От двух камертонов из опытов Лиссажу к одной эллиптической уровнемерной трубке с шагом в столетия и всё на Python

Картинки из сети, качество желает лучшего, но они достаточно точно отражают суть опыта по визуализации фигур. Зри в корень – основа мудрости поколений.

Немного истории

Ещё в школе на уроках физики я вглядывался в осциллограф, на экране которого, сменяя друг друга, появлялись разные фигуры: сначала простые – линия, парабола, круг, эллипс, потом фигуры становились всё более насыщенные непрерывными волнообразными линиями, напоминающие мне кружева. Автором этого кружевного дива был Жюль Антуан Лиссажу французский физик, член — корреспондент Парижской АН (1879) [1]. Сами фигуры — это замкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях [2]. Думаю, что в те далёкие от современности годы основной заслугой Жюля, кроме конечно накопленных опытом знаний математики и физики, была простая механическая визуализация этих фигур подручными средствами. Захотелось конструировать подобно Жулю максимально просто и наглядно, реализовать его идеи применительно к современной задаче линейных измерений. Но сделать это путём математического моделирования с графической визуализацией его результатов на Python. Но сначала рассмотрим классический вариант [3] построения фигур.

Какими должны быть фигуры Лиссажу

Для этого воспользуемся системой уравнений, описывающих фигуры:

x(t), y(t) в общем случае зависящие от времени гармонические колебания вдоль взаимно перпендикулярных плоскостей, частоты b, a и начальная фаза d. Для анализа фигур в вычислениях принимают постоянным модуль разности частот |b — a| = 1. Будем рассматривать отношение круговых частот b / a и начальную фазу d. Имеем для линии A = B d = 0, окружности , и параболы . Основные отношения частот, удовлетворяющие условию, занесём во вложенный список m=[[0],[2,2],[2,1],[1,2],[3,2],[3,4],[5,4],[5,6],[9,8]].

Код для построения графиков каждой из фигур на отдельных графиках

#!/usr/bin/env python
#coding=utf8
import numpy as np
from numpy import sin,pi
import matplotlib.pyplot as plt
m=[[0],[2,2],[2,1],[1,2],[3,2],[3,4],[5,4],[5,6],[9,8]]# отношение круговых частот  
for i in m:          
                if i[0]==0: 
                           a=1
                           x=[sin(a*t) for t in np.arange(0.,2*pi,0.01)]
                           y=[sin(a*t) for t in np.arange(0.,2*pi,0.01)]
                           plt.plot(x, y, 'r')# график для линии
                           plt.grid(True)
                           plt.show()
                else:
                                a=i[0]
                                b=i[1]
                                 d=0.5*pi
                                x=[sin(a*t+d) for t in np.arange(0.,2*pi,0.01)]
                                y=[sin(b*t) for t in np.arange(0.,2*pi,0.01)]
                                plt.plot(x, y, 'r') # график для различных отношений  a/b
                                #круговых частот
                                plt.grid (True)
                                plt.show()
 

Результат не привожу, отдельные фигуры не впечатляют. Хочу коллаж из «кружев».Код программы для построения на одной форме графиков для четырёх фигур при m= [3,4], [5,4],[5,6],[9,8]]

#!/usr/bin/env python
#coding=utf8
import numpy as np
from numpy import sin,pi
import matplotlib.pyplot as plt
m=[[3,4],[5,4],[5,6],[9,8]] # отношение круговых частот
plt.figure(1)
for i in m:         
         a=i[0]
         b=i[1]
         d=0.5*pi
         x=[sin(a*t+d) for t in np.arange(0.,2*pi,0.01)]
         y=[sin(b*t) for t in np.arange(0.,2*pi,0.01)]        
         if m.index(i)==0:
                  plt.subplot(221)
                  plt.plot(x, y, 'k') # график для различных отношений  a/b круговых частот                                
                  plt.grid(True)
         elif m.index(i)==1:
                  plt.subplot(222)
                  plt.plot(x, y, 'g')               
                  plt.grid(True)
         elif m.index(i)==2:
                  plt.subplot(223)
                  plt.plot(x, y, 'b') 
                  plt.grid(True)
         else:
                  plt.subplot(224)
                  plt.plot(x, y, 'r')                  
                  plt.grid(True )    
plt.show()
  

И вот они «кружева».

Что нельзя отнести к фигурам Лиссажу по определению о их замкнутости

Зачем нам |b — a| = 1, “за флажки!” попробуем например так m=[[1,3],[1,5],[1,7],[1,9]]

На втором графике при m=0,2 получена незамкнутая траектория, которая по определению не является фигурой Лbссажу.

В поисках механических аналогов

Поищем аналогии фигур в измерительной технике и вот вибрационный уровнемер с резонатором в виде эллиптической трубки [4].

Упруго закреплённая трубка эллиптического сечения с помощью систем возбуждения 5,6,7 совершает автоколебания в одной плоскости, а с помощью систем 8, 9, 10 в другой плоскости перпендикулярной первой. Трубка колеблется в двух взаимно перпендикулярных плоскостях с разными частотами близкими к собственным. Масса трубки зависит от уровня заполняющей её жидкости. С изменением массы меняются и частоты колебаний трубки, которые и являются выходными сигналами уровнемера. Частоты несут дополнительную информацию о мультипликативных и аддитивных дополнительных погрешностях, компенсируемых при обработке частот микропроцессором 11.

Условия адекватного моделирования

Для более-менее корректной привязки фигур Лиссажу к работе упомянутого уровнемера, следует учесть следующие обстоятельства. Во-первых, закреплённая одним концом трубка эллиптического сечения — это колебательная система с распределёнными параметрами, что сильно усложняет анализ её колебаний. Во-вторых, отношение частот колебаний трубки не может изменяться произвольно, оно зависит от эллипсности сечения и допустимых зазоров в системе возбуждения колебаний. Для отношения частот можно получить простое соотношение.

К чему принадлежат переменные, a, b, a0, b0 ясно из рисунка и кроме того формула для циклической частоты осциллятора известна из школьного курса физики. Для «реализации на Python в последнее отношение введём толщину стенки и показатель эллипсности внутреннего сечения трубки, тогда вместо четырёх переменных получим три.

Код программы для определения. допустимого изменения отношения частот

#!/usr/bin/env python
#coding=utf8
import numpy as np
from numpy import sqrt
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.family'] = 'fantasy'
mpl.rcParams['font.fantasy'] = 'Comic Sans MS, Arial'
d=0.5
a=9
x=[w for w in  np.linspace(0.8,0.95,15)]
y=[sqrt(x**-2*((1+d/a)**3*(1+d/(x*a))-1)/((1+d/a)*(1+d/(x*a))**3-1)) for x in  np.linspace(0.8,0.95,15)]
plt.plot(x, y, 'r', label='Толщина стенки трубки в мм. --  %s' %str(d))
d=0.7
y=[sqrt(x**-2*((1+d/a)**3*(1+d/(x*a))-1)/((1+d/a)*(1+d/(x*a))**3-1)) for x in  np.linspace(0.8,0.95,15)]
plt.plot(x, y, 'b',label='Толщина стенки трубки в мм.--  %s' %str(d))
d=1.0
y=[sqrt(x**-2*((1+d/a)**3*(1+d/(x*a))-1)/((1+d/a)*(1+d/(x*a))**3-1)) for x in  np.linspace(0.8,0.95,15)]
plt.plot(x, y, 'g', label='Толщина стенки трубки в мм.--  %s' %str(d))
plt.ylabel('Отношение частот колебаний эллиптической трубки')
plt.xlabel('Отношение длин малой и большой полуосей')
plt.title('Определение допустимого диапазона для отношения частот')
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show()
 

В результате работы программы получим график.

График построен для малой внутренней полуоси в 9 мм. Для конструктивно допустимого отношения малой к большой полуоси сечения в диапазоне от 0.8 до 0.95. Это основной фактор влияния на отношение частот, которое изменяется от 1.18 до 1.04. Толщина стенки влияет незначительно. Теперь у нас есть диапазон отношений и ним можно воспользоваться для дальнейшего моделирования.

Формы колебаний вертикальной оси трубки

Что касается распределённых механических параметров консольной трубки, то они при помощи равенства собственных частот и импеданса могут быть приведены к сосредоточенной массе жёсткости и демпфированию. Кроме того, для определения форм изгибных колебаний консольной трубки можно получить выражение для распределённых параметров. Уравнение для форм – балочные функции имеет вид:

где — корни уравнения:

Следует отметить что, не смотря на большое количество публикаций о формах и частотах колебаний консольного стержня, балки или трубки уравнения (4) нигде не приводяться, только рисунки без координат. Поэтому уравнение (4), я вывел через условия на концах и балочные функции, проверил по корням (5) и расположению узлов. Однако это тривиальное уравнение, о котором просто забыли.

Код программы для численного определения корней уравнения 1.1 и построения трёх форм изгибных колебаний оси трубки1.1 —

#!/usr/bin/env python
#coding=utf8
from scipy.optimize import *
import numpy as np
from numpy import pi,cos,cosh,sin,sinh
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.family'] = 'fantasy'
mpl.rcParams['font.fantasy'] = 'Comic Sans MS, Arial'
d=[]
for i in range(0,4):
         x=brentq(lambda x:cosh(x)*cos(x)+1,0+pi*i,pi+pi*i)
         p=round(x,3)
         if p not in d:
                  d.append(p)
x=[w for w in np.linspace(0,1,100)]
k=d[0]
z=[sin(k*x)-sinh(k*x)+((cosh(k) -cos(k))/(sin(k)-sinh(k)))*(cos(k*x)-cosh(k *x) )for x in np.linspace(0,1,100)]
plt.plot(z, x, 'g', label='Первая форма для корня -  %s' %str(k))    
k=d[1]
z=[sin(k*x)-sinh(k*x)+((cosh(k) -cos(k))/(sin(k)-sinh(k)))*(cos(k*x)-cosh(k *x)) for x in np.linspace(0,1,100)]
plt.plot(z, x, 'b', label='Вторая форма для корня -  %s' %str(k))   
k=d[2]
z=[sin(k*x)-sinh(k*x)+((cosh(k) -cos(k))/(sin(k)-sinh(k)))*(cos(k*x)-cosh(k *x)) for x in np.linspace(0,1,100)]
plt.plot(z, x, 'r', label='Третья форма для корня -  %s' %str(k))
plt.title('Первые три формы изгибных колебаний осевой линии трубки')
plt.xlabel(' Координата вдоль оси OX ')
plt.ylabel(' Координата положения осевой линии трубки вдоль оси OZ ')
plt.legend(loc='best')
plt.grid(True)
plt.show()
  

В результате работы программы получим график построенный с учётом вертикального положения трубки.

На графике координата осевой линии приведена к длине трубки, а амплитуда нормирована. Положение узлов колебаний трубки относительно места её крепления в точности соответствует теории колебаний.

По каким траекториям движется конец трубки

Последнее препятствие — сложность получения осмысленного численного решения дифференциальных уравнений колебаний, при условии варьирования несколькими параметрами одновременно. Тут на помощь пришли две мои статьи о колебательном звене на Python [5,6], в которых приведена методика получения точных символьных решений дифференциальных уравнений.

Запишем два условно независимых уравнения для колебаний трубки в плоскости OX и OY с разными частотами a и b отношение между которыми выбрано из ранее установленного диапазона. Остальные параметры выбраны во правильной взаимосвязи, но произвольно для лучшей демонстрации результата.

Здесь введены следующие обозначения (для упрощения без индексов).

─ приведенная амплитуда силы, ─ коэффициент затухания, ─ собственная частота колебаний системы, m ─ сосредоточенная масса одинаковая для обоих уравнений, ─ сосредоточенные коэффициенты демпфирования, разные из-за разных амплитуд, а следовательно разных зазорах в системах возбуждения колебаний, ─ разные жёсткости из-за эллиптичности сечения трубки.

Код программы для решения каждого дифференциального уравнения системы (6), с последующем сложением для получения траектории движения конца трубки.

import numpy as np
from sympy import *
from IPython.display import *
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl
mpl.rcParams['font.family'] = 'fantasy'
mpl.rcParams['font.fantasy'] = 'Comic Sans MS, Arial'
def solution(w,v,i,n1,n2,B,f,N):
         t=Symbol('t')
         var('t C1 C2')
         u = Function("u")(t)   
         de = Eq(u.diff(t, t) +2*B*u.diff(t) +w**2* u, f*sin(w*t+v))        
         des = dsolve(de,u)
         eq1=des.rhs.subs(t,0)
         eq2=des.rhs.diff(t).subs(t,0)     
         seq=solve([eq1,eq2],C1,C2)
         rez=des.rhs.subs([(C1,seq[C1]),(C2,seq[C2])])
         g= lambdify(t, rez, "numpy")         
         t= np.linspace(n1,n2,N)
         plt.figure(1)         
         if i==1:
                  plt.subplot(221)
                  plt.plot(t,g(t),color='b', linewidth=3,label='x=%s*sin(%s*t+%s)' %(str(f),str(w),str(v)))
                  plt.legend(loc='best')
                  plt.grid(True)
         else:                 
                  plt.subplot(222)
                  plt.plot(t,g(t),color='g', linewidth=3,label='y=%s*sin(%s*t+%s)' %(str(f),str(w),str(v)))
                  plt.legend(loc='best')
                  plt.plot(t,g(t),color='r', linewidth=3)
                  plt.grid(True)                 
         return g(t)        
N=1000#Число точек оцифровки временного интервала
B=0.2#Установка демпфирования 
f=1#Установка амплитуды
n1=0#Нижняя граница временной развертки
n2=20#Верхняя граница временной развёртки
w1=5.0#Частота колебаний трубки вдоль оси ОХ
w2=10.0#Частота колебаний трубки вдоль оси ОУ
v1=0#Начальная фаза при колебании вдоль оси ОХ
v2=0#Начальная фаза при колебании вдоль оси ОУ
g1=solution(w1,v1,1,n1,n2,B,f,N)
g2=solution(w2,v2,2,n1,n2,B,f,N)
plt.subplot(223)
plt.plot(g1,g2,color='b', linewidth=3,label='w1/w2=%s'%str(w1/w2))
plt.legend(loc='best')        
plt.grid(True)
plt.subplot(224)
x=[w for w in np.linspace(0,1,100)]
k=1.875
z=[sin(k*x)-sinh(k*x)+((cosh(k) -cos(k))/(sin(k)-sinh(k)))*(cos(k*x)-cosh(k *x) )for x in np.linspace(0,1,100)]
plt.plot(z, x, 'g',label='Форма  -%s'%str(k))
plt.legend(loc='best') 
plt.grid(True)
plt.show()

Программа позволяет менять все параметры модели, например, для:
N=1000, B=0.2, f=1, n1=0, n2=20, w1=5.0, w2=10.0, v1=0, v2=0

Для отношения частот 0.5 переходной процесс множит фигуры. Поставим “ворота” времени n15=0, n2=20, получим.

Снимем” ворота” и введём начальную фазу v2=-pi/2, получим:

С учётом изложенного выше, графики комментарий не требую.

Для интриги

Если эта статья найдёт своих читателей или читатели её найдут, не устрашившись теней прошлого, то я опубликую трёхмерные анимационные графики сложных пространственных колебаний трубки при изменении в ней уровня заполняющей жидкости.

Вместо выводов

Изобретение Жюля Антуана Лиссажу продолжает свой путь во времени, но уже и на Python. Надеюсь, что представленная интерпретация, конечно далёкая от совершенства, позволит продолжить знакомство с работами гениального математика Лиссажу.

Ссылки

1. Биографии учёных физиков.
2. Что такое фигуры Лиссажу?
3. Фигуры Лиссажу.
4. Вибрационный уровнемер.А.С.№777455
5. Модель колебательного звена с применением символьного и численного решений дифференциального уравнения на SymPy и NumPy.
6. Модель колебательного звена в режиме резонансных колебаний на Python.

Фигуры Лиссажу — Википедия

Фигу́ры Лиссажу́ — траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу.

Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π{\displaystyle \pi } вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} и равенстве амплитуд превращаются в окружность.

Если периоды обоих колебаний близки, то разность фаз линейно изменяется, вследствие чего наблюдаемый эллипс всё время деформируется. Это явление используется в электронике для сравнения частот и подстройки одной частоты под вторую — опорную частоту.

При многократно отличающихся по величине периодах колебаний фигуры Лиссажу представляют собой запутанную картину и не наблюдаются, например, на экране осциллографа, — в этом случае наблюдается светящийся прямоугольник.

Если отношение периодов представляет собой рациональное число, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в исходное положение, причем с совпадающим с исходным вектором скорости точки, в результате получаются замкнутые траектории. Если отношение периодов иррациональное число, то порождаются незамкнутые траектории.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу

{x(t)=Asin⁡(at+δ)y(t)=Bsin⁡(bt){\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=A\sin(at+\delta )\\&y(t)=B\sin(bt)\\\end{aligned}}\right.}

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (b/a = 2, δ = π/4). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где a = 1, b = N (N — натуральное число) и

δ=N−1Nπ2 {\displaystyle \delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\ }

являются полиномами Чебышёва первого рода степени N.

Примеры

Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}} от 0 до 1 с шагом 0.01. (δ=0)

Примеры фигур Лиссажу ниже с δ = π/2, нечётным натуральным числом a, и также натуральным числом b, и |a − b| = 1.

Применение в технике — сравнение частот

Фигура Лиссажу на экране осциллографа

Если подать на входы «X» и «Y» осциллографа сигналы близких частот, то на экране можно увидеть фигуры Лиссажу. Этот метод широко используется для сравнения частот двух источников сигналов и для подстройки одного источника под частоту другого. Когда частоты близки, но не равны друг другу, фигура на экране вращается, причем период цикла вращения является величиной, обратной разности частот, например, период оборота равен 2 с — разница в частотах сигналов равна 0,5 Гц. При равенстве частот фигура застывает неподвижно, в любой фазе, однако на практике, за счет кратковременных нестабильностей сигналов, фигура на экране осциллографа обычно чуть-чуть подрагивает. Использовать для сравнения можно не только одинаковые частоты, но и находящиеся в кратном отношении, например, если образцовый источник может выдавать частоту только 5 МГц, а настраиваемый источник — 2,5 МГц.

Вращение фигуры Лиссажу при незначительной расстройке частот

См. также

Литература

• Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2-х томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978
• Справочник по физике. Яворский Б. М., Детлаф А. А. — М.: Наука, 1981

Ссылки

Фигуры Лиссажу — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Фигу́ры Лиссажу́ — в общем случае незамкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу.

Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π{\displaystyle \pi } вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} и равенстве амплитуд превращаются в окружность.

Если периоды обоих колебаний близки, то разность фаз линейно изменяется, вследствие чего наблюдаемый эллипс всё время деформируется. Это явление используется в электронике для сравнения частот и подстройки одной частоты под вторую — опорную частоту.

При многократно отличающихся по величине периодах колебаний фигуры Лиссажу представляют собой запутанную картину и не наблюдаются, например, на экране осциллографа, — в этом случае наблюдается светящийся прямоугольник.

Если отношение периодов представляет собой рациональное число, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в исходное положение, причем с совпадающим с исходным вектором скорости точки, в результате получаются замкнутые траектории. Если отношение периодов иррациональное число, то порождаются незамкнутые траектории.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу

{x(t)=Asin⁡(at+δ)y(t)=Bsin⁡(bt){\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=A\sin(at+\delta )\\&y(t)=B\sin(bt)\\\end{aligned}}\right.}

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где a = 1, b = N (N — натуральное число) и

δ=N−1Nπ2 {\displaystyle \delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\ }

являются полиномами Чебышёва первого рода степени N.

Примеры

Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении

Фигуры Лиссажу — Википедия

Фигу́ры Лиссажу́ — в общем случае незамкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу.

Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π{\displaystyle \pi } вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} и равенстве амплитуд превращаются в окружность.

Если периоды обоих колебаний близки, то разность фаз линейно изменяется, вследствие чего наблюдаемый эллипс всё время деформируется. Это явление используется в электронике для сравнения частот и подстройки одной частоты под вторую — опорную частоту.

При многократно отличающихся по величине периодах колебаний фигуры Лиссажу представляют собой запутанную картину и не наблюдаются, например, на экране осциллографа, — в этом случае наблюдается светящийся прямоугольник.

Если отношение периодов представляет собой рациональное число, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в исходное положение, причем с совпадающим с исходным вектором скорости точки, в результате получаются замкнутые траектории. Если отношение периодов иррациональное число, то порождаются незамкнутые траектории.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу

{x(t)=Asin⁡(at+δ)y(t)=Bsin⁡(bt){\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=A\sin(at+\delta )\\&y(t)=B\sin(bt)\\\end{aligned}}\right.}

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где a = 1, b = N (N — натуральное число) и

δ=N−1Nπ2 {\displaystyle \delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\ }

являются полиномами Чебышёва первого рода степени N.

Примеры

Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}} от 0 до 1 с шагом 0.01. (δ=0)

Примеры фигур Лиссажу ниже с δ = π/2, нечётным натуральным числом a, и также натуральным числом b, и |a − b| = 1.

Применение в технике — сравнение частот

Фигура Лиссажу на экране осциллографа

Если подать на входы «X» и «Y» осциллографа сигналы близких частот, то на экране можно увидеть фигуры Лиссажу. Этот метод широко используется для сравнения частот двух источников сигналов и для подстройки одного источника под частоту другого. Когда частоты близки, но не равны друг другу, фигура на экране вращается, причем период цикла вращения является величиной, обратной разности частот, например, период оборота равен 2 с — разница в частотах сигналов равна 0,5 Гц. При равенстве частот фигура застывает неподвижно, в любой фазе, однако на практике, за счет кратковременных нестабильностей сигналов, фигура на экране осциллографа обычно чуть-чуть подрагивает. Использовать для сравнения можно не только одинаковые частоты, но и находящиеся в кратном отношении, например, если образцовый источник может выдавать частоту только 5 МГц, а настраиваемый источник — 2,5 МГц.

Вращение фигуры Лиссажу при незначительной расстройке частот

См. также

Литература

• Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2-х томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978
• Справочник по физике. Яворский Б. М., Детлаф А. А. — М.: Наука, 1981

Ссылки

Лиссажу фигуры Википедия

Фигу́ры Лиссажу́ — траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу.

Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π{\displaystyle \pi } вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} и равенстве амплитуд превращаются в окружность.

Если периоды обоих колебаний близки, то разность фаз линейно изменяется, вследствие чего наблюдаемый эллипс всё время деформируется. Это явление используется в электронике для сравнения частот и подстройки одной частоты под вторую — опорную частоту.

При многократно отличающихся по величине периодах колебаний фигуры Лиссажу представляют собой запутанную картину и не наблюдаются, например, на экране осциллографа, — в этом случае наблюдается светящийся прямоугольник.

Если отношение периодов представляет собой рациональное число, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в исходное положение, причем с совпадающим с исходным вектором скорости точки, в результате получаются замкнутые траектории. Если отношение периодов иррациональное число, то порождаются незамкнутые траектории.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу[ | ]

{x(t)=Asin⁡(at+δ)y(t)=Bsin⁡(bt){\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=A\sin(at+\delta )\\&y(t)=B\sin(bt)\\\end{aligned}}\right.}

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (b/a = 2, δ = π/4). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где a = 1, b = N (N — натуральное число) и

δ=N−1Nπ2 {\displaystyle \delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\ }

являются полиномами Чебышёва первого рода степени N.

Примеры[ | ]

Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении

Фигуры Лиссажу — Википедия. Что такое Фигуры Лиссажу

Фигу́ры Лиссажу́ — в общем случае незамкнутые траектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях.

Впервые изучены французским учёным Жюлем Антуаном Лиссажу.

Вид фигур зависит от соотношения между периодами (частотами), фазами и амплитудами обоих колебаний. В простейшем случае равенства обоих периодов фигуры представляют собой эллипсы, которые при разности фаз 0 или π{\displaystyle \pi } вырождаются в отрезки прямых, а при разности фаз π2{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} и равенстве амплитуд превращаются в окружность.

Если периоды обоих колебаний близки, то разность фаз линейно изменяется, вследствие чего наблюдаемый эллипс всё время деформируется. Это явление используется в электронике для сравнения частот и подстройки одной частоты под вторую — опорную частоту.

При многократно отличающихся по величине периодах колебаний фигуры Лиссажу представляют собой запутанную картину и не наблюдаются, например, на экране осциллографа, — в этом случае наблюдается светящийся прямоугольник.

Если отношение периодов представляет собой рациональное число, то через промежуток времени, равный наименьшему кратному обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в исходное положение, причем с совпадающим с исходным вектором скорости точки, в результате получаются замкнутые траектории. Если отношение периодов иррациональное число, то порождаются незамкнутые траектории.

Фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и расположены по обе стороны от них на расстояниях, равных амплитудам колебаний.

Математическое выражение для кривой Лиссажу

{x(t)=Asin⁡(at+δ)y(t)=Bsin⁡(bt){\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&x(t)=A\sin(at+\delta )\\&y(t)=B\sin(bt)\\\end{aligned}}\right.}

где A, B — амплитуды колебаний, a, b — частоты, δ — сдвиг фаз

Вид кривой сильно зависит от соотношения a/b. Когда соотношение равно 1, фигура Лиссажу имеет вид эллипса, при определённых условиях она имеет вид окружности (A = B, δ = π/2 радиан) и отрезка прямой (δ = 0). Ещё один пример фигуры Лиссажу — парабола (a/b = 2, δ = π/2). При других соотношениях фигуры Лиссажу представляют собой более сложные фигуры, которые являются замкнутыми при условии a/b — рациональное число.

Фигуры Лиссажу, где a = 1, b = N (N — натуральное число) и

δ=N−1Nπ2 {\displaystyle \delta ={\frac {N-1}{N}}{\frac {\pi }{2}}\ }

являются полиномами Чебышёва первого рода степени N.

Примеры

Анимация внизу показывает изменение кривых при постоянно возрастающем соотношении ab{\displaystyle {\frac {a}{b}}} от 0 до 1 с шагом 0.01. (δ=0)

Примеры фигур Лиссажу ниже с δ = π/2, нечётным натуральным числом a, и также натуральным числом b, и |a − b| = 1.

Применение в технике — сравнение частот

Фигура Лиссажу на экране осциллографа

Если подать на входы «X» и «Y» осциллографа сигналы близких частот, то на экране можно увидеть фигуры Лиссажу. Этот метод широко используется для сравнения частот двух источников сигналов и для подстройки одного источника под частоту другого. Когда частоты близки, но не равны друг другу, фигура на экране вращается, причем период цикла вращения является величиной, обратной разности частот, например, период оборота равен 2 с — разница в частотах сигналов равна 0,5 Гц. При равенстве частот фигура застывает неподвижно, в любой фазе, однако на практике, за счет кратковременных нестабильностей сигналов, фигура на экране осциллографа обычно чуть-чуть подрагивает. Использовать для сравнения можно не только одинаковые частоты, но и находящиеся в кратном отношении, например, если образцовый источник может выдавать частоту только 5 МГц, а настраиваемый источник — 2,5 МГц.

Вращение фигуры Лиссажу при незначительной расстройке частот

См. также

Литература

• Справочник по радиоэлектронным устройствам. В 2-х томах; Под ред. Д. П. Линде — М.: Энергия, 1978
• Справочник по физике. Яворский Б. М., Детлаф А. А. — М.: Наука, 1981

Ссылки

§72. Фигуры Лиссажу

При отношении частот 1:2 и разности фаз, равной нулю, траектория вырождается в незамкнутую кривую (рис. 180), по которой точка движется туда и обратно.

Чем ближе к единице рациональная дробь, выражающая отношение частот колебаний, тем сложнее оказывается фигура Лиссажу. На рис. 181 для примера показана кривая для отношения частот 3:4 и разности фазπ / 2 .

§73. Затухающие колебания

При выводе уравнения гармонических колебании мы считали, что колеблющаяся точка находится под действием только квазиупругой силы. Во всякой реально, колебательной системе всегда имеются силы сопротивления, действие которых приводит к уменьшению энергии системы. Если убыль энергии не восполняется за счет работы внешних сил, колебания будут затухать.

Рассмотрим свободные (или собственные) затухающие колебания. Раз колебания свободные, значит, система, будучи выведена внешними силами из положения равновесия или получив за счет внешних сил первоначальный толчок, в дальнейшем предоставлена самой себе и находится под воздействием только квазиупругой силы и силы сопротивления среды. Ограничимся рассмотрением малых колебаний. Тогда и скорость системы будет малой, а при небольших скоростях сила сопротивления пропорциональна величине скорости:

fr = −rv = −rx,

(73.1)

где r — постоянная, называемая коэффициентом сопротивления. Знак «—» обусловлен тем, что f и v имеют противоположные направления.

Напишем для колеблющегося тела уравнение второго закона Ньютона;

mx = −kx − rx.
Перепишем его следующим образом:
x + 2β x + ω02 x = 0,					(73.2)
где применены обозначения:
2β =		r		,	(73.3)
		m
ω02 =	k		.		(73.4)
		m

Заметим, что ω0 представляет собой ту частоту, с которой совершались бы свободные

колебания системы при отсутствии сопротивления среды, т. е, при r=0. Эту частоту называют собственной, частотой колебаний системы,

В случае гармонического осциллятора размах колебаний» определяемый амплитудой а, остается постоянным. Наличие сопротивления среды приводит к тому, что размах колебаний уменьшается. Поэтому попробуем искать решение уравнения (73.2) в виде

x = a(t)cos(ωt + α )

(73.5)

где а(t) — некоторая функция времени. Продифференцировав (73.5) по t найдем x и x :

x = a cos(ωt + α ) − aω sin(ωt + α ),

x = a cos(ωt + α ) − 2aω sin(ωt + α ) − aω 2 cos(ωt + α ).

После подстановки этих выражений в уравнение (73.2) и несложных преобразований придем к следующему соотношению;

[a + 2β a + (ω 20 − ω 2 )a]cos(ωt + α ) − 2ω[a + β a]sin(ωt + α ) = 0.