определение, какой имеет вид, математическая запись

Содержание:

• Закон Ома — трактовка и пределы применимости
• Когда применяется в дифференциальной форме
• Переход от интегральной формы закона Ома к дифференциальной
• Какой имеет вид, математическая запись, примеры

Содержание

• Закон Ома — трактовка и пределы применимости
• Когда применяется в дифференциальной форме
• Переход от интегральной формы закона Ома к дифференциальной
• Какой имеет вид, математическая запись, примеры

Закон Ома — трактовка и пределы применимости

Закон Ома представляет собой эмпирическую закономерность в физике, демонстрирующую зависимость между электродвижущей силой источника, силой тока, транспортируемого по проводнику, и сопротивлением, которым он обладает.

Примечание 1

Описанная физическая закономерность в начальном варианте с соответствующими единицами измерения была сформулирована Георгом Омом в 1826 году. Публикация закона, названного в честь ученого, состоялась в 1827 году.

Особенность закона Ома состоит в том, что это эмпирическое соотношение по смыслу, а не фундаментальная закономерность, как, к примеру, закон Кулона, что можно считать недостатком. Закон Ома расшифровывает распространенные в реальных условиях разновидности проводников с учетом малых частот, электрических плотностей, напряжений электрического поля. В определенных случаях такая закономерность не выполняется.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Если закон Ома соблюдается для каких-либо проводников, то они носят название омических.

Перечислим условия, в которых нельзя наблюдать выполнение закона Ома:

1. Нужно учитывать инерционность носителей заряда при чрезмерно высоких частотах.
2. Сверхпроводимые материалы в холоде.
3. Ток протекает по проводнику, от чего последний слишком нагревается. В качестве примера данного процесса можно привести лампу накаливания.
4. Возникновение пробоя, когда проводник или диэлектрик находятся под большим напряжением.
5. Электронные лампы с газом или вакуумом, включая, люминесцентные.
6. В случае с диодами, транзисторами, прочими гетерогенными полупроводниками и аналогичными приборами, которые обладают p-n-переходами.
7. Формирование пространственного заряда в диэлектрике в контактах металл-диэлектрик.

Когда применяется в дифференциальной форме

Существует несколько факторов, которые определяют величину сопротивления, обозначенную за R. Перечислим их:

• состав проводника;
• габариты токопроводящего элемента.

При решении некоторых задач в области физики закон Ома целесообразно представить в дифференциальном формате с пояснениями.

В таком случае нет необходимости учитывать размеры проводника, а закономерность формируется, исходя из электропроводящих свойств, характерных для конкретного материала с определенной электропроводностью.

Переход от интегральной формы закона Ома к дифференциальной

Когда в задании предложено рассмотреть изотропные проводники, следует воспользоваться формулой:

\(\mathbf {J} =\sigma \mathbf {E}\)

Здесь \(\mathbf {J}\) обозначает направление электрической плотности, \(\sigma\) является удельной проводимостью, \(\mathbf {E}\) демонстрирует вектор напряженности электрического поля.

Заметим, что каждая из перечисленных величин представляет собой функцию координат и, в обобщенном случае, времени. Когда в формулировке условия указан анизотропный материал, допустима разная ориентация векторов электрической плотности и напряженности. Тогда удельная проводимость \(\sigma_{ij}\) становится симметричным тензором ранга (1, 1). Одновременно с этим закон Ома, который представлен в дифференциальном виде, преобразуется следующим образом:

\(J_{i}=\sum _{j=1}^{3}\sigma _{ij}E_{j}\)J

Какой имеет вид, математическая запись, примеры

В своих трудах ученый записал закономерность в такой форме:

\(X\!={a \over {b+l}}\)

Здесь X обозначает параметры гальванометра, то есть силу тока, как в современных источниках. Величина a является характеристикой свойств, которыми обладает источник напряжения, не меняется в широком диапазоне и при изменении величины тока, или ЭДС. Длина l определяет протяженность соединяющих проводов, то есть демонстрирует сопротивление внешней цепи. Параметр b используют для обозначения свойств электрической системы в целом.

Если переписать вышеуказанную формулу в соответствии с современными понятиями электрических величин, то получим закон Ома, выполняемый в условиях полной цепи:

\(I\!={\varepsilon \! \over {R+r}}\)

В данном случае \(\varepsilon \!\) обозначает электродвижущую силу, I является силой тока, R представляет собой сопротивление, r равно сопротивлению, сформированному внутри источника напряжения.

Задача 1

Электрический чайник включили в электросеть, напряжение в которой равно 220 В. Потребление устройства составляет 1,1 А. Требуется вычислить, каково внутреннее сопротивление источника напряжения.

Решение

Запишем условия, указанные в задании:

U = 220 В

I = 1,1 А

Воспользуемся уже знакомой закономерностью Ома и применим ее к рассматриваемому участку цепи. Получим следующее уравнение:

\(R = \frac{U}{I} = \frac{220}{1,1} = 200 Ом\)

Ответ: R = 200 Ом.

Задача 2

Рассмотрим пример задачи для полной замкнутой цепи. Электродвижущая сила источника постоянного тока составляет 24 В. При этом внутри сопротивление равно 1,5 Ом. Данный источник замкнули на внешнее сопротивление в 11 Ом. Необходимо рассчитать, чему равна сила тока в цепи.

Решение

Запишем исходную информацию согласно условиям задания:

Е=24 В

r=1,5 Ом

R = 11 Ом

В этом случае целесообразно применить закономерность Ома для цепи в замкнутом состоянии. Запишем справедливое равенство в буквенной форме и подставим числовые значения:

\(I = \frac{E}{R+r} = \frac{24}{11+1,5} = 1,92 А.\)

Ответ: I = 1,92 А.

Насколько полезной была для вас статья?

У этой статьи пока нет оценок.

Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»

Поиск по содержимому

Электронная теория электропроводности металлов. Дифференциальная форма законов Ома и Джоуля — Ленца. Законы Ома и Джоуля – Ленца в электронной теории

Объяснение различных свойств вещества существованием и движением в нем электронов составляет содержание электронной теории.

В 1916 г. Стюарт и Толмэн, обобщая результаты экспериментов по электропроводности металлов, установили, что в металлах носителями тока являются свободные электроны. На основании этого утверждения Лоренц и Друде создали классическую электронную теорию проводимости металлов. Лоренц считал, что свободные электроны в металле находятся в состоянии беспорядочного непрерывного движения, и в этом смысле совокупность электронов в металле представляет «электронный газ». Состояние этого газа подчиняется основным законам молекулярной физики. Также предполагалось, что движение электронов подчиняется законам классической механики.

Чтобы упростить соответствующие расчеты, допустим, что все электроны проходят между двумя последовательными соударениями одинаковые расстояния, равные средней длине свободного пробега электронов . При каждом соударении электрон передает решетке накопленную энергию полностью и поэтому после соударения начинает движение без начальной скорости.

Вычислим плотность тока , возникающего в металле под действием электрического поля с напряженностью .

Так как электрон несет заряд e, то плотность тока равна заряду, перенесенному электронами в единицу времени через единичную поверхность, и определится как

, (8.1)

где – концентрация электронов проводимости; – заряд электрона; 
 – средняя скорость упорядоченного (направленного) движения электронов.

На каждый электрон действует сила , и электрон приобретает ускорение

.

Поэтому к концу свободного пробега скорость электрона

, (8.2)

где – среднее время между двумя соударениями.

Так как электрон между соударениями движется ускоренно, то среднее значение скорости равно половине ее максимального значения

. (8.3)

Среднее время между двумя соударениями (время ускоренного движения) определяется по формуле

, (8.4)

где – средняя скорость теплового (хаотического) движения электронов; l – длина свободного пробега электронов.

Подставляя (8.4) в (8.3), находим

. (8.5)

Из этой формулы видно, что средняя скорость упорядоченного движения пропорциональна напряженности электрического поля . Поэтому можно записать

,

где не зависит от напряженности электрического поля. Величину b называют подвижностью электронов. Она равна скорости упорядоченного движения в поле с напряженностью, равной единице.

Подставляя найденное значение скорости по (8.5) в выражение плотности тока (8. 1), найдем

. (8.6)

Это выражение представляет собой закон Ома, определяющий, что плотность тока пропорциональна напряженности электрического поля.

Коэффициент пропорциональности

, (8.7)

 

зависящий от материала проводника и внешних условий, получил название удельной электропроводности. Удельная электропроводность зависит от средней скорости хаотического движения электронов, которая в свою очередь зависит от температуры

 

.

 

Поэтому формула (8.7) объясняет факт уменьшения электропроводности с увеличением температуры металла.

В общем виде Закон Ома в дифференциальной форме записывается

 

.

 

К концу свободного пробега электроны приобретают под действием электрического поля кинетическую энергию

 

. (8.8)

 

При соударении вся эта энергия передается решетке и переходит в тепло. В единицу времени каждый электрон испытывает соударений. Так как в единице объема содержится электронов, то количество тепла , выделяемое в единице объема металла в единицу времени, определится по формуле

 

.

 

Воспользовавшись формулой (7.18), получим

 

. ^(8.9)

 

Формула (7.18) выражает закон Джоуля–Ленца в дифференциальной форме.

Таким образом, представление о свободных электронах в металлах объясняет законы Ома и Джоуля–Ленца. Однако дальнейшее развитие этой теории, встречает существенные трудности, которые можно преодолеть лишь с помощью квантовой теории.

Импеданс и обобщенный закон Ома

Импеданс и обобщенный закон Ома

Следующий: Системы первого порядка Уровень выше: Глава 3: Цепь переменного тока Предыдущий: Фазорное представление синусоидального сигнала

Полное сопротивление основных компонентов

Во временной области соотношение между синусоидальным током через и синусоидальное напряжение на конденсаторе или индуктор описывается дифференциальным уравнением. Однако, в частотной области, где эти синусоидальные переменные представлены в виде комплексных экспонент, а такие компоненты, как поскольку R, C и L представлены своими импедансы , тогда соотношение между синусоидальным напряжением и током можно описать алгебраическим уравнением.

В частности, мы представляем синусоидальное напряжение и ток как проекция соответствующего вектора в комплексе плоскость, вращающаяся против часовой стрелки относительно действительной оси:

(33)

и определите импеданс компонента (R, C и L) как отношение напряжения и тока, связанного с компонент как в комплексной экспоненциальной форме:

Полное сопротивление

(34)

Это обобщенная версия закона Ома для цепей переменного тока.

• Резистор:

  (35)

  Импеданс резистора — это отношение векторных представлений напряжения и тока. Поскольку ток через и напряжение через резистор всегда находится в фазе, т. е. имеем

  (36)

  Величина и фаза тока и напряжения связаны соотношением:

  (37)

  Резистор не вносит фазового сдвига между напряжением и током, т. е. они находятся в фазе.
• Конденсатор:

  (38)

  Импеданс конденсатора — это отношение векторных представлений напряжения и тока:

  (39)

  Величина и фаза тока и напряжения связаны соотношением:

  (40)

  Фазовый сдвиг, вносимый конденсатором, равен , т. е. напряжение отстает от тока на , или ток опережает напряжение на («ICE»).
• Индуктор:

  (41)

  Импеданс индуктора — это отношение векторных представлений напряжения и тока:

  (42)

  Величина и фаза тока и напряжения связаны соотношением:

  (43)

  Фазовый сдвиг, вносимый катушкой индуктивности, равен , т. е. напряжение опережает ток на («ELI»).

Один из способов запомнить фазу между напряжением и током связанный с конденсатором и катушкой индуктивности, это «ELI the ICE man». Кроме того, рассмотрим два крайних случая:

• Когда , а на конденсаторе ноль проводимость из-за изоляции между двумя его пластинами (разомкнутая цепь), а поскольку нет изменения потока в катушке индуктивности и сопротивления катушки в идеале равен нулю.
• Когда , и конденсатор становится высокопроводящим и как самоиндуцированный напряжение в катушке всегда действует против любого изменения на входе (закон Ленца).

В цепи постоянного тока каждый резистор измеряется либо его сопротивлением или его проводимость. В цепи переменного тока каждый компонент (конденсатор, индуктора или резистора) измеряется его импедансом , из которых действительная и мнимая части — соответственно сопротивление и реактивное сопротивление , или его допуска , действительные и мнимые части которых равны соответственно проводимость и проводимость, как показано ниже:

• Полное сопротивление

  Как комплексная переменная импеданс может быть записан в любом Декартова или полярная форма:

  (44)

  • Действительная часть импеданса называется сопротивлением .
  • Мнимая часть импеданса называется реактивным сопротивлением .
  Импеданс, сопротивление и реактивное сопротивление измеряются в одних и тех же единицах. Ом ().

  Величина и фазовый угол:

  (45)

  Импедансы связанный с и оба являются чисто мнимыми, т. е. оба являются реактивными, что указывает на то, что эти компоненты являются реактивными и не потребляют энергии.
• Допуск

  Обратная величина импеданса называется адмиттансом :

  (46)

  • Действительная часть проводимости называется проводимостью :

    (47)

  • Мнимая часть проводимости называется проводимостью :

    (48)

  Адмиттивность, проводимость и реактивная проводимость измеряются одним и тем же единица Сименс ().

  Величина и фаза комплексной проводимости

  (49)

(50)

Импеданс и проводимость являются комплексными переменными. действительные части и всегда положительны, а мнимые частей и может быть как положительным, так и отрицательным. Следовательно и может находиться только в 1-м или 4-м квадрантах комплексной плоскости.

В частности, проводимости трех типов элементов R, L и С

(51)

Закон Ома также может быть выражен в терминах допуска, а также импеданс. Иногда при анализе цепей удобнее использовать адмитанс вместо импеданса.

• Параллельные компоненты:

  (52)

• Компоненты в серии:

  (53)

Обобщенный закон Ома и законы Кирхгофа

В общем, все методы, такие как закон Ома и законы Кирхгофа, используемые для постоянного тока цепи, состоящие из резисторов, можно обобщить до цепей переменного тока, состоящих конденсаторов, катушек индуктивности, а также резисторов, представленных их импедансы.

Кроме того, если предположить, что все напряжения и токи в цепи синусоидами одной частоты, их можно представить в виде сложных фазоры.

Закон Ома можно обобщить следующим образом:

(54)

и законы Кирхгофа теперь можно сформулировать как:

• Текущий закон (KCL): Векторная сумма токов в узел равен нулю .
• Закон о напряжении (KVL):
  Векторная сумма напряжений вокруг контура равен нулю .

Решение цепи переменного тока векторным методом

Если только стационарные решения ДУ, описывающего цепь переменного тока, интерес, метод фазора может быть использован для решения задачи алгебраически без решения ДЭ. В частности, все синусоидальные переменные представлены как вектора с точки зрения их амплитуд и фаз, и все компоненты в цепи (L и C, а также R) представлены их импедансами, так что все законы (закон Ома, ККЛ и КВЛ, делители тока и напряжения, параллельные и последовательных комбинаций компонентов) и методы (петлевой ток и узел методы напряжения, теоремы Тевенина и Нортона и т.

д.), обсуждаемые для постоянного тока можно применить схему.

Операции над синусоидальными переменными на основе тригонометрических тождеств вообще длинные и нудные. Метод фазора может преобразовать такие синусоидальные переменные в векторы в комплексной плоскости и тем самым упростить операции.

Вот повторение сложной арифметики.

Пример 1:

Решите схему ниже. Напряжение от генератора равно .

Заданное напряжение может быть выражено в векторной форме как

(55)

Сначала найдите импедансы и проводимости компонентов и две ветви. В качестве , мы получили

Затем найдите все токи в векторной форме:

Проверять:

Пример 2:

ток течет по цепи, состоящей из резистора , конденсатор , и индуктор соединены последовательно. Найдите результирующее напряжение на всех три элемента.

• Выразить вектором: .
• Найдите импеданс для каждого элемента ( ):

  (56)

• Найти полное сопротивление:

  (57)

• Найдите напряжение на всех трех элементах:

  (58)

  (59)

В качестве альтернативы мы можем найти напряжение на каждом из элементов:

или во временной области:

Складывая , , и , получаем общее напряжение что то же самое, что мы получили выше:

(62)

Пример 3:

В схеме ниже, с некоторым неизвестным пиковым значением, , и . Среднеквадратичное значение поперек составляет 10 В. Это также известно, что и находятся в фазе.

• Найти .
• Найдите среднеквадратичное значение и .
• Найдите среднеквадратичное значение и .
• Найдите максимальное значение .

Решение

Сначала отметим, что позади по , и опережает by («ELI the ICE man»). Также, как и находятся в фазе, параллельное сочетание ветвей RL и RC не вносит фазового сдвига, т. е. его импеданс, показанный ниже, должен быть настоящий:

(63)

т.е. Таким образом, мы получаем и , , , , т. е.

(64)

В качестве , . Но поскольку они разнесены по фазе, мы имеем , и из векторная диаграмма . Мы также получаем токи через отделения РЦ и РЛ проходят:

(65)

Но их разность фаз равна , имеем

(66)

Напряжение на , и

(67)

Таким образом, пиковое значение равно

---

Следующий: Системы первого порядка Уровень выше: Глава 3: Цепь переменного тока Предыдущий: Фазорное представление синусоидального сигнала

4.

1: Уравнение непрерывности и законы Кирхгофа

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

56989

• Константин К. Лихарев
• Университет Стоуни Брук

До сих пор наше обсуждение проводников ограничивалось случаями, когда они разделены изоляторами (имеется в виду либо свободное пространство, либо некая диэлектрическая среда), препятствующими какому-либо непрерывному движению зарядов от одного проводника к другому, даже при наличии ненулевое напряжение (а значит, и электрическое поле) между ними – см. рис. 1а.

Рис. 4.1. Два противоположно заряженных проводника: (а) в электростатической ситуации, (б) при релаксации заряда через дополнительный узкий проводник («проволоку») и (в) в системе, поддерживающей постоянный ток \(\ I\).

Теперь соединим два проводника проводом – тонким, удлиненным проводником (рис. 1б). Затем электрическое поле вызывает движение носителей заряда в проводе — от проводника с более высоким электростатическим потенциалом к ​​проводнику с более низким потенциалом, пока потенциалы не уравновесятся. Такой процесс называется релаксацией заряда. Основное уравнение, управляющее этим процессом, может быть получено из фундаментального экспериментального факта (уже упоминавшегося в разделе 1.1) о том, что электрические заряды не могут появиться или исчезнуть, хотя противоположные заряды могут рекомбинировать с сохранением общего заряда. В результате заряд \(\Q\) в проводнике может измениться только за счет электрического тока \(\I\) по проводу:

\[\ \frac{d Q}{d t}=-I(t),\tag{4.1}\]

отношение, которое можно понимать как определение тока. ¹

Выразим уравнение. (1) в дифференциальной форме, вводя понятие плотности тока \(\ \mathbf{j}(\mathbf{r})\). Этот вектор может быть определен следующим соотношением для элементарного тока \(\ dI\), пересекающего элементарную площадку \(\ dA\) (рис. 2):

\[\ d I=j d A \cos \theta=(j \cos \theta) d A=j_{n} d A,\tag{4.2}\] 9{3} r=0.\тег{4.4}\]

Так как объем \(\ V\) произволен, это уравнение может быть истинным, только если

\[\ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \mathbf{j}=0.\quad\quad\quad\quad\text{Уравнение непрерывности}\tag{4.5}\ ]

Это фундаментальное уравнение непрерывности, верное даже для явлений, зависящих от времени. ²

Релаксация заряда, показанная на рис. 1б, конечно, является динамическим, зависящим от времени процессом. Однако электрические токи могут существовать и в стационарных ситуациях, когда определенный источник тока, например, батарея, направляет ток против электрического поля и, таким образом, пополняет заряды проводника и поддерживает токи на определенном независимом от времени уровне – см. рис. 1с. . (Этот процесс требует постоянного восполнения электростатической энергии системы либо от источника, либо от большого запаса энергии другого рода, скажем, химической энергии батареи. ) Обсудим закономерности распределения таких постоянных токи. В этом случае \(\ (\partial / \partial t=0)\), уравнение. (5) сводится к очень простому уравнению

\[\ \nabla \cdot \mathbf{j}=0.\tag{4.6}\]

Еще более простой вид это соотношение приобретает в частном, но важном случае электрических цепей постоянного тока (рис. 3) – систем, которые правомерно представить в виде прямых («гальванических») соединений компонентов двух типов:

(i) малогабаритные (сосредоточенные) элементы схемы, то есть пассивный резистор, источник тока и т. д. – вообще любой «черный ящик» с двумя или более клеммами, и

(ii) идеально проводящие провода с незначительным падением электростатического потенциала вдоль них, гальванически связанные в определенных точках, называемых узлами (или «соединениями»).

Рис. 4.3. Типичная система, подчиняющаяся законам Кирхгофа.

В стандартной теории цепей электрические заряды узлов считаются незначительными, ³ , и мы можем интегрировать уравнение. (6) по замкнутой поверхности, проведенной вокруг любого узла, получить простое равенство

\[\ \sum_{j} I_{j}=0,\tag{4.7a}\]

, где суммирование ведется по всем проводам (пронумерованным индексом \(\j\)) соединенных в узле. С другой стороны, по определению (2.25) напряжение \(\ V_{k}\) на каждом элементе цепи можно представить как разность электростатических потенциалов соседних узлов, \(\ V_{k} =\phi_{k}-\phi_{k-1}\). Суммируя такие разности вокруг любого замкнутого контура схемы (рис. 3), мы получаем сокращение всех слагаемых, так что 9{s t}\) законы Кирхгофа ⁴ – или иногда правило узла (7a) и правило петли (7b). Они могут показаться элементарными, и их подлинная сила заключается в том математическом факте, что любой набор уравнений. (7), охватывая каждый узел и каждый элемент цепи системы хотя бы один раз, дает систему уравнений, достаточную для расчета всех токов и напряжений в ней – при условии, что связь между током и напряжением известна для каждого элемента цепи .

Почти очевидно, что при отсутствии источников тока система уравнений (7) имеет только тривиальное решение: \(\ I_{j}=0, V_{k}=0\) – за экзотическим исключением сверхпроводимость, которая будет обсуждаться в гл. 6.3. Источники тока, допускающие протекание ненулевого тока, могут быть описаны их электродвижущими силами (ЭДС) \(\ \mathscr{V}_{k}\), имеющими размерность напряжения, которые необходимо учитывать в соответствующих членах \(\ V_{k}\) суммы (7б). Позвольте мне надеяться, что читатель имеет некоторый опыт использования уравнений. (7) для анализа простых схем, скажем, состоящих из нескольких резисторов и батарей, чтобы я мог сэкономить время, пропустив их обсуждение. Тем не менее, ввиду их практической важности, я бы рекомендовал читателю провести самопроверку, решив пару задач, предложенных в начале гл. 6.

---

¹ В качестве (надеюсь, ненужного 🙂 напоминания, в единицах СИ сила тока измеряется в амперах (А). В законодательной метрологии ампер (а не кулон, который определяется как 1C = 1A x 1s) является основной единицей измерения. (Его формальное определение будет обсуждаться в следующей главе.) В гауссовых единицах уравнение (1) остается прежним, так что единицей тока является статкулон в секунду – так называемый стаампер.

² Аналогичные дифференциальные соотношения справедливы для плотности любой сохраняющейся величины, например, для массы в классической гидродинамике (см., например, КМ, п. 8.3), и для вероятности в статистической физике (ПМ, п. 5.6) и квантовая механика (КМ, раздел 1.4).

³ Во многих случаях накопление/расслабление заряда может быть описано без явного нарушения уравнения. (7а), просто добавив в анализируемую схему другие элементы схемы, конденсаторы с сосредоточенными параметрами (см. рис. 2.5 и его обсуждение). Полученная схема может быть использована для описания не только переходных процессов, но и периодических переменных токов. Однако мне удобно отложить обсуждение таких цепей переменного тока до главы 6, где будет представлен еще один тип элементов схемы — сосредоточенные индуктивности.