• пружинные весы, предпочтительно грузоподъемностью 500 г и точностью 5-10 г, по одной на команду от 2 до 4 учеников; Охаус делает ту, которая хорошо подходит для этого упражнения; его можно приобрести у таких поставщиков, как Ward, примерно за 6
долларов.
• керамических кружек для кофе, по одной на команду из 2-4 студентов (пусть студенты приносят их из дома или покупают в благотворительных магазинах)
• ножницы (по одному на команду)
Лента
• (малярная или широкая прозрачная), один рулон на команду или один рулон для двух команд
• струна, около 30 см на команду
• несколько стандартных наборов гирь, от 50 до 200 г; в качестве альтернативы используйте большие металлические шайбы, связанные вместе, чтобы получился вес ~ 50, 100 и 200 г, или полиэтиленовые пакеты, наполненные монетами, песком, гравием, гвоздями или подобными предметами; две группы студентов могут использовать набор гирь, при необходимости

Больше подобной программы

Предварительные знания

Учащиеся должны иметь базовые знания о трении и о том, как его измерить с помощью кофейных кружек и пружинных весов, как это было сделано на предыдущем уроке «Обнаружение трения» и его деятельности, «Скольжение и заикание».

Введение / Мотивация

Поскольку учащиеся уже сформулировали гипотезы о влиянии веса на трение (в рамках соответствующего урока), дальнейшее введение в упражнение не требуется.

Напомните ученикам, однако, о важности контролирующих переменных в научных экспериментах. В этом случае вес — единственная переменная, которая меняется каждый раз, когда они тянут кофейные кружки по поверхности и измеряют результирующую силу трения.Другие переменные, такие как тип используемой поверхности, должны контролироваться, то есть не изменяться во время эксперимента.

Также отметьте, что, поскольку вес является предметом эксперимента, важен именно общий вес перемещаемого объекта. Если ученики начинают с пустой кофейной кружки, ее вес равен не нулю, а весу самой кружки. (Это легко определить, повесив кружку на пружинных весах.) Затем, каждый раз, когда они добавляют вес кружке, новый общий вес равен весу кружки плюс любой дополнительный вес, помещенный в кружку.Покажите учащимся доступные для них наборы весов, а затем дайте им возможность приступить к планированию и проведению своих экспериментов.

Процедура

Часть 1: Разработка эксперимента

Хотя учащиеся уже должны быть знакомы с основным методом измерения трения с использованием пружинных весов и кофейных кружек, им все равно нужно будет принять несколько решений, чтобы разработать эксперимент для проверки влияния веса на трение.Напишите на доске следующий список вопросов (или предоставьте их в виде раздаточного материала):

• Какой дополнительный вес вы будете использовать? Будете ли вы проверять только один дополнительный вес или несколько разных гирь?
• Какую поверхность вы будете использовать для перетаскивания кружки?
• Сколько испытаний вы сделаете?
• Будете ли вы измерять и записывать оба типа трения (статическое и кинетическое)?
• Как вы будете записывать свои данные?

Затем предложите учащимся собраться в своих группах, чтобы обсудить эти вопросы.Как только все члены группы согласны с ответами, и вы убедились, что ответы разумны, группа готова к проведению эксперимента.

Часть 2: Проведение эксперимента

Обеспечьте группы студентов материалами и направьте их на проведение экспериментов.

Часть 3: Анализ данных

Напомните студентам, что ученые обычно представляют результаты своих экспериментов в виде графиков. Попросите учащихся использовать свои данные для составления графиков, подобных тем, которые показаны в разделе «Предпосылки урока» и «Основные понятия для учителей» соответствующего урока.Затем попросите их написать абзац, описывающий, что их данные показывают о том, как вес влияет на трение.

Словарь / Определения

коэффициент трения: величина, полученная эмпирическим путем для пары поверхностей, равная измеренному трению, деленному на вес перемещаемого объекта.

трение: сопротивление движению, возникающее при контакте двух поверхностей друг с другом.

кинетическое трение: сопротивление движению, которое возникает, когда одна поверхность движется, скользя по другой поверхности.

статическое трение: сопротивление движению, которое необходимо преодолеть, чтобы позволить одной поверхности начать скольжение по другой поверхности.

Оценка

Используйте первые три исследовательских вопроса, чтобы проверить понимание процесса научного исследования, связанного с этим заданием.Также убедитесь, что учащиеся читают пружинные весы с разумной точностью и точно записывают свои данные.

По мере того, как учащиеся готовят свои графики, убедитесь, что они поместили зависимую переменную (силу трения) на ось y и независимую переменную (вес) на ось x. Убедитесь, что их графики также включают начало координат (0,0), метки осей (включая единицы измерения) и легенду, если и статическое, и кинетическое трение показаны на одном графике. Попросите учащихся проанализировать свои графики и определить взаимосвязь между силой трения и весом.В частности, обсудите, как изменяется зависимая переменная при изменении независимой переменной.

Вопросы для расследования

Пока студенты планируют свои эксперименты, задавайте такие вопросы, как:

• Почему рекомендуется проводить несколько испытаний в одном эксперименте? (Ответ: множественные испытания позволяют нам увидеть, получим ли мы согласованные результаты, которые могут указать, подходят ли наши экспериментальный план и / или методы измерения.Они также могут сообщить нам, могла ли возникнуть ошибка измерения, если мы получим один результат, который сильно отличается от других.)
• Почему лучше испытать несколько разных гирь вместо того, чтобы просто прибавлять один вес и сравнивать его трение с трением пустой чашки? (Ответ: поскольку еще не известно, каким будет влияние веса, протестировав несколько разных весов, мы можем увидеть, есть ли постоянная тенденция на основе количества добавленного веса.)
• Почему измерять и записывать статическое и кинетическое трение — это хорошая идея? (Ответ: Поскольку мы еще не знаем, что произойдет при изменении веса, мы не знаем, повлияет ли вес на статическое и кинетическое трение, или только на одно, или ни на что другое.Измерение обоих параметров дает нам более полное представление о том, как вес влияет на трение.)

Пока студенты проводят свои эксперименты, задавайте такие вопросы, как:

• Исходя из того, что вы видите, какое влияние вес оказывает на трение?
• На основании того, что вы уже знаете о трении и его причинах, как вы думаете, почему добавление веса имеет такой эффект?

Советы по поиску и устранению неисправностей

При необходимости напомните учащимся, что у пружинных весов есть ограничение на величину силы, которую они могут измерить (для этого упражнения рекомендуются весы с пределом 500 г).Если они поместят слишком много дополнительного веса в свои кружки, силы трения могут превысить грузоподъемность пружинных весов и даже повредить их. Ожидайте, что они смогут получить надежные результаты своих весовых экспериментов с добавленным весом от 50 до 250 граммов.

авторское право

Авторы

Программа поддержки

Благодарности

Этот контент был разработан программой MUSIC (Понимание математики через науку, интегрированную с учебным планом) в Pratt School of Engineering в Университете Дьюка в рамках гранта GK-12 Национального научного фонда.DGE 0338262. Однако это содержание не обязательно отражает политику NSF, и вам не следует предполагать, что оно одобрено федеральным правительством.

Это задание было первоначально опубликовано в измененной форме Центром обучения на основе запросов (CIBL) Университета Дьюка. Посетите http://ciblearning.org/, чтобы получить информацию о CIBL и других ресурсах для школьных учителей естественных наук и математики.

Последнее изменение: 13 октября 2021 г.

Сводка трения

РЕЗЮМЕ ТРЕНИЯ

Максимальная сила статического трения между двумя поверхностями. пропорциональна нормальной силе и в основном не зависит от площади контакт.Эта ситуация показана здесь: N = полная нормальная сила (сила, перпендикулярная горизонтальной поверхности), которая по существу вес объекта. Коэффициент в этом уравнении называется коэффициент трения покоя, который зависит от материала:

Следующий пример (который мы сделаем в классе) демонстрирует общее правило, что трение не зависит от общей площади контакта

Хотя их всего 5 символов, активны только три из них: Вы либо получите:

• квадратный блок массой = 100 грамм
• квадратный блок массой = 200 грамм
• прямоугольный блок массой = 200 грамм

Вы можете отрегулировать угол наклона.Четыре вектора, которые представляют гравитационную силу (красный), нормальную силу (синий), сила трения (зеленая), которая противодействует движению, и компонент гравитационной силы (белый), который пытается потянуть блок вниз. Вы можете отрегулировать угол так, чтобы зеленый вектор больше белого вектора и, следовательно, ничего не случится. После того, как вы установили угол, нажмите кнопку запуска и наблюдайте, как блок скользит вниз по склону, и смотрите как векторные силы немного меняются. Моделирование выполняется для 10 секунд; этого может быть недостаточно, чтобы блок полностью соскользнуть вниз.

Dependent Friction — обзор

3.3 Имитационная модель протектора

В этом разделе разработана методология, которая позволяет нам исследовать влияние элементов модели шины, которые невозможно было включить в аналитическую модель щетки, рассмотренную выше. Раздел 3.2. Примерами таких усложняющих свойств являются: произвольное распределение давления; коэффициент трения, зависящий от скорости и давления; свойства изотропной жесткости; комбинированное поперечное, продольное скольжение и скольжение при изгибе или повороте; податливость каркаса и ремня по бокам, изгибу и рысканию; и конечная ширина протектора при проскальзывании или изгибе поворота.

Метод основан на моделировании во времени истории деформации одного или нескольких элементов протектора при движении через зону контакта. Этот метод очень мощный и может использоваться как в стационарных, так и в изменяющихся во времени условиях. В последней нестационарной ситуации мы можем разделить длину контакта на несколько зон равной длины, в каждой из которых следует элемент протектора. В случае поворота или изгиба пятно контакта следует разделить на несколько параллельных рядов элементов.При перемещении по зонам силы, действующие на элементы, рассчитываются и интегрируются. После полного прохождения зоны интеграция создает силы зоны. Эти силы действуют на ремень, и рассчитывается соответствующая деформация. При обновленном прогибе ремня выполняется следующий проход по зонам и расчет повторяется.

Здесь мы ограничимся обсуждением стационарных условий скольжения и возьмем одну зону с длиной, равной длине контакта.В разделе 2.5 было дано вводное обсуждение и сделаны ссылки на ряд источников в литературе. Полный список программы моделирования TreadSim , написанной на коде Matlab, можно найти в онлайн (см. Приложение 2). За подробностями мы можем обратиться к этой программе.

На рисунке 3.33 изображена модель с прогнутым ремнем и элементом протектора, который переместился от передней кромки в определенное положение в зоне контакта. На рисунке 3.34 показан вектор отклонения элемента протектора e .Элемент протектора предполагается изотропным, таким образом, с равной жесткостью в направлении x- и y . Затем, когда элемент скользит, вектор скорости скольжения V _g , который имеет смысл, противоположный вектору силы трения q , направлен противоположно вектору отклонения e . На рисунке показан отклоненный элемент в конце двух последовательных временных шагов i -1 и i .Первая задача теперь состоит в том, чтобы найти выражение для смещения g кончика элемента при скольжении по земле.

РИСУНОК 3.33. Усовершенствованная модель с прогнутым каркасом и элементом протектора, идущим спереди назад.

РИСУНОК 3.34. Изотропный элемент протектора с прогибом e в двух последовательных положениях i -1 и i. Его базовая точка B движется со скоростью V _b , а его вершина P скользит со скоростью V _g .

Длина контакта разделена на интервалы n . На каждом временном шаге Δ t, базовая точка B перемещается по длине интервала назад. При заданной длине

(3,99) Δx = 2an

и линейной скорости прокатки V _r = r _e Ом, временной шаг Δ t получается

(3,100) Δt = ΔxVr

с вектором скорости V _b точки B, вектор смещения Δ с этой точки на временном шаге становится

(3.101) Δs = VbΔt

Базовая точка B перемещается по периферийной линии ремня или по линии, параллельной этой линии. С известной боковой координатой y _b этой линии базовых точек относительно центральной плоскости колеса можно оценить местный наклон ∂yb / ∂x. Затем со скоростью скольжения V _s точки скольжения S , скоростью рыскания линии пересечения ψ˙ и скоростью качения V _r , составляющими . V _b можно найти.

Скорость точки B может рассматриваться как скорость скольжения этой точки относительно земли, и мы можем использовать уравнения (2.55, 2.56) для ее оценки. В этих уравнениях в установившемся режиме производные по времени u и v обращаются в нуль, наклон ∂u / ∂x заменяется нулем, а для ∂v / ∂x мы берем градиент прогиба ремня, вызванный внешняя сила и момент. У нас есть в среднем положение x x _b = x + 0.5Δ x ,

(3.102) Vbx = Vsx − ybo (ψ˙ − Ωsinγ) −θcon, x (y) Vr + θγx (y) yboΩsinγ

и

(3.103) Vby = Vsy + xbψ˙− ∂yb∂xbVr

со скоростями скольжения и качения

(3,104) Vsx = −Vcxκ, Vr = reΩ = Vcx − Vsx, Vsy = −Vcxtanα

Боковое смещение y _b ленты на Контакт-центр объясняется выпуклостью, конусностью и боковой внешней силой (через боковую податливость каркаса). Градиент ∂yb / ∂xb можно приблизительно оценить, приняв параболическую базовую линию y _b ( x _b ), демонстрирующую средний наклон c _s , на который влияет момент выравнивания (через рыскание). податливость) и сгибание слоев, а также кривизна c _c под влиянием боковой силы (через жесткость на изгиб), а также изгиба и конусности (см.(3.56)). Для боковой координаты имеем

(3.105) yb = −a22re (1 − ɛγy) (γcon + sinγ) + Fyclat + csxb + 12ccxb2 ± brow

, а для его приближения, использованного в (3.102),

(3.106) ybo = ± brow

и наклон:

(3.107) ∂yb∂xb = cs + ccxb = Mz′cyaw − xbFycbend + xbresinγ + θy (xb, yb)

Conicity и ply-steer будут здесь интерпретируется как вызванная «встроенными» углами развала и скольжения. Эти эквивалентные углы развала и скольжения γ _con и α _ply вводятся в выражения для величин θ .Определим

(3.108) θγx (yb) = — ɛγy, θcon, x (yb) = — ybre (1 − ɛγx) γcon

и

(3.109) θy (xb, yb) = — ɛγyxbresinγ + (1 −ɛγy) xbreγcon + αply

Коэффициенты ɛ _γx и ɛ _γy можно принять равными друг другу. Первый член смещения (3.105) — всего лишь предположение. Он представляет собой боковое смещение базовой линии в контактном центре, когда шина прижимается к поверхности без трения при наличии конусности и изгиба.В этих условиях смещения на передней и задней кромках контакта считаются равными нулю. Приближение y _{b o} (3.106) используется в (3.102), чтобы избежать видимых изменений эффективного радиуса качения при изгибе. Фактическая поперечная координата y _b (3.105) плюс член y _rγ используется для вычисления центрирующего момента. С помощью этого дополнительного члена учитывается боковое смещение F _x из-за бокового качения при изгибе шины.Имеем y _{b, eff} = y _b + y _rγ с y _rγ = ɛ _yrγ b sin γ с верхним пределом его величины. равно b . Момент Mz ‘вызывает скручивание пятна контакта, и предполагается, что он действует вокруг точки ближе к его центру, как показано на рисунке 3.19. Для этого используется редукционный параметр ɛy ′. Могут быть внесены дополнительные уточнения для лучшего приближения формы базовой линии, особенно вблизи передней и задней кромок (изгиб назад).

Установив вектор смещения Δ s (3.101), мы можем получить изменение отклонения e за один временной шаг. Сохраняя направления движения точек B и P на рисунке 3.34 постоянными в течение временного шага, получается приблизительное выражение для нового вектора отклонения. После того, как базовая точка B переместилась согласно вектору Δ s, , мы имеем

(3.110) ei = ei − 1 + gi − Δsiwithgi = −giei − 1ei − 1

Здесь e _{i −1} обозначает абсолютное значение прогиба, а g _i — расстояние P, скользнул в направлении — e _{i −1} . В случае адгезии расстояние скольжения g _i = 0. Когда наконечник скользит, отклонение становится равным

(3.111) ei = μiqz, icp

Из (3.110) приближенное выражение для g _i можно установить, учитывая, что g мало относительно прогиба e .Получаем

(3.112) gi = 12ei − 1 (ex, i − 1 − Δsx, i) 2+ (ey, i − 1 − Δsy, i) 2 − ei2ex, i − 1 (ex, i − 1− Δsx, i) + ey, i − 1 (ey, i − 1 − Δsy, i)

, в которое нужно подставить выражение (3.111). Если значение g _i положительное, скольжение сохраняется. В противном случае начинается адгезия. В случае скольжения компоненты прогиба могут быть найдены из (3.110) с использованием (3.112). Тогда вектор силы на единицу длины равен

(3,113) qi = μiqz, ieiei

Если происходит прилипание, g _i = 0 и с (3.110) прогиб снова определяется. Сила на единицу длины теперь составляет

(3,114) qi = cpei

Как только условие сцепления

(3,115) qi = | qi | ≤μiqz, i

нарушается, начинается скольжение. Расстояние скольжения g _i рассчитывается снова, и его знак проверяется до тех пор, пока сцепление не появится снова.

В (3.113) появляется коэффициент трения. Эта величина может быть выражена как функция скорости скольжения кончика элемента по земле.Однако на данном этапе расчета эта скорость недоступна. Посредством итераций мы сможем оценить скорость скольжения в рассматриваемой позиции. Вместо этого мы примем приближение и используем скорость базовой точки (3.102, 3.103) для определения текущего значения коэффициента трения. Следующая функциональная зависимость может использоваться для коэффициента трения в зависимости от величины приблизительной скорости скольжения V _b :

(3.116) μ = μ01 + aμVb

При прохождении элемента через зону контакта силы Δ F _i вычисляются путем умножения q _i на деталь длины контакта Δ x , покрытой за временной шаг Δ t .

Затем составляющие полной силы и центрирующий момент находятся путем сложения всех вкладов Δ F _xi , Δ F _yi и x _bi Δ F _yi — y _{bi , eff} Δ F _xi соответственно.Коррекция плеча момента может быть введена для учета бокового качения поперечного сечения шины при изгибе и отклонении (вызывая поперечное смещение точки действия результирующей нормальной нагрузки F _z и аналогично продольной усилие F _x ). Кроме того, противодействие продольному отклонению u _c может вносить вклад в этот поправочный коэффициент (см. Уравнение (3.51)).

Для получения подробной информации и возможного применения модели, мы отсылаем к полному листингу программы Matlab TreadSim , представленному в Интернете.

В дальнейшем был представлен ряд примеров результатов использования имитационной модели протектора. Были исследованы следующие случаи:

1.

Коэффициент трения, зависящий от скорости скольжения (жесткий каркас, но включен параметр c уравнения (3.52)) (рисунок 3.35a).

РИСУНОК 3.35 (а). Характеристики рассчитаны с помощью имитационной модели протектора.

2.

Гибкий каркас, без изгиба и с изгибом (рисунок 3.35б).

3.

Конечная ширина протектора (два ряда элементов протектора, гибкий каркас), с изгибом и без него (Рисунок 3.35c).

4.

Комбинированное поперечное и поворотное скольжение (два ряда, гибкий каркас) (рисунок 3.35d).

5.

Пневматический след при чисто боковом скольжении (гибкий и жесткий каркас) (рисунок 3.36).

РИСУНОК 3.36. Пневматическое изменение следа, рассчитанное с помощью имитационной модели протектора.

Расчеты проводились с набором значений параметров, перечисленных в таблице 3.1.

ТАБЛИЦА 3.1. Значения параметров, используемые в модели имитации протектора (рисунки 3.35–3.37)

В случае «жесткого» каркаса параметр c (= 0,01 м / кН), уравнение (3.52), используется в то время как c _широта , c _изгиб , c _{рыскание} → ∞.Как указано, величины c _p и θ следуют из параметров модели.

Графики нижней половины рисунка 3.35a относительно верхней половины демонстрируют наиболее заметный эффект a при уменьшении скорости скольжения коэффициента трения. При a _μ = 0,03 боковая сила F _y демонстрирует четкий пик при угле скольжения около семи градусов, когда колесо вращается свободно ( κ = 0). Кроме того, продольная сила F _x имеет тенденцию к уменьшению после достижения своего пикового значения.Внутренние окончания кривых при постоянных значениях угла скольжения, показанные на нижнем графике, типичны, особенно для шины, движущейся по мокрому дорожному покрытию. Сами пиковые значения уменьшаются при увеличении скорости движения (не показано), в то время как начальные уклоны (жесткость скольжения) остаются неизменными. Изменение знака центрирующего момента в тормозном диапазоне его диаграммы происходит из-за сохраненного параметра c , который производит эффект гибкого каркаса согласно уравнениям (3.51, 3.52). Ожидаемое изменение знака кривой выравнивающего крутящего момента при чистом боковом скольжении на более высоких уровнях бокового скольжения не происходит из-за ограничения оценки скорости скольжения, для которой берется скорость точки ремня (здесь жесткая). . На рис. 3.35b, когда каркас считается гибким, это изменение знака действительно проявляется, как показано на верхнем правом рисунке.

Более важным эффектом гибкого каркаса, представленного на рис. 3.35b, является снижение жесткости на поворотах, в то время как жесткость продольного скольжения остается прежней.Более низкое значение F _y при α = 2 ° на диаграмме F _y vs F _x наглядно демонстрирует этот эффект (кривые становятся менее искривленными). Однако центрирующий момент не так сильно влияет. Это происходит из-за большего пневматического следа, который является результатом изогнутой линии прогиба ремня. На рис. 3.36 показана диаграмма пневматического следа для модели с податливостью каркаса и без (количество рядов не влияет в случае нулевого отжима).Как и ожидалось, модель простой щетки с жестким каркасом имеет след 0,33 a , когда угол скольжения приближается к нулю. Рассматриваемая модель гибкого каркаса имеет пневматический след примерно 0,46 a . См. Рисунок 3.38 для диаграммы отклонения.

РИСУНОК 3.38. Примеры диаграмм прогиба при различных комбинациях скольжения для однорядной модели с жестким и гибким каркасом.

Влияние на кривые введения относительно большого угла развала 10 ° показано в нижней половине рисунка 3.35b. Эффект наиболее наглядно демонстрируется на нижнем левом графике. Развал тяги сопровождается боковым прогибом, вызывающим смещение линии действия продольной силы. Результирующий крутящий момент имеет тенденцию вращать нижнюю часть ремня вокруг вертикальной оси, что теперь может быть достигнуто за счет податливости каркаса относительно рыскания. При торможении вращение таково, что возникает кажущийся угол скольжения, увеличивающий боковую силу развала. Во время движения происходит обратное. В результате кривые постоянного угла скольжения, нанесенные на диаграмму, показывают наклон.Соответствующая диаграмма влияния κ на F _y показывает искаженные кривые по сравнению с кривыми на рисунке 3.11. Перевернутая форма кривых S при малом угле скольжения является особенностью, которая обычно встречается при измерении характеристик. Диаграмма центровочного крутящего момента (нижний правый рисунок) значительно изменилась в результате действия крутящего момента, упомянутого выше, который исходит из F _x .

На рисунке 3.35в демонстрируется эффект конечной ширины пятна контакта. Рассмотрены два ряда элементов протектора. При угле развала 10 ° создается крутящий момент, который, кажется, поворачивает нижнюю часть ремня таким образом, что возникает кажущийся угол скольжения, увеличивающий усилие развала. На верхнем левом графике показано увеличение боковой силы. На правой диаграмме показано значительное увеличение центрирующего крутящего момента в результате крутящего момента в диапазоне небольшой продольной силы F _x .

Две диаграммы во втором ряду демонстрируют влияние ширины протектора, гибкости каркаса и уменьшения трения со скоростью на характеристики боковой силы и момента в зависимости от угла скольжения для серии углов развала. Графики можно сравнить с графиками на рис. 3.28. Нижняя половина рисунка 3.35c относится к случаю без изгиба и может быть сравнена с графиками верхней половины рисунка 3.35b, которые не включают влияние ширины протектора.

На рис. 3.35d представлены силовые и моментные характеристики для ряда уровней проскальзывания витков, включая большие значения вращения, соответствующие радиусу кривизны, равному a /0.8. Цифры во втором ряду относятся к случаю постоянного трения ( a _μ = 0) и могут быть сопоставлены с рисунками 3.31, 3.32. Интересным эффектом ширины протектора является дальнейшее уменьшение боковой силы на более высоких уровнях проскальзывания при повороте из-за продольного проскальзывания, которое происходит с обеих сторон пятна контакта, что потребляет много доступных сил трения. Конечно, момент центровки теперь значительно больше. Третий ряд диаграмм представляет крутящую силу и моментные характеристики на различных уровнях бокового скольжения.На рис. 3.37 характеристики чистого вращения были нарисованы для модели с жестким каркасом, снабженным одним рядом элементов протектора (такие же, как на рис. 3.25), и с двумя рядами, рассчитанными с помощью имитационной модели протектора. Сравнение ясно показывает значительное снижение пикового бокового усилия и гораздо больший уровень центрирующего момента, вызванный конечной шириной протектора. Влияние гибкости каркаса оказывается очень небольшим как по силе, так и на данный момент.

РИСУНОК 3.37. Чистые характеристики проскальзывания при повороте в соответствии с моделью (левый, жесткий каркас с одним или двумя рядами элементов) и результаты экспериментов с диагональной грузовой шиной (справа, 9,00–20 eHD, p _i = 5,5 бар, V = 1–3 км / ч на сухой дороге, из Freudenstein 1961). Параметры модели: θ = 5, a _μ = 0 и b _ряд = 0,5 a .

Эти результаты показывают, что теория единственной строки развивалась в разделе 3.2 также для высокой скорости вращения в сочетании с боковым скольжением имеет лишь ограниченное практическое значение. Влияние небольшого вращения, то есть изгиба, на характеристику боковой силы в зависимости от угла скольжения, рассчитанную с помощью простой однорядной модели жесткой каркасной щетки, можно считать разумным.

Freudenstein (1961) провел эксперименты с боковым скольжением и поворотами с диагональной шиной грузовика на сухой дороге. Результаты измерения бокового скольжения этой шины уже были показаны на Рисунке 3.6. На правой диаграмме рисунка 3.37 представлены результаты токарных экспериментов. В качестве абсцисс использовались радиус и кривизна траектории. Очевидно, что расчетные характеристики двухрядной модели показывают хорошее качественное согласие с экспериментальными кривыми. Для значений a = 0,1 м, мкФ _z = 20000 Н и θ = 8, очень разумное также количественное соответствие как для силовых, так и для моментных характеристик на Рисунке 3.37 можно получить. Фройденштейн предлагает следующую формулу для максимального момента, генерируемого при чистом повороте со скоростью вращения колеса V = 0:

(3,117) | Mz, max | = Mzφ∞≈38μFz (a + 23b)

Поскольку Фройденштейн не указал Характеристики развала грузовых шин, на которых измерялось поведение при повороте, мы не можем сравнить реакцию на развал и поворот. Согласно Хадекелю (1952), для авиационных шин поперечная сила из-за поворота примерно в четыре раза выше, чем сила изгиба при равных значениях вращения.Из экспериментов, проведенных Хигучи (1997), для автомобильной шины с радиальным кордом можно вывести коэффициент примерно два (см. Обсуждение в главе 7 выше, рис. 7.11). Это подтверждает теорию уменьшенной кривизны периферийной линии изогнутой шины, прижатой к поверхности без трения из-за высокой жесткости на боковой изгиб протекторного браслета, как показано на рисунке 2.10, и соответствующего коэффициента ɛ _γ дюйм Уравнение (3.55). Программа TreadSim также предоставляет информацию о распределении контактных сил и прогибах ремня и элементов протектора.Некоторые примеры деформации показаны на рисунках 3.38 и 3.39. На рис. 3.38 показаны отклонения модели однорядной щетки, а также модели с поперечным смещением каркаса, рысканием и изгибом. Как указано, масштаб чертежа был выбран больше в поперечном направлении. На двух средних диаграммах показано влияние развала и поворота на боковые прогибы и проскальзывание тормозов. Токарная обработка рассматривалась с исключительно малым радиусом поворота R , равным и , что составляет половину длины контакта.Можно отметить центральную часть, где происходит слипание. Последняя ситуация также имеет место со средним рядом элементов протектора модели трехрядной щетки, изображенной на Рисунке 3.39. На этом чертеже масштабы такие же. Очевидно, что шина создает продольные прогибы внешних рядов элементов, которые вносят вклад в крутящий момент.

РИСУНОК 3.39. Прогибы элементов протектора и ремня для трехрядной модели при боковом скольжении и поворотах.

Усилие

Как рассчитать ускорение с учетом трения

Обновлено 5 декабря 2020 г.

Крис Дезил

Как сила, которая противодействует движению, трение всегда снижает ускорение. Трение возникает между взаимодействием объекта с поверхностью. Его величина зависит от характеристик поверхности и объекта, а также от того, движется объект или нет.Трение может быть результатом взаимодействия двух твердых объектов, но не обязательно. Сопротивление воздуха — это тип силы трения, и вы даже можете рассматривать взаимодействие твердого тела, движущегося по воде или сквозь воду, как фрикционное взаимодействие.

TL; DR (слишком долго; не читал)

Сила трения зависит от массы объекта плюс коэффициент трения скольжения между объектом и поверхностью, по которой он скользит. Вычтите эту силу из приложенной силы, чтобы найти ускорение объекта.

Как рассчитать силу трения

Сила — это векторная величина, что означает, что вы должны учитывать направление, в котором она действует. Существует два основных типа сил трения: статическая сила (F _st ) и сила скольжения (F _sl ). Несмотря на то, что они действуют в направлении, противоположном направлению движения объекта, нормальная сила (F _N ) создает эти силы, которые действуют перпендикулярно направлению движения. F _N равен весу объекта плюс любые дополнительные веса.Например, если вы надавите на деревянный брусок на столе, вы увеличите нормальную силу и, таким образом, увеличите силу трения.

Как статическое трение, так и трение скольжения зависят от характеристик движущегося тела и поверхности, по которой оно движется. Эти характеристики выражаются в коэффициентах статического (µ _st ) и скользящего (µ _sl ) трения. Эти коэффициенты безразмерны и сведены в таблицу для многих обычных предметов и поверхностей. Как только вы найдете тот, который применим в вашей ситуации, вы рассчитываете силы трения, используя следующие уравнения:

F_ {st} \ leq \ mu_ {st} F_N \\\ text {} \\ F_ {sl} = \ mu_ { sl} F_N

Расчет ускорения

Второй закон Ньютона гласит, что ускорение объекта (a) пропорционально силе (F), приложенной к нему, а коэффициент пропорциональности — это масса объекта (m).Если вас интересует ускорение, измените уравнение следующим образом:

a = \ frac {F} {m}

Сила — это векторная величина, что означает, что вы должны учитывать направление, в котором она действует. Существует два основных типа сил трения: статическая сила (F _st ) и сила скольжения (F _sl ). Несмотря на то, что они действуют в направлении, противоположном направлению движения объекта, нормальная сила (F _N ) создает эти силы, которые действуют перпендикулярно направлению движения.F _N равен весу объекта плюс любые дополнительные веса. Например, если вы надавите на деревянный брусок на столе, вы увеличите нормальную силу и, таким образом, увеличите силу трения.

Полная сила (F) на предмете, подверженном трению, равна сумме приложенной силы (F _{, приложение} ) и силы трения (F _fr ). Но поскольку сила трения противодействует движению, она отрицательна по отношению к прямой силе, поэтому:

F = F_ {app} -F_ {fr}

Сила трения является произведением коэффициента трения и нормальной силы, которая при отсутствии дополнительных усилий, направленных вниз. — это вес объекта.Вес (w) определяется как масса (м) объекта, умноженная на силу тяжести (г):

F_N = w = mg

Теперь вы готовы рассчитать ускорение объекта массой (м). подвержен приложенной силе F _{приложение} и силе трения. Поскольку объект движется, вы используете коэффициент трения скольжения, чтобы получить этот результат:

a = \ frac {F_ {app} — \ mu_ {sl} mg} {m}

Сила, давление и трение на EPI Inc.

Краткий обзор основ

ПРИМЕЧАНИЕ: Все наши продукты, конструкции и услуги ЯВЛЯЮТСЯ ОРГАНИЧЕСКИМИ, БЕЗ ГЛЮТЕНА, НЕ СОДЕРЖАТ ГМО и не нарушат чьи-либо драгоценные ЧУВСТВА.

СИЛА

A FORCE можно определить как « Толчок или притяжение объекта». СИЛА (толкающая или тянущая) может возникать в результате контакта между двумя объектами или в результате влияния, при котором контакт не происходит, например, магнетизма или гравитации. СИЛА может вызвать изменение движения объекта. Если на объект не действуют другие толчки и / или тяги, которые в совокупности образуют равное и противоположное противодействующее действие, то СИЛА изменит движение объекта, к которому она применяется.

Сила — это векторная величина, что означает, что она имеет величину и в направлении .Силы иногда описываются только с точки зрения величины, и во многих из этих случаев направление очевидно.

Сэр Исаак Ньютон, английский математик 17 века, сформулировал серию наблюдений об основном поведении сил на объектах. Эти наблюдения стали известны как «законы движения Ньютона» и являются фундаментальными для изучения сил, действующих на объекты. Их:

1. Каждый объект продолжает находиться в состоянии покоя или равномерного движения до тех пор, пока сила не заставит его изменить свое состояние покоя или движения.
2. Изменение движения объекта пропорционально чистой величине комбинации приложенных сил и происходит вдоль прямой линии, на которой действует комбинация приложенных сил (иногда указывается как: F = MA или сила = масса x ускорение).
3. На каждое действие есть равная и противоположная реакция. Другими словами, когда два объекта действуют друг на друга, силы равны по величине, противоположны по направлению и коллинеарны.

Уравнение «F = MA» является упрощением второго закона Ньютона, но имеет исключительное значение.Это означает, что сила, необходимая для ускорения объекта, равна массе объекта, умноженной на желаемое ускорение . Это простое уравнение составляет основу для определения нагрузок, прилагаемых к объектам в результате движения («динамики»).

Другой распространенный пример второго закона Ньютона — расчет силы, необходимой для поднятия объекта (его веса). Вес объекта — это ускорение свободного падения (среднее значение на Земле 32,2 фута в секунду в секунду; совсем по-другому на других планетах) умножить на массу объекта.

ДАВЛЕНИЕ

A ДАВЛЕНИЕ является результатом приложения СИЛЫ к определенной площади поперечного сечения и определяется как СИЛА на единицу ПЛОЩАДИ, как в ФУНТАХ на КВАДРАТНЫЙ ДЮЙМ. Например, если нисходящая СИЛА в 1000 фунтов равномерно приложена к квадратной стальной пластине размером 2 на 2 дюйма (4 квадратных дюйма площади), то ДАВЛЕНИЕ, приложенное к этому блоку (Сила на единицу ПЛОЩАДИ), определяется как деление СИЛЫ (1000 фунтов) на ПЛОЩАДЬ (4 квадратных дюйма), которая составляет 250 фунтов на квадратный дюйм («psi») .

Если бы то же самое 1000 фунтов СИЛЫ было применено к пластине размером 2 «x 4» (8 квадратных дюймов), то ДАВЛЕНИЕ было бы уменьшено до 125 фунтов на квадратный дюйм, потому что площадь пластины удвоилась. Такая же сила применяется к большей площади, что приводит к НИЖНЕЙ силе на единицу площади.

Если пойти дальше, предположим, что у вас есть гидроцилиндр с поршнем диаметром 1/2 дюйма. Площадь этого поршня = диаметр x диаметр x 0,785, или, в данном случае, 0,5 x 0,5 x 0,785 = 0.196 квадратных дюймов. Теперь, если вы приложите 1000 фунтов к штоку этого цилиндра, 1000-фунтовая СИЛА будет приложена штоком к поршню, который действует против масла в цилиндре, создавая в масле давление 5102 (1000 / 0,196 = 5102 ) фунтов на кв. Дюйм . Если это масло направить через какой-либо трубопровод к другому гидроцилиндру, имеющему поршень диаметром 2,5 дюйма, то давление 5102 фунтов на квадратный дюйм будет применено к поршню 4,91 квадратного дюйма (2,5 x 2,5 x 0,785 = 4,91) и приведет к На конце штока этого цилиндра имеется сила 25 050 фунтов.

ТРЕНИЕ

ТРЕНИЕ — особенно интересный пример силы. Это сопротивление движению, возникающее, когда одно тело движется по другому. Трение обычно определяется как «сила, которая действует между двумя телами на поверхности их контакта, чтобы противодействовать их скольжению друг по другу» .

Предположим, что металлический блок весом 40 фунтов стоит на плоской горизонтальной поверхности стола. Если с помощью точной шкалы натяжения вы приложите к блоку небольшую горизонтальную силу, блок не переместится.Теперь предположим, что вы увеличиваете горизонтальную силу до тех пор, пока блок не переместится, и вы заметите, что значение силы составляет 8 фунтов.

Теперь у вас достаточно данных для расчета важного параметра трения, известного как коэффициент трения (μ), который определяет характер сопротивления движению, которое эти два тела оказывают друг на друга. Значение коэффициента трения (м) — это горизонтальная сила, необходимая для перемещения блока (8 фунтов), деленная на вертикальную силу, прижимающую блок и стол вместе (40 фунтов.) μ = 8/40 = 0,20)

Существует несколько интересных свойств трения между сухими несмазанными поверхностями, которые резюмируются следующим образом:

1. При низких скоростях трение не зависит от скорости трения. По мере увеличения скорости трение уменьшается. Другими словами, сила, необходимая для преодоления трения и приведения тела в движение, больше, чем сила, необходимая для поддержания результирующего движения. Этот факт отражается в существовании двух различных коэффициентов трения для каждой пары материалов: статический коэффициент и динамический коэффициент .
2. Для низких контактных давлений ( нормальная {перпендикулярная} сила на единицу площади) трение прямо пропорционально нормальной силе между двумя поверхностями. По мере увеличения контактного давления трение не увеличивается пропорционально, а когда давление становится очень высоким, трение быстро увеличивается до тех пор, пока не произойдет заедание.
3. При постоянной нормальной силе трение, как в его общей величине, так и в его коэффициенте, не зависит от площади соприкасающейся поверхности (до тех пор, пока давление недостаточно велико для входа в зону заедания).

Теперь предположим, что вы нанесли тонкий слой масла на стол под блоком. Масло снижает коэффициент трения примерно до 0,025, поэтому теперь блок можно перемещать с горизонтальной силой около 1 фунта (0,025 * 40 = 1).

Свойства трения между хорошо смазанными поверхностями значительно отличаются от указанных выше для сухих поверхностей.

1. Сопротивление трения практически не зависит от контактного давления, если поверхности залиты маслом.
2. При низком контактном давлении трение напрямую зависит от скорости. Для высоких контактных давлений трение очень велико при низких скоростях, снижаясь до минимума примерно со скоростью 2 фута в секунду, а затем увеличиваясь как квадратный корень из скорости.
3. Для хорошо смазанных поверхностей трение резко снижается с повышением температуры из-за влияния (а) быстро уменьшающейся вязкости масла и (б) увеличения диаметрального зазора подшипника скольжения.
4. Если опорные поверхности залиты маслом, трение почти не зависит от материала контактных поверхностей.По мере уменьшения смазки коэффициент трения становится более зависимым от материалов.

Зависимость трения скольжения по кристаллической поверхности от скорости

Протоколы моделирования

Чтобы оценить значимую оценку кинетической или динамической силы трения, испытываемой движущимся ползунком, мы разрабатываем два альтернативных протокола [52,53]. В протоколе A мы сначала выполняем расчет «приработки» при постоянной скорости v _SL , что позволяет затухать начальным ударным волнам, вызванным внезапным появлением ползунка возле цепи.Начиная с динамического условия, достигнутого в конце первого моделирования, мы затем запускаем второе моделирование, в котором ползунок может изменять свою скорость в результате взаимодействия с цепью и его собственной инерции, как, например, в «баллистической ”Эксперименты, в которых кластеры, осажденные на поверхности, раскачиваются, пока они не остановятся, рассеивая свою кинетическую энергию в подложке [49,54-56]. На рисунке 3 показан пример временной зависимости, полученной при таком втором моделировании.Из средней скорости замедления ползунка во время этого второго моделирования можно извлечь кинетическую силу трения с помощью следующего метода: время делится на регулярные интервалы, например, 5000 единиц времени, очень долгое время по сравнению с периодом колебаний v _SL ; затем выполняется линейная регрессия по каждому интервалу; (отрицательный) наклон прямой линии v _SL как функция времени представляет собой среднее ускорение ползуна.Средняя динамическая сила трения F _d , испытываемая ползуном, затем получается путем умножения этого ускорения на (- м _SL ). Связывая это значение F _d со средним значением v _SL за тот же интервал времени, получаем зависимость F _d ( v _SL ). Более быстрый и быстрый темп замедления ползуна, показанный на рисунке 3a, указывает на возрастающее динамическое трение F _d ( v _SL ) по мере того, как его скорость v _SL уменьшается.По мере того, как v _SL уменьшается, а трение увеличивается, скорость центра масс цепи v _CM колеблется все больше и больше, что является полезным индикатором все большей и большей передачи импульса от ползуна к цепи. Конечно, наблюдаемые колебания малой амплитуды v _CM почти полностью являются результатом колебаний, индуцированных в нескольких атомах цепочки, непосредственно взаимодействующих с ползунком, при этом подавляющее большинство далеких атомов остаются практически неподвижными.Эти колебания центра масс, следовательно, являются артефактом конечного размера цепи и полностью исчезнут в пределе макроскопических размеров.

Рисунок 3: Временная зависимость (a) и (b) скорости ползуна v _SL и (c) центра масс цепи v _CM для второго моделирования (режим свободного замедления) протокола A.Моделирование выполняется до тех пор, пока ползунок, наконец, не остановится и не рассеет свою остаточную энергию в колебаниях, развернутых на вставке (b), вокруг минимума эффективного потенциала, показанного на рисунке 2, с цепными фононными волнами, уносящими эту остаточную энергию, до тех пор, пока в конечном итоге не завершится остановка системы. Обратите внимание на увеличивающийся отрицательный средний наклон кривой v _SL , что указывает на увеличение средней силы трения F _d по мере уменьшения v _SL .

Рисунок 3: Временная зависимость (а) и (б) скорости ползуна v _SL и (в) центра масс цепи v _CM …

Протокол B выглядит следующим образом: мы выполняем один расчет, сохраняя постоянное значение v _SL , как если бы ползунок был наконечником АСМ, прикрепленным к бесконечно жесткому кантилеверу АСМ, ждем, пока установится устойчивый режим скольжения, и отбрасываем начальная часть подвержена переходным процессам.Для оставшейся части моделирования мы записываем общую силу, испытываемую ползунком, как функцию времени. Эта сила колеблется в результате столкновений с последовательными атомами цепи. Период этих колебаний составляет a / v _SL . Мы усредняем эту силу по целому числу этих периодов и интерпретируем результат как среднюю силу трения F _d , соответствующую скорости v _SL .Мы начинаем новую симуляцию для каждого интересующего значения v _SL .

В то время как протокол A строго оценивает силу трения, учитывая все виды эффектов ускорения-замедления, связанные с индивидуальными столкновениями ползуна и атома, протокол B будет совпадать с протоколом A только в том пределе, когда энергия, передаваемая в одном атомном столкновении, намного меньше чем кинетическая энергия, накопленная в слайдере.Параметр LJ ε дает консервативную оценку энергии, передаваемой при столкновении: условие строгой применимости протокола B составляет

Это означает, что протокол B должен давать результаты, идентичные протоколу A для v _SL ≥ (2 ε / м _SL ) ^1/2 10 ⁻² v _s для стандартных параметров моделирования, представленных выше.Мы численно проверили, что это действительно так. Мы также численно проверили, что в рассматриваемом режиме слабой связи F _d ε ² . Это согласуется с наблюдением, что рассеиваемая мощность F _d v _SL должна равняться средней работе, выполняемой ползунком на цепи за единицу времени. Последнее равно произведению силы, прилагаемой ползунком к каждому атому цепи, на скорость этого атома v _j .Сила, конечно, пропорциональна сцеплению ε и, в первом порядке по ε / ( Ka ² ), также v _j пропорциональна ε, поэтому F _d ε ² зависимость при слабой связи.

Кстати, обратите внимание, что в обоих протоколах ползунок передает цепочке не только энергию, но и импульс.Действительно, сила трения F _d в точности равна передаче импульса в единицу времени от ползуна к цепи. F _d отрицательное значение (влево), если рассматривать его как действие на ползунок; в соответствии с третьим законом Ньютона на цепь действует положительная (направленная вправо) сила точно такой же интенсивности. В результате комбинированного результата F _d и демпфирующей силы, обеспечиваемой диссипативными членами уравнения 6, в установившемся режиме ползун приобретает небольшую, но ненулевую среднюю скорость центра масс v _CM .В результате скорость ползунка относительно цепи уменьшается относительно заданной v _{SL, abs} , а именно: В дальнейшем мы обозначаем v _{SL, abs} скорость ползунка в лабораторной рамке. , а по v _SL скорость ползуна в кадре центра масс цепи:

На практике мы получаем v _CM / v _{SL, abs} 1 для не слишком малых v _{SL, abs} , так что эта поправка не имеет значения, и v _SL v _{SL, абс} .Однако на низкой скорости эта коррекция может стать значительной.

Контроль сроков рассеивания

Прежде всего, нам необходимо определить диапазон для параметра диссипации γ, в котором диссипативные члены уравнения 6 не имеют отношения к динамике трения. На рис. 4 представлена ​​зависимость трения скольжения, измеренная для v _SL = 0.1 v _s , полученные при повторении моделирования с разными значениями параметра демпфирования γ. Этот рисунок показывает, что при большом и увеличивающемся γ трение имеет тенденцию к уменьшению. Этого и следовало ожидать, поскольку в нефизическом режиме с сильным передемпфированием все труднее и труднее сместить атомы цепочки из их положений равновесия, в результате чего их влияние на ползунок все больше и больше напоминает влияние консервативного эффективного потенциала, а именно тот, что показан на рис. 2, который, конечно, не допускает передачи энергии и рассеяния.Когда демпфирование уменьшается до физически значимой области недостаточного демпфирования γ < ( мК ) ^{1 / 2} , трение стабилизируется до физически значимого γ-независимого значения. Однако при дальнейшем уменьшении γ ниже примерно 10 ⁻² ( мК ) ^{1 / 2} волны, возникающие в точке контакта ползуна с цепью, становятся все менее и менее затухающими, см. Рисунок 5 Когда значение γ становится слишком малым, фононные волны распространяются через периодически повторяющуюся ячейку, в конечном итоге возвращаясь к точке контакта ползунка с цепочкой.В результате цепь скользит по фактически «горячей» подложке, вызывая нефизическое снижение трения, связанное с термосмазывающими свойствами [45,46,57-62]. Как показано кружками на рисунке 4, гораздо более длинная цепочка обеспечивает достаточно места для затухания фононных волн, что позволяет радикально уменьшить амплитуду фононов перед возвратом в точку контакта ползунка с цепочкой, даже при небольшом γ. Далее мы принимаем γ = 0,1 ( мК ) ^{1 / 2} в качестве стандартного значения скорости демпфирования, если не указано иное.

Рисунок 4: Динамическая сила трения как функция коэффициента затухания γ, который фиксирует (нефизическую) скорость диссипации атомов цепочки. Это оценивается для v _SL = 0.1 v _s с протоколом A (но протокол B предоставляет идентичные данные). Квадраты: моделирование выполнено в стандартной суперячейке размером L = 500 a , с 500 атомами. Круги: аналогичные симуляции, выполненные в 10-кратной сверхъячейке с 5000 атомами, где волны, испускаемые ползунком, имеют гораздо большее пространство для полного затухания, прежде чем вернуться в точку контакта, даже для меньшего γ.

Рисунок 4: Динамическая сила трения как функция коэффициента демпфирования γ, который фиксирует (нефизический)…

Рисунок 5: Три снимка мгновенных скоростей нескольких атомов цепочки в зависимости от их положения при взаимодействии с ползунком, мгновенное положение которого x _SL отмечено вертикальной пунктирной линией.Три расчета выполняются с одним и тем же v _SL = 0,1 v _s , но с тремя разными значениями γ, которые производят заметно разное затухание одних и тех же возбужденных фононных волн вдали от точки взаимодействия.

Рисунок 5: Три снимка мгновенных скоростей нескольких атомов цепочки в зависимости от их положения…

Зависимость трения от скорости скольжения

На рисунке 6 показана зависимость кинетического трения от скорости F _d . Общая тенденция заключается в уменьшении трения со скоростью. В частности, F _d резко падает до 0, когда v _SL превышает скорость звука цепи.В области ниже скорости звука (вертикальная пунктирная линия) F _d стоит на относительно стабильном плато. Затем возникает несколько пиков трения в области примерно от 10% до 20% v _s . При дальнейшем уменьшении v _SL трение начинает расти примерно как (где A — константа), хотя при стандартных параметрах раздела «Модель» отклонение наблюдается довольно рано, для v _SL 0.03 v _s . Это отклонение не имеет особого отношения к достижению области скорости, в которой протокол B, представленный в разделе «Протоколы моделирования» выше, становится ненадежным. Мы проверили, что это отклонение является артефактом демпфирования в цепи. Повторяя моделирование с более длинной цепью ( L = 10 ⁵ a ) и меньшим демпфированием γ = 10 ⁻⁴ ( мК ) ^{1 / 2} , находим что режим F _d = сохраняется до v _SL 10 ⁻³ v _s .При принятом значении сцепления ε протокол A не может надежно определить трение как функцию v _SL в этой области скоростей, потому что v _SL сам по себе широко колеблется во времени, когда ползунок приближается к остановке, см. Рисунок 3b. Однако мы уменьшили связь ε на один порядок до ε = 5 × 10 ⁻⁵ Ka ² и проверили, что точки N = 10 ⁵ , γ = 10 ⁻⁴ ( мК ) ^{1 / 2 Кривая} идеально воспроизводима, за исключением коэффициента трения в 10 ^-2 , что подтверждает F _d = низкоскоростное масштабирование .

Рисунок 6: Динамическая сила трения как функция скорости ползуна v _SL . Для сравнения горизонтальная пунктирная линия отмечает порог статического трения F _static , полученный в Приложении «Сила статического трения», уравнение 16.Вертикальной пунктирной линией отмечена скорость звука v _s . Данные получены с помощью протокола B; мы проверили, что идеально совмещаемые кривые могут быть получены с помощью протокола A, если его можно эффективно применять, т. е. пока сила трения F _d < 10 ⁻⁵ Ka .

Рисунок 6: Динамическая сила трения как функция скорости ползуна v _SL .Для сравнения горизонтальная штриховая …

Как показано на рисунке 3, моделирование этой модели действительно обеспечивает конкретную реализацию перехода от динамического к статическому. К сожалению, из-за широких колебаний, показанных на рисунке 3b, переход от динамического трения к статическому просто невозможно охарактеризовать в терминах простой функции F _d ( v _SL ).Мы оцениваем статическое трение для этой модели, как описано в Приложении «Сила статического трения». Сравнение F _d и F _static на рисунке 6 подтверждает, что, конечно, эта модель согласуется с хорошо известным результатом F _{d static} .

Теперь мы должны исследовать причину пиков трения при некоторых специальных дозвуковых скоростях.Для этого мы должны определить, какие фононные моды наиболее сильно возбуждаются при каждой конкретной скорости ползунка.

Фононные возбуждения

Сила трения F _d на рисунке 6 рассеивает кинетическую энергию ползуна, преобразовывая ее в фононные волны, которые распространяются от точки контакта, как показано на рисунке 5.Мы анализируем эти фононные возбуждения для нескольких значений v _SL . Мы должны сначала подробно описать протокол этого анализа.

Мы запускаем моделирование с фиксированной скоростью ползунка v _{SL, abs} . В заданный момент времени t после окончания начального переходного процесса мы делаем снимок отдельных скоростей v _j атомов цепочки, как в примере на Рисунке 7a.Затем мы выполняем пространственное преобразование Фурье этих мгновенных скоростей: