Site Loader

Содержание

Как найти координаты вектора: формулы, примеры

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти координаты вектора, заданного координатами его начальной и конечной точек, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Нахождение координат вектора

Для того, чтобы найти координаты вектора AB, нужно из координат его конечной точки (B) вычесть соответствующие координаты начальной точки (A).

Формулы для определения координат вектора

Для плоских задачAB = {Bx — Ax; By — Ay}
Для трехмерных задачAB = {Bx — Ax; By — Ay; Bz — Az}
Для n-мерных векторовAB = {B1 — A1; B2 — A2; … Bn — An}

Примеры задач

Задание 1
Найдем координаты вектора AB, если у его точек следующие координаты: A = (2; 8), B = (5; 12).

Решение:
AB = {5 – 2; 12 – 8} = {3; 4}.

Задание 2
Определим координаты точки B вектора AB = {6; 14}, если координаты точки A = (2; 5).

Решение:
Координаты точки B можно вывести из формулы для расчета координат вектора:
Bx = ABx + Ax = 6 + 2 = 8.
By = ABy + Ay = 14 + 5 = 19.

Таким образом, B = (8; 19).

Формула нахождения модуля вектора

Зная координаты мы первым делом определяем на плоскости или в пространстве задана задача. В нашем случае координат у вектора три, поэтому в пространстве (было бы две координаты, то на плоскости).

Используем вторую формулу для пространственной задачи:

Подставляя в формулу в место $ x,y,z $ числа из задания получаем модуль:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Длина вектора — основные формулы

Длину вектора a → будем обозначать a → . Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат O x y . Пусть в ней задан некоторый вектор a → с координатами a x ; a y . Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a → через координаты a x и a y .

От начала координат отложим вектор O A → = a → . Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как A x и A y . Теперь рассмотрим прямоугольник O A x A A y с диагональю O A .

Из теоремы Пифагора следует равенство O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , откуда O A = O A x 2 + O A y 2 . Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что O A x 2 = a x 2 и O A y 2 = a y 2 , а по построению длина O A равна длине вектора O A → , значит, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y имеет соответствующий вид: a → = a x 2 + a y 2 .

Если вектор a → дан в виде разложения по координатным векторам a → = a x · i → + a y · j → , то вычислить его длину можно по той же формуле a → = a x 2 + a y 2 , в данном случае коэффициенты a x и a y выступают в роли координат вектора a → в заданной системе координат.

Вычислить длину вектора a → = 7 ; e , заданного в прямоугольной системе координат.

Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатам a → = a x 2 + a y 2 : a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Формула для нахождения длины вектора a → = a x ; a y ; a z по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

В данном случае O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Из определения координат вектора можем записать следующие равенства O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Отсюда следует, что длина вектора a → = a x ; a y ; a z равна a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Вычислить длину вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной системы координат.

Дано разложение вектора a → = 4 · i → — 3 · j → + 5 · k → , его координаты равны a → = 4 , — 3 , 5 . Используя выше выведенную формулу получим a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + ( — 3 ) 2 + 5 2 = 5 2 .

Длина вектора через координаты точек его начала и конца

Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

Итак, даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ) и B ( b x ; b y ) , отсюда вектор A B → имеет координаты ( b x — a x ; b y — a y ) значит, его длина может быть определена по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2

А если даны точки с заданными координатами A ( a x ; a y ; a z ) и B ( b x ; b y ; b z ) в трехмерном пространстве, то длину вектора A B → можно вычислить по формуле

A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2

Найти длину вектора A B → , если в прямоугольной системе координат A 1 , 3 , B — 3 , 1 .

Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 : A B → = ( — 3 — 1 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 .

Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: A B → = ( — 3 — 1 ; 1 — 3 ) = ( — 4 ; 1 — 3 ) ; A B → = ( — 4 ) 2 + ( 1 — 3 ) 2 = 20 — 2 3 . —

Ответ: A B → = 20 — 2 3 .

Определить, при каких значениях длина вектора A B → равна 30 , если A ( 0 , 1 , 2 ) ; B ( 5 , 2 , λ 2 ) .

Для начала распишем длину вектора A B → по формуле: A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 = ( 5 — 0 ) 2 + ( 2 — 1 ) 2 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 26 + ( λ 2 — 2 ) 2

Затем полученное выражение приравняем к 30 , отсюда найдем искомые λ :

26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 26 + ( λ 2 — 2 ) 2 = 30 ( λ 2 — 2 ) 2 = 4 λ 2 — 2 = 2 и л и λ 2 — 2 = — 2 λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Ответ: λ 1 = — 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Нахождение длины вектора по теореме косинусов

Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

Пусть заданы длины двух векторов A B → , A C → и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора B C → или C B → . В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике △ A B C , вычислить длину стороны B C , которая и равна искомой длине вектора.

Рассмотрим такой случай на следующем примере.

Длины векторов A B → и A C → равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π 3 . Вычислить длину вектора B C → .

Длина вектора B C → в данном случае равна длине стороны B C треугольника △ A B C . Длины сторон A B и A C треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов: B C 2 = A B 2 + A C 2 — 2 · A B · A C · cos ∠ ( A B , → A C → ) = 3 2 + 7 2 — 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким образом, B C → = 37 .

Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a → = a x 2 + a y 2 или a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , по координатам точек начала и конца вектора A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 или A B → = ( b x — a x ) 2 + ( b y — a y ) 2 + ( b z — a z ) 2 , в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

Векторы основные формулы: Формулы векторов — ЭкоДом: Дом своими руками

  • Формулы векторов
  • 11 класс.
  • Формулы и уравнения векторной алгебры
  • Скалярное произведение векторов. Формулы и определение
  • Скалярное произведение векторов
  • Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение
  • Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU
  • Векторов — Математика A-Level Revision
  • Величина и направление векторов
  • Векторные уравнения
  • Что такое вектор в математике? Список основных векторных формул и частей вектора
  • Введение, формула, свойства, решаемые примеры и часто задаваемые вопросы
  • Векторный анализ | математика | Британника
  • Умножение векторов

Формулы векторов

1. Координаты вектора

Если вектор задан координатами своих начала и конца: , то его координаты равны разности соответствующих координат конца и начала:

   

2. Длина или модуль вектора

Если вектор , то его длина равна корню квадратному из суммы квадратов координат:

   

3. Сумма векторов

Если векторы и заданы своими координатами, то суммой этих векторов есть вектор, координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов-слагаемых:

   

4. Умножение вектора на число

Чтобы найти произведение вектора на некоторое число , нужно каждую координату заданного вектора умножить на это число:

   

5. Скалярное произведение векторов

Если векторы и заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

   

6. Векторное произведение векторов

Если векторы и заданы своими координатами в некотором ортонормированном базисе , то их векторное произведение находится по формуле:

   

7.

Смешанное произведение векторов

Если заданы три вектора и , то их смешанное произведение равно определителю, по строкам которого записаны координаты этих векторов:

   

Замечание. Обычно такой определитель вычисляется методом треугольников.

8. Угол между векторами

Косинус угла между двумя векторами и , заданными своими координатами, равен частному скалярного произведения этих векторов и произведению их модулей:

   

9. Проекция вектора на вектор

Проекция вектора на направление вектора равна отношение скалярного произведения этих векторов к модулю вектора :

   


Понравился сайт? Расскажи друзьям!



11 класс.

Геометрия. Метод координат в пространстве. Скалярное произведение векторов. — Скалярное произведение векторов.

Комментарии преподавателя

От­ло­жим от ка­кой-ни­будь точки O век­то­ры  и  (см. рис. 1). Если век­то­ры  и не яв­ля­ют­ся со­на­прав­лен­ны­ми, то лучи ОА и ОВ об­ра­зу­ют угол АОВ — угол между век­то­ра­ми, обо­зна­чим его . Если же век­то­ры  и  — со­на­прав­ле­ны, то будем счи­тать, что угол между ними равен 0°. Если угол между век­то­ра­ми ра­вен 90°, то век­то­ры на­зы­ва­ют­ся пер­пен­ди­ку­ляр­ны­ми. На пись­ме угол между век­то­ра­ми обо­зна­ча­ют так: .

Ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние век­то­ров на­хо­дит­ся по фор­му­ле: .

Рис. 1. Угол между век­то­ра­ми

Ос­нов­ные свой­ства ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров:

1) 

2) 

3) 

4) 

Рас­смот­рим за­да­чу на на­хож­де­ние ска­ляр­но­го про­из­ве­де­ния век­то­ров.

За­да­ча 1. Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, O1 – центр A1B1C1D1 , AB=a (см. рис. 2).

Рис. 2.

Найти ска­ляр­ные про­из­ве­де­ния век­то­ров:

а) . На­хо­дим эти век­то­ра на ри­сун­ке, они со­на­прав­ле­ны, зна­чит угол между ними 0°, а эти век­то­ра равны a. По­лу­ча­ем: 

б) . Эти век­то­ра па­рал­лель­ны и про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны, зна­чит, угол между ними 180°. Мо­дуль век­то­ра  — это диа­го­наль квад­ра­та, , . По­лу­ча­ем: .

в) . Так как эти век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны (по ри­сун­ку), то ко­си­нус угла между ними равен 0. Зна­чит, .

г) . Мо­ду­ли этих век­то­ров равны  — это диа­го­на­ли квад­ра­тов. Чтобы найти угол между нуж­ны­ми век­то­ра­ми, рас­смот­рим тре­уголь­ник A1C1B. Этот тре­уголь­ник рав­но­сто­рон­ний, зна­чит, угол равен 60°.

·= — 2a2

д) . Эти век­то­ра пер­пен­ди­ку­ляр­ны, зна­чит, .

е) . Длины этих век­то­ров равны , так как они яв­ля­ют­ся по­ло­ви­на­ми диа­го­на­лей. Эти век­то­ры про­ти­во­по­лож­но на­прав­ле­ны, угол между ними 180°.

По­лу­ча­ем:.

За­да­ча 2. Дано: A(0;1;2), B(√2;1;2), C(√2;2;1), D(0;2;1). До­ка­зать: ABCD – квад­рат.

Ре­ше­ние:

1) Най­дем ко­ор­ди­на­ты век­то­ров, длины ко­то­рых сов­па­да­ют с дли­на­ми сто­рон че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ко­ор­ди­на­ты век­то­ра – это раз­ность ко­ор­ди­нат конца и на­ча­ла от­рез­ка.

, , , . По ко­ор­ди­на­там видно, что , . До­ка­за­но, что ABCD – па­рал­ле­ло­грамм.

2) Най­дем мо­ду­ли эти век­то­ров по фор­му­ле: .

По­лу­ча­ем: . До­ка­за­но, что ABCD – ромб.

3) Най­дем один угол между век­то­ра­ми. .

Сто­ро­ны по­пар­но па­рал­лель­ны, сто­ро­ны равны, и один угол равен 90°, зна­чит осталь­ные углы тоже равны 90°. Сле­до­ва­тель­но, ABCD – квад­рат, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

ИСТОЧНИК

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/11-klass/bmetod-koordinat-v-prostranstveb/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov-2

http://www. youtube.com/watch?v=CJOt3vy20vs

http://www.youtube.com/watch?v=FhYroW_Ff6U

http://www.youtube.com/watch?v=ArFqvLlMbE0

http://player.myshared.ru/1247089/data/images/img2.jpg

http://profege.ru/wp-content/uploads/2013/01/76c6ad7d219efe5add515e0e58a05100.jpg

http://portfoliosmolgu.ucoz.ru/_ph/8/2/757341327.jpg?1436847671

http://fs1261.gavitex.com/get/2398829017/skalyarnoe-proizvedenie-vektorov.rar

http://ok-t.ru/studopediaru/baza8/824194016948.files/image252.png

http://dok.opredelim.com/docs/index-42169.html

http://www.metod-kopilka.ru/prezentaciya_k_zanyatiyu_po_teme_quotmetod_koordinat_v_prostranstvequot-42727.htm

http://school35.tuapse.ru/school_life/school_laboratorii/shtl%20mathematics/%D0%93%D1%83%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%B8%D1%87%20%D0%AD.%D0%93.%20%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F%20%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%20%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%20%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%B8%20%D0%B2%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%20%D1%81%D0%BA%D0%B0%D0%BB%D1%8F%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B5%20%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B8%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5. ppt

Формулы и уравнения векторной алгебры

Формулы и уравнения векторной алгебры

    Основные определения.
  • Вектор (геометрический вектор) — это направленный отрезок (отрезок, у которого одна граничная точка считается начальной, другая – конечной).
    На чертеже вектор обозначается стрелкой

    над буквенным обозначением вектора также ставится стрелка .
    Вектор, фигурирующий в определении, носит название связанного, или закрепленного вектора.

  • Закрепленный вектор — это направленный отрезок АВ, началом которого является точка А, а концом — точка В.
    Свободный вектор — это множество всех закрепленных векторов, получающихся из фиксированного закрепленного вектора с помощью параллельного переноса. Обозначается .
    Если же точка приложения вектора (точка A для вектора ) может быть выбрана произвольно, вектор называется свободным.
    Если точка приложения может двигаться по линии действия вектора, говорят о скользящем векторе. Иначе говоря, свободный вектор является представителем бесконечного множества связанных или скользящих векторов.
  • Нулевой вектор — это вектор, у которого начало и конец совпадают:
  • Коллинеарные векторы — это векторы, которые лежат на одной прямой, либо на параллельных прямых.
    Нулевой вектор коллинеарен любому вектору.
  • Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
    Если тройка векторов содержит нулевой вектор или пару коллинеарных векторов, то эти векторы компланарны.
  • Длина вектора (модуль) — это расстояние между началом и концом вектора. Обозначение: или
  • Два вектора равны, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление. Например,
    Алгебраические операции над векторами.
  • Операция сложения.
    Суммой двух свободных векторов и называется свободный вектор , начало которого совпадает с началом первого, а конец — с концом второго, если совмещены конец вектора и начало вектора .
    Сумма двух векторов и () — это вектор, идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора (правило треугольника).

    Свойства операции сложения векторов:
    1) Переместительное свойство: (коммутативность).
    2) Сочетательное свойство: (ассоциативность).
    3) Существует нулевой вектор , такой, что для любого вектора (особая роль нулевого вектора).
    Нулевой вектор порождается нулевым закрепленным вектором, то есть точкой.
    4) Для каждого вектора существует противоположный ему вектор , такой, что . Вектор называется вектором, противоположным вектору .
    Правило параллелограмма (правило сложения векторов): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма этих векторов представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из общего начала векторов и

    Вычитание векторов определяется через сложение: .
    Другими словами, если векторы и приложены к общему началу, то разностью векторов и будет вектор , идущий из конца вектора к концу вектора .

  • Операция умножения вектора на число.

    Произведением вектора на число называется вектор такой, что:
    1) если λ > 0, ≠ , то получается из растяжением в λ раз: ;
    2) если λ < 0, ≠ , то получается из растяжением в |λ| раз и последующим отражением: ;
    3) если λ = 0 или , то .
    Свойства операции умножения:
    1) Распределительное свойство относительно суммы чисел: для любых действительных и всех (дистрибутивность).
    2) Распределительное свойство относительно суммы векторов: (дистрибутивность).
    3) Сочетательное свойство числовых сомножителей: (ассоциативность).
    4) Существование единицы: .

    Ортонормированный базис. Декартова прямоугольная система координат.
  • Ортонормированный базис (ОНБ) — это три взаимно перпендикулярных вектора с длинами, равными единице.

    Обозначения:

  • Базисные орты — это векторы .
  • Зафиксированная точка О – это начало координат.
    Отложим от точки O векторы .
    Полученная система координат — это прямоугольная декартова система координат.
  • Декартовы координаты вектора — это координаты любого вектора в этом базисе:

    Пример 11.

  • Координатные оси — это прямые линии, проведенные через начало координат (точку O) по направлениям базисных векторов:
    – порождает Ox;
    – порождает Oy;
    – порождает Oz.
  • Абсцисса — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Ox.
    Ордината — это координата точки M (вектора в декартовой системе координат по оси Oy.
    Аппликата — это координата точки M (вектора ) в декартовой системе координат по оси Oz.
  • Декартовы прямоугольные координаты x, y, z вектора равны проекциям этого вектора на оси Ox, Oy, Oz, соответственно. Иначе:

    где α, β, γ – углы, которые составляет вектор с координатными осями Ox, Oy, Oz, соответственно, при этом cosα, cosβ, cosγ называются направляющими косинусами вектора . Пример 12.
    Для направляющих косинусов справедливо соотношение:

  • Орт направления — это вектор единичной длины данного направления.

Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач

Скалярное произведение векторов. Формулы и определение

 

Основные определения

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B принято обозначать как →AB. Векторы также можно обозначать малыми латинскими буквами со стрелкой или черточкой над ними, вот так: →a.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Результат операции является число. То есть при умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов |→a|, |→b| — это числа, косинус угла — число, то их произведение |→a|*|→b|*cos∠(→a, →b) тоже будет числом.

Чтобы разобраться в теме этой статьи, нам еще нужно узнать особенности угла между векторами.

 

Приходите тренироваться в детскую школу Skysmart. Ученики решают захватывающие задачки вместе с красочными героями на интерактивной платформе, чертят вместе с учителем на онлайн-доске и не боятся школьных контрольных.

Запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики и начните заниматься в удовольствие уже завтра!

Угол между векторами

Угол между векторами ∠(→a, →b) может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно. Аналитически это можно записать в виде двойного неравенства: 0°=<∠(→a; →b)=<180° либо 0°=<∠(→a; →b)=<π.

Значок угла ∠ можно опустить и писать просто: (→a;→b).

Пусть даны два вектора →a, →b.

Отложим их от некоторой точки О пространства: →OA = →a; →OB = →b. Тогда угол между векторами — это угол ∠AOB = (→a, →b).

Угол между векторами может быть прямым, тупым или острым. Рассмотрим каждый случай:

 

1. Если векторы сонаправлены, то угол между ними равен 0°.

 

Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

 

2. Если угол между векторами равен 90°, то такие векторы перпендикулярны друг другу.

 

Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

 

3. Если векторы направлены в разные стороны, тогда угол между ними 180°.

Так как косинус угла в 180° равен -1, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

 

Также векторы могут образовывать тупой угол. Это выглядит так:

Важно!

Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение векторов, которые образуют тупой угол, является тоже отрицательным.

Скалярное произведение векторов

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

  1. Геометрическая интерпретация.

    Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

    →a * →b = →|a| * →|b| * cosα

  2. Алгебраическая интерпретация.

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

  • Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0.
  • Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0.
  • Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0 так как , то есть cosα = 0.

Скалярное произведение в координатах

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов →a и →b.

То есть для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости в прямоугольной декартовой системе координат формула для вычисления скалярного произведения имеет вид: (→a, →b) = ax*bx + ay*by

А для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz) в трехмерном пространстве скалярное произведение в координатах находится так: (→a, →b) = ax*bx + ay*by + az*bz

Докажем это определение:

  1. Сначала докажем равенства

    для векторов →a = (ax, ay), →b = (bx, by) на плоскости, заданных в прямоугольной декартовой системе координат.

    Отложим от начала координат (точка О) векторы →OB = →b = (bx, by) и →OA = →a = (ax, ay)

    Тогда, →AB = →OB — →OA = →b — →a = (bx — ax, by — ay)

  2. Будем считать точки О, А и В вершинами треугольника ОАВ. По теореме косинусов можно записать:

    Так как:

    то последнее равенство можно переписать так:

    а по первому определению скалярного произведения имеем

    откуда

  3. Вспомнив формулу вычисления длины вектора по координатам, получаем
  4. Абсолютно аналогично доказывается справедливость равенств (→a, →b) = |→a|*|→b|*cos(→a, →b) = ax*bx + ay*by + ax*bz для векторов →a = (ax, ay, az), →b = (bx, by, bz), заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.
  5. Формула скалярного произведения векторов в координатах позволяет заключить, что скалярный квадрат вектора равен сумме квадратов всех его координат: на плоскости (→a, →a) = ax2 + ay2 в пространстве (→a, →a) = ax2 + ay2 + az2.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В плоской задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В пространственной задаче скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти по формуле:

a * b = ax * bx + ay * by + az * bz

Формула скалярного произведения n-мерных векторов

В n-мерном пространстве скалярное произведение векторов a = {a1; a2; … ; an} и b = {b1; b2; … ; bn} можно найти по формуле:

a * b = a1 * b1 + a2 * b2 + … + an * bn

Свойства скалярного произведения

Свойства скалярного произведения векторов:

  1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нулю. В результате получается нуль, если вектор равен нулевому вектору.

    →а * →а > 0

    →0 * →0 = 0

  2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

    →a * →a = →∣∣a∣∣2

  3. Операция скалярного произведения коммуникативна, то есть соответствует переместительному закону:

    →a * →b = →b * →a

  4. Операция скалярного умножения дистрибутивна, то есть соответствует распределительному закону:

    (→a + →b) * →c = →a * →c + →b * →c

  5. Сочетательный закон для скалярного произведения:

    (k * →a) * →b = k * (→a * →b)

  6. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны, то есть перпендикулярны друг другу:

    a ≠ 0, b ≠ 0, a * b = 0 <=> a ┴ b

Эти свойства очень легко обосновать, если отталкиваться от определения скалярного произведения в координатной форме и от свойств операций сложения и умножения действительных чисел.

Для примера докажем свойство коммутативности скалярного произведения (→a, →b) = (→b, →a)

По определению (→a, →b) = ax*bx + ay*by и (→b, →a) = bx*ax + by*ay. В силу свойства коммутативности операции умножения действительных чисел, справедливо ax*bx = bx*ax b ay*by = by*ay, тогда ax*bx + ay*by = bx*ax + by*ay.

Следовательно, (→a, →b) = (→b, →a), что и требовалось доказать.

Аналогично доказываются остальные свойства скалярного произведения.

Следует отметить, что свойство дистрибутивности скалярного произведения справедливо для любого числа слагаемых, то есть,

и,

откуда следует:

 

Примеры вычислений скалярного произведения

Пример 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов →a и →b, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Как решаем:

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

(→a,→b) = →|a| * →|b| * cos(→a,→b) = 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

Ответ: (→a,→b) = 21/2 = 10,5.

Пример 2.

Найти скалярное произведение векторов →a и →b, если →|a| = 2, →|b| = 5, ∠(→a,→b) = π/6.

Как решаем:

Используем формулу →a * →b = →|a| * →|b| * cosα.

В данном случае:

→a * →b = →|a| * →|b| * cosα = 2 * 5 * cosπ/6 = 10 * √3/2 = 5√3

Ответ: →a * →b = 5√3.

Пример 3.

Как найти скалярное произведение векторов →a = 7*→m + 3*→n и →b = 5*→m + 8*→n, если векторы →m и →n перпендикулярны и их длины равны 3 и 2 единицы соответственно.

Как решаем:

По свойству дистрибутивности скалярного произведения имеем

Сочетательное свойство позволяет нам вынести коэффициенты за знак скалярного произведения:

В силу свойства коммутативности последнее выражение примет вид

Итак, после применения свойств скалярного произведения имеем

Осталось применить формулу для вычисления скалярного произведения через длины векторов и косинус угла между ними:

Ответ: (→a,→b) = 411.

Пример 4.

В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми AB1 и BC1.

Как решаем:

  1. Введем систему координат.

    Если сделать выносной рисунок основания призмы, получим понятный плоскостной рисунок с помощью которого можно легко найти координаты всех интересующих точек.

  2. Точка А имеет координаты (0;0;0). Точка С — (1;0;0). Точка В — (1/2;√3/2;0). Тогда точка В1 имеет координаты (1/2;√3/2;1), а точка С1 – (1;0;1).
  3. Найдем координаты векторов →AB1 и →BC1:
  4. Найдем длины векторов →AB1 и →BC1:
  5. Найдем скалярное произведение векторов →AB1 и →BC1:
  6. Найдем косинус угла между прямыми AB1 и BC1:

Ответ: 1/4.

Пример 5.

а) Проверить ортогональность векторов: →a(1; 2; -4) и →b(6; -1; 1) .

б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки KL и MN, если K(3;5), L(-2;0), M(8;-1), N(1;4).

Как решаем:

а) Выясним, будут ли ортогональны пространственные векторы. Вычислим их скалярное произведение: →ab = 1*6 + 2*(-1) + (-4)*1 = 0, следовательно

б) Здесь речь идёт об обычных отрезках плоскости, а задача всё равно решается через векторы. Найдем их: →KL(-2-3; 0-5) = →KL(-5; -5), →MN(1-8; 4-(-1)) = →MN(-7;5)

Вычислим их скалярное произведение: →KL*→MN = -5*(-7) + (-5)*5 = 10 ≠ 0, значит, отрезки KL и MN не перпендикулярны.

Обратите внимание на два существенных момента:

  • В данном случае нас не интересует конкретное значение скалярного произведения, важно, что оно не равно нулю.
  • В окончательном выводе подразумевается, что если векторы не ортогональны, значит, соответствующие отрезки тоже не будут перпендикулярными. Геометрически это очевидно, поэтому можно сразу записывать вывод об отрезках, что они не перпендикулярны.

Ответ: а) →a перпендикулярно →b, б) отрезки KL, MN не перпендикулярны.

Пример 6.

Даны три вершины треугольника A(-1; 0), B(3; 2), C(5; -4). Найти угол при вершине B — ∠ABC.

Как решаем:

По условию чертеж выполнять не требуется, но для удобства можно сделать:

Требуемый угол ∠ABC помечен зеленой дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: ∠ABC — особое внимание на среднюю букву B — это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно также записать просто ∠B.

Из чертежа видно, что угол ∠ABC треугольника совпадает с углом между векторами →BA и →BC, иными словами: ∠ABC = ∠(→BA; →BC).

Найдем векторы:

Вычислим скалярное произведение:

Вычислим длины векторов:

Найдем косинус угла:

Когда такие примеры не будут вызывать трудностей, можно начать записывать вычисления в одну строчку:

Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертеж, то результат действительно похож на правду. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром.

Ответ: ∠ABC = arccos(1/5√2) ≈1,43 рад. ≈ 82°

Важно не перепутать, что в задаче спрашивалось про угол треугольника, а не про угол между векторами. Поэтому указываем точный ответ: arccos(1/5√2) и приближенное значение угла: ≈1,43 рад. ≈ 82°, которое легко найти с помощью калькулятора.

А те, кому мало и хочется еще порешать, могут вычислить углы ∠A, ∠C, и убедиться в справедливости канонического равенства ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

Чтобы знания превратились в практический навык — запишите ребенка на бесплатный вводный урок математики в Skysmart. На занятии покажем, как все устроено, решим пару задачек и дадим рекомендации по программе обучения для вашего ребенка.

Скалярное произведение векторов

Геометрическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов умноженного на косинус угла между ними:

a · b = |a| · |b| cos α

Алгебраическая интерпретация. Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Формулы скалярного произведения векторов заданных координатами

Формула скалярного произведения векторов для плоских задач

В случае плоской задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay} и b = {bx ; by} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = ax · bx + ay · by

Формула скалярного произведения векторов для пространственных задач

В случае пространственной задачи скалярное произведение векторов a = {ax ; ay ; az} и b = {bx ; by ; bz} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = ax · bx + ay · by + az · bz

Формула скалярного произведения n -мерных векторов

В случае n-мерного пространства скалярное произведение векторов a = {a1 ; a2 ; . .. ; an} и b = {b1 ; b2 ; … ; bn} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

a · b = a1 · b1 + a2 · b2 + … + an · bn

Примеры задач на вычисление скалярного произведения векторов

Примеры вычисления скалярного произведения векторов для плоских задач

Пример 1. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 = 4 + 16 = 20.

Пример 2. Найти скалярное произведение векторов a и b, если их длины |a| = 3, |b| = 6, а угол между векторами равен 60˚.

Решение: a · b = |a| · |b| cos α = 3 · 6 · cos 60˚ = 9.

Пример 3. Найти скалярное произведение векторов p = a + 3b и q = 5a — 3 b, если их длины |a| = 3, |b| = 2, а угол между векторами a и b равен 60˚.

Решение:

p · q = (a + 3b) · (5a — 3b) = 5 a · a — 3 a · b + 15 b · a — 9 b · b =

= 5 |a|2 + 12 a · b — 9 |b|2 = 5 · 32 + 12 · 3 · 2 · cos 60˚ — 9 · 22 = 45 +36 -36 = 45.

Пример 4. Найти скалярное произведение векторов (a + 2i)·(b — 2j),если a = {1; 2} и b = {4; -8}.

Решение: Запишем вектора a и b через ортонормированные базисные вектора i и j:

a = i + 2j
b = 4i — 8j

Тогда используя свойства ортов (i2 = 1, j2 = 1, i·j = 0)

(a + 2i)·(b — 2j) = (i + 2j + 2i)·(4i — 8j — 2j) = (3i + 2j)·(4i — 10j) = 12i2 — 30i·j + 12j·i — 20j2 = 12 — 0 + 0 — 20 = -8

Пример вычисления скалярного произведения векторов для пространственных задач

Пример 5. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 = 4 + 16 — 5 = 15.

Пример вычисления скалярного произведения для n -мерных векторов

Пример 6. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5; 2} и b = {4; 8; 1; -2}.

Решение: a · b = 1 · 4 + 2 · 8 + (-5) · 1 + 2 · (-2) = 4 + 16 — 5 -4 = 11.

Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Математика для самых маленьких. Шпаргалки. Детский сад, Школа.  / / Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства — сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение

Поделиться:   


Понятие вектора. Коллинеарные векторы. Действия с векторами и их свойства — сложение и


вычитание векторов, умножение вектора на число, критерий коллинеарности. Скалярное умножение

(произведение) векторов. Проекция вектора на вектор. Разложение векторов по неколлинеарным

векторам. Координаты вектора на плоскости. Действия с векторами в координатах на плоскости.

Взаимное расположение векторов. Разложение вектора по координатным векторам.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:

Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.

Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.

Коды баннеров проекта DPVA.ru
Начинка: KJR Publisiers

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Проект является некоммерческим. Информация, представленная на сайте, не является официальной и предоставлена только в целях ознакомления. Владельцы сайта www.dpva.ru не несут никакой ответственности за риски, связанные с использованием информации, полученной с этого интернет-ресурса.
Free xml sitemap generator

Онлайн калькуляторы, расчеты и формулы на GELEOT.RU

Векторы представляют собой особый раздел аналитической геометрии, который в том числе оказал значительное влияние на развитие физики. Сам по себе вектор выглядит как отрезок, который имеет начало и имеет конец, определен заданной конечными точками длиной этого отрезка. Но внутри вектора кроется множество других скрытых функций, за счет того что вектор задает направление. Поэтому если для отрезка не имеет значения какая точка названа началом, а какая концом, и чаще просто применяется принцип чтения «слева направо», то для векторов AB и BA – это диаметрально противоположные понятия.

Итак, в векторе присутствует две важных составляющих – это его длина и направление. Тем не менее, координатами вектора задается не его фактическая длина, а местоположение на плоскости или в пространстве. Поэтому длина вектора, иначе называемая модуль вектора, вычисляется, используя прямоугольный треугольник с осями координат. Дальнейшие действия с вектором также чаще используют именно его координаты, нежели фактическую длину. Работе с векторами можно провести аналогию с целыми числами, — как только появляются отрицательные числа на числовой оси, приходится не только считать значение примера, но и все время обращать внимание на знаки. Так и с векторами, во всех действиях – будь то сложение, вычитание, умножение скалярное или векторное и другие действия, приходится не только учитывать реальные масштабы вектора – координаты, длина или угол, но и принимать в расчет его направление. К слову, направления векторов также находят отражение в знаках – обратный изначальному вектор всегда будет со знаком «минус».

В данном разделе разложены все основные действия с векторами, такие как нахождение длины вектора, координат вектора, сложение векторов, вычитание векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение трех векторов, вычисление угла между векторами и другие. Все расчет можно произвести для векторов на плоскости или для векторов в пространстве. Также доступен векторный калькулятор, который вычисляет все возможные параметры одного и более векторов, с заданными координатами точек вектора.

Векторов — Математика A-Level Revision

Векторная величина имеет как величину, так и направление. Ускорение, скорость, сила и перемещение — все это примеры векторных величин. Скалярная величина имеет только величину (поэтому направление не имеет значения). Примеры включают скорость, время и расстояние.

Единичные векторы

Единичный вектор — это вектор, который имеет величину 1. Обычно используются три важных единичных вектора, и это векторы в направлении осей x, y и z.Единичный вектор в направлении оси x равен i , единичный вектор в направлении оси y равен j , а единичный вектор в направлении оси z равен k .

Запись векторов в этой форме может облегчить работу с векторами.

Величина вектора

Величину вектора можно найти с помощью теоремы Пифагора .

Обозначим величину вектора a через | a |

Векторы положения

Векторы положения — это векторы, определяющие положение точки относительно фиксированной точки (начала координат).

Например, точки A, B и C являются вершинами треугольника с векторами положения a , b и c соответственно:

Вы можете рисовать в исходной точке, где хотите.

Обратите внимание, что = — a + b = b a , потому что вы можете добраться от A до B, перейдя от A к O, а затем перейдя от O к B.

Векторное уравнение прямой

Векторное уравнение прямой, проходящей через точку a и в направлении d :

Это означает, что для любого значения t точка r является точкой на прямой.

Если нам даны векторные уравнения двух разных линий, мы сможем определить, где пересекаются линии, из их уравнений.

Пример

Найдите, где пересекаются прямые с уравнениями r = i + j + t (3 i j ) и r = — i + s ( j ).

Когда они пересекаются, мы можем приравнять уравнения друг другу:

i + j + t (3 i j ) = — i + s ( j )

Коэффициенты приравнивания:
1 + 3t = -1 и 1 — t = s
Итак, t = -2/3 и s = 5/3

Таким образом, вектор положения точки пересечения задается путем подстановки t = -2/3 или s = 5/3 в одно из приведенных выше уравнений.Это дает — i +5 j /3.

Скалярное произведение

Предположим, у нас есть два вектора:

a i + b j + c k и d i + e j + f k , то их скалярное (или точечное) произведение: ad + be + fc. Итак, умножьте коэффициенты i вместе, коэффициенты j вместе и коэффициенты k вместе и сложите их все.

Обратите внимание, что это скалярное число (не вектор).

Запишем скалярное произведение двух векторов a и b как a · b .

Пример

Если a = i + 4 j — 2 k и b = 2 i + 4 j + 6 k , то a · b = 2 + 16 — 12 = 6

Угол между двумя векторами

Мы можем использовать скалярное произведение, чтобы найти угол между двумя векторами, благодаря следующей формуле:

Важным фактом является то, что два вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Это потому, что если q = 90 градусов выше, то a · b = 0.

В этом видео рассматриваются векторы и скаляры.

Величина и направление векторов

Величина вектора

Величина вектора

п

Q

это расстояние между начальной точкой

п

и конечная точка

Q

. В символах величина

п

Q

записывается как

|

п

Q

|

.

Если заданы координаты начальной и конечной точек вектора,

Формула расстояния

можно использовать для определения его величины.

|

п

Q

|

знак равно

(

Икс

2

Икс

1

)

2

+

(

y

2

y

1

)

2


Пример 1:

Найдите величину вектора

п

Q

чья начальная точка

п

Я сидел

(

1

,

1

)

и конечная точка находится в

Q

Я сидел

(

5

,

3

)

.

Решение:

Используйте формулу расстояния.

Подставьте значения

Икс

1

,

y

1

,

Икс

2

, а также

y

2

.

|

п

Q

|

знак равно

(

5

1

)

2

+

(

3

1

)

2

знак равно

4

2

+

2

2

знак равно

16

+

4

знак равно

20

4.5

Величина

п

Q

около

4.5

.

Направление вектора

Направление вектора — это мера угла, который он образует с

горизонтальная линия

.

Для определения направления вектора можно использовать одну из следующих формул:

загар

θ

знак равно

y

Икс

, где

Икс

горизонтальное изменение и

y

это вертикальное изменение

или же

загар

θ

знак равно

y

2

y

1

Икс

2

Икс

1

, где

(

Икс

1

,

y

1

)

начальная точка и

(

Икс

2

,

y

2

)

конечная точка.


Пример 2:

Найдите направление вектора

п

Q

чья начальная точка

п

Я сидел

(

2

,

3

)

и конечная точка находится в

Q

Я сидел

(

5

,

8

)

.

Даны координаты начальной и конечной точек.Подставьте их в формулу

загар

θ

знак равно

y

2

y

1

Икс

2

Икс

1

.

загар

θ

знак равно

8

3

5

2

знак равно

5

3

Найдите обратный загар и воспользуйтесь калькулятором.

θ

знак равно

загар

1

(

5

3

)

59

°

Вектор

п

Q

имеет направление около

59

°

.

Векторные уравнения

Угол между двумя плоскостями

Найден угол между двумя плоскостями
используя скалярное произведение.
Он равен острому углу, определяемому по
векторы нормали к плоскостям.

Пример

Рассчитать угол между плоскостями
π 1 : х + 2y -2z = 5
и π 2 : 6x -3y + 2z = 8

Расстояние между параллельными плоскостями

Пусть P будет точкой на плоскости π 1 : ax + by + cz = n
а.х = п

а Q — точка на плоскости π 2 : ax + by + cz = m
п. X =

м

Поскольку плоскости параллельны, они имеют общую нормаль: a
a = (a i + b j + c k )

Расстояние между самолетами

Пример

Рассчитать расстояние между плоскостями
π 1 : x + 2y — 2z = 5
и π 2 : 6x + 12y — 12z = 8

Копланарные векторы

Если существует связь между векторами a , b и c
так что c = λ a + μ b , где λ и μ — константы ,
, тогда векторы a, b и c копланарны.

Если три вектора копланарны,
c = λ a + μ b

Векторное уравнение плоскости

Из копланарного сечения выше
c = λ a + μ b

Когда используются векторы положения,

r = (1-λ-u) a + λ b + μ c — векторное уравнение плоскости .

Так как λ и b переменные, будет много возможных уравнений для плоскости.

Эффекты изменения λ и μ

Пример

Найдите векторное уравнение плоскости через точки
A (-1, -2, -3), B (-2,0,1) и C (-4, -1, -1)

Если λ = 2 и μ = 3

Когда A — известная точка на плоскости,
R — любая старая точка на плоскости, а b и c — векторы
.
параллельно плоскости,

векторное уравнение плоскости :
r = a + λ b + μ c

Уравнения линии

Линия может быть описана, когда на ней есть точка и
его вектор направления — вектор, параллельный прямой — известны.

На схеме ниже линия L проходит
через точки
A (x 1 , y 1 , z 1 ) и P (x, y, z).

u — вектор направления a i + b j + c k
Находясь на линии, он имеет то же направление, что и
любая параллельная линия.

O — происхождение.
a и p представляют собой векторы положения A и P.

Пример

Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через
(3,2,1), которая параллельна вектору 2 i +3 j +4 k

Пример
Найти векторную форму уравнения
прямая, которая имеет параметрические уравнения

Пример

Найдите декартову форму прямой, у которой
вектор положения 3 i +2 j + k и параллелен
вектор i j + k

Пример

Найдите векторное уравнение прямой, проходящей через
через A (1,2,3) и B (4,5,6)

Пример

Пример

Угол между прямой и плоскостью

Угол θ между прямой и плоскостью равен
дополнение угла между линией и
нормаль к плоскости.

Если линия имеет вектор направления u и
перпендикулярно плоскости a, затем

Пример

1)

2)

Пересечение двух прямых

Пример

Пересечение двух плоскостей

Найти уравнения линии пересечения
двух плоскостей, вектора направления и точки
на линии не требуется.

Поскольку линия пересечения лежит в обеих плоскостях,
вектор направления параллелен векторным произведениям
нормали каждой плоскости.

Пример

Найдите уравнение для линии пересечения
самолетов

-3x + 2y + z = -5
7x + 3y — 2z = -2

Расстояние от точки до плоскости

Чтобы найти расстояние от точки P до плоскости

  1. Найдите уравнение проекции PP ’, используя
    нормаль к плоскости и точка P.
  2. Найдите координаты P ’, перекресток
    с самолетом.
  3. Примените формулу расстояния к PP ’

Альтернативно

Пример

Найти расстояние между точкой (3,1, -2)
а плоскость x + 2y + 2z = — 4

Альтернативно

Расстояние от точки до линии

Чтобы найти расстояние от точки P до линии L

  1. Пусть линия имеет вектор направления u и параметр λ
  2. Найдите координаты PP ’, используя скалярное произведение с u
    и точка P.
  3. Примените формулу расстояния к PP ’

Пересечение трех плоскостей

Чтобы решить пересечение,
использовать уравнения плоскости ax + by + cz + d = 0
для формирования расширенной матрицы, которая решается
для x, y и z.

Пересечение трех плоскостей может быть:

Одна точка

Найдено уникальное решение

Пример

Линия пересечения

Существует бесконечное количество решений

Пример

Параметрические уравнения

Две линии пересечения

Бесконечное количество решений

Пример

Использование второй строки

Заменить в первую строку

Подставить в третье уравнение

Три линии пересечения
Аналогично описанному выше.
Осмотрите каждую пару самолетов по очереди.

Пример

Плоскость пересечения

Два повторяющихся уравнения

Пример

Нет согласованности

Перекресток запрещен

Пример

Нет согласованности

Все плоскости параллельны

© Александр Форрест

Что такое вектор в математике? Список основных векторных формул и частей вектора

Что такое вектор?

Векторы могут быть определены несколькими способами в зависимости от контекста, в котором они используются.Вектор имеет как величину, так и направление, которое показано над направленным отрезком линии, где длина обозначает величину вектора, а стрелка указывает направление от хвоста к голове.

Два вектора похожи, если они имеют одинаковую величину и направление. Величина или направление вектора относительно положения не меняется. Но если вы растянете или переместите вектор от головы или хвоста, то изменится и величина, и направление.

Другими словами, вектор — это величина, имеющая как величину, так и направление.Есть скалярные величины, которые имеют только величину и измеряются вектором. Вектор важен не только в математике, но и в физике, такой как воздухоплавание, космос, путеводитель и т. Д. Пилоты используют векторные величины, сидя в самолете и безопасно перемещая его в другом направлении.

Если вы уверены в определении вектора и его использовании, следующим важным шагом будет изучение представления векторов. Они представлены в виде луча и пишутся строчными или прописными буквами.Как правило, один вектор представлен в обеих формах — алфавитах в верхнем и нижнем регистре. Если вектор записан в виде AB, то A — это хвост, а B — голова.

Список основных векторных формул

Векторы делятся на две основные категории: одна — это скалярное произведение, а другая — кросс-произведение. Список основных формул доступен для обеих категорий для решения геометрического преобразования в 2-х и 3-х измерениях. Эти формулы часто используются в физике и математике.{-1} \ frac {y} {x} \]

Части векторов

Части в векторах принимаются за углы, направленные к осям координат. Например, если какой-то вектор направлен на северо-запад, то его части будут вектором на запад и вектором на север. Итак, векторы делятся на две части, в основном, где имена могут быть разными, но концепция одинакова.

Зачем студентам нужны векторные формулы?

Изучив старые книги по геометрии, вы узнаете об эволюции векторов в алгебре и о том, как это полезно для студентов.Векторы изначально были названы алгеброй отрезков и ориентированы на перемещения. Давайте посмотрим на некоторые преимущества, по которым студенты должны изучать векторы в школе, а также во время учебы в высших учебных заведениях.

Векторы важны как для физики, так и для математики, и было обнаружено, что они упрощают преобразование геометрии. Это означает, что можно быстро получить представление о геометрии и освоить важную часть линейной алгебры. Популярное применение векторов включает в себя механику частиц, механику жидкости, планарное описание, расчет траекторий, трехмерное движение и т. Д.

Другая область, где используются векторы, — это электромагнетизм, аналитическая геометрия, координатная геометрия и т. Д. С четким пониманием векторов студенты не только продвигаются в своей карьере, но и сдают различные конкурсные экзамены.

Введение, формула, свойства, решаемые примеры и часто задаваемые вопросы

Математическое представление физических величин, для которых можно определить как величину, так и направление, называется вектором.Вектор любой физической величины представлен в виде прямой линии со стрелкой. В векторном определении длина прямой линии обозначает величину вектора, а острие стрелки указывает его направление. Любые два вектора можно рассматривать как идентичные векторы, если они имеют одинаковую величину и направление. Лучшим примером вектора является сила, приложенная к объекту, потому что и сила, и направление приложенной силы влияют на ее действие на объект. Вращение или перемещение вектора вокруг себя никогда не изменит его величину.Изображение будет скоро загружено.

Vector Math

Vector Math находит широкий спектр приложений в различных областях алгебры, геометрии и физики. Как обсуждалось выше, вектор представлен в виде прямой линии со стрелкой. Конечные точки вектора обычно обозначаются заглавными буквами английского алфавита. Векторы символически представлены в виде конечных точек со стрелкой или строчной буквы со стрелкой. Изображение будет скоро загружено.

В приведенном выше векторе область, заключенная в скобку-цветок, указывает величину вектора, а острие стрелки указывает направление вектора. Этот вектор символически представлен как \ [\ overline {AB} \] или \ [\ overrightarrow {a} \]. Величина этого вектора задается как | AB | или | a |. Он представляет собой длину вектора и обычно вычисляется с помощью теоремы Пифагора. Основные математические операции, такие как сложение, вычитание и умножение, могут выполняться над векторами.Однако разделение двух векторов невозможно.

Словарь векторов:

Наиболее важные термины, связанные с векторами:

  1. Нулевой вектор: вектор с нулевой величиной.

  2. Единичный вектор: вектор с величиной, равной одной единице.

  3. Вектор положения: вектор, обозначающий положение точки относительно ее начала координат.

  4. Co Начальный вектор: два или более вектора с одной и той же начальной точкой.

  5. Подобные и отличные векторы: Векторы с одинаковым направлением называются одинаковыми векторами, а векторы с разными направлениями называются разными векторами.

  6. Копланарные векторы: векторы в одной плоскости.

  7. Коллинеарный вектор: векторы, лежащие на одной прямой.

  8. Равные векторы: два или более вектора с одинаковой величиной и направлением.

  9. Вектор смещения: Вектор, указывающий смещение объекта из одной точки в другую.

  10. Отрицательный вектор: Отрицательным для любого вектора является другой вектор с той же величиной, но в противоположном направлении.

Математические операции с вектором
1. Сложение вектора

Сложение вектора выполняется с любыми двумя векторами с использованием треугольного закона сложения векторов. Согласно этому закону, два добавляемых вектора представлены двумя сторонами треугольника с одинаковой величиной и направлением. Третья сторона дает величину и направление результирующего вектора сложения.Изображение будет скоро загружено.

2. Вычитание вектора

Рассмотрим два вектора a и b. Если вектор «a» должен быть вычтен из вектора «b», необходимо найти отрицательное значение вектора «a», и его следует добавить к вектору «b», используя закон треугольника.

3. Умножение векторов

Умножение любых двух векторов выполняется путем нахождения их «перекрестного произведения» или «скалярного произведения».

  • Перекрестное произведение двух векторов a и b математически вычисляется как:

a b = | a || b | sin θ n̂

где, | a | величина вектора ‘a’

| b | — величина вектора ‘b’

θ — угол разделения двух векторов ‘a’ и ‘b’

n̂ — единичный вектор, представляющий направление умножения векторов

  • Определение вектора скалярного произведения двух векторов a и b математически задается как:

a.b = | a || b | cos θ

где, | a | величина вектора ‘a’

| b | — величина вектора «b»

θ — угол разделения двух векторов «a» и «b»

  • Произведение двух векторов является векторной величиной. Он имеет как величину, так и направление, тогда как скалярное произведение двух векторов имеет только величину и не имеет направления. Итак, это скалярная величина.

Примеры векторной математики:

1.Найдите результирующий вектор сложения вектора a = (8,13) и вектора b = (12, 15).

Решение: вектор сложения ‘a’ и ‘b’, полученный как

c = a + b

c = (8, 13) + (12, 15)

c = (8 + 12) + ( 13 + 15)

c = (20, 27)

2. В одном из векторных вопросов k = (3, 4) и m = (7, 9). Вычтите вектор «k» из вектора «m».

Решение: Чтобы вычесть вектор «k» из вектора «m», необходимо найти отрицательный вектор «k».

Отрицательный вектор k = — k

= — (3, 4)

= (-3, -4)

Вычитание вектора k из вектора m дается как:

m — k = m + (-k)

= (7, 9) + (-3, -4)

= (7-3), (9-4)

= (4, 5)

3.{o} \]

\ [a \ cdot b = 63 \ times 0 \]

\ [a \ cdot b = 0 \ text {units} \]

Интересные факты:
  • Любой геометрический объект, который имеет как величину, так и направление, называется евклидовым вектором.

  • Матрицы также можно использовать с помощью определения вектора. Любая матрица с одной строкой или одним столбцом называется вектором-строкой или вектором-столбцом соответственно.

Векторный анализ | математика | Британника

Векторный анализ , раздел математики, который имеет дело с величинами, которые имеют как величину, так и направление.Некоторые физические и геометрические величины, называемые скалярами, можно полностью определить, указав их величину в подходящих единицах измерения. Таким образом, масса может быть выражена в граммах, температура — в градусах по некоторой шкале, а время — в секундах. Скаляры могут быть представлены графически точками на некоторой числовой шкале, такой как часы или термометр. Также существуют величины, называемые векторами, которые требуют указания направления, а также величины. Скорость, сила и смещение являются примерами векторов.Векторная величина может быть представлена ​​графически направленным линейным сегментом, обозначенным стрелкой, указывающей в направлении векторной величины, при этом длина сегмента представляет величину вектора.

Подробнее по этой теме

аналитическая геометрия: векторный анализ

В евклидовом пространстве любой размерности векторы — направленные отрезки прямых — можно задавать координатами.Набор из n элементов (a1, …

Векторная алгебра.

Прототипом вектора является направленный отрезок линии A B (, см. Рисунок 1), который, как можно представить, представляет смещение частицы из ее начального положения A, в новое положение B . Чтобы отличать векторы от скаляров, принято обозначать векторы жирными буквами. Таким образом, вектор A B на рисунке 1 может быть обозначен как a , а его длина (или величина) — как | а |.Во многих задачах положение начальной точки вектора несущественно, поэтому два вектора считаются равными, если они имеют одинаковую длину и одинаковое направление.

Рисунок 1. Закон параллелограмма для сложения векторов

Encyclopædia Britannica, Inc.

Равенство двух векторов a и b обозначается обычным символическим обозначением a = b , а полезные определения элементарных алгебраических операций над векторами подсказывает геометрия.Таким образом, если A B = , а на рисунке 1 представляет смещение частицы от A до B , а затем частица перемещается в положение C , так что B C = b , ясно, что смещение от A до C может быть выполнено за одно смещение A C = c . Таким образом, логично записать a + b = c .Это построение суммы c , a и b дает тот же результат, что и закон параллелограмма, в котором результирующее c задается диагональю A C параллелограмма, построенного на векторах. A B и A D как стороны. Поскольку положение начальной точки B вектора B C = b несущественно, отсюда следует, что B C = A D .На рисунке 1 показано, что A D + D C = A C , так что коммутативный закон

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту.
Подпишитесь сейчас

используется для сложения векторов. Кроме того, легко показать, что ассоциативный закон

действительно, поэтому скобки в (2) можно опустить без каких-либо двусмысленностей.

Если s является скаляром, s a или a s определяется как вектор, длина которого | с || a | и направление которого совпадает с направлением a , когда s, положительно, и противоположно направлению a , если s, отрицательно.Таким образом, a и — a являются векторами, равными по величине, но противоположными по направлению. Приведенные выше определения и хорошо известные свойства скалярных чисел (представленных s и t ) показывают, что

Поскольку законы (1), (2) и (3) идентичны законам, встречающимся в обычной алгебре, вполне уместно использовать знакомые алгебраические правила для решения систем линейных уравнений, содержащих векторы. Этот факт позволяет вывести чисто алгебраическими средствами многие теоремы синтетической евклидовой геометрии, требующие сложных геометрических построений.

Произведения векторов.

Умножение векторов приводит к двум типам произведений: скалярному произведению и перекрестному произведению.

Точечное или скалярное произведение двух векторов a и b , записанное a · b , является действительным числом | a || b | cos ( a , b ), где ( a , b ) обозначает угол между направлениями a и b . Геометрически,

Если a и b расположены под прямым углом, тогда a · b = 0, и если ни a , ни b не является нулевым вектором, то исчезновение скалярного произведения показывает, что векторы перпендикуляр.Если a = b , то cos ( a , b ) = 1 и a · a = | a | 2 дает квадрат длины a .

Ассоциативные, коммутативные и дистрибутивные законы элементарной алгебры действительны для умножения векторов на точки.

Перекрестное или векторное произведение двух векторов a и b , записанное a × b , является вектором

, где n — вектор единичной длины, перпендикулярный плоскости a и b и направленный таким образом, что правый винт, повернутый от a к b , будет продвигаться в направлении n ( см. Рисунок 2).Если a и b параллельны, a × b = 0. Величина a × b может быть представлена ​​площадью параллелограмма, имеющей соседние a и b . стороны. Кроме того, поскольку вращение от b к a противоположно вращению от a к b ,

Рисунок 2: Перекрестное произведение, образованное умножением двух векторов

Encyclopædia Britannica, Inc.

Это показывает, что перекрестное произведение не коммутативно, а ассоциативный закон ( s a ) × b = s ( a × b ) и закон распределения

действительны для перекрестных произведений.

Системы координат.

Поскольку эмпирические законы физики не зависят от специального или случайного выбора систем отсчета, выбранных для представления физических отношений и геометрических конфигураций, векторный анализ является идеальным инструментом для изучения физической вселенной.Введение специальной системы отсчета или системы координат устанавливает соответствие между векторами и наборами чисел, представляющими компоненты векторов в этой системе координат, и вводит определенные правила работы с этими наборами чисел, которые следуют из правил операций на линии сегменты.

Если выбран какой-то конкретный набор из трех неколлинеарных векторов (называемых базовыми векторами), то любой вектор A может быть однозначно выражен как диагональ параллелепипеда, ребра которого являются компонентами A в направлениях базовых векторов.Обычно используется набор из трех взаимно ортогональных единичных векторов (, т. Е. векторов длины 1) i , j , k , направленных вдоль осей знакомой декартовой системы отсчета ( см. Рисунок 3). . В этой системе выражение принимает вид

Рисунок 3: Разрешение вектора на три взаимно перпендикулярных компонента

Encyclopædia Britannica, Inc.

, где x , y и z — это проекции A на оси координат.Когда два вектора A 1 и A 2 представлены как

, то использование законов (3) дает для их суммы

Таким образом, в декартовой системе отсчета сумма A 1 и A 2 является вектором, определяемым ( x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , x 3 + y 3 ).Также скалярное произведение можно записать

с

Использование закона (6) дает

, так что векторное произведение представляет собой вектор, определяемый тройкой чисел, появляющихся как коэффициенты i , j и k в (9).

Если векторы представлены матрицами 1 × 3 (или 3 × 1), состоящими из компонентов ( x 1 , x 2 , x 3 ) векторов, можно перефразировать формулы (7) — (9) на языке матриц.Такая перефразировка предполагает обобщение концепции вектора на пространства размерности выше трех. Например, состояние газа обычно зависит от давления p , объема v , температуры T и времени t . Четверка чисел ( p , v , T , t ) не может быть представлена ​​точкой в ​​трехмерной системе отсчета. Но поскольку геометрическая визуализация не играет роли в алгебраических вычислениях, образный язык геометрии все еще можно использовать, введя четырехмерную систему отсчета, определяемую набором базовых векторов a 1 , a 2 , a 3 , a 4 с компонентами, определяемыми строками матрицы

Затем вектор x представляется в виде

.

, так что в четырехмерном пространстве каждый вектор определяется четверкой компонентов ( x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ).

Исчисление векторов.

Частица, движущаяся в трехмерном пространстве, может быть расположена в каждый момент времени t с помощью вектора положения r , проведенного из некоторой фиксированной опорной точки O . Поскольку положение конечной точки r зависит от времени, r является векторной функцией t . Его компоненты в направлениях декартовых осей, представленные в O , являются коэффициентами i , j и k в представлении

.

Если эти компоненты являются дифференцируемыми функциями, производная r относительно t определяется по формуле

, который представляет скорость частицы v .Декартовы компоненты v появляются как коэффициенты i , j и k в (10). Если эти компоненты также дифференцируются, ускорение a = d v / d t получается путем дифференцирования (10):

Правила дифференцирования произведений скалярных функций остаются в силе для производных точечных и перекрестных произведений векторных функций, а подходящие определения интегралов векторных функций позволяют построить исчисление векторов, которое стало основным аналитическим инструментом в физических науках. и технологии.

Узнайте больше в этих связанных статьях Britannica:

  • аналитическая геометрия: векторный анализ

    В евклидовом пространстве любой размерности векторы — направленные отрезки прямых — можно задавать координатами. Кортеж из n элементов ( 1 ,…, n ) представляет вектор в n-мерном пространстве, который проецируется на действительные числа a 1 ,…, n на осях координат.…

  • математика: линейная алгебра

    Уиллард Гиббс занялся векторным анализом и смог распространить векторные методы на вычисления. Таким образом, они ввели меры бесконечно малых изменений векторного поля, которые под названиями div, grad и curl стали стандартными инструментами в изучении электромагнетизма и потенциала …

  • механика: Векторы

    … и Британия соответственно) каждый из них применял векторный анализ, чтобы помочь выразить новые законы электромагнетизма, предложенные Джеймсом Клерком Максвеллом.…

Умножение векторов

Векторы — что это такое? дает введение в
предмет.

Есть два полезных определения умножения векторов в
в одном произведение — скаляр, а в другом — произведение
вектор. Нет операции деления векторов. В некоторых
школьные программы вы встретите скалярные произведения, но не векторные
продуктов, но мы обсуждаем оба типа умножения векторов в
в этой статье, чтобы дать более полное представление об основах
субъект

Скалярное умножение

Скалярное произведение
векторы $ {\ bf u} = (u_1, u_2, u_3) $ и $ {\ bf v} = (v_1, v_2, v_3) $
— скаляр, определенный как $$ {\ bf u.2 \ quad (2), $$ и если $ {\ bf i, j, k} $ — единичные векторы вдоль
оси тогда $$ {\ bf i.i} = {\ bf j.j} = {\ bf k.k} = 1, \ quad {\ rm
и} \ quad {\ bf i.j} = {\ bf j.k} = {\ bf k.i} = 0 \ quad (3). $$ Это
оставлено читателю, чтобы проверить из определения, что $$ {\ bf u.v} =
{\ bf v.u}, \ {\ rm и} \ ({\ bf u + v}). {\ bf w} = {\ bf u.w} + {\ bf
v.w}. $$ Это показывает, что мы можем расширять или умножать $$ {\ bf u.v} =
(u_1 {\ bf i} + u_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf k}). (v_1 {\ bf i} + v_2 {\ bf j} + u_3 {\ bf
k}) $$ дает девять терминов. Используя уравнение (3), шесть из этих членов равны
ноль, а остальные три дают выражение $ u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3 $
в соответствии с определением в уравнении (1).{-1} \ left ({{\ bf u.v} \ over | {\ bf
u} ||| {\ bf v} |} \ right) \ quad (7). $$ В трех измерениях мы можем использовать
более интуитивное определение угла с точки зрения поворота, но в
более высокие размеры необходимо иметь определение угла
такие как формула (7). Если мы воспользуемся этой формулой для определения угла, тогда
Правило косинуса следует прямо, поскольку они эквивалентны.

Обратите внимание, что произведение вектора-строки и вектора-столбца равно
определяется в терминах скалярного произведения, и это согласуется с
матричное умножение.$$ (u_1 \ u_2 \ u_3) \ left (\ begin {array} {cc}
v_1 \\ v_2 \\ v_3 \ end {array} \ right) = u_1v_1 + u_2v_2 +
u_3v_3. $$

Векторное умножение

Векторное произведение двух
векторы $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $, записываемые как $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $
(и иногда называют крестом
product), это вектор $$ {\ bf b} \ times {\ bf c} = \ left (
\ begin {array} {cc} b_2c_3-b_3c_2 \\ b_3c_1 -b_1c_3 \\ b_1c_2 -b_2c_1
\ end {array} \ right) \ quad (8). $$ Существует альтернативное определение
векторного произведения, а именно, что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ является
вектор величины $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $ перпендикулярно
$ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ и подчиняясь «правилу правой руки», и
докажем, что этот результат следует из данного определения
и что эти два определения эквивалентны.Приведено доказательство
позже для полноты, но сначала мы рассмотрим $ {\ bf b} \ times {\ bf
c} $ выражается через компоненты в направлениях $ {\ bf i,
j, k} $.

Из этого определения видно, что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} = — {\ bf
c} \ times {\ bf b} $, поэтому эта операция не коммутативна. Если $ {\ bf i,
j, k} $ — единичные векторы вдоль осей, тогда из этого определения:
$$ {\ bf i} \ times {\ bf i} = {\ bf j} \ times {\ bf j} = {\ bf k} \ times {\ bf
k}, $$ и $$ \ eqalign {{\ bf i} \ times {\ bf j} & = {\ bf k}, \ quad
{\ bf j} \ times {\ bf i} = — {\ bf k} \ cr {\ bf j} \ times {\ bf k} & =
{\ bf i}, \ quad {\ bf k} \ times {\ bf j} = — {\ bf i} \ cr {\ bf k} \ times
{\ bf i} & = {\ bf j}, \ quad {\ bf i} \ times {\ bf k} = — {\ bf j}.} $$
Из определения следует, что $$ k ({\ bf b} \ times {\ bf c}) =
(k {\ bf b}) \ times {\ bf c} = {\ bf b} \ times (k {\ bf c}), \ quad \ quad
({\ bf a + b}) \ times {\ bf c} = ({\ bf a} \ times {\ bf c}) + ({\ bf
b} \ times {\ bf c}). $$ Расширение выражения $$ {\ bf b} \ times {\ bf
c} = (b_1 {\ bf i} + b_2 {\ bf j} + b_3 {\ bf k}) \ times (c_1 {\ bf i} +
c_2 {\ bf j} + c_3 {\ bf k}) $$ дает $$ (b_2c_3-b_3c_2) {\ bf i} +
(b_3c_1-b_1c_3) {\ bf j} + (b_1c_2-b_2c_1) {\ bf k} \ quad (9) $$ который
— формула для векторного произведения, заданная в уравнении (8).

Теперь мы докажем, что два определения умножения векторов
эквивалент. На схеме показаны направления векторов $ {\ bf
b} $, $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $, которые образуют правую
вручил набор ».

Вы можете закончить чтение здесь, и это действительно больше
важно понимать, что есть два определения вектора
продукт, который может быть доказан как эквивалентный, чем он
механически проработать детали доказательства.

Теорема Вектор
произведение двух векторов $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ является вектором $ {\ bf
b} \ times {\ bf c} $ со следующими свойствами:

(i) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ имеет
величина $ | {\ bf b} || {\ bf c} | \ sin \ theta $, где $ \ theta $ —
угол между направлениями $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $;

(ii) $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ — это
перпендикулярно $ {\ bf b} $ и $ {\ bf c} $ с направлением, таким, что
векторы $ {\ bf b} $, $ {\ bf c} $ и $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $ образуют
правый набор, как на схеме, так что $ {\ bf b} \ times {\ bf c} $
и $ {\ bf c} \ times {\ bf b} $ направлены в противоположные стороны.

Найти вектор скорости и ускорения точки, примеры решений

В очередной раз меня попросили решить пару задачек по физике, и я вдруг обнаружил, что не могу решить их с ходу. Немного погуглив, я обнаружил, что сайты в топе выдачи содержат сканы одного и того же учебника и не описывают конкретных примеров решений задачи о том, как найти вектор скорости и ускорения материальной точки. По-этому я решил поделиться с миром примером своего решения.

Траектория движения материальной точки через радиус-вектор

Подзабыв этот раздел математики, в моей памяти уравнения движения материальной точки всегда представлялись при помощи знакомой всем нам зависимости y(x) , и взглянув на текст задачи, я немного опешил когда увидел векторы. Оказалось, что существует представление траектории материальной точки при помощи радиус-вектора – вектора, задающего положение точки в пространстве относительно некоторой заранее фиксированной точки, называемой началом координат.

 

Формула траектория движения материальной точки помимо радиус-вектора описывается так же ортами – единичными векторами i, j , k в нашем случае совпадающими с осями системы координат. И, наконец, рассмотрим пример уравнения траектории материальной точки (в двумерном пространстве):

Что интересного в данном примере? Траектория движения точки задается синусами и косинусами, как вы думаете, как будет выглядеть график в всем нам знакомом представлении y(x) ? “Наверное какой-то жуткий”, подумали вы, но все не так сложно как кажется! Попробуем построить траекторию движения материальной точки y(x), если она движется по представленному выше закону:

Здесь я заметил квадрат косинуса, если вы в каком-нибудь примере видите квадрат синуса или косинуса, это значит что нужно применять основное тригонометрическое тождество, что я и сделал (вторая формула) и преобразовал формулу координаты y, чтобы вместо синуса подставить в нее формулу изменения x:

В итоге жуткий закон движения точки оказался обычной параболой, ветви которой направлены вниз. Надеюсь, вы поняли примерный алгоритм построения зависимости y(x) из представления движения через радиус-вектор. Теперь перейдем к нашему главному вопросу: как же найти вектор скорости и ускорения материальной точки, а так же их модули.

Вектор скорости материальной точки

Всем известно, что скорость материальной точки – это величина пройденного пути точкой за единицу времени, то есть производная от формулы закона движения. Чтобы найти вектор скорости нужно взять производную по времени. Давайте рассмотрим конкретный пример нахождения вектора скорости.

Пример нахождения вектора скорости

Имеем закон перемещения материальной точки:

Теперь нужно взять производную от этого многочлена, если вы забыли как это делается, то вот вам таблица производных различных функций. В итоге вектор скорости будет иметь следующий вид:

Все оказалось проще, чем вы думали, теперь найдем вектор ускорения материальной точки по тому же самому закону, представленному выше.

Как найти вектор ускорения материальной точки

Вектор ускорения точки это векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки. Чтобы найти вектор ускорения материальной точки в нашем примере, нужно взять производную, но уже от формулы вектора скорости, представленной чуть выше:

Модуль вектора скорости точки

Теперь найдем модуль вектора скорости материальной точки. Как вы знаете из 9-го класса, модуль вектора – это его длина, в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат. И откуда же из полученного нами выше вектора скорости взять его координаты спросите вы? Все очень просто:

Теперь достаточно только подставить время, указанное в задаче и получить конкретное числовое значение.

Модуль вектора ускорения

Как вы поняли из написанного выше (и из 9-го класса), нахождение модуля вектора ускорения происходит тем же образом, что и модуля вектора скорости: извлекаем корень квадратный из суммы квадратов координат вектора, все просто! Ну и вот вам, конечно же, пример:

Как вы видите, ускорение материальной точки по заданному выше закону не зависит от времени и имеет постоянную величину и направление.

Еще примеры решений задачи нахождения вектора скорости и ускорения

А вот тут вы можете найти примеры решения и других задач по физике на тему “механика твердых тел”. А для тех, кто не совсем понял как найти вектор скорости и ускорения, вот вам еще парочка примеров из сети без всяких лишних объяснений, надеюсь, они вам помогут.

Если у вас возникли какие-нибудь вопросы, вы можете задать их в комментариях.

Формулы длинны вектора, угла между векторами | План-конспект урока по геометрии (10, 11 класс):

Длина вектора. Угол между векторами

Заголовок статьи дает много информации о материале который будет изложен далее. Он достаточно прост для понимания, однако важный и нужный в дальнейшем обучении. На его основе будут формулироваться все следующие понятия и решаться различные задачи на плоскости, осуществляться вычисления.

Координаты вектора  равны разнице соответствующих координат конца и начала вектора. Если  и — соответственно начало и конец вектора, то

Длиной или нормой вектора (обозначают ) называют неотрицательное значение квадратного корня из суммы квадратов координат вектора

Например, если  то

.

Углом между ненулевыми векторами

и 

называется значение угла , которое определяется из равенства

Задача

Найти длину векторов и , если их начала и концы заданные вершинами

Решение.

Найдем векторы и 

Вычислим длину векторов

Найдем скалярное произведение векторов

Найденные значения подставляем в формулу для вычисления угла между векторами

Отсюда окончательно находим значение угла 

Задания для самостоятельной работы

Задача 1.

Определить угол между векторами и , если А (1; -3; -4),

В (-1; 0; 2), С (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Задача 2.

Найти скалярное произведение векторов , если , = 30°.

Задача 3.

При каких значениях длины векторов  и  будут равны?

Задача 4.

Вычислить угол между векторами  и  

Задача 5.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах

 и .

Задача 6.

Найти равнодействующую двух сил 1 и 2, если = 5H; = 7H, угол между ними  = 60°.

Задача 7.

Вычислить работу, которую производит сила  = (6; 2), если ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения А (-1; 3), в положение В (3; 4).

Задача 8.

Пусть – скорость материальной точки, – сила, действующая на нее. Чему равна мощность, развиваемая силой , если  = 5H,  = 3,5 м/с;

 = 45°

Задача 9.

Векторы  и  взаимно . Какой угол образуют векторы и , если ?

Модуль вектора. Длина вектора.

Навигация по странице:

Определение длины вектора

Определение.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора AB.

Для обозначения длины вектора используются две вертикальные линии слева и справа |AB|.

Основное соотношение. Длина вектора |a| в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.


Формулы длины вектора

Формула длины вектора для плоских задач

В случае плоской задачи модуль вектора a = {ax ; ay} можно найти воспользовавшись следующей формулой:


Формула длины вектора для пространственных задач

В случае пространственной задачи модуль вектора a = {ax ; ay ; az} можно найти воспользовавшись следующей формулой:


Формула длины n -мерного вектора

В случае n-мерного пространства модуль вектора a = {a1 ; a2; … ; an} можно найти воспользовавшись следующей формулой:

|a| = ( n ai2)1/2
Σ
i=1

Примеры задач на вычисление длины вектора

Примеры вычисления длины вектора для плоских задачи

Пример 1. Найти длину вектора a = {2; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 = √4 + 16 = √20 = 2√5.

Пример 2. Найти длину вектора a = {3; -4}.

Решение: |a| = √32 + (-4)2 = √9 + 16 = √25 = 5.

Примеры вычисления длины вектора для пространственных задачи

Пример 3. Найти длину вектора a = {2; 4; 4}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 = √4 + 16 + 16 = √36 = 6.

Пример 4. Найти длину вектора a = {-1; 0; -3}.

Решение: |a| = √(-1)2 + 02 + (-3)2 = √1 + 0 + 9 = √10.

Примеры вычисления длины вектора для пространств с размерностью большей 3

Пример 5. Найти длину вектора a = {1; -3; 3; -1}.

Решение: |a| = √12 + (-3)2 + 32 + (-1)2 = √1 + 9 + 9 + 1 = √20 = 2√5

Пример 6. Найти длину вектора a = {2; 4; 4; 6 ; 2}.

Решение: |a| = √22 + 42 + 42 + 62 + 22 = √4 + 16 + 16 + 36 + 4 = √76 = 2√19.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Вектор Креста Формула продукта | Примеры с шаблоном Excel

Формула векторного креста (оглавление)

  • формула
  • Примеры

Что такое формула векторного креста?

В векторной алгебре и математике термин «векторное перекрестное произведение» относится к бинарным операциям между векторами в трехмерной геометрии. Перекрестное произведение обозначается знаком креста «x» между двумя векторами, и операция перекрестного произведения приводит к другому вектору, перпендикулярному плоскости, содержащей начальные два вектора. Формула для векторного перекрестного произведения может быть получена умножением абсолютных значений двух векторов и синуса угла между двумя векторами. Математически, давайте предположим, что и б два вектора, так что a = a 1i + a 2j + a 3k и b = b 1i + b 2j + b 3k, тогда векторное перекрестное произведение представляется как,

ax b = |a| |b| sinθ n

где θ = угол между и б

| | = √ (a 12 + a 22 + a 32 )

| б | = √ (b 12 + b 22 + b 32 )

n = единичный вектор, перпендикулярный обоим и б

Кроме того, векторное перекрестное произведение также может быть разложено на его трехмерные векторные компоненты, то есть i, j и k, которые все перпендикулярны друг другу. Формула для векторного перекрестного произведения представлена ​​в виде

ax b = i (a 2 b 3 – a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 – a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 – a 2 b 1 )

Примеры векторной формулы продукта (с шаблоном Excel)

Давайте рассмотрим пример, чтобы лучше понять расчет векторного креста.

Вы можете скачать этот шаблон Excel в виде формулы перекрестного продукта здесь — Векторный шаблон формулы в виде перекрестного продукта Excel
Формула векторного креста — пример № 1

Давайте возьмем пример двух векторов и б так, что их скалярная величина | | = 5 и | б | = 3, а угол между двумя векторами составляет 30 градусов. Рассчитать векторное произведение двух векторов.

Решение:

Перекрестное векторное произведение двух векторов рассчитывается по приведенной ниже формуле

топор б = | | | б | sinθ n

  • топор b = 5 * 3 * sin30 n
  • топор б = 7, 5 N

Следовательно, векторное произведение двух векторов равно 7, 5.

Формула векторного креста — пример № 2

Давайте возьмем пример двух векторов а (4, 2, -5) и б (2, -3, 7) такой, что а = 4i + 2j — 5k и b = 2i — 3j + 7k. Рассчитать векторное произведение двух векторов.

Решение:

Перекрестное векторное произведение двух векторов рассчитывается по приведенной ниже формуле

топор b = i (a 2 b 3 — a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 — a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 — a 2 b 1 )

  • топор b = i (2 * 7 — (-5) * (-3)) + j ((-5) * 2 — 4 * 7) + k (4 * (-3) — 2 * 2)
  • топор b = -i + ( 38 Дж ) + ( 16 К )

Следовательно, векторное произведение двух векторов (4, 2, -5) и (2, -3, 7) равно (-1, -38, -16).

Формула векторного креста — пример № 3

Давайте возьмем пример параллелограмма, смежные стороны которого определяются двумя векторами а (6, 3, 1) и б (3, -1, 5) такой, что а = 6i + 3j + 1k и b = 3i — 1j + 5k. Рассчитайте площадь параллелограмма.

Решение:

Теперь векторное произведение двух векторов может быть вычислено с использованием приведенной выше формулы как

топор b = i (a 2 b 3 — a 3 b 2 ) + j (a 3 b 1 — a 1 b 3 ) + k (a 1 b 2 — a 2 b 1 )

  • топор b = i (3 * 5 — 1 * (-1)) + j (1 * 3 — 6 * 5) + k (6 * (-1) — 3 * 3)
  • топор b = 16 i + ( 27 j ) + ( 15 k )

Теперь площадь параллелограмма может быть получена путем вычисления величины векторного перекрестного произведения как

  • | топор б | = √ ((16) 2 + (-27) 2 + (-15) 2 )
  • | топор б | = 34, 79

Следовательно, площадь параллелограмма составляет 34, 79.

объяснение

Формула для векторного перекрестного произведения может быть получена с помощью следующих шагов:

Шаг 1: во- первых, определите первый вектор а и его векторные компоненты.

Шаг 2: Затем определите второй вектор б и его векторные компоненты.

Шаг 3: Затем определите угол между плоскостью двух векторов, который обозначен как θ .

Шаг 4: Наконец, формула для векторного перекрестного произведения между векторами и b можно получить умножением абсолютных значений и b, который затем умножается на синус угла (шаг 3) между двумя векторами, как показано ниже.

топор б = | | | б | sinθ n

Актуальность и использование формулы векторного креста

Концепция векторного перекрестного произведения имеет разнообразные применения в области инженерии, математики, вычислительной геометрии, физики, компьютерного программирования и т. Д. Основная концепция помогает нам определять не только величину скалярной составляющей произведения двух векторов, но и это также обеспечивает направление результирующего. Кроме того, он также используется для определения угла между плоскостями двух векторов. Концепция и применение векторных перекрестных произведений могут быть очень сложными и интересными.

Рекомендуемые статьи

Это руководство по формуле векторного креста. Здесь мы обсудим, как рассчитать формулу продукта Vector Cross, а также приведем практические примеры и загружаемый шаблон Excel. Вы также можете посмотреть следующие статьи, чтобы узнать больше —

  1. Формула для квартильного отклонения
  2. Как рассчитать ВВП на душу населения
  3. Примеры затрат на проценты
  4. Расчет чистой процентной маржи

векторных формул — узнайте о векторных формулах

Векторные формулы содержат список формул, полезный для выполнения множества арифметических операций с одним и тем же вектором и между двумя векторами. Векторы имеют как скалярную, так и векторную составляющую, и эти векторные формулы помогают систематически и легко выполнять многочисленные операции с векторами.

Что такое список векторных формул?

Список векторных формул включает формулы, выполняющие операции для одного вектора и над векторами.Формулы отношений направлений, направляющих косинусов, величины вектора, единичного вектора выполняются для одного и того же вектора. И формулы скалярного произведения, перекрестного произведения, проекции векторов выполняются по двум векторам.

Формула 1
Отношения направлений вектора \ (\ vec A \) дают длины вектора в направлениях x, y, z соответственно.

Соотношения направлений вектора \ (\ vec A = a \ hat i + b \ hat j + c \ hat k \) равны a, b, c соответственно.2} \]

Формула 4
Единичный вектор \ (\ vec A \) равен \ (\ hat A \).

\ [\ hat A = \ frac {\ vec A} {| \ vec {A} |} \]

Формула 5
Два параллельных вектора \ (\ vec A \) и \ (\ vec B \) связаны следующей формулой, а \ (\ lambda \) — числовая константа.

\ [\ hat A = \ frac {\ vec A} {| \ vec {A} |} \]

Формула 6
Угол между двумя векторами \ (\ vec A \) и \ (\ vec B \) — это косеканс угла между двумя векторами.2} |} \ end {align} \]

Формула 7
Точечное произведение \ (\ vec A \) и \ (\ vec B \) является скалярным произведением.

\ [\ vec A. \ vec B = | \ vec {A} |. | B | .Cos \ theta \]

Формула 8
Перекрестное произведение между \ (\ vec A \) и \ (\ vec B \) является векторным произведением.

\ [\ vec A \ times \ vec B = | \ vec {A} |. | \ vec {B} | .Sin \ theta \]

Формула 9
Точечное произведение и кросс-произведение единичных векторов \ (\ hat i \), \ (\ hat j \) и \ (\ hat k \).

\ [\ begin {align} \ hat i. \ Hat i = \ hat j. \ Hat j = \ hat k. \ Hat k = 1 \\ \ hat i. \ Hat j = \ hat j. \ Hat k = \ hat k. \ hat i = 0 \ end {align} \]
\ [\ begin {align} \ hat i \ times \ hat i = \ hat j \ times \ hat j = \ hat k \ times \ hat k = 0 \\ \ hat i \ times \ hat j = \ hat k; \ шляпа j \ раз \ шляпа к = \ шляпа я; \ шляпа к \ раз \ шляпа я = \ шляпа j \ конец {выравнивание} \]

Формула 10
Проекция вектора \ (\ vec A \) на вектор \ (\ vec B \).

\ (\ text {Проекция вектора} \ vec {A} \ \ text {на векторе} \ vec {B} = \ dfrac {\ vec {A}.\ vec {B}} {| \ vec {B} |} \)

Разбивайте сложные концепции с помощью простых визуальных элементов.

Математика больше не будет сложным предметом, особенно если вы понимаете концепции посредством визуализации.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

  1. Пример 1. Найдите скалярное произведение векторов \ (3 \ hat i -2 \ hat j + 7 \ hat k \) и \ (4 \ hat i — \ hat j + 3 \ hat k \).

    Решение:

    Дано \ (\ vec A = 3 \ hat i — 2 \ hat j + 7 \ hat k \) и \ (\ vec B = 4 \ hat i — \ hat j + 3 \ hat k \)

    \ ( \ vec A.\ vec B = ((3). (4) + (-2). (- 1) + 7. (3)) = 12 + 2 + 21 = 35 \)

  2. Пример 2: Каков угол между векторами \ (\ vec A = \ hat i + 5 \ hat j + 2 \ hat k \) и \ (\ vec B = 2 \ hat i — \ hat j — k \ шляпа к \). {- 1} (\ frac {\ vec A.{-1} (\ frac {- \ sqrt5} {6}) \ end {align} \)

перейти к слайду

Векторов — Математика A-Level Revision

Векторная величина имеет как величину, так и направление. Ускорение, скорость, сила и перемещение — все это примеры векторных величин. Скалярная величина имеет только величину (поэтому направление не имеет значения). Примеры включают скорость, время и расстояние.

Единичные векторы

Единичный вектор — это вектор, имеющий величину 1.Обычно используются три важных единичных вектора, и это векторы в направлении осей x, y и z. Единичный вектор в направлении оси x равен i , единичный вектор в направлении оси y равен j , а единичный вектор в направлении оси z равен k .

Запись векторов в этой форме может облегчить работу с векторами.

Величина вектора

Величину вектора можно найти с помощью теоремы Пифагора .

Обозначим величину вектора a через | a |

Векторы положения

Векторы положения — это векторы, определяющие положение точки относительно фиксированной точки (начала координат).

Например, точки A, B и C являются вершинами треугольника с векторами положения a , b и c соответственно:

Вы можете рисовать в исходной точке, где хотите.

Обратите внимание, что = — a + b = b a , потому что вы можете добраться от A до B, перейдя от A к O, а затем перейдя от O к B.

Векторное уравнение прямой

Векторное уравнение прямой, проходящей через точку a и в направлении d :

Это означает, что для любого значения t точка r является точкой на прямой.

Если нам даны векторные уравнения двух разных линий, мы сможем определить пересечение линий из их уравнений.

Пример

Найдите, где пересекаются прямые с уравнениями r = i + j + t (3 i j ) и r = — i + s ( j ).

Когда они пересекаются, мы можем приравнять уравнения друг другу:

i + j + t (3 i j ) = — i + s ( j )

Коэффициенты приравнивания:
1 + 3t = -1 и 1 — t = s
Итак, t = -2/3 и s = 5/3

Таким образом, вектор положения точки пересечения задается путем подстановки t = -2/3 или s = 5/3 в одно из приведенных выше уравнений.Это дает — i +5 j /3.

Скалярное произведение

Предположим, у нас есть два вектора:

a i + b j + c k и d i + e j + f k , то их скалярное (или точечное) произведение: ad + be + fc. Итак, умножьте коэффициенты i вместе, коэффициенты j вместе и коэффициенты k вместе и сложите их все.

Обратите внимание, что это скалярное число (не вектор).

Запишем скалярное произведение двух векторов a и b как a · b .

Пример

Если a = i + 4 j — 2 k и b = 2 i + 4 j + 6 k , то a · b = 2 + 16 — 12 = 6

Угол между двумя векторами

Мы можем использовать скалярное произведение, чтобы найти угол между двумя векторами, благодаря следующей формуле:

Важным фактом является то, что два вектора перпендикулярны (ортогональны) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.Это потому, что если q = 90 градусов выше, то a · b = 0.

В этом видео рассматриваются векторы и скаляры.

компонентов вектора

В двумерной системе координат любая вектор можно разбить на Икс -компонент и у -составная часть.

v → знак равно 〈 v Икс , v у 〉

Например, на рисунке ниже вектор v → разбит на две составляющие, v Икс а также v у .Пусть угол между вектором и его Икс -компонент быть θ .

Вектор и его компоненты образуют прямоугольный треугольник, как показано ниже.

Компоненты на приведенном выше рисунке можно быстро прочитать. Вектор в компонентной форме имеет вид v → знак равно 〈 4 , 5 〉 .

В тригонометрические соотношения установить связь между величина вектора и компоненты вектора.

потому что θ знак равно Соседняя сторона Гипотенуза знак равно v Икс v

грех θ знак равно Противоположная сторона Гипотенуза знак равно v у v

v Икс знак равно v потому что θ

v у знак равно v грех θ

С помощью Теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике с длинами v Икс а также v у :

| v | знак равно v Икс 2 + v у 2

Здесь указанные числа представляют собой величины векторов.

Дело 1: Учитывая компоненты вектора, найдите величину и направление вектора.

В этом случае используйте следующие формулы.

Величина вектора равна | v | знак равно v Икс 2 + v у 2 .

Чтобы найти направление вектора, решите загар θ знак равно v у v Икс для θ .

Случай 2: Зная величину и направление вектора, найдите компоненты вектора.

В этом случае используйте следующие формулы.

v Икс знак равно v потому что θ

v у знак равно v грех θ

Пример:

Величина вектора F → является 10 единиц и направление вектора 60 ° с горизонтальным.Найдите компоненты вектора.

F Икс знак равно F потому что 60 ° знак равно 10 ⋅ 1 2 знак равно 5

F у знак равно F грех 60 ° знак равно 10 ⋅ 3 2 знак равно 5 3

Итак, вектор F → является 〈 5 , 5 3 〉 .

Векторное уравнение — обзор

15 Возможные представления векторных уравнений изменения

Здесь мы опишем формальную процедуру, применяемую для набора векторных уравнений изменения, которые описывают поля температуры и химического потенциала в связанном процессе нагрева и массы. передача. Процедура может включать в себя неградиентные представления для рассматриваемого набора полей; таким образом, он представляет собой универсальный инструмент для тестирования различных функционалов эволюции.Опять же, его основной принцип основан на наблюдении, что экстремизация произвольного критерия с учетом данных ограничений автоматически дает набор уравнений для множителей Лагранжа, который является сопряженным по отношению к набору ограничений.

Рассматривается многокомпонентная неизотермическая система, состоящая из компонентов, претерпевающих различные явления переноса в объеме. Компоненты нейтральны [35–37], подчиняясь правилу фаз [38]. Как показал Сундхейм [35], эта установка приводит к независимым потокам массы, энергии и электрического тока.Для альтернативного ионного описания см. Ref. [39]. Макроскопическое движение устраняется выбором исчезающей барицентрической скорости и предположением о постоянстве плотности системы, ρ , в соответствии с предположением о механическом равновесии. Это предположение делает рассматриваемые эффекты более прозрачными. Таким образом, как и раньше, ρ является постоянным параметром, а не переменной состояния. В этом примере мы игнорируем эффекты конечной скорости распространения.

В энтропийном представлении для непрерывной системы, находящейся в состоянии механического равновесия, законы сохранения равны

(84) ∂C∂t + ∇⋅J = 0.

Это матричная запись [40] всех законов сохранения, согласованных, когда J — матрица независимых потоков

(85) J = (Je, J1, J2,…, Jn − 1, i) T,

(верхний индекс «T» означает транспонирование матрицы) и для соответствующего вектора-столбца плотностей C

(86) C = (ev, c1, c2,…, cn − 1,0) T.

Поток массы n Дж n был исключен условием ∑JiMi = 0 для i = 1, 2,…, n. Последний компонент C исчезает из-за электронейтральности. Независимые интенсивности равны

(87) u = (T − 1, undefinedμ˜1T − 1, undefinedμ˜2T − 1,…, undefinedμ˜n − 1T − 1, undefined − ϕT − 1),

с μ˜ k = μnMkMn − 1 − μk Их градиенты являются независимыми силами

(88) Xundefined≡undefined∇uundefined = undefined (∇T − 1, undefined∇ (μ˜1T − 1), undefined∇ (μ˜2T − 1), …, Undefined∇ (μ˜n − 1T − 1), undefined − ∇ (ϕT − 1)) T.

Феноменологическое уравнение параболического параболического переноса тепла и массы:

(89) Jundefined = undefinedLXundefined≡undefinedL∇u.

Плотности (86) и интенсивности (87) — два набора переменных в уравнении Гиббса для плотности энтропии ρ s несжимаемой системы с массовой плотностью ρ = ∑Mici

(90) dρs = u⋅dC.

Второй дифференциал энтропии включает производные h ik = 2 ρ s / ( ∂c i ∂c k ), которые являются компонентами симметричная матрица Гессе.Эти производные играют роль в уравнениях в частных производных, описывающих передаточные потенциалы и .

Объединение феноменологических уравнений и законов сохранения дает векторное уравнение изменения для потенциалов переноса и . Его простейшим представителем является векторное уравнение типа Фурье – Кирхгофа для чистого теплопереноса, которое описывает температуру в энергетическом представлении или обратную ей в энтропийном представлении. В случае, когда производные переменных состояния малы, а термодинамические и транспортные коэффициенты можно считать постоянными, уравнение изменения является линейным.Тогда он имеет вид

(91) −undefineda∂∂tu + L∇2u = 0,

, где a ≡ — C / u — матрица термодинамической емкости или отрицательная энтропия гессиан h ik = 2 ρ s / ( ∂c i ∂c k ). Уравнение (91) содержит две симметричные матрицы: a и L . Мы рассмотрим вариационную формулировку этого уравнения в терминах потенциалов.

Мы покажем, что для построения вариационного принципа для уравнения (91) можно минимизировать функционал, содержащий любое положительное подынтегральное выражение с ограничением (91), к которому добавлен множитель Лагранжа. Рассмотрим, например, функционал с симметричной положительной матрицей

(92) Aundefined = undefined∫t1, Vt2 {12B: uu + ϕ⋅ − a∂∂tu + L∇2u} dV dt.

Уравнение Эйлера – Лагранжа этого функционала относительно u дает следующее представление для вектора поля u

(93) u = −B − 1a∂∂tϕ + L∇2ϕ.

Для B = I , единичная матрица, следует представление u в терминах потенциалов, найденных ранее [9,10]. В терминах ϕ действие (92) превращается в

(94) A = ∫t1, Vt2 {12B − 1: (a∂∂tϕ + L∇2ϕ) (a∂∂tϕ + L∇2ϕ)} dV dt + undefined∫t1, Vt2 {ϕ (−aB − 1∂∂t (−a∂∂tϕ + L∇2ϕ) + undefinedLB − 1∇2 (−a∂∂tϕ − L∇2ϕ))} dV dt,

или поскольку система является линейной и выражение связи (91) должно исчезнуть в результате стационарности A относительно λ

(95) A = ∫t1, Vt2 {12B − 1: a∂ ∂tϕ + L∇2ϕa∂∂tϕ + L∇2ϕ} dV dt

Следовательно, для любого невырожденного B исчезающая векторная связь (91) получается как уравнения Эйлера – Лагранжа функционала (95).Действительно, варьируя уравнение. (95) дает

(96) B − 1 {a∂∂ta∂ϕ∂t + L∇2ϕ − L∇2a∂ϕ∂t + L∇2ϕ} = 0,

, что означает, что для любого неособого числа B векторное уравнение. (91) выполняется в виде

(97) a∂∂ta∂ϕ∂t + L∇2ϕ − L∇2a∂ϕ∂t + L∇2ϕ = 0.

Всякий раз, когда u представлено уравнением. (93), приведенное выше уравнение является исходным уравнением изменения, Ур. (91). Он описывает тепломассоперенос через потенциалы ϕ k , составляющие вектора ϕ .Таким образом, мы показали, что вариационный принцип для и уравнения. (91) представлено минимумом функционала

(98) A = ∫t1, Vt2 {12B: uu} dV dt,

с и , определенным уравнением. (93). Опять же, это показывает гибкость в выборе лагранжиана. Результат, утверждающий, что необходимо «представление u через ϕ », как в уравнении. В (93) проводится аналогия с хорошо известным вариационным принципом электромагнитного поля, в котором электромагнитные потенциалы ( A, и ϕ ) используются для формулирования вариационного принципа для электрических и магнитных полей ( E и B ) с их представлениями в виде первой пары уравнений Максвелла [28].Решающая роль множителей Лагранжа в построении вариационных сопряжений хорошо известна в принципе максимума Понтрягина, но, кажется, упускается из виду в литературе, посвященной вариационным принципам поля. Наши результаты показывают, что с помощью этой техники можно обрабатывать большое количество функционалов и связанных с ними вариационных принципов.

Векторные компоненты

Математика и естественные науки были изобретены людьми для описания и понять мир вокруг нас. Мы наблюдаем, что есть некоторые количества и процессы в наш мир, который зависит от направления , в котором они происходят, и есть некоторые количества, которые не зависят по направлению.Математики и ученые называют количество которое зависит от направления , векторная величина . Количество которая не зависит от направления, называется скалярной величиной . А векторная величина имеет две характеристики: величину и направление . Когда сравнение две векторные величины одного типа, необходимо сравнить обе величина и направление.

На этом слайде мы описываем математическую концепцию, уникальную для векторов; компоненты вектора .Компоненты вектора позволяют нам разбить единичную векторную величину на две (или более) скалярные величины, с которыми мы имеем больше математический опыт. Компоненты вектора используются в векторной алгебре для Добавить, вычесть и умножить векторы.

На рисунках векторы обычно обозначаются стрелкой. Длина стрелки указывает величину вектора, а кончик стрелки указывает направление. Вектор помечены алфавитным букву с чертой сверху, чтобы отличить ее от скаляра.Обозначим величину вектора символом | a | . Направление будет измеряться под углом фи относительно координаты ось х . Ось координат y перпендикулярна х . Примечание: Оси координат x и y сами по себе векторы! У них есть величина и направление. Сначала ты сталкиваются с осями координат, когда вы учитесь строить график. Так что у тебя есть какое-то время использовал векторы, даже не подозревая об этом!

Если мы построим пунктирную линию от кончика вектора a идущий параллельно оси x, он пересекает ось y в том месте, где мы этикетка ау .Аналогично линия от кончика вектора параллельно оси Y разрезает ось X на и ось . С помощью синус и косинус отношения из тригонометрия:

ay = | a | * грех (фи)

ax = | a | * cos (фи)

Звоним топор x-компонент из a и ay Y-компонент из а . Компонентные уравнения представляют собой скалярных уравнения; | а | и тригонометрический функции просто скаляры.Любая алгебра, связанная с эти величины будут скалярной алгеброй, а не векторной алгеброй. По сути, мы заменили единичную векторную величину на с двумя скалярными величинами ax и ay .

Присмотревшись очень внимательно к этим двум уравнениям, мы замечаем, что они полностью определить вектор количества a ; они указывают как величина, так и направление a . Мы можем найти величину вектора, используя Теорема Пифагора.2)

Зачем идти на все эти хлопоты? Поскольку в аэрокосмической отрасли мы часто имеем дело с силами и силы — векторы. Разбиение единой векторной силы на несколько составляющих позволяет нам гораздо легче изучить результирующее движение.

Примечание: На этом слайде для простоты мы разработали компоненты только в двух измерениях; есть две оси координат. На самом деле есть три пространственных измерения и три компонента все силы.Это важно при выводе общие уравнения движение для траекторий полета и для Навье-Стокса и Уравнения Эйлера, которые описать силы и результирующее движение жидкостей в двигателе. Мы можем разбить очень сложные трехмерные векторные задачи на всего три скалярных уравнения.


Действия:

Экскурсии с гидом

Навигация..


Руководство для начинающих Домашняя страница

Исчисление III — касательные, нормальные и бинормальные векторы

Показать уведомление для мобильных устройств Показать все заметки Скрыть все заметки

Похоже, вы используете устройство с «узкой» шириной экрана ( i.е. вы, вероятно, пользуетесь мобильным телефоном). Из-за особенностей математики на этом сайте лучше всего просматривать в ландшафтном режиме. Если ваше устройство не находится в альбомном режиме, многие уравнения будут отображаться сбоку от вашего устройства (вы должны иметь возможность прокручивать, чтобы увидеть их), а некоторые элементы меню будут обрезаны из-за узкой ширины экрана.

Раздел 1-8: Касательные, нормальные и бинормальные векторы

В этом разделе мы хотим рассмотреть применение производных для векторных функций.На самом деле есть несколько приложений, но все они снова нуждаются в первом.

Раньше мы использовали тот факт, что производная функции была наклоном касательной. С векторными функциями мы получаем точно такой же результат, за одним исключением.

Учитывая вектор-функцию \ (\ vec r \ left (t \ right) \), мы вызываем \ (\ vec r ‘\ left (t \ right) \) касательный вектор при условии, что он существует и при условии \ ( \ vec r ‘\ left (t \ right) \ ne \ vec 0 \).Касательная линия к \ (\ vec r \ left (t \ right) \) в \ (P \) тогда является прямой, которая проходит через точку \ (P \) и параллельна касательному вектору \ (\ vec г ‘\ влево (т \ вправо) \). Обратите внимание, что нам действительно нужно требовать \ (\ vec r ‘\ left (t \ right) \ ne \ vec 0 \), чтобы иметь касательный вектор. Если бы у нас было \ [\ vec r ‘\ left (t \ right) = \ vec 0 \] у нас будет вектор, который не имеет величины и поэтому не может дать нам направление касательной.

Кроме того, при условии \ (\ vec r ‘\ left (t \ right) \ ne \ vec 0 \) единичный касательный вектор к кривой равен,

\ [\ vec T \ left (t \ right) = \ frac {{\ vec r ‘\ left (t \ right)}} {{\ left \ | {\ vec r ‘\ left (t \ right)} \ right \ |}} \]

Хотя компоненты единичного касательного вектора могут быть несколько беспорядочными, иногда бывают случаи, когда нам нужно использовать единичный касательный вектор вместо касательного вектора.2} \, \ vec i + 2 \ sin t \, \ vec j + 2 \ cos t \, \ vec k \). Показать решение

Во-первых, под общей формулой мы подразумеваем, что мы не будем вставлять конкретный \ (t \), и поэтому мы найдем формулу, которую мы сможем использовать позже, если мы захотим найти касательную в любой точке. точка на кривой. С учетом сказанного, на данный момент действительно не так уж много нужно делать, кроме как выполнять работу.

Вот касательный вектор к кривой.

\ [\ vec r ‘\ left (t \ right) = 2t \, \ vec i + 2 \ cos t \, \ vec j — 2 \ sin t \, \ vec k \]

Чтобы получить единичный касательный вектор, нам нужна длина касательного вектора.2} \, \ vec i + 2 \ sin t \, \ vec j + 2 \ cos t \, \ vec k \) в \ (\ displaystyle t = \ frac {\ pi} {3} \). Показать решение

Во-первых, нам нужен касательный вектор, и поскольку это функция, с которой мы работали в предыдущем примере, мы можем просто повторно использовать касательный вектор из этого примера и вставить \ (t = \ frac {\ pi} {3} \) . 2}}} {9}, \ sqrt 3, 1} \ right \ rangle + t \ left \ langle {\ frac {{2 \ pi}} {3}, 1, — \ sqrt 3} \ right \ rangle \]

Прежде чем продолжить, отметим несколько моментов по предыдущему примеру.Во-первых, мы могли бы использовать единичный касательный вектор, если бы захотели, для параллельного вектора. Однако это привело бы к более сложному уравнению для касательной.

Во-вторых, обратите внимание, что мы использовали \ (\ vec r \ left (t \ right) \) для представления касательной, несмотря на то, что мы использовали это также для функции. Не радуйтесь этому. \ (\ Vec r \ left (t \ right) \) здесь очень похоже на \ (y \) с обычными функциями. Для обычных функций \ (y \) — это общая буква, которую мы использовали для обозначения функций, а \ (\ vec r \ left (t \ right) \), как правило, используется таким же образом с векторными функциями.

Далее нам нужно поговорить о единичных нормальных и бинормальных векторах .

Единичный вектор нормали определяется как

\ [\ vec N \ left (t \ right) = \ frac {{\ vec T ‘\ left (t \ right)}} {{\ left \ | {\ vec T ‘\ left (t \ right)} \ right \ |}} \]

Единичная нормаль ортогональна (или нормальна, или перпендикулярна) единичному касательному вектору и, следовательно, также и кривой. Мы уже видели нормальные векторы, когда работали с уравнениями плоскостей.Они будут появляться с некоторой регулярностью в нескольких темах Calculus III.

Определение единичного вектора нормали всегда кажется немного загадочным, когда вы впервые видите его. Это непосредственно следует из следующего факта.

Факт

Предположим, что \ (\ vec r \ left (t \ right) \) — вектор такой, что \ (\ left \ | {\ vec r \ left (t \ right)} \ right \ | = c \) для всех \ (т \). Тогда \ (\ vec r ‘\ left (t \ right) \) ортогонален \ (\ vec r \ left (t \ right) \).

Доказать этот факт довольно просто.2}} \ right) = 0 \]

Также, вспоминая факт из предыдущего раздела о различении скалярного произведения, мы видим, что

\ [\ frac {d} {{dt}} \ left ({\ vec r \ left (t \ right) \, \ centerdot \, \ vec r \ left (t \ right)} \ right) = \ vec r ‘\ left (t \ right) \, \ centerdot \, \ vec r \ left (t \ right) + \ vec r \ left (t \ right) \, \ centerdot \, \ vec r’ \ left (t \ right) = 2 \ vec r ‘\ left (t \ right) \, \ centerdot \, \ vec r \ left (t \ right) \]

Или, сложив все это вместе, получим

\ [2 \ vec r ‘\ left (t \ right) \, \ centerdot \, \ vec r \ left (t \ right) = 0 \ hspace {0.25 дюймов} \ hspace {0,25 дюйма} \ Rightarrow \ hspace {0,25 дюйма} \ hspace {0,25 дюйма} \ vec r ‘\ left (t \ right) \, \ centerdot \, \ vec r \ left (t \ right) = 0 \]

Следовательно, \ (\ vec r ‘\ left (t \ right) \) ортогонален \ (\ vec r \ left (t \ right) \).

Таким образом, определение нормального элемента падает прямо из этого. Поскольку \ (\ vec T \ left (t \ right) \) является единичным вектором, мы знаем, что \ (\ left \ | {\ vec T \ left (t \ right)} \ right \ | = 1 \) для всех \ (t \) и, следовательно, по факту \ (\ vec T ‘\ left (t \ right) \) ортогонален \ (\ vec T \ left (t \ right) \).Однако, поскольку \ (\ vec T \ left (t \ right) \) касается кривой, \ (\ vec T ‘\ left (t \ right) \) также должен быть ортогонален или нормален к кривой и таким образом быть нормальным вектором для кривой. Все, что нам нужно сделать, это разделить на \ (\ left \ | {\ vec T ‘\ left (t \ right)} \ right \ | \), чтобы получить единичный вектор нормали.

Далее идет бинормальный вектор. Бинормальный вектор определен как

\ [\ vec B \ left (t \ right) = \ vec T \ left (t \ right) \ times \ vec N \ left (t \ right) \]

Поскольку вектор бинормали определяется как перекрестное произведение единичного касательного вектора и единичного вектора нормали, мы знаем, что вектор бинормали ортогонален как вектору касательной, так и вектору нормали. 2} t} = \ sqrt {10} \ end {align *} \]

Тогда единичный касательный вектор равен

. \ [\ vec T \ left (t \ right) = \ left \ langle {\ frac {1} {{\ sqrt {10}}}, \ frac {3} {{\ sqrt {10}}} \ cos t , — \ frac {3} {{\ sqrt {10}}} \ sin t} \ right \ rangle \]

Для единичного вектора нормали теперь потребуется производная единичного тангенса и его величина.2} t} = \ sqrt {\ frac {9} {{10}}} = \ frac {3} {{\ sqrt {10}}} \ end {align *} \]

Тогда единичный вектор нормали равен

. \ [\ vec N \ left (t \ right) = \ frac {{\ sqrt {10}}} {3} \ left \ langle {0, — \ frac {3} {{\ sqrt {10}}} \ sin t, — \ frac {3} {{\ sqrt {10}}} \ cos t} \ right \ rangle = \ left \ langle {0, — \ sin t, — \ cos t} \ right \ rangle \]

Наконец, бинормальный вектор равен

. \ [\ begin {align *} \ vec B \ left (t \ right) & = \ vec T \ left (t \ right) \ times \ vec N \ left (t \ right) \\ & = \ left | {\ begin {array} {* {20} {c}} {\ vec i} & {\ vec j} & {\ vec k} \\ {\ frac {1} {{\ sqrt {10}}}} & {\ frac {3} {{\ sqrt {10}}} \ cos t} & {- \ frac {3} {{\ sqrt {10}}} \ sin t} \\ 0 & {- \ sin t} & {- \ cos t} \ end {array}} \ right | \, \, \, \, \, \ begin {array} {* {20} {c}} {\ vec i} & {\ vec j } \\ {\ frac {1} {{\ sqrt {10}}}} и {\ frac {3} {{\ sqrt {10}}} \ cos t} \\ 0 & {- \ sin t} \ end {array} \\ & = — \ frac {3} {{\ sqrt {10}}} {\ cos ^ 2} t \, \ vec i — \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} \ sin t \, \ vec k + \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} \ cos t \, \, \ vec j — \ frac {3} {{\ sqrt {10}}} {\ sin ^ 2} t \, \ vec i \\ & = — \ frac {3} {{\ sqrt {10}}} \, \ vec i + \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} \ cos t \, \, \ vec j — \ frac {1} {{\ sqrt {10}}} \ sin t \, \, \ vec k \ end {align *} \]

Матричных уравнений

В этом разделе мы представляем очень краткий способ записи системы линейных уравнений: Ax = b.Здесь A — матрица, а x, b — векторы (обычно разного размера), поэтому сначала мы должны объяснить, как умножить матрицу на вектор.

Когда мы говорим «A — это матрица размера m × n», мы имеем в виду, что A имеет m строк и n столбцов.

Определение

Пусть A — матрица размера m × n со столбцами v1, v2, …, vn:

A = C ||| v1v2 ··· vn ||| D

Произведение элемента A с вектором x в Rn является линейной комбинацией

Ax = C ||| v1v2 ··· vn ||| DEIIGx1x2 … xnFJJH = x1v1 + x2v2 + ··· + xnvn.

Это вектор в Rm.

Чтобы Ax имел смысл, количество элементов x должно быть таким же, как количество столбцов A: мы используем элементы x как коэффициенты столбцов A в линейной комбинации. Результирующий вектор имеет то же количество записей, что и количество строк A, поскольку каждый столбец A имеет такое же количество записей.

Если A — матрица размера m × n (m строк, n столбцов), то Ax имеет смысл, когда x имеет n элементов. В продукте Ax есть m записей.

Свойства произведения матрица-вектор

Пусть A — матрица размера m × n, пусть u, v — векторы в Rn, и пусть c — скаляр. Тогда:

Определение

Матричное уравнение — это уравнение вида Ax = b, где A — матрица размера m × n, b — вектор в Rm, а x — вектор, коэффициенты которого x1, x2, …, xn неизвестны. .

В этой книге мы изучим два дополнительных вопроса о матричном уравнении Ax = b:

  1. При конкретном выборе b, каковы все решения Ax = b?
  2. Каковы все варианты b, чтобы Ax = b было непротиворечивым?

Первый вопрос больше похож на вопросы, к которым вы, возможно, уже привыкли из своих предыдущих курсов алгебры; у вас много практики в решении таких уравнений, как x2−1 = 0 для x.Второй вопрос — это, возможно, новая концепция для вас. Теорема о рангах из раздела 2.9, который является кульминацией этой главы, говорит нам, что эти два вопроса тесно связаны.

Мы будем свободно перемещаться между четырьмя способами написания линейной системы снова и снова до конца книги.

Другой способ вычисления Ax

Приведенное выше определение является полезным способом определения произведения матрицы на вектор, когда дело доходит до понимания взаимосвязи между матричными уравнениями и векторными уравнениями.Здесь мы даем определение, которое лучше приспособлено к вычислениям вручную.

Определение

Вектор-строка — это матрица с одной строкой. Произведение вектора-строки длины n и вектора (столбца) длины n равно

Aa1a2 ··· anBEIIGx1x2 … xnFJJH = a1x1 + a2x2 + ··· + тревога.

Это скаляр.

Рецепт: правило строки-столбца для умножения матрицы на вектор

Если A — матрица размера m × n со строками r1, r2, …, rm, а x — вектор в Rn, то

Ax = EIIG — r1 —— r2—…— rm — FJJHx = EIIGr1xr2x … rmxFJJH.

Пусть A — матрица со столбцами v1, v2, …, vn:

A = C ||| v1v2 ··· vn ||| D.

Затем

Ax = bhasisolution⇐⇒thereexistx1, x2, …, x означают такие, что AEIIGx1x2 … xnFJJH = b⇐⇒thereexistx1, x2, …, xns такие, чтоx1v1 + x2v2 + ··· + xnvn = b⇐⇒visalinearcombination , vn⇐⇒бисинтэпаноб столбцов A.

Интервалы и согласованность

Матричное уравнение Ax = b имеет решение тогда и только тогда, когда b находится в промежутке между столбцами A.

Это дает эквивалентность между алгебраическим оператором (Ax = b согласован) и геометрическим заявление (b находится в промежутке столбцов A).

Когда решения существуют всегда

Основываясь на этом примечании, у нас есть следующий критерий того, когда Ax = b согласуется для при каждом выборе b.

Теорема

Пусть A — матрица размера m × n (без дополнений). Следующие эквиваленты:

  1. Ax = b имеет решение для всех b в Rm.
  2. Пролет столбцов A равен Rm.
  3. У A есть точка поворота в каждом ряду.
Доказательство

Эквивалентность 1 и 2 устанавливается данным примечанием применительно к каждому b в Rm.

Теперь покажем, что 1 и 3 эквивалентны. (Поскольку мы знаем, что 1 и 2 эквивалентны, это означает, что 2 и 3 также эквивалентны.) Если A имеет точку поворота в каждой строке, то его сокращенная форма эшелона строк выглядит следующим образом:

C10A0A01A0A0001AD,

и, следовательно, AAbB сводится к этому:

Нет b, который делает его непоследовательным, поэтому всегда есть решение. И наоборот, если A не имеет точки поворота в каждой строке, то его уменьшенная форма эшелона строки выглядит следующим образом:

C10A0A01A0A00000D,

, что может привести к возникновению противоречивой системы после увеличения на b:

Напомним, что эквивалент означает, что для любой данной матрицы A либо все условий приведенной выше теоремы истинны, либо все они ложны.

Будьте внимательны при чтении утверждения приведенной выше теоремы. Первые два условия очень похожи на эту заметку, но логически они сильно различаются из-за квантификатора « для всех b».

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *