Гармонический осциллятор | это… Что такое Гармонический осциллятор?

У этого термина существуют и другие значения, см. Осциллятор.

Гармони́ческий осцилля́тор (в классической механике) — система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

где k — коэффициент жёсткости системы.

Если F — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой.

Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

Содержание 1 Свободные колебания 1.1 Консервативный гармонический осциллятор 1.1.1 Простое гармоническое движение 1.1.1.1 Динамика простого гармонического движения 1.1.1.2 Энергия простого гармонического движения 1.1.1.3 Примеры 1.1.1.3.1 Груз на пружине 1.1.1.3.2 Универсальное движение по окружности 1. 1.1.3.3 Груз как простой маятник 1.2 Затухающий гармонический осциллятор 2 Вынужденные колебания 3 Литература 4 См. также 5 Примечания

Свободные колебания

Консервативный гармонический осциллятор

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы m, закреплённый на пружине жёсткостью k.

Пусть x — смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

Используя второй закон Ньютона, запишем

Обозначая и заменяя ускорение a на вторую производную от координаты по времени напишем:

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент называют циклической частотой осциллятора. (Здесь имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах в секунду.

Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в Герцах, надо разделить круговую частоту на )

Будем искать решение этого уравнения в виде:

Здесь A — амплитуда, ω — частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте), φ — начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение.

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое — это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени

t. Таким образом, остаётся условие на частоту колебаний:

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе этого знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

движение по кругу и движение гармоническое

Общее решение уравнения записывается в виде:

где амплитуда A и начальная фаза φ — произвольные постоянные.

Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).

Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.

Кинетическая энергия записывается в виде

и потенциальная энергия есть

тогда полная энергия имеет постоянное значение

Простое гармоническое движение

Простое гармоническое движение — это движение простого гармонического осциллятора, периодическое движение, которое не является ни вынужденным, ни затухающим. Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы, которая по модулю прямо пропорциональна смещению

x от положения равновесия и направлена в обратную сторону.

Это движение является периодическим: тело колеблется около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же, как и предыдущее, и период, частота и амплитуда колебаний остаются постоянными. Если принять, что положение равновесия находится в точке с координатой, равной нулю, то смещение

x тела от положения равновесия в любой момент времени даётся формулой:

где A — амплитуда колебаний, f — частота, φ — начальная фаза.

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями — перемещением и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Простое гармоническое движение. На этой анимированной картинке по вертикальной оси отложена координата частицы (x в формуле), а по горизонтальной оси отложено время (

t).

Простое гармоническое движение может быть математическими моделями различных видов движения, таких как колебание пружины. Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье, суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Простое гармоническое движение, показанное одновременно в реальном пространстве и в фазовом пространстве. Здесь ось скорости и ось положения показаны иначе по сравнению с обычным изображением осей координат — это сделано для того, чтобы оба рисунка соответствовали друг другу. Real Space — реальное пространство; Phase Space — фазовое пространство; velocity — скорость; position — положение (позиция).

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил, и груз находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется, и с её стороны на груз будет действовать сила, которая будет стремиться вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука:

где

F — возвращающая сила,

x — перемещение груза (деформация пружины),

k — коэффициент жёсткости пружины.

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

1. Когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие.
2. Возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Система груз-пружина удовлетворяет обоим этим условиям.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его, и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть, в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение называется периодическим.

Дальнейший анализ покажет, что в случае системы груз-пружина движение является простым гармоническим.

Динамика простого гармонического движения

Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d²x/dt²) и закон Гука (F = −kx, как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

где

m — масса тела,

x — его перемещение относительно положения равновесия,

k — постоянная (коэффициент жёсткости пружины).

Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково:

где A, ω и φ — постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное.^[1] Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения: A — это амплитуда, ω = 2πf — круговая частота, и φ — начальная фаза.^[2]

Положение, скорость и ускорение гармонического осцилятора

Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам:

Положение, скорость и ускорение простого гармонического движения на фазовой плоскости

Ускорение может быть также выражено как функция перемещения:

Поскольку ma = −mω²x = −kx, то

Учитывая, что ω = 2πf, получим

и поскольку T = 1/f, где T — период колебаний, то

Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.

Энергия простого гармонического движения

Кинетическая энергия K системы в зависимости от времени t такова:

и потенциальная энергия есть

Полная механическая энергия системы, однако, имеет постоянное значение

Примеры

Система груз-пружина без затухания, в которой происходит простое гармоническое движение.

Простое гармоническое движение представлено в различных простых физических системах, и ниже приведены некоторые примеры.

Груз на пружине

Масса m, прикреплённая к пружине с постоянной жёсткостью k, является примером простого гармонического движения в пространстве. Формула

показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и ускорения свободного падения.

Универсальное движение по окружности

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерная проекция универсального движения по окружности. Если объект движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса r, центром которой является начало координат плоскости x − y, то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω.

Груз как простой маятник

Движение маятника, не имеющего затуханий, можно приближённо рассматривать как простое гармоническое движение, если амплитуда колебаний очень мала в сравнении с длиной стержня.

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ с ускорением свободного падения g даётся формулой

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от ускорения свободного падения g, поэтому при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах отклонения, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

где

I — момент инерции; в данном случае I = m ℓ ².

Когда угол θ мал, можно считать, что sin θ ≈ θ, и выражение принимает вид:

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ, а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

Затухающий гармонический осциллятор

Основная статья: Затухающие колебания

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

• При малом трении () общее решение записывается в виде:

, где  — частота свободных колебаний.

• Затухание называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

• При сильном же трении решение выглядит следующим образом:

, где

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой . По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность, меньшая или равная 0,5, соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз, умноженному на .

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

• Время жизни колебаний (оно же время затухания, оно же время релаксации) τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

• Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону: Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.

Вынужденные колебания

Основная статья: Вынужденные колебания

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением, когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.

Литература

Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие

См. также

• Коэффициент фазовой синхронизации
• Добротность
• Нормальные колебания
• Ангармонический осциллятор
• Параметрический осциллятор
• Квантовый гармонический осциллятор
• Вынужденные колебания
• Затухающие колебания
• Автоколебания
• Система «хищник-жертва»
• Теория хаоса
• Простое гармоническое движение
• Маятник Капицы

Примечания

1. ↑ Решение приведённого дифференциального уравнения можно записать с помощью функции синуса:
   И это тоже верное решение, поскольку известно общее равенство cos θ = sin(π/2 — θ). Используя тригонометрические соотношения, можно записать
   и таким образом
   также является верным решением при соответствующим образом выбранных постоянных a и b.
2. ↑ Максимальное перемещение (то есть амплитуда), x_max, имеет место, когда cos(ωt + φ) = 1, и таким образом, когда x_max = A. Таким образом, A является амплитудой.
   Поскольку
   то величина 2π/ω является периодом T (время, за которое совершается одно полное колебание). Также, поскольку T = 1/f, ω = 2πf является угловой скоростью.

Гармонический осциллятор | это… Что такое Гармонический осциллятор?

У этого термина существуют и другие значения, см. Осциллятор.

Гармони́ческий осцилля́тор (в классической механике) — система, которая при смещении из положения равновесия испытывает действие возвращающей силы F, пропорциональной смещению x (согласно закону Гука):

где k — коэффициент жёсткости системы.

Если F — единственная сила, действующая на систему, то систему называют простым или консервативным гармоническим осциллятором. Свободные колебания такой системы представляют собой периодическое движение около положения равновесия (гармонические колебания). Частота и амплитуда при этом постоянны, причём частота не зависит от амплитуды.

Если имеется ещё и сила трения (затухание), пропорциональная скорости движения (вязкое трение), то такую систему называют затухающим или диссипативным осциллятором. Если трение не слишком велико, то система совершает почти периодическое движение — синусоидальные колебания с постоянной частотой и экспоненциально убывающей амплитудой. Частота свободных колебаний затухающего осциллятора оказывается несколько ниже, чем у аналогичного осциллятора без трения.

Если осциллятор предоставлен сам себе, то говорят, что он совершает свободные колебания. Если же присутствует внешняя сила (зависящая от времени), то говорят, что осциллятор испытывает вынужденные колебания.

Механическими примерами гармонического осциллятора являются математический маятник (с малыми углами отклонения), груз на пружине, торсионный маятник и акустические системы. Среди других аналогов гармонического осциллятора стоит выделить электрический гармонический осциллятор (см. LC-цепь).

Содержание 1 Свободные колебания 1.1 Консервативный гармонический осциллятор 1.1.1 Простое гармоническое движение 1.1.1.1 Динамика простого гармонического движения 1.1.1.2 Энергия простого гармонического движения 1.1.1.3 Примеры 1.1.1.3.1 Груз на пружине 1.1.1.3.2 Универсальное движение по окружности 1.1.1.3.3 Груз как простой маятник 1.2 Затухающий гармонический осциллятор 2 Вынужденные колебания 3 Литература 4 См. также 5 Примечания

Свободные колебания

Консервативный гармонический осциллятор

В качестве модели консервативного гармонического осциллятора возьмём груз массы m, закреплённый на пружине жёсткостью k.

Пусть x — смещение груза относительно положения равновесия. Тогда, согласно закону Гука, на него будет действовать возвращающая сила:

Используя второй закон Ньютона, запишем

Обозначая и заменяя ускорение a на вторую производную от координаты по времени напишем:

Это дифференциальное уравнение описывает поведение консервативного гармонического осциллятора. Коэффициент называют циклической частотой осциллятора. (Здесь имеется в виду круговая частота, измеряющаяся в радианах в секунду. Чтобы перевести её в частоту, выражающуюся в Герцах, надо разделить круговую частоту на )

Будем искать решение этого уравнения в виде:

Здесь A — амплитуда, ω — частота колебаний (пока не обязательно равная собственной частоте), φ — начальная фаза.

Подставляем в дифференциальное уравнение.

Амплитуда сокращается. Значит, она может иметь любое значение (в том числе и нулевое — это означает, что груз покоится в положении равновесия). На синус также можно сократить, так как равенство должно выполняться в любой момент времени t. Таким образом, остаётся условие на частоту колебаний:

Отрицательную частоту можно отбросить, так как произвол в выборе этого знака покрывается произволом выбора начальной фазы.

движение по кругу и движение гармоническое

Общее решение уравнения записывается в виде:

где амплитуда A и начальная фаза φ — произвольные постоянные. Эта запись исчерпывает все решения дифференциального уравнения, так как позволяет удовлетворить любым начальным условиям (начальному положению груза и его начальной скорости).

Итого, консервативный гармонический осциллятор может совершать чисто гармонические колебания с частотой, равной его собственной частоте, с амплитудой любой величины и с произвольной начальной фазой.

Кинетическая энергия записывается в виде

и потенциальная энергия есть

тогда полная энергия имеет постоянное значение

Простое гармоническое движение

Простое гармоническое движение — это движение простого гармонического осциллятора, периодическое движение, которое не является ни вынужденным, ни затухающим. Тело в простом гармоническом движении подвергается воздействию единственной переменной силы, которая по модулю прямо пропорциональна смещению x от положения равновесия и направлена в обратную сторону.

Это движение является периодическим: тело колеблется около положения равновесия по синусоидальному закону. Каждое последующее колебание такое же, как и предыдущее, и период, частота и амплитуда колебаний остаются постоянными. Если принять, что положение равновесия находится в точке с координатой, равной нулю, то смещение x тела от положения равновесия в любой момент времени даётся формулой:

где A — амплитуда колебаний, f — частота, φ — начальная фаза.

Частота движения определяется характерными свойствами системы (например, массой движущегося тела), в то время как амплитуда и начальная фаза определяются начальными условиями — перемещением и скоростью тела в момент начала колебаний. Кинетическая и потенциальная энергии системы также зависят от этих свойств и условий.

Простое гармоническое движение. На этой анимированной картинке по вертикальной оси отложена координата частицы (x в формуле), а по горизонтальной оси отложено время (t).

Простое гармоническое движение может быть математическими моделями различных видов движения, таких как колебание пружины. Другими случаями, которые могут приближённо рассматриваться как простое гармоническое движение, являются движение маятника и вибрации молекул.

Простое гармоническое движение является основой некоторых способов анализа более сложных видов движения. Одним из таких способов является способ, основанный на преобразовании Фурье, суть которого сводится к разложению более сложного вида движения в ряд простых гармонических движений.

Простое гармоническое движение, показанное одновременно в реальном пространстве и в фазовом пространстве. Здесь ось скорости и ось положения показаны иначе по сравнению с обычным изображением осей координат — это сделано для того, чтобы оба рисунка соответствовали друг другу. Real Space — реальное пространство; Phase Space — фазовое пространство; velocity — скорость; position — положение (позиция).

Типичным примером системы, в которой происходит простое гармоническое движение, является идеализированная система груз-пружина, в которой груз присоединён к пружине. Если пружина не сжата и не растянута, то на груз не действует никаких переменных сил, и груз находится в состоянии механического равновесия. Однако, если груз вывести из положения равновесия, пружина деформируется, и с её стороны на груз будет действовать сила, которая будет стремиться вернуть груз в положение равновесия. В случае системы груз-пружина такой силой является сила упругости пружины, которая подчиняется закону Гука:

где

F — возвращающая сила,

x — перемещение груза (деформация пружины),

k — коэффициент жёсткости пружины.

Любая система, в которой происходит простое гармоническое движение, обладает двумя ключевыми свойствами:

1. Когда система выведена из состояния равновесия, должна существовать возвращающая сила, стремящаяся вернуть систему в равновесие.
2. Возвращающая сила должна в точности или приближённо быть пропорциональна перемещению.

Система груз-пружина удовлетворяет обоим этим условиям.

Однажды смещённый груз подвергается действию возвращающей силы, ускоряющей его, и стремящейся вернуть в начальную точку, то есть, в положение равновесия. По мере того, как груз приближается к положению равновесия, возвращающая сила уменьшается и стремится к нулю. Однако в положении x = 0 груз обладает некоторым количеством движения (импульсом), приобретённым благодаря действию возвращающей силы. Поэтому груз проскакивает положение равновесия, начиная снова деформировать пружину (но уже в противоположном направлении). Возвращающая сила будет стремиться замедлить его, пока скорость не станет равной нулю; и сила вновь будет стремиться вернуть груз в положение равновесия.

Пока в системе нет потерь энергии, груз будет колебаться как описано выше; такое движение называется периодическим.

Дальнейший анализ покажет, что в случае системы груз-пружина движение является простым гармоническим.

Динамика простого гармонического движения

Для колебания в одномерном пространстве, учитывая Второй закон Ньютона (F = m d²x/dt²) и закон Гука (F = −kx, как описано выше), имеем линейное дифференциальное уравнение второго порядка:

где

m — масса тела,

x — его перемещение относительно положения равновесия,

k — постоянная (коэффициент жёсткости пружины).

Решение этого дифференциального уравнения является синусоидальным; одно из решений таково:

где A, ω и φ — постоянные величины, и положение равновесия принимается за начальное.^[1] Каждая из этих постоянных представляет собой важное физическое свойство движения: A — это амплитуда, ω = 2πf — круговая частота, и φ — начальная фаза.^[2]

Положение, скорость и ускорение гармонического осцилятора

Используя приёмы дифференциального исчисления, скорость и ускорение как функция времени могут быть найдены по формулам:

Положение, скорость и ускорение простого гармонического движения на фазовой плоскости

Ускорение может быть также выражено как функция перемещения:

Поскольку ma = −mω²x = −kx, то

Учитывая, что ω = 2πf, получим

и поскольку T = 1/f, где T — период колебаний, то

Эти формулы показывают, что период и частота не зависят от амплитуды и начальной фазы движения.

Энергия простого гармонического движения

Кинетическая энергия K системы в зависимости от времени t такова:

и потенциальная энергия есть

Полная механическая энергия системы, однако, имеет постоянное значение

Примеры

Система груз-пружина без затухания, в которой происходит простое гармоническое движение.

Простое гармоническое движение представлено в различных простых физических системах, и ниже приведены некоторые примеры.

Груз на пружине

Масса m, прикреплённая к пружине с постоянной жёсткостью k, является примером простого гармонического движения в пространстве. Формула

показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и ускорения свободного падения.

Универсальное движение по окружности

Простое гармоническое движение в некоторых случаях можно рассматривать как одномерная проекция универсального движения по окружности. Если объект движется с постоянной угловой скоростью ω по окружности радиуса r, центром которой является начало координат плоскости x − y, то такое движение вдоль каждой из координатных осей является простым гармоническим с амплитудой r и круговой частотой ω.

Груз как простой маятник

Движение маятника, не имеющего затуханий, можно приближённо рассматривать как простое гармоническое движение, если амплитуда колебаний очень мала в сравнении с длиной стержня.

В приближении малых углов движение простого маятника является близким к простому гармоническому. Период колебаний такого маятника, прикреплённого к стержню длиной ℓ с ускорением свободного падения g даётся формулой

Это показывает, что период колебаний не зависит от амплитуды и массы маятника, но зависит от ускорения свободного падения g, поэтому при той же самой длине маятника, на Луне он будет качаться медленнее, так как там слабее гравитация и меньше значение ускорения свободного падения.

Указанное приближение является корректным только при небольших углах отклонения, поскольку выражение для углового ускорения пропорционально синусу координаты:

где

I — момент инерции; в данном случае I = m ℓ ².

Когда угол θ мал, можно считать, что sin θ ≈ θ, и выражение принимает вид:

что делает угловое ускорение прямо пропорциональным углу θ, а это удовлетворяет определению простого гармонического движения.

Затухающий гармонический осциллятор

Основная статья: Затухающие колебания

Взяв за основу ту же модель, добавим в неё силу вязкого трения. Сила вязкого трения направлена против скорости движения груза относительно среды и пропорциональна этой скорости. Тогда полная сила, действующая на груз, записывается так:

Проводя аналогичные действия, получаем дифференциальное уравнение, описывающее затухающий осциллятор:

Здесь введено обозначение: . Коэффициент носит название постоянной затухания. Он тоже имеет размерность частоты.

Решение же распадается на три случая.

• При малом трении () общее решение записывается в виде:

, где  — частота свободных колебаний.

• Затухание называют критическим. Начиная с такого значения показателя затухания, осциллятор будет совершать так называемое неколебательное движение. В граничном случае движение происходит по закону:

• При сильном же трении решение выглядит следующим образом:

, где

Критическое затухание примечательно тем, что именно при критическом затухании осциллятор быстрее всего стремится в положение равновесия. Если трение меньше критического, он дойдёт до положения равновесия быстрее, однако «проскочит» его по инерции, и будет совершать колебания. Если трение больше критического, то осциллятор будет экспоненциально стремиться к положению равновесия, но тем медленнее, чем больше трение.

Поэтому в стрелочных индикаторах (например, в амперметрах) обычно стараются ввести именно критическое затухание, чтобы прочитать его показания можно было максимально быстро.

Затухание осциллятора также часто характеризуют безразмерным параметром, называемым добротностью. Добротность обычно обозначают буквой . По определению, добротность равна:

Чем больше добротность, тем медленнее затухают колебания осциллятора.

У осциллятора с критическим затуханием добротность равна 0,5. Соответственно, добротность указывает характер поведения осциллятора. Если добротность больше 0,5, то свободное движение осциллятора представляет собой колебания; со временем он пересечёт положение равновесия неограниченное количество раз. Добротность, меньшая или равная 0,5, соответствует неколебательному движению осциллятора; в свободном движении он пересечёт положение равновесия не более одного раза.

Добротность иногда называют коэффициентом усиления осциллятора, так как при некоторых способах возбуждения при совпадении частоты возбуждения с резонансной амплитуда колебаний оказывается примерно в раз больше, чем при возбуждении на низкой частоте.

Также добротность примерно равна количеству колебательных циклов, за которое амплитуда колебаний уменьшается в раз, умноженному на .

В случае колебательного движения затухание ещё характеризуют такими параметрами, как:

• Время жизни колебаний (оно же время затухания, оно же время релаксации) τ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз.

Это время рассматривается как время, необходимое для затухания (прекращения) колебаний (хотя формально свободные колебания продолжаются бесконечно долго).

• Логарифмический декремент затухания. Определяется как логарифм отношения двух последовательных максимальных отклонений в одну сторону: Величина, обратная d, есть количество колебаний, которое пройдёт за время затухания τ.

Вынужденные колебания

Основная статья: Вынужденные колебания

Колебания осциллятора называют вынужденными, когда на него производится некоторое дополнительное воздействие извне. Это воздействие может производиться различными средствами и по различным законам. Например, силовым возбуждением называется воздействие на груз силой, зависящей только от времени по определённому закону. Кинематическим возбуждением называют воздействие на осциллятор движением точки закрепления пружины по заданному закону. Возможно также воздействие трением, когда, например, среда, с которой груз испытывает трение, совершает движение по заданному закону.

Литература

Бутиков Е. И. Собственные колебания линейного осциллятора. Учебное пособие

См. также

• Коэффициент фазовой синхронизации
• Добротность
• Нормальные колебания
• Ангармонический осциллятор
• Параметрический осциллятор
• Квантовый гармонический осциллятор
• Вынужденные колебания
• Затухающие колебания
• Автоколебания
• Система «хищник-жертва»
• Теория хаоса
• Простое гармоническое движение
• Маятник Капицы

Примечания

1. ↑ Решение приведённого дифференциального уравнения можно записать с помощью функции синуса:
   И это тоже верное решение, поскольку известно общее равенство cos θ = sin(π/2 — θ). Используя тригонометрические соотношения, можно записать
   и таким образом
   также является верным решением при соответствующим образом выбранных постоянных a и b.
2. ↑ Максимальное перемещение (то есть амплитуда), x_max, имеет место, когда cos(ωt + φ) = 1, и таким образом, когда x_max = A. Таким образом, A является амплитудой.
   Поскольку
   то величина 2π/ω является периодом T (время, за которое совершается одно полное колебание). Также, поскольку T = 1/f, ω = 2πf является угловой скоростью.

Гармонический осциллятор — периодическое движение, применение, примеры, часто задаваемые вопросы

Гармонический осциллятор — это тип осциллятора, который имеет несколько важных применений в классической и квантовой механике. Он функционирует как модель при математической обработке различных явлений, таких как акустика, колебания молекулярных кристаллов, цепи переменного тока, упругость, оптические свойства и электромагнитные поля.

Содержание Что такое гармонический осциллятор? Примеры гармонического осциллятора Простой гармонический осциллятор Квантовый гармонический осциллятор

Что такое гармонический осциллятор?

Когда тело колеблется вокруг своего положения вдоль линейной прямой линии под действием силы, направленной в сторону среднего положения и пропорциональной смещению в любой момент от этого места, движение тела считается простым гармонический, а качающееся тело известно как линейный гармонический осциллятор или простой гармонический осциллятор. Эта форма колебаний является лучшим примером периодического движения.

На молекулярном уровне при температуре выше 0 К атомы в кристалле временно смещаются со своих обычных мест из-за поглощения тепловой энергии. На смещенные атомы действуют межатомные силы. Под действием таких восстанавливающих сил отдельные атомы колеблются вокруг своего нормального положения, которое является правильным положением в идеальной структуре. Поэтому колебания отдельных атомов подобны простому гармоническому осциллятору.

Гармонический осциллятор в классической физике — это тело, на которое действует восстанавливающая сила, пропорциональная его смещению от положения равновесия.

В случае движения в одном измерении

F=−kx

Закон Гука обычно применяется к реальным пружинам для малых перемещений; восстанавливающая сила обычно пропорциональна смещению (сжатию или растяжению) от положения равновесия.

Постоянная «К» является мерой жесткости пружины. Переменная «x» выбрана равной нулю в точке равновесия (отрицательная для сжатия и положительная для растяжения). Знак «минус» показывает тот факт, что «F» является типом восстанавливающей силы, противоположной направлению перемещения «x». Если «F» — это одинокая сила, действующая на систему, она известна как простой гармонический осциллятор. Он обладает синусоидальными колебаниями вокруг положения равновесия с фиксированной амплитудой и фиксированной частотой (независимой от амплитуды). Если в системе присутствует сила трения, гармонический осциллятор называется затухающим осциллятором. Исходя из коэффициента трения, тело (недодемпфированный осциллятор) может колебаться с меньшей частотой, чем в незатухающем сценарии, а амплитуда со временем падает. Здесь тело может распасться в положение равновесия при отсутствии колебаний (передемпфированный осциллятор). Фактически граничное решение между осциллятором с избыточным демпфированием и осциллятором с недостаточным демпфированием происходит при различных значениях коэффициента трения. Он называется критически затухающим. Гармонический осциллятор называется управляемым осциллятором, если существует внешняя сила, зависящая от времени.

Видео объясняет основы простого гармонического движения.

Примеры гармонического осциллятора

Важные механические примеры включают акустические системы, маятники с малыми углами смещения и пружины с грузами. Существуют аналогичные системы, такие как генераторы электрических гармоник (RLC-схемы). Модель гармонического осциллятора очень важна в физической науке. Любое тело, на которое действует сила в устойчивом равновесии, функционирует как гармонический осциллятор (малые колебания). Гармонические осцилляторы широко распространены в природе. Они были реконструированы во многие искусственные устройства. Они являются основными источниками почти всех синусоидальных волн и вибраций. 92}\конец{массив} \)

\(\begin{array}{l}= m \ddot{x}\end{array} \)

\(\begin{массив}{l}= -kx \end{массив} \)

Решение дифференциального уравнения, функция, описывающая движение,

\(\begin{array}{l}x(t) = Acos(\omega t + \varphi)\end{array} \)

Где

\(\begin{массив}{l}\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\end{массив} \)

Движение периодическое, повторяющееся синусоидально с фиксированной амплитудой «А». Движение простых гармонических осцилляторов характеризуется своим периодом

\(\begin{array}{l}T = 2\pi / \omega \end{array} \)

, время одного колебания или его частота

\(\begin{array}{l}f = 1/T\end{array} \)

, циклов в единицу времени. Местоположение в данный момент времени «t» также зависит от фазы φ, которая определяет начальную точку синусоиды. Частота и период определяются размерностями массы «m» и постоянной «k». Фаза и амплитуда определяются скоростью и начальным положением. Ускорение и скорость простого гармонического осциллятора периодически изменяются с той же частотой, что и положение, со сдвинутыми фазами. Интересно, что скорость максимальна при нулевых смещениях, а ускорение происходит по траектории, противоположной смещению. Потенциальная энергия в простом гармоническом осцилляторе в точке «x» определяется выражением 92\конец{массив} \)

Квантовая модель гармонического осциллятора

Квантовый гармонический осциллятор представляет собой субатомную аналоговую версию обычного гармонического осциллятора. Это одна из наиболее важных модельных систем в квантовой физике. Случайный гладкий потенциал обычно можно оценить как гармонический потенциал в месте расположения точки устойчивого равновесия. Это одна из редких квантово-механических систем, имеющая точное известное аналитическое решение. Этот класс гармонических осцилляторов характеризуется уравнением Шрёдингера. Гармонический осциллятор обладает только дискретными энергетическими состояниями, как и одномерное тело в задаче о ящике. Это одно из основных приложений квантовой физики, которое открывает огромный квантовый мир. Системы с нерешенными уравнениями обычно разбиваются на небольшие системы.

Часто задаваемые вопросы – Часто задаваемые вопросы

Что такое гармонический осциллятор?

Гармонический осциллятор в классической физике — это тело, на которое действует восстанавливающая сила, пропорциональная его смещению от положения равновесия. Когда тело колеблется вокруг своего положения вдоль линейной прямой линии под действием силы, направленной в сторону среднего положения и пропорциональной смещению в любой момент от этого места, движение тела считается простым гармоническим , а качающееся тело известно как линейный гармонический осциллятор или простой гармонический осциллятор. Эта форма колебаний является лучшим примером периодического движения.

Каковы примеры гармонических осцилляторов?

Важные механические примеры включают акустические системы, маятники с малыми углами смещения и пружины с грузами. Существуют аналогичные системы, такие как генераторы электрических гармоник (RLC-схемы). Модель гармонического осциллятора очень важна в физической науке. Любое тело, на которое действует сила в устойчивом равновесии, функционирует как гармонический осциллятор (малые колебания). Гармонические осцилляторы широко распространены в природе. Они были реконструированы во многие искусственные устройства. Они являются основными источниками почти всех синусоидальных волн и вибраций.

Что такое простой гармонический осциллятор?

Простой гармонический осциллятор — это тип осциллятора, который либо демпфируется, либо возбуждается. Обычно он состоит из массы «m», где одинокая сила «F» тянет массу по траектории точки x = 0 и зависит только от положения «x» тела и константы k.

Какое уравнение потенциальной энергии в простом гармоническом осцилляторе?

Потенциальная энергия простого гармонического осциллятора в точке «x» определяется выражением, 92\end{array} \)

Объясните квантовую модель гармонического осциллятора.

Квантовый гармонический осциллятор представляет собой субатомный аналог обычного гармонического осциллятора. Это одна из наиболее важных модельных систем в квантовой физике. Случайный гладкий потенциал обычно можно оценить как гармонический потенциал в месте расположения точки устойчивого равновесия. Это одна из редких квантово-механических систем, имеющая точное известное аналитическое решение. Этот класс гармонических осцилляторов характеризуется уравнением Шрёдингера. Гармонический осциллятор обладает только дискретными энергетическими состояниями, как и одномерное тело в задаче о ящике. Это одно из основных приложений квантовой физики, которое открывает огромный квантовый мир.

Следите за новостями BYJU’S и влюбитесь в обучение!

Гармонический осциллятор — Химия LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

8854

Гармонический осциллятор — это модель, которая имеет несколько важных приложений как в классической, так и в квантовой механике. Он служит прототипом при математическом рассмотрении таких разнообразных явлений, как упругость, акустика, цепи переменного тока, молекулярные и кристаллические колебания, электромагнитные поля и оптические свойства вещества.

Классический осциллятор

Простая реализация гармонического осциллятора в классической механике — это частица, на которую действует восстанавливающая сила, пропорциональная ее смещению из положения равновесия. С учетом движения в одном измерении это означает

\[ F = −kx \label{1}\]

Такая сила может исходить от пружины, подчиняющейся закону Гука, как показано на рисунке \(\PageIndex{1}\ ). Согласно закону Гука, применимому к реальным пружинам при достаточно малых перемещениях, восстанавливающая сила пропорциональна смещению — растяжению или сжатию — от положения равновесия.

Рисунок \(\PageIndex{1}\): пружина, подчиняющаяся закону Гука.

Постоянная силы \(k\) является мерой жесткости пружины. Переменная \(х\) выбирается равной нулю в положении равновесия, положительной при растяжении, отрицательной при сжатии. Отрицательный знак в уравнении \(\ref{1}\) отражает тот факт, что \(F\) представляет собой восстанавливающую силу, всегда в противоположном смещению смысле \(x\).

Применяя второй закон Ньютона к силе из уравнения \(\ref{1}\), мы находим \(x\) 92 \equiv \dfrac{k}{m}\]

Точечная запись (введенная самим Ньютоном) используется вместо простых чисел, когда независимой переменной является время. Общее решение уравнения \(\ref{3}\) равно

\[ x(t) = A\sin ωt + B\cos ωt \label{4}\]

, которое представляет периодическое движение с синусоидальным временем зависимость. Это известно как простое гармоническое движение , а соответствующая система известна как гармонический осциллятор . Колебание происходит с постоянной угловой частотой

\[ \omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}\; \text{радианы в секунду} \label{5} \]

Это называется собственной частотой осциллятора. Соответствующая круговая (или угловая) частота в герцах (циклов в секунду) равна

\[ \nu = \dfrac{\omega}{2\pi } = \dfrac{1}{2\pi} \ sqrt {\ dfrac {k} {м}} \; \text{Hz} \label{6}\]

Общее соотношение между силой и потенциальной энергией в консервативной системе в одном измерении равно

9{2}\), в то время как кинетическая энергия моментально равна нулю. Напротив, когда осциллятор проходит \(х = 0\), кинетическая энергия достигает своего максимального значения, а потенциальная энергия равна нулю.

Рисунок \(\PageIndex{2}\): Функция потенциальной энергии и первые несколько уровней энергии для гармонического осциллятора.

Гармонический осциллятор в квантовой механике

Учитывая потенциальную энергию в уравнении \(\ref{8}\), мы можем записать уравнение Шредингера для одномерного гармонического осциллятора:​ 92\alpha}{2m} = \dfrac{1}{2}\hbar\sqrt{\dfrac{k}{m}} = \dfrac{1}{2} \hbar\omega \label{17} \]

где \(\omega\) собственная частота осциллятора согласно классической механике. Функция в уравнении \(\ref{16}\) имеет форму гауссовой кривой, колоколообразной кривой, столь любимой в социальных науках. Функция не имеет узлов, что позволяет сделать вывод, что это представляет собой основное состояние системы. Основное состояние обычно обозначается квантовым числом \(n = 0\) (исключением является частица в ящике, где \ (n = 1\ — пометка основного состояния). Возвращаясь к исходной переменной \(x\), мы пишем 9{2}/2} \label{24}\]

Используя интегралы, приведенные в Приложении 5, по интегралам Гаусса, мы определяем, что при \(a=\dfrac{1}{2}\) получается \(\ psi_{2}(x)\), ортогональный \(\psi_{0}(x)\) и \(\psi_{1}(x)\). Проверяем, что это другая собственная функция, соответствующая

\[E_{2}=\dfrac{5}{2}\hbar\omega \label{25}\]

математический анализ дает следующую формулу для нормированных собственных функций:

9{3}-12\xi \label{27}\]

Четыре низшие собственные функции гармонического осциллятора представлены на рисунке \(\PageIndex{3}\). Обратите внимание на топологическое сходство с соответствующими собственными функциями типа «частица в ящике».

Рисунок \(\PageIndex{3}\): собственные функции гармонического осциллятора для n=0, 1, 2, 3.

Собственные значения определяются простой формулой

\[E_{n}=\left(n+\dfrac {1}{2}\right)\hbar\omega \label{28}\]

Они показаны на рисунке \(\PageIndex{2}\) в том же масштабе, что и потенциальная энергия. Энергия основного состояния \(E_{0}=\dfrac{1}{2}\hbar\omega\) больше, чем классическое значение нуля, что опять же является следствием принципа неопределенности. Это означает, что осциллятор всегда колеблется.

Примечательно, что разность между последовательными собственными значениями энергии имеет постоянное значение

\[\Delta E=E_{n+1}-E_{n}=\hbar\omega=h\nu \label{29}\ ]

Это напоминает формулу Планка для энергии фотона.