Формула момент инерции материальной точки: 5.3. Момент инерции материальной точки относительно неподвижной оси вращения — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Момент инерции материальной точки

Для динамического описания движения материальной точки по окружности используют следующие величины: момент силы (), момент импульса () и момент инерции (J). При этом основной закон динамики вращательного движения записывают в виде:

Кроме этого, описывая движение по окружности вместо радиус-вектора () пользуются углом поворота (), вместо вектора скорости () используют вектор угловой скорости ().

Момент инерции

Роль массы при движении по окружности материальной точки выполняет момент инерции (J), который равен:

где r- расстояние от материальной точки до оси вращения. Для материальной точки, которая движется по окружности, момент инерции является постоянной величиной. При этом изменение момента импульса происходит только за счет изменения угловой скорости:

Используя момент инерции основное уравнение динамики (1) для движения материальной точки по окружности можно записать как:

где – угловое ускорение материальной точки. Уравнение (4) отражает тот факт, что при движении материальной точки по окружности, момент силы исполняет роль силы (в поступательном движении), момент инерции – роль массы, угловое ускорение – роль линейного ускорения. Это легко увидеть, если записать второй закон Ньютона и сравнить его с уравнением (4):

Мерой инертности материальной точки при движении по окружности служит момент инерции.

Момент инерции является аддитивной величиной. Это означает то, что если в системе не одна, а несколько материальных точек, то момент инерции системы (J) равен сумме моментов инерции () отдельных точек:

где – масса ой материальной точки; расстояние от данной материальной точки до оси вращения. Момент инерции системы материальных точек зависит от распределения этих точек в пространстве. Чем ближе материальные точки находятся от оси вращения, тем меньше момент инерции данной системы. У твёрдых тел, которые можно представить как непрерывную совокупность материальных точек, момент инерции относительно оси является постоянной величиной.2$

Момент инерции — это… Что такое Момент инерции?

У этого термина существуют и другие значения, см. Момент.

Момент инерции — скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле: момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества (точки, прямой или плоскости).

Единица измерения СИ: кг·м².

Обозначение: I или J.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от многообразия, от которого отсчитывается расстояние точек.

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел.

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина J_a, равная сумме произведений масс всех n материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

где:

m_i — масса i-й точки,
r_i — расстояние от i-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела J_a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

где:

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме

момента инерции этого тела J_c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

где — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ_i. Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Вывод формулы

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R₁, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Вывод формулы

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R₁ = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Сплошной конус

Вывод формулы

Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят

Интегрируя, получим

Сплошной однородный шар

Вывод формулы

Разобъём шар на тонкие диски толщиной

dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции сферы найдём интегрированием:

Тонкостенная сфера

Вывод формулы

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Вывод формулы

Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Интегрируя, получим

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

Вывод формулы

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников^[1]^[2]

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса

r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr²). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра. ^[3]^[4]

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

где x, y и z — координаты малого элемента тела объёмом dV, плотностью ρ и массой dm.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции J_xy и J_xz

одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрический момент инерции

Геометрический момент инерции — геометрическая характеристика сечения вида

где — расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси.

Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.

Единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см⁴.

Из него выражается момент сопротивления сечения:

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) — это величина

где:

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

(1),

где — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:

,
.

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на

и произведя замены:

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах :

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

См. также

Примечания

Литература

Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.) http://www.alleng.ru/d/phys/phys108.htm
Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Издательство Физического факультета МГУ, 1997. http://nature.web.ru/db/msg.html?mid=1186208&s=120000000
Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys99.htm
Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с. http://www.alleng.ru/d/phys/phys103.htm
Беляев Н. М., Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки

в чем измеряется, от чего зависит, как обозначается

Когда тело продолжает двигаться при отсутствии на него воздействия каких-либо сил, говорят о проявлении инерции. Именно ею объясняются трудности удержаться на ногах при резком торможении автобуса или усидеть в седле велосипеда, когда под колеса резко выбегает кот. Кроме инерции, проявляющейся при движении тел по прямой, аналогичное явление бывает при вращении вокруг оси. В таком случае в физике говорят о моменте инерции – скалярной величине, измеряющей инертность тела при осевом вращении.

Момент инерции и его физический смысл

Обеспечить поступательное движение предмета при его толкании будет тем тяжелее, чем больше он весит. Аналогичные эксперименты предусматривались школьной программой и относились к прямо направленному действию.

Источник: encrypted-tbn0.gstatic.com

Было понятно, что именно масса тела характеризует степень его инертности и является ее мерой.

При совершении предметом вращательных движений наблюдается иной вид зависимости. В данном случае мерой инертности выступает момент инерции.

Момент инерции – скалярная измеряемая характеристика инертности тела в момент совершения осевого вращения.

Задачи по определению величины момента инерции решаются с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера, смысл которой заключается в следующем:

МИ для тела, вращающегося вокруг какой-либо оси, равна сумме слагаемых единиц: момент инерции предмета, который вращается вокруг оси, параллельной данной, и проходящей через центр масс, а также произведения массы на расстояние между осями, возведенное в квадрат.

Источник: theslide.ru

В приведенной формуле используются следующие обозначения: d – расстояние между осями, m – масса тела, Iz – момент инерции относительно рассматриваемой оси, а Ic – относительно оси, которая проходит через центр масс. В профильной литературе и учебниках буква I может заменяться J.

Формулировка способа количественного измерения момента инерции при осевом вращении предмета стала возможной в результате работы двух ученых-математиков: Гюйгенса и Штейнера. Теорема дает возможность быстрого решения задач на определение инерции предмета любой формы, для которого уже просчитана центробежная сила. Формула Штейнера позволяет вычислить момент инерции этого предмета относительно выбранной оси, проходящей параллельно прямой, следующей через центр фигуры.

Единицы измерения в системе СИ

Единицей измерения момента инерции, принятой в системе СИ, является кг, умноженный на метр в квадрате — кг·м². В еще одной системе измерения (СГС) единицей измерения является грамм на квадратный сантиметр — г·см².

Как рассчитать момент инерции, формула

Измерение значения момента инерции можно произвести теоретически, согласно формуле. Для этого условно движущийся предмет разбивается на мелкие составляющие, масса которых обозначается dm. В конечном итоге момент инерции (МИ) равняется сумме произведений всех образовавшихся масс на расстояние до оси, возведенное в квадрат.

Источник: works.doklad.ru

Исходя из этой формулы, момент инерции, кроме массы тела, определяется положением оси, вокруг которой предмет вращается, а также его формой и габаритами.

Возможность рассчитать моменты инерции полезна, к примеру, при исследованиях свойств и структуры элементов Солнечной системы. Это так называемый безразмерный момент инерции. Высчитанная по формуле величина дает представление о распределении массы по глубине.

Виды моментов инерции

Кроме безразмерного момента инерции, в физике существуют понятия:

центробежный МИ;
главный МИ;
геометрический МИ;
МИ относительно плоскости;
центральный МИ;
тензор инерции;
эллипсоид инерции.

Центробежными МИ относительно прямоугольных осей координат (декартовой системы) считаются Jxy, Jxz, Jyz. Ось ОХ является главной, когда центробежные моменты инерций Jxy и Jxz равняются нулям.

Любая точка тела может являться центром трех главных осей инерции. Они характеризуются взаимной перпендикулярностью. МИ относительно них считается главным для данного предмета. Главные оси, которые пролегают через центр масс, — являются главными центральными осями инерции предмета. МИ относительно них – главные центральные МИ. Для однородного тела ось симметрии всегда является главной центральной осью инерции.

Для геометрических МИ существуют формулы, основывающиеся на объеме относительно оси и площади относительно оси.

Твердое тело может иметь МИ относительно плоскости. Тогда это – скалярная величина, которая рассчитывается суммированием произведений массы каждой точки предмета и расстояния от нее до плоскости, возведенного в квадрат.

Понятие «Центрального МИ» связано с точкой О, МИ относительно полюса либо полярным МИ.

Момент инерции тела относительно оси вращения

МИ служит единицей измерения инерции тела, которое вращается вокруг оси, подобно тому, как масса является мерой при поступательном движении.

Определить МИ предметов касательно оси вращения позволяет формула Штейнера.

Пример:

Наглядное подтверждение применения формулы Штейнера – расчет МИ стержня, ось вращения которого проходит через конец.

Моменты инерции простейших объектов

Момент инерции некоторых однородных тел, имеющих простую форму, в зависимости от характеристик осей вращения можно определить по следующим формулам:

МИ точечного предмета либо полого цилиндра с тонкими стенками (с массой m и радиусом r) = mr²
МИ диска или сплошного цилиндра = 1/2 mr²
МИ цилиндра с толстыми стенками, у которого внешний радиус обозначен r₂, а внутренний – r₁, : В указанных случаях ось вращения является осью цилиндра.
МИ сплошного цилиндра с осью вращения, перпендикулярной образующей цилиндра, расположенной по центру масс:
МИ полого цилиндра с тонкими стенками и осью, перпендикулярной к цилиндру и проходящей через центр масс:
МИ прямого тонкого стержня с осью, перпендикулярной к нему и проходящей через центр масс:
МИ сферы с тонкими стенками и осью по центру = 2/3 mr²
МИ шара с осью по центру = 2/5 mr²
МИ равнобедренного треугольника с осью, перпендикулярной его плоскости и проходящей через вершину:

Примеры решения задач

Применение на практике приведенных формул происходит, например, для решения следующих задач.

Пример №1

Задано найти МИ однородного диска с известными массой и радиусом. Из дополнительных сведений: ось вращения – через центр диска.

Для решения диск разбивается на тонкие кольца, радиусы которых равняются от 0 до R. Взяв одно из них и обозначив его радиус буквой $r$, а массу – $dm$, формула для расчета МИ (согласно теореме Гюйгенса-Штейнера) выглядит следующим образом: $dJ=dmr2.$

С учетом подстановки в конечную формулу для определения МИ формулы для массы кольца получаем:

Пример № 2

Задано найти у того же диска МИ относительно оси, которая проходит через середину радиуса.

Из предшествующего задания используем найденную величину МИ относительно оси, которая проходит через центр масс. Используя формулу Штейнера, решаем задачу.

Если решать аналогичные задачи нет желания или времени, а контрольную работу нужно сдать в срок, на помощь придут сотрудники Феникс.Хелп.

простое пояснение, значении в физике, формулы, примеры

Что такое инерция?

Определение момента инерции

Формула момента инерции

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Моменты инерции простейших объектов

Рекомендованная литература по теме и полезные ссылки

Момент инерции, видео

Что такое инерция?

Инерция в физике – способность тел определенное время сохранять состояние движения при отсутствии действия внешних сил. Впрочем, понятие инерции имеет частое применение не только в физике, но и в нашей повседневной жизни. Так обычно «инертным» называют человека, который совершенно не проявляет никакой инициативы, делают только то, что ему скажут другие, и делает это крайне медленно, без какого-либо энтузиазма. «Движется по инерции», – говорим мы, когда хотим подчеркнуть, что что-то делается без какого-либо смысла, а просто потому, что так было заведено когда-то или в силу наработанной годами привычки. И если с понятием инерции все более-менее понятно, благодаря таким вот житейским примерам, то термин «момент инерции» требует более детального пояснения, чем мы и займемся в нашей статье.

Определение момента инерции

Со школьной программы по физике мы прекрасно знаем, что масса тела является мерой его инертности. Например, если в супермаркете сильно толкнуть две тележки, одна из которых будет пустой, а вторая нагруженной разными товарами, то впоследствии остановить будет труднее тележку, нагруженную товарами в силу ее большей массы. Другими словами, чем больше у тела масса, тем большее на него воздействие инерции и тем больше нужно сил, чтобы изменить движение такого тяжелого тела.

В приведенном примере тележка движется по прямой линии, то есть иными словами совершает поступательное движение. И если при поступательном движении какого-либо теле его масса является мерой его инерции, то при вращательном движении тела вокруг своей оси мерой его инерции будет величина, которая собственно и называется – момент инерции.

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при его вращении вокруг оси. Обычно обозначается буквой J и измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр. Такое академическое определение того, что такое момент инерции.

Формула момента инерции

Как рассчитать точное значение момента инерции? Для этого есть общая формула, помогающая физикам определять момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно маленькие кусочки с массой dm, то момент инерции будет равным сумме произведения этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения. Формула будет иметь такой вид:

J – момент инерции, r – расстояние до оси вращения.

Для материальной точки массы m, которая вращается вокруг оси на расстоянии r, данная формула будет иметь такой вид:

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Говоря о моменте инерции невозможно не упомянуть о теореме двух математиков Гюйгенсе и Штейнере, которые дали формулировку определению характеристики параллельных осей.

Теорема Гюйгенса – Штейнера гласит: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Если записать вышесказанное математической формулой, то получится следующее:

Где d – расстояние между осями

Эта теорема значительно облегчает решения многих физических задач, связанных с инерцией. К примеру, у Вас имеется объект произвольной формы, центробежная сила которого известна. При помощи формулы Штейнера можно вычислить момент инерции тела относительно любой оси параллельной линии, которая проходит через середину фигуры.

Моменты инерции простейших объектов

Несмотря на внешнюю простоту, вычисление моментов инерции для разных предметов предполагает знание интегралов, этих важных инструментов высшей математики. Для упрощения задачи создана таблица с вычислениями инерции для простых геометрических фигур: круга, квадрата, цилиндра и т. д.

Так выглядят математические расчеты вычисления моментов инерции для круга и кольца.

Аналогичным образом будет рассчитываться момент инерции цилиндра.

Предлагаем вашему вниманию более детальную таблицу с формулами для расчета момента инерции для основных геометрических фигур: шара, сферы, диска, цилиндров, и т. д.

Момент инерции, видео

И в завершение образовательное видео по теме нашей статьи.

Эта статья доступна на английском языке – Moment of Inertia.

лабораторная работа 109

Цель работы: Экспериментальное определение момента инерции диска методом крутильных колебаний.

Приборы и принадлежности: диск на упругой проволоке, секундомер, линейка, штангенциркуль, шары, цилиндры, технические весы.

Теоретическое введение

Как известно из динамики, момент инерции является физической величиной, характеризующей распределение масс в теле и являющейся мерой инертности тела при вращательном движении.

Моментом инерции материальной точки относительно какой-либо оси называется произведение ее массы на квадрат расстояния до этой оси

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси ОО, проходящей через его центр масс, равен сумме моментов инерции всех точек тела относительно этой оси (рис.1)

Момент инерции тела, плотностью r, вычисляется по формуле

где dV— элемент объема. Как видно из формул (1) и (2), момент инерции относительно данной оси, как и масса тела, не зависит от характера движения, а зависит от размеров, форм и плотности тела.

Если момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, равен J₀, то момент инерции тела относительно любой другой оси, параллельной первой, может быть определен на основании теоремы Штейнера

где m – масса тела, d – расстояние между осями.

Основной закон динамики вращательного движения имеет вид:

Момент импульса тела при вращательном движении вычисляют по формуле , тогда

где — величина суммарного момента внешних сил, действующих на тело, — угловая скорость тела. Если = 0, то = const. Таким образом, если момент сил, действующих на тело, равен нулю, т.е. система замкнута, то тело будет покоится или вращаться бесконечно долго, сохраняя постоянный момент импульса. Это утверждение, в сущности, является одной из формулировок закона сохранения момента импульса, то есть математически закон сохранения момента импульса запишется в виде

при

В случае вращательного движения момент инерции играет ту же роль, что и масса при поступательном движении, а угловая скорость – роль линейной.

Ниже приведена таблица 1, в которой сопоставлены величины и соотношения, являющиеся эквивалентными при поступательном и вращательном движении.

Таблица 1

Поступательное движение

Вращательное движение

Линейная скорость

Линейное ускорение

Масса m

Сила F

Импульс

Второй закон Ньютона:

Кинетическая энергия

Угловая скорость

Угловое ускорение

Момент инерции J

Момент силы M

Момент импульса

Основной закон динамики:

Кинетическая энергия

Описание рабочей установки и метода измерений

Момент инерции тела правильной геометрической формы может быть вычислен теоретически по формуле (2). Если же тело имеет сложную форму (маховое колесо, коленчатый вал, винт и др.), то теоретическое определение его момента инерции представляет значительные трудности.

Одним из методов экспериментального определения момента инерции является метод крутильных колебаний. Подвесим испытуемое тело (диск 1) на упругой металлической проволоке 2 так, чтобы один конец проволоки проходил через центр масс тела, а другой был закреплен неподвижно в точке подвеса (рис.2). Если повернуть диск на небольшой угол около оси, совпадающей с осью проволоки, после чего предоставить его самому себе, то тело начнет совершать колебательное движение в горизонтальной плоскости. Вращательный момент М, закручивающий проволоку на угол a, равен

где D – модуль кручения материала проволоки. Знак минус показывает, что реакция сил упругости в проволоке, возрастающая с увеличением угла a, направлена в сторону, противоположную действию вращательного момента.

С другой стороны, из основного уравнения динамики вращательного движения (4) при J=const

где J – момент инерции тела относительно оси вращения, — угловое ускорение тела.

Из формул (5) и (6) имеем

Сравнивая с дифференциальным уравнением гармонических колебаний

приходим к выводу, что угловая частота крутильных колебаний w может быть определена, как

Период колебаний маятника:

откуда

Исключим из формулы (8) неизвестную величину D. Для этого на тело, симметрично оси колебаний ОО^/ поместим добавочные грузы 3 (например, два равных цилиндра или шара). Тогда период колебаний этой системы будет равен

откуда

Приравняв выражения для D, получим

где Т₁ и Т – периоды крутильных колебаний соответственно с добавочными грузами и без них, J₁ – момент инерции двух добавочных грузов одинаковой массы (цилиндров или шаров) относительно оси вращения ОО^/.

Момент инерции цилиндра относительно оси О₁О₁^/, проходящий через его центр масс

де т – масса цилиндра, r – его радиус. По теореме Штейнера (3) момент инерции двух цилиндров относительно оси ОО^/

где d – расстояние между ОО^/ и О₁О₁^/.

Из уравнений (9) и (10) момент инерции исследуемого тела в случае использования в качестве дополнительных грузов цилиндров определяется по формуле

Момент инерции шара относительно оси О₁О₁^/, проходящей через центр масс:

где т – масса шара, r – его радиус. По формуле (3) момент инерции двух шаров относительно оси ОО^/ выразится:

где d – расстояние между ОО^/ и О₁О₁^/.

Исследуемое тело представляет собой диск, который можно считать приближенно сплошным и однородным. Момент инерции сплошного однородного диска относительно оси ОО^/ определяется по формуле

где т₁ – масса диска, R – его радиус. Формула (14) будет являться проверочной при определении момента инерции диска методом крутильных колебаний.

Ход работы

1. Исследуемое тело привести в крутильное колебание. Для этого тело поворачивается относительно оси ОО^/ на малый угол (не более 6^о) и после этого его предоставить самому себе. Секундомером измерить время t 30-50 полных колебаний. Опыт повторить не менее 5 раз с одним и тем же выбранным числом колебаний. Найти среднее значение <t>. Определить период колебаний: , где п – число крутильных колебаний.

2. На одинаковом расстоянии от проволоки на диск поставить добавочные грузы (шары или цилиндры), проделав 5 опытов для того же числа колебаний п, найти период колебаний диска с добавочными грузами

3. Линейкой измерить расстояние между осями ОО^/ и О₁О₁^/.

4. Штангенциркулем измерить диаметр 2r добавочного груза.

5. В зависимости от вида используемых добавочных грузов вычислить момент инерции исследуемого тела по формуле (11) или (13).

6. Измерить радиус исследуемого диска R и найти значение момента инерции по проверочной формуле (14). Масса диска т₁=1.570кг.

7. Методом расчета погрешностей косвенных измерений найти абсолютную погрешность результата DJ.

8. Данные результатов измерений занести в таблицу.

Таблица

№

<t>

t₁

<t₁>

T₁

m₁

J_пр

п/п

кг

кг×м²

кг

кг×м²

Вопросы для допуска к работе

1. Какова цель работы?

2. Что называется моментом инерции материальной точки? Каков физический смысл данного понятия?

3. Опишите рабочую установку и ход эксперимента. Каково назначение в работе добавочных грузов?

4. Запишите формулу для периода колебаний крутильного маятника. При каких условиях справедлива эта формула?

5. Оцените погрешность метода измерений момента инерции.

Вопросы для защиты работы

1. Выведите формулу периода колебаний крутильного маятника.

2. Сформулируйте теорему Штейнера и покажите, как она применяется в проделанной работе.

3. Пользуясь дифференциальным методом, получите формулу относительной погрешности DJ/J.

4. Как повысить точность эксперимента, проведенного на данной установке?

5. Выведите формулу момента инерции сплошного диска, кольца, стержня.

6. Сформулируйте закон сохранения момента импульса, основной закон динамики вращательного движения.

Динамика системы материальных точек. Кинетическая энергия твердого тела.

Динамика системы материальных точек

Уравнение поступательного движения твердого тела

Механической системой материальных точек называется совокупность материальных точек, каким-то образом связанных межу собой.
Всякое твердое тело можно считать неизменяемой механической системой материальных точек. Силы взаимодействия точке данной системы называются внутренними силами; силы, с которыми действуют на данную систему другие точки, не входящие в эту систему, — внешними.

Пусть твердое тело массой m движется под действием силы F поступательно с ускорением а (рис. 1).

Разобьем тело на ряд материальных точек с массами m₁ и применим принцип Даламбера, не забывая при этом, что внутренние силы в уравнение равновесия не входят, так как на основании третьего закона Ньютона их сумма для системы в целом равна нулю.
В каждой материальной точке приложим силу инерции F_i^ин = — m_ia и составим уравнение равновесия:

ΣX = 0; F – ΣF_i^ин = 0,

откуда:

F = ΣF_i^ин = Σ(m_ia).

Так как при поступательном движении все точки тела имеют одинаковые ускорения, то а можно вынести за знак суммы, т. е.

F = ΣF_i^ин = аΣm_i = am.

Согласно второму закону Ньютона векторы силы F и ускорения а совпадают по направлению, поэтому можно записать:

F = ma.

Это и есть уравнение поступательного движения твердого тела. Очевидно, что это уравнение ничем не отличается от основного уравнения динамики точки, следовательно, все формулы динамики точки применимы для тела, движущегося поступательно.

***

Уравнение вращательного движения твердого тела

Пусть твердое тело под действием системы сил вращается вокруг неподвижной оси z с угловым ускорением α (рис. 2).

Разобьем тело на ряд материальных точек с массами m_i и применим, как и в предыдущем случае, принцип Даламбера (Д’Аламбера).
К каждой материальной точке приложены касательная и нормальная силы инерции. Составим уравнение равновесия:

ΣМ_z = 0; ΣM_zi(F_i) – ΣM_z(F_τi^ин) = 0.

Моменты реакций подшипника и подпятника, а также сил F_τi^ин относительно оси z равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось; сумма моментов внешних сил относительно оси вращения называется вращающим моментом.
Тогда

ΣM_z(F_i) = T = ΣM_z(F_τi^ин) = Σ(m_ir_i²α) = αΣ(m_ir_i²).

Выражение Σ(m_ir_i²) называют моментом инерции тела относительно оси и обозначают J:

J = Σ(m_ir_i²).

Момент инерции тела относительно оси есть сумма произведений масс материальных точек, составляющих это тело, на квадрат расстояния от них до этой оси.

В результате получим формулу:

Т = Jα,

которая называется уравнением вращательного движения твердого тела. В этой формуле J – момент инерции тела относительно оси вращения.

Единица момента инерции — [J] = [mr²] = [m][r²] = кг×м².

Момент инерции играет во вращательном движении такую же роль, какую масса играет в поступательном движении, т. е. момент инерции есть мера инертности вращающегося тела.

В качестве примера определим момент инерции тонкого однородного сплошного диска, радиус которого R, толщина s, масса m, относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр О (см. рис 3).

Разобьем диск на элементарные кольца переменного радиуса r, шириной dr и толщиной s. Согласно определению момент инерции такого кольца равен

dJ = dΣ(m_ir²) = r² dΣm_i = r² dm = r² 2πr drsρ = 2πsρ r³ dr ,

где ρ – плотность материала диска.

Просуммировав моменты инерции всех элементарных колец, получим момент инерции всего диска:

J = ∫ 2πsρ r³ dr = 2πsρ ∫ r³ dr = 2πsρ r⁴/4 = πsρ r⁴/2.

Так как масса диска m = πr²sρ, то можно записать: J = mR²/2.

Нетрудно понять, что момент инерции однородного сплошного прямоугольного кругового цилиндра радиусом R и массой m любой высоты определяют по такой же формуле. Чтобы убедиться в этом, достаточно мысленно разбить цилиндр плоскостями, параллельными основанию на тонкие диски, и просуммировать моменты инерции всех дисков.

***

Моменты инерции тел вращения

На основе теоретических выкладок, изложенных выше, мы установили, что момент инерции круглого диска и цилиндрического тела можно определить по формуле

J = mR²/2.

Аналогичные формулы можно вывести для определения моментов инерции других геометрических тел, наиболее часто встречающихся при расчетах и решении задач технической механики.

Моменты инерции для некоторых других однородных тел можно определить по формулам, которые приводятся здесь без вывода.

Шар массой m, радиусом R относительно диаметра:

J = 2/5 mR²;

Тонкий стержень массой m, длиной l относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец:

J = ml²/3;

Тонкая сферическая оболочка массой m, радиусом R относительно диаметра:

J = 2mR²/3;

Пустотелый вал массой m, наружным радиусом R и радиусом отверстия r относительно оси:

J = m(R² + r²)/2.

Момент инерции Jz тела относительно какой-либо оси z, параллельной центральной (т. е. проходящей через центр тяжести С тела), равен сумме центрального момента инерции Jc и произведения массы m тела на квадрат расстояния а между этими осями:

Jz = Jc + ma².

Из этой формулы (ее вывод здесь не приводится) следует, что из всех моментов инерции тела относительно параллельных осей наименьшим будет момент инерции относительно центральной оси, т. е. центральный момент инерции.

Иногда момент инерции определяют по формуле: J = mr_и², где r_и – радиус инерции тела:

r_и = √(J/m).

Физический смысл радиуса инерции следующий: если массу тела сосредоточить в одной точке (такая масса называется приведенной) и поместить ее от оси вращения на расстоянии, равном радиусу инерции, то момент инерции приведенной массы будет равен моменту инерции данного тела относительно той же оси.

Удвоенный радиус инерции тела называется диаметром инерции: D_и = 2r_и.

В практике иногда вместо момента инерции пользуются понятием махового момента GD_и².

Маховым моментом называется произведение силы тяжести G вращающегося тела на квадрат его диаметра инерции.

Единица махового момента — Н×м².

Между маховым моментом и моментом инерции существует простая зависимость:

GD_и² = 4g J = 39,24 J.

***

Кинетическая энергия твердого тела

Кинетическая энергия твердого тела равна сумме кинетических энергий материальных точек, составляющих данное тело:

К = Σ(m_iv_i²)/2.

Определим выражения для кинетической энергии твердого тела для трех случаев движения.

Тело движется поступательно

Учитывая, что при поступательном движении тела все его точки имеют одинаковую траекторию и одинаковые скорости, можно записать:

К_пост = Σ(m_iv_i²)/2 = v_i²/2 Σ m_i, или К_пост = mv²/2.

Следовательно, при поступательном движении твердого тела его кинетическая энергия вычисляется по той же формуле, что и кинетическая энергия материальной точки.

Тело вращается вокруг неподвижной оси

Запишем:

К_вр = Σ(m_iv_i²)/2 = Σ[m_i(ωr_i)²]/2 = (ω²)/2 Σ (m_ir_i)² или К_вр = Jω²/2.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

Тело движется плоскопараллельно

Как известно из кинематики, сложное плоскопараллельное движение твердого тела в каждый данный момент времени можно считать простейшим вращательным движением вокруг мгновенной оси (метод мгновенных центров скоростей).
Допустим, что известна скорость v_с центра тяжести тела, тогда мгновенная угловая скорость

ω = v_с/ОС,

где ОС – расстояние центра тяжести С тела от мгновенной оси вращения О.

Момент инерции J_о относительно мгновенной оси вращения определяют по формуле:

J_о = J_с + mОС²,

где J_с — момент инерции относительно центральной оси или центральный момент инерции.

Кинетическую энергию тела, движущегося плоскопараллельно, определяют следующим образом:

К_пп = J_оω²/2 = (J_с + mОС²) ω²/2 = (J_сω²)/2 + mOC²/2×v_с²/ОС²,

или

К_пп = mv_с²/2 + J_сω²/2.

Кинетическая энергия твердого тела, движущегося плоскопараллельно, равна сумме кинетических энергий в поступательном движении вместе с центром тяжести и вращательном движении вокруг центральной оси, перпендикулярной основной плоскости.

В заключение сформулируем теорему об изменении кинетической энергии системы тел:

Изменение кинетической энергии системы тел при некотором перемещении равно алгебраической сумме работ всех внешних (активных и реактивных) и внутренних сил, действовавших на систему при указанном перемещении:

ΣК – ΣК₀ = ΣW.

Кинетическая энергия системы тел равна сумме кинетических энергий каждого тела в отдельности.

Если тело твердое, то сумма работ его внутренних сил равна нулю. При некоторых связях, называемых идеальными, работа реактивных сил тоже будет равна нулю.

***

Балансировка вращающихся тел

Главная страница

Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Формула момента инерции и другие физические формулы

Момент инерции объекта — это числовое значение, которое может быть вычислено для любого твердого тела, которое совершает физическое вращение вокруг фиксированной оси. Он основан не только на физической форме объекта и его распределении массы, но и на конкретной конфигурации того, как объект вращается. Таким образом, один и тот же объект, вращающийся по-разному, будет иметь разный момент инерции в каждой ситуации.

Общая формула

Общая формула для определения момента инерции.Эндрю Циммерман Джонс

Общая формула представляет собой самое основное концептуальное понимание момента инерции. В принципе, для любого вращающегося объекта момент инерции можно рассчитать, взяв расстояние каждой частицы от оси вращения ( r в уравнении), возведя это значение в квадрат (это член r ²), и умножая его на массу этой частицы. Вы делаете это для всех частиц, составляющих вращающийся объект, а затем складываете эти значения вместе, и это дает момент инерции.

Следствием этой формулы является то, что один и тот же объект получает разное значение момента инерции в зависимости от того, как он вращается. Новая ось вращения заканчивается другой формулой, даже если физическая форма объекта остается прежней.

Эта формула представляет собой наиболее грубый подход к вычислению момента инерции. Другие приведенные формулы обычно более полезны и представляют собой наиболее распространенные ситуации, с которыми сталкиваются физики.

Интегральная формула

Общая формула полезна, если объект можно рассматривать как набор дискретных точек, которые можно складывать.Однако для более сложного объекта может потребоваться применить исчисление, чтобы взять интеграл по всему объему. Переменная r — это радиус-вектор от точки до оси вращения. Формула p ( r ) — это функция плотности массы в каждой точке r:

I-sub-P равно сумме i от 1 до N количества m-sub-i, умноженного на r-sub-i в квадрате.

Твердая сфера

Сплошная сфера, вращающаяся вокруг оси, проходящей через центр сферы, с массой M и радиусом R , имеет момент инерции, определяемый по формуле:

I = (2/5) MR ²

Полая тонкостенная сфера

Полая сфера с тонкой незначительной стенкой, вращающейся вокруг оси, проходящей через центр сферы, с массой M и радиусом R , имеет момент инерции, определяемый по формуле:

I = (2/3) MR ²

Цельный цилиндр

Сплошной цилиндр, вращающийся вокруг оси, проходящей через центр цилиндра, с массой M и радиусом R , имеет момент инерции, определяемый по формуле:

I = (1/2) MR ²

Полый тонкостенный цилиндр

Полый цилиндр с тонкой незначительной стенкой, вращающейся вокруг оси, проходящей через центр цилиндра, с массой M и радиусом R , имеет момент инерции, определяемый по формуле:

I = MR ²

Полый цилиндр

Полый цилиндр с вращающейся вокруг оси, проходящей через центр цилиндра, с массой M , внутренним радиусом R ₁ и внешним радиусом R ₂, имеет момент инерции, определяемый формула:

I = (1/2) M ( R ₁ ² + R ₂ ²)

Примечание: Если вы взяли эту формулу и установили R ₁ = R ₂ = R (или, что более уместно, взяли математический предел как R ₁ и R ₂ приближаются к общему радиусу R ), вы получите формулу для момента инерции полого тонкостенного цилиндра.

Прямоугольная пластина, сквозная ось

Тонкая прямоугольная пластина, вращающаяся вокруг оси, перпендикулярной центру пластины, с массой M и длинами сторон a и b , имеет момент инерции, определяемый по формуле:

I = (1/12) M ( a ² + b ²)

Прямоугольная пластина, ось вдоль кромки

Тонкая прямоугольная пластина, вращающаяся вокруг оси вдоль одного края пластины, с массой M и длинами сторон a и b , где a — расстояние, перпендикулярное оси вращения, имеет момент инерция определяется по формуле:

I = (1/3) млн лет ²

Тонкая штанга, центральная ось

Тонкий стержень, вращающийся вокруг оси, проходящей через центр стержня (перпендикулярно его длине), с массой M и длиной L , имеет момент инерции, определяемый по формуле:

I = (1/12) ML ²

Тонкая штанга, сквозная ось с одного конца

Тонкий стержень, вращающийся вокруг оси, проходящей через конец стержня (перпендикулярно его длине), с массой M и длиной L , имеет момент инерции, определяемый по формуле:

I = (1/3) ML ²

10.4 Момент инерции и вращательная кинетическая энергия

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Опишите разницу между вращательной и поступательной кинетической энергией
Определите физическую концепцию момента инерции в терминах распределения массы от оси вращения
Объясните, как момент инерции твердых тел влияет на их кинетическую энергию вращения
Использование сохранения механической энергии для анализа систем, подвергающихся как вращению, так и поступательному перемещению
Расчет угловой скорости вращающейся системы при потерях энергии из-за неконсервативных сил

До сих пор в этой главе мы работали с кинематикой вращения: описанием движения вращающегося твердого тела с фиксированной осью вращения.В этом разделе мы определяем две новые величины, которые полезны для анализа свойств вращающихся объектов: момент инерции и кинетическая энергия вращения. Определив эти свойства, мы получим два важных инструмента, которые нам понадобятся для анализа динамики вращения.

Кинетическая энергия вращения

Любой движущийся объект обладает кинетической энергией. Мы знаем, как рассчитать это для тела, совершающего поступательное движение, но как насчет твердого тела, совершающего вращение? Это может показаться сложным, потому что каждая точка твердого тела имеет разную скорость.Однако мы можем использовать угловую скорость — которая одинакова для всего твердого тела — для выражения кинетической энергии вращающегося объекта. (Рисунок) показывает пример очень энергичного вращающегося тела: электрический точильный камень, приводимый в движение двигателем. Когда точильный камень выполняет свою работу, летят искры, возникает шум и вибрация. Эта система обладает значительной энергией, в том числе в виде тепла, света, звука и вибрации. Однако большая часть этой энергии находится в форме кинетической энергии вращения .{2} [/ latex], а скорость — это величина, которая различна для каждой точки на вращающемся теле вокруг оси, имеет смысл найти способ записать кинетическую энергию в единицах переменной [latex] \ omega [/ латекс], который одинаков для всех точек твердого вращающегося тела. {2}.{2} [/ latex], где r — расстояние от точечной частицы до оси вращения. В следующем разделе мы исследуем интегральную форму этого уравнения, которую можно использовать для вычисления момента инерции некоторых твердых тел правильной формы.

Момент инерции — это количественная мера инерции вращения, как и в поступательном движении, а масса — это количественная мера линейной инерции, то есть чем массивнее объект, тем больше у него инерции и тем больше у него сопротивление изменению линейной скорости.Точно так же, чем больше момент инерции твердого тела или системы частиц, тем больше его сопротивление изменению угловой скорости вокруг фиксированной оси вращения. Интересно посмотреть, как момент инерции изменяется с r, расстоянием до оси вращения массовых частиц (рисунок). Твердые тела и системы частиц с большей массой, сосредоточенные на большем расстоянии от оси вращения, имеют большие моменты инерции, чем тела и системы той же массы, но сосредоточенные около оси вращения.{2}. [/ латекс]

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия вращающегося твердого тела прямо пропорциональна моменту инерции и квадрату угловой скорости. Это используется в устройствах накопления энергии с маховиком и , которые предназначены для хранения большого количества кинетической энергии вращения. Многие автопроизводители сейчас тестируют в своих автомобилях маховик-накопители энергии, такие как маховик или система рекуперации кинетической энергии, показанные на (Рисунок).

Рисунок 10.18 A Маховик KERS (система рекуперации кинетической энергии), используемый в автомобилях. (кредит: «cmonville» / Flickr)

Вращательные и поступательные величины кинетической энергии и инерции приведены на (Рисунок). Столбец отношений не включен, потому что не существует константы, на которую мы могли бы умножить вращательную величину, чтобы получить поступательную величину, как это можно сделать для переменных на (рисунок). {2} [/ latex]

Пример

Момент инерции системы частиц

Шесть маленьких шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и 0.Длина 5 м. Масса каждой шайбы 20 г. Стержень вращается вокруг оси, расположенной на расстоянии 25 см, как показано на (Рисунок). а) Каков момент инерции системы? (b) Если снять две ближайшие к оси шайбы, каков момент инерции остальных четырех шайб? (c) Если система с шестью шайбами вращается со скоростью 5 об / с, какова ее кинетическая энергия вращения?

Рисунок 10.19 Шесть шайб расположены на расстоянии 10 см друг от друга на стержне незначительной массы и вращаются вокруг вертикальной оси.{2} = 1,73 \, \ text {J} [/ latex].

Значение

Мы можем видеть индивидуальные вклады в момент инерции. Массы, близкие к оси вращения, вносят очень небольшой вклад. Когда мы их сняли, это очень мало повлияло на момент инерции.

В следующем разделе мы обобщаем уравнение суммирования для точечных частиц и разрабатываем метод вычисления моментов инерции для твердых тел. На данный момент, однако, (рисунок) дает значения инерции вращения для обычных форм объектов вокруг заданных осей.

Рисунок 10.20 Значения инерции вращения для объектов общей формы

Применение кинетической энергии вращения

Теперь давайте применим идеи вращательной кинетической энергии и таблицы моментов инерции, чтобы получить представление об энергии, связанной с несколькими вращающимися объектами. Следующие ниже примеры также помогут вам освоить эти уравнения. Во-первых, давайте рассмотрим общую стратегию решения проблем с вращательной энергией.

Стратегия решения проблем: энергия вращения

Определите, какая энергия или работа задействованы во вращении.
Определите интересующую систему. Обычно помогает набросок.
Проанализируйте ситуацию, чтобы определить виды работы и задействованные энергии.
Если нет потерь энергии из-за трения и других неконсервативных сил, механическая энергия сохраняется, то есть [латекс] {K} _ {\ text {i}} + {U} _ {\ text {i}} = {K} _ {\ text {f}} + {U} _ {\ text {f}} [/ latex].
Если присутствуют неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, и другие формы энергии, такие как тепло и свет, могут входить в систему или выходить из нее.Определите, что это такое, и при необходимости рассчитайте их.
По возможности исключите термины, чтобы упростить алгебру.
Оцените численное решение, чтобы увидеть, имеет ли оно смысл в физической ситуации, представленной в формулировке задачи.

Пример

Расчет энергии вертолета

Типичный небольшой спасательный вертолет имеет четыре лопасти: каждая длиной 4,00 м и массой 50,0 кг ((Рисунок)). Лопасти можно представить как тонкие стержни, которые вращаются вокруг одного конца оси, перпендикулярной их длине.Вертолет имеет полную массу в снаряженном состоянии 1000 кг. (а) Рассчитайте кинетическую энергию вращения лопастей, когда они вращаются со скоростью 300 об / мин. (b) Рассчитайте поступательную кинетическую энергию вертолета, когда он летит со скоростью 20,0 м / с, и сравните ее с энергией вращения лопастей.

Рис. 10.21 (а) Эскиз четырехлопастного вертолета. (b) Спасательная операция на воде с участием вертолета спасательной службы Окленда Вестпак. (кредит b: «111 Emergency» / Flickr)

Стратегия

Вращательная и поступательная кинетические энергии могут быть вычислены по их определениям.{2}. [/ латекс]

Мы должны преобразовать угловую скорость в радианы в секунду и вычислить момент инерции, прежде чем мы сможем найти K . Угловая скорость [латекс] \ омега [/ латекс] составляет

[латекс] \ omega = \ frac {300 \, \ text {rev}} {1,00 \, \ text {min}} \, \ frac {2 \ pi \, \ text {rad}} {\ text {1 rev}} \, \ frac {1.00 \, \ text {min}} {60.0 \, \ text {s}} = \, 31.4 \, \ frac {\ text {rad}} {\ text {s}}. [/ латекс]

Момент инерции одной лопасти — это момент инерции тонкого стержня, вращающегося вокруг своего конца, указанного на (Рисунок).{5} \, \ text {J}} = 0,380. [/ латекс]

Значение

Отношение поступательной энергии к вращательной кинетической энергии составляет всего 0,380. Это соотношение говорит нам о том, что большая часть кинетической энергии вертолета находится в его вращающихся лопастях.

Пример

Энергия в бумеранге

Человек бросает бумеранг в воздух со скоростью 30,0 м / с под углом [латекс] 40,0 \ text {°} [/ latex] по отношению к горизонтали ((Рисунок)).{2} [/ latex], где [latex] L = 0,7 \, \ text {m} [/ latex]. а) Какова полная энергия бумеранга, когда он покидает руку? б) Насколько высоко бумеранг идет от высоты руки, если не учитывать сопротивление воздуха?

Рис. 10.22 Бумеранг подбрасывается в воздух под начальным углом [латекс] 40 \ text {°} [/ latex].

Стратегия

Мы используем определения вращательной и линейной кинетической энергии, чтобы найти полную энергию системы. Задача состоит в том, чтобы пренебречь сопротивлением воздуха, поэтому нам не нужно беспокоиться о потере энергии.{2} = 450,0 \, \ text {J}. [/ латекс]

Таким образом, полная энергия в бумеранге равна

. {2} [/ latex].{2} [/ latex], момент инерции увеличивается как квадрат расстояния до фиксированной оси вращения. Момент инерции — это вращательный аналог массы при линейном движении.

В системах, которые одновременно вращаются и поступательно, можно использовать сохранение механической энергии, если нет действующих неконсервативных сил. Полная механическая энергия сохраняется и является суммой вращательной и поступательной кинетической энергии и гравитационной потенциальной энергии.

Концептуальные вопросы

Что, если бы другая планета того же размера, что и Земля, была выведена на орбиту вокруг Солнца вместе с Землей. Будет ли момент инерции системы увеличиваться, уменьшаться или оставаться прежним?

Твердая сфера вращается вокруг своей оси с постоянной скоростью. Другая полая сфера той же массы и радиуса вращается вокруг своей оси через центр с той же скоростью вращения. Какая сфера имеет большую кинетическую энергию вращения?

Показать решение

Полая сфера, поскольку масса распределена дальше от оси вращения.

Проблемы

Система точечных частиц показана на следующем рисунке. Каждая частица имеет массу 0,3 кг, и все они лежат в одной плоскости. а) Каков момент инерции системы относительно данной оси? (b) Если система вращается со скоростью 5 об / с, какова ее кинетическая энергия вращения?

(a) Рассчитайте кинетическую энергию вращения Земли вокруг своей оси. б) Какова кинетическая энергия вращения Земли на ее орбите вокруг Солнца?

Показать решение

а.{33} \, \ text {J} [/ латекс]

Рассчитайте кинетическую энергию вращения колеса мотоцикла весом 12 кг, если его угловая скорость составляет 120 рад / с, а его внутренний радиус равен 0,280 м, а внешний радиус — 0,330 м.

Бейсбольный питчер бросает мяч движением, при котором предплечье вращается вокруг локтевого сустава, а также другие движения. Если линейная скорость мяча относительно локтевого сустава составляет 20,0 м / с на расстоянии 0,480 м от сустава, а момент инерции предплечья составляет [латекс] 0. {30} \, \ text {kg} [/ latex] и радиусом 10 км вращается с периодом 0.{42} \, \ text {J} [/ латекс]

Электрическая шлифовальная машинка, состоящая из вращающегося диска массой 0,7 кг и радиусом 10 см, вращается со скоростью 15 об / сек. При нанесении на грубую деревянную стену скорость вращения уменьшается на 20%. а) Какова конечная кинетическая энергия вращения вращающегося диска? б) Насколько уменьшилась его кинетическая энергия вращения?

Система состоит из диска массой 2,0 кг и радиусом 50 см, на котором установлен кольцевой цилиндр массой 1,0 кг с внутренним радиусом 20 см и внешним радиусом 30 см (см. Ниже).{2} [/ латекс]; б. [латекс] K = 621,8 \, \ text {J} [/ латекс]

Глоссарий

момент инерции: вращательная масса твердого тела, которая относится к тому, насколько легко или сложно будет изменить угловую скорость вращающегося твердого тела

кинетическая энергия вращения: кинетическая энергия от вращения объекта; это часть его полной кинетической энергии

Формула расчета момента инерции

🕑 Время чтения: 1 минута

Что такое момент инерции? Момент инерции , также называемый моментом инерции массы или угловой массой (единицы СИ кг м ²), является мерой сопротивления объекта изменениям скорости его вращения.Это вращательный аналог массы. То есть это инерция твердого вращающегося тела по отношению к его вращению. Момент инерции играет во вращательной динамике почти ту же роль, что и масса в базовой динамике, определяя взаимосвязь между угловым моментом и угловой скоростью, крутящим моментом и угловым ускорением, а также рядом других величин. Хотя простой скалярной обработки достаточно для многих ситуаций, более продвинутая тензорная обработка позволяет анализировать такие сложные системы, как волчки и движение гироскопа. Символ I и иногда J обычно используется для обозначения момента инерции. Момент инерции объекта относительно данной оси описывает, насколько сложно изменить его угловое движение вокруг этой оси. Например, рассмотрим два диска (A и B) одинаковой массы. Диск A имеет больший радиус, чем диск B. Предполагая, что существует однородная толщина и распределение массы, требуется больше усилий для ускорения диска A (изменения его угловой скорости), потому что его масса распределена дальше от его оси вращения: масса, которая находится дальше выходящая из этой оси должна при данной угловой скорости двигаться быстрее, чем масса ближе внутрь.В этом случае диск A имеет больший момент инерции, чем диск B. Момент инерции имеет две формы: скалярную форму I (используется, когда известна ось вращения) и более общую тензорную форму, которая не требует знания оси вращения. Скалярная форма I (часто называемая просто «моментом инерции») позволяет кратко проанализировать многие простые проблемы в динамике вращения, такие как скатывание объектов по склону и поведение шкивов. Например, в то время как блок любой формы будет скользить вниз с уменьшением трения с той же скоростью, катящиеся объекты могут спускаться с разной скоростью, в зависимости от их моментов инерции.Обруч будет опускаться медленнее, чем твердый диск той же массы и радиуса, потому что большая часть его массы расположена далеко от оси вращения, и, следовательно, ему нужно двигаться быстрее, если обруч катится с той же угловой скоростью. Однако для (более сложных) задач, в которых ось вращения может измениться, скалярная обработка неадекватна, и необходимо использовать тензорную обработку (хотя в особых случаях возможны сокращения). Примеры, требующие такой обработки, включают гироскопы, вершины и даже спутники, все объекты, выравнивание которых может изменяться.Момент инерции не следует путать с полярным моментом инерции, который является мерой способности объекта сопротивляться скручиванию (скручиванию).

Формула момента инерции: Простая формула момента инерции любого объекта, будь то точечная масса или 3D-структура, задается следующим образом: куда dm — масса бесконечно малой части тела и r — расстояние (перпендикулярно) от точечной массы до оси вращения.

Детальный анализ (Скалярный) момент инерции точечной массы, вращающейся вокруг известной оси, определяется выражением I является аддитивным.Таким образом, для твердого тела, состоящего из N точечных масс м _i с расстояниями r _i до оси вращения, сумма I равна сумме моментов инерции точечных масс: Для твердого тела, описываемого непрерывной функцией плотности массы? ( r ), I относительно известной оси может быть вычислено путем интегрирования квадрата расстояния (взвешенного по плотности массы) от точки в теле до вращения. ось: куда V — объем, занимаемый объектом.? — пространственная функция плотности объекта, а — координаты точки внутри тела. Диаграмма для расчета I диска. Здесь k, — 1/2, а r — радиус, используемый для определения момента. Основываясь только на размерном анализе, I неточечного объекта должен принимать форму: куда M — масса R — радиус объекта от центра масс (в некоторых случаях вместо этого используется длина объекта). k — это безразмерная константа, называемая константой инерции , которая изменяется в зависимости от рассматриваемого объекта.Инерционные константы используются для учета различий в размещении массы относительно центра вращения. Примеры включают: k = 1, тонкое кольцо или тонкостенный цилиндр вокруг его центра, k = 2/5, сплошная сфера вокруг центра k = 1/2, сплошной цилиндр или диск вокруг его центра.

Теорема о параллельной оси После того, как момент инерции был вычислен для вращений вокруг центра масс твердого тела, его можно удобно пересчитать и для всех параллельных осей вращения, не прибегая к формальному определению.Если ось вращения смещена на расстояние R от центра масс оси вращения (например, вращение диска вокруг точки на его периферии, а не через его центр), смещение и центр-момент инерции связаны следующее: Эта теорема также известна как правило о параллельных осях и является частным случаем теоремы о параллельных осях Штейнера.

Теорема о перпендикулярной оси Теорема о перпендикулярной оси для плоских объектов может быть продемонстрирована, если посмотреть на вклад в трёхосные моменты инерции от произвольного элемента массы.По моменту точечной массы вклады в каждый из осевых моментов инерции равны

Композитные тела Если тело можно разложить (физически или концептуально) на несколько составных частей, то момент инерции тела относительно данной оси получается путем суммирования моментов инерции каждой составной части вокруг той же заданной оси.

Моменты инерции общих форм

Массовый момент по уравнениям инерции | Инженеры Edge

Связанные ресурсы: механические станки

Уравнения массового момента инерции

Сопротивление и механика материалов

Момент инерции массы, обычно обозначаемый I, измеряет степень сопротивления объекта ускорению вращения вокруг оси и является вращательным аналогом массы.Моменты инерции масс имеют размерность масса × длина ². Его не следует путать со вторым моментом площади, который используется при расчетах изгиба.

Геометрически простые объекты имеют моменты инерции, которые можно выразить математически, но может быть непросто символически выразить момент инерции более сложных тел.

Точечная масса m (масса) на расстоянии r от оси вращения.

I = м R ²

Где:

I = момент инерции (фунт-м · фут ², кг · м ²)
m = масса (фунт-м, кг)
R = расстояние между осью и массой вращения (футы, м)

Моменты всех остальных моментов инерции объекта вычисляются из суммы моментов.

I = ∑ _i м _i R _i ² = m ₁ R ₁ ² + m ₂ R ₂ ² + ….. + m _n R _n ²

Массовый момент инерции

Инерция в общем случае может быть выражена как

I = к м R ²

Где:

k = инерционная постоянная
m = масса (фунт-м, г)
R = расстояние между осью и массой вращения (дюйм., мм)

Общее уравнение и калькулятор Расчет момента инерции массы ator

Некоторые типичные тела и их моменты инерции

Инерция цилиндра

Тонкостенный полый цилиндр :

Моменты инерции тонкостенного полого цилиндра сопоставимы с точечной массой и могут быть выражены как:

I = м R ²

Где:

м = масса полости (фунт м, кг)
R = расстояние между осью и тонкостенной полостью (футы, м)

Вычислитель массового момента инерции тонкостенного вала

Массовый момент инерции полого цилиндра (вала):

I = 1/2 м (R _i ² + R _o ²)

Где:

м = масса полости (фунт-м, кг)
R _i = расстояние между осью и внутренней полостью (дюймы, мм)
R _o = расстояние между осью и внешней полостью (дюймы, мм)

Калькулятор массового момента инерции вала полого цилиндра

Цельный цилиндр :

I = 1/2 м R ²

Где:

м = масса цилиндра (фунт-м, кг)
R = расстояние между осью и внешним цилиндром (дюймы, мм)

Калькулятор массового момента инерции цилиндра со сплошным валом

Массовая инерция сферы

Сфера полая тонкостенная :

I = 2/3 м R ²

Где:

м = масса полой сферы (фунт · м, кг)
R = расстояние между осью и полостью (дюймы, мм)

Калькулятор массового момента инерции тонкостенной сферы

Твердая сфера :

I = 2/5 м R ²

Где:

м = масса сферы (фунт · м, кг)
R = радиус в сфере (дюймы, мм)

Уравнение и калькулятор для цилиндра с твердой сферой Момент инерции массы

Плоскость прямоугольная

Моменты инерции для прямоугольной плоскости с осью, проходящей через центр :

I = m (a ² + b ²) / 12

Где:

a, b = короткая и длинная стороны (дюймы, мм)
m = масса шара (фунт · м, кг)

Калькулятор массового момента инерции для прямоугольной плоскости

Моменты инерции для прямоугольной плоскости с осью вдоль кромки:

I = (м ²) / 3

Где:

a = длина с обеих сторон (дюймы, мм)
m = масса шара (фунт · м, кг)

Калькулятор массового момента инерции прямоугольной пластины на кромке

Тонкая штанга

Моменты инерции тонкого стержня с осью, проходящей через центр:

I = (м L ²) / 12

Где:

L = длина стержня (дюйм., мм)
m = масса шара (фунт · м, кг)

Калькулятор момента инерции тонкой штанги

Моменты инерции тонкого стержня с осью:

I = 1/3 м L ²

L = длина стержня (дюймы, мм)
m = масса шара (фунт · м, кг)

Калькулятор момента инерции тонкого стержня около кромки

Дата / Время:

10.3: Динамика вращательного движения — вращательная инерция

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

Поймите взаимосвязь между силой, массой и ускорением.
Изучите поворачивающий эффект силы.
Изучите аналогию между силой и крутящим моментом, массой и моментом инерции, а также линейным ускорением и угловым ускорением.

Если вы когда-либо крутили колесо велосипеда или толкали карусель, вы знаете, что для изменения угловой скорости требуется сила, как показано на рисунке 10.4.1. Фактически, ваша интуиция надежно предсказывает многие из факторов, которые здесь задействованы. Например, мы знаем, что дверь открывается медленно, если мы нажимаем слишком близко к ее петлям. Кроме того, мы знаем, что чем массивнее дверь, тем медленнее она открывается. Первый пример подразумевает, что чем дальше от оси приложена сила, тем больше угловое ускорение; другое значение состоит в том, что угловое ускорение обратно пропорционально массе.Эти отношения должны казаться очень похожими на знакомые отношения между силой, массой и ускорением, воплощенные во втором законе движения Ньютона. На самом деле существуют точные вращательные аналоги как силы, так и массы.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Для вращения колеса велосипеда требуется сила. Чем больше сила, тем больше угловое ускорение. Чем массивнее колесо, тем меньше угловое ускорение. Если вы надавите на спицу ближе к оси, угловое ускорение будет меньше.

Чтобы установить точное соотношение между силой, массой, радиусом и угловым ускорением, рассмотрим, что произойдет, если мы приложим силу \ (F \) к точечной массе \ (m \), находящейся на расстоянии \ (r \) от точку поворота, как показано на рисунке 10.4.2. Поскольку сила перпендикулярна \ (r \), ускорение n \ (a = frac {F} {m} \) получается в направлении \ (F \). Мы можем переформулировать это уравнение так, чтобы \ (F = ma \), а затем искать способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин.2 \) называется инерцией вращения или моментом инерции точечной массы \ (m \) на расстоянии \ (r \) от центра вращения.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): объект поддерживается горизонтальным столом без трения и прикреплен к точке поворота шнуром, который обеспечивает центростремительную силу. Сила \ (F \) применяется к объекту перпендикулярно радиусу \ (r \), заставляя его ускоряться относительно точки поворота. 2 \) для всех точечных масс, из которых он состоит.2) \), как и следовало ожидать из его определения.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): Некоторая инерция вращения.

Общее соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением: \ [net \, \ tau = I \ alpha \] или \ [\ alpha = \ dfrac {net \, \ tau} {I}, \], где net \ (\ tau \) — это полный крутящий момент от всех сил относительно выбранной оси. Для простоты мы будем рассматривать только моменты, действующие под действием сил в плоскости вращения. Такие моменты могут быть положительными или отрицательными и складываются как обычные числа.Соотношение в \ (\ tau = I \ alpha \), \ (\ alpha = \ frac {net \, \ tau} {I} \) является вращательным аналогом второго закона Ньютона и очень широко применимо. Это уравнение действительно справедливо для любого крутящего момента , приложенного к любому объекту , относительно любой оси .

Как и следовало ожидать, чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение. Например, чем сильнее ребенок толкает карусель, тем быстрее она разгоняется. Кроме того, чем массивнее карусель, тем медленнее она разгоняется при том же крутящем моменте.Основное соотношение между моментом инерции и угловым ускорением состоит в том, что чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Но есть еще один нюанс. Момент инерции зависит не только от массы объекта, но и от его распределения массы относительно оси, вокруг которой он вращается. Например, карусель, полную детей, будет намного легче разогнать, если они будут стоять близко к ее оси, чем если все они будут стоять у внешнего края.Масса одинакова в обоих случаях; но момент инерции намного больше, когда дети находятся на грани.

Эксперимент на вынос

Вырежьте из плотного картона круг радиусом около 10 см. На краю круга напишите числа от 1 до 12, как часы на циферблате. Расположите круг так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг горизонтальной оси через его центр, как колесо. (Вы можете свободно прибить круг к стене.) Держите круг неподвижно и с номером 12, расположенным вверху, прикрепите кусок синей замазки (липкий материал, используемый для крепления плакатов к стенам) на номер 3.Насколько большим должен быть кусок, чтобы просто вращать круг? Опишите, как можно изменить момент инерции круга. Как это изменение повлияет на количество синей замазки, необходимое для числа 3, чтобы просто повернуть круг? Измените момент инерции круга, а затем попробуйте повернуть круг, используя разное количество синей замазки. Повторите этот процесс несколько раз.

Стратегия решения проблем для динамики вращения

Изучите ситуацию, чтобы определить, что крутящий момент и масса участвуют во вращении .Нарисуйте тщательный набросок ситуации.
Определите интересующую систему .
Нарисуйте схему свободного тела . То есть нарисуйте и обозначьте все внешние силы, действующие на интересующую систему.
Применить \ (net \, \ tau = \ alpha \), \ (\ alpha = \ frac {net \, \ tau} {I}, \)
вращательный эквивалент второго закона Ньютона, чтобы решить задачу . Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильный момент инерции и учитывать крутящий момент относительно точки вращения.
Как всегда, проверьте правильность решения .

Установление соединений: статика против кинетики

В статике чистый крутящий момент равен нулю, а угловое ускорение отсутствует. Во вращательном движении чистый крутящий момент является причиной углового ускорения, как и во втором законе движения Ньютона для вращения.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): расчет эффекта распределения массы

Представьте, что отец толкает карусель на детской площадке на рисунке.Он прилагает силу 250 Н к краю карусели массой 50,0 кг, радиус которой составляет 1,50 м. Вычислите угловое ускорение, возникающее (а), когда никого нет на карусели, и (б), когда ребенок весом 18,0 кг сидит на расстоянии 1,25 м от центра. 2, \], где \ (M = 50.2}. \]

Обсуждение

Угловое ускорение меньше, когда ребенок находится на карусели, чем когда карусель пуста, как и ожидалось. Обнаруженные угловые ускорения довольно велики, отчасти из-за того, что трение считалось незначительным. Если, например, отец продолжал толкать перпендикулярно в течение 2,00 с, он дал бы карусели угловую скорость 13,3 рад / с, когда она пуста, и только 8,89 рад / с, когда на ней сидит ребенок.В оборотах в секунду эти угловые скорости составляют 2,12 об / с и 1,41 об / с соответственно. В первом случае отец разгонялся до 50 км / ч. Летние Олимпийские игры, вот он! Подтверждение этих чисел оставлено читателю в качестве упражнения.

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \): проверьте свое понимание

Крутящий момент является аналогом силы, а момент инерции является аналогом массы. Сила и масса — это физические величины, которые зависят только от одного фактора.Например, масса связана исключительно с количеством атомов различных типов в объекте. Одинаково ли просты крутящий момент и момент инерции?

№ Крутящий момент зависит от трех факторов: величины силы, направления силы и точки приложения. Момент инерции зависит как от массы, так и от ее распределения относительно оси вращения. Таким образом, хотя аналогии точны, эти вращательные величины зависят от большего числа факторов

Сводка

Чем дальше от оси приложена сила, тем больше угловое ускорение; угловое ускорение обратно пропорционально массе.
Если мы приложим силу \ (F \) к точечной массе \ (m \), которая находится на расстоянии r от точки поворота, и поскольку сила перпендикулярна r и ускорению \ (a = F / m \) получается в направлении \ (F \). Мы можем переписать это уравнение так, чтобы \ [F = ma, \], а затем искать способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин. Заметим, что \ (a = r \ alpha \), и мы подставляем это выражение в \ (F = ma \), получая \ [F = mr \ alpha \]
Крутящий момент — это эффективность силы при повороте.2. \]
Общее соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением: \ [\ tau = I \ alpha \] или \ [\ alpha = \ dfrac {net \, \ tau} {I}. \]

Глоссарий

крутящий момент: эффективность поворота силы

инерция вращения: сопротивление изменению вращения. Чем больше инерция вращения у объекта, тем труднее его вращать

момент инерции: масса, умноженная на квадрат расстояния по перпендикуляру от оси вращения; для точечной массы это I = mr2, и, поскольку любой объект может быть создан из набора точечных масс, это соотношение является основой для всех других моментов инерции

Авторы и авторство

Пол Питер Урон (почетный профессор Калифорнийского государственного университета, Сакраменто) и Роджер Хинрикс (Государственный университет Нью-Йорка, колледж в Освего) с участвующими авторами: Ким Диркс (Оклендский университет) и Манджула Шарма (Сиднейский университет).Эта работа лицензирована OpenStax University Physics в соответствии с лицензией Creative Commons Attribution License (4.0).

22A: Центр масс, момент инерции

Довольно часто, когда требуется нахождение положения центра масс распределения частиц, распределение частиц представляет собой совокупность частиц, составляющих твердое тело. Самым простым твердым телом, для которого можно вычислить центр масс, является тонкий стержень, потому что он простирается только в одном измерении.(Здесь мы обсуждаем идеальный тонкий стержень. Физический тонкий стержень должен иметь ненулевой диаметр. Однако идеальный тонкий стержень является хорошим приближением к физическому тонкому стержню, если диаметр стержня мал по сравнению с его длиной. .)

В простейшем случае вычисление положения центра масс тривиально. В простейшем случае используется однородный тонкий стержень. Однородный тонкий стержень — это стержень, для которого линейная массовая плотность \ (\ mu \), масса на длину стержня, имеет одно и то же значение во всех точках стержня.Центр масс однородного стержня находится в центре стержня. Так, например, центр масс однородного стержня, который простирается вдоль оси x от \ (x = 0 \) до \ (x = L \), находится в (L / 2, 0).

Линейная массовая плотность \ (\ mu \), обычно называемая линейной плотностью, когда контекст ясен, является мерой того, насколько плотно упакованы элементарные частицы, составляющие стержень. При высокой линейной плотности частицы расположены близко друг к другу.

Чтобы представить себе, что подразумевается под неоднородным стержнем, стержнем, линейная плотность которого является функцией положения, представьте себе тонкий стержень, сделанный из сплава, состоящего из свинца и алюминия.Далее представьте, что процентное содержание свинца в стержне плавно изменяется от 0% на одном конце стержня до 100% на другом. Линейная плотность такого стержня будет функцией положения по длине стержня. Одномиллиметровый сегмент стержня в одном положении будет иметь массу, отличную от массы миллиметрового сегмента стержня в другом положении.

Людям, имеющим некоторое отношение к исчислению, легче понять, что такое линейная плотность, чем людям без исчисления, потому что линейная плотность — это просто отношение количества массы в сегменте стержня к длине сегмента, в пределе длина сегмента стремится к нулю.Рассмотрим стержень, который простирается от \ (0 \) до \ (L \) вдоль оси \ (x \). Теперь предположим, что \ (m_s (x) \) — это масса того сегмента стержня, который простирается от \ (0 \) до \ (x \), где \ (x \ ge0 \), но \ (x

Теперь, когда у вас есть хорошее представление о том, что мы подразумеваем под линейной плотностью массы, мы собираемся проиллюстрировать на примере, как определить положение центра масс неоднородного тонкого стержня.2 \).

Решение

Чтобы определить положение центра масс стержня с заданной длиной и заданной линейной плотностью как функцию положения, сначала необходимо найти массу стержня. такой стержень. Для этого у кого-то может возникнуть соблазн использовать метод, который работает только для частного случая однородного стержня, а именно, попробовать использовать \ (m = \ mu L \), где \ (L \) — длина стержня. . Проблема в том, что \ (\ mu \) меняется по всей длине стержня.Какое значение использовать для \ (\ mu \)? У кого-то может возникнуть соблазн оценить данное \ (\ mu \) в \ (x = L \) и использовать его, но это будет действовать так, как если бы линейная плотность была постоянной в \ (\ mu = \ mu (L) \ ). Нет. Фактически, в данном случае \ (\ mu (L) \) — это максимальная линейная плотность стержня, она имеет это значение только в одной точке стержня.

Что мы можем сделать, так это сказать, что бесконечно малое количество массы \ (dm \) в сегменте \ (dx \) стержня равно \ (\ mu dx \). Здесь мы говорим, что в некоторой позиции \ (x \) на стержне количество массы на бесконечно малой длине \ (dx \) стержня является значением \ (\ mu \) при этом \ (x \) значение, умноженное на бесконечно малую длину \ (dx \).Здесь нам не нужно беспокоиться о том, что \ (\ mu \) изменяется с положением, поскольку сегмент \ (dx \) бесконечно мал, что означает, по сути, что он имеет нулевую длину, поэтому весь сегмент по существу находится на одна позиция \ (x \) и, следовательно, значение \ (\ mu \) при этом \ (x \) хорошо для всего отрезка \ (dx \).

\ [dm = \ mu (x) dx \ label {22-2} \]

Теперь это верно для любого значения \ (x \), но оно просто покрывает бесконечно малый сегмент стержня на $Икс$. Чтобы получить массу всего стержня, нам нужно сложить все эти вклады в массу.Конечно, поскольку каждый \ (dm \) соответствует бесконечно малой длине стержня, у нас будет бесконечное количество членов в сумме всех \ (dm \) ‘s. Бесконечная сумма бесконечно малых членов есть интеграл.

\ [\ int dm = \ int_ {0} {L} \ mu (x) dx \ label {22-3} \]

, где значения \ (x \) должны начинаться с \ (0 \ ) к \ (L \), чтобы покрыть длину стержня, отсюда и пределы справа. Теперь математики предоставили нам богатый набор алгоритмов для вычисления интегралов, и нам действительно нужно будет добраться до этого набора инструментов, чтобы вычислить интеграл справа, но чтобы вычислить интеграл слева, мы не можем, не должны и не буду обращаться к такому алгоритму.Вместо этого мы используем здравый смысл и наше концептуальное понимание того, что означает интеграл слева. В контексте рассматриваемой проблемы \ (\ int dm \) означает «сумму всех бесконечно малых бит массы, составляющих стержень». Теперь, если вы сложите все бесконечно малые части массы, составляющие стержень, вы получите массу стержня. Итак, \ (\ int dm \) — это просто масса стержня, который мы назовем \ (m \). Уравнение \ (\ ref {22-3} \) тогда принимает вид

\ [m = \ int_ {0} {L} \ mu (x) dx \ label {22-4} \]

Замена \ (\ mu (x) \) с заданным выражением для линейной плотности \ (\ mu = 0.3} {3} \]

\ [m = 0.1527kg \]

Это значение пригодится при вычислении положения центра масс. Теперь, когда мы вычислили центр масс набора дискретных частиц (где дискретная частица — это та, которая сама по себе, в отличие, например, от того, чтобы быть частью твердого тела), мы просто выполнили взвешенную сумму, в которой каждый член был положением частицы, умноженным на ее весовой коэффициент, а весовой коэффициент был той долей от общей массы, представленной массой частицы.Мы выполняем аналогичную процедуру для непрерывного распределения массы, такой как та, которая составляет рассматриваемый стержень. Начнем с написания одного члена суммы. Мы рассмотрим бесконечно малую длину стержня \ (dx \) в точке \ (x \) по длине стержня. Положение, как только что было сказано, равно \ (x \), а весовой коэффициент — это та доля от общей массы \ (m \) стержня, что масса \ (dm \) бесконечно малой длины \ (dx \) представляет собой. Это означает, что весовой коэффициент равен \ (\ frac {dm} {m} \), поэтому член в нашей взвешенной сумме позиций выглядит так:

\ [\ frac {dm} {m} x \]

Теперь , \ (dm \) можно выразить как \ (\ mu \) \ (dx \), поэтому наше выражение для члена взвешенной суммы можно записать как

\ [\ frac {\ mu dx} {m} x \]

Это один член взвешенной суммы положений, сумма, которая дает положение центра масс.Дело в том, что, поскольку значение \ (x \) не указано, этот один член подходит для любого бесконечно малого сегмента полосы. Каждый член в сумме выглядит точно так же. Итак, у нас есть выражение для каждого члена суммы. Конечно, поскольку выражение предназначено для бесконечно малой длины стержня \ (dx \), в сумме будет бесконечное количество членов. Итак, снова у нас есть бесконечная сумма бесконечно малых членов. То есть снова у нас есть интеграл. Наше выражение для положения центра масс:

\ [\ bar {x} = \ int_ {0} {L} \ frac {\ mu dx} {m} x \]

Подставляем данное выражение \ (\ му (х) = 0.3} {3} \), которое мы вывели для массы, а не значения, которое мы получили при вычислении этого выражения, наше выражение для \ (\ bar {x} \) упростилось бы до \ (\ frac {3} { 4} L \), который оценивается как \ (\ bar {x} = 0,668 м \), тот же результат, что и выше.

10.5 Расчет моментов инерции — University Physics Volume 1

В предыдущем разделе мы определили момент инерции, но не показали, как его вычислить. В этом разделе мы покажем, как рассчитать момент инерции для нескольких стандартных типов объектов, а также как использовать известные моменты инерции, чтобы найти момент инерции для смещенной оси или для составного объекта.Этот раздел очень полезен для того, чтобы увидеть, как применить общее уравнение к сложным объектам (навык, который имеет решающее значение для более продвинутых курсов физики и инженерии).

Момент инерции

Мы определили момент инерции I объекта как I = ∑imiri2I = imiri2 для всех точечных масс, составляющих объект. Поскольку r — это расстояние до оси вращения от каждой части массы, составляющей объект, момент инерции для любого объекта зависит от выбранной оси.Чтобы убедиться в этом, давайте возьмем простой пример двух масс на конце безмассового (пренебрежимо малая масса) стержня (рис. 10.23) и вычислим момент инерции относительно двух разных осей. В этом случае суммирование по массам является простым, потому что две массы на конце штанги могут быть аппроксимированы как точечные массы, и поэтому сумма имеет только два члена.

В случае с осью в центре штанги, каждая из двух масс м находится на расстоянии R от оси, что дает момент инерции

I1 = mR2 + mR2 = 2mR2.I1 = mR2 + mR2 = 2mR2.

В случае с осью на конце штанги, проходящей через одну из масс, момент инерции равен

. I2 = m (0) 2 + m (2R) 2 = 4mR2. I2 = m (0) 2 + m (2R) 2 = 4mR2.

Из этого результата можно сделать вывод, что вращать штангу вокруг конца в два раза сложнее, чем вокруг ее центра.

Фигура 10,23 а) штанга с осью вращения, проходящей через ее центр; (б) штанга с осью вращения, проходящей через один конец.

В этом примере у нас было две точечные массы, и сумму было просто вычислить.Однако, чтобы иметь дело с объектами, которые не являются точечными, нам нужно тщательно продумать каждый из членов уравнения. Уравнение просит нас суммировать каждый «кусок массы» на определенном расстоянии от оси вращения. Но что именно означает каждый «кусок массы»? Напомним, что при выводе этого уравнения каждая часть массы имела одинаковую величину скорости, что означает, что вся часть должна находиться на одном расстоянии r от оси вращения. Однако это невозможно, если мы не возьмем бесконечно малый кусок массой дм , как показано на рисунке 10.24.

Фигура 10,24 Использование бесконечно малой массы для вычисления вклада в общий момент инерции.

Необходимость использовать бесконечно малый кусок массы дм предполагает, что мы можем записать момент инерции, вычисляя интеграл по бесконечно малым массам, а не делая дискретную сумму по конечным массам:

I = imiri2becomesI = ∫r2dm.I = ∑imiri2becomesI = ∫r2dm.

10,19

Фактически, это та форма, которая нам нужна для обобщения уравнения для сложных форм.Лучше всего подробно проработать конкретные примеры, чтобы понять, как рассчитать момент инерции для конкретных форм. Этому посвящена большая часть остальной части этого раздела.

Однородный тонкий стержень с осью через центр

Рассмотрим однородный (по плотности и форме) тонкий стержень массой M и длиной L , как показано на рисунке 10.25. Нам нужен тонкий стержень, чтобы мы могли предположить, что площадь поперечного сечения стержня мала и стержень можно представить как набор масс вдоль одномерной прямой линии.В этом примере ось вращения перпендикулярна стержню и для простоты проходит через среднюю точку. Наша задача — вычислить момент инерции относительно этой оси. Ориентируем оси так, чтобы ось z была осью вращения, а ось x проходила по длине стержня, как показано на рисунке. Это удобный выбор, потому что мы можем интегрировать по оси x .

Фигура 10,25 Расчет момента инерции I для однородного тонкого стержня вокруг оси, проходящей через центр стержня.

Мы определяем дм как небольшой элемент массы, составляющий стержень. Интеграл момента инерции является интегралом по распределению масс. Однако мы знаем, как интегрироваться по пространству, а не по массе. Поэтому нам нужно найти способ связать массу с пространственными переменными. Мы делаем это, используя линейную плотность массы объекта λλ, которая является массой на единицу длины. Поскольку массовая плотность этого объекта однородна, мы можем написать

λ = mlorm = λl. λ = mlorm = λl.

Если мы возьмем дифференциал каждой части этого уравнения, мы найдем

dm = d (λl) = λ (dl) dm = d (λl) = λ (dl)

, поскольку λλ постоянно.Для удобства мы решили сориентировать штангу по оси x — именно здесь такой выбор становится очень полезным. Обратите внимание, что часть стержня dl полностью лежит вдоль оси x и имеет длину dx ; фактически, в этой ситуации dl = dxdl = dx. Поэтому мы можем написать dm = λ (dx) dm = λ (dx), что даст нам переменную интегрирования, с которой мы знаем, как обращаться. Расстояние каждого куска массой дм от оси задается переменной x , как показано на рисунке.Собирая все вместе, получаем

I = ∫r2dm = ∫x2dm = ∫x2λdx.I = ∫r2dm = ∫x2dm = ∫x2λdx.

Последний шаг — быть осторожным с нашими пределами интеграции. Стержень простирается от x = −L / 2x = −L / 2 до x = L / 2x = L / 2, поскольку ось находится в середине стержня в точке x = 0x = 0. Это дает нам

I = ∫ − L / 2L / 2×2λdx = λx33 | −L / 2L / 2 = λ (13) [(L2) 3 — (- L2) 3] = λ (13) L38 (2) = ML (13) L38 (2) = 112ML2.I = ∫ − L / 2L / 2×2λdx = λx33 | −L / 2L / 2 = λ (13) [(L2) 3 — (- L2) 3] = λ (13) L38 (2) = ML (13) L38 (2) = 112ML2.

Затем мы вычисляем момент инерции для того же однородного тонкого стержня, но с другим выбором оси, чтобы мы могли сравнить результаты.Мы ожидаем, что момент инерции будет меньше относительно оси, проходящей через центр масс, чем ось конечной точки, как это было в примере со штангой в начале этого раздела. Это происходит потому, что больше массы распределяется дальше от оси вращения.

Однородный тонкий стержень с осью на конце

Теперь рассмотрим тот же однородный тонкий стержень массой M и длиной L , но на этот раз переместим ось вращения на конец стержня. Мы хотим найти момент инерции относительно этой новой оси (рисунок 10.26). Количество дм снова определяется как небольшой элемент массы, составляющий стержень. Как и раньше, получаем

I = ∫r2dm = ∫x2dm = ∫x2λdx.I = ∫r2dm = ∫x2dm = ∫x2λdx.

Однако на этот раз у нас другие пределы интеграции. Стержень простирается от x = 0x = 0 до x = Lx = L, так как ось находится на конце стержня в точке x = 0x = 0. Следовательно, находим

I = ∫0Lx2λdx = λx33 | 0L = λ (13) [(L) 3− (0) 3] = λ (13) L3 = ML (13) L3 = 13ML2.I = ∫0Lx2λdx = λx33 | 0L = λ ( 13) [(L) 3− (0) 3] = λ (13) L3 = ML (13) L3 = 13ML2.

Фигура 10.26 Расчет момента инерции I для однородного тонкого стержня вокруг оси, проходящей через конец стержня.

Обратите внимание, что инерция вращения стержня вокруг его конца больше, чем инерция вращения относительно его центра (в соответствии с примером штанги) в четыре раза.

Теорема о параллельной оси

Сходство между процессом определения момента инерции стержня вокруг оси, проходящей через его середину, и вокруг оси, проходящей через его конец, поразительно, и позволяет предположить, что существует более простой метод определения момента инерции стержня, проходящего через его середину. любая ось параллельна оси, проходящей через центр масс.Такая ось называется параллельной осью. Для этого есть теорема, называемая теоремой о параллельных осях, которую мы формулируем здесь, но не выводим в этом тексте.

Теорема о параллельных осях

Пусть м будет массой объекта и пусть d будет расстоянием от оси, проходящей через центр масс объекта, до новой оси. Тогда у нас

Параллельная ось = центр массы + md2. Параллельная ось = центр массы + md2.

10.20

Давайте применим это к примерам стержней, решенным выше:

Iend = Центр массы + md2 = 112mL2 + m (L2) 2 = (112 + 14) mL2 = 13mL2.Iend = Центр массы + md2 = 112mL2 + m (L2) 2 = (112 + 14) mL2 = 13mL2.

Этот результат согласуется с нашим более длинным вычислением, приведенным выше. Это полезное уравнение, которое мы применяем в некоторых примерах и задачах.

Проверьте свое понимание 10,5

Каков момент инерции цилиндра радиусом R и массой м относительно оси, проходящей через точку на поверхности, как показано ниже?

Единый тонкий диск вокруг оси через центр

Интегрирование для определения момента инерции двумерного объекта немного сложнее, но на этом уровне исследования обычно делается одна форма — однородный тонкий диск вокруг оси, проходящей через его центр (рис.27).

Фигура 10,27 Вычисление момента инерции тонкого диска вокруг оси, проходящей через его центр.

Поскольку диск тонкий, мы можем считать массу распределенной целиком в плоскости xy . Мы снова начнем с соотношения для поверхностной плотности массы, которая представляет собой массу на единицу площади поверхности. Поскольку он однороден, поверхностная плотность массы σσ постоянна:

σ = mA или σA = m, sodm = σ (dA). σ = mA или σA = m, sodm = σ (dA).

Теперь мы используем упрощение для области.Эту область можно представить как состоящую из серии тонких колец, где каждое кольцо представляет собой приращение массы дм с радиусом r , равноудаленным от оси, как показано в части (b) рисунка. Бесконечно малая площадь каждого кольца dA , таким образом, определяется длиной каждого кольца (2πr2πr), умноженной на бесконечно малую ширину каждого кольца dr :

A = πr2, dA = d (πr2) = πdr2 = 2πrdr.A = πr2, dA = d (πr2) = πdr2 = 2πrdr.

Полная площадь диска складывается из всех тонких колец с радиусом от 0 до R .Затем этот диапазон радиусов становится нашими пределами интегрирования для dr , то есть мы интегрируем от r = 0r = 0 до r = Rr = R. Собирая все вместе, получаем

I = ∫0Rr2σ (2πr) dr = 2πσ∫0Rr3dr = 2πσr44 | 0R = 2πσ (R44−0) = 2πmA (R44) = 2πmπR2 (R44) = 12mR2. | 0R = 2πσ (R44−0) = 2πmA (R44) = 2πmπR2 (R44) = 12mR2.

Обратите внимание, что это соответствует значению, приведенному на рисунке 10.20.

Расчет момента инерции составных объектов

Теперь рассмотрим составной объект, такой как на рисунке 10.28, на котором изображен тонкий диск на конце тонкого стержня. Это не может быть легко интегрировано, чтобы найти момент инерции, потому что это объект неоднородной формы. Однако, если мы вернемся к первоначальному определению момента инерции как суммы, мы можем заключить, что момент инерции составного объекта может быть найден из суммы каждой части объекта:

Itotal = ∑iIi.Itotal = ∑iIi.

10.21

Важно отметить, что моменты инерции объектов в уравнении 10.21 — это вокруг общей оси . В случае этого объекта это был бы стержень длиной L , вращающийся вокруг своего конца, и тонкий диск радиусом R , вращающийся вокруг оси, смещенной от центра на расстояние L + RL + R, где R — радиус диска. Давайте определим массу стержня как mrmr, а массу диска как md.md.

Фигура 10,28 Составной объект, состоящий из диска на конце стержня. Ось вращения расположена у A .

Момент инерции стержня равен 13mrL213mrL2, но мы должны использовать теорему о параллельных осях, чтобы найти момент инерции диска относительно показанной оси. Момент инерции диска относительно его центра равен 12mdR212mdR2, и мы применяем теорему о параллельных осях: Iparallel-axis = Icenter of mass + md2Iparallel-axis = Icenter of mass + md2, чтобы найти

. Параллельная ось = 12mdR2 + md (L + R) 2. Параллельная ось = 12mdR2 + md (L + R) 2.

Складывая момент инерции стержня плюс момент инерции диска со смещенной осью вращения, мы получаем, что момент инерции составного объекта равен

Itotal = 13mrL2 + 12mdR2 + md (L + R) 2.Itotal = 13mrL2 + 12mdR2 + md (L + R) 2.

Применение расчета момента инерции для решения задач

Теперь давайте рассмотрим некоторые практические применения расчета момента инерции.

Пример 10.11

Человек на карусели

Ребенок весом 25 кг стоит на расстоянии r = 1,0 м = 1,0 м от оси вращающейся карусели (рис. 10.29). Карусель можно представить как сплошной однородный диск массой 500 кг и радиусом 2,0 м. Найдите момент инерции этой системы.

Фигура 10.29 Расчет момента инерции ребенка на карусели.

Стратегия

Эта задача включает вычисление момента инерции. Нам даны масса и расстояние до оси вращения ребенка, а также масса и радиус карусели. Поскольку масса и размер ребенка намного меньше, чем у карусели, мы можем аппроксимировать ребенка как точечную массу. Мы используем следующие обозначения: mc = 25kg, rc = 1.0m, mm = 500kg, rm = 2.0mmc = 25 кг, rc = 1,0 м, мм = 500 кг, rm = 2,0 м.

Наша цель — найти Itotal = ∑iIiItotal = ∑iIi.

Решение

Для ребенка Ic = mcr2Ic = mcr2, а для карусели Im = 12mmr2Im = 12mmr2. Следовательно Итого = 25 (1) 2 + 12 (500) (2) 2 = 25 + 1000 = 1025 кг · м2. Итого = 25 (1) 2 + 12 (500) (2) 2 = 25 + 1000 = 1025 кг · м2.

Значение

Значение должно быть близко к моменту инерции карусели, потому что она имеет гораздо большую массу, распределенную от оси, чем ребенок.

Пример 10.12

Жезл и твердая сфера

Найдите момент инерции стержня и твердой сферы вокруг двух осей, как показано ниже. Удочка имеет длину 0,5 м и массу 2,0 кг. Радиус сферы 20,0 см, масса 1,0 кг.

Стратегия

Поскольку в обоих случаях у нас есть составной объект, мы можем использовать теорему о параллельных осях, чтобы найти момент инерции относительно каждой оси. В (а) центр масс сферы расположен на расстоянии L + RL + R от оси вращения.На (b) центр масс сферы расположен на расстоянии R от оси вращения. В обоих случаях момент инерции стержня действует относительно оси на одном конце. Обратитесь к Таблице 10.4, где указаны моменты инерции для отдельных объектов.

Itotal = ∑iIi = IRod + ISphereItotal = ∑iIi = IRod + ISphere;
ISphere = Icenter массы + mSphere (L + R) 2 = 25mSphereR2 + mSphere (L + R) 2ISphere = Icenter массы + mSphere (L + R) 2 = 25mSphereR2 + mSphere (L + R) 2;
Itotal = IRod + ISphere = 13mRodL2 + 25mSphereR2 + mSphere (L + R) 2; Itotal = IRod + ISphere = 13mRodL2 + 25mSphereR2 + mSphere (L + R) 2;
Итого = 13 (2.0 кг) (0,5 м) 2 + 25 (1,0 кг) (0,2 м) 2+ (1,0 кг) (0,5 м + 0,2 м) 2; Itotal = 13 (2,0 кг) (0,5 м) 2 + 25 (1,0 кг) (0,2 м) 2+ (1,0 кг) (0,5 м + 0,2 м) 2;
Итого = (0,167 + 0,016 + 0,490) кг · м2 = 0,673 кг · м2. Итого = (0,167 + 0,016 + 0,490) кг · м2 = 0,673 кг · м2.
ISphere = 25mSphereR2 + mSphereR2ISphere = 25mSphereR2 + mSphereR2;
Itotal = IRod + ISphere = 13mRodL2 + 25mSphereR2 + mSphereR2Itotal = IRod + ISphere = 13mRodL2 + 25mSphereR2 + mSphereR2;
Итого = 13 (2,0 кг) (0,5 м) 2 + 25 (1,0 кг) (0,2 м) 2+ (1,0 кг) (0,2 м) 2 Итого = 13 (2,0 кг) (0,5 м) 2 + 25 (1,0 кг) (0,2 м) 2+ (1.0 кг) (0,2 м) 2;
Итого = (0,167 + 0,016 + 0,04) кг · м2 = 0,223 кг · м2. Итого = (0,167 + 0,016 + 0,04) кг · м2 = 0,223 кг · м2.

Значение

Использование теоремы о параллельных осях упрощает вычисление момента инерции составных объектов. Мы видим, что момент инерции больше в (а), чем в (б). Это потому, что ось вращения находится ближе к центру масс системы в (b). Простая аналогия — это стержень. Момент инерции относительно одного конца составляет 13mL213mL2, но момент инерции через центр масс по его длине равен 112mL2112mL2.

Пример 10,13

Угловая скорость маятника

Маятник в форме стержня (рис. 10.30) выходит из состояния покоя под углом 30 ° 30 °. Он имеет длину 30 см и массу 300 г. Какова его угловая скорость в самой низкой точке? Фигура 10.30 Маятник в виде стержня выходит из состояния покоя под углом 30 ° 0,30 °.

Стратегия

Используйте сохранение энергии для решения проблемы. В момент срабатывания маятник обладает гравитационной потенциальной энергией, которая определяется по высоте центра масс над его самой низкой точкой при качании.В нижней части качелей вся потенциальная гравитационная энергия преобразуется в кинетическую энергию вращения.

Решение

Изменение потенциальной энергии равно изменению кинетической энергии вращения, ΔU + ΔK = 0ΔU + ΔK = 0.

В верхней части колебания: U = mghcm = mgL2 (cosθ) U = mghcm = mgL2 (cosθ). В нижней части колебания U = mgL2.U = mgL2.

В верхней части качелей кинетическая энергия вращения K = 0K = 0. Внизу качелей K = 12Iω2K = 12Iω2. Следовательно:

ΔU + ΔK = 0⇒ (mgL2 (1 − cosθ) −0) + (0−12Iω2) = 0ΔU + ΔK = 0⇒ (mgL2 (1 − cosθ) −0) + (0−12Iω2) = 0

или

12Iω2 = mgL2 (1 — cosθ).

Момент инерции материальной точки

Момент инерции

Момент инерции — это… Что такое Момент инерции?

Осевой момент инерции

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Осевые моменты инерции некоторых тел

Вывод формул

Безразмерные моменты инерции планет и их спутников

Центробежный момент инерции

Геометрический момент инерции

Центральный момент инерции

См. также

Примечания

Литература

Ссылки

в чем измеряется, от чего зависит, как обозначается

Момент инерции и его физический смысл

Единицы измерения в системе СИ

Как рассчитать момент инерции, формула

Виды моментов инерции

Момент инерции тела относительно оси вращения

Моменты инерции простейших объектов

Примеры решения задач

простое пояснение, значении в физике, формулы, примеры

Что такое инерция?

Определение момента инерции

Формула момента инерции

Теорема Гюйгенса – Штейнера

Моменты инерции простейших объектов

Рекомендованная литература и полезные ссылки

Момент инерции, видео

лабораторная работа 109

Динамика системы материальных точек. Кинетическая энергия твердого тела.

Динамика системы материальных точек

Уравнение поступательного движения твердого тела

Уравнение вращательного движения твердого тела

Моменты инерции тел вращения

Кинетическая энергия твердого тела

Тело движется поступательно

Тело вращается вокруг неподвижной оси

Тело движется плоскопараллельно

Главная страница

Дистанционное образование

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Формула момента инерции и другие физические формулы

Общая формула

Интегральная формула

Твердая сфера

Полая тонкостенная сфера

Цельный цилиндр

Полый тонкостенный цилиндр

Полый цилиндр

Прямоугольная пластина, сквозная ось

Прямоугольная пластина, ось вдоль кромки

Тонкая штанга, центральная ось

Тонкая штанга, сквозная ось с одного конца

10.4 Момент инерции и вращательная кинетическая энергия

Цели обучения

Кинетическая энергия вращения

Пример

Момент инерции системы частиц

Значение

Применение кинетической энергии вращения

Стратегия решения проблем: энергия вращения

Пример

Расчет энергии вертолета

Стратегия

Значение

Пример

Энергия в бумеранге

Стратегия

Концептуальные вопросы

Проблемы

Глоссарий

Формула расчета момента инерции

Массовый момент по уравнениям инерции | Инженеры Edge

Уравнения массового момента инерции

10.3: Динамика вращательного движения — вращательная инерция