Формула векторного произведения: Как найти векторное произведение векторов? Ответ на webmath.ru — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Калькулятор Векторного Произведения | Примеры И Формулы

Чтобы определить перекрестное произведение нового вектора, вам необходимо ввести в калькулятор значения x, y и z двух векторов.

Формула расчета перекрестных произведений

Формула для вычисления нового вектора векторного произведения двух векторов следующая:

Где θ — угол между a и b в плоскости, содержащей их. (Всегда от 0 до 180 градусов)

‖A‖ и ‖b‖ — модули векторов a и b

и n — единичный вектор, перпендикулярный a и b.

В терминах векторных координат мы можем упростить приведенное выше уравнение до следующего:

a x b = (a2*b3-a3*b2, a3*b1-a1*b3, a1*b2-a2*b1)

Где a и b — векторы с координатами (a1, a2, a3) и (b1, b2, b3).

Направление результирующего вектора можно определить с помощью правила правой руки.

Определение перекрестного продукта

Перекрестное произведение, также известное как векторное произведение, представляет собой математическую операцию. При работе с перекрестным произведением результатом перекрестного произведения двух векторов является новый вектор, перпендикулярный обоим векторам. Величина этого нового вектора равна площади параллелограмма со сторонами двух исходных векторов.

Перекрестное произведение не следует путать с скалярным произведением. Скалярное произведение — это более простая алгебраическая операция, которая возвращает одно число, а не новый вектор.

Как рассчитать векторное произведение двух векторов

Вот пример вычисления перекрестного произведения для двух векторов.

Во-первых, нужно собрать два вектора: вектор A и вектор B. В этом примере мы предположим, что вектор A имеет координаты (2, 3, 4), а вектор B имеет координаты (3, 7, 8).

После этого мы используем упрощенное уравнение выше, чтобы вычислить результирующие векторные координаты векторного произведения.

Наш новый вектор будет обозначен как C, поэтому сначала нам нужно найти координату X. Используя приведенную выше формулу, мы находим X равным -4.

Используя тот же метод, мы затем находим y и z равными 0,4 и 5 соответственно.

Наконец, у нас есть наш новый вектор из перекрестного произведения X b из (-4, -4,5)

Важно помнить, что перекрестное произведение является антикоммутативным, что означает, что результат a X b не совпадает с результатом b X a. По факту:

a X b = -b X a.

Что такое кросс-продукт?

Перекрестное произведение — это векторное произведение, перпендикулярное обоим исходным векторам и имеющее одинаковую величину.

Калькулятор Векторного Произведения русский

Опубликовано: Sun Jul 04 2021

В категории Математические калькуляторы

Добавьте Калькулятор Векторного Произведения на свой сайт

вектор на вектор произведение

Вы искали вектор на вектор произведение? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и векторного произведения векторов свойства, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «вектор на вектор произведение».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как вектор на вектор произведение,векторного произведения векторов свойства,векторного произведения векторов формула,векторного произведения формула,векторное,векторное произведение,векторное произведение 2 векторов,векторное произведение в координатах,векторное произведение в координатной форме,векторное произведение векторов,векторное произведение векторов в координатах формула,векторное произведение векторов в координатной форме,векторное произведение векторов и его свойства,векторное произведение векторов как найти,векторное произведение векторов определение,векторное произведение векторов примеры,векторное произведение векторов примеры решения,векторное произведение векторов свойства,векторное произведение векторов трех,векторное произведение векторов формула,векторное произведение векторов формула в координатах,векторное произведение векторов формулы,векторное произведение векторов через координаты,векторное произведение векторов это,векторное произведение двух векторов,векторное произведение двух векторов это вектор который,векторное произведение как найти,векторное произведение на плоскости,векторное произведение определение,векторное произведение по координатам,векторное произведение примеры,векторное произведение свойства,векторное произведение трех векторов,векторное произведение формула,векторное произведение через координаты,векторное произведение через координаты векторов,векторное произведение это,векторные произведения,вычислить векторное произведение векторов,геометрический смысл векторного произведения,как вычислить векторное произведение двух векторов,как найти векторное произведение,как найти векторное произведение векторов,как найти модуль векторного произведения,как найти площадь треугольника через векторное произведение,как найти произведение векторов,координаты векторного произведения,модуль векторного произведения,модуль векторного произведения векторов,модуль векторного произведения как найти,найти векторное произведение,найти модуль векторного произведения,определение векторного произведения,определение векторное произведение,определение векторное произведение векторов,площадь параллелограмма векторное произведение,площадь параллелограмма через векторное произведение,площадь треугольника через векторное произведение,примеры векторное произведение,примеры векторное произведение векторов,произведение вектор на вектор,произведение вектора на вектор,произведение векторов,произведение векторов формула,произведение векторов через координаты,произведения векторов,произведения векторов формула,свойства векторного произведения,свойства векторного произведения векторов,свойства векторное произведение,свойства векторное произведение векторов,свойства векторов векторного произведения,свойство векторного произведения,формула векторного произведения,формула векторного произведения векторов,формула произведения векторов. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и вектор на вектор произведение. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, векторного произведения векторов формула).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вектор на вектор произведение Онлайн?

Решить задачу вектор на вектор произведение вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.

Векторным произведениемвектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от a к b вокруг вектора c осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора c (рис. 1).

рис. 1

Формулы вычисления векторного произведения векторов

Векторное произведениедвух векторов a = {a_x; a_y; a_z} и b = {b_x; b_y; b_z} в декартовой системе координат — это вектор, значение которого можно вычислить, используя следующие формулы:

a × b =	i	j	k	= i(a_yb_z — a_zb_y) — j(a_xb_z — a_zb_x) + k(a_xb_y — a_yb_x)
	a_x	a_y	a_z
	b_x	b_y	b_z

a × b = {a_yb_z— a_zb_y; a_zb_x— a

xb_z; a_xb_y— a_yb_x}

Свойства векторного произведения векторов

Модуль векторного произведения двух векторов a и b равен площади параллелограмма построенного на этих векторах:

S_парал= a × b]

Площадь треугольника построенного на векторах a и b равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

Векторное произведения двух не нулевых векторов a и b равно нулю тогда и только тогда, когда вектора коллинеарны.
Вектор c, равный векторному произведению не нулевых векторов a и b, перпендикулярен этим векторам.
a × b = -b × a

(k a) × b = a × (k b) = k (a × b)
(a + b) × c = a × c + b × c

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

Смешанным произведением некомпланарныхвекторов,взятых в данном порядке, называетсяобъём параллелепипеда, построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базисправый, и знаком «–», если базислевый.

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей (не меняется ни объем параллелепипеда, ни ориентация его ребер): .

2. Смешанное произведение не меняетсязнаков векторного и скалярного умножения:, поэтому смешанное произведение записывают.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене любых двух вектор-сомножителей: ,.

4. Смешанное произведение ненулевых векторов ,иравно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны:,, – компланарны.

Доказательство. Предположим, что векторы ,и– не компланарны. Тогда можно построить параллелепипед имеющий объем, т.е., но это противоречит условию, согласно которого,. Следовательно, векторы,и– компланарны.

Обратно, пусть ,и– компланарны. Тогда вектори перпендикулярен плоскости, в которой находятся векторы,и, значит, он перпендикулярен любому вектору, лежащему в этой плоскости, напримерЭто значит, что .

Смешанное произведение векторов, заданных своими проекциями в декартовой системе координат.

Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат:

, и.

Найдем их смешанное произведение, используя выражения в координатах для векторного и скалярного произведений:

Итак,

Приложения смешанного произведения:

1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.

Если ,и– правая тройка, еслилевая.

2. Установление компланарности векторов:

(  (,, – компланарны).

3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды (тетраэдра):

, .

Пример. Компланарны ли векторы ,и, если .

Решение. Вычислим смешанное произведение векторов:

векторы ,ине компланарны.

Пример. Доказать, что векторы ,икомпланарны.

Решение. Рассмотрим матрицу, составленную из координат векторов ,и

, т. к. определитель матрицы равен нулю, то векторы линейно зависимы, следовательно они компланарны.

Пример. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершинына грань, если

Решение. Найдем координаты векторов:

, ,.

Вычислим объем:

Поскольку объем тетраэдра , то высота.

Вычислим площадь основания тетраэдра

Итак, высота .

Формула (3) называется координатным выражением векторного произведения

Замечание. Если требуется найти векторное произведение векторов , то сначала векторы переносят в пространство :

, а затем используют формулу (3), которая в данном случае дает:

Пример 5. Найти , если .

Решение. . Координаты вектора найдем с помощью формулы (3).

Пример 6. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах .

Решение. Сначала найдем векторное произведение .

Теперь воспользуемся геометрическим смыслом векторного произведения, по которому длина вектора равна искомой площади параллелограмма на векторах , т.е.

Пример 7. Найти площадь треугольника на плоскости с вершинами в точках .

Решение. Рассмотрим векторы . Найдем их векторное произведение .

Площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах . Следовательно, .

Пример 8. Найти координаты орта , перпендикулярного одновременно векторам и такого, чтобы тройка была правой.

Решение. Сначала с помощью формулы (3) найдем вектор .

Согласно определению вектор перпендикулярен одновременно векторам и тройка

— правая. Проверим перпендикулярность пар векторов: и , используя условие ортогональности векторов (см. Занятие 6.)

1) . .

2) . .

Искомый орт получается нормировкой вектора . . .

Пример 9. Сформулировать условие коллинеарности векторов с помощью векторного произведения.

Решение.

1). Если , то угол между и равен 0 или . Рассмотрим .

Согласно требованию 3 и указанным значениям угла из определения векторного произведения выводим: .

2). Рассмотрим теперь векторное равенство . В силу определения векторного произведения (достаточно использовать требование 3) из этого векторного равенства получаем следующие три возможности: а) ; б) ; в) , т.е. или . Т.к. нулевой вектор параллелен любому вектору, то все три случая а), б), в) приводят к выводу: .

Таким образом, условие коллинеарности можно записать в виде: .

Отсюда, как следствие получаем: .

7.4. Смешанное произведение: определение; свойства; координатное выражение. Условие компланарности тройки векторов.

Смешанное произведение определено на трех векторах . Обозначим его .

Определение. . Таким образом, смешанное произведение векторов представляет векторное произведение векторов , умноженное затем скалярно на вектор . Результатом смешанного произведения векторов будет число.

Свойства смешанного произведения.

Перестановки векторов: называются циклическими.

Свойства , означают, что смешанное произведение векторов не меняется после циклической перестановки векторов и изменяет свое значение на противоположное при нециклических перестановках векторов.

Если векторы заданы координатами , то смешанное произведение находится по формуле

. (4)

Эта формула дает координатное выражение смешанного произведения .

Смешанное произведение имеет следующий геометрический смысл:

1. Если тройка векторов — правая, то смешанное произведение равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ;

2. Если же тройка — левая, то , где — объем параллелепипеда на векторах .

Указанный геометрический смысл смешанного произведения векторов приводит к следующей формулировке условия компланарности системы из трех векторов :

. (5)

Пример 10. Вычислить , если .

Решение. Согласно координатному выражению (4) находим

Заметим, что полученный результат позволяет также сказать, что

1) тройка — левая (т.к. ) и

2) объем параллелепипеда на векторах равен 19.

Пример 11. Найти объем пирамиды с вершинами .

Решение. Рассмотрим векторы .

Найдем их смешанное произведение.

Следовательно, объем параллелепипеда на векторах равен 45. Объем пирамиды составляет одну шестую объема . Таким образом, .

Пример 12. Выяснить, лежат ли точки

на одной плоскости.

Решение. Четыре произвольно выбранные точки в общем случае не лежат одной плоскости. Для того, чтобы заданные четыре точки оказались на одной плоскости нужно, чтобы тройка векторов была компланарной. Условие компланарности : .

— не компланарны

заданные точки не лежат на одной плоскости.

____________________________________________________________________________

Домашнее задание.

1. Найти координаты вектора , удовлетворяющего следующим условиям:

а) ; б) ; в) — левая тройка, если .

2. Вычислить площадь треугольника с вершинами .

3. Найти объем пирамиды с вершинами .

4. При каком значении параметра точки лежат в одной плоскости?

Формула для векторного произведения векторов

Через проекции перемножаемых векторов.

Запишем вектора и в декартовом базисе:

и .

Для доказательства формулы теоремы составим таблицу векторных произведений ортов осей

Используя эту таблицу, вычислим векторное произведение векторов и :

Отсюда следует, что ; ; . Для запоминания этих формул существует мнемоническое правило: надо запомнить переход проекций от одной к другой ; для нахождения, например проекции , надо взять компоненту первого вектора и умножить на компоненту второго вектора, а затем вычесть их произведение, обменяв местами обозначение компонент. С другой стороны, полученную формулу можно записать в виде

Полученное выражение представляет собой раскрытие определителя III порядка по элементам первой строки, т. е. .

Пример 1. Найти, при каком значении параметра вектор колли-неарен вектору .

Согласно свойству 4 для векторного произведения найдем векторное произведение заданных векторов

= .

Так как вектор должен быть нулевым, то все его проекции должны быть рав-ными нулю, следовательно, .

Пример 2. Найти векторное произведение векторов и .

= .

Приложения векторного произведения.

1. Физика. Пусть точка начала вектора закреплена, а к его концу приложена сила , тогда момент этой силы будет равен (рис. 11).

Рис. 11. Момент силы .

2. Геометрия. Даны три точки , и . Требуется вычислить площадь треугольника (рис. 14). Введем в рассмотрение вектора и .

Рис. 12. Площадь треугольника .

Проекции векторов равны и .

Так как площадь треугольника составляет половину от площади параллелограмма, площадь которого равна модулю векторного произведения векторов и , то

Пример 3. Даны три точки , и . Вычислить площадь треугольника .

Введем в рассмотрение вектора и , вычислим их векторное произведение

= .

Следовательно, площадь треугольника равна .

3. Тригонометрия. Выведем формулу для .

Пусть в плоской декартовой системе координат даны вектора и , которые образуют с положительным направлением оси углы и , соответственно (рис. 13).

Рис. 13. Синус суммы двух углов.

Проекции векторов равны

и .

Используя формулу для векторного произведения векторов и свойство 4 для определителей, получим . Раскрыв этот определитель по элементам третьего столбца, получим . Длина этого вектора равна . С другой стороны, по определению векторного произведения его длина равна . Сравнивая две полученные формулы, получаем формулу для синуса суммы двух углов. В частности, при получаем, что .

Что векторное произведение. Векторное произведение

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Векторное произведение не обладает свойствами коммутативности и ассоциативности (является антикоммутативным) и, в отличие от скалярного произведения векторов, является вектором. Широко используется во многих технических и физических приложениях. Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются в виде векторного произведения. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны либо антипараллельны.

Определить векторное произведение можно по-разному, и теоретически, в пространстве любой размерности n можно вычислить произведение n-1 векторов, получив при этом единственный вектор, перпендикулярный к ним всем. Но если произведение ограничить нетривиальными бинарными произведениями с векторным результатами, то традиционное векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространствах. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.

В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

Определение:
Векторным произведением вектора a на вектор b в пространстве R 3 называется вектор c , удовлетворяющий следующим требованиям:
длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ между ними:
|c|=|a||b|sin φ;
вектор c ортогонален каждому из векторов a и b;
вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой;
в случае пространства R7 требуется ассоциативность тройки векторов a,b,c.
Обозначение:
c===a × b

Рис. 1. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения

Геометрические свойства векторного произведения :
Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух ненулевых векторов является равенство нулю их векторного произведения.

Модуль векторного произведения равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b (см. рис.1).

Если e — единичный вектор, ортогональный векторам a и b и выбранный так, что тройка a,b,e — правая, а S — площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула:
=S e

Рис.2. Объём параллелепипеда при использовании векторного и скалярного произведения векторов; пунктирные линии показывают проекции вектора c на a × b и вектора a на b × c, первым шагом является нахождение скалярных произведений

Если c — какой-нибудь вектор, π — любая плоскость, содержащая этот вектор, e — единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c,g — единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула:
=Pr e a |c|g
где Pr e a проекция вектора e на a
|c|-модуль вектора с

При использовании векторного и скалярного произведений можно высчитать объём параллелепипеда, построенного на приведённых к общему началу векторах a, b и c . Такое произведение трех векторов называется смешанным.
V=|a (b×c)|
На рисунке показано, что этот объём может быть найден двумя способами: геометрический результат сохраняется даже при замене «скалярного» и «векторного» произведений местами:
V=a×b c=a b×c

Величина векторного произведения зависит от синуса угла между изначальными векторами, поэтому векторное произведение может восприниматься как степень «перпендикулярности» векторов также, как и скалярное произведение может рассматриваться как степень «параллельности». Векторное произведение двух единичных векторов равно 1 (единичному вектору), если изначальные векторы перпендикулярны, и равно 0 (нулевому вектору), если векторы параллельны либо антипараллельны.

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
Если два вектора a и b определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а говоря точнее — представлены в ортонормированном базисе
a=(a x ,a y ,a z)
b=(b x ,b y ,b z)
а система координат правая, то их векторное произведение имеет вид
=(a y b z -a z b y ,a z b x -a x b z ,a x b y -a y b x)
Для запоминания этой формулы:
i =∑ε ijk a j b k
где ε ijk — символ Леви-Чивиты.

Угол между векторами

Для того чтобы мы могли ввести понятие векторного произведения двух векторов, нужно сначала разобраться с таким понятие, как угол между этими векторами.

Пусть нам даны два вектора $\overline{α}$ и $\overline{β}$. Возьмем в пространстве какую-либо точку $O$ и отложим от нее векторы $\overline{α}=\overline{OA}$ и $\overline{β}=\overline{OB}$, тогда угол $AOB$ будет называться углом между этими векторами (рис. 1).

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Определение 1

Векторным произведением двух векторов называется вектор, перпендикулярный обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

$|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{α},\overline{β})$
$\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$
$(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис. 2)

Очевидно, что внешнее произведение векторов будет равняться нулевому вектору в двух случаях:

Если длина одного или обоих векторов равняется нулю.\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Ответ: $12$.

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Из определения 1 сразу же вытекает и способ нахождения векторного произведения для двух векторов. Поскольку вектор кроме значения имеет еще и направление, находить его только при помощи скалярной величины невозможно. Но помимо него существует еще способ нахождения с помощью координат данных нам векторов.

Пусть нам даны векторы $\overline{α}$ и $\overline{β}$, которые будут иметь координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно. Тогда вектор векторного произведения (а именно его координаты) можно найти по следующей формуле:

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Пример 2

Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение .

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\0&3&3\\-1&2&6\end{vmatrix}=(18-6)\overline{i}-(0+3)\overline{j}+(0+3)\overline{k}=12\overline{i}-3\overline{j}+3\overline{k}=(12,-3,3)$

Ответ: $(12,-3,3)$.

Свойства векторного произведения векторов

Для произвольных смешанных трех векторов $\overline{α}$, $\overline{β}$ и $\overline{γ}$, а также $r∈R$ справедливы следующие свойства:

Пример 3

Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.

Решение .

Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):

Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$. j ;

2) |k |=1, но | i x j | = |i | |J | sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Векторы а хb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а , b , а хb и a , b , b x a противоположной ориентации). Стало быть a xb = -(b xa ).

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. l (а хb ) = (l а ) х b = а х (l b ).

Пусть l >0. Вектор l (а хb ) перпендикулярен векторам а и b . Вектор ( l а )хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а , l а лежат в одной плоскости). Значит, векторы l (а хb ) и ( l а )хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину:

Поэтому l (a хb )= l а хb . Аналогично доказывается при l

3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а ||b а хb =0 .

В частности, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a +b ) хс = а хс +b хс .

Примем без доказательства.

7.3. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус».

Пусть заданы два вектора а =а х i +a y j +a z k и b =b x i +b y j +b z k . Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения):

Полученную формулу можно записать еще короче:

так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается.

7.4. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Согласно определению векторного произведения векторов а и b |а хb | = |а | * |b |sin g , т. е. S пар = |а х b |. И, значит, D S =1/2|а х b |.

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

Из физики известно, что моментом си лы F относительно точки О называется вектор М , который проходит через точку О и:

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В .

Стало быть, М =ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения

Скорость v точки М твердого тела, вращающегося с угловой скоростью w вокруг неподвижной оси, определяется формулой Эйлера v =w хr , где r =ОМ , где О-некоторая неподвижная точка оси (см. рис. 21).

Когда векторное произведение равно 0. Векторное произведение векторов

Использование векторного произведения ВЕКТОРОВ

для вычисления площади

некоторых геометрических фигур

Исследовательская работа по математике

Ученика 10 Б класса

МОУ СОШ №73

Перевозникова Михаила

Руководители:

Ассистент каф. математического анализа механико-математического факультета СГУ им. Н.Г. Чернышевского Бердников Глеб Сергеевич

Саратов, 2015

Введение.

1. Теоретический обзор.

1.1. Векторы и вычисления с векторами.

1.2. Использование скалярного произведения векторов в решении задач

1.3 Скалярное произведение векторов в координатах

1.4. Векторное произведение векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве: определение понятия.

1.5. Координаты векторного произведения векторов.

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма. Выведение формулы и геометрический смысл векторного произведения векторов.

2.2. Зная только координаты точек, найти площадь треугольника. Доказательство теоремы

2.3. Проверка на примерах правильности формулы.

2.4. Практическое использование векторной алгебры и произведения векторов.

Заключение

Введение

Как известно, многие геометрические задачи имеют два ключевых способа решения – графический и аналитический. Графический метод связан с построением графиков и чертежей, а аналитический предполагает решение задач преимущественно с помощью алгебраических действий. В последнем случае алгоритм решений задач связан с аналитической геометрией. Аналитическая геометрия – это область математики, а точнее линейной алгебры, которая рассматривает решение геометрических задач средствами алгебры на основе метода координат на плоскости и в пространстве. Аналитическая геометрия позволяет анализировать геометрические образы, исследовать линии и поверхности, важные для практических приложений. При этом в этой науке для расширения пространственного понимания фигур помимо иногда применяется векторное произведение векторов.

В связи с широким распространением трехмерных пространственных технологий, изучение свойств некоторых геометрических фигур с использованием векторного произведения представляется актуальным.

В связи с этим была обозначена цель данного проекта – использование векторного произведения векторов для вычисления площади некоторых геометрических фигур.

В связи с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Теоретически изучить необходимые основы векторной алгебры и дать определение векторному произведению векторов в системе координат;

2. Проанализировать наличие связи векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма;

3. Вывести формулу площади треугольника и параллелограмма в координатах;

4. Проверить на конкретных примерах верность выведенной формулы.

1. Теоретический обзор.

Векторомназывается направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка А , концом отрезка – точка В . Сам вектор обозначен через
или . Чтобы найти координаты вектора
, зная координаты его начальной точек А и конечной точки В, необходимо из координат конечной точки вычесть соответствующие координаты начальной точки:

= { B x — A x ; B y — A y }

Коллинеарными называются векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой. При этом вектор отрезок, характеризующийся длиной и направлением.

Длина направленного отрезка определяет числовое значение вектора и называется длиной вектора или модулем вектора.

Длина вектора || в прямоугольных декартовых координатах равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.

С векторами можно совершать различные действия.

Например, сложение. Чтобы их сложить, нужно провести сначала второй вектор из конца первого, а потом соединить начало первого с концом второго (рис. 1). Суммой векторов является другой вектор с новыми координатами.

Сумму векторов = {a x ; a y } и = {b x ; b y } можно найти воспользовавшись следующей формулой:

+ = {a x + b x ; a y + b y }

Рис. 1. Действия с векторами

Вычитая векторы, нужно сначала провести их из одной точки, а потом соединить конец второго с концом первого.

Разность векторов = {a x ; a y } и = {b x ; b y } можно найти по формуле:

— = { a x — b x ; a y — b y }

Также, векторы можно умножать на число. Результатом также будет вектор, который в k раз больше (или меньше) данного. Его направление будет зависеть от знака k: при положительном k векторы сонаправлены, а при отрицательном – противоположно направлены.

Произведение вектора = {a x ; a y } и числа k можно найти воспользовавшись следующей формулой:

k · = {k · a x ; k · a y }

А можно ли умножать вектор на вектор? Конечно, и даже двумя вариантами!

Первый вариант – скалярное произведение.

Рис. 2. Скалярное произведение в координатах

Для нахождения произведения векторов можно использовать угол  между данными векторами, показанный на рисунке 3.

Из формулы следует, что скалярное произведение равно произведению длин данных векторов на косинус угла между ними, его результатом является число. Важно, что если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.к. косинус прямого угла между ними равен нулю.

В координатной плоскости вектор также имеет координаты. Вектора, их координаты и скалярное произведение являются одними из самых удобных методов вычисления угла между прямыми (или их отрезками), если введена система координат. И если координаты
, то их скалярное произведение равно:

В трехмерном пространстве существует 3 оси и, соответственно, у точек и векторов в такой системе будет по 3 координаты, а скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

1.2. Векторное произведение векторов в трехмерном пространстве.

Вторым вариантом вычисления произведения векторов является векторное произведение. Но, чтобы его определить требуется уже не плоскость, а трехмерное пространство, в котором начало и конец вектора имеют по 3 координаты.

В отличие от скалярного произведения векторов в трёхмерном пространстве операция «векторное умножение» над векторами приводит к иному результату. Если в предыдущем случае скалярного умножения двух векторов результатом было число, то в случае векторного умножения векторов результатом будет другой вектор, перпендикулярный обоим вступившим в произведение векторам. Поэтому это произведение векторов называется векторным.

Очевидно, что при построении результирующего вектора , перпендикулярного двум, вступившим в произведение — и , может быть выбрано два противоположных направления. При этом направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, или правилу буравчика.Если нарисовать векторы так, чтобы их начала совпадали и вращать первый вектор-сомножитель кратчайшим образом ко второму вектору-сомножителю, а четыре пальца правой руки показывали направление вращения (как бы охватывая вращающийся цилиндр), то оттопыренный большой палец покажет направление вектора-произведения (рис. 7).

Рис. 7. Правило правой руки

1.3. Свойства векторного произведения векторов.

Длина результирующего вектора определяется по формуле

При этом
векторное произведение. Как было сказано выше, результирующий вектор будет перпендикулярен
, а его направление определяется по правилу правой руки.

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

Векторное произведение ненулевых векторов равно 0, если они коллинеарны, тогда синус угла между ними будет равен 0.

Координаты векторов в трехмерном пространстве выражаются следующим образом: . Тогда координаты результирующего вектора находим по формуле

Длина результирующего вектора находится по формуле:

2. Практическая часть.

2.1. Связь векторного произведения с площадью треугольника и параллелограмма в плоскости. Геометрический смысл векторного произведения векторов.

Пусть нам дан треугольник ABC (рис. 8). Известно, что .

Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:

Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):

длина векторного произведения векторов равна удвоенной площади треугольника, имеющего сторонами векторы и , если их отложить от одной точки.

Другими словами, длина векторного произведения векторов и равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , со сторонами и и углом между ними, равным .

Рис. 9. Геометрический смысл векторного произведения векторов

В связи с этим, можно привести еще одно определение векторного произведения векторов:

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах и , перпендикулярный к плоскости этих векторов и направленный так, чтоб наименьшее вращение от к вокруг вектора осуществлялось против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора (рис. 10).

Рис. 10. Определение векторного произведения векторов

с использованием параллелограмма

2.2. Вывод формулы для нахождения площади треугольника в координатах.

Итак, нам дан треугольник АВС в плоскости и координаты его вершин. Найдем площадь этого треугольника (рис. 11).

Рис. 11. Пример решения задачи на нахождение площади треугольника по координатам его вершин

Решение.

Для начала, рассмотрим координаты вершин в пространстве и вычислим координаты векторов АВ и АС.

По данной прежде формуле подсчитаем координаты их векторного произведения. Длина этого вектора равна 2 площадям треугольника АВС. Площадь треугольника равна 10.

Более того, если мы рассмотрим треугольник на плоскости, то первые 2 координаты векторного произведения всегда будут равны нулю, поэтому мы можем сформулировать следующую теорему.

Теорема: Пусть дан треугольник АВС и координаты его вершин (рис. 12).

Тогда .

Рис. 12. Доказательство теоремы

Доказательство.

Рассмотрим точки в пространстве и вычислим координаты векторов ВС и ВА. . По приведенной раньше формуле вычислим координаты векторного произведения этих векторов. Обратим внимание, что все члены, содержащие z 1 или z 2, равны 0, т.к. z 1и z 2 = 0. УБРАТЬ!!!

Итак, следовательно,

2.3. Проверка правильности формулы на примерах

Найти площадь треугольника образованного векторами a = {-1; 2; -2} и b = {2; 1; -1}.

Решение: Найдем векторное произведение этих векторов:

a × b=

I(2 · (-1) — (-2) · 1) — j((-1) · (-1) — (-2) · 2) + k((-1) · 1 — 2 · 2) =

I(-2 + 2) — j(1 + 4) + k(-1 — 4) = -5 j — 5 k = {0; -5; -5}

Из свойств векторного произведения:

SΔ =

| a × b| =

√ 02 + 52 + 52 =

√ 25 + 25 =

√ 50 =

5√ 2

Ответ: SΔ = 2.5√2.

Заключение

2.4. Приложения векторной алгебры

и скалярного и векторного произведения векторов.

Где же нужны векторы? Векторное пространство и векторы носят не только теоретический характер, но и имеют вполне реальное практическое применение в современном мире.

В механике и физике многие величины имеют не только численное значение, но и направление. Такие величины называются векторными. Вместе с использованием элементарных механических понятий, опираясь на их физический смысл, многие величины рассматриваются как скользящие векторы, а их свойства описываются как аксиомами, как это принято в теоретической механике, так и при помощи математических свойств векторов. Наиболее яркими примерами векторных величин являются скорость, импульс и сила (рис. 12). Например, момент импульса и сила Лоренца математически записываются с помощью векторов.

В физике важны не только сами вектора, но в большой степени важны и их произведения, которые помогают вычислять некоторые величины. Векторное произведение полезно для определения коллинеарности векторов модуль векторного произведения двух векторов равен произведению их модулей, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы сонаправленны или противоположно направленны.

Еще один пример: скалярное произведение используется для вычисления работы по приведенной ниже формуле, где F – вектор силы, а s – вектор перемещения.

Одним из примеров использования произведения векторов является момент силы, равный произведению радиус-вектора, проведенного от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы.

Многое из того, что вычисляется в физике по правилу правой руки является векторным произведением. Найти подтверждения, привести примеры.

Стоит еще заметить, что двухмерным и трехмерным пространством не исчерпываются возможные варианты векторных пространств. Высшая математика рассматривает пространства большей размерности, в которых также определяются аналоги формул для скалярного и векторного произведения. Несмотря на то, что пространства большей размерности, чем 3, человеческое сознание неспособно представить визуально, они удивительным образом находят себе приложения во многих областях науки и промышленности.

В то же время результатом векторного произведения векторов в трёхмерном Евклидовом пространстве является не число, а результирующий вектор со своими координатами, направлением и длиной.

Направление результирующего вектора определяется по правилу правой руки, что является одним из самых удивительных положений аналитической геометрии.

Векторное произведение векторов может быть использовано в нахождении площади треугольника или параллелограмма по заданным координатам вершин, что было подтверждено выведением формулы, доказательством теоремы и решением практических задач.

Векторы широко используются в физике, где такие показатели как скорость, импульс и сила могут быть представлены в виде векторных величин и вычисляются геометрически.

Список использованных источников

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 7-9 классы: учебник для общеобразовательных организаций. М.: , 2013. 383 с.

Атанасян Л.С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных организаций: базовый и профильный уровни. М.: , 2013. 255 с.

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, Физматлит, 1998.

Аналитическая геометрия.

Математика. Клевер.

Изучение математики онлайн.

http://ru.onlinemschool.com/math/library/vector/multiply1/

Сайт В. Глазнева.

http://glaznev.sibcity.ru/1kurs/analit/common/html/anlek7.htm

Википедия.

https://ru.wikipedia.org/wiki/%C2%E5%EA%F2%EE%F0%ED%EE%E5_%EF%F0%EE%E8%E7%E2%E5%E4%E5%ED%E8%E5

Угол между векторами

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Определение 1

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

$|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{α},\overline{β})$
$\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$

$(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис.\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Ответ: $12$.

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Пример 2

Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение .

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

Ответ: $(12,-3,3)$.

Свойства векторного произведения векторов

Пример 3

Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.

Решение .

Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):

Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Видим, что две стороны этого параллелограмма построены с помощью коллинеарных векторов с координатами $\overline{α}=(3,0,0)$ и $\overline{β}=(0,8,0)$.2}=24$

Очевидно, что в случае векторного произведения, имеет значение порядок, в котором берутся вектора, более того,

Так же, непосредственно из определения следует, что для любого скалярного множителя k (числа) верно следующее:

Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулевому вектору. Более того, векторное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они коллинеарны. (В случае, если один из них нулевой вектор необходимо вспомнить, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору по определению).

Векторное произведение обладает распределительным свойством , то есть

Выражение векторного произведения через координаты векторов.

Пусть даны два вектора

(как найти координаты вектора по координатам его начала и конца — см. статью Скалярное произведение векторов , пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Зачем нужно векторное произведение?

Существует множество способов применения векторного произведения, например, как уже написано выше, вычислив векторное произведение двух векторов можно выяснить, коллинеарны ли они.

Или же его можно использовать как способ вычисления площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Исходя из определения, длина результирующего вектора и есть площадь данного параллелограмма.

Также огромное количество применений существует в электричестве и магнетизме.

Он-лайн калькулятор векторного произведения.

Чтобы найти скалярное произведение двух векторов с помощью данного калькулятора, нужно ввести в первую строку по порядку координаты первого вектора, во вторую- второго. Координаты векторов могут быть вычислены по координатам их начала и конца (см. статью Скалярное произведение векторов , пункт Альтернативное определение скалярного произведения, или вычисление скалярного произведения двух векторов, заданных своими координатами. )

Угол между векторами

Обозначение: $∠(\overline{α},\overline{β})$

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Определение 1

Обозначение: $\overline{α}х\overline{β}$.

Математически это выглядит следующим образом:

$|\overline{α}х\overline{β}|=|\overline{α}||\overline{β}|sin⁡∠(\overline{α},\overline{β})$
$\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{α}$, $\overline{α}х\overline{β}⊥\overline{β}$

$(\overline{α}х\overline{β},\overline{α},\overline{β})$ и $(\overline{i},\overline{j},\overline{k})$ одинаково ориентированы (рис.\circ=4\cdot 3\cdot 1=12$

Ответ: $12$.

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

$\overline{α}х\overline{β}=\begin{vmatrix}\overline{i}&\overline{j}&\overline{k}\\α_1&α_2&α_3\\β_1&β_2&β_3\end{vmatrix}$

Иначе, раскрывая определитель, получим следующие координаты

$\overline{α}х\overline{β}=(α_2 β_3-α_3 β_2,α_3 β_1-α_1 β_3,α_1 β_2-α_2 β_1)$

Пример 2

Найти вектор векторного произведения коллинеарных векторов $\overline{α}$ и $\overline{β}$ с координатами $(0,3,3)$ и $(-1,2,6)$.

Решение .

Воспользуемся формулой, приведенной выше. Получим

Ответ: $(12,-3,3)$.

Свойства векторного произведения векторов

Пример 3

Найдите площадь параллелограмма, вершины которого имеют координаты $(3,0,0)$, $(0,0,0)$, $(0,8,0)$ и $(3,8,0)$.

Решение .

Вначале изобразим данный параллелограмм в координатном пространстве (рис.5):

Рисунок 5. Параллелограмм в координатном пространстве. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

2) |k |=1, но | i x j | = |i | |J | sin(90°)=1;

3) векторы i , j и k образуют правую тройку (см. рис. 16).

7.2. Свойства векторного произведения

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19).

Поэтому l (a хb )= l а хb . Аналогично доказывается при l

В частности, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a +b ) хс = а хс +b хс .

Примем без доказательства.

7.3. Выражение векторного произведения через координаты

Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i , j и k :

Полученную формулу можно записать еще короче:

7.4. Некоторые приложения векторного произведения

Установление коллинеарности векторов

Нахождение площади параллелограмма и треугольника

Определение момента силы относительно точки

Пусть в точке А приложена сила F =АВ и пусть О — некоторая точка пространства (см. рис. 20).

1) перпендикулярен плоскости, проходящей через точки О, А, В;

2) численно равен произведению силы на плечо

3) образует правую тройку с векторами ОА и A В .

Стало быть, М =ОА х F .

Нахождение линейной скорости вращения

Главная » Оборудование » Когда векторное произведение равно 0. Векторное произведение векторов

Statics: Cross Products

Интерактивная диаграмма.

Перекрестное произведение вектора — это математическая операция, применяемая к двум векторам, которая в результате дает третий взаимно перпендикулярный вектор. Его иногда называют векторным произведением , чтобы подчеркнуть это и отличить его от скалярного произведения, которое дает скалярное значение. Символ \ (\ times \) используется для обозначения этой операции.

Перекрестные произведения используются в механике для определения момента силы относительно точки.

Перекрестное произведение — это процесс умножения векторов, определенный в

\ begin {уравнение} \ vec {A} \ times \ vec {B} = A \; Б \ грех \ тета \; \ hat {\ vec {u}} \ text {.} \ label {cross-product-def} \ tag {2.8.1} \ end {уравнение}

В результате получается вектор, взаимно перпендикулярный первым двум, со смыслом, определяемым правилом правой руки. Если \ (\ vec {A} \) и \ (\ vec {B} \) находятся в плоскости \ (xy \), это

\ begin {уравнение} \ vec {A} \ times \ vec {B} = (A_y B_x — A_x B_y) \ \ khat \ text {.} \ label {cross-product-det} \ tag {2.8.2} \ end {уравнение}

Операция не коммутативная, по сути

\ begin {уравнение *} \ vec {A} \ times \ vec {B} = — \ vec {B} \ times \ vec {A} \ text {.} \ end {уравнение *}

Величина векторного произведения — это произведение перпендикулярной составляющей \ (\ vec {A} \) на величину \ (\ vec {B}, \), которая также является площадью параллелограмма, образованного векторами \ (\ vec {A} \) и \ (\ vec {B} \ text {.} \) Величина векторного произведения равна нулю, если \ (\ vec {A} \) и \ (\ vec {B} \ ) параллельны, и максимально, когда они перпендикулярны.

Обратите внимание, что все члены в уравнении перекрестного произведения аналогичны членам скалярного произведения, за исключением того, что используется \ (\ sin \), а не \ (\ cos \), а произведение включает единичный вектор \ (\ hat { \ vec {u}} \) превращая результат в вектор. Этот единичный вектор \ (\ hat {\ vec {u}} \) легко найти в двумерной задаче, поскольку он всегда будет перпендикулярен странице, но для трехмерных перекрестных произведений рекомендуется использовать вектор Обсуждаемый здесь детерминантный метод.

Подраздел 2.8.1 Взаимное произведение произвольных векторов

Перекрестное произведение двух трехмерных векторов может быть вычислено путем оценки определителя этой матрицы \ (3 \ times 3 \).

\ begin {уравнение} \ vec {A} \ times \ vec {B} = \ begin {vmatrix} \ ihat \ amp \ jhat \ amp \ khat \\ A_x \ amp A_y \ amp A_z \\ B_x \ amp B_y \ amp B_z \ end {vmatrix} \ label {cross-product-1} \ tag {2.8.3} \ end {уравнение}

Здесь первая строка — это единичные векторы, вторая строка — компоненты \ (\ vec {A} \), а третья строка — компоненты \ (\ vec {B} \ text {.} \)

Вычисление определителя \ (3 \ times 3 \) можно свести к вычислению трех определителей \ (2 \ times 2 \) с использованием метода сомножителей, как показано ниже

\ begin {уравнение} \ vec {A} \ times \ vec {B} = + \ begin {vmatrix} A_y \ amp A_z \\ B_y \ amp B_z \ end {vmatrix} \ ihat — \ begin {vmatrix} A_x \ amp A_z \\ B_x \ amp B_z \ end {vmatrix} \ jhat + \ begin {vmatrix} A_x \ amp A_y \\ B_x \ amp B_y \ end {vmatrix} \ khat \ tag {2.8.4} \ end {уравнение}

Наконец, определитель \ (2 \ times 2 \) может быть вычислен по формуле

\ begin {уравнение} \ begin {vmatrix} a \ amp b \\ c \ amp d \ end {vmatrix} = a d — b c \ tag {2.8.5} \ end {уравнение}

После упрощения получается формула трехмерного перекрестного произведения

\ begin {уравнение} \ vec {A} \ times \ vec {B} = (A_y B_z — A_z B_y) \ ihat — (A_x B_z — A_z B_x) \ jhat + (A_x B_y — A_y B_x) \ khat \ label {cross-product-2 } \ tag {2.8.6} \ end {уравнение}

На практике, самый простой способ запомнить это уравнение — использовать приведенный ниже расширенный определитель, где первые два столбца были скопированы и помещены после определителя.Затем вычисляется перекрестное произведение, складывая произведение красных диагоналей и вычитая произведение синих диагоналей.

Рисунок 2.8.1. Дополненный определитель

Результат:

\ begin {уравнение} \ vec {A} \ times \ vec {B} = (A_y B_z — A_z B_y) \ ihat + (A_z B_x -A_x B_z) \ jhat + (A_x B_y — A_y B_x) \ khat \ text {,} \ label { кросс-продукт-3} \ tag {2.8.7} \ end {уравнение}

, что математически эквивалентно уравнению (2.8.6).

В двух измерениях векторы \ (\ vec {A} \) и \ (\ vec {B} \) не имеют компонентов \ (z \), поэтому (2.8.3) снижается до

\ begin {уравнение} \ vec {A} \ times \ vec {B} = \ begin {vmatrix} \ ihat \ amp \ jhat \ amp \ khat \\ A_x \ amp A_y \ amp 0 \\ B_x \ amp B_y \ amp 0 \ end {vmatrix } = (A_x B_y — A_y B_x) \ khat \ text {.} \ Label {cross-prod-2d} \ tag {2.8.8} \ end {уравнение}

Это уравнение дает тот же результат, что и уравнение (2.8.1), и вы можете использовать его, если это более удобно.

Пример 2.8.2. 2-мерное перекрестное произведение.

Определите перекрестное произведение \ (\ vec {A} \ times \ vec {B} \ text {.2 \; \ кат \ конец {собирать *}

Решение 1.

В этом решении мы применим уравнение (2.8.1).

\ begin {align *} \ vec {A} \ times \ vec {B} \ amp = A \; Б \ sin \ theta \; \ hat {\ vec {u}} \ end {выровнять *}

Направление перекрестного произведения определяется с помощью правила правой руки. Правой рукой, поворачивая \ (\ vec {A} \) к \ (\ vec {B} \), мы обнаруживаем, что наш большой палец направлен в плоскость \ (xy \), поэтому направление \ (\ hat {\ vec {u}} \) равно \ (- \ khat \ text {.} \)

\ begin {align *} \ vec {A} \ times \ vec {B} \ amp = (\ N {60}) (\ N {40}) \ sin \ ang {45} (- \ khat) \\ \ amp = \ N {1,697} ^ 2 \; (- \ khat) \\ \ amp = — \ N {1,697} ^ 2 \; \ кат \ end {выровнять *}

Решение 2.2 \; \ кат \ end {выровнять *}

Пример 2.8.3. Трехмерное перекрестное произведение.

Найдите векторное произведение \ (\ vec {A} = \ langle 2,4, -1 \ rangle \) и \ (\ vec {B} = \ langle 10, 25, 20 \ rangle \ text {.} \ ) Компоненты \ (\ vec {A} \) указаны в метрах, а \ (\ vec {B} \) — в ньютонах.

Отвечать.

\ begin {gather *} \ vec {A} \ times \ vec {B} = \ Nm {\ langle 105, -50, 10 \ rangle} \ конец {собирать *}

Решение 1.

Для решения настройте расширенный определитель и оцените его, сложив диагонали слева направо и вычтя диагонали справа налево.(2.8.6).

\ begin {align *} \ vec {A} \ times \ vec {B} \ amp = \ begin {vmatrix} \ ihat \ amp \ jhat \ amp \ khat \\ 2 \ amp 4 \ amp -1 \\ 10 \ amp 25 \ amp 20 \ end {vmatrix} \ begin {matrix} \ ihat \ amp \ jhat \\ 2 \ amp 4 \\ 10 \ amp 25 \ end {matrix} \\ \ amp = (4) (20) \; \ ihat + (-1) (10) \; \ jhat + (2) (25) \; \ khat — (4) (10) \; \ khat — (- 1) (25) \; \ ihat — (2) (20) \; \ jhat \\ \ amp = (80 + 25) \; \ ihat + (-10-40) \; \ jhat + (50-40) \; \ khat \\ \ amp = \ Nm {\ langle 105, -50, 10 \ rangle} \ end {выровнять *}

Решение 2.

Вычисление трехмерных перекрестных произведений вручную утомительно и подвержено ошибкам. По возможности, вы должны использовать технологии, чтобы сделать за вас черновую работу и сосредоточиться на значении результатов. В этом решении мы будем использовать встроенный калькулятор Sage для вычисления перекрестного произведения. Этот же калькулятор можно использовать для решения других задач.

Дано:

\ begin {align *} \ vec {A} \ amp = \ m {\ langle 2,4, -1 \ rangle} \\ \ vec {B} \ amp = \ N {\ langle 10, 25, 20 \ rangle}. \ end {выровнять *}

\ (\ vec {A} \) и \ (\ vec {B} \) определены в первых двух строках, а A.cross_product (B) — это выражение для оценки. Щелкните Evaluate , чтобы увидеть результат. Вам придется выработать правильные единицы для себя.

Попробуйте изменить третью строку на B.cross_product (A) . Что меняется?

Подраздел 2.8.2 Перекрестное произведение единичных векторов

Поскольку единичные векторы имеют величину один и перпендикулярны друг другу, величина векторного произведения двух перпендикулярных единичных векторов будет равна единице на (2.8.1). Направление определяется правилом правой руки. С другой стороны, всякий раз, когда вы пересекаете единичный вектор с самим собой, результат будет равен нулю, поскольку \ (\ theta = 0 \ text {.} \)

Один из способов применить правило правой руки — держать правую руку плоской и указывать пальцами в направлении первого вектора, а затем сгибать их в направлении второго вектора. Когда вы это сделаете, ваш большой палец будет ориентирован в направлении перекрестного произведения.

Для иллюстрации представьте себе единичные векторы \ (\ ihat \) и \ (\ jhat \), нарисованные на белой доске в нормальной ориентации — \ (\ ihat \), указывающие вправо, \ (\ jhat \), направленные вверх.Сориентируйте правую руку так, чтобы пальцы указывали вправо вдоль \ (\ ihat \ text {,} \), затем согните их в сторону \ (\ jhat \), и ваш большой палец будет указывать за пределы доски и определять, что направление \ ( \ ihat \ times \ jhat = \ khat \ text {.} \) Теперь попробуйте скрестить \ (- \ ihat \) с \ (\ jhat \), и вы обнаружите, что ваш большой палец теперь указывает на доску.

Вы должны быть в состоянии убедить себя в том, что перекрестные произведения положительных единичных векторов равны

\ begin {align *} \ ihat \ times \ ihat \ amp = 0 \ amp \ ihat \ times \ jhat \ amp = \ khat \ amp \ ihat \ times \ khat \ amp = — \ jhat \\ \ jhat \ times \ ihat \ amp = — \ khat \ amp \ jhat \ times \ jhat \ amp = 0 \ amp \ jhat \ times \ khat \ amp = \ ihat \\ \ khat \ times \ ihat \ amp = \ jhat \ amp \ khat \ times \ jhat \ amp = — \ ihat \ amp \ khat \ times \ khat \ amp = 0 \ end {выровнять *}

Другой способ запомнить это — использовать показанный круг произведения.Например, когда вы пересекаете \ (\ ihat \) с \ (\ jhat \), вы движетесь в положительном (против часовой стрелки) направлении вокруг синего внутреннего круга, и, следовательно, ответ будет \ (+ \ khat \ text {.} \) Но когда вы пересекаете \ (\ jhat \) в \ (\ ihat \), вы идете в отрицательном (по часовой стрелке) направлении по кругу и, таким образом, получаете \ (- \ khat \ text {.} \). Помните, что порядок перекрестные продукты имеют значение. Если вы разместите векторы в неправильном порядке, вы получите ошибку знака.

Если у вас есть отрицательные единичные векторы, проще всего отделить отрицательные значения до тех пор, пока вы не взяли перекрестное произведение, например

\ begin {уравнение *} — \ jhat \ times \ ihat = (-1) \ left (\ jhat \ times \ ihat \ right) = (- 1) (- \ khat) = + \ khat \ text {.} \ end {уравнение *}

Рисунок 2.8.4. Единичный вектор поперечного произведения круга.

Векторные операции

Детерминанты

В большинстве текстов по линейной алгебре определители вводятся в контексте матриц. Но исторически детерминанты появились задолго до матриц. Первоначально они использовались для решения одновременных линейных уравнений. В конце концов, в 18-19 веках они превратились в матричную теорию.Мы не используем матрицы явно в наших алгоритмах, поэтому описываем только обозначения для определителей и то, как вычислить их значение. По сути, определитель представлен как двумерный квадратный массив переменных или чисел с n строками и n столбцами, окруженными вертикальными полосами, из которых вычисляется скалярная величина. Фактически, определитель — это функция, отображающая массив в одно скалярное значение. Первоначально элементы массива были коэффициентами для набора из n линейных уравнений в n переменных, и определитель использовался при решении этих уравнений.Когда матрицы выводятся, матричный массив n x n определяет линейное преобразование M n -мерных векторов. Затем определитель M дает величину, на которую M увеличивает или уменьшает объем преобразованной области.

Мы будем использовать только определители для n = 2 или 3. Они определены следующим образом.

Точечное произведение

Скалярное произведение ( или скалярное произведение или скалярное произведение ) двух векторов, и определяется как (скалярное) действительное число, заданное суммой произведений их соответствующих координат.Эта операция обозначена точкой и обозначена как:

Например, если и являются двумерными векторами, то:.

Скалярное произведение имеет свойства:

	[Длина вектора]
	[Скалярная ассоциация]
	[Коммутация]
	[Распределение добавок]
	[Неравенство Коши-Шварца]

Удивительная математическая формула для скалярного произведения:

где — угол между векторами v и w .Эта формула широко используется в компьютерной графике, поскольку она ускоряет вычисления во многих ситуациях, избегая прямого использования неэффективной тригонометрической функции. Далее, для вычисления угла между двумя векторами удобно следующее произведение двух нормализованных единичных векторов:

Полезно отметить, что когда, то.

Интересно, что формула косинуса скалярного произведения эквивалентна хорошо известному тригометрическому тождеству, известному как «Закон косинусов».Скажем, у нас есть треугольник с вершинами A , B , C , а сторона, противоположная каждой вершине, имеет длину a , b , c соответственно. Если мы знаем a и b , и угол между их краями, как показано на диаграмме, то мы можем вычислить c . Определите векторы и, соответствующие сторонам a и b . Тогда стороне c соответствует вектор, и мы можем вычислить:

Точно так же, учитывая закон косинуса, можно вывести формулу косинуса векторного скалярного произведения.Удивительно, но ранние греки действительно знали закон косинусов [Элементы Евклида, книга 2, предложение 12 и 13], хотя в то время у них не было алгебры и тригонометрии. Для случая острого угла это было указано в чисто геометрических терминах как:

Предложение 13. В остроугольных треугольниках квадрат на стороне, противоположной острому углу, меньше суммы квадратов на сторонах, содержащих острый угол, на удвоение прямоугольника, содержащегося на одной из сторон, расположенных вокруг острого угла, а именно та, на которую падает перпендикуляр, и прямая линия, отрезанная внутри перпендикуляром в сторону острого угла.

Еще один очень полезный факт о формуле косинуса скалярного произведения (неявно использованной в предложении Евклида 2-13) заключается в том, что ее можно геометрически интерпретировать как проекцию одного вектора на другой. Итак, если u — единичный вектор, то это длина перпендикулярной проекции w на u , как показано на диаграмме:

Далее, когда два вектора v и w перпендикулярны, они называются нормальными друг к другу, и это эквивалентно нулю их скалярного произведения, то есть:.Итак, это очень простой и эффективный тест на перпендикулярность. Из-за этого для любого вектора можно легко построить перпендикулярные векторы, обнуляя все компоненты, кроме 2, переворачивая эти два и меняя знак одного из них; например,, и т. д. Скалярное произведение любого из них с исходным вектором v всегда = 0, и поэтому все они перпендикулярны v . Например, в трехмерном пространстве с два вектора и, если они не равны нулю, являются основой для уникальной плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к v.

Помимо этого, еще одним важным и полезным следствием формулы скалярного произведения является то, что для:

Оператор 2D-преступника
Мы можем определить оператор на 2D-плоскости, который дает нормаль против часовой стрелки (т.е.е .: перпендикуляр) вектор v должен быть:
2D Perp Operator
Определение

Этот оператор называется перп-оператором . Вектор perp v — это нормальный вектор, указывающий на левую (против часовой) сторону вектора v , как показано на диаграмме:

Некоторые свойства оператора perp :

[Перпендикуляр]
[Длина консервов]
[Скалярная ассоциация]
[Линейный]

[Анти-мощный]

2D Perp Product
Также в 2D-пространстве есть еще одно полезное скалярное произведение двух векторов v и w , продукт perp (также известный как внешний продукт 2D или внешний продукт ) , который обозначен буквой a, и выдано:
2D Perp Product
Определение

Некоторые свойства 2D продукта perp:
[Нильпотент]
[Скалярная ассоциация]
[Антисимметричный]
[Распределение добавок]
[Идентификация Лагранжа]

Кроме того, для 2D-продукта perp у нас есть еще одна удивительная формула:

, который можно использовать для вычисления из v и w .В частности, если, то.
Кроме того, геометрически произведение perp дает (знаковую) площадь двумерного параллелограмма, охватываемого v и w , как показано на диаграмме:
Итак, чтобы вычислить площадь двумерного треугольника с вершинами P ₀, P ₁, P ₂, определите векторы ребер в P ₀ как и. Затем, поскольку треугольник составляет половину параллелограмма, мы получаем (знаковую) площадь как:
, что является очень эффективной формулой для определения площади.Эта знаковая область положительна, когда вершины P ₀, P ₁, P ₂ ориентированы против часовой стрелки, и отрицательна, когда они ориентированы по часовой стрелке, поэтому ее можно использовать для проверки ориентации. треугольника. Это также можно использовать для проверки того, на какой стороне направленной линии, проходящей через точку P ₂, лежит: это левая сторона, когда область положительная; он находится на линии, когда area = 0; и он находится на правой стороне, когда область отрицательная.
Аналогичным образом, двумерное произведение перпендикуляра может использоваться для определения, на какую сторону (левую или правую) одного вектора указывает другой вектор, поскольку для:

Трехмерное перекрестное произведение
Трехмерное перекрестное произведение (также известное как внешнее трехмерное произведение или векторное произведение ) двух векторов, v и w , определено только для трехмерных векторов, скажем и.Обозначается буквой a и выражается следующим образом:
Трехмерное перекрестное произведение
Определение

Перекрестное произведение имеет свойства:
[Нильпотент]
[Скалярная ассоциация]
[Антисимметричный]
[Распределение добавок]
[Нормальность]
[Идентификация Лагранжа]

Однако перекрестное произведение не ассоциативно само с собой и не распределяется с скалярным произведением.Вместо этого есть следующие формулы. Они не часто используются в компьютерной графике, но иногда могут упростить вычисления, поскольку скалярные произведения вычислить легче, чем перекрестные произведения. Обратите внимание, что формулы для левой и правой ассоциации разные.
[Левая ассоциация]
[Правое объединение]
[Ассоциация Dot-Cross]
[Идентификация Бине-Коши]
[Идентификация Якоби]

Используя тождество Лагранжа, мы можем вычислить, что:

, который демонстрирует важные формулы взаимного произведения:

где — угол между v и w .Вектор u перпендикулярен как v , так и w , и геометрически указывает наружу от плоскости vw с использованием правила правой руки. Кроме того, величина — это площадь параллелограмма, охватываемого v и w , как показано на диаграмме:
Этот факт делает кросс-произведение очень полезным для вычисления трехмерных площадей. Например, для трехмерного треугольника с векторами ребер и его площадь можно вычислить как:
Еще одно важное следствие формулы перекрестного произведения состоит в том, что если v и w являются перпендикулярными единичными векторами, то это также единичный вектор, поскольку sin () = 1.Таким образом, три вектора v , w и образуют ортогональную систему координат (или основу) для трехмерного пространства. Это используется в трехмерной графике для упрощения перспективных расчетов с точки зрения наблюдателя.
Наконец, в двухмерном пространстве существует взаимосвязь между встроенным кросс-произведением и двухмерным перп-произведением. Можно встроить 2D-вектор в 3D-пространство, добавив третью координату, равную 0, а именно: . Тогда для двух двумерных векторов v и w встроенное трехмерное перекрестное произведение имеет вид:, единственная ненулевая составляющая которого равна perp-произведению .

Трехмерное тройное произведение
Еще одно полезное геометрическое вычисление — это трехмерное ( скаляр ) тройное произведение , которое дается формулой:
Трехмерное произведение
Определение

Этот продукт имеет свойства:
[инвариант четности]
[Антисимметричный]

Геометрически тройное произведение равно объему параллелепипеда (трехмерный аналог параллелограмма), определяемого тремя векторами u, v и w , начиная с той же угловой точки, как показано.
Чтобы понять это, вспомните, что это площадь основания (параллелограмма), а проекция u на вектор нормали дает перпендикулярную высоту с высотой =. Тогда объем является произведением площади основания на эту высоту, что дает формулу. Далее, это объем со знаком, знак которого зависит от ориентации векторов «системы координат» u , v и w .
Используя эту формулу, мы также можем получить объем трехмерного тетраэдра с 4 вершинами для i = 0,3.Объем этого тетраэдра составляет 1/6 объема параллелепипеда, образованного векторами , , и _,. Это дает:
перекрестное или векторное произведение единичных векторов
В прошлый раз я писал о скалярном произведении единичных векторов:
i.i = 1
дж.дж = 1
к.к = 1
i.j = j.k = k.i = 0
Сегодня я расскажу о произведении единичных векторов:
i x j = k
j x k = i
к x i = j
j x i = -k
к x j = -i
i x k = -j
и
i x i = j xj = k x k = 0
Знаете ли вы, как приходят указанные выше результаты? Если ваш ответ отрицательный, давайте обсудим его:
Я уже объяснял в своих предыдущих статьях, что перекрестное произведение или векторное произведение между двумя векторами A и B дается как:
А . B = AB sin θ
, где θ — угол между A и B . A и B — величины A и B .
As i единичный вектор по оси x
Следовательно, i x i = 1sin 0
Это потому, что первый i — единичный вектор A по оси x, а второй i — единичный вектор B вдоль оси x.
Следовательно, два единичных вектора должны быть в том же направлении, что и направление x, поэтому угол между ними будет равен 0 градусов.Поскольку i и i являются единичными векторами, значит, величины будут равны единице. Поскольку sin 0 равен 0,
Следовательно, приведенное выше уравнение станет: i x i = o
Аналогично
Дж х Дж = 0
к х к = 0
Тогда почему i x j = k,
Это потому, что i по оси x и y по оси y, таким образом, угол между ними будет 90 градусов. Поскольку sin 90 = 1. Поскольку вращение или вращение двух векторов задают направление третьего вектора
Следовательно, i x j = 1 sin 90 k
i x j = k
, но j x i = — k, потому что теперь направление меняется на противоположное или из-за идентичности вектора A x B не равно B x A.

Калькулятор Векторного Произведения | Примеры И Формулы

Формула расчета перекрестных произведений

Определение перекрестного продукта

Как рассчитать векторное произведение двух векторов

Что такое кросс-продукт?

Калькулятор Векторного Произведения русский

вектор на вектор произведение

Где можно решить любую задачу по математике, а так же вектор на вектор произведение Онлайн?

13. Векторное произведение векторов, его свойства. Площадь параллелограмма.

14. Смешанное произведение векторов, его свойства. Условие компланарности вектора. Объем параллелепипеда. Объём пирамиды.

Формула (3) называется координатным выражением векторного произведения

Формула для векторного произведения векторов

Что векторное произведение. Векторное произведение

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Свойства векторного произведения векторов

Когда векторное произведение равно 0. Векторное произведение векторов

Перевозникова Михаила

1.3 Скалярное произведение векторов в координатах

Если представить стороны треугольника АВ и АС в виде двух векторов, то в формуле площади треугольника мы находим выражение векторного произведения векторов:

Из выше сказанного можно определить геометрический смысл векторного произведения (рис. 9):

Заключение

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Свойства векторного произведения векторов

Понятие векторного произведения векторов и формула нахождения

Вычисление векторного произведения по координатам векторов

Свойства векторного произведения векторов

Statics: Cross Products

Интерактивная диаграмма.

Подраздел 2.8.1 Взаимное произведение произвольных векторов

Пример 2.8.2. 2-мерное перекрестное произведение.

Пример 2.8.3. Трехмерное перекрестное произведение.

Подраздел 2.8.2 Перекрестное произведение единичных векторов

Векторные операции

Векторные операции

Детерминанты

Оператор 2D-преступника

перекрестное или векторное произведение единичных векторов

alexxlab

Добавить комментарий Отменить ответ

Рубрики