Единичный вектор | matematicus.ru

Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.

i — единичный вектор оси абсцисс;

j — единичный вектор оси ординат;

k — единичный вектор оси аппликат.

i⊥j⊥k,  i=j=k=1

В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:

i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)

Замечание 1

Единичные векторы являются некомпланарными.

 

Замечание 2

Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.

a=xi+уj+zk

где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.2}}  = 3$

затем вычисляем единичный вектор e

$\vec e = \left( {\frac{1}{3};\frac{2}{3}; — \frac{2}{3}} \right)$

---

Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус». Смотрите схему 1.

Схема 1

На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов

  i×i=0      i×j=k        i×k=-j 

  j×i=-k     j×j=0        

j×k=i 

  k×i=j      k×j=-i       k×k=0

Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.

  Решение 
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2)  Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо 

k, либо -k.
3)  Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).

iхj=k

---

Пример 2
Найти векторное произведение jхi.

  Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i

, j, —k  -левую).
jхi = −k

как найти единичный вектор перпендикулярный векторам

Вы искали как найти единичный вектор перпендикулярный векторам? На нашем сайте вы можете получить ответ на любой математический вопрос здесь. Подробное решение с описанием и пояснениями поможет вам разобраться даже с самой сложной задачей и найти единичный вектор перпендикулярный вектор, не исключение. Мы поможем вам подготовиться к домашним работам, контрольным, олимпиадам, а так же к поступлению в вуз. И какой бы пример, какой бы запрос по математике вы не ввели — у нас уже есть решение. Например, «как найти единичный вектор перпендикулярный векторам».

Применение различных математических задач, калькуляторов, уравнений и функций широко распространено в нашей жизни. Они используются во многих расчетах, строительстве сооружений и даже спорте. Математику человек использовал еще в древности и с тех пор их применение только возрастает. Однако сейчас наука не стоит на месте и мы можем наслаждаться плодами ее деятельности, такими, например, как онлайн-калькулятор, который может решить задачи, такие, как как найти единичный вектор перпендикулярный векторам,найти единичный вектор перпендикулярный вектор,найти единичный вектор перпендикулярный векторам,найти координаты единичного вектора перпендикулярного к плоскости abc. На этой странице вы найдёте калькулятор, который поможет решить любой вопрос, в том числе и как найти единичный вектор перпендикулярный векторам. Просто введите задачу в окошко и нажмите «решить» здесь (например, найти единичный вектор перпендикулярный векторам).

Где можно решить любую задачу по математике, а так же как найти единичный вектор перпендикулярный векторам Онлайн?

Решить задачу как найти единичный вектор перпендикулярный векторам вы можете на нашем сайте https://pocketteacher.ru. Бесплатный онлайн решатель позволит решить онлайн задачу любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в решателе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как правильно ввести вашу задачу на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в чате снизу слева на странице калькулятора.

Координаты вектора / Метод координат / Справочник по геометрии 7-9 класс

Прямоугольная система координат (декаротова система координат) — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Для задания прямоугольной системы координат нужно провести две взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрать направление (оно обозначается стрелкой) и выбрать единицу измерения отрезков.

На рисунке выше оси и перпендикулярны. При выбранной единице измерения отрезков длина каждого отрезка выражается положительным числом. В дальнейшем под длиной отрезка мы будем понимать это число. Так,

единичный вектор — это вектор, длина которого равна 1.

Отложим от начала координат О единичные векторы и так, чтобы их направления совпадали с направлениями осей и соответственно.

Векторы и называют координатными векторами.

Координатные векторы не коллинеарны, поэтому любой вектор можно разложить по координатным векторам, т.е. представить в виде , причем коэффициенты разложения и определяются единственным образом.

Коэффициенты разложения вектора по координатным векторам называются координатами вектора в данной системе координат.

Координаты вектора записывают в фигурных скобках после обозначения вектора: .

На рисунке выше .

Нулевой вектор можно представить в виде , следовательно, его координаты равны нулю: .

Если векторы и равны, то и . Значит, координаты равных векторов соответственно равны.

Правила, позволяющие по координатам векторов находить координаты их суммы, разности и произведения вектора на число:

10. Каждая координата суммы двух и более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов.

Доказательство

Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

По условию и , тогда и .

Сложим последние два равенства и применим свойства сложения векторов и умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

20. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов.

Доказательство

Дано: , , .

Доказать: .

Доказательство:

По условию и , тогда (1)  и .  (2) 

Вычтем из равенства (1) равенство (2) и применим свойства сложения векторов и умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

30. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число.

Доказательство

Дано: , — число, .

Доказать: .

Доказательство:

По условию , значит, .

Умножим последнее равенство на число и используя свойства умножения вектора на число, получим: , следовательно, координаты вектора равны , т.е. . Что и требовалось доказать.

Данные правила позволяют определить координаты любого вектора, представленного в виде алгебраической суммы данных векторов с известными координатами.

Пример

Найти координаты вектора , если известно, что .

Решение:

По правилу 3⁰ вектор будет иметь координаты , т.е. , вектор координаты , т.е. .

Так как , то координаты вектора можно найти по правилу 1⁰: , т.е. .

Ответ: .

Единичный вектор — нормаль — Большая Энциклопедия Нефти и Газа, статья, страница 1

Единичный вектор — нормаль

Cтраница 1

Другой единичный вектор нормали отличается от v знаком.  [1]

Единичный вектор нормали N площадки а const определяется по формуле (3.5.5) гл.  [2]

Найти единичный вектор нормали к поверхности уровня поля и х 2ху — 4г / 2 в точке Р0 ( 1, 1, — 1), направленный в сторону возрастания поля.  [3]

Пусть единичный вектор нормали п направлен от 5 к S ( фиг.  [4]

Направим единичный вектор нормали п к плоскости поперечного сечения проводника по направлению тока в цилиндре.  [5]

Непрерывное ноле единичных векторов нормали считается фиксированным и при преобразовании координат не меняется.  [6]

При помощи полученного единичного вектора нормали в соответствующей точке по формулам (11.1) или (11.2) находится значение освещенности. Это позволяет создавать достаточно реалистически выглядящие изображения с корректными бликами.  [7]

А характеризуется единичным вектором нормали г /, направленным к V.  [8]

Здесь п — единичный вектор нормали, направленный в сторону вогнутости кривой, р — радиус кривизны.  [9]

Здесь п — единичный вектор нормали, направленный внутрь малой сферы.  [11]

Здесь п — единичный вектор нормали к плоскости витка, ориентированный согласно правилу буравчика по отношению к направлению тока, или, что то же: с конца его ток в контуре должен выглядеть протекающим против часовой стрелки. Если мы имеем дело с катушкой из N витков, ее магнитный момент равен NIS, подразумевается, что расстояние, на котором определяется поле катушки, или масштаб изменения внешнего поля существенно превышают любой ее размер. Если же магнитный диполь — иной природы, например, постоянный магнит, то его очень часто удобно представить в виде витка или трубки с азимутальным током. Этот фиктивный ток называют током намагничения. В качестве источника поля он ведет себя так же, как и реальный ток, не следует только подставлять его в теорему о циркуляции, а тем более в закон Джоуля-Ленца.  [12]

Обозначим через v единичный вектор нормали к плоскости раздела S, направленный из среды / в среду / /, и выберем для удобства начало отсчета где-либо на этой плоскости.  [13]

Обозначим через т единичный вектор нормали поверхности ( 4), направленный в ту сторону, куда z возрастает, через a, [ j, f — косинусы его углов с осями координат.  [14]

Компоненты, отвечающие единичному вектору нормали п, например в разложении (5.74), сами по себе физические.  [15]

Страницы:      1    2    3    4

Глава 31. Скалярное произведение векторов

795		Векторы и образуют угол , зная, что =3, =4, вычислить:
	795.1	;
	795.2	;
	795.3	;
	795.4	;
	795.5	;
	795.6	;
	795.7	;
796		Векторы и взаимно перпендикулярны; вектор образует с ними углы, равные ; зная, что =3, =5, =8, вычислить:
	796.1	;
	796.2	;
	796.3	.
797		Доказать справедливость тождества и выяснить его геометрический смысл.
798		Доказать, что ; в каких случаях здесь может иметь место знак равенства?
799		Считая, что каждый из векторов , , отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо равенство .
800		Даны единичные вектторы , , , удовлетворяющие условию . Вычислить .
801		Даны векторы , , , удовлетворяющие условию . Зная, что =3, =1, =4, вычислить .
802		Векторы , , попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 600. Зная, что =2, =2, =6, определить модуль вектора .
803		Дано, что =3, =5. Определить, при каком значении векторы , будут взаимно перпендикулярны.
804		Какому условию должны удовлетворять векторы и , чтобы вектор был перпендикулярен к вектору .
805		Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .
806		Доказать, что вектор перпендикулярен к вектору .
807		Даны векторы и , совпадающие со сторонами треугольника АВС. Найти разложение вектора, приложенного к вершине В этого треугольника и совпадающего с его высотой BD по базису , .
808		Векторы и образуют угол ; зная, что , , вычислить угол между векторами и .
809		Вычислить тупой угол, образованный медианами, проведенными из вершин острых углов равноберденного прямоугольного треугольника.
810		Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условию , где — данный вектор и — данное число.
811		Определить геометрическое место концов переменного вектора , если его начало находится в данной точке А и вектор удовлетворяет условиям , , где и — данные неколлинеарные векторы и , — данные числа.
812		Даны векторы ={4; -2; -4}, ={6; -3; 2}. Вычислить:
	812.1	;
	812.2	;
	812.3	;
	812.4	;
	812.5	;
	812.6	.
813		Вычислить, какую работу произведет сила f={3; -5; 2}, когда ее точка приложения перемещается из начала в конец вектора ={2; -5; -7}.
814		Даны точки A(-1; 3; -7), B(2; -1; 5), C(0; 1; -5). Вычислить:
	814.1	;
	814.2	;
	814.3	;
	814.5	Найти координаты векторов и .
815		Вычислить, какую работу производит сила f={3; -2; -5}, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения A(2; -3; 5} в положение B(3; -2; -1).
816		Даны силы ={3; -4; 2}, ={2; 3; -5}, ={-3; -2; 4}, приложенные к одной точке. Вычислить, какую работу производит равнодействующая этих сил, когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения M1(5; 3; -7) в положение M2(4; -1; -4).
817		Даны вершины четырехугольника A(1; -2; 2), B(1; 4; 0), C(-4; 1; 1), D(-5; -5; 3). Доказать, что его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны.
818		Определить, при каком значении векторы и взаимно перпендикулярны.
819		Вычислить косинус угла, образованного векторами ={2; -4; 4} и ={-3; 2; -6}.
820		Даны вершины треугольника A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1). Определить его внутренний угол при вершине В.
821		Даны вершины треугольника A(3; 2; -3), B(5; 1; -1), C(1; -2; 1). Определить его внешний угол при вершине А.
822		Вычислив внутренние углы треугольника с вершинами A(1; 2; 1), B(3; -1; 7), C(7; 4; -2), убедиться, что этот треугольник равнобедренный.
823		Вектор , коллинеарный вектору ={6; -8; -7,5}, образует острый угол с осью Oz. Зная, что =50, найти его координаты.
824		Найти вектор , коллинеарный вектору ={2; 1; -1} и удовлетворяющий условию .
825		Вектор , перпендикулярный к векторам и , образует с осью Oy тупой угол. Найти его координаты, зная, что .
826		Найти вектор , зная, что он перпендикулярен к ={2; 3; -1}, ={1; -2; 3} и удовлетворяет условию .
827		Даны векторы ={3; -1; 5}, ={1; 2; -3}. Найти вектор при условии, что он перпендикулярен к оси Oz и удовлетворяет условиям , .
828		Даны векторы , и . Найти вектор , удовлетворяющий условиям , , .
829		Найти проекцию вектора ={4; -3; 2} на ось, составляющую с координатными осями равные острые углы.
830		Найти проекцию вектора ={; -3; -5} на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oz углы , , а с осью Oy – острый угол .
831		Даны точки A(3; -4; -2), B(2; 5; -2). Найти проекцию вектора на ось, составляющую с координатными осями Ox, Oy углы , , а с осью Oz – тупой угол .
832		Вычислить проекцию вектора ={5; 2; 5} на ось вектора ={2; -1; 2}.
833		Даны векторы , , . Вычислить .
834		Даны векторы ={1; -3; 4}, ={3; -4; 2} и ={-1; 1; 4}. Вычислить .
835		Даны векторы , , . Вычислить .
836		Сила, определяемая вектором ={1; -8; -7}, разложена по трем направлениям, одно из которых задано вектором . Найти составляющую силы в направлении вектора .
837		Даны точки M(-5; 7; -6), N(7; -9; 9). Вычислить проекцию вектора ={1; -3; 1} на ось вектора .
838		Даны точки A(-2; 3; -4), B(3; 2; 5), C(1; -1; 2), D(3; 2; -4). Вычислить .

Когда не нужна тригонометрия / Хабр

Просматривая различный код по выводу на экран какой-нибудь даже примитивной графики, я заметил чрезмерную любовь некоторых программистов к тригонометрии. Часто код пестрит синусами, косинусами и арктангенсами там, где без них можно обойтись. Этим грешат даже хорошие программисты, которые способны спроектировать сложную систему, но почему-то не освоили вектора в объёме школьной программы. Буквально азов векторной алгебры хватает для решения многих насущных проблем. В этом топике я хочу провести краткий ликбез, напомнить основные действия с векторами на плоскости и в качестве примера решить две задачи без тригонометрии: поиск отражённого луча по падающему лучу и произвольно расположенному зеркалу, а также рисование наконечника стрелки. Если вы можете представить в голове рисование произвольно направленной стрелки без синусов и косинусов, смело пропускайте этот топик. Для остальных постараюсь объяснять попроще.

Теория

Итак, вектором (рассматриваем только двумерный случай) называется пара чисел:

Геометрический смысл — это отрезок на плоскости, для которого важна длина и направление, но не важно положение. То есть параллельный перенос не меняет вектора. Часто полезно отождествлять вектор с точкой (x,y) на плоскости — это всё равно что провести вектор из точки (0,0) в точку (x,y). Рассмотрим основные операции.

Сложение векторов:

Геометрический смысл изображён на картинке — мы перемещаем второй вектор, чтобы его начало совпало с концом первого, и результатом считаем вектор от начала первого до конца второго:

Умножение вектора на скаляр (число):

Геометрический смысл — удлинение вектора в соответствующее число раз, не меняя направление (разве что на противоположное, если

a

отрицательно). Умножение на -1 перевернёт вектор на 180°, не меняя длину. Деление вектора на число

a

— это умножение на 1/

a

.

Скалярное произведение векторов:

Очень важная штука. Перемножая два вектора, мы получаем число, которое характеризует длину проекции одного на другой. Перемножив два вектора, по знаку мы можем определить, направлены ли вектора в одну сторону (скалярное произведение положительно), направлены противоположно (скалярное произведение отрицательно) или перпендикулярны друг другу (произведение равно нулю). Не нужно для этого вычислять арктангенсы отношений координат каждого вектора и сравнивать углы. Два умножения, одно сложение и дело в шляпе.

Также важно, что скалярное произведение вектора самого на себя — это квадрат его длины (следствие теоремы Пифагора):

Вектор называют нормированным или единичным, если его длина равна единице. Нормировать произвольный ненулевой вектор — это поделить его на длину. Получится единичный вектор, сонаправленный исходному.

Скалярное произведение произвольного вектора на единичный даст точную длину проекции этого вектора на направление единичного. Чтобы получить не просто длину, а сам вектор-проекцию, надо умножить эту длину на наш единичный вектор:

В скобках скалярное произведение векторов

a

и

e

, а затем умножение вектора

e

на скаляр.

Что делать, если нам нужна проекция на ненормированный вектор? Чтобы нормировать, надо извлечь корень, а это долго и грустно. Однако, если мы приглядимся к формуле, то поймём, что нам нужно поделить результат на квадрат длины, то есть просто на скалярное произведение вектора на себя. То есть проекция

a

на произвольный ненулевой

b

будет вычисляться так:

Скалярное произведение двух единичных векторов — это косинус угла между ними. Если вдруг вам всё-таки потребовался угол между направлениями, проверьте, может, вам вовсе не угол нужен, а его косинус (или синус, который в ряде случаев можно получить из основного тригонометрического тождества). Тогда вам не потребуется ковыряться с арктангенсами.

Вот, собственно, вся базовая теория. Теперь попробуем её применить.

Вычисление отражённого луча

Отражённый луч может пригодиться не только для оптических задач, а ещё, скажем, при моделировании упругого столкновения объекта со стенкой, что незаменимо при программировании анимированных красивостей. Тогда вектор скорости объекта изменится как раз по закону отражения. Итак, у нас есть падающий вектор

l

и некоторая произвольная прямая, от которой производится отражение. Прямая может быть задана, к примеру, двумя точками. Требуется определить отражённый вектор

r

той же длины, что и

l

:

Зная, что угол падения равен углу отражения, можно придумать какой-то такой наивный алгоритм:

• Посчитать разность координат точек прямой, взять арктангенс их отношения — получим наклон прямой к оси x.
• Аналогично определить наклон падающего луча к оси x.
• Посчитать разность этих углов, вычесть её из 90° — получим угол падения.
• Добавить угол падения дважды и ещё 180° к углу наклона падающего луча — получим угол наклона отражённого луча.
• Вычислить длину падающего луча и умножить на синус и косинус угла наклона отражённого луча — получим результирующий вектор.

Итого: два арктангенса, синус, косинус и квадратный корень.

Однако если мыслить векторами, то простое геометрическое построение даёт существенно более быстрое решение:

Две проекции вектора

l

на нормаль со знаком минус да плюс ещё один вектор

l

в точности дадут нам результат:

Делить не надо, если нормаль уже нормирована. Кстати, я не рассказал, как её определить. Если прямая задана двумя точками (x1,y1) и (x2,y2), то вектор нормали (ненормированый) легко определяется вот так:

Иногда важен знак нормали, чтобы знать, какая сторона прямой «внешняя». В нашей задаче это неважно, вы в этом легко можете убедиться.

Кстати, полученная формула отражённого луча действует и в трёхмерном варианте, только нормаль надо определять уже для плоскости.

Рисование стрелки

Пусть заданы концы стрелки (x1,y1) и (x2,y2). Надо нарисовать усики фиксированного размера на конце (x2,y2). Посмотрим рисунок:

Здесь точка (x2,y2) обозначена буквой P. Необходимо вычислить координаты точек A и B, чтобы провести отрезки PA и PB. Будем считать, что нам задана продольная и поперечная длины усиков

h

и

w

. Внимательный читатель уже может сам предложить алгоритм: чтобы найти точку O, надо вычесть из P

h

, умноженное на единичный вектор вдоль стрелки (тут, похоже, без корня не обойтись, но он нужен всего один раз!). А затем A и B уже определяются, добавляя к O вектор нормали, домноженный на

w

и −

w

. Заметьте, что мы нигде не определяли угол раствора стрелки (вообще это арктангенс отношения

w

и

h

), но он нам и не нужен: стрелка легко рисуется и так.

Заключение

В целом тригонометрия пригождается не так часто. Без тригонометрических функций вычисляется преломлённый луч по закону Снеллиуса. Если вам нужно повернуть сложный чертёж на определённый угол, вам потребуется только синус и косинус этого самого угла. Из них составляется матрица вращения, и на неё домножаются по очереди все точки. Тригонометрия на самом деле медленная, особенно когда её много. Поэтому не используйте её там, где она не нужна.

Найти единичный вектор в том же направлении, что и заданный вектор

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или несколько ваших авторских прав, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее в информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; и Ваше заявление: (а) вы добросовестно считаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Единичный вектор — объяснение и примеры

Как и в физике, у каждой измеряемой величины есть единица измерения. Точно так же в векторной геометрии каждый вектор также имеет единицу измерения, которую можно назвать единичным вектором . Проще говоря, единичный вектор может быть определен как:

«Любой вектор с величиной 1 может быть описан как единичный вектор».

В теме единичных векторов мы рассмотрим следующие темы:

• Что такое единичный вектор?
• Как найти единичный вектор?
• Как найти единичный вектор в том же направлении?
• Какова формула для единичных векторов?
• Каковы свойства единичного вектора?
• Примеры
• Практические задачи

Что такое единичный вектор?

Единичный вектор — это вектор, величина которого равна 1, или, говоря математическим языком, единице..

В математике и физике мы часто встречаем слово «единица». Но что именно оно означает? Если погрузиться в элементарную математику, то слово «единица» было определено в самом начале математики. Слово «единица» обозначает «1 » . Слово «единица»; впервые был обнаружен в математической системе разметки. В основе системы лежали единицы, так как они символизируют «единичное» место.

Аналогично, в области векторной геометрии единичный вектор также обозначает «1».Для масштабирования вектора требуется единичный вектор. На языке физики мы можем описать это масштабирование как измерение.

Единичные векторы — это в основном элементы вектора, и любой вектор может быть представлен в терминах единичного вектора.

Поскольку единичные векторы имеют величину 1, единственная информация, которую они предоставляют относительно вектора, — это его направление. По этой причине единичные векторы также называют «векторами направления». Когда единичные векторы используются для масштабирования вектора, они предоставляют нам направление этого конкретного вектора.

Например, вектор v , показанный ниже, имеет величину 3, но этот вектор также может быть представлен в терминах единичного вектора a , величина которого равна 1, но его направление северо-восточное.

Единичные векторы используются для масштабирования векторов как в двух, так и в трехмерном

Направление единичных векторов

Единичный вектор любого вектора v обязательно должен существовать в том же направлении, что и вектор v .Это потому, что единичный вектор любого вектора действует как единица измерения вектора. Поскольку величина единичного вектора уже равна 1, это учитывает только направление вектора v.

Вот почему единичный вектор любого вектора v существует в том же направлении, что и вектор v. Так же, как компоненты вектора не являются реальными векторами, существующими в каком-либо месте. Точно так же единичный вектор физически не существует на плоскости. Его единственная цель — предоставить единицу измерения любому вектору и задать ему определенное направление.

Независимо от того, существует ли вектор в двумерной или трехмерной плоскости, вектор должен иметь соответствующий единичный вектор. Та же самая формула применяется для нахождения единичных векторов как в двух, так и в трех измерениях.

Направление единичных векторов в двух измерениях

В случае двумерной плоскости один компонент, единичный вектор, направлен вдоль оси x, а другой — вдоль оси y .

Нам хорошо известно, что только две оси, x и y, существуют в двух измерениях.2)

| v | = 3,6

Итак, вектор (ii) не является единичным вектором.

Как найти единичный вектор?

Поскольку единичные векторы известны только для определения направления любого вектора v, единичный вектор любого вектора v имеет то же направление, что и вектор v. может быть очевидно, что величина оказывается равной 1.

Мы уже обсуждали, что любой вектор может быть представлен в терминах его единичных векторов.Точно так же мы можем найти единичный вектор любого заданного вектора, имеющий то же направление, что и данный вектор.

Примеры могут усилить эту концепцию.

Проще говоря, мы можем заключить, что каждый вектор в двухмерной или трехмерной плоскости обязательно должен сопровождаться своим единичным вектором, отвечающим за отображение направления вектора.

Векторы могут существовать как в двухмерной, так и в трехмерной плоскости. Точно так же их единичные векторы также могут существовать в этих плоскостях.Каждый единичный вектор существует вдоль определенной оси, будь то x, y или z, и перпендикулярен остальным осям.

Формула для поиска единичных векторов

Для любого вектора v его соответствующая единица измерения, которая является его единичным вектором, существует в направлении, параллельном вектору v, и имеет величину 1. Этот единичный вектор может быть находится по следующей формуле:

Единичный вектор = вектор / величина вектора

u = v / | v |

Единичный вектор также может быть обозначен как u.

Мы можем суммировать нахождение единичного вектора в 4 основных шага:

1. Обратите внимание на вектор v с заданными компонентами вдоль каждой оси.
2. Найдите величину вектора v.
3. Разделите два параметра.
4. Проверьте величину полученного единичного вектора для подтверждения. 2)

   u = (2, 4, 1) / √21

   u = (2 / √21, 4 / √21, 1 / √21)

   Итак, u — искомый единичный вектор.2)

   | u | = √0,99

   | u | = 1

   Следовательно, доказано, что вектор u является единичным вектором v.

   Свойства единичного вектора

   Содержание этого раздела можно обобщить в свойствах единичного вектора следующим образом:

   1. Единичный вектор имеет величину 1.
   2. Единичные векторы используются только для определения направления вектора.
   3. Единичные векторы существуют как в двух, так и в трехмерной плоскости.
   4. Каждый вектор имеет единичный вектор в виде его компонентов.
   5. Ортопедические векторы вектора направлены по осям.
   6. Единичные векторы вектора перпендикулярны соответствующим единичным векторам того же вектора.
   Практические задачи
   1. Для данного вектора v проверьте, существует ли его единичный вектор: v = (1, 3) v = (2, -1, 4)
   2. Найдите единичный вектор следующего вектора: v = (-2, -4, -4)
   3. Найдите и покажите доказательством единичный вектор следующего вектора: v = (2, -5)
   4. Найдите и докажите единичный вектор следующего вектора: v = (1, -1)
   5. Найдите и покажите доказательством единичный вектор следующего вектора: v = (0, -4)
   Ответы
   1. Да, Да
   2. (-2/6, -4/6, -4/6)
   3. Нет
   4. Да
   5. Да
   Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

   Единичные векторы

   Вектор имеет как величину, так и направление.Единичный вектор — это вектор с величиной 1. В некоторых ситуациях полезно найти единичный вектор, который имеет то же направление, что и данный вектор.

   Единичный вектор v в том же направлении, что и v , можно найти, разделив v на его величину ∥v∥.

   ВЕКТОР ЕДИНИЦЫ:

   Если v ≠ 0 и ∥v∥ представляет величину вектора v, то его единичный вектор u равен:

   u = v∥v∥ = 1∥v∥v

   Единица измерения вектор u имеет длину 1 в том же направлении, что и v.

   Единичные векторы 〈1,0〉 и 〈0,1〉 являются специальными единичными векторами, называемыми стандартными единичными векторами и представлены векторами i и j следующим образом:

   i = 〈1,0〉 j = 〈0,1〉

   Любой вектор на плоскости может быть записан с использованием этих стандартных единичных векторов. V = 〈v1, v2〉 = v1i + v2j → Линейная комбинация

   Эта векторная сумма называется линейной комбинацией . Например, вектор v = 〈3,11〉 = 3i + 11j.

   Давайте рассмотрим несколько примеров.

   Для работы этих примеров требуется использование различных правил дифференциации. Если вы не знакомы с правилом, перейдите к соответствующей теме для обзора.

   Пример 1. Найдите единичный вектор u в том же направлении, что и v = 〈12, −9〉, и покажите, что он имеет величину 1.

   Шаг 1. Найдите величину v. Величина вектора вычисляется путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов его компонентов. v = 〈x, y〉 ∥v∥ = x2 + y2	v = 〈12, −9〉 || v || = 122 + (- 9) 2 ∥v∥ = 225 = 15
   Шаг 2: Рассчитайте единичный вектор. u = v∥v∥ = 1∥v∥v	u = v∥v∥ = 1∥v∥v u = 〈12, −9〉 15 = 115 〈12, −9〉 u = 〈1215, −915〉 = 〈45, −35〉
   Шаг 3: Покажите, что вектор u имеет величину 1. Величина вектора вычисляется путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов его компонентов. v = 〈x, y〉 ∥v∥ = x2 + y2	u = 〈45, −35〉 || u || = (45) 2 + (- 35) 2 || u || = 1625 + 925 = 2525 ∥u∥ = 1 = 1

   Пример 2: Если u = -3i + 2j и v = -i + 6j, найти 2u + 4v.

   Шаг 1. Найдите векторы 2u и 4v, используя скалярное умножение. kv = kv1, v2 = kv1, kv2 → Скалярное умножение	2u = 2 (−3i + 2j) = [2 · (−3i) +2 · 2j] 2u = −6i + 4j 4v = 4 (−i + 6j) = [4 · (−i) +4 · 6j] 4v = −4i + 24j
   Шаг 2: Складываем векторы 2u и 4v, используя сложение векторов. u + v = u1 + v1, u2 + v2 → Сложение векторов	2u + 4v (-6i + 4j) + (-4i + 24j) (-6i — 4i) + (4j + 24j) (-10i + 28j)

   Как найти единичный вектор в том же направлении, что и заданный вектор

   Когда вам нужно сформировать основу векторного пространства, вам нужно работать с единичным вектором.

   По сути, каждый вектор, который существует в пространстве, имеет линейную комбинацию векторов, которые мы называем единичными векторами Итак, когда дело доходит до определения единичного вектора, скалярное произведение двух векторов в евклидовом пространстве является скалярным значением, которое составляет к косинусу приложенного угла Этот угол обычно меньше.

   Единичный вектор обычно имеет длину «1». Чтобы получить этот вектор в направлении любого другого вектора, вам нужно разделить вектор «A» на его модуль. Итак, математически вы представите его в виде â.aˆ = a | a |.

   Кроме того, каждый ненулевой вектор имеет единичный вектор. Иногда мы называем его соответствующим вектором. Это потому, что этот вектор имеет то же направление и имеет величину «1». Итак, если вы хотите найти единичный вектор «U» любого вектора, вам нужно сосредоточиться на:

   V =

   Затем вам нужно разделить вектор, взяв его величину. Математически вы сделаете это следующим образом.

   U = V / | v |

   Имейте в виду, что в приведенной выше формуле используется скалярное умножение.Это потому, что знаменатель — это скаляр, а числитель — вектор. Скаляр представляет собой действительное число. Скаляр обычно масштабирует вектор. Проще говоря, он меняет значение или масштаб вектора.

   Приведем пример. Действительное число «3» масштабирует вектор «V» с коэффициентом «3». Итак, 3V втрое больше, чем V.

   Как найти единичный вектор?

   Сегодня мы находим множество онлайн-калькуляторов, запрограммированных на определение единичного вектора.Калькуляторы даже помогают шаг за шагом находить единичный вектор. Однако, чтобы узнать правила, вы должны найти его вручную. Это правило математики, которое мы предпочитаем и поощряем других. Таким образом, вы можете улучшить свои навыки расчета.

   Например, если вы хотите найти единичный вектор вектора «V» в том же направлении, что и его компоненты: V (вектор) = (2 — 1) V «вектор = (2, -1).

   Итак, первый шаг — использовать формулу для вычисления величины данного вектора.Далее вам нужно умножить вектор на обратную величину. Убедитесь, что обратная величина отрицательная. Кроме того, вычисление заключается в получении единичного вектора в противоположном направлении.

   Вы можете преобразовать вектор в другой вектор со значением длины «1» без изменения направления. Вы должны получить результат единичного вектора, разделив все элементы любого вектора на его величину.

   Какова формула единичного вектора?

   Вы можете вычислить единичный вектор любого произвольного вектора в той же дикции.Чтобы найти единичный вектор, вам нужно применить эту формулу.

   û = u / | u |

   В этой формуле «û» — это единичный вектор. Кроме того, мы представляем произвольный вектор с помощью «u», который имеет форму (x, y и z). Модуль вектора u, равный | u | представляет величину произвольного вектора. Итак, чтобы вычислить величину вектора, вам нужно использовать формулу или уравнение:

   | u | = √ (x² + y² + z²)

   Используя это уравнение, легко измерить величину вектора «u.«Самый простой способ — найти середину отрезка.

   Пример единичного вектора

   Например, мы хотим вычислить единичный вектор, значения которого равны (8, -2 и 5). Если вам нужен расчет для одного и того же направления, вам нужно записать компоненты вектора, такие как x, y и z. В этом примере у нас x1 = 8, y1 = -2 и z1 = 5. Вы можете вычислить величину вектора следующим образом.

   | u | = √ (x₁² + y₁² + z₁²)

   | u | = √ (8² + (-2) ² + 5²)

   | u | = √ (64 + 6 + 25)

   | u | = √95

   | u | = 9.74

   После определения величины следующим шагом является определение единичного вектора. Давайте сделаем это для того же примера на следующем шаге.

   Единичный вектор

   Когда у вас есть величина вектора «u», вы можете легко найти единичный вектор. Вам нужно разделить каждую из составляющих вектора на модуль вектора, то есть | u |.

   X₂ = 8 / 9,74 = 0,821

   Y₂ = -2 / 9,74 = — 0,20

   Z₂ = 5/9.74 = 0,51

   Итак, у вас есть результаты: 0,821, -0,20 и 0,51. Последний шаг — проверить результаты единичного вектора и определить, верны они или нет. Убедитесь, что величина вектора «u» равна 1. Таким образом, результаты будут точными.

   Что такое единица вектора?

   Единичные векторы — это векторов , величина которых равна точно 1 единиц .

   Как найти единичный вектор линии?

   Любой ненулевой вектор можно разделить на его длину, чтобы сформировать единичный вектор .Таким образом, для плоскости (или линии ) нормальный вектор можно разделить на его длину, чтобы получить вектор нормали единиц . Пример: для уравнения x + 2y + 2z = 9 вектор A = (1, 2, 2) является нормальным вектором . | A | = квадратный корень из (1 + 4 + 4) = 3.

   Как найти единичный вектор с учетом двух точек?

   Как узнать, является ли вектор единичным вектором?

   Чтобы найти единичный вектор с тем же направлением, что и данный вектор , мы делим вектор на его величину.Например, рассмотрим вектор v = (1, 4), который имеет величину | v |. Если , мы разделим каждую составляющую вектора v на | v | мы получим единичный вектор u _v , который находится в том же направлении, что и v.

   Что такое векторная формула?

   Величина вектора → PQ — это расстояние между начальной точкой P и конечной точкой Q. В символах величина → PQ записывается как | → PQ | . Если заданы координаты начальной и конечной точек вектора , можно использовать формулу расстояния , чтобы найти его величину.| → PQ | = √ (x2 − x1) 2+ (y2 − y1) 2.

   Какая формула для результирующего вектора?

   Результирующий вектор из более чем двух векторов

   Правила поиска результирующего из вектора или сложения более двух векторов можно продлить до любого числа из векторов . R = A + B + C + ………………………….

   Что такое вектор положения в математике?

   В геометрии вектор положения или вектор положения , также известный как вектор местоположения или вектор радиуса , является евклидовым вектором , который представляет положение точки P в пространстве по отношению к произвольная ссылка происхождения О.Обычно обозначаемый x, r или s, он соответствует отрезку прямой от O до P.

   Какова формула вектора вектора B?

   Мы можем использовать скалярное произведение, чтобы найти угол между двумя векторами , благодаря следующей формуле : a · b = | a | | b | cosq, где q — угол между a и b .

   Какова формула сложения двух векторов?

   К прибавьте или вычтите два вектора , прибавьте или вычтите соответствующие компоненты.Пусть → u = ⟨u1, u2⟩ и → v = ⟨v1, v2⟩ — два вектора . Сумма из двух или более векторов называется результирующим. Результат двух векторов может быть найден с использованием метода параллелограмма или метода треугольника.

   Как найти вектор минус вектор B?

   Вычтите из двух векторов , затем дайте величину и угол полученного вектора S. M = 10 м прямо на восток и N = 15 м прямо на север. Вычтите из двух векторов , а затем дайте величину и угол результирующего вектора . Для двух векторов A = (10, 2, 5) и M = (5, 0, -4), определяет вектор B = M — A.

   Какова формула вычитания двух векторов ?

   Чтобы вычесть два вектора , вы складываете их ноги (или хвосты, неострые части) вместе; затем нарисуйте результирующий вектор , который представляет собой разность двух векторов , из головы вектора вы вычитаете до головы вектора , из которого вычитаете .

   Как рассчитать разность векторов?

   Каково расстояние между двумя векторами?

   Расстояние между двумя векторами v и w — это длина от разности вектора v — w.

   Является ли позиция вектором?

   Позиция — это вектор , величина . У него есть как величина, так и направление. Величина вектора величина — это число (с единицами измерения), показывающее, какая часть количества существует, а направление указывает, в какую сторону оно указывает.

   Какова длина вектора?

   Длина вектора вектора — это квадратный корень из суммы квадратов горизонтальной и вертикальной составляющих. Если горизонтальный или вертикальный компонент равен нулю: если a a или b b равны нулю, тогда вам не нужна формула для длины вектора . В этом случае длина — это просто абсолютное значение ненулевого компонента.

   Как мне найти длину вектора?

   Величина — это длина вектора?

   Величина вектора — это длина вектора .Звездная величина вектора a обозначается как ∥a∥.

   Какая норма у двух векторов?

   Длина вектора обычно измеряется как «квадратный корень из суммы квадратов элементов», также известный как евклидова норма . Он называется нормой 2- , потому что он является членом класса норм , известного как р- нормы , обсуждаемого в следующем разделе.

   Вам нравится эта статья?

   Калькулятор векторов единиц — Calculator Academy

   Введите координаты X, Y и Z вашего вектора, чтобы вычислить эквивалентный единичный вектор как отношение величины этого вектора.Этот калькулятор также вычисляет величину исходного вектора и угол вектора.

   Формула единичного вектора

   Формула единичного вектора выглядит следующим образом:

   u = U / | U |

   • Где u — единичный вектор,
   • U — исходный вектор,
   • и | U | — величина исходного вектора

   Определение единичного вектора

   Единичный вектор — это эквивалентный вектор исходного вектора, имеющий величину 1.Другими словами, он имеет то же направление, что и ваш исходный вектор, но общая величина равна единице. Поскольку единичный вектор — это исходный вектор, деленный на величину, это означает, что его можно описать как направленный вектор. Следовательно, если у вас есть вектор направления и величина, вы можете вычислить фактический вектор.

   Как вычислить единичный вектор

   Теперь мы рассмотрим пример того, как можно вычислить единичный вектор из вектора нормали. Возьмем вектор u = (5, -4,2).

   1. Сначала вы должны вычислить величину вектора. Это делается по следующей формуле. | u | = √ (x₁² + y₁² + z₁²)
   2. Вставьте значения в формулу выше, и вы должны получить 6,708.
   3. Затем вам нужно разделить каждую точку единичного вектора на величину. Это связано с тем, что единичный вектор имеет величину 1. Это правило достигается делением исходного вектора на его величину.
   4. Это должно дать X = 0,706, Y = — 0,596, Z = 0,298
   5. Проверьте результат с помощью калькулятора выше.

   Теперь вы знаете, как вычислить единичный вектор, но что произойдет, если вектор задан как две точки и ни одна из них не находится в начале координат? В этом случае шаги для решения единичного вектора немного отличаются. Возьмем вектор с точками (7,8,9) и (2,5,1)

   1. Во-первых, вы должны понять, что вектор, как упоминалось ранее, описывает направление и величину. Поскольку оба эти значения не зависят от позиции, вы можете манипулировать вектором, чтобы переместить его в начало координат.
   2. Теперь, когда вы это знаете, вы можете поместить вектор в начало координат, просто вычитая один вектор из другого.В этом случае (7,8,9) — (2,5,1) = (5,3,8). Вы просто вычитаете каждую координатную точку из другой.
   3. Теперь, когда у вас есть вектор, помещенный в начало координат, выполните шаги 1–5 сверху, и у вас есть единичный вектор!

   Безразмерны ли единичные векторы?

   Единичные векторы безразмерны и безразмерны. Они представляют собой безразмерное представление направления вектора с величиной 1. Умножение единичного вектора на величину даст исходный вектор.

   Всегда ли единичные векторы положительны?

   Единичный вектор может иметь отрицательные компоненты, если в исходном векторе есть отрицательные компоненты. Например, если есть вектор единиц (-2, -2), то единичный вектор будет (-.707, -. 707).

   Всегда ли единичные векторы перпендикулярны?

   Единичные векторы не всегда перпендикулярны, фактически, единичные векторы всегда параллельны и касаются исходного вектора.

   Могут ли единичные векторы быть дробями?

   Единичные векторы могут быть выражены дробями.В приведенном выше примере единичного вектора (-707, -. 707) они могут быть выражены в виде дробей (-707 / 1000, -707 / 1000).

   Может ли единичный вектор быть больше единицы?

   Нет, единичный вектор должен иметь величину 1, чтобы считаться единичным вектором. Кроме того, ни один отдельный компонент единичного вектора не может быть больше или равным 1.

   Есть ли направление у единичных векторов?

   Да, единичные векторы имеют направление, равное исходному вектору, но с величиной, равной единице. То есть они имеют тот же угол, что и исходный вектор.

   Имеют ли единичные векторы величину?

   Да, у единичных векторов есть величина. Его величина всегда равна 1.

   .

   Каков единичный вектор вдоль i j?

   Единичный вектор вдоль I j — это единичный вектор, исходный вектор которого описывается в пространстве I и j. Часто пространство i и j можно заменить вместо x и y.

   FAQ

   Что такое единичный вектор?

   Единичный вектор — это эквивалентный вектор исходного вектора, имеющий величину 1

   векторов — Механика — Математика A-Level, редакция

   Векторная величина имеет как величину, так и направление.Ускорение, скорость, сила и перемещение — все это примеры векторных величин. Скалярная величина имеет величину, поэтому направление не имеет значения (например, скорость, время и расстояние). Скаляр также может иметь знак (например, выполненная работа и начисление).

   Векторы обычно представлены следующим образом:

   Стрелка показывает направление, а число (в данном случае v) представляет величину.

   Буквы, используемые для обозначения векторов, всегда должны быть подчеркнуты или выделены жирным шрифтом.Например, скорость объекта может быть представлена ​​как v . Поскольку это векторная величина, она выделена жирным шрифтом. Строчные буквы обычно используются для обозначения векторов.

   Единичные векторы

   Единичный вектор — это вектор, который имеет величину 1. Обычно используются три важных единичных вектора, и это векторы в направлении осей x, y и z. Единичный вектор в направлении оси x равен i , единичный вектор в направлении оси y равен j , а единичный вектор в направлении оси z равен k .

   Запись векторов в этой форме может облегчить работу с векторами.

   Например, вектор 5 i — 3 j на диаграмме будет выглядеть примерно так:

   Добавление векторов

   Если два вектора складываются вместе, результат находится путем размещения добавляемых векторов встык. Если векторы заданы в форме единичного вектора, вы просто складываете значения i , j и k .

   Пример

   p = 3 i + j , q = -5 i + j . Найдите p + q .

   Поскольку векторы заданы в форме i , j , мы можем легко вычислить результат. 3 i + j — 5 i + j = -2 i + 2 j

   Это также могло быть получено из диаграммы:

   Величина вектора

   Величину вектора можно найти с помощью теоремы Пифагора.

   Разрешение вектора

   Разрешение вектора означает определение его величины в определенном направлении.

   На приведенной выше диаграмме вектор r имеет величину r и направление j относительно оси x. Используя базовую тригонометрию, мы можем вычислить, что составляющая r в направлении оси x равна rcosj. Компонент в направлении оси y равен rsinj. Следовательно, r = rcosj i + rsinj j .

   Точечное произведение и нормали к линиям и плоскостям

   Точечное произведение и нормали к линиям и плоскостям

   Точечное произведение и нормали к линиям и плоскостям

   Уравнение прямой в форме ax + by = c может быть записано как скалярное произведение:

   (а, б) ^. (х, у) = с, или А ^. Х = с,

   где A = (a, b) и X = (x, y).

   Уравнение прямой в виде ax + by + cz = d можно записать в виде точки товар:

   (а, б, в) ^. (x, y, z) = d или A ^. X = d,

   где A = (a, b, c) и X = (x, y, z).

   ---

   Вектор нормали A

   Если P и Q находятся в плоскости с уравнением A ^. X = d, тогда A ^. P = d и A ^. Q = d, поэтому

   А ^. (Q — P) = d — d = 0,

   Это означает, что вектор A ортогонален любому вектору PQ между точками P и Q плоскости.

   Но вектор PQ можно рассматривать как касательный вектор или вектор направления. самолета. Это означает, что вектор A ортогонален плоскости, то есть A ортогонален каждому вектору направления плоскости.

   Ненулевой вектор, ортогональный векторам направления плоскости, называется вектор нормали к плоскости . Таким образом, вектор коэффициентов A является нормальным вектор на плоскость.

   Это также означает, что вектор OA ортогонален плоскости, поэтому прямая OA перпендикулярно плоскости.

   Осторожно: Неверно, что для любой точки P на плоскости A ортогональна. в P (если d = 0).

   Упражнение: Покажите, что если A — нормальный вектор к плоскости, а k — ненулевое значение, константа, то kA также является нормальным вектором к той же плоскости.

   Обсуждение: Для любой плоскости вектор 0 ортогонален всем направлениям векторы плоскости?

   Упражнение на линиях на плоскости: То же самое рассуждение работает и для линий.На миллиметровой бумаге постройте линию m с уравнением 2x + 3y = 6, а также нанесите точку А = (2,3). Убедитесь, что линии OA и m перпендикулярны. Также постройте линию 2x + 3y = 0. Как эта линия связана с m и OA? Наконец, найдите уравнение для линия OA. Что такое нормальный вектор для этой линии?

   Пример: поиск плоскости при известной нормали . Предположим, что A = (1, 2, 3). Найдите уравнение плоскости через P = (1, -1, 4) с нормалью вектор А.

   Решение: Уравнение должно быть (1, 2, 3) ^. X = d для некоторой постоянной d. Но поскольку P находится на плоскости, если мы положим X = P, мы должен получить правильное значение d. Таким образом, d = (1, 2, 3) ^. (1, -1, 4) = 1-2 + 12 = 11. Уравнение: A ^. Х = 11.

   ---

   Единичный вектор нормали

   Единичный вектор — это вектор длины 1. Любой ненулевой вектор можно разделить. по его длине, чтобы сформировать единичный вектор.Таким образом, для плоскости (или линии) нормальный вектор можно разделить на его длину, чтобы получить единичный вектор нормали.

   Пример: Для уравнения x + 2y + 2z = 9, вектор A = (1, 2, 2) — нормальный вектор. | A | = квадратный корень из (1 + 4 + 4) = 3. Таким образом, вектор (1/3) A — единичный вектор нормали к этой плоскости. Кроме того, (-1/3) A — это единичный вектор.

   Единичные нормальные векторы: (1/3, 2/3, 2/3) и (-1/3, -2/3, -2/3)

   Упражнение: Найдите единичный вектор нормали к плоскости с помощью уравнения -2x. -4y -4z = 0.Как это связано с примером? Не могли бы вы использовать этот пример, чтобы найти агрегат нормальный в этом случае?

   Упражнение на линиях на плоскости: Продолжаем линию m с уравнением 2x + 3y = 6, найдите единичные векторы нормали для этой прямой. Также найдите нормальный агрегат вектор для линии OA. Ищите отношения.

   ---

   Уравнения линий в пространстве

   Мы видели, что одно уравнение имеет вид A ^. X = h определяет линию на плоскости или плоскость в 3-м пространстве.В любом случае мы можем мотивируйте это неформально, говоря, что пространство решений имеет размерность на единицу меньше, чем размер вмещающего пространства.

   Эта интуитивно понятная идея воплощена в строгой линейной алгебре во всех измерениях. курс.

   Линия в пространстве не может быть задана одним линейным уравнением, так как для любого ненулевого вектора A, такое уравнение имеет плоскость в качестве решения.

   Но линия — это пересечение двух плоскостей, поэтому, если у нас есть две такие плоскости, с двумя уравнениями A ^. X = h и B ^. X = k, то набором решений обоих уравнений вместе является прямая. Наоборот, если у нас есть два таких уравнения, у нас есть две плоскости. Две плоскости могут пересекаться в линию, или они могут быть параллельны или даже в одной плоскости.

   Нормальные векторы A и B ортогональны векторам направления прямая, и фактически вся плоскость, проходящая через O, которая содержит A и B, является плоскостью перпендикулярно линии.

   ---

   Векторы нормали и векторное произведение

   Для двух векторов A и B векторное произведение A x B ортогонально обоим векторам A и B. Это очень полезно для построения нормалей.

   Пример (Пример плоского уравнения пересмотрено) Учитывая, что P = (1, 1, 1), Q = (1, 2, 0), R = (-1, 2, 1). Найдите уравнение плоскости через эти точки.

   Во-первых, вектор нормали — это произведение двух векторов направления на самолет (не оба в одном направлении!).

   Пусть один вектор имеет вид PQ = Q — P = (0, 1, -1), а другой — PR = R — P = (-2, 1, 0). Перекрестное произведение

   (Q — P) x (R — P) = (1, 2, 2) = нормальный вектор A, и уравнение A ^. X = d для некоторого d

   Используя метод из приведенного выше примера, мы можем найти d = A ^. P = 5. Таким образом, уравнение A ^. X = 5, что совпадает с одним из уравнений в предыдущем примере.

   Упражнение. Проверьте, что для этого A, A ^. Вопросы и ответы ^. R тоже = 5. Почему так?

   Упражнение. Найдите нормаль единицы для этой плоскости. Какое уравнение, если А выбрана единица нормальная?

   ---

   Двугранные углы и векторы нормали

   Для двух плоскостей величина двугранного угла между двумя плоскостями. определяется как мера угла, образованного пересечением двух плоскостей с другой плоскостью, ортогональной линии пересечения.(Есть два угла — пара дополнительных уголков.)

   Угол между нормальными направлениями двух плоскостей одинаков. как мера двугранных углов, поэтому двугранный угол может быть измерен взяв скалярное произведение нормальных направлений и используя косинус Теорема для точечных произведений.

   Артикул:

   Mathworld: Двугранный Уголки

   Mathforum: Октаэдр

   ---

   Артикул:

   Нормальный векторы и уравнения в Техасе A&M

   ---

   Вернуться к индексу векторных координат

   .