Теорема Гаусса • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

Поток напряженности электрического поля, проходящий через замкнутую поверхность, пропорционален суммарному электрическому заряду, содержащемуся внутри этой поверхности.

В науке часто бывает, что один и тот же закон можно сформулировать по-разному. По большому счету, от формулировки закона ничего не меняется с точки зрения его действия, однако новая формулировка помогает теоретикам несколько иначе интерпретировать закон и испытать его применительно к новым природным явлениям. Именно такой случай мы и наблюдаем с теоремой Гаусса, которая, по существу, является обобщением закона Кулона, который, в свою очередь, явился обобщением всего, что ученые знали об электростатических зарядах на момент, когда он был сформулирован.

Вообще говоря, в математике, физике и астрономии найдется немного областей, развитию которых не посодействовал замечательный гений Карла Фридриха Гаусса. В 1831 году он вместе со своим молодым коллегой Вильгельмом Вебером (Wilhelm Weber, 1804–1891) занялся изучением электричества и магнетизма и вскоре сформулировал и доказал теорему, названную его именем.

Чтобы понять, в чем заключается ее смысл, представьте себе изолированный точечный электрический заряд q. А теперь представьте, что он окружен замкнутой поверхностью. Форма поверхности в теореме не важна — это может быть пусть даже сдутый воздушный шарик. В каждой точке окружающей заряд поверхности, однако, наблюдается электрическое поле, образованное зарядом, а произведение напряженности этого электрического поля на сколь угодно малую единицу площади окружающей заряд поверхности, через которую проходят силовые линии поля, называется потоком напряженности электрического поля, и можно рассчитать поток напряженности, приходящийся на каждый

элемент поверхности. Теорема Гаусса как раз и гласит, что суммарный поток напряженности электрического поля, проходящий через окружающую заряд поверхность, пропорционален величине заряда.

Связь между законом Кулона и теоремой Гаусса станет очевидной на простом примере. Предположим, что заряд q окружен сферой радиуса r. На удалении r от заряда напряженность электрического поля, которая определяется силой притяжения или отталкивания единичного заряда, помещенного в соответствующую точку, составит, согласно закону Кулона:

    E = kq/r²

И то же самое значение мы получим для любой точки сферы заданного радиуса. Следовательно, суммарный поток напряженности электрического поля будет равен значению напряженности поля на удалении r от заряда, помноженному на площадь сферы (которая, как известно, равняется 4πr²). Иными словами, суммарный поток будет равен:

    4πr² × kq/r² = 4πkq

Это и есть теорема Гаусса.

Интересное следствие из нее получается, если применить эту теорему к сплошному металлу. Представьте себе цельнометаллический предмет и воображаемую замкнутую поверхность внутри него. Полный электрический заряд внутри такой поверхности будет нулевым, поскольку внутри окажется равное число положительных и отрицательных зарядов — протонов атомных ядер и электронов соответственно.

Следовательно, поток напряженности электрического поля, проходящий через такую замкнутую поверхность, также будет равен нулю. Поскольку это верно для любой замкнутой поверхности внутри металла, это означает, что внутри металла не существует и не может существовать электрического поля.

Это свойство металлов часто используется экспериментаторами и инженерами-связистами для защиты высокочувствительных приборов от наведенных извне электрических помех. Обычно прибор просто окружается защитным медным экраном. Согласно теореме Гаусса, внешние электрические поля просто не в состоянии проникнуть внутрь такой оболочки и создать помехи работе прибора.

Другое интересное следствие теоремы Гаусса заключается в том, что если в дороге вас застала гроза, самое безопасное для вас — не выходить из машины, поскольку там вы окружены цельнометаллическим экраном. Даже если в ваш автомобиль ударит молния, внутри вам ничего не будет угрожать, поскольку весь разряд пройдет по корпусу и уйдет в землю.

Резина, скорее всего, сгорит, зато сами вы останетесь в целости и сохранности.

формулировка и применение, интегральная и дифференциальная форма

Содержание:

• Теорема Остроградского-Гаусса: история открытия
• Физический смысл формулы
  • Вывод формулы в интегральной форме
  • Вывод формулы в дифференциальной форме
• Применение формулы
• Применение теоремы
  • Для расчета электростатического поля
  • Для расчета магнитного поля
• Области применения теоремы

Содержание

• Теорема Остроградского-Гаусса: история открытия
• Физический смысл формулы
  • Вывод формулы в интегральной форме
  • Вывод формулы в дифференциальной форме
• Применение формулы
• Применение теоремы
  • Для расчета электростатического поля
  • Для расчета магнитного поля
• Области применения теоремы

Теорема Остроградского-Гаусса: история открытия

Теорема Остроградского-Гаусса или теорема о дивергенции — один из основополагающих законов электродинамики, устанавливающий связь между электрическими зарядами и электрическим полем.

Эта теорема выражает равенство между потоком напряженности электрического поля через замкнутую поверхность и значением заряда \(q\), расположенного внутри объема этой поверхности.

В отличие от закона Кулона теорема Остроградского-Гаусса позволяет выразить свойства электростатического поля в более общей форме.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Имея заряд \(q\), окруженный замкнутой поверхностью любой формы, в каждой точке этой поверхности можно наблюдать электрическое поле, спровоцированное этим зарядом. Чтобы найти поток напряженности электрического поля, необходимо перемножить напряженность этого поля и сколь угодно малую единицу окружающей заряд поверхности. А после, зная это, можно рассчитать поток напряженности, который проходится на каждую единицу поверхности.

В этом заключается суть теоремы Остроградского-Гаусса. Ее можно сформулировать как совокупный поток напряженного электрического поля, проходящий через плоскость, окружающую заряд, пропорционален величине заряда.

Теорема активно используется в электродинамике, а для более сложных полевых теорий, существуют ее обобщения и аналоги.

Теорема была выведена двумя учеными независимо друг от друга. Российский математик Михаил Остроградский в 1828 году вывел теорему, применимую для векторного поля любой природы, а то время как его немецкий коллега Карл Гаусс, увлекшись изучением магнетизма и электрических полей, представил миру свою теорему применительно к электростатическому полю.

Михаил Остроградский доказал теорему электростатики через уравнение дифференциальной формы, в то время как Карл Гаусс в 1839 году получил аналогичный результат в интегральной форме.

Физический смысл формулы

Физический смысл формулы сводится к тому, что поток электрической индукции (\(D\)) через любую замкнутую поверхность \(S\) пропорционален суммарному заряду, заключенному внутри этой поверхности (\(q\)).

Вывод формулы в интегральной форме

Начнем с того, что поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность \(S\). Обратим внимание на рисунок 1. В данном случае поток вектора напряженности через \(dS\) будет равен:

\(d\phi_E=EdS\cos\left(\alpha\right)=E_ndS\)

 

Таким образом, в однородном поле \(\phi_E=ES\) , а в произвольном электрическом поле:

\(\phi_E=\int_SE_ndS=\int_s\overrightarrow Ed\overrightarrow S\)

В этом случае \(d\overrightarrow S=dS\overrightarrow n\) — положение \(dS\) в пространстве задается с помощью вектора \(\overrightarrow n\). То есть направление вектора \(d\overrightarrow S\) совпадает с направлением \(\overrightarrow n\) .

Теперь попробуем вычислить поток вектора \(\overrightarrow E\) через произвольную замкнутую поверхность \(S\), которая окружает заряд \(q\) (рисунок 2). Окружим заряд \(q\) сферой \(S_1\). Центр сферы и центр заряда совпадают, поэтому радиус сферы \(S_1\) равен \(R_1\).

 

Проекция \(\overrightarrow E\) на направление внешней нормали одинакова на каждой точке поверхности \(S_1\) и вычисляется по формуле:

\(E_n=\frac1{4\pi\varepsilon_0}\frac q{R_1^2}\)

В таким случае поток через \(S_1\) можно узнать, применив формулу:

\(\phi_E=\oint_{S_1}E_ndS=\frac q{4\pi\varepsilon_0}4\pi R_1^2=\frac q{\varepsilon_0}\)

Пример

Далее вычислим поток через сферу \(S_2\), которая имеет радиус \(R_2\) по формуле:

\(\phi_E=\oint_{S_2}\frac q{4\pi\varepsilon_0R_2^2}dS=\frac q{4\pi\varepsilon_0R_2^2}4\mathrm\pi{\mathrm R}_2^2=\frac q{\varepsilon_0}\)

Учитывая непрерывность линии \(\overrightarrow E\), поток через любую поверхность \(S\) будет равен той же величине:

\(\phi_E=\oint_SE_ndS=\frac q{\varepsilon_0}\)

Формула для нескольких зарядов будет записываться следующим образом:

\( \phi_E=\oint_SE_ndS=\frac{\sum_{}q}{\varepsilon_0}\)

Вывод формулы в дифференциальной форме

Дифференциальная форма теоремы используется для расчета электростатического поля в случае произвольного пространственного распределения зарядов. В этой форме отражена связь между объемной плотностью заряда \(\rho\) и изменением \(\overrightarrow E\) вокруг этой точки пространства.

Используем теорему Остроградского-Гаусса, в соответствии с которой поток вектора \(\overrightarrow A\) через любую замкнутую поверхность равняется интегралу от его дивергенции по объему, охваченному этой поверхностью:

\(\oint_SA_ndS=\int_Vdiv\overrightarrow AdV\).

Пример

В данном случае \(div\overrightarrow A\) в любой точке поля обозначает предел отношения потока вектора \(\overrightarrow A\) через замкнутую поверхность \(S\), которая охватывает точку \(M\), к объему \(\triangle V\) части поля, ограничиваемой поверхностью \(S\), при неограниченном уменьшении \(\triangle V\) :

\(div\overrightarrow A=\lim_{\triangle V\rightarrow0}\frac1{\triangle V}\oint(\overrightarrow Ad\overrightarrow S)\).

Вернемся к заряду. Предположим, что он распределен в пространстве \(\triangle V\), а его объемная плотность \(<\rho>\), тогда в соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса:

\(\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)=\frac q{\varepsilon_0}\) или же\( \oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)=\frac{<\rho>\triangle V}{\varepsilon_0}\).

Если устремить \(\triangle V\) к \(0\), притягивая его к нужной нам точке, то в этом случае \(<\rho>\) в этом точке будет стремиться к \(\rho\), то есть \(\frac{<\rho>}{\varepsilon_0}\rightarrow\frac\rho{\varepsilon_0}.\)

Дивергенцией вектора \(\overrightarrow E\) называется величина, которая является пределом отношения \(\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S)\) к \( \triangle V\) при \(\triangle V\rightarrow0\) . Обозначается это как \(div\overrightarrow E\) и соответствует \(div\overrightarrow E\;=\;\lim_{\triangle V\rightarrow0}\frac1{\triangle V}\oint(\overrightarrow Ed\overrightarrow S\))

Этим же способом определяется дивергенция любого векторного поля.

Применение формулы

Формула используется для того, чтобы преобразовать объемный интеграл в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

В матанализе формула теоремы Остроградского-Гаусса используется для вычисления дивергенции, то есть потока векторного поля через поверхность окрестности по внешним направлениям. Принимая во внимание то, что поток векторного поля через замкнутую поверхность \(\delta\) в направлении внешней единичной нормали \(\overline{n_0}\) равен дивергенции данного поля, вычисленной по телу \(T\), которое эта поверхность

 

Применение теоремы

Для расчета электростатического поля

Теорема Остроградского-Гаусса применяется для расчета электростатического поля для тех задач, где поле имеет специальную симметрию. Например, плоскую, цилиндрическую или сферическую. В данном случае на эффективность применения теоремы влияют симметрия и конфигурация поля, которые должны соответствовать двум условиям:

• заряженное тело должно быть окружено простой замкнутой поверхностью;
• вычисление потока вектора напряженности необходимо свести к умножению \(Е\) (или \(E_n\)) на площадь поверхности \(S\) или часть нее.

Если исходные данные не соответствуют условиям, то при решении задачи необходимо использовать другие методы. {}}q_1\). Так как в этом случае \(E_n=0\) в каждой точке, через боковую часть потока не будет. В случае оснований \(E_n=E\), а исходя из этого совокупный поток через поверхность равен \(2E\triangle S\).

Посмотрим теперь внутрь поверхности. Там заключен заряд \(\delta\triangle S\). В соответствии с теоремой Остроградского-Гаусса, должно быть выполнено условие: \(2E\triangle S=\frac{\delta\triangle S}{\varepsilon_0}\), из чего следует \(E=\frac\delta{2\varepsilon_0}\).

Так как напряженность поля равна на любых расстояниях от плоскости, в вычисления не нужно включать длину цилиндра. Если плоскость заряжена, то направление векторов изменяется на противоположное.

Для сферической поверхности

Задача

Возьмем поле, которое создает сферическая поверхность с радиусом \(R\), заряженное с постоянной поверхностной плоскость \(\delta\). Так как этому полю характерна центральная симметрия, направление вектора \(\overrightarrow E\) в любой точке проходит через центр сферы. Nq_i=Q(2)\)

В этом случае \(\overrightarrow D\) — это вектор электрического смещения, \(q_i\) — это свободные заряды, а \(Q\) — суммарный свободный заряд, находящийся внутри объема, ограниченного поверхностью \(S\). В вакууме векторы \(\overrightarrow D\) и \(\overrightarrow E\) совпадают.

Для расчета магнитного поля

Задача

Выделим элементарную бесконечно малую площадку \(dS\) в магнитном поле. Предположим, что она настолько маленькая и плоская, что вектор B можно признать одинаковым по величине и направлению в каждой точке магнитного поля, независимо от того однородно оно или нет.

Тогда поток вектора магнитной индукции сквозь \(dS\) можно определить с помощью выражения \(d\phi=BdS\cos\left(\overrightarrow B\wedge d\overrightarrow S\right)=B_ndS=\overrightarrow Bd\overrightarrow S \).

В данном случае \(B_n\) равно \(B\cos\left(\alpha\right)\), где \(\alpha\) это острый угол между направлениями вектора \(В\) и нормалью. \(B_n\) — это проекция вектора магнитной индукции в области нахождения площадки \(dS\) на направление нормали (рисунок 4).

 

Определение потока магнитной индукции через произвольную поверхность звучит как сумма потоков через элементарные площадки, на которые разбита эта поверхность, и выражается в виде интеграла по этой поверхности:

 

Области применения теоремы

Ценность теоремы Остроградского-Гаусса состоит в формулировке общих свойств электрического поля. Она — один из основных постулатов теории электричества. Поэтому широко применяется в общей и учебной физике и таких ее областях как электромагнетизм, электростатика и механика, с ее помощью решают задачи и изучают векторные (в том числе электромагнитные) поля.

Кроме этого теорема применяется в электродинамике, гидродинамике и математическом анализе.

Насколько полезной была для вас статья?

Рейтинг: 4.20 (Голосов: 5)

Теорема о дивергенции — Academic Kids

From Academic Kids

В векторном исчислении теорема о дивергенции , также известная как Теорема Гаусса , Теорема Остроградского или Теорема Остроградского-006, является результатом, который связывает теорему

-006 Остроградского.

дивергенция векторного поля к значению поверхностных интегралов потока, определяемому полем. Теорема о расходимости является важным результатом для математики физики, в частности, в электростатике и гидродинамике.

Содержимое

1 Интуиция 2 Официальное заявление 3 Приложения 3.1 Электростатика 3.2 Гравитация 3.2.1 Сферически-симметричное распределение массы 3.2.2 Цилиндрически-симметричное распределение массы 3.2.3 Пластина Бугера 4 История

Интуиция

Интуитивное содержание простое: если в каком-то районе есть вода, и вас интересует, сколько воды вытекает из определенного региона в пределах этого района, то вам нужно сложить источники внутри региона и вычесть раковины. Поток воды представлен векторным полем, а дивергенция векторного поля в данной точке описывает силу источника или стока в этой точке. Таким образом, интегрирование дивергенции поля по внутренней части области должно равняться интегралу векторного поля по границе области. Теорема о расходимости говорит, что это действительно так.

Теорема о дивергенции, таким образом, представляет собой закон сохранения, утверждающий, что общий объем всех стоков и источников, т. е. объемный интеграл дивергенции, равен чистому потоку через границу объема.

Формальное утверждение

Предположим, что V является подмножеством R ⁿ (подумайте о случае n =3), которое компактно и имеет кусочно гладкую границу. Если F — непрерывно дифференцируемое векторное поле, определенное в окрестности V , то имеем

$\backslash iiint\_V\backslash left(\backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{F\}\backslash right)dV=\backslash iint\_S\backslash mathbf\{F\}\backslash cdot\; d\backslash mathbf\{S\}$ $$

, где S = ∂ V — граница V , ориентированная по нормалям, направленным наружу, а d S — сокращение для N 6, направленное наружу нормали d 6 граница ∂ V .

Отметим, что теорема Гаусса следует из более общей теоремы Стокса, которая обобщает основную теорему исчисления.

Приложения

Электростатика

Применительно к электростатическому полю мы получаем закон Гаусса: дивергенция есть константа, умноженная на объемную плотность заряда.

Гравитация

Применительно к гравитационному полю мы получаем, что поверхностный интеграл равен -4πG, умноженной на внутреннюю массу, независимо от того, как распределена масса, и независимо от любых масс снаружи.

Сферически-симметричное распределение массы

В случае сферически-симметричного распределения массы отсюда можно сделать вывод, что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена ​​внутрь с величиной G/r², умноженной на общую массу на меньшем расстоянии , независимо от каких-либо масс на большем расстоянии.

Например, полая сфера не создает гравитации внутри. Гравитационное поле внутри такое же, как если бы полой сферы не было (т. е. это поле любых масс только внутри и снаружи сферы).

Цилиндрически-симметричное распределение масс

В случае бесконечного цилиндрически-симметричного распределения масс мы можем заключить, что напряженность поля на расстоянии r от центра направлена ​​внутрь с величиной 2G/r, умноженной на общую массу на единицу длины при меньшем расстоянии, независимо от каких-либо масс на большем расстоянии.

Например, бесконечный полый цилиндр не создает внутри гравитации.

Пластина Бугера

Мы можем заключить, что для бесконечной плоской пластины (пластины Бугера) толщиной H гравитация вне пластины перпендикулярна пластине, направлена ​​к ней, с величиной, равной 2πG, умноженной на массу на единицу площади, независимо от расстояние до плиты (см. также гравитационные аномалии).

В более общем случае для распределения массы с плотностью, зависящей только от одной декартовой координаты z, сила тяжести для любого z равна 2πG, умноженной на разницу в массе на единицу площади по обе стороны от этого значения z.

В частности, комбинация двух равных параллельных бесконечных пластин не создает внутри гравитации.

История

Теорема была впервые открыта Жозефом Луи Лагранжем в 1762 г., затем независимо переоткрыта Карлом Фридрихом Гауссом в 1813 г., Джорджем Грином в 1825 г. и в 1831 г. Михаилом Васильевичем Остроградским, который также дал первое доказательство теоремы . Впоследствии вариации теоремы о дивергенции стали называть теоремой Гаусса, теоремой Грина и теоремой Остроградского.

---

Эта статья изначально была основана на статье GFDL от PlanetMath по адресу http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html de:Gauscher Integralsatz fr: Thorme de flux-divergence ja:発散定理 es: Теорема де Гаусса

исчисление многих переменных — Теорема о дивергенции (Гаусса-Остроградского)

спросил 2 года 5 месяцев назад

Изменено 2 года, 5 месяцев назад 92$ ), u ∈ [0, 1], v ∈ [0, 2π].