Как найти смешанное произведение векторов? Ответ на webmath.ru
Поможем решить контрольную, написать реферат, курсовую и диплом от 800р
Содержание:
- Формула
- Примеры вычисления смешанного произведения векторов
Формула
Для того чтобы найти смешанное произведение $(\bar{a}$, $\bar{b}$, $\bar{c})$ трех векторов, заданных своими координатами $\bar{a}=\left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}\right), b=\left(b_{x} ; b_{y} ; b_{z}\right)$ и $\bar{c}=\left(c_{x}, c_{y}, c_{z}\right)$ необходимо вычислить следующий определитель, где по строкам записаны координаты заданных векторов, то есть
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z}\end{array}\right|$$
Примеры вычисления смешанного произведения векторов
Пример
Задание. Вычислить смешанное произведение векторов $\bar{a}=(1 ; 3 ; 1)$, $\bar{b}=(2 ; 1 ; 3)$, и $\bar{c}=(3 ; 1 ; 2)$
Решение.
Для нахождения смешанного произведения заданных векторов воспользуемся формулой
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z}\end{array}\right|$$
Подставляя координаты заданных векторов, получим:
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right|$$
Определитель вычисляем по правилу треугольника:
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 1 & 2\end{array}\right|=1 \cdot 1 \cdot 2+3 \cdot 3 \cdot 3+2 \cdot 1 \cdot 1-$$ $$-1 \cdot 1 \cdot 3-3 \cdot 2 \cdot 2-3 \cdot 1 \cdot 1=2+27+2-3-12-3=13$$
Ответ. $(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=13$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Даны три вектора $\bar{a}=(1 ;-2 ; 3), \bar{b}=(3 ;-5 ; 6)$ и $\bar{c}=(5 ;-4 ; 1)$. Проверить, являются ли они компланарными, если нет,
определить левую или правую тройку они образуют.
Решение.
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{lll}a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z}\end{array}\right|$$
Подставляя координаты заданных векторов, получим
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ 3 & -5 & 6 \\ 5 & -4 & 1\end{array}\right|$$
Определитель вычисляем по правилу треугольника:
$$(\bar{a}, \bar{b}, \bar{c})=\left|\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ 3 & -5 & 6 \\ 5 & -4 & 1\end{array}\right|=1 \cdot(-5) \cdot 1+(-2) \cdot 5 \cdot 6+$$ $$+3 \cdot 3 \cdot(-4)-3 \cdot(-5) \cdot 5-3 \cdot(-2) \cdot 1-1 \cdot 6 \cdot(-4)=$$ $$-5-60-36+75+6+24=4 \neq 0$$
Смешанное произведение заданных векторов не равно нулю, следовательно, векторы некомпланарные. Так как смешанное
произведение положительно, то делаем вывод, что заданные векторы образуют правую тройку.
Ответ. Векторы некомпланарны и образуют правую тройку.
Читать дальше: как найти вектор коллинеарный вектору.
Лучший ответ по мнению автора | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||
|
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Посмотреть всех экспертов из раздела Учеба и наука > Математика
| Похожие вопросы |
из аэропорта на автовокзал через каждые три минуты отправляется автобус,который едет 1 час.
В ребусе КЕНГ+УРУ +2017 зашифрована сумма четырехзначного и трехзначного чисел, Разными буквами зашифрованы разные цифры,а одинаковыми — одинаковые.
Решено
В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, AB = 4, tg А=0.75 . Найдите АС.
Жан-Кристофор продолжает изучать русский язык. Он ищет числа, словесная запись которых состоит ровно из трех слов: ШЕСТЬ, ШЕСТЬДЕСЯТ, ТЫСЯЧ.
на рисунке изображен вид спереди, слева и сверху конструкции,сложенной из кубиков. Какое наибольшее количество кубиков может быть в такой конструкции. Приложения к вопросу 11182778
Пользуйтесь нашим приложением
370.527 Abc Стоковые иллюстрации, клипарт и векторные изображения Abc
Роскошные свадебные буквы алфавита шрифт и номер. типография элегантные классические надписи шрифты с засечками декоративная винтажная ретро-концепция. vector illustrationPREMIUM
Коллекция векторных рисованных иллюстраций предметов и предметов, связанных со школой, обратно в школу, первый день в школе. плоские цветные изолированные объекты на белом фоне. ПРЕМИУМ
Цветные буквы из геометрических фигур, декоративный шрифт для фантастического дизайна заголовков, линейный логотип и неоновые научно-фантастические надписи, векторный алфавит. ПРЕМИУМ
Анимация рта. произношение алфавита, положение губ при разговоре. выражение лица женщины, белые зубы и язык. мультяшные части лица и латинские или английские буквы. векторный логопедический наборPREMIUM
Векторный космический алфавит для детей. векторная иллюстрация алфавитной графики для детей с темой космического пространства. space kids, алфавит для детей.PREMIUM
Логотип состоит из 4 изогнутых запятых, которые повернуты так, что образуют букву. 3dPREMIUM
Английский алфавит в картинках — детская цветная буква h — векторная иллюстрацияPREMIUM
Алфавит пончиков. буквы и цифры шрифта сладкого пончика с глазурью. мультяшный запеченный и шоколадный глазурованный тип. десерт abc vector setPREMIUM
Значок начальной буквы p. эффект линии неонового света. знак символа линейной типографии. крупная первая буква шрифта. светящийся элемент неонового света. буква p светится 3d линией. кирпичная стена баннер. vectorPREMIUM
Автомобильный транспорт с английским алфавитом. азбука печати. cartoonPREMIUM
Дети детские азбуки буквы деревянные деревянные образовательные строительные блоки вектор на белом фонеPREMIUM
Шоколадный 3d шрифт, алфавит в мультяшном стиле, закругленные заглавные и строчные буквы от a до z и цифры от до 9, векторная иллюстрация 10epsPREMIUM
Декоративный детский алфавит в стиле смешного динозавра. творческий алфавит изолирован. vector illustrationPREMIUM
Милый английский ретро 3d алфавит бесшовные модели. векторная иллюстрация. заглавные красочные буквы для детской печати, школьная карнавальная вечеринка, типография, винтажный фон. ПРЕМИУМ
Анонимные цветные уголовные буквы, вырезанные из газет и журналов. ПРЕМИУМ
Учебный лист для детей, изучающих английский алфавит. почерк и кроссворд игра для запоминания слов. письмо аПРЕМИУМ
Рукописная тетрадь для детей. рабочие листы для изучения букв. книга деятельности для детей. образовательные страницы для дошкольников. письмо cPREMIUM
Письма на американском языке жестов пиксельный идеальный линейный набор иконок. настраиваемые символы тонкой линии. изолированные векторные иллюстрации. редактируемый штрих. montserrat полужирный шрифт, светлые шрифтыPREMIUM
Золотой шрифт в стиле ар-деко. роскошные декоративные геометрические буквы 1920-х годов, декоративные золотые цифры и векторный набор ретро-рамок. элегантный винтажный английский алфавит, цифры, знаки препинания, типографские символы. ПРЕМИУМ
Набор букв и цифр Баухауза. современная типография. ПРЕМИУМ
Нарисованные от руки мультяшные буквы и цифры алфавита с узором из шкуры тигра. векторная иллюстрацияPREMIUM
Декоративный алфавит в зверином стиле. креативный детский шрифт. отлично подходит для образования, домашнего декора. его можно использовать для забавных цитат на футболках, плакатов, открыток и детских модных принтов. векторная иллюстрацияПРЕМИУМ
Разноцветный алфавит или abc kid блокирует латинский шрифт в изометрическом стиле, от a до zPREMIUM
Милый мультфильм о простой саванне и лесных животных и плакат с английским алфавитом. векторная образовательная иллюстрация на белом фоне. PREMIUM
Векторная книжка-раскраска в стиле стимпанк для взрослых. механический буквенный алфавит из металлических шестерен и различных деталей на белом фоне. заглавная буква bPREMIUM
Креативный геометрический заглавный латинский шрифт. абстрактные буквы алфавита, изолированные на белом фоне. векторный знак, эмблема или икона. модные элементы дизайна.PREMIUM
Алфавитная буква а-яблоко упражнение с мультяшной словарной иллюстрацией, векторPREMIUM
Векторный графический алфавит в наборе a,b,c,d, с полинезийской татуировкой, этническим племенным стилем шрифтаPREMIUM
Глюк-алфавит. современный шрифт для социальных сетейPREMIUM
Дети детские буквы abc деревянные деревянные образовательные строительные блоки vectorPREMIUM
Концепция разноцветных чиселPREMIUM
Набор 1. заглавные буквы в стиле арабского письма. шаблоны для создания логотипов, монограмм, гербов. оформить текст в старом стиле. векторПРЕМИУМ
Пряничный алфавит. счастливого рождества и счастливого нового года фигурки украшены сахарной глазурью английские буквы, цифры, азбука домашнее сладкое традиционное печенье зимний праздник еда вектор изолированный наборPREMIUM
Мультяшный русский алфавит 3d стиль пузырьковый шрифт. прописные и строчные буквы, цифры, символы. русский текст: молоко. креативная этикетка для молочных продуктов, продуктового маркетинга. PREMIUM
Спортивный алфавит для гонок, спорта, заголовков о супергероях и логотипа автомобиля или спортзала. полужирные курсивные красные буквы с линией для динамического кино и плакатного текста. шрифт действия и быстрого стиля, современная векторная типография. ПРЕМИУМ
Назад к школьным буквам и цифрам. алфавит стиля детского образования. шрифт для мероприятий, рекламных акций, логотипов, баннеров, монограмм и плакатов. векторная типография дизайн.PREMIUM
Векторы алфавита и системы счисленияPREMIUM
Крупный план алфавитовPREMIUM
Дино алфавит вектор смешные комические буквы в мультяшном стиле. милая иллюстрация динозавра abc для детей, детская комната, плакат, открытка, вечеринка по случаю дня рождения, дизайн упаковочной бумаги, детские футболки. шрифт животных каракули.ПРЕМИУМ
Мультяшный детский векторный шрифт. Радужный веселый алфавит для обучения детей PREMIUM
Полный алфавит в готическом стиле. вектор. буквы и символы на черном фоне. каллиграфия и леттеринг. средневековые латинские буквы. отдельные буквы. элегантный шрифт для вашего проектаPREMIUM
Алфавит и набор цифр. рукописные белые буквы и знаки в винтажном стиле мелом на черном фоне. PREMIUM
Мультяшный детский шрифт. красочный комический алфавит для детей. милые детские пузырьковые буквы и цифры, глянцевые конфеты или желейные детские книжные надписи вектор. детский тип для мероприятий, акцийPREMIUM
Ручной алфавит и шрифт. полужирный, обычные и средние прописные буквы, альтернативные символы. творческий нарисованный от руки шрифт текстуры эскиза для дизайна, типографский. векторная иллюстрацияПРЕМИУМ
3d глянцевый розовый алфавит векторный набор.ПРЕМИУМ
Концепция разноцветных чиселПРЕМИУМ
Латинский алфавит в мультяшном стиле. рука рисовать алфавит с полосой и стилем горошек. милый красочный английский алфавит, забавный рисованный шрифт. ПРЕМИУМ
Дизайн алфавита в спортивном стиле с прописными и строчными буквами, цифрами и символами. ПРЕМИУМ
Школьный кириллический шрифт для детей. карандашный карандаш красочный алфавит. мультяшные буквы и цифры. рукописные, каракули. vectorPREMIUM
Желейные красочные алфавитыPREMIUM
Плакат ABC с милыми каракулями для детей, нарисованный от руки векторный мультфильм иллюстрацияPREMIUM
Алфавит золотые шары реалистичный вектор. надувные буквы abc из золотой металлической фольги для детских праздников, празднование дня рождения, набор блестящих шрифтов на белом фонеPREMIUM
Набор значков заглавных греческих букв. черные контуры на белом фоне. PREMIUM
Английский алфавит. векторный набор. яркий цветовой стиль. мультфильм азбука. забавный рисованный шрифт. цифры, строчные и прописные буквы.ПРЕМИУМ
Кривая линия из летящих букв. векторное украшение из разбросанных элементов. монохромный изолированный силуэт. концептуальная иллюстрация .. PREMIUM
Значки фирменного стиля письмо p бизнес-шаблоны. искусство и окружающая среда, декор и экология, украшения и шопинг. мир и сила, спорт и физика, пищевая и фотоиндустрия vectorPREMIUM
Мультяшный кириллический шрифт для детей. глянцевые буквы abc и цифры. бумага вырезана. раскрась красочный русский алфавит. vectorPREMIUM
Глючный шрифт, светящиеся векторные буквы алфавита, рифленые цифры и знаки препинания, выделенные на черном фоне. искаженный глючный эффект свечения заглавных букв abc, набор знаков в стиле ретроPREMIUM
Векторная книжка-раскраска в стиле стимпанк для взрослых. механический буквенный алфавит из металлических шестерен и различных деталей на белом фоне. заглавная буква бПРЕМИУМ
Детский учебный материал. рабочий лист для изучения алфавита. письмо a.PREMIUM
Детский учебный материал. рабочий лист для изучения цветов. коричневый цвет.PREMIUM
Алфавит и шрифт, нарисованные от руки. полужирный, обычные и средние прописные буквы, альтернативные символы. творческий нарисованный от руки шрифт текстуры эскиза для дизайна, типографский. векторная иллюстрацияPREMIUM
Дино алфавит. яркий красочный набор с нарисованными от руки мультяшными милыми динозаврами и буквенными композициями для детей и в качестве образовательных ресурсов. векторная иллюстрацияПРЕМИУМ
Симпатичный детский костюм для изучения алфавита. PREMIUM
Детский обучающий материал. рабочий лист для изучения алфавита. буква о. black and white.PREMIUM
Концепция разноцветных чиселPREMIUM
Концепция дизайна для детского образованияPREMIUM
Племенной этнический яркий алфавит и число, нарисованное вручную графическим шрифтом в африканском или индийском стиле, примитивный простой стилизованный дизайнPREMIUM
Набор милых мультяшных животных. дошкольный образовательный плакат. лев, тигр, слон, лягушка, альпака, рентген рыбы, бабочка, козаPREMIUM
Пиксельный ретро-шрифт для компьютерных игр, видео, веб-сайтов. 8-битные буквы, цифры и символы. PREMIUM
Набор черно-белых обучающих страниц онлайн для детей. научиться отслеживать буквы алфавита. печатный лист для детского учебника. развитие навыков письма. обратно в школу. тетрадь abc.PREMIUM
Счастливые дети учатся и учатсяPREMIUM
Учебные материалы для детей. рабочий лист для изучения алфавита. письмо c.PREMIUM
Написание писем. установить страницу отслеживания. лист практики. рабочий лист для детей. выучить алфавит. милые персонажи. векторная иллюстрация. мультяшный стиль.ПРЕМИУМ
Векторный бесшовный узор с заглавными буквами и нарисованными от руки начальными буквами на темном фоне. декоративный фон с буквами алфавита. подходит для обоев, оберточной бумаги или тканиPREMIUM
Алфавит динозавров. шрифт для печати динозавров детейPREMIUM
Концепция разноцветных чиселPREMIUM
Артикли, предлоги и амперсанды бесшовные модели. векторный шрифт и надпись монохромной бесконечной текстурой. элементы каллиграфии и английской грамматики внутри принта обоев, слов и буквPREMIUM
Летний набор векторов желтого алфавита. 3D реалистичное глянцевое лицо. декоративные буквы для баннера, обложки, дня рождения или юбилея, летнего праздника. PREMIUM
Забавный алфавит. векторная милая забавная азбука для детского альбома для вырезокPREMIUM
Счастливые дети учатся и учатсяPREMIUM
Мультфильм милый динозавр алфавит. дино шрифт с буквами и цифрами. детская векторная иллюстрация для футболок, открыток, плакатов, дней рождений, бумажного дизайна, детского и детского дизайнаПРЕМИУМ
Полноцветная рукописная кисть с буквами латинского алфавита. векторная иллюстрацияPREMIUM
Комиксный кириллический шрифт для детей. мультяшный красочный алфавит. забавные буквы и цифры. vectorPREMIUM
Маленькая девочка занимается образовательной деятельностью. PREMIUM
Рабочая тетрадь для детей. рабочие листы для изучения букв. книга деятельности для детей. образовательные страницы для дошкольников. буква a.PREMIUM
3d шрифт ледяного алфавита. застывшие буквы и цифры. векторный шрифт для вашего типографического дизайна. ПРЕМИУМ
Белый и оранжевый градиент современный полужирный курсивный текст 3d стилизованный алфавит шрифт векторная иллюстрацияPREMIUM
Счастливый ребенок читает книгу изучение знанийPREMIUM
Золотая коллекция шаров алфавит. реалистичные буквы из золотых шаров. векторный дизайн. изолированный дизайнPREMIUM
Заглавная буква s с абстрактным цветочным орнаментом в черно-белых тонах. дизайн, вдохновленный художественным стилем мандалы для окраски. изолированные на белом фонеPREMIUM
Дизайн шрифта в стиле комиксов, буквы алфавита и цифры векторная иллюстрацияPREMIUM
Полностью масштабируемый векторный иллюстрированный алфавит из деревянных досок, палок, веток и бревен на деревянном фоне.PREMIUM
Детская зона, игрушки, алфавитные блоки, cartoonPREMIUM
Концепция разноцветных чиселPREMIUM
Мультяшный английский алфавит. абв. забавный рисованный графический шрифт. заглавные буквы. дизайн типографского плаката, открытки. веселая современная векторная иллюстрацияPREMIUM
Концепция дизайна для детского образованияPREMIUM
Набор векторных иллюстраций хромированного и золотого автомобильного векторного знакаPREMIUM
Геометрический латинский шрифт, поп-арт, графический декоративный шрифт. ПРЕМИУМ
Всплеск алфавита, векторные буквы крови или слизи. рукописный каракули страшный шрифт. halloween party stylePREMIUM
Скалярное тройное произведение – формула, доказательство, свойства и часто задаваемые вопросы
Произведение трех векторов в математике относится к скалярному тройному произведению векторов. Скалярные величины выводятся из этой формулы и выражаются как (a x b).c. Точку и крестик в этой формуле можно поменять местами, то есть (a x b).c = a.(b x c). Цель этой статьи — научить студентов определению, формуле, свойствам и т. д. скалярного тройного произведения и векторного тройного произведения.
Доказательство скалярных тройных произведений
Используя формулу скалярного тройного произведения, мы объединяем векторное произведение двух векторов и скалярное произведение одного из векторов. Запишем ее так:
abc= (a x b).c
Эта формула указывает объем параллелепипеда с тремя смежными ребрами, например, a, b и c. С точки зрения объема, перекрестное произведение двух векторов (пусть векторы a и b) дает объем основания. В результате мы получаем перпендикулярное направление к обоим векторам. Вычисляя высоту вдоль направления результирующего перекрестного произведения, мы можем найти третий вектор (скажем, c).
Другими словами, площадь параллелограмма является произведением |a x b|, а направление вектора перпендикулярно основанию.
Высота обозначается |c| cos cos Ф, где Ф обозначает угол между a x b и c.
Диаграмма выше показывает, что направление вектора |a x b| перпендикулярна основанию диаграммы и обозначает высоту как |c| cos cos Ф.
Путем определения разложения векторных перекрестных произведений вычисление доказательства скалярного тройного произведения становится легкой задачей.
Пусть a = a\[_{1}\]\[\hat{i}\] + a\[_{2}\]\[\hat{j}\] + a\[_{ 3}\]\[\шляпа{k}\], b= b\[_{1}\]\[\шляпа{i}\] + b\[_{2}\]\[\шляпа{j }\] + b\[_{3}\]\[\шляпа{k}\], c = c\[_{1}\]\[\шляпа{i}\] + c\[_{2 }\]\[\шляпа{j}\] + c\[_{3}\]\[\шляпа{k}\]
Теперь (a x b) . c = \[\begin{vmatrix} \шляпа{i} & \шляпа{j} & \шляпа{k}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\
b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}\]. (c\[_{1}\] \[\шляпа{i}\] + c\[_{2}\]\[\шляпа{j}\] + c\[_{3}\]\[ \шляпа{к}\])
(а х б). c = \[\begin{vmatrix}\шляпа{i}.(c_{1} \шляпа{i} + c_{2}\шляпа{j} + c_{3}\шляпа{k}) & \шляпа{ j}. (c_ {1} \ шляпа {i} + c_ {2} \ шляпа {j} + c_ {3} \ шляпа {k}) & \ шляпа {k}. (c_ {1} \ шляпа {i} + c_ {2}\шляпа{j} + c_{3}\шляпа{k})\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3 } \end{vmatrix}\]
Из свойств скалярного произведения векторов:
\[\hat{i}\]. \[\шляпа{i}\] = \[\шляпа{j}\]. \[\шляпа{j}\] = \[\шляпа{к}\]. \[\hat{k}\] = 1 (cos 0 = 1)
Отсюда следует \[\hat{i}\]. (c\[_{1}\] \[\шляпа{i}\] + c\[_{2}\]\[\шляпа{j}\] + c\[_{3}\]\[ \шляпа{к}\]) = с\[_{1}\]
\[\шляпа{j}\]. (c\[_{1}\] \[\шляпа{i}\] + c\[_{2}\]\[\шляпа{j}\] + c\[_{3}\]\[ \шляпа{к}\]) = с\[_{2}\]
\[\шляпа{к}\]. (c\[_{1}\] \[\шляпа{i}\] + c\[_{2} \шляпа{j}\] + c\[_{3}\]\[\шляпа{k }\]) = с\[_{3}\]
(а х б) . c = \[\begin{vmatrix} c_{1} & c_{2} & c_{3}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}\]
(a x b) . c = \[\begin{vmatrix} c_{1} & c_{2} & c_{3}\\ a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{vmatrix}\]
Свойства скалярного тройного произведения
Скалярное тройное произведение является циклическим; то есть;
abc = bca = cab = -bac = -cba = -acb
Если векторы, взятые в определении скалярного тройного произведения, скажем, a, b и c циклически переставлены, то:
(a x b).c = a.(b x c)
Для любого k, принадлежащего действительному числу,
Ka kb kc = kabc
= a.(cxd)+b.(cxd)
= акд + двоично-десятичный код
Анализируя формулу скалярного тройного произведения, можно сделать некоторые выводы:
Скалярное тройное произведение всегда дает в качестве результата скалярные величины.
