Site Loader

Содержание

1.4. Законы Ома и Кирхгофа

1.4. Законы Ома и Кирхгофа

Закон Ома для всей цепи выражает соотношение между электродвижущей силой (ЭДС), сопротивлением и током. Согласно этому закону ток в замкнутой цепи равен ЭДС источника деленной на сопротивление всей цепи:

 

,                                                  (1.19)

где I – ток, протекающий по цепи;

E – ЭДС, генератора, подключенного к электрической цепи;

Rг – сопротивление генератора;

Rц – сопротивление цепи.

Закон Ома для участка цепи. Ток на участке цепи прямо пропорционален напряжению между началом и концом  участка и обратно пропорционален сопротивлению участка. Аналитически закон выражается в следующем виде:

,                                                                  (1.20)

где I – ток, протекающий на участке цепи;

R – сопротивление участка цепи;

U – напряжение на участке цепи.

Обобщенный закон Ома. Сила тока  в контуре цепи прямо пропорциональна алгебраической сумме ЭДС всех источников цепи и обратно пропорциональна арифметической сумме всех активных сопротивлений цепи.

,                                                          (1.21)

где m и n – количество источников и резисторов в контуре цепи.

При алгебраическом суммировании со знаком “плюс” берутся те ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком “минус”– те ЭДС, направление которых не совпадает с направлением тока.

Первый закон Кирхгофа. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 1.10 представлена простейшая разветвленная цепь.

Рис. 1.10 Схема разветвленной цепи.

Разветвленной называется такая электрическая цепь, в которой ток от какого-либо источника может идти по различным путям и, в которой, следовательно, имеются точки, где сходятся два и более проводников. Эти точки называютузлами. Токи, текущие к узлу считаются имеющими один знак, а от узла – другой.

Учитывая это правило для схемы, изображенной на рис. 1.11,а можно записать

или

.

Для цепи, имеющей n ветвей, сходящихся в одном узле, имеем:

,                                                          (1.22)

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле, равна

нулю.

Рис. 1.11 Схема поясняющая законы Кирхгофа.

Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.

Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой цепи.

В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура

,                                                  (1.23)

Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.11,б. Обозначим стрелкой направление обхода контура. При составлении уравнений будем брать со знаком “плюс” те ЭДС и падения напряжений, направления которых совпадают с направлением обхода контура и со знаком “минус” те, которые направлены против обхода. Для цепи, изображенной на рис. 1.11,б второй закон Кирхгофа запишется в следующем виде:

.

ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА

Всякая электрическая цепь состоит из источника электрической энергии (генератора), замкнутого проводящего контура (соединительных проводов) и потребителя (нагрузки).

Источники электрической энергии делятся на источники заданной ЭДС (напряжения) и источники заданного тока [1]. У идеального источника заданной ЭДС (рис.1.1,а) полагаем, что напряжение на его клеммах не зависит от нагрузки (внутреннее сопротивление равно нулю), а у идеального источника заданного тока (рис.1.1,б) полагаем, что его ток не зависит от нагрузки (внутреннее сопротивление стремится к ∞).

 
 

 

Омическое сопротивление R участка цепи (нагрузка) (рис.1.1,в) может быть определено по формуле

,

где ρ – удельное сопротивление проводника; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.

Для расчета процессов в электрической цепи ее изображают в виде схемы.

Схемой электрической цепи называется её графическое изображение, показывающее последовательность соединения участков и отображающее свойства рассматриваемой цепи.

В электрической цепи (схеме) различают узлы, ветви и контуры.

Узел – точка цепи (схемы), где сходятся не менее 3 ветвей. Ветвь – участок цепи (схемы), соединяющий два узла. Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи (схемы).

Любая часть электрической цепи, имеющая два зажима (полюса), называется двухполюсником.

Расчёт электрических цепей базируется на законе Ома и двух законах (правилах) Кирхгофа.

Закон Ома для участка цепи – ток Ik k-того участка прямо пропорционален напряжению Uk на этом участке и обратно пропорционален сопротивлению Rk этого участка:

Типичная ошибка при применении закона Ома заключается в том, что при определении тока берется напряжение на одном участке и делится на сопротивление другого участка, что не соответствует этому закону.

Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи и вытекает из принципа непрерывности электрического тока:

алгебраическая сумма токов в узле равна нулю или сумма токов, подтекающих к узлу, равна сумме токов, вытекающих из узла.

«Алгебраическая сумма» означает, что втекающие в узел и вытекающие из него токи берутся с противоположными знаками.

Перед составлением уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо произвольно задаться условными положительными направлениями токов в ветвях. Пример приведён на рис.1.2.

 
 

 

или

 

Если в результате расчета для какого-либо тока будет получено отрицательное значение, то это означает, что действительное направление данного тока противоположно выбранному.

Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.

Электрический ток, протекая по сопротивлению, создаёт на нём падение напряжения, совпадающее по направлению с током, поэтому, выбрав направление тока в ветви, мы задаём и направление падения напряжения.

Перед составлением уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо произвольно задаться направлениями обхода контуров. Соответственно, те падения напряжения и ЭДС, которые совпадают по направлению с направлением обхода контура, берутся со знаком «+», в противном случае – со знаком «–».

Рассмотрим пример (рис.1.3).

 

 

Для трёх указанных контуров схемы уравнения по второму закону Кирхгофа будут следующие:

 

Необходимо отметить, что ток в ветви можно определить двумя путями:

— по закону Ома для участка цепи – когда известны напряжение и сопротивление данного участка;

— по первому закону Кирхгофа – когда в узле известны все токи, кроме искомого.

— В свою очередь напряжение между двумя точками цепи можно определить следующим образом:

— по закону Ома для участка цепи ;

— по второму закону Кирхгофа, причём контур может быть замкнут искомым напряжением;

— как разность потенциалов на концах рассматриваемого участка цепи.

1.2. Последовательное соединение сопротивлений

Пусть даны два сопротивления

R1 и R2, которые необходимо подключить к зажимам источника.

Один зажим сопротивления R1 подключаем к клемме (+) источника, а другой – к клемме сопротивления R2; свободную клемму R2 подключаем к клемме (–) источника. Получим замкнутый проводящий контур, состоящий из одной ветви, включающей в себя источник с напряжением U и два сопротивления R1 и R2 (рис.1.4).

 
 

 

Аналогично можно включить и большее число сопротивлений. Через любое сечение проводника проходит одинаковое число электрических зарядов. Это следует из закона сохранения заряда. Следовательно, по всем сопротивлениям протекает один и тот же ток. Такое соединение называется последовательным.

Итак, признаком последовательного соединения является то, что по элементам протекает один и тот же ток, т.е. элементы включены в одну общую ветвь.

Для цепи (рис.1.4) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа

(1.1)

 

Таким образом, напряжение на входе цепи U можно выразить через ток I в цепи и эквивалентное сопротивление цепи RЭ.

Эквивалентным (входным) сопротивлением цепи называется такое одно сопротивление, при подключении которого (вместо всех сопротивлений цепи) к зажимам источника режим его работы не изменится, т.е. не изменятся ток I и напряжение U источника.

Эквивалентное сопротивление находится путём последовательного преобразования цепи от конца, противоположного источнику, к зажимам источника.

Конечная схема этих преобразований всегда одна (рис.1.5).

 
 

 

 

Итак, для цепи (см. рис.1.4) получаем

(1.2)

 

Из (1.2) следует:

— при последовательном соединении сопротивления складываются;*

— последовательные соединения удобнее рассчитывать через сопротивления.

Обратите внимание, что последовательное подключение сопротивления увеличивает эквивалентное сопротивление цепи, т.е. уменьшает потребляемый ток и мощность, отдаваемую источником.

1.3. Параллельное соединение сопротивлений

Те же два сопротивления R1 и R2 можно подключить к источнику и по-другому: R1 подключим к зажимам «+» и «–» и аналогично подключим R2. Получим схему, содержащую три ветви и два узла (рис.1.6).

 
 

 

 

Такое соединение называется параллельным. Из полученной схемы соединений видно, что признаком параллельного соединения является то, что сопротивления находятся под одним и тем же напряжением, т.е. подключены к двум общих узлам (а и b).

Для цепи (см. рис.1.6) по первому закону Кирхгофа имеем

 

(1.3)

По закону Ома токи в ветвях схемы

Подставляя в (1.3), получаем

. (1.4)

Поделив левую и правую части уравнения (1.4) на общую величину U, получим

.

Обозначим . Величина G, обратная сопротивлению, называется проводимостью. Размерность [G] = Ом-1 = См.

Получаем выражение для эквивалентной проводимости

. (1.5)

Из (1.5) следует:

— при параллельном соединении элементов проводимости складываются;*

— параллельные соединения удобнее рассчитывать через проводимости.

Для частного случая, когда параллельно соединены два сопротивления R1 и R2, эквивалентное сопротивление будет

Обратите внимание, что параллельное подключение сопротивления уменьшает эквивалентное сопротивление цепи, т.е. увеличивает потребляемый ток и мощность, отдаваемую источником.

1.4. Смешанное соединение сопротивлений

Если электрическая цепь содержит три и более сопротивлений, то наряду с последовательным и параллельным соединениями возможно смешанное соединение.

Смешанным соединением называют сочетание последовательного и параллельного соединений (рис.1.7).

 
 

 

Схему смешанного соединения можно «свернуть», т.е. найти эквивалентное сопротивление RЭ.

На схеме (см. рис.1.7) сопротивления R2 и R3 включены параллельно. Заменим их одним сопротивлением R4 :

Получим новую схему (рис.1.8), эквивалентную заданной:

 
 

 

 

В полученной схеме сопротивления R1 и R4 включены последовательно, так как по ним протекает один ток I1.

Следовательно, эквивалентное сопротивление цепи (рис. 1.9)

 

Более сложные электрические цепи могут не сводиться к последовательному и параллельному соединению элементов. Если при нахождении RЭ вы убедились, что в схеме нет последовательно или параллельно соединённых сопротивлений, необходимо воспользоваться преобразованием «звезды» в «треугольник» или наоборот [1,2,3].

1.5. Расчет простых электрических цепей

Электрические цепи можно условно разделить на простые и сложные.

Простой электрической цепью будем считать цепь, содержащую один источник электрической энергии. Если в одной ветви имеется несколько источников, то их всегда можно привести к одному эквивалентному.

Сложной электрической цепью будем называть цепь, содержащую два и более источников в различных ветвях. Расчёт сложных электрических цепей будет рассмотрен позже.

Различают прямую и обратную задачи расчёта простых цепей.

Прямой задачей называется расчет такой цепи, когда в схеме заданы ЭДС (напряжение) источника и сопротивления всех нагрузок. Требуется определить токи (напряжения, мощности) во всех ветвях.

Пример.Дана электрическая цепь, схема которой приведена на рис.1.10.

 

 

Известны параметры цепи и источника:

U = 20 В; R1 = 3 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 1.6 Ом; R4 = 6 Ом; R5 = 4 Ом.

Требуется определить токи во всех ветвях I1, I2, I3, I4, I5.

Расчёт прямой задачи ведётся в два этапа.

Первый этап. Цепь надо «свернуть», т.е. найти ее эквивалентное (входное) сопротивление RЭ.

Выберем положительные направления токов в ветвях и укажем их стрелками.

Поэтапно преобразуем цепь. Сопротивления R4 и R5 включены параллельно, следовательно,

Ом.

Получаем схему, эквивалентную заданной (рис.1.11).

 

 

В полученной схеме сопротивления R6 и R3 соединены последовательно, следовательно,

Ом.

Получим схему, эквивалентную предыдущей (рис.1.12).

 

 

Здесь R2 и R7 включены параллельно. Заменим их сопротивлением R8 :

Ом.

Новая эквивалентная схема показана на рис.1.13.

Сопротивления R1 и R8 включены последовательно, т.е. эквивалентное сопротивление цепи (рис.1.14)

Ом.

 

 

Второй этап. Теперь «развернём» схему, т.е. идем по эквивалентным схемам в обратном порядке и находим токи в ветвях.

В схеме (см. рис.1.14) известны U = 20 В, RЭ = 5 Ом.

Следовательно, ток

А.

Переходим к схеме (см. рис.1.13). Здесь найдены все величины.

Переходим к схеме на рис.1.12. В схеме неизвестны токи I2 и I3. Их можно найти по закону Ома:

Найдём напряжение Uaс. Здесь возможны два пути.

1. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, куда входит напряжение Uaс:

.

Отсюда получаем искомое напряжение на участке ac:

В.

2. Напряжение Uaс можно определить по закону Ома для участка ac схемы (см. рис.1.13)

В.

Зная напряжение Uaс, находим токи I2 и I3 по закону Ома:

A; A.

Аналогично найдём напряжение Uab:

В.

Тогда токи A; A.

Таким образом, прямая задача решена.

Проверить расчёт можно по законам Кирхгофа.

1. По первому закону Кирхгофа:

для узла «а» A;

для узла «b» A;

для узла «c» A.

2. По второму закону Кирхгофа

В.

Одним из точных способов проверки правильности расчёта токов является проверка по балансу мощностей. В основе баланса мощностей лежит закон сохранения энергии, в соответствии с которым суммарная мощность, отдаваемая источниками в цепь (Рист), должна равняться суммарной мощности всех потребителей (Рпотр).

В рассматриваемом примере мощность источника

Вт.

Суммарная мощность потребителей

Вт.

Таким образом,

.

Баланс мощностей соблюдается, следовательно, токи в ветвях схемы найдены правильно.

Для рассматриваемого примера построим потенциальную диаграмму для внешнего контура.

Потенциальная диаграмма показывает, как изменяется потенциал j при движении вдоль замкнутого контура цепи. По оси абсцисс откладываются сопротивления R участков цепи вдоль контура, по оси ординат – потенциалы точек рассматриваемого контура.

Электрический потенциал j – величина относительная, и его значение зависит от того, какая из точек цепи принимается за базисную и мысленно заземляется, т.е. её потенциал условно считается равным нулю.

Необходимо помнить, что во внешней цепи ток протекает от точки с бóльшим потенциалом к точке с меньшим потенциалом (катится с горки), поэтому при определении потенциала надо учитывать, что если направление тока совпадает с направлением перехода от одной точки к другой, то потенциал понижается на величину падения напряжения IR на этом участке. В противном случае потенциал повышается.

Возьмем замкнутый контур abcma. Пусть потенциал точки а цепи (см. рис.1.10) равен нулю: ja = 0. Так как ток протекает из точки с бóльшим потенциалом в точку с меньшим потенциалом, то потенциал точки b будет меньше потенциала точки а на величину падения напряжения на сопротивлении R4 или на сопротивлении R5:

В.

Потенциал точки с ниже потенциала точки b по той же причине, т.е.

В.

Потенциал точки m выше потенциала точки с из-за наличия на участке cm источника с напряжением U, в котором за счёт работы сторонних сил происходит повышение потенциала, т.е.

В.

Потенциал точки а

В.

Контур abcma замкнулся.

Потенциальная диаграмма приведена на рис.1.15.

 

Тангенс угла наклона α любого участка потенциальной диаграммы пропорционален току цепи на этом участке.

Например, для участка ab

.

По заданной потенциальной диаграмме контура можно определить потенциалы точек, сопротивления участков, напряжения на участках, токи на участках этого контура.

Рассмотрим обратную задачу.

Обратная задача: по известным току (напряжению или мощности) на одном из участков и сопротивлениям цепи определить остальные токи и напряжение (мощность) источника.

Рассмотрим эту задачу на том же примере (см. рис.1.10), считая, что заданы ток в пятой ветви (I5 = 1,2 A) и те же сопротивления нагрузок.

Решение. Определим напряжение Uab по закону Ома:

В.

Так как R4 и R5 соединены параллельно, ток в четвертой ветви

А.

Теперь по первому закону Кирхгофа найдем ток в третьей ветви:

A.

Напряжение Uac определим по второму закону Кирхгофа. Для этого возьмем контур с сопротивлениями R5, R3, R2:

.

Отсюда находим

В.

Ток в ветви сопротивлением R2

A.

Ток в ветви с источником находим по первому закону Кирхгофа:

A.

Напряжение на зажимах источника

В.

Этот приём можно использовать и для расчёта прямой задачи.

Для этого в наиболее удаленной от источника ветви произвольно задаемся некоторым значением тока (например, 1 А). Далее, продвигаясь к входным зажимам, рассчитываем токи в ветвях и напряжения на участках схемы. В результате расчета получим значение напряжения источника U’, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.

Так как полученное значение напряжения U’ в общем случае будет отличаться от действительного значения напряжения U источника, то находим коэффициент K, равный отношению

на который следует умножить все найденные токи и напряжения, чтобы получить их действительные значения. Этот метод расчёта линейных электрических цепей называют методом пропорциональных величин.

1.6. Расчет сложных электрических цепей

Сложной электрической цепью называется цепь, содержащая два и более источников электрической энергии, находящихся в различных ветвях.

Для анализа сложной электрической цепи её необходимо описать системой независимых уравнений, решив которые можно определить токи во всех ветвях, а следовательно, найти напряжения и мощности на всех участках.

В зависимости от поставленной задачи расчёта цепи можно применять любой из пяти ниже рассмотренных методов.



Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 5591;


Похожие статьи:

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Урав-ие представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока в комплексной форме

(3,9)

где Z – комплексное сопротивление, Ом.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX,

Уравнение 3.9 можно записать иначе. Разделим обе его части на и перейдём от комплексных амплитудик комплексам действующих значенийи

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю:

Подставив вместо выражениеи вынесяза скобку, получим. Таким образом,

— первый закон Кирхгофа в комплексной форме.

Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа и представить в комплексной форме:

Пассивные элементы r, l, c в цепи синусоидального тока

1) Резистивный элемент

В электрической цепи с резистивным элементом R ток изменяется по синусоидальному закону с начальной фазой ,то есть

Напряжение на зажимах резистора

где — амплитудное значение напряжения на зажимах резистора,— начальные фазы напряжения и тока. Кривые изменения напряженияи токаi (рис. 3.6б) в один и тот же момент времени t достигают максимального значения и одновременно проходят нулевые значения. Иначе говоря, обе кривые совпадают по фазе (рис. 3.6в).

Векторы исовпадают по направлению (уголφ=0). Переходя к действующим значениям можно записать

Сопротивление переменному току будет больше, чем постоянному за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающую среду. Поэтому в отличие от сопротивления постоянному току сопротивление R в цепи переменного тока называется активным.

2) Индуктивный элемент

Изменение тока в цепи с индуктивностью L (рис. 3.7а) вызывает возникновение Э.Д.С. самоиндукции , которая по закону Ленца противодействует изменению тока. При увеличении тока Э.Д.С.действует навстречу току, а при уменьшении — в направлении тока, противодействуя его изменению. Показанные на рис. 3.7а положительные направленияиимеют место только в течение некоторого узкого промежутка времени. Для тока, изменяющегося по гармоническому закону и приL= const Э.Д.С. самоиндукции

Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее Э.Д.С. самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку.

где — амплитуда напряжения.

Произведениеобозначается,называетсяиндуктивным сопротивлением и измеряется в Омах:

Из выражения 3.18 следует, что на участке цепи с индуктивностью L напряжение опережает ток на четверть периода. На рис. 3.7в вектор напряжения опережает вектор токаi на 900, а комплекс (вектор) Э.Д.С. самоиндукции находится в противофазе с комплексом напряжения

индуктивное сопротивление пропорционально Если R =0, то средняя активная мощность равна 0

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.

Урав-ие представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока в комплексной форме

(3,9)

где Z – комплексное сопротивление, Ом.

В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX,

Уравнение 3.9 можно записать иначе. Разделим обе его части на и перейдём от комплексных амплитудик комплексам действующих значенийи

По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю:

Подставив вместо выражениеи вынесяза скобку, получим. Таким образом,

— первый закон Кирхгофа в комплексной форме.

Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа и представить в комплексной форме:

Пассивные элементы r, l, c в цепи синусоидального тока

1) Резистивный элемент

В электрической цепи с резистивным элементом R ток изменяется по синусоидальному закону с начальной фазой ,то есть

Напряжение на зажимах резистора

где — амплитудное значение напряжения на зажимах резистора,— начальные фазы напряжения и тока. Кривые изменения напряженияи токаi (рис. 3.6б) в один и тот же момент времени t достигают максимального значения и одновременно проходят нулевые значения. Иначе говоря, обе кривые совпадают по фазе (рис. 3.6в).

Векторы исовпадают по направлению (уголφ=0). Переходя к действующим значениям можно записать

Сопротивление переменному току будет больше, чем постоянному за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающую среду. Поэтому в отличие от сопротивления постоянному току сопротивление R в цепи переменного тока называется активным.

2) Индуктивный элемент

Изменение тока в цепи с индуктивностью L (рис. 3.7а) вызывает возникновение Э.Д.С. самоиндукции , которая по закону Ленца противодействует изменению тока. При увеличении тока Э.Д.С.действует навстречу току, а при уменьшении — в направлении тока, противодействуя его изменению. Показанные на рис. 3.7а положительные направленияиимеют место только в течение некоторого узкого промежутка времени. Для тока, изменяющегося по гармоническому закону и приL= const Э.Д.С. самоиндукции

Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее Э.Д.С. самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку.

где — амплитуда напряжения.

Произведениеобозначается,называетсяиндуктивным сопротивлением и измеряется в Омах:

Из выражения 3.18 следует, что на участке цепи с индуктивностью L напряжение опережает ток на четверть периода. На рис. 3.7в вектор напряжения опережает вектор токаi на 900, а комплекс (вектор) Э.Д.С. самоиндукции находится в противофазе с комплексом напряжения

индуктивное сопротивление пропорционально Если R =0, то средняя активная мощность равна 0

Основные законы цепей постоянного тока

Расчет и анализ электрических цепей производится с использованием закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа. На основе этих законов устанавливается взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей электрической цепи и отдельных ее участков и параметрами элементов, входящих в состав этой цепи.

Закон Ома для участка цепи

Соотношение между током I, напряжением UR и сопротивлением R участка аb электрической цепи (рис. 1.3) выражается законом Ома

Рис.1 или UR = RI.

В этом случае UR = RI – называют напряжением

или падением напряжения на резисторе R, а – током в резисторе R.

При расчете электрических цепей иногда удобнее пользоваться не сопротивлением R, а величиной обратной сопротивлению, т.е. электрической проводимостью:

.

В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде:

I = Uq.

Закон Ома для всей цепи

Этот закон определяет зависимость между ЭДС Е источника питания с внутренним сопротивлением r0 (рис.1), током I электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением RЭ = r0 + R всей цепи:

.

Сложная электрическая цепь содержит, как правило, несколько ветвей, в которые могут быть включены свои источники питания и режим ее работы не может быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.

Первый закон Кирхгофа

В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю

,

где m – число ветвей подключенных к узлу.

При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла – со знаком «минус». Например, для узла а (см. рис. 1) I — I1 — I2 = 0.

Второй закон Кирхгофа

В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках

,

где n – число источников ЭДС в контуре; m – число элементов с сопротивлением Rк в контуре; Uк = RкIк – напряжение или падение напряжения на к-м элементе контура.

Для схемы (рис. 1) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

E = UR + U1.

Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контура, включая источники ЭДС равна нулю

.

При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:

1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;

2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;

3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.

Рис.2

Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров электрической схемы (рис. 2):

контур I: E = RI + R1I1 + r0I,

контур II: R1I1 + R2I2 = 0,

контур III: E = RI + R2I2 + r0I.

В действующей цепи электрическая энергия источника питания преобразуется в другие виды энергии. На участке цепи с сопротивлением R в течение времени t при токе I расходуется электрическая энергия

W = I2Rt.

Скорость преобразования электрической энергии в другие виды представляет электрическую мощность

.

Из закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи.

.

Это соотношение (1.8) называют уравнением баланса мощностей. При составлении уравнения баланса мощностей следует учесть, что если действительные направления ЭДС и тока источника совпадают, то источник ЭДС работает в режиме источника питания, и произведение E I подставляют в (1.8) со знаком плюс. Если не совпадают, то источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии, и произведение E I подставляют в (1.8) со знаком минус. Для цепи, показанной на рис. 1.2 уравнение баланса мощностей запишется в виде:

EI = I2(r0 + R) + I12R1 + I22R2.

Схемы соединения приёмников электрической цепи.

Сопротивления в электрических цепях могут быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник». Расчет сложной схемы упрощается, если сопротивления в этой схеме заменяются одним эквивалентным сопротивлением Rэкв, и вся схема представляется в виде схемы на рис. 1.3, где R=Rэкв, а расчет токов и напряжений производится с помощью законов Ома и Кирхгофа.

7.3. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Благодаря линейности преобразования Лапласа, законы Ома и Кирхгофа можно написать для изображений токов и напряжений

Закон Ома: (7.7)

где

Z(p)=R+ZL(p)+ZC(p) — операторное сопротивление цепи;

ZL(p)=pL -операторное сопротивление индуктивности;

-операторное сопротивление ёмкости;

E(p) -изображение ЭДС;

Li(0) и — расчётные напряжения, характеризующие запасенную энергию в индуктивности и ёмкости к моменту коммутации.

Первый закон Кирхгофа: (7.8)

Второй закон Кирхгофа: (7.9)

Т.к. для изображений справедливы законы Кирхгофа, то для нахождения изображений токов и напряжений и цепи можно использовать все методы расчёта ЭЦ. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами (рис. 7.1), составленными на основании (7.3-7.6)

Рис. 7.1. Операторные схемы замещения элементов ЭЦ.

7.4. Определение оригинала функции по его изображению

Существуют три способа определения оригинала искомой функции по его изображению:

  1. с помощью обратного преобразования Лапласа;

  2. с помощью таблиц;

  3. по теореме разложения.

Если изображение F(p) получено в виде рациональной дроби , то оригинал определяется по теореме разложения. В зависимости от вида корней уравнения F2(p)=0, существуют следующие виды записи теоремы разложения:

  1. корни вещественны и различны

, где рк – корни функции (7.10)

F2(p)=0; n -число корней;

.

  1. при наличии нулевого корня

(7.11)

Пример: Определить оригинал функции .

;

p1= -2; p2=0

F1(0)=3; F3(0)=2; F1(p1)=-2+3=1; F3’(p1)=2

.

7.5. Порядок расчёта переходных процессов операторным методом

Расчёт производится в следующем порядке:

  1. Определение независимых начальных условий

  2. Составление эквивалентной операторной схемы цепи после коммутации

  3. С помощью любого из методов расчёта определить изображение искомых величин

  4. По полученному изображению определить оригинал искомой функции

Пример: Определить переходной ток в цепи рис. 7.2а операторным методом.

R1

L

i

R1

i(-0)

R1

I(p)

E

E

E/p

pL

R2

R2

Li(0)

б)

в)

a)

Рис. 7.2.

Независимые начальные условия определяются по схеме рис. 7.2б.

.

Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 7.2в

По закону Ома

Определим оригинал тока:

1 способ — с помощью таблицы «оригинал-изображение»

По таблице ;

2 способ — по теореме разложения (7.11)

;

F1(0)=E; F3(0)=R1; F3’(p)=L;

,

.

7.6. Операторная передаточная функция

Важную роль в методах анализа и синтеза ЭЦ играет операторная передаточная функция H(p), равная отношению изображения реакции цепи и изображению воздействия при нулевых начальных условиях. Различают следующие виды передаточных функций:

; ; ; .

Операторная передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию с вещественными коэффициентами

. (7.12)

Степени полиномов числителя и знаменателя зависят от числа реактивных элементов цепи и её схемы.

Устойчивыми называются ЭЦ, у которых при произвольных начальных условиях свободные колебания стремятся к нулю с неограниченным ростом времени, т.е. переходные процессы будут затухающими.

Цепь будет устойчивой, если все полюсы передаточной функции (корни уравнения N(p)=0) располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р. Они могут быть вещественными или комплексно- сопряженными. Для этого необходимо, чтобы полином N(p) содержал вещественные коэффициенты, т.е. являлся полиномом Гурвица.

Рис. 7.3. Расположение полюсов устойчивой цепи в случае

а) действительных корней; б) комплексно- сопряженных корней.

Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции, а по нему и реакцию цепи на заданное воздействие.

Пример: Определить u2(t) цепи рис. 7.4а

Рис. 7.4. Исходная схема а) и её операторная схема замещения б).

;

По таблице определим оригинал u2(t)

Законы Кирхгофа и Ома

 

 

 

 

 

 

29

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.17. Схема замещения катушки индуктивности а –– на постоянном токе; б –– на низких частотах; в –– на высоких частотах

Rк –– активное сопротивление катушки; Cп –– паразитная межвитковая ёмкость

пользовать один резистивный элемент). С ростом частоты возрастёт влияние межвитковой ёмкости (витки выполнены из изолированного провода, таким образом два соседних можно рассматривать как конденсатор) (рис. 1.17).

На сверхвысоких частотах резко возрастает роль индуктивности и ёмкости выводов катушки индуктивности.

1.3. Законы Кирхгофа и Ома

Закон Ома и два закона (иногда их называют правилами) Кирхгофа являются основополагающими законами электротехники. Они полностью определяют электрическое состояние электрических цепей и лежат в основе всех электротехнических расчетов.

1.3.1. Закон Ома

Закон Ома, связывающий напряжение и ток в электрической цепи, был экспериментально открыт немецким физиком Георгом Симоном Омом (1787 –– 1854 гг.) в 1827 г.

Для пассивного участка цепи (рис. 1.18) закон Ома имеет вид:

i = Ru

где R –– сопротивление цепи.

alexxlab

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован.