Закон био савара лапласа вывод: 1.17. Закон Био–Савара. Теорема о циркуляции — RC74 — интернет-магазин радиоуправляемых моделей

Содержание

Закон Био-Савара-Лапласа. Вывод формулы для напряженности и индукции магнитного поля на оси кругового витка с током.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е.Алексеева

Выксунский филиал

Кафедра общеобразовательных и общепрофессиональных дисциплин

Методическое пособие

к выполнению лабораторной работы №2-6

«Магнитное поле соленоида. Датчик Холла»

Для студентов всех специальностей и всех форм обучения ВФ НГТУ

г. Выкса

2009г.

Составители: В.П. Маслов, О.Д. Честнова, С.А.Ковыляев

Определение индукции магнитного поля соленоида на основе закона Био-Савара-Лапласа и с применением датчика Холла. : методическое пособие к выполнению лаб. работы №2-6 по дисциплине «Физика» для студентов всех специальностей и всех форм обучения ВФ НГТУ; сост.: В.П.Маслов и др. г.Н.Новгород, 2009. -9с.

Дана методика определения индукции магнитного поля соленоида на основе закона Био-Савара-Лапласа и с применением датчика Холла.. При написании использованы описания лабораторных работ НГТУ, МАИ, МИФИ, СФТИ и др. вузов.

Научный редактор А.А. Радионов

Редактор Э.Б. Абросимова

Подписано в печать Формат 60х48 1/16. Бумага газетная.

Печать офсетная. Усл. п. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,75. Тираж 200 экз. Заказ 14.

Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е.Алексеева

Типография НГТУ. 603950, ГСП-41, г. Нижний Новгород, ул. Минина, 24.

университет им. Р.Е.Алексеева, 2009

Цель работы: ознакомиться с определением индукции магнитного поля соленоида на основе закона Био-Савара-Лапласа и с применением датчика Холла.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

В пространстве, окружающем проводники с током, движущиеся заряды, магниты, возникает магнитное поле, которое можно обнаружить по воздействию его на другой проводник с током или магнитную стрелку. Магнитное поле в каждой точке пространства количественно может быть описано с помощью вектора напряженности магнитного поля или с помощью вектора индукции магнитного поля . В вакууме векторы и связаны соотношением:

, (1)

где μ₀ = 4π·10^-7 Гн/м — магнитная постоянная.

Единицы измерения и А/м и Тл соответственно. В среде с магнитной проницаемостью μ

Для вычисления напряженности и индукции магнитного поля, используют закон Био-Савара-Лапласа, согласно которому элементарная напряженность магнитного поля , создаваемая элементом проводника с током в некоторой точке пространства на расстоянии , определяется выражением:

, (2)

где – единичный вектор, направленный вдоль .

Модуль вектора:

где – угол между векторами и .

Для нахождения результирующей напряженности, создаваемой проводником конечных размеров, надо воспользоваться принципом суперпозиции магнитных полей и найти векторную сумму элементарных напряженностей от всех элементов проводника. Применим формулу (2) для вычисления напряженности магнитного поля на оси кругового витка с током (рис.1).

На рис.1 компонента , созданная элементом тока , согласно (2) определяется как

где учтено, что угол между и прямой. Из симметрии элементов витка по отношению к точке А видно, что результирующая напряженность магнитного поля направлена вдоль оси так, что , то есть

В правой части последней формулы все-величины, кроме , постоянны (для данной точки А), поэтому интегрирование no дает

или согласно рис. 1

(3)

Величину можно найти по формуле (1).

Вывод формулы для напряженности и индукции магнитного поля на оси соленоида (на расстоянии z от средней точки на оси)

Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков (рис.2), тогда участок содержит витков, которые, согласно (3), в точке А на оси создадут напряженность

. (4)

На рис.2 – длина соленоида, а — радиус витков обмотки, 0 -центральная точка на оси соленоида. ОА=z – координата точки А.

На рис. 3 отдельно изображены элементы dz, радиус-вектор и углы и . Из геометрических построений рис.2 и 3 следует:

; ; .

Подставим эти соотношения в (4) и проинтегрируем по в пределах от до :

Учитывая, что , получим

(5)

В случае бесконечно длинного соленоида () в центральной точке 0 ,

. (6)

Из (5) также следует, что при переходе от центра к краю полубесконечного соленоида (на краю z=0,5L, α₁=π/2, α₂→0) напряженность уменьшается вдвое:

. (7)

Индукцию, магнитного поля получим, добавив к выражениям (5), (б), (7) формулу (1). Отметим, что вывод формулы (6) для бесконечно длинного соленоида получается существенно проще на основе закона полного тока.

Закон Био-Савара. Теорема о циркуляции

Французские ученые Ж. Био и Ф. Савар в 1820-м году проводили эксперименты над магнитным полем постоянных токов. Физики доказали, что индукция магнитного поля проходящих по проводнику токов зависит от совместного действия всех участков данного проводника. Работа магнитного поля основана на принципе суперпозиции.

Определение 1

Принцип суперпозиции: если магнитное поле работает за счет нескольких проводников с током, тогда индукция результативного поля – это совокупность индукций полей, которые создаются каждым проводником по отдельности.

Индукция B→ проводника с током представлена, как векторная сумма элементарных индукций ∆B→ вырабатываемых отдельными участками проводника. На практике нельзя отделить один участок проводника с током, поскольку постоянные токи всегда замкнутые. Возможно лишь измерить совокупную индукцию магнитного поля, которое создают все элементы тока. Как найти индукцию магнитного поля?

Закон Био–Савара

Определение 2

Закон Био-Савара определил вклад ∆B→ в магнитную индукцию B→ результативного магнитного поля, образуемый маленьким участком Δl проводника с током I.

∆B=μ0·I·∆l·sin α4πr2.

В формуле r – это расстояние от заданного участка Δl до точки наблюдения, α – это угол между направлением на точку наблюдения и направлением тока на заданном участке, μ0 – это магнитная постоянная.

Используя правило буравчика, определим направление вектора ∆B→: оно указывает на ту сторону, в которую вращается рукоятка буравчика при его поступательном движении вдоль тока. Рисунок 1.

17.1 наглядно показывает закон Био-Савара с применением магнитного поля прямолинейного проводника с током. Если сложить (интегрировать) вклады в магнитное поле всех участков проводника с током, тогда получим формулу для магнитной индукции поля прямого тока:

B=μ0I2πR.

Рисунок 1.17.1. Иллюстрация закона Био–Савара.

С помощью этого закона можно определять магнитные поля токов с различными конфигурациями. Запросто рассчитать магнитное поле в центре кругового витка с током. Вычисления приводят к соотношению:

B=μ0I2πR,

где R – это радиус кругового проводника.

Чтобы определить направление вектора B→ тоже используется правило буравчика, только в этом случае рукоятка вращается по направлению кругового тока, а поступательное движение буравчика указывает, куда направлен вектор магнитной индукции.

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции

Определение 3

Вычисления магнитного поля зачастую упрощаются с учетом симметрии в конфигурации токов. В этом помогает теорема о циркуляции вектора магнитной индукции.

Объясним, что означает циркуляция вектора B→. Допустим, в пространстве с магнитным полем существует какой-то условный замкнутый контур, а также положительное направление его обхода. Тогда, на каждом отдельном маленьком участке Δl данного контура определяется касательная составляющая Bl вектора B→ в этом месте, то есть определяется проекция вектора B→ на направление касательной к заданному участку контура. Рисунок 1.17.2 наглядно демонстрирует это.

Рисунок 1.17.2. Замкнутый контур (L) с заданным направлением обхода. Изображение токов I1,I2 и
I3, создающих магнитное поле.

Определение 4

Циркуляция вектора B→ – это сумма произведений Bl∆l, взятая по целому контуру L: B→=∑(L)Bl∆l.

Некоторые токи, при которых магнитное поле создается, пропускают выбранный контур L тем временем, как остальные токи находятся в стороне от контура.

Теорема 1

Согласно теореме о циркуляции, циркуляция вектора B→ магнитного поля постоянных токов по любому из контуров L все время определяется, как произведение магнитной постоянной μ0 на сумму всех токов:

∑(L)Bl∆l=μ0∑li.

Пример 1

На рисунке 1.17.2 продемонстрирован пример с несколькими проводниками с токами, образующими магнитное поле. Ток I2 и ток I3 пронзают контур L в противоположных направлениях, им приписываются различные знаки. Положительным является ток, который связан с заданным направлением обхода контура по правилу буравчика.

Значит, I3>0, а I2<0. Ток I1 не пронзает контур L.

Теорема о циркуляции в этом примере математически выражается следующей формулой:

∑(L)Bl∆l=μ0(I3-I2).

Общий вид теоремы о циркуляции можно вывести из принципа суперпозиции и закона Био-Савара.

Пример 2

Самый простой пример использования теоремы о циркуляции – это вывод формулы магнитного поля прямолинейного проводника с током. С учетом симметрии в этой задаче контуром L лучше выбрать окружность какого-то радиуса R, лежащую в перпендикулярной проводнику плоскости. Центр окружности задан в какой-то точке проводника. Из-за симметрии вектор B→ направляется по касательной (Bl=B), а его модуль имеет одинаковое значение по всей окружности. Использование теоремы о циркуляции приводит к выражению:

∑(L)Bl∆l=2πRB=μ0I,

отсюда можно вывести формулу для модуля магнитной индукции поля прямолинейного проводника с током, приведенную раньше.

Из данного примера видно, что теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B→ можно использовать для вычисления магнитных полей, которые создаются симметричным распределением токов, когда можно наугад определить общую структуру поля.

Существует много примеров определения магнитных полей при помощи теоремы о циркуляции.

Пример 3

Рассмотрим одну из них – это задачу расчета поля тороидальной катушки (рисунок 1.17.3).

Рисунок 1.17.3. Использование теоремы о циркуляции к тороидальной катушке.

Предположим, что катушка намотана виток к витку на ненамагниченный тороидальный сердечник. В ней линии магнитной индукции сходятся внутри катушки и выступают концентрическими окружностями. Они имеет такое направление, что, смотря вдоль них, наблюдатель увидел бы ток в витках, циркулирующих по часовой стрелке.

Одна линия индукции какого-то радиуса r1≤r<r2 представлена на рисунке 1.17.3. Используем теорему о циркуляции для контура L в виде окружности, которая совпадает с линией индукции магнитного поля, изображенной на рисунке 1.17.3. Опираясь на соображения о симметрии, делаем вывод, что модуль вектора B→ имеет одинаковое значение по всей линии. Исходя из теоремы о циркуляции, запишем:

B·2πr=μ0IN,

где N – это полное количество витков, а I – это ток, протекающий по виткам катушки. Значит, B=μ0IN2πr.

Так, модуль вектора магнитной индукции в тороидальной катушке находится в зависимости от радиуса r. При условии, что сердечник катушки тонкий, то есть r2–r1≪r, тогда магнитное поле внутри катушки почти однородное.

Величина n=N 2πr – это количество витков на единицу длины катушки. Следовательно, B=μ0In.

Сюда не относится радиус тора, потому оно действует и в предельном случае r→∞.

Определение 5

Однако в пределе каждая часть тороидальной катушки при необходимости рассматривается в качестве длинной прямолинейной катушки, которая называется соленоид. Вдали торцов такой катушки модуль магнитной индукции определяется, как соотношение в случае с тороидальной катушкой.

На рисунке 1.17.4 представлено магнитное поле катушки конечной длины. Обращаем внимание, что в центре катушки магнитное поле почти однородное и намного сильнее, чем снаружи. Это объясняется густотой линий магнитной индукции. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле полностью находится внутри него.

Рисунок 1.17.4. Магнитное поле катушки конечной длины. В центральной части соленоида магнитное поле почти однородное и существенно больше по модулю поля вне катушки.

В случае с бесконечно длинным соленоидом соотношение для модуля магнитной индукции получаем прямо из теоремы о циркуляции, применяя ее к прямоугольному контуру, изображенному на рисунке 1.17.5.

Рисунок 1.17.5. Теорема о циркуляции при расчете магнитного поля бесконечно длинного соленоида.

Проекция вектора магнитной индукции на направление обхода контура abcd только на стороне ab отлична от 0. Значит, циркуляция вектора B→ по контуру равняется Bl, где l – это длина стороны ab. Количество витков соленоида, пронзающих контур abcd, равняется n·l, где n – это количество витков на единицу длины соленоида, а полный ток, пронзающий контур, равняется Inl. Из теоремы о циркуляции, Bl=μ0Inl.

Отсюда B=μ0In.

Данное вычисление совпадает с формулой для магнитного поля тонкой тороидальной катушки.

Рисунок 1.17.6. Модель магнитного поля кругового витка с током.

Рисунок 1.17.7. Модель магнитного поля прямого тока.

Рисунок 1.17.8. Модель магнитного поля соленоида.

Решение задач от 1 дня / от 150 р. Курсовая работа от 5 дней / от 1800 р. Реферат от 1 дня / от 700 р.

Сформулируйте закон Био-Савара-Лапласа. Пользуясь этим законом дайте вывод формулы для индукции магнитного поля на оси кругового витка с током

Навигация:

Главная Случайная страница Обратная связь ТОП Интересно знать Избранные

Топ:

Установка замедленного коксования: Чем выше температура и ниже давление, тем место разрыва углеродной цепи всё больше смещается к её концу и значительно возрастает. ..

Динамика и детерминанты показателей газоанализа юных спортсменов в восстановительном периоде после лабораторных нагрузок до отказа…

Техника безопасности при работе на пароконвектомате: К обслуживанию пароконвектомата допускаются лица, прошедшие технический минимум по эксплуатации оборудования…

Интересное:

Лечение прогрессирующих форм рака: Одним из наиболее важных достижений экспериментальной химиотерапии опухолей, начатой в 60-х и реализованной в 70-х годах, является…

Средства для ингаляционного наркоза: Наркоз наступает в результате вдыхания (ингаляции) средств, которое осуществляют или с помощью маски…

Финансовый рынок и его значение в управлении денежными потоками на современном этапе: любому предприятию для расширения производства и увеличения прибыли нужны…

Дисциплины:

Автоматизация Антропология Археология Архитектура Аудит Биология Бухгалтерия Военная наука Генетика География Геология Демография Журналистика Зоология Иностранные языки Информатика Искусство История Кинематография Компьютеризация Кораблестроение Кулинария Культура Лексикология Лингвистика Литература Логика Маркетинг Математика Машиностроение Медицина Менеджмент Металлургия Метрология Механика Музыкология Науковедение Образование Охрана Труда Педагогика Политология Правоотношение Предпринимательство Приборостроение Программирование Производство Промышленность Психология Радиосвязь Религия Риторика Социология Спорт Стандартизация Статистика Строительство Теология Технологии Торговля Транспорт Фармакология Физика Физиология Философия Финансы Химия Хозяйство Черчение Экология Экономика Электроника Энергетика Юриспруденция

⇐ ПредыдущаяСтр 8 из 8

Закон Био Савара Лапласа определяет величину модуля вектора магнитной индукции в точке выбранной произвольно находящейся в магнитном поле. Поле при этом создано постоянным током на некотором участке. Формулировка закона Био Савара Лапласа имеет вид: При прохождении постоянного тока по замкнутому контуру, находящемуся в вакууме, для точки, отстоящей на расстоянии r0, от контура магнитная индукция будет иметь вид. . В этом случае α = π/2, sinα = 1; , где а – расстояние, отсчитываемое от центра витка до рассматриваемой точки на оси витка. Векторы образуют в этой точке конус с углом раствора при вершине 2 = π — 2β, где β – угол между отрезками а и r. Из соображений симметрии ясно, что результирующее магнитное поле на оси витка будет направлено вдоль этой оси, то есть вклад в него дают только те составляющие, которые параллельны оси витка: Результирующую величину индукции магнитного поля B на оси витка получим, проинтегрировав это выражение по длине контура от 0 до 2πR: или, подставив значение r:

38,48. Рассмотреть движение электрона в однородном магнитном поле в двух случаях: а) скорость электрона перпенд. вектору магнитной индукции; б) скорость электрона направлена под углом α к полю магнитной индукции?

Рассмотрим частный случай, когда нет электрического поля, но имеется магнитное поле. Предположим, что частица, обладающая начальной скоростью V₀, попадает в магнитное поле с индукцией B. Это поле мы будем считать однородным и направленным перпендикулярно к скорости V₀. Действующая на частицу сила Лоренца всегда перпендикулярна к скорости движения частицы. Это значит, что работа силы Лоренца всегда равна нулю; следовательно, абсолютное значение скорости движения частицы, а значит, и энергия частицы остаются постоянными при движении. Так как скорость частицы V не изменяется, то величина силы Лоренца остается постоянной. Эта сила, будучи перпендикулярной, к направлению движения, является центростремительной силой. Но движение под действием постоянной по величине центростремительной силы есть движение по окружности. Радиус r этой окружности определяется условием , откуда . Если энергия электрона выражена в эВ и равна U, то и поэтому . Кругообразное движение заряженных частиц в магнитном поле обладает важной особенностью: время полного обращения частицы по окружности (период движения) не зависит от энергии частицы. Действительно, период обращения равен Подставляя сюда вместо r его выражение, имеем: , а частота равна . Для данного типа частиц и период, и частота зависят только от индукции магнитного поля. Рассмотрим какой характер будет иметь движение, если начальная скорость частицы составляет некоторый угол с направлением поля. В этом случае удобно разложить скорость на две составляющие, одна из которых параллельна полю, а другая перпендикулярна к полю. На частицу действует сила Лоренца, и частица движется по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной к полю. Составляющая Vt, не вызывает появления добавочной силы, так как сила Лоренца при движении параллельно полю равна нулю. Поэтому в направлении поля частица движется по инерции равномерно, со скоростью . В результате сложения обоих движений частица будет двигаться по цилиндрической спирали. Шаг винта этой спирали равен подставляя вместо T его выражение, имеем:

⇐ Предыдущая12345678

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого…

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначенные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой…

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни…

Поперечные профили набережных и береговой полосы: На городских территориях берегоукрепление проектируют с учетом технических и экономических требований, но особое значение придают эстетическим…

Закон Био–Савара • Джеймс Трефил, энциклопедия «Двести законов мироздания»

200 законов мироздания > Физика

Магнитное поле в точке пространства, создаваемое малым отрезком проводника, по которому течет электрический ток, пропорционально силе тока, обратно пропорционально квадрату расстояния от этой точки до проводника и направлено перпендикулярно по отношению и к току, и к направлению на проводник.

Одним из величайших прорывов в естествознании XIX века стала серия открытий, позволивших установить неразрывную связь между двумя, казалось бы, не связанными между собой природными феноменами — электричеством и магнетизмом, — которые на поверку оказались просто двумя сторонами одной медали. Одним из первых фрагментов пазла, который предстояло собрать ученым, стало осознание того, что движущиеся электрические заряды (то есть электрический ток) могут порождать магнитное поле. Это открытие сделал датский ученый Ханс Кристиан Эрстед (см. открытие Эрстеда), а представил его в количественной форме французский ученый Андре-Мари Ампер (см. Закон Ампера). Обобщением этой работы стал закон Био—Савара (его еще называют «закон Био—Савара—Лапласа». — Прим. переводчика), содержащий окончательную формулировку соотношения между электрическими токами и магнитными полями, которые они производят.

Жан Батист Био, яркий и смелый ученый, был профессором физики в Сорбонне и действительным членом французской Академии наук. Сразу после открытия Эрстеда вместе со своим коллегой Феликсом Саваром он принялся за изучение взаимосвязи между электрическим током и магнитными полями.

В отличие от Ампера, изучавшего магнитные поля опосредованно, путем измерения силы взаимодействия между парами проводников с током, Био и Савар предприняли прямые измерения магнитных полей, используя для этого множество легких магнитных стрелок компасов. Смысл их закона проще всего понять, если представить себе, что проводник с током разбит на крошечные отрезки — т. н. элементы тока (такой подход предложил ученым их старший коллега Пьер Симон Лаплас (Pierre-Simon Laplace, 1749–1827), стоявший у истоков дифференциального и интегрального исчисления, который затем и обобщил полученные результаты. — Прим. переводчика). На каждом из этих крошечных отрезков кривизной проводника можно пренебречь — их можно рассматривать как отрезки прямой. Так вот, согласно закону Био—Савара, магнитное поле В на расстоянии r от такого элемента тока пропорционально

IL/r²

где I — сила тока, а L — длина элемента тока.

Я уже упоминал, что закон Био—Савара является наиболее полным формальным обобщением взаимосвязи между электрическим током и магнитным полем. Это значит, что можно взять проводник с током сколь угодно сложной и асимметричной конфигурации и разбить его на элементы тока. Каждый элемент вносит свой вклад в магнитное поле в рассчитываемой точке. Сделав эти расчеты, мы можем затем просуммировать вклад от каждого элемента проводника и найти общее магнитное поле (этот процесс суммирования относится к области высшей математики и выглядит он достаточно сложно). Таким образом, закон Ампера является частным случаем закона Био—Савара для случая линейного проводника.

Я еще не сказал, что закон Био—Савара предсказывает также направление получающегося магнитного поля. Это направление можно определить с помощью так называемого правила правой руки, ставшего настоящим бичом целых поколений студентов физических и технических вузов. Правило гласит: если вытянутый указательный палец правой руки показывает направление электрического тока в элементе тока, а средний палец направлен на точку, в которой вы вычисляете магнитное поле, то выставленный под прямым углом к двум другим пальцам большой палец укажет направление магнитного поля.

Как я уже говорил, полное математическое выражение закона Био—Савара требует довольно сложных вычислений, поскольку оно представляет собой интегральное уравнение. Оно является, по сути, общим решением четвертого уравнения Максвелла.

См. также:

1864	Уравнения Максвелла
1879	Эффект Холла

Феликс САВАР
Félix Savart, 1791–1841

Французский врач и физик. Родился в Мезьере. Получив медицинское образование, Савар, тем не менее, поступил на работу в Коллеж де Франс в качестве профессора акустики. Там он изучал принцип работы музыкальных инструментов, прежде всего скрипки, на примере колебаний песчаных волн в слое песка на плоской поверхности, отражающих акустические колебания. Кроме того, он изобрел колесо Савара для точного измерения высоты музыкальных тонов и кварцевую пластину Савара для изучения поляризации света. Однако самая известная работа ученого — его сотрудничество с Био, вылившееся в закон Био—Савара.

Жан Батист БИО
Jean-Baptiste Biot, 1774–1862

Французский физик. Родился в Париже, вырос в годы Великой французской революции и до начала занятий физикой успел отслужить в армии. Затем стал одним из первых студентов только что открытой Парижской политехнической школы, по окончании которой продолжал заниматься академической наукой, со временем заняв должность профессора физики в Коллеж де Франс в Париже. В 1803 году был командирован Министерством внутренних дел для расследования обстоятельств метеоритного дождя в городок Эгль. Ему впервые удалось доказать, что метеориты имеют внеземное происхождение и в буквальном смысле падают к нам с неба (в то время в это практически не верили). На следующий год Био вместе с Жозефом Луи Гей-Люссаком (Joseph-Louis Gay-Lussac, 1778–1850) впервые в истории поднялся в воздух на воздушном шаре в научно-исследовательских целях — для изучения характеристик магнитного поля Земли на больших высотах. 2/R

Ответить

Написать комментарий

1785	Закон Кулона
1820	Открытие Эрстеда
1820	Закон Ампера
1820	Закон Био—Савара
1831	Законы электромагнитной индукции Фарадея
1833	Правило Ленца

1662

Закон Бойля—Мариотта

III в. до н. э.

Закон Архимеда

Новостная рассылка

«Элементы» в соцсетях:

Закон Био — Савара — Лапласа.

Магнитное поле прямого, кругового и соленоидального токов.

Обратная связь

ПОЗНАВАТЕЛЬНОЕ

Сила воли ведет к действию, а позитивные действия формируют позитивное отношение

Как определить диапазон голоса — ваш вокал

Как цель узнает о ваших желаниях прежде, чем вы начнете действовать. Как компании прогнозируют привычки и манипулируют ими

Целительная привычка

Как самому избавиться от обидчивости

Противоречивые взгляды на качества, присущие мужчинам

Тренинг уверенности в себе

Вкуснейший «Салат из свеклы с чесноком»

Натюрморт и его изобразительные возможности

Применение, как принимать мумие? Мумие для волос, лица, при переломах, при кровотечении и т.д.

Как научиться брать на себя ответственность

Зачем нужны границы в отношениях с детьми?

Световозвращающие элементы на детской одежде

Как победить свой возраст? Восемь уникальных способов, которые помогут достичь долголетия

Как слышать голос Бога

Классификация ожирения по ИМТ (ВОЗ)

Глава 3. Завет мужчины с женщиной

Оси и плоскости тела человека — Тело человека состоит из определенных топографических частей и участков, в которых расположены органы, мышцы, сосуды, нервы и т.д.

Отёска стен и прирубка косяков — Когда на доме не достаёт окон и дверей, красивое высокое крыльцо ещё только в воображении, приходится подниматься с улицы в дом по трапу.

Дифференциальные уравнения второго порядка (модель рынка с прогнозируемыми ценами) — В простых моделях рынка спрос и предложение обычно полагают зависящими только от текущей цены на товар.

Помощь в ✍️ написании работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности

Значение магнитной индукции для любого проводника определяется законом Био — Савара — Лапласа.

Рис. 15.8.

-в векторной форме, (15.6)

— в скалярной форме. (15.7)

Вектор всегда перпендикулярен плоскости, построенной на векторах и . С помощью закона Био — Савара — Лапласа рассчитаем магнитную индукцию поля прямого, кругового и соленоидального токов.

Вывод формулы напряжённости магнитного поля прямого тока (рис. 15.9; рис. 15.10) .

Применим формулу для вычисления полей простейших токов. Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по бесконечному прямому проводу (Рис. 15.9) .Все dBв данной точке имеют одинаковое направление. Поэтому сложение векторов dBможно заменить сложением их модулей. Точка, для которой мы вычисляем магнитную индукцию, находится на расстоянии b от провода. Из рисунка 15.9 видно, что:

Рис. 15.9.

Подставим эти значения в формулу магнитной индукции:

Угол для всех элементов бесконечно прямого тока изменяется в пределах от 0 до . Следовательно:

Таким образом, магнитная индукция поля прямого тока определяется формулой: . (15.8 )

Для того, чтобы получить напряженность магнитного поля, необходимо разделить правую часть формулы (15.8) на :

. (15.9)

Рис. 15.10

Вывод формулы напряжённости магнитного поля кругового тока (рис. 15.11).

Рассмотрим поле, создаваемое током, текущим по тонкому проводу, имеющему форму окружности (круговой ток). Определим магнитную индукцию кругового тока

Рис. 15.11

Рассмотрим индукции , создаваемых двумя элементами контура dl₁ и dl₂. Т. к. угол между r и dl равен 90°, то sin 90°=1.

Закон Био — Савара — Лапласа для двух элементов:

Выбрав dl₁=dl₂ и принимая, что r₁=r₂, получим:

Проинтегрируем это выражение по всему контуру и заменим r на получим:

(15. 10)

В частности, при x=0 имеем:

(15.11)

магнитная индукция в центре кругового тока

Напряженность магнитного поля в центре кругового тока равна:

(15.12)

Формула для расчета напряженности магнитного поля кругового тока на его оси принимает вид:

(15.13)

Вывод формулы напряжённости магнитного поля соленоидального тока.

Соленоид представляет собой тонкий провод, навитый плотно, виток к витку, на цилиндрический каркас. В отношении создаваемого им поля соленоид эквивалентен системе одинаковых круговых токов с общей прямой осью. Бесконечно длинный соленоид симметричен относительно любой перпендикулярной к его оси плоскости. Взятые попарно симметричные относительно такой плоскости витки создают поле, магнитная индукция которого перпендикулярна к плоскости. Следовательно, в любой точке внутри и вне соленоида вектор может иметь лишь направление, параллельное оси.

Рис. 15.12.

Возьмем прямоугольный контур 1-2-3-4. Циркуляцию вектора по этому контуру можно представить следующим образом:

Из четырех интегралов, стоящих в правой части, второй и четвертый равны нулю, так как вектор перпендикулярен к участкам контура, по которым они берутся.

Взяв участок 3-4 на большом расстоянии от соленоида(где поле заведомо должно быть очень слабым), третьим слагаемым можно пренебречь. Следовательно, можно утверждать, что :

Здесь В — магнитная индукция поля в тех точках, где располагается отрезок 1-2, -длина этого отрезка.

Если отрезок 1-2 проходит внутри соленоида на любом расстоянии от его оси, контур охватывает суммарный ток , где — число витков соленоида, приходящееся на единицу его длинны, — сила тока в соленоиде. Поэтому согласно :

Откуда: (15.14)

а напряженность магнитного поля соленоидального тока равна:

(15. 15)

Отметим, что полученный нами результат не зависит от того, на каком расстоянии от оси (но внутри соленоида) располагается отрезок 1-2. Если этот отрезок располагается вне соленоида, то охватываемый контуром ток равен нулю, вследствие чего:

Откуда В=0. Таким образом, вне бесконечного длинного соленоида магнитная индукция равна нулю, внутри — всюду одинакова и имеет величину, определяемую формулой (15.14). По этой причине в учении о магнетизме бесконечно длинный соленоид играет такую же роль, как плоский конденсатор в учении об электричестве. В обоих случаях поле однородно и полностью заключено внутри конденсатора (электрическое) и внутри соленоида(магнитное).

Произведение называется числом ампер — витков на метр.

Тесты к лекции №15

Тест 15.1.Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком бесконечно тонкого прямолинейного проводника, вычисляется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15. 2.Магнитная индукция в центре кругового тока определяется по формуле…

£

£

£

£

Тест 15.3.Форма существования материи, обладающая свойством передавать магнитное взаимодействие.

£ магнитное поле

£ магнитная индукция

£ пробный контур

£ магнитный момент

Тест 15.4.Дайте определение пробного контура.

£ контур, вносящий помехи в исходное поле.

£ контур, усиливающий исходное поле.

£ контур, ослабляющий исходное поле.

£ контур, который не создает заметных искажений исходного поля.

Тест 15.5.Формула выражает:

£ вектор магнитной индукции

£ напряженность магнитного поля

£ магнитную индукцию

£ магнитный момент

Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток. Сила Ампера. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Сила Лоренца. Определение удельного заряда электрона[11]

16.1. Вихревой характер магнитного поля. Циркуляция вектора индукции магнитного поля. Магнитный поток

16.2. Сила Ампера

16.3. Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле

16.4. Сила Лоренца

16.5. Определение удельного заряда электрона

Доверь свою работу ✍️ кандидату наук!
Имя
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой
Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно — исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое
Нажимая кнопку «Продолжить», я принимаю политику конфиденциальности

Закон Био-Савара-Лапласа в вакууме.

Заглавная страница
Избранные статьи
Случайная статья
Познавательные статьи
Новые добавления
Обратная связь

КАТЕГОРИИ:

Археология
Биология
Генетика
География
Информатика
История
Логика
Маркетинг
Математика
Менеджмент
Механика
Педагогика
Религия
Социология
Технологии
Физика
Философия
Финансы
Химия
Экология

ТОП 10 на сайте

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Техника нижней прямой подачи мяча.

Франко-прусская война (причины и последствия)

Организация работы процедурного кабинета

Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний

Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Обработка изделий медицинского назначения многократного применения

Образцы текста публицистического стиля

Четыре типа изменения баланса

Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву

Мы поможем в написании ваших работ!

ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Влияние общества на человека

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Практические работы по географии для 6 класса

Организация работы процедурного кабинета

Изменения в неживой природе осенью

Уборка процедурного кабинета

Сольфеджио. Все правила по сольфеджио

Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Магнитное поле постоянных токов различной конфигурации изучалось экспериментально французскими учеными Ж. Био и Ф. Саваром (1820 г.). Совместно с Лапласом они пришли к выводу, что индукция магнитного поля токов, текущих по проводнику, определяется совместным действием всех отдельных участков проводника.

Магнитное поле подчиняется принципу суперпозиции: Если магнитное поле создается несколькими проводниками с током, то индукция результирующего поля есть векторная сумма индукций полей, создаваемых каждым проводником в отдельности.

(1)

Индукцию проводника с током можно представить как векторную сумму элементарных индукций , создаваемых отдельными участками проводника длиной l.

(2)

Закон Био–Савара-Лапласа определяет индукцию магнитного поля, создаваемого малым участком проводника с током I:

, (3)

где – магнитная постоянная,

— радиус-вектор, проведенный от элемента проводника , имеющего направление тока в проводнике, к точке, в которой определяется индукция магнитного поля (рис. 6).

Рис.6

Пример 1. Найти индукцию магнитного поля в точке, отстоящей на расстоянии 10 см от бесконечно длинного проводника, по которому течет ток силой 5 А.

Дано: ; .

Решение: Разобьем проводник на элементарные отрезки . Магнитная индукция поля , создаваемого этим элементом в точке А определяется по закону Био-Савара-Лапласа: ,

где – магнитная постоянная,

— радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку А.

По правилу буравчика определим направление . В нашем случае вектор магнитной индукции направлен от нас (на рисунке показан ). По принципу суперпозиции магнитная индукция равна сумме магнитных индукций от всех элементарных отрезков проводника (интегрирование ведется по длине проводника l). Так как проводник прямолинейный, то имеют одинаковые направления, поэтому можно заметить векторное интегрирование скалярным: , где , где α – угол между элементом и радиус-вектором .

Из рисунка видно , где — угол, лежащий против элемента проводника с током , тогда , где . Тогда . С учетом этого получаем

где α₁, α₂ –углы между направлением тока в проводнике и радиусами – векторами, проведенными от концов проводника в точку А.

Если проводник бесконечно длинный, то α₁=0⁰, cosα₁=1, α₂=180⁰, cosα₂=-1. Тогда

Вычисления:

Выведенная в примере 1 формула:

(4)

позволяет определить магнитную индукцию поля прямого бесконечно длинного проводника с током.

Пример 2. По прямому проводнику длиной 4 м течет ток I=100 А. Определить индукцию В магнитного поля в точке, равноудаленной от концов проводника и находящейся на расстоянии 1 м от него.

Дано: ; ; .

Решение: Разобьем проводник на элементарные отрезки . Магнитная индукция поля , создаваемого этим элементом в точке А определяется по закону Био-Савара-Лапласа:

, где – магнитная постоянная,

— радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку А.

По правилу буравчика определим направление . В нашем случае вектор магнитной индукции направлен от нас. По принципу суперпозиции магнитная индукция равна сумме магнитных индукций от всех элементарных отрезков проводника (интегрирование ведется по длине проводника l). Так как проводник прямолинейный, то имеют одинаковые направления, поэтому можно заметить векторное интегрирование скалярным: , где , где α – угол между элементом и радиус-вектором .

где α₁, α₂ –углы между направлением тока в проводнике и радиусами – векторами, проведенными от концов проводника в точку А. Как видно из рисунка cosα₁=-cosα₂= ,

тогда .

Вычисления:

Выведенная в примере 2 формула:

(5)

позволяет определить магнитную индукцию поля прямого проводника с током конечной длины.

Пример 3. Из проводника длиной l=3,14 м сделано кольцо. Определить индукцию В магнитного поля в точке, лежащей в центре кольца, если сила тока в проводнике равна 5 А.

Дано: ; .

Решение: Разобьем проводник на элементарные отрезки . Магнитная индукция поля , создаваемого этим элементом в точке О определяется по закону Био-Савара-Лапласа:

, где – магнитная постоянная, — радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку О.

По правилу буравчика определим направление . В нашем случае вектор магнитной индукции направлен вверх. По принципу суперпозиции магнитная индукция равна сумме магнитных индукций от всех элементарных отрезков проводника (интегрирование ведется по длине кругового проводника l). В нашем случае имеют одинаковые направления, поэтому можно заметить векторное интегрирование скалярным: , где , где α – угол между элементом и радиус-вектором , проведенным от элемента в точку О.

Из рисунка видно, что , так как , , где R – радиус кольца. С учетом этого получаем .

Радиус кольца , тогда

Производим расчет .

Выведенная в примере 3 формула:

(6)

позволяет определить магнитную индукцию поля в центре кругового проводника с током.

Пример 4. Индукция В магнитного поля в точке, лежащей на оси проводящего кольца на расстоянии b=0,6 м от плоскости кольца, равна 50 мкТл. Определить силу тока в кольце. Радиус кольца R=0,8 м.

Дано: ; ;

Решение: Разобьем проводящее кольцо на элементарные отрезки . Магнитная индукция поля , создаваемого этим элементом в точке А определяется по закону Био-Савара-Лапласа: , где – магнитная постоянная, — радиус-вектор, проведенный от элемента проводника в точку А.

По правилу буравчика определим направление . По принципу суперпозиции магнитная индукция равна сумме магнитных индукций от всех элементарных отрезков проводника (интегрирование ведется по длине проводящего кольца). Разложим вектор на две составляющие: — перпендикулярную плоскости кольца и — параллельную плоскости кольца, то есть .

Тогда . Заметим, что из соображений симметрии и что векторы от различных элементов сонаправлены, поэтому можно заметить векторное интегрирование скалярным: , где , где , где α – угол между элементом и радиус-вектором , проведенным от элемента в точку А.

Из рисунка видно, что , так как , , , где R – радиус кольца, b – расстояние от плоскости кольца до точки А.

С учетом этого получаем

Отсюда искомая сила тока в кольце.

Тогда .

Выведенная в примере 4 формула:

(7)

позволяет определить магнитную индукцию поля на оси проводящего кольца.

Пример 5. Два длинных прямых параллельных проводника с одинаково направленными токами I₁=2 A и I₂=4 A расположены на расстоянии r=10 см друг от друга. Определить индукцию магнитного поля в точке, лежащей в середине отрезка прямой, соединяющего проводники.

Дано: ; ; ; . .

Решение: Согласно принципу суперпозиции (формула 1) индукция магнитного поля в точке А равна , где — индукция магнитного поля, созданного в точке А проводником с током I₁, — индукция магнитного поля, созданного в точке А проводником с током I₂.

Определим направления векторов магнитной индукции в точке А по правилу буравчика. Как видно из рисунка , поэтому модульное значение индукции магнитного поля в точке А ,

где — индукция магнитного поля, созданного в точке А бесконечно длинным проводником с током I₁(формула 4),

— индукция магнитного поля, созданного в точке А бесконечно длинным проводником с током I₂ (формула 4).

Получаем ,

где μ₀=1,26·10^-6 – магнитная постоянная.

Подставим числовые значения:

(Тл).

Пример 6. Два прямолинейных бесконечно длинных проводника скрещены под прямым углом. По проводам текут токи силами 80 А и 60 А. Расстояние между проводниками 10 см. Определить магнитную индукцию в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников.

Дано: ; ; ; . .

где — индукция магнитного поля, созданного в точке А бесконечно длинным проводником с током I₁(формула 4),

— индукция магнитного поля, созданного в точке А бесконечно длинным проводником с током I₂ (формула 4).

Получаем .

Вычисление: .

⇐ Предыдущая1234Следующая ⇒

Читайте также:

Психологические особенности спортивного соревнования

Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации

Занятость населения и рынок труда

Социальный статус семьи и её типология

Последнее изменение этой страницы: 2016-04-23; просмотров: 326; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia. su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь — 161.97.168.212 (0.022 с.)

[PDF] О законе Био-Савара-Лапласа и его использовании для расчетов в высоковольтных установках переменного тока

title={О законе Био-Савара-Лапласа и его использовании для расчетов в высоковольтных установках переменного тока}, автор={Клецель Марк Я. и Александр Барукин и Олжас Талипов}, журнал={Przegląd Elektrotechniczny}, год = {2017}, громкость = {1}, страницы={131-134} }
- Клецель Марк Я., Барукин А., Талипов О.
- Опубликовано 5 ноября 2017 г.
- Наука об окружающей среде
- Przegląd Elektrotechniczny
Несколько форм записи современных магнитных методов и расчетных формул для получения магнитного закона Био-Савара-Лапласа поля даны. Отмечается наличие неточностей в толковании закона Био-Савара-Лапласа. Показано, что в электроэнергетике простая формула, основанная на использовании закона Био-Савара-Лапласа и экспериментально полученных поправочных коэффициентов, может быть использована для расчета магнитных полей, создаваемых переменными токами в шинах…
View Via Publisher
PE.ORG.PL
Удаленное определение амплитуды и фазы тока с использованием переключателя Reed
- M. Kletsel ‘, A. Neftisov, P. N. Maishev
- Physics, Engineering
- 20209
- , Engineering
- 20209