Site Loader
2} \right)\) — гравитационная постоянная

Примечания:

  • формула позволяет точно рассчитать притяжение между двумя однородными шарами;
  • если тела не шарообразные, или не однородные, то силу притяжения получим с погрешностью;
  • чем больше расстояние между телами, тем меньше будет погрешность;

Содержание

Словесная формулировка закона всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения словами можно сформулировать так:

Два тела притягиваются с силой
прямо пропорциональной
массам этих тел
и обратно пропорциональной
квадрату расстояния между телами.

Пояснения к закону всемирного тяготения

Сила прямо пропорциональна массам тел. Математики прямую пропорциональность записывают так:
\[ F \sim m_{1} \cdot m_{2} \]

Прямая пропорциональность означает: чем больше массы, тем больше сила притяжения.

Сила обратно пропорциональна расстоянию в квадрате.2} \right)\) — гравитационная постоянная

Как видно, это очень незначительная сила, поэтому в повседневной жизни мы ее не замечаем.

Куда направлена сила притяжения

Соединим прямой линией центы притягивающихся тел. Вдоль этой линии и будут направлены силы, с которыми тела притягиваются. Физики часто заменяют фразу «действие одного тела на другое» словом «взаимодействие».

Рис.1. Направление сил взаимодействия двух шаров.

\( F_{1} \) – это сила, с которой большой шар притягивается к маленькому шарику;
\( F_{2} \) – это сила, с которой маленький шарик притягивается к большому шару;
Из третьего закона Ньютона известно, что тела взаимодействуют с одинаковыми по модулю силами. Это значит, что \( | F_{1} | = | F_{2} | \). То есть, силы равны.

У физиков есть такой шуточный вопрос: «Что сильнее притягивает – Луна Землю, или Земля Луну?». Правильный ответ: «Они притягиваются с одинаковыми силами».

Как правильно выбирать расстояние для подстановки в формулу

Центр масс тела — это точка, которой мы заменяем тело для упрощения задачи.
Если тело однородное и шарообразное, то центр масс — это точка, расположенная в центре шара.
Расстояние между телами — это расстояние между центрами масс.

Рассмотрим несколько поясняющих примеров:

Пример 1. Притяжение между планетой и звездой

Рис.2. Звезда и планета притягиваются

\( R = \left( r_{1} + h + r_{2} \right) \)
Складываем радиусы шаров и расстояние между их поверхностями, получаем расстояние между центрами тел. Это расстояние и подставляем в знаменатель формулы.

Пример 2. Два шарообразных тела соприкасаются

Рис. 3. Два шара соприкасаются

\( R = \left( r_{1} + r_{2} \right) \)
В формулу нужно подставить расстояние между центрами масс шаров. Складываем радиусы шаров и результат подставляем в формулу вместо R.

Пример 3. Малое тело покоится на поверхности планеты

Рис. 4. Камень находится на поверхности планеты.

\( R = r \)
Расстояние между телами — это радиус планеты. Радиус камня очень мал по сравнению с радиусом планеты, поэтому, мы радиус камня не учитываем.

Пример 4. Малое тело находится на некотором расстоянии от планеты

Рис. 5. Искусственный спутник находится на некотором расстоянии от планеты

\( R = \left( r + h \right) \)
Складываем радиус планеты и расстояние от спутника до поверхности планеты. Полученное число является расстоянием между телами. Размеры спутника не учитываем, так как они очень малы по сравнению с радиусом планеты.

Вам будет интересно почитать:

Первая космическая скорость
Движение по окружности, центростремительная сила и центростремительное ускорение
Ускорение свободного падения

Закон всемирного тяготения | ЕГЭ по физике

Основные понятия и законы кинематики

Часть механики, в которой изучают движение, не рассматривая причины, вызывающие тот или иной характер движения, называют кинематикой.
Механическим движением называют изменение положения тела относительно других тел
Системой отсчёта называют тело отсчёта, связанную с ним систему координат и часы.
Телом отсчёта называют тело, относительно которого рассматривают положение других тел.
Материальной точкой
называют тело, размерами которого в данной задаче можно пренебречь.
Траекторией называют мысленную линию, которую при своём движении описывает материальная точка.

По форме траектории движение делится на:
а) прямолинейное — траектория представляет собой отрезок прямой;
б) криволинейное — траектория представляет собой отрезок кривой.

Путь — это длина траектории, которую описывает материальная точка за данный промежуток времени. Это скалярная величина.
Перемещение — это вектор, соединяющий начальное положение материальной точки с её конечным положением (см. рис.).

Очень важно понимать, чем путь отличается от перемещения. Самое главной отличие в том, что перемещение — это вектор с началом в точке отправления и с концом в точке назначения (при этом абсолютно неважно, каким маршрутом это перемещение совершалось). А путь — это, наборот, скалярная величина, отражающая длину пройденной траектории.

Равномерным прямолинейным движением называют движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения
Скоростью равномерного прямолинейного движения называют отношение перемещения ко времени, за которое это перемещение произошло:

Для неравномерного движения пользуются понятием средней скорости. Часто вводят среднюю скорость как скалярную величину. Это скорость такого равномерного движения, при котором тело проходит тот же путь за то же время, что и при неравномерном движении:

Мгновенной скоростью называют скорость тела в данной точке траектории или в данный момент времени.
Равноускоренное прямолинейное движение — это прямолинейное движение, при котором мгновенная скорость за любые равные промежутки времени изменяется на одну и ту же величину

Ускорением называют отношение изменения мгновенной скорости тела ко времени, за которое это изменение произошло:

Зависимость координаты тела от времени в равномерном прямолинейном движении имеет вид: x = x0 + Vxt, где x0 — начальная координата тела, Vx — скорость движения.

Свободным падением называют равноускоренное движение с постоянным ускорением g = 9,8 м/с2, не зависящим от массы падающего тела. Оно происходит только под действием силы тяжести.

Скорость при свободном падении рассчитывается по формуле:

Перемещение по вертикали рассчитывается по формуле:

Одним из видов движения материальной точки является движение по окружности. При таком движении скорость тела направлена по касательной, проведённой к окружности в той точке, где находится тело (линейная скорость). Описывать положение тела на окружности можно с помощью радиуса, проведённого из центра окружности к телу. Перемещение тела при движении по окружности описывается поворотом радиуса окружности, соединяющего центр окружности с телом. Отношение угла поворота радиуса к промежутку времени, в течение которого этот поворот произошёл, характеризует быстроту перемещения тела по окружности и носит название

угловой скорости ω:

Угловая скорость связана с линейной скоростью соотношением

где r — радиус окружности.
Время, за которое тело описывает полный оборот, называется периодом обращения. Величина, обратная периоду — частота обращения — ν

Поскольку при равномерном движении по окружности модуль скорости не меняется, но меняется направление скорости, при таком движении существует ускорение. Его называют

центростремительным ускорением, оно направлено по радиусу к центру окружности:

Основные понятия и законы динамики

Часть механики, изучающая причины, вызвавшие ускорение тел, называется динамикой

Первый закон Ньютона:
Cуществуют такие системы отсчёта, относительно которых тело сохраняет свою скорость постоянной или покоится, если на него не действуют другие тела или действие других тел скомпенсировано.
Свойство тела сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения при уравновешенных внешних силах, действующих на него, называется инертностью. Явление сохранения скорости тела при уравновешенных внешних силах называют инерцией. Инерциальными системами отсчёта

называют системы, в которых выполняется первый закон Ньютона.

Принцип относительности Галилея:
во всех инерциальных системах отсчёта при одинаковых начальных условиях все механические явления протекают одинаково, т.е. подчиняются одинаковым законам
Масса — это мера инертности тела
Сила — это количественная мера взаимодействия тел.

Второй закон Ньютона:
Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на ускорение, сообщаемое этой силой:
$F↖{→} = m⋅a↖{→}$

Сложение сил заключается в нахождении равнодействующей нескольких сил, которая производит такое же действие, как и несколько одновременно действующих сил.

Третий закон Ньютона:


Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, расположены на одной прямой, равны по модулю и противоположны по направлению:
$F_1↖{→} = -F_2↖{→} $

III закон Ньютона подчёркивает, что действие тел друг на друга носит характер взаимодействия. Если тело A действует на тело B, то и тело B действует на тело A (см. рис.).


Или короче, сила действия равна силе противодействия. Часто возникает вопрос: почему лошадь тянет сани, если эти тела взаимодействуют с равными силами? Это возможно только за счёт взаимодействия с третьим телом — Землёй. Сила, с которой копыта упираются в землю, должна быть больше, чем сила трения саней о землю. Иначе копыта будут проскальзывать, и лошадь не сдвинется с места.

Если тело подвергнуть деформации, то возникают силы, препятствующие этой деформации. Такие силы называют силами упругости.

Закон Гука записывают в виде

где k — жёсткость пружины, x — деформация тела. Знак «−» указывает, что сила и деформация направлены в разные стороны.

При движении тел друг относительно друга возникают силы, препятствующие движению. Эти силы называются силами трения. Различают трение покоя и трение скольжения. Сила трения скольжения подсчитывается по формуле

где N — сила реакции опоры, µ — коэффициент трения.
Эта сила не зависит от площади трущихся тел. Коэффициент трения зависит от материала, из которого сделаны тела, и качества обработки их поверхности.

Трение покоя возникает, если тела не перемещаются друг относительно друга. Сила трения покоя может меняться от нуля до некоторого максимального значения

Гравитационными силами называют силы, с которыми любые два тела притягиваются друг к другу.

Закон всемирного тяготения:
любые два тела притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.


Здесь R — расстояние между телами. Закон всемирного тяготения в таком виде справедлив либо для материальных точек, либо для тел шарообразной формы.

Весом тела называют силу, с которой тело давит на горизонтальную опору или растягивает подвес.

Сила тяжести — это сила, с которой все тела притягиваются к Земле:

При неподвижной опоре вес тела равен по модулю силе тяжести:

Если тело движется по вертикали с ускорением, то его вес будет изменяться.
При движении тела с ускорением, направленным вверх, его вес

Видно, что вес тела больше веса покоящегося тела.

При движении тела с ускорением, направленным вниз, его вес

В этом случае вес тела меньше веса покоящегося тела.

Невесомостью называется такое движение тела, при котором его ускорение равно ускорению свободного падения, т.е. a = g. Это возможно в том случае, если на тело действует только одна сила — сила тяжести.
Искусственный спутник Земли — это тело, имеющее скорость V1, достаточную для того, чтобы двигаться по окружности вокруг Земли
На спутник Земли действует только одна сила — сила тяжести, направленная к центру Земли
Первая космическая скорость — это скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно обращалось вокруг планеты по круговой орбите.

где R — расстояние от центра планеты до спутника.
Для Земли, вблизи её поверхности, первая космическая скорость равна

1.3. Основные понятия и законы статики и гидростатики Тело (материальная точка) находится в состоянии равновесия, если векторная сумма сил, действующих на него, равна нулю. Различают 3 вида равновесия: устойчивое, неустойчивое и безразличное. Если при выведении тела из положения равновесия возникают силы, стремящиеся вернуть это тело обратно, это устойчивое равновесие. Если возникают силы, стремящиеся увести тело ещё дальше из положения равновесия, это неустойчивое положение; если никаких сил не возникает — безразличное (см. рис. 3).

Когда речь идёт не о материальной точке, а о теле, которое может иметь ось вращения, то для достижения положения равновесия помимо равенства нулю суммы сил, действующих на тело, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, была равна нулю.

Здесь d —плечо силы. Плечом силы d называют расстояние от оси вращения до линии действия силы.

Условие равновесия рычага:
алгебраическая сумма моментов всех вращающих тело сил равна нулю.
Давлением называют физическую величину, равную отношению силы, действующей на площадку, перпендикулярную этой силе, к площади площадки:

Для жидкостей и газов справедлив закон Паскаля:
давление распространяется по всем направлениям без изменений.
Если жидкость или газ находятся в поле силы тяжести, то каждый вышерасположенный слой давит на нижерасположенные и по мере погружения внутрь жидкости или газа давление растёт. Для жидкостей

где ρ — плотность жидкости, h — глубина проникновения в жидкость.

Однородная жидкость в сообщающихся сосудах устанавливается на одном уровне. Если в колена сообщающихся сосудов залить жидкость с разными плотностями, то жидкость с большей плотностью устанавливается на меньшей высоте. В этом случае

Высоты столбов жидкости обратно пропорциональны плотностям:

Гидравлический пресс представляет собой сосуд, заполненный маслом или иной жидкостью, в котором прорезаны два отверстия, закрытые поршнями. Поршни имеют разную площадь. Если к одному поршню приложить некоторую силу, то сила, приложенная ко второму поршню, оказывается другой.
Таким образом, гидравлический пресс служит для преобразования величины силы. Поскольку давление под поршнями должно быть одинаковым, то

Тогда A1 = A2.
На тело, погружённое в жидкость или газ, со стороны этой жидкости или газа действует направленная вверх выталкивающая сила, которую называют силой Архимеда
Величину выталкивающей силы устанавливает закон Архимеда: на тело, погружённое в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, направленная вертикально вверх и равная весу жидкости или газа, вытесненного телом:

где ρжидк — плотность жидкости, в которую погружено тело; Vпогр — объём погружённой части тела.

Условие плавания тела — тело плавает в жидкости или газе, когда выталкивающая сила,действующая на тело, равна силе тяжести, действующей на тело.

1.4. Законы сохранения Импульсом тела называют физическую величину, равную произведению массы тела на его скорость:

Импульс — векторная величина. [p] =кг·м/с. Наряду с импульсом тела часто пользуются импульсом силы. Это произведение силы на время её действия
Изменение импульса тела равно импульсу действующей на это тело силы. Для изолированной системы тел (система, тела которой взаимодействуют только друг с другом) выполняется закон сохранения импульса: сумма импульсов тел изолированной системы до взаимодействия равна сумме импульсов этих же тел после взаимодействия.
Механической работой называют физическую величину, которая равна произведению силы, действующей на тело, на перемещение тела и на косинус угла между направлением силы и перемещения:

Мощность — это работа, совершённая в единицу времени:

Способность тела совершать работу характеризуют величиной, которую называют энергией. Механическую энергию делят на кинетическую и потенциальную. Если тело может совершать работу за счёт своего движения, говорят, что оно обладает кинетической энергией. Кинетическая энергия поступательного движения материальной точки подсчитывается по формуле

Если тело может совершать работу за счёт изменения своего положения относительно других тел или за счёт изменения положения частей тела, оно обладает потенциальной энергией. Пример потенциальной энергии: тело, поднятое над землёй, его энергия подсчитывается по формуле

где h — высота подъёма

Энергия сжатой пружины:

где k — коэффициент жёсткости пружины, x — абсолютная деформация пружины.

Сумма потенциальной и кинетической энергии составляет механическую энергию. Для изолированной системы тел в механике справедлив закон сохранения механической энергии: если между телами изолированной системы не действуют силы трения (или другие силы, приводящие к рассеянию энергии), то сумма механических энергий тел этой системы не изменяется (закон сохранения энергии в механике). Если же силы трения между телами изолированной системы есть, то при взаимодействии часть механической энергии тел переходит во внутреннюю энергию.

1.5. Механические колебания и волны Колебаниями называются движения, обладающие той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.
Гармоническими колебаниями называются такие колебания, в которых колеблющаяся физическая величина x изменяется по закону синуса или косинуса, т.е.

Величина A, равная наибольшему абсолютному значению колеблющейся физической величины x, называется амплитудой колебаний. Выражение α = ωt + ϕ определяет значение x в данный момент времени и называется фазой колебаний. Периодом T называется время, за которое колеблющееся тело совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называют число полных колебаний, совершённых за единицу времени:

Частота измеряется в с-1. Эта единица называется герц (Гц).

Математическим маятником называется материальная точка массой m, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости.
Если один конец пружины закрепить неподвижно, а к другому её концу прикрепить некоторое тело массой m, то при выведении тела из положения равновесия пружина растянется и возникнут колебания тела на пружине в горизонтальной или вертикальной плоскости. Такой маятник называется пружинным.

Период колебаний математического маятника определяется по формуле

где l — длина маятника.

Период колебаний груза на пружине определяется по формуле

где k — жёсткость пружины, m — масса груза.

Распространение колебаний в упругих средах.
Среда называется упругой, если между её частицами существуют силы взаимодействия. Волнами называется процесс распространения колебаний в упругих средах.
Волна называется поперечной, если частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных к направлению распространения волны. Волна называется продольной, если колебания частиц среды происходят в направлении распространения волны.
Длиной волны называется расстояние между двумя ближайшими точками, колеблющимися в одинаковой фазе:

где v — скорость распространения волны.

Звуковыми волнами называют волны, колебания в которых происходят с частотами от 20 до 20 000 Гц.
Скорость звука различна в различных средах. Скорость звука в воздухе равна 340 м/c.
Ультразвуковыми волнами называют волны, частота колебаний в которых превышает 20 000 Гц. Ультразвуковые волны не воспринимаются человеческим ухом.

Как на самом деле был открыт Закон всемирного тяготения

Исаак Ньютон жил на стыке XVII и XVIII веков (1642-1727 гг.). Жизнь в это время была совершенно иной. Европу сотрясали войны, а в 1666 году Англию, где жил Ньютон, настигла ужасная эпидемия, прозванная “черной смертью”. Впоследствии это событие назовут “Великая эпидемия чумы в Лондоне”. Многие из наук только-только зарождались, образованных людей было мало, как и то, что они знали. 

Например, современная еженедельная газета содержит больше информации, чем среднестатистический человек в то время узнавал за всю свою жизнь! 

Несмотря на все эти сложности, находились люди, которые стремились к знаниям, совершали открытия и двигали прогресс вперед. Одним из них был великий английский ученый Исаак Ньютон.

Совершить свои основные открытия ученому помогли принципы, которые он называл “правила философствования”.

Правило 1. “Не должно приниматься в природе иных причин кроме тех, которые истинны и достаточны для объяснения явлений… природа ничего не делает напрасно, а было бы напрасным совершать многим то, что может быть сделано меньшим. Природа проста и не роскошествует излишними причинами вещей… ”

Суть этого правила заключается в том, что если мы можем исчерпывающе объяснить новое явление уже существующими законами, то нам не следует вводить новых. Это правило в обобщенной форме называется Бритвой Оккамы.

Правило 2. “В опытной физике предложения, выведенные из совершающихся явлений с помощью наведения (то есть метода индукции), несмотря на возможность противных им предположений, должны быть почитаемы за верные или в точности, или приближённо, пока не обнаружатся такие явления, которыми они ещё более уточняются или же окажутся подверженными исключениям”. Это значит, что все законы физики должны быть доказаны или опровергнуты опытным путем.

В своих принципах философствования Ньютон сформулировал принципы научного метода. Современная физика успешно исследует и применяет явления, природа которых ещё не выяснена (например, элементарные частицы). Начиная с Ньютона, естествознание развивается в твердой уверенности, что мир можно познать, и что Природа устроена по простым математическим принципам. Эта уверенность стала философской базой для грандиозного прогресса науки и технологии в истории человечества.

Закон всемирного тяготения — доклад сообщение (описание для детей)

Закон всемирного тяготения был открыт Исааком Ньютоном в 1666 году. Впервые закон был сформулирован и опубликован Ньютоном в 1687 году. Открытие ученого внесло неоценимый вклад в развитие науки. 

Закон всемирного тяготения или классическая теория тяготения Ньютона объясняет гравитационное взаимодействие между телами в рамках классической механики. Как и все физические законы, закон всемирного тяготения имеет форму математического уравнения:

F=GMm/D2

В полученном в результате расчетов уравнении Yьютона сила притяжения (F) прямо пропорциональна произведению масс двух тел (M и m) и обратно пропорциональна квадрату расстояния (D) между ними. G — гравитационная постоянная, приблизительно равная 6,67 10–11

До того времени, как Ньютон совершил открытие закона тяготения, считалось, что существует два типа гравитации. Одна действует на Земле. Это сила, притягивающая к планете все тела находящиеся на ее поверхности: людей, деревья, камни и многое другое. Вторая гравитационная сила, по мнению предшественников Ньютона, действует в космосе, она также обладает свойствами притяжения, однако взаимодействие происходит между более крупными объектами, такими как небесные тела: Солнце, Земля, Луна и т.д. Открытие же Ньютона объединило эти два понятия о гравитации, и, следовательно, перестало существовать ложное деление Земли и остального космического пространства.

Закон всемирного тяготения действителен для всех тел во Вселенной. То есть, сила взаимного притяжения действует как между Землей и Солнцем, так и между Луной и растущим где-нибудь в лесу деревом, между книгой, которую держит в руках человек, и самим человеком. В одних случаях силу взаимного гравитационного притяжения можно измерить, например, между Землей и Луной. Однако бывает и так, что силы притяжения настолько малы, что их не может обнаружить даже самый точный прибор. Так мы испытываем силу гравитационного притяжения с кометой, путешествующей по своей орбите. Однако эта сила настолько незначительна и мала, что ее невозможно никак зарегистрировать и, следовательно, произвести измерения.

 

Сила тяготения – это универсальная сила. Она позволяет рассчитать массу планет, спутников, комет и других небесных тел, с ее помощью можно объяснить приливы и отливы, происходящие в океане и многое другое.

Закон всемирного тяготения лег в основу небесной механики. При помощи него ученые определяют местонахождения небесных тел и их траектории движения. Законы Кеплера описывающие движения планет действительны лишь тогда, когда вокруг звезды движется одна планета. В Солнечной системе их восемь. Поэтому планеты притягиваются не только звездой, но и друг другом. Такое явления называется возмущением. При расчетах координат небесных тел оно учитывается. Так была открыта планета Нептун. После открытия Урана, ученые составили траекторию его движения на несколько лет. После проверки данных с расчетами было обнаружено отклонение планеты от заданной траектории. Оказалось, что помимо солнца Уран действовали гравитационные силы Нептуна. Позднее таким же образом была открыта и карликовая планета – Плутон.

Картинка к сообщению Закон всемирного тяготения

Популярные сегодня темы

  • Мрамор полезное ископаемое

    Мрамор – это горная порода, основной составляющей которой является кальций. Мрамор – это полезное ископаемое, которое образуется из известняка в результате воздействия физико-химических проце

  • Мертвое море

    Мертвое море – именно это название является самым известным, также ему присвоили такие названия, как асфальтовое или содомское море. Представляет собой бессточное соленое озеро

  • Двустворчатые моллюски

    Тип представителей животного мира — моллюски очень многочислен и насчитывает более 1,5 тысяч видов. Все виды объединены учеными биологами в 10 основных классов, среди которых двустворчатые мо

  • Героическая тема в музыке

    Еще со времен создания античного эпоса и зарождения фольклора обозначилась такая черта искусства, как освещение событий мифов, легенд, сказаний, былин с последующим восхвалением тех

  • Шапка Мономаха

    Шапка Мономаха является символом царской власти, самодержавия. Это древнейшая царская регалия. Появление этой шапки историки связывают со временем не позже 16 века.

  • Иван Калита

    Князь Московский Юрий Данилович в течение своей жизни вел борьбу с Тверью, чтобы обладать княжеским престолом, и погиб от тверской сабли. После него стал править брат Иван Данилович

Ньютон и бесконечная серия | Britannica

Исчисление Исаака Ньютона фактически началось в 1665 году с его открытия общего биномиального ряда. (1 + x ) n = 1 + n x + n ( n — 1) / 2! x 2 + n ( n -1) ( n -2) / 3! x 3 + ⋯ для произвольных рациональных значений n .С помощью этой формулы он смог найти бесконечный ряд для многих алгебраических функций (функции y из x , которые удовлетворяют полиномиальному уравнению p ( x , y ) = 0). Например, (1 + x ) −1 = 1 — x + x 2 x 3 + x 4 x 5 + ⋯ и 1 / Квадратный корень из √ (1 — x 2 ) = (1 + (- x 2 )) −1/2 = 1 + 1 / 2 x 2 + 1 ∙ 3 / 2 ∙ 4 x 4 + 1 ∙ 3 ∙ 5 / 2 ∙ 4 ∙ 6 x 6 + ⋯.

В свою очередь, это привело Ньютона к бесконечному ряду интегралов от алгебраических функций. Например, он получил логарифм путем интегрирования степеней x в ряд для (1 + x ) −1 одну за другой, журнал (1 + x ) = x x 2 / 2 + x 3 / 3 x 4 98 / + x 5 / 5 x 6 / 6 + ⋯, и обратный синусоидальный ряд путем интегрирования ряда для 1 / квадратного корня из √ (1 — x 2 ), sin −1 ( x ) = x + 1 / 2 x 3 / 3 + 1 ∙ 3 / 2 ∙ 4 x 5 / 5 + 1 ∙ 3 ∙ 5 / 2 ∙ 4 ∙ 6 x 7 / 7 + ⋯.

Наконец, Ньютон увенчал это виртуозное выступление, вычислив обратный ряд для x как ряд в степенях y = log ( x ) и y = sin −1 ( x ), соответственно, найдя экспоненциальный ряд x = 1 + y / 1! + y 2 / 2! + y 3 / 3! + y 4 / 4! + ⋯ и синусоидальный ряд x = y y 3 / 3! + y 5 / 5! л 7 / 7! + ⋯.

Обратите внимание, что единственное дифференцирование и интегрирование Ньютона требовалось для степеней x , а реальная работа включала алгебраические вычисления с бесконечными рядами. Действительно, Ньютон видел в исчислении алгебраический аналог арифметики с бесконечными десятичными знаками и писал в своем Tractatus de Methodis Serierum et Fluxionum (1671; «Трактат о методе рядов и флюксий»):

Получите подписку Britannica Premium и получите доступ к эксклюзивному контенту. Подпишитесь сейчас

Меня удивляет, что это никому не пришло в голову (если вы, кроме Н.Меркатора и его квадратуры гиперболы), чтобы соответствовать недавно установленной доктрине для десятичных чисел и переменных, тем более что тогда открывается путь к более поразительным последствиям. Поскольку, поскольку эта доктрина у видов имеет такое же отношение к алгебре, как доктрина десятичных чисел к общей арифметике, ее операции сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корня могут быть легко извлечены из последней.

Для Ньютона такие вычисления были воплощением математического анализа.Их можно найти в его De Methodis и рукописи De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas (1669; «Об анализе с помощью уравнений с бесконечным числом членов»), которые он написал после того, как его логарифмический ряд был задуман. переоткрыт и опубликован Николаем Меркатором. Ньютон так и не закончил De Methodis , и, несмотря на энтузиазм тех немногих, кому он позволил прочитать De Analysi , он отказался от публикации до 1711 года.Это, конечно, только повредило ему в его приоритетном споре с Готфридом Вильгельмом Лейбницем.

Закон всемирного тяготения Рона Куртуса

SfC Home> Физика> Гравитация>

от Рона Куртуса

В 1687 году Исаак Ньютон объединил свои наблюдения с теориями других ученых о гравитации и гравитации в научный закон: Закон всемирного тяготения . Этот закон гласит, что масса объекта притягивается к массе других объектов силой, называемой гравитацией.

Сила притяжения между двумя массами определяется универсальным уравнением гравитации . Хотя закон и его уравнение были эффективны в предсказании многих явлений, позже возникло несколько расхождений в астрономических измерениях. Лишь в 1915 году общая теория относительности Эйнштейна предложила решение этих противоречий.

Вопросы, которые могут у вас возникнуть:

  • Как был установлен Закон всемирного тяготения?
  • Что такое универсальное уравнение гравитации?
  • Какие проблемы возникают с универсальной гравитацией?

Этот урок ответит на эти вопросы.Полезный инструмент: Преобразование единиц



Установление закона всемирного тяготения

Ученые и философы с древних времен наблюдали за гравитацией на Земле. В 628 году индийский астроном Брахмагупта признал гравитацию силой притяжения. В 1600-х годах Галилео Галилей, Роберт Гук и Иоганн Кеплер сформулировали законы гравитации вблизи Земли.

Ньютон использует законы Кеплера

Изучая орбиты планет вокруг Солнца, Кеплер определил, что гравитационное притяжение изменяется с разделением, при формулировании своих Законов движения планет .

В 1687 году наблюдения Исаака Ньютона над движением планет и эмпирическими измерениями позволили ему установить Закон всемирного тяготения , который был объяснен в публикации Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (или просто Principia), набор из трех книг. в котором излагались его законы движения, закон всемирного тяготения и вывод законов движения планет Кеплера.

История о том, что Ньютон сидел под деревом, когда упавшее яблоко ударило его по голове, что заставило его обнаружить гравитацию, является басней.Хотя его могло вдохновить то, как яблоко упало с дерева, его исследования и переписка с другими учеными, изучающими гравитацию, вероятно, повлияли на него больше, чем наблюдение за падением яблока. Тем не менее, это хорошая история.

Заявление о всемирном тяготении

Закон всемирного тяготения гласит, что каждый объект массы во Вселенной притягивает любой другой объект массы с силой, которая прямо пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между их центрами.Затем это было формализовано в универсальное уравнение гравитации .

Массы притягиваются друг к другу

Изначально этот закон был установлен для точечных масс. Однако было показано, что гравитация от большой однородной сферы примерно такая же, как если бы вся масса была сосредоточена в ее центре.

Закон против теории

Примечание : Закон всемирного тяготения Ньютона иногда неправильно называют теорией всемирного тяготения .В науках закон обобщает наблюдения и не показывает исключений. С другой стороны, теория объясняет, почему происходит явление. Закон всемирного тяготения только предсказывает, как тела притягиваются, и не объясняет, почему это происходит.

Универсальная гравитация против Всемирного закона

Примечание : Кроме того, Закон всемирного тяготения иногда называют универсальным законом всемирного тяготения . Говорят, что универсальный закон применим ко всей Вселенной.С другой стороны, универсальная гравитация подразумевает, что гравитация распространяется по всей Вселенной, что немного отличается от универсального закона.

Сила на расстоянии

Ньютон не мог объяснить механизм того, как и почему возникает гравитация, за исключением того, что это была какая-то сила на расстоянии . Критики утверждали, что это объяснение вносит в науку оккультизм или мистицизм, что Ньютон отрицал.

Универсальное уравнение гравитации

Исходя из Закона всемирного тяготения, Ньютон сформулировал Уравнение всемирного тяготения , которое определяет гравитационную силу между двумя объектами.Уравнение:

F = GMm / R 2

где

  • F — сила притяжения между двумя объектами в ньютонах (Н)
  • G — универсальная гравитационная постоянная = 6,67 * 10 −11 Н-м 2 / кг 2
  • M и m — массы двух объектов в килограммах (кг)
  • R — расстояние в метрах (м) между объектами, измеренное от их центров масс

Полезно для определения орбит

Применение этого уравнения особенно полезно при определении орбит небесных объектов, таких как орбиты планет вокруг Солнца.Это относительно просто, если учесть, что один объект вращается вокруг другого.

( Для получения дополнительной информации см. Круговые планетные орбиты. )

Однако в большинстве случаев задействовано более двух объектов, что может привести к некоторым сложным математическим вычислениям.

Например, движение планеты Марс вокруг Солнца определяется не только массами Марса и Солнца, но также влиянием гравитации спутников Марса, Земли и других планет.В результате орбита Марса включает возмущения или отклонения, вызванные другими планетами.

Проблемы всемирного тяготения

В большинстве случаев закон всемирного тяготения и соответствующие вычисления работают хорошо. Но есть некоторые наблюдаемые несоответствия и необъяснимые явления, в которых закон не работает.

Орбита планеты Меркурий

Предсказания орбиты планеты Меркурий оказались немного неточными с использованием Закона всемирного тяготения.Закон не мог объяснить прецессию или отклонения орбиты Меркурия.

Отклонение световых лучей

Электромагнитные волны или световые лучи отклоняются гравитацией, особенно когда они проходят мимо большой массы, такой как Солнце. Однако расчеты по закону Ньютона дают только половину отклонения, которое на самом деле наблюдается астрономами.

Скорость гравитации

Закон всемирного тяготения требует, чтобы гравитационная сила передавалась мгновенно на большие расстояния для поддержания стабильности на планетных и звездных орбитах.Хотя солнечному свету может потребоваться восемь минут, чтобы достичь Земли, гравитационные изменения должны произойти немедленно, чтобы поддерживать орбитальную стабильность между двумя объектами.

Это означает, что так называемая скорость гравитации (также небрежно называемая скоростью гравитации ) бесконечна. Это кажется нелогичным.

Найдено решений

Решение этих проблем было наконец найдено в книге Эйнштейна Общая теория относительности , которую он опубликовал в 1915 году.Теория сводится к закону всемирного тяготения для простых случаев.

Сводка

С древних времен ученые и философы изучали гравитацию, а затем и гравитацию. Исаак Ньютон формализовал наблюдения в виде научного закона: Закон всемирного тяготения , который гласит, что все объекты массы притягиваются к другим объектам массы из-за силы, называемой гравитацией.

Сила притяжения между двумя массами определяется универсальным уравнением гравитации .Хотя закон и его уравнение были эффективными для предсказания многих явлений, в проведенных измерениях возникло несколько расхождений. Общая теория относительности Эйнштейна предоставила решение проблем всемирной гравитации.

<< Предыдущая || Вперед >>


Попробуйте что-нибудь новенькое


Ресурсы и ссылки

Полномочия Рона Куртуса

Сайтов

Научная гипотеза, теория, определения законов : Изучите язык науки — Энн Мари Хелменстайн, Ph.Д., About.com

Понимание общей теории относительности — Рафи Мур, Израиль

Общая теория относительности Эйнштейна — Эндрю Циммерман Джонс, About.com

Общая теория относительности — Википедия

Значение уравнения Эйнштейна — Джон К. Баез, Калифорнийский университет в Риверсайде и Эмори Ф. Банн, Ричмондский университет (Вирджиния)

Уравнения поля Эйнштейна — Ларри Смарр, Иллинойсский университет

Ресурсы гравитации

Книги

(Примечание: Школа для чемпионов может получать комиссионные от покупки книг)

Книги по гравитации с самым высоким рейтингом

Книги по гравитации с самым высоким рейтингом


Вопросы и комментарии

Есть ли у вас какие-либо вопросы, комментарии или мнения по этой теме? Если да, отправьте свой отзыв по электронной почте.Я постараюсь вернуться к вам как можно скорее.


Поделиться страницей

Нажмите кнопку, чтобы добавить эту страницу в закладки или поделиться ею через Twitter, Facebook, электронную почту или другие службы:


Студенты и исследователи

Веб-адрес этой страницы:
www.school-for-champions.com/science/
gravitation_universal_law.htm

Пожалуйста, включите его в качестве ссылки на свой веб-сайт или в качестве ссылки в своем отчете, документе или тезисе.

Авторские права © Ограничения


Где ты сейчас?

Школа чемпионов

Гравитационные темы

Закон всемирного тяготения

13.2: Закон всемирного тяготения Ньютона

Сначала мы рассмотрим историю изучения гравитации с акцентом на те явления, которые на протяжении тысячелетий вдохновляли философов и ученых на поиск объяснения.Затем мы исследуем простейшую форму закона всемирного тяготения Ньютона и способы его применения.

История гравитации

Ранние философы задавались вопросом, почему предметы естественно имеют тенденцию падать на землю. Аристотель (384–322 до н. Э.) Считал, что природа скал — искать Землю, а природа огня — искать Небеса. Брахмагупта (598 ~ 665 гг. Н. Э.) Постулировал, что Земля является сферой и что объекты обладают естественным сродством к ней, падая к центру откуда бы они ни находились.

Движение Солнца, нашей Луны и планет также изучается на протяжении тысячелетий. Эти движения были описаны с поразительной точностью Птолемеем (90–168 гг. Н. Э.), Чей метод эпициклов описывал траектории планет как круги внутри кругов. Однако существует мало свидетельств того, что кто-либо связывал движение астрономических тел с движением объектов, падающих на Землю — до семнадцатого века.

Николай Коперник (1473–1543) обычно считается первым, кто бросил вызов геоцентрической (центрированной на Земле) системе Птолемея и предложил гелиоцентрическую систему, в которой Солнце находится в центре Солнечной системы.Эта идея была подтверждена невероятно точными измерениями движения планет невооруженным глазом, выполненными Тихо Браге, и их анализом Иоганном Кеплером и Галилео Галилеем. Кеплер показал, что движение каждой планеты представляет собой эллипс (первый из трех его законов, обсуждаемых в Законах Кеплера о движении планет), а Роберт Гук (тот же Гук, который сформулировал закон Гука для пружин) интуитивно предположил, что эти движения происходят из-за планеты притягиваются к Солнцу. Однако именно Исаак Ньютон связал ускорение объектов у поверхности Земли с центростремительным ускорением Луны на ее орбите вокруг Земли.

Наконец, в Теории гравитации Эйнштейна мы смотрим на общую теорию относительности, предложенную Альбертом Эйнштейном в 1916 году. Его теория исходит с совершенно иной точки зрения, в которой гравитация является проявлением искривления массы пространства и времени. Следствия его теории привели к появлению многих замечательных предсказаний, практически все из которых были подтверждены в течение многих десятилетий после публикации теории (включая измерение гравитационных волн от слияния двух черных дыр в 2015 году).

Закон всемирного тяготения Ньютона

Ньютон отметил, что объекты на поверхности Земли (следовательно, на расстоянии R E от центра Земли) имеют ускорение g, но Луна на расстоянии около 60 R E имеет центростремительное ускорение около (60) 2 раз меньше г. Он мог бы объяснить это, предположив, что между любыми двумя объектами существует сила, величина которой определяется произведением двух масс, деленным на квадрат расстояния между ними. {2}} \ hat {r} _ {12} \ label {13.1} \]

, где \ (\ vec {F} _ {12} \) — сила, действующая на объект 1, со стороны объекта 2, а \ (\ hat {r} _ {12} \) — единичный вектор, который указывает от объекта 1 к объекту. 2.

Как показано на рисунке \ (\ PageIndex {1} \), вектор \ (\ vec {F} _ {12} \) указывает от объекта 1 к объекту 2 и, следовательно, представляет силу притяжения между объектами. Равная, но противоположная сила \ (\ vec {F} _ {21} \) — это сила, действующая на объект 2 со стороны объекта 1.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Гравитационная сила действует вдоль линии, соединяющей центры масс двух объектов.

Эти равные, но противоположные силы отражают третий закон Ньютона, который мы обсуждали ранее. Обратите внимание, что, строго говоря, уравнение \ ref {13.1} применяется к точечным массам — вся масса находится в одной точке. Но это в равной степени применимо к любым сферически-симметричным объектам, где r — расстояние между центрами масс этих объектов. Во многих случаях это работает достаточно хорошо для несимметричных объектов, если их разделение велико по сравнению с их размером, и мы принимаем r как расстояние между центрами масс каждого тела.

Эксперимент Кавендиша

Спустя столетие после того, как Ньютон опубликовал свой закон всемирного тяготения, Генри Кавендиш определил константу пропорциональности G, выполнив кропотливый эксперимент. Он сконструировал устройство, подобное изображенному на рисунке \ (\ PageIndex {2} \), в котором небольшие предметы подвешиваются на проволоке. После достижения равновесия две фиксированные большие массы размещаются симметрично рядом с меньшими. Гравитационное притяжение создает кручение (скручивание) в опорной проволоке, которое можно измерить.

Постоянная G называется универсальной гравитационной постоянной , и Кавендиш определил, что она равна G = 6,67 x 10 −11 Н • м 2 / кг 2 . Слово «универсальный» указывает на то, что ученые считают, что эта константа применима к массам любого состава и одинакова для всей Вселенной. Значение G — невероятно малое число, показывающее, что сила тяжести очень мала. Притяжение между массами размером с наши тела или даже объектами размером с небоскреб невероятно мало.Например, две массы массой 1,0 кг, расположенные на расстоянии 1,0 м друг от друга, оказывают друг на друга силу 6,7 x 10 −11 Н. Это вес типичной пыльцы.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Кавендиш использовал устройство, подобное этому, для измерения гравитационного притяжения между двумя сферами (m), подвешенными на проволоке, и двумя неподвижными сферами (M). Это обычный эксперимент, который проводится в студенческих лабораториях, но он довольно сложный. Грузовики, проезжающие мимо лаборатории, могут создавать вибрации, которые подавляют силы тяжести.

Хотя гравитация является самой слабой из четырех фундаментальных сил природы, ее притягательная природа — это то, что удерживает нас на Земле, заставляет планеты вращаться вокруг Солнца и Солнца вокруг нашей галактики и связывает галактики в скопления, от нескольких до нескольких. миллионы. Гравитация — это сила, которая формирует Вселенную.

Стратегия решения проблем: закон тяготения Ньютона

Чтобы определить движение, вызванное силой тяжести, выполните следующие действия:

  1. Определите две массы, одну или обе, для которых вы хотите найти гравитационную силу.
  2. Нарисуйте диаграмму свободного тела, указав силу, действующую на каждую массу, и указав расстояние между их центрами масс.
  3. Примените второй закон движения Ньютона к каждой массе, чтобы определить, как она будет двигаться.

Пример \ (\ PageIndex {1} \): столкновение на орбите

Рассмотрим два почти сферических корабля с полезной нагрузкой Союз на орбите вокруг Земли, каждый массой 9000 кг и диаметром 4,0 м. Изначально они покоятся друг относительно друга, 10.0 м от центра до центра. (Как мы увидим в «Законах движения планет» Кеплера, оба движутся по орбите вокруг Земли с одинаковой скоростью и взаимодействуют почти так же, как если бы они были изолированы в глубоком космосе.) Определите гравитационную силу между ними и их начальное ускорение. Оцените, сколько времени требуется им, чтобы дрейфовать вместе, и как быстро они двигаются при ударе.

Стратегия

Мы используем закон всемирного тяготения Ньютона, чтобы определить силу между ними, а затем второй закон Ньютона, чтобы найти ускорение каждого из них.{2} \ ldotp \]

Транспортные средства имеют диаметр 4,0 м, поэтому транспортные средства перемещаются на расстоянии от 10,0 до 4,0 м друг от друга, или на расстояние 3,0 м каждое. Расчет, аналогичный приведенному выше, когда транспортные средства находятся на расстоянии 4,0 м друг от друга, дает ускорение 3,8 x 10 −8 м / с 2 , а среднее из этих двух значений составляет 2,2 x 10 −8 м. / с 2 . Если мы предположим постоянное ускорение этого значения и они начнут движение из состояния покоя, то транспортные средства столкнутся со скоростью, заданной параметром

. {2} + 2a (x — x_ {0}), \; куда\; v_ {0} = 0, \]

т.

\ [v = \ sqrt {2 (2.{-4} \; м / с \ ldotp \]

Мы используем v = v 0 + at, чтобы найти t = v / a = 1,7 x 10 4 с или около 4,6 часа.

Значение

Эти расчеты, включая начальную силу, являются лишь приблизительными, поскольку транспортные средства, вероятно, не являются сферически симметричными. Но вы видите, что сила невероятно мала. Астронавты должны привязать себя, выполняя работу даже за пределами массивной Международной космической станции (МКС), как показано на рисунке \ (\ PageIndex {3} \), потому что гравитационное притяжение не может спасти их даже от малейшего толчка от станции.

Рисунок \ (\ PageIndex {3} \): На этой фотографии изображен Эд Уайт, привязанный к космическому шаттлу во время выхода в открытый космос. (кредит: НАСА)

Упражнение \ (\ PageIndex {1} \)

Что происходит с силой и ускорением, когда машины падают вместе? Какой будет наша оценка скорости при столкновении выше или ниже скорости на самом деле? И, наконец, что было бы, если бы массы не были одинаковыми? Будет ли сила на каждом из них одинаковой или разной? Как насчет их ускорений?

Ответ

Добавьте сюда тексты.Не удаляйте сначала этот текст.

Влияние гравитации между двумя объектами с массой порядка этих космических аппаратов действительно невелико. Тем не менее, влияние гравитации на вас с Земли достаточно велико, поэтому падение на Землю с высоты всего в несколько футов может быть опасным. В следующем разделе мы исследуем силу тяжести у поверхности Земли.

Пример \ (\ PageIndex {2} \): притяжение между галактиками

Найдите ускорение нашей галактики Млечный Путь, обусловленное ближайшей галактикой сопоставимого размера, галактикой Андромеды (рисунок \ (\ PageIndex {4} \)).Приблизительная масса каждой галактики составляет 800 миллиардов солнечных масс (солнечная масса — это масса нашего Солнца), и их разделяет 2,5 миллиона световых лет. (Обратите внимание, что масса Андромеды не так хорошо известна, но считается, что она немного больше, чем наша галактика.) Каждая галактика имеет диаметр примерно 100 000 световых лет (1 световой год = 9,5 x 10 15 м).

Рисунок \ (\ PageIndex {4} \): Галактики гравитационно взаимодействуют на огромных расстояниях. Галактика Андромеды — ближайшая к Млечному Пути спиральная галактика, и они в конечном итоге столкнутся.(кредит: Борис Штромар)

Стратегия

Как и в предыдущем примере, мы используем закон всемирного тяготения Ньютона для определения силы между ними, а затем используем второй закон Ньютона для определения ускорения Млечного Пути. Мы можем считать галактики точечными массами, поскольку их размеры примерно в 25 раз меньше расстояния между ними. Масса Солнца (см. Приложение D) составляет 2,0 x 10 30 кг, а световой год — это расстояние, которое свет проходит за один год, 9,5 x 10 15 м.{2} \ ldotp \]

Значение

Неужели это значение ускорения кажется поразительно маленьким? Если они начнут из состояния покоя, то они будут ускоряться прямо навстречу друг другу, «сталкиваясь» в своем центре масс. Прикинем время, когда это должно произойти. Начальное ускорение составляет ~ 10 −13 м / с 2 , поэтому, используя v = at, мы видим, что каждой галактике потребуется ~ 10 13 с, чтобы достичь скорости 1,0 м / с, и они будет всего на ~ 0,5 x 10 13 м ближе.Это на девять порядков меньше первоначального расстояния между ними. В действительности такие движения редко бывают простыми. Эти две галактики, а также около 50 других меньших галактик, все гравитационно связаны в нашем локальном скоплении. Наше локальное скопление гравитационно связано с другими скоплениями в так называемом сверхскоплении. Все это — часть великого космического танца, являющегося результатом гравитации, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {5} \).

Рисунок \ (\ PageIndex {5} \): Основываясь на результатах этого примера, а также на наблюдениях астрономов в других частях Вселенной, наша галактика столкнется с галактикой Андромеды примерно через 4 миллиарда лет.(кредит: НАСА)

Гравитационная постоянная — это буква G в законе всемирного тяготения Ньютона.

Здесь, на бледно-голубой точке, которую мы называем домом, гравитация — это то, что мы все испытываем каждую секунду каждого дня.

«Гравитация — это клей, который заставляет рассеянную материю между звездами медленно схлопываться и образовывать новые водородные термоядерные машины (также известные как звезды), это клей, который связывает галактики вместе, и он отвечает за нашу собственную Землю, вращающуюся вокруг Солнца каждый раз. год «, — пишет в электронном письме астрофизик из Университета Коннектикута Кара Баттерсби.

Гравитация также сыграла ключевую роль в знаменитой «яблочной» истории сэра Исаака Ньютона. Вы знаете, о чем мы говорим.

Однажды Ньютон тусовался в Линкольншире, Англия, когда увидел, как яблоко упало с дерева. (По крайней мере, так он утверждал.)

В последующие годы он расскажет многим своим знакомым — например, Вольтеру и биографу Уильяму Стьюкли — что его великие сочинения о природе гравитации были вдохновлены этим мирским маленьким событием. Помощник Ньютона Джон Кондуитт писал:

[It] пришел к его мысли, что та же сила гравитации (которая заставила яблоко упасть с дерева на землю) не ограничена определенным расстоянием от Земли, а должна простираться на много дальше, чем обычно думали. Почему не до Луны, сказал он себе, и если так, это должно влиять на ее движение и, возможно, удерживать ее на орбите .

Таким образом, была заложена основа закона всемирного тяготения Ньютона. Центральным для этого является явление, называемое гравитационной постоянной, иначе: «Большая G» или просто «G».

Уравнение

Первым делом. Прежде чем приступить к рассмотрению большой буквы G, мы должны сделать шаг назад и объяснить закон всемирного тяготения Ньютона.

Как Кэти Мак — астрофизик и автор книги «Конец всего (астрофизическая речь)» — написала по электронной почте, что гравитация — это «механизм, с помощью которого вещи, обладающие массой, притягиваются друг к другу.«

Ньютон осознал, что сила этого притяжения между заданным набором объектов зависит от (а) того, насколько они массивны и (б) насколько далеко друг от друга. Это динамика, которую его Закон всемирного тяготения выражает в математических терминах.

Вот соответствующее уравнение:

«F» обозначает «силу тяжести»; «m1» обозначает массу первого объекта; «m2» обозначает массу второго объекта; «r2» обозначает сокращение. для квадрата расстояния между центрами масс внутри объекта один и объекта два.

А буква «Г»? Что ж, друзья, это Большой G: гравитационная постоянная.

«Боже, Джи!»

«Для любых двух масс, будь то шары для боулинга или планеты, сила тяжести между ними определяется их массами, их расстоянием и числом G», — говорит Мак.

Благодаря экспериментам, проведенным Генри Кавендишем в 1790-х годах, мы теперь знаем, что гравитационная постоянная имеет числовое значение около 6,67 x 10 -11 Ньютонов (м2 / кг2).

В этом контексте термин «Ньютоны» относится к единице измерения.Один ньютон — это сила, необходимая для ускорения чего-либо массой 2,2 фунта (1 килограмм) со скоростью 3,28 фута (1 метр) в секунду.

Подобно Андерсу Цельсию и Чарльзу Ф. Рихтеру, сэр Исаак Ньютон заслужил место в хваленом списке ученых, чьи подразделения были названы в их честь. Хорошо для него.

Ньютон против Эйнштейна

Итак, есть нюанс, который мы должны здесь отметить. Видите ли, Закон всемирного тяготения не , а настолько «универсальный», как следует из названия.

Согласно Баттерсби, «наша классическая картина гравитации», которую Ньютон сформулировал еще в 17 веке, — это «точное приближение реальности физики в большинстве мест во всей вселенной (конечно, на Земле)».

«Однако, — добавляет она, — эта теория была заменена общей теорией относительности Эйнштейна, которая является усовершенствованием« ньютоновской гравитации », которая утверждает, что материя деформирует само пространство-время (как тяжелый шар, создающий ямочку на щеках). резиновый лист).»

Это приводит нас к черным дырам.

Черные дыры, которые могут стать более чем в миллион раз массивнее нашего Солнца, влияют на гравитацию так, как закон Ньютона не может объяснить. Общая теория относительности дает более точные предсказания. о них.

«Вы должны начать вносить поправки в тот факт, что описание гравитации Ньютоном не совсем подходит для чрезвычайно сильной гравитации или очень быстрого движения», — говорит Мак. «В таких случаях нам нужно переключиться на картину Эйнштейна. гравитации… Но пока вы не рассматриваете один из этих крайних случаев, уравнение, которое Исаак Ньютон записал в 1686 году для того, что он назвал «Законом всемирного тяготения», действительно универсален ».

HowStuffWorks может заработать небольшая комиссия с партнерских ссылок в этой статье

Universal Gravitation — The Physics Hypertextbook

Обсуждение

комета

Исаак Ньютон родился на Рождество 1642 года в деревне Вулсторп (недалеко от Грэнтэма), Линкольншир, Англия.В 1661 году он поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета (примерно на полпути между Вулсторпом и Лондоном), где изучал математику. В 1665 году Черная чума достигла Англии, вынудив закрыть Тринити и отправив Ньютона обратно в Вулсторп на год или два. Именно в это время он сформулировал большинство своих важных вкладов в математику и физику, включая биномиальную теорему, дифференциальное исчисление, сложение векторов, законы движения, центростремительное ускорение, оптику и всемирное тяготение.Вернувшись в Кембридж, Ньютон стал профессором математики, а затем начал делать то, что профессора делают по сей день — преподавать и публиковать. Большинство статей, представленных Ньютоном для публикации, были посвящены оптике, особенно теории цвета. Затем, восемнадцать лет спустя, в 1684 году, Эдмонд Галлей пришел к Ньютону с проблемой, которую, по его мнению, Ньютон мог бы решить.

Кометы — это астрономические объекты, которые можно увидеть без посторонней помощи всего месяц или около того. Они были серьезной проблемой для ранних астрономов, поскольку появлялись без предупреждения, какое-то время зависали в небе, а затем исчезали, чтобы их больше не видели.Галлей изучал исторические записи появления комет, когда он заметил четыре кометы с почти одинаковой орбитой, разделенные во времени примерно на 76 лет. Он рассудил, что кометы 1456, 1531, 1607 и 1682 годов были наблюдениями одной кометы и что эта комета снова появится зимой 1758 года. Когда это произошло, как и предсказывалось, через шестнадцать лет после его смерти, она стала известна как комета Галлея. . Следует отметить, что Галлей не открыл комету, носящую его имя, он был как раз тем, кто идентифицировал ее как небесное тело с определенным периодом обращения по орбите вокруг Солнца.Комету Галлея, вероятно, видели еще на заре цивилизации, когда люди впервые посмотрели на небо и задались вопросом, как все это работает. Исторические записи из Индии, Китая и Японии свидетельствуют о его появлении еще в 240 г. до н. Э. (Одно появление не зарегистрировано). Последние его выступления были в 1833, 1909 и 1985 годах, а следующее — в 2061 году.

Галлей также заметил, что комета описывает орбиту вокруг Солнца в соответствии с законами движения планет Кеплера; а именно, что орбита представляет собой эллипс (хотя и сильно вытянутый) с Солнцем в одном фокусе и что оно подчиняется гармоническому закону ( r 3 T 2 ), как если бы это была другая планета в Наша Солнечная система.В 1684 году Галлей спросил Ньютона, имеет ли он какое-нибудь представление о том, почему планеты и эта комета подчиняются законам Кеплера; то есть, если бы он знал природу ответственной силы. Ньютон ответил, что он действительно решил эту проблему и «многое другое», относящееся к механике, восемнадцатью годами ранее, но никому об этом не сказал. Затем он начал рыться в поисках своих записей о годах чумы, но не смог их найти. Галлей убедил Ньютона собрать все, что он когда-либо знал по механике, и предложил оплатить затраты, чтобы его идеи могли быть опубликованы.

В 1687 году, после восемнадцати месяцев безостановочной работы, Ньютон опубликовал Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( The Mathematical Principles of Natural Philosophy ). Вероятно, самая важная книга по физике и, возможно, величайшая книга во всей науке, она почти всегда известна просто как «Принципы », . Он содержит суть концепций, представленных в главах по механике каждого последующего учебника физики, в том числе и этого.Вероятно, единственное важное понятие, которое он упускает, — это энергия, но все остальное присутствует: сила, масса, ускорение, инерция, импульс, вес, сложение векторов, движение снаряда, круговое движение, движение спутника, гравитация, приливные силы, прецессия равноденствий. ….

ОТСУТСТВУЕТ ТЕКСТ

В 1684 году D r Галлей приехал навестить его в Кембридже, после того, как они провели некоторое время вместе, D r спросил его, какой, по его мнению, будет кривая, описываемая планетами, предполагая силу притяжения к Солнце обратно пропорционально квадрату их расстояния от него.S r Исаак сразу же ответил, что это будет эллипсис, доктор был поражен радостью и изумлен, спросил его, откуда он это узнал, почему говорит, что я его вычислил, после чего доктор Галлей без дальнейших промедлений попросил его вычислить. r Исаак поискал среди своих бумаг, но не нашел их, но пообещал ему обновить их; а затем отправить ему

Abraham de Moivre, 1727

ОТСУТСТВУЕТ ТЕКСТ

De motu corporum in gyrum (О движении тел по орбите) — это (предполагаемое) название рукописи Исаака Ньютона, отправленной Эдмонду Галлею в ноябре 1684 года.

закон

The Principia содержит в себе объединение земного и небесного тяготения. Ускорение свободного падения, описанное Галилеем, и законы движения планет, наблюдаемые Кеплером, — это разные аспекты одного и того же. Нет земного тяготения для Земли и небесного тяготения для планет, а скорее универсального тяготения для всего.

  1. Каждый объект во Вселенной притягивает любой другой объект во Вселенной с помощью гравитационной силы.
  2. Величина гравитационной силы между двумя объектами составляет…
    1. прямо пропорционально произведению их масс и
    2. обратно пропорционально квадрату расстояния между их центрами

Закон Ньютона работает, поскольку мы живем во вселенной с тремя пространственными измерениями. По мере того, как гравитация распространяется в космос, она распространяется все тоньше и тоньше, покрывая площадь, которая увеличивается в квадрате расстояния от источника.Если бы пространство не было трехмерным, закон Ньютона не работал бы.

Хотя пространство кажется трехмерным, нет очевидной причины, почему это должно быть. Некоторые пока еще спекулятивные теории предполагают, что могут быть дополнительные пространственные измерения. Причина, по которой мы их не видели, в том, что они довольно плотно свернулись. Если они существуют, должно быть возможно найти отклонения силы тяжести от закона обратных квадратов Ньютона на чрезвычайно малых расстояниях. Проверить эти отклонения довольно сложно.Лучшие эксперименты (по состоянию на 2001 год) показывают, что закон обратных квадратов сохраняется до 218 мкм (2,18 × 10 −4 м). Поскольку предполагается, что размер этих скрытых измерений составляет порядка 10 — 35 м, нам предстоит еще пройти долгий путь.

луна

Расстояние между Землей и Луной примерно в шестьдесят раз больше, чем радиус Земли. Ускорение свободного падения на этом расстоянии составляет 1 3600 ускорение свободного падения на поверхности Земли.

яблоко

Исаак Ньютон поступил в Тринити-колледж Кембриджского университета в 1661 году. Он получил степень бакалавра гуманитарных наук в 1665 году, когда Великая чума охватила Лондон. Кембриджский университет был закрыт в качестве меры предосторожности, и Ньютон сбежал на ферму своей семьи в Линкольншире, в 90 км к северу. Летом 1666 года Ньютон начал работу над своей теорией всемирного тяготения. Чуть более двадцати лет спустя окончательная теория была обнародована как часть его большого фолианта Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica ( Mathematical Principles of Natural Philosophy ).Яблоки не обсуждались.

Перенесемся в 1726 год. Сэр Исаак Ньютон был легендой, которая приближалась к концу своей жизни. Он пообедал с другом, Уильямом Стьюкли, после чего они сидели в саду и говорили о многих вещах. Ньютону было 83 года, когда он вспомнил событие, произошедшее 60 годами ранее. Это история, как рассказывает Стьюкли (с использованием его оригинального написания, заглавных букв и знаков препинания).

15 апреля 1726 года я нанес визит сэру Исааку в его квартиру в зданиях Орбелс, Кенсингтон: пообщался с ним … appletrees, только он и я.он сказал мне, что среди других рассуждений он был точно в той же ситуации, когда раньше ему приходило в голову понятие гравитации. «Почему это яблоко всегда должно опускаться перпендикулярно земле», — подумал он про себя из-за падения яблока, когда он сидел в задумчивом настроении: «Почему оно не должно идти вбок или вверх? а постоянно? к центру Земли? Разумеется, причина в том, что Земля втягивает его. В материи должна быть сила притяжения. И сумма притягивающей силы в материи Земли должна быть в центре Земли, а не на какой-либо стороне земли.Поэтому падает ли это яблоко перпендикулярно или по направлению к центру. если материя таким образом влечет материю; он должен быть пропорционален его количеству. поэтому яблоко рисует Землю, так же как Земля рисует яблоко ».

Уильям Стьюкли, 1752

Другой вариант яблочной истории был записан помощником Ньютона на Королевском монетном дворе (а также его племянником в законе) Джоном Кондуиттом.

В год [1666] он снова ушел из Кембриджа в связи с t чумы его матери [в] Линкольншире, и когда он размышлял в саду, ему пришла в голову мысль, что та же сила тяжести (w ch заставил яблоко упасть с дерева на землю) не ограничивался определенным расстоянием от Земли, но эта сила должна распространяться намного дальше, чем обычно думали — Почему не так высоко, как Луна сказал он себе, и если да, то должен влиять на ее движение и, возможно, удерживать ее на орбите, после чего он начал расчет… и нашел, что это полностью согласуется с его Теорией —

Джон Кондуитт, ок.1728

Сам Ньютон никогда ничего не писал о яблоках. Его больше интересовало движение Луны как средство проверки его теории.

В том же году [1666] я начал думать о гравитации, распространяющейся на шар Луны, и обнаружил, как оценить силу, с которой шар, вращающийся внутри сферы, давит на поверхность сферы, исходя из правила Кеплера. периодические времена, когда планеты находятся в полуторной пропорции их расстояний от центров их сфер, я сделал вывод, что силы, удерживающие планеты в их орбах, должны быть обратно пропорциональны квадратам их расстояний от центров, вокруг которых они вращаются: и таким образом сравнил силу, необходимую для удержания Луны в ее орбите, с силой тяжести на поверхности Земли, и нашел, что они ответили довольно близко.Все это было в два года чумы — 1665 и 1666, потому что в те дни я был в расцвете сил для изобретательства и думал о математике и философии больше, чем когда-либо с тех пор.

Исаак Ньютон, ок. 1715

Когда Ньютона спросили, как он открыл закон всемирного тяготения, он ответил:

, если я оказал или публично любую услугу таким образом, то это не что иное, как промышленность и терпеливые мысли.

Исаак Ньютон, 1692

формула

Force

F г = — Gm 1 м 2
r 2

Поле

Напряженность гравитационного поля (ускорение свободного падения) ☞ Напряженность гравитационного поля для черных дыр рассчитывалась на поверхности горизонта событий (радиус Шварцшильда).Гравитация на горизонте событий может приближаться к бесконечности. Также обратите внимание, что напряженность гравитационного поля на горизонте событий уменьшается с увеличением массы черной дыры.
объект Масса (кг) радиус (км) г (м / с 2 ) г (г)
Солнце 1,99 × 10 30 696, 000 270 28
Меркурий 3.30 × 10 23 2,440 3,7 0,38
Венера 4,87 × 10 24 6 050 8,9 0,90
Земля 5,97 × 10 24 6,380 9,8 1,0
Луна 7,36 × 10 22 1,740 1,6 0,17
Марс 6.42 × 10 23 3 400 3,7 0,38
Юпитер 1,90 × 10 27 71 500 25 2,5
Сатурн 5,69 × 10 26 60 300 10 1,1
Уран 8,68 × 10 25 25 600 8,9 0,90
Нептун 1.02 × 10 26 24 800 11 1,1
Плутон 1,31 × 10 22 1,180 0,63 0,064
белый карлик ~ 1 солнечная масса ~ 1 Земля радиус ~ 3,000, 000 ~ 300, 000
нейтронная звезда 2 ~ 3 солнечная масс ~ 10 ~ 10 13 ~ 10 12
звездная черная дыра > 3 солнечных масс > 9 ~ 10 12 ~ 10 11
сверхмассивная черная дыра 10 5 ~ 10 9 солнечная масс 10 5 ~ 10 9 10 8 ~ 10 4 10 7 ~ 10 3

константа

Эксперимент Кавендиша

Великая пирамида настолько массивна, что отвес не будет свисать прямо вниз, когда рядом с пирамидой, а будет качаться в сторону конструкции.Ср. Tompkins, Secrets of the Great Pyramids, стр. 84-85, где Томпкинс, обсуждая измерения, сделанные Пьяцци Смит, пишет: «Чтобы получить правильную широту Великой пирамиды, не отклоняя его отвес от перпендикуляра из-за притяжения огромная часть пирамиды, Смит проводил свои наблюдения с вершины; там сила тяжести пирамиды будет направлена ​​прямо вниз ». Томпкинс, Питер. Тайны Великой пирамиды (Нью-Йорк: Харпер Коллинз, 1971).

критики

Действие на расстоянии.Ответ Ньютона на эту критику был в основном: «Мне все равно. Теория работает».

Rationem vero harum gravitatis proprietatum ex phænomenis nondum potui deducere, & hypotheses non fingo …. Et Satis est quod gravitas revera existat, & agat secundum leges a nobis expositas, & ad corporum cælestium & maris nostri motus omnes sufficiat. Я не смог обнаружить причину этих свойств гравитации на основе явлений, и Я не выдвигаю никаких гипотез ….И для нас достаточно того, что гравитация действительно существует и действует согласно законам, которые мы объяснили, и в значительной степени служит для объяснения всех движений небесных тел и наших морей.

сверх того…

  • Кто-то изобрел гравитационное поле. Единицы: Н / кг или м / с 2
  • Счастливая эквивалентность инертной и гравитационной масс.
  • Без сомнения, Ньютон думал, что Бог говорил с ним, но Библия не упоминает закон всемирного тяготения.
  • Ньютон сошел с ума на пару лет, вероятно, из-за отравления ртутью.
  • Он больше думал о своем библейском анализе, чем о своем физическом анализе.
  • Ньютон был назначен мастером монетного двора — по сути, это была должность патронажа, чтобы вознаградить его за достижения в области физики. В то время как там он использовал зубчатые монеты, чтобы предотвратить их «стрижку» или «бритье», что в то время было серьезной проблемой в Англии.
  • Ньютон придумал слово «гравитация» от gravitas , латинского слова, обозначающего тяжесть, серьезность или авторитет.Латинское слово для обозначения веса — pondus , что дает нам английскую единицу веса — фунт (но, что интересно, не глагол фунт или фунт, в котором содержатся бездомные животные).

СДЕЛАТЬ НОВЫЙ РАЗРЕЗ ГРАВИТАЦИОННОГО ПОЛЯ

дополнительные размеры

Цитата (измененная) Учителя физики, которая будет перефразирована. «Существенным ингредиентом для образования черных дыр на LHC (Большом адронном коллайдере) является наличие дополнительных измерений. Черная дыра — это область интенсивного гравитационного поля, создающего условия, противоречащие тому, что мы наблюдаем в отношении гравитационных сил в повседневной жизни. Мир.Наличие дополнительных измерений гарантирует дополнительную силу гравитации, необходимую для создания черных дыр. Когда протоны сталкиваются в LHC, они подходят так близко друг к другу, что по сути «видят» дополнительные измерения (где сильная гравитация), и возможно образование черной дыры. Если это так, то дополнительные размеры должны составлять ~ 10 −14 м. «

Трехмерное пространство

n-мерное пространство

Гравитационная сила в n > трехмерном пространстве увеличивается быстрее на малых расстояниях, чем в трехмерном пространстве.Предполагается, что размеры больше 3 малы и, следовательно, выявляются только при небольших расстояниях между ними.

Закон всемирного тяготения — OGHS AP Physics 1

Глава 5

Разделы 5–6 и 5–7

Целей:

  • Государственный закон всемирного тяготения Ньютона.
  • Используйте закон всемирного тяготения Ньютона, чтобы качественно описать эффекты изменения расстояния или массы.
  • Работайте с законом всемирного тяготения Ньютона, чтобы найти недостающую информацию при наличии достаточной исходной информации.

Необходимые действия

Чтение

Глава 5 разделы 6–7

Банкноты

Посмотрите следующую презентацию перед следующим занятием и распечатайте копию для своей записной книжки.

Примечания к разделам 5–6 и 5–7

Примечания к разделам 5–6 и 5–7

Видео

Посмотрите следующие видео перед следующим занятием.

Ньютоновская гравитация: ускоренный курс физики № 8

Вывод закона всемирного тяготения Ньютона

Гравитация: четыре фундаментальных силы физики # 3

Физика — Механика: Гравитация (1 из 20) Закон всемирного тяготения Ньютона

Физика — Механика: сила тяжести (3 из 20) между Землей и Луной, Землей и Солнцем

Физика — Механика: Гравитация (4 из 20) Ускорение силы тяжести

Студент AP хорошо объясняет и воспроизводит эксперимент Кавендиша.

Эксперимент Кавендиша и G

Знаменитое видео MIT PSSC, в котором они притворяются, что находятся на планете (планете X) в солнечной системе, где нет других планет. То, как они рассчитывали гравитационные силы и G, должно было отличаться от опыта Земли. Много хороших демок.

Универсальная гравитация (PSSC)

Вопросы и проблемы

Это вопросы и задачи, над которыми вы будете работать в классе.

Задачи 5–6 и 5–7

Дополнительная деятельность

Чтение

Гравитация — это больше, чем имя (кабинет физики)

Яблоко, луна и закон обратных квадратов (класс физики)

Закон всемирного тяготения Ньютона (класс физики)

Кавендиш и ценность G (Физический класс)

The Value of g (Физический класс)

Видео

Механическая вселенная: 08.Яблоко и луна

Физика — Механика: Гравитация (2 из 20) Что такое гравитация?

Один из самых известных физиков-теоретиков Ричард Фейнманн делает краткий доклад об эксперименте Кавендиша.

Лекция посланника Фейнмана — Эксперимент Кавендиша

Щелкни и учись — Закон всемирного тяготения

Сила притяжения F между двумя объектами с соответствующими массами m1 и m2, разделенными межцентровым расстоянием R в любой точке Вселенной, описывается законом всемирного тяготения Ньютона:

Если математически объединить вышеприведенные утверждения, мы получим следующее соотношение:

Переведем приведенное выше утверждение в определенное уравнение, введя константу G

В нем говорится, что сила притяжения обратно пропорциональна расстоянию (взятому от их соответствующих центров) в квадрате

По мере увеличения расстояния R между двумя массами их силы притяжения обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними.

Ценность г

Другой способ рассчитать ускорение свободного падения g — использовать Закон всемирного тяготения Ньютона

Напомним, что Сила тяжести вокруг поверхности Земли рассчитывается по формуле F g = m x g

Но мы также можем использовать закон всемирного тяготения Ньютона, чтобы получить тот же результат. Ведь это уравнение УНИВЕРСАЛЬНО.

Следовательно, можно сказать, что

где m — масса любого объекта на поверхности Земли. M — масса Земли G — постоянная всемирного тяготения (6,67 x 10 -11 Нм 2 / кг 2 ).

** Обратите внимание, что масса м выпадает с каждой стороны уравнения, поэтому значение g на Земле можно вычислить, если мы знаем массу Земли и ее радиус R.

Этот факт не должен нас удивлять, ведь мы всегда заявляли, что ускорение свободного падения объекта не зависит от его массы


Упражнение 1:

Используйте информацию о том, что масса Земли составляет 5,98 x 10 24 кг, а ее радиус составляет 6,38 x 10 3 км (6,38 x 10 6 м), чтобы подтвердить, что g на Земле составляет приблизительно 9,8 Н / кг.

Решение:

Используя формулу выше, мы имеем:

ТЕПЕРЬ… Проведите анализ единиц измерения самостоятельно, чтобы убедиться, что ответ в н / кг — хорошая практика!


Упражнение 2:

Учитывая следующие данные, используйте графические методы, чтобы подтвердить, что закон всемирного тяготения Ньютона является законом обратных квадратов.

Расстояние от центра до центра между Луной и Землей — это расстояние между двумя небесными телами плюс их соответствующие радиусы.

Система Луна-Земля — ​​ F 1 = 2,05 x 10 23 N
Система Солнце-Земля — ​​ F 2 = 3,53 x 10 22 N

то есть

  • Система Луна-Земля R1 = 1,74 x 106 м + 6,38 x 106 м + 3,84 x 10 6 м = 1,196 x 10 7 м

  • Система Солнце-Земля R2 = 1.496 x 1011 м + 6,38 x 106 м + 6,96 x 10 8 м = 1,50 x 10 11 м


Найдите силы, используя

  • Скомпилируйте данные в диаграмму и постройте данные
Система Силы (Н) Расстояния (R)
(м)
Квадрат расстояний (R) 2 , (м 2 ) Произведение масс
(кг 2 )
Земля-Луна 2.05 х 10 37 1,196 х 10 7 1,430 х 10 14 4,57 х 10 47
Земля-Солнце 3.53 х 10 22 1,50 х 10 11 2,25 х 10 22 1,19 х 10 55

Вот те же данные и их анализ с использованием таблиц
Система Силы (N) Расстояния (R) Квадрат расстояний (R) 2 , (м 2 ) Произведение масс Обратный квадрат расстояний (1 / R) 2 , (1 / m 2 )
(м) (кг 2 )
Земля-Луна

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *