дуга — это… Что такое дуга?

ДУГА — жен. согнутая линия, черта или вещь, образующая кривизну, погиб; часть окружности круга или другой кривой черты, и пр. элипса, параболы. | ·стар. и сев. радуга. | В оглобельной упряжи, деревянная, согнутая крутым лучком тугая распорка между… …   Толковый словарь Даля

Дуга — Дуга: В математике Дуга (геометрия) участок кривой между двумя её точками. Дуга окружности  кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками. Дуга (теория графов) Другое Дуга (география) Дуга (анатомия) Дуга (физика) Дуга… …   Википедия

дуга — и; мн. дуги; ж. 1. Часть окружности или какой л. другой кривой линии в виде полукруга. Ракета описала в небе дугу. Соединить дугой. // О том, что имеет форму кривой, изогнутой линии. Д. лука. Тёмные дуги бровей. Радуга дуга. На повороте река… …   Энциклопедический словарь

ДУГА — ДУГА, дуги, мн. дуги, дугам, жен. 1. Принадлежность упряжи из круто изогнутого ствола тонкого дерева, концы которого вдеваются в гужи для скрепления оглобель с хомутом. «Дуги гнут с терпеньем и не вдруг.» Крылов. 2. Часть окружности круга или… …   Толковый словарь Ушакова

ДУГА — ДУГА, и, мн. дуги, дуг, дугам, жен. 1. Часть кривой линии, заключенная между двумя её точками, то, что имеет вид такой линии. Д. радуги. Ветка согнулась дугой. Брови дугой. 2. Круто изогнутая деревянная часть упряжки, скрепляющая оглобли с… …   Толковый словарь Ожегова

дуга — укр. дуга, также радуга , болг. дъга радуга , сербохорв. дуга, словен. dǫga, чеш., слвц. duha, польск. dęga, dąga. Родственно лтш. dañga выбоина, колдобина , dañdzis венец, обод колеса из цельного куска (курземские элементы), лит. dangùs,… …   Этимологический словарь русского языка Макса Фасмера

дуга — См. кривизна согнуть в дугу… Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. дуга цата, прилука, ортодромия, кривизна, упряжь, сгиб, арка, кружало, ортодрома Словарь русских синонимов …   Словарь синонимов

дуга — ДУГА, и, ж. и в зн. сказ. Конец, провал, крах, фиаско, неудача. Всё, мне дуга! дуга нашему мероприятию. См. также Пьяный в дугу …   Словарь русского арго

ДУГА — ДУГА, часть кривой. Для круга радиусом r длина (s) дуги этого круга, имеющей p градусов, задается выражением s = 2pr3q/360. Если угол измеряется в РАДИАНАХ, длина дуги задается произведением радиуса и угла, т.е. s = rq. Говорят, что дуга… …   Научно-технический энциклопедический словарь

ДУГА — (Voltaic arc) сокращенное название вольтовой дуги. Самойлов К. И. Морской словарь. М. Л.: Государственное Военно морское Издательство НКВМФ Союза ССР, 1941 ДУГА (астр.) нижние части шпангоутов (флортимберсы), обделанные и собранные для установки… …   Морской словарь

дуга — (Arc)     Сегмент кривой, как правило, в виде соединительного штриха [горизонтальная или наклонная линия, соединяющая основные штрихи] в круглых и овальных формах. Бреве, Дуга (Breve)     Один из верхних акцентов [надстрочный или подстрочный… …   Шрифтовая терминология

Дуга (геометрия) — это… Что такое Дуга (геометрия)?

Дуга (геометрия)

Дуга — связное подмножество окружности.

Свойства

*Длина дуги L радиуса R с центральным углом alpha, измеренным в радианах, вычисляется по формуле: L=Ralpha

Wikimedia Foundation. 2010.

• WASD
• Улица Воздвиженка

Смотреть что такое «Дуга (геометрия)» в других словарях:

• Дуга — Дуга: В математике Дуга (геометрия) участок кривой между двумя её точками. Дуга окружности  кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками. Дуга (теория графов) Другое Дуга (география) Дуга (анатомия) Дуга (физика) Дуга… …   Википедия

• Геометрия — (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… …   Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

• АФФИННАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ — раздел геометрии, изучающий дифференциально геометрич. свойства кривых и поверхностей, сохраняющиеся при преобразованиях аффинной группы или ее подгрупп. Наиболее полно изучена дифференциальная геометрия эквиаффинного пространства. В эквиаффинной …   Математическая энциклопедия

• РИМАНОВА ГЕОМЕТРИЯ — теория риманова пространства. Р и м а н о в ы м п р о с т р а н с т в о м наз. n мерное связное дифференцируемое многообразие М п, на к ром задано дифференцируемое поле ковариантного, симметрического и положительно определенного тензора gранга 2 …   Математическая энциклопедия

• Сферическая геометрия —         математическая дисциплина, изучающая геометрические образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрические образы, находящиеся на плоскости.          Всякая плоскость, пересекающая сферу, даёт в сечении… …   Большая советская энциклопедия

• Хорда (геометрия) — У этого термина существуют и другие значения, см. Хорда. 1 секущая, 2 хорда …   Википедия

• СФЕРИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ — математич. дисциплина, изучающая геометрич. образы, находящиеся на сфере, подобно тому как планиметрия изучает геометрич. образы, находящиеся на плоскости. Всякая плоскость, пересекающая сферу, дает в сечении нек рую окружность; если секущая… …   Математическая энциклопедия

• ГЕОДЕЗИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ

  — геодезиче ская, геометрическое понятие, обобщающее понятие прямой (или отрезка прямой) евклидовой геометрии на случай пространств более общего вида. Определения Г. л. в различных пространствах зависят от того, какая из структур (метрика, линейный …   Математическая энциклопедия

• Декарт Рене — (Descartes) (латинизир.  Картезий; Cartesius) (1596 1650), французский философ, математик, физик и физиолог. С 1629 в Нидерландах. Заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввёл многие алгебраические… …   Энциклопедический словарь

• Жорданова кривая — Кривая или линия  геометрическое понятие, определяемое в разных разделах геометрии различно. Содержание 1 Элементарная геометрия 2 Параметрические определения 3 Кривая Жордана …   Википедия

Длина дуги окружности. Центральный угол окружности. Дуга большого круга.

В той статье мы узнаем что такое дуга окружности, центральный угол, измерение дуги окружности.

Дуга окружности

Дуга — это любая связанная часть окружности круга. На рисунке ниже часть окружности от \(M\) до \(N\) образует дугу. Она называется \(\smile\) \(MN\).

Дуга может быть малой дугой, полукругом или большой дугой. Полукруг — это дуга, равная половине круга. Малая дуга — это дуга, которая меньше полукруга. Большая дуга — это дуга, которая больше полукруга.

Центральный угол
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности. Например угол \(∠NAM\):

 

Дуга круга, угол

На приведенной выше диаграмме центральный угол для дуги \(MN\) равен \(45°\).

Сумма центральных углов в любой окружности равна \(360°\). Мера полуокружности равна \(180°\).

Мера малой дуги равна мере центрального угла, который перехватывает дугу. Можно также сказать, что мера малой дуги равна мере центрального угла, который подтягивается дугой. На диаграмме ниже мера дуги \(MN\) равна \(45°\):

 

Мера главной дуги равна \(360°\).

 

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

Белорусский государственный университет

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. В первую очередь, педагог должен быть мотиватором для своих учеников для достижения собственных целей. Мои ученики руководствуются правилом — «Я хочу, значит я этого добьюсь». Использую индивидуальный подход в обучении. Хорошее образование — лучший вклад в будущее вашего ребёнка!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Одесский национальный университет им. И. И. Мечникова

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-9 классов. Закончила университет с красным дипломом, аспирантуру. Почему я люблю математику? Во-первых, в математике все просто: если получил правильный ответ, то правильным он будет всегда. Если вы мыслите верно, то какими бы вы способами не решали, они все ведут к одному — правильному решению. И всегда можно доказать и проверить правильность ответа. Во- вторых, математика сближает людей, это международный язык. Математические формулы, символы, знаки будут понятны человеку, не владеющим языком, на котором говорите вы. В-третьих, люблю ее за постоянство во времени и независимость от расстояния. Математические законы, теоремы, понятия как были справедливы много тысяч лет назад и в любой стране мира, так и будут всегда соблюдаться. В-четвертых, математика — это не сухие формулы, законы и понятия, а она основана, как и физика, на наблюдениях окружающего мира, она отражает реальность. Математика — это язык, на котором написана книга природы. И, в-пятых, математика тренирует ум, развивает пространственное воображение и способность мыслить логически. Возможно, многое из того что мы изучаем никогда и не пригодится. Но… Математика — это гимнастика для ума. С ее помощью очень хорошо тренировать свои умственные способности. А это уж точно понадобится в жизни!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Фрунзенский политехнический институт

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-8 классов. Математика — царица наук. Её точностью, логичностью и завершенностью можно только восхищаться. Каждый ребенок уникален, нужно только помочь ему проявиться. В этой помощи я вижу свою задачу. Поэтому уделяю большое внимание мотивации ребенка и работе со сложными вопросами. С нетерпением жду встречи с Вами!

Решение уравнений

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Функция

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Формулы длины дуги. Длина дуги формула.

        Длина дуги — это расстояние вдоль части окружности, которая образует дугу. \(NM-\)длина дуги.

Измерение дуги в градусах

         Длину окружности можно рассчитать следующим образом. Надо вычислить длину окружности, а затем умножить на меру дуги и

         разделить  полученный результат на \(360°\). Не забываем мера дуги равна величине центрального угла. Формулы длины дуги окружности:

   \(L=\frac{2π r n}{​​360°}=\frac{π r n}{180°} \)

         где \(r\)-радиус окружности, а \(m\)-мера дуги (или центрального угла) в градусах.

 

---

Если измерение дуги (или центрального угла) задано в радианах, то формула для длины дуги окружности является произведением радиуса и измерения дуги.

 

\(L= r × m\)

где \(r\)-радиус окружности, а \(m\)-мера дуги (или центрального угла) в градусах.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Запишитесь на бесплатное тестирование знаний!

Наши преподаватели

Оставить заявку

Репетитор по математике

МГУ им. Н.П. Огарева

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 3-8 классов с опытом работы учителем математики в гимназии. С детства я испытывала огромное уважение к профессии учителя и уже в школе точно знала, что буду учителем математики. Я очень люблю свою работу и с радостью поделюсь своим опытом и знаниями со своими учениками, помогу им освоиться в этой невероятно увлекательной науке. Уверена, что в изучении математики важен не только результат, но и сам процесс. С каждым ребенком мы уверенно дойдем к поставленной цели в дружелюбной обстановке и отличном настроении. До встречи на занятиях!

Оставить заявку

Репетитор по математике

Санкт-Петербургский политехнический университет им. Петра Великого

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 1-10 классов. . Нахожу общий язык с учеником. К каждому индивидуальный подход. С удовольствием помогу разобраться с математикой в приятной учебной атмосфере. Занимаюсь подготовкой учеников к ОГЭ, помогаю подтянуть программу средней школы , разобрать домашние задания, подготовиться к контрольным, устранить пробелы по уже изученным темам.

Оставить заявку

Репетитор по математике

Брестский государственный университет им. А.С. Пушкина

Проведенных занятий:

Форма обучения:

Дистанционно (Скайп)

Репетитор 5-11 классов. Объясню простым языком даже самую сложную тему. Люблю математику и покажу как она прекрасна. Считаю, что всему можно научить, нужно лишь желание, время и преподаватель, способный заинтересовать ребенка.

Математика 11 класс

• — Индивидуальные занятия
• — В любое удобное для вас время
• — Бесплатное вводное занятие

Похожие статьи

Центральный и вписанный угол, свойства

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают ее.

На рисунке — центральные и вписанные углы, а также их важнейшие свойства.

Итак, величина центрального угла равна угловой величине дуги, на которую он опирается.
Значит, центральный угол величиной в градусов будет опираться на дугу, равную , то есть круга. Центральный угол, равный , опирается на дугу в градусов, то есть на шестую часть круга.

Величина вписанного угла в два раза меньше центрального, опирающегося на ту же дугу.

Также для решения задач нам понадобится понятие «хорда».

Равные центральные углы опираются на равные хорды.

1. Чему равен вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности? Ответ дайте в градусах.

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Ответ: .

2. Центральный угол на больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.

Пусть центральный угол равен , а вписанный угол, опирающийся на ту же дугу, равен .

Мы знаем, что .
Отсюда ,
.

Ответ: .

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

3. Радиус окружности равен . Найдите величину тупого вписанного угла, опирающегося на хорду, равную . Ответ дайте в градусах.

Пусть хорда равна . Тупой вписанный угол, опирающийся на эту хорду, обозначим .
В треугольнике стороны и равны , сторона равна . Нам уже встречались такие треугольники. Очевидно, что треугольник — прямоугольный и равнобедренный, то есть угол равен .
Тогда дуга равна , а дуга равна .
Вписанный угол опирается на дугу и равен половине угловой величины этой дуги, то есть .

Ответ: .

4. Хорда делит окружность на две части, градусные величины которых относятся как . Под каким углом видна эта хорда из точки , принадлежащей меньшей дуге окружности? Ответ дайте в градусах.

Главное в этой задаче — правильный чертеж и понимание условия. Как вы понимаете вопрос: «Под каким углом хорда видна из точки ?»
Представьте, что вы сидите в точке и вам необходимо видеть всё, что происходит на хорде . Так, как будто хорда — это экран в кинотеатре 🙂
Очевидно, что найти нужно угол .
Сумма двух дуг, на которые хорда делит окружность, равна , то есть

Отсюда , и тогда вписанный угол опирается на дугу, равную .
Величина вписанного угла равна половине угловой величины дуги, на которую он опирается, значит, угол равен .

Ответ: .

---

Что называется хордой окружности в математике и геометрии: определение, основные свойства

Хорда в переводе с греческого означает «струна». Это понятие широко применяется в разных областях науки — в математике, биологии и других.

В геометрии для термина определение будет следующим: это отрезок прямой линии, который соединяет между собой две произвольные точки на одной окружности. Если такой отрезок пересекает центр кривой, она называется диаметром описываемой окружности.

…

Вконтакте

Facebook

Twitter

Google+

Мой мир

Как построить геометрическую хорду

Чтобы построить этот отрезок, прежде всего необходимо начертить круг. Обозначают две произвольные точки, через которые проводят секущую линию. Отрезок прямой, который располагается между точками пересечения с окружностью, называется хордой.

Это интересно: в геометрии луч — это что такое, основное понятие.

Если разделить такую ось пополам и из этой точки провести перпендикулярную прямую, она будет проходить через центр окружности. Можно провести обратное действие — из центра окружности провести радиус, перпендикулярный хорде. В этом случае радиус разделит её на две идентичные половины.

Если рассматривать части кривой, которые ограничиваются двумя параллельными равными отрезками, то эти кривые тоже будут равными между собой.

Свойства

Существует ряд закономерностей, связывающих между собой хорды и центр круга:

1. Если расстояния от хорд до центра равны между собой, то такие хорды тоже равны между собой.
2. Существует также обратная зависимость — если длины отрезков равны между собой, то расстояния от них до центра тоже будут равными.
3. Чем большую длину имеет стягивающий отрезок прямой, тем меньше расстояние от него до центра окружности. И наоборот, чем она меньше, чем расстояние от указанного отрезка до центра описываемого круга больше.
4. Чем больше расстояние от «струны» до центра, тем меньше длина этой оси. Справедливой будет также и обратная взаимосвязь — чем меньше расстояние от центра до хорды, тем больше длина.
5. Хорда в геометрии, которая имеет максимально возможную для этой окружности длину, называется диаметром круга. Такая ось проходит через центр и делит её на две равные части.
6. Отрезок с наименьшей длиной представляет собой точку.
7. Если ось представляет собой точку, то расстояние от неё до центра круга будет равняться радиусу.

Это интересно: разность векторов, определение разности.

Взаимосвязь с радиусом и диаметром

Вышеуказанные математические понятия связаны между собой следующими закономерностями:

1. Если описываемый отрезок не является диаметром этого круга, и этот диаметр делит его пополам, то эта ось и диаметр перпендикулярны между собой.
2. С другой стороны, диаметр, который перпендикулярен любой произвольной стягивающей, делит её на две равные части.
3. Если ось не является диаметром, и последний делит её на две равные части, то он делит пополам и обе дуги, которые стянуты этим отрезком.
4. Если диаметр делит на две одинаковые части дугу, то этот же диаметр делит пополам отрезок, который эту дугу стягивает.
5. Если диаметр строго перпендикулярен описываемой величине, то он делит на две половины каждую дугу, которую ограничивает эта линия.
6. Если диаметр круга делит пополам отрезок кривой, то он располагается перпендикулярно оси, которая этот отрезок стягивает.

Хорда и радиус

Между этими понятиями существуют следующие связи:

1. Если стягивающий отрезок не служит диаметром круга, и радиус разделяет её пополам, то такой радиус является перпендикулярным ей.
2. Существует также обратная зависимость — радиус, который перпендикулярен оси, делит её на две одинаковые составные части.
3. Если ось не выступает диаметром этого круга, и радиус делит её пополам, то этот же радиус делит пополам и дугу, которая стягивается.
4. Радиус, который делит пополам дугу, также делит и отрезок, который эту дугу стягивает.
5. Если радиус является перпендикулярным стягивающей линии, то он делит пополам часть кривой, которую она ограничивает.
6. Если радиус окружности разделяет на две идентичные части дугу, то он является перпендикулярным линии, которая эту дугу стягивает.

Отношения со вписанными углами

Углы, вписанные в окружность, подчиняются следующим правилам:

1. Если углы, вписанные в окружность, опираются на одну и ту же линию, и их вершины расположены по одну сторону, то такие углы равны между собой.
2. Если два вписанных в круг угла опираются на одну и ту же линию, но их вершины расположены по разные стороны этой прямой, то сумма таких углов будет равняться 180 градусам.
3. Если два угла — центральный и вписанный — опираются на единую линию, и их вершины располагаются по одну сторону от неё, то величина вписанного угла будет равняться половине центрального.
4. Вписанный угол, который опирается на диаметр круга, является прямым.
5. Равные между собой по размеру отрезки стягивают равные центральные углы.
6. Чем больше величина стягивающего отрезка, тем больше величина центрального угла, который она стягивает. И наоборот, меньшая по размеру линия стягивает меньший центральный угол.
7. Чем больше центральный угол, тем больше величина отрезка прямой, который его стягивает.

Взаимодействия с дугой

Если два отрезка стягивают участки кривой, одинаковые по размеру, то такие оси равны между собой. Из этого правила вытекают следующие закономерности:

1. Две равные между собой хорды стягивают равные дуги.
2. Если рассматривать две дуги, размер которых меньше половины окружности, то чем больше дуга, тем больше хорда, которая будет её стягивать. Напротив, меньшая дуга будет стягиваться меньшей по величине хордой.
3. Если же дуга превышает половину окружности, то здесь присутствует обратная закономерность: чем меньше дуга, тем больше хорда, которая её стягивает. И чем больше дуга, тем меньше ограничивающая её хорда.

Хорда, которая стягивает ровно половину окружности, является её диаметром. Если две линии на одной окружности параллельны между собой, то будут равными и дуги, которые заключены между этими отрезками. Однако не следует путать заключённые дуги и стягиваемые теми же линиями.

Метод построения сопряженных круговых дуг Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ovil Aviation High Technologies

Vol. 20, No. 02, 2017

УДК 519.6

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ СОПРЯЖЕННЫХ КРУГОВЫХ ДУГ

В.Н. АГЕЕВ1

1 Московский государственный технический университет гражданской авиации,

г. Москва, Россия

В работе исследуются геометрические свойства сопряженных круговых дуг, соединяющих две точки на плоскости, с заданными в них направлениями касательных векторов. Показано, что пары сопряженных дуг с одинаковыми условиями в граничных точках образуют однопараметрическое множество гладких кривых, плотно заполняющих всю плоскость. Одним из основных свойств этого множества является то, что все точки сопряжения круговых дуг лежат на окружности, проходящей через изначально заданные точки. Радиус окружности зависит от направления касательных векторов. Любая точка этой окружности, названная в данной работе вспомогательной, однозначно определяет пару сопряженных дуг с заданными граничными условиями. Еще одно свойство вспомогательной окружности состоит в том, что она делит плоскость на две части. Дуги, выходящие из начальной точки, лежат вне круга, ограниченного этой окружностью, а дуги, приходящие в конечную точку — внутри него. Эти свойства положены в основу предложенного в данной статье метода построения сопряженных круговых дуг. Алгоритм достаточно простой и позволяет выполнить все необходимые построения, пользуясь только циркулем и линейкой. Рассмотрены два конкретных примера. Первый относится к задаче построения пары спряженных дуг с минимальным скачком кривизны при прохождении через точку сопряжения. Второй демонстрирует возможность построения гладкой кривой, проходящей через любые три точки на плоскости, при условии, что в начальной и конечной точках заданы направления касательных векторов. Предложенный метод построения сопряженных круговых дуг может найти применение при решении широкого круга задач, связанных с построением криволинейных контуров, например лекальных кривых в текстильной промышленности или в системах автоматизированного проектирования при программировании станков с числовым программным управлением.

Ключевые слова: гладкая кривая, круговые дуги, точка сопряжения, касательные векторы.

ВВЕДЕНИЕ

В системах автоматизированного проектирования для описания контуров сложной формы широко применяются так называемые кусочно-непрерывные методы аппроксимации, суть которых состоит в том, что криволинейный контур представляется в виде последовательности сопряженных между собой дуг каких-либо кривых (например, парабол второго, третьего или более высокого порядка). В зависимости от решаемой задачи на проектируемый контур накладываются определенные условия гладкости. В простейшем случае это условие непрерывности изменения угла наклона касательной при переходе через точку сопряжения, более жесткие требования включают непрерывность изменения кривизны кривой. На эту тему имеется множество публикаций, в качестве примера можно привести статьи [1-4], в которых даются многочисленные ссылки на работы, освещающие различные стороны проблемы.

Выбор круговых дуг в качестве аппроксимирующих кривых обусловлен тем, что в устройствах машинной графики (графопостроителях, плоттерах), а также в применяемых в машиностроении металлообрабатывающих станках с числовым программным управлением (ЧПУ) для перемещения рабочего органа используется два типа интерполяторов: линейный и круговой. Описание контура с помощью таких графических примитивов, как отрезки прямых и круговые дуги позволяет получить управляющую программу для станка с ЧПУ без дополнительных преобразований, в результате чего уменьшаются погрешности при воспроизведении контура.

Обзор публикаций на эту тему позволяет сделать вывод, что авторы в основном уделяют внимание методам минимизации погрешности при аппроксимации, а также проблемам устойчивости. При этом на второй план отходят вопросы, связанные с практическим построением пары сопряженных дуг, поскольку эта задача представляется достаточно простой. Тем не менее необходимость исследований в этом направлении очевидна. Свидетельством этому может служить статья [5], в которой автор описывает достаточно сложную процедуру сопряжения при

Vol. 20, No. 02, 2017

Ovil Aviation High Technologies

аппроксимации круговыми дугами швейных лекал. Возможно, что подобная проблема возникает и при решении других практических задач.

В данной работе описан метод построения пары сопряженных круговых дуг, соединяющих две точки на плоскости с заданными в них направлениями касательных векторов. Он достаточно прост с вычислительной точки зрения, более того, он может быть применен для вычерчивания сопряженных дуг «вручную», с использованием только циркуля и линейки.

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ОКРУЖНОСТЬ И ЕЕ СВОЙСТВА

Пусть на концах отрезка АВ заданы направления векторами тл и тв. Первое под углом а (отсчитывается против часовой стрелки), второй — под углом ( (по часовой стрелке). Требуется построить пару сопряженных дуг, первая из которых выходит из А в направлении тл, а вторая приходит в В по направлению тв (рис. 1, а).

О 2 Э б

Рис. 1. Построение пары сопряженных круговых дуг: а — пример построения; б — вспомогательная окружность с центром в точке пересечения срединного перпендикуляра к отрезку AB и линии биссектрисы угла 5 Fig. 1. Construction of pair of the attended arcs: a — example of construction; b — auxiliary circumference

Точки Oi и О2 лежат на линиях возможных центров, определяемых векторами па и пв, ортогональных векторам та и тв соответственно. Через точку пересечения этих линий проведем линию, являющуюся биссектрисой угла 5 (рис. 1, б). Точку пересечения этой линии со срединным перпендикуляром к отрезку АВ обозначим S. Из этой точки, как из центра, проведем окружность, проходящую через концы отрезка.

Нетрудно показать, что ZASB = а +ß и что радиус этой окружности равен

2 • sin-

где d — длина отрезка АВ.

Oivil Aviation High Technologies

Vol. 20, No. 02, 2017

Данная окружность обладает весьма интересными свойствами. В работе [6] она была названа вспомогательной, поскольку с ее помощью выполняются все необходимые построения. Покажем, что любая точка 0 вспомогательной окружности является точкой сопряжения двух круговых дуг, первая из которых выходит из точки А в направлении т л, а вторая приходит в точку В в направлении т в.

Возьмем произвольную точку 0 на вспомогательной окружности и соединим ее с концами отрезка АВ (рис. 2).

Проведем срединные перпендикуляры к отрезкам АО и 0В до пересечения с линиями возможных центров (на рис. 2 они показаны пунктиром). Точки пересечения обозначим О1 и О2. Нетрудно видеть, что это искомые центры первой и второй дуги. Действительно, |О1А|=|О10| и |О20|=|О2В| по построению. Кроме того, из равенства углов ZSAOl, ZOlQS и ZSBO2 следует, что центры дуг и 0 лежат на одной прямой, а значит, в точке сопряжения дуги имеют общую касательную. Таким образом, выбор точки на вспомогательной окружности однозначно определяет пару сопряженных в этой точке круговых дуг.

Выше был рассмотрен частный случай положения точки 0 на вспомогательной окружности. Однако нетрудно убедиться в том, что любой другой выбор 0 приводит к тем же результатам.

Из сказанного следует, что на плоскости можно построить бесконечно много пар сопряженных между собой круговых дуг, соединяющих две точки, в которых заданы направления касательных векторов. Они образуют однопараметрическое семейство гладких кривых. В качестве параметра, характеризующего положение точки сопряжения можно взять длину дуги вспомогательной окружности А0 или величину центрального угла у= ZASQ, 0 < у <2л:. В этом случае радиусы сопряженных в точке 0 дуг вычисляются по формулам

Тд Q

Рис. 2. Нахождение центров Oi и О2 по заданной точке Q на вспомогательной окружности Fig. 2. Finding of centers of Oi and O2 on the set point of Q on an auxiliary circumference

свойства семейства сопряженных дуг

Vol. 20, No. 02, 2017

Ovil Aviation High Technologies

Ri — RS

sm

У

sm

a-ß + y’

sin

a ■

R2 — RS

ß 2

y

sin(ß-y)

(2)

Из этих формул следует, что при у = 2Р радиус второй дуги Я2 становится бесконечно большим. При этом точка сопряжения лежит на пересечении линии второй касательной со вспомогательной окружностью. Обозначим эту точку Q*.

Вторая дуга при этом становится отрезком прямой Q*B.

При у = 2п — а + Р бесконечно большим становится радиус первой дуги Я1. В этом случае точка сопряжения лежит на пересечении линии первой касательной со вспомогательной окружностью. Обозначим эту точку Q**. Первая дуга так же, как и в предыдущем случае, вырождается в линию с нулевой кривизной, и центр ее перемещается в бесконечно удаленную точку. Эти две возможные ситуации показаны на рис. 3.

а б

Рис. 3. Примеры построения дуг для случаев y= 2ß (а) и y= 2 л — a + ß (б) Fig. 3. Examples of construction of arcs for the cases of y = 2ß (а) and y = 2л — a + ß (б)

В системе координат, начало которой совпадает с точкой А, а ось Ох направлена вдоль отрезка АВ, координаты центров дуг О1, О2 вычисляются по формулам

Х1 = Я1 sinа, у1 = -Я1 cosа, Х2 = ё- Я2 бШД у = — Я2 СОБД (3)

На рис. 4 показано семейство гладких кривых, представляющих собой пары сопряженных круговых дуг, соединяющих две точки с заданными в них направлениями касательных. Обращает на себя внимание тот факт, что все дуги, выходящие из первой точки, лежат вне круга, границей которого является множество точек сопряжения, а все дуги, приходящие во вторую точку, лежат внутри круга.

Численные эксперименты показывают, что с уменьшением шага изменения параметра у количество кривых растет и они начинают заполнять собой всю плоскость. Можно предположить, что через любую точку на плоскости можно провести пару сопряженных дуг, удовлетворяющих поставленным условиям.

Civil Aviation High Technologies

Vol. 20, No. 02, 2017

Рис. 4. Множество пар сопряженных дуг, построенных с шагом 10о.

Углы наклона касательных: а = 60о, ß = 30о Fig. 4. Great number of pair of the attended arcs, built with the step of Ду= 10о.

Angles of slope of tangents of а = 60°, ß = 30°

ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЙ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ЗАДАННУЮ ТОЧКУ

Пусть на плоскости заданы направления касательных тл и тв в точках A и B соответственно. Требуется построить пару сопряженных дуг, первая из которых выходит из A по направлению тл, а вторая приходит в B по направлению тв. При этом дополнительным условием является требование прохождения кривой через произвольную точку P.

Рассмотрим два случая, связанных с положением точки P относительно круга, границей которого является вспомогательная окружность, то есть множеством возможных центров сопряжения дуг.

1. Точка находится вне круга

В этом случае, как это следует из результатов, полученных в предыдущем разделе, через точку P проходит первая дуга, выходящая из точки A (рис. 5, а). Построим отрезок AP и проведем к нему срединный перпендикуляр (показан пунктиром) до пересечения с линией возможных центров первой дуги. Обозначим ее Oi. Окружность с радиусом Ri=|OiA| и центром Oi пересекает вспомогательную окружность в некоторой точке Q. Из результатов раздела 1 следует, что точка Q однозначно определяет центр и радиус второй дуги.

2. Точка находится внутри круга

В этом случае через точку P проходит вторая дуга, приходящая в точку B. Построим отрезок BP и проведем к нему срединный перпендикуляр до пересечения с линией возможных центров второй дуги. Обозначим ее O2. Окружность с радиусом R2=|O2B| и центром O2 пересекает вспомогательную окружность в некоторой точке Q. Как было показано выше, точка Q однозначно определяет центр и радиус первой дуги.

Примеры построений приведены на рис. 5.

Vol. 20, No. 02, 2017

Ovil Aviation High Technologies

а б

Рис. 5. Примеры построения кривых, проходящих через заданную точку: а — точка P лежит вне круга, ограниченного вспомогательной окружностью (показана пунктиром), б — точка P лежит внутри круга Fig. 5. Examples of construction of curves, passing through the set point: a — the point of P lies out of circle, b — the point of P lies into a circle

Данные примеры показывают, что через любые три точки на плоскости можно провести гладкую кривую в виде пары сопряженных дуг, при условии что в начальной и конечной точках заданы направления касательных векторов.

ПОСТРОЕНИЕ СОПРЯЖЕНННЫХ ДУГ С МИНИМАЛЬНЫМ СКАЧКОМ КРИВИЗНЫ

Кривая, составленная из пары сопряженных круговых дуг, является гладкой, поскольку обеспечивается непрерывность первой производной, то есть изменения угла наклона касательной при переходе через точку сопряжения. Однако вторая производная изменяется скачкообразно, поскольку имеет место скачок кривизны, равный

Ак = 1/ Ri — 1/R2.

(4)

Подставляя сюда выражения для Ri и R2 из (2), получим

At = -L — ± = _L

R1 R2 RS

sin

a- ß + y

sin

У

sin(ß-y)

a + ß-y

sin

(5)

Численные эксперименты показали, что минимум этой величины для различных значений а и / получается при у = (а + /3)12.

Чтобы убедиться в том, что функция Дк(у) имеет локальный минимум в точке у = (а + 3 )/2, представим у в виде у = (а + / )/2 + 2е, где е — малый параметр.

Подставляя это выражение в (5) и раскладывая в ряд по степеням е до второго порядка малости включительно, получим [7]

Ovil Aviation High Technologies

Vol. 20, No. 02, 2017

„ . a— ß a + ß 4 • sin-— • cos-—

Ak = Ak() +-2-—-f2.

0 .2 a + ß

(6)

d — sin

2

где Ако — значение (5) при у = (а + /3)12.

При а >/ коэффициент при а2 положителен. Отсюда следует, что у = (а +/ )/2 является точкой локального минимума функции Ак(у).

Подставляя значение у = (а + /3)12 в формулы (2), получим следующие значения радиусов сопряженных дуг, при которых скачок кривизны при переходе через точку сопряжения минимален:

sin

a+ß

sin

a+ß

R = R . 3a — ß ‘ R = R sin-—

. 3ß-a ‘

sin —-

4

(7)

Рис. 6. Построение сопряженных дуг с минимальным скачком кривизны. Углы наклона касательных

a = 60°, р = 30°. S — центр вспомогательной окружности, SQ — биссектриса угла ASB Fig. 6. Construction of the attended arcs with the minimum jump of curvature. Angles of slope of tangents of a = 60°, р = 30°. S is a center of auxiliary circumference, SQ is a bisector of corner of ASB

Точка сопряжения Q при этом будет иметь координаты

d

x.

= —. =— tg

d a + ß

4

(8)

Если обратиться к рис. 1, б, где изображена вспомогательная окружность, то точка Q, соответствующая значению параметра у = (а + /)/2, находится на пересечении окружности и про-

Vol. 20, No. 02, 2017

Oivil Aviation High Technologies

должением пунктирной линии (срединного перпендикуляра к отрезку AB). Это следует из того, что ZASB = а+р.

Таким образом, можно предложить следующий простой алгоритм построения пары сопряженных круговых дуг с минимальным скачком кривизны в точке сопряжения.

1. По заданным на концах отрезка AB углам наклона касательных а и р проводятся линии возможных центров до их пересечения, и методом, описанным в разделе 1 , строится вспомогательная окружность с центром в точке S.

2. Определяется точка сопряжения Q как точка пересечения срединного перпендикуляра к отрезку AB со вспомогательной окружностью. Линия SQ при этом является биссектрисой угла ASB.

3. К отрезкам AQ и QB проводятся срединные перпендикуляры (на рис. 6 показаны пунктиром) до их пересечения с линиями возможных центров первой и второй дуг соответственно. Точки пересечения и являются искомыми центрами дуг Oi и O2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Yang X., Wang G. Planar point set fairing and fitting by arc splines. Comp.-Aided design, vol. 34, issue 13, nov. 2002, pp. 35-43.

2. Park H. Error-bounded biarc approximation of planar curves. Comp.-Aided design, vol. 36, issue 12, oct. 2004, pp. 1241-1251.

3. Сабитов И.Х., Словеснов А.В. Приближение плоских кривых круговыми дугами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50, № 8. С. 1347-1356.

4. Курносенко А.И. Интерполяционные свойства плоских спиральных кривых // Фундаментальная и прикладная математика. 2001. Т. 7, № 2. С. 441-463.

5. Сайфуллаева Д. А. Методы математического описания контуров лекал швейных изделий, методы линейно-круговой аппроксимации // Молодой ученый. 2016. № 11. С. 459-461.

6. Агеев В.Н. О геометрических свойствах одного семейства плоских кривых / Геометрия, топология и приложения: межвузовский сборник научных трудов. М.: Моск. ин-т приборостроения, 1990. С. 41-45.

7. Агеев В.Н. Аппроксимация линий и контуров круговыми дугами // Известия высших учебных заведения. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2012. № 1. С. 3-10.

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

Агеев Владимир Николаевич, профессор, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики МГТУ ГА, [email protected].

METHOD OF CONJUGATED CIRCULAR ARCS TRACING

Vladimir N. Ageyev1

1Moscow State Technical University of Civil Aviation, Moscow, Russia ABSTRACT

The geometric properties of conjugated circular arcs connecting two points on the plane with set directions of tangent vectors are studied in the work. It is shown that pairs of conjugated circular arcs with the same conditions in frontier points create one-parameter set of smooth curves tightly filling all the plane. One of the basic properties of this set is the fact that all coupling points of circular arcs are on the circular curve going through the initially given points. The circle radius depends on the direction of tangent vectors. Any point of the circle curve, named auxiliary in this work, determines a pair of conjugated arcs with given boundary conditions. One more condition of the auxiliary circle curve is that it divides the plane into two parts. The arcs going from the initial point are out of the circle limited by this circle curve and the arcs

Civil Aviation High Technologies

Vol. 20, No. 02, 2017

coming to the final point are inside it. These properties are the basis for the method of conjugated circular arcs tracing proposed in this article. The algorithm is rather simple and allows to fulfill all the needed plottings using only the divider and ruler. Two concrete examples are considered. The first one is related to the problem of tracing of a pair of conjugated arcs with the minimal curve jump when going through the coupling point. The second one demonstrates the possibility of tracing of the smooth curve going through any three points on the plane under condition that in the initial and final points the directions of tangent vectors are given. The proposed methods of conjugated circular arcs tracing can be applied in solving of a wide variety of problems connected with the tracing of cam contours, for example pattern curves in textile industry or in computer-aided-design systems when programming of looms with numeric control.

Key words: smooth curve, circular arc, coupling point, tangent vectors.

REFERENCES

1. Yang X., Wang G. Planar point set fairing and fitting by arc splines. Comp.-Aided design, vol. 34, issue 13, nov. 2002, pp. 35-43.

2. Park H. Error-bounded biarc approximation of planar curves. Comp.-Aided design, vol. 36, issue 12, oct. 2004, pp. 1241-1251.

3. Sabitov I.Kh., Slovesnov A.V. Priblizheniye ploskikh krivykh krugovymi dugami [Approximation of plane curves by circular arcs]. Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2010, vol. 50, no. 8, pp. 1347-1356. (in Russian)

4. Kurnosenko A.I. Interpolyatsionnyye svoystva ploskikh spiral’nykh krivykh [Interpolation properties of plane spiral curves]. Fundamental and Applied Mathematics, 2001, vol. 7, no. 2, pp. 441-463. (in Russian)

5. Saifullaeva D.A. Metody matematicheskogo opisaniya konturov lekal shveynykh izdeliy, meto-dy lineyno-krugovoy approksimatsii [Methods of mathematical description of contours of garments, methods of linear-circular approximation]. Young scientist, 2016, no. 11, pp. 459-461. (in Russian)

6. Ageev V.N. O geometricheskikh svoystvakh odnogo semeystvaploskikh krivykh [On geometric properties of a family of plane curves]. Geometry, topology and applications: Interuniversity collection of scientific papers. Moscow, Moskow Institute of Instrumentation, 1990, pp. 41-45. (in Russian)

7. Ageev V.N. Approksimatsiya liniy i konturov krugovymi dugami [Approximation of lines and contours by circular arcs]. News of higher educational institutions. Problems of polygraphy and publishing. 2012, no. 1, pp. 3-10. (in Russian)

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Vladimir N. Ageyev, Doctor of Science, Professor, Professor of the Applied Mathematics Chair, Moscow State Technical University of Civil Aviation, [email protected].

Arc — Определение математического слова

Arc — Определение математического слова — Math Open Reference

Попробуйте это Перетащите одну из оранжевых точек, определяющих конечные точки синей дуги. Соответственно изменится дуга.

Дуга — это часть окружности круга. На рисунке выше дуга — это синяя часть круга. Строго говоря, дуга может быть частью какой-то другой изогнутой формы, например эллипса, но почти всегда это круг.Чтобы избежать всех возможных ошибок, ее иногда называют дугой окружности.

Прямая линия, проведенная между конечными точками дуги, будет хорда круга.

Если длина дуги составляет ровно половину окружности, это называется полукруглой дугой. См. Определение полукруга.

Наименование и идентификация

Дуги именуются по их конечным точкам. Синяя дуга выше будет называться «дугой AB». или «дуга BA», порядок конечных точек не имеет значения. В сокращении это можно записать как буквы AB с изогнутой линией над ними
Пример: что читается как «дуга AB».

Обратите внимание, что это наименование может быть неоднозначным. Например, это может означать большая дуга AB, где вы проделываете длинный путь по нижней части круга. Если не указано иное, это всегда означает малая дуга — самая короткая из двух.

Если вы хотите указать главную дугу, добавьте дополнительную точку и используйте в названии три буквы. Например, на диаграмме выше большая дуга обозначена это длинная дуга от A до B, проходящая снизу через K.

Есть две меры дуги

1. Длина дуги
2. Угол дуги

Длина дуги

Длина дуги — это расстояние вдоль изогнутой линии, образующей дугу.Он будет измеряться в единицах расстояния, например в метрах. Для обозначения этой меры перед дугой стоит строчная буква L (для «длины»). Для eaxmaple будет читаться как «длина дуги AB составляет 6 дюймов». См. Дополнительную информацию на странице «Длина дуги».

Угол

Угловая мера — это угол, образованный дугой в центре круга. Это обозначено строчная буква M перед именем. Например читается как «дуга AB имеет размер 35 градусов». См. Дополнительную информацию в разделе «Измерение угла дуги».

Атрибуты

Другие темы кружка

Общие

Уравнения окружности

Углы по окружности

Дуги

(C) Открытый справочник по математике, 2011 г.
Все права защищены.

Дуга

Дуги часто изучаются в геометрии в контексте дуг окружности. На круге вы можете представить дугу как часть окружности круга, как показано на рисунке ниже.

Дуги также существуют как часть кривых, но в большинстве случаев, когда люди ссылаются на дугу, они обычно имеют в виду дугу окружности, а не кривую. Точно так же эта страница будет посвящена теме дуг окружности.

Дуга от A до B, обозначенная символом как, показана выше красным цветом.

Дуги широко используются в машиностроении и других сферах быта. Показанный ниже мост имеет опоры в форме дуги.

Виды дуг

Полукруг — это название дуги, охватывающей половину окружности круга (одно из значений полукруга — половина).

красным — полукруг для круга О.

Есть два других типа дуг: второстепенные и большие дуги. Младшая дуга — это дуга, длина которой меньше длины полукруга. Основная дуга имеет длину дуги больше, чем у полукруга.

На рисунке ниже — вспомогательная дуга. Второстепенные дуги обычно именуются только по их конечным точкам. это большая дуга. Главные дуги названы по их конечным точкам и некоторым другим точкам, лежащим на дуге.

Центральный угол

Центральный угол — это угол, вершиной которого является центр окружности. Когда концы дуги пересекают стороны центрального угла, мы говорим, что дуга образует угол. Размер дуги равен величине центрального угла, образуемого дугой.

расширяет ∠QPR так, что мера также равна θ.

Кроме того, поскольку длина окружности равна 360 °, мы можем найти меру большой дуги, найдя разность в 360 ° и меру малой дуги.Итак,

Добавление дуги

Дуга, образованная двумя соседними дугами, имеет меру, которая является суммой двух смежных дуг.

Углы и дуги прочие

Вписанный угол — это угол, образованный внутри круга, когда две хорды или секущие линии пересекаются на окружности. ∠RSQ на рисунке ниже является примером. Размер вписанного угла составляет половину угла, образованного дугой. На рисунке ниже

Размер каждого угла, образованного двумя пересекающимися хордами внутри круга, составляет половину суммы дуг, соединяющих углы.На рисунке ниже

Угол, образованный двумя секущими, пересекающимися вне круга, составляет половину разности дуг, образующих угол, образованный секущими. На рисунке ниже

Длина дуги

Поскольку размер дуги равен величине ее центрального угла, мы можем определить длину дуги, используя отношение центрального угла дуги к 360 °. При длине дуги 60 ° соотношение будет (60 °) / (360 °) = 1/6. Итак, дуга составляет 1/6 длины окружности.Поскольку длина окружности равна 2πr, длина дуги равна.

Как правило, длина дуги, с, составляет:

где r — радиус окружности, а θ — угол в градусах. Если угол θ выражен в радианах, длина дуги составляет:

с = rθ

Пример:

См. Рисунок выше. Для окружности с радиусом 15 и θ = 120 ° найдите длину дуги s.

Другое применение дуг

Дуги также определены в контексте исчисления.Дуга — это часть дифференцируемой кривой. Один из способов подумать об этом без фона исчисления состоит в том, что в дифференцируемой кривой участок кривой не имеет разрывов в кривой, и что он гладкий и не имеет каких-либо «заостренных» участков, таких как V или функция абсолютного значения.

Дуга от A до B, показанная красным, является частью кривой.

Дуга окружности — объяснение и примеры

После радиуса и диаметра другой важной частью окружности является дуга . В этой статье мы обсудим , что такое дуга, найдем длину дуги и измерим длину дуги в радианах. Мы также изучим малую дугу и большую дугу.

Что такое дуга круга?

Дуга окружности — это любая часть окружности. Напомним, окружность круга — это периметр или расстояние вокруг круга. Следовательно, мы можем сказать, что окружность круга — это полная дуга самого круга.

Как найти длину дуги?

Th e Формула для вычисления дуги утверждает, что:

Длина дуги = 2πr (θ / 360)

Где r = радиус окружности,

π = pi = 3.14

θ = угол ( в градусах ), образованный дугой в центре круга.

360 = угол одного полного поворота.

На приведенном выше рисунке длина дуги (нарисованная красным) — это расстояние от точки A до точки B.

Давайте решим несколько примеров задач о длине дуги:

Пример 1

Учитывая эту дугу, AB образует угол 40 градусов к центру круга с радиусом 7 см.Рассчитайте длину дуги AB.

Решение

При r = 7 см

θ = 40 градусов.

Путем подстановки

Длина дуги = 2πr (θ / 360)

Длина = 2 x 3,14 x 7 x 40/360

= 4,884 см.

Пример 2

Найдите длину дуги окружности, которая образует угол в 120 градусов с центром окружности на 24 см.

Решение

Длина дуги = 2πr (θ / 360)

= 2 x 3.14 x 24 x 120/360

= 50,24 см.

Пример 3

Длина дуги 35 м. Если радиус круга равен 14 м, найдите угол, образованный дугой.

Решение

Длина дуги = 2πr (θ / 360)

35 м = 2 x 3,14 x 14 x (θ / 360)

35 = 87,92θ / 360

Умножить обе стороны на 360 удалить дробь.

12600 = 87,92θ

Разделим обе части на 87,92

θ = 143.3 градуса.

Пример 4

Найдите радиус дуги длиной 156 см, которая образует угол 150 градусов к центру круга.

Решение

Длина дуги = 2πr (θ / 360)

156 см = 2 x 3,14 xrx 150/360

156 = 2,6167 r

Разделите обе стороны на 2,6167

r = 59,62 см .

Итак, радиус дуги 59,62 см.

Как найти длину дуги в радианах?

Существует взаимосвязь между углом, образуемым дугой в радианах, и отношением длины дуги к радиусу окружности.В данном случае

θ = (длина дуги) / (радиус окружности).

Следовательно, длина дуги в радианах определяется как,

S = r θ

, где θ = угол между дугой в радианах

S = длина дуги.

r = радиус окружности.

Один радиан — это центральный угол, образованный дугой одного радиуса, то есть s = r

Радиан — это просто еще один способ измерения размера угла.Например, чтобы преобразовать углы из градусов в радианы, умножьте угол (в градусах) на π / 180.

Аналогичным образом, чтобы преобразовать радианы в градусы, умножьте угол (в радианах) на 180 / π.

Пример 5

Найдите длину дуги с радиусом 10 см и под углом 0,349 радиана.

Раствор

Длина дуги = r θ

= 0,349 x 10

= 3,49 см.

Пример 6

Найдите длину дуги в радианах с радиусом 10 м и углом 2.356 радиан.

Решение

Длина дуги = r θ

= 10 м x 2,356

= 23,56 м.

Пример 7

Найдите угол, образованный дугой длиной 10,05 мм и радиусом 8 мм.

Решение

Длина дуги = r θ

10,05 = 8 θ

Разделите обе стороны на 8.

1,2567 = θ

Здесь угол, образованный дугой, равен 1,2567 радиана.

Пример 8

Вычислите радиус круга, длина дуги которого составляет 144 ярда, а угол дуги равен 3.665 радиан.

Решение

Длина дуги = r θ

144 = 3,665r

Разделите обе стороны на 3,665.

144 / 3,665 = r

r = 39,29 ярда.

Пример 9

Вычислите длину дуги, которая образует угол 6,283 радиана с центром круга с радиусом 28 см.

Решение

Длина дуги = r θ

= 28 x 6,283

= 175.93 см

Малая дуга (h4)

Младшая дуга — это дуга, которая проходит под углом менее 180 градусов к центру окружности. Другими словами, малая дуга меньше полукруга и представлена ​​на окружности двумя точками. Например, дуга AB в окружности ниже — это второстепенная дуга.

Большая дуга (h4)

Большая дуга окружности — это дуга, которая проходит под углом более 180 градусов к центру окружности.Большая дуга больше полукруга и представлена ​​тремя точками на окружности.

Например, PQR — это большая дуга окружности, показанной ниже.

Практические задачи

1. Найдите площадь сектора окружности радиусом 9 мм. Предположим, что угол, образованный этой дугой в центре, равен 30 ^o .
2. Город A находится к северу от города B. Широта города A и города B составляет 54 ^o северной широты и 45 ^o северной широты соответственно.Каково расстояние между двумя городами с севера на юг? Радиус Земли 6400 км.

Предыдущий урок | Главная страница | Следующий урок

Обзор группы инструментов Math — справка

Доступно с лицензией Spatial Analyst.

Набор инструментов «Математика» содержит инструменты, которые выполняют математические операции с растрами.

Инструменты сгруппированы в четыре основные категории:

• Math

  Инструменты верхнего уровня набора математических инструментов выполняют основные математические операции с растрами следующих категорий: арифметические, степенные, экспоненциальные и логарифмические.Также включены инструменты, которые изменяют знак значений растра, а также инструменты, участвующие в преобразовании значений между целыми числами и числами с плавающей запятой.

• Побитовый

  Набор инструментов Побитовая математика содержит инструменты, которые выполняют побитовые операции с входными растрами.

• Логический

  Набор инструментов «Логическая математика» содержит инструменты для выполнения логических вычислений на растрах следующих категорий: логические, комбинаторные, реляционные и условные.

• Тригонометрический

  Набор инструментов тригонометрической математики содержит инструменты для тригонометрических вычислений в нескольких категориях: регулярные, обратные, гиперболические и обратные гиперболические.

В следующей таблице перечислены доступные наборы инструментов Math и дано краткое описание каждого из них.

Инструмент	Описание
Набор инструментов General Math	Инструменты General Math применяют математические функции к входным данным.Эти инструменты делятся на несколько категорий. Арифметические инструменты выполняют основные математические операции, такие как сложение и умножение. Существуют инструменты, которые выполняют различные типы операций возведения в степень, которые включают в себя экспоненты и логарифмы в дополнение к основным операциям мощности. Остальные инструменты используются либо для преобразования знаков, либо для преобразования между целочисленными типами данных и типами данных с плавающей запятой.
Набор инструментов для побитовой математики	Поразрядные математические инструменты вычисляют двоичное представление входных значений.
Набор инструментов логической математики	Инструменты логической математики оценивают значения входных и определить выходные значения на основе булевой логики. Инструменты сгруппированы в четыре основные категории: логические, комбинаторные, логические, и реляционный.
Набор инструментов для тригонометрической математики	Инструменты тригонометрической математики выполняют различные тригонометрические вычисления на значениях входного растра.

Наборы инструментов Math

Общие математические инструменты

Следующее применимо только к инструментам верхнего уровня этой группы инструментов. Для получения дополнительных сведений о других, перейдите в соответствующие разделы для побитовых, логических и тригонометрических математических операций.

Общие математические инструменты применяют математическую функцию к входным данным. Эти инструменты делятся на несколько категорий. Арифметические инструменты выполняют основные математические операции, такие как сложение и умножение.Существуют инструменты, которые выполняют различные типы операций возведения в степень, которые включают в себя экспоненты и логарифмы в дополнение к основным операциям мощности. Остальные инструменты используются либо для преобразования знаков, либо для преобразования между целочисленными типами данных и типами данных с плавающей запятой.

Некоторым инструментам требуется два входа:

• Арифметика: плюс, минус, времена, деление, модуль (модуль), отрицание
• Мощность: мощность

В то время как другим инструментам требуется только один ввод:

• Арифметика: отрицание
• Экспонента: Exp, Exp2, Exp10
• Логарифмическая: Ln, Log2, Log10
• Степень: квадрат, корень квадратный
• Знак: Abs, Negate
• Преобразование типов: Float, Int, Round Down, Round Up

В следующей таблице перечислены доступные общие математические инструменты и дано их краткое описание:

Tool	Описание
Abs	Вычисляет абсолютное значение ячеек в растре.
Divide	Делит значения двух растров по каждой ячейке.
Exp	Вычисляет экспоненту по основанию e ячеек растра.
Exp10	Вычисляет экспоненту по основанию 10 ячеек в растре.
Exp2	Вычисляет экспоненту по основанию 2 ячеек растра.
Float	Преобразует значение каждой ячейки растра в представление с плавающей запятой.
Int	Преобразует значение каждой ячейки растра в целое число путем усечения.
Ln	Вычисляет натуральный логарифм (основание е) ячеек растра.
Log10	Вычисляет десятичный логарифм ячеек растра.
Log2	Вычисляет логарифм ячеек по основанию 2 в растре.
Минус	Вычитает значение второго входного растра из значения первого входного растра для каждой ячейки.
Mod	Находит остаток (по модулю) первого растра при делении на второй растр для каждой ячейки.
Отменить	Изменяет знак (умножается на -1) значений ячеек входного растра для каждой ячейки.
Plus	Складывает (суммирует) значения двух растров для каждой ячейки.
Power	Повышает значения ячеек в растре до степени значений, найденных в другом растре.
Округление в меньшую сторону	Возвращает следующее меньшее целочисленное значение, просто представленное как плавающая точка, для каждой ячейки растра.
Округление в сторону увеличения	Возвращает следующее более высокое целочисленное значение, просто представленное как плавающая точка, для каждой ячейки растра.
Квадрат	Вычисляет квадрат значений ячеек в растре.
Квадратный корень	Вычисляет квадратный корень из значений ячеек в растре.
Times	Умножает значения двух растров для каждой ячейки.

Инструменты в общей группе инструментов Math

Связанные темы

Отзывы по этой теме?

Геометрия: Дуги

Дуги

Я знаю, что только что бросил вам много новой терминологии, но я еще не закончил.Я соединил точки на окружности с прямыми отрезками. Также возможно соединить точки на окружности, используя изогнутую часть окружности. Предположим, у вас есть две точки, A и B, на окружности, как показано на рисунке 17.3. Точки между A и B образуют отрезок AB, а точки между A и B, лежащие на окружности, составляют дугу AB. Поскольку дуга AB извилистая (состоит из части окружности), ей присвоено обозначение? AB.

Рисунок 17.2 AB и? AB на окружности.

Есть только одна проблема с этой идеей. На самом деле есть две дуги , которые включают точки на окружности между A и B, и вам нужно уметь различать две дуги. Вы можете сделать это, указав точку между A и B на правильном участке круга. Итак, верхняя дуга — это? ADB, а нижняя дуга -? AEB. Если A и B являются конечными точками диаметра, то? ADB и? AEB называются полукругами. Дуга окружности — это либо полукруг, либо часть полукруга (называемая малой дугой), либо больше, чем полукруг, но меньше, чем весь круг (так называемая большая дуга).

Эврика!

Разница между AB и? AB заключается в том, что? AB — это часть окружности, соединяющая A и B, а AB — отрезок прямой, соединяющий A и B.

Касательная линия

Если две дуги являются частью две окружности с разными радиусами, то они не могут иметь одинаковую кривизну (или быть конгруэнтными). Единственный способ для двух дуг быть конгруэнтным — это если окружности, на которых они находятся, совпадают, а их длины дуги совпадают.

Поскольку вы можете измерять длины отрезков прямых, возникает естественный вопрос об измерении дуг.У дуг есть длина и кривизна. Чтобы измерить длину дуги, представьте, что вы выпрямляете дугу и измеряете ее длину линейкой. Две дуги слева на рис. 17.3 имеют одинаковую длину, но не одинаковую кривизну. Дуги справа имеют одинаковую кривизну, но разную длину. Поэтому при измерении длины дуги необходимо учитывать две особенности: фактическую длину и кривизну. В круге (или в конгруэнтных кругах) совпадающих дуг — это дуги, совпадающие как по длине, так и по кривизне.

Рисунок 17.3 Слева: две дуги одинаковой длины, но разная кривая. Справа: две дуги с одинаковой кривой, но разной длины.

Кривизна дуги измеряется в градусах. Меру? AB обозначим m? AB. Чтобы измерить дугу, мне нужно познакомить вас с центральным углом. Центральный угол круга — это угол, вершина которого является центром круга, а стороны — радиусами круга. Причину, по которой при измерении кривизны дуги? AB необходимы центральные углы, можно увидеть на рисунке 17.4. Малая дуга AB и центральный угол? ACB связаны друг с другом. С каждой дугой связан центральный угол, а с каждым центральным углом связана дуга. Если вам задан центральный угол, его пересекаемая дуга определяется двумя точками пересечения угла с окружностью и всеми точками дуги внутри угла.

Рисунок 17.4 Центральный угол и соответствующая ему вспомогательная дуга.

Соответствие между центральными углами и пересеченными дугами можно использовать для определения кривизны дуги (также известной как ее градусная мера).Чтобы закрепить эту идею, вам понадобится постулат.

• Постулат 17.1 : Постулат центрального угла. В круге градусы центрального угла равны градусам пересекаемой им дуги.

Этот постулат позволяет вам определять градус дуги, определяя измерение ее центрального угла. Поскольку вы уже очень подробно изучили углы, вы заложили основу для понимания градусного измерения дуги.У вспомогательной дуги есть соответствующий центральный угол, размер которого меньше 180; полукруг имеет прямой центральный угол, поэтому его градус равен 180; а большая дуга имеет градусное измерение больше 180. Поскольку понятие градусного измерения дуги и измерения центрального угла объединено, измерения центрального угла больше 180 разрешены. И если вы добавите постулат сложения углов (постулат 4.2), вы увидите, что градусное измерение всего круга в два раза больше градусного измерения полукруга.Другими словами, градус окружности равен 360. На рисунке 17.5 показаны некоторые центральные углы и их пересекаемые дуги.

Рисунок 17.5 Центральные углы и их пересекаемые дуги.

Последний термин, который мне нужно определить для вас, — это сектор круга. Представьте, что вы заказали кусок пиццы. Два прямых края пиццы можно рассматривать как радиусы круга (при условии, что она была правильно разрезана), а хрустящая часть пиццы — это дуга круга. Весь кусок пиццы представляет собой сектор круга.Сектор окружности — это область, ограниченная двумя радиусами окружности и пересеченной дугой.

Solid Facts

Дуга — это часть окружности, определяемая двумя точками и всеми точками между ними.

Конгруэнтные дуги — это дуги на окружностях с конгруэнтными радиусами, которые имеют одинаковую степень.

Вспомогательная дуга — это дуга с градусом от 0 до 180.

Полукруг — это дуга, градус которой равен точно 180.

Большая дуга — это дуга, градусы которой составляют от 180 до 360.

Сектор окружности — это область, ограниченная двумя радиусами окружности и пересеченной дугой.

Вы уже видели постулат сложения сегментов и постулат сложения углов. Существует также постулат дополнения дуги, который говорит именно то, что вы ожидаете от него.

• Постулат 17.2 : Постулат сложения дуги. Если B лежит между A и C на окружности, то m? AB + m? BC = m? AC.

Вы будете использовать этот постулат при объединении дуг окружностей.

Выдержка из The Complete Idiot’s Guide to Geometry 2004 Дениз Сечей, доктор философии. Все права защищены, включая право на полное или частичное воспроизведение в любой форме. Используется по договоренности с Alpha Books , членом Penguin Group (USA) Inc.

Чтобы заказать эту книгу непосредственно у издателя, посетите веб-сайт Penguin USA или позвоните по телефону 1-800-253-6476. Вы также можете купить эту книгу на Amazon.com и Barnes & Noble.

Как найти длину дуги

Если вы считаете, что контент, доступный через Веб-сайт (как определено в наших Условиях обслуживания), нарушает или другие ваши авторские права, сообщите нам, отправив письменное уведомление («Уведомление о нарушении»), содержащее то информацию, описанную ниже, назначенному ниже агенту. Если репетиторы университета предпримут действия в ответ на ан Уведомление о нарушении, оно предпримет добросовестную попытку связаться со стороной, которая предоставила такой контент средствами самого последнего адреса электронной почты, если таковой имеется, предоставленного такой стороной Varsity Tutors.

Ваше Уведомление о нарушении прав может быть отправлено стороне, предоставившей доступ к контенту, или третьим лицам, таким как в виде ChillingEffects.org.

Обратите внимание, что вы будете нести ответственность за ущерб (включая расходы и гонорары адвокатам), если вы существенно искажать информацию о том, что продукт или действие нарушает ваши авторские права. Таким образом, если вы не уверены, что контент находится на Веб-сайте или по ссылке с него нарушает ваши авторские права, вам следует сначала обратиться к юристу.

Чтобы отправить уведомление, выполните следующие действия:

Вы должны включить следующее:

Физическая или электронная подпись правообладателя или лица, уполномоченного действовать от их имени; Идентификация авторских прав, которые, как утверждается, были нарушены; Описание характера и точного местонахождения контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права, в \ достаточно подробностей, чтобы позволить репетиторам университетских школ найти и точно идентифицировать этот контент; например нам требуется а ссылка на конкретный вопрос (а не только на название вопроса), который содержит содержание и описание к какой конкретной части вопроса — изображению, ссылке, тексту и т. д. — относится ваша жалоба; Ваше имя, адрес, номер телефона и адрес электронной почты; а также Ваше заявление: (а) вы добросовестно полагаете, что использование контента, который, по вашему мнению, нарушает ваши авторские права не разрешены законом, владельцем авторских прав или его агентом; (б) что все информация, содержащаяся в вашем Уведомлении о нарушении, является точной, и (c) под страхом наказания за лжесвидетельство, что вы либо владелец авторских прав, либо лицо, уполномоченное действовать от их имени.

Отправьте жалобу нашему уполномоченному агенту по адресу:

Чарльз Кон Varsity Tutors LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105

Или заполните форму ниже:

Arc of Learning Research Project

Ресурсы

Дата начала проекта : декабрь 2013 г.

Команда проекта: Элизабет Филлипс, Эй Джей Эдсон, Ивонн Грант, Жаклин Стюарт, Ник Гилбертсон, Фунда Гонулатс, Джен Нимц, Моладе Осибоду и Рани Сатьям

Фон

При разработке учебной программы по связанной математике руководствовались следующей предпосылкой:

Все учащиеся должны уметь рассуждать и эффективно общаться по математике.Они должны обладать знаниями и навыками в использовании словаря, форм представлений, материалов, инструментов, методов и интеллектуальных методов математической дисциплины, включая способность определять и решать проблемы с помощью разума, проницательности, изобретательности и технических знаний. мастерство.

Connected Mathematics — это проблемно-ориентированная учебная программа, способствующая созданию среды преподавания-обучения на основе запросов. Математические идеи выявляются и включаются в тщательно упорядоченный набор задач и глубоко исследуются, чтобы позволить учащимся развить богатые математические знания.

Описание

Структура Arc of Learning — это ресурс для разработки и использования учебной программы, который ясно показывает намерения разработчиков учебной программы относительно того, как учащиеся вовлекаются в изучение математики с течением времени. Система Arc of Learning подчеркивает, как математическое обучение учащихся может со временем эволюционировать от неформальных знаний к более сложным рассуждениям. Он перемещает фокус обучения за пределы анализа отдельных задач, чтобы рассмотреть роль проблемы и ее расположение в учебной последовательности, которая способствует математическому обучению.Структура Arc of Learning возникла из-за необходимости выделить математическое обучение, встроенное в задачи в проблемно-ориентированных учебных программах, таких как Connected Mathematics.

Структура состоит из пяти этапов, которые описывают развитие понимания важных математических концепций и практик в рамках CMP:

• Введение (установка обстановки) : Учащиеся изучают задачи, раскрывающие математическую тему и неформально выделяющие ключевые математические концепции.Задачи также дают возможность оценить, что студенты привносят в урок с точки зрения целей модуля.
• Исследование (Mucking About) : Учащиеся изучают проблемы, которые создают платформу для разработки ключевых аспектов концепций и стратегий. Учащиеся рассматривают и исследуют контекст, который учащиеся могут использовать для построения, связи и получения математических знаний.
• Анализ (Идем глубже) : Учащиеся решают задачи с различными контекстными ситуациями и изучают нюансы в ключевых аспектах основных математических идей.Студенты устанавливают связи между концепциями и представлениями.
• Синтез ( Взгляд сквозь ): Учащиеся объединяют и уточняют свое возникающее математическое понимание (я) в связную структуру. Они распознают основные идеи в нескольких контекстных или проблемных ситуациях. Студенты начинают обобщать свои математические идеи и стратегии.
• Абстракция (Выход за рамки) : Учащиеся выносят суждения о том, какие представления, операции, правила или отношения полезны в различных контекстах.Учащиеся оглядываются на предыдущее обучение, чтобы обобщить, расширить и абстрагировать лежащую в основе математическую структуру и предоставить учителям возможности для оценки понимания учащимися на более сложном уровне.

Назначение

Арка обучения может сообщить:

• как нацелено мышление и обучение учащихся и как это мышление и обучение могут развиваться внутри и между последовательностями математических задач,
• , как учителя понимают развитие долгосрочных математических целей, встроенных в последовательную последовательность задач,
• решения по математике, педагогике и оценке, которые учителя принимают при планировании или проведении уроков, которые соответствуют математическим представлениям учащихся,
• повышение квалификации для поддержки проблемно-ориентированного обучения,
• исследования по проблемно-ориентированным программам и
исследования
• дизайн целенаправленной, основанной на проблемах учебной программы.