Векторы.Действия над векторами. — Физика
Стандартное определение: «Вектор — это направленный отрезок». Обычно этим и ограничиваются знания выпускника о векторах. Кому нужны какие-то «направленные отрезки»?
А в самом деле, что такое векторы и зачем они?
Прогноз погоды. «Ветер северо-западный, скорость 18 метров в секунду». Согласитесь, имеет значение и направление ветра (откуда он дует), и модуль (то есть абсолютная величина) его скорости.
Величины, не имеющие направления, называются скалярными. Масса, работа, электрический заряд никуда не направлены. Они характеризуются лишь числовым значением — «сколько килограмм» или «сколько джоулей».
Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Скорость, сила, ускорение — векторы. Для них важно «сколько» и важно «куда». Например, ускорение свободного падения направлено к поверхности Земли, а величина его равна 9,8 м/с2. Импульс, напряженность электрического поля, индукция магнитного поля — тоже векторные величины.
Вы помните, что физические величины обозначают буквами, латинскими или греческими. Стрелочка над буквой показывает, что величина является векторной:
Вот другой пример.
Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор .
Теперь понятно, почему вектор — это направленный отрезок. Обратите внимание, конец вектора — там, где стрелочка. Длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначается: или
До сих пор мы работали со скалярными величинами, по правилам арифметики и элементарной алгебры. Векторы — новое понятие. Это другой класс математических объектов. Для них свои правила.
Когда-то мы и о числах ничего не знали. Знакомство с ними началось в младших классах. Оказалось, что числа можно сравнивать друг с другом, складывать, вычитать, умножать и делить. Мы узнали, что есть число единица и число ноль.
Теперь мы знакомимся с векторами.
Понятия «больше» и «меньше» для векторов не существует — ведь направления их могут быть разными. Сравнивать можно только длины векторов.
А вот понятие равенства для векторов есть.
Равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление. Это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.
Единичным называется вектор, длина которого равна 1. Нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Удобнее всего работать с векторами в прямоугольной системе координат — той самой, в которой рисуем графики функций. Каждой точке в системе координат соответствуют два числа — ее координаты по x и y, абсцисса и ордината.
Вектор также задается двумя координатами:
Здесь в скобках записаны координаты вектора — по x и по y.
Находятся они просто: координата конца вектора минус координата его начала.
Если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле
Сложение векторов
Для сложения векторов есть два способа.
1. Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов и .
Помните басню про лебедя, рака и щуку? Они очень старались, но так и не сдвинули воз с места. Ведь векторная сумма сил, приложенных ими к возу, была равна нулю.
2. Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов и .
По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.
Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.
При сложении векторов и получаем:
Вычитание векторов
Вектор направлен противоположно вектору . Длины векторов и равны.
Теперь понятно, что такое вычитание векторов. Разность векторов и — это сумма вектора и вектора .
Умножение вектора на число
При умножении вектора на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины . Он сонаправлен с вектором , если k больше нуля, и направлен противоположно , если k меньше нуля.
Скалярное произведение векторов
Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:
Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю.
А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов и :
Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
Эта формула особенно удобна в стереометрии.
Векторы и действия над ними.
Величины, которые кроме числового значения (модуля) имеет направления наз-ся векторами. Величины,не имеющие направления впространстве,которые имеют числовое значения наз-ся скалярами. .Сложение векторов по правилу параллелограмма .Сложение векторов по правилу треугольника .Вычитание векторов. ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ 1.Что такое механическое движение? 2.В чем состоит основная задача механики? 3.Как понимаешь слово материя? 4.Что называют телом отсчета? 5.Что такое система отсчета? №15.Вертолет ,пролетев по прямой 400 км,повернул под углом 90? и пролетел еще 300км.Найти путь и перемещение вертолета. №3.Найти 1.Координаиы точки в начале и конце движения 2.пройденный путь 3.перемещения
Просмотр содержимого документа
«Векторы и действия над ними. »
Механическое движение.Векторы и действия над ними.
Векторы.
Величины, которые кроме числового значения
(модуля) имеет направления наз-ся векторами .
Величины,не имеющие направления впространстве,которые имеют числовое значения наз-ся скалярами.
Вектор а
а
1.Сложение векторов по правилу параллелограмма
2.Сложение векторов по правилу треугольника
c
а
b
c
d
а
3.Вычитание векторов .
с= а+ (-d)
-d
а
а ═0
c
х
0
═
-c
с
х
ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ
1.Что такое механическое движение?
2.В чем состоит основная задача механики?
3.Как понимаешь слово материя?
4.Что называют телом отсчета?
5.Что такое система отсчета?
ЗАПОЛНИТЕ ТАБЛИЦУ. КЕСТЕНІ ТОЛТЫРЫҢДАР .
ПОНЯТИЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Путь жол
шама
Перемещения
ОБОЗНАЧЕНИЕ
Орын ауыстыру
ЕДИНИЦА ИЗМЕРЕНИЯ
анықтама
РАЗЛИЧИЕ ПОНЯТИЙ ПУТЬ И ПЕРЕМЕЩЕНИЕ
белгіленуі
Өлшем бірлігі
Жол мен орын ауыстырудың
айырмашылығы
Запишите значения проекций векторов перемещения на координатные оси для каждого из тел. Әр орын ауыстыру векторы үшін координата осьтеріне мәндерін жазыңдар.
У,км
1
2
5
3
4
6
7
6
5
4
3
2
1
0
Х,км
10 15 20 25 30 35 40 45 50
1.ОПРЕДЕЛИТЕ РАССТОЯНИЕ 2-ОЙ ФИГУРЫ а)ОТНОСИТЕЛЬНО 3-ЕЙ. б)относительно 1-ой.
3
2
1
200м
№ 15.Вертолет ,пролетев по прямой 400 км,повернул под углом 90˚ и пролетел еще 300км.Найти путь и перемещение вертолета.
№ 3.Найти 1.Координаиы точки в начале и конце движения
2.пройденный путь
3.перемещения
4.проекции перемещения на оси координат.
У,м
В
С
А
Д
10
8
6
4
2
0
2 4 6 8 10 х,м
|
Векторы Все движения, которые мы только что рассматривали, — прямолинейные, т. е. являются движениями по прямой линии. Теперь мы должны сделать дальнейший шаг. Мы приходим к пониманию законов природы, анализируя простейшие случаи и опуская в своих первых попытках все усложнения. Прямая линия проще, чем кривая. Однако рассмотрением только прямолинейного движения удовлетвориться невозможно. Движения Луны, Земли и планет — как раз те движения, к которым принципы механики применялись с таким блестящим успехом, — это всё движения по кривым путям. Переход от прямолинейного движения к криволинейному приносит новые трудности. Мы должны иметь смелость побороть их, если мы хотим понять принципы классической механики, давшей нам первую руководящую идею и создавшей тем самым исходную точку для развития науки. Рассмотрим другой идеализированный эксперимент, в котором совершенно гладкий шар катится по гладкому столу. Мы знаем, что если шару дан толчок, т. е. если к нему приложена внешняя сила, то его скорость изменится. Предположим теперь, что направление удара не совпадает с линией движения, как это имело место в примере с тележкой. Пусть удар направлен иначе, скажем перпендикулярно к этой линии. Что происходит с шаром? Можно различать три стадии движения: начальное движение, действие силы и конечное движение, после того как сила перестала действовать. Согласно закону инерции, скорость — как перед действием силы, так и после него — абсолютно постоянна. Но имеется различие между равномерным движением до и после действия силы: изменилось направление. Направление начального движения шара и направление действия силы перпендикулярны друг другу. Конечное движение будет совершаться не по какой-либо одной из этих линий, а где-то между ними, ближе к направлению силы, если толчок силен, а начальная скорость мала, и ближе к первоначальной линии движения, если толчок незначителен, а начальная скорость велика. Наш новый вывод, основанный на законе инерции, таков: в общем случае действие внешней силы изменяет не только скорость, но и направление движения. Понимание этого факта подготовляет нас к обобщению, введенному в физику понятием вектора. Мы можем продолжать применение нашего непосредственного метода рассуждения. Исходная идея — это опять Галилеев закон инерции. Мы еще далеко не исчерпали следствий этой ценной руководящей идеи в решении загадки движения. Рассмотрим два шара, движущихся в разных направлениях по гладкому столу. Для большей определенности предположим, что оба направления перпендикулярны друг другу. Так как никаких внешних сил нет, то движения шаров абсолютно равномерны. Предположим далее, что численно скорости их равны, т. е. оба шара за один и тот же промежуток времени покрывают одинаковое расстояние. Но правильно ли сказать, что оба шара имеют одинаковую скорость? Ответ может быть: либо да, либо нет! Если спидометры двух автомашин показывают 100 км/ч, то обычно говорят, что они имеют одинаковую скорость, независимо от того, в каком направлении они движутся. Но наука для своих нужд должна создавать свой собственный язык, свои собственные понятия. Научные понятия часто начинаются с понятий, употребляемых в обычном языке повседневной жизни, но они развиваются совершенно иначе. Они преобразуются и теряют двусмысленность, связанную с обычным языком, они приобретают строгость, что и позволяет применять их в научном мышлении. С физической точки зрения гораздо выгоднее сказать, что скорости двух шаров, движущихся в различных направлениях, различны. Хотя это дело чистого соглашения, но гораздо удобнее сказать, что четыре автомашины, едущие из одного и того же пункта по различным дорогам, имеют не одну и ту же скорость, даже если численно скорости, зарегистрированные на их спидометрах, все равны 40 км/ч. Это различие между скоростью, взятой по абсолютной величине, и скоростью, в которой учитывается направление, иллюстрирует, как физика, отправляясь от понятия, употребляемого в повседневной жизни, изменяет его таким путем, который оказывается плодотворным в дальнейшем развитии науки. Если величина измерена, то результат выражается некоторым числом единиц. Длина отрезка может быть равна 3 м 7 см, масса некоторого объекта равна 2 кг 3 г, измеренный промежуток времени — стольким-то минутам или секундам. В каждом таком случае результат измерения выражается числом. Однако одного только числа недостаточно для описания некоторых физических понятий. Признание этого факта отмечает значительный успех в научном исследовании. Направление, так же как и число, существенно, например, для характеристики скорости. Такая величина, обладающая и численным значением, и направлением, называется вектором. Обычный символ для него — стрелка. Скорость может быть представлена стрелкой или, короче говоря, вектором, длина которого в некотором избранном масштабе единиц выражает численное значение скорости, а направление есть направление движения. Если четыре автомашины расходятся с численно одинаковой скоростью из одного пункта, то их скорости могут быть представлены четырьмя векторами одинаковой длины, как это видно на рис. 1. В избранном масштабе 1 см соответствует 40 км/ч. Таким путем любая скорость может быть обозначена вектором, и наоборот, если известен масштаб, то из такой векторной диаграммы может быть установлена скорость. Если две автомашины проходят по автостраде мимо друг друга и их спидометры показывают 100 км/ч, то мы характеризуем их скорости двумя различными векторами со стрелками, заостренными в противоположных направлениях (рис. 2). Точно так же и у стрелок, указывающих направление «в город» и «из города» в нью-йоркском метро, острия торчат в противоположных направлениях. Но все поезда, идущие в город с численно равной скоростью, имеют одинаковую скорость и по направлению, которая может быть представлена одним и тем же вектором. Однако вектор ничего не говорит о том, какую станцию поезд проходит или по какому из многих путей он идет. Другими словами, согласно выбранному условию, все такие векторы, какие изображены на рис. 3, можно считать равными: они лежат либо вдоль одной и той же линии, либо вдоль ей параллельных и имеют стрелки, заостренные в том же самом направлении. На следующем рисунке (рис. 4) показаны различные векторы, ибо они различаются либо по длине, либо по направлению, либо по тому и другому одновременно. Те же самые четыре вектора можно нарисовать другим путем, так, чтобы все они выходили из одной точки (рис. 5). Так как исходная точка не существенна, то эти векторы могут представлять скорости четырех автомашин, движущихся из одного пункта, либо же скорости четырех автомашин в различных частях страны, путешествующих с указанными скоростями в указанных направлениях. Это векторное представление можно применить к описанию обсуждавшихся ранее фактов прямолинейного движения. Мы говорили о тележке, движущейся равномерно по прямой и получающей толчок в направлении ее движения, который увеличивает ее скорость. Графически это можно представить двумя векторами: коротким, обозначающим скорость до толчка, и длинным, имеющим то же направление и обозначающим скорость после толчка (рис. 6). Значение пунктирного вектора ясно. Он представляет собой изменение скорости, вызванное толчком. В случае, когда сила направлена против движения и движение замедляется, диаграмма выглядит иначе (рис. 7). Пунктирный вектор опять соответствует изменению скорости, но в этом случае его направление иное. Ясно, что не только сами скорости, но и их изменения — тоже векторы. Но всякое изменение скорости вызвано внешней силой; следовательно, и сила должна быть представлена тоже вектором. Для того чтобы характеризовать силу, недостаточно установить, с каким усилием мы толкаем тележку; мы должны также сказать, в каком направлении мы толкаем. Сила, как и скорость, и ее изменение, должна быть представлена вектором, а не только одним числом. Поэтому внешняя сила — это тоже вектор, который должен иметь то же направление, что и изменение скорости. На обоих рисунках пунктирные векторы показывают как направление силы, так и изменение скорости. Здесь скептик может заметить, что он не видит никакого преимущества от введения векторов. Все, что было сделано, — это перевод признанных ранее фактов на необычный и сложный язык. В этой стадии, в самом деле, было бы трудно убедить скептика, что он не прав. Пока он действительно прав. Но мы увидим, что именно этот странный язык приводит к важным обобщениям, в которых векторы оказываются существенными. |
Векторы примеры решения задач, формулы и онлайн калькуляторы
Содержание:
Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Координаты вектора
Теоретический материал по теме — координаты вектора.
Пример
Запись $\overline{a}=(5 ;-2)$ означает, что вектор $\overline{a}$ имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.
Слишком сложно?
Примеры решения задач с векторами не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Пример
Задание. Заданы векторы $\overline{a}=(-3 ; 5)$ и $\overline{b}=(0 ;-1)$. Найти координаты вектора $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}$
Решение. $\overline{c}=\overline{a}+\overline{b}=(-3 ; 5)+(0 ;-1)=(-3+0 ; 5+(-1))=(-3 ; 4)$
Пример
Задание.{\circ}$$ Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам. Пример Задание. Зная разложения вектора $\overline{a}$
по базисной системе векторов: $\overline{a}=3 \overline{i}-\overline{k}$, записать координаты этого вектора в пространстве. Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что $\overline{a}=3 \overline{i}-0 \cdot \overline{j}-\overline{k}$,
получаем, что $\overline{a}=(3 ; 0 ;-1)$ Пример Задание. Вектор $\overline{a}$ задан
своими координатами: $\overline{a}=(2 ;-1 ; 5)$. Записать разложение данного вектора по ортам осей координат. Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора
по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение: $\overline{a}=2 \overline{i}-\overline{j}+5 \overline{k}$ Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.{\circ}=6 \cdot \frac{1}{2}=3$ Пример Задание. Найти скалярное произведение векторов $\overline{a}=(3 ;-1)$ и
$\overline{b}=(-2 ; 7)$ Решение. Скалярное произведение $\overline{a} \overline{b}=3 \cdot(-2)+(-1) \cdot 7=-6-7=-13$ Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов. Пример Задание. Найти векторное произведение векторов $\overline{a}=(6 ; 7 ; 10)$ и
$\overline{b}=(8 ; 5 ; 9)$ Решение. Составляем определитель и вычисляем его: $\overline{a} \times \overline{b}=\left| \begin{array}{ccc}{\overline{i}} & {\overline{j}} & {\overline{k}} \\ {6} & {7} & {10} \\ {8} & {5} & {9}\end{array}\right|=\overline{i} \left| \begin{array}{cc}{7} & {10} \\ {5} & {9}\end{array}\right|-\overline{j} \left| \begin{array}{cc}{6} & {10} \\ {8} & {9}\end{array}\right|+\overline{k} \left| \begin{array}{cc}{6} & {7} \\ {8} & {5}\end{array}\right|=$ $=\overline{i}(7 \cdot 9-5 \cdot 10)-\overline{j}(6 \cdot 9-8 \cdot 10)+\overline{k}(6 \cdot 5-8 \cdot 7)=$ $=13 \overline{i}+26 \overline{j}-26 \overline{k}=(13 ; 26 ;-26)$ Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов. Пример Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах $\overline{a}=(2 ; 3 ; 5)$,
$\overline{b}=(1 ; 4 ; 4)$,
$\overline{c}=(3 ; 5 ; 7)$ Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель,
по строкам которого запишем координаты векторов $\overline{a}$,
$\overline{b}$ и $\overline{c}$: $(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})=\left| \begin{array}{lll}{2} & {3} & {5} \\ {1} & {4} & {4} \\ {3} & {5} & {7}\end{array}\right|=2 \cdot 4 \cdot 7+1 \cdot 5 \cdot 5+3 \cdot 4 \cdot 3-$ $-3 \cdot 4 \cdot 5-5 \cdot 4 \cdot 2-1 \cdot 3 \cdot 7=-4$ $$V_{пир}=\frac{1}{6}|(\overline{a}, \overline{b}, \overline{c})|=\frac{1}{6} \cdot 4=\frac{2}{3}$$ Читать первую тему — операции над векторами,
раздела векторы. Слайд 1 Слайд 2 Скалярные и векторные величины Величины, характеризующиеся только численным значением, называются скалярными. масса m время t объём V температура T и др. Величины, характеризующиеся численным значением и направлением , называются векторными. сила F скорость V радиус-вектор r и др. 04.09.2013 2 Плуталов С.Н. МОУ Мальчевская СОШ Слайд 3 Вектор На чертежах любой вектор изображается направленным отрезком(стрелкой). Направление стрелки задает направление вектора а b 04.09.2013 3 Плуталов С.Н. МОУ Мальчевская СОШ Слайд 4 Правила сложения векторов Параллелограмма Треугольника Для двух векторов 04.09.2013 4 Плуталов С.Н. МОУ Мальчевская СОШ Слайд 5 Правила сложения векторов Многоугольника Если число векторов больше двух R = F 1 + F 2 + F 3 + …. + F n 04.09.2013 5 Плуталов С.Н. МОУ Мальчевская СОШ Слайд 6 Вычитание векторов 04.09.2013 6 Плуталов С.Н. МОУ Мальчевская СОШ Слайд 7 Проекция вектора a a x a y Проекцией вектора называется скалярная величина, равная длине отрезка, заключенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на ось . 04.09.2013 7 Плуталов С.Н. МОУ Мальчевская СОШ Слайд 8 Проекция вектора Если направление вектора совпадает с направлением оси координат, то проекция этого вектора положительная. Если направление вектора не совпадает с направлением оси координат, то проекция этого вектора отрицательная Если вектор перпендикулярен к оси координат, его проекция равна 0 Если вектор параллелен оси координат, его проекция равна длине самого вектора. 04.09.2013 8 Плуталов С.Н. МОУ Мальчевская СОШ Слайд 9 04.09.2013 Плуталов С.Н. МОУ Мальчевская СОШ 9 Изобразите произвольный вектор, чтобы : 1.Чтобы его проекция на ось Ох была положительной, а на ось Оу – отрицательной; 2.Чтобы его проекция на ось Ох была равна нулю , а на ось Оу положительной; 3.Чтобы проекции данного вектора на обе оси были отрицательными; 4.Чтобы проекция вектора на ось Оу была равна длине самого вектора; 5.Чтобы проекция на ось Ох была отрицательной, а на ось Оу – положительной. 2015-2016 уч. год, №1, 9 кл. Физика. Векторы в физике (вводное задание) Одну из граничных точек вектора называют его началом, а другую – концом. Направление вектора задаётся от начала к концу, причём на чертеже конец вектора отмечают стрелкой. Начало вектора называют также точкой его приложения. Если точка A является началом вектора a ? то мы будем говорить, что вектор a приложен в точке A (рис. 2). a A Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Число, выражающее длину направленного отрезка, называют модулем вектора и обозначают той же буквой, что и сам вектор, но без стрелки наверху, например: модулем вектора v является число v. Ча- сто для обозначения модуля вектора прибегают к помощи знака абсо- лютной величины и пишут, например, v или F . Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет определённого направления и его длина (модуль) равна нулю. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Так, например, на рис. 3 векто- ры a, b и c коллинеарны. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. На рис. 4 слева изображены неравные векторы a и f , g и h, а справа – равные векторы p и q. Точка приложения геометрического вектора a может быть выбрана произвольно. Мы не различаем двух равных векторов, имеющих разные точки приложения и получающихся один из другого параллельным переносом. В соответствии с этим векторы, изучаемые в геометрии, называют свободными (они определены сточностью до точки приложения). Вфизике точка приложения вектора иногда имеет принципиальное значение. Достаточно вспомнить рычаг: две равные по модулю силы, направленные в одну и ту же сторону, производят на рычаг разное действие, если плечи сил не равны друг другу. И всё же сами силы равны друг другу! Бывают и случаи, когда вектору трудно приписать конкретную точку приложения. Например, если одна система отсчёта дви- жется относительно другой со скоростью v , то какой точке приписать эту скорость? – Всем точкам движущейся системы! 2015, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич Лукьянов Андрей Александрович Графически вектор изображается в виде направленного отрезка прямой определенной длины. Вектор, начало которого находится в точке , а конец – в точке , обозначается как (рис. 1). Также вектор можно обозначать одной маленькой буквой, например, . Если в пространстве задана система координат, то вектор можно однозначно задать набором своих координат. То есть под вектором понимается объект, который имеет величину (длину), направление и точку приложения (начало вектора). Начала векторного исчисления появились в работах в 1831 году в работах немецкого математика, механика, физика, астронома и геодезиста Иоганна Карла Фридриха Гаусса (1777-1855). Работы, посвященные операциям с векторами, опубликовал ирландский математик, механик и физик-теоретик, сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1805-1865) в рамках своего кватернионного исчисления. Ученый предложил термин «вектор» и описал некоторые операции над векторами. Векторное исчисление получило свое дальнейшее развитие благодаря работам по электромагнетизму британского физика, математика и механика Джеймса Клерка Максвелла (1831-1879). В 1880-х годах увидела свет книга «Элементы векторного анализа» американского физика, физикохимика, математика и механика Джозайя Уилларда Гиббса (1839-1903). Современный векторный анализ был описан в 1903 году в работах английского ученого-самоучки, инженера, математика и физика Оливера Хевисайда (1850-1925). Нулевым вектором называется вектор , у которого начальная точка и конечная точка совпадают. Длина нулевого вектора равна нулю. Вектора, параллельные одной прямой или лежащие на одной прямой, называют коллинеарными (рис. 2). Два коллинеарных вектора называются сонаправленными, если их направления совпадают. На рисунке 2 – это векторы и . Сонаправленность векторов обозначается следующим образом: . Два коллинеарных вектора называются противоположно направленными, если их направления противоположны. На рисунке 3 – это векторы и . Обозначение: . Три вектора, параллельные одной плоскости или лежащие в одной плоскости, называют компланарными (рис. 3). Два вектора и называются равными, если они являются сонаправленными и их длины равны (рис. 4): Единичным вектором или ортом называется вектор единичной длины. Векторы — это геометрические представления величины и направления, которые могут быть выражены в виде стрелок в двух или трех измерениях. учебных целей Векторы — это геометрические представления величины и направления, которые часто представлены прямыми стрелками, начинающимися в одной точке на координатной оси и заканчивающимися в другой точке.Все векторы имеют длину, называемую величиной, которая представляет некоторое интересное качество, так что вектор можно сравнивать с другим вектором. Векторы, будучи стрелками, тоже имеют направление. Это отличает их от скаляров, которые представляют собой простые числа без направления. Вектор определяется своей величиной и ориентацией относительно набора координат. При анализе векторов часто бывает полезно разбить их на составные части. Для двумерных векторов эти компоненты бывают горизонтальными и вертикальными.Для трехмерных векторов составляющая величины такая же, но составляющая направления выражается через xx, yy и zz. Чтобы визуализировать процесс разложения вектора на его компоненты, начните с рисования вектора из начала набора координат. Затем нарисуйте прямую линию от начала координат по оси x до тех пор, пока линия не сравняется с концом исходного вектора. Это горизонтальная составляющая вектора. Чтобы найти вертикальный компонент, нарисуйте линию прямо вверх от конца горизонтального вектора, пока не дойдете до конца исходного вектора.Вы должны обнаружить, что у вас есть прямоугольный треугольник, в котором исходный вектор является гипотенузой. Разложение вектора на горизонтальные и вертикальные компоненты — очень полезный метод для понимания физических задач. Всякий раз, когда вы видите движение под углом, вы должны думать о нем как о движении одновременно по горизонтали и вертикали. Такое упрощение векторов может ускорить вычисления и помочь отслеживать движение объектов. Скаляры и векторы : Mr.Андерсен объясняет разницу между скалярными и векторными величинами. Он также использует демонстрацию, чтобы показать важность векторов и сложения векторов. Компоненты вектора : исходный вектор, определенный относительно набора осей. Горизонтальный компонент простирается от начала вектора до его самой дальней координаты x. Вертикальный компонент простирается от оси x до самой вертикальной точки вектора. Вместе два компонента и вектор образуют прямоугольный треугольник. Скаляры — это физические величины, представленные одним числом, а векторы представлены как числом, так и направлением. учебных целей Физические величины обычно можно разделить на две категории: векторы и скаляры. Эти две категории типичны в зависимости от того, какая информация им требуется. Векторы требуют двух частей информации: величины и направления.Напротив, скаляры требуют только величины. Скаляры можно рассматривать как числа, тогда как векторы следует рассматривать как стрелки, указывающие в определенном направлении. Вектор : пример вектора. Векторы обычно представлены стрелками, длина которых представляет величину, а направление — направлением, указанным стрелкой. Векторы требуют как величины, так и направления. Величина вектора — это число для сравнения одного вектора с другим.В геометрической интерпретации вектора вектор представлен стрелкой. Стрелка состоит из двух частей, определяющих ее. Две части — это его длина, которая представляет величину и направление относительно некоторого набора осей координат. Чем больше величина, тем длиннее стрелка. Физические понятия, такие как смещение, скорость и ускорение, являются примерами величин, которые могут быть представлены векторами. Каждая из этих величин имеет как величину (как далеко или как быстро), так и направление.Чтобы указать направление, должно быть что-то, относительно чего это направление. Обычно эта контрольная точка представляет собой набор осей координат, таких как плоскость x-y. Скаляры отличаются от векторов тем, что у них нет направления. Скаляры используются в основном для представления физических величин, для которых направление не имеет смысла. Вот некоторые из них: масса, высота, длина, объем и площадь. Говорить о направлении этих величин не имеет смысла, и поэтому они не могут быть выражены в виде векторов. Разница между векторами и скалярами, Введение и основы : В этом видео представлена разница между скалярами и векторами. Представлены идеи о величине и направлении, а также приведены примеры векторов и скаляров. Векторов можно добавлять или вычитать графически, накладывая их встык по набору осей. учебных целей Одним из способов, которым представление физических величин в виде векторов упрощает анализ, является легкость, с которой векторы могут быть добавлены друг к другу.Поскольку векторы представляют собой графические визуализации, сложение и вычитание векторов можно выполнять графически. Графический метод сложения векторов также известен как метод «голова к хвосту». Для начала нарисуйте набор осей координат. Затем нарисуйте первый вектор с его хвостом (базой) в начале координатных осей. Для сложения векторов не имеет значения, какой вектор вы рисуете первым, поскольку сложение коммутативно, но для вычитания убедитесь, что вектор, который вы рисуете первым, это тот, который вы вычитаете из .Следующий шаг — взять следующий вектор и нарисовать его так, чтобы его хвост начинался с головы предыдущего вектора (сторона стрелки). Продолжайте помещать каждый вектор в начало предыдущего, пока все векторы, которые вы хотите добавить, не будут объединены. Наконец, проведите прямую линию от начала координат до головы последнего вектора в цепочке. Эта новая линия является векторным результатом сложения этих векторов вместе. Графическое сложение векторов : Метод сложения векторов «голова к хвосту» требует, чтобы вы расположили первый вектор вдоль набора осей координат.Затем поместите хвост следующего вектора на голову первого. Нарисуйте новый вектор от начала до конца последнего вектора. Этот новый вектор представляет собой сумму двух исходных. Сложение векторов Урок 1 из 2: Метод сложения «голова к хвосту» : Это видео знакомит зрителей с добавлением и вычитанием векторов. В первом уроке показано графическое сложение, а во втором видео используется более математический подход и показано сложение векторов по компонентам. Метод вычитания векторов аналогичен. Убедитесь, что первый вектор, который вы рисуете, — это тот, из которого нужно вычесть. Затем, чтобы вычесть вектор, действуйте так, как если бы добавляли напротив этого вектора. Другими словами, переверните вектор, который нужно вычесть, по осям, а затем соедините его хвостом к голове, как будто складывая. Чтобы перевернуть вектор, просто поместите его голову на место хвоста и хвост на место головы. Часто проще складывать или вычитать векторы, используя их компоненты. учебных целей Другой способ добавления векторов — это добавление компонентов. Ранее мы видели, что векторы можно выразить через их горизонтальные и вертикальные компоненты. Чтобы добавить векторы, просто выразите их оба в терминах их горизонтальных и вертикальных компонентов, а затем сложите компоненты вместе. Вектор с горизонтальными и вертикальными компонентами : вектор на этом изображении имеет величину 10.3 единицы и направление на 29,1 градуса выше оси абсцисс. Его можно разделить на горизонтальную и вертикальную части, как показано на рисунке. Например, вектор длиной 5 под углом 36,9 градусов к горизонтальной оси будет иметь горизонтальную составляющую 4 единицы и вертикальную составляющую 3 единицы. Если бы мы добавили это к другому вектору той же величины и направления, мы бы получили бы вектор вдвое большей длины под тем же углом. Это можно увидеть, сложив горизонтальные компоненты двух векторов \ (\ mathrm {(4 + 4)} \) и двух вертикальных компонентов (\ (\ mathrm {3 + 3} \)).Эти добавления дают новый вектор с горизонтальной составляющей \ (\ mathrm {8 (4 + 4)} \) и вертикальной составляющей \ (\ mathrm {6 (3 + 3)} \). Чтобы найти результирующий вектор, просто поместите хвост вертикального компонента в головку (со стороны стрелки) горизонтального компонента, а затем проведите линию от начала до вершины вертикального компонента. Эта новая строка является результирующим вектором. Он должен быть вдвое длиннее оригинала, так как оба его компонента в два раза больше, чем были ранее. Чтобы вычесть векторы по компонентам, просто вычтите два горизонтальных компонента друг из друга и сделайте то же самое для вертикальных компонентов.Затем нарисуйте получившийся вектор, как вы делали в предыдущей части. Добавление векторов Урок 2 из 2: Как добавлять векторы по компонентам : Это видео знакомит зрителей с добавлением векторов с использованием математического подхода и демонстрирует сложение векторов по компонентам. Умножение вектора на скаляр изменяет величину вектора, но не направление. учебных целей Хотя векторы и скаляры представляют различные типы физических величин, иногда необходимо, чтобы они взаимодействовали.Хотя добавление скаляра к вектору невозможно из-за их различных пространственных размеров, вектор можно умножить на скаляр. Однако скаляр нельзя умножить на вектор. Чтобы умножить вектор на скаляр, просто умножьте аналогичные компоненты, то есть величину вектора, на величину скаляра. Это приведет к новому вектору с тем же направлением, но произведению двух величин. Пример \ (\ PageIndex {1} \): Например, если у вас есть вектор A с определенной величиной и направлением, умножьте его на скаляр a с величиной 0.5 даст новый вектор с величиной, равной половине оригинала. Точно так же, если вы возьмете число 3, которое является чистым скаляром без единиц измерения, и умножите его на вектор, вы получите версию исходного вектора, которая в 3 раза длиннее. В качестве более физического примера возьмем гравитационную силу, действующую на объект. Сила — это вектор, величина которого зависит от скаляра, известного как масса, и его направления вниз. Если масса объекта удваивается, сила тяжести также удваивается. Умножение векторов на скаляры очень полезно в физике.Большинство единиц, используемых в векторных величинах, по своей сути являются скалярами, умноженными на вектор. Например, единица измерения скорости в метрах в секунду, которая является вектором, состоит из двух скаляров, которые являются величинами: скаляр длины в метрах и скаляр времени в секундах. Чтобы преобразовать величины в скорость, нужно умножить единичный вектор в определенном направлении на эти скаляры. Скалярное умножение : (i) Умножение вектора \ (\ mathrm {A} \) на скаляр \ (\ mathrm {a = 0.5} \) дает вектор \ (\ mathrm {B} \), который вдвое короче. (ii) Умножение вектора \ (\ mathrm {A} \) на 3 увеличивает его длину втрое. (iii) Удвоение массы (скаляр) удваивает силу (вектор) гравитации. Умножение вектора на скаляр — это то же самое, что умножение его величины на число. учебных целей Помимо сложения векторов, векторы также можно умножать на константы, известные как скаляры.Скаляры отличаются от векторов тем, что они представлены величиной, но не направлением. Примеры скаляров включают массу, высоту или объем объекта. Скалярное умножение : (i) Умножение вектора \ (\ mathrm {A} \) на скаляр \ (\ mathrm {a = 0.5} \) дает вектор \ (\ mathrm {B} \), который равен половине пока. (ii) Умножение вектора \ (\ mathrm {A} \) на 3 увеличивает его длину втрое. (iii) Удвоение массы (скаляр) удваивает силу (вектор) гравитации. При умножении вектора на скаляр направление вектора не изменяется, а величина умножается на величину скаляра.Это приводит к тому, что новая векторная стрелка указывает в том же направлении, что и старая, но с большей или меньшей длиной. Вы также можете выполнить скалярное умножение с помощью компонентов вектора. Когда у вас есть компоненты вектора, умножьте каждый из компонентов на скаляр, чтобы получить новые компоненты и, следовательно, новый вектор. Полезной концепцией при изучении векторов и геометрии является концепция единичного вектора. Единичный вектор — это вектор с длиной или величиной, равной единице.Единичные векторы различны для разных координат. В декартовых координатах направлениями являются x и y, обычно обозначаемые \ (\ mathrm {\ hat {x}} \) и \ (\ mathrm {\ hat {y}} \). С треугольником над буквами называется «шляпа». Единичные векторы в декартовых координатах описывают круг, известный как «единичный круг» с радиусом один. Это можно увидеть, взяв все возможные векторы длины один под всеми возможными углами в этой системе координат и поместив их в координаты. Если бы вы провели линию, соединяющую все головы всех векторов вместе, вы бы получили круг радиуса один. Положение, смещение, скорость и ускорение могут быть показаны векторами, поскольку они определены в терминах величины и направления. учебных целей Векторы могут использоваться для представления физических величин. Чаще всего в физике векторы используются для обозначения смещения, скорости и ускорения.Векторы представляют собой комбинацию величины и направления и отображаются в виде стрелок. Длина представляет собой величину, а направление этой величины — это направление, в котором указывает вектор. Поскольку векторы строятся таким образом, полезно анализировать физические величины (как с размером, так и с направлением) как векторы. В физике векторы полезны, потому что они могут визуально представлять положение, смещение, скорость и ускорение. При рисовании векторов у вас часто не хватает места, чтобы нарисовать их в масштабе, который они представляют, поэтому важно где-то обозначить, в каком масштабе они нарисованы.Например, при рисовании вектора, представляющего величину 100, можно нарисовать линию длиной 5 единиц в масштабе \ (\ frac {1} {20} \). Когда величина, обратная шкале, умножается на нарисованную величину, она должна равняться действительной величине. Смещение определяется как расстояние объекта в любом направлении относительно положения другого объекта. Физики используют концепцию вектора положения как графический инструмент для визуализации смещений.Вектор положения выражает положение объекта от начала системы координат. Вектор положения также может использоваться для отображения положения объекта относительно опорной точки, вторичного объекта или исходного положения (при анализе того, насколько далеко объект переместился от своего исходного положения). Вектор положения — это прямая линия, проведенная от произвольной исходной точки к объекту. После рисования вектор имеет длину и направление относительно используемой системы координат. Скорость также определяется величиной и направлением.Чтобы сказать, что что-то набирает или теряет скорость, нужно также сказать, насколько и в каком направлении. Например, самолет, летящий в 200 \ (\ mathrm {\ frac {km} {h}}}) к северо-востоку, может быть представлен вектором, направленным в северо-восточном направлении, с магнитудой 200 \ (\ mathrm {\ frac {km} {h}} \). При рисовании вектора величина важна только как способ сравнения двух векторов одинаковых единиц. Итак, если бы другой самолет летел на 100 \ (\ mathrm {\ frac {km} {h}} \) к юго-западу, векторная стрелка должна быть вдвое короче и указывать в направлении юго-запада. Ускорение, представляющее собой скорость изменения скорости во времени, складывается из величины и направления и строится по той же концепции, что и вектор скорости. Значение ускорения не помогло бы в физике, если бы величина и направление этого ускорения были неизвестны, поэтому эти векторы важны. На диаграмме свободного тела, например, падающего объекта, было бы полезно использовать вектор ускорения рядом с объектом, чтобы обозначить его ускорение по направлению к земле.2}} \) . Векторная диаграмма : Мужчина поднимается на холм. Его направление движения определяется углом тета относительно вертикальной оси и длиной стрелки, идущей вверх по холму. Он также ускоряется вниз под действием силы тяжести. ЛИЦЕНЗИИ И АТРИБУЦИИ CC ЛИЦЕНЗИОННЫЙ КОНТЕНТ, ПРЕДЫДУЩИЙ РАЗДЕЛ CC ЛИЦЕНЗИОННОЕ СОДЕРЖАНИЕ, СПЕЦИАЛЬНЫЙ АТРИБУЦИЯ Физическая величина — это величина, физические свойства которой вы можете измерить.Такие как масса, сила, скорость, перемещение, температура и т. Д. Предположим, вам предлагается измерить свое счастье. В этом случае вы никогда не сможете измерить свое счастье. То есть вы не можете описать и проанализировать с мерой, насколько вы счастливы. Итак, счастье здесь не физическая величина. Предположим, у вас жар. И врач приказал вам измерить температуру тела. Затем вы измерили температуру своего тела градусником и рассказали об этом врачу. Когда вы сообщаете своему врачу о температуре своего тела, вам нужно использовать слово «градус Цельсия» или «градус Фаренгейта». Итак, температура здесь измеримая величина. Поэтому мы будем использовать температуру как физическую величину. В целом разделим физическую величину на три типа В этом уроке мы будем обсуждать только количество векторов. Но перед этим поговорим о скаляре. Мы будем называть скалярной величиной физическую величину, которая имеет значение, но не имеет определенного направления. Предположим, вам разрешено измерять массу объекта.Таким образом, вам не нужно указывать какое-либо направление при определении массы этого объекта. То есть масса — это скалярная величина. Есть много таких физических величин, для которых не нужно указывать направление при указании измеряемых свойств. Такие как температура, скорость, расстояние, масса и т. Д. Проще говоря, векторы — это те физические величины, которые имеют значения, а также определенные направления. Такие как смещение, скорость и т. Д. То есть здесь необходимо описать направление величины с измеримыми свойствами физической величины. Например, многие из вас говорят, что скорость частицы равна пяти. Поскольку скорость является векторной величиной, простое упоминание значения не является полным аргументом. Вам необходимо указать направление вместе со значением скорости. Итак, вы должны сказать, что значение скорости в указанном направлении равно пяти. Графически вектор представлен стрелкой.Здесь вектор представлен буквой ab. То есть значение данного вектора будет зависеть от длины вектора ab. А — это начальная точка, а b — конечная точка. Аналитически вектор представлен стрелкой над буквой. А значение вектора всегда обозначается модом Мы можем разделить вектор на разные типы в зависимости от направления, значения и положения вектора.Например Когда два или более вектора имеют равные значения и направления, они называются равными векторами. То есть начальная и конечная точки каждого вектора могут быть разными. Но направление всегда может быть одинаковым. Итак, посмотрите на рисунок ниже, здесь взяты три вектора. Абсолютные значения двух векторов равны, но когда направление противоположно, они называются противоположными векторами.То есть здесь абсолютные значения двух векторов будут равны, но два вектора будут находиться под углом друг к другу. Когда несколько векторов расположены вдоль одной параллельной линии, они называются коллинеарными векторами. В этом случае значение и направление каждого вектора могут быть одинаковыми и могут не совпадать. Однако направление каждого вектора будет параллельным. То есть каждый вектор будет находиться под углом 0 или 180 градусов со всеми остальными векторами.Обратите внимание на рисунке ниже, что каждый вектор здесь расположен вдоль оси x. Здесь и равный вектор, и противоположный вектор являются коллинеарными векторами. Когда несколько векторов расположены в одной плоскости, они называются векторами связи. Обратите внимание, что a, b, c находятся в одной плоскости. Когда значение вектора в указанном направлении равно единице, он называется единичным вектором в этом направлении.То есть деление вектора на его абсолютное значение дает единичный вектор в этом направлении. И единичный вектор всегда является безразмерной величиной. Модуль вектора — это скаляр. То есть, умножая единичный вектор в направлении этого вектора на это абсолютное значение, можно найти полный вектор. Итак, смотрим на рисунок ниже. Единичные векторы обычно используются для описания заданного направления Если начальная и конечная точки направленного сегмента вектора совпадают, то этот сегмент становится точкой.Таким образом, этот тип вектора называется нулевым вектором. Таким образом, это вектор, значение которого равно нулю и не имеет определенного направления. Предположим, что частица движется в свободном пространстве. И частица T начала свой путь из одной точки и снова вернулась в эту точку, т.е. смещение частицы будет нулевым. Таким образом, поскольку смещение — это векторная величина. Итак, в этом случае x будет вектором. Снова предположим, что к частице приложены две силы с равным и противоположным направлениями.В этом случае общая сила будет равна нулю. Итак, общая сила будет записана как ноль, но согласно правилам векторной алгебры, ноль здесь должен быть представлен векторами. Когда частица движется с постоянной скоростью в свободном пространстве, ускорение частицы будет нулевым. В этом случае ускорение также представлено нулевым вектором. Таким образом, нулевые векторы очень важны с точки зрения использования в векторной алгебре. Все вы знаете, что при выполнении скалярных вычислений правила линейной алгебры используются для выполнения различных операций. То есть, когда вы выполняете векторные вычисления, вы должны выполнять различные операции в соответствии с правилом векторной алгебры. Векторная алгебра — это раздел математики, в котором были разработаны особые правила для выполнения различных векторных вычислений. Вычисление вектора здесь означает сложение вектора, вычитание вектора, умножение вектора и произведение вектора.Кроме того, равные векторы и противоположные векторы также являются частью векторной алгебры, которая обсуждалась ранее. У вас может возникнуть много вопросов: в чем разница между векторной алгеброй и линейной алгеброй? При выполнении операции с линейной алгеброй для вычислений используется только значение скалярной величины. Однако векторная алгебра требует использования как значений, так и направлений для векторных вычислений. Итак, векторная алгебра имеет пять основных правил Предположим, что частица сначала движется из точки O в точку A . Затем частица переместилась из точки A в точку B . Тогда полное смещение частицы составит OB . То есть, если вектор OB обозначен здесь как $ \ vec {c} $, $ \ vec {c} $ — это результирующий вектор векторов $ \ vec {a} $ и $ \ vec {b} $. Итак, мы можем записать результирующий вектор таким образом в соответствии с правилами сложения векторов. То есть, согласно приведенному выше обсуждению, мы можем сказать, что результирующий вектор является результатом сложения нескольких векторов. Чтобы легко представить сложение векторов, вы должны следовать двум законам. Согласно этой формуле, если две стороны, взятые в порядке треугольника, указывают значение и направление двух векторов, третья сторона, взятая в противоположном порядке, будет указывать значение и направление результирующего вектора двух векторов. То есть, если две стороны треугольника вращаются по часовой стрелке, то третье плечо треугольника вращается против часовой стрелки. Итак, взгляните на этот рисунок ниже, чтобы легко понять. Как показано на рисунке, альфа — это угол между результирующим вектором и вектором. А тета — это угол между векторами a и b. Здесь вектор c — результирующий вектор векторов a и b. И вы можете записать вектор c, используя формулу треугольника И если вы сделаете алгебраические вычисления, значение c будет Итак, если вы знаете абсолютное значение двух векторов и значение промежуточного угла, вы можете легко определить значение решающего вектора Параллелограмм вектора на самом деле является альтернативой формуле треугольника вектора.Таким образом, сумма двух векторов также определяется по этой формуле. Если две соседние стороны параллелограмма указывают значения и направления двух векторов, то диагональ параллелограмма, проведенного пересечением двух сторон, будет указывать значения и направления результирующих векторов. Предположим, как показано на рисунке ниже, OA и AB указывают значения и направления двух векторов, а OB — результирующий вектор этих двух векторов. Здесь α — угол между двумя векторами.И результирующий вектор расположен под углом θ к вектору OA. рис. Таким образом, значение результирующего вектора будет по этой формуле И результирующий вектор расположен под углом OA к вектору θ . То есть Ниже приведены некоторые особые случаи, упрощающие представление векторных вычислений. 1. α = 0 ° : Здесь α — угол между двумя векторами.То есть, если значение α равно нулю, два вектора находятся на одной стороне. В этом случае значение результирующего вектора будет Таким образом, модуль результирующего вектора будет равен сумме абсолютных значений двух основных векторов. Обратите внимание на изображение ниже рис. 2. α = 180 ° : Здесь, если угол между двумя векторами равен 180 °, то два вектора противоположны друг другу. То есть значение cos здесь будет -1. так, Здесь абсолютное значение результирующего вектора равно абсолютному значению вычитания двух векторов. И на него будет ориентирован результирующий вектор, абсолютное значение которого выше остальных. 3. a = b и α = 180 ° : Здесь два вектора имеют равное значение и направлены в противоположные стороны друг к другу. В этом случае абсолютное значение результирующего вектора будет равно нулю. То есть вектор разрешения — это нулевой вектор 2.α = 90 ° : Если угол между двумя векторами составляет 90 градусов. Значение cosθ будет равно нулю. Итак, здесь результирующий вектор будет следовать формуле Пифагора В этом случае два вектора перпендикулярны друг другу. И результирующий вектор будет расположен под указанным углом с двумя векторами. Предположим, здесь взяты два вектора a , b , и результирующий вектор c расположен под углом θ с вектором a . Тогда направление результирующего вектора будет По правилам общей алгебры представляется вычитание Вычитание числа из положительного числа дает тот же результат, что и сложение отрицательного числа точно такого же числа. Это же правило применяется к векторному вычитанию. То есть вычитание векторов a и b всегда будет равно результату векторов a и -b. Таким образом, вычитание векторов является разновидностью сложения векторов. Сегменты OQ и OS указывают значения и направления двух векторов a, и b , соответственно. QO расширяется до P таким образом, что PO равно OQ . В результате векторы $ \ vec {OQ} $ и $ \ vec {OP} $ будут двумя противоположными векторами. Когда OSTP завершает параллелограмм, диагональ OT представляет собой результат векторов a и b в соответствии с параллелограммом вектора. То есть диагональ OT параллелограмма указывает значение и направление вычитания двух векторов a и b . Умножение вектора здесь не означает скалярное произведение и кросс-произведение. Скорее вектор умножается на скаляр. Когда вы умножаете вектор на скаляр m, значение вектора в этом направлении увеличится в m раз. То есть в случае скалярного умножения направление вектора не изменится, но изменится абсолютное значение вектора. Итак, посмотрите на цифру ниже Итак, вы можете умножать на скаляр с обеих сторон уравнения, как в линейной алгебре. Предположим, здесь взят вектор А если умножить на скаляр с обеих сторон, вектор будет. Многие из вас могут знать понятие единичного вектора. И если вы умножите абсолютный вектор вектора на единичный вектор этого вектора, то будет найден весь вектор. Итак, обратите внимание на Таким же образом, если вектор должен быть преобразован в другое направление, то абсолютное значение вектора должно быть умножено на единичный вектор этого направления. Например, возьмем два вектора a, b. И я хочу изменить вектор a на направление b. В этом случае будет новый вектор в направлении b С помощью деления векторов можно любой вектор разделить на скаляр. Например Возможно, вы знаете, что когда определяется единичный вектор, вектор делится на абсолютное значение этого вектора. Так же, как можно объединить два или более вектора, можно разделить вектор на две или более частей.Эти разделенные части называются компонентами данного вектора. Если вектор разделен на два или более векторов таким образом, что исходный вектор является результирующим вектором разделенных частей. Затем эти разделенные части называются компонентами вектора. Разделение вектора на две составляющие в процессе деления вектора решает практически все виды задач. Таким образом, само собой разумеется, что векторная алгебра не имеет практического применения процесса деления на множество компонентов. Итак, ниже мы обсудим, как разделить вектор на две составляющие. Во-первых, вы обратите внимание на рисунок ниже, где взяты две аксиальные декартовы координаты, чтобы разделить вектор на две составляющие. А вектор R расположен под углом θ к оси x. А вектор R разделен двумя перпендикулярными друг другу осями OX и OY. Согласно данной формуле, Таким образом, компонента по оси x вектора $ \ vec {R} $ равна И будет составляющей вектора $ \ vec {R} $ по оси Y При умножении двух векторов результат может быть как векторным, так и скалярным. Таким образом, по результату умножения векторов умножение векторов делится на две части. Умножение двух векторов дает скаляр. Например Здесь сила и смещение являются векторными величинами, но их продукт — это выполненная работа, которая является скалярной величиной.Такое произведение называется скалярным произведением или скалярным произведением двух векторов. И такое умножение математически выражается точкой (•) между двумя векторами. Итак, если два вектора a, b и угол между ними — тета, то их скалярное произведение будет равно Скалярное произведение называется скалярным произведением, потому что значение скалярного произведения всегда выражается в скаляре. 1.{2} $, когда скалярное произведение в одном и том же векторе, результат равен квадрату значения этого вектора. Таким образом, если один и тот же вектор взят дважды, угол между двумя векторами будет равен нулю. Здесь будет значение скалярного произведения. 2. $ \ vec {A} \ cdot \ vec {B} = \ vec {A} \ cdot \ vec {B} $ То есть скалярное произведение подчиняется правилу обмена. Если перейти от a к b, то угол между ними будет θ .Но в противоположном направлении, то есть если вы повернете от b к a, тогда угол будет -θ . 3. Если два вектора перпендикулярны друг другу, скалярное произведение двух векторов будет равно нулю. Предположим, здесь взяты два вектора a и b, и угол между ними равен θ = 90 °. затем 4. Если угол между двумя векторами равен θ 6. Можно определить скалярное произведение двух векторов по координатам. Скажем, $ \ vec {a} = a_ {x} \ hat {i} + a_ {y} \ hat {j} + a_ {z} \ hat {k} $ и $ \ vec {b} = b_ {x} \ hat {i} + b_ {y} \ hat {j} + b_ {z} \ hat {k} $, то есть Произведение двух векторов может быть вектором. Например Здесь и угловая скорость, и вектор положения являются векторными величинами. И их линейная скорость продукта также является векторной величиной. Этот тип продукта называется векторным продуктом. Здесь, если угол между векторами a и b равен θ, вы можете выразить таким образом векторное произведение. Так как результатом перекрестного произведения является вектор. То есть направление всегда нужно прибавлять к абсолютной стоимости продукта. Обратите внимание на уравнение выше, n используется для обозначения направления перекрестного произведения. То есть здесь $ \ hat {n} $ — единичный вектор, перпендикулярный плоскости вектора a, b. Таким образом, направление векторного произведения всегда будет перпендикулярно плоскости векторов.Итак, посмотрите на этот рисунок ниже Предположим, что частица движется в свободном пространстве. И вы замечаете местоположение частицы из начала декартовой системы координат. Вы хотите знать положение частицы в данный момент времени. Предположим, что положение частицы в любой момент времени равно $ (s, y, z) $. По векторной форме можно записать положение частицы Итак, здесь $ \ vec {r} (x, y, z) $ — вектор положения частицы.Потому что с помощью $ \ vec {r} (x, y, z) $ вы можете понять, где находится частица от начала координат А, которую будем представлять в виде векторов. И расстояние от начала частицы Когда положение точки относительно указанной системы координат представлено вектором, это называется вектором положения этой конкретной точки. Предположим, что частица движется из точки A в точку B.И здесь векторы положения точек a и b равны r1, r2. Тогда вектор смещения частицы будет Здесь, если $ \ vec {r_ {1}} = x_ {1} \ hat {i} + y_ {1} \ hat {j} + z_ {1} \ hat {k} $ и $ \ vec {r_ {2}} = x_ {2} \ hat {i} + y_ {2} \ hat {j} + z_ {2} \ hat {k} $, тогда вектор смещения $ \ nabla \ vec {r} $ будет быть Не забудьте поделиться этим учебным пособием, если я внес этот вклад в вашу образовательную жизнь. Математика — это язык физики.С его помощью мы можем количественно описать
мир вокруг нас. В механике мы будем использовать два типа величин, чтобы
представляют в числовом виде такие понятия, как сила, масса и время. Эти два типа
известны как скаляры и векторы. Следующая диаграмма иллюстрирует два момента. Первый — это концепция наконечник и хвост вектора. С векторами направление
очень важно, поэтому мы помещаем стрелку в направлении вектора
идущий. Иногда это называют кончиком вектора.Другой конец
обычно называют хвостом. Вторая концепция, показанная на диаграмме, заключается в том, что два вектора с
одинаковая величина и направление . Это позволяет нам двигаться
векторы вокруг системы координат, чтобы упростить математику, связанную с
их. При работе с векторами обычно гораздо удобнее разбивать их
на составляющие векторы. Компонентные векторы — это векторы, которые идут параллельно
оси координат. Например, двумерный вектор имеет двухкомпонентную
векторов, один в направлении X и один в направлении Y.Схема ниже
показывает двумерный вектор и его компоненты. Длина и компоненты вектора A и угла & Oslash ( «Phi» ) вычисляются как: Как только векторы выражаются как их независимые компоненты, это
можно их добавить. Поскольку каждый компонент является скаляром, они могут добавлять
обычно к тому же компоненту другого вектора. Концептуально это выглядит
как на следующей диаграмме. Частным случаем умножения векторов является умножение вектора на -1 . Это заставляет вектор менять направление. Мы будем использовать это
свойство выполнять вычитание вектора. Помните, что порядок вычитания векторов важен.
Если вы перевернете их, результат будет в противоположном направлении. т.е. А — В = — (В — А) Путешественник идет 53.1 градус к северу от востока на протяжении 2,5 км, затем на восток на протяжении 2,0 км.
Каково ее полное смещение от исходной точки, если вы измеряете
расстояние по прямой? Ранее мы упоминали разницу между скаляром и вектором.Скаляр имеет только размер или величину, например температуру, энергию, расстояние или скорость. У вектора есть направление и величина. Примеры векторов: силы, импульс, ускорение, скорость и смещение. Вектор нарисован в виде стрелки, с головой и хвостом. Голова указывает направление вектора. Рисуем длину вектора пропорциональную величине вектора. Таким образом, чем длиннее вектор, тем выше величина. Мы рисуем направление вектора в соответствующем направлении, например, вверх или вниз. Векторы добавляют голову к хвосту. Предположим, вы плывете в реке со скоростью 2 м / с, а скорость потока воды составляет 3 м / с. Голова черного вектора встречается с хвостом зеленого вектора. Результирующий вектор (результат сложения двух векторов) рисуется от хвоста исходного вектора к началу второго вектора. В этом случае 2 + 3 = 5 м / с.Эти векторы являются коллинеарными или находятся в одной строке. Однако предположим, что вы плывете против реки. Вы плывете против реки, скорость которой все еще составляет 3 м / с. Таким образом, вектор начинается в хвосте черного вектора и снова заканчивается в начале зеленого вектора. Здесь мы видим, что результат -1 м / с. Эти векторы также коллинеарны. Допустим, самолет летит со скоростью 150 узлов. Скорость ветра 50 узлов в том же направлении.Результирующий вектор составляет 200 узлов. Предположим, что векторы не коллинеарны, а перпендикулярны. В этом случае, чтобы найти результирующий вектор, нам пришлось бы использовать теорему Пифагора . Мы также будем рассматривать похожие треугольники. Если вы посмотрите на маленькие красные треугольники со сторонами a-b-c. Угол слева — это тета или θ. Дополнительный угол к θ будет равен Φ или фи. Поскольку мы смотрим под углом 90 °, все углы в сумме составляют 180 °. У большого черного треугольника стороны ABC. Он имеет такие же точные углы, 90, θ и Φ. Когда два треугольника имеют равные углы, они называются подобными. Соотношение длин сторон одинаковое, поэтому мы говорим, что стороны пропорциональны. Особенно простой для понимания треугольник — это треугольник 45 ° -45 ° -90 °. Если стороны треугольника имеют длину 1, то, используя теорему Пифагора, мы обнаруживаем, что длинная сторона треугольника (также известная как гипотенуза) имеет длину √2. У любого треугольника с углом 45 ° большего размера стороны пропорционально длиннее. Если стороны имеют длину 2, то согласно теореме Пифагора гипотенуза равна √8. Мы обнаружили, что √8 вдвое длиннее √2. Аналогично, для треугольника 45 ° со сторонами длиной 3 гипотенуза будет в 3 раза длиннее. И 3√2 = √18. Другой легко запоминающийся треугольник — это треугольник 30-60-90. Если гипотенуза имеет длину 1, то короткая сторона треугольника равна ½.Это также сторона треугольника, противоположная углу 30 °. Более длинная сторона имеет длину ½ * √3. Это сторона, прилегающая к углу 30 °. . Если бы мы удвоили длину каждой стороны этого треугольника 30-60-90, мы получили бы следующий треугольник. Теперь предположим, что у нас есть треугольник 30-60-90, если короткая сторона имеет длину 8. Какова будет длина двух других сторон? Используя пропорциональность, мы можем умножить каждую сторону вышеуказанного треугольника на 8. Умножение каждой стороны на 8 дает треугольник ниже. Последний треугольник, который мы рассмотрим, — это треугольник 3-4-5. Если мы удвоим каждую сторону этого треугольника, мы получим…. У всех 3-4-5 треугольников равные углы. Маленький угол в треугольнике примерно равен 37 °. Больший угол примерно равен 53 °. Вектор — это величина, которую нельзя полностью описать, указав ее величину. Силы часто называют толчком или натяжением. Является ли \ (5N \) усилием толчком или натяжением? Мы не можем сказать, потому что информации недостаточно. Требуется направление, прежде чем мы сможем правильно описать силу. Сила — это векторная величина. Векторы обладают величиной и направлением — оба свойства необходимы для описания вектора. Существует несколько векторных величин, в том числе:Разложение вектора по ортам координатных осей
Скалярное произведение векторов
Векторное произведение векторов
Смешанное произведение векторов
презентация «Векторы.Действия над векторами.Проекция вектора» | Презентация к уроку по физике (10 класс) на тему:
9_физ_1(векторы)
Векторы: определение и основные понятия
Длина (модуль) вектора
Основные виды векторов
3.2: Векторы — Physics LibreTexts
Компоненты вектора
Разложение вектора
Скаляры против векторов
Сложение и вычитание векторов графически
Сложение и вычитание векторов
Сложение и вычитание векторов с использованием компонентов
Использование компонентов для сложения и вычитания векторов
Умножение векторов на скаляр
Обзор
Единичные векторы и умножение на скаляр
Положение, смещение, скорость и ускорение как векторы
Использование векторов
Приложения
Положение и перемещение
Скорость
Разгон
Ключевые моменты
Ключевые термины
Что такое векторы в физике?
Скалярная величина
Введение в вектор в физике
Типы векторов в физике
1. Равные векторы
2. Противоположные векторы
3. Коллинеарные векторы
4. Копланарные векторы
5. Единичный вектор
6. Нулевой вектор
Векторная алгебра в физике
1.Сложение вектора
Закон векторного треугольника
Закон векторного параллелограмма
Некоторые особые случаи сложения векторов
2.Вычитание вектора
3. Векторное умножение (произведение на скаляр)
4. Векторное деление
Разрешение вектора (компоненты вектора) в физике
Разрешение векторов в двух прямоугольных компонентах
Умножение вектора (на вектор) в физике
1. Точечный продукт
Некоторые свойства скалярного произведения
2. Перекрестное произведение
Такое умножение математически выражается крестиком между двумя векторами.Например Вектор положения
Вектор смещения
Одна просьба!
Скаляров и векторов
Скаляры и векторы Голы
Определения
Скаляр:
Скаляр используются для описания одномерных величин,
то есть количества, которые требуют только одного числа для полного описания
их. Примеры скалярных величин: Температура
Время
Скорость
Масса
Расположение вдоль линии (1D) Вектор:
Векторы используются для описания многомерных
количества.Многомерные величины — это те, которые требуют больше, чем
одно число, чтобы полностью их описать. Векторы, в отличие от скаляров, имеют два
характеристики, величина и направление. Примеры векторных величин: Расположение в самолете (2D)
Место в космосе (3D)
Скорость
Разгон
Сила Примечание:
Рисунки на этой странице содержат множество векторных диаграмм.Мы
будет использовать цвета, чтобы различать, что представляет каждый вектор. Таблица ниже
показывает цветовую схему, которую мы будем использовать с этого момента. Векторный цвет Значение Произвольные векторы
(Красный) Векторы в направлении X
(Синий) Векторы в направлении Y
(Зеленый) Результирующие векторы
(Черный) Оси координат
(Серый) Векторные диаграммы
Мы используем векторные диаграммы для визуализации того, что происходит в физической системе.Хотя мы можем решить большинство задач алгебраически, картинка может помочь
указать на тонкости проблемы. Первый шаг при решении любой проблемы
по физике — это нарисовать картинку. Выражение векторов с помощью компонентов
Векторы могут быть выражены через их величину и направление или в
с точки зрения их составных частей.Возможность переводить между двумя
представления — важный навык в физике. Величина вектора равна
его длина. Направление обычно задается в виде некоторого угла. Сложение векторов
Следующая диаграмма иллюстрирует векторную сумму. Обратите внимание, что мы можем переместить
хвост второго вектора к вершине первого вектора, чтобы получить результирующий
вектор. Не имеет значения, какой вектор перемещается, пока
вплотную друг к другу.
Умножение вектора на скаляр
Вектор можно умножить на скаляр, умножив каждый из его
компоненты под этим номером. Обратите внимание, что вектор не меняет направления,
только длина.Если A = (1,2) , то 3A = (3,6) . Это показано
наглядно ниже. Вычитание векторов
Разность векторов работает так же, как сложение векторов, за исключением того, что мы
умножьте вектор, который мы вычитаем, на
-1 .Это очень похоже на
вычитая два числа: A — B = A + (-B) . Схема ниже
иллюстрирует векторное вычитание в стиле «кончик к хвосту». Оригинал B Вектор показан пунктирной линией. Пример 1
Пример 2
Некоторым строителям мешает опорный кабель телефонного столба.
Чтобы работы продолжались, кабель необходимо переместить на 2 метра ближе к
полюс. Если высота столба 10 метров и кабель в данный момент закреплен
на землю в 8 метрах от столба, сколько нужно рабочим
от шлейфа отрезают при его перемещении? Решения
Знакомство с векторами | Блог Гэри Гарбера
Векторов — Векторы и скаляры — Национальная редакция 5 по физике
Силы должны иметь размер и направление, например, \ (300 N \) влево.
Связь между расстоянием, скоростью и ускорением может применяться к перемещению, скорости и ускорению.
Для скаляров: :
\ [средняя \, скорость = \ frac {расстояние}} {{время}} \]
Для векторов: :
\ [среднее \, скорость = \ frac {{displacement}} {{time}} \]
Мы также знаем, что для скаляров :
\ [acceleration = \ frac {{change \, in \, speed}} {{time}} \]
и для векторов :
\ [ускорение = \ frac {{изменение \, in \, скорость}} {{время}} \]
Ускорение можно описать как вектор или скаляр в зависимости от того, как мы его определяем. .Строго говоря, ускорение — это векторная величина.
Практические задачи: векторы — Physics-prep.com
Практические проблемы: Векторы
Щелкните здесь, чтобы увидеть решения.
1. (легко) Vector A представляет 5,0 м смещения на восток. Если вектор B представляет 10,0 м смещения на север, найдите сложение двух смещений ( R ).
2. (легко) Определите компоненты x и y смещения, величина которого равна 30.0 м под углом 23 ° к оси абсцисс.
3. (умеренно) Автомобиль движется на 150,0 м под углом 63 ° «к северу от востока» (это просто означает 63 ° от оси x). Некоторое время он остается в покое, затем перемещается на 300 м под углом 34 ° «к югу от запада» (это означает 214 ° от оси x). Найдите полное смещение автомобиля.
4. (легко) На объект действуют две силы, но в разных направлениях. Например, вы и ваш друг можете дергать за веревочки, прикрепленные к единому деревянному бруску. Найдите величину и направление результирующей силы в следующих обстоятельствах.
a) Первая сила имеет величину 10 Н и действует на восток. Вторая сила имеет величину 4 Н и действует на запад.
b) Первая сила имеет величину 10 Н и действует на восток. Вторая сила имеет величину 4 Н и действует на север.
5. (умеренный) Найдите уравновешивающую силу для описанной здесь системы сил:
Сила A : 20 Н при 20 °
Сила B : 40 Н при 230 °
6. (умеренный) Vector A представляет смещение в метрах, выраженное в единичном векторе как
.A = 2 i + 6 j + 3 k
Vector B представляет второе смещение.
B = 5 i -3 j -2 k
Найдите скалярное произведение двух векторов, векторное произведение двух векторов и угол между ними.
7. (средний) Вектор D = 3 i — 4 j + 2 k и вектор: E = 4 i — j — 2 k . Найдите звездной величиной D + E и величиной D — E .
8. (средний) Если вектор силы F 1 имеет величину 30 Н в направлении -z, а вектор силы F 2 имеет величину 60 Н в направлении + x, определите скалярное произведение ( F 1 • F 2 ) и кросс-произведение ( F 1 x F 2 ). Как бы изменились ответы, если бы векторы поменяли положение в уравнениях?
9.(умеренное) Два смещения величиной 10 м и 12 м могут быть объединены, чтобы сформировать результирующие векторы с множеством различных величин. Какая из следующих величин может возникнуть в результате этих двух смещений? 22 м, 2 м, 30,9 м, 15,6 м. Для возможных результирующих, какой угол существует между исходными смещениями?
10. (средний) Велосипедная шина (радиус = R = 0,4 м) катится по земле (без проскальзывания) на три четверти оборота. Рассмотрим точку на шине, которая изначально касалась земли.Насколько далеко он сместился от исходного положения?
11. (средний) Студент несет кусок глины от двери первого этажа (уровня земли) небоскреба (на Грант-стрит) к лифту, находящемуся на расстоянии 24 м. Затем она поднимается на лифте на 11 этаж. Наконец, она выходит из лифта и несет глину на 12 м обратно в сторону Грант-стрит. Определите общее смещение для глины, если каждый этаж находится на 4,2 м выше нижнего этажа.
Дополните эти проблемы проблемами, найденными в сопутствующем тексте.
Скаляры и векторы для IGCSE и A-level Physics
Все величины в физике можно разделить на скаляров и векторов , и вам нужно понять, является ли величина той или иной для ваших IGCSE, и векторы становятся особенно важными для тех, кто рассматривает , выводя физику на уровень A и выше .
Например, деньги будут иметь количество, например € 4,56, но не направление. Нельзя сказать 4,56 евро в направлении 40º к северу от востока !! Масса также не имеет направления, поскольку это просто количество материала, — общее количество частиц, из которых состоит объект, .Мы называем те величины, которые имеют величину, но не имеют направления, скалярными величинами.
Есть много скалярных величин, например:
- расстояние
- скорость
- время
- мощность
- энергия
Скалярные величины изменяются при изменении их величины.
Вес , напротив, имеет направление. Вес — это совокупный эффект того, что масса оказывается в гравитационном поле .Когда масса оказывается в гравитационном поле, результирующая величина известна как вес, который теперь имеет направление, а также величину (размер). Итак, величина, которая является произведением скаляра и вектора, также должна быть вектором , так как один его компонент имеет направление, и результирующий продукт тоже будет иметь направление.
Всего шесть векторных величин:
- рабочий объем
- скорость
- разгон
- сила
- вес
- импульс
Векторные величины изменяются, когда:
- их величина изменяется
- их направление меняется
- их величина и направление меняются
Ваш вес Вт / мг (верна любая версия) всегда действует по направлению к центру Земли.-1 x кг, и мы видим, что кг сокращается, оставляя нас с N, и поэтому ответ 98,1N.
Ускорение при постоянной скорости часто приводится в качестве примера изменения векторной величины. Что ж, мы знаем, что ускорение означает изменение , и мы знаем, что скорость постоянна, поэтому это означает, что направление должно изменяться на . Векторная версия скорости — это скорость . Часто приводится пример, когда велосипедист движется по круговой трассе с постоянной скоростью, но всегда меняет направление.
Геостационарный спутник находится на орбите над Землей. Он движется с постоянной скоростью, но его скорость постоянно меняется (так как направление постоянно меняется). Если его скорость меняется, мы говорим, что он ускоряется. Помните, ускорение всегда означает, что происходит какое-то изменение на !
- Разница в величинах двух векторов = конечный вектор — начальный вектор
- Разница в двух скалярных величинах = большое значение — малое значение
Это видео наилучшим образом соответствует содержанию IGCSE и A-level, необходимому для вашего курса физики.
