Основные сведения по физике полупроводников

§ 1.1. Энергетические зоны полупроводников

Полупроводник — вещество, основным свойством которого является сильная за­висимость удельной проводимости от воздействии внешних факторов (темпера­туры, электрического поля, света и др.).

Каждый электрон, входящий в состав атома, обладает опре­деленной полной энергией или занимает определенный энергети­ческий уровень.

В твердом теле благодаря взаимодействию атомов энергетиче­ские уровни расщепляются и образуют энергетические зоны, со­стоящие из отдельных близко расположенных по энергии уров­ней, число которых соответствует числу однородных атомов в данном кристаллическом теле (рис. 1.1). Энергетическую зону или совокупность нескольких перекрывающихся энергетических зон, которые образовались в результате расщепления одного или нескольких энергетических уровней отдельного атома, называют

разрешенной зоной. Электроны в твердом теле могут иметь энер­гии, соответствующие разрешенной зоне. Верхний энергетический уровень разрешенной зоны называют потолком, нижний — дном.

Энергетические уровни валентных электронов при расщепле­нии образуют валентную зону. Разрешенные энергетические уровни, свободные от электронов в невозбужденном состоянии атома, расщепляясь, образуют одну или несколько свободных зон. Нижнюю из свободных зон называют зоной проводимости.

Наибольший интерес представляют валентная зона и зона проводимости, так как от их взаимного расположения и от степе­ни их заполнения электронами зависят электрические, оптиче­ские и другие свойства твердых тел. Между разрешенными зона­ми находятся

запрещенные зоны, т. е. области значений энергии, которыми не могут обладать электроны в идеальном кристалле. Для полупроводников (согласно сказанному) наибольшее зна­чение имеет запрещенная зона, разделяющая валентную зону и зону проводимости. Она характеризуется шириной запрещенной зоны ∆Э, т. е. разностью энергий дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

При температуре 300 К у кремния ширина запрещенной зоны ∆Э = 1,12 эВ; у германия ∆З == 0,66 эВ; у арсенида галлия ∆Э = 1,43 эВ; у карбида кремния ∆Э = 2,4~-3,4 эВ (для разных политипов).

Ширина запрещенной зоны изменяется с изменением темпе­ратуры. Происходит это в результате: I) изменения амплитуды тепловых колебаний атомов кристаллической решетки; 2) изме­нений межатомных расстояний, т. е. объема тела. С повышением температуры в первом случае ширина запрещенной зоны умень­шается, во втором случае может быть как уменьшение, так и увеличение ширины запрещенной зоны. У большинства полупро­водников ширина запрещенной зоны с повышением температуры уменьшается.

При наличии в полупроводнике электрического поля энергети­ческие диаграммы целесообразно строить, откладывая по верти­кальной оси полную энергию электронов

Э — qy (с учетом потен­циальной энергии электрона в электрическом поле), а по горизон­тальной оси — геометрическую координату (рис. 1.2). При таком построении энергетических диаграмм в областях, где существует электрическое поле, энергетические уровни и зоны получаются наклонными, причем угловой коэффициент пропорционален на­пряженности электрического поля с учетом принятых масштабов но осям, а относительное смещение соответствующих энергети­ческих уровней или зон — разности потенциалов между данными точками объема полупроводника. Коэффициент пропорциональ­ности при этом равен элементарному заряду электрона q; увели­чению потенциала соответствует понижение энергетических уров­ней или зон на энергетической диаграмме.

$ 1.2. ГЕНЕРАЦИЯ И РЕКОМБИНАЦИЯ

НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

Образование свободных электронов и дырок — генерация носи­телей заряда — происходит при воздействии теплового хаотиче­ского движения атомов кристаллической решетки (тепловая ге­нерация), при воздействии поглощенных полупроводником кван­тов света (световая генерация) и других энергетических факто­ров. Так как полупроводник всегда находится под действием всех этих факторов или хотя бы одного (T ≠0), генерация носи­телей происходит непрерывно.

Одновременно с генерацией в полупроводнике непрерывно происходит и обратный процесс —

рекомбинация носителей за­ряда, т. е. возвращение электронов из зоны проводимости в ва­лентную зону, в результате чего исчезает пара носителей заряда. В состоянии термодинамического равновесия процессы генерации и рекомбинации носителей заряда взаимно уравновешены При этом в полупроводнике существуют равновесные концентрации электронов nо и дырок ро.

При воздействии на полупроводник нетеплового внешнего энергетического фактора (света, сильного электрического поля и др.) из-за генерации новых носителей заряда их концентрация п и р (неравновесная концентрация) будет превышать равновес­ную концентрацию на величину ∆п (или ∆р), которую называют избыточной концентрацией.

Таким образом,

Избыточная концентрация носителей заряда может возникать в отдельных областях полупроводниковой структуры прибора не только в результате внешних энергетических воздействий, но и за счет различных процессов (инжекции, экстракции, аккумуля­ции и т. д.), которые могут происходить в полупроводниковых приборах (о чем говорится далее).

Механизмы рекомбинации могут быть различны (рис. 1.3).

Межзонная, или непосредственная, рекомбинация происходит при переходе свободного электрона из зоны проводимости в ва­лентную зону на один из свободных энергетических уровней, что соответствует исчезновению пары носителей заряда — свобод­ного электрона и дырки. Однако такой процесс межзонной рекомбинации маловероятен, так как свободный электрон и дыр­ка должны оказаться одновременно в одном и том же месте крис­талла. Кроме того, должен выполняться закон сохранения им­пульса, т. е. рекомбинация электрона и дырки возможна только при одинаковых, но противоположно направленных импульсах электрона и дырки. Поэтому, например, в германии на 10 тыс. рекомбинаций лишь одна происходит в результате межзонной рекомбинации.

Рекомбинация с участием рекомбинационных ловушек проте­кает в два этапа. На первом этапе рекомбинационная ловушка (или энергетический уровень рекомбинационной ловушки) захва­тывает, например, электрон из зоны проводимости. Таким обра­зом, электрон выбывает из процесса электропроводности. В этом состоянии ловушка будет находиться до тех пор, пока к ней не подойдет дырка, или, другими словами, пока в данном месте кристалла не окажется свободный энергетический уровень ва­лентной зоны. При выполнении этих условий осуществляется второй этап рекомбинации — электрон переходит на свободный уровень валентной зоны (что эквивалентно захвату дырки из валентной зоны отрицательно заряженной ловушкой).

Двухэтапный процесс рекомбинации более вероятен, так как он не требует одновременного присутствия в данном месте криссталла свободного электрона и дырки. Рекомбинационная ло­вушка воспринимает количество движения, необходимое для соблюдения закона сохранения импульса, и может забрать часть энергии, освобождаемой в процессе рекомбинации.

Роль рекомбинационных ловушек могут выполнять примесные атомы или ионы, различные включения в кристалле, незапол­ненные узлы кристаллической решетки, трещины и другие несо­вершенства объема или поверхности.

В связи с тем что на поверхности кристалла перечисленных дефектов значительно больше, чем в объеме, процесс рекомби­нации на поверхности должен идти значительно интенсивнее. Его рассматривают и оценивают обычно отдельно, считая

поверхностную рекомбинацию разновидностью рекомбинации с уча­стием рекомбинационных ловушек.

В зависимости от того, как расходуется энергия, освобож­дающаяся при рекомбинации электрона и дырки, рекомбинацию можно подразделить на два вида.

Излучательной рекомбинацией называют рекомбинацию, при которой энергия, освобождающаяся при переходе электрона на более низкий энергетический уровень, излучается в виде кванта света (фотона).

При безызлучательной (фононной) рекомбинации избыточная энергия электрона передается кристаллической решетке полупро­водника, т. е. избыточная энергия идет на образование фоно­нов — квантов тепловой энергии.

Полупроводники их свойства. Энергетические уровни и зоны в полупроводниках. Виды проводимостей полупроводников.

Электроника

Полупроводники, их классификация и свойства. Типы электронно-дырочной проводимости.

Полупроводниками принято называть вещества, электропроводность которых обусловлена перемещением электронов, возбужденных внешними энергетическими воздействиями (нагрев, облучение светом, наложение сильного электрического поля и т.д.).

Важным свойством полупроводников является зависимость электропроводности от интенсивности внешнего энергетического воздействия: электрического или магнитного поля, температуры, длины волны светового потока, освещенности, механического давления и т. д. Возможно и обратное действие — преобразование электрической энергии в тепловую, световую или механическую. Используя эти и другие свойства полупроводниковых материалов, получены различные по назначению приборы и схемы в микроэлектронике, без которых немыслимы современные радио- и телевизионная аппаратура, электронные вычислительные машины, измерительная техника в целом. Разработка технологии изготовления полупроводников с двумя типами проводимости — электронной и дырочной, совмещенными в одном кристалле, позволила получить приборы с p-n-переходом (одним или несколькими), обладающие способностью выпрямлять переменный ток, создавать электрическую емкость, стабилизировать напряжение и т. д. Эти свойства положены в основу работы диодов, транзисторов, тиристоров, варикапов, стабилитронов и др. На базе простого полупроводника кремния было создано новое направление в приборостроении — твердотельная микроэлектроника. Таким образом, применение полупроводниковых материалов произвело подлинную революцию в электро- и радиотехнике.

 

По виду проводимости

· Электронные полупроводники (n-типа)

· Полупроводник n-типа

Термин «n-тип» происходит от слова «negative», обозначающего отрицательный заряд основных носителей. Этот вид полупроводников имеет примесную природу. В четырёхвалентный полупроводник (например, кремний) добавляют примесь пятивалентного полупроводника (например, мышьяка). В процессе взаимодействия каждый атом примеси вступает в ковалентную связь с атомами кремния. Однако для пятого электрона атома мышьяка нет места в насыщенных валентных связях, и он переходит на дальнюю электронную оболочку. Там для отрыва электрона от атома нужно меньшее количество энергии. Электрон отрывается и превращается в свободный. В данном случае перенос заряда осуществляется электроном, а не дыркой, то есть данный вид полупроводников проводит электрический ток подобно металлам. Примеси, которые добавляют в полупроводники, вследствие чего они превращаются в полупроводники n-типа, называются донорными.

Проводимость N-полупроводников приблизительно равна:

· Дырочные полупроводники (р-типа)

Полупроводник p-типа

Термин «p-тип» происходит от слова «positive», обозначающего положительный заряд основных носителей. Этот вид полупроводников, кроме примесной основы, характеризуется дырочной природой проводимости. В четырёхвалентный полупроводник (например, в кремний) добавляют небольшое количество атомов трехвалентного элемента (например, индия). Каждый атом примеси устанавливает ковалентную связь с тремя соседними атомами кремния. Для установки связи с четвёртым атомом кремния у атома индия нет валентного электрона, поэтому он захватывает валентный электрон из ковалентной связи между соседними атомами кремния и становится отрицательно заряженным ионом, вследствие чего образуется дырка. Примеси, которые добавляют в этом случае, называются акцепторными.

Проводимость p-полупроводников приблизительно равна:

Полупроводники их свойства. Энергетические уровни и зоны в полупроводниках. Виды проводимостей полупроводников.

Полупроводники – широкий класс веществ, проводимость которых находится между проводимостью диэлектриков и металлов.

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ЗОНЫ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

В абсолютном большинстве случаев устройства современной электроники изготавливаются из полупроводниковых материалов. Полупроводниками обычно называют материалы, удельное сопротивление которых больше, чем у проводников (металлов), но меньше, чем у изоляторов (диэлектриков). Сразу следует заметить, что различие между полупроводниками и диэлектриками только количественное, тогда как различие между полупроводниками и металлами более принципиальное — качественное. Полупроводники являются разновидностью диэлектриков, можно сказать, что они являются диэлектриками с уменьшенным удельным сопротивлением, тогда как с металлами у них значительно меньше общего.

Для того чтобы представить особенности полупроводниковых материалов, следует рассмотреть их структуру и энергетические зоны.

Любое твердое тело представляет собой множество атомов, сильно взаимодействующих друг с другом благодаря малым межатомным расстояниям. Эти расстояния минимальны у металлов и максимальны у диэлектриков. Однако в любом случае всю совокупность атомов в куске твердого тела следует рассматривать как единую целую структуру, которая подобно атому характеризуется некоторым единым энергетическим спектром. Особенность этого спектра в том, что он состоит из дискретных разрешенных зон.

Строго говоря, разрешенные зоны сами имеют дискретную структуру и состоят из большого числа разрешенных уровней (равного числу атомов в рассматриваемом образце), неэнергетические расстояния между ними малы (~10-22эВ), поэтому иногда разрешенные зоны можно считать сплошными.

На рис. 1.1 приведена зонная диаграмма для полупроводника. Прежде всего, следует обратить внимание на запрещенную зону (зону запрещенных энергий), которая разделяет разрешенные зоны. Отметим, что у диэлектриков ширина запрещенной зоны больше, чем у полупроводников, а у металлов разрешенные зоны сливаются, так что заращенной зоны у них нет. Ширина запрещенной зоны εз, определяющая энергетический промежуток запрещенных энергий, является важнейшим параметром полупроводника. Для наиболее часто используемых в электронике полупроводников германия, кремния и арсенида галлия — ширина запрещенной зоны равна соответственно 0,7; 1,1 и 1,4 эВ.

 Верхняя разрешенная зона называется зоной проводимости. Электроны, находящиеся в этой зоне, обладают довольно большой энергией и могут ее изменять под действием электрического поля, перемещаясь в объеме полупроводника. Электропроводность полупроводника и определяется этими электронами.

Нижняя разрешенная зона называется валентной зоной. Энергетические уровни этой зоны обычно заполнены электронами внешней оболочки атомов — внешних устойчивых орбит (валентными электронами). При наличии свободных уровней в валентной зоне электроны также могут изменять свою энергию под действием электрического поля. Если же все уровни зоны заполнены, то валентные электроны не смогут принять участие в проявлении электропроводности полупроводника.

Рассмотрим теперь структуру собственного (беспримесного) полупроводника. Монокристаллические полупроводники представляют собой кристаллы с регулярной структурой. Кристаллическая решетка кремния (германия) называется тетраэдрической или решеткой типа алмаза. Она характерна для всех четырехвалентных элементов. Для определенности будем рассматривать структуру кремния. Это справедливо хотя бы потому, что приблизительно 97% всех изделий полупроводниковой электроники на сегодняшний день выполняются на основе кремния.

Связь атомов в кремнии устанавливается вследствие наличия специфических обменных сил, возникающих при парном объединении валентных электронов. У соседних атомов кремния появляются общие отбиты, на которых в соответствии с фундаментальным положение физики, называемым принципом запрета Паули, находится не более двух электронов. Поскольку атом кремния имеет четыре валентных электрона, то он использует эти электроны для связи с четырьмя другими атомами, которые, в свою очередь, также выделяют по одному валентному электрону для связи с каждым из своих четырех соседних атомов. Таким образом, получается, что любой атом кремния связан с каждым из четырех соседних атомов общей орбитой, причем на этой общей орбите находится два электрона. Такая связь атомов называется парно-электронной или ковалентной.

Особенности зонной структуры диэлектриков, полупроводников и металлов

Зонная теория — это квантовая механическая теория, которая рассматривает движение электронов в твердом теле. 

Зонная теория твердого тела

Согласно теории, свободные электроны могут обладать любой энергией. Электроны в атомах твердого тела могут иметь только определенные дискретные значения энергии. Другими словами, спектр энергии электронов в атомах состоит из разрешенных и запрещенных энергетических зон.

Положения зонной теории

Итак, согласно постулатам Бора, электрон в отдельном атоме может находится на одной из нескольких энергетических орбиталей. Иначе говоря, иметь лишь определенные дискретные значения энергии. Когда атомы образуют молекулу, количество орбиталей расщепляется пропорционально числу атомов в молекуле. 

При увеличении количества молекул до макроскопического тела количество орбиталей становится очень большим, а разница между соответствующими им энергиям — очень маленькой. Орбитали сливаются, образуя энергетические зоны. 

Валентная зона — в диэлектриках и полупроводниках наивысшая энергетическая зона, которая заполнена полностью при температуре 0 К. Зона проводимости — следующая за валентной зона. В металлах  зоной проводимости называется наивысшая разрешённая зона, в которой находятся электроны при температуре 0 К.

Зонная теория объясняет различие в электрических свойствах материалов: проводников, полупроводников, диэлектриков. Можно выделить следующие причины различий:

1. Ширина запрещенных энергетических зон
2. Разница в заполнении разрешенных энергетических зон электронами.

Зонная структура диэлектриков

Вещество является диэлектриком, когда валентная зона заполнена полностью, в высших зонах нет электронов, также отсутствует перекрытие зон. Такое вещество не проводит ток. Ширина между зонами у диэлектриков условно составляет более 2 электронвольт.

Зонная структура полупроводников

Вещество является полупроводником, если валентная зона разделена с соседними зонами узкой (менее 2 электронвольт) запрещающей зоной. Отметим, что такое вещество при температуре, близкой к абсолютному нулю, является диэлектриков. Однако при росте температуры электроны из верхней занятой зоны перескакивают в вакантную зону проводимости, и вещество становится электропроводным. Проводимость растет вместе с температурой и концентрацией электронов в зоне проводимости. Соответственно, в заполненной зоне, из которой электроны переходят в зону проводимости, растет концентрация дырок.

Разделение веществ на полупроводники и диэлектрики весьма условно. Вещества с шириной запрещённой зоны более 3—4 эВ и менее 4—5 эВ совмещают свойства диэлектриков и полупроводников.

Зонная структура проводников (металлов)

В металлах валентная зона занята не полностью, и при воздействия на проводник разности потенциалов электроны могут свободно перемещаться из точек с меньшим потенциалом в точку с большим потенциалом.

Зонная теория — Википедия

Зонная теория твёрдого тела — квантовомеханическая теория движения электронов в твёрдом теле.

В соответствии с квантовой механикой свободные электроны могут иметь любую энергию — их энергетический спектр непрерывен. Электроны, принадлежащие изолированным атомам, имеют определённые дискретные значения энергии. В твёрдом теле энергетический спектр электронов существенно иной, он состоит из отдельных разрешённых энергетических зон, разделённых зонами запрещённых энергий.

Согласно постулатам Бора, в изолированном атоме энергия электрона может принимать строго дискретные значения (также говорят, что электрон находится на одной из орбиталей).

В случае нескольких атомов, объединённых химической связью (например, в молекуле), электронные орбитали расщепляются в количестве, пропорциональном числу атомов, образуя так называемые молекулярные орбитали. При дальнейшем увеличении системы до макроскопического кристалла (число атомов более 10²⁰), количество орбиталей становится очень большим, а разница энергий электронов, находящихся на соседних орбиталях, соответственно очень маленькой, энергетические уровни расщепляются до практически непрерывных дискретных наборов — энергетических зон. Наивысшая из разрешённых энергетических зон в полупроводниках и диэлектриках, в которой при температуре 0 К все энергетические состояния заняты электронами, называется валентной зоной, следующая за ней — зоной проводимости. В металлах зоной проводимости называется наивысшая разрешённая зона, в которой находятся электроны при температуре 0 К.

В основе зонной теории лежат следующие главные приближения^[1]:

1. Твёрдое тело представляет собой идеально периодический кристалл.
2. Равновесные положения узлов кристаллической решётки фиксированы, то есть ядра атомов считаются неподвижными (адиабатическое приближение). Малые колебания атомов вокруг равновесных положений, которые могут быть описаны как фононы, вводятся впоследствии как возмущение электронного энергетического спектра.
3. Многоэлектронная задача сводится к одноэлектронной: воздействие на данный электрон всех остальных описывается некоторым усредненным самосогласованным периодическим полем.

Ряд явлений, по существу многоэлектронных, таких, как ферромагнетизм, сверхпроводимость, и таких, где играют роль экситоны, не может быть последовательно рассмотрен в рамках зонной теории. Вместе с тем, при более общем подходе к построению теории твёрдого тела оказалось, что многие результаты зонной теории шире её исходных предпосылок.

Зонная структура различных материалов[править | править код]

Рисунок 1: Упрощённая зонная диаграмма для проводников, полупроводников и диэлектриков.

В различных веществах, а также в различных формах одного и того же вещества, энергетические зоны располагаются по-разному. По взаимному расположению этих зон вещества делят на три большие группы (см. рис. 1):

• проводники — зона проводимости и валентная зона перекрываются, образуя одну зону, называемую зоной перекрытия, таким образом, электрон может свободно перемещаться между ними, получив любую допустимо малую энергию. Таким образом, при приложении к телу разности потенциалов, электроны свободно движутся из точки с меньшим потенциалом в точку с большим, образуя электрический ток. К проводникам относят все металлы;
• полупроводники — зоны не перекрываются, и расстояние между ними (ширина запрещённой зоны) составляет менее 2.0 эВ^[2]. При абсолютном нуле температуры в зоне проводимости нет электронов, а валентная зона полностью заполнена электронами, которые не могут изменить своё квантомеханическое состояние, то есть не могут упорядоченно двигаться при приложении электрического поля. Поэтому при нулевой температуре собственные полупроводники не проводят электрический ток. При повышении температуры за счет теплового движения часть электронов, нарастающая при повышении температуры, «забрасывается» из валентной зоны в зону проводимости и собственный полупроводник становится электропроводным, причём его проводимость нарастает при увеличении температуры, так как растёт концентрация носителей заряда — электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне. У полупроводников ширина запрещённой зоны относительно невелика, поэтому для перевода электронов из валентной зоны в зону проводимости требуется энергия меньшая, чем для диэлектрика, именно поэтому чистые (собственные, нелегированные) полупроводники обладают заметной проводимостью при ненулевой температуре;
• диэлектрики — зоны как и у полупроводников не перекрываются, и расстояние между ними составляет, условно, более 2.0 эВ. Таким образом, для того, чтобы перевести электрон из валентной зоны в зону проводимости требуется значительная энергия (температура), поэтому диэлектрики ток при невысоких температурах практически не проводят.

Разделение веществ на полупроводники и диэлектрики весьма условно, потому материалы с шириной запрещённой зоны более 3—4 эВ и менее 4—5 эВ иногда относят к широкозонным полупроводникам — материалам, совмещающим свойства и диэлектриков и полупроводников. К широкозонным полупроводникам относят алмаз (5—6 эВ), GaN (3,4 эВ), ZnS (3,56 эВ), ZnO (3,4 эВ). В то же время, к диэлектрикам обычно относят TiO₂ (3,0 эВ), Та₂О₅ (4,4 эВ), Al₂O₃ (~7 эВ), SiO₂ (~9 эВ), HfO₂ (~5,4 эВ) и мн. др. При достаточно высоких температурах все диэлектрики приобретают полупроводниковый механизм электропроводности. Отнесение вещества к тому или иному классу больше зависит от способа использования или предмета изучения вещества тем или иным автором. Иногда в классе полупроводников выделяют подкласс узкозонных полупроводников — с шириной запрещённой зоны менее 1 эВ.

Зонная теория является основой современной теории твёрдых тел. Она позволила понять природу и объяснить важнейшие свойства проводников, полупроводников и диэлектриков. Величина запрещённой зоны между зонами валентности и проводимости является ключевой величиной в зонной теории, она определяет оптические и электрические свойства материала.

Поскольку одним из основных механизмов передачи электрону энергии является тепловой, то проводимость полупроводников очень сильно зависит от температуры. Также проводимость можно увеличить, создав разрёшенный энергетический уровень в запрещённой зоне путём легирования. C помощью легирования создаются все полупроводниковые приборы: солнечные элементы (преобразователи света в электричество), диоды, транзисторы, полупроводниковые лазеры и другие.

Переход электрона из валентной зоны в зону проводимости называют процессом генерации носителей заряда (отрицательного — электрона, и положительного — дырки), обратный переход — процессом рекомбинации.

Методы расчёта зонной структуры[править | править код]

Энергетический спектр электронов в кристалле в одноэлектронном приближении описывается уравнением Шрёдингера:

{−ℏ22m0▽2+U(r)}ψ(r)=Eψ(r){\displaystyle \left\{-{\frac {{\hbar }^{2}}{2m_{0}}}{\triangledown }^{2}+U(\mathbf {r} )\right\}\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )},

где U(r){\displaystyle U(\mathbf {r} )} — периодический потенциал кристалла.

Нахождение собственных функций и значений уравнения Шрёдингера по сути складывается из двух частей. Первая часть — это определение периодического потенциала, вторая сводится к решению уравнения при данном потенциале^[3]. Расчёт зонной структуры конкретных полупроводников крайне затруднен в силу целого ряда причин, и прежде всего потому, что отсутствует аналитическое выражение для U(r){\displaystyle U(\mathbf {r} )}. Поэтому при любых расчётах в формулах содержатся некоторые параметры, значение которых определяется на основе сравнения с экспериментальными данными. Например, ширина запрещённой зоны определяется только экспериментально^[4].

Наиболее широко в конкретных расчетах зонной структуры используются следующие методы^[5]:

1. Метод линейных комбинаций атомных орбит (ЛКАО).
2. Метод присоединённых плоских волн (ППВ или APW — Augmented Plane Waves).
3. Метод Функции Грина (Корринги — Кона — Ростокера, или ККР).
4. Метод ортогонализированных плоских волн (ОПВ).
5. Метод псевдопотенциала.
6. Различные интерполяционные схемы (kp^{\displaystyle \mathbf {k} {\hat {\mathbf {p} }}} — метод, эмпирический метод псевдопотенциала, комбинированный метод псевдопотенциала и ЛКАО).

• Гуртов В. А. Твердотельная электроника
• Цидильковский И. М. Электроны и дырки в полупроводниках. Энергетический спектр и динамика. М.: «Наука» 1972 г.
• Киреев П. С. Физика полупроводников. М.: «Высшая школа» 1975 г.

1. ↑ Цидильковский И. М. Электроны и дырки в полупроводниках. Энергетический спектр и динамика. М.: «Наука» 1972 г. — С. 12
2. ↑ Н.Ашкрофт, Н.Мермин Физика твёрдого тела Т.2. М.: Мир, 1979 г. — С. 185
3. ↑ Цидильковский И. М. Электроны и дырки в полупроводниках. Энергетический спектр и динамика. М.: «Наука» 1972 г. — С. 85
4. ↑ Киреев П. С. Физика полупроводников. М.: «Высшая школа» 1975 г. — С. 143
5. ↑ Цидильковский И. М. Электроны и дырки в полупроводниках. Энергетический спектр и динамика. М.: «Наука» 1972 г. — С. 91

Глава 1. Введение в физику полупроводников.

1. Энергетические уровни твердого тела.

Количественный анализ полупроводников и полупроводниковых приборов базируется на зонной теории твердого тела.

Изолированный атом характеризуется дискретным спектром энергий, разрешенных для электронов, причем расстояния между последовательными уровнями непрерывно уменьшаются по мере увеличения энергии. «Потолком» энергетического спектра является уровень ионизации, на котором электрон становится свободным и может покинуть атом. В невозбужденном состоянии атома его верхние уровни свободны.

Твердое тело представляет собой множество атомов, сильно взаимодействующих благодаря малым межатомным расстояниям. Поэтому вместо совокупности дискретных энергетических уровней, свойственных изолированному атому, твердое тело характеризуется совокупностью энергетических зон.

Таким образом, для кристалла получается определенная зонная диаграмма, в которой разрешенные зоны чередуются с запрещенными зонами.

Энергетические «расстояния» между разрешенными зонами (т.е. ширина запрещенных зон) определяются энергией связи электронов с атомами решетки. Поэтому граничные уровни, образующие «дно» и «потолок» каждой разрешенной зоны, соответствуют чисто потенциальной энергии электронов, т.е. их неподвижному состоянию.

Любой уровень, расположенный внутри разрешенной зоны, соответствует сумме потенциальной и кинетической энергии. Кинетическая энергия возрастает по мере удаления от границы вглубь зоны и достигает максимума в ее средней части.

Проводимость в твердом теле возможна лишь тогда, когда возможен переход электрона на ближайший энергетический уровень, т.е. в проводимости могут участвовать электроны только тех зон, в которых есть свободные уровни.

Уровни всегда имеются в верхней разрешенной зоне. Поэтому верхнюю зону твердого тела, не заполненную (или не полностью заполненную) электронами при нулевой абсолютной температуре, называют зоной проводимости.

Зону, ближайшую к зоне проводимости, называют валентной. При нулевой абсолютной температуре она полностью заполнена и, следовательно, электроны этой зоны не могут участвовать в проводимости.

Зонная структура твердого тела при нулевой температуре лежит в основе классификации металлов, полупроводников и диэлектриков (рис. 1.1).

У металлов (рис.1.1а) зона проводимости и валентная зона взаимно перекрываются, поэтому даже при нулевой температуре в зоне проводимости находится значительное количество электронов и, следовательно, имеет место проводимость. У полупроводников и диэлектриков (рис.1.1б, в) при нулевой абсолютной температуре зона проводимости пуста и проводимость отсутствует; в этом их качественное отличие от металлов. Различия между полупроводниками и диэлектриками в основном количественные и обусловлены значительно большей шириной запрещенной зоны у диэлектрика. У диэлектрика ширина запрещенной зоны больше 3В (3 э-В), у полупроводника ширина запрещенной зоны составляет (0,1 – 3)В или (0,1 – 3) э-В

Поскольку зона проводимости практически сплошная, энергия электронов в этой зоне может меняться непрерывно, как у изолированных электронов в вакууме, поэтому электроны в зоне проводимости называются свободными.

Таким образом, совокупность электронов в твердом теле можно уподобить электронному газу, который заключен в «сосуд», образованный внешними гранями кристалла. Наличие в этом «сосуде» множества неподвижных атомов – узлов решетки – приводит к тому, что свойства электронов в твердом теле отличаются от их свойств в свободном пространстве – вакууме.

Одно из важнейших отличий состоит в том, что масса электрона в кристалле отличается от его массы ₀ в вакууме. В теории твердого тела пользуются понятием эффективной массы ^*, которая зависит от ряда факторов (полная энергия, направление движения и др.).

Квантовая теория показывает, что для описания движения свободных носителей в кристалле можно использовать понятие эффективной массы электрона (m^*_n) и эффективной массы дырки (m^*_p), значения которых, как правило, не совпадают с массой электрона m₀ в вакууме. Для полупроводников наиболее широко применяемых в электронных приборах (кремний, германий, арсенид галлия, арсенид индия, антимонид индия, селен, теллурий и т.д.) m^*_n< m^*_p.

Электроны и дырки как свободные носители заряда в твердом теле характеризуются величиной квазиимпульса P=ђk, где ђ=h/2π, k=2π/λ- волновой вектор. Скорость поступательного движения электрона определяется как v=p/m=ђk/m. Энергетический спектр электронов в кристалле имеет зонный характер. Внутри каждой зоны энергия W определяется соотношением W=p²/2m^*=ђ²k²/2m^*. Дифференцируя это выражение по k, получим dW/dk=h²k/m^*, откуда определяется

(1.1)

Тогда импульс р можно определить как

(1.2)

Соответственно скорость определяется как

(1.3)

В таком виде выражения для импульса и скорости поступательного движения оказываются справедливыми не только для свободных электронов, но и для электронов, движущихся в периодическом поле кристалла. Импульс, определяемый по формуле (1.2), называют квазиимпульсом электрона. Создадим в кристалле внешнее поле напряженностью Е, это поле действует на электрон с силой F=qE, сообщая ему ускорение

За время dt сила F производит работу

Эта работа идет на приращение энергии электрона Отсюда находим Тогда

(1.4)

Формула (1.4) устанавливает связь между ускорением а и внешней силой F, действующей со стороны внешнего поля напряженностью Е. Она отображает второй закон Ньютона. Из этой формулы следует, что под действием внешней силы электрон в периодическом поле кристалла движется в среднем так, как двигался бы под действием этой силы свободный электрон, если бы он обладал массой

(1.5) Однако, эффективная масса электрона, заключая в себе всю особенность, присущую движению электрона в периодическом поле кристалла, является своеобразной величиной. Прежде всего, она может быть как положительной, так и отрицательной; по абсолютному значению она может быть как во много раз больше, так и во много меньше массы покоя электрона. Электроны, располагающиеся у дна зоны проводимости, обладают положительной эффективной массой. Поэтому во внешнем поле, созданном в кристалле, они ведут себя нормально, ускоряясь в направлении действующей силы. Для электронов, находящихся у вершины зоны, эффективная масса является отрицательной. Такие электроны ведут себя во внешнем поле, созданном в кристалле, аномально: они ускоряются в направлении противоположном действию внешней силы.

Поясним понятие дырки с точки зрения зонной теории. Для этого предположим, что к полупроводнику приложено внешнее напряжение. При наличии электрического поля приходят в движение не только свободные электроны зоны проводимости, но и вся совокупность электронов валентной зоны (т.к. в ней имеются незаполненные верхние уровни). Это эквивалентно движению ограниченного (равного числу незаполненных уровней) количества фиктивных квазичастиц с положительным зарядом, которые получили название «дырок». Следовательно, дырка – это способ описания коллективного движения большого числа электронов в неполностью заполненной валентной зоне. Электрон – это частица, дырка – это квазичастица. Электрон может инжектировать из полупроводника или из металла наружу, дырка может существовать только внутри полупроводника.

2.2. Энергетические зоны кристаллов. Металлы. Полупроводники. Диэлектрики

Энергетическая диаграмма изолированного атома представляет собой набор дискретных энергетических уровней. Твердое тело, кристалл, является единой системой множества взаимодействующих атомов.

Поле кристаллической решетки обладает периодичностью. Ограниченность размеров кристалла и периодичность поля внутри кристалла приводят к тому, что энергетические уровни, соответствующие изолированному атому, расщепляются и образуют энергетические зоны, состоящие из отдельных, близко расположенных уровней, число которых соответствует числу атомов в данном кристалле (рис 2.1).

Рис. 2.1. Энергетические уровни изолированного атома		Рис. 2.2. Образование энергетических зон в кристалле r— расстояние между атомами; d— период кристаллической решетки

Энергетическую зону, которая образовалась в результате расщепления одного уровня атома, называют разрешенной зоной. Иногда при расщеплении уровней происходит перекрытие двух или более соседних зон — такуюгибридную зонутакже будем называть разрешенной зоной. Верхний энергетический уровень разрешенной зоны называютпотолком зоны, а нижний –дном зоны. Энергетические уровни валентных электронов при расщеплении образуютвалентную зону. Пустые уровни, соответствующие возбужденным состояниям атома, расщепляясь, образуют одну или несколько свободных зон. Разрешенные зоны чередуются сзапрещенными зонами, т.е. интервалами энергии, в которых нет энергетических уровней.

Различные энергетические уровни атома расщепляются в электромагнитном поле кристалла неодинаково. Сильнее всего расщепляются уровни валентных электронов, уровни внутренних электронов испытывают настолько слабое расщепление, что им можно пренебречь. Так как электрические, оптические и другие свойства кристаллов определяются состояниями валентных электронов, то на энергетических диаграммах принято изображать валентную зонуи ближайшую к нейсвободную зону.

Ширина энергетических зон определяется видом материала и строением кристалла. Валентные зоны большинства твердых тел имеют ширину несколько электрон-вольт. Внутри расположены N энергетических уровней, на которых могут располагаться по два электрона с антипараллельными спинами. В кристалле размером 1 см³содержитсяN  10²²атомов, следовательно, расстояние между уровнями внутри зоны порядка 10^-22эВ. Это расстояние столь мало по сравнению с энергией теплового движения (имеющей величину порядкаkT0,025эВ при комнатной температуре), что зоны можно считать практически непрерывными (рис.2.3). Поэтому требуется ничтожная энергия, чтобы перевести электрон в пределах зоны с одного уровня на соседний свободный уровень.

Сравним два образца одного и того же вещества, один из которых в два раза больше другого. Первый из них содержит в два раза больше электронов, энергетические уровни внутри разрешенной зоны в первом образце расположены в два раза ближе друг к другу, но края зон будут располагаться одинаково по шкале энергий.

В зависимости от степени заполне-

ния валентной зоны электронами и ши-рины запрещенной зоны возможны три случая.

1 случай.Электроны заполняют валентную зону не полностью. Так как энергетические расстояния между уровнями в зоне малы, то электроны легко могут быть переведены на более высокие свободные уровни как за счет энергии теплового движения, так и под действием электрического поля. Электроны валентной зоны такого кристалла будут участвовать в проводимости.

Кристалл с частично заполненной электронами валентной зоной будет представлять собой металл.Частичное заполнение валентной зоны наблюдается в тех случаях, когда разрешенная зона образовалась из уровней атома, на которых находился только один электрон, т.е. уровни были заполнены электронами наполовину, либо, когда имело место перекрытие зон.

Рис. 2.4. Энергетические диаграммы кристаллов при Т=0:

а) металла, б) полупроводника, в) диэлектрика

Здесь Т-температура, E_F — уровень Ферми, Е – ширина запрещенной зоны, Е_с –дно зоны проводимости, Е_v -потолок валентной зоны

2 случай.Уровни валентной зоны полностью заняты электронами. Чтобы электрон участвовал в проводимости, его следует перевести из валентной зоны в свободную. Для этого необходимо сообщить ему энергию не меньшую, чем ширина запрещенной зоны. Если ширина запрещенной зоны невелика, энергии теплового движения будет достаточно, чтобы перевести часть электронов с верхних уровней валентной зоныв свободную зону, которую называютзоной проводимости.Одновременно в валентной зоне образуются дырки. Вещество с такими свойствами являетсяполупроводником.

3 случай. Уровни валентной зоны полностью заняты электронами, но ширина запрещенной зоны велика. В этом случае тепловое движение не сможет перебросить электроны в зону проводимости. В таком кристалле отсутствуют свободные носители заряда, кристалл не проводит ток и является диэлектриком.

С точки зрения зонной теории разделение неметаллических материалов на полупроводники и диэлектрики достаточно условно: вся разница между ними заключается в величине ширины запрещенной зоны. Нельзя установить также точное граничное значение ширины запрещенной зоны, которое определяет класс полупроводников от класса диэлектриков. Можно лишь указать, что у полупроводников ширина запрещенной зоны не превышает 2 или 3 эВ. Иногда классификацию твердых тел проводят по величине удельного сопротивления:

Таблица 2.1

3.3. Зонные диаграммы металлов, полупроводников и диэлектриков.

Диэлектрики

• электроны полностью заполняют валентную зону, а зона проводимости пуста, там электронов нет, поэтому зона проводимости ток не проводит,

• Валентная зона может ток проводить, но не проводит, потому что все состояния электронов в точности симметричны, и если есть состояние (хаотическое движение) .с импульсом р, то найдётся и состояние с импульсом —р,

• каждое из этих состояний переносит ток, но направления этих токов противоположны, и в сумме переносимый ток равен нулю.

Рис.3.8 а

Металлы

• электроны заполняют валентную зону только наполовину. При нулевой температуре (по Кельвину, т.е. –273^оС) все нижние уровни заполнены электронами, а все верхние – пустые.

• расстояния между уровнями очень малы, и малейшее возмущение системы, например, приложение маленького напряжения может вызвать смещение электронов из равновесного состояния, и нарушить симметрию в распределении электронов по скоростям.

Таким образом довольно легко возникает электрический ток, т.е. имеется электропроводность.

При более высоких температурах возникает некоторое размытие электронов по состояниям ( уровням), а именно имеется функция распределения Ферми-Дирака:

F(E) – вероятность занятия уровня с энергией E электроном, E_F —

константа, имеющая размерность энергии и называемая уровнем Ферми.

Эта функция выглядит следующим образом:

Рис 3.8.б

Здесь функция F располагается горизонтально, а её аргумент E вертикально. Левая сплошная линия – F(E)=0; правая пунктирная линия — F(E)=1.

При Е>E₂ F(E)=0 вероятность заполнения состояний электронами равна нулю – тока нет.

При E<E₁ F(E)=1 , все состояния заполнены и эти электроны в силу симметрии кристалла тоже не проводит ток.

А вот состояния между пунктирными линиями заполнены не все, поэтому эти электроны могут проводить ток. Именно поэтому металлы хорошо проводят электричество.

Полупроводники

В полупроводниках электронов хватает только для того, чтобы заполнить валентную зону , а остальные зоны, в том числе и зона проводимости, оказываются пустыми. Вследствие этого пустые зоны электричества не проводят. Но не проводят его и полностью заполненные, так как в силу симметрии кристалла все маленькие токи уравновешивают друг друга.

Но это справедливо только при нулевой температуре по Кельвину (-273⁰С). При более высоких температурах, и тем более при комнатных температурах, тепловые колебания атомов кристалла часть своей энергии передают электронам, что приводит к распределению по энергиям согласно функции Ферми-Дирака. Часть электронов (малая) приобретает энергию, достаточную для того, чтобы преодолеть запрещённую зону и попасть в следующую зону – зону проводимости. Эта ситуация иллюстрируется рисунком 3.9.

На первом рис. представлена плотность состояний в зависимости от Е.

При нулевой энергии она очень мала,. С ростом энергии плотность состояний пропорциональна квадрату энергии, отсчитанной от уровня E_c (или E_v –E для валентной зоны).

На втором рис. представлена фукция Ферми-Дирака.

На третьем рис. представлено произведение этих двух функций, которое и представляет собой зависимость концентрации электронов от энергии.

Рис. 3.9

Электронов в зоне проводимости мало, так как вероятность заполнения состояния существенно меньше 1. При этом электроны могут двигаться практически как в вакууме, почти что не взаимодействуя друг с другом.

В валентной зоне: вероятность заполнения состояния практически равна 1, т.е. почти все состояния заполнены электронами. В этом случае трудно описать их движение, так как они практически всегда мешают друг другу, ведь электроны могут куда-то переместиться, только если там свободное состояние, а почти все состояния заполнены.

Потому принять описывать состояния пустых мест – «дырок», которых мало и они, могут двигаться как бы независимо, почти не сталкиваясь, и их движение можно тоже описывать довольно просто, так же, как и движение электронов в зоне проводимости.

Основные свойства полупроводниковых материалов.

Полупроводники, или полупроводниковые соединения, бывают собственными и примесными.

Собственные полупроводники – это полупроводники, в которых нет примесей (доноров и акцепторов).

Собственная концентрация (n_i) – концентрация носителей заряда в собственном полупроводнике (электронов в зоне проводимости n и дырок в валентной зоне p, причем n = p = n_i).

При Т = 0 в собственном полупроводнике свободные носители отсутствуют (n = p = 0). При Т > 0 часть электронов забрасывается из валентной зоны в зону проводимости. Эти электроны и дырки могут свободно перемещаться по энергетическим зонам.

Дырка – это способ описания коллективного движения большого числа электронов (примерно 10²³ см^-3) в неполностью заполненной валентной зоне. Электрон – это частица, дырка – это квазичастица.

Электрон можно инжектировать из полупроводника или металла наружу (например, с помощью фотоэффекта), дырка же может существовать только внутри полупроводника.

Легирование – введение примеси в полупроводник, в этом случае полупроводник называется примесным. Если в полупроводник, состоящий из элементов 4 группы (например, кремний или германий), ввести в качестве примеси элемент 5 группы, то получим донорный полупроводник (у него будет электронный тип проводимости), или полупроводник n-типа. Если же ввести в качестве примеси элемент 3 группы, то получится акцепторный полупроводник, обладающий дырочной проводимостью (р-тип) .Для того, чтобы использовать для описания движения электронов и дырок в полупроводниках классические представления, вводятся понятия эффективных масс электрона и дырки m_n^* и m_p^* соответственно. В этом случае уравнения механики , или , будут справедливы, если вместо массы свободного электрона (электрона в вакууме) m₀ в эти уравнения подставить эффективную массу электрона m_n^* (p = m_n^*·υ). Эффективная масса учитывает влияние периодического потенциала атомов в кристалле полупроводника на движение электронов и дырок и определяется уравнениями дисперсии .