1. Способы представления чисел в ЭВМ

1.2 Перевод чисел из одной системы счисления в другую

     Задача перевода чисел из одной СС в другую является одной из главных задач в КАР.

     Ее можно сформулировать следующим образом:

     1. Требуется перевести некоторое число Х, записанное в позиционной однородной СС с основание k₁ в такую же СС, имеющее основание k₂.

     2. По изображению операнда Х в СС с нованием k₁ найти Y того же операнда в СС с основанием k₂.

     Существует две группы методов перевода чисел:

• табличные;
• расчетные.

     При переводе чисел между системами счисления может использоваться, как арифметика исходной системы счисления, так и арифметика новой системы счисления. Если используется арифметика новой системы счисления, то работа по переводу числа осуществляется в соответсвии с формулой 1.1.

          «Расчётные методы»

     Перевод целых чисел

     Перевод из десятичной системы:

     Обычно для перевода числа из десятичной системы счисления в произволную позиционную систему счисления используется метод деления. Этот метод заключается в последовательном делении переводимого числа на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получится частное, у которого целая часть равна 0. Число в новой системе счисления записывается из остатков от последовательного деления, причем последний остаток будет старшей цифрой нового числа. Вычисления, осуществляемые по этому правилу, должны выполняться в исходной системе счисления. Для перевода числа N_исх с основанием исходной системы счисления в число с новым основанием системы счисления в данном случа используется метод деления.

• В начале,
• На i-ом шаге вычисляется _{и цифра}
• На первом шаге: Остаток Замечание:
• На k-ом шаге: Остаток
• На i-ом месте находится — остаток от деления

     Пример:

Таблица 1.1

     Перевод в десятичную систему:

     Метод умножения используется, в основном, для перевода числа в десятичную систему счисления. Этот метод заключается в сложении результатов произведений разрядов исходного числа на основание исходной системы счисления возведенное в степень соответствующую позиции данного разряда, вычисленных в десятичной системе счисления. Для перевода числа с основанием исходной системы счисления в число с новым основанием системы счисления в данном случае используется метод умножения.

• Используется следующая схема для представления чисел:

      Метод умножения:

• Необходимо n шагов для выполнения операции:
• На i-ом шаге:

     Пример:

Таблица 1.2

     Перевод чисел между системами счисления с основанием, которое является степенью двойки:

     Поскольку в настоящее время помимо двоичной системы счисления распространено использование только двух систем счисления с основанием, являющимся степенью двойки (8 и 16), то и примеры приводятся только для них:

      1. Перевод

                         —> Двоичное представление цифр в системах счисления

      Пример:      восьмеричная —> двоичная:

                                   3 двоичных цифры вместо 1 восьмеричной цифры

                    шестнадцатеричная —> двоичная:

                                   4 двоичных цифры вместо 1 шестнадцатеричной цифры

      Пример:

      2. Перевод

                         —> «сжатие» цифр

      Пример: 101 111 010 ₂ = 572 ₈

      3. Перевод

      Пример: восьмеричная —> шестнадцатеричная

     Поскольку точный перевод дробных чисел не всегда возможен, то искать результат следует в виде: где е «достаточно» мало.

     Перевод из десятичной системы.

     При переводе из десятичной системы дробных чисел используется метод умножения (в отличие от перевода целых чисел):

     Перевод осуществляется за k шагов, где k — требуемая точность.

     На i-ом шаге вычисляется

     Пример:

Таблица 1.3

     Перевод в десятичную систему.

     При переводе в десятичную систему дробных чисел используется метод деления (в отличие от перевода целых чисел). Перевод осуществляется за m-1 шагов:

     Пример:

          «Табличный метод»

     Табличный метод в простейшем случае предполагает хранение в памяти ЭВМ таблицы соответствий между всеми числами в СС с основаниями k

     Пример:

Таблица 1.4

     Достоинством метода является высокая скорость перевода.

alexxlab