Исследование зависимости момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс

Работа 10. определение момента инерции с помощью маятника обербека

         Цель работы — исследовать зависимость момента инерции крестовины с надетыми на нее грузиками от распределения массы относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Общие сведения

В основе эксперимента лежит основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

      (1)

где М — суммарный момент внешних сил, приложенных к телу относительно оси вращения; J — момент инерции тела относительно той же оси; e — угловое ускорение.

В динамике вращательного движения различают два понятия: момент силы относительно точки и момент силы относительно оси вращения.

Момент силы относительно точки О определяется как векторное произведение

,

где — сила, — радиус-вектор, проведенный из точки О, в точку приложения силы.

Момент силы относительно оси вращения есть проекция  на произвольную ось

z, которая проходит через точку О:

 .

Момент инерции тела  является мерой инертности тела при вращательном движении, подобно тому как масса тела является мерой инертности тела при поступательном движении. Момент  инерции  тела   зависит  от   распределения  массы  тела относительно оси вращения. Для вычисления момента инерции твердого тела относительно данной оси  разобьем мысленно тело на большое число весьма малых элементов — материальных точек (рис.1). Тогда момент инерции тела

или

,

где Dm_i — масса элемента; r_i — расстояние от элемента до оси вращения; r — плотность вещества в элементе объема dV, находящегося на расстоянии

r от оси вращения. Таким образом, задача нахождения момента инерции сводится к интегрированию.

Из формулы (1) следует, что угловое ускорение e вращающегося тела прямо пропорционально моменту внешних сил М и обратно пропорционально моменту инерции J. Следует подчеркнуть, что момент инерции не зависит ни от момента внешних сил М, ни от углового ускорения.

Маятник Обербека состоит из крестовины, на стержнях которой находятся грузы. Они могут перемещаться по стержням и закрепляться в нужном положении (см. рисунок  2 ). Крестовина с грузами насажена на вал, на котором укреплены два шкива различного радиуса. На шкив намотана нить, которая переброшена через блок. К ее концу привязана гирька, момент силы тяжести которой уравновешивает момент сил трения (вес этой гирьки в расчетах не учитывается).

К концу нити подвешивают груз массой m, под действием силы тяжести которого система приводится в движение. На груз действует сила тяжести P=mg и сила натяжения F, поэтому на основании второго закона Ньютона можно записать

      (2)

где g — ускорение свободного падения; а — ускорение, с которым движется груз.

Крестовина приходит во вращательное движение под действием момента силы натяжения

М = Fr

о ,          (3)

где r_о — радиус шкива.

13, 15 Момент инерции твердого тела.13.Теорема штейнера

Найдем сначала выражение для момента импульса твердого тела относительно оси вращения 00¹,

где и – масса и расстояние от оси вращения частицы твердого тела;

– ее угловая скорость.Обозначив величину, стоящую в круглых скобках через I получим:

где I – так называемый момент инерции твердого тела относительно оси 00¹:

Момент инерции твердого тела зависит от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной.

Вычисление момента инерции тела проводится по формуле:

где dm и dv – масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии R от интересующей нас оси z, – плотность тела в данной точке В некоторых случаях нахождения момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: Момент инерции I относительно произвольной оси равен моменту инерции относительно оси z, параллельной и проходящей через центр инерции С тела, плюс произведение массы тела

m на квадрат расстояния a между осями . Таким образом, если известен момент инерции I_с, например для стержня, то I относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец, равен

.

Моменты инерции некоторых однородных твердых тел относительно оси, проходящей через центр инерции тела, приводятся в специальных таблицах. Расчетом их займетесь на занятиях по решению задач. Для описания вращательного движения тела существенно значение его момента инерции. По определению момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частиц:

где m_i— масса i-й частицы тела, r_i — ее расстояние от заданного центра или оси. Для описания вращательного движения тела существенно значение его момента инерции. По определению момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции отдельных его частиц:

где m_i— масса i-й частицы тела, r_i — ее расстояние от заданного центра или оси.

Предположим, что масса выделенной частицы тела mi, расстояние от нее до начала координат (т. о) r

i, а координаты, соответственно, x_i,y_i,z_i (рис. 58).

Момент инерции относительно т. О по определению равен

(рис. 58)

а относительно координатных осей:

Сравнивая, получим связь момен­та инерции тела относительно начала координат с моментами инерции относительно координатных осей:

Если одним из размеров тела можно пренебречь по сравнению с двумя другими (плоское тело), эта связь запишется в виде

Теорема Штейнера гласит, что момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящий через центр масс тела и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Момент инерции. Из определения следует что, момент инерции – величина аддитивная. Момент инерции существует без относительного вращения тела. Поэтому любое покоящееся тело обладает определенным моементом инерции относительно выбранной оси, подобно как покоящееся тело обладает массой. Распределение массы в пределах вещества, можно охарактеризовать с помощью плотности вещества.

При описании распределения масс с помощью плотности вещества, момент инерции будет: . Вычисление момента инерции с помощью записанной ф-лы существенно упрощается, когда рассматриваемая ось является осью симметрии. В ином случае используют Т. Штейна. Т: Момент инерции I относительно проивзольной оси равен моменту инерции , относительно оси параллельной данной и проходящей через центр масс тела суммированного с проивзедением массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

ньютоновской механики. Почему распределение массы влияет на сопротивление давлению, известное как инерция?

спросил 1 год, 2 месяца назад

Изменено 1 месяц назад

Просмотрено 303 раза

$\begingroup$

Итак, я знаю, что масса распределения объекта влияет на инерцию. Но вопрос, который я задаю, ПОЧЕМУ. И наличие причудливых формул для меня на самом деле не является ответом на вопрос «ПОЧЕМУ?», а лишь подтверждает его. Итак, если у меня есть объект с концентрированной массой, почему для его толкания требуется больше усилий?

• ньютоновская механика
• масса
• инерция

$\endgroup$

3

$\begingroup$

Тенденция объекта сопротивляться изменениям в состоянии его движения зависит от массы. Масса — это величина, зависящая исключительно от инерции объекта. 2. Чем большей инерцией обладает объект, тем больше у него масса. 3.Инерция вращения также известна как момент инерции. Его вращательный аналог известен как вращательная инерция, когда массы находятся в линейном движении. 4. Момент инерции обеспечивает связь с динамикой вращательного движения. Можно рассчитать момент инерции относительно оси вращения частиц. В состоянии движения более массивный объект имеет большую склонность сопротивляться изменениям.

Учитывая, что объект состоит из n количество частиц, расстояние до каждой частицы равно r от его оси вращения. Формула момента инерции может быть представлена ​​в виде: я=∑mnr2n Где, мин – масса каждой частицы объекта, а rn — расстояние частицы от оси вращения. Расстояние каждой частицы от оси вращения зависит от формы и размера объекта. Поэтому, я∝м I∝r2 Таким образом, момент инерции объекта зависит от массы, оси вращения, формы и размеров тела. Примечание: Таким образом, другими словами, момент инерции известен как распределение массы частицы относительно оси вращения. .Распределение частицы от оси вращения также зависит от формы и размера объекта. Таким образом, момент инерции объекта зависит от массы тела, оси вращения, формы и размеров.

$\endgroup$

2

Зарегистрируйтесь или войдите в систему

Зарегистрируйтесь с помощью Google

Зарегистрироваться через Facebook

Зарегистрируйтесь, используя электронную почту и пароль

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Опубликовать как гость

Электронная почта

Требуется, но не отображается

Нажимая «Опубликовать свой ответ», вы соглашаетесь с нашими условиями обслуживания и подтверждаете, что прочитали и поняли нашу политику конфиденциальности и кодекс поведения.

Вращательная инерция – Физика BCIT 0312 Учебник

Глава 10 Вращательное движение и угловой момент

Резюме

• Поймите взаимосвязь между силой, массой и ускорением.
• Изучите вращающее действие силы.
• Изучите аналогию между силой и крутящим моментом, массой и моментом инерции, линейным ускорением и угловым ускорением.

Если вы когда-нибудь крутили велосипедное колесо или толкали карусель, вы знаете, что для изменения угловой скорости необходима сила, как показано на рис. 1. На самом деле ваша интуиция надежно предсказывает многие из задействованных факторов . Например, мы знаем, что дверь открывается медленно, если мы прислоняем ее слишком близко к петлям. Кроме того, мы знаем, что чем массивнее дверь, тем медленнее она открывается. Первый пример подразумевает, что чем дальше приложена сила от оси вращения, тем больше угловое ускорение; другое следствие состоит в том, что угловое ускорение обратно пропорционально массе. Эти отношения должны казаться очень похожими на знакомые отношения между силой, массой и ускорением, воплощенные во втором законе движения Ньютона. На самом деле существуют точные вращательные аналоги как силы, так и массы.

Рисунок 1. Для вращения велосипедного колеса требуется сила. Чем больше сила, тем больше угловое ускорение. Чем массивнее колесо, тем меньше угловое ускорение. Если надавить на спицу ближе к оси, угловое ускорение будет меньше.

Чтобы установить точное соотношение между силой, массой, радиусом и угловым ускорением, рассмотрим, что произойдет, если мы приложим силу[латекс]\boldsymbol{F}[/латекс]к точечной массе[латекс]\жирныйсимвол{м}[ /latex], который находится на расстоянии[latex]\boldsymbol{r}[/latex] от точки вращения, как показано на рисунке 2. Поскольку сила перпендикулярна [latex]\boldsymbol{r},[/latex] ускорение[латекс]\boldsymbol{a=\frac{F}{m}}[/latex]получено в направлении[латекс]\boldsymbol{F}.[/latex]Мы можем изменить это уравнение так, что[ латекс]\boldsymbol{F=ma}[/latex]а затем искать способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин. Заметим, что [латекс]\boldsymbol{a=r\omega},[/latex]и подставим это выражение в [латекс]\boldsymbol{F=ma},[/latex]получив 92}[/latex]называется вращательная инерция или момент инерции точки массы[latex]\boldsymbol{m}[/latex]расстояние[latex]\boldsymbol{r}[/latex]от центр вращения.

Рис. 2. Объект поддерживается горизонтальным столом без трения и прикреплен к точке поворота шнуром, создающим центростремительную силу. Сила F приложена к объекту перпендикулярно радиусу r , заставляя его ускоряться относительно точки вращения. Сила направлена ​​перпендикулярно р .

СОЕДИНЕНИЕ: ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Динамика вращательного движения полностью аналогична линейной или поступательной динамике. Динамика занимается силой и массой и их влиянием на движение. Для вращательного движения мы найдем прямые аналоги силы и массы, которые ведут себя именно так, как мы и ожидали, исходя из нашего предыдущего опыта.

Прежде чем мы сможем рассмотреть вращение чего-либо, кроме точечной массы, подобной той, что изображена на рис. 2, мы должны распространить идею инерции вращения на все типы объектов. Чтобы расширить наше понятие инерции вращения, мы определяем 92},[/latex],где[латекс]\boldsymbol{M}[/латекс]это его общая масса, а[латекс]\boldsymbol{R}[/латекс]его радиус. (Мы используем [латекс]\boldsymbol{M}[/латекс]и[латекс]\жирныйсимвол{R}[/латекс]для всего объекта, чтобы отличить их от [латекс]\жирныйсимвол{м}[/латекс]и[ латекс]\boldsymbol{r}[/латекс] для точечных масс.) Во всех остальных случаях мы должны обращаться к рисунку 3 (обратите внимание, что таблица представляет собой произведение искусства, в котором есть формы, а также формулы) для формул для [латекс]\ полужирный символ{I}[/latex], которые были получены в результате интегрирования по непрерывному телу. Обратите внимание, что [latex]\boldsymbol{I}[/latex] имеет единицы массы, умноженные на квадрат расстояния ([latex]\boldsymbol{\textbf{kg}\cdotp\textbf{m}^2}[/latex]), как мы могли бы ожидать от его определения.

Общее соотношение между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением составляет

.

[латекс] \boldsymbol{\textbf{net}\tau=I\alpha}[/латекс]

или

[латекс]\boldsymbol{\alpha\:=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{\textbf{net}\tau}{I}},[/latex]

, где net[latex]\boldsymbol{\tau}[/latex] — общий крутящий момент от всех сил относительно выбранной оси. Для простоты мы будем рассматривать только крутящие моменты, создаваемые силами в плоскости вращения. Такие крутящие моменты бывают положительными или отрицательными и складываются как обычные числа. Соотношение в [латекс]\boldsymbol{\tau=I\alpha},\:\boldsymbol{\alpha=\frac{\textbf{net}\tau}{I}}[/latex] является аналогом вращения Ньютона. второй закон и очень широко применимы. Это уравнение действительно справедливо для любой крутящий момент, приложенный к любому объекту относительно любой оси .

Как и следовало ожидать, чем больше крутящий момент, тем больше угловое ускорение. Например, чем сильнее ребенок толкает карусель, тем быстрее она разгоняется. Кроме того, чем массивнее карусель, тем медленнее она разгоняется при том же крутящем моменте. Основное соотношение между моментом инерции и угловым ускорением заключается в том, что чем больше момент инерции, тем меньше угловое ускорение. Но есть дополнительный нюанс. Момент инерции зависит не только от массы тела, но и от его распределение массы относительно оси, вокруг которой он вращается. Например, будет намного легче разогнать карусель, полную детей, если они будут стоять близко к ее оси, чем если все они будут стоять на внешнем краю. Масса одинакова в обоих случаях; но момент инерции намного больше, когда дети находятся на краю.

ЭКСПЕРИМЕНТ ДЛЯ ДОМА

Вырежьте круг радиусом около 10 см из плотного картона. Рядом с краем круга напишите числа от 1 до 12, как часы на циферблате. Расположите круг так, чтобы он мог свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр, как колесо. (Вы можете свободно прибить круг к стене.) Держите круг неподвижно и, расположив цифру 12 вверху, прикрепите кусок синей замазки (клейкий материал, используемый для крепления постеров к стенам) к цифре 3. Какого размера глыба должна быть, чтобы просто вращать круг? Опишите, как можно изменить момент инерции окружности. Как это изменение повлияет на количество синей замазки, необходимое под номером 3, чтобы просто повернуть круг? Измените момент инерции круга, а затем попробуйте повернуть круг, используя разное количество синей замазки. Повторите этот процесс несколько раз.

СТРАТЕГИЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИНАМИКИ ВРАЩЕНИЯ

1. Изучите ситуацию, чтобы определить, что крутящий момент и масса участвуют во вращении . Нарисуйте тщательный набросок ситуации.
2. Определить интересующую систему .
3. Нарисуйте диаграмму свободного тела . То есть нарисуйте и обозначьте все внешние силы, действующие на интересующую вас систему.
4. Применить [латекс]\boldsymbol{\textbf{net}\tau=I\alpha},\:\boldsymbol{\alpha=\frac{\textbf{net}\tau}{I}},[/latex ] вращательный эквивалент второго закона Ньютона, чтобы решить задачу . Необходимо соблюдать осторожность, чтобы использовать правильный момент инерции и учитывать крутящий момент вокруг точки вращения.
5. Как всегда, проверьте правильность решения .

ВЫПОЛНЕНИЕ СОЕДИНЕНИЙ

В статике чистый крутящий момент равен нулю, а угловое ускорение отсутствует. При вращательном движении чистый крутящий момент является причиной углового ускорения, точно так же, как во втором законе движения Ньютона для вращения.

Рисунок 3. Некоторые инерции вращения.

Пример 1. Расчет влияния распределения массы на карусель

Рассмотрим отца, толкающего игровую карусель на рис. 4. Он прикладывает силу 250 Н к краю карусели весом 50,0 кг. круговой, который имеет радиус 1,50 м. Вычислите угловое ускорение, создаваемое (а), когда на карусели никого нет, и (б), когда ребенок массой 18,0 кг сидит на расстоянии 1,25 м от центра. Считайте саму карусель однородным диском с пренебрежимо малым тормозящим трением.

Рис. 4. Отец толкает игровую карусель за ее край и перпендикулярно ее радиусу для достижения максимального крутящего момента.

Стратегия

Угловое ускорение задается непосредственно выражением [латекс]\boldsymbol{\alpha=\frac{\textbf{net}\tau}{I}}:[/latex]

[латекс]\boldsymbol {\alpha\:=}[/latex][latex]\boldsymbol{\frac{\tau}{I}}.[/latex]

Чтобы найти [латекс]\boldsymbol{\alpha},[/latex ] мы должны сначала вычислить крутящий момент[латекс]\boldsymbol{\tau}[/латекс](который одинаков в обоих случаях) и момент инерции[латекс]\жирныйсимвол{I}[/латекс](который больше в второй случай). Чтобы найти крутящий момент, заметим, что приложенная сила перпендикулярна радиусу, а трением можно пренебречь, так что 92}}.[/latex]

Решение для (b)

Мы ожидаем, что угловое ускорение системы будет меньше в этой части, потому что момент инерции больше, когда ребенок находится на карусели -круглый. Чтобы найти общий момент инерции[latex]\boldsymbol{I},[/latex]мы сначала находим момент инерции ребенка[latex]\boldsymbol{I _{\textbf{c}}}[/latex], рассматривая ребенок должен быть эквивалентен точечной массе на расстоянии 1,25 м от оси. 2}.[/латекс] 92}}.[/latex]

Обсуждение

Угловое ускорение меньше, когда ребенок находится на карусели, чем когда карусель пуста, как и ожидалось. Найденные угловые ускорения довольно велики, отчасти из-за того, что трение считалось пренебрежимо малым. Если, например, отец продолжал толкать перпендикулярно в течение 2,00 с, он придал бы карусели угловую скорость 13,3 рад/с, когда она пуста, и только 8,89 рад/с, когда на ней находится ребенок. В пересчете на обороты в секунду эти угловые скорости составляют 2,12 об/с и 1,41 об/с соответственно. В первом случае отец будет бежать со скоростью около 50 км/ч. Летние Олимпийские игры, вот и он! Подтверждение этих цифр оставлено читателю в качестве упражнения.

• Чем дальше приложена сила от оси вращения, тем больше угловое ускорение; угловое ускорение обратно пропорционально массе.
• Если мы воздействуем силой[латекс]\boldsymbol{F}[/латекс] на точечную массу[латекс]\boldsymbol{m}[/латекс], находящуюся на расстоянии[латекс]\жирныйсимвол{r}[/латекс ]от точки вращения и поскольку сила перпендикулярна[латекс]\boldsymbol{r},[/латекс]ускорение[латекс]\boldsymbol{a = F/m}[/латекс]получается в направлении[ латекс]\boldsymbol{F}. [/latex]Мы можем изменить это уравнение так, что

  [латекс]\boldsymbol{F = ma},[/латекс]

  , а затем искать способы связать это выражение с выражениями для вращательных величин. Заметим, что [latex]\boldsymbol{a = r\alpha},[/latex]и подставим это выражение в [latex]\boldsymbol{F=ma},[/latex]получив

  [латекс]\boldsymbol{F=г-н\альфа}[/латекс]

• Крутящий момент — это вращающая способность силы. В этом случае, поскольку [латекс]\boldsymbol{F}[/latex]перпендикулярен [латексу]\boldsymbol{r},[/latex]крутящий момент равен просто [латекс]\boldsymbol{\tau=rF}.[/ латекс] Если мы умножим обе части приведенного выше уравнения на [латекс]\boldsymbol{r},[/латекс] мы получим крутящий момент в левой части. То есть, 92}.[/латекс]

• Общая взаимосвязь между крутящим моментом, моментом инерции и угловым ускорением такова:

  [латекс]\boldsymbol{\tau=I\alpha}[/латекс]

  или

  [латекс]\boldsymbol{\alpha=}[/латекс][латекс]\boldsymbol{\frac{\textbf{net}\tau}{I}}[/latex]

крутящий момент

поворотная эффективность силы

инерция вращения

сопротивление изменению вращения.