— 1205

Римская система счисления

Это, наверное, самая известная система, после «арабской», она возникла более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме.

Предполагаемое происхождение римских цифр

Для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д. Например, число 264 записывается в виде CCLXIV.

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Например, XI = 11, XII = 12, XIII = 13, но следующее число уже особенное, так как такое число «XIIII» писать не удобно, римляне придумали сокращения, они стали писать так XIV = 14, т.е. 10+5-1 = 14. Т.е. если цифра с меньшим значением записывалась перед цифрой с большим значением, то происходило ее вычитание. Так же записывалось число 9 = IX. И кроме этого нельзя было писать четыре одинаковые цифры подряд, например, «XXXX» = XL (50-10) = 40.

Римскими цифрами  пользовались  очень долго.  Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами  (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать).

С нею мы достаточно часто сталкиваемся в повседневной жизни. Это номера глав в книгах, указание века, числа на циферблате часов, и т. д.

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1.    Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2.   Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков (древнеегипетская сисстема счисления), тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Далее рассмотрим позиционные системы счисления.

1. 3. Позиционные системы счисления

В позиционных системах счисления смысл каждого символа зависит от того места, на котором он стоит.

Изобретение позиционной нумерации приписывается шумерам и вавилонянам; развита была такая нумерация индусами и имела неоценимые последствия в истории человеческой цивилизации.

Примерами такой системы счисления являются

• Двадцатеричная система Древних майя

• Вавилонская  шестидесятеричная система счисления

• Двенадцатеричная система счисления

• Десятичная система счисления

• Двоичная система счисления

Двадцатеричная система Древних майя

Сам человек был для древних майя той идеальной математической моделью, которую они и взяли за единицу счета. Действительно, что может быть естественней и проще, коль скоро сама природа «расчленила» эту единицу «счета» на 20 единиц второго порядка по числу пальцев на руках и ногах?

Древние майя записывали цифровые знаки, не горизонтально, а вертикально, снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр. На первой полке стояли единицы, на второй — двадцатки и т. д.

Сначала майя использовали для обозначения чисел иероглифические символы:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Затем они стали записывать свои цифровые знаки в виде точек и тире, причем, точка всегда означала единицы данного порядка, а тире — пятерки.

К числу таких систем относится современная десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Вавилонская  шестидесятеричная система счисления

В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления — числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков: для единицы, и для десятка. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Эти знаки повторялись нужное число раз, например

— 3; — 20; — 32;  — 59

Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними:

Шестидесятеричная запись чисел не получила широкого распространения за пределами вавилонского царства, но мы применяем ее до сих пор при измерении времени. Например, одна минута = 60 секунд, один час = 60 минут.

Двенадцатеричная система счисления

Двенадцатеричная система счисления возникла в древнем Шумере. Предполагается, что такая система возникала исходя из количества фаланг пальцев на руке при подсчёте их большим пальцем той же руки. Фаланги пальцев использовались как простейшие счёты (текущее состояние счёта засекалось большим пальцем), вместо загибания пальцев, принятого в европейской цивилизации.

Некоторые народы Нигерии и Тибета используют двенадцатеричную систему счисления в настоящее время.

Так же существует гипотеза, что до 12 считали сидя, загибая не только 10 пальцев рук, но и 2 ноги.

Нередко мы и сейчас сталкиваемся с двенадцатеричной системой счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект носовых платков — 12 штук. Время считается тоже в этой системе 12 месяцев, 24 часа в сутках,12-летний цикл в названиях года по китайскому календарю, в Англии в системе мер (1 фут = 12 дюймам).

Десятичная система счисления

Десятичная нумерация «изобретена» индусами; в Европу ее занесли арабы, вторгшиеся в Испанию в VIII в. нашей эры. Арабская нумерация распространилась по всей Европе, и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила. До сих пор наши цифры принято называть арабскими.

Арабы принесли к нам способ записи чисел, которым мы сейчас пользуемся, из Индии. Однако в самой Индии до последнего времени цифры выглядели совсем не так, как в Европе. А цифры, которыми сейчас пользуются арабы, тоже не очень похожи на европейские.

Одна из ненаучных гипотез происхождения начертания современных арабских цифр. Количество углов соответствует числовому значению цифры: 0 – углов нет, 1 – один угол, 2 – два угла и т.д.

Говорят также, что эти цифры представляют собой коэффициенты разложения заданного числа по степеням 10, а само число 10 называют основанием системы счисления. «Вес» цифры в десятичной записи числа определяется ее позицией: чем дальше отстоит данная позиция от крайнего правого разряда единиц, тем большую «солидность» и «вес» она имеет. Поэтому принятая система записи чисел называется десятичной позиционной системой счисления.

Двоичная система счисления

Наименьшее из чисел, которое можно взять за основание системы счисления, — это число два. Соответствующая этому основанию система, называемая двоичной, — одна из самых старых.

Представление информации в двоичной системе использовалось человеком с давних времен. Так, жители островов Полинезии передавали необходимую информацию при помощи барабанов: чередование звонких и глухих ударов.

Двоичная система счисления была описана математиками и философами ещё до появления компьютеров (XVII — XIX вв.). Позже двоичная система была забыта, и только в 1936 – 1938 годах американский инженер и математик Клод Шеннон нашёл замечательные применения двоичной системы при конструировании электронных схем.

Примером двоичного устройства служит обычная электрическая лампочка. Она может находиться в одном из двух состояний: включена (состояние 1) или выключена (состояние 0).

Некоторый недостаток двоичной системы состоит в том, что поскольку основание системы мало, для записи даже не очень больших чисел приходятся использовать много знаков. Например, число 1000 записывается в двоичной системе в виде 1111101000, т. е. с помощью десяти цифр.

Однако этот ее недостаток, часто окупается рядом преимуществ. Удобство этой системы — в ее необычайной простоте. В двоичной системе участвуют только две цифры 0 и 1, а число 2 представляет собой уже единицу следующего разряда. Весьма просто выглядят и правила действия над числами, записанными в двоичной системе.

Все это послужило причиной того, что двоичная система получила широкое распространение в различных областях техники, в особенности в современных вычислительных машинах.

Компьютеры используют двоичную систему потому, что она имеет ряд преимуществ перед другими системами:

— для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной

— представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

— двоичная арифметика намного проще десятичной.

Двоичная система, удобная для компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной записи.
Перевод чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот выполняет машина.

Принцип работы машины можно продемонстрировать с помощью арифметических действий.

1. 4. Правила перехода из одной системы счисления в другую.

Правила перехода из десятичной системы счисления в двоичную.

Разделить десятичное число на 2. Получится частное и остаток.

Частное опять разделить на 2. Получится частное и остаток.

Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим 2.

Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет двоичной записью исходного десятичного числа.

23₁₀ = 10111₂

Правила перехода из двоичной системы счисления в десятичную.

В двоичной системе вклад единицы на первом месте справа есть число 1, на втором – 2, на третьем – 4, на четвертом – 8 и так далее. Вклады нулей, понятно, равны нулю независимо от их позиций.

Получаем такое правило:

Для перевода из двоичной системы в десятичную нужно над каждой двоичной цифрой записать вес ее позиции и сложить числа, записанные над единицами.

Так, например, для числа 10111₂ получаем:

16 8 4 2 1

1 0 1 1 1₂ = 16 + 4 + 2 + 1 = 23₁₀

1. 5. Основные арифметические действия в двоичной системе счисления.

Двоичную арифметику разработал в 1697 г известный немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646-1716). Лейбниц настолько был восхищен этим своим открытием, что в его честь он выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел – и, возможно, это был тот редкий случай в истории науки, когда именно математическое открытие было удостоено такой высокой почести.

Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную нумерацию для практических вычислений вместо десятичной системы, но подчеркивал, что «вычисление с помощью двоек, то есть 0 и 1, в вознаграждение его длиннот, является для науки основным и порождает новые открытия, которые оказываются полезными впоследствии, даже в практике чисел, а особенно в геометрии: причиной чего служит то обстоятельство, что при сведении чисел к простейшим началам, каковы 0 и 1, всюду выявляется чудесный порядок».

Простейшие математические вычисления:

Сложение двоичных чисел.

Способ сложения «столбиком» как для десятичного числа. То есть, сложение выполняется поразрядно, начиная с младшей цифры. Если при сложении двух цифр получается СУММА больше девяти, то записывается цифра = СУММА–10, а 1 добавляется к старшему разряду. Так и с двоичным числом. Складываем поразрядно, начиная с младшей цифры. Если получается больше 10₂, то записывается 0 и 1 добавляется к старшему разряду (запоминаем).

Правила сложения:

0 + 1 = 1;

1 + 0 = 1;

1 + 1 = 10.

1 1

₁₀₀₁₁

⁺10001

100100

Первый разряд: 1 + 1 = 10. Записываем 0, а 1 запоминаем.

Второй разряд: 1 + 0 + 1(запомненная единица) =10. Записываем 0,а 1 запоминаем.

Третий разряд: 0 + 0 + 1(запомненная единица) = 1. Записываем 1.

Четвертый разряд: 0 + 0 = 0. Записываем 0.

Пятый разряд: 1 + 1 = 10. Записываем 0 и добавляем шестым разрядом 1. 

Вычитание двоичных чисел.

Вычитать числа будем также столбиком и общее правило тоже, что и для десятичных чисел, вычитание выполняется поразрядно и если в разряде не хватает единицы, то она занимается в старшем.

Правила вычитания:

1 – 0 = 1

10 – 1 = 1

. .

_1101

110

111

Первый разряд: 1 – 0 = 1. Записываем 1.

Второй разряд: 0 – 1(занимаем 1 у старшего разряда, получаем 10 – 1) = 1. Записываем 1.

Третий разряд: 0 – 1(занимаем 1 у старшего разряда, получаем 10 – 1) = 1. Записываем 1.

Умножение двоичных чисел.

Операция умножения двоичных чисел сводится к умножению множимого на каждый разряд множителя с последующим сдвигом и суммированием полученных произведений, аналогично умножению в десятичной системе.

Правила умножения

1 * 1 = 1

1 * 0 = 0

0 * 1 = 0

0 * 0 = 0

_×1101

101

₊1101

1101

1000001

Деление двоичных чисел.

Выполняется подобно операции деления в десятичной системе.

Правила деления

1 : 1 = 1

0 : 1 = 0

_10101 111

111 11

_111

111

0

Глава 2. Практическая часть

2.1. Перевод из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы счисления в двоичную

1

6

0

8

4

2

0

1

4

2

2

0

2

1

0

6

3

2

0

0

2

1

1

0

0

4

2

2

1

1

2

1

0

Перевод из двоичной системы счисления в десятичную

1

1

0

1

0

1

1

1

1

1

1

7

3

2.2. Основные арифметические действия

Сложение

Компьютер — Система счисления — CoderLessons.com

Когда мы вводим некоторые буквы или слова, компьютер переводит их в числа, поскольку компьютеры могут понимать только цифры. Компьютер может понять систему позиционных чисел, где есть только несколько символов, называемых цифрами, и эти символы представляют различные значения в зависимости от положения, которое они занимают в номере.

Значение каждой цифры в номере можно определить с помощью —

• Цифра

• Положение цифры в номере

• Основа системы счисления (где база определяется как общее количество цифр, доступных в системе счисления)

Цифра

Положение цифры в номере

Основа системы счисления (где база определяется как общее количество цифр, доступных в системе счисления)

Десятичная система счисления

Система счисления, которую мы используем в нашей повседневной жизни, — это десятичная система счисления. Система десятичных чисел имеет основание 10, так как использует 10 цифр от 0 до 9. В системе десятичных чисел последовательные позиции слева от десятичной точки представляют единицы, десятки, сотни, тысячи и т. Д.

Каждая позиция представляет определенную силу основания (10). Например, десятичное число 1234 состоит из цифры 4 в позиции единиц, 3 в позиции десятков, 2 в позиции сотен и 1 в позиции тысяч. Его значение можно записать как

(1 x 1000)+ (2 x 100)+ (3 x 10)+ (4 x l)
(1 x 10 3 )+ (2 x 10 2 )+ (3 x 10 1 )+ (4 x l0 0 )
1000 + 200 + 30 + 4
1234

Как программист или ИТ-специалист, вы должны понимать следующие системы счисления, которые часто используются в компьютерах.

Двоичная система счисления

База 2. Используемые цифры: 0, 1

Восьмеричная система счисления

База 8. Используемые цифры: от 0 до 7

Гекса десятичная система счисления

База 16. Используемые цифры: от 0 до 9, используемые буквы: A- F

Двоичная система счисления

Характеристики двоичной системы счисления следующие:

• Использует две цифры, 0 и 1

• Также называется базовой системой счисления 2

• Каждая позиция в двоичном числе представляет степень 0 основания (2). Пример 2 ⁰

• Последняя позиция в двоичном числе представляет собой степень x основания (2). Пример 2 ^x, где x представляет последнюю позицию — 1.

Использует две цифры, 0 и 1

Также называется базовой системой счисления 2

Каждая позиция в двоичном числе представляет степень 0 основания (2). Пример 2 ⁰

Последняя позиция в двоичном числе представляет собой степень x основания (2). Пример 2 ^x, где x представляет последнюю позицию — 1.

пример

Двоичный номер: 10101 ₂

Расчет десятичного эквивалента —

Примечание — 10101 ₂ обычно записывается как 10101.

Восьмеричная система счисления

Характеристики восьмеричной системы счисления следующие:

• Использует восемь цифр, 0,1,2,3,4,5,6,7

• Также называется базовой системой счисления 8

• Каждая позиция в восьмеричном числе представляет степень 0 основания (8). Пример 8 ⁰

• Последняя позиция в восьмеричном числе представляет собой степень x основания (8). Пример 8 ^x, где x представляет последнюю позицию — 1

Использует восемь цифр, 0,1,2,3,4,5,6,7

Также называется базовой системой счисления 8

Каждая позиция в восьмеричном числе представляет степень 0 основания (8). Пример 8 ⁰

Последняя позиция в восьмеричном числе представляет собой степень x основания (8). Пример 8 ^x, где x представляет последнюю позицию — 1

пример

Восьмеричное число: 12570 ₈

Расчет десятичного эквивалента —

Примечание — 12570 ₈ обычно записывается как 12570.

Шестнадцатеричная система счисления

Характеристики шестнадцатеричной системы счисления следующие:

• Использует 10 цифр и 6 букв, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

• Буквами обозначены числа, начинающиеся с 10. A = 10. B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15

• Также называется базовой системой счисления 16

• Каждая позиция в шестнадцатеричном числе представляет степень 0 основания (16). Пример 16 ⁰

• Последняя позиция в шестнадцатеричном числе представляет собой степень x основания (16). Пример 16 ^x, где x представляет последнюю позицию — 1

Использует 10 цифр и 6 букв, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Буквами обозначены числа, начинающиеся с 10. A = 10. B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15

Также называется базовой системой счисления 16

Каждая позиция в шестнадцатеричном числе представляет степень 0 основания (16). Пример 16 ⁰

Последняя позиция в шестнадцатеричном числе представляет собой степень x основания (16). Пример 16 ^x, где x представляет последнюю позицию — 1

пример

Шестнадцатеричное число: 19FDE ₁₆

Расчет десятичного эквивалента —

Примечание. 19FDE ₁₆ обычно записывается как 19FDE.

НОУ ИНТУИТ | Лекция | Двоичные числа и двоичная арифметика

Аннотация: Рассматривается двоичная система счисления как частный случай позиционной системы и основные правила двоичной арифметики.

Принцип представления чисел в позиционных системах счисления

Позиционной называется система счисления, в которой вес разряда числа определяется его позицией в записи числа [1].

Вспомним нашу привычную десятичную систему счисления, в которой мы с детства производим все расчеты. Уже в начальной школе мы привыкли к терминам «единицы», «десятки», «сотни», «тысячи», «десятые», «сотые», «тысячные» и не задумываемся над тем, что они означают вес разряда, выраженный в виде числа, равного , где — целое число. Например, число 125, 46 можно представить в виде суммы:

сотни десятки единицы десятые доли сотые доли

Аналогично любое число в десятичной системе счисления можно представить в виде подобной суммы:

где — количество знаков в целой части числа, — количество знаков в дробной части числа, — вес -го разряда, — весовой коэффициент для -го разряда числа. Количество возможных вариантов значения коэффициента в десятичной системе счисления равно , поскольку для записи чисел в ней используются десять знаков — арабские цифры «0», «1», «2», «3», «4», «5», «6», «7», «8» и «9». Число является основанием системы счисления. Исторически сложилось, что десятичная система получила наибольшее распространение, хотя по этому принципу можно сделать аналогичную запись в любой другой системе счисления c любым другим основанием. В табл. 11.1 прослежива ется аналогия между позиционными системами счисления.

Основание системы счисления — это число, равное количеству знаков, которые используются в этой системе для записи чисел.

Для числа в системе счисления с основанием выражение (11.1) преобразуется к виду:

С началом развития цифровой вычислительной техники большой интерес стала вызывать двоичная система, поскольку вычислительная машина любого поколения и любой степени сложности — это совокупность логических схем. Работа элементов этих схем основана на ключевом режиме работы транзистора, в котором он может быть только в двух состояниях, принимаемых за логический 0 и логическую 1.

Запись двоичного числа, как будет показано ниже, как правило, довольно длинна и громоздка, поэтому для более короткой записи двоичных чисел применяются восьмеричные и шестнадцатеричные числа. Выбор именно этих систем обусловлен тем, что их основания равны целой степени числа 2. Основание восьмеричной системы , а основание шеснадцатиричной системы — это . Для записи шестнадцатеричных чисел арабских цифр не хватает, поэтому используются первые шесть заглавных букв латинского алфавита.

Итак, далее мы подробно рассмотрим именно эти позиционные системы — двоичную, восьмеричную, шестнадцатеричную и их связь с привычной нам десятичной системой счисления.

Приведем примеры записи чисел в указанных системах и найдем их десятичные эквиваленты по формуле (11.2).

Для двоичного числа:

Здесь и далее будем придерживаться следующего правила: числа в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах записываются с указанием основания, десятичные — без этой записи.

Для восьмеричного числа:

Для шестнадцатеричного числа:

Округление относится к дробной части числа, целая часть переводится точно. Особенностью перевода из шестнадцатеричного кода в десятичный код является то, что в качестве коэффициента используется десятичный эквивалент шестнадцатеричного знака в соответствии с таблицей 11.2. Для нашего примера вместо знака » » в расчетную формулу (11.2) подставляется десятичное число .

Из рассмотренных примеров видно, что общая формула (11.2) может использоваться для перевода числа из системы счисления с любым основанием в десятичную.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

Перевод из десятичной системы в любую другую. Перевод целых чисел

Целое десятичное число нужно поделить на основание новой системы счисления. Остаток от этого деления является самым младшим разрядом в новой записи числа. Результат деления вновь делится на основание. Остаток от этого деления будет следующим разрядом в новой записи числа, результат деления вновь делится на основание и т.д. до тех пор, пока в результате деления получится число, меньшее по величине, чем основание новой системы. Остаток этого последнего деления будет предпоследним разрядом в новой записи числа, а результат этого последнего деления — самым старшим разрядом в новой записи числа.

Проверка перевода осуществляется по формуле (11.2), так, как это показано ниже на примерах.

Пример. Перевести десятичное число 125 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления. Проверить результаты по формуле (П11.2).

Проверка:

• в двоичном коде: ;
• в восьмеричном коде ;
• в шестнадцатеричном коде — .

В рассмотренном примере при переводе вместо коэффициента используется его десятичный эквивалент в соответствии с таблицей 11.2.

Перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную (восьмеричную)

Как уже было сказано выше, шестнадцатеричный и восьмеричный коды используются для более компактной и удобной записи двоичных чисел. Так, программирование в машинных кодах осуществляется в большинстве случаев в шестнадцатеричном коде. Правила перевода для шестнадцатеричной и восьмеричной системы структурно одинаковы, отличия для восьмеричной системы отображаются в скобках.

Двоичная запись числа делится на группы по четыре ( три ) двоичных знака влево и вправо от запятой, отделяющей целые и дробные части Неполные крайние группы (если они есть) дополняются нулями до четырех ( трех ) знаков. Каждая группа заменяется одним шестнадцатеричным ( восьмеричным ) знаком в соответствии с кодом группы (табл. 11.2).

Примеры:

• перевод в шестнадцатеричную систему:
• перевод в восьмеричную систему:

Перевод из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы в двоичную

Обычно программы в машинных кодах записаны в шестнадцатеричной системе счисления, реже — в восьмеричной. При необходимости отдельные числа такой программы записываются в двоичном коде, например, при рассмотрении форматов регистров, кодов операции команд и т.п. В этом случае нужен обратный перевод из шестнадцатеричной (восьмеричной) системы счисления в двоичную по следующему правилу.

Каждая цифра (без всяких сокращений!) шестнадцатеричного ( восьмеричного ) числа заменяется одной двоичной группой из четырех ( трех ) двоичных знаков (табл. 11.2).

Примеры:

• для шестнадцатеричного числа: ;
• для восьмеричного числа: .

Как показано в примерах, крайние нули слева и справа при желании можно не писать, но такое сокращение делается уже после перевода в двоичную систему.

Двоичное кодирование — урок. Информатика, 7 класс.

Известно множество способов записи чисел.

Мы пользуемся десятичной позиционной системой счисления. Десятичной она называется потому, что в этой системе счисления десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего старшего разряда.

Число \(10\) называется основанием десятичной системы счисления. Для записи чисел в десятичной системе счисления используются десять цифр: \(0\), \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(6\), \(7\), \(8\) и \(9\).

Позиционной эта система счисления называется потому, что одна и та же цифра получает различные количественные значения в зависимости от места или позиции, которую она занимает в записи числа.

Пример:

в записи числа \(555\) цифра \(5\), стоящая на первом месте справа, обозначает \(5\) единиц, на втором — \(5\) десятков, на третьем — \(5\) сотен.

Рассмотрим два числовых ряда:
\(1\), \(10\), \(100\), \(1000\), \(10 000\), \(100 000\)…
\(1\), \(2\), \(4\), \(8\), \(16\), \(32\), \(64\), \(128\), \(256\), \(512\), \(1024\), \(2048\)…
Оба этих ряда начинаются с единицы.

Каждое следующее число первого ряда получается путём умножения предыдущего числа на \(10\).

Каждое следующее число второго ряда получается путём умножения предыдущего числа на \(2\).
Любое целое число можно представить в виде суммы разрядных слагаемых — единиц, десятков, сотен, тысяч и так далее, записанных в первом ряду. При этом каждый член этого ряда может либо не входить в сумму, либо входить в неё от \(1\) до \(9\) раз.

Пример:

1409=1⋅1000+4⋅100+0⋅10+9⋅1.

Числа \(1\), \(4\), \(0\), \(9\), на которые умножаются члены первого ряда, составляют исходное число \(1409\).

Перевод целых десятичных чисел в двоичный код

Способ 1

Попробуем представить число \(1409\) в виде суммы членов второго ряда.

Воспользуемся методом разностей. Возьмём ближайший к исходному числу, но не превосходящий его член второго ряда и составим разность:

\(1409 — 1024 = 385\).

Возьмём ближайший к полученной разности, но не превосходящий её член второго ряда и составим разность:

\(385 — 256 = 129\).

Аналогично составим разность:

\(129 — 128 = 1\).

В итоге получим:

1409=1024+256+128+1=1⋅1024+0⋅512+1⋅256+1⋅128+ 0⋅64+0⋅32+0⋅16+0⋅8+0⋅4+0⋅2+1⋅1

Мы видим, что каждый член второго ряда может либо не входить в сумму, либо входить в неё только один раз.

Числа \(1\) и \(0\), на которые умножаются члены второго ряда, также составляют исходное число \(1409\), но в его другой, двоичной записи: \(10110000001\).

Результат записывают так:

140910=101100000012.

Исходное число мы записали с помощью \(0\) и \(1\), другими словами, получили двоичный код этого числа или представили число в двоичной системе счисления.

Способ 2

Пример:

В первую ячейку верхней строки записано исходное число, а в каждую следующую — результат целочисленного деления предыдущего числа на \(2\).
В ячейках нижней строки записаны остатки от деления стоящих в верхней строке чисел на \(2\).
Последняя ячейка нижней строки остается пустой. Двоичный код исходного десятичного числа получается при последовательной записи всех остатков, начиная с последнего: 140910=101100000012.

Первые \(20\) членов натурального ряда в двоичной системе счисления записываются так: \(1\), \(10\), \(11\), \(100\), \(101\), \(110\), \(111\), \(1000\), \(1001\), \(1010\), \(1011\), \(1100\), \(1101\), \(1110\), \(1111\), \(10000\), \(10001\), \(10010\), \(10011\), \(10100\).

Перевод целых чисел из двоичной системы счисления в десятичную

Способ 1

Пусть имеется число 1111012. Его можно представить так:

Способ 2

Возьмем то же число 1111012. Переведём единицу \(6\)-го разряда (первая слева в записи числа) в единицы \(5\)-го разряда, для чего \(1\) умножим на \(2\), так как единица \(6\)-го разряда в двоичной системе содержит \(2\) единицы \(5\)-го разряда.
К полученным \(2\) единицам \(5\)-го разряда прибавим имеющуюся единицу \(5\)-го разряда. Переведём эти \(3\) единицы \(5\)-го разряда в \(4\)-й разряд и прибавим имеющуюся единицу \(4\)-го разряда:

3⋅2+1=7.

Переведём \(7\) единиц \(4\)-го разряда в \(3\)-й разряд и прибавим имеющуюся единицу \(3\)-го разряда:

\(7 · 2 + 1 = 15\).

Переведём \(15\) единиц \(3\)-го разряда во \(2\)-й разряд:

\(15 · 2 = 30\).

В исходном числе во \(2\)-м разряде единиц нет.

Переведем \(30\) единиц \(2\)-го разряда в \(1\)-й разряд и прибавим имеющуюся там единицу:

\(30 · 2 + 1 = 61\).

Мы получили, что исходное число содержит \(61\) единицу \(1\)-го разряда. Письменные вычисления удобно располагать так:

\(((((1 · 2 + 1) · 2 + 1) · 2 + 1) · 2 + 0) · 2 + 1 = 61\).

Переводить целые числа из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления и обратно можно с помощью приложения Калькулятор.

Источники:

Босова, Л. Л. Информатика и ИКТ. Учебник для 6 класса / Л. Л. Босова. — 4-е изд. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. — 217 с.

Для чего нужна шестнадцатеричная система счисления 🚩 Математика

Привычная для человека система счисления – десятичная. В ее основу входят десять цифр от 0 до 9. Шестнадцатеричную систему отличает наличие в ней первых шести букв латинского алфавита для записи чисел помимо основных цифр. То есть после цифры 9 следует символ «A», который соответствует числу 10 для десятичной системы. Соответственно, F в шестнадцатеричной системе – это 16 в десятичной. Использование шестнадцати символов в системе – неслучайный выбор.

Единица информации – бит. Восемь бит образуют байт. Существует такое понятие, как машинное слово – это единица данных, представляющая собой два байта, то есть шестнадцать бит. Таким образом, используя шестнадцать различных символов, можно описывать любую информацию, которая при обмене данных будет наименьшей частицей. С ними можно производить любые арифметические действия, результат, соответственно, получится тоже в шестнадцатеричной системе.

Для того чтобы отличать, что число записано в шестнадцатеричной системе, после него записывают букву «h» или нижний индекс «16».

Наиболее широкое применение шестнадцатеричной системы счисления – это коды ошибок программных продуктов, например, операционной системы. Числа, заложенные в этих кодах, стандартизированы. Имея специальную таблицу, всегда можно определить, что именно означает та или иная ошибка.

В языках низкого уровня, максимально приближенным к машинным кодам шестнадцатеричная система применяется для написания программ. Многие программисты используют ее и при работе с языками высокого уровня, потому что числа в этой системе при помощи специальной таблицы соответствия легко переводятся в двоичную систему, на которой основана работа всей цифровой техники. Любая информация в компьютере, будь то музыкальный файл или текстовый документ, после трансляции представлена последовательностью исходного двоичного кода, а его удобнее просматривать представленным символами шестнадцатеричной системы.

Также одно из применений шестнадцатеричных символов – описание цветовых схем, то есть три компонента R, G, B описываются соответствующим данной системе способом. Данный подход к записи получил название шестнадцатеричный цвет

Возможность просмотреть программу в шестнадцатеричном коде позволяет отладить ее, внести изменения, а злоумышленниками данный подход используется для взлома программ.

двоичных пальцев!

Забудьте о счетах до 10 на пальцах … вы можете сосчитать до 1000, если хотите!

Правая рука

Одной правой рукой вы можете сосчитать до 31:

Фактически вы считаете в двоичном формате:

Вот еще несколько примеров:

Почему?

Так что вы можете считать до больших чисел, когда у вас нет карандаша или бумаги.

Вы также можете «запомнить» числа, правильно держа пальцы.

Или вы можете показать кому-нибудь секретный номер, используя только свою руку (или руки, см. Позже).

Твоя очередь

Потренируйтесь считать на пальцах от 0 до 31, как описано выше.

Сделайте это много раз, пока не станет легко.

Когда у тебя получится хорошо, продемонстрируй это своим друзьям!

Левая рука

Хотите больше цифр? Левая рука может помочь:

Теперь мы можем использовать все 10 пальцев, чтобы составить такие числа:

И, наконец, что происходит, когда все пальцы подняты вверх?

Итак, теперь вы можете считать чуть больше 1000, используя всего 10 пальцев.Вот это да.

Практикуйте это в течение следующих нескольких дней … вы получите новый навык, а также обнаружите, что двоичный код будет намного легче понять.

двоичная система счисления | Encyclopedia.com

Двоичная система счисления, также называемая системой счисления с основанием 2 и , представляет собой метод представления чисел с использованием комбинаций только двух цифр: нуля (0) и единицы (1). Компьютеры используют двоичную систему счисления для управления и хранения всех своих данных, включая числа, слова, видео, графику и музыку.

Термин бит, наименьшая единица цифровой техники, означает «двоичную цифру». Байт — это группа из восьми бит. Килобайт равен 1024 байтам или 8192 битам.

Используя двоичные числа, 1 + 1 = 10, потому что «2» не существует в этой системе. Другая система счисления, обычно используемая десятичная или система счисления по основанию 10 и , считает, используя 10 цифр (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), поэтому 1 + 1 = 2 и 7 + 7 = 14. Другой системой счисления, используемой компьютерными программистами, является шестнадцатеричная система счисления с основанием 16 , в которой используются 16 символов (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A, B, C, D, E, F), поэтому 1 + 1 = 2 и 7 + 7 = E.Системы счисления с основанием 10 и 16 более компактны, чем двоичная. Программисты используют шестнадцатеричную систему счисления как удобный и более компактный способ представления двоичных чисел, поскольку ее очень легко преобразовать из двоичной системы в шестнадцатеричную и наоборот. Сложнее преобразовать из двоичного в десятичное и из десятичного в двоичное.

Преимуществом двоичной системы является ее простота. Вычислительное устройство может быть создано из всего, что имеет ряд переключателей, каждый из которых может переключаться между положением «включено» и положением «выключено».Эти переключатели могут быть электронными, биологическими или механическими, если их можно перемещать по команде из одного положения в другое. Большинство компьютеров имеют электронные переключатели.

Когда переключатель находится в положении «включено», он представляет значение единицы, а когда переключатель находится в положении «выключено», он представляет значение нуля. Цифровые устройства выполняют математические операции, включая и выключая двоичные переключатели. Чем быстрее компьютер может включать и выключать переключатели, тем быстрее он выполняет свои вычисления.

9

Позиционная нотация

Каждая цифра в двоичном числе принимает значение, которое зависит от ее положения в числе .Это называется позиционным обозначением. Это понятие также применимо к десятичным числам.

Например, десятичное число 123 представляет десятичное значение 100 + 20 + 3. Число один представляет сотни, число два представляет десятки, а число три представляет единицы. Математическая формула для создания числа 123 может быть создана путем умножения числа в столбце сотен (1) на 100 или 10 ² ; умножение числа в столбец десятков (2) на 10, или 10 ¹ ; умножение числа в столбце (3) единиц на 1, или 10 ⁰ ; а затем сложить продукты вместе.Формула: 1 × 10 ² + 2 × 10 ¹ + 3 × 10 ⁰ = 123.

Это показывает, что каждое значение умножается на основание (10) в возрастающей степени. Значение мощности начинается с нуля и увеличивается на единицу в каждой новой позиции в формуле.

Эта концепция позиционного обозначения также применяется к двоичным числам с той разницей, что основание равно 2. Например, чтобы найти десятичное значение двоичного числа 1101, формула имеет вид 1 × 2 ³ + 1 × 2 ² + 0 × 2 ¹ + 1 × 2 ⁰ = 13.

Двоичные операции

Двоичными числами можно управлять с помощью тех же знакомых операций, которые используются для вычисления десятичных чисел, но с использованием только нулей и единиц. Чтобы сложить два числа, нужно запомнить только четыре правила:

Следовательно, чтобы решить следующую задачу сложения, начните с самого правого столбца и сложите 1 + 1 = 10; запишите 0 и перенесите 1. Работая с каждым столбцом слева, продолжайте добавлять, пока проблема не будет решена.

Чтобы преобразовать двоичное число в десятичное, каждая цифра умножается на степень двойки.Затем продукты складываются. Например, чтобы преобразовать двоичное число 11010 в десятичное, формула будет иметь следующий вид:

Чтобы преобразовать двоичное число в шестнадцатеричное, разделите двоичное число на группы по четыре, начиная справа, а затем преобразуйте каждую группу в свое шестнадцатеричный эквивалент. Слева от двоичного числа можно добавить нули, чтобы завершить группу из четырех человек. Например, чтобы перевести число 11010 в шестнадцатеричное, формула будет иметь следующий вид:

Цифровые данные

Биты являются фундаментальным элементом цифровых вычислений.Термин «оцифровка» означает преобразование аналогового сигнала — диапазона напряжений — в цифровой сигнал, или ряд чисел, представляющих напряжения. Музыкальное произведение можно оцифровать, взяв из него очень частые сэмплы, так называемые сэмплы, и переведя их в дискретные числа , которые затем преобразуются в нули и единицы. Если сэмплы берутся очень часто, музыка при воспроизведении звучит как непрерывный тон.

Черно-белую фотографию можно оцифровать, наложив тонкую сетку на изображение и вычислив количество серого на каждом пересечении сетки, называемое пикселем .Например, используя 8-битный код, чисто белая часть изображения может быть оцифрована как 11111111. Аналогичным образом, чисто черная часть может быть оцифрована как 00000000. Каждое из 254 чисел, находящихся между этими двумя крайностями. (числа от 00000001 до 11111110) представляет собой оттенок серого. Когда приходит время восстановить фотографию, используя набор двоичных цифр, компьютер декодирует изображение, присваивает каждому пикселю правильный оттенок серого и появляется изображение. Чтобы улучшить разрешение, можно использовать более мелкую сетку, чтобы изображение можно было увеличить до большего размера без потери деталей.

Цветная фотография оцифровывается аналогичным образом, но для сохранения цвета пикселя требуется гораздо больше битов. Например, 8-битная система использует восемь битов, чтобы определить, какой из 256 цветов представлен каждым пикселем (2 ⁸ равно 256). Точно так же 16-битная система использует шестнадцать битов для определения каждого из 65 536 цветов (2 ¹⁶ равно 65 536). Поэтому для цветных изображений требуется гораздо больше места для хранения, чем для черно-белых.

см. Также Ранние компьютеры; Объем памяти.

Энн МакИвер МакХоуз

Библиография

Блиссмер, Роберт Х. Знакомство с компьютерными концепциями, системами и приложениями. Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc., 1989.

Диллиган, Роберт Дж. Вычислительная техника в эпоху Интернета: интерактивное веб-введение. New York: Plenum Press, 1998.

White, Ron. Как работают компьютеры: издание тысячелетия. Индианаполис: Que Corporation, 1999.

— диаграмма, преобразование и операции

Двоичная система счисления используется для определения числа в двоичной системе.Двоичная система используется для представления числа только в виде двух чисел, 0 и 1. Двоичная система счисления обычно используется в компьютерных языках, таких как Java, C ++. Поскольку компьютер понимает только двоичный язык, равный 0 или 1, все входные данные, передаваемые компьютеру, декодируются им в последовательности нулей или единиц для дальнейшей обработки. В этом уроке мы узнаем, как преобразовать десятичное число в его двоичное число и преобразовать двоичное число в десятичное.

Что такое двоичная система счисления?

«Би» в переводе с двоичного означает «два».Следовательно, это возвращает линию к представлению числа только в терминах 0 и 1. Десятичные числа можно легко выразить в двоичной системе счисления. Десятичные и двоичные числа имеют разные обозначения. Десятичное число представлено с основанием 10, а двоичное число представлено с основанием 2. Например, 2 в десятичной системе счисления представляется как \ ((2) _ {10} \). Двоичное число для 2 представлено как \ ((10) _ {2} \). Следовательно, 10 — это двоичное представление числа 2.

Схема системы двоичных чисел

Цифры от 1 до 10 можно выразить в двоичной системе счисления следующим образом:

Преобразование двоичного числа в десятичное

Двоичное число можно преобразовать в десятичное, выразив каждую цифру как произведение данного числа 1 или 0 в соответствующей степени 2. Если двоичное число состоит из n цифр, B = \ (a_ {n-1} … a_ {3} a_ {2} a_ {1} a_ {0} \), десятичное число для него задается как, D = (a ₀ × 2 ⁰ ) + (a ₁ × 2 ¹ ) + (a ₂ × 2 ² ) +…
Давайте разберемся в этом на примере.
Мы можем преобразовать 10101 в форму десятичного числа следующим образом:
Двоичное число 10101 выражается как \ ((10101) _ {2} \) = (1 × 2 ⁴ ) + (0 × 2 ³ ) + (1 × 2 ² ) + (0 × 2 ¹ ) + (1 × 2 ⁰ ) = \ ((21) _ {10} \). Таким образом, двоичное число 10101 выражается как \ ((21) _ {10} \).

Десятичное преобразование в двоичное

Десятичное число можно преобразовать в двоичное, разделив данное число на 2, пока мы не получим частное как 1.Цифры пишутся снизу вверх.
Давайте разберемся в этом на примере.
Мы можем преобразовать 30 в двоичную форму числа следующим образом:

Десятичное число 30 выражается как \ ((30) _ {10} \) = \ ((11110) _ {2} \).

Операции с двоичными числами

Сложение двоичных файлов

Складываем двоичные числа по цифре и получаем ответ на сложение. При сложении двух двоичных чисел важно помнить приведенную ниже таблицу.

Двоичное вычитание

Двоичные числа вычитаются по цифре, и получается ответ. Приведенная ниже таблица учитывается при вычитании двух двоичных чисел.

Двоичное умножение

Правила умножения любых двух двоичных чисел имеют следующий вид:

Дополнение двоичного числа до 1 и 2

• Дополнение двоичного числа до единицы задается путем инвертирования цифр двоичного числа.Например, дополнение до 1 к \ ((101) _ {2} \) равно \ ((010) _ {2} \).
• Дополнение двоичного числа до 2 задается путем инвертирования цифр двоичного числа и прибавления 1 к младшему разряду. Например, дополнение до 2 к \ ((111) _ {2} \) — это \ ((001) _ {2} \), которое получается путем взятия дополнения до 1 к \ ((111) _ {2} \) и добавления 1 в младшем разряде.

Полезные советы

Вот несколько важных моментов, которые следует помнить о двоичной системе счисления:

• Двоичное число состоит из двух чисел: 0 и 1.
• Двоичные числа представлены цифрой 2 в основании. Например, \ ((101) _ {2} \).
• Каждая цифра двоичного числа называется битом. Например, \ ((111) _ {2} \) — это трехбитная двоичная система.
• Бинарное сложение также называется операцией «И».
• Двоичное умножение также называется операцией «ИЛИ».
• Двоичное вычитание может быть выполнено взятием дополнения двоичного числа до 1 и 2.
• Старшая цифра двоичного числа представляет знак двоичного числа, которое используется для выполнения двоичных операций со знаком.1 представляет отрицательный знак, а 0 — положительный знак.

Темы, связанные с двоичной системой счисления

Часто задаваемые вопросы о двоичной системе счисления

Что такое двоичная система счисления?

Система представления, в которой число может быть выражено только двумя цифрами (0 и 1) с основанием 2, является известной двоичной системой счисления.

Почему в компьютерах используется двоичная система счисления?

Компьютерные системы всегда обрабатывают заданные инструкции, используя 0 или 1, поскольку они находятся либо во включенном, либо в выключенном состоянии.Это позволяет им быстрее обрабатывать информацию.

Что означает 10101 в двоичной системе счисления?

10101 означает 21 в двоичной системе счисления.

Как преобразовать десятичное число в двоичную систему счисления?

Десятичное число можно преобразовать в двоичную систему счисления путем деления данного числа на 2, пока мы не получим частное как 1. Числа записываются снизу вверх.

Как преобразовать двоичное число в десятичное?

Мы можем преобразовать двоичное число в десятичное, выразив каждую цифру как произведение заданного числа 1 или 0 в соответствующую степень 2.Если двоичное число состоит из n цифр, B = \ ((a) _ {n-1} \) .. \ ((a) _ {3} \) \ ((a) _ {2} \) \ (( a) _ {1} \) \ ((a) _ {0} \), десятичное число для него задается как, D = (\ ((a) _ {0} \) × 2 ⁰ ) + (\ ((a) _ {1} \) × 2 ¹ ) + (\ ((a) _ {2} \) × 2 ² ) + …

Что означает 1011 в двоичной системе счисления?

1011 означает 11 в двоичной системе счисления как 1 × 2 ⁰ + 1 × 2 ¹ + 0 × 2 ² + 1 × 2 ³ = 1+ 2+ 0 + 8 = 11.

Как написать 13 в двоичной системе счисления?

13 означает 1101 в двоичной системе счисления.Мы непрерывно делим 13 на 2, пока частное не станет 1. В этом случае необходимо выполнить следующие шаги:

• 13/2 дает 6 как частное и 1 как остаток.
• 6/2 дает 3 как частное и 0 как остаток.
• 3/2 дает 1 как частное и 1 как остаток.
• Теперь число записывается снизу вверх как \ ((13) _ {10} \) = \ ((1101) _ {2} \).

Как работает двоичная система?

Как часто вы пользуетесь компьютером? Если вы подумаете обо всех гаджетах, которыми пользуетесь каждый день, вы, вероятно, поймете, что используете больше компьютеров, чем думаете.Помимо портативных или настольных компьютеров, которые вы используете в школе или дома, вы также можете использовать калькуляторы, смартфоны, планшеты, музыкальные плееры, электронные устройства для чтения, цифровые видеомагнитофоны, видеоигры и всевозможные другие устройства.

В сегодняшнем мире, наполненном технологиями, трудно избежать использования компьютеров. На самом деле, мы держим пари, что многие из наших Wonder Friends однажды будут работать на работе, которая требует от вас постоянного использования компьютеров. Некоторые из вас могут даже создавать компьютеры или писать код для создания программного обеспечения, видеоигр и приложений для смартфонов!

Когда вы изучаете основы компьютерного программирования, вы рано понимаете, что в основном все, что входит (ввод) или выходит (вывод) компьютера, состоит из последовательности нулей и единиц.В этом суть цифровых данных, и они основаны на двоичной системе.

Когда вы изучаете математику в школе, вы используете десятичную систему счисления. Это означает, что ваша система счисления состоит из 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Когда вы добавляете один к девяти, вы перемещаете 1 на одну позицию влево в десятки. поместите и поставьте 0 вместо единиц: 10.

С другой стороны, двоичная система счисления — это система счисления с основанием 2. Это означает, что здесь используются только два числа: 0 и 1. Когда вы прибавляете единицу к единице, вы перемещаете 1 на одну позицию влево на место двоек и ставите 0 на место единиц: 10.Итак, в системе с основанием 10 10 равно десяти. В системе с основанием 2 10 равно двум.

В системе base-10, с которой вы знакомы, значения разряда начинаются с единиц и переходят к десяткам, сотням и тысячам при перемещении влево. Это потому, что система основана на степени 10.

Точно так же в системе с основанием 2 значения разряда начинаются с единиц и переходят к двойкам, четверкам и восьмеркам при перемещении влево. Это потому, что система base-2 основана на степени двойки. Каждая двоичная цифра называется битом.

Не волнуйтесь, если двоичная система сейчас сбивает с толку. Это довольно легко понять, если вы немного поработаете с этим. Поначалу это просто сбивает с толку, потому что все числа состоят только из нулей и единиц. Знакомая система с основанием 10 так же проста, как 1-2-3, а двоичная система с основанием 2 так же проста, как 1-10-11.

Вы можете ЗАДАВАТЬСЯ, почему компьютеры используют двоичную систему. Компьютеры и другие электронные системы работают быстрее и эффективнее, используя двоичную систему, потому что система, использующая только два числа, легко дублируется системой включения / выключения.

Электричество либо включено, либо выключено, поэтому устройства могут использовать выключатель в электрических цепях для простой обработки двоичной информации. Например, off может быть равен 0, а on — 1.

Каждая буква, цифра и символ на клавиатуре представлены восьмибитным двоичным числом. Например, для вашего компьютера буква A на самом деле 01000001!

Чтобы помочь вам лучше понять двоичную систему и ее отношение к десятичной системе, с которой вы знакомы, вот как десятичные числа от 1 до 10 выглядят в двоичной системе:

1 = 1

2 = 10

3 = 11

4 = 100

5 = 101

6 = 110

7 = 111

8 = 1000

9 = 1001

10 = 1010

Понимание двоичных чисел для начинающих

По моему опыту преподавания сетевых технологий, многие студенты борются с IP-адресами, потому что им не хватает базового понимания двоичных чисел.

Понимание двоичных чисел, двоичной системы и того, как преобразовывать двоичные числа в десятичные, важно для всех, кто занимается компьютерами, кодированием и сетями.

Binary 101 — Что вы узнаете

• Основы основ счисления — основание 10, основание 2 и основание 16
• Как преобразовать двоичное в десятичное и наоборот
• Как преобразовать двоичные числа в шестнадцатеричные и наоборот,
• Как преобразовать шестнадцатеричное в десятичное и наоборот,

Обзор десятичных и десятичных чисел с основанием 10

Прежде чем мы узнаем о двоичной системе счисления, мы более подробно рассмотрим нашу обычную десятичную систему счисления.

Принципы одинаковы для всех систем нумерации, и их легче освоить с помощью более знакомой вам системы.

Во-первых, наша десятичная система использует 10 как основание , а числа находятся в диапазоне от 0 до 9

Давайте посмотрим на несколько примеров чисел

Начнем с трехзначного числа 129 (сто двадцать девять).

Это состоит из 100 +20 +9 = 129

Если мы посмотрим на диаграмму ниже, то увидим, что при движении справа налево столбцы увеличиваются в 10 раз.

2 во втором столбце не 2, а 2 * 10 = 20, а 1 в третьем столбце не 1, а 1 * 10 * 10 = 100.

означает 10 в степени 0. Это равно 1 и представляет наш столбец единиц.

В краткой таблице ниже показано еще несколько записей, использующих обозначение степени.

При записи десятичных чисел мы редко пишем значения столбцов над числами, так как мы уже знаем, что они собой представляют, поэтому просто пишем:

129 а не

Я ввел обозначение степеней, потому что оно имеет фундаментальное значение для понимания двоичных чисел.

Минимальное возможное число из трех цифр — 000 , а максимальное — 999. Для чисел больше 999 нам нужен 4-й столбец, который будет столбцом 1000.

Двоичная система счисления

Двоичные числа являются числами с основанием 2 и имеют только два значения — 0 и 1.

Если мы посмотрим на двоичное число, такое как 101, то мы снова можем присвоить значения столбцов, как мы это делали с нашим десятичным числом, но на этот раз мы используем 2, а не 10 в качестве основы.

Таким образом, двоичный код 101 имеет 1 в столбце единиц, 0 в столбце 2 и 1 в столбце 4.

Опять же, если работать справа налево, то:

1 — это 1, как в столбце единиц, но следующая 1 — это не 1, а 1 * 4 = 4

В двоичных числах используется основание 2, поэтому столбцы равны

Преобразование двоичного числа в десятичное

Давайте посмотрим на несколько двоичных чисел и преобразуем их в десятичные

Начнем с трехзначного двоичного числа 101 (см. Изображение выше

Число можно преобразовать в десятичное путем умножения следующим образом:

1 * 1 + 0 * 2 + 1 * 4 = 5

Максимальное значение, которое мы можем иметь с тремя двоичными цифрами, составляет 111 = десятичное 7, рассчитанное следующим образом:

1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4

Еще примеры:

1011 двоичный = 1 * 1 + 1 * 2 + 0 * 4 + 1 * 8 = 11

1111 двоичный = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15

Попробуйте сами

1001 двоичный =?

1100 двоичный =?

Преобразование из десятичного в двоичное

Как преобразовать десятичное число в двоичное.

Пример того, что такое десятичное 10 двоичное.

Я использую следующий список из двух кратных.

128,64,32,16,8,4,2,1

Вот удобная диаграмма

Примечание: ошибка на диаграмме выше должна быть 2 ⁷ = 128

Процедура заключается в вычитании числа с наибольшей степенью двойки из десятичного числа

наибольшая степень двойки числа r, которую мы можем вычесть, составляет 8 , что составляет 2 ³ .

Итак, 10-8 = 2

, теперь мы делаем то же самое с остатком, поэтому наибольшее число, которое мы можем вычесть, равно 2, что равно 2 ¹

2-2 = 0

, поэтому у нас есть 1 восемь, без четверок, 1 два, без единиц = 1010 = 2 ³ + 2 ¹ .

Пример 2 : десятичный 13 в двоичный код

1 восемь, 1 четыре, 0 два, 1 единица = 1101.

Пример 3 : из десятичного числа 7 в двоичный код

0 восемь, 1 четыре, 1 два, 1 единица = 0111.

Попробуйте сами вопросы

1001 двоичный = 9

1100 двоичный = 12

Байты, октеты и шестнадцатеричные числа

В компьютерах общепринятыми являются кодирование и организация работы в сети с 8-битными числами.

8-битное число известно как октет , а также чаще его называют байтом . См. Подробности в Wiki.

Преобразование двоичного числа в десятичное и преобразование десятичного числа в двоичное 8-битные числа

8-битное двоичное число может представлять максимум десятичного числа 255 = двоичное 11111111 .

Рассчитывается следующим образом:

1 * 128 + 1 * 64 + 1 * 32 + 1 * 16 + 1 * 8 + 1 * 4 + 1 * 2 + 1 + 1 = в десятичном виде 255

Вот еще одно 8-битное двоичное число — 01101011.

Чтобы преобразовать его в десятичное, мы запишем число с номерами столбцов, указанными выше, следующим образом:

, если мы преобразуем наши столбцы в десятичные эквиваленты, используя следующую диаграмму.

, затем двоичное число 01101011 = 1 * 1 + 1 * 2 + 0 * 4 = 1 * 8 + 0 * 16 = 1 * 32 + 1 * 64 + 0 * 128

= 64 + 32 + 8 + 2 + 1 = 107

Уведомление состоит исключительно из единиц и нулей.

Чтобы преобразовать это число в десятичное, нам нужно понять, что представляет собой каждая единица.

Если мы напишем значение столбца на с над числами, то станет легко преобразовать двоичное число в десятичное.

Пример десятичного преобразования в двоичное

Последний, более крупный пример преобразования десятичного числа 200 в двоичный код

200 = 128 + 64 + 8 = 2 ⁷ + 2 ⁶ + 2 ³ = 11001000

Если вы довольны процессом, вы можете использовать двоичный в десятичный калькулятор , как в Windows.

Преобразует двоичные числа в десятичные

, и это преобразует десятичные числа в двоичные

Что такое шестнадцатеричные числа

Шестнадцатеричное число (основание 16) требует 4 бита и имеет максимальное значение 15 . Он использует символы 0-9, A, B, C, D, E, F .

Они представлены в двоичной форме следующим образом:

0000 = 0
0001 = 1
0010 = 2
0011 = 3
0100 = 4
..
1010 = A
1011 = B
1100 = C
1101 = D
1110 = E
1111 = F

Байт (8 бит) может быть представлен как два шестнадцатеричных числа .

т.

FF = двоичное 11111111 и десятичное 255

F0 = 11110000 двоичное и десятичное 240

Быстрый тест

Тест по основам двоичных чисел

Информация

Базовый тест на понимание студентами двоичных чисел.

Вы уже проходили викторину раньше. Следовательно, вы не можете запустить его снова.

Вы должны войти или зарегистрироваться, чтобы начать викторину.

Вы должны пройти следующую викторину, чтобы начать эту викторину:

Видео

Если вы предпочитаете видео, я подготовил видео, в котором описывается вышесказанное — Видео о двоичных числах

Ресурсы и статьи по теме:

Оцените? И используйте Комментарии, чтобы сообщить мне больше

Двоичная система счисления

Недавно я представил десятичную систему счисления, которую мы используем как люди.

Как я сказал в этом посте, у людей обычно 10 пальцев и мы можем считать до 10, отсюда и популярность этой системы в нашей истории.

Двоичная система счисления — вторая по важности система для нашего вида, поскольку она привела к революции в электронике и компьютерах.

В электронике у нас есть 2 состояния: 0 или 1. 0 вольт или 5 (или 9, 12, что угодно). Ворота открыты или закрыты.

Либо то, либо другое.0 \]

Начальные нули в числе можно опустить или добавить, если необходимо, потому что они ничего не означают слева от верхнего левого угла 1 : 110 может быть представлено как 0110 или 00000110 , если необходимо. Он имеет то же самое точное значение, потому что, как объяснила система выше, мы просто умножаем степень 2 на ноль.

Используя двоичные числа, мы можем представить любые числа в десятичной системе счисления.

Нам нужно иметь достаточное количество цифр для представления достаточного количества чисел.Если мы хотим иметь 16 чисел, чтобы мы могли считать от 0 до 15, нам нужно 4 цифры (бита). С 5 битами мы можем сосчитать 32 числа. 32 бита дадут нам 4294967296 возможных чисел.

64 бита даст нам 9,223,372,036,854,775,807 возможных чисел. Растет довольно быстро.

Вот простая таблица преобразования первых 4 цифр, которую мы можем сгенерировать, используя всего 2 бита:

Вот простая таблица преобразования первых 8 цифр:

Если вы заметили, я повторил приведенную выше последовательность, добавив 1 вместо 0 в ряд от 4 до 7.

Вот простая таблица преобразования первых 16 цифр:

И снова я повторил последовательность, которую мы использовали для получения первых 8 чисел, добавив 0 к первому набору 0-7 и добавив 1 к 8-15.

Вскоре я расскажу о выполнении таких операций, как сумма и деление с двоичными числами, о шестнадцатеричной системе счисления, о том, как преобразовать двоичную систему в десятичную и шестнадцатеричную, не глядя на подобные таблицы, и наоборот.

Что такое двоичный?

Обновлено: 07.06.2021, Computer Hope

Двоичный может относиться к любому из следующего:

1. Двоичная — это система счисления с основанием 2 и , изобретенная Готфридом Лейбницем, которая состоит только из двух чисел или цифр: 0 (ноль) и 1 (один).Эта система нумерации является основой для всего двоичного кода , который используется для записи цифровых данных, таких как инструкции процессора компьютера, используемые каждый день.

Как работает двоичный код?

0 и 1 в двоичном формате означают ВЫКЛ или ВКЛ соответственно. В транзисторе «0» означает отсутствие потока электричества, а «1» означает, что электричеству разрешено течь. Таким образом, числа физически представлены внутри вычислительного устройства, что позволяет производить вычисления. Эта концепция дополнительно объясняется в нашем разделе о том, как читать двоичные числа.

Почему компьютеры используют двоичный код?

Двоичный язык по-прежнему является основным языком для компьютеров и используется в электронике и компьютерном оборудовании по следующим причинам.

• Это простой и элегантный дизайн.
• Бинарный метод 0 и 1 быстро обнаруживает выключенное (ложное) или включенное (истинное) состояние электрического сигнала.
• Наличие только двух состояний, расположенных далеко друг от друга в электрическом сигнале, делает его менее восприимчивым к электрическим помехам.
• Положительные и отрицательные полюса магнитных носителей быстро преобразуются в двоичную систему.
• Двоичный — самый эффективный способ управления логическими цепями.

Как читать двоичные числа

На следующей диаграмме показано двоичное число 01101000. Каждый столбец представляет число два, возведенное в степень, причем значение этой экспоненты увеличивается на единицу при перемещении по каждой из восьми позиций. Чтобы получить результат этого примера, прочтите диаграмму от справа налево от и добавьте значение каждого столбца к предыдущему столбцу: (8 + 32 + 64) = 104.Как видите, мы не считаем биты с 0, потому что они «выключены».

Следующий пример — 11111111 в двоичном формате, максимальное 8-битное значение 255.Опять же, читая справа налево, мы получаем 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 255.

Подсчет на компьютере обычно начинается с «0» вместо «1».»Таким образом, подсчет всех бит равен 255, но если вы начнете с 0, это 256.

Когда у вас восемь бит, это равно одному байту. Если вы возьмете двоичный код из первого примера (01101000), который составляет «104», и поместите его в ASCII, то получится строчная буква «h». Чтобы записать слово «привет», вам нужно будет добавить двоичное значение для буквы «i», то есть 01101001. Соединив эти два кода вместе, мы получим 0110100001101001 или 104 и 105, что означает «привет». Дополнительную информацию о преобразовании двоичного кода в ASCII можно найти по следующей ссылке.

Как сложить в двоичном формате

Сложение в двоичном формате во многом похоже на сложение в десятичном. Например, если бы у нас был двоичный файл 01101011 (107) и мы хотели бы добавить 10000111 (135), мы бы выполнили следующие шаги.

Начиная с правой стороны, мы добавляем 1 + 1, чтобы получить «2.«Поскольку в двоичном формате нет числа два, мы бы использовали двоичное значение« 10 »и перенесли бы« 1 »в следующий столбец.

В следующем столбце мы добавляем «1», которое мы перенесли в следующий столбец, и прибавляем 1 + 1 + 1, чтобы получить «3». В двоичном формате нет числа «3», поэтому мы используем «11» (3 в двоичном формате), ставим 1 и переносим 1 в следующий столбец.

Затем мы бы снова добавили «1», которая была перенесена, и прибавили 1 + 0 + 1, чтобы получить «10» (2 в двоичном формате).

Мы повторяем этот же процесс для всех восьми цифр, чтобы получить следующий результат 11110010 (242).

Что такое префикс «0b»?

Во избежание путаницы при записи двоичного числа оно может иметь префикс «0b» (ноль и b). Например, 0b0100 представляет «0100» в двоичном формате. Используя этот префикс, читатель знает, что это не «100» в десятичной системе счисления.

Бинарный юмор

Изображение является примером некоторого бинарного юмора (шутки) через известную поговорку на многих футболках компьютерщиков. Те, кто умеет читать двоичный код, понимают, что эта цитата на самом деле говорит: «В мире всего двух типов людей : те, кто понимает двоичное, и те, кто не понимает.»В двоичной системе 10 — это два , а не число десять .

Преобразование текста в двоичный код

Следующий инструмент преобразует любой текст в двоичный.

2. Во время сеанса FTP двоичный — это команда, которая переключает режим передачи файлов на двоичный. Для получения информации о двоичных и других командах FTP см .: Как использовать FTP из командной строки?

3. При использовании в качестве существительного термин « двоичный, » может относиться к исполняемому файлу.Например, «найдите двоичный файл с именем program.exe и дважды щелкните его».

База, BCD, .BIN, двоичный файл, бит, десятичный, шестнадцатеричный, младший значащий бит, машинный язык, старший значащий бит, собственный язык, отрицание, полубайт, восьмеричный, ВЫКЛ, ВКЛ, кубит, программные термины, троичный, дополнение до двух