1 Основы дисциплины

1.2 Представление информации в цифровых устройствах

     В повседневной жизни мы обычно пользуемся десятичной системой счисления. Это позиционная система счисления, которая имеет 10 арабских цифр от 0 до 9 и, следовательно, основание 10. Т. е. число 6235,89 в десятичной системе счисления представляется выражением

     или в общем виде

     где , — коэффициенты, принимающие значения 0, 1, 2 … 9.

     Цифровые системы оперируют двумя значениями сигнала — логические 0 и 1. Следовательно, для математического представления значений дискретных переменных в цифровых системах используется двоичная система счисления — позиционная система счисления, которая имеет 2 арабских цифры 0 и 1 и, следовательно, основание 2.

     Т. е. двоичное число 1001,01 в двоичной системе счисления представляется выражением

(1.1)

     или в общем виде

(1. 2)

     где , — коэффициенты, принимающие значения 0, 1.

     Для определения десятичного эквивалента данного числа достаточно подсчитать сумму произведений в выражении (1.1).

     Для перевода числа из десятичной системы счисления в двоичную можно воспользоваться делением десятичного числа на основание 2 и записывать остатки от деления в обратном порядке, а можно воспользоваться другим способом, вытекающим из выражения (1.2). В таблице 1.1 представлен пример перевода числа (171,75) в двоичную систему счисления.

Таблица 1.1 — Перевод десятичного числа в двоичное по степеням двойки

     Способ состоит в подборе тех степеней двойки, которые в сумме дают исходное десятичное число. В позиции этих степеней подставляются единицы (голубые столбцы), остальные позиции заполняются нулями (белые столбцы). Старший разряд расположен слева, как и в других позиционных системах счисления. В нашем примере (171,75) = (10101011,11) . Поскольку далее будут использоваться небольшие десятичные целые числа, такой способ перевода их в двоичные эквиваленты является наиболее удобным. Аналогичным образом выполняется обратное преобразование. Т. е. для перевода двоичного числа в десятичное необходимо складывать степени двойки, соответствующие позициям с единичными значениями. В нашем примере

     При работе с цифровыми системами часто приходится иметь дело с восьмиричной и шестнадцатиричной системами счисления. Так как и , каждая восьмиричная цифра соответствует трем бинарным, а каждая шестнадцатиричная цифра соответствует четырем бинарным цифрам. Переход от двоичной к восьмиричной системе счисления выполняется разделением двоичной последовательности на группы из трех цифр (триад), начиная от запятой влево и вправо от нее, и заменой каждой из групп одной восьмиричной цифрой 0, 1, …, 7. Следующий пример иллюстрирует данное правило.

     Конвертация двоичного кода в шестнадцатиричный аналогична, за исключением того, что двоичный код разделяется на группы из четырех единиц (тетрады), которые заменяются шестнадцатиричными знаками

     Следующий пример иллюстрирует данное правило.

     Процедура получения двоичного кода из восьмиричного (шестнадцатиричного) обратна выше упомянутой. Каждая цифра восьмиричного (шестнадцатиричного) кода заменяется на двоичную триаду (тетраду). Это иллюстрирует следующий пример:

     Человеку трудно работать с двоичными числами, потому что они в три, четыре раза длиннее десятичных эквивалентов. Например, двоичное число 111111111111 имеет десятичный эквивалент 4095. Однако цифровые компьютеры используют двоичные числа, а человеку приходится иногда связываться с компьютером посредством бинарных чисел (через переключатели, световые индикаторы или посредством программ, написанных на машинно-ориентированных языках). В этом случае с помощью специальных преобразователей человек может получать двоичную информации в восьмиричном или шестнадцатиричном коде. Подразумевается, что в случае необходимости, пользователь сам перейдет к двоичному коду. Это делается весьма просто и к тому же размер восьмиричного (шестнадцатиричного) кода гораздо меньше двоичного — = = — 3, 4 символа воспринимаются человеком комфортнее, чем 12.

     В таблице 1.2. представлены десятичные, двоичные, восьмиричные и шестнадцатиричные коды некоторых чисел.

Таблица 1.2 — Числа различных систем счисления

     Часто в компьютерных системах используются двоично-десятичные коды (двоичное кодированное представление чисел — BCD (Binary coded decimal)), например в арифметических операциях. Для представления цифры в таком коде необходимо 4 двоичных разряда. В таблице 1.3 приведены примеры некоторых двоично-десятичных кодов десятичных цифр.

Таблица 1.3 — Примеры двоично-десятичных кодов

     Десятичная цифра в двоично-десятичном коде с весами 8421 (взвешенный код) представляется обычным четырехзначным двоичным эквивалентом:

     Десятичная цифра в двоично-десятичном коде с весами 8421+3 (невзвешенный код) представляется четырехзначным двоичным эквивалентом, который увеличен на .

     Двоично-десятичный код с весами 84-2-1 (взвешенный код с двумя отрицательных весами) цифры имеет вид 1001:

     При переводе десятичного числа в двоично-десятичное число каждая цифра десятичного числа заменяется ее четырехразрядным двоично-десятичным эквивалентом. Например, десятичное число 395 в двоично-десятичном коде с весами 8421 представляется как 12-разрядное число 0011 1001 0101. Цифре 3 соответствует тетрада 0011, цифре 9 — 1001, цифре 5 — 0101. Код содержит 12 бит в отличие от его двоичного эквивалента, который содержит 9 бит и имеет вид 110001011.

     Также часто используется унитарный двоичный код. Это код, содержащий одну единицу и остальные нули или, содержащий один нуль и остальные единицы. Для представления десятичных цифр 0, 1, … 9 необходим десятиразрядный унитарный код. Каждый разряд такого кода соответствует определенной десятичной цифре. Например, нулю будет соответствовать код 0000000001, единице — 0000000010, а девятке — 1000000000.

     Для представления отрицательных чисел используются дополнительный и обратный коды. Существую специальные форматы для представления двоичных кодов с фиксированной и плавающей точкой. При получении помехоустойчивых кодов используют разного рода избыточности.