Лекция 13 законы кирхгофа

Для облегчения применения законов Ома при решении задач, относящихся к электрической цепи с установившимся режимом, Кирхгоф вывел два закона или вернее сказать правила. Рассмотрим их.

Первый закон относится к узлам. Под узлом понимают место, где сходятся три и более ветвей. Например, на рис. 13.1.1. — узлы, а — не узел. Ветвью называется участок цепи между двумя соседними узлами.

На основании принципа непрерывности электрического тока количество электричества, подходящего к узлу, должно равняться количеству электричества, уходящего от узла за тот же промежуток времени. Отсюда вытекает первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю. Математически это утверждение запишется

.

Причем подходящий ток берется со знаком «плюс», а отходящий со знаком «минус» (можно и наоборот).

Запишем уравнение Кирхгофа по первого закону для узла (рис. 13.1.2):

или

или

.

На основании последней записи первый закон Кирхгофа можно сформулировать иначе: арифметическая сумма сил токов приходящих к узлу, равна арифметической сумме сил токов, отходящих от этого узла.

Если имеется узлов, то по первому закону независимых уравнений можно составить только . Например, для рис. 13.1.3 . Тогда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, будет (2 – 1 = 1).

В самом деле: для узла A

;

— для узла B

.

Эти уравнения равнозначны, так как, умножив одно из них на , получим тождество.

Участок цепи между соседними узлами называется ветвью. В данной ветви в любой ее точке протекает один и тот же ток.

Второй закон Кирхгофа гласит: в любом замкнутом контуре, выделенном из электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений равна алгебраической сумме ЭДС, действующих в этом контуре. Математически этот закон запишется

.

Докажем этот закон. Дня этого из сложной цепи выделим замкнутый контур (рис. 13.1.3).

Запишем для каждой ветви закон Ома:

;

;

.

Сложим эти три уравнения почленно, получим

,

что и требовалось доказать.

Методика применения законов Кирхгофа для решения задач следующая:

1. В ветвях произвольно расставить направление тока.

2. Подсчитать число узлов n в схеме.

3. Записать по первому закону число уравнений на одно меньше, чем узлов .

4. Выбрать произвольно направление обхода контуров и записать для независимых контуров уравнения по второму закону Кирхгофа. При этом следует помнить, что:

— независимым контуром называется такой контур, в котором есть хотя бы одна ветвь, не входящая в уже ранее взятые (рассмотренные) контуры;

— число независимых контуров равно числу ветвей p в рассматриваемой схеме минус число узлов n в этой схеме плюс единица ;

— произведение тока I на сопротивление R (IR) берется со знаком «плюс», если направление тока совпадает с направлением обхода. Если не совпадает с знаком «минус».

— ЭДС берется со знаком «плюс», если направление обхода происходит в сторону убывания потенциала, т.е. направление обхода совпадает с направлением действия ЭДС. Применяем эту методику для составления системы уравнений по правилам Кирхгофа. для рис. 13.1.3 получим

Далее в эту систему уравнений нужно подставить все численные значения из условия задачи и решить систему уравнений.

Если в результате решения уравнений некоторые токи будут иметь отрицательное значение, то это означает, что их действительное направление в данной ветви противоположно тому, которое было произвольно выбрано. Для проверки правильности найденных токов составляют уравнение баланса мощностей.

Из закона сохранения энергии следует, что в электрической цепи алгебраическая сумма мощностей источников ЭДС равна арифметической сумме мощностей всех приемников. Математически это запишется

.

Если действительные направления ЭДС источника и тока в нем совпадают, то мощность такого источника ЭДС входит в уравнение баланса мощностей со знаком «плюс» и источник отдает энергию. Если не совпадают, то мощность записывается со знаком «минус» (источник ЭДС потребляет энергию).

Совпадение баланса мощности говорит о правильности найденных токов.

Основные этапы построения решения

Основные этапы построения решения

Дифференциальные уравнения решаются численно методом Рунге-Кутта.

Чтобы выписать уравнения Кирхгофа для произвольной трубопроводной сети целесообразно привлечь теорию графов.

Топология трубопроводной сети моделируется с помощью ориентированного графа, причем дуги графа соответствуют участкам труб и элементам, имеющим гидравлическое сопротивление, а вершины графа соответствуют концам труб (и точкам их соединения).

Пусть A — матрица инцидентности (точнее базисная подматрица матрицы инцидентности, которая получается из полной матрицы инцидентности в результате отбрасывания какой-нибудь строки — обычно последней). Тогда первый закон Кирхгофа, утверждающий, что сумма расходов, втекающих и вытекающих в любой узел равна нулю, можно записать в виде матричного уравнения

Рисунок 176.

Для записи второго закона Кирхгофа используется матрица базисных циклов

В. Эту матрицу можно получить в результате следующей процедуры. Выберем какое-нибудь остовное дерево графа (для ускорения процессов сходимости итерационных процессов решения нелинейных уравнений Кирхгофа рекомендуется выбирать дерево с наименьшим гидравлическим сопротивлением). Выбор остовного дерева (базисного минора матрицы инцидентности) разбивает дуги графа на ветви и хорды, при этом соответствующие расходы разбиваются на базисные и свободные. С учетом этого разбиения уравнение первый закон Кирхгофа можно переписать в виде:

Рисунок 177.

Здесь A_t и A_c — квадратная и прямоугольная матрицы, составленные соответственно из базисных столбцов (индекс t от английского слова tree — древо) и остальных (индекс с от английского слова chord — хорда).

Выразим базисные переменные через свободные:

Рисунок 178.

Можно показать, что матрица базисных циклов, соответствующая выбранному остовному дереву имеет вид:

Рисунок 179.

Второй закон Кирхгофа, утверждающий, что сумма падений давления, с учетом действующих напоров, по любому замкнутому контуру равна нулю, можно записать в виде:

Рисунок 180.

Здесь — матрица-столбец, составленная из падений давления на каждом из участков трубопроводной сети, E матрица-столбец, составленная из действующих напоров на каждом из участков трубопроводной сети.

Уравнение (1.7) является нелинейным даже в простейшем случае гидравлической сети (в случае гидравлической сети при решении нелинейных уравнений помогает метод Ньютона). В случае паропроводов компоненты векторы определяются из решения системы дифференциальных уравнений, причем решения не являются гладкими функциями.

Излом решения образуется в точке появления конденсата. С учетом этих замечаний для решения нелинейных уравнений применим метод минимизации невязок. Введем вектор невязок (residual vector)

Рисунок 181.

и вычислим норму, например евклидову (в конечномерном случае все нормы эквивалентны), этого вектора:

Рисунок 182.

21.3 Правила Кирхгофа – физика в колледже 2e

Цели обучения

К концу этого раздела вы сможете:

• Проанализируйте сложную схему, используя правила Кирхгофа, используя соглашения для определения правильных знаков различных термов.

Многие сложные цепи, такие как показанная на рис. 21.21, не могут быть проанализированы с помощью последовательно-параллельных методов, разработанных в разделе Резисторы, включенные последовательно и параллельно, и Электродвижущая сила: напряжение на клеммах. Однако есть два правила анализа цепей, которые можно использовать для анализа любой схемы, простой или сложной. Эти правила являются частными случаями законов сохранения заряда и сохранения энергии. Эти правила известны как правила Кирхгофа в честь их изобретателя Густава Кирхгофа (1824–1887).

Рисунок 21.21 Эта схема не может быть сведена к комбинации последовательного и параллельного соединений. Для его анализа можно использовать правила Кирхгофа, специальные приложения законов сохранения заряда и энергии. (Примечание: буква Е на рисунке обозначает электродвижущую силу, ЭДС.)

Правила Кирхгофа

• Первое правило Кирхгофа — правило соединения. Сумма всех токов, входящих в соединение, должна равняться сумме всех токов, выходящих из соединения.
• Второе правило Кирхгофа — правило петли. Алгебраическая сумма изменений потенциала вокруг любой замкнутой цепи (петли) должна быть равна нулю.

Теперь будут даны объяснения двух правил, за которыми следуют советы по решению проблем для применения правил Кирхгофа и рабочий пример, который их использует.

Первое правило Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа (правило соединения) представляет собой применение закона сохранения заряда к соединению; это показано на рис. 21.22. Ток — это поток заряда, а заряд сохраняется; таким образом, любой заряд, втекающий в соединение, должен вытекать наружу. Первое правило Кирхгофа требует, чтобы I1=I2+I3I1=I2+I3 (см. рисунок). Подобные уравнения могут и будут использоваться для анализа схем и решения схемных задач.

Установление связей: законы сохранения

Правила Кирхгофа для анализа цепей представляют собой применение законов сохранения к цепям. Первое правило — применение закона сохранения заряда, а второе правило — применение закона сохранения энергии. Законы сохранения, даже используемые в конкретных приложениях, таких как анализ цепей, настолько просты, что составляют основу этого приложения.

Рисунок 21.22 Правило соединения. На диаграмме показан пример первого правила Кирхгофа, в котором сумма токов, поступающих в соединение, равна сумме токов, выходящих из соединения. В этом случае ток, входящий в переход, разделяется и выходит в виде двух токов, так что I1=I2+I3I1=I2+I3. Здесь I1I1 должен быть 11 А, так как I2I2 равен 7 А, а I3I3 равен 4 А.

Второе правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа (правило цикла) является приложением закона сохранения энергии. Правило цикла сформулировано в терминах потенциала VV, а не потенциальной энергии, но они связаны, поскольку PEelec=qVPEelec=qV. Напомним, что ЭДС — это разность потенциалов источника при отсутствии тока. В замкнутом контуре любая энергия, поставляемая ЭДС, должна быть переведена в другие формы устройствами в контуре, поскольку нет других способов передачи энергии в контур или из него. На рис. 21.23 показаны изменения потенциала в простой последовательной цепи.

Второе правило Кирхгофа требует, чтобы ЭДС-Ir-IR1-IR2=0ЭДС-Ir-IR1-IR2=0. Если переставить, это будет ЭДС=Ir+IR1+IR2ЭДС=Ir+IR1+IR2, что означает, что ЭДС равна сумме падений IRIR (напряжения) в контуре.

Рисунок 21.23 Правило петли. Пример второго правила Кирхгофа, согласно которому сумма изменений потенциала вокруг замкнутого контура должна быть равна нулю. (a) В этой стандартной схеме простой последовательной цепи ЭДС подает 18 В, которое сводится к нулю сопротивлениями, с 1 В на внутреннем сопротивлении и 12 В и 5 В на двух сопротивлениях нагрузки, для всего 18 В. (b) Этот вид в перспективе представляет потенциал как что-то вроде американских горок, где потенциал повышается за счет ЭДС и снижается за счет сопротивления. (Обратите внимание, что буква E означает ЭДС.)

Применение правил Кирхгофа

Применяя правила Кирхгофа, мы получаем уравнения, позволяющие находить неизвестные в цепях. Неизвестными могут быть токи, ЭДС или сопротивления. Каждый раз, когда применяется правило, создается уравнение. Если независимых уравнений столько же, сколько неизвестных, то задача решаема. При применении правил Кирхгофа вы должны принять два решения. Эти решения определяют знаки различных величин в уравнениях, которые вы получаете, применяя правила.

1. Применяя первое правило Кирхгофа, правило соединения, вы должны пометить ток в каждой ветви и решить, в каком направлении он течет. Например, на рис. 21.21, рис. 21.22 и рис. 21.23 токи обозначены I1I1, I2I2, I3I3 и II, а стрелки указывают их направления. Здесь нет никакого риска, потому что, если вы выберете неправильное направление, ток будет правильной величины, но отрицательным.
2. Применяя второе правило Кирхгофа, правило петли, вы должны определить замкнутую петлю и решить, в каком направлении ее обойти, по часовой или против часовой стрелки. Например, на рис. 21.23 петля была пройдена в том же направлении, что и ток (по часовой стрелке). Опять же, нет никакого риска; обход цепи в противоположном направлении меняет знак каждого члена уравнения на противоположное, что похоже на умножение обеих частей уравнения на –1,–1.

Рисунок 21. 24 и следующие пункты помогут вам правильно расставить знаки плюс или минус при применении правила цикла. Обратите внимание, что резисторы и ЭДС пересекаются при переходе от a к b. Во многих схемах будет необходимо построить более одного контура. При обходе каждой петли необходимо следить за знаком изменения потенциала. (См. пример 21.5.)

Рисунок 21.24 Каждый из этих резисторов и источников напряжения проходит от a до b. Возможные изменения показаны под каждым элементом и пояснены в тексте. (Обратите внимание, что буква E означает ЭДС.)

• Когда резистор перемещается в том же направлении, что и ток, изменение потенциала равно −IR−IR. (См. рис. 21.24.)
• Когда резистор перемещается в направлении, противоположном току, изменение потенциала составляет +IR+IR. (См. рис. 21.24.)
• Когда ЭДС перемещается от –– к + (в том же направлении, в котором движется положительный заряд), изменение потенциала составляет +ЭДС. (См. рис. 21.24.)
• Когда ЭДС перемещается от + к –– (противоположно направлению движения положительного заряда), изменение потенциала составляет −−ЭДС. (См. рис. 21.24.)

Пример 21,5

Расчет силы тока: использование правил Кирхгофа

Найдите токи, протекающие в цепи на рис. 21.25.

Рисунок 21.25 Эта схема аналогична схеме на рис. 21.21, но указаны сопротивления и ЭДС. (Каждая ЭДС обозначена буквой E.) Токи в каждой ветви помечены и предполагается, что они движутся в показанных направлениях. В этом примере для нахождения токов используются правила Кирхгофа.

Стратегия

Эта цепь настолько сложна, что токи нельзя найти с помощью закона Ома и последовательно-параллельных методов — необходимо использовать правила Кирхгофа. На рисунке токи обозначены I1I1, I2I2 и I3I3, и были сделаны предположения об их направлениях. Места на схеме обозначены буквами от a до h. В решении мы будем применять правила соединения и петли, ища три независимых уравнения, которые позволят нам найти три неизвестных тока.

Решение

Начнем с применения первого правила или правила соединения Кирхгофа в точке а. Это дает

I1=I2+I3,I1=I2+I3,

21,54

, так как I1I1 впадает в соединение, а I2I2 и I3I3 вытекают. Применение правила соединения в точке e дает точно такое же уравнение, так что никакой новой информации не получается. Это одно уравнение с тремя неизвестными — нужны три независимых уравнения, поэтому необходимо применить правило цикла.

Теперь рассмотрим цикл abcdea. Переходя от a к b, мы пересекаем R2R2 в том же (предполагаемом) направлении, что и ток I2I2, поэтому изменение потенциала равно −I2R2−I2R2. Затем, переходя от b к c, мы переходим от – к +, так что изменение потенциала равно +ЭДС1+ЭДС1. Перемещение внутреннего сопротивления r1r1 от c к d дает −I2r1−I2r1. Завершение цикла путем перехода от d к a снова проходит через резистор в том же направлении, что и его ток, что дает изменение потенциала -I1R1-I1R1.

Правило цикла гласит, что сумма изменений потенциала равна нулю. Таким образом,

-I2R2+emf1-I2r1-I1R1=-I2(R2+r1)+emf1-I1R1=0.-I2R2+emf1-I2r1-I1R1=-I2(R2+r1)+emf1-I1R1=0.

21,55

Подстановка значений сопротивления и ЭДС из принципиальной схемы и отмена единицы измерения ампер дает

−3I2+18−6I1=0,−3I2+18−6I1=0.

21,56

Теперь применение правила цикла к aefgha (мы могли бы выбрать и abcdefgha) аналогичным образом дает

+I1R1+I3R3+I3r2-ЭДС2= +I1R1+I3R3+r2-ЭДС2=0.+I1R1+I3R3+I3r2-ЭДС2= +I1R1+I3R3+r2-ЭДС2=0.

21,57

Обратите внимание, что знаки меняются местами по сравнению с другим циклом, потому что элементы перемещаются в противоположном направлении. С введенными значениями это становится

+6I1+2I3-45=0.+6I1+2I3-45=0.

21,58

Этих трех уравнений достаточно для решения трех неизвестных токов. Сначала решим второе уравнение для I2I2:

I2=6−2I1.I2=6−2I1.

21,59

Теперь решите третье уравнение для I3I3:

I3=22,5−3I1.I3=22,5−3I1.

21,60

Подстановка этих двух новых уравнений в первое позволяет найти значение I1I1:

I1=I2+I3=(6−2I1)+(22,5−3I1)=28,5−5I1. I1=I2 +I3=(6−2I1)+(22,5−3I1)=28,5−5I1.

21,61

Объединение членов дает

6I1=28,5, and6I1=28,5 и

21,62

I1=4,75 A.I1=4,75 A.

21,63

Подстановка этого значения для I1I1 обратно в четвертое уравнение дает

I2=6-2I1=6-9,50I2=6-2I1=6-9,50

21,64

I2=-3,50 A.I2=-3,50 A.

21,65

знак минус означает, что I2I2 течет в направлении, противоположном предполагаемому на рис. 21.25.

Наконец, подстановка значения I1I1 в пятое уравнение дает A.I3=8,25 А.

21.67

Обсуждение

Просто для проверки отметим, что действительно I1=I2+I3I1=I2+I3. Результаты также можно проверить, введя все значения в уравнение для цикла abcdefgha.

Стратегии решения проблем для правил Кирхгофа

1. Убедитесь, что имеется четкая принципиальная схема, на которой вы можете отметить все известные и неизвестные сопротивления, ЭДС и токи. Если ток неизвестен, вы должны присвоить ему направление. Это необходимо для определения признаков потенциальных изменений. Если вы зададите направление неправильно, то обнаружится, что ток имеет отрицательное значение — никакого вреда не будет.
2. Примените правило соединения к любому соединению в цепи. Каждый раз, когда применяется правило соединения, вы должны получать уравнение с током, которого не было в предыдущем приложении — если нет, то уравнение является избыточным.
3. Примените правило цикла к такому количеству циклов, которое необходимо для поиска неизвестных в задаче. (Независимых уравнений должно быть столько же, сколько и неизвестных.) Чтобы применить правило цикла, вы должны выбрать направление обхода цикла. Затем тщательно и последовательно определите знаки потенциальных изменений для каждого элемента, используя четыре маркированных пункта, рассмотренных выше в сочетании с рис. 21.24.
4. Решите уравнения для неизвестных. Это может включать в себя множество алгебраических шагов, требующих тщательной проверки и перепроверки.
5. Проверить разумность и последовательность ответов. Числа должны быть правильного порядка, ни чрезмерно большими, ни исчезающе малыми. Признаки должны быть разумными — например, отсутствие сопротивления не должно быть отрицательным. Убедитесь, что полученные значения удовлетворяют различным уравнениям, полученным в результате применения правил. Например, токи должны удовлетворять правилу соединения.

Теоретически материал в этом разделе верен. Мы должны быть в состоянии проверить это, произведя измерения тока и напряжения. На самом деле, некоторые из устройств, используемых для проведения таких измерений, представляют собой прямое применение принципов, рассмотренных до сих пор, и рассматриваются в следующих модулях. Как мы увидим, отсюда вытекает очень простой, даже глубокий факт: проведение измерения изменяет измеряемую величину.

Проверьте свое понимание

Можно ли применять правила Кирхгофа к простым последовательным и параллельным цепям, или они ограничены для использования в более сложных цепях, которые не являются комбинацией последовательных и параллельных?

Решение

Правила Кирхгофа можно применить к любой схеме, поскольку они являются приложениями к схемам двух законов сохранения. Законы сохранения являются наиболее широко применимыми принципами в физике. Обычно математически проще использовать правила для последовательной и параллельной схемы в более простых схемах, поэтому мы подчеркиваем правила Кирхгофа для использования в более сложных ситуациях. Но правила последовательностей и параллелей можно вывести из правил Кирхгофа. Кроме того, правила Кирхгофа могут быть распространены на устройства, отличные от резисторов и ЭДС, такие как конденсаторы, и являются одним из основных устройств анализа в анализе цепей.

Закон Кирхгофа — Химия LibreTexts

1. Последнее обновление

2. Сохранить как PDF

Идентификатор страницы

1940

Закон Кирхгофа описывает изменение энтальпии реакции при изменении температуры. В общем, энтальпия любого вещества увеличивается с температурой, что означает увеличение как продуктов, так и энтальпий реагентов. Общая энтальпия реакции будет меняться, если прирост энтальпии продуктов и реагентов различен.

Введение

При постоянном давлении теплоемкость равна изменению энтальпии, деленному на изменение температуры.

\[ c_p = \dfrac{\Delta H}{\Delta T} \label{1}\]

Следовательно, если теплоемкости не зависят от температуры, то изменение энтальпии является функцией разности температуры и теплоемкости. Величина, на которую изменяется энтальпия, пропорциональна произведению изменения температуры и изменения теплоемкости продуктов и реагентов. Взвешенная сумма используется для расчета изменения теплоемкости, чтобы учесть соотношение вовлеченных молекул, поскольку все молекулы имеют разную теплоемкость в разных состояниях. 9{T_f} c_{p} dT \label{2}\]

Если теплоемкость не зависит от температуры в диапазоне температур, то уравнение \ref{1} можно аппроксимировать как

\[ H_{T_f}=H_ {T_i}+ c_{p} (T_{f}-T_{i}) \label{3}\]

с

• \( c_{p} \) — (предполагается постоянной) теплоемкость и
• \(H_{T_{i}}\) и \(H_{T_{f}} \) — энтальпия при соответствующих температурах.