1.4. Законы Ома и Кирхгофа
1.4. Законы Ома и Кирхгофа
Закон Ома для всей цепи выражает соотношение между электродвижущей силой (ЭДС), сопротивлением и током. Согласно этому закону ток в замкнутой цепи равен ЭДС источника деленной на сопротивление всей цепи:
, (1.19)
где I – ток, протекающий по цепи;
E – ЭДС, генератора, подключенного к электрической цепи;
Rг – сопротивление генератора;
Rц – сопротивление цепи.
Закон Ома для участка цепи. Ток на участке цепи прямо пропорционален напряжению между началом и концом участка и обратно пропорционален сопротивлению участка. Аналитически закон выражается в следующем виде:
, (1.20)
где I – ток, протекающий на участке цепи;
R – сопротивление участка цепи;
U – напряжение на участке цепи.
Обобщенный закон Ома. Сила тока в контуре цепи прямо пропорциональна алгебраической сумме ЭДС всех источников цепи и обратно пропорциональна арифметической сумме всех активных сопротивлений цепи.
, (1.21)
где m и n – количество источников и резисторов в контуре цепи.
При алгебраическом суммировании со знаком “плюс” берутся те ЭДС, направление которых совпадает с направлением тока, а со знаком “минус”– те ЭДС, направление которых не совпадает с направлением тока.
Первый закон Кирхгофа. Электрические цепи подразделяют на неразветвленные и разветвленные. На рис. 1.10 представлена простейшая разветвленная цепь.
Рис. 1.10 Схема разветвленной цепи.
Разветвленной называется такая электрическая цепь, в которой ток от какого-либо источника может идти по различным путям и, в которой, следовательно, имеются точки, где сходятся два и более проводников. Эти точки называютузлами. Токи, текущие к узлу считаются имеющими один знак, а от узла – другой.
Учитывая это правило для схемы, изображенной на рис. 1.11,а можно записать
.
Для цепи, имеющей n ветвей, сходящихся в одном узле, имеем:
, (1.22)
т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в любом узле, равна
нулю.
Рис. 1.11 Схема поясняющая законы Кирхгофа.
Физически первый закон Кирхгофа означает, что движение зарядов в цепи происходит так, что ни в одном из узлов они не скапливаются.
Второй закон Кирхгофа устанавливает связь между ЭДС, токами и сопротивлениями в любом замкнутом контуре, который можно выделить в рассматриваемой цепи.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа алгебраическая сумма ЭДС, действующих в любом контуре разветвленной электрической цепи, равна алгебраической сумме падений напряжений на всех сопротивлениях контура
, (1.23)
Рассмотрим электрическую цепь, изображенную на рис. 1.11,б. Обозначим стрелкой направление обхода контура. При составлении уравнений будем брать со знаком “плюс” те ЭДС и падения напряжений, направления которых совпадают с направлением обхода контура и со знаком “минус” те, которые направлены против обхода. Для цепи, изображенной на рис. 1.11,б второй закон Кирхгофа запишется в следующем виде:
.
ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА
Всякая электрическая цепь состоит из источника электрической энергии (генератора), замкнутого проводящего контура (соединительных проводов) и потребителя (нагрузки).
Источники электрической энергии делятся на источники заданной ЭДС (напряжения) и источники заданного тока [1]. У идеального источника заданной ЭДС (рис.1.1,а) полагаем, что напряжение на его клеммах не зависит от нагрузки (внутреннее сопротивление равно нулю), а у идеального источника заданного тока (рис.1.1,б) полагаем, что его ток не зависит от нагрузки (внутреннее сопротивление стремится к ∞).
 |
Омическое сопротивление R участка цепи (нагрузка) (рис.1.1,в) может быть определено по формуле
,
где ρ – удельное сопротивление проводника; l – длина проводника; S – площадь поперечного сечения проводника.
Для расчета процессов в электрической цепи ее изображают в виде схемы.
Схемой электрической цепи называется её графическое изображение, показывающее последовательность соединения участков и отображающее свойства рассматриваемой цепи.
В электрической цепи (схеме) различают узлы, ветви и контуры.
Узел – точка цепи (схемы), где сходятся не менее 3 ветвей. Ветвь – участок цепи (схемы), соединяющий два узла. Контур – замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям цепи (схемы).
Любая часть электрической цепи, имеющая два зажима (полюса), называется двухполюсником.
Расчёт электрических цепей базируется на законе Ома и двух законах (правилах) Кирхгофа.
Закон Ома для участка цепи – ток Ik k-того участка прямо пропорционален напряжению Uk на этом участке и обратно пропорционален сопротивлению Rk этого участка:
Типичная ошибка при применении закона Ома заключается в том, что при определении тока берется напряжение на одном участке и делится на сопротивление другого участка, что не соответствует этому закону.
Первый закон Кирхгофа применяется к узлам электрической цепи и вытекает из принципа непрерывности электрического тока:
«Алгебраическая сумма» означает, что втекающие в узел и вытекающие из него токи берутся с противоположными знаками.
Перед составлением уравнений по первому закону Кирхгофа необходимо произвольно задаться условными положительными направлениями токов в ветвях. Пример приведён на рис.1.2.
 |
или
Если в результате расчета для какого-либо тока будет получено отрицательное значение, то это означает, что действительное направление данного тока противоположно выбранному.
Второй закон Кирхгофа применяется к контурам электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжения в замкнутом контуре равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре.
Электрический ток, протекая по сопротивлению, создаёт на нём падение напряжения, совпадающее по направлению с током, поэтому, выбрав направление тока в ветви, мы задаём и направление падения напряжения.
Рассмотрим пример (рис.1.3).
Для трёх указанных контуров схемы уравнения по второму закону Кирхгофа будут следующие:
Необходимо отметить, что ток в ветви можно определить двумя путями:
— по закону Ома для участка цепи – когда известны напряжение и сопротивление данного участка;
— по первому закону Кирхгофа – когда в узле известны все токи, кроме искомого.
— В свою очередь напряжение между двумя точками цепи можно определить следующим образом:
— по закону Ома для участка цепи 
;
— по второму закону Кирхгофа, причём контур может быть замкнут искомым напряжением;
— как разность потенциалов на концах рассматриваемого участка цепи.
1.2. Последовательное соединение сопротивлений
Пусть даны два сопротивления
Один зажим сопротивления R1 подключаем к клемме (+) источника, а другой – к клемме сопротивления R2; свободную клемму R2 подключаем к клемме (–) источника. Получим замкнутый проводящий контур, состоящий из одной ветви, включающей в себя источник с напряжением U и два сопротивления R1 и R2 (рис.1.4).
 |
Аналогично можно включить и большее число сопротивлений. Через любое сечение проводника проходит одинаковое число электрических зарядов. Это следует из закона сохранения заряда. Следовательно, по всем сопротивлениям протекает один и тот же ток. Такое соединение называется последовательным.
Итак, признаком последовательного соединения является то, что по элементам протекает один и тот же ток, т.е. элементы включены в одну общую ветвь.
Для цепи (рис.1.4) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа
(1.1)
Таким образом, напряжение на входе цепи U можно выразить через ток I в цепи и эквивалентное сопротивление цепи RЭ.
Эквивалентным (входным) сопротивлением цепи называется такое одно сопротивление, при подключении которого (вместо всех сопротивлений цепи) к зажимам источника режим его работы не изменится, т.е. не изменятся ток I и напряжение U источника.
Эквивалентное сопротивление находится путём последовательного преобразования цепи от конца, противоположного источнику, к зажимам источника.
Конечная схема этих преобразований всегда одна (рис.1.5).
 |
Итак, для цепи (см. рис.1.4) получаем
(1.2)
Из (1.2) следует:
— при последовательном соединении сопротивления складываются;*
— последовательные соединения удобнее рассчитывать через сопротивления.
Обратите внимание, что последовательное подключение сопротивления увеличивает эквивалентное сопротивление цепи, т.е. уменьшает потребляемый ток и мощность, отдаваемую источником.
1.3. Параллельное соединение сопротивлений
Те же два сопротивления R1 и R2 можно подключить к источнику и по-другому: R1 подключим к зажимам «+» и «–» и аналогично подключим R2. Получим схему, содержащую три ветви и два узла (рис.1.6).
 |
Такое соединение называется параллельным. Из полученной схемы соединений видно, что признаком параллельного соединения является то, что сопротивления находятся под одним и тем же напряжением, т.е. подключены к двум общих узлам (а и b).
Для цепи (см. рис.1.6) по первому закону Кирхгофа имеем
(1.3)
По закону Ома токи в ветвях схемы
Подставляя в (1.3), получаем
. (1.4)
Поделив левую и правую части уравнения (1.4) на общую величину U, получим
.
Обозначим 
. Величина G, обратная сопротивлению, называется проводимостью. Размерность [G] = Ом-1 = См.
Получаем выражение для эквивалентной проводимости
. (1.5)
Из (1.5) следует:
— при параллельном соединении элементов проводимости складываются;*
— параллельные соединения удобнее рассчитывать через проводимости.
Для частного случая, когда параллельно соединены два сопротивления R1 и R2, эквивалентное сопротивление будет
Обратите внимание, что параллельное подключение сопротивления уменьшает эквивалентное сопротивление цепи, т.е. увеличивает потребляемый ток и мощность, отдаваемую источником.
1.4. Смешанное соединение сопротивлений
Если электрическая цепь содержит три и более сопротивлений, то наряду с последовательным и параллельным соединениями возможно смешанное соединение.
Смешанным соединением называют сочетание последовательного и параллельного соединений (рис.1.7).
 |
Схему смешанного соединения можно «свернуть», т.е. найти эквивалентное сопротивление RЭ.
На схеме (см. рис.1.7) сопротивления R2 и R3 включены параллельно. Заменим их одним сопротивлением R4 :
Получим новую схему (рис.1.8), эквивалентную заданной:
 |
В полученной схеме сопротивления R1 и R4 включены последовательно, так как по ним протекает один ток I1.
Следовательно, эквивалентное сопротивление цепи (рис. 1.9)
Более сложные электрические цепи могут не сводиться к последовательному и параллельному соединению элементов. Если при нахождении RЭ вы убедились, что в схеме нет последовательно или параллельно соединённых сопротивлений, необходимо воспользоваться преобразованием «звезды» в «треугольник» или наоборот [1,2,3].
1.5. Расчет простых электрических цепей
Электрические цепи можно условно разделить на простые и сложные.
Простой электрической цепью будем считать цепь, содержащую один источник электрической энергии. Если в одной ветви имеется несколько источников, то их всегда можно привести к одному эквивалентному.
Сложной электрической цепью будем называть цепь, содержащую два и более источников в различных ветвях. Расчёт сложных электрических цепей будет рассмотрен позже.
Различают прямую и обратную задачи расчёта простых цепей.
Прямой задачей называется расчет такой цепи, когда в схеме заданы ЭДС (напряжение) источника и сопротивления всех нагрузок. Требуется определить токи (напряжения, мощности) во всех ветвях.
Пример.Дана электрическая цепь, схема которой приведена на рис.1.10.
Известны параметры цепи и источника:
U = 20 В; R1 = 3 Ом; R2 = 4 Ом; R3 = 1.6 Ом; R4 = 6 Ом; R5 = 4 Ом.
Требуется определить токи во всех ветвях I1, I2, I3, I4, I5.
Расчёт прямой задачи ведётся в два этапа.
Первый этап. Цепь надо «свернуть», т.е. найти ее эквивалентное (входное) сопротивление RЭ.
Выберем положительные направления токов в ветвях и укажем их стрелками.
Поэтапно преобразуем цепь. Сопротивления R4 и R5 включены параллельно, следовательно,
Ом.
Получаем схему, эквивалентную заданной (рис.1.11).
В полученной схеме сопротивления R6 и R3 соединены последовательно, следовательно,
Ом.
Получим схему, эквивалентную предыдущей (рис.1.12).
Здесь R2 и R7 включены параллельно. Заменим их сопротивлением R8 :
Ом.
Новая эквивалентная схема показана на рис.1.13.
Сопротивления R1 и R8 включены последовательно, т.е. эквивалентное сопротивление цепи (рис.1.14)
Ом.
Второй этап. Теперь «развернём» схему, т.е. идем по эквивалентным схемам в обратном порядке и находим токи в ветвях.
В схеме (см. рис.1.14) известны U = 20 В, RЭ = 5 Ом.
Следовательно, ток
А.
Переходим к схеме (см. рис.1.13). Здесь найдены все величины.
Переходим к схеме на рис.1.12. В схеме неизвестны токи I2 и I3. Их можно найти по закону Ома:
Найдём напряжение Uaс. Здесь возможны два пути.
1. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа для контура, куда входит напряжение Uaс:
.
Отсюда получаем искомое напряжение на участке ac:
В.
2. Напряжение Uaс можно определить по закону Ома для участка ac схемы (см. рис.1.13)
В.
Зная напряжение Uaс, находим токи I2 и I3 по закону Ома:
A; 
A.
Аналогично найдём напряжение Uab:
В.
Тогда токи 
A; 
A.
Таким образом, прямая задача решена.
Проверить расчёт можно по законам Кирхгофа.
1. По первому закону Кирхгофа:
для узла «а» 
A;
для узла «b» 
A;
для узла «c» 
A.
2. По второму закону Кирхгофа
В.
Одним из точных способов проверки правильности расчёта токов является проверка по балансу мощностей. В основе баланса мощностей лежит закон сохранения энергии, в соответствии с которым суммарная мощность, отдаваемая источниками в цепь (Рист), должна равняться суммарной мощности всех потребителей (Рпотр).
В рассматриваемом примере мощность источника
Вт.
Суммарная мощность потребителей
Вт.
Таким образом,
.
Баланс мощностей соблюдается, следовательно, токи в ветвях схемы найдены правильно.
Для рассматриваемого примера построим потенциальную диаграмму для внешнего контура.
Потенциальная диаграмма показывает, как изменяется потенциал j при движении вдоль замкнутого контура цепи. По оси абсцисс откладываются сопротивления R участков цепи вдоль контура, по оси ординат – потенциалы точек рассматриваемого контура.
Электрический потенциал j – величина относительная, и его значение зависит от того, какая из точек цепи принимается за базисную и мысленно заземляется, т.е. её потенциал условно считается равным нулю.
Необходимо помнить, что во внешней цепи ток протекает от точки с бóльшим потенциалом к точке с меньшим потенциалом (катится с горки), поэтому при определении потенциала надо учитывать, что если направление тока совпадает с направлением перехода от одной точки к другой, то потенциал понижается на величину падения напряжения IR на этом участке. В противном случае потенциал повышается.
Возьмем замкнутый контур abcma. Пусть потенциал точки а цепи (см. рис.1.10) равен нулю: ja = 0. Так как ток протекает из точки с бóльшим потенциалом в точку с меньшим потенциалом, то потенциал точки b будет меньше потенциала точки а на величину падения напряжения на сопротивлении R4 или на сопротивлении R5:
В.
Потенциал точки с ниже потенциала точки b по той же причине, т.е.
В.
Потенциал точки m выше потенциала точки с из-за наличия на участке cm источника с напряжением U, в котором за счёт работы сторонних сил происходит повышение потенциала, т.е.
В.
Потенциал точки а
В.
Контур abcma замкнулся.
Потенциальная диаграмма приведена на рис.1.15.
Тангенс угла наклона α любого участка потенциальной диаграммы пропорционален току цепи на этом участке.
Например, для участка ab
.
По заданной потенциальной диаграмме контура можно определить потенциалы точек, сопротивления участков, напряжения на участках, токи на участках этого контура.
Рассмотрим обратную задачу.
Обратная задача: по известным току (напряжению или мощности) на одном из участков и сопротивлениям цепи определить остальные токи и напряжение (мощность) источника.
Рассмотрим эту задачу на том же примере (см. рис.1.10), считая, что заданы ток в пятой ветви (I5 = 1,2 A) и те же сопротивления нагрузок.
Решение. Определим напряжение Uab по закону Ома:
В.
Так как R4 и R5 соединены параллельно, ток в четвертой ветви
А.
Теперь по первому закону Кирхгофа найдем ток в третьей ветви:
A.
Напряжение Uac определим по второму закону Кирхгофа. Для этого возьмем контур с сопротивлениями R5, R3, R2:
.
Отсюда находим
В.
Ток в ветви сопротивлением R2
A.
Ток в ветви с источником находим по первому закону Кирхгофа:
A.
Напряжение на зажимах источника
В.
Этот приём можно использовать и для расчёта прямой задачи.
Для этого в наиболее удаленной от источника ветви произвольно задаемся некоторым значением тока (например, 1 А). Далее, продвигаясь к входным зажимам, рассчитываем токи в ветвях и напряжения на участках схемы. В результате расчета получим значение напряжения источника U’, если бы в исходной ветви протекал ток в 1 А.
Так как полученное значение напряжения U’ в общем случае будет отличаться от действительного значения напряжения U источника, то находим коэффициент K, равный отношению
на который следует умножить все найденные токи и напряжения, чтобы получить их действительные значения. Этот метод расчёта линейных электрических цепей называют методом пропорциональных величин.
1.6. Расчет сложных электрических цепей
Сложной электрической цепью называется цепь, содержащая два и более источников электрической энергии, находящихся в различных ветвях.
Для анализа сложной электрической цепи её необходимо описать системой независимых уравнений, решив которые можно определить токи во всех ветвях, а следовательно, найти напряжения и мощности на всех участках.
В зависимости от поставленной задачи расчёта цепи можно применять любой из пяти ниже рассмотренных методов.
Дата добавления: 2017-09-01; просмотров: 5591;
Похожие статьи:
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
Урав-ие представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока в комплексной форме
(3,9)
где Z – комплексное сопротивление, Ом.
В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX,
Уравнение 3.9 можно
записать иначе. Разделим обе его части
на 
и перейдём от комплексных амплитуд
и
к комплексам действующих значений
и
По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю:
Подставив вместо 
выражение
и вынеся
за скобку, получим
.
Таким образом,
— первый
закон Кирхгофа в комплексной форме.
Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа и представить в комплексной форме:
Пассивные элементы r, l, c в цепи синусоидального тока
1) Резистивный элемент
В электрической
цепи с резистивным элементом R ток
изменяется по синусоидальному закону
с начальной фазой 
,то
есть
Напряжение на зажимах резистора
где 
— амплитудное значение напряжения на
зажимах резистора,
— начальные фазы напряжения и тока.
Кривые изменения напряжения
и токаi (рис. 3.6б) в один и тот же момент времени
t достигают максимального значения
и одновременно проходят нулевые
значения. Иначе говоря, обе кривые
совпадают по фазе (рис. 3.6в).
Векторы 
и
совпадают по направлению (уголφ=0).
Переходя к действующим значениям
можно записать
Сопротивление переменному току будет больше, чем постоянному за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающую среду. Поэтому в отличие от сопротивления постоянному току сопротивление R в цепи переменного тока называется активным.
2) Индуктивный элемент
Изменение тока в
цепи с индуктивностью L (рис. 3.7а)
вызывает возникновение Э.Д.С. самоиндукции 
,
которая по закону Ленца противодействует
изменению тока. При увеличении тока
Э.Д.С.
действует навстречу току, а при
уменьшении — в направлении тока,
противодействуя его изменению.
Показанные на рис. 3.7а положительные
направления
и
имеют место только в течение некоторого
узкого
промежутка времени. Для тока, изменяющегося
по гармоническому закону 
и приL= const Э.Д.С.
самоиндукции
Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее Э.Д.С. самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку.
где 
— амплитуда напряжения.
Произведение
обозначается
,называетсяиндуктивным
сопротивлением и измеряется в Омах:
Из выражения 3.18
следует, что на участке цепи с
индуктивностью L
напряжение опережает ток на четверть
периода. На рис. 3.7в вектор напряжения 
опережает вектор токаi на 900,
а комплекс (вектор) Э.Д.С. самоиндукции
находится в противофазе с комплексом
напряжения
индуктивное
сопротивление пропорционально 
Если R =0, то средняя активная мощность
равна 0
Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме.
Урав-ие представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока в комплексной форме
(3,9)
где Z – комплексное сопротивление, Ом.
В общем случае Z имеет некоторую действительную часть R и некоторую мнимую часть jX,
Уравнение 3.9 можно
записать иначе. Разделим обе его части
на 
и перейдём от комплексных амплитуд
и
к комплексам действующих значений
и
По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю:
Подставив вместо 
выражение
и вынеся
за скобку, получим
.
Таким образом,
— первый
закон Кирхгофа в комплексной форме.
Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа и представить в комплексной форме:
Пассивные элементы r, l, c в цепи синусоидального тока
1) Резистивный элемент
В электрической
цепи с резистивным элементом R ток
изменяется по синусоидальному закону
с начальной фазой 
,то
есть
Напряжение на зажимах резистора
где 
— амплитудное значение напряжения на
зажимах резистора,
— начальные фазы напряжения и тока.
Кривые изменения напряжения
и токаi (рис. 3.6б) в один и тот же момент времени
t достигают максимального значения
и одновременно проходят нулевые
значения. Иначе говоря, обе кривые
совпадают по фазе (рис. 3.6в).
Векторы 
и
совпадают по направлению (уголφ=0).
Переходя к действующим значениям
можно записать
Сопротивление переменному току будет больше, чем постоянному за счет неравномерного распределения тока в проводе и потерь энергии в окружающую среду. Поэтому в отличие от сопротивления постоянному току сопротивление R в цепи переменного тока называется активным.
2) Индуктивный элемент
Изменение тока в
цепи с индуктивностью L (рис. 3.7а)
вызывает возникновение Э.Д.С. самоиндукции 
,
которая по закону Ленца противодействует
изменению тока. При увеличении тока
Э.Д.С.
действует навстречу току, а при
уменьшении — в направлении тока,
противодействуя его изменению.
Показанные на рис. 3.7а положительные
направления
и
имеют место только в течение некоторого
узкого
промежутка времени. Для тока, изменяющегося
по гармоническому закону 
и приL= const Э.Д.С.
самоиндукции
Чтобы в цепи протекал ток, требуется иметь на зажимах напряжение, уравновешивающее Э.Д.С. самоиндукции, равное ей по значению и противоположное по знаку.
где 
— амплитуда напряжения.
Произведение
обозначается
,называетсяиндуктивным
сопротивлением и измеряется в Омах:
Из выражения 3.18
следует, что на участке цепи с
индуктивностью L
напряжение опережает ток на четверть
периода. На рис. 3.7в вектор напряжения 
опережает вектор токаi на 900,
а комплекс (вектор) Э.Д.С. самоиндукции 
находится в противофазе с комплексом
напряжения
индуктивное
сопротивление пропорционально 
Если R =0, то средняя активная мощность
равна 0
Основные законы цепей постоянного тока
Расчет и анализ электрических цепей производится с использованием закона Ома, первого и второго законов Кирхгофа. На основе этих законов устанавливается взаимосвязь между значениями токов, напряжений, ЭДС всей электрической цепи и отдельных ее участков и параметрами элементов, входящих в состав этой цепи.
Закон Ома для участка цепи
Соотношение
между током I, напряжением UR и сопротивлением
R участка аb электрической цепи (рис. 1.3)
выражается законом Ома
Рис.1 или UR = RI.
В этом случае UR = RI – называют напряжением
или падением напряжения на резисторе R, а – током в резисторе R.
При расчете электрических цепей иногда удобнее пользоваться не сопротивлением R, а величиной обратной сопротивлению, т.е. электрической проводимостью:
.
В этом случае закон Ома для участка цепи запишется в виде:
I = Uq.
Закон Ома для всей цепи
Этот закон определяет зависимость между ЭДС Е источника питания с внутренним сопротивлением r0 (рис.1), током I электрической цепи и общим эквивалентным сопротивлением RЭ = r0 + R всей цепи:
.
Сложная электрическая цепь содержит, как правило, несколько ветвей, в которые могут быть включены свои источники питания и режим ее работы не может быть описан только законом Ома. Но это можно выполнить на основании первого и второго законов Кирхгофа, являющихся следствием закона сохранения энергии.
Первый закон Кирхгофа
В любом узле электрической цепи алгебраическая сумма токов равна нулю
,
где m – число ветвей подключенных к узлу.
При записи уравнений по первому закону Кирхгофа токи, направленные к узлу, берут со знаком «плюс», а токи, направленные от узла – со знаком «минус». Например, для узла а (см. рис. 1) I — I1 — I2 = 0.
Второй закон Кирхгофа
В любом замкнутом контуре электрической цепи алгебраическая сумма ЭДС равна алгебраической сумме падений напряжений на всех его участках
,
где n – число источников ЭДС в контуре; m – число элементов с сопротивлением Rк в контуре; Uк = RкIк – напряжение или падение напряжения на к-м элементе контура.
Для схемы (рис. 1) запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:
E = UR + U1.
Если в электрической цепи включены источники напряжений, то второй закон Кирхгофа формулируется в следующем виде: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах контура, включая источники ЭДС равна нулю
.
При записи уравнений по второму закону Кирхгофа необходимо:
1) задать условные положительные направления ЭДС, токов и напряжений;
2) выбрать направление обхода контура, для которого записывается уравнение;
3) записать уравнение, пользуясь одной из формулировок второго закона Кирхгофа, причем слагаемые, входящие в уравнение, берут со знаком «плюс», если их условные положительные направления совпадают с обходом контура, и со знаком «минус», если они противоположны.
Рис.2
Запишем уравнения по II закону Кирхгофа для контуров электрической схемы (рис. 2):
контур I: E = RI + R1I1 + r0I,
контур II: R1I1 + R2I2 = 0,
контур III: E = RI + R2I2 + r0I.
В действующей цепи электрическая энергия источника питания преобразуется в другие виды энергии. На участке цепи с сопротивлением R в течение времени t при токе I расходуется электрическая энергия
W = I2Rt.
Скорость преобразования электрической энергии в другие виды представляет электрическую мощность
.
Из закона сохранения энергии следует, что мощность источников питания в любой момент времени равна сумме мощностей, расходуемой на всех участках цепи.
.
Это соотношение (1.8) называют уравнением баланса мощностей. При составлении уравнения баланса мощностей следует учесть, что если действительные направления ЭДС и тока источника совпадают, то источник ЭДС работает в режиме источника питания, и произведение E I подставляют в (1.8) со знаком плюс. Если не совпадают, то источник ЭДС работает в режиме потребителя электрической энергии, и произведение E I подставляют в (1.8) со знаком минус. Для цепи, показанной на рис. 1.2 уравнение баланса мощностей запишется в виде:
EI = I2(r0 + R) + I12R1 + I22R2.
Схемы соединения приёмников электрической цепи.
Сопротивления в электрических цепях могут быть соединены последовательно, параллельно, по смешанной схеме и по схемам «звезда», «треугольник». Расчет сложной схемы упрощается, если сопротивления в этой схеме заменяются одним эквивалентным сопротивлением Rэкв, и вся схема представляется в виде схемы на рис. 1.3, где R=Rэкв, а расчет токов и напряжений производится с помощью законов Ома и Кирхгофа.
7.3. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Благодаря линейности преобразования Лапласа, законы Ома и Кирхгофа можно написать для изображений токов и напряжений
Закон
Ома: 
(7.7)
где
Z(p)=R+ZL(p)+ZC(p) — операторное сопротивление цепи;
ZL(p)=pL -операторное сопротивление индуктивности;
-операторное
сопротивление ёмкости;
E(p) -изображение ЭДС;
Li(0) и 
— расчётные напряжения,
характеризующие запасенную энергию в
индуктивности и ёмкости к моменту
коммутации.
Первый
закон Кирхгофа: 
(7.8)
Второй
закон Кирхгофа: 
(7.9)
Т.к. для изображений справедливы законы Кирхгофа, то для нахождения изображений токов и напряжений и цепи можно использовать все методы расчёта ЭЦ. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами (рис. 7.1), составленными на основании (7.3-7.6)
Рис. 7.1. Операторные схемы замещения элементов ЭЦ.
7.4. Определение оригинала функции по его изображению
Существуют три способа определения оригинала искомой функции по его изображению:
с помощью обратного преобразования Лапласа;
с помощью таблиц;
по теореме разложения.
Если изображение
F(p) получено
в виде рациональной дроби 
,
то оригинал определяется по теореме
разложения. В зависимости от вида корней
уравнения F2(p)=0,
существуют следующие виды записи теоремы
разложения:
корни вещественны и различны
,
где рк – корни функции
(7.10)
F2(p)=0; n -число корней;
.
при наличии нулевого корня
(7.11)
Пример: Определить оригинал функции 
.
; 
p1= -2; p2=0
F1(0)=3; F3(0)=2; F1(p1)=-2+3=1; F3’(p1)=2
.
7.5. Порядок расчёта переходных процессов операторным методом
Расчёт производится в следующем порядке:
Определение независимых начальных условий
Составление эквивалентной операторной схемы цепи после коммутации
С помощью любого из методов расчёта определить изображение искомых величин
По полученному изображению определить оригинал искомой функции
Пример: Определить переходной ток в цепи рис. 7.2а операторным методом.
R1
L
i
R1
i(-0)
R1
I(p)
E
E
E/p
pL
R2
R2
Li(0)
б)
в)
a)
Рис. 7.2.
Независимые начальные условия определяются по схеме рис. 7.2б.
.
Эквивалентная операторная схема приведена на рис. 7.2в
По
закону Ома 
Определим оригинал тока:
1 способ — с помощью таблицы «оригинал-изображение»
По
таблице 
; 
2 способ — по теореме разложения (7.11)
;
F1(0)=E; F3(0)=R1; F3’(p)=L;
,
.
7.6. Операторная передаточная функция
Важную роль в методах анализа и синтеза ЭЦ играет операторная передаточная функция H(p), равная отношению изображения реакции цепи и изображению воздействия при нулевых начальных условиях. Различают следующие виды передаточных функций:
; 
; 
; 
.
Операторная передаточная функция представляет собой дробно-рациональную функцию с вещественными коэффициентами
.
(7.12)
Степени полиномов числителя и знаменателя зависят от числа реактивных элементов цепи и её схемы.
Устойчивыми называются ЭЦ, у которых при произвольных начальных условиях свободные колебания стремятся к нулю с неограниченным ростом времени, т.е. переходные процессы будут затухающими.
Цепь будет устойчивой, если все полюсы передаточной функции (корни уравнения N(p)=0) располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р. Они могут быть вещественными или комплексно- сопряженными. Для этого необходимо, чтобы полином N(p) содержал вещественные коэффициенты, т.е. являлся полиномом Гурвица.
Рис. 7.3. Расположение полюсов устойчивой цепи в случае
а) действительных корней; б) комплексно- сопряженных корней.
Зная операторную передаточную функцию, можно найти изображение реакции, а по нему и реакцию цепи на заданное воздействие.
Пример: Определить u2(t) цепи рис. 7.4а
Рис. 7.4. Исходная схема а) и её операторная схема замещения б).
;
По таблице определим оригинал u2(t)
Законы Кирхгофа и Ома
|
|
|
|
|
| 29 | ||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1.17. Схема замещения катушки индуктивности а –– на постоянном токе; б –– на низких частотах; в –– на высоких частотах
Rк –– активное сопротивление катушки; Cп –– паразитная межвитковая ёмкость
пользовать один резистивный элемент). С ростом частоты возрастёт влияние межвитковой ёмкости (витки выполнены из изолированного провода, таким образом два соседних можно рассматривать как конденсатор) (рис. 1.17).
На сверхвысоких частотах резко возрастает роль индуктивности и ёмкости выводов катушки индуктивности.
1.3. Законы Кирхгофа и Ома
Закон Ома и два закона (иногда их называют правилами) Кирхгофа являются основополагающими законами электротехники. Они полностью определяют электрическое состояние электрических цепей и лежат в основе всех электротехнических расчетов.
1.3.1. Закон Ома
Закон Ома, связывающий напряжение и ток в электрической цепи, был экспериментально открыт немецким физиком Георгом Симоном Омом (1787 –– 1854 гг.) в 1827 г.
Для пассивного участка цепи (рис. 1.18) закон Ома имеет вид:
i = Ru
где R –– сопротивление цепи.
