Математика — Алгебра логики
Предлагаемый текст — это справочник по булевой алгебре (алгебре логики). В отличии от учебника, здесь нет доказательств, упражнений и мало пояснений, но больше формул, таблиц и сведений энциклопедического характера.
Для чтения «off-line» можно скачать весь справочник целиком в виде архива. После разархивации для начала просмотра запустите файл «bool.bat» или откройте в браузере файл «bool/bool.htm».
Алгебра логики (другое название -
Булева алгебра) — это область математики. Она оперирует величинами, которые
могут принимать два значения (булевых значения). Эти два значения могут
быть обозначены как угодно, лишь бы по-разному. Самые распространенные
варианты:
0,1
F,T
false,true
ложь,истина
Л,И
Первое практическое применение булевой алгебры — в вычислительной технике. В этом случае булевы значения — это 0 и 1. Они представляют собой состояние ячейки памяти объемом в 1 бит или наличие/отсутствие напряжения в электрической схеме. Алгебра логики позволяет строить сложные электронные узлы, элементы которых работают согласно этой математической теории.
Второе практическое применение булевой алгебры — в логических построениях в математике. В этом случае булевы значения — это «ложь» и «истина». Они определяют истинность или ложность некоторого высказывания. Под высказываниями понимаются математические формулы.
Третье практическое применение булевой алгебры — в повседневных рассуждениях. В этом случае булевы значения — это также «ложь» и «истина». Они представляют собой оценку истинности или ложности некоторого высказывания. Под высказываниями понимаются фразы, которые удовлетворяют строго определенному списку свойств.
Издания | Библиотечно-издательский комплекс СФУ
Все года изданияТекущий годПоследние 2 годаПоследние 5 летПоследние 10 лет
Все виды изданийУчебная литератураНаучная литератураМатериалы конференций
Все темыЕстественные и точные наукиАстрономияБиологияГеографияГеодезия. КартографияГеологияГеофизикаИнформатикаКибернетикаМатематикаМеханикаОхрана окружающей среды. Экология человекаФизикаХимияТехнические и прикладные науки, отрасли производстваАвтоматика. Вычислительная техникаБиотехнологияВодное хозяйствоГорное делоЖилищно-коммунальное хозяйство. Домоводство. Бытовое обслуживаниеКосмические исследованияЛегкая промышленностьЛесная и деревообрабатывающая промышленностьМашиностроениеМедицина и здравоохранениеМеталлургияМетрологияОхрана трудаПатентное дело. Изобретательство. РационализаторствоПищевая промышленностьПолиграфия. Репрография. ФотокинотехникаПриборостроениеПрочие отрасли экономикиРыбное хозяйство. АквакультураСвязьСельское и лесное хозяйствоСтандартизацияСтатистикаСтроительство. АрхитектураТранспортХимическая технология. Химическая промышленностьЭлектроника. РадиотехникаЭлектротехникаЭнергетикаЯдерная техникаОбщественные и гуманитарные наукиВнешняя торговляВнутренняя торговля. Туристско-экскурсионное обслуживаниеВоенное делоГосударство и право. Юридические наукиДемографияИскусство. ИскусствоведениеИстория. Исторические наукиКомплексное изучение отдельных стран и регионовКультура. КультурологияЛитература. Литературоведение. Устное народное творчествоМассовая коммуникация. Журналистика. Средства массовой информацииНародное образование. ПедагогикаНауковедениеОрганизация и управлениеПолитика и политические наукиПсихологияРелигия. АтеизмСоциологияФизическая культура и спортФилософияЭкономика и экономические наукиЯзыкознаниеХудожественная литература
Все институтыВоенно-инженерный институтБазовая кафедра специальных радиотехнических системВоенная кафедраУчебно-военный центрГуманитарный институтКафедра ИТ в креативных и культурных индустрияхКафедра истории России, мировых и региональных цивилизацийКафедра культурологии и искусствоведенияКафедра рекламы и социально-культурной деятельностиКафедра философииЖелезногорский филиал СФУИнженерно-строительный институтКафедра автомобильных дорог и городских сооруженийКафедра инженерных систем, зданий и сооруженийКафедра проектирования зданий и экспертизы недвижимостиКафедра строительных конструкций и управляемых системКафедра строительных материалов и технологий строительстваИнститут архитектуры и дизайнаКафедра архитектурного проектированияКафедра градостроительстваКафедра дизайнаКафедра дизайна архитектурной средыКафедра изобразительного искусства и компьютерной графикиИнститут горного дела, геологии и геотехнологийКафедра геологии месторождений и методики разведкиКафедра геологии, минералогии и петрографииКафедра горных машин и комплексовКафедра инженерной графикиКафедра маркшейдерского делаКафедра открытых горных работКафедра подземной разработки месторожденийКафедра технической механикиКафедра технологии и техники разведкиКафедра шахтного и подземного строительстваКафедра электрификации горно-металлургического производстваИнститут инженерной физики и радиоэлектроникиБазовая кафедра «Радиоэлектронная техника информационных систем»Базовая кафедра инфокоммуникацийБазовая кафедра физики конденсированного состояния веществаБазовая кафедра фотоники и лазерных технологийКафедра нанофазных материалов и нанотехнологийКафедра общей физикиКафедра приборостроения и наноэлектроникиКафедра радиотехникиКафедра радиоэлектронных системКафедра современного естествознанияКафедра теоретической физики и волновых явленийКафедра теплофизикиКафедра экспериментальной физики и инновационных технологийКафедры физикиИнститут космических и информационных технологийБазовая кафедра «Интеллектуальные системы управления»Базовая кафедра геоинформационных системКафедра высокопроизводительных вычисленийКафедра вычислительной техникиКафедра информатикиКафедра информационных системКафедра прикладной математики и компьютерной безопасностиКафедра разговорного иностранного языкаКафедра систем автоматики, автоматизированного управления и проектированияКафедра систем искусственного интеллектаИнститут математики и фундаментальной информатикиБазовая кафедра вычислительных и информационных технологийБазовая кафедра математического моделирования и процессов управленияКафедра алгебры и математической логикиКафедра высшей и прикладной математикиКафедра математического анализа и дифференциальных уравненийКафедра математического обеспечения дискретных устройств и системКафедры высшей математики №2афедра теории функцийИнститут нефти и газаБазовая кафедра пожарной и промышленной безопасностиБазовая кафедра химии и технологии природных энергоносителей и углеродных материаловКафедра авиационных горюче-смазочных материаловКафедра бурения нефтяных и газовых скважинКафедра геологии нефти и газаКафедра геофизикиКафедра машин и оборудования нефтяных и газовых промысловКафедра разработки и эксплуатации нефтяных и газовых месторожденийКафедра технологических машин и оборудования нефтегазового комплексаКафедра топливообеспеченя и горюче-смазочных материаловИнститут педагогики, психологии и социологииКафедра информационных технологий обучения и непрерывного образованияКафедра общей и социальной педагогикиКафедра психологии развития и консультированияКафедра современных образовательных технологийКафедра социологииИнститут торговли и сферы услугБазовая кафедра таможенного делаКафедра бухгалтерского учета, анализа и аудитаКафедра математических методов и информационных технологий в торговле и сфере услугКафедра технологии и организации общественного питанияКафедра товароведения и экспертизы товаровКафедра торгового дела и маркетингаОтделение среднего профессионального образования (ОСПО)Институт управления бизнес-процессамиКафедра бизнес-информатики и моделирования бизнес-процессовКафедра маркетинга и международного администрированияКафедра менеджмент производственных и социальных технологийКафедра цифровых технологий управленияКафедра экономики и управления бизнес-процессамиКафедра экономической и финансовой безопасностиИнститут физ.культуры, спорта и туризмаКафедра медико-биологических основ физической культуры и оздоровительных технологийКафедра теоретических основ и менеджмента физической культуры и туризмаКафедра теории и методики спортивных дисциплинКафедра физической культурыИнститут филологии и языковой коммуникацииКафедра восточных языковКафедра журналистики и литературоведенияКафедра иностранных языков для гуманитарных направленийКафедра иностранных языков для естественнонаучных направленийКафедра иностранных языков для инженерных направленийКафедра романских языков и прикладной лингвистикиКафедра русского языка и речевой коммуникацииКафедра русского языка как иностранногоКафедра теории германских языков и межкультурной коммуникацииИнститут фундаментальной биологии и биотехнологииБазовая кафедра «Медико-биологические системы и комплексы»Базовая кафедра биотехнологииКафедра биофизикиКафедра водных и наземных экосистемКафедра медицинской биологииИнститут цветных металлов и материаловеденияБазовая кафедра «Технологии золотосодержащих руд»Кафедра автоматизации производственных процессов в металлургииКафедра аналитической и органической химииКафедра инженерного бакалавриата СDIOКафедра композиционных материалов и физико-химии металлургических процессовКафедра литейного производстваКафедра металловедения и термической обработки металловКафедра металлургии цветных металловКафедра обогащения полезных ископаемыхКафедра обработки металлов давлениемКафедра общаей металлургииКафедра техносферной безопасности горного и металлургического производстваКафедра физической и неорганической химииКафедра фундаментального естественнонаучного образованияИнститут экологии и географииКафедра географииКафедра охотничьего ресурсоведения и заповедного делаКафедра экологии и природопользованияИнститут экономики, государственного управления и финансовКафедра бухгалтерского учета и статистикиКафедра международной и управленческой экономикиКафедра социально-экономического планированияКафедра теоретической экономикиКафедра управления человеческими ресурсамиКафедра финансов и управления рискамиКрасноярская государственная архитектурно-строительная академияКрасноярский государственный технический университетКрасноярский государственный университетМежинститутские базовые кафедрыМежинститутская базовая кафедра «Прикладная физика и космические технологии»Политехнический институтБазовая кафедра высшей школы автомобильного сервисаКафедра конструкторско-технологического обеспечения машиностроительных производствКафедра материаловедения и технологии обработки материаловКафедра машиностроенияКафедра прикладной механикиКафедра робототехники и технической кибернетикиКафедра стандартизации, метрологии и управления качествомКафедра тепловых электрических станцийКафедра теплотехники и гидрогазодинамикиКафедра техногенных и экологических рисков в техносфереКафедра техносферной и экологической безопасностиКафедра транспортаКафедра транспортных и технологических машинКафедра химииКафедра электроэнергетикиХакасский технический иститутЮридический институтКафедра гражданского праваКафедра иностранного права и сравнительного правоведенияКафедра конституционного, административного и муниципального праваКафедра международного праваКафедра предпринимательского, конкурентного и финансового праваКафедра теории и истории государства и праваКафедра теории и методики социальной работыКафедра уголовного праваКафедра уголовного процеса и криминалистики
По релевантностиСначала новыеСначала старыеПо дате поступленияПо названиюПо автору
План-конспект урока по теме «Алгебра логики. Логическое высказывание. Основные логические операции» (9 класс, учебник Семакина)
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА
«Алгебра логики. Логическое высказывание.
Основные логические операции»
9 класс
Учитель информатики Алена Павловна Куриляк, МБОУ «Полазненская средняя общеобразовательная школа №3»
Учебник: «Информатика-базовый курс», 9 класс, Семакина И., Залоговой Л., Русакова С., Шестаковой Л.
Образвательные:
познакомить с основными понятиями алгебры логики;
ввести понятие составного высказывания;
познакомить учащихся с основными логическими операциями.
Развивающие:
продолжить развитие познавательной деятельности;
продолжить развитие умения анализировать, делать обобщающие выводы.
Воспитательные:
воспитание активности, самостоятельности и настойчивости при достижении цели, овладении новым материалом
План урока:
Орг. Момент
Изучение нового материала
Физкультминутка
Закрепление изученного материала
Домашнее задание
Подведение итогов
ХОД УРОКА
Орг момент
Сегодня на уроке мы приступаем к изучению новой довольно большой и сложной темы. На первый взгляд мало связанной с информатикой и компьютером, однако, на самом деле, во многом определяющей логику работы компьютера. Сегодня вводный урок и пройдет он в форме лекции. Мы познакомимся с основными понятиями темы. На доске вы можете видеть план урока. Ваша задача внимательно слушать и по необходимости записывать, в ходе объяснения я буду задавать вопросы, чтобы видеть степень усвоения, в конце урока вам будет предложено выполнить небольшое упражнение, на закрепление изученного.
Изучение нового материала
1. Алгебра логики (3 минуты)
2. Логическое высказывание (6 минуты)
3. Обозначение высказываний и их значений (3 минуты)
4. Составные высказывания. Логические связки (5 минут)
5. Логические операции (10 минут)
Алгебра логики – математический аппарат, с помощью которого записывают, упрощают и преобразовывают логические высказывания.
Создателем алгебры логики является английский математик Джорж Буль, в честь которого алгебра логики называется Булевой алгеброй высказываний.
Логическое высказывание – это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно сказать, истинно оно или ложно.
Например: предложение Москва – Столица России – истинное, Рим – столица Франции – ложное.
Конечно, не всякое предложение является логическим высказыванием.
Например: ученик десятого класса – не высказывание потому, что ничего не утверждает об ученике. Информатика – интересный предмет – тоже не высказывание, потому что нельзя однозначно сказать истинное оно или ложное — для одних интересный для других нет.
Попросить привести примеры Логических высказываний и предложений не являющихся логическими высказываниями.
Чтобы обращаться к логическим высказываниям, будем назначать им имена (большие буквы), а чтобы обозначать значение высказываний (истина или ложь) воспользуемся алфавитом двоичной системы счисления 1- истина, 0 — ложь.
В обычной жизни мы часто используем такие слова и сочетания слов как не, и, или, если … то, тогда и только тогда они служат нам для связи слов. Эти же слова позволят нам получать из заданных высказываний новые высказывания, и мы будем называть их логические связки.
Высказывания, составленные из других высказываний с помощью логических связок, будем называть составными высказываниями.
Физминутка.
В алгебре логики каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями.
Используя определения логических операций, заполняем таблицу (можно предложить учащимся часть таблицы заполнить самостоятельно по образцу):
Название
Обозначение
Схема работы
Операция, выражаемая словом «НЕ», называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием (или знаком ).
Высказывание истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно.
НЕ (отрицание)
Не А — или
И
конъюнкция (логическое умножение)
Точкой или знаками, &.
Операция, выражаемая связкой «или» (в неисключающем смысле этого слова), называется
ИЛИ
дизьюнкция (логическое сложение)
Знаком v или +
Операция, выражаемая связками «если …, то», «из … следует», «… влечет …», называется импликацией (лат. implico — тесно связаны) и обозначается знаком . Высказывание ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а
ЕСЛИ ТО
импликация
знаком
Операция, выражаемая связками «тогда и только тогда», «необходимо и достаточно», «… равносильно …», называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком или ~. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значенияА и В совпадают.
ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА
эквиваленция
знаком или ~.
Определения в таблицу не вписываем.
Закрепление
Упражнение на компьютере по определению истинности составных высказываний (программа Мир информатики 3-й год обучения).
ДЗ
§16-17 повторить
Подведение итогов
Сегодня на уроке мы начали знакомство с алгеброй логики. Познакомились с логическими операциями, и пусть они вас не пугают, ведь когда то, в первом классе, вы познакомились с математическими операциями и они уже давно не вызывают у вас вопросов, а сейчас вы взрослее и умнее, чем были когда-то, и надеюсь, через несколько уроков, логические операции так же не будут вызывать у вас проблем.
Математическая логика — это… Что такое Математическая логика?
Математи́ческая ло́гика (теоретическая логика, символическая логика) — раздел математики, изучающий доказательства и вопросы оснований математики. «Предмет современной математической логики разнообразен.»[1] Согласно определению П. С. Порецкого, «математическая логика есть логика по предмету, математика по методу». Согласно определению Н. И. Кондакова, «математическая логика — вторая, после традиционной логики, ступень в развитии формальной логики, применяющая математические методы и специальный аппарат символов и исследующая мышление с помощью исчислений (формализованных языков).»[2] Это определение соответствует определению С. К. Клини: математическая логика — это «логика, развиваемая с помощью математических методов».[3] Также А. А. Марков определяет современную логику «точной наукой, применяющей математические методы».[4] Все эти определения не противоречат, а дополняют друг друга.
Применение в логике математических методов становится возможным тогда, когда суждения формулируются на некотором точном языке. Такие точные языки имеют две стороны: синтаксис и семантику. Синтаксисом называется совокупность правил построения объектов языка (обычно называемых формулами). Семантикой называется совокупность соглашений, описывающих наше понимание формул (или некоторых из них) и позволяющих считать одни формулы верными, а другие — нет.
Важную роль в математической логике играют понятия дедуктивной теории и исчисления. Исчислением называется совокупность правил вывода, позволяющих считать некоторые формулы выводимыми. Правила вывода подразделяются на два класса. Одни из них непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые. Такие правила вывода принято называть аксиомами. Другие же позволяют считать выводимыми формулы , синтаксически связанные некоторым заранее определённым способом с конечными наборами выводимых формул. Широко применяемым правилом второго типа является правило modus ponens: если выводимы формулы и , то выводима и формула .
Отношение исчислений к семантике выражается понятиями семантической пригодности и семантической полноты исчисления. Исчисление И называется семантически пригодным для языка Я, если любая выводимая в И формула языка Я является верной. Аналогично, исчисление И называется семантически полным в языке Я, если любая верная формула языка Я выводима в И.
Математическая логика изучает логические связи и отношения, лежащие в основе логического (дедуктивного) вывода, с использованием языка математики[источник не указан 736 дней].
Многие из рассматриваемых в математической логике языков обладают семантически полными и семантически пригодными исчислениями. В частности, известен результат К. Гёделя о том, что так называемое классическое исчисление предикатов является семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики предикатов первого порядка. С другой стороны, имеется немало языков, для которых построение семантически полного и семантически пригодного исчисления невозможно. В этой области классическим результатом является теорема Гёделя о неполноте, утверждающая невозможность семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики.
Стоит отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций всех современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из важнейших практических приложений методов математической логики, изучаемых в современных учебниках информатики.
Разделы математической логики
См. также
Примечания
- ↑ С. И. Адян, Математическая энциклопедия, М.: «Советская энциклопедия», т.3, с. 568, 571.
- ↑ Н. И. Кондаков, Логический словарь-справочник, М.: «Наука», 1975, с. 259.
- ↑ С. К. Клини, Математическая логика, М., 1973, с.12.
- ↑ А. А. Марков, Большая советская энциклопедия, Изд. 3, Предмет и метод современной логики.
Литература
- Формальная логика. (Учебник.) Часть вторая. СИМВОЛИЧЕСКАЯ ЛОГИКА. Отв. редактор: доц. И. Н. Бродский. — Л.: ЛГУ, 1977.
- Марков А. А.. Элементы математической логики. М.: Изд-во МГУ, 1984.
- Новиков П. С. Элементы математической логики. 2-ое изд. М.: Наука, 1973. — 400 с.
- Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968. — 232 с.
- Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. 508 с.
- Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
Ссылки
| Логика | |
|---|---|
| Формальная | Логические операции с понятиями Изменение содержания понятия: отрицание • ограничение • обобщение • деление |
| Математическая (теоретическая, символическая) | Логические связки (операции) над высказываниями Высказывание — построение над множеством {B, , , , 0, 1} |
Дискретная математика (часть 3)
Министерство образования и науки
Российской Федерации
Российский химико-технологический университет
им. Д.И. Менделеева
Новомосковский институт
Издательский центр
T.П. Тюрина, В.И. Емельянов
Учебное пособие
Новомосковск 2004
Содержание
Часть 3. Элементы алгебры логики 4
3.1 Введение в алгебру логики 4
3.2 Основные функции алгебры логики 6
3.3 Формулы алгебры логики 10
Контрольные вопросы 13
3.4 Законы алгебры логики и следствия из них 13
Контрольные вопросы 18
3.5 Логические функции многих переменных 18
Контрольные вопросы и упражнения 27
3.7 Некоторые замкнутые классы (классы Поста). Понятие базиса 28
Контрольные вопросы и упражнения 37
3.8 Методы минимизации логических функций 37
Контрольные вопросы 42
3.9 Неполностью определенные логические функции 42
3.10 Формы представления булевых функций 43
3.10.1 Семантические деревья 43
3.10.2 Бинарные диаграммы решений (БДР) 44
3.11 Построение логических схем 45
Контрольные вопросы 48
3.12 Логические конечные автоматы 48
3.12.1 Процессы 48
3.12.2 Конечные автоматы 49
Объект 52
Контрольные вопросы 58
Библиографический список 60
Часть 3. Элементы алгебры логики
3.1 Введение в алгебру логики
Алгебру логики иначе еще называют алгеброй высказываний, логикой высказываний. Алгебра логики начала формироваться в 19 веке в трудах английского математика Дж. Буля.
Прежде всего, благодаря труду английского логика Джорджа Буля «Математический анализ логики», был достигнут подлинный прогресс науки, называемый математической логикой. Он перенёс на логику законы и правила математических действий, ввёл логические операции, предложил способ записи высказываний в символической форме.
В трудах Джорджа Буля и О. де Моргана математическая логика представлена как своеобразная алгебра – алгебра логики (алгебра высказываний).
Алгебра логики (алгебра высказываний) – раздел математической логики, изучающий строение (форму, структуру) сложных логических высказываний и способы установления их истинности с помощью алгебраических методов.
Джордж Буль (1815–1864) родился в Линкольне (Англия). Сын сапожного мастера. Окончил только начальную школу и дальнейшие знания приобретал самоучкой. С 1849 г. Буль – профессор математики в Куинс – колледже в Корке (Ирландия), где преподавал до конца жизни. Буля почти в равной степени интересовали логика, математический анализ, теория вероятностей, этика Б. Спинозы, философские работы Аристотеля и Цицерона. Он считается несомненным создателем современной символической (математической) логики.
Огастес де Морган (1806–1871) родился в Индии в семье полковника английских войск. Получил образование в Кембриджском университете. Был профессором математики Лондонского университета. Математику и логику де Морган назвал азами точного знания и выражал сожаление, что математики не более заботятся о логике, чем логики о математике. Сам он стремился сблизить обе науки, и его главной заслугой явилось построение логики по образу и подобию математических наук. Независимо от Дж. Буля он открыл основные идеи алгебры логики.
«Логика Буля» основывается на отношении эквивалентности, при котором правая часть равенства всегда содержит ровно столько же «истин», сколько и левая.
Высказывание – это имеющее смысл языковое выражение (повествовательное предложение), относительно которого в данной ситуации можно утверждать, что оно либо истинно, либо ложно, т. е. каждому высказыванию можно приписать истинное значение И (истина) или Л (ложь), но не то и другое одновременно.
Примеры:
НГТУ – крупнейший «вуз Новосибирска».
«Снег зелёный».
Р= «Чтобы подключиться к Интернету с домашнего компьютера, необходим модем и соответствующее ПО».
Крокодилы летают очень низко.
«А ты любишь информатику?» – это предложение не является высказыванием.
Уравнение 2+х=4 не является высказыванием. Однако, всякий раз, придавая переменной х определенное числовое значение, будем получать высказывание. Используя частицу «не», а также союзы «и», «или», связки «если …., то…», «тогда и только тогда, когда…» и т. п., можно из одних высказываний строить другие высказывания.
Изучением высказываний занимается Булева алгебра, в которой предполагается, что уже имеется некоторый запас высказываний, для каждого из которых известно истинно оно или ложно. Такие высказывания называют элементарными высказываниями. Из элементарных высказываний могут быть построены сложные с помощью операций алгебры логики.
Знаки логических операций называют логическими связками (или просто связками). Логические связки могут быть одноместные (унарные), двухместные (бинарные), трехместные (тернарные) и т. д.
В алгебре логики логические операции чаще всего описываются при помощи таблиц истинности, содержащих все наборы значений переменных и значения функции этих наборов. Алгебра логики не занимается обоснованием того, почему тому или иному элементарному высказыванию приписано значение истины или лжи. Этот вопрос решается за пределами алгебры логики.
Например: сумма углов в треугольнике – 180 градусов. Алгебра логики отвлекается и от смысловой содержательности высказывания. Она интересуется только одним свойством сложных высказываний: быть истинным (True – 1) или ложным (False – 0).
Список литературыГенератор кроссвордовГенератор титульных листовТаблица истинности ONLINEПрочие ONLINE сервисы |
| В нашем каталогеОколостуденческое |
Математическая логика, алгебра и теория чисел
к.ф-м.н. доцент Ивлева Ася Михайловна, кафедра Алгебры и математической логики, доцент
к.ф-м.н. доцент Овчинникова Елена Викторовна, кафедра Алгебры и математической логики, доцент
к.ф-м.н. доцент Порошенко Евгений Николаевич, кафедра Алгебры и математической логики, доцент
д.ф-м.н. доцент Судоплатов Сергей Владимирович, кафедра Алгебры и математической логики, заведующий кафедрой
д.ф-м.н. профессор Тимошенко Евгений Иосифович, кафедра Алгебры и математической логики, профессор
д.т.н. доцент Чехонадских Александр Васильевич, кафедра Алгебры и математической логики, профессор
д.ф.-м.н. профессор Алев Фират
Целый ряд принципиальных результатов по вопросам строения и классификации Классических (групп, колец, полей, алгебр Ли) и универсальных алгебр, моделей, получивших международное признание. В том числе созданы теории скелетов многообразий, условных термов, жестких неассоциативных алгебр и колец, частично коммутативных групп. Решена проблема Лахлана о счетных моделях стабильных теорий. Разработаны методы классификации счетных моделей полных теорий, методы классификации универсальных алгебр и функциональных клонов по их производным структурам, алгоритмы описания групп единиц групповых колец, подходы к вычислению базисов Гребнера неассоциативных алгебр, методы приложения алгебры в теории автоматического управления и пр.
Пинус А.Г. Конгруэнц-модулярные многообразия алгебр.- Иркутск: из-во ИрГУ, 1986.-131с.
Pinus A.G. Boolean Constructions in Universal Algebra.- Dordrecht-Boston-London: Kluver Acad.Publishers, 1993, 350p.
Pinus A.G. Constructions of Boolean Algebras.- Новосибирск: из-во НГТУ, 1994.- 208с.
Пинус А.Г. Условные термы и их применение в алгебре и теории вычислений.- Новосибирск: из-во НГТУ, 2002.- 238с.
Пинус А.Г. Производные структуры универсальных алгебр.- Новосибирск: из-во НГТУ, 2007.- 202с.
Бунина Е.И., Михалев А.В., Пинус А.Г. Элементарная и близкие к ней логические эквивалентности классических и универсальных алгебр.- Москва: из-во МЦНМО, 2015.- 360с.
Пономарев К.Н. Жесткие алгебры и некоммутативные кольца.- Новосибирск: из-во НГТУ, 2007.-315с.
Пономарев К.Н. Центроиды групп и жесткие алгебраические группы.- Новосибирск: из-во НГТУ, 2012.-238с.
Пономарев К.Н. Кольца с однозначным сложением и жесткие алгебры.- Новосибирск: из-во НГТУ, 2016.- 202с.
Тимошенко Е.И. Эндоморфизмы и универсальные теории разрешимых групп.- Новосибирск: из-во НГТУ, 2011.- 327с.
Sudoplatov S.V. The Lachlan Problem.- Новосибирск: из-во НГТУ. 2008, 246р.
Судоплатов С.В. Проблема Лахлана.- Новосибирск: из-во НГТУ, 2009.- 336с.
Судоплатов С.В. Полиногонометрии групп.- Новосибирск: из-во НГТУ, 2011.- 302с.
Судоплатов С.В. Классификация счетных моделей полных теорий: Часть 1, Часть 2.-Новосибирск: из-во НГТУ. 2014.- 356с., 448с.
Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Дискретная математика.Учебник.- Москва:из-во ИНФРА-М, Новосибирск: из-во НГТУ, 2002.- 280с. И целый ряд переизданий.
Судоплатов С.В., Овчинникова Е.В. Математическая логика и теория алгоритмов. Учебник.- Москва: из-во ИНФРА-М, Новосибирск, из-во НГТУ, 2003.- 256с. И целый ряд переизданий.
Ивлева А.М., Прилуцкая П.И., Черных И.Д. Линейная алгебра. Аналитическая геометрия.Учебник.- Новосибирск, из-во НГТУ, 2014.-179с.И целый ряд переизданий.
Ивлева А.М., Пинус А.Г., Чехонадских А.В. Основы алгебры и аналитической геометрии. Учебник.- Новосибирск, из-во НГТУ,2003.-269с.
Ивлева А.М. Основы теории представлений групп.Учебник.-Новосибирск, из-во НГТУ,2002.-125с.
Пинус А.Г. Основы универсальной алгебры.Учебник.- Новосибирск, из-во НГТУ, 1998.- 132с. И целый ряд переизданий.
Пинус А.Г. Задачи и упражнения по универсальной алгебре.- Новосибирск, из-во НГТУ, 2008.- 86с.
Пинус А.Г. Дискретные функции. Учебник.- Новосибирск, из-во НГТУ, 2016.- 91с.
Опубликовано более 500 статей в ведущих научных и зарубежных изданиях, в том числе в журналах: «Алгебра и логика», «Сибирский математический журнал», «Фундаментальная и прикладная математика», «Успехи математических наук», «Journal of Symbolic Logic” , “Algebra universalis” , “Periodica Mathenatica Hungary” , “International Journal of Algebra and Computation” , “Communications in Algebra” и других.
Учебник по логической алгебре
Булева алгебра!
Это действительно логично.
Введение
Следующие страницы предназначены для того, чтобы дать вам прочную основу для работы с булевой алгеброй. Булеву алгебру также иногда называют булевой логикой или просто логикой. Этот метод представления выражений с использованием только двух значений (обычно True и False) был впервые предложен Джорджем Булем в 1847 году.
Наброски
Этот учебник по логической алгебре разделен на 3 раздела. В общем, я рекомендую вам проработать их по порядку, но если вы пришли сюда только для того, чтобы узнать о конкретной теме, тогда кто я такой, чтобы вас тормозить, просто идите прямо вперед.
Продолжайте читать ниже, чтобы начать работу с логической алгеброй, или перейдите к одному из следующих разделов.
- Основы логической алгебры — Что такое булева алгебра и обзор основных операторов.
- Законы булевой алгебры — Основной набор приложений и значений операторов.
- Выражения логической алгебры — Использование правил для управления и упрощения выражений логической алгебры.
Так зачем мне изучать булеву алгебру?
Логическая алгебра является основой работы программного и аппаратного обеспечения, которое мы используем каждый день. Если вы работаете в IT, то понимание булевой алгебры полезно во многих отношениях.
Если вы не работаете в IT, понимание булевой алгебры может быть очень полезным. Даже если вы никогда не используете его формально, его изучение повлияет на то, как вы смотрите на мир и как вы видите и решаете проблемы.Это улучшит ваше мышление и сделает вас более сильным решателем проблем. Это также позволит вам представлять и думать о процессах альтернативными способами, чтобы лучше понять их, а затем потенциально упростить их.
Я считаю, что изучение булевой алгебры может быть полезным почти для всех и, что более важно, также весело.
Изучение логической алгебры
Основы булевой алгебры, как правило, довольно легко освоить.Тогда кривая обучения становится немного крутой. Во многом это связано с тем, что это довольно абстрактно. Лучше всего выяснить, какие стратегии и подходы лучше всего помогут вам лучше визуализировать и понять, что происходит. Вот несколько идей для начала, но все разные. Вам нужно будет выяснить, что лучше всего подходит для вас.
- Перебери вещей несколько раз с хорошим перерывом между ними. Вы будете удивлены, как что-то может иметь мало смысла в первый раз, когда вы прочитаете это, но если вы оставите это на некоторое время, чтобы дать этому поваляться в вашей голове, а затем вернетесь к этому, это станет более осмысленным при втором чтении.
- Нарисуйте на бумаге. Я сталкиваюсь с множеством ленивых студентов, которые говорят: «Нет, все в порядке, я просто проработаю это в своей голове». Для абстрактных вещей, таких как логическая алгебра, это не сработает, если вы достигнете определенного уровня сложности. Немного времени и усилий, чтобы нарисовать это на бумаге, избавят вас от многих часов разочарования. Это также упростит повторение ваших шагов, когда что-то пойдет не так.
- Говорите вслух , а не просто мысленно.Это может показаться глупым, но когда вы говорите это, а не просто думаете, вы увидите это с другой точки зрения, и это может помочь лучше понять, что происходит.
- Практика !! Чем больше вы практикуетесь, тем больше ваш ум будет складывать кусочки головоломки по этим абстрактным концепциям. Чем больше вещей начнут обретать смысл.
Если вы воспользуетесь этим подходом, то обнаружите, что это довольно приятный путь к овладению логической алгеброй.Вы также можете найти наше Руководство по решению проблем, которое стоит быстро прочитать.
Учебник по булевой алгебре и примеры булевой алгебры
Булева алгебра и законы булевой алгебры могут использоваться для идентификации ненужных логических вентилей в цифровой логической схеме, сокращая количество вентилей, требуемых для экономии энергопотребления и затрат.
В этом разделе мы видели, что функции цифровой логики могут быть определены и отображены либо как выражение логической алгебры, либо как таблица истинности логического элемента.Итак, вот несколько примеров того, как мы можем использовать логическую алгебру для упрощения больших цифровых логических схем.
Пример булева алгебры №1
Создайте таблицу истинности для логических функций в точках C, D и Q в следующей схеме и определите один логический вентиль, который можно использовать для замены всей схемы.
Первые наблюдения говорят нам, что схема состоит из логического элемента И-НЕ с 2 входами, элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ с 2 входами и, наконец, элемента ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ с 2 входами на выходе.Поскольку в цепи только 2 входа, обозначенных A и B, возможны только 4 возможных комбинации входа (2 2 ), а именно: 0-0, 0-1, 1-0 и, наконец, 1-1. . Построение логических функций каждого элемента в табличной форме даст нам следующую таблицу истинности для всей логической схемы, представленной ниже.
| Входы | Выход на | |||
| А | B | С | D | Q |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
Из приведенной выше таблицы истинности столбец C представляет функцию вывода, сгенерированную логическим элементом И-НЕ, а столбец D представляет функцию выхода логического элемента Ex-OR.Оба этих двух выходных выражения затем становятся входным условием для логического элемента Ex-NOR на выходе.
Из таблицы истинности можно видеть, что выход на Q присутствует, когда любой из двух входов A или B находится на логической 1. Единственная таблица истинности, которая удовлетворяет этому условию, — это таблица логики ИЛИ. Таким образом, вся вышеуказанная схема может быть заменена только одним вентилем ИЛИ с 2 входами .
Пример булева алгебры №2
Найдите выражение булевой алгебры для следующей системы.
Система состоит из ворот И, ИЛИ, и, наконец, ворот ИЛИ. Выражение для логического элемента И — A.B, а для логического элемента ИЛИ — A + B. Оба этих выражения также являются отдельными входами для логического элемента ИЛИ, который определяется как A + B. Таким образом, окончательное выходное выражение имеет вид:
Выход системы задается как Q = (A.B) + (A + B), но обозначение A + B такое же, как обозначение Де Моргана A.B. Затем подставляем A.B в выходное выражение дает нам окончательную выходную нотацию Q = (A.B) + (A.B), которая является логической нотацией для шлюза Exclusive-NOR, как показано в предыдущем разделе.
| Входы | Промежуточные продукты | Выход | ||
| B | A | A.B | А + В | Q |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
Затем всю схему, указанную выше, можно заменить только одним единственным шлюзом Исключающее ИЛИ, и действительно шлюз Исключающее ИЛИ состоит из этих отдельных функций вентилей.
Пример булева алгебры №3
Найдите выражение булевой алгебры для следующей системы.
Эта система может показаться более сложной для анализа, чем две другие, но опять же, логическая схема состоит только из простых логических элементов И, ИЛИ и НЕ, соединенных вместе.
Как и в предыдущих логических примерах, мы можем упростить схему, записав логическую нотацию для каждой функции логического элемента по очереди, чтобы получить окончательное выражение для выхода в Q.
Выход логического элемента И с 3 входами имеет только логическую «1», когда ВСЕ входы ворот имеют ВЫСОКИЙ уровень на логическом уровне «1» (A.B.C). На выходе нижнего логического элемента ИЛИ будет только «1», когда один или оба входа B или C находятся на логическом уровне «0». Выходной сигнал логического элемента И с двумя входами равен «1», когда вход A равен «1», а входы B или C имеют значение «0». Тогда на выходе Q будет только «1», когда входы A.B.C равны «1» или A равны «1», а оба входа B или C равны «0», A.(В + С).
При использовании «теоремы де Моргана » входы B и вход C компенсируются, так как для получения выхода на Q они могут быть либо на логической «1», либо на логическом «0». Тогда это просто оставляет вход A в качестве единственного входа, необходимого для вывода в Q, как показано в таблице ниже.
| Входы | Промежуточные продукты | Выход | ||||||
| С | B | A | A.B.C | B | С | Б + С | А.(B + C) | Q |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
Затем мы видим, что вся логическая схема, указанная выше, может быть заменена только одним единственным входом, обозначенным «A», тем самым сокращая схему из шести отдельных логических вентилей до одного единственного куска провода (или буфера).Этот тип анализа схем с использованием булевой алгебры может быть очень мощным и быстро идентифицировать любые ненужные логические элементы в цифровой логической схеме, тем самым уменьшая количество требуемых элементов, потребляемую мощность схемы и, конечно же, стоимость.
БУЛЕВА ЛОГИЧЕСКАЯ АЛГЕБРА И ЛОГИЧЕСКИЕ ВОРОТА ОСНОВЫ И РУКОВОДСТВО
BOOLEAN LOGIC AND LOGIC GATES TUTORIALSМашины всех типов, включая компьютеры, предназначены для выполнения конкретных задач точно определенным образом.Некоторые компоненты машин имеют чисто физический характер, поскольку их состав и поведение строго регулируются химическими, термодинамическими и физическими свойствами.
Например, двигатель предназначен для преобразования энергии, выделяемой при сгорании бензина и кислорода, во вращение коленчатого вала. Другие компоненты машин являются алгоритмическими по своей природе, потому что их конструкции в первую очередь следуют ограничениям, необходимым для реализации набора логических функций, определенных людьми, а не законам физики.
Поведение светофора определяется преимущественно людьми, а не естественными физическими законами. Эта книга посвящена проектированию цифровых систем, которые соответствуют алгоритмическим требованиям их конкретного диапазона приложений. Цифровая логика и арифметика являются важными строительными блоками при построении таких систем.
Алгоритм — это процедура решения проблемы, состоящая из серии конечных и конкретных шагов. Он может быть представлен в виде набора математических формул, списков последовательных операций или любой их комбинации.Каждый из этих конечных шагов может быть представлен уравнением булевой логики .
Булева логика — это раздел математики, который был открыт в девятнадцатом веке английским математиком по имени Джордж Буль. Основная теория состоит в том, что логические отношения могут быть смоделированы алгебраическими уравнениями.
Вместо использования арифметических операций, таких как сложение и вычитание, в логической алгебре используются логические операции, включая И, ИЛИ и НЕ. Логические переменные имеют два пронумерованных значения: истина и ложь, представленные численно как 1 и 0 соответственно.Математически операция AND определяется как произведение двух логических значений, обозначенных A и B для справки.
Таблицы истинности часто используются для иллюстрации логических отношений, как показано для операции И в таблице 1.1. Таблица истинности обеспечивает прямое отображение между возможными входами и выходами.
Базовая операция И имеет два входа с четырьмя возможными комбинациями, потому что каждый вход может иметь значение 1 или 0 — истина или ложь. Математические правила применяются к булевой алгебре, что приводит к ненулевому произведению только тогда, когда оба входа равны 1.
Суммирование представлено операцией ИЛИ в булевой алгебре, как показано в таблице 1.2. Только одна комбинация входов операции ИЛИ приводит к нулевой сумме: 0 + 0 = 0.
Логические переменные сами по себе могут показаться не слишком интересными. Именно то, что они могут изображать, приводит к созданию полезных конструкций. Довольно надуманный пример можно сделать из следующего логического утверждения:
«Если сегодня суббота или воскресенье и тепло, наденьте шорты».
Из этого оператора можно вывести три логических входа: суббота, воскресенье и тепло.Можно вывести один логический вывод: шорты. Эти четыре переменные могут быть собраны в одно логическое уравнение, которое вычисляет желаемый результат: шорты = (суббота ИЛИ воскресенье) И теплый
Хотя это простой пример, он демонстрирует тот факт, что любые логические отношения могут быть выражены алгебраически с помощью произведения и суммы, комбинируя основные логические функции И, ИЛИ и НЕ.
Некоторые другие логические функции считаются элементарными, хотя их можно разделить на функции И, ИЛИ и НЕ.Это не-И (НЕ-И), не-ИЛИ (NOR), исключающее-ИЛИ (XOR) и исключающее-NOR (XNOR).
В таблице 1.3 представлены логические определения этих других основных функций. XOR — интересная функция, потому что она реализует сумму, отличную от OR, принимая во внимание, что 1 + 1 не равно 1. Как будет показано позже, XOR играет ключевую роль в арифметике по этой причине.
Все бинарные операторы могут быть объединены в цепочку для реализации широкой функции любого количества входов. Например, таблица истинности для функции И с десятью входами приведет к выходу 1 только тогда, когда все входы равны 1.
Точно так же таблица истинности для функции ИЛИ с семью входами приведет к 1 выходу, если любой из семи входов равен 1. Однако XOR с четырьмя входами приведет только к 1 выходу, если есть нечетное число. единиц на входах.
Это связано с последовательным логическим соединением нескольких операций двоичного исключающего ИЛИ. Как показано в Таблице 1.3, четное количество единиц, представленное функции XOR, компенсирует друг друга.
Запись имен логических операторов быстро становится громоздкой.Краткие алгебраические выражения записываются с использованием графических представлений, показанных в таблице 1.4.
Обратите внимание, что каждая операция имеет несколько символьных представлений. Выбор представления является вопросом стиля при написании от руки и предопределен при программировании компьютера синтаксическими требованиями каждого языка компьютерного программирования.
Обычным средством представления вывода универсальной логической функции является переменная Y. Следовательно, функция И двух переменных, A и B, может быть записана как Y = A & B или Y = A * B.
Как и в обычном математическом представлении, продукты также можно записывать, помещая термины рядом друг с другом, например Y = AB. Обозначение для инвертированных функций, NAND, NOR и XNOR, достигается путем инвертирования базовой функции.
Два равнозначных способа представления NAND: Y = A & B и Y =! (AB). Точно так же XNOR можно записать как Y = BAR A⊕BAR B.
Когда логические функции преобразуются в схемы, обычно используются графические представления семи основных операторов.В терминологии схем логические операторы называются вентилями. На рисунке 1.1 показано, как основные логические элементы изображены на принципиальной схеме.
Названия входов каждого логического элемента A и B и выхода Y приведены только для справки; любое имя можно выбрать для удобства. На выходе логического элемента рисуется небольшой пузырек, указывающий на логическую инверсию.
Более сложные логические функции создаются путем комбинирования логических операторов так же, как арифметические операторы комбинируются в обычной математике.Скобки полезны для явной передачи информации о приоритете, чтобы не было двусмысленности в том, как следует обрабатывать две переменные
.
Логическая функция может быть записана как Y = (AB + C +) D & BAR E BAR F
Это же уравнение может быть представлено графически на принципиальной схеме, также называемой схематической диаграммой, как показано на рис. 1.2. Это представление использует только логические вентили с двумя входами. Как уже упоминалось, бинарные операторы могут быть объединены в цепочку для реализации функций более чем двух переменных.
Альтернативное графическое представление могло бы использовать логический элемент ИЛИ с тремя входами путем сжатия логических элементов ИЛИ с двумя входами в единый объект.
Учебное пособие по основам логических вентилей
Логические вентили (или просто вентили) являются одними из самых основных строительных блоков для компьютеров и всего цифрового.
Как и большинство вещей в электронике, я мог бы написать большую книгу обо всем, что связано с логическими вентилями. Некоторые из этих вещей включают таблицы истинности, булеву алгебру, комбинационную логику, теоремы ДеМоргана и многое другое.
Этот учебник по логическим вентилям предназначен для ознакомления с различными вентилями и принципами их работы. Таким образом, мы рассмотрим некоторые аспекты некоторых из вышеперечисленных тем, оставив другие для будущих, не вводных сообщений.
Статья предназначена в первую очередь для новичков, которые знают некоторые основы электроники, но не знают, что такое гейт, или, возможно, даже не слышали о них.
Однако, даже если вы не новичок, вы можете найти этот пост как хороший обзор основ различных логических вентилей и того, что они делают.
Чтобы правильно обсудить логические вентили, нам сначала нужно понять таблицы истинности.
Таблица истинности — это просто список всех возможных входных значений для логического элемента (или на самом деле любой цифровой схемы) и выходной ответ для каждой входной комбинации. Обычно мы перечисляем входные данные в возрастающем двоичном порядке.
Звук сбивает с толку? Давайте рассмотрим рисунок ниже, который представляет собой таблицу истинности для логического элемента И с двумя входами. Вскоре мы подробно обсудим, что такое логический элемент И и как он работает.
Рисунок 1: Таблица истинности логического элемента И
Поскольку 2 2 = 4, существует четыре возможных комбинации входов для логического элемента И с двумя входами. Они перечислены во входных столбцах таблицы. Обычно входы обозначаются буквами, поэтому у нас есть вход A и вход B.
Выход обычно обозначается буквой Y. В приведенной выше таблице мы можем увидеть, является ли выход HIGH (1) или LOW (0 ) для каждого из четырех входов. Обратите внимание: поскольку цифровые схемы говорят в двоичном формате, входы и выходы могут состоять только из единиц и нулей.
Если бы у нас был вентиль И с 3 входами, таблица могла бы быть расширена. На этот раз вместо четырех строк будет восемь, потому что 2 3 = 8, причем каждая комбинация соответствует двоичным числам от 000 (десятичный 0) до 111 (десятичный 7). Третий вход будет обозначен C.
Простейший логический вентильТехнически самый простой логический вентиль вообще не является вентилем, хотя некоторые называют его вентилем НЕ. Тем не менее, это очень важная часть цифрового дизайна.
Инвертор просто принимает один вход (либо 1, либо 0) и инвертирует сигнал, выводя противоположный уровень или дополнение входа. Я не буду оскорблять ваш интеллект, нарисовав для этого таблицу истинности, но просто для того, чтобы донести до него точку, если бы я поставил 1 или ВЫСОКИЙ уровень на инверторе, его выход был бы 0 или НИЗКИЙ.
Ниже представлен наиболее часто используемый символ инвертора.
Рисунок 2: схематический символ инвертора. Вход — A, выход — Y.
Логические ворота: вы активны?Обратите внимание на кружок на выходе инвертора на рисунке 2. Этот кружок представляет инверсию.
Пузырьки на входах и выходах ворот также представляют активный уровень ворот.
Активный уровень — это логический уровень, определяемый как состояние ВКЛ для конкретного входа или выхода схемы. Этот уровень либо ВЫСОКИЙ, либо НИЗКИЙ.
Активная клемма LOW находится в состоянии ON, когда она находится в логическом состоянии LOW (0), обозначенном кружком.
Активный ВЫСОКИЙ вывод считается ВКЛЮЧЕННЫМ, когда он находится в логическом ВЫСОКОМ состоянии (1), на что указывает отсутствие пузыря.
Другими словами, если на входе или выходе нет пузыря, мы предполагаем активный ВЫСОКИЙ уровень.
Здесь уместно сделать небольшое замечание о положительной и отрицательной логике. Раньше некоторые приложения предполагали, что HIGH равняется 0, а LOW — 1. Это называлось отрицательной логикой. Такая логика превращает логический элемент И в логический элемент ИЛИ и наоборот (с точки зрения положительной логики).Это сбивало с толку.
Сегодня вы вряд ли увидите это, и положительная логика, где ВЫСОКИЙ — 1, а НИЗКИЙ — 0, является доминирующим условием. Поэтому мы не будем больше говорить о негативной логике. Просто знайте, что он существует.
Все функции цифровой логики могут быть выполнены с использованием различных комбинаций трех основных логических функций: НЕ, И и ИЛИ.
Как мы знаем, НЕ то же самое, что инверсия.
Функции логических вентилей могут быть показаны в таблицах истинности или записаны с помощью логических функций.
Булева алгебра получила свое название от математика девятнадцатого века Джорджа Буля. Он описывает соотношение между входами и выходами цифровой схемы. Входные и выходные значения называются логическими переменными.
Например, логическое выражение, представляющее инвертор, выглядит следующим образом:
Это произносится следующим образом: Y равно НЕ A или Y равно A bar. Помните, что полоса над переменной представляет собой дополнение или противоположность этой переменной.
Логическое выражение для логического элемента И:
Y = A · B
Часто это уравнение записывается без точки. В любом случае это означает одно и то же и говорит, что Y равно A И B . Выражение похоже на алгебраическое умножение и также называется логическим произведением.
На рисунке 1 показана таблица истинности логического элемента И. Функция И объединяет две или более входных переменных, так что выход ВЫСОКИЙ только в том случае, если все входы ВЫСОКИЕ.
Другими словами, с логическим элементом И любой НИЗКИЙ вход, независимо от количества входов, означает НИЗКИЙ выход. Итак, если у нас есть десять входных логических элементов И и 9 входов имеют ВЫСОКИЙ уровень, а один — НИЗКИЙ, выход будет НИЗКИМ.
Из-за этого логический элемент И может определять, когда одновременно выполняются определенные условия.
Еще одно распространенное применение этого строба — разрешить прохождение сигнала в определенное время и запретить его в другие. Это делается путем установки одного из входов логического элемента И с двумя входами на ВЫСОКИЙ на желаемый промежуток времени, в то время как некоторый цифровой сигнал подается на другой вход.Поскольку один вход имеет ВЫСОКИЙ уровень в течение определенного периода времени, а выход функции И — ВЫСОКИЙ, когда все входы имеют ВЫСОКИЙ уровень, исходный сигнал «проходит» через вентиль и появляется на выходе.
Если мы хотим остановить прохождение сигнала, все, что нам нужно сделать, это перевести один из двух входов в НИЗКИЙ, и выход будет НИЗКИМ независимо от того, что делает сигнал на другом входе.
Ниже мы видим нормальный символ логического элемента AND.
Рис. 3. Схематический символ логического элемента И
Если мы соединим выход этого элемента с другим элементом И, мы сможем создать элемент И с тремя входами.
Еще один полезный способ представить функцию И — это набор переключателей, включенных последовательно. Только когда оба переключателя замкнуты, лампа загорается.
Рисунок 4: Логический элемент И, представленный переключателями
Символ логического элемента ИЛИ, который является другим основным вентилем, находится ниже. Таблица истинности следует.
Рисунок 5: Условное обозначение логического элемента ИЛИ
Рисунок 6: Таблица истинности логического элемента ИЛИ
Логическое выражение для функции ИЛИ:
Y = A B
Как произносится: Y равно A OR B. У вас может возникнуть соблазн подумать, что это похоже на алгебраическое сложение, поскольку операция AND похожа на умножение. Они похожи, но есть некоторые отличия.
Взгляните на таблицу истинности, которая говорит нам, что 1 + 1 = 1. Это верно для операции ИЛИ, но, очевидно, не верно для сложения.
Станьте Создателем, которым вы были рождены. Попробуйте Arduino Academy БЕСПЛАТНО!
Логический элемент ИЛИ с 2 входами имеет выход, который ВЫСОКИЙ, когда любой или оба входа имеют ВЫСОКИЙ уровень. Другими словами, ВЫСОКИЙ вход означает ВЫСОКИЙ выход, независимо от количества входов.Если у нас есть десять входных логических элементов ИЛИ, и только один вход имеет ВЫСОКИЙ уровень, выход все равно будет ВЫСОКИМ.
Мы можем использовать логический элемент «ИЛИ», чтобы построить простую сигнализацию. Подключив магнитный переключатель, выход которого ВЫСОКИЙ при открытии, к логическому элементу ИЛИ, а затем подключив этот выход к соответствующей цепи, мы получаем простую сигнализацию.
Мы также можем представить функцию ИЛИ как набор переключателей, включенных параллельно. Когда оба переключателя или один из них замыкаются, загорается лампа. Только когда оба переключателя разомкнуты, лампа остается выключенной.
Рисунок 7: Логический элемент ИЛИ, представленный переключателями
Если мы соединим выход логического элемента ИЛИ с 2 входами с другим логическим элементом ИЛИ с 2 входами, мы можем сделать вентиль с 3 входами, как это было в случае с ворота AND.
Логические вентили НЕ И И ИЛИМы знаем, что мы можем комбинировать вентили НЕ, И и ИЛИ для выполнения любой другой логической функции. Для некоторых из этих функций существуют специальные логические элементы. Двумя наиболее распространенными являются NAND и NOR. Фактически, каждый из них может использоваться для создания любой логической функции, как и три основных элемента.
И-И и И-НЕ являются сокращениями НЕ и И, и НЕ и ИЛИ. Ворота NAND НЕ являются воротами AND, а ворота NOR НЕ являются воротами OR. Через минуту это станет более понятным.
Логический элемент И-НЕ — это элемент И, выход которого подается в инвертор (или НЕ-вентиль). Логический элемент ИЛИ-ИЛИ — это элемент ИЛИ, выход которого подается на инвертор.
Алгебраическое выражение для функции И-НЕ:
Посмотрите на изображение логического элемента И-НЕ ниже. Обратите внимание на пузырек на выходе. Логический элемент И-НЕ имеет активные входы HIGH и активный выход LOW.
Таблица истинности находится под символом. Осмотрев таблицу, мы можем понять, почему вентиль И-НЕ НЕ ЯВЛЯЕТСЯ вентилем И; НИЗКОЕ значение дает ВЫСОКИЙ выход.Это противоположно функции И, где НИЗКИЙ вход дает НИЗКИЙ выход.
Рисунок 8: вентиль И-НЕ
Рисунок 9: Таблица истинности логического элемента И-НЕ
Алгебраическое выражение для функции ИЛИ-НЕ:
Посмотрите на изображение вентиля ИЛИ-НЕ ниже. Обратите внимание на пузырек на выходе. Логический элемент ИЛИ-НЕ имеет активный ВЫСОКИЙ вход и активный НИЗКИЙ выход.
Таблица истинности находится под символом.Осмотрев таблицу, мы можем понять, почему вентиль ИЛИ НЕ является вентилем ИЛИ; ВЫСОКОЕ значение дает НИЗКИЙ выход. Это противоположно функции ИЛИ, где ВЫСОКИЙ вход дает ВЫСОКИЙ выход.
Рисунок 10: вентиль ИЛИ-НЕ
Рисунок 11: Таблица истинности вентиля ИЛИ-НЕ
Создание вентиля ИЛИ-НЕ с 3 входами из вентилей с 2 входами немного отличается от предыдущего . Мы не можем просто связать 2 NAND или NOR вместе, поскольку это приведет к другой логической функции.
Чтобы создать вентиль И-НЕ с несколькими входами, нужно начать с логического элемента И, а затем подать его выход на вентиль И-НЕ.
Аналогичная ситуация и с вентилем NOR. Чтобы создать вентиль ИЛИ-НЕ с несколькими входами, нужно начать с логического элемента ИЛИ, а затем подать его выход на вентиль ИЛИ-НЕ.
Еще одна интересная особенность этих логических вентилей заключается в том, что оба они могут стать инверторами, если замкнуть входы вместе.
Исключающие логические вентилиИсключающее ИЛИ (XOR) — это особый случай функции ИЛИ.Его выход (для 2-входного вентиля) ВЫСОКИЙ, когда один (и только один) из входов ВЫСОКИЙ. Чтобы расширить то, что мы только что узнали, выход логического элемента XOR с несколькими входами (более двух входов) является ВЫСОКИМ, когда нечетное количество входов ВЫСОКО.
Другой способ думать о логическом элементе XOR состоит в том, что выход ВЫСОКИЙ, когда входы разные, и НИЗКИЙ, когда они одинаковые. Это может быть полезно для таких вещей, как обнаружение ошибок в цифровой связи.
Логическое уравнение для функции XOR:
Y = A ⊕ B
Символ логического элемента XOR находится ниже, а таблица истинности ниже.
Рисунок 12: Элемент XOR
Рисунок 13: Таблица истинности элемента XOR
Функция исключающего ИЛИ (XNOR) является дополнением к функции XOR и разделяет некоторые свойства.
Его логическое уравнение:
Выход логического элемента XNOR — ВЫСОКИЙ, когда входы одинаковые, и НИЗКИЙ, когда они разные. Другое название ворот XNOR — ворота совпадений из-за этого свойства.
Символ ворот и таблица истинности приведены ниже.
Рисунок 14: Шлюз XNOR
Рисунок 15: Таблица истинности ворот XNOR
Не судите логический вентиль по его покрытию2 символов все ворота на данный момент самые обычные в моем уголке мира. Однако есть и другие символы для тех же ворот. В зависимости от того, где вы живете, вы можете увидеть, что некоторые люди, книги или другие публикации представляют различные логические ворота таким образом.В таблице ниже приведены различные символы для различных логических вентилей.
Рисунок 16: различные символы для логических вентилей
Обратите внимание, что короткая диагональная линия на выходах прямоугольных символов в крайнем правом столбце обозначает активный НИЗКИЙ выход, как пузырь на символах слева столбец.
Ух ты, на данный момент мы проработали более 2100 слов, и у меня даже не было возможности упомянуть мистера ДеМоргана, вдаваться в подробности о булевой алгебре или обсуждать комбинационную логику.У меня также не было возможности обсудить другие важные факторы, касающиеся логических вентилей, такие как разветвление, задержка распространения, рассеяние мощности и многое другое.
Как и все электронные предметы, тома можно писать только с помощью логических вентилей. Но, поскольку я не хочу, чтобы эта запись в блоге превратилась в монстра, мы затронем эти темы в некоторых будущих публикациях.
По крайней мере, теперь у вас есть некоторые основы. Можете ли вы заменить все, что вы делаете на Arduino или микроконтроллере, несколькими простыми вентилями?
Держу пари, ты сможешь.
В конце концов, вы можете убить муху гранатой так же хорошо, как мухобойкой, но какой метод имеет наибольший смысл?
До следующего раза, комментируйте и расскажите нам о ваших любимых применениях логических вентилей.
Станьте Создателем, которым вы были рождены. Попробуйте Arduino Academy БЕСПЛАТНО!
Введение в булеву алгебру и логические вентили — Часть 1
Это первая часть запланированной короткой серии блогов о булевой алгебре и логических вентилях.
В этой первой части мы познакомим вас с простой булевой алгеброй, которая является очень базовой, а затем посмотрим, как один или несколько логических вентилей могут реализовать различные логические функции.
[…] это самые строительные блоки всех цифровых схем.
Так почему вы должны заботиться об этих темах? Одна из причин заключается в том, что это самые строительные блоки всех цифровых схем. Каждый цифровой чип и компьютер могут быть сконструированы с помощью логических вентилей, основанных на булевой алгебре.
Прежде всего: булева алгебра
В логической алгебре переменная может иметь только два значения: 1 или 0, истинное или ложное, высокое или низкое и т. Д.Это делает его актуальным для тех, кто занимается цифровым электронным оборудованием или программированием, но он также применим во многих других областях.
Логическая функция состоит из одной или нескольких логических операций и «производит» одно логическое значение (которое мы для простоты называем output ) из набора других логических значений (которые мы для простоты называем input ). Эти входы и выходы могут быть только 1 или 0. С этого момента мы будем использовать только термин операция в этом сообщении в блоге, а не функция (опять же, для простоты).
Основные операции
У нас есть три операции, которые считаются самыми простыми. Они должны быть хорошо знакомы тем из вас, кто хоть немного занимался программированием.
- И (символ ∧): все входы должны быть равны 1, чтобы установить выход равным 1, в противном случае выход равен 0. ( && в C / C ++).
- OR (символ ∨): один или несколько входов должны быть равны 1, чтобы установить выход на 1, в противном случае выход равен 0.( || в C / C ++).
- НЕ (символ ¬): инвертирует (инвертирует) значение входа (только один вход). (! в C / C ++).
Так называемая таблица истинности, которая дает вам обзор основных операций. Имейте в виду, что операции NOT имеют только один вход.
С помощью этих трех операций мы можем формировать все остальные операции. Некоторые из них мы храним под рукой для удобства:
Вторичные операции
Следующий уровень сложности — это второстепенные операции.Вот некоторые из них.
- Exclusive или (символ: ⊕, он же XOR ): Один и только один входов должен быть 1, чтобы установить выход на 1. В противном случае выход равен 0. Это наиболее часто используемый вторичная операция.
- Значение материала (символ: →): устанавливает выход равным второму входу , если первый вход равен 1. В противном случае выход равен 1 (только два входа).
- Эквивалентность (символ: ≡): выход равен 1, если все входы равны .В противном случае на выходе будет 0. С двумя входами получается противоположность XOR (см. Ниже).
Материальный смысл и эквивалентность довольно неясны. Самый важный из них, о котором нужно знать, — это XOR.
Инвертированные выходы
Правильный термин — отрицание , но мы будем называть его инверсией в этом сообщении в блоге, поскольку считаем, что это имеет больше смысла.
Операции, в которых выходы инвертированы, используются настолько часто, что имеют свои собственные имена:
- NAND : И с инвертированным выходом.
- NOR : ИЛИ с инвертированным выходом.
- XNOR : XOR с инвертированным выходом. XNOR — это то же самое, что эквивалентность, пока есть только два входа.
Инвертированные входы
Также принято инвертировать входные данные операций. Несколько правил / законов / забавных фактов:
- Инвертированные входы в операции И эквивалентны операции ИЛИ: ¬x∧¬y = ¬ (x∨y)
- Инвертированные входы в операции ИЛИ эквивалентны операции И-НЕ: ¬x∨¬y = ¬ (x∧y)
- Инвертированные входы в операции И-НЕ эквивалентны операции ИЛИ: ¬ (¬x∧¬y) = x∨y
- Инвертированные входы в операции ИЛИ-НЕ эквивалентны операции И: ¬ (¬x∨¬y) = x∧y
Инвертирование входов не дает такого же результата, как инвертирование выхода!
Есть еще множество других законов, о которых вы можете прочитать здесь.
Логические ворота
Хотя логические ворота — это шаг к практике от теории, мы пока оставим это довольно абстрактным. Следует иметь в виду, что, используя диоды и транзисторы (помимо прочего), вы можете создавать реальные версии этих вентилей. В логической электрической цепи 5 В напряжение 5 В на выводе соответствует логическому значению 1, а 0 В на выводе — логическому значению 0.
Комбинируя логические вентили определенным образом, мы можем добиться довольно продвинутого поведения. Но сначала основы.
Основные операции
Вот как выглядят основные операции, когда мы рисуем их в схемах электрической логики.
Обратите внимание на круг на вершине треугольника НЕ ворот. Этот круг можно добавить на другие ворота, как на входах, так и на выходах, чтобы инвертировать любой из них.
XOR
XOR имеет свой собственный символ, который показан вверху на изображении ниже.
Мы также можем создать поведение XOR или модуль, если хотите, соединив три разных шлюза вместе, как показано в нижней части изображения ниже.Это простой пример того, как вы можете создать более сложное поведение, определенным образом комбинируя базовые ворота.
Мы можем записать это алгебраически как x XOR y = (x NAND y) AND (x NOR y) .
Инверсии
Вот символы для NAND, NOR и XNOR. Два из них были использованы в построении XOR выше.
Реальные реализации
Давайте посмотрим, как логические элементы И и ИЛИ могут быть реализованы в реальной жизни с помощью транзисторов и диодов соответственно.
Источник: Википедия
Как видите, вам нужны два транзистора для создания логического элемента И или ИЛИ. Внутри чипа графического процессора Nvidia GV100 Volta 2017 года целых 21,1 миллиарда (!) Транзисторов. Примерно столько миллиметров вокруг планеты Марс.
В следующий раз
В следующем выпуске этой серии мы покажем вам, как можно создавать более сложные логические схемы.
Логика и доказательства: онлайн-ресурсы и сайты
Вы здесь: Главная → Интернет-ресурсы → Логика и доказательствоЛогика и доказательство
Введение в логику
Набор онлайн-руководств для изучения элементарной логики, охватывающей исчисление высказываний и предикатов.Также интерактивный Java-апплет с упражнениями.
logic.philosophy.ox.ac.uk
Элементарное введение в логику и теорию множеств
Интерактивное руководство, включающее сентенциальную логику, логику предикатов и кванторы, методы доказательства и наивную теорию множеств.
faculty.madisoncollege.edu/alehnen/weblogic/logcont.htm
Логика для математики IMACS (Институт математики и информатики)
Выберите «родители» или «ученики», затем в подменю выберите «Математика и логика».Это онлайн-курс, предназначенный для учащихся средних и старших классов с математически не по годам. Этот курс исчисления высказываний знакомит студентов с логикой высказываний, разделом современной математики, который обеспечивает строгий математический анализ процесса рационального аргумента.
www.eimacs.com
Курс «Логика и доказательства» от Open Learning Initiative (OLI)
Часть полного курса, который включает логику предикатов и преподавался в Университете Карнеги-Меллона.Щелкните ссылку «ПОСМОТРЕТЬ в бесплатном и открытом курсе OLI Logic & Proofs», чтобы просмотреть материалы курса.
oli.cmu.edu/courses/free-open/logic-proofs-course-details/
Как писать доказательства
Учебное пособие из 12 частей по написанию корректуры. Включает прямое доказательство, доказательство от противного, доказательство контрапозитивом, математическую индукцию, если и только если, и стратегии доказательства.
zimmer.csufresno.edu/~larryc/proofs/proofs.html
Dc Proof
Бесплатное программное обеспечение для ПК для изучения основ логики и доказательства (для студентов колледжей или старших классов средней школы).
www.dcproof.com
Logic Lorksheets
Простые логические головоломки для средней и старшей школы.
www.edhelper.com/logic_puzzles.htm
Головоломки от Pedagonet
Небольшие аккуратные общие головоломки для детей, улучшающие их способности решать проблемы.
www.pedagonet.com/brain/brainers.html
Давайте попрактикуемся в геометрии — Бесплатные рабочие листы
Множество бесплатных рабочих листов для школьной геометрии, включая такие темы, как теорема Пифагора, периметр, площадь, объем, угловые отношения, теоремы треугольника, подобие и конгруэнтность, логика, доказательства, триггеры, многоугольники , и круги.
www.letspracticegeometry.com/free-geometry-worksheets
Cut The Knot
Сайт, полный игр, головоломок, иллюстраций, диаграмм, парадоксов, иллюзий, математических пустяков — часто иллюстрированных интерактивными Java-апплетами. Вы можете многому научиться!
www.cut-the-knot.org
Алгебра реального мира Эдвард Заккаро
Алгебра часто преподается абстрактно, практически без акцента на том, что такое алгебра и как ее можно использовать для решения реальных задач.Подобно тому, как английский можно переводить на другие языки, текстовые задачи можно «переводить» на математический язык алгебры и легко решать. Алгебра реального мира объясняет этот процесс в удобном для понимания формате с использованием мультфильмов и рисунков. Это упрощает самообучение как для ученика, так и для любого учителя, который никогда не понимал алгебру. Включает главы по алгебре и деньгам, алгебре и геометрии, алгебре и физике, алгебре и рычагам и многому другому. Предназначен для детей 4–9 классов с более высокими математическими способностями и интересами, но может использоваться также учащимися старших классов и взрослыми.Содержит 22 главы с инструкциями и задачами трех уровней сложности.
=> Узнать больше
Universal Logic: Tutorial Marcelo E. Coniglio
Теория категорий (CT) — это раздел абстрактной алгебры, который подходит для формализации и связи различных теорий в математике и информатике. Уровень абстракции CT позволяет открывать новые отношения между различными теориями, показывая, что часто несколько математических построений являются примерами более общей концепции.Таким образом, CT — мощный инструмент концептуализации и соотнесения формальных теорий. Применение КТ в философии (в частности, в формальной онтологии) все еще находится в зачаточном состоянии, хотя и долгое время.
Из разработки Лавером теории функториальной семантики в 1963 году CT показывает, что это также важный инструмент формальной логики. В этих рамках теория логики соответствует категории, интерпретация — функтору, модель — функтору SET (категории множеств и функций), а гомоморфизм модели соответствует естественному преобразованию.
Введение Ловером и Тирни концепции (элементарных) топосов показывает, что компьютерная наука также играет важную роль в основах математики. Концепция топоса связывает понятия топологии, алгебраической геометрии и теории множеств вместе с интуиционистской логикой. Фиксированный топос можно рассматривать как заданную математическую область, в которой можно разрабатывать концепции и конструкции, используя ее внутреннюю логику: интуиционистскую теорию типов (высшего порядка).
