждений, её виды.
25. Определение логического закона.
26. Закон тождества.
27. Закон непротиворечия.
28. Закон исключённого третьего.
29. Закон достаточного основания.
30. Умозаключение как форма мышления. Основные виды умозаключений.
31. Обращение и превращение.
32. Противопоставление предикату.
33. Выводы по «логическому квадрату».
34. Простой категорический силлогизм. Фигуры силлогизма. Специальные правила фигур. Модусы силлогизма.
35. Правила простого категорического силлогизма.
36. Сокращённый категорический силлогизм (энтимема).
37. Прогрессивный полисиллогизм.
38. Регрессивный полисиллогизм.
39. Сориты.
40. Эпихейрема.
41. Прямые выводы. Чисто условные умозаключения.
42. Условно-категорические умозаключения.
43. Разделительные умозаключения.
44. Лемматические умозаключения. Конструктивная дилемма.
45. Деструктивная дилемма.
46. Индуктивные умозаключения. Роль индукции в праве.
47. Полная индукция. Популярная индукция.
48. Индукция через анализ и отбор фактов. Условия повышения степени вероятности выводов по данной индукции.
49. Научная индукция на основе установления причинных связей. Достоверность её заключений.
50. Индуктивные методы установления каузальности: метод сходства, метод различия.
51. Индуктивные методы установления каузальности: метод сопутствующих изменений, метод остатков.
52. Умозаключение по аналогии, его виды.
53. Понятие аргументации. Определение и структура доказательства. Роль теории аргументации в праве.
54. Прямое и косвенное доказательство.
55. Опровержение. Прямой и косвенный способы опровержения.
56. Правила доказательного рассуждения. Ошибки, совершаемые относительно доказываемого тезиса.
57. Правила по отношению к аргументам. Ошибки в основаниях доказательства.
58. Софизмы, паралогизмы, логические парадоксы.
59. Гипотеза как форма познания, виды гипотез.
60. Построение и опровержение гипотез.

ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ

1. Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика. — М., 2001.
2. Гетманова А.Д. Логика. — М., 1986.
3. Журавлев Г.Т., Ивлев В.Ю., Ивлев Ю.В. Логика. — М., 1998.
4. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика. — М., 2000.
5. Кириллов В.И., Орлов Г.А., Фокина Н.И. Упражнения по логике. — М., 1997.
6. Кондаков Н.И. Логический словарь-справочник. — М., 1975.
7. Свинцов В.И. Логика. — М., 1987.
8. Шутеев Г.Е. Логика. — Томск, 1998.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ

1. Арно А., Николь П. Логика, или искусство мыслить. — М., 1991.
2. Бойко А.П. Краткий курс логики. — М., 1995.
3. Гжегорчик А. Популярная логика. — М., 1979.
4. Григорьев Б.В. Классическая логика. — М., 1996.
5. Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике. — М., 1991.
6. Жоль К.К. Логика в лицах и символах. — М., 1993.
7. Ивин А.А. Логика. — М., 1996.
8. Ивин А.А. По законам логики. — М., 1983.
9. Ивин А.А. Практическая логика. — М., 1996.
10. Ивин А.А. Элементарная логика. — М., 1994.
11. Курбатов В.И. Как развить свое логическое мышление. — Ростов-на-Дону, 1997.
12. Курбатов В.И. Логика. — Ростов-на-Дону, 1996.
13. Курбатов В.И. Логика в вопросах и ответах. — Ростов-на-Дону, 1997.
14. Кэролл Л. История с узелками. — М., 1983.
15. Кэролл Л. Логическая игра. — М., 1991.
16. Логический словарь: ДЕФОРТ. — М., 1994.
17. Никифоров А.Л. Общедоступная и увлекательная книга по логике, содержащая объемное и систематическое изложение этой науки профессором философии. — М., 1996.
18. Рузавин Г.И. Логика и аргументация. — М., 1997.
19. Смаллиан Р. Как же называется эта книга? — М., 1981.
20. Смаллиан Р. Принцесса или тигр? — М., 1985.
21. Смаллиан Р. Алиса в стране смекалки. — М., 1987.
22. Щедровицкий Г.П., Розин В.М., Непомнящая Н.И., Алексеев Н.Г. Педагогика и логика. — М., 1993.
23. Яшин Б.Л. Задачи и упражнения по логике. — М., 1996.

Логика – это просто, интересно и увлекательно

Логика – довольно сложная наука, недаром ее нет в школьной программе: логику начинают изучать лишь в вузах. Однако в повседневной жизни мы пользуемся логикой постоянно, даже не задумываясь о том, как она работает. У одних из нас она развита лучше, у других – хуже, но, тем не менее, нелогичные поступки и суждения мы допускаем крайне редко. В чем причина того, что логика у взрослых людей развита на разном уровне? Оказывается, логическое мышление присуще абсолютно всем детям, но с одними, начиная с трехлетнего возраста, родители целенаправленно занимаются, предлагая своим малышам развивающие логические игры, а с другими – нет. Это совсем не значит, что вторые родители меньше любят свое чадо или не занимаются его воспитанием – скорее всего, они просто не знают о том, насколько важно развивать у ребенка логическое мышление.

Почему же это так важно? Во-первых, умение мыслить логически – это высшая форма развития мышления. Следовательно, обучение ребенка логике позволяет развивать его мыслительную деятельность: сравнивать, обобщать, систематизировать и классифицировать предметы и понятия, устанавливать схожесть и различия, причины и следствие. Сначала малыши осваивают причинно-следственные на предметах, затем на словах, а потом уже учатся оперировать понятиями. Все это помогает ребенку успешно учиться в школе, а затем и в высшем учебном заведении. Во-вторых, навыки логического мышления способствуют развитию талантов – этот факт детские психологи давно доказали на основе многолетних исследований. В-третьих, логика способствует развитию речи: ребенок получает новые знания о предметах и явлениях, учится называть не только их, но и действия, которые ими выполняются. Это делает речь ребенка богаче, правильнее и разнообразнее.

Опытные педагоги начальных классов пришли к единодушному мнению: те дети, которые приходят в первый класс, не умея читать и писать, но имеют хорошо развитое логическое мышление, уже к концу первого года обучения заметно обгоняют одноклассников в успеваемости. И наоборот, первоклашки с навыками чтения и письма, не умеющие логически мыслить, нередко начинают отставать в учебе. Отсюда вывод: обучение дошкольников логике важнее обучения чтению и письму, так как именно она становится основной базой для успешного овладения школьными предметами.

Следует упомянуть и еще один важный момент: логика позволяет значительно сократить последовательность действий и выбрать единственно правильное решение. Те взрослые, у которых этот навык развит с детства, обычно преуспевают в карьере и личной жизни, ведь умение анализировать конкретные ситуации, мыслить нестандартно и целенаправленно, а также оперативно и правильно решать сложные жизненные или профессиональные задачи они научились еще в детстве.

Как обучить трехлетнего малыша логическим приемам? Очень просто: с помощью развивающих логических игр. Одна из них – логическая игра «Грузовички» рассчитанная на детей от 3 и до 8 лет.

Игра «Грузовички» SMARTGAMES от Вondibon замечательна тем, что имеет четыре уровня, каждый из которых рассчитан на детей определенного возраста. Например, малыши трех-четырех лет могут просто играть разноцветными машинками из яркого прочного пластика, укладывая в кузов детали различной формы таким образом, чтобы они не выпирали из кузова. Причем эти детали выполнены в виде формочек, а значит, в игру «Грузовички» от Бондибон можно играть не только дома, но и во дворе, в песочнице. Детям постарше будет интересно складывать детали в кузове так, чтобы они не только не выпирали, но и чтобы в кузове между ними не оставалось свободного пространства. Младшие школьники могут собирать детали в кузове машинок на скорость, устроив веселые соревнования. А поскольку игра рассчитана на трех человек, то соревнования могут устраивать и малыши – только не на скорость собирания формочек в кузове, а, например, чья машинка быстрее доедет до заранее обозначенного «пункта разгрузки».

Играя в увлекательные логические игры с друзьями или в одиночку, ребенок даже не подозревает, что в это время он тренирует память, мышление, смекалку, мелкую моторику и приобретает массу полезных навыков, которые пригодятся ему в дальнейшей жизни.

Яркие машинки, разнообразные детали-формочки и книжка с заданиями от самых простых до сложных – отличная возможность для решения множества логических задач. Пусть ваш ребенок с удовольствием играет один или со сверстниками, а заодно и осваивает азы логического мышления, которое станет одной из основ его жизненных успехов.

Логическое И Функция — Цифровые логические ворота

В 1854 году Джордж Буль провел исследование «законов мышления», которые основывались на упрощенной версии теории «групп» или «множеств», и на основе этой теории была разработана булева алгебра.

Булева алгебра в основном занимается теорией, согласно которой и логические операции, и операции над множествами являются либо «ИСТИНА», либо «ЛОЖЬ», но не обе одновременно.

Например, A + A = A, а не 2A, как в обычной алгебре.Булева алгебра — это простой и эффективный способ представления действия переключения стандартных логических вентилей, и основные логические утверждения, которые нас интересуют, задаются операциями логических вентилей функций вентилей И, ИЛИ и НЕ.

Логическая функция И

Функция логического И Функция утверждает, что два или более события должны произойти вместе и в одно и то же время, чтобы произошло действие выхода. Порядок, в котором происходят эти действия, не имеет значения, так как он не влияет на конечный результат.Например, A & B = B & A. В булевой алгебре функция логического И подчиняется закону коммутации , который позволяет изменять положение любой переменной.

Функция AND представлена ​​в электронике точкой или символом точки (.) Таким образом, вентиль AND с двумя входами (A B) имеет выходной член, представленный логическим выражением A . B или просто AB.

Переключатель Представление функции AND

Здесь два переключателя, A и B, соединены вместе, образуя последовательную цепь.Следовательно, в приведенной выше схеме оба переключателя A И B должны быть замкнуты (логическая «1») для включения лампы. Другими словами, оба переключателя должны быть замкнуты или находиться на логической «1», чтобы лампа была «ВКЛЮЧЕНА».

Тогда этот тип логического элемента (логический элемент И) выдает выходной сигнал только при наличии «ВСЕХ» его входов. В терминах булевой алгебры выход будет ИСТИНА только тогда, когда все его входы будут ИСТИНА. С точки зрения электричества, функция логического И эквивалентна последовательной схеме, как показано выше.

Так как есть только два переключателя, каждый с двумя возможными состояниями «разомкнут» или «замкнут». Определив логический «0», когда переключатель разомкнут, и логическую «1», когда переключатель замкнут, тогда есть четыре различных способа или комбинации расположения двух переключателей вместе, как показано.

И Таблица истинности функций

Переключатель A	Переключатель B	Выход	Описание
0	0	0	A и B оба разомкнуты, лампа не горит
0	1	0	A разомкнут, а B замкнут, лампа не горит
1	0	0	A замкнут, а B разомкнут, лампа не горит
1	1	1	A замкнут, а B замкнут, лампа горит
Логическое выражение (A И B)			А.B

Логические элементы И

доступны в стандартной комплектации i.c. Такие пакеты, как обычные TTL 74LS08 с четырьмя входами положительного И с двумя входами (или эквивалент 4081 CMOS), TTL 74LS11 с тремя входами с тремя входами и положительными логическими элементами И или 74LS21 с двумя четырьмя входами и положительными логическими элементами И. Логические элементы AND также могут быть объединены в каскад для создания схем с более чем 4 входами.

Собираем вместе: теория множеств и логика

Джордж Буль

В этом модуле мы увидели, как можно формализовать логику и действительные аргументы с помощью математической записи и нескольких основных правил.Фактически, когда Джордж Буль (1815-1864) впервые разработал символическую логику (или булеву логику ), у него была идея, что его система может быть использована юристами, философами и математиками, чтобы помочь придать замысловатым аргументам более твердую основу. опора. Вряд ли он осознавал, что его система операций « и », « или » и «, а не » однажды изменит мир, положив начало цифровой революции и современным вычислениям.

Какая связь между логикой и компьютерами? Вместо значений истинности T и F цифровые компьютеры полагаются на два состояния : либо на (1), либо на (0).Это связано с тем, что компьютер состоит из множества цепей , которые представляют собой электрические пути, которые могут быть либо закрыты, чтобы позволить току течь, либо открываться, чтобы разорвать соединение. «1» означает замкнутую цепь, а «0» — разомкнутую цепь.

Определенные компоненты, называемые воротами , позволяют компьютеру открывать или закрывать цепи в зависимости от входа. Например, логический элемент И имеет два входных провода (A, B) и один выход (C).Электричество будет течь через точку C тогда и только тогда, когда и у A, и у B есть ток. Традиционно операция И записывается как умножение; то есть A AND B = AB.

Умножение кажется естественной интерпретацией AND при применении к значениям 0 и 1. Просто подумайте о таблице истинности для операции [latex] \ wedge [/ latex], заменяя T на 1 и F на 0

А	B	AB (А И В)
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Есть также ворота OR.Опять же, два входа A и B определяют выход C, однако на этот раз C = 1 тогда и только тогда, когда либо A, либо B (или оба) равны 1. Эта операция, которая соответствует логическому выражению [латекс] A \ vee B [/ latex] часто интерпретируется как своего рода дополнение (A OR B = A + B), однако это не идеальная аналогия, потому что [latex] 1 + 1 = 1 [/ latex] в булевой логике.

А	B	А + В (А ИЛИ В)
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Наконец, есть вентиль, выход которого находится в состоянии, противоположном его входу.Таким образом, если вход (A) равен 1, то выход (C) будет равен 0, и наоборот. Это называется воротами НЕ. Вы встретили «не» в качестве логического выражения [latex] \ sim \! \ Textrm {A} [/ latex], но обычное обозначение в информатике для NOT A — [latex] \ overline {\ textrm {A}} [/латекс]. Ворота вместе с таблицей истинности показаны ниже.

А	[латекс] \ overline {\ textrm {A}} [/ latex] (НЕ A)
1	0
0	1

Более того, числовые значения могут быть представлены строкой из единиц и нулей в том, что мы называем двоичной записью .Тогда основные операции сложения, вычитания, умножения и деления двоичного числа могут быть фактически выполнены с использованием правильной комбинации вентилей, другими словами, с помощью логических операций.

Однако правильное обсуждение двоичной арифметики выходит за рамки этого обсуждения. Вместо этого давайте воспользуемся булевой логикой и найдем более простую схему, эквивалентную показанной.

Данная схема имеет три затвора. Сможете ли вы найти схему только с двумя вентилями, которая дает точно такой же выходной сигнал (Q) для всех вариантов входа (A, B)?

Давайте переведем диаграмму в логическое выражение.Во-первых, и A, и B инвертируются, чтобы получить [latex] \ overline {\ textrm {A}} [/ latex] и [latex] \ overline {\ textrm {B}} [/ latex] соответственно. Эти выражения, в свою очередь, передаются логическому элементу AND. Итак, [латекс] \ textrm {Q} = \ overline {\ textrm {A}} \ cdot \ overline {\ textrm {B}} [/ latex]. Что касается логических операций, которые вы изучали в этом модуле,

[латекс] \ textrm {Q} = \ overline {\ textrm {A}} \ cdot \ overline {\ textrm {B}} = (\ sim \! \ Textrm {A}) \ wedge (\ sim \! \ textrm {B}) [/ latex]

Вы можете признать это выражение одной стороной закона Де Моргана.Следовательно, существует эквивалент

[латекс] (\ sim \! \ Textrm {A}) \ wedge (\ sim \! \ Textrm {B}) = \; \ sim \! (\ Textrm {A} \ vee \ textrm {B}) = \ overline {\ textrm {A} + \ textrm {B}} [/ latex]

Наконец, последнее выражение соответствует принципиальной схеме только с двумя вентилями, ИЛИ и НЕ.

Что такое логическая логика? Примеры логической логики

5 ноября 2018 г.

Что такое логическая логика?

Булева логика — это форма алгебры, в основе которой лежат три простых слова, известные как булевы операторы: «Или», «И» и «Не».В основе логической логики лежит идея, что все значения либо истинны, либо ложны. В платформе Lotame использование логической логики позволяет создавать более сложные определения аудитории, позволяя создавать аудитории в соответствии с очень конкретным набором определений. В этой статье исследуется использование отдельных логических операторов и их отношение к созданию аудитории.

Пример «ИЛИ»

Пример «И»

Пример «НЕ <»

Логическая логика, проиллюстрированная

Пример логической логики при построении аудитории: OR

Логический оператор «ИЛИ» используется для выражения того, что пока выполняется одно из двух или более условий, значение указанного запроса истинно.

Например, для создания аудитории, включающей всех, кто любит мексиканскую, китайскую или французскую кухню, будет применяться следующее определение аудитории:

Использование оператора «ИЛИ» гарантирует, что любой, кто проявил близость хотя бы к одной из этих кухонь, будет включен в созданную аудиторию.

Пример логической логики при построении аудитории: AND

В качестве логического оператора «И» указывает, что ВСЕ указанные условия должны быть выполнены, чтобы запрос вернул истину.

В случае, если клиент собирал аудиторию и хотел нацелиться только на пользователей, которые проявили симпатию к спортивным автомобилям и Fishing и History, будет применяться следующее определение аудитории:

Использование оператора «И» означает, что пользователь должен соответствовать ВСЕМ указанным критериям, чтобы быть включенным в аудиторию; пользователи, которым просто нравится Рыбалка или только Рыбалка и История (т. д.), будут исключены из этого определения аудитории.

Пример работы логической логики при построении аудитории: НЕ

<

Логический оператор «НЕ» используется для исключения узлов из определения аудитории. Поскольку это применимо к созданию определения аудитории, «НЕ» будет исключать всех пользователей, подпадающих под узел, который был добавлен «НЕ».

Например, для создания аудитории пользователей старше 18 лет (НЕ 13-17 лет), проявляющих интерес к фильмам, будет использоваться следующее определение аудитории:

В этом случае «НЕ», которое стоит перед 13-17, означает, что в это определение аудитории не будут включены пользователи в этом возрастном диапазоне.Также стоит отметить, что здесь также используется оператор «И». В переводе на простой английский это определение будет читаться как «Пользователи в возрасте от 13 до 17 лет, которые интересуются фильмами.

Пользователи платформы управления данными (DMP) Lotame используют логическую логику для создания аудитории для целевой рекламы, настройки контента и многих других бизнес-приложений. Понимая, кто ваша аудитория, и группируя их по сегментам аудитории, вы можете персонализировать свои сообщения, чтобы повысить взаимодействие с вашими продуктами и услугами.

Узнайте больше о DMP в этом коротком видео:

Хотите узнать больше? Давай поговорим. Мы хотели бы показать вам демонстрацию нашей платформы и то, как она может помочь вашему маркетингу работать на вас, чтобы повысить вовлеченность и коэффициент конверсии. Заполните форму ниже и свяжитесь с нами!

Интегральные схемы (ИС) | Логика — вентили и инверторы

904 Техас 9006 900 — Завод

Texas Instruments Texas Instruments 9400 Diodes Incorporated 9000 Tapeel

Digi-Reel®

IC INVERTER 2CH 2-INP SC88

$ 0.45000

0 — Немедленно

onsemi

onsemi

1

NC7WZ04P6XTR-ND NC7WZ04P6XCT-ND25 NC7WZ04P6XCT-ND25 TRAPT-ND25 Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Active

Инвертор

2

2

—

1,65 В ~ 5,5 В

1 мкА

32 мА, 32 мА

—

3.6 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 85 ° C

Крепление на поверхность

SC-88 (SC-70-6)

6-TSSOP, SC-88, SOT-363

IC GATE NAND 4CH 2-INP 14SO

$ 0,47000

9362 — Немедленно

Nexperia USA Inc.

Nexperia USA Inc.

1

1727-2 9773000 1727-2773-1-ND 1727-2773-6-ND

74HC

Лента и катушка (TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Active

NAND Затвор

4

2

—

2В ~ 6В

40 мкА

5.2 мА, 5,2 мА

0,5 В ~ 1,8 В

1,5 В ~ 4,2 В

7 нс при 6 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Поверхностный монтаж

14-SO

14-SOIC ( 0,154 дюйма, ширина 3,90 мм)

IC GATE NAND 4CH 2-INP 14SO

$ 0,42000

204 — Немедленно

Nexperia USA Inc. 1

1727-3774-ND

74HC

Трубка

Последняя покупка

NAND Gate

4

2

—

2V45 6V

904 36 36 µA2 мА, 5,2 мА

0,5 В ~ 1,8 В

1,5 В ~ 4,2 В

7 нс при 6 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Поверхностный монтаж

14-SO

14-SOIC ( 0,154 дюйма, ширина 3,90 мм)

IC GATE NAND SCHMIT 4CH 2IN 14SO

$ 0,46000

1838 — Немедленно

Nexperia USA Inc.

1727-2951-2-ND 1727-2951-1-ND 1727-2951-6-ND

4000B

Лента и катушка (TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Активный

NAND Gate

4

2

Триггер Шмитта

3 В ~ 15 В

1 мкА

3.4 мА, 3,4 мА

1,5 В ~ 4 В

3,5 В ~ 11 В

60 нс при 15 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Поверхностный монтаж

14-SO

14-SOIC (0,154 дюйма , Ширина 3,90 мм)

IC GATE NAND SCHMIT 4CH 2IN 14SO

$ 0,16668

0 — Немедленно

Nexperia USA Inc.

Nexperia 9000 Inc.

1727-6477-ND

4000B

Трубка

Последняя покупка

NAND Gate

4

2

Триггер Шмитта

3V ~ 15V

904 1 µA45.4 мА, 3,4 мА

1,5 В ~ 4 В

3,5 В ~ 11 В

60 нс при 15 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Поверхностный монтаж

14-SO

14-SOIC (0,154 дюйма , Ширина 3,90 мм)

IC GATE AND 2CH 2-INP 8VSSOP

$ 0,53000

7,849 — Немедленно

Nexperia USA Inc.

1727-3560-2-ND 1727-3560-1-ND 1727-3560-6-ND

74LVC

Лента и катушка (TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Активный

AND Gate

2

2

—

1.65 В ~ 5,5 В

4 мкА

32 мА, 32 мА

0,7 В ~ 0,8 В

0,95 В ~ 3,4 В

3,8 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C (TA)

Монтаж на поверхность

8-VSSOP

8-VFSOP (0,091 дюйма, ширина 2,30 мм)

IC GATE XOR 2CH 2-INP 8VSSOP

$ 0,46000

11,731 — Немедленно Nexperia USA Inc.

Nexperia USA Inc.

1

1727-6890-2-ND 1727-6890-1-ND 1727-6890-6-ND

74AUP

Tape & Reel (TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Active

XOR (Exclusive OR)

2

2

—

0.8 В ~ 3,6 В

500 нА

4 мА, 4 мА

0,7 В ~ 0,9 В

1,6 В ~ 2 В

7,1 нс при 3,3 В, 30 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Крепление на поверхность

8-VSSOP

8-VFSOP (0,091 дюйма, ширина 2,30 мм)

ИНВЕРТОР SCHMITT 3CH 3-IN US8

$ 0,44000

27 007 — Немедленно onsemi

1

NC7NZ14K8XTR-ND NC7NZ14K8XCT-ND NC7NZ14K8XDKR-ND

7NZ

Лента-катушка 9000 CT 9000 9000 CTape5

Активный

Инвертор

3

3

Триггер Шмитта

1.65 В ~ 5,5 В

1 мкА

32 мА, 32 мА

0,25 В ~ 1,2 В

1,5 В ~ 3,6 В

5,9 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 85 ° C

Крепление на поверхность

US8

8-VFSOP (0,091 дюйма, ширина 2,30 мм)

IC INVERT SCHMITT 6CH 6-INP 14SO

$ 0,45000

19,640 — Непосредственная электроника

0 STMicro45

1

497-14369-2-ND 497-14369-1-ND 497-14369-6-ND

Автомобильная промышленность, AEC-Q100, 4000

Лента и катушка (TR ) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Активный

Инвертор

6

6

Триггер Шмитта

3 В ~ 20 В

20 мкА

6.8 мА, 6,8 мА

0,9 В ~ 4 В

3,6 В ~ 10,8 В

120 нс при 15 В, 50 пФ

-55 ° C ~ 125 ° C

Поверхностный монтаж

14-SO

14-SOIC (0,154 «, Ширина 3,90 мм)

IC GATE OR 2CH 2-INP 8VSSOP

$ 0,53000

19,552 — Немедленно

Texas Instruments

Texas Instruments 4

296-13268-2-ND 296-13268-1-ND 296-13268-6-ND

74LVC

Лента и катушка (TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel ®

Активный

OR Ворота

2

2

—

1.65 В ~ 5,5 В

10 мкА

32 мА, 32 мА

0,7 В ~ 0,8 В

1,7 В ~ 2 В

3,2 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Крепление на поверхность

8-VSSOP

8-VFSOP (0,091 дюйма, ширина 2,30 мм)

ИНВЕРТОР IC 1CH 1-INP 4DSBGA

$ 0,58000

39,066 — Немедленно 000 Заводская 92 Texas Instruments

Texas Instruments

1

296-21063-2-ND 296-21063-1-ND 296-21063-6-ND

74LVC

Лента и катушка ( TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Active

Инвертор

1

1

—

1.65 В ~ 5,5 В

10 мкА

32 мА, 32 мА

—

—

3 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Поверхностный монтаж

4-DSBGA (0,88×0,88 )

4-XFBGA, DSBGA

IC GATE NAND 2CH 2-INP 8VSSOP

$ 0,58000

35,089 — Немедленно 9000 инструментов

1

296-18802-2-ND 296-18802-1-ND 296-18802-6-ND

74LVC

Лента и катушка (TR) Cut Tape ( CT) Digi-Reel®

Активный

NAND Gate

2

2

Триггер Шмитта

1.65 В ~ 5,5 В

10 мкА

32 мА, 32 мА

0,39 В ~ 1,87 В

1,16 В ~ 3,33 В

5 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Монтаж на поверхности

8-VSSOP

8-VFSOP (0,091 дюйма, ширина 2,30 мм)

IC GATE NAND 4CH 2-INP 14SOIC

$ 0,70000

2112 — Немедленно

1

296-14690-2-ND 296-14690-1-ND 296-14690-6-ND

74ACT

Лента и катушка (TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Active

NAND Gate

4

2

—

4.5 В ~ 5,5 В

2 мкА

24 мА, 24 мА

0,8 В

2 В

9 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 85 ° C

Поверхностный монтаж

14-SOIC

14- SOIC (0,154 дюйма, ширина 3,90 мм)

IC GATE NAND 2CH 2-INP SM8

0,86000 долл. США

296-13257-2-ND 296-13257-1-ND 296-13257-6-ND

74LVC

Лента и катушка (TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Активный

NAND Gate

2

2

—

1.65 В ~ 5,5 В

10 мкА

32 мА, 32 мА

0,7 В ~ 0,8 В

1,7 В ~ 2 В

3,3 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Крепление на поверхность

SM8

8-LSSOP, 8-MSOP (0,110 дюйма, ширина 2,80 мм)

ИНВЕРТОР IC 1CH 1-INP SOT23-5

$ 0,95000

5,356 — Немедленно Завод

Texas Instruments

Texas Instruments

1

296-32289-2-ND 296-32289-1-ND 296-32289-6-ND

7414 9000 9045 Tape & Reel (TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Active

Инвертор

1

1

—

1.65 В ~ 5,5 В

10 мкА

32 мА, 32 мА

0,7 В ~ 0,8 В

1,7 В ~ 2 В

3,7 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Крепление на поверхность

SOT-23-5

SC-74A, SOT-753

ИНВЕРТОР IC 1-КАНАЛЬНЫЙ 1-INP SOT23-5

$ 0,95000

2,423 — Немедленно 4500

000 Texas Instruments

Texas Instruments

1

296-26397-2-ND 296-26397-1-ND 296-26397-6-ND

74AHC

Лента и катушка TR) Cut Tape (CT) Digi-Reel®

Active

Инвертор

1

1

—

2V ~ 5.5 В

1 мкА

8 мА, 8 мА

0,5 В ~ 1,65 В

1,5 В ~ 3,85 В

7,5 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 85 ° C

Крепление на поверхность

SOT- 23-5

SC-74A, SOT-753

IC GATE AND 4CH 2-INP 14DIP

$ 0,84000

41822 — Немедленно

Texas Instruments

Texas Instruments

1

296-1633-5-ND

74LS

Трубка

Активная

AND Gate

4

2

—

4.75 В ~ 5,25 В

—

400 мкА, 8 мА

0,8 В

2 В

20 нс при 5 В, 15 пФ

0 ° C ~ 70 ° C

Сквозное отверстие

14-PDIP

14-DIP ( 0,300 дюйма, 7,62 мм)

IC GATE OR 1CH 2-INP SC70-5

$ 1,94000

4,498 — Немедленно

Texas Instruments

Texas Instruments

296-22350-2-ND 296-22350-1-ND 296-22350-6-ND

74LVC

Лента и катушка (TR) Cut Tape (CT) Digi -Reel®

Активный

OR Ворота

1

2

—

1.65 В ~ 5,5 В

10 мкА

32 мА, 32 мА

0,7 В ~ 0,8 В

1,7 В ~ 2 В

4,5 нс при 5 В, 50 пФ

-55 ° C ~ 125 ° C

Крепление на поверхность

SC-70-5

5-TSSOP, SC-70-5, SOT-353

IC GATE OR 1CH 2-INP SOT353

$ 0,27000

17,004 — Немедленно

Diodes Incorporated

1

74AHCT1G32SE-7DITR-ND 74AHCT1G32SE-7DICT-ND 74AHCT1G32SEH-7DIDKRape-ND 74AHCT1G32SEH-7DIDKRape-N900 (CT) Digi-Reel®

Активный

OR Затвор

1

2

—

4.5 В ~ 5,5 В

1 мкА

8 мА, 8 мА

0,8 В

2 В

7,9 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Поверхностный монтаж

SOT-353

5 -TSSOP, SC-70-5, SOT-353

IC GATE XOR 1CH 2-INP SOT353

$ 0,29000

19,295 — Немедленно 147,000 — Завод iodes

Diodes Incorporated

1

74LVC1G86SE-7DITR-ND 74LVC1G86SE-7DICT-ND 74LVC1G86SE-7DIDKR-ND 900V45 9000 CT2 900V45 Digi-Reel®

Активный

XOR (Исключительное ИЛИ)

1

2

—

1.65 В ~ 5,5 В

200 мкА

32 мА, 32 мА

0,7 В ~ 0,8 В

1,7 В ~ 2 В

4 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Крепление на поверхность

SOT -353

5-TSSOP, SC-70-5, SOT-353

IC GATE NAND 1CH 2-INP SOT353

$ 0,30000

13,099 — Немедленно

— Включено

Diodes Incorporated

1

74AHC1G00SE-7DITR-ND 74AHC1G00SE-7DICT-ND 74AHC1G00SE-7DIDKR-ND

Активный

NAND Gate

1

2

—

2 В ~ 5.5 В

1 мкА

8 мА, 8 мА

0,5 В ~ 1,65 В

1,5 В ~ 3,85 В

7,5 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Крепление на поверхность

SOT- 353

5-TSSOP, SC-70-5, SOT-353

ИНВЕРТОР 1CH 1-INP USV

$ 0,32000

2,527 — Немедленно

Toshiba Storage

Toshiba Semiconductor and Storage

1

TC7SH04FULJ (CTTR-ND TC7SH04FULJ (CTCT-ND TC7SH04FULJ (CTDKR000 Tape TC7SH04FULJ (CTDKR000 Tape TRape 9000) CT) Digi-Reel®

Активный

Инвертор

1

1

—

2 В ~ 5.5 В

2 мкА

8 мА, 8 мА

0,5 В

1,5 В

7,5 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 85 ° C

Поверхностный монтаж

5-SSOP

5-TSSOP , SC-70-5, SOT-353

IC GATE OR 1CH 2-INP SOT25

$ 0,32000

20,910 — Немедленно 894,000 — Завод

Диоды Зарегистрировано

1

74LVC1G32W5-7DITR-ND 74LVC1G32W5-7DICT-ND 74LVC1G32W5-7DIDKR-ND

9145 Cut

9145 Digi-Reel®

Активный

OR Затвор

1

2

—

1.65 В ~ 5,5 В

200 мкА

32 мА, 32 мА

0,7 В ~ 0,8 В

1,7 В ~ 2 В

1,7 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Крепление на поверхность

SOT-25

SC-74A, SOT-753

IC GATE AND 1CH 2-INP SOT25

$ 0,32000

28,953 — Немедленно

900 Diodes Incorporated39 1

74AHCT1G08W5-7DITR-ND 74AHCT1G08W5-7DICT-ND 74AHCT1G08W5-7DIDKR-ND

74AHCT2 5 TRape

74AHCT2 5 TRape ®

Активный

И Ворота

1

2

—

4.5 В ~ 5,5 В

1 мкА

8 мА, 8 мА

0,8 В

2 В

7,9 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Поверхностный монтаж

SOT-25

SC -74A, SOT-753

IC ИНВЕРТОР 1CH 1-INP SOT25

$ 0,32000

7,963 — Немедленно 18000 — Завод

Diodes Incorporated

74AHCT1G04W5-7DITR-ND 74AHCT1G04W5-7DICT-ND 74AHCT1G04W5-7DIDKR-ND

74AHCT

TRape2 Tape2

Активный

Инвертор

1

1

—

4.5 В ~ 5,5 В

1 мкА

8 мА, 8 мА

0,8 В

2 В

7,7 нс при 5 В, 50 пФ

-40 ° C ~ 125 ° C

Поверхностный монтаж

SOT-25

SC -74A, SOT-753

Логические операторы — cppreference.com

Возвращает результат логической операции.

Имя оператора	Синтаксис	Возможность перегрузки	Примеры прототипов (для класса Т)
			Определение внутреннего класса	Определение вне класса
отрицание	не а ! А	Да	bool T :: operator! () Const;	оператор bool! (Const T & a);
И	а и б a && b	Да	bool T :: operator && (const T2 & b) const;	логический оператор && (const T & a, const T2 & b);
включительно ИЛИ	а или б a || b	Да	bool T :: оператор || (const T2 & b) const;	логический оператор || (const T & a, const T2 & b);
Примечания Формы, подобные ключевым словам (and, or, not), и символьные формы (&&, || ,!) могут использоваться взаимозаменяемо (см. Альтернативные представления) Все встроенные операторы возвращают bool, и большинство определяемых пользователем перегрузок также возвращают bool, так что определяемые пользователем операторы могут использоваться таким же образом, как и встроенные.Однако при перегрузке определяемого пользователем оператора в качестве возвращаемого типа может использоваться любой тип (включая void). Встроенные операторы && и || выполняет оценку короткого замыкания (не оценивает второй операнд, если результат известен после оценки первого), но перегруженные операторы ведут себя как обычные вызовы функций и всегда оценивают оба операнда

[править] Объяснение

Выражения логического оператора имеют вид

! правых	(1)
левый && правый	(2)
левый || правых	(3)

1) Логическое НЕ

2) Логическое И

3) Логическое включительно ИЛИ

Если операнд не является bool, он преобразуется в bool с помощью контекстного преобразования в bool: он правильно сформирован, только если объявление bool t (arg) правильно сформировано, для некоторых придуманных временных t .

Результат — логическое значение prvalue.

Для встроенного оператора логического НЕ результат будет истиной, если операнд ложь. В противном случае результат будет ложным.

Для встроенного логического оператора И результат будет истиной, если оба операнда верны. В противном случае результат будет ложным. Этот оператор является коротким замыканием: если первый операнд ложен, второй операнд не оценивается

Для встроенного логического оператора ИЛИ результат будет истиной, если либо первый, либо второй операнд (или оба) истинны.Этот оператор является коротким замыканием: если первый операнд истинен, второй операнд не оценивается.

Обратите внимание, что побитовые логические операторы не выполняют короткое замыкание.

[править] Результаты

а	верно	ложь
! А	ложь	верно

и		а
		правда	ложь
б	верно	верно	ложь
	ложный	ложь	ложь

или		а
		правда	ложь
б	верно	верно	верно
	ложный	верно	ложь

В разрешении перегрузки для определяемых пользователем операторов следующие встроенные сигнатуры функций участвуют в разрешении перегрузки:

оператор bool! (Bool)
оператор bool && (bool, bool)
оператор bool || (bool, bool)

[править] Пример

 #include 
#include <строка>
int main ()
{
    int n = 2;
    int * p = & n;
    // указатели можно преобразовать в bool
    if (p && * p == 2 // "* p" можно использовать после "p &&"
       || ! p && n! = 2) // || имеет более низкий приоритет, чем &&
        std :: cout << "истина \ п";

    // потоки также можно преобразовать в bool
    std :: cout << "Введите 'quit', чтобы выйти.\ п ";
    for (std :: string line; std :: cout << ">"
                          && std :: getline (std :: cin, строка)
                          && line! = "выйти"; )
        ;
} 

Выход:

 верно
Введите "quit", чтобы выйти.
> тест
> выйти из 

[править] Стандартная библиотека

Поскольку свойства короткого замыкания оператора && и оператора || не применяются к перегрузкам, и поскольку типы с логической семантикой встречаются редко, только два стандартных библиотечных класса перегружают эти операторы:

	применяет унарный арифметический оператор к каждому элементу valarray (общедоступная функция-член std :: valarray )
	применяет бинарные операторы к каждому элементу двух valarrays или valarray и значению (шаблон функции)
	проверяет, произошла ли ошибка (синоним fail ()) (общедоступная функция-член std :: basic_ios ) [править]

[править] См. b

a << b
a >> b

! A
a && b
a || б

a == b
a! = B
a a> b
a <= b
a> = b
a <=> b

a [b]
* a
и a
a-> b
a.б
а -> * б
а. * б

а (…)
а, б
? :

Специальные операторы

static_cast преобразует один тип в другой связанный тип
dynamic_cast преобразует в иерархиях наследования
const_cast добавляет или удаляет квалификаторы cv
reinterpret_cast преобразует тип в несвязанный тип
C-style cast преобразует один тип в другой посредством комбинации static_cast , const_cast , и reinterpret_cast
new создает объекты с динамической продолжительностью хранения.
delete уничтожает объекты, ранее созданные новым выражением, и освобождает полученную область памяти
sizeof запросов размера типа
sizeof… запрашивает размер пакета параметров (начиная с C ++ 11)
typeid запрашивает информацию о типе типа
noexcept проверяет, может ли выражение вызывать исключение (начиная с C ++ 11)
alignof запросы выравнивания требований типа (начиная с C ++ 11)

Логические функции ПЛК | Ворота с релейной логикой ПЛК

Существует множество ситуаций управления, требующих инициирования действий, когда определенная комбинация условий логических функций реализуется в PLC .

Логические функции ПЛК

Скажем, для автоматического сверлильного станка может быть условие, что двигатель сверла должен активироваться, когда срабатывают концевые выключатели, которые указывают на наличие заготовки и положение сверла как на поверхность заготовки.

Такая ситуация включает в себя логическую функцию И, условие A И условие B, которые должны быть реализованы для того, чтобы произошел выход. В этом разделе рассматриваются такие логические функции.

ПЛК И ЛОГИКА

На рис. 1.7a показана ситуация, когда на выход не подается питание, если только два нормально разомкнутых переключателя не замкнуты. Переключатель A и переключатель B должны быть замкнуты, что, таким образом, дает логическую ситуацию AND.

Мы можем представить это как систему управления с двумя входами A и B (рис. 1.7b). Только когда включены A и B, есть выход. Таким образом, если мы используем 1 для обозначения сигнала включения и 0 для представления сигнала выключения, то для того, чтобы был выход 1, мы должны иметь A и B, оба равны 1.

Считается, что такая операция управляется логическим вентилем, а взаимосвязь между входами логического элемента и выходами сведена в таблицу в форме, известной как таблица истинности. Таким образом, для логического элемента И мы имеем:

Примером логического элемента И является система управления блокировкой для станка, так что он может работать только тогда, когда защитное ограждение находится в нужном положении и питание включено.

На рис. 1.8a показана система логического элемента И на лестничной диаграмме. Релейная диаграмма начинается с j j, нормально разомкнутого набора контактов, обозначенного как вход A, для представления переключателя A и последовательно с ним j j, другого нормально разомкнутого набора контактов, обозначенного как вход B, для представления переключателя B.

Также читайте: Введение в лестничные диаграммы ПЛК

Затем линия заканчивается символом O для представления вывода. Чтобы был выход, должны присутствовать как вход A, так и вход B, т.е. контакты входа A и входа B должны быть замкнуты (рисунок 1.8b). Всего:

На лестничной диаграмме контакты на горизонтальной ступеньке, т. Е. Контакты, включенные последовательно, представляют собой логические операции И.

ПЛК ИЛИ ЛОГИКА

На рисунке 1.9a показана электрическая цепь, в которой на выход подается напряжение, когда нормально разомкнутые переключатели A или B замкнуты.

Здесь описывается логический вентиль ИЛИ (рис. 1.9b) в том, что вход A или вход B должны быть включены, чтобы был выход.

Таблица истинности:

На рис. 1.10a показана система логических вентилей ИЛИ на лестничной диаграмме, на рис. 1.10b показан эквивалентный альтернативный способ построения той же схемы.

Релейная диаграмма начинается с j j, нормально разомкнутые контакты, обозначенные как вход A, для обозначения переключателя A и параллельно с ним j j, нормально разомкнутые контакты, обозначенные как вход B, для представления переключателя B.

Для подачи питания на выход необходимо замкнуть вход A или вход B

(рисунок 1.10c). Затем линия заканчивается символом O, чтобы представить результат. Всего:

Альтернативные пути, представленные вертикальными путями от главной ступени лестничной диаграммы, т. Е. Параллельные пути представляют собой операции логического ИЛИ.

Примером системы управления воротами ИЛИ является конвейерная лента, транспортирующая бутилированные продукты к упаковке, где срабатывает отражающая пластина для отклонения бутылок в бункер для брака, если либо вес не находится в пределах определенных допусков, либо на бутылке нет крышки.

ПЛК НЕ ЛОГИКА

На рисунке 1.11a показана электрическая цепь, управляемая нормально замкнутым переключателем. Когда есть вход к переключателю, он размыкается, и тогда в цепи нет тока.

Это иллюстрирует вентиль НЕ в том смысле, что есть выход, когда нет входа, и нет выхода, когда есть вход (рисунок 1.11c). Затвор иногда называют инвертором.

Таблица истинности:

На рис. 11.11b показана система вентилей НЕ на лестничной диаграмме.Контакты входа A показаны как нормально замкнутые.

Это последовательно с output (). При отсутствии входа на вход A контакты замкнуты, и поэтому есть выход. Когда есть вход для входа A, он открывается, и тогда нет выхода.

Примером системы управления воротами НЕ является свет, который загорается, когда становится темно, то есть, когда нет входа света на датчик света, есть выход.

ПЛК NAND ЛОГИКА

Предположим, мы следуем логическому элементу И с элементом НЕ (рисунок 1.12а). Следствием наличия логического элемента НЕ является инвертирование всех выходных сигналов логического элемента И.

Альтернативой, которая дает точно такие же результаты, является установка логического элемента НЕ на каждом входе и последующего выполнения операции ИЛИ (рис. 1.12b).

Встречается та же таблица истинности, а именно:

Оба входа A и B должны быть равны 0, чтобы на выходе был 1.

Выход есть, когда вход A и вход B не равны 1.

Комбинация этих ворот называется логическим элементом И-НЕ (рисунок 1.13).

Примером системы управления воротами NAND является сигнальная лампа, которая загорается, если на станке не был активирован защитный выключатель и не был активирован концевой выключатель, сигнализирующий о наличии заготовки.

ПЛК ИЛИ ЛОГИКА

Предположим, что мы следуем за логическим элементом ИЛИ через элемент НЕ (рис. 1.14a).

Следствием наличия логического элемента НЕ является инвертирование выходов логического элемента ИЛИ.

Альтернативой, дающей точно такие же результаты, является установка логического элемента НЕ на каждый вход, а затем логического элемента И для результирующих инвертированных входов (рисунок 1.14б).

Ниже приводится результирующая таблица истинности:

Комбинация ворот ИЛИ и НЕ называется воротами ИЛИ. Есть выход, когда ни на входе A, ни на входе B нет 1.

На рисунке 1.15 показана лестничная диаграмма системы NOR.

Когда вход A и вход B не активированы, имеется 1 выход. Когда либо X400, либо X401 равны 1, выводится 0.

ПЛК Исключающее ИЛИ (ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ) ЛОГИКА

Логический элемент ИЛИ дает выход, когда один или оба входа равны 1.

Иногда, однако, требуется вентиль, который дает выход, когда один из входов равен 1, но не когда оба равны 1, то есть имеет таблицу истинности:

Такой вентиль называется вентилем Исключающее ИЛИ или Исключающее ИЛИ.

Один из способов получить такой вентиль — использовать логические элементы НЕ, И и ИЛИ, как показано на Рисунке 1.16.

На рисунке 1.17 показана лестничная диаграмма для системы вентилей XOR. Когда вход A и вход B не активированы, то выход 0.

Когда активен только вход A, тогда верхняя ветвь приводит к выходу 1.Когда активен только вход B, то нижняя ветвь дает выход 1.

Когда активированы и вход A, и вход B, выход отсутствует.

В этом примере логического элемента вход A и вход B имеют в схемах два набора контактов, один из которых является нормально разомкнутым, а другой — нормально замкнутым.

При программировании ПЛК каждый вход может иметь столько наборов контактов, сколько необходимо.

ПЛК эксклюзивный NOR (XNOR) LOGIC

Также читается: нормально замкнутый контакт кнопки останова

Если вам понравилась эта статья, то подпишитесь на наш канал YouTube с видеоуроками по ПЛК и SCADA.

Вы также можете подписаться на нас в Facebook и Twitter, чтобы получать ежедневные обновления.

Читать дальше:

Logic Gates — Официальная Terraria Wiki

Logic Gates

Пример логического элемента И.

Логический шлюз — это механизм, используемый для обеспечения логики схем подключения. Вход осуществляется с помощью стопки ламп логических вентилей, помещенных на нее. Логический вентиль включается и выключается в зависимости от своих входов и излучает сигнал каждый раз, когда его состояние изменяется.

Логические вентили вместе с лампами логических вентилей покупаются в стимпанкере по 2 штуки.

Поведение []

Все ворота выключаются при первой установке. Каждый раз, когда лампа добавляется или удаляется или одна из ее ламп меняет состояние, логический вентиль обновляется в соответствии со следующими правилами:

Каждый раз, когда логический вентиль включается или выключается, он излучает сигнал. Если этот сигнал заставит логический вентиль изменить свои собственные входы и испустить два сигнала на одном и том же тике ^[1] , вместо этого у ворот появляется клуб дыма, и излучается только один сигнал.Обратите внимание, что хотя излучается только один сигнал, состояние самого логического элемента все еще изменяется.

Неисправные лампы []

Размещение лампы неисправного логического элемента над логическим вентилем делает его синим, отменяя его нормальную функциональность и полностью изменяя его поведение. Вместо этого логические вентили функционируют как рандомизатор и больше не могут включаться или выключаться. Ворота больше не излучают сигналы, когда обычные логические лампы над ним меняют состояние. Вместо этого, когда неисправная лампа запускается сигналом, она случайным образом выбирает одну из логических ламп под ней.Если эта лампа горит, логический вентиль излучает сигнал. Таким образом, если под неисправной лампой находятся три лампы, две включены и одна выключена, у ворот есть 2/3 шанса подать сигнал при срабатывании неисправной лампы.

Неисправная лампа может срабатывать несколько раз за один тик, что дает воротам несколько шансов сгенерировать сигнал. Таким образом, несколько сигналов не могут быть отправлены в один тик, однако у гейта будет возможность излучать сигнал каждый раз, когда неисправная лампа получает сигнал.Например, если вы запускаете неисправный вентиль, когда одна из двух ламп логических вентилей включается дважды за один тик, у него будет 3/4 шанс испустить сигнал.

Неисправные лампы продолжают работать, если под ними находится только одна лампа логического элемента. В этом случае логический вентиль в целом действует как оператор «если», пропуская сигнал только в том случае, если горит одна лампа. Если лампы логического элемента не подключены, логический элемент никогда не посылает сигналы при срабатывании неисправной лампы. Очень практично это использовать односторонний провод: когда логический вентиль получает сигнал, он ничего не делает, но запускает неисправную лампу над ним, он отправляет сигнал.Лампа логического элемента под неисправными лампами должна гореть. Также этот провод можно отключить, послав сигнал на лампу логического элемента. Выполнение двух из них позволяет игроку управлять всеми четырьмя возможными состояниями провода: выключено, включено (A-> B), включено (A <-B), включено (A <--> B).

Обратные ворота []

Поскольку вентили излучают сигнал всякий раз, когда они включаются или выключаются, «инвертированные» версии каждого логического элемента (с префиксом «N») в большинстве ситуаций ведут себя идентично их нормальным аналогам.Единственная разница — когда к новым воротам добавляется первая лампа. (Например, оба логических элемента И-НЕ и И запускаются при первом размещении. Однако при добавлении логического элемента «И» вентиль И останется выключенным и не будет излучать сигнал, в то время как вентиль И-НЕ включится, тем самым испуская сигнал.)

Полезные схемы []

Переключатель-триггер (T-триггер) []

T-триггер

Тумблер — это устройство с одним входом, которое изменяет состояние каждого другого входа. Устройство состоит из неисправной лампы логического элемента, лампы логического элемента и элемента управления.Это особенно полезно при использовании датчиков для переключения активаций без отключения устройства конечным импульсом датчика.

Триггер установки / сброса (триггер SR) []

Триггер SR

Триггер установки / сброса — это устройство, которое имеет два входа и может переключаться между ними. Однако многократная активация одного и того же входа не изменит состояние. Он будет выдавать импульс при изменении состояния. На рисунке красный и зеленый — это входы, а синий — выход.

Ограниченный накопительный контур []

Цепь ограниченного хранения

Цепь, которая может хранить промежуточное значение. Он имеет три входа (вверху): запись , чтение и вход слева направо и один выход. Он также имеет внутреннее битовое состояние, недоступное извне. Пока читает выключен, внутренний бит никогда не изменится; пока читает , внутренний бит копирует вход .Независимо от этого, пока запись выключена, вывод никогда не изменится; пока запись включена, вывод копирует внутренний бит. Бит — это логический вентиль «или» рядом с распределительной коробкой (удар).

Более компактная конструкция ограниченного запоминающего устройства.

Аварийный выключатель []

Защитный выключатель

Простой выключатель для включения / выключения ловушек. Использует два логических элемента: И (3 лампы) и XOR. Переключатель и прижимная пластина подключены к вентилю XOR для сброса логического элемента И после каждого использования, поэтому ловушка будет активироваться каждый раз при срабатывании пластины, пока переключатель не активен.

Примечания []

Ворота

• НЕ используются, так как они просто будут излучать сигнал каждый раз, когда изменяется вход из-за того, как логические элементы работают в Terraria .
• К одному логическому элементу можно подключить несколько неисправных ламп, и все это приведет к тому, что вентиль будет выдавать сигнал. Однако только лампы логического элемента ниже самой низкой неисправной лампы в цепи влияют на вероятность того, что логический элемент излучает сигнал. Все, что выше, игнорируется.
• В электронике и логике вентиль XOR с более чем 2 входами обычно рассматривается как каскад вентилей XOR с 2 входами, таким образом, он ведет себя как средство проверки четности с включенным выходом, если включено нечетное количество входов. .Однако в terraria вентиль XOR с несколькими входами включается только тогда, когда включен ровно один вход.

История []

• Рабочий стол 1.3.2:
  • Исправлено имя XNOR с именем NXOR.
  • Во всплывающую подсказку XNOR добавлена ​​фраза «Также часто называется NXOR».

[]

1. ↑ Галочка — это единица времени, рассчитываемая программным обеспечением. Большая часть логики обновления Terraria происходит каждый тик. Тик имеет длину 1/60 секунды, следовательно, есть 60 тиков в секунду и 3600 тиков в минуту.

.