случаи кругового движения и колебаний / Хабр

Здравствуйте.

В своей предыдущей статье я рассказывал, как я делал анимацию планет Солнечной системы для своего сына. Спасибо всем за оставленные там отзывы и «теплый» прием. Сегодня я подготовил еще несколько интересных анимаций, условно объединенных под тему «круговое движение и колебания». Другими словами, то, что описывается с помощью косинусов и синусов.

Для отрисовки я использовал javascript и canvas. Для каждого примера дана ссылка, где вы можете всё внимательно посмотреть. Можно заглядывать в исходный код, можно копировать себе — я не буду возражать. Материал вполне может пригодиться на занятиях и факультативах по физике, математике или информатике.

Итак, поехали.

Траектория Луны

Давайте начнем с небесной механики. Мой любимый вопрос для школьников: «Земля движется [почти] по кругу вокруг Солнца, а Луна — по кругу вокруг Земли. Как выглядит траектория Луны в системе отсчета Солнца?» Я надеюсь, что уважаемые читатели окажутся более подготовленными и не начнут рисовать подобные «завитушки»:

Хотя такая траектория и подходит под здравый смысл, но конкретно с Луной так не бывает. На самом деле, Земля «несется» по орбите, а Луна, как привязанная, оказывается то слегка слева, то слегка справа. Действительно: орбитальная скорость Земли ~30 км/с, Луны — примерно 1 км/с. Очевидно, что скорости Луны никак не хватает, чтобы она могла двигаться в противоположную сторону. Более точное объяснение связано с расчетом действующих на Луну сил (со стороны Земли и Солнца) и того, куда направлен радиус кривизны траектории (оставлю это на самостоятельное изучение).

Итак, по теории вроде бы понятно. Но всё равно остается некоторая недосказанность. Хочется посмотреть, как оно есть на самом деле. Давайте сделаем модель в масштабе 1 пиксель = 30000 км. Это компромиссный вариант, чтобы орбиты были различимы, хотя масштаб картинки все равно получается огромным: 15000*15000 пикселей. На анимации движение Земли и Луны описывается законами кругового движения: голубая траектория для Земли, и черная для Луны. Сделав отрисовку, можно посмотреть на итог. Видно, насколько малы общие отклонения орбиты Луны от орбиты Земли. Вот для примера малый фрагмент картинки:

Так что имеющие в интернете рисунки крайне искажены, нужно об этом помнить.

Кстати, ради интереса можно сделать такую же анимацию с каким-нибудь спутником Юпитера. По идее, там уже должны получаться «завитушки».

Фигуры Лиссажу

Когда-то давно, когда я учился в новосибирской физматшколе, у нас была лабораторная работа «Фигуры Лиссажу», как и положено, с генераторами и советским осциллографом. Выглядело это основательно и интересно. В зависимости от частот сигналов, подаваемых на входы, на экране осциллографа получаются различные фигуры:

По сути, каждая фигура представляет собой сложение двух одновременных колебаний — по оси X и по оси Y. Частоты этих колебаний могут соотноситься как 1:1 (одно колебание по X, одно по Y; могут получаться окружность, эллипс или прямая), 1:2 (одно по X, два по Y; получаются парабола или «седло»), 1:3, 2:3 (более сложные фигуры) и так далее — думаю, принцип вы поняли. Подробную теоретическую основу вы можете найти в Википедии, а я подготовил отдельную страницу, где можно «поиграться» с разными коэффициентами.

Интересным параметром является сдвиг фазы между колебаниями. Если его непрерывно менять, то фигура «оживает» — начинает вращаться. Здесь моим любимым вопросом является такой: «а в какую сторону она вращается?» Кто-то говорит, что в одну сторону, кто-то — что в другую, а вообще можно «переключать» направление вращения прямо на ходу. Это чисто вопрос восприятия. Попробуйте и вы так сделать.

Усложним нашу анимацию, добавив в нее еще и затухание. В этом случае точка постепенно «падает» в центр, но, опять же, по замысловатой и довольно красивой траектории.

Кстати, подобное можно сделать и вживую. Как советуют в одной книге, нужно сделать цилиндр с малым отверстием внизу, насыпать туда манки, подвесить в дверной проем и качнуть. Высыпающася манка как раз и будет рисовать затухающую фигуру Лиссажу.

Спирограф

Игрушка из детских воспоминаний, когда я, будучи в возрасте 6-7 лет, рисовал узоры в гостях у бабушки:

Если вдруг кто-то, по какому-то неслыханному стечению обстоятельств, не знаком с этим чудом, то бегом в Википедию. Мы же посмотрим на страницу с анимацией. Параметров, как и в реальном спирографе, всего три: радиусы малого/большого круга и расстояние от точки до центра малого круга. Но их разные комбинации дают огромное количество узоров (примеры вы видели в начале этой статьи).

Кстати, у скрипта обнаружилась одна интересная особенность: в нем можно задавать такие комбинации, которые в реальном спирографе просто невозможны – например, сделать внутренний круг больше внешнего, или вообще вынести отверстие за пределы внутреннего круга. Программа позволяет придумывать всё, что угодно.

Результаты

Давайте подведем итог. Как видите, наши анимации находятся на стыке физики и информатики. Хорошо и интересно прочитать про Луну или те же фигуры Лиссажу, но вдвойне хорошо и интересно — увидеть это на экране и «поиграться» с параметрами. Конечно, если есть реальные объекты для получения результата, то, разумеется, нужно пользоваться им (например, электронные приборы — генераторы, осциллограф — для наблюдения фигур Лиссажу). Я вообще сторонник «работать руками». Но часто нет ничего подходящего — в таких случаях выручает анимация на компьютере.

Еще я хотел бы отдельно отметить эстетическую составляющую. Природа, по моему личному убеждению, невероятно красива в своей сути. Согласитесь, приятно смотреть на короткую и простую формулу, которая описывает целый класс явлений. Или, опять же, на графическое представление какой-то формулы (как со спирографом). А, например, силовые линии магнитного поля? А результат столкновения частиц? Помню, в университете мы тоже рисовали решения дифференциальных уравнений — даже там были свои изящество и красота. Если вы всё это знаете и понимаете, о чем я говорю — давайте пожмем друг другу руки. А если вы только сейчас заинтересовались этим — для вас всё только начинается. Сегодня был первый шаг.

Как рассчитать разность фаз по фигуре Лиссажу. » Хабстаб

Давно было интересно как использовать на практике фигуры Лиссажу. На днях, листая документацию на осциллографы Rigol серии DS,  нашёл как использовать фигуры Лиссажу для измерения разности фаз двух исследуемых сигналов. Описанный в документации метод называется методом эллипса и состоит он в следующем, в режиме X-Y сигналы равные по частоте , но сдвинутые по фазе, представляют собой эллипс. От сдвига фаз между сигналами и отношения амплитуд, зависят геометрические размеры эллипса. Произведя определённые замеры можно посчитать разность фаз между сигналами. Если главная ось эллипса расположена в первом и третьем квадранте, то сдвиг фаз между сигналами лежит в диапазоне от 0° до 90° или от 270° до 360°, если она располагается во втором и четвёртом квадранте, то сдвиг фаз лежит в диапазоне от 90° до 180° или от 180° до 270°. На рисунке ниже изображены расстояния, которые необходимо измерить и формула для расчёта, взятые из документации.


Современные цифровые осциллографы имеют функцию измерения сдвига фазы между сигналами. Давайте измерим расстояния A и B,  вычислим сдвиг фазы и сравним его с тем, что покажет осциллограф.

Расстояние A равно 56.

Расстояние В равно 68. Разделим 56 на 68 и посчитаем арксинус.

Получилось 55,44°, результат  почти сходится с тем, что измерил осциллограф.

Дело в том, что из-за джиттера измеряемых сигналов значение сдвига фаз, колебалось в районе нескольких градусов, поэтому результат можно считать положительным.
Давайте посмотрим какую информацию ещё можно получить, анализируя фигуры Лиссажу.
Если частоты и фазы сигналов равны, то эллипс вырождается в прямую, то же самое происходит если разность фаз равна 180°. Если разность фаз равна 90°,  то эллипс превратится в окружность.

Угол наклона эллипса или прямой зависит от амплитуд измеряемых сигналов.
Интересный случай представляют собой вращающиеся фигуры. Вращаются они потому, что их частоты отличаются на малую величину и это приводит к постоянному изменению фазового сдвига. Причём период вращения это величина обратная разности частот, исследуемых сигналов.
Теперь мы знаем как измерить разность фаз, анализируя фигуры Лиссажу, а в следующей статье мы узнаем как определить частоту неизвестного сигнала по фигуре Лиссажу.

Источник: hubstub.ru

ЛИССАЖУ ФИГУРЫ • Большая российская энциклопедия

• В книжной версии

  Том 17. Москва, 2010, стр. 578

• Скопировать библиографическую ссылку:

  ---

Авторы: М. И. Бакунов

Вид фигур Лиссажу при А1=А2 и различных соотношениях частот ω2:ω1 и разностях фаз Δφ.

ЛИССАЖУ́ ФИГУ́РЫ, замк­ну­тые пло­ские кри­вые, опи­сы­вае­мые точ­кой, дви­же­ние ко­то­рой яв­ля­ет­ся су­пер­по­зи­ци­ей двух вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ных ко­ле­ба­ний с от­но­ше­ни­ем час­тот, рав­ным ра­цио­наль­но­му чис­лу. Впер­вые бы­ли под­роб­но изу­че­ны франц. ма­те­ма­ти­ком Ж. А. Лис­са­жу в 1857–58. Л. ф. опи­сы­ва­ют­ся сис­те­мой па­ра­мет­рич. урав­не­ний (па­ра­метр – вре­мя $t$)$$x=A_1\text{cos}(ω_1t+φ_1), \;y=A_2\text{cos}(ω_2t+φ_2)$$при от­но­ше­нии час­тот $ω_2:ω_1$, рав­ном ра­цио­наль­но­му чис­лу. Л. ф. впи­са­ны в пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми $2A_1$ и $2A_2$, па­рал­лель­ны­ми со­от­вет­ст­вен­но осям $x$ и $y$. Вид Л. ф. за­ви­сит от от­но­ше­ния час­тот $ω_2:ω_1$ и раз­но­сти фаз $Δφ=φ_2-φ_1$ обо­их ко­ле­ба­ний. В слу­чае рав­ных час­тот $(ω_2:ω_1=1:1)$ Л. ф. пред­став­ля­ют со­бой эл­лип­сы, ко­то­рые при $Δφ=0$ или $\pmπ$ выро­ж­да­ют­ся в от­рез­ки пря­мых, а при $Δφ=\pmπ/2$ и $A_1=A_2$ пре­вра­ща­ют­ся в ок­руж­ность (рис.). При не­рав­ных час­то­тах Л. ф. име­ют бо­лее слож­ный вид. От­но­ше­ние чис­ла ка­са­ний Л. ф. го­ри­зон­таль­ной и вер­ти­каль­ной сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка, в ко­то­рый она впи­са­на, да­ёт от­но­шение час­тот $ω_2:ω_1$. На­прав­ле­ние дви­же­ния точ­ки по Л. ф. оп­ре­де­ля­ет­ся раз­но­стью фаз $Δφ$.

Л. ф. мож­но на­блю­дать, напр., на эк­ра­не ос­цил­ло­гра­фа, по­дав на его вер­тикаль­но и го­ри­зон­таль­но от­кло­няю­щие пла­сти­ны пе­ре­мен­ные на­пря­же­ния с от­но­ше­ни­ем час­тот, рав­ным ра­цио­наль­но­му чис­лу. Вид Л. ф. по­зво­ля­ет оп­ре­де­лить со­от­но­ше­ния ме­ж­ду час­то­та­ми и фа­за­ми на­пря­же­ний. При не­боль­шом от­кло­не­нии от­но­ше­ния час­тот от ра­цио­наль­но­го чис­ла на­блю­да­ет­ся мед­лен­ное из­ме­не­ние раз­но­сти фаз во вре­ме­ни и плав­ное из­ме­не­ние ви­да фи­гур Лис­са­жу.

【Matlab】 Научите вас рисовать фигуру Лиссажу с помощью Matlab GUIDE (полное руководство)

Лиссажу-фигура

При вибрации, когда синтезируются две взаимно перпендикулярные гармонические колебания, если частоты двух простых гармонических колебаний одинаковы, может быть сформирована устойчивая эллиптическая кривая, а крайними условиями являются круги и прямые линии; и когда частоты двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний не совпадают. В то же время синтетическое движение более сложное, и его траектория обычно не замкнута, но когда двухчастная частота колебаний становится простым целым числом, траектория синтетического движения представляет собой замкнутую кривую, потому что французский физик Жюль Лиссажу в 1857 году Он назван в честь более детального исследования в году.Лиссажу-фигура. Составной график траекторий движения двух произвольных перпендикулярных друг другу колебаний называетсяОбобщенная фигура Лиссажу。

Изображение из Википедии

Используйте графический интерфейс Matlab для написания приложения

Обратитесь к руководству официального сайта:Используйте GUIDE, чтобы создать простое приложение

1. Запустите GUIDE, введя руководство в приглашении MATLAB, или запустите его в новом приложении
   

2. В диалоговом окне «GUIDE Quick Start» выберите шаблон «Пустой графический интерфейс (по умолчанию)» и нажмите кнопку «ОК». Существующий графический интерфейс открывается по стрелке.
   

3. Нажмите «Выбрать файл»> «Предустановки»> «НАПРАВЛЯЮЩАЯ». Проверьте имя компонента на палитре компонентов и нажмите OK.
   

Макет пользовательского интерфейса

1. Выберите инструмент на палитре компонентов в левой части редактора макета и перетащите его в область макета, чтобы создать его.
   
2. Дважды щелкните компонент, чтобы изменить свойства, изменить строку, свойства цвета фона, размер шрифта и т. Д.
   
3. После завершения макета щелкните, чтобы запустить график, и предложите сохранить
   
4. GUIDE сохранит файлы fig и m, fig — интерфейс пользовательского интерфейса, а m — файл кода. результат операции:
   

Напишите код для поведения приложения

Варианты поведения:

1. Перетащите ползунок, чтобы отобразить данные в правом кадре. График меняется в реальном времени.
2. Введите данные в правый фрейм, нажмите RUN, график изменится.
3. Отобразите синтезированную фигуру Лиссажу на оси axes1.

---

записывать

1. Щелкните правой кнопкой мыши ползунок n, Обратный вызов и перейдите к коду для ползунка файла m.

2. Добавьте следующий код в% handle:
, где edit1 — правый фрейм, проверьте тег, тег также можно изменить самостоятельно, имя ID его компонента.

global n;
n = get(hObject,'Value');
set(handles.edit1, 'string',n);

Как показано:

Также добавьте следующий код в скользящий блок 2, обратный вызов:

global fai;
fai = get(hObject,'Value');
set(handles.edit2, 'string',fai);

Измените максимальное и минимальное значения ползунка:

1. Установите max = 10, min = 0 в n свойствах ползунка
2. max = 10 в fai, min = 0

Выполните проверку:

3. Щелкните правой кнопкой мыши Обратный вызов edit1 \ edit2 и добавьте коды:

global n;
n=str2double(get(hObject,'string'));

global fai;
fai=str2double(get(hObject,'string'));

Как показано:

4. Щелкните правой кнопкой мыши кнопку запуска обратного вызова и добавьте код:

global n;
global fai;

t=0:0.001:10;
x=sin(t);
y=sin(n*t+fai);
axes(handles.axes1);
grid on;axis equal;
plot(x,y);

Мы надеемся реагировать в реальном времени, когда выдвигается скользящий блок, поэтому добавьте после обратного вызова скользящего блока:

pushbutton1_Callback(hObject, eventdata, handles)  %Вызов функции клавиши

результат операции

Кроме того, просто измените график (x, y) на комету (x, y), и вы увидите эффект динамического рисования:

Все права защищены, перепечатка отклонена.
Конец.

Измерение частот и фаз методом фигур Лиссажу — Студопедия

Измерение методом фигур Лиссажу основано на анализе осциллограммы, получающейся при сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний электронного луча.

Для измерения частоты колебаний на вход вертикального отклонения подают переменное напряжение неизвестной частоты, а на вход усилителя горизонтального отклонения – опорное напряжение, частота которого известна. При выполнении условия кратности частоты опорного напряжения частоте исследуемого сигнала на экране осциллографа наблюдается неподвижная осциллограмма, которая для гармонических колебаний представляет собой одну из фигур Лиссажу. На рисунке 6 приведены некоторые фигуры Лиссажу для разных отношений частоты колебания опорного напряжения к частоте колебания исследуемого напряжения N.

Практически, для измерения частот колебаний плавно изменяют частоту колебаний опорного напряжения до тех пор, пока осциллограмма не станет соответствовать фигуре Лиссажу первого порядка, которая представляет собой эллипс. При разности фаз или эллипс вырождается в отрезок прямой, а при и равенстве амплитуд – в окружность. Во всех этих случаях частота исследуемого напряжения равняется частоте опорного напряжения.

Для измерения сдвига фаз между двумя напряжениями одной и той же частоты на вход вертикального отклонения подается одно из них, а на вход горизонтального отклонения – другое.

Поскольку частоты обоих напряжений одинаковы, то на экране будет изображение фигуры Лиссажу первого порядка, информация о сдвиге фаз содержится в ее форме (рисунок 7).

Проанализируем форму фигуры Лиссажу первого порядка. Зависимости отклонений по координатам и имеют вид:

, (1)

где и – коэффициенты пропорциональности между напряжениями, поданными на входы и , и отклонениями луча в этих направлениях; и амплитуды гармонических напряжений.

Введя обозначения: и амплитуд отклонений луча по координатам и соответственно, получим:

. (2)

Используя формулы тригонометрии:

и ,

можно записать:

, (1)

, (2)

. (3)

Подставив (2) и (3) в (1), получим:

. (3)

Возведя обе части уравнения в квадрат и выполнив преобразования, окончательно получим:

. (4)

Из последней формулы следует, что:

, где – отклонение по оси при , (5)

, где – отклонение по оси при . (6)

Смысл , , , можно понять из рисунка 7.

Как получаются фигуры лиссажу — Клуб строителей

Для улучшения этой статьи желательно ? :

• Исправить статью согласно стилистическим правилам Википедии.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое «Фигуры Лиссажу» в других словарях:

фигуры Лиссажу — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999 г.] Тематики электротехника, основные понятия EN Lissajous figures … Справочник технического переводчика

Лиссажу фигуры — Фигуры Лиссажу замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Ж. Лиссажу (J. Lissajous; 1822 80). Вид фигур… … Википедия

Лиссажу, Жюль Антуан — Жюль Антуан Лиссажу (фр. Jules Antoine Lissajous; 4 марта 1822, Версаль, Франция … Википедия

Фигуры Хладни — Примеры фигур Хладни из книги Э.Хладни «Акустика» Фигуры Хладни фигуры, о … Википедия

ЛИССАЖУ ФИГУРЫ — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонич. колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены франц. учёным Ж. Лиссажу (J. Lissajous). Вид Л. ф. зависит от соотношения между периодами… … Физическая энциклопедия

ЛИССАЖУ ФИГУРЫ — замкнутые траектории, описываемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебательных движения в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Вид этих фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами… … Большая политехническая энциклопедия

ЛИССАЖУ ФИГУРЫ — [по имени франц. физика Ж. Лиссажу (J. Lissajous; 1822 80)] замкнутые траектории точки, совершающей одновременно 2 гармонич. колебат. движения в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Вид Л. ф. зависит от соотношений между периодами… … Большой энциклопедический политехнический словарь

ЛИССАЖУ ФИГУРЫ — замкнутые траектории точки, совершающей одновременно два гармонич. колебат. движения в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Вид Л.ф. зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний и позволяет… … Естествознание. Энциклопедический словарь

Лиссажу фигуры — замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Ж. Лиссажу (J. Lissajous; 1822 80). Вид Л. ф. зависит от… … Большая советская энциклопедия

Фигура Лиссажу — Фигуры Лиссажу замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Ж. Лиссажу (J. Lissajous; 1822 80). Вид фигур… … Википедия

Если Вы меня спросите: «А ну-ка, скажи мне, что такое «фигуры Лиссажу». я задумаюсь. открою для начала какой-нибудь умный сайт и скажу, что
«Лиссажу фигуры, замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Впервые изучены французским учёным Ж. Лиссажу (J. Lissajous; 1822—80).

Вид Лиссажу фигуры зависит от соотношения между периодами (частотами) , фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов Лиссажу фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или p вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз p/2 и равенстве амплитуд превращаются в окружность (см. рис.) . Если периоды обоих колебаний неточно совпадают, то разность фаз всё время меняется, вследствие чего эллипс всё время деформируется. При существенно различных периодах Лиссажу фигуры не наблюдаются. Однако, если периоды относятся как целые числа, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в то же положение — получаются Лиссажу фигуры более сложной формы.

Лиссажу фигуры можно наблюдать, например, на экране катодного осциллографа; они получаются в результате перемещения светящейся точки, если к двум парам отклоняющих пластин подведены переменные напряжения с равными или кратными периодами. Наблюдение Лиссажу фигуры — удобный метод исследования соотношений между периодами и фазами колебаний, а также и формы колебаний. «

Хотя, сказать по правде. я начал зевать уже сразу после второго же слова.

Поэтому мы закроем. . тот самый умный сайт.

и найдем видео.. .которое нам хоть что-то прояснит.. .

А когда видео закончится.. .мы откроем совсем другую страничку. и насладимся приятными строками:

«. Ты спросишь, для чего – я нежно вывожу
На щиколотках – вдоль – слова, – одним из пальцев.. .
Те, кто не трогал их.. .-Несчастные страдальцы!. .
Продолжу рисовать – фигуры Лиссажу.

В губах твоих – вопрос. Посмотришь на меня.. .-
Я медленно скольжу – до уровня коленей.. .
В глазах – дрожат огни, как у лесных оленей, –
Когда весна идёт, – тревожа и пьяня.. .

Перемещаться – вверх, к бедру – не тороплюсь.
Надолго задержусь – на подколенной ямке, –
Где тёплой кожи шёлк.. .“Ну что ты! По заявке –
Я не ласкаю, нет. ” – дразнить тебя возьмусь.

Задравшийся подол одёрнуть позабыв,
Протягиваешь мне – ладонь для поцелуя.. .
И я, как будто сам к себе – тебя ревнуя,
Почувствую – восторг, – растущий, как бобы.. .

Весь – в сладостном пылу стекающих ресниц,
Свой продолжаю путь – вдоль ног.. .Твоих желаний
Вспугнуть – я не боюсь. Какой-то феникс – ранний –
Уже готов – сгореть, – от пальцев верениц.. .

Прижмись ко мне плотней! – В груди ревёт пожар.
На теле на моём – муаровым узором –
Проступят те черты, что не открыты взорам:
Соцветье орхидей.. .Застывший ягуар.. .

Что такое фигуры Лиссажу?

Фигуры Лиссажу представляют из себя различные геометрически-красивые рисунки, которые вычерчиваются точкой, колеблющейся в двух взаимно-перпендикулярных направлениях на одной плоскости.

Чтобы было более понятно, давайте представим девочку на качели из покрышки:

И вот представьте, что сзади ее раскачивает папа, а сбоку – мама. То есть наша девочка будет одновременно летать вперед-назад, а также влево-вправо. Долго ли она продержится – это уже другой вопрос). Если в солнечный денек посмотреть на землю, то мы увидим, что тень девочки вырисовывает различную траекторию полета.

Почему бы нам не поиграться пучком электронов, отклоняя его одновременно и по вертикали и по горизонтали? Вспоминаем, как выглядит электронно-лучевая трубка осциллографа:

1 – это горизонтальные пластины

2 – вертикальные пластины

ну и остальные детали – это составляющие электронной пушки.

Подаем на вертикальные пластины один синусоидальный сигнал, а на горизонтальные – другой синусоидальный сигнал. В результате точка на осциллографе будет вырисовывать различные линии и кривые, в зависимости от частоты сигналов. Хотя, цифровой осциллограф и аналоговый почти не похожи по внутренней начинке, но принцип действия у них все равно схож.

Требуемые приборы для получения и наблюдения фигур Лиссажу

Итак, для того, чтобы вырисовывать фигуры Лиссажу, нам потребуются два генератора частоты.

и осциллограф с функцией XY-режима. В моем случае это цифровой осциллограф OWON

Думаю, почти во всех современных осциллографах есть режим XY, будь это аналоговый или цифровой осциллограф.

Режим XY-осциллографа

Как вы помните, при простом использовании осциллографа у нас по оси X было время, а по оси Y – напряжение. Поэтому, по умолчанию, мы на осциллографе смотрим изменение напряжения во времени. Но если с помощью нехитрой кнопки переключить в режим XY, то у нас по Y будет напряжение и по X…. тоже напряжение, но уже с другого генератора частоты. Если включить в таком режиме только один генератор, то мы увидим только одну прямую линию либо по вертикали, либо по горизонтали. Это аналогично тому, если бы нашу девочку раскачивал только папа или только мама. Наша девочка летела бы только по одной прямой траектории.

А что будет, если сбоку нашу девочку будет раскачивать мама, а сзади – папа? Тут уже траектория девочки будет хаотичной. Но во всяком хаосе рождается порядок. И первым его заметил французский математик Жюль Антуан Лиссажу.

Получаем фигуры Лиссажу на практике

Цепляем на один канал один генератор частоты, а на другой канал – другой генератор частоты:

На осциллографе мы должны увидеть два сигнала с разных генераторов частоты, благо у меня осциллограф двухканальный:

Теперь переводим осциллограф в режим XY. На моем осциллографе это делается с помощью кнопки Display

Ну а потом с помощью дисплейных клавиш выбираем режим XY

И получается примерно вот такая хаотическая картинка:

Ну еще бы, один генератор дергает точку по X, другой по Y и у каждого генератора разная частота.

А давайте возьмем один генератор и с него подадим сигнал на два канала сразу. Частота и фаза совпадают и на первом и втором канале, так как мы берем сигнал с одного и то же генератора. В результате у нас будет вот такая картинка:

Если взять 100 Герц на первом генераторе и на втором генераторе, то получим что-то типа этого:

В реальности же получается круг, который все время крутится и превращается то в эллипс, то в прямую, так как очень ровно подобрать частоту на первом и втором генераторе очень сложно. Хотя на практике можно подавать сигнал на один канал напрямую, а на другой – через фазовращатель.

Если увеличить частоту на одном из генераторов вдвое, то можно наблюдать уже другие фигуры:

Эта фигура тоже все время крутится на осциллографе.

Увеличиваем на одном генераторе частоту в кратное число раз, то есть было 100, потом 200, 300 и тд и получаем абсолютно новые 3D фигуры 😉

Различное отношение частот одного генератора к другому дает различные фигуры Лиссажу:

Вот такие фигуры вы будете видеть на экране своего осциллографа:

А вот такие фигуры Лиссажу получаются, если использовать пилообразный сигнал с обоих генераторов сразу при разных отношениях коэффициентов

А вот такие фигуры получаются, если на одном оставить синус, а на втором поставить пилу:

Заключение

В основном фигуры Лиссажу в электронике можно использовать тогда, когда надо узнать частоту неизвестного генератора через образцовый генератор, частоту которого мы знаем, а также узнать сдвиг фаз между двумя одинаковыми сигналами. Ну и второе применение – это чисто визуальный кайф при вращении этих фигур на экранчике вашего осциллографа 😉

lab_2-36

Лабораторная работа 2.36 СЛОЖЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ

Цель работы: ознакомление с электронным осциллографом и методами исследования гармонических колебаний, происходящих в одном и двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Задание: наблюдать с помощью осциллографа сложение гармонических колебаний в одном направлении, определить качественно зависимость глубины модуляции от соотношения амплитуд сигналов; определить расстройку генераторов по частоте и время когерентности; наблюдать с помощью осциллографа сложение гармонических колебаний в двух взаимно перпендикулярных направлениях, получить на экране фигуры Лиссажу, определить соотношение частот генераторов; определить влияние изменения фазы колебаний на вид фигур.

Подготовка к выполнению лабораторной работы:

изучить теорию сложения гармонических колебаний, ознакомиться с настоящим методическим указанием и ответить на контрольные вопросы; подготовить таблицы для снятия экспериментальных результатов, составить спецификацию использованных приборов.

Библиографический список

1.Савельев И.В.- Курс общей физики.- М.:Наука, 1989, т.1, гл.7, §§ 55, 56, 57.

1.Какие параметры исследуемых электрических сигналов могут быть определены с помощью осциллографа?

2.Из каких функциональных блоков состоит осциллограф?

3.Из каких элементов состоит электронно-лучевая трубка?

4.Какие управляющие элементы имеет осциллограф?

5.При каких условиях возникают биения?

6.Чему равна частота биений, какова амплитуда огибающей результирующего сигнала?

7.При каких условиях при сложении двух гармонических колебаний получаются фигуры Лиссажу?

8.Как по фигуре Лиссажу определить отношение частот составляющих колебаний?

9.Как по фигуре Лиссажу определить фазовый сдвиг между двумя колебаниями с равными частотами?

Описание аппаратуры и метода измерений

Вход Y		Вход X
Усилитель Y		Схема
		Синхронизац.
Линия		Генератор
Задержки		Пилы
Высоковольтный		Усилитель X
Выпрямитель
Модулятор	Y+	X+
Катод
Накал
	Y-	X-

Рис.1. Функциональная схема осциллографа

Для исследования функциональных зависимостей используются электронные осциллографы – специальные приборы, позволяющие отображать быстро протекающие процессы. Основным элементом осциллографа является электронно-лучевая трубка. В трубке установлена электронная пушка, состоящая из накаливаемого катода, испускающего электроны, управляющей сетки (модулятор), второй сетки, обычно соединенной внутри с ускоряющим анодом, фокусирующего анода, ускоряющего анода. Обычно на управляющей сетке поддерживается небольшой отрицательный потенциал по отношению к катоду. Изменяя его, можно управлять яркостью формируемого изображения, или совсем погасить пучок на время обратного хода развертки. Диафрагмы в электродах электронной пушки вместе с радиальной компонентой электрического поля формируют электронный пучок. Аксиальная компонента поля обеспечивает ускорение электронов. Сформированный пучок попадает в область действия отклоняющих пластин. Каждую пару пластин можно рассматривать как плоский конденсатор и считать электрическое поле в нем однородным. Смещение электронного пучка на экране линейно зависит от приложенного к пластинам напряжения.

Так как взаимодействие электронного пучка с молекулами газов приводит к его расплыванию, для обеспечения нормального режима работы в трубке создают высокий вакуум. Экран трубки покрыт люминофором – веществом, которое светится, когда на него попадает электронный пучок. Раструб, соединяющий экран с электронной пушкой, покрыт внутри измельченным графитом (аквадагом). Это покрытие проводящее и служит продолжением анода. По нему протекает ток вторичных электронов, возникающих в результате рассеяния пучка на экране.

Для отклонения электронного пучка требуется прикладывать к отклоняющим пластинам напряжение порядка сотни вольт. Чтобы обеспечить возможность наблюдения слабых сигналов, в состав осциллографа входят масштабирующие усилители X и Y. Чувствительность каналов усилителей

измеряется в В/деление и может изменяться в широких пределах от мВ/см до 20 В/см.

Генератор пилообразного напряжения используется для наблюдения процессов, изменяющихся во времени. Формируемая “пила” обеспечивает линейное перемещение луча по оси X с постоянной скоростью в одном направлении и быстрый возврат в начальное положение с погашенным лучом на обратном ходе развертки. В этом случае коэффициент передачи по каналу X измеряется в ед. времени/деление и может меняться от 10 нс/см до 1 с/см.

При исследовании периодических процессов желательно обеспечить запуск развертки в фиксированные моменты времени. Для этого в схему осциллографа включен блок синхронизации и линия задержки. Синхронизация обеспечивается или от исследуемого сигнала, или от внешнего запускающего сигнала, связанного с исследуемым процессом.

Для исследования многих физических систем требуется задавать входной сигнал в виде гармонической функции (синус или косинус). Источником такого сигнала служат электронные генераторы, в которых вырабатывается синусоидальное напряжение. С помощью органов управления можно регулировать частоту и амплитуду сигнала. Как правило, предусматривается плавное изменение параметров в заданном диапазоне и дискретный переключатель диапазонов. Для точной подстройки частоты используется ручка “расстройка”.

Колебательные процессы играют важную роль во многих областях науки и техники. Простейшими являются гармонические колебания, то есть такие колебания, при которых колеблющаяся величина (например, напряжение на конденсаторе) изменяется во времени по закону синуса или косинуса. Многие периодические процессы, особенно при малых амплитудах, могут быть представлены как наложение нескольких гармонических колебаний.

Особенный интерес представляет случай, когда складываются два гармонических колебания мало отличающиеся по частоте. В этом случае результирующий процесс можно рассматривать как гармоническое колебание с медленно

меняющейся амплитудой. Рассмотрим случай сложения двух колебаний с нулевой начальной фазой:

X1(t)=Acos(wt), X2(t)=Bcos(ft), Z(t)=X1(t)+X2(t).

Введем новые переменные

U=(A+B)/2, V=(A-B)/2, ω=(w+f)/2, Ω=(w-f)/2.

Тогда:

Z(t)=(U+V)cos(ω+Ω)t + (U-V)cos(ω-Ω)t, Z(t)=U[cos(ω+Ω)t + cos(ω-Ω)t] + V[cos(ω+Ω)t — cos(ω-Ω)t], Z(t)=2Ucos(ωt) cos(Ωt) – 2Vsin(ωt)sin(Ωt).

Так как частота Ω много меньше ω, то можно определить угол ψ (медленно меняющийся во времени) как:

tgψ=Vsin(Ωt)/Ucos(Ωt),

тогда

Z(t)= 2 (Ucos(Ωt))2 +(Vsin(Ωt))2 (ωcos−Ψ).t

Подкоренное выражение всегда положительно и медленно меняется со временем, причем за время 1/Ώ (период разностной частоты исходных колебаний) дважды достигается максимум и минимум. Таким образом, период колебаний в два раза выше. При равенстве амплитуд исходных колебаний (V=0) получается:

Z(t)=2│Ucos(Ωt)│cos(ωt).

ω=(w+f)/2 – иногда называют несущей частотой. Назвать медленно меняющуюся функцию cos[(w-f)t/2] амплитудой было

бы неверно, так как она принимает как положительные, так и отрицательные значения, а амплитуда по определению должна быть неотрицательной. Амплитуда равна модулю этой функции, и поэтому период ее колебаний в два раза меньше обратной циклической частоты и равен 2π(w-f).

Во многих технических приложениях сложно непосредственно наблюдать и измерять колебания высокой частоты, но наблюдение изменения суммарной амплитуды колебаний позволяет сравнивать эталонный и исследуемый процесс и измерять разность частот с очень высокой степенью точности.

Определенный интерес представляет сложение двух взаимно перпендикулярных колебаний:

X(t)=Acos(wt), Y(t)=sin(ft).

Комбинация этих двух движений приводит к известным фигурам Лиссажу. Если отношение w/f является рациональной дробью вида N/M (где N и M не имеют общего множителя), то фигура замыкается после N циклов в направлении X и после M циклов в направлении Y. Вся фигура располагается в пределах прямоугольника со сторонами 2A и 2B. Так как процесс периодический, то достаточно рассмотреть фигуру, нарисованную за время: T=2πM/f=2πN/w. За этот интервал времени по оси X будет совершено N колебаний, и будет N раз достигнуто максимальное и минимальное значение (2N касаний вертикальных границ квадрата). Очевидно, что любая линия, перпендикулярная оси X, будет пересечена 2N раз. Для оси Y все рассуждения повторяются с заменой N на M. Соотношение частот колебаний по осям X и Y равно отношению касаний вертикальных границ к числу касаний горизонтальных границ или числу пересечений произвольной вертикальной линии, проведенной внутри фигуры Лиссажу к числу пересечений горизонтальной линии. При постоянном отношении частот вид фигуры Лиссажу зависит от разности фаз колебаний по осям X и Y.

Рассмотрим влияние малого отклонения отношения частот. Для этого снова введем частоты ω, Ω как в предыдущем случае. X(t)=Acos(ω+Ω)t, Y(t)=Bcos(ω-Ω)t. Для исключения быстрой временной зависимости образуем следующие вспомогательные величины:

	X	+	Y	= 2cos(ωt)cos(Ωt),	X	−	Y	= 2sin(ωt)sin(Ωt).
	A		B		A		B

Умножим первое выражение на sin(Ωt), второе – на cos(Ωt), и сложим квадраты этих выражений:

X

Y

2

X

Y

2

2

+

sin(Ωt)

+

−

cos(Ωt)

=(2sin(Ωt)cos(Ωt))

,

A

B

A

B

или

X 2			Y			2	XY	2
			+			−2		cos(2Ωt)= [sin(2Ωt)] .
							AB
A				B

Фаза Ωt – медленно меняющаяся функция времени. Это уравнение эллипса, повернутого относительно координатных осей X и Y. При Ωt=πk/2, где k – целое число эллипс вырождается в прямую линию:

y =±AB x.

При Ωt=π/4+πk/2 получаем стандартное уравнение эллипса, приведенного к координатным осям, направление обхода которого зависит от четности k:

X 2			Y			2
			+			=1.
A				B

Если Ω достаточно мало, то будут последовательно наблюдаться все эти случаи.

Если соотношение частот целое число, то можно получить аналитическое выражение для фигуры Лиссажу. Например:

X(t)=Acos(wt), Y(t)=Bcos(2ft)=B(2cos2(ft)-1).

y = B 2 Ax 2 −1 .

Для экспериментов по сложению колебаний удобно использовать генераторы звуковой частоты и осциллограф. Есть две модификации установки: а) состоит из двух генераторов звуковой частоты, которые подключаются к осциллографу отдельными проводниками; б) генераторы смонтированы внутри осциллографа и подключения осуществляются кнопкой “РАЗ” на передней панели осциллографа.

Схемы для исследования “биений” (слева) и фигур Лиссажу (справа).

Ос			Ос
Зг1	Зг2	Зг1	Зг2
Y X		Y	X

Включить осциллограф и генераторы. После прогрева (через минуту) на экране осциллографа должно появиться изображение луча. С помощью ручек управления осциллографом на передней панели расположить картинку в центре экрана. Вертикальный и горизонтальный усилители осциллографа обладают большими искажениями при больших коэффициентах усиления, поэтому амплитуду колебаний генераторов надо вначале установить максимальной. После получения устойчивого изображения на экране осциллографа уменьшить амплитуду колебаний генераторов, чтобы избежать нелинейных искажений.

Упражнение 1. Сложение гармонических колебаний одного направления. Собрать схему для исследования биений. Установить на генераторах примерно равные частоты и амплитуды сигналов. Получить на экране устойчивое изображение сигнала в виде “биений”. Измерить период “биений” и амплитуду огибающей. Изменяя амплитуды сигналов, нарисовать три графика “биений” с разной глубиной модуляции. Изменяя частоту одного из генераторов, получить “биения” с максимальным периодом. Определить разность частот. Записать период “биений”, разность частот и частоты генераторов. При близких частотах сигналов пользуйтесь ручкой “Расстройка” для точной регулировки одной из частот. При очень близких частотах возникает эффект взаимной синхронизации генераторов, связанный с сильным воздействием их друг на друга, и форма “биений” искажается.

Упражнение 2. Фигуры Лиссажу. Соберите схему для наблюдения фигур Лиссажу. Определите, какой генератор подключен к пластинам X, а какой – к пластинам Y. Это можно сделать, изменяя амплитуду сигнала и наблюдая, по какой оси изменяется масштаб картинки. Установите соотношения частот, заданное преподавателем. Плавно изменяя частоту одного из генераторов, добейтесь устойчивого изображения. Занесите частоты генераторов и рисунок в таблицу. Число пересечений осей X и Y обратнопропорционально отношению частот.

Зарисовать в тетради фигуры Лиссажу, записывая частоты генераторов по заданию, указанному преподавателем.

Зафиксировать следующие соотношения частот Fx/Fy:

1; 2; 3; 0,5; 0,2; 2) 1; 0,33; 1,33; 3; 2,5; 3) 1; 0,5; 0,75; 1,5; 2; 4) 1; 0,33; 2; 3; 4. Выполняется одно из заданий по указанию преподавателя.

Фигура Лиссажу, произведение искусства (принт № 9280889). Фото в рамке, Открытки

Картина Лиссажу в рамке, работа

Компьютерное изображение фигуры Лиссажу или кривой Боудитча, которая представляет собой график системы параметрических уравнений, описывающих сложное гармоническое движение

Мы рады предложить этот отпечаток из библиотеки Science Photo Library в сотрудничестве с Science Photo Library

В библиотеке научных фотографий представлены научные и медицинские изображения, включая фотографии и иллюстрации

© ПАСИЕКА / НАУЧНАЯ ФОТОБИБЛИОТЕКА

Идентификатор носителя 9280889

Работа Черный фон Кривая Боудитча Закрыть вверх Коммуникация Связь Изгиб Изогнутый Уравнения Полный кадр График Гармоническое движение Иллюстрация Инфографика Информация Вмешательство Линия Лиссажу Фигура Лиссажу Математический Математическая форма Математика Движение Несколько Сеть Параметрический Параметрическое уравнение Шаблон Узоры Физический Физика Обработка Квантовый Синусоидальная волна Суперпозиция Волна Волновой узор Форма волны Формы волны Волновая функция Волновые функции Волны Желтый

14 «x 12» (38 x 32 см) Современная рама

Наши современные репродукции в рамке профессионально сделаны и готовы повесить на вашу стену

проверить

Pixel Perfect Guarantee

проверить

Сделано из высококачественных материалов

проверить

Изображение без кадра 24.4 x 24,4 см (прибл.)

проверить

Профессиональное качество отделки

клетка

Размер продукта 32,5 x 37,6 см (прибл.)

Водяной знак не появляется на готовой продукции

Рамка под дерево с принтом 10×8 в держателе для карт. Фотобумага архивного качества. Габаритные внешние размеры 14×12 дюймов (363×325 мм). Задняя стенка из ДВП скреплена скобами и покрыта прочным стирольным пластиком, что обеспечивает практически небьющееся покрытие, напоминающее стекло.Легко чистится влажной тканью. Молдинг шириной 40 мм и толщиной 15 мм. Обратите внимание, что для предотвращения падения бумаги через окошко крепления и предотвращения обрезания оригинального изображения видимый отпечаток может быть немного меньше, чтобы бумага надежно крепилась к оправе без видимой белой окантовки и соответствовала формату. соотношение оригинального произведения искусства.

Код товара dmcs_9280889_80876_736

Фотографическая печать Печать в рамке Плакат Печать Пазл Печать на холсте Поздравительные открытки Фото кружка Художественная печать Подушка Металлический принт Установленное фото Печать в рамке Коврик для мыши Премиум обрамление Стеклянная подставка Стеклянная рамка Акриловый блок Сумка Стеклянные коврики

Полный диапазон художественной печати

Наши стандартные фотоотпечатки (идеально подходят для кадрирования) отправляются в тот же или на следующий рабочий день, а большинство других товаров отправляется на несколько дней позже.

Фотопечать (6,07 — 182,43 доллара)
Наши фотопринты напечатаны на прочной бумаге архивного качества для яркого воспроизведения и идеально подходят для кадрирования.

Печать в рамке (54,72 доллара — 279,73 доллара)
Наши современные репродукции в рамке профессионально сделаны и готовы повесить на вашу стену

Печать плакатов (13,37–72,97 долларов)
Бумага для плакатов архивного качества, идеально подходит для печати больших изображений

Пазл (34 доллара.04 — 46,21 долл. США)
Пазлы — идеальный подарок на любой случай

Canvas Print (36,48 — 231,08 долларов)
Профессионально сделанные, готовые к развешиванию Печать на холсте — отличный способ добавить цвет, глубину и текстуру в любое пространство.

Поздравительные открытки (7,26–14,58 долларов США)
Поздравительные открытки для дней рождения, свадеб, юбилеев, выпускных, благодарностей и многого другого

Фотокружка (12,15 $)
Наслаждайтесь любимым напитком из кружки, украшенной любимым изображением.Сентиментальные и практичные персонализированные фотокружки станут идеальным подарком для близких, друзей или коллег по работе

Fine Art Print (36,48 — 486,49 долларов)
Наши репродукции репродукций изобразительного искусства соответствуют стандартам самых критичных музейных хранителей. Это лучшее, что можно было бы сделать после оригинальных произведений искусства с мягкой текстурированной естественной поверхностью.

Подушка (30,39 $ — 54,72 $)
Украсьте свое пространство декоративными мягкими подушками

Metal Print (193 доллара.38)
Изготовленные из прочного металла и роскошной техники печати, металлические принты оживляют изображения и добавляют современный вид любому пространству

Фото (15,80 — 158,10 долларов)
Фотопринты поставляются в держателе для карт с индивидуальным вырезом, готовом к обрамлению

Печать в рамке (54,72–304,05 долл. США)
Наш оригинальный ассортимент британских принтов в рамке со скошенным краем

Коврик для мыши (17,02 доллара США)
Фотопечать архивного качества на прочном коврике для мыши с нескользящей подложкой.Работает со всеми компьютерными мышками.

Премиум обрамление (109,45 — 352,70 долларов)
Наши превосходные фоторамки премиум-класса профессионально изготовлены и готовы повесить на вашу стену

Glass Coaster (9,72 доллара)
Индивидуальная стеклянная подставка под столешницу. Элегантное полированное безопасное закаленное стекло и подходящие термостойкие коврики также доступны

Стеклянная рамка (27,96 — 83,93 доллара) Крепления из закаленного стекла
идеально подходят для настенного дисплея, а меньшие размеры также можно использовать отдельно с помощью встроенной подставки.

Acrylic Blox (36,48 — 60,80 долларов)
Обтекаемая, современная односторонняя привлекательная настольная печать

Большая сумка ($ 36,43)
Наши сумки-тоут изготовлены из мягкой прочной ткани и оснащены ремнем для удобной переноски.

Стеклянные коврики (60,80 $)
Набор из 4 стеклянных ковриков. Элегантное полированное безопасное стекло и термостойкое. Также доступны подходящие подстаканники

фигур Лиссажу: от математики до измерения и искусства, Часть 3

В частях 1 и 2 рассматриваются уравнения, история и техническая роль фигур Лиссажу.В этой заключительной части мы рассмотрим их использование в графике и искусстве.

Одно из широко известных применений было во вступительной части отмеченного наградами легендарного сериала The Outer Limits (с 1963 по 1965 год) с его классическим закадровым звуком: «Не пытайтесь корректировать изображение — мы контролируем передачу». Вращающийся узор из перекрещивающихся линий на самом деле представляет собой обрезанную фигуру Лиссажу.

Рис. 1. Обрезанная, меняющаяся фигура Лиссажу использовалась как часть начальных титров легендарного сериала «Сумеречная зона».(Изображение: Twilight Zone через YouTube)

фигурки Лиссажу также использовались в логотипах организаций. Например, в знаменитой лаборатории Линкольна Массачусетского технологического института используются двухбуквенные буквы L, повернутые на 180 градусов относительно друг друга, что соответствует ее названию (рис. 2) .

Рис. 2. В логотипе лаборатории Линкольна Массачусетского технологического института используется четко очерченная фигура Лиссажу, которая обычно радует глаз. (Изображение: MIT)

Это образует прямоугольник, охватывающий фигуру Лиссажу, созданную двумя уравнениями:

x (t) = 3 sin (8πt / t) и y (t) = 4 sin (6πt / t).

На их веб-сайте отмечается: «Фигура Лиссажу, знакомая большинству ученых-физиков и инженеров, означает гармонию, порядок и стабильность». Другая фигура Лиссажу используется в качестве логотипа Австралийской радиовещательной корпорации.

Что касается более легкой стороны, вы можете купить или сделать двумерный маятник, называемый гармонографом, который рисует фигуры Лиссажу на бумаге или песке (рис. 3) .

Рис. 3: Гармонограф представляет собой двумерный маятник, который можно использовать для рисования фигур Лиссажу.(Изображение: Википедия)

Как отмечалось выше, нет необходимости иметь электронику, такую ​​как генераторы функций и осциллограф, для создания, изменения и отображения фигур Лиссажу. Вы можете писать простые математические программы, используя для этого практически любой стандартный язык программирования, и отображать полученные изображения на экране компьютера.

Но и в этом нет необходимости. Некоторые ссылки, приведенные в конце, представляют собой веб-сайты, предлагающие интерактивные фигуры Лиссажу, где вы можете изменять параметры и видеть, как фигуры динамически меняются в реальном времени.Вы даже можете наблюдать, как фигуры Лиссажу изменяются и вращаются в зависимости от их настроек. Есть также художники, которые рисовали, рисовали, ткали или фотографировали фигуры Лиссажу в различных формах (рис. 4) .

Рис. 4: Фотография фигуры Лиссажу, сделанная Альфредом Пасиекой, является одной из многих доступных фотографий с использованием различных художественных средств; он также доступен в виде бумажных канцелярских принадлежностей и даже в виде чехла для мобильного телефона. (Изображение: Fine Art America)

Фигуры Лиссажу могут даже стать отличным способом познакомить любознательные умы с связями между математикой, наукой и искусством.

Связанное содержание WTWH

Ссылки с программным обеспечением или взаимодействием (и др.)

Прочие ссылки

• Википедия, «Кривая Лиссажу»
• Клуб электроники, «Фигуры Лиссажу или узоры Лиссажу»
• Wolfram Research, «Кривая Лиссажу»
• Fine Art America, «Фигура Лиссажу»
• MIT, «Логотип лаборатории Линкольна»
• История информации, «Жюль Антуан Лиссажу описывает фигуры Лиссажу»
• История информации, «Рисунки из оригинальной публикации Лиссажу»
• Техасский университет, «Фигуры Лиссажу»
• Tutorials Point, «Фигуры Лиссажу»
• Национальная магнитная лаборатория: Магнитная академия, «Фигуры Лиссажу на осциллографе»
• Science Direct, «Возвращение к фигуре Лиссажу как инструмент для изучения бистабильного восприятия»
• PLOS One, «Стабильность восприятия фигуры Лиссажу модулируется скоростью иллюзорного вращения»
• SciELO — Научная электронная библиотека в Интернете, «Фигуры, похожие на Лиссажу, с треугольными и квадратными волнами»
• EEE Guide, «Измерение частоты методом Лиссажу»
• Все о схемах, «Что такое линейная система?»
• Все о схемах, «Измерение частоты и фазы»
• Википедия, «Гармонограф»
• Википедия, «Австралийская радиовещательная корпорация»

КОМПЕНДИУМ отсутствует перевод: en.title_lquot Отсутствует перевод технических преобразований звука в изображение: en.title_lquot См. этот звук

6 фигур Лиссажу — изображения как звук

Основа аналогово-электронной аудиовизуальности — это сигнал, который одновременно становится видимым и слышимым через громкоговорители и электронно-лучевые трубки. Принцип ортогонального наложения двух колебаний важен для электронного изображения. Форма волны прикрепляется как к абсциссе, так и к ординате, охватывая плоскость изображения.Конкретный состав сигналов может проявляться по-разному, о чем свидетельствует разнообразие видеоформатов. Однако в принципе электронно-лучевые трубки могут использоваться для представления сигналов произвольной формы. Все эти форматы изображений подчиняются общей теории колебаний, что делает их сопоставимыми со старыми типами изображений.

В 1815 году математик Натаниэль Боудич впервые описал функции перпендикулярного наложения гармоничных колебаний маятника.После этого открытия был сконструирован широкий спектр различных механических инструментов для создания таких кривых Боудитча, в том числе многочисленные так называемые гармонографы ^[26] и калейдофон Чарльза Уитстона (1827 г.), а также для непосредственного наблюдения моделей колебаний света. на звучных металлических посохах. Эти кривые, наконец, стали известны как фигуры Лиссажу, когда Жюль Антуан Лиссажу исследовал их в 1857/1858 гг. В контексте акустических экспериментов, касающихся колебательного поведения твердых объектов.С изобретением Карлом Фердинандом Брауном методов создания электронных изображений в 1897 году, формы электрических сигналов также можно было наблюдать. В результате осциллограф был разработан как физический количественный инструмент для определения переменного напряжения.

Подобно преобразованию визуальных образов в звук, которое происходит в оптическом звуке, аудиовизуальность, генерируемая электронным способом, работает с особым взаимодействием медиальной функциональности и процессов восприятия. Перпендикулярное наложение колебаний как форма двумерного представления, которое служит для визуального восприятия акустических процессов в среде электронного изображения, всегда представляло собой интерференцию двух сигналов, которые отклоняют точку света в двух разных направлениях — горизонтальном и горизонтальном. вертикальный.Кроме того, колебательное движение фигуры Лиссажу кажется статичным, когда уровень выше, чем частота слияния человеческого глаза (приблизительно 18 Гц), в то время как человеческое ухо не способно воспринимать спектральные компоненты ниже этой частоты. Таким образом, фигура Лиссажу не представляет конкретную частоту, и нет четкой корреляции между высотой звука и фигурой. Тем не менее, звук и изображение можно сравнивать по другим факторам, таким как отношения между частотами (интервалами) и фазовые отношения на более низких частотах.В зависимости от сложности материала, подлежащего аудиовизуальному восприятию, могут возникнуть определенные совпадения между медиатехническими аспектами и аспектами, связанными с восприятием. Для эстетического подхода к электронной аудиовизуальности именно эти пересечения представляют интерес, чтобы раскрыть перспективу медиальности, сконструированного характера передачи. Интуитивно понятные конвергенции создаются, например, в результате точной одновременности звука и изображения, которая гарантируется точностью аналогового электромагнитного соединения и которая не может быть достигнута в цифровых системах связи.То же самое касается увеличения фигур на больших объемах, вызванного повышенной амплитудой. Наконец, возрастающая сложность фигур Лиссажу, когда отношения гармонических частот становятся более сложными, соответствует впечатлению, производимому на уши. Подобные корреляции часто моделируются при отображении алгоритмических параметров цифровых аудиовизуальных систем.

Электронный синтез изображений изначально рассматривался как эстетическая стратегия в более старом кино, которое к 1930-м годам зарекомендовало себя также как форма абстрактного искусства.Мэри Эллен Бьют ^[27] , а в 1950-х годах Хай Хирш и Норман Макларен интегрировали фигуры Лиссажу в свои анимации, снимая экраны осциллографов. Кроме того, возможности, предоставляемые геометрическим синтезом изображений, также интересовали практиков оп-арта, кинетического искусства и ранней компьютерной графики. ^[28] Электронно-лучевая осциллография была также испытана при визуализации музыки в электронных студиях Берлина Фрицем Винкелем (1960-е) и Пьером Шеффером (La Trièdre Fertile, 1975) в Париже. ^[29] Рейнольд Вейденаар продолжал использовать аналоговые синтезаторы и осциллографы для аудиовизуальных композиций (1979), а видеосинтезатор Билла Хирна VIDIUM (1969), аудиосинтезатор, модифицированный специально для этой цели, позволил точно синтезировать сложные фигуры Лиссажу. Благодаря своей способности без инерции связывать электронные звуки и сигналы изображения электронно-лучевые трубки использовались Нам Джун Пайком и Дэвидом Тюдором для живых совместных и перформативных целей. Эксперименты Пайка с аудиовизуальным соединением телевизоров, аудиокассет и микрофонов на его первой персональной выставке «Экспозиция музыки — электронное телевидение» (1963) теперь рассматриваются как печально известное начало видеоарта.В 1966 году Дэвид Тюдор в сотрудничестве с Лоуэллом Кроссом реализовал перформанс Bandoneon! (объединение) по случаю мероприятия «9 вечеров: театр и инженерия», для которого было задействовано несколько процессов аудиовизуальной трансформации. Для павильона Pepsi-Cola на выставке Expo 1970 в Осаке Тюдор и Кросс вместе с физиком Карсоном Д. Джеффрисом разработали систему множественного отклонения для лазерных лучей. Система работает по тем же принципам, что и упомянутая ранее генерация электронного изображения.Наконец, с помощью гибридной аналого-цифровой системы связи Робин Фокс расширил возможности синтеза фигур Лиссажу в своем сериале Backscatter (2004) и, как медиа-художник Эдвин ван дер Хайде, ^[30] все больше экспериментирует с системами отклонения в лазерно-звуковых спектаклях. В своих аудиовизуальных перформансах Фокс расширяет границы экранно-центрированной проекции, используя комнаты, заполненные дымкой, созданной дымовой машиной, в качестве проекционных объемов. В очередной раз Мохоли-Надь продемонстрировал особую дальновидность, когда еще в 1936 году в своем эссе «Проблема новых фильмов» он признал, что: «Конечно, возможно, что дым или пар могут попадать в одно и то же время через разные проекционные устройства или что световые фигуры могут появляться в точках пересечения различных световых конусов. ^[31]

Туопик: Фигуры Лиссажу

Блок-схема ниже иллюстрирует настройку, необходимую для производства Фигуры Лиссажу на экране телевизора или монитора с электронно-лучевой трубкой (ЭЛТ). Во-первых, подключите трубку вверх так, чтобы в центре экрана получилось резкое пятно. Если это пятно остается неподвижным и ярким даже на короткое время, ЭЛТ люминофор загорится, и на экране останется небольшое черное пятно.Катушки Line и Field подключены к усилителям с входами, подключенными к генераторы сигналов. Поскольку катушки индуктивные, амплитуда поля также будет изменяться. с частотой. Это можно компенсировать, регулируя усиление усилители.

С помощью цветной ЭЛТ можно выбрать красный, зеленый и синий пистолеты. любая комбинация. В этой настройке чистота неправильная, и индивидуальный можно увидеть, как цвет меняется на экране.

Более подробная информация о схеме представлена ​​на внизу этой страницы.Никакие компоненты не подвергаются критике, поэтому есть много возможностей для экспериментов. Однако стоит согласовать трансформатор Flyback с используемым ЭЛТ.

На изображении 1 ниже времени экспозиции, чтобы сделать снимок, захватил несколько изображений. На обоих изображениях частота катушки Line (Ось X) в два раза больше частоты катушки Поля (ось Y). Изображение движется как фазы дрейфуют медленно, поскольку обе частоты не являются точными кратными.

Не беспокойтесь о настройке двух сигналов генераторы? Не проблема, отсюда можно скачать небольшой MP3-файл.Отлично чтобы знать, что сжатие MP3 сохраняет фазу, поэтому его можно использовать для этого цель. Источник начинается с одинаковых синусоидальных частот на обоих каналах. Это затем изменяется на треугольную и квадратную. Квадрат воспроизведен неверно из-за отклика входного усилителя, но картинка интересная всем тем же.

Файл можно загрузить и воспроизвести с ПК или MP3-плеер. Изображение можно отобразить на осциллографе или усилить. управлять отклоняющими катушками на ЭЛТ. Щелкните на значке шума ниже, чтобы начать загрузку.Затем просто подключите левый и правый каналы к X и Y объем входов. Установите временную развертку для внешнего входа X и установите для параметра Volt / dev значение около 0,1 В. Затем воспроизведите MP3.

Простой фиксированный генератор для удобства, в качестве альтернативы можно использовать два регулируемых контура генератора. На этом этапе также можно добавить другой источник сигнала. Я действительно подумал о добавлении гнезда для аудиовхода.

Авторские права 2017 tuopeek.com Все права защищены

Кривая Лиссажу — HandWiki

Краткое описание : Математическая кривая, полученная из конкретной пары параметрических уравнений

{{Множественные проблемы |

Фигура Лиссажу, созданная высыпанием песка из контейнера на конце маятника Блэкберна.

Кривая Лиссажу , также известная как фигура Лиссажу или кривая Боудитча , представляет собой график системы параметрических уравнений

[math] \ displaystyle {x = A \ sin (at + \ delta), \ quad y = B \ sin (bt),} [/ math]

, которые описывают сложное гармоническое движение.Это семейство кривых было исследовано Натаниэлем Боудичем в 1815 году, а затем более подробно в 1857 году Жюлем Антуаном Лиссажу (в честь которого оно было названо).

Внешний вид фигуры очень чувствителен к соотношению a / b . Для отношения 1 фигура представляет собой эллипс с особыми случаями, включая круги ( A, = B , δ, = π / 2 радиан) и линии ( δ, = 0). Другой простой фигурой Лиссажу является парабола ( b / a = 2, δ = π / 4).При других соотношениях получаются более сложные кривые, которые замыкаются, только если a / b рационально. Визуальная форма этих кривых часто наводит на мысль о трехмерном узле, и действительно, многие виды узлов, в том числе известные как узлы Лиссажу, выступают на плоскость как фигуры Лиссажу.

Визуально соотношение a / b определяет количество «лепестков» фигуры. Например, соотношение 3/1 или 1/3 дает фигуру с тремя основными лепестками (см. Изображение).Точно так же соотношение 5/4 дает фигуру с пятью горизонтальными лепестками и четырьмя вертикальными лепестками. Рациональные соотношения создают замкнутые (связанные) или «неподвижные» фигуры, а иррациональные отношения создают фигуры, которые кажутся вращающимися. Отношение A / B определяет относительное отношение ширины к высоте кривой. Например, соотношение 2/1 дает фигуру, которая в два раза шире, чем высота. Наконец, значение δ определяет кажущийся угол «поворота» фигуры, рассматриваемой, как если бы она была на самом деле трехмерной кривой.Например, δ = 0 дает компоненты x и y , которые точно совпадают по фазе, поэтому результирующая фигура выглядит как кажущаяся трехмерная фигура, если смотреть прямо (0 °). Напротив, любое ненулевое значение δ дает фигуру, которая кажется повернутой либо влево-вправо, либо в направлении вверх-вниз (в зависимости от отношения a / b ).

Фигура Лиссажу на осциллографе, отображающая соотношение 1: 3 между частотами вертикального и горизонтального синусоидальных входов соответственно.Эта фигура Лиссажу была адаптирована в логотип Австралийской радиовещательной корпорации. Круг — это простая кривая Лиссажу

фигур Лиссажу, где a = 1, b = N ( N — натуральное число) и

[math] \ displaystyle {\ delta = \ frac {N-1} {N} \ frac {\ pi} {2}} [/ math]

— многочлены Чебышева первого вида степени N . Это свойство используется для создания набора точек, называемых точками Падуи, в которых функция может быть дискретизирована для вычисления либо двумерной интерполяции, либо квадратуры функции в области [−1,1] × [−1,1 ].

Связь некоторых кривых Лиссажу с полиномами Чебышева более ясна, чтобы понять, выражается ли кривая Лиссажу, порождающая каждую из них, с помощью функций косинуса, а не функций синуса.

[математика] \ displaystyle {x = \ cos (t), \ quad y = \ cos (Nt)} [/ math]

Примеры

Анимация, показывающая адаптацию кривой при увеличении отношения a / b от 0 до 1

Анимация показывает адаптацию кривой с непрерывным увеличением a / b дроби от 0 до 1 с шагом 0.01 ( δ = 0).

Ниже приведены примеры фигур Лиссажу с нечетным натуральным числом a , четным натуральным числом b и | a — b | = 1.

• δ = π /2, a = 1, b = 2 (1: 2)

• δ = π /2, a = 3, b = 2 (3: 2)

• δ = π /2, a = 3, b = 4 (3: 4)

• δ = π /4, a = 5, b = 4 (5: 4)

• Фигуры Лиссажу: различные частотные отношения и разности фаз

Поколение

До появления современного электронного оборудования кривые Лиссажу можно было генерировать механически с помощью гармонографа.

Практическое применение

кривых Лиссажу можно также создать с помощью осциллографа (как показано на рисунке). Схема осьминога может использоваться для демонстрации изображений формы сигнала на осциллографе. Два синусоидальных входа со сдвигом фазы подаются на осциллограф в режиме X-Y, и фазовое соотношение между сигналами представлено в виде фигуры Лиссажу.

В мире профессионального звука этот метод используется для анализа в реальном времени фазового соотношения между левым и правым каналами стереофонического аудиосигнала.На более крупных и сложных консолях микширования звука для этой цели может быть встроен осциллограф.

На осциллографе мы предполагаем, что x — это канал 2, а y — это канал 3, A — амплитуда канала 2 и B — амплитуда канала 3, a — частота канала 2 и b — частота канала Ch3, поэтому a / b — это соотношение частот двух каналов, а δ — фазовый сдвиг Ch2.

Чисто механическое применение кривой Лиссажу с a = 1, b = 2 находится в приводном механизме ламп с осциллирующим лучом типа Mars Light, популярных на железных дорогах в середине 1900-х годов.Луч в некоторых версиях имеет на своей стороне однобокий узор в виде восьмерки.

Приложение для корпуса

a = b На этом рисунке обе входные частоты идентичны, но разница фаз между ними создает форму эллипса. Вверху: Выходной сигнал как функция времени.
Средний: Входной сигнал как функция времени.
Внизу: Результирующая кривая Лиссажу, когда вывод отображается как функция ввода.
В этом конкретном примере, поскольку выходной сигнал сдвинут по фазе на 90 градусов относительно входа, кривая Лиссажу представляет собой круг и вращается против часовой стрелки.

Когда вход в систему LTI является синусоидальным, выходной сигнал синусоидален с той же частотой, но может иметь другую амплитуду и некоторый фазовый сдвиг. Использование осциллографа, который может отображать один сигнал относительно другого (в отличие от одного сигнала относительно времени) для построения графика выхода системы LTI относительно входа системы LTI, дает эллипс, который является фигурой Лиссажу для особого случая a = b .Соотношение сторон результирующего эллипса является функцией фазового сдвига между входом и выходом, с соотношением сторон 1 (идеальный круг), соответствующим фазовому сдвигу на ± 90 °, и соотношением сторон ∞ (линия), соответствующим с фазовым сдвигом 0 ° или 180 °.

На рисунке ниже показано, как фигура Лиссажу изменяется при различных фазовых сдвигах. Все фазовые сдвиги отрицательны, поэтому семантика задержки может использоваться с причинной системой LTI (обратите внимание, что -270 ° эквивалентно + 90 °).Стрелки показывают направление вращения фигуры Лиссажу.

Чистый фазовый сдвиг влияет на эксцентриситет овала Лиссажу. Анализ овала позволяет измерить фазовый сдвиг системы LTI.

В машиностроении

Кривая Лиссажу используется в экспериментальных испытаниях, чтобы определить, можно ли правильно отнести устройство к категории мемристоров. Он также используется для сравнения двух разных электрических сигналов: известного опорного сигнала и сигнала, который необходимо проверить. ^{[1] [2]}

В культуре

В кино

Файл: Простая анимация Лиссажу.OGV

Фигуры Лиссажу иногда отображались на осциллографах, предназначенных для моделирования высокотехнологичного оборудования в научно-фантастических телешоу и фильмах 1960-х и 1970-х годов. ^[3]

Заглавная последовательность Джона Уитни для художественного фильма Альфреда Хичкока 1958 года « Головокружение » основана на фигурах Лиссажу. ^[4]

Логотипы компаний

Фигуры Лиссажу иногда используются в графическом дизайне в качестве логотипов. Примеры включают:

• Австралийская радиовещательная корпорация ( a = 1, b = 3, δ = π / 2) ^[5]
• Лаборатория Линкольна в Массачусетском технологическом институте ( a = 3, b = 4, δ = π / 2) ^[6]
• Университет электросвязи, Япония ( a = 5, b = 6, δ, = π / 2).
• Приложение для потоковой передачи видео Disney Movies Anywhere использует стилизованную версию кривой

В современном искусстве

См. Также

Банкноты

Внешние ссылки

Интерактивные демонстрации

Инженерный инструмент для анализа первопричин отдельных случаев — предварительная концепция

Заявление о соответствии PerfSORT

Температура в зависимости от времени (не диаграмма Лиссажу)

Это было использовано для облегчения определения минимальной температуры, которая имела место во время случая.Типичный профиль показан на минимальной температуре 10 ° C.

Температура в зависимости от времени для всей операции.

Смешанная венозная насыщенность кислородом в зависимости от температуры (фигура Лиссажу)

Из типичного случая, охлажденного до 18 ° C, видно, что невозможно различить, что происходит из-за перекрытия точек охлаждения и повторного нагрева. Используя минимальную температуру от, данные были разбиты на цифры охлаждения и повторного нагрева.

Смешанная венозная сатурация кислорода в зависимости от температуры для всей операции.

Охлаждение — смешанные венозные насыщения кислородом в зависимости от температуры (фигура Лиссажу)

Охлаждение было очень предсказуемым: смешанные венозные насыщения все медленно повышались до 100%, поскольку экстракция кислорода снижалась при охлаждении. Типичный случай показан на. Можно видеть, что охлаждение приводит к увеличению смешанной венозной сатурации из-за снижения метаболических требований из-за феномена Q ₁₀ (2), но при постоянной доставке кислорода. Фигуры Лиссажу во время охлаждения, кажется, не добавляют дополнительной информации к уходу за пациентом.

Охлаждение — насыщение в зависимости от температуры.

Возобновление — насыщение смешанной венозной крови кислородом в зависимости от температуры (фигура Лиссажу)

Возобновление, когда графически изображено отдельно от охлаждения, выявило поразительные различия (). Ишемия тканей подразумевает глубокое падение насыщения кислородом центральной венозной крови при низкой температуре, что подразумевает метаболическую активность для восполнения ложа ишемизированных органов. Без какого-либо статистического анализа сразу же визуально очевидно, у кого были короткие и длительные периоды ишемии и реперфузии тканей во время согревания при операции, которая, казалось бы, протекала без осложнений.

Подборка кривых согревания, демонстрирующих заметные различия в ишемии органов. Температура отложена по оси абсцисс, а значения смешанной венозной сатурации — по оси ординат. (A) Отсутствует, (B) умеренное, (C) умеренное и (D) сильное снижение насыщения при низких температурах.

Смешанная венозная насыщенность кислородом в зависимости от времени (фигура не Лиссажу)

Используется для определения того, когда в операционном органе была обнаружена ишемия ().

Сатурация смешанного венозного кислорода в зависимости от времени.

ОБСУЖДЕНИЕ

Создание простых фигур Лиссажу во время согревания для обходных процедур может быть дополнительным полезным инструментом в анализе первопричин смерти / заболеваемости пациентов из-за необъяснимой органной недостаточности после обширной операции на аорте, когда операция, перфузия и анестезия кажутся безупречными. Простое графическое представление большого количества данных электронной перфузии о смешанной венозной сатурации и температуре, генерируемых во время длительных случаев, может помочь в анализе.

Смешанное венозное насыщение кислородом не следует путать с центральным венозным насыщением кислородом, поскольку последнее подвержено ошибкам смешивания из-за вариаций насыщения крови кислородом в нижней и верхней полой вене (4).Во время обхода смешанная венозная сатурация измеряется на помпе, поэтому эта ошибка вряд ли будет присутствовать в наших данных.

Смешанная венозная кровь у нормального пациента в состоянии покоя насыщена примерно на 75%. Как правило, любое состояние, которое приводит к устойчивой сатурации смешанных вен менее 50%, подразумевает значительную ишемию органа (5). Низкая сатурация центральных вен при гипотермических температурах означает значительную метаболическую активность, что указывает на ишемию тканей (6). Причина ишемии многофакторна и не анализировалась в этом концептуальном документе; однако тот факт, что у некоторых пациентов явно возникла ишемия во время согревания, ясно видно на графиках.

Идентификация и распознавание ишемии во время аортальных случаев может дать возможность разработать стратегии по минимизации ее возникновения, такие как перфузия нижней части тела, избирательная артериальная перфузия и минимизация периодов остановки кровообращения. Мы не пытались количественно оценить ишемический инсульт, но такие параметры, как артериальное давление, доставка кислорода, лактат и максимальная кислородная задолженность, могут быть разумными количественными начальными суррогатными измерениями, но необходима клиническая проверка.

Мониторинг электроэнцефалограммы используется некоторыми группами до остановки кровообращения; однако некоторые сообщили об электрической нейтральности, несмотря на продолжающуюся экстракцию кислорода, подразумевающую остаточную метаболическую активность (7).Это означает, что реперфузия будет связана с десатурацией по мере погашения кислородного долга. Повреждение органа, вероятно, сильно варьируется в этих условиях в зависимости от множества факторов, таких как общий кислородный долг, время ишемии и способ перфузии. К сожалению, этот метод можно использовать только ретроспективно, поскольку после того, как произошла десатурация центральной вены, по определению уже произошла ишемия.

Ишемия и воспаление взаимосвязаны. Ишемия вызывает воспаление органа при реперфузии (8), а воспаление может вызвать повреждение органа через ишемию (9,10).Ишемическое повреждение органа, вызванное субоптимальным обходным анастомозом, потенциально может быть устранено с помощью PerfSORT (www.perfsort.net). Важность тканевой перфузии как фактора, вызывающего воспаление, лежит в основе консенсуса в отношении воспаления и кардиохирургии (11).

Ишемия органа многофакторна. Потенциально важны многочисленные факторы: перфузия и доставка кислорода при шунтировании (12), защита миокарда, исключающая использование внутриаортальных баллонных насосов и инотропов, отсутствие кровотечения и переливания крови и факторов свертывания, недостаточное использование вазоконстрикторов для поддержания артериального давления и атеросклероз. в кормушках (12,13).Перед использованием фигур Лиссажу следует проанализировать соблюдение маркеров качества PerfSORT (14).

Ограничения

Размер нашей выборки был слишком мал, а оперативные переменные слишком многочисленны, чтобы выявить истинное использование этого метода и попытаться объяснить «необъяснимые полиорганные нарушения», которые возникают после операции на аорте. Необходима дальнейшая работа, чтобы соотнести эту концепцию с исходами, смертностью, полиорганной недостаточностью и продолжительностью пребывания в отделении интенсивной терапии.

Фигуры Лиссажу

Особый вид параметрических уравнений получил название фигур Лиссажу.Эти кривые описывают гармонические движения в физике.

A Фигура Лиссажу — это кривая # \ orange {C} #, описываемая параметрическим уравнением вида

\ [\ begin {array} {rcl} \ blue {x (t)} & = & \ blue {A \ sin (at + b)} \\\ green {y (t)} & = & \ green { B \ sin (ct + d)} \ end {array} \]

, где #A, B, a, b, c # и # d # — числа.

Период кривой — это длина наименьшего интервала # t #, при котором отображается полная кривая.

Другие примеры

Переменные в определении можно изменять для получения различных цифр. Вы можете использовать ползунки, чтобы изменить значения и посмотреть, что произойдет.

В определении кривой Лиссажу мы требуем, чтобы это была параметрическая кривая с параметрическими уравнениями определенной формы, то есть с функциями синуса и косинуса определенного типа. Используя тригонометрические тождества, мы можем переписать параметрические уравнения, чтобы увидеть, являются ли они также фигурами Лиссажу, но не обязательно выглядят так же, как в определении.

Пример

Параметрические уравнения

\ [\ begin {array} {rcl} \ green {x (t)} & = & \ green {2 \ sin (t) \ cos (t)} \\\ blue {y (t)} & = & \ blue {\ cos (t — \ frac {\ pi} {2})} \ end {array} \]

можно переписать как

\ [\ begin {array} {rcl} \ green {x (t)} & = & \ green {\ sin (2t)} \\\ blue {y (t)} & = & \ blue {\ sin ( t)} \ end {array} \]

Самый простой пример фигуры Лиссажу — это единичный круг , который описывается как \ [\ begin {array} {rcl} \ green {x (t)} & = & \ green {\ cos (t)} \\\ blue {y (t)} & = & \ blue {\ sin (t)}, \ end {array} \], где # t # находится в интервале # \ ivcc {0} {2 \ pi} # .

Период фигуры Лиссажу является наименьшим общим кратным периодов # \ blue {x (t)} # и # \ green {y (t)} #. Это # \ frac {2 \ pi} {| a |} # и # \ frac {2 \ pi} {| c |} # соответственно. Это было рассмотрено на странице теории о наибольшем общем делителе и наименьшем общем кратном.

Период фигуры Лиссажу в большинстве случаев можно рассчитать следующим образом. Обратите внимание, что наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель технически определены только для целых чисел, но приведенный ниже расчет дает представление о том, как рассчитать период:

\ [\ begin {array} {rcl} \ text {period} & = & \ mathrm {lcm} \ left (\ displaystyle \ frac {2 \ pi} {| a |}, \ displaystyle \ frac {2 \ pi } {| c |} \ right) \\ & = & 2 \ pi \ cdot \ mathrm {lcm} \ left (\ displaystyle \ frac {1} {| a |}, \ displaystyle \ frac {1} {| c | } \ right) \\ & = & 2 \ pi \ cdot \ mathrm {lcm} \ left (\ displaystyle \ frac {| c |} {| a \ cdot c |}, \ displaystyle \ frac {| a |} {| a \ cdot c |} \ right) \\ & = & 2 \ pi \ cdot \ displaystyle \ frac {\ mathrm {lcm} (| c |, | a |)} {| a \ cdot c |} \\ & = & \ displaystyle \ frac {2 \ pi} {\ gcd (| c |, | a |)} \ end {array} \]

Ниже приведены два примера.

Пример 1

Период следующей фигуры Лиссажу

\ [\ begin {array} {rcl} \ blue {x (t)} & = & \ blue {5 \ sin (2t + 3)} \\\ green {y (t)} & = & \ green { 4 \ sin (6t)} \ end {array} \]

можно рассчитать по формуле, приведенной выше:

\ [\ begin {array} {rcl} \ mathrm {lcm} \ left (\ displaystyle \ frac {2 \ pi} {| a |}, \ displaystyle \ frac {2 \ pi} {| c |} \ right ) & = & \ displaystyle \ frac {2 \ pi} {\ gcd (| c |, | a |)} \\ & = & \ displaystyle \ frac {2 \ pi} {\ gcd (6,2)} \ \ & = & \ displaystyle \ frac {2 \ pi} {2} \\ & = & \ pi \ end {array} \]

Пример 2

Период следующей фигуры Лиссажу

\ [\ begin {array} {rcl} \ blue {x (t)} & = & \ blue {\ sin (\ frac {t} {2})} \\\ зеленый {y (t)} & = & \ green {5 \ sin (\ frac {t} {3} +1)} \ end {array} \]

снова можно рассчитать по формуле, приведенной выше:

\ [\ begin {array} {rcl} \ mathrm {lcm} \ left (\ displaystyle \ frac {2 \ pi} {| a |}, \ displaystyle \ frac {2 \ pi} {| c |} \ right ) & = & \ mathrm {lcm} (4 \ pi, 6 \ pi) \\ & = & 12 \ pi \ end {array} \]

Определите, соответствует ли параметрическая кривая, заданная уравнениями

\ [\ begin {array} {rcl} \ blue {x (t)} & = & \ blue {\ sin (t) \ cos (2) + \ cos (t) \ sin (2)} \\ \ зеленый {y (t)} & = & \ green {4 \ sin (\ frac {2t} {\ pi} + \ pi)} \ end {array} \]

— фигура Лиссажу.

---

Да, это так.

Мы используем тригономические тождества, чтобы переписать уравнения. Для # \ blue {x (t)} # мы используем тождество # \ sin (\ alpha + \ beta) = \ sin (\ alpha) \ cos (\ beta) + \ cos (\ alpha) \ sin (\ beta ) #. Для # \ blue {x (t)} # получаем

\ [\ begin {array} {rcl} \ blue {x (t)} & = & \ blue {\ sin (t) \ cos (2) + \ cos (t) \ sin (2)} \\ & = & \ грех (т + 2). \ end {array} \]

Мы видим, что # \ green {y (t)} # уже имеет желаемый вид.

Вопрос

Пусть # \ orange P # будет точкой, орбита которой описывается параметрическими уравнениями

\ [\ begin {array} {rcl} \ blue {x (t)} & = & \ blue {2 \ sin (\ pi t)} \\ \ green {y (t)} & = & \ green { 2 \ cos (t)} \ end {array} \]

, где # t # находится между # — \ pi # и # \ pi #.Определите значения # t #, где # \ orange P # проходит через ось # y #.

Решение

Решаем # \ blue {x (t)} = 0 # для #t \ in \ ivcc {- \ pi} {\ pi} #. Получаем

\ [\ begin {array} {rcl} \ blue {2 \ sin (\ pi t)} & = & 0 \\\ pi t & = & k \ cdot \ pi \\ t & = & k \ end {массив } \]

, где # k # — целое число.

Следовательно, для #t = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 # в интервале точка # \ orange P # проходит через ось # y #.

Вот фото кривой

\ [\ begin {array} {rcl} \ blue {x (t)} & = & \ blue {2 \ sin (\ pi t)} \\ \ green {y (t)} & = & \ green { 2 \ cos (t)}.\ end {array} \]

Значение # t # можно отрегулировать для перемещения точки # \ orange P #. Как видно из рисунка, значения #t = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 # — единственные значения, где # \ orange P # проходит ось # y #.

Рассмотрим точку # P #, заданную уравнениями
\ [\ begin {cases}
x (t) & = — \ sin \ left (t + {{\ pi} \ over {4}} \ right), \\
y (t) & = -2 \ cdot \ sin \ left ({{t} \ over {4}} + {{\ pi} \ over {16}} \ right).
\ end {cases} \] где # t # находится в диапазоне от # — \ pi # до # \ pi #.

Определите, как часто точка # P # проходит через начало координат.

Точка # P # проходит через начало координат один раз.

---

Чтобы определить, как часто точка # P # проходит через начало координат, мы одновременно должны решить #x (t) = 0 # и #y (t) = 0 #. У нас есть, что #x (t) = — \ sin \ left (t + {{\ pi} \ over {4}} \ right) = 0 # тогда и только тогда, когда #t + {{\ pi} \ over {4}} # кратно # \ pi #. Получаем

\ begin {array} {rcl}
t + {{\ pi} \ over {4}} & = & k \ cdot \ pi \\
t & = & \ pi \ cdot k — {{\ pi} \ over {4}}
\ end {array}

для всех целых чисел # k #. Значения # t #, которые лежат в интервале, находятся в списке \ [\ left [t = {{3 \ cdot \ pi} \ over {4}}, t = — {{\ pi} \ over {4} }} \ right] \]

Те, у которых также есть #y (t) = 0 #, это
\ [\ left [t = — {{\ pi} \ over {4}} \ right] \]
Итак # P # проходит через начало координат один раз.

.