Vektornaya_algebra

Векторная алгебра

163. Задание {{ 163 }} ТЗ № 168

Введите пропущенное слово

Число, равное квадратному корню из суммы квадратов проекций вектора на оси координат, называется … вектора

Правильные варианты ответа: модуль; модулем; длина; длиной;

164. Задание {{ 164 }} ТЗ № 169

Введите пропущенное слово

Два вектора называются …, если лежат на одной прямой или параллельных прямых

Правильные варианты ответа: коллинеарные; коллинеарными; колинеарные; колинеарными;

165. Задание {{ 165 }} ТЗ № 170

Введите пропущенное слово

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то такие векторы являются …

Правильные варианты ответа: перпенди#$#; перпенди#$# вектор#$#; нормальн#$#; нормальн#$# вектор#$#;

166. Задание {{ 166 }} ТЗ № 171

Введите пропущенное слово

Если векторное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то такие векторы являются …

Правильные варианты ответа: коллинеарными; коллинеарные; колинеарными; колинеарные; коллин#$#; коллин#$# вектор#$#;

167. Задание {{ 167 }} ТЗ № 172

Введите пропущенное слово

Число, равное произведению модулей двух векторов на косинус угла между ними, называется … произведением этих векторов

Правильные варианты ответа: скалярным; скалярное;

168. Задание {{ 168 }} ТЗ № 173

Введите пропущенное слово

Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их … произведение равно нулю

Правильные варианты ответа: скалярное;

169. Задание {{ 169 }} ТЗ № 174

Введите пропущенное слово

Произведение модулей двух векторов на синус угла между ними равно модулю … произведения этих векторов

Правильные варианты ответа: векторного; векторное;

170. Задание {{ 170 }} ТЗ № 175

Введите пропущенное слово

Скалярное произведение двух векторов равно … произведений их одноименных координат

Правильные варианты ответа: сумме; сумма;

171. Задание {{ 171 }} ТЗ № 176

Введите пропущенное слово

Если смешанное произведение трех ненулевых векторов равно нулю,

то такие векторы являются …

Правильные варианты ответа: компланарные; компланарными;

172. Задание {{ 172 }} ТЗ № 177

Введите пропущенное слово

Три вектора образуют правую тройку, если их … произведение больше нуля

Правильные варианты ответа: смешанное; смешан#$#;

173. Задание {{ 173 }} ТЗ № 178

Введите пропущенное слово

Три вектора образуют левую тройку, если их … произведение отрицательно

Правильные варианты ответа: смешанное; смешан#$#;

174. Задание {{ 174 }} ТЗ № 179

Введите пропущенное слово

Площадь треугольника, построенного на двух векторах, можно вычислить при помощи … произведения этих векторов

Правильные варианты ответа: векторного; векторное;

175. Задание {{ 175 }} ТЗ № 180

Введите пропущенное слово

Смешанное произведение векторов при перестановке двух любых сомножителей меняет свой …

Правильные варианты ответа: знак;

176. Задание {{ 176 }} ТЗ № 340

Правильные варианты ответа:

тупым; тупой;

177. Задание {{ 177 }} ТЗ № 341

Правильные варианты ответа: трапеци#$#;

178. Задание {{ 178 }} ТЗ № 342

Правильные варианты ответа: колинеар#$#; коллинеар#$#; паралл#$#;

179. Задание {{ 179 }} ТЗ № 803

Правильные варианты ответа: острым;

180. Задание {{ 180 }} ТЗ № 804

Правильные варианты ответа: ортогональными; перпендикулярными;

181. Задание {{ 181 }} ТЗ № 805

Правильные варианты ответа: правой;

182. Задание {{ 182 }} ТЗ № 806

Правильные варианты ответа: левой;

183. Задание {{ 183 }} ТЗ № 807

Правильные варианты ответа:

правой;

184. Задание {{ 184 }} ТЗ № 808

Правильные варианты ответа: левой;

185. Задание {{ 185 }} ТЗ № 809

Правильные варианты ответа: смешанным;

186. Задание {{ 186 }} ТЗ № 317

 

 

187. Задание {{ 187 }} ТЗ № 751

  



188. Задание {{ 188 }} ТЗ № 752

   

189. Задание {{ 189 }} ТЗ № 753

   

190. Задание {{ 190 }} ТЗ № 754

   

191. Задание {{ 191 }} ТЗ № 755

 

 

192. Задание {{ 192 }} ТЗ № 756

  



193. Задание {{ 193 }} ТЗ № 757

   

194. Задание {{ 194 }} ТЗ № 758

   

195. Задание {{ 195 }} ТЗ № 759

   

196. Задание {{ 196 }} ТЗ № 108

   

197. Задание {{ 197 }} ТЗ № 109

   

198. Задание {{ 198 }} ТЗ № 110

   

199. Задание {{ 199 }} ТЗ № 111

   

200. Задание {{ 200 }} ТЗ № 112

   

201. Задание {{ 201 }} ТЗ № 760

   

202. Задание {{ 202 }} ТЗ № 761

   

203. Задание {{ 203 }} ТЗ № 762

   

204. Задание {{ 204 }} ТЗ № 763

   

205. Задание {{ 205 }} ТЗ № 764

   

206. Задание {{ 206 }} ТЗ № 32

   

207. Задание {{ 207 }} ТЗ № 35

   

208. Задание {{ 208 }} ТЗ № 38

   

209. Задание {{ 209 }} ТЗ № 106

 -1  -2  1  2

210. Задание {{ 210 }} ТЗ № 107

 -1  -2  1  2

211. Задание {{ 211 }} ТЗ № 765

   

212. Задание {{ 212 }} ТЗ № 766

   

213. Задание {{ 213 }} ТЗ № 767

   

214. Задание {{ 214 }} ТЗ № 768

    215. Задание {{ 215 }} ТЗ № 769

   

216. Задание {{ 216 }} ТЗ № 315

 

 

217. Задание {{ 217 }} ТЗ № 733

 

 

218. Задание {{ 218 }} ТЗ № 734

 

 

219. Задание {{ 219 }} ТЗ № 735

 

 

220. Задание {{ 220 }} ТЗ № 736

 

 

221. Задание {{ 221 }} ТЗ № 737

 

 

222. Задание {{ 222 }} ТЗ № 738

 

 

223. Задание {{ 223 }} ТЗ № 739

 

 

224. Задание {{ 224 }} ТЗ № 740

 

 

225. Задание {{ 225 }} ТЗ № 741

 

 

226. Задание {{ 226 }} ТЗ № 316

   

227. Задание {{ 227 }} ТЗ № 742

   

228. Задание {{ 228 }} ТЗ № 743

   

229. Задание {{ 229 }} ТЗ № 744

   

230. Задание {{ 230 }} ТЗ № 745

   

231. Задание {{ 231 }} ТЗ № 746

   

232. Задание {{ 232 }} ТЗ № 747

   

233. Задание {{ 233 }} ТЗ № 748

   

234. Задание {{ 234 }} ТЗ № 749

   

235. Задание {{ 235 }} ТЗ № 750

   

11

2.5. Скалярное произведение векторов

П р и м е р 23. Даны векторы ,,. Найти разложение векторапо базису,,.

Решение. Для разложение вектора по базису,,необходимо найти такие числа,и, чтобы выполнялось равенство. Если два вектора равны, то равны и их соответствующие координаты, поэтому относительно,иимеем систему уравненийВекторы,,по условию задачи образуют базис, поэтому главный определитель системы отличен от нуля и по теореме Крамера она имеет единственное решение:,,. Таким образом,.

Определение. Скалярным произведениемдвух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, т. е.

, (2.16)

где  угол между векторами и .

Если хотя бы один из векторов или  нулевой, то угол между векторами не определен, и скалярное произведение полагается равным нулю.

Проекцию вектора на ось, определяемую вектором , обозначим . По определению проекции вектора на ось имеем:. Тогда скалярное произведение двух ненулевых векторов и определяется формулой

. (2.17)

Учитывая, что в определении скалярного произведения векторы и взаимозаменяемые, его можно представить в виде

. (2.18)

Соотношения (2.17) и (2.18) позволяют сформулировать другое определение скалярного произведения.

Определение. Скалярным произведениемдвух ненулевых векторов и называется число (скаляр), равное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов.

Физический смысл скалярного произведения заключается в следующем: если точка приложения силы, задаваемой постоянным вектором , перемещается вдоль вектора , то работа этой силы определяется равенством , где угол между векторами и , т. е. работа равна скалярному произведению векторов и .

Теорема 8. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения.

Доказательство. Необходимость. Пусть векторы и ортогональны, угол между ними, тогда , и в силу формулы (2.16).

Достаточность. Пусть . Докажем, что векторы и ортогональны. Если хотя бы один из векторов равен нулевому вектору, то он имеет неопределенное направление, и можно считать, что векторы ортогональны. Если оба вектора и ненулевые, то,, поэтому из (2.16) следует, что, т, е. векторы и ортогональны. Теорема доказана.

Если два вектора привести к общему началу, то в качестве угла между этими векторами можно взять любой из угловили.

Действительно, сумма углов иравна, поэтому. В определение скалярного произведения входит сомножителем только косинус угла между векторами. Из двух угловимежду векторами один всегда не более. За уголмежду векторами принимается наименьший из углови, т. е..

Если скалярное произведение двух ненулевых неколлинеарных векторов и положительно (отрицательно), то эти два вектора составляют острый (тупой) угол.

Свойства скалярного произведения:

1. .

Доказательство. Это свойство непосредственно вытекает из определения скалярного произведения: . Свойство доказано.

2. .

Доказательство. Для доказательства этого свойства воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось: . Свойство доказано.

3. .

Доказательство. Воспользуемся формулой (2.18) для определения скалярного произведения и свойствами проекций векторов на ось. Получим: . Свойство доказано.

4. , если , и, если.

Доказательство. Из определения скалярного произведения с использованием соотношения (2.16) следует, что . Если, тои. Если же, то, поэтому. Свойство доказано.

Эти свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не учитывая порядок векторных сомножителей и сочетая числовые множители.

Из определения и свойств скалярного произведения векторов следует, что для базисных векторов ,,выполняются соотношения

1. ; (2.19)

2. . (2.20)

Теорема 9. Если векторы изаданы своими координатами, т. е.,, то скалярное произведение векторовивычисляется по формуле

. (2.21)

Доказательство. Разложим векторы ипо базису,,, получим,. Тогда по свойствам скалярного произведения векторов, используя формулы (2.19), (2.20), имеем. Теорема доказана.

Следствие. Угол между ненулевыми векторамииопределяется по формуле

. (2.22)

Доказательство. По определению скалярного произведения двух ненулевых векторов , поэтому. Воспользовавшись формулами (2.21) и (2.9) для скалярного произведения и длин векторов, заданных своими координатами, получим формулу (2.22).

Замечание. Если один из векторов илиявляется нулевым, то угол между векторами определяется неоднозначно и может быть выбран произвольным.

П р и м е р 24. Дано, что ,. Определить, при каком значениивекторыибудут взаимно перпендикулярны.

Решение. Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения, т. е. . По свойствам скалярного произведения. Таким образом,, или.

П р и м е р 25. Векторы иобразуют угол. Зная, что,, вычислить уголмежду векторамии.

Решение. Для нахождения косинуса угла между векторамиивоспользуемся соотношением (2.22). По формуле (2.21):. Найдем длины векторови, используя свойства скалярного произведения:. Аналогично находим, что. Тогдаи.

12. Скалярное произведение. Координатная форма скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов иназывается число S =|| || сos (). Эта операция обозначается.В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.. Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

.

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора на направление единичного вектора . Следовательно, любой вектор можно представить как, где— проекции вектора соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда

, т.е. .

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора по ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае вектор является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора численно будет равен

.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

,

где ,иесть скалярное произведение вектора с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

где ,  и  — углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е..

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Скалярное произведение векторов в координатной форме

.

13.Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.

Под векторным произведением векторов и понимают вектор, имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости,определяемой векторами и , причем так, что векторы ,иобразуютправую тройку векторов (длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Векторное произведение обозначают: или. Очевидно, что(из определения векторного произведения).. Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

.

Теорема. Пусть ,,. Тогда:

1) ;

2) .

Доказательство. 1) Используем свойстволинейностивекторногопроизведения:

 

.

   Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:

                  .

Рассмотрим другие векторныепроизведения базисных векторов:

                      

                                            рис.4.

, ,.

Эти равенства легко устанавливаются с помощьюрис.4.

Отсюда следует:

, ч.т.д.

2) Воспользуемся только что доказанной формулой:

        .

Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Векторное произведениечасто записывают в форме определителя:

                          .

Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторногопроизведения. Она компактна и удобна для запоминания.

Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двухстрок (столбцов) определитель меняет знак.

   Доказательство. С одной стороны,

                  .

С другой стороны,

                  .

Но, , откуда и следует утверждение. Далее, т.к., то

               .

Так как определитель не изменяется при транспонировании, то доказанное свойствосправедливо и для столбцов определителя.

Скалярное произведение векторов [wiki.eduVdom.com]

Скалярным произведением векторов $\overrightarrow{a}\{x_1; y_1\} \,и\, \overrightarrow{b}\{х_2; у_2\}$ (обозначается $ \overrightarrow{a}\overrightarrow{b} $ ) называется число $x_1x_2 + y_1y_2$ . Скалярное произведение $\overrightarrow{a}\overrightarrow{a}$ обозначается $\overrightarrow{a}^2$. Очевидно, $\overrightarrow{a}^2 = |\overrightarrow{a}|^2$ .

Из определения скалярного произведения векторов следует, что для любых векторов $\overrightarrow{a}\{х_1; y_1\}\,, \overrightarrow{b}\{х_2; у_2\}\,, \overrightarrow{c}\{х_3; у_3\}$ $$ (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})\overrightarrow{c} = \overrightarrow{a}\overrightarrow{c} + \overrightarrow{b}\overrightarrow{c} $$ Действительно, левая часть равенства есть $(х_1 + х_2)х_3 + (у_1 + у_2)у_3$ , а правая $х_1х_3 + у_1у_3 + х_2х_3 + у_2у_3$ . Очевидно, они равны.

Углом между ненулевыми векторами $\overrightarrow{АВ} \,и\, \overrightarrow{АС}$ называется угол BAC (рис.1).

Рис.1

Углом между любыми двумя ненулевыми векторами $\overrightarrow{a} \,и\, \overrightarrow{b}$ называется угол между равными им векторами с общим началом. Угол между одинаково направленными векторами считается равным нулю.

Теорема 1. Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними.

Из этой теоремы получаем следствия.

1. Следствие 1. Если векторы перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю.

2. Следствие 2. Если скалярное произведение отличных от нуля векторов равно нулю, то векторы перпендикулярны.

---

---

Пример 1. Даны векторы $\overrightarrow{a}\{1; 0\} \,и\, \overrightarrow{b}\{1; 1\}$ . Найти такое число $\lambda$ , чтобы вектор $\overrightarrow{a} + \lambda\overrightarrow{b}$ был перпендикулярен вектору $\overrightarrow{a}$ .

Решение. Имеем: $ \overrightarrow{a}(\overrightarrow{a} + \lambda\overrightarrow{b}) = 0\,; \overrightarrow{a}^2 + \lambda(\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}) = 0$ . Отсюда $ \lambda = — \frac{\overrightarrow{a}^2}{\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}} = — \frac{1}{1} = -1 $

---

---