Индуктивность. Самоиндукция. Энергия магнитного поля тока. Примеры решения задач по физике. 10-11 класс

Индуктивность. Самоиндукция. Энергия магнитного поля тока. Примеры решения задач по физике. 10-11 класс

Подробности

Просмотров: 1124

Задачи по физике — это просто!

Не забываем, что решать задачи надо всегда в системе СИ!

А теперь к задачам!

Элементарные задачи из курса школьной физики на расчет индуктивности, самоиндукции, энергии магнитного поля тока.

Задача 1

Какова индуктивность витка проволоки, если при токе 6 А создается магнитный поток 12 мВб?

Задача 2

В катушке из 150 витков течет ток 7,5 А, и при этом создается магнитный поток 20 мВб.
Какова индуктивность катушки?

Задача 3

Через соленоид, индуктивность которого 0,4 мГн и площадь поперечного сечения 10 см², проходит ток 0,5 А.
Какова индукция поля внутри  соленоида, если он содержит 100 витков?

Задача 4

Определить индуктивность контура с током 1,2 А, если контур ограничивает  площадь 20 см², а магнитная индукция поля равна 0,8 Тл, причем вектор магнитной индукции направлен под углом  30^o к плоскости контура.

Задача 5

Какая ЭДС самоиндукции возбуждается в обмотке электромагнита с индуктивностью 0,4 Гн при изменении силы тока на 5 А за  0,02 секунды?

Задача 6

Определить энергию магнитного поля катушки, если ее индуктивность 0,2 Гн, а ток в ней 12 А.

Задача 7

Какой должна быть сила тока в катушке с индуктивностью 0,5 Гн, чтобы энергия магнитного поля оказалась равной 1 Дж?

Задача 8

Найти энергию магнитного поля соленоида, индуктивность которого 0,02 Гн, а магнитный поток через него составляет 0,4 Вб.

Электромагнитная индукция, самоиндукция, индуктивность. Энергия магнитного поля

Урок по теме «Электромагнитная индукция, самоиндукция, индуктивность.

Энергия магнитного поля».

11 класс.

Задача урока: используя игровую форму построения занятия и коллективный метод подхода к решению задач закрепить у учащихся умение решать задачи по теме.

Тип урока: урок – игра по типу «Морской бой».

Технология: дифференцированное обучение.

Учащиеся делятся на две команды: «Друзья Ампера» и «Аспиранты Ленца».

На доске оформлены два игровых поля размером 5×5 клеток, на которых расставлены корабли противников и внесены ответы к задачам. Все клетки поля закрыты стиккерами. На столе лежат «снаряды», на оборотной стороне которых приклеены условия задач. Капитан назначает старшего помощника, что позволяет разбить команду на две части для результативности работы. Учащиеся должны взять снаряд, решить задачу и открыть соответствующую клетку поля в том случае, если их ответ совпадет с правильным ответом в клетке поля. Решения задач учащиеся записывают в судовой журнал, лежащий у них на столах. При подведении итогов урока учитываются следующие факторы:

А1 За 3 секунды магнитный поток, пронизывающий проволочную рамку, равномерно увеличился с 6 Вб до 9 Вб. Чему равно при этом значение ЭДС индукции в рамке?	Б1 Чему равна ЭДС самоиндукции в катушке с индуктивностью 3Гн при равномерном уменьшении силы тока от 5А до 1А за 2 секунды?	В1 Магнитный поток, пронизывающий замкнутый контур, за 6мс равномерно возрастает с 2 до 14 мВб. Какова ЭДС индукции в контуре?	Г1 В катушке индуктивностью 0,4Гн сила тока равна 5А. Какова энергия магнитного поля катушки?	Д1 В катушке индуктивностью 20мГн сила тока равна 0,5А. На сколько увеличится энергия магнитного поля, если в катушку вставить железный сердечник, который увеличит индуктивность катушки в 50 раз? Сила тока в цепи не изменяется.
А2 За 3 секунды магнитный поток, пронизывающий проволочную рамку, равномерно уменьшается с 9 Вб до 6 Вб. Чему равно при этом значение ЭДС индукции в рамке?	Б2. Линии магнитной индукции однородного магнитного поля вертикальны. Каков магнитный поток через горизонтальный контур площадью 50 см2, если модуль магнитной индукции равен 60 мТл?	В2 Какова индуктивность контура, если при силе тока 6А его пронизывает магнитный поток 0,3 мВб?	Г2 Энергия магнитного поля катушки индуктивностью 0,5Гн равна 0,25Дж. Какова сила тока в катушке?	Д2 Сила тока в катушке 10А. При какой индуктивности катушки энергия ее магнитного поля будет равна 6Дж?
А3 Чему равна индуктивность проволочной рамки, если при силе тока 3А в рамке возникает магнитный поток 6 Вб?	Б3 Линии магнитной индукции однородного магнитного поля образуют угол 30°с вертикалью. Модуль магнитной индукции равен 0,2 Тл. Какой магнитный поток пронизывает горизонтальное проволочное кольцо радиусом 10см?	В3 Какая ЭДС самоиндукции возникает в катушке индуктивностью 20 мГн при равномерном изменении силы тока на 15А за 1с?	Г3 Какова индуктивность катушки, если при силе тока 3А энергия магнитного поля катушки равна 1,8 Дж?	Д3 В катушке, индуктивность которой 0,3Гн, сила тока 2А. Найдите энергию магнитного поля, запасенную в катушке.
А4 Чему равна ЭДС самоиндукции в катушке с индуктивностью 2Гн при равномерном уменьшении силы тока от 3А до 1А за 2 секунды?	Б4. Магнитный поток через квадратную проволочную рамку со стороной 5 см, плоскость которой перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля, равен 0,1 мВб. Каков модуль магнитной индукции поля?	В4 Какой должна быть скорость изменения силы тока, чтобы в катушке индуктивностью 50 мГн возникла ЭДС самоиндукции 30В?	Г4 В катушке из 200 витков возбуждается постоянная ЭДС индукции 160В. На сколько изменился в течение 5мс магнитный поток через каждый из витков?	Д4 Какой должна быть сила тока в катушке с индуктивностью 1Гн, чтобы энергия поля оказалась равной 2Дж?
А5 Чему равна индуктивность проволочной рамки, если при силе тока 2А в рамке возникает магнитный поток 8 Вб?	Б5 Магнитный поток через замкнутый контур изменился на 0,06 Вб за 0,3с. Какова средняя скорость изменения магнитного потока?	В5 Какова индуктивность контура, если при равномерном изменении силы тока на 5А за 50мс в этом контуре создается ЭДС 10В?	Г5 Магнитная индукция однородного магнитного поля изменяется со скоростью 20 Тл за секунду. При этом в катушке с площадью поперечного сечения 6см2 возбуждается ЭДС индукции 12В. Сколько витков в катушке? Ось катушки параллельна линиям магнитной индукции.	Д5 Магнитная индукция однородного магнитного поля изменяется со скоростью 20 Тл за секунду. При этом в катушке с площадью поперечного сечения 6 см2, содержащей 1000 витков, возбуждается ЭДС индукции 6В. Какой угол образует ось катушки с линиями магнитной индукции поля?

Задачи на явление энергию магнитного поля с решением

Продолжаем цикл статей о решении физических задач. Сегодня разберем несколько примеров на тему «Энергия магнитного поля».

Скучно решать задачи? Загляните на наш телеграм-канал, там много интересной и полезной информации для всех учащихся. А если хотите получить скидку на наши услуги, подписывайтесь на второй канал с приятными бонусами и акциями!

Энергия магнитного поля: задачи

Как решать физические задачи? Специально для новичков мы подготовили общую памятку, а также собрали вместе более 40 формул, которые обязательно пригодятся в учебе.

Кстати, в нашем блоге уже есть статья с задачами на  ЭДС самоиндукции и закон Фарадея. Всех интересующихся – милости просим.

Задача на энергию магнитного поля №1

Условие

Какова энергия магнитного поля соленоида, если по его обмотке индуктивностью L=0,2 Гн протекает ток I=10 А.

Решение

По определению, энергия магнитного поля равна:

W=LI22

Подставим значения, и вычислим:

W=0,2·1022=10 Дж

Ответ: 10 Дж.

Задача на энергию магнитного поля №2

Условие

Сила тока I в обмотке соленоида равна 1 А, а магнитный поток Ф через его поперечное сечение равен 0,1 мВб. Вычислить энергию магнитного поля соленоида, если он содержит N=1000 витков.

Решение

Для нахождения энергии магнитного поля будем использовать формуду из первой задачи. Очевидно, для вычисления нужно найти индуктивность. Выразим ее с помощью такой величины, как  потокосцепление – суммарный магнитный поток, сцепляющийся со всеми витками катушки:

ψ=LI=NФL=NФI

Подставим это выражение в формулу для энергии магнитного поля и высчислим ответ:

W=LI22=NФI2I·12=NФI2W=1000·0,1·10-3·12=0,05 Дж

Ответ: 0,05 Дж.

Задача на энергию магнитного поля №3

Условие

Плотность энергии w магнитного поля в железе равна 200 Дж/м3 при индукции поля B, равной 1 Тл. Какова магнитная проницаемость μ железа?

Решение

Запишем выражение для плотности энергии магнитного поля:

w= В22μ0μ

Выразим отсюда магнитную проницаемость и произведем вычисления:

μ=B22μ0w=122·1,26·10-6·200=2·103

Ответ: 2·103

Задача на энергию магнитного поля №4

Условие

Найти энергию магнитного поля соленоида, индуктивность которого 0,04 Гн, а магнитный поток через него составляет 0,5 Вб.

Решение

В данном случае для применения формулы W=LI22 не хватает величины I. Преобразуем данную формулу. Вспомним, что:

Ф=LII=ФL

Теперь первоначальную формулу для энергии магнитного поля можно записать в виде:

W=L2·Ф2L2=Ф22LW=0,522·0,04=3,125 Дж

Ответ: 3,125 Дж.

Задача на энергию магнитного поля №5

Условие

Какой должна быть сила тока в катушке с индуктивностью 0,8 Гн, чтобы энергия магнитного поля оказалась равной 2 Дж?

Решение

Запишем формулу для энергии магнитного поля и выразим из нее силу тока:

W=LI22I=2WL

Подставим значения из условия в формулу для силы тока и вычислим:

I=2·20,8=5=2,23 А

Ответ: 2,23 А.

Вопросы на тему «Энергия магнитного поля»

Вопрос 1.

Что такое энергия магнитного поля?

Ответ. Магнитное поле обладает энергией. Эта физическая величина показывает, какую работу ток в проводнике (катушке индуктивности) затрачивает на создание данного магнитного поля. Энергия магнитного поля тока вычисляется по формуле:

W=LI22

Вопрос 2. Что такое объемная плотность энергии магнитного поля?

Ответ. Объемная плотность энергии магнитного поля определяет энергию поля в единице объема. Формула, выведенная Максвеллом для объемной плотности энергии магнитного поля соленоида:

w= B2μ0μ

Вопрос 3. От чего зависит энергия магнитного поля?

Ответ. Энергия магнитного поля прямо пропорциональна индуктивности.

Вопрос 4. Что такое индуктивность?

Ответ. Индуктивность – физическая величина, коэффициент пропорциональности между силой тока в контуре и магнитным потоком через контур, создаваемым данным током.

Индуктивность также называют коэффициентом самоиндукции, она характеризует магнитные свойства электрической цепи (контура, катушки и т.д.)

Вопрос 5. Как можно переписать формулу для энергии магнитного поля?

Ответ. Формула может быть записана в виде:

W=LI22=ФI2=Ф22L

Нужна помощь в решении задач или любых других заданий по учебе? Профессиональный сервис для студентов всегда готов поспособствовать с их решением.

Электричество и магнетизм

Обратимся снова к процессу замыкания цепи на рис. 8.33-1. Умножая правую и левую части уравнения (8.23) на , получим

(8.29)

Левая часть уравнения (8.29) выражает работу, совершаемую источником тока за время . В правой части первое слагаемое есть величина работы, расходуемой на выделение джоулева тепла в проводнике. Ясно, что перед нами — уравнение закона сохранения энергии в рассматриваемой цепи. Каков же смысл второго слагаемого? Оно связано с катушкой, о чем свидетельствует множитель

L, и представляет собой работу, затраченную на преодоление противодействия ЭДС самоиндукции. Куда же девается эта работа? В процессе замыкания цепи в катушкой создается магнитное поле. Значит, указанная работа аккумулируется именно в катушке как запасенная в ней энергия её магнитного поля. Ток возрастает от нуля до некого установившегося значения I. Поэтому полная энергия поля катушки равна 

(8.30)

Поскольку

этот же результат можно записать в формах

(8.31)

Эти формулы очень похожи на выражения для энергии конденсатора как функции его заряда или разности потенциалов на обкладках. Мы помним, что их можно привести к виду, где явно выделен объем конденсатора. Это позволило нам связать плотность энергии электрического поля с его напряженностью. Выполним аналогичную программу и для магнитного поля, используя в качестве «катушки» достаточно длинный соленоид. 

Индуктивность соленоида дается выражением (8.21)

Магнитная индукция в соленоиде определяется по формуле (7.18)

Выразим плотность числа витков в соленоиде через магнитное поле в нем

и подставим в выражение для индуктивности соленоида. Получим

Наконец, подставим это выражение в формулу (17.28) для энергии поля в катушке 

(8.32)

Мы достигли своей цели: параметры соленоида, с которого мы начали, не присутствуют в этой формуле. Мы все выразили через магнитную индукцию поля, и энергия в катушке оказалась пропорциональной ее объему. Отсюда следует выражение для плотности энергии магнитного поля (неважно, чем и как созданного)

(8.33)

Вспоминая связь напряженности магнитного поля с магнитной индукцией

находим эквивалентные представления для плотности энергии магнитного поля:

(8.34)

Для магнитного поля в вакууме следует положить во всех этих формулах . Нетрудно заметить сходство (8.34) с аналогичными формулами (3.35), (3.36) для электрического поля (рис. 8.36, рис. 8.37).

Рис. 8.36. Мощное магнитное поле Солнца производит выбросы плазмы

Рис. 8.37. Мощное магнитное поле нейтронной звезды 

Пример. Сравнить энергии, содержащиеся в объеме 1 л, если он пронизан: 1) однородным электрическим полем с напряженностью Е = 100 кВ/м; 2) однородным магнитным полем с индукцией В = 1 Тл.

Решение. Энергия электрического поля равна

Энергия магнитного поля равна

Оба указанных поля считаются достаточно сильными, но могут быть созданы без особых проблем. Задача демонстрирует, что практически выгоднее накапливать энергию в магнитном поле: в данном примере отношение энергий равно

Чему равна индуктивность цепи

Рассмотрим цепь, содержащую в себе катушку индуктивности , и предположим, что активное сопротивление цепи, включая провод катушки, настолько мало, что им можно пренебречь. В этом случае подключение катушки к источнику постоянного тока вызвало бы его короткое замыкание, при котором, как известно, сила тока в цепи оказалась бы очень большой.

Иначе обстоит дело, когда катушка присоединена к источнику переменного тока. Короткого замыкания в этом случае не происходит. Это говорит о том. что катушка индуктивности оказывает сопротивление проходящему по ней переменному току .

Каков характер этого сопротивления и чем оно обусловливается?

Чтобы ответить ил этот вопрос, вспомним явление самоиндукции. Всякое изменение тока в катушке вызывает появление в ней ЭДС самоиндукции, препятствующей изменению тока. Величина ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна величине индуктивности катушки и скорости изменения тока в ней. Но так как переменный ток непрерывно изменяется, то непрерывно возникающая в катушке ЭДС самоиндукции создает сопротивление переменному току.

Для уяснения процессов, происходящих в цепи переменного тока с катушкой индуктивности, обратимся к графику. На рисунке 1 построены кривые линии, характеризующие соответственно тик в цепи, напряжение на катушке и возникающую в ней ЭДС самоиндукции. Убедимся в правильности произведенных па рисунке построений.

Цепь переменного тока с катушкой индуктивности

С момента t = 0, т. е. с начального момента наблюдения за током, он начал быстро возрастать, но по мере приближения к своему максимальному значению скорость нарастания тока уменьшалась. В момент, когда ток достиг максимальной величины, скорость его изменения на мгновение стала равной нулю, т. е. прекратилось изменение тока. Затем ток начал сначала медленно, а потом быстро убывать и по истечении второй четверти периода уменьшился до нуля. Скорость же изменения тока за эту четверть периода, возрастая от пуля, достигла наибольшей величины тогда, когда ток станет равным нулю.

Рисунок 2. Характер изменений тока во времени в зависимости от величины тока

Из построений на рисунке 2 видно, что при переходе кривой тока через ось времени увеличение тока за небольшой отрезок времени t больше, чем за этот же отрезок времени, когда кривая тока достигает своей вершины.

Следовательно, скорость изменения тока уменьшается по мере увеличения тока и увеличивается по мере его уменьшения, независимо от направления тока в цепи.

Очевидно, и ЭДС самоиндукции в катушке должна быть наибольшей тогда, когда скорость изменения тока наибольшая, и уменьшаться до нуля, когда прекращается его изменение. Действительно, на графике кривая ЭДС самоиндукции e _L за первую четверть периода, начиная от максимального значения, упала до нуля (см. рис. 1).

На протяжении следующей четверти периода ток от максимального значения уменьшался до нуля, однако скорость его изменения постепенно возрастала и была наибольшей в момент, когда ток стал равным нулю. Соответственно и ЭДС самоиндукции за время этой четверти периода, появившись вновь в катушке, постепенно возрастала и оказалась максимальной к моменту, когда ток стал равным нулю.

Однако направление свое ЭДС самоиндукции изменила на обратное, так как возрастание тока в первой четверти периода сменилось во второй четверти его убыванием.

Цепь с индуктивностью

Продолжив дальше построение кривой ЭДС самоиндукции, мы убеждаемся в том, что за период изменения тока в катушке и ЭДС самоиндукции совершит в ней полный период своего изменения. Направление ее определяется законом Ленца: при возрастании тока ЭДС самоиндукции будет направлена против тока (первая и третья четверти периода), а при убывании тока, наоборот, совпадать с ним по направлению (вторая и четвертая четверти периода).

Таким образом, ЭДС самоиндукции, вызываемая самим переменным током, препятствует его возрастанию и , наоборот, поддерживает его при убывании .

Обратимся теперь к графику напряжения на катушке (см. рис. 1). На этом графике синусоида напряжения на зажимах катушки изображена равной и противоположной синусоиде ЭДС самоиндукции. Следовательно, напряжение на зажимах катушки в любой момент времени равно и противоположно ЭДС самоиндукции, возникающей в ней. Напряжение это создается генератором переменного тока и идет на то, чтобы погасить действие в цепи ЭДС самоиндукции.

Таким образом, в катушке индуктивности, включенной в цепь переменного тока, создается сопротивление прохождению тока. Но так как такое сопротивление вызывается в конечном счете индуктивностью катушки , то и называется оно индуктивным сопротивлением.

Индуктивное сопротивление обозначается через X _L и измеряется, как и активное сопротивление, в омах.

Индуктивное сопротивление цепи тем больше, чем больше частота источника тока, питающего цепь, и чем больше индуктивность цепи. Следовательно, индуктивное сопротивление цепи прямо пропорционально частоте тока и индуктивности цепи; определяется оно по формуле X L = ω L , где ω — круговая частота, определяемая произведением 2π f . — индуктивность цепи в гн.

Закон Ома для цепи переменного тока, содержащей индуктивное сопротивление, звучит так: величина тока прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна индуктивному сопротивлению це п и , т. е. I = U / X _L , где I и U — действующие значения тока и напряжения, а X _L — индуктивное сопротивление цепи.

Рассматривая графики изменения тока в катушке. ЭДС самоиндукции и напряжения на ее зажимах, мы обратили внимание на то, что изменение этих в еличин не совпадает по времени. Иначе говоря, синусоиды тока, напряжения и ЭДС самоиндукции оказались для рассматриваемой нами цепи сдвинутыми по времени одна относительно другой. В технике переменных токов такое явление принято называть сдвигом фаз .

Если же две переменные величины изменяются по одному и тому же закону (в нашем случае по синусоидальному) с одинаковыми периодами, одновременно достигают своего максимального значения как в прямом, так и в обратном направлении, а также одновременно уменьшаются до нуля, то такие переменные величины имеют одинаковые фазы или, как говорят, совпадают по фазе.

В качестве примера на рисунке 3 приведены совпадающие по фазе кривые изменения тока и напряжения. Такое совпадение фаз мы всегда наблюдаем в цепи переменного тока, состоящей только из активного сопротивления.

В том случае, когда цепь содержит индуктивное сопротивление, фазы тока и напряжения, как это видно из рис. 1 не совпадают, т. е. имеется сдвиг фаз между этими переменными величинами. Кривая тока в этом случае как бы отстает от кривой напряжения на четверть периода.

Следовательно, при включении катушки индуктивности в цепь переменного тока в цепи появляется сдвиг фаз между током и напряжением, причем ток отстает по фазе от напряжения на четверть периода . Это значит, что максимум тока наступает через четверть периода после того, как наступил максимум напряжения.

ЭДС же самоиндукции находится в противофазе с напряжением на катушке, отставая, в свою очередь, от тока на четверть периода. При этом период изменения тока, напряжения, а также и ЭДС самоиндукции не меняется и остается равным периоду изменения напряжения генератора, питающего цепь. Сохраняется также и синусоидальный характер изменения этих величин.

Рисунок 3. Совпадение по фазе тока и напряжения в цепи с активным сопротивлением

Выясним теперь, каково отличие нагрузки генератора переменного тока активным сопротивлением от нагрузки его индуктивным сопротивлением.

Когда цепь переменного тока содержит в себе лишь одно активное сопротивление, то энергия источника тока поглощается в активном сопротивлении, нагревая проводник.

Когда же цепь не содержит активного сопротивления (мы условно считаем его равным нулю), а состоит лишь из индуктивного сопротивления катушки, энергия источника тока расходуется не на нагрев проводов, а только на создание ЭДС самоиндукции, т. е. она превращается в энергию магнитного поля. Однако переменный ток непрерывно изменяется как по величине, так и по направлению, а следовательно, и магнитное поле катушки непрерывно изменяется в такт с изменением тока. В первую четверть периода, когда ток возрастает, цепь получает энергию от источника тока и запасает ее в магнитном поле катушки. Но как только ток, достигнув своего максимума, начинает убывать, он поддерживается за счет энергии, запасенной в магнитном поле катушки посредством ЭДС самоиндукции.

Таким образом, источник тока, отдав в течение первой четверти периода часть своей энергии в цепь, в течение второй четверти получает ее обратно от катушки, выполняющей при этом роль своеобразного источника тока. Иначе говоря, цепь переменного тока, содержащая только индуктивное сопротивление, не потребляет энергии : в данном случае происходит колебание энергии между источником и цепью. Активное же сопротивление, наоборот, поглощает в себе всю энергию, сообщенную ему источником тока.

Говорят, что катушка индуктивности, в противоположность омическому сопротивлению, не активна по отношению к источнику переменного тока, т. е. реактивна . Поэтому индуктивное сопротивление катушки называют также реактивным сопротивлением .

Кто в школе не изучал физику? Для кого-то она была интересна и понятна, а кто-то корпел над учебниками, пытаясь выучить наизусть сложные понятия. Но каждый из нас запомнил, что мир основан на физических знаниях. Сегодня мы поговорим о таких понятиях, как индуктивность тока, индуктивность контура, и узнаем, какие бывают конденсаторы и что такое соленоид.

Электрическая цепь и индуктивность

Самоиндукция и измерение индуктивности

Индуктивностью называется величина, которая равна отношению магнитного потока, проходящего по всем виткам контура к силе тока:

Индуктивность контура находится в зависимости от формы, размеров контура и от магнитных свойств среды, в которой он находится. Если в замкнутом контуре протекает электрический ток, то возникает изменяющееся магнитное поле. Это впоследствии приведет к возникновению ЭДС. Рождение индукционного тока в замкнутом контуре носит название «самоиндукция». По правилу Ленца величина не дает изменяться току в контуре. Если обнаруживается самоиндукция, то можно применять электрическую цепь, в которой параллельно включены резистор и катушка с железным сердечником. Последовательно с ними подсоединены и электрические лампы. В этом случае сопротивление резистора равно сопротивлению на постоянном токе катушки. Результатом будет яркое горение ламп. Явление самоиндукции занимает одно из главных мест в радиотехнике и электротехнике.

Как найти индуктивность

Формула, которая является простейшей для нахождения величины, следующая:

где F – магнитный поток, I – ток в контуре.

Через индуктивность можно выразить ЭДС самоиндукции:

Из формулы напрашивается вывод о численном равенстве индукции с ЭДС, которое возникает в контуре при изменении силы тока на один амперметр за одну секунду.

Переменная индуктивность дает возможность найти и энергию магнитного поля:

«Катушка ниток»

Катушка индуктивности представляет собой намотанную изолированную медную проволоку на твердое основание. Что касается изоляции, то выбор материала широк – это и лак, и проводная изоляция, и ткань. Величина магнитного потока зависит от площади цилиндра. Если увеличить ток в катушке, то магнитное поле будет становиться все больше и наоборот.

Если подать электрический ток на катушку, то в ней возникнет напряжение, противоположное напряжению тока, но оно внезапно исчезает. Такого рода напряжение называется электродвижущей силой самоиндукции. В момент включения напряжения на катушку сила тока меняет свое значение от 0 до некоего числа. Напряжение в этот момент тоже меняет значение, согласно закону Ома:

где I характеризует силу тока, U – показывает напряжение, R – сопротивление катушки.

Еще одной особенной чертой катушки является следующий факт: если разомкнуть цепь «катушка – источник тока», то ЭДС добавится к напряжению. Ток тоже вначале вырастет, а потом пойдет на спад. Отсюда вытекает первый закон коммутации, в котором говорится, что сила тока в катушке индуктивности мгновенно не меняется.

Катушку можно разделить на два вида:

1. С магнитным наконечником. В роли материала сердца выступают ферриты и железо. Сердечники служат для повышения индуктивности.
2. С немагнитным. Используются в случаях, когда индуктивность не больше пяти миллиГенри.

Устройства различаются и по внешнему виду, и внутреннему строению. В зависимости от таких параметров находится индуктивность катушки. Формула в каждом случае разная. Например, для однослойной катушки индуктивность будет равна:

• L = 10µ0ΠN 2 R 2 : 9R + 10l.

А вот уже для многослойной другая формула:

• L= µ0N 2 R 2 : 2Π(6R + 9l + 10w).

Основные выводы, связанные с работой катушек:

1. На цилиндрическом феррите самая большая индуктивность возникает в середине.
2. Для получения максимальной индуктивности необходимо близко наматывать витки на катушку.
3. Индуктивность тем меньше, чем меньше количество витков.
4. В тороидальном сердечнике расстояние между витками не играет роли катушки.
5. Значение индуктивности зависит от «витков в квадрате».
6. Если последовательно соединить индуктивности, то их общее значение равно сумме индуктивностей.
7. При параллельном соединении нужно следить, чтобы индуктивности были разнесены на плате. В противном случае их показания будут неправильными за счет взаимного влияния магнитных полей.

Соленоид

Под этим понятием понимается цилиндрическая обмотка из провода, который может быть намотан в один или несколько слоев. Длина цилиндра значительно больше диаметра. За счет такой особенности при подаче электрического тока в полости соленоида рождается магнитное поле. Скорость изменения магнитного потока пропорциональна изменению тока. Индуктивность соленоида в этом случае рассчитывается следующим образом:

Еще эту разновидность катушек называют электромеханическим исполнительным механизмом с втягиваемым сердечником. В данном случае соленоид снабжается внешним ферромагнитным магнитопроводом – ярмом.

• Первая способна контролировать линейное давление.
• Вторая модель отличается от других принудительным управлением блокировки муфты в гидротрансформаторах.
• Третья модель содержит в своем составе регуляторы давления, отвечающие за работу переключения скоростей.
• Четвертая управляется гидравлическим способом или клапанами.

Необходимые формулы для расчетов

Чтобы найти индуктивность соленоида, формула применяется следующая:

где µ0 показывает магнитную проницаемость вакуума, n – это число витков, V – объем соленоида.

Также провести расчет индуктивности соленоида можно и с помощью еще одной формулы:

где S – это площадь поперечного сечения, а l – длина соленоида.

Чтобы найти индуктивность соленоида, формула применяется любая, которая подходит по решению к данной задаче.

Работа на постоянном и переменном токе

Магнитное поле, которое создается внутри катушки, направлено вдоль оси, и равно:

где µ0 – это магнитная проницаемость вакуума, n – это число витков, а I – значение тока.

Когда ток движется по соленоиду, то катушка запасает энергию, которая равна работе, необходимая для установления тока. Чтобы вычислить в этом случае индуктивность, формула используется следующая:

где L показывает значение индуктивности, а E – запасающую энергию.

ЭДС самоиндукции возникает при изменении тока в соленоиде.

В случае работы на переменном токе появляется переменное магнитное поле. Направление силы притяжения может изменяться, а может оставаться неизменным. Первый случай возникает при использовании соленоида как электромагнита. А второй, когда якорь сделан из магнитомягкого материала. Соленоид на переменном токе имеет комплексное сопротивление, в которое включаются сопротивление обмотки и ее индуктивность.

Самое распространенное применение соленоидов первого типа (постоянного тока) – это в роли поступательного силового электропривода. Сила зависит от строения сердечника и корпуса. Примерами использования являются работа ножниц при отрезании чеков в кассовых аппаратах, клапаны в двигателях и гидравлических системах, язычки замков. Соленоиды второго типа применяются как индукторы для индукционного нагрева в тигельных печах.

Колебательные контуры

Простейшей резонансной цепью является последовательный колебательный контур, состоящий из включенных катушек индуктивности и конденсатора, через которые протекает переменный ток. Чтобы определить индуктивность катушки, формула используется следующая:

где XL показывает реактивное сопротивление катушки, а W – круговая частота.

Если используется реактивное сопротивление конденсатора, то формула будет выглядеть следующим образом:

При параллельном колебательном контуре включены два реактивных элемента с разной силой реактивности. Использование такого вида контура подразумевает знание, что при параллельном включении элементов нужно складывать только их проводимости, но не сопротивления. На резонансной частоте суммарная проводимость контура равна нулю, что говорит о бесконечно большом сопротивлении переменному току. Для контура, в котором параллельно включены емкость (C), сопротивление (R) и индуктивность, формула, объединяющая их и добротность (Q), следующая:

При работе параллельного контура за один период колебаний дважды происходит энергетический обмен между конденсатором и катушкой. В этом случае появляется контурный ток, который значительно больше значения тока во внешней цепи.

Работа конденсатора

Устройство представляет собой двухполюсник малой проводимости и с переменным или постоянным значением емкости. Когда конденсатор не заряжен, сопротивление его близко к нулю, в противном случае оно равно бесконечности. Если источник тока отсоединить от данного элемента, то он становится этим источником до своей разрядки. Использование конденсатора в электронике заключается в роли фильтров, которые удаляют помехи. Данное устройство в блоках питания на силовых цепях применяются для подпитки системы при больших нагрузках. Это основано на способности элемента пропускать переменную составляющую, но непостоянный ток. Чем выше частота составляющей, тем меньше у конденсатора сопротивление. В результате через конденсатор глушатся все помехи, которые идут поверх постоянного напряжения.

Сопротивление элемента зависит от емкости. Исходя из этого, правильнее будет ставить конденсаторы с различным объемом, чтобы улавливать разного рода помехи. Благодаря способности устройства пропускать постоянный ток только в период заряда его используют как времязадающий элемент в генераторах или как формирующее звено импульса.

Конденсаторы бывают многих типов. В основном используется классификация по типу диэлектрика, так как этот параметр определяет стабильность емкости, сопротивление изоляции и так далее. Систематизация по данной величине следующая:

1. Конденсаторы с газообразным диэлектриком.
2. Вакуумные.
3. С жидким диэлектриком.
4. С твердым неорганическим диэлектриком.
5. С твердым органическим диэлектриком.
6. Твердотельные.
7. Электролитические.

Существует классификация конденсаторов по назначению (общий или специальный), по характеру защиты от внешних факторов (защищенные и незащищенные, изолированные и неизолированные, уплотненные и герметизированные), по технике монтажа (для навесного, печатного, поверхностного, с выводами под винт, с защелкивающимися выводами). Также устройства можно различить по способности к изменению емкости:

1. Постоянные конденсаторы, то есть у которых емкость остается всегда постоянной.
2. Подстроечные. У них емкость не меняется при работе аппаратуры, но можно ее регулировать разово или периодически.
3. Переменные. Это конденсаторы, которые допускают в процессе функционирования аппаратуры изменение ее емкости.

Индуктивность и конденсатор

Токоведущие элементы устройства способны создавать его собственную индуктивность. Это такие конструктивные части, как кладки, соединительные шины, токоотводы, выводы и предохранители. Можно создать дополнительную индуктивность конденсатора путем присоединения шин. Режим работы электрической цепи зависит от индуктивности, емкости и активного сопротивления. Формула расчета индуктивности, которая возникает при приближении к резонансной частоте, следующая:

• Ce = C : (1 – 4Π 2 f 2 LC),

где Ce определяет эффективную емкость конденсатора, C показывает действительную емкость, f – это частота, L – индуктивность.

Значение индуктивности всегда должно учитываться при работе с силовыми конденсаторами. Для импульсных конденсаторов наиболее важна величина собственной индуктивности. Их разряд приходится на индуктивный контур и имеет два вида – апериодический и колебательный.

Индуктивность в конденсаторе находится в зависимости от схемы соединения элементов в нем. Например, при параллельном соединении секций и шин эта величина равна сумме индуктивностей пакета главных шин и выводов. Чтобы найти такого рода индуктивность, формула следующая:

где Lk показывает индуктивность устройства, Lp –пакета, Lm – главных шин, а Lb – индуктивность выводов.

Если при параллельном соединении ток шины меняется по ее длине, то тогда эквивалентная индуктивность определяется так:

• Lk = Lc : n + µ0 l х d : (3b) + Lb,

где l – длина шин, b – ее ширина, а d – расстояние между шинами.

Если в катушке, изображенной на рис. 20.1, магнитное поле создается собственным током i, то магнитный поток называется потоком самоиндукции и обозначается ФL, а индуцируемая в катушке ЭДС еL – ЭДС самоиндукции. В соответствии с формулой (20.1) она равна:

где ψ – потокосцепление самоиндукции, величина, пропорциональная протекающему по катушке току: ψ = Li.

Коэффициент пропорциональности L между потокосцеплением и током называется собственной индуктивностью или просто индуктивностью катушки (контура). Она зависит от формы и размеров катушки, а также от магнитной проницаемости сердечника. Ее размерность В x с/А=Ом x с. Эта единица измерения называется генри (Гн).

Подставляя последнее выражение в (2.15) и полагая L = const, получаем следующую формулу, определяющую ЭДС самоиндукции:

На рис. 2.18 показано изображение индуктивности на электрической схеме; uL – напряжение на зажимах катушки, обусловленное электродвижущей силой самоиндукции, или другими словами, напряжение, наведенное в катушке собственным переменным магнитным полем.

Рис. 2.18 – Обозначение индуктивности

Все три стрелки на схеме (i, eL, uL) принято направлять в одну сторону. Раньше мы видели, что при одинаковых направлениях стрелок напряжения и ЭДС они имеют разные знаки. Поэтому:

Знак минус в правой части формулы (2.16) обусловлен принципом Ленца, определяющим направление индуцированной ЭДС. В рассматриваемом случае он может быть сформулирован следующим образом:

ЭДС самоиндукции направлена так, что своим действием препятствует причине, вызвавшей ее появление.

Причина появления ЭДС самоиндукции – изменение тока. Поэтому при возрастании тока она направлена ему навстречу, при уменьшении тока – в одну с ним сторону.

Препятствуя изменению тока, ЭДС самоиндукции оказывает ему сопротивление, которое называется индуктивным и обозначается хL. В соответствии с формулой (2.16) его величина определяется индуктивностью и скоростью изменения тока, т.е. частотой. Формула, определяющая индуктивное сопротивление, имеет вид:

В цепях постоянного тока такого понятия мы не встречали, так как при постоянных магнитных полях ЭДС самоиндукции не возникает. Пусть ток, протекающий по индуктивности, определяется выражением (2.13). Тогда напряжение на ее зажимах, в соответствии с формулой (2.17), равно:

Это – мгновенное значение напряжения. Его амплитуда равна:

Аналогичное выражение получается (после деления на √2) и для действующих значений:

где Bl – индуктивная проводимость.

Запишем соответствующие формулы в символической форме:

Аналогично для действующих значений

Уравнения, связывающие напряжение и ток в индуктивности, как в вещественных, так и в комплексных числах, представляют собой закон Ома для индуктивности.

Начальная фаза напряжения больше начальной фазы тока на 90° . В индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода. Выражение закона Ома, записанное в символическое форме, указывает на этот сдвиг фаз. Вспомним, что умножение вектора на j приводит к его повороту на угол 90° против часовой стрелки.

Рис. 2.19 – Векторная диаграмма напряжения и тока в индуктивности

Согласно уравнениям (2.18) UL получается путем умножения произведения IxL на j, в результате чего вектор UL оказывается повернутым относительно вектора I.

Пример 2.5. Мгновенное значение напряжения на индуктивности определяется выражением uL = 200 sin(ωt+60°)В. Записать выражение мгновенного значения тока, если L = 63,67 мГн, а частота питающего напряжения f = 50 Гц. Построить векторные диаграммы напряжения и тока.

Решение. При частоте f = 50 Гц циклическая частота ω = 314 с-1, и индуктивное сопротивление xL = ωL = 20 Ом. Амплитуда тока равна:

Так как в индуктивности ток отстает от напряжения на четверть периода, его начальная фаза меньше начальной фазы напряжения на 90° : ψi = ψu – 90° = 60–90–30°.

Итак, i = 10sin (ωt–30°). Векторная диаграмма показана на рис. 2.20.

Презентация на тему: 158. Две одинаковые катушки индуктивности соединены последовательно, причем

1

Первый слайд презентации

158. Две одинаковые катушки индуктивности соединены последовательно, причем магнитное поле одной катушки не попадает в другую катушку. Чему равна индуктивность такой системы? Ответ: Напряжения складываются — 159. Две одинаковые катушки индуктивности соединены параллельно, причем магнитное поле одной катушки не попадает в другую катушку. Чему равна индуктивность такой системы? Ответ: Токи через катушки индуктивности равны половине тока в цепи —

Изображение слайда

2

Слайд 2

160. Две одинаковые катушки индуктивности соединены последовательно, и намотаны на один сердечник так, что магнитный поток одной катушки полностью проходит через другую катушку. Чему равна индуктивность такой системы? Ответ: Если потоки (свой и чужой) складываются, то 4, если потоки вычитаются, то 0.

Изображение слайда

3

Слайд 3

161. Как изменится резонансная частота колебательного контура, если конденсатор заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью Решение: Частота колебаний в контуре . Емкость при введении диэлектрика увеличивается следовательно частота уменьшается

Изображение слайда

4

Слайд 4

162. Колебательный контур (смотри рисунок), состоящий из конденсатора емкости C и катушки с индуктивностью L и сопротивлением R, через ключ K подключен к источнику постоянной ЭДС E. Через некоторое время после замыкания ключа K установится стационарный режим: токи во всех элементах цепи будут постоянны. После этого ключ K размыкают. Какое количество тепла выделится в катушке после размыкания ключа? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь. Решение: После замыкания ключа К конденсатор заряжен. Энергия заряженного конденсатора Через катушку индуктивности и сопротивление течет ток Энергия в катушке После размыкания ключа К начнутся колебания в контуре, на сопротивлении R будет выделяться тепло. В конце ток в контуре исчезнет, а конденсатор разрядится. Вся энергия конденсатора и катушки перейдет в тепло Ответ:

Изображение слайда

5

Последний слайд презентации: 158. Две одинаковые катушки индуктивности соединены последовательно, причем

163. В момент, когда ток в катушке индуктивности L 1 был равен I 0, ключ K замкнули (смотри рисунок). Какое количество теплоты выделится на сопротивлении R после замыкания ключа? Решение: Будем для определенности считать, что ток в первой катушке направлен снизу вверх. В начальный момент в катушке индуктивности запасена энергия Поле замыкания ключа К во второй катушке появится ток I 2, направленный сверху вниз. Ток через сопротивление При обходе по замкнутому контуру полное падение напряжения , или (*) Ток в первой катушке уменьшается ( ), ток во второй катушке увеличивается ( ) до тех пор, пока они не сравняются. Из формулы (*) получаем или (**). При этом ток через сопротивление станет равным нулю, тепло перестанет выделяться, токи перестанут меняться. Энергия поля в катушках будет (***) или с учетом (**) : Из закона сохранения энергии выделившееся теплота равна разности начальной и конечной энергий катушек индуктивности : (****) Заметим, что здесь нельзя использовать формулы параллельного или последовательного соединений катушек индуктивности. В выражение (***) для входит как при последовательном соединении, а в выражение (****) входит как при параллельном соединении катушек индуктивности.

Изображение слайда

20. Самоиндукция. Правило Ленца. Индуктивность. Энергия магнитного поля.

Эл ток, текущий в замкнутом контуре создает вокруг себя магнитное поле, индукция которого по з. Био – Савара – Лапласа пропорцион. току, сцепленному с контуром магнитный поток Ф, поэтому пропорц току I в контуре Ф = LI где коэф пропорциональности L называется индуктивностью контура.

При изменении силы тока будет также изменяться и сцепленный с ним магнитный поток, следовательно в контуре будет индуцироваться ЭДС. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией. Единица индуктивности Генри(Гн). 1 Гн – индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндук которого при токе в 1 А равен 1 Вб.

Применяя к самоиндукции закон Фарадея (какова бы ни была причина изменения потока магнитной индукции, охватываемого замкнутым проводящим контуром, возникающая ЭДС равна

ЭДС самоиндукции равна:

Если контур не деформируется и магнитная проницаемость среды не изменяется, то L = const и Es = -L*dI/dt, где знак минус показывает что наличие индуктивности в контуре приводит к замедлению изменения тока в нем. Если ток со временем убывает, то dI/dt <0 и Es >0, т.е индукционный ток имеет такое же направление как и убыв ток в контуре и замедляет его убывание, если ток со временем возрастает, то dI/dt >0 и Es <0, ток самоиндукции направлен навстречу току, обусловленному внешним источником, и замедляет его возрастание. Таким образом контур обладая определенной индуктивностью приобретает электрическую инертность, заключающуюся в том, что любое изменение тока тормозится тем меньше чем больше индуктивность.

21.Свободные электромагнитные колебания в контуре. Формула Томсона.

Электромагнитные колебания, при которых электрические величины (заряды), периодически изменяются и которые сопровождаются взаимными превращениями электрического и магнитного полей. Колебательный контур – цепь, состоящая из включенных последовательно катушки индуктивности L, конденсатора емкостью C и резистора сопротивлением R.

Электрические колебания в колеб контуре можно сопоставить с механическими колебаниями маятника, сопровождающимися взаимными превращениями потенц и кинетическ энергий маятника

В данном случае энергия электрического поля конденсатора (Q²/(2C)) аналогична потенциальной энергии маятника, энергия магнитного поля катушки (LQ²/2) – кинетической энергии, сила тока в контуре – скорости движения маятника. Индуктивность L играет роль массы m, а сопротивление контура – роль силы трения, действующей на маятник.

Согласно закону Ома для контура, содержащего катушку индуктивности L, конденсатор емкостью C и резистор сопротивлением R, IR + Uc = Es, где IR – напряжение на резисторе, Uc=Q/c – напряжение на конденсаторе, Ec – ЭДС самоиндукции, возникающее в катушке при протекании в ней переменного тока.

Диф уравнение колебаний заряд Q в контуре:

В данном колебательном контуре внешнее ЭДС отсутствует, поэтому рассматриваемые колебания представляю собой свободные колебания (колебания называются свободными если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему).

Если сопротивление R = 0, то свободные электромагнитные колебания в контуре являются гармоническими. Тогда из 2 получим диф уравнение свободных гармонических колебаний заряда в контуре

Заряд Q совершает гармонические колебания по закону

Где Qm – амплитуда колебаний заряда конденсатора с циклической частотой u₀, называется собственной частотой контура, т.е.

энергии в индукторе

энергии в индукторе
Далее: Схема Up: индуктивность Предыдущий: Самоиндуктивность

Энергия, накопленная в индукторе Предположим, что индуктор индуктивности подключен к источник переменного постоянного напряжения. Электропитание регулируется таким образом, чтобы увеличить ток, протекающий через индуктор от нуля до некоторого конечного значения. Поскольку ток через индуктор нарастает, ЭДС генерируется, что препятствует увеличению тока.Ясно, что работа должна быть сделано против этой ЭДС источником напряжения, чтобы установить ток в катушке индуктивности. Работа, выполняемая источником напряжения во время временной интервал

(247)

Здесь, — мгновенная скорость, с которой источник напряжения выполняет работу. Чтобы найти общую работу, проделанную для установления конечного тока в индуктора, мы должны интегрировать приведенное выше выражение. Таким образом,

(248)

давая

(249)

Эта энергия фактически хранится в магнитном поле, создаваемом током протекает через индуктор.В чистом индукторе энергия накапливается без потери, и возвращается в остальную часть цепи, когда ток через катушка индуктивности снижается, и связанное с ней магнитное поле разрушается.

Рассмотрим простой соленоид. Уравнения (244), (246) и (249) можно объединить, чтобы получить

(250)

что сводится к

(251)

Это представляет собой энергию, запасенную в магнитном поле соленоида.Однако объем заполненного полем сердечника соленоида составляет, поэтому магнитная плотность энергии (, т.е. , энергия на единицу объема) внутри соленоид есть, или

(252)

Оказывается, это довольно общий результат. Таким образом, мы можем вычислить энергосодержание любого магнитного поля путем разделения пространства на маленькие кубики (в каждом из которых магнитное поле приблизительно однородно), применяя приведенная выше формула, чтобы найти содержание энергии каждого куба, и суммируя полученные таким образом энергии, чтобы найти полную энергию.

Когда электрическое и магнитное поля существуют вместе в пространстве, уравнения. (122) и (252) можно объединить, чтобы получить выражение для общая энергия, накопленная в комбинированном полей на единицу объема:

(253)

---

Далее: Схема Up: индуктивность Предыдущий: Самоиндуктивность

Ричард Фицпатрик 2007-07-14

Индуктивность, мощность и энергия индуктора

Мощность

Как гласит закон Ленца, индуктор в цепи противодействует прохождению тока через него, потому что поток индуцирует противодействующую электродвижущую силу (ЭДС).Чтобы поддерживать ток, протекающий против этой наведенной ЭДС, работу должен выполнять внешний аккумуляторный источник. Уравнение ниже показывает мгновенную мощность, используемую для создания силы тока против этой самоиндуцированной ЭДС.

Идеальная катушка индуктивности имеет нулевые потери мощности, потому что у нее нет сопротивления — только индуктивность — и, следовательно, мощность не рассеивается внутри катушки. А мощность в цепи равна

.

Энергия

Ток, протекающий через катушку индуктивности, создает магнитное поле, в котором фактически накапливается энергия.В чистой катушке индуктивности энергия сохраняется без потерь и возвращается в остальную часть цепи, когда ток через катушку индуктивности снижается и связанное с ней магнитное поле падает. Когда ток, протекающий через катушку индуктивности, увеличивается и di / dt становится больше нуля, мгновенная мощность в цепи также должна быть больше нуля и наоборот. Приведенное ниже уравнение получается путем интегрирования уравнения мощности, в котором общая магнитная энергия, запасенная в индукторе, всегда положительна.

Принципы индуктивности

Свойство компонента, которое препятствует изменению тока, протекающего через него, известно как индуктивность. Индуктивность определяется поведением катушки с проволокой при сопротивлении любому изменению электрического тока, протекающего через катушку. Его также можно определить как свойство электрической цепи, посредством которого изменяющееся магнитное поле создает электродвижущую силу или напряжение в цепи или соседней цепи. Полезно иметь представление о силовых линиях магнитного поля, чтобы лучше понимать индуктивность.Открытие Фарадеем электромагнитной индукции показано ниже. В нем используются две катушки проволоки, намотанные вокруг противоположных сторон кольца из мягкого железа.

Собственная индуктивность (л)

Самоиндукция — это свойство, при котором ток изменяет этот эффект, когда в той же цепи индуцируется ЭДС. Поскольку его полярность противоположна приложенному напряжению, его иногда называют обратной ЭДС. Это свойство цепи, в которой изменение тока вызывает изменение напряжения в той же цепи.Изучая изображение катушки ниже, можно увидеть, что количество витков в катушке будет влиять на величину напряжения, которое индуцируется в цепи.

Взаимная индуктивность (М)

Основным принципом работы трансформаторов, двигателей и реле является взаимная индуктивность, при которой ЭДС индуцируется в соседнем компоненте, находящемся в том же магнитном поле. На изображении ниже видно, что магнитное поле, создаваемое контуром 1, будет пересекать провод в контуре 2 и создавать ток.Индуцированный ток в контуре 2 будет иметь собственное магнитное поле, которое будет взаимодействовать с магнитным полем контура.

Артикул: Индуктор

Чтобы узнать больше об упрощении схем питания, зарегистрируйтесь на бесплатный веб-семинар «Упрощение схем питания с помощью микромодулей», спонсируемый Analog Devices.

Самоиндукция, взаимная индуктивность, мощность и энергия катушек индуктивности — Reading Feynman

По словам Фейнмана, изучение физики не всегда связано с «великими и эзотерическими вершинами».На самом деле, обычно вам нужно довольно быстро спуститься с этого момента — изучение физики в этом отношении похоже на альпинизм 🙂 — и изучать «предметы относительно низкого уровня», такие как электрические схемы, что мы и будем делать в этой статье. и следующий пост.

Поскольку я уже представил некоторые ключевые концепции в предыдущем посте, позвольте мне резюмировать основы, которые включают концепцию электродвижущей силы , которая в основном представляет собой напряжение , то есть разность потенциалов , которая создается в петлю или катушку с проволокой, когда магнитный поток изменится на .Я также говорил об импедансе в цепи переменного тока. Наконец, мы также обсудили задействованные мощности , и , энергии, . Важные результаты этого предыдущего обсуждения включают (но не ограничиваются):

1. Генератор переменного тока постоянной скорости будет создавать переменный ток с ЭДС , то есть напряжение, изменяющееся как V ₀ · sin (ωt).
2. Если у нас есть только резисторов в качестве элементов схемы, а сопротивление в цепи складывается до R, то электрический ток в цепи будет равен I = Ɛ / R = V / R = (V ₀ / R) · sin (ωt).Так что, по сути, это закон Ома.
3. Мощность, производимая и потребляемая в цепи переменного тока, является произведением напряжения и тока, поэтому P = Ɛ · I = V · I. Мы также показали, что эта электрическая мощность равна механической мощности dW / dt, которая заставляет генератор работать.
4. Наконец, мы объяснили понятие импеданса (обозначенного Z ), используя формулу Эйлера: Z = | Z | e ^{i θ} , отмечая, что, если задействованы другие элементы схемы, кроме резисторов, такие как индуктивности , то весьма вероятно, что сигнал тока будет отставать от сигнала напряжения , с сообщением фазового коэффициента θ. нас сколько.

Пришло время представить эти «другие» элементы схемы. Итак, давайте начнем с катушек индуктивности и самой концепции индуктивности . В них много чего, поэтому давайте рассмотрим это по пунктам.

Понятие самоиндукции

В своей простейшей форме индуктор представляет собой просто катушку, но они бывают всех размеров и форм. Если вы хотите увидеть, как они могут выглядеть, просто введите в Google несколько изображений микроэлектронных катушек индуктивности, а затем, просто чтобы увидеть диапазон приложений, несколько изображений катушек индуктивности, используемых в крупномасштабных промышленных приложениях.Если вы сделаете это, вы, вероятно, увидите изображения трансформаторов и , потому что трансформаторы работают по принципу взаимной индуктивности , и поэтому они включают две катушки , то есть две катушки индуктивности.

Вопреки тому, что вы могли ожидать, концепция самоиндукции (или индуктивности tout court ) довольно проста: изменение тока на вызовет изменение магнитного поля на и, следовательно, около ЭДС . Теперь оказывается, что наведенная ЭДС и пропорциональна изменению тока.Итак, у нас есть еще одна константа пропорциональности, как мы определили сопротивление или емкость . Итак, во многих отношениях индуктивность является просто еще одним коэффициентом пропорциональности. Если мы обозначим его как L — говорят, что символ в честь русского физика Генриха Ленца , которого вы знаете из Закона Ленца, — то мы определим его как:

L = −Ɛ / (dI / dt)

Фактор dI / dt, очевидно, представляет собой временную скорость изменения тока, и отрицательный знак указывает, что ЭДС противодействует изменению тока, поэтому она будет иметь тенденцию вызывать противодействие току .Вот почему задействованная ЭДС часто упоминается как «обратная ЭДС». Так что, по сути, это Закон Ленца . Как и следовало ожидать, физики придумали еще одну производную единицу, Henry , в честь еще одного физика, Джозефа Генри , американского ученого, который был современником Майкла Фарадея и независимо открыл почти то же самое, что и Фарадей. : один генри (H) равен одному вольт · секунда на ампер : 1 H = 1 В · с / А.

Понятие взаимной индуктивности

Фейнман вводит тему индуктивности с двумя катушками, как показано ниже, отмечая, что ток в катушке 1 будет индуцировать некоторую ЭДС в катушке 2, которую он обозначил как M ₁₂ . И наоборот, ток в катушке 2 будет индуцировать некоторую ЭДС в катушке 1, которую он обозначил как M ₂₁ . M ₁₂ и M ₂₁ также являются постоянными: они зависят от геометрии катушек, включая длину соленоида ( l ), площадь его поверхности (S) и количество витков контура катушек ( N ₁ и N ₂ ).

Следующим шагом в анализе является признание того, что каждая катушка сама по себе должна также производить «обратную ЭДС», которую мы можем обозначить как M ₁₁ и M ₂₂ соответственно, но тогда эти константы, конечно, равны равной самоиндуктивности катушек, поэтому с учетом условного обозначения знака самоиндукции запишем:

L ₁ = — M ₁₁ и L ₁ = — M ₂₂

Теперь вы задаетесь вопросом: какова общая ЭДС в каждой катушке, учитывая, что у нас есть не только взаимная индуктивность, но и самоиндукция? Честно говоря, когда я был ребенком, и мой отец пытался рассказать мне кое-что по этому поводу, это меня очень смущало.Я не мог себе представить, что произошло в одной катушке, не говоря уже о двух катушках . У меня было видение, что ток производит некоторый «обратный ток», а затем «обратный ток» снова производит «обратный ток», и поэтому я не мог представить, как можно решить эту проблему. Образ в моей голове был очень похож на тот ящик для разрыхлителя, который вызывает у Фейнмана, когда говорит о методе изображений для нахождения электрических полей в ситуациях с простой геометрией, так что это изображение коробки для разрыхлителя, на этикетке которой есть изображение коробки для разрыхлителя, в которой есть… ну… и так далее.К сожалению, мой отец не подталкивал нас к изучению математики, и поэтому я, , знал , что такие задачи можно решать математически (мы говорим о сходящихся рядах), но я сделал , а не , знал, что как , и это почему я нашел все это очень запутанным.

Теперь я понимаю, что у только один ток, у и только одна разность потенциалов , и что формулы , а не включают в себя бесконечный ряд членов. Но… Что ж… Мне не стыдно сказать, что эти проблемы все еще проверяют (ограниченную) подвижность моего разума.Первое, что нужно «понять», — это то, что мы говорим об обратной ЭДС , так что это не ток, а разность потенциалов. Фактически, как я объяснял в своем посте об электродвижущей силе, термин «сила» в ЭДС на самом деле вводит в заблуждение и может привести к тому же ошибочному видению, которое у меня было в детстве: силы, генерирующие противодействующие силы, которые порождают противодействие. силы, которые создают противодействующие силы и т. д. Это не так: у нас есть , примерно тока — , один ток — в катушке, и у нас будет примерно напряжение — одно напряжение — на катушке.Если бы в качестве катушки использовался резистор вместо катушки, мы бы обнаружили, что отношение этого напряжения к току было бы некоторой постоянной величиной R = V / I. Здесь мы действительно говорим о катушке, так что это различных схемных элементов , и мы находим какое-то другое соотношение, L = −V / (dI / dt) = −Ɛ / (dI / dt). Почему знак минус? Что ж… Как уже говорилось, наведенная ЭДС будет иметь тенденцию противодействовать току, и ток течет от положительных до отрицательных в соответствии с нашим соглашением.

Но… Да? Итак, как это работает, когда мы включаем эту катушку в какую-то цепь, и как сопротивление катушки индуктивности вступает в силу? Расслабьтесь. Мы только что говорили об идеальных элементах схемы и обсудили только два: резистор и катушку индуктивности. Мы также поговорим об источниках напряжения (или генераторах) и конденсаторах, а затем свяжем все эти идеальные элементы схемы. Короче говоря, мы скоро проанализируем некоторую реальную электрическую схему , но сначала вам нужно понять основы.Позвольте мне только отметить, что идеальный проводник в представляет собой проводник с нулевым сопротивлением в цепи постоянного тока (DC), так что это действительно короткое замыкание! Пожалуйста, попробуйте мысленно отделить эти «идеальные» компоненты схемы. Иначе вы никогда не сможете во всем этом разобраться!

На самом деле, есть веская причина, по которой Фейнман начинает с объяснения взаимной индуктивности перед тем, как обсудить небольшую схему, подобную приведенной ниже, которая имеет индуктивность и источник напряжения.Ситуация с двумя катушками, описанная выше, по сути, легче понять, хотя поначалу может показаться, что это не так. Итак, давайте сначала проанализируем ситуацию с двумя катушками более подробно. Другими словами, позвольте мне попытаться понять ситуацию, которую я не понимал в детстве. 🙂

Из-за закона суперпозиции мы должны добавить потоки и изменения потоков и, следовательно, мы должны также добавить электродвижущие силы, то есть индуцированные напряжения. Итак, что мы имеем, так это то, что полная ЭДС в катушке 2 должна быть записана как:

Ɛ ₂ = M ₂₁ · (dI ₁ / dt) + M ₂₂ · (dI ₂ / dt) = M ₂₁ · (dI ₁ / dt) — L ₂ · (dI ₂ / dt)

Мы говорим, что ЭДС, т.е.е. напряжение на катушке действительно будет зависеть от изменения тока в другой катушке, но также и от изменения тока самой катушки. Аналогично, полная ЭДС в катушке 1 должна быть записана как:

Ɛ ₁ = M ₁₂ · (dI ₂ / dt) + M ₁₁ · (dI ₁ / dt) = M ₁₂ · (dI ₂ / dt) — L ₁ · (dI ₁ / dt)

Конечно, это сводится к простому L = −Ɛ / (dI / dt) , если есть только одна катушка .Но вы видите, откуда это взялось, и хотя у нас есть , а не , у нас есть бесконечные ряды 🙂 у нас есть система из двух уравнений, поэтому позвольте мне сказать об этом одну или две вещи.

Первое, на что следует обратить внимание, это то, что не так сложно показать, что M ₂₁ равно M ₁₂ , поэтому мы можем упростить и записать, что M ₂₁ = M ₁₂ = M. Теперь, пока Я сказал «не так уж и сложно», я не имел в виду, что это просто, и, поскольку я не хочу, чтобы этот пост стал слишком длинным, я отсылаю вас к Фейнману за доказательством этого M ₂₁ = M ₁₂ = M уравнение.Это общее доказательство для любых двух катушек или «цепей» произвольной формы, и его действительно стоит прочитать. Однако мне нужно двигаться дальше.

Второе, на что следует обратить внимание, это то, что этот коэффициент M, который теперь обозначается как , взаимная индуктивность (в единственном, а не во множественном числе) действительно зависит от «геометрии цепи». Для простого соленоида Фейнман вычисляет его как

M = — (1 / ε ₀ c ² ) · (N ₁ · N ₂ ) · S / l ,

с l, — длина соленоида, S — его площадь поверхности (S), а N ₁ и N ₂ — соответствующее количество витков контура двух катушек.Так что да, в игру вступает только «геометрия». [Обратите внимание, что это совершенно очевидно из формулы, потому что переключение индексов в N ₁ и N ₂ , конечно, не имеет значения!]. Теперь интересно отметить, что M одинаково, скажем, для N ₁ = 100 и N ₂ = 10 и для N ₁ = 20 и N ₂ = 50. Фактически, потому что вы Если вы знакомы с тем, что делают трансформаторы, т. е. преобразуют напряжение в , вы можете подумать, что это нелогично.Это не. То, что количество витков означает , а не , означает, что Ɛ ₁ и Ɛ ₂ остаются прежними. Наша система уравнений: Ɛ ₁ = M · (dI ₂ / dt) — L ₁ · (dI ₁ / dt) и Ɛ ₂ = M · (dI ₁ / dt) — L ₂ · (dI ₂ / dt), поэтому очевидно, что L ₁ и L ₂ действительно ли различаются, как различаются N ₁ и N ₂ ! Итак… Ну… Да. У нас есть система из двух уравнений с двумя независимыми переменными (I ₁ и I ₂ ) и двумя зависимыми переменными (Ɛ ₁ и Ɛ ₂ ).Конечно, мы могли бы сформулировать проблему иначе: каковы токи при двух напряжениях? 🙂

Конечно, это заставляет задуматься о мощности, которая входит и выходит из трансформатора. В самом деле, вы должны помнить, что мощность — это напряжение, умноженное на ток. Так что здесь происходит по этому поводу?

Ну … Есть такая штука с трансформаторами, или вообще с двухкатушечными системами, которая называется муфтой . Геометрия ситуации будет определять , сколько потока от одной катушки связано с потоком другой катушки .Если большая часть или все они связаны, мы говорим, что две катушки «тесно связаны» или, в пределе, что они полностью связаны. Для этого есть мера, и она называется коэффициентом связи . Давайте сначала исследуем эту концепцию власти еще раз.

Индуктивность, энергия и электроэнергия

Легко видеть, что нам нужно электроэнергии, , чтобы получить ток. Теперь, как мы указывали в нашем предыдущем посте, мощность равна напряжению, умноженному на ток.Это также, конечно, равно количеству работы, выполняемой в секунду, то есть скорости изменения энергии W во времени, поэтому мы пишем:

дВт / дт = Ɛ · I

Теперь мы определили самоиндукцию как L = −Ɛ / (dI / dt) и, следовательно, мы знаем, что Ɛ = −L · (dI / dt), поэтому мы имеем:

dW / dt = −L · I · (dI / dt)

Что это? Дифференциальное уравнение? Да и нет. У нас есть не одна, а две двух функций времени , W и I, и, хотя их производные по времени действительно присутствуют в уравнении, нам нужно просто интегрировать эти две стороны во времени.Получаем: W = — (1/2) · L · I ² . Просто проверьте это, взяв производную по времени от обеих сторон. Конечно, мы можем добавить любую константу к обеим сторонам, но это всего лишь вопрос выбора некоторой точки отсчета. Мы выберем нашу константу равной нулю, а также подумаем об энергии, которая хранит в катушке, то есть U, которую мы определяем как:

U = −W = — (1/2) · L · I ²

А? Что здесь происходит? Что ж … Это непростая дискуссия, но давайте попробуем разобраться в ней.Здесь у нас есть примерно , изменяющий ток в катушке, но, очевидно, также есть некоторая инерция: сама катушка противодействует изменению тока через «обратную ЭДС». Для преодоления инерции требуется энергия или мощность. Мы можем подумать о приложении некоторого напряжения к , смещающему «обратную ЭДС», так что мы можем эффективно думать об этой маленькой схеме с катушкой индуктивности и в качестве источника напряжения. Напряжение V, которое нам нужно было бы приложить для компенсации инерции, очевидно, было бы равно «обратной ЭДС», но с обратным знаком, поэтому мы имеем:

В = — Ɛ = L · (dI / dt)

Теперь это помогает подумать о том, что на самом деле представляет собой ток: это электрические заряды, которые движутся с некоторой скоростью v , потому что к ним прилагается некоторая сила.Как и в любой системе, передаваемая мощность является скалярным произведением силы и векторов скорости (это гарантирует, что мы учитываем только тангенциальную составляющую силы ), поэтому, если у нас есть n движущихся зарядов, мощность, подаваемая в схему, составляет ( F · v ) · n. Что такое F ? Очевидно, q E , поскольку электрическое поле — это сила на единицу заряда, поэтому E = F / q. Но мы говорим здесь о некоторой схеме , и нам нужно подумать о мощности, подаваемой на какой-то бесконечно малый элемент ds в катушке, и поэтому это ( F · v ) · n · ds, что можно записать как: ( F · d s ) · n · v.Затем мы интегрируем всю катушку, чтобы найти:

Теперь вы можете вспомнить или не вспомнить, что ЭДС (Ɛ) на самом деле , определенная как как интеграл линии ∫ E · d s Линия , проведенная вокруг всей катушки и, следовательно, с учетом того, что E = F / q, и что ток I равен I = q · n · v, мы получили уравнение мощности. Действительно, подынтегральное выражение или ядро ​​ нашего интеграла превращается в F · n · v · d s = q · E · n · v · d s = I · E · d с .Следовательно, мы действительно получаем нашу формулу мощности: P = V · I, где V — это разность потенциалов , то есть напряжение на катушке.

Я слишком увяз в сорняках. Дело в том, что здесь у нас есть полный аналог концепции инерции в механике: вместо примерно силы F, заставляющей некоторую массу м изменять свою скорость в соответствии с законом Ньютона, то есть F = m · a = m · (dv / dt), здесь мы имеем разность потенциалов В, вызывающую изменение некоторого тока I в соответствии с законом V = L · (dI / dt).

Это очень сбивает с толку, но помните, что одни и те же уравнения должны иметь одинаковые решения! Итак, в электрической цепи индуктивность действительно похожа на массу в механике. Теперь, говоря о механике, мы скажем, что наша масса имеет некоторый импульс p = m · v, и мы также скажем, что ее кинетическая энергия равна (1/2) m · v ² . Мы можем сделать то же самое для нашей схемы: потенциальная энергия непрерывно преобразуется в кинетическую энергию, которую для нашего индуктора мы записываем как U = (1/2) · L · I ² .

Просто подумайте, играя с одним из множества онлайн-инструментов для построения графиков. На приведенном ниже графике, например, предполагается, что ток нарастает до некоторого максимума. Когда он достигает своего максимума, запас энергии также иссякает. Теперь вам не стоит беспокоиться о единицах измерения здесь или о шкале графиков. Предполагается, что I увеличивается от 0 до 1 и что L = 1, так что U становится тем, чем оно является. Использование другой константы для L и / или других единиц для I также изменит масштаб U, но не его общую форму, и эта форма дает вам общее представление.

В приведенном выше примере, очевидно, предполагается постоянного тока , так что это цепь постоянного тока: ток нарастает, но затем стабилизируется на некотором максимуме, который мы можем найти, применив закон Ома к сопротивлению цепи: I = V / Р. Сопротивление? Но мы говорили об идеальном индукторе? Мы. Если в цепи нет другого сопротивления, у нас будет короткое замыкание, поэтому предполагается, что у и есть некоторое сопротивление в цепи, и, следовательно, мы должны также подумать о некоторой потере энергии на тепло от ток в сопротивлении, но это не наша забота.

Представленная ниже иллюстрация, пожалуй, более интересна. Здесь мы, очевидно, применяем переменный ток , и поэтому ток идет в одном направлении, а затем в другом, так что I> 0, а затем I <0 и так далее. Мы предполагаем некоторую красивую синусоидальную кривую для тока здесь (т.е. синюю кривую ), и поэтому мы получаем то, что мы получаем для U (т.е. красную кривую ): энергия идет вверх и вниз от нуля до некоторого максимума. амплитуда, определяемая максимальным током.

Итак, да, это, в конце концов, довольно интуитивно понятно: для создания тока действительно требуется энергия от какого-то внешнего источника, который используется для преодоления «обратной ЭДС» в индукторе, и эта энергия сохраняется в самой катушке индуктивности. [Если вы все еще задаетесь вопросом, почему он хранится в катушке индуктивности, подумайте над другим вопросом: где еще он будет храниться?] Как хранится ? Посмотрите на график и подумайте: очевидно, он хранится в виде кинетической энергии зарядов. Это объясняет, почему энергия равна нулю, когда ток равен нулю, и почему энергия достигает максимума, когда ток достигает максимума.Так что да, все это имеет смысл! 🙂

Вернемся к константе связи.

Константа связи

Мы можем применить наши рассуждения к двум катушкам. Действительно, мы знаем, что Ɛ ₁ = M · (dI ₂ / dt) — L ₁ · (dI ₁ / dt) и Ɛ ₂ = M · (dI ₁ / dt) — L ₂ · (dI ₂ / dt). Таким образом, мощность в системе с двумя катушками равна dW / dt = Ɛ ₁ · I ₁ + Ɛ ₂ · I ₂ , поэтому мы имеем:

dW / dt = M · I ₁ (dI ₂ / dt) — L ₁ · I ₁ · (dI ₁ / dt) + M · I ₂ · (dI ₁ / dt) — L ₂ · I ₂ · (dI ₂ / dt)

= — L ₁ · I ₁ · (dI ₁ / dt) — L ₂ · I ₂ · (dI ₂ / dt) + M · I ₁ (dI ₂ / dt) · I ₂ · (dI ₁ / dt)

Интегрируя обе стороны и еще раз приравнивая U к −W, получаем:

U = (1/2) · L ₁ · I ₁ ² + (1/2) · L ₂ · I ₂ ² + M · I ₁ · I ₂

[Опять же, вы должны просто взять производную по времени, чтобы убедиться в этом.Если вы не забудете применить правило произведения к члену M · I ₁ · I ₂ , вы увидите, что я не пишу здесь слишком много чепухи.] Теперь есть интересное алгебраическое преобразование для это выражение и столь же интересное объяснение , почему мы бы переписали выражение, как мы это делаем. Позвольте мне скопировать это у Фейнмана, поэтому сейчас я буду использовать его более причудливые символы L и M. 🙂

И что? Что ж … Принимая во внимание это неравенство, приведенное выше, мы можем записать соотношение между M и самоиндуктивностями L ₁ и L ₂ , используя некоторую константу k, которая варьируется от 0 до 1 и которую мы будем ссылаться на как константа связи :

Мы называем k константой связи по довольно очевидным причинам: если она близка к нулю, взаимная индуктивность будет очень мала, а если она близка к единице, то катушки считаются «сильно связанными», и «взаимная потокосцепление» тогда максимизируется.Как вы понимаете, существует множество литературы, в которой эта константа связи связана с поведением трансформаторов или других цепей, в которых взаимная индуктивность играет роль.

Формула самоиндукции

Мы дали формулу для взаимной индуктивности двух катушек, которые расположены как один соленоид поверх другого (см. Иллюстрацию, с которой я начал):

M = — (1 / ε ₀ c ² ) · (N ₁ · N ₂ ) · S / l

Это очень простой расчет, поэтому позвольте мне быстро скопировать его из Фейнмана:

Вы скажете: а где здесь буква М? Это формула ЭДС! Это так, но M — это постоянная пропорциональности впереди, помните? Итак, поехали.🙂

Теперь вы можете подумать, что получить формулу для самоиндукции L некоторого соленоида будет столь же просто. Получается, что это , а не . Фейнману нужны две полные страницы и… Ну… Теперь вы должны понять, насколько «плотно» его письмо на самом деле: если бы оно не было таким плотным, вы бы читали самого Фейнмана, а не мои «объяснения» о нем. 🙂 Итак … Что ж … Если вы хотите увидеть, как это работает, просто нажмите на ссылку здесь и прокрутите вниз до двух последних страниц его разоблачения о самоиндукции.Я ограничусь лишь записью формулы, которую он получит, пройдя весь аргумент:

Видите, почему он использует более красивую букву L, чем мою L? «His» L — длина соленоида. 🙂 И, да, r — радиус катушки, а n — количество витков на единицу длины обмотки. Также обратите внимание, что эта формула действительна, только если L >> R, поэтому эффектами на конце соленоида можно пренебречь. OK. Выполнено. 🙂

Ну… На сегодня все! Сожалею, но следующий пост обещает быть таким же скучным, как этот, потому что … Ну … Он снова про электрические цепи.😦

Некоторое содержимое на этой странице было отключено 16 июня 2020 г. в результате уведомления о нарушении Закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) от Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторый контент на этой странице был отключен 16 июня 2020 года в результате уведомления о нарушении закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https: //ru.support.wordpress.com / copyright-and-the-dmca /
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 16 июня 2020 г. в результате уведомления о нарушении Закона США «Об авторском праве в цифровую эпоху» (DMCA) от Калифорнийского технологического института. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https://en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/
Некоторое содержимое на этой странице было отключено 20 июня 2020 г. в результате уведомления DMCA об удалении от Майкла А. Готлиба, Рудольфа Пфайффера. и Калифорнийский технологический институт. Вы можете узнать больше о DMCA здесь:

https: // en.support.wordpress.com/copyright-and-the-dmca/

Нравится:

Нравится Загрузка …

Связанные

Энергия в магнитном поле — Университетская физика, том 2

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Объясните, как можно накапливать энергию в магнитном поле
• Выведите уравнение для энергии, запасенной в коаксиальном кабеле, с учетом плотности магнитной энергии

Энергия конденсатора хранится в электрическом поле между его пластинами.Точно так же индуктор может накапливать энергию, но в своем магнитном поле. Эту энергию можно найти, интегрировав плотность магнитной энергии,

выше соответствующей громкости. Чтобы понять, откуда взялась эта формула, давайте рассмотрим длинный цилиндрический соленоид из предыдущего раздела. Опять же, используя приближение бесконечного соленоида, мы можем предположить, что магнитное поле по существу постоянное и задается везде внутри соленоида. Таким образом, энергия, запасенная в соленоиде, или плотность магнитной энергии, умноженная на объем, эквивалентна

При замене (Рисунок) это становится

Хотя это уравнение получено для частного случая, оно дает энергию, запасенную в магнитном поле любой индуктивности .Мы можем убедиться в этом, рассмотрев произвольную катушку индуктивности, через которую проходит изменяющийся ток. В любой момент величина наведенной ЭДС такова, что мощность, потребляемая катушкой индуктивности, равна

.

Полная энергия, запасенная в магнитном поле, когда ток увеличивается от 0 до I в интервале времени от 0 до t , может быть определена путем интегрирования этого выражения:

Самоиндуктивность коаксиального кабеля

(рисунок) показывает две длинные концентрические цилиндрические оболочки радиусов и. Как обсуждалось в разделе «Емкость по емкости», эта конфигурация является упрощенным представлением коаксиального кабеля.Емкость на единицу длины кабеля уже рассчитана. Теперь (а) определите магнитную энергию, запасенную на единицу длины коаксиального кабеля, и (б) используйте этот результат, чтобы найти самоиндуктивность на единицу длины кабеля.

(a) Коаксиальный кабель здесь представлен двумя полыми концентрическими цилиндрическими проводниками, по которым электрический ток течет в противоположных направлениях. (б) Магнитное поле между проводниками можно найти, применив закон Ампера к пунктирной траектории.(c) Цилиндрическая оболочка используется для определения магнитной энергии, запасенной на длине х кабеля.

Стратегия

Магнитное поле внутри и снаружи коаксиального кабеля определяется законом Ампера. Основываясь на этом магнитном поле, мы можем использовать (рисунок) для расчета плотности энергии магнитного поля. Магнитная энергия рассчитывается как интеграл плотности магнитной энергии, умноженный на дифференциальный объем по цилиндрической оболочке. После того, как интегрирование выполнено, у нас есть закрытое решение для части (а).На основании этого результата и (рисунок) определяется самоиндуктивность на единицу длины.

Решение

1. Мы определяем магнитное поле между проводниками, применяя закон Ампера к пунктирной круговой траектории, показанной на (Рисунок) (b). Из-за цилиндрической симметрии постоянно вдоль пути, и
   

   
   Это дает нам
   

   
   В области за пределами кабеля аналогичное применение закона Ампера показывает, что, поскольку чистый ток не пересекает область, ограниченную круговой траекторией, этот аргумент также верен, когда это происходит в области внутри внутреннего цилиндра.Таким образом, вся магнитная энергия кабеля сохраняется между двумя проводниками. Поскольку плотность энергии магнитного поля равна
   

   
   энергия, запасенная в цилиндрической оболочке с внутренним радиусом r , внешним радиусом и длиной l (см. Часть (c) рисунка), составляет
   

   
   Таким образом, полная энергия магнитного поля на длине л кабеля составляет
   

   
   , а энергия на единицу длины равна.

2. Из (Рисунок),
   

   
   , где L — собственная индуктивность коаксиального кабеля на длине l .Приравнивая предыдущие два уравнения, находим, что самоиндукция на единицу длины кабеля составляет
   

Значение Индуктивность на единицу длины зависит только от внутреннего и внешнего радиусов, как видно из результата. Чтобы увеличить индуктивность, мы могли либо увеличить внешний радиус, либо уменьшить внутренний радиус. В пределе, когда два радиуса становятся равными, индуктивность стремится к нулю. В этом пределе нет коаксиального кабеля. Кроме того, магнитная энергия на единицу длины из части (а) пропорциональна квадрату тока.

Проверьте свое понимание Сколько энергии сохраняется в катушке индуктивности (рисунок) после того, как ток достигает максимального значения?

Сводка

• Энергия, запасенная в катушке индуктивности U , составляет
  
• Собственная индуктивность на единицу длины коаксиального кабеля составляет
  

Концептуальные вопросы

Шоу, в котором есть единицы энергии.

проблем

В данный момент ток 0.20 А протекает через катушку с проволокой, энергия, запасенная в ее магнитном поле, равна. Какова собственная индуктивность катушки?

Предположим, что прямоугольный тороид имеет 2000 обмоток и самоиндукцию 0,040 Гн. Если, то какой ток протекает через прямоугольный тороид, когда энергия в его магнитном поле равна

Соленоид A плотно намотан, в то время как соленоид B имеет обмотки, которые равномерно разнесены с зазором, равным диаметру провода.В остальном соленоиды идентичны. Определите соотношение энергий, накопленных на единицу длины этих соленоидов, когда через каждый из них протекает одинаковый ток.

Катушка индуктивности 10 Гн проводит ток 20 А. Сколько льда может быть растоплено за счет энергии, накопленной в магнитном поле индуктора? ( Подсказка : используйте значение льда.)

Катушка с самоиндуктивностью 3,0 Гн и сопротивлением 20 ° C проводит постоянный ток 2,0 А. а) Какая энергия хранится в магнитном поле катушки? (б) Какая энергия в секунду рассеивается на сопротивлении катушки?

А ток 1.2 А протекает по коаксиальному кабелю, внешний радиус которого в пять раз превышает его внутренний радиус. Какая энергия магнитного поля хранится в кабеле длиной 3,0 м?

Глоссарий

Плотность магнитной энергии

энергия, запасенная на единицу объема в магнитном поле

Физика для науки и техники II

из отдела академических технологий на Vimeo.

9,9 Энергия, запасенная в магнитном поле, и плотность энергии

Чтобы рассчитать энергию, запасенную в магнитном поле индуктора, давайте вспомним уравнение контура LR цепи.В этой схеме, если мы рассмотрим нарастание фазы тока, у нас есть резистор и катушка индуктивности, соединенные последовательно, и как только мы включим переключатель, ток i будет выходить из источника питания, проходить через резистор R и через катушку индуктивности L от положительной клеммы к отрицательной клемме источника питания. Выбрав для обхода цепи по часовой стрелке, мы выразили соответствующее уравнение контура как ε минус i умножить на R минус L умножить на di на dt равно 0.

Это произошло из-за того, что, когда мы пересекаем резистор в направлении протекания тока, потенциал уменьшается в – раз R . И во время нарастания тока, когда ток нарастает от 0 до -1, мы собираемся закончить с самоиндуцированной ЭДС, и это проявится так, что будет противодействовать своей причине. Поэтому он будет пытаться генерировать ток в направлении, противоположном направлению потока этого исходного тока. Следовательно, мы будем пересекать ЭДС в направлении, противоположном направлению стрелки ЭДС, когда мы проходим через этот индуктор.Следовательно, мы имеем — L di более dt , и это была часть самоиндуцированной ЭДС.

Давайте продолжим и умножим обе части этого уравнения на текущее значение i . Умножьте обе стороны на текущее i . Если мы это сделаем, у нас будет ε i минус i 2 r минус Li di over dt равно 0. Давайте изменим это выражение, оставив ε умножить на i. слева и переместите остальные члены в правую часть.Поэтому у нас будет i 2 R плюс Li di поверх dt с правой стороны.

Давайте попробуем интерпретировать каждый из этих членов в этом уравнении. Как вы помните, электродвижущая сила — это не что иное, как зарядный насос. Он просто перекачивает заряды с низким электрическим потенциалом в область с высоким электрическим потенциалом, и при этом он также выполняет определенную работу. Если он прокачивает q кулонов заряда через ε вольт разности потенциалов, то это составляет ε умноженное на q работы, выполненной на q местом расположения ЭДС.Это, конечно, напрямую связано с определением электрического потенциала. Электрический потенциал — это работа, совершаемая на единицу заряда.

Хорошо, если мы возьмем производную от этой величины, то у нас будет ε умноженное на dq на dt , что будет равно ε умноженное на i , поскольку dq больше dt — это i , и это в основном скорость работы, выполненной на q на ε , но скорость проделанной работы — не что иное, как мощность.Другими словами, εi — это скорость, с которой источник электродвижущей силы, ЭДС, передает энергию в цепь. Другими словами, электродвижущая сила передает в схему ε умноженное на i энергии в каждую секунду. Это также эквивалентно, следовательно, подводимой мощности.

Итак, второй член здесь, поэтому εi — это подаваемая мощность, а первый член на самом деле справа, i 2 R , это то, что мы уже знакомы, и это показатель какая энергия появляется в резисторе как тепловая энергия.Скорость, с которой энергия проявляется как тепловая энергия в резисторе. Другими словами, это не что иное, как мощность, рассеиваемая через резистор.

Хорошо, опять же, если вы теперь вернетесь к нашему уравнению, ε умножить на i — это мощность, передаваемая электродвижущей силой в цепь. Другими словами, энергия, подаваемая в цепь в единицу времени. Часть этой энергии в единицу времени рассеивается через резистор. Следовательно, эта большая часть мощности рассеивается из этой подаваемой мощности.Таким образом, мы заключаем, что остальная мощность идет на катушку индуктивности. Другими словами, последний член в правой части дает нам скорость, с которой энергия сохраняется в магнитном поле индуктора.

Таким образом, мы можем сказать, что Li di over dt не что иное, как dU B over dt , что является скоростью магнитного поля, хранящейся в магнитном поле индуктора, или это скорость при котором энергия хранится в магнитном поле индуктора.Итак, dU B over dt равно Li di over dt . Отсюда мы можем отменить dt ‘s, так что dU B будет равно Li умноженному на di . Если мы проинтегрируем обе стороны, то в конечном итоге мы получим полную энергию, запасенную в магнитном поле индуктора, и она будет равна — и снова будет постоянной. Мы можем вынести это за пределы интеграла. И интеграл от i di даст нам i 2 больше 2.Таким образом, магнитная энергия катушки индуктивности будет равна половине L, умноженной на индуктивности, умноженной на квадрат тока, протекающего через эту катушку индуктивности.

Итак, снова с помощью индукторов, мы можем генерировать пакеты магнитного поля, аналогичные случаю конденсаторов, которые позволяют нам генерировать или производить пакеты электрического поля. Опять же, как и в этом случае, мы можем хранить энергию в магнитных полях индуктора, и эта энергия будет равна половине индуктивности индуктора, умноженной на квадрат тока, протекающего через индуктор.

Здесь давайте вспомним корпус конденсатора и скажем, что вспомним, что энергия, запасенная в электрическом поле конденсатора, была равна U E , и это было q 2 по сравнению с 2 C .

Мы определили понятие плотности энергии ранее, и здесь мы также можем определить плотность энергии, связанную с магнитным полем, плотность энергии. Для этого давайте рассмотрим соленоид и предположим, что l представляет длину соленоида, а A представляет площадь поперечного сечения соленоида.Следовательно, A умноженное на l будет представлять объем соленоида.

Итак, мы рассматриваем соленоид. Скажем, у него круглое поперечное сечение примерно так, длина l , а затем площадь поперечного сечения A , и у нас есть связанные с ним витки, что-то вроде этого. Что ж, давайте обозначим плотность энергии с помощью малых u B , то есть, по определению, общая энергия индуктора, деленная на общий объем индуктора.В нашем конкретном случае это будет равно U B , разделенному на площадь поперечного сечения соленоида, умноженную на его длину, что даст нам объем этого соленоида, объем, через который магнитное поле заполнится, когда определенный ток i протекает через соленоид.

Хорошо, поскольку полная магнитная энергия, запасенная в магнитном поле индуктора, равна половине L , индуктивность, умноженная на квадрат тока, протекающего через индуктор, и для индуктивности соленоида была равна μ 0 n 2 умножить на l умножить на A и n 2 — это плотность числа витков, как вы помните, и, опять же, l — длина.Итак, мы можем выразить плотность энергии в явном виде. Что касается U B , у нас будет половина, а индуктивность будет μ 0 n 2 l умножить на A умножить на i 2, и разделить на объем, который равно A умножить на l .

Здесь длина сокращается в числителе и знаменателе, а площадь поперечного сечения соленоида сокращается в числителе и знаменателе. В итоге плотность энергии соленоида будет равна половине μ 0 n 2 раза i 2.Но если вы вспомните, что магнитное поле соленоида было μ 0 n раз i, и, как вы помните, это была постоянная величина, и она не менялась от точки к точке внутри соленоида.

Итак, чтобы получить здесь аналогичный тип выражения, давайте умножим оба числителя на μ 0 и разделим его на μ 0 . При этом в знаменателе будет половина, 2 μ 0 , и умножив числитель на mu, мы получим μ 0 2 n 2 i 2, и это количество не что иное, как B 2.Таким образом, плотность энергии будет равна B 2 с двукратной проницаемостью свободного пространства, и это выражение дает нам плотность магнитной энергии.

И снова, вы можете вспомнить плотность электрической энергии, которая является энергией на единицу объема для конденсатора, и которая была равна u E равно, была равна половине ε 0 умноженному на квадрат электрическое поле. И снова мы видим интересную параллель между магнитным полем и случаем электрического поля.

Дайте выражение энергии, запасенной в индуктивности, класс 12, физика CBSE

Подсказка: Чтобы найти выражение энергии, запасенной в катушке индуктивности или в катушке индуктивности, несущей ток, вспомните формулу для ЭДС, генерируемой в катушке индуктивности. Затем используйте это значение ЭДС, чтобы найти выражение для скорости выполненной работы, и, используя это значение, найдите выражение для выполненной работы.

Полный ответ:
Нас просят найти энергию, запасенную в катушке индуктивности, по которой течет ток.Предположим, что к катушке индуктивности или индуктивности с индуктивностью \ [L \] приложен ток, так что ток через катушку индуктивности растет от нулевого значения до максимального значения \ [I \]. Пусть ток через катушку индуктивности в любой момент времени \ [t \] равен \ [i \]. ЭДС, индуцированная в катушке индуктивности, которая противодействует потоку тока, задается формулой
\ [\ varepsilon = — L \ dfrac {{di}} {{dt}} \]
, где \ [L \] — индуктивность, а \ [\ dfrac {{di}} {{dt}} \] — скорость изменения тока.
Для пропускания тока через ток источник напряжения должен работать против этой ЭДС.2} \].

Примечание: Помните, что одна из функций индуктора — накапливать электрическую энергию. Есть еще один компонент, называемый конденсатором. Конденсатор хранит энергию в электрическом поле, тогда как индуктор хранит энергию в магнитном поле, студенты иногда путаются между этими двумя компонентами.

Энергия, запасенная в магнитном поле

Когда проводник переносит ток, создается магнитное поле, окружающее проводник. Результирующий магнитный поток пропорционален току.Если ток изменяется, изменение магнитного потока пропорционально скорости изменения тока во времени с помощью коэффициента, называемого индуктивностью (L). Поскольку природа не терпит быстрых изменений, создаваемое в проводнике напряжение ( электродвижущая сила , ЭДС ) противодействует изменению тока, которое также пропорционально изменению магнитного потока.