Физические величины, обозначение, векторные и скалярные
Тестирование онлайн
Тест по теме: «Физические величины»
Что такое физическая величина?
Нас окружает много различных материальных предметов. Материальных, потому что их возможно потрогать, понюхать, увидеть, услышать и еще много чего можно сделать. То, какие эти предметы, что с ними происходит, или будет происходить, если что-нибудь сделать: кинуть, разогнуть, засунуть в печь. То, почему с ними происходит что-либо и как именно происходит? Все это изучает физика. Поиграйте в игру: загадайте предмет в комнате, опишите его несколькими словами, друг должен угадать что это. Указываю характеристики задуманного предмета. Прилагательные: белый, большой, тяжелый, холодный. Догадались? Это холодильник. Названные характеристики — это не научные измерения вашего холодильника. Измерять у холодильника можно разное. Если длину, то он большой. Если цвет, то он белый. Если температуру, то холодный. А если его массу, то выйдет, что он тяжелый. Представляем, что один холодильник можно исследовать с разных сторон. Масса, длина, температура — это и есть физическая величина.
Но это лишь та небольшая характеристика холодильника, которая приходит на ум мгновенно. Перед покупкой нового холодильника можно ознакомиться еще с рядом физических величин, которые позволяют судить о том, какой он, лучше или хуже, и почему он стоит дороже. Представь масштабы того, на сколько все окружающее нас разнообразно. И на сколько разнообразны характеристики.
Обозначение физической величины
Все физические величины принято обозначать буквами, чаще греческого алфавита. НО! Одна и та же физическая величина может иметь несколько буквенных обозначений (в разной литературе).
И, наоборот, одной и той же буквой могут обозначаться разные физические величины.
Несмотря на то, что с такой буквой вы могли не сталкиваться, смысл физической величины, участие ее в формулах остается прежним.
Векторные и скалярные величины
В физике существует два вида физических величин: векторные и скалярные. Основное их отличие в том, что векторные физические величины имеют направление. Что значит физическая величина имеет направление? Например, число картофелин в мешке, мы будем называть обыкновенными числами, или скалярами. Еще одним примером такой величины может служить температура. Другие очень важные в физике величины имеют направление, это, например, скорость; мы должны задать не только быстроту перемещения тела, но и путь, по которому оно движется. Импульс и сила тоже имеют направление, как и смещение: когда кто-нибудь делает шаг, можно сказать не только, как далеко он шагнул, но и куда он шагает, то есть определить направление его движения. Векторные величины лучше запомнить.
Почему над буквами рисуют стрелку?
Рисуют стрелку только над буквами векторных физических величин. Согласно тому, как в математике обозначают вектор! Действия сложения и вычитания над этими физическими величинами выполняются согласно математическим правилам действий с векторами. Выражение «модуль скорости» или «абсолютное значение» означает именно «модуль вектора скорости», то есть численное значение скорости без учета направления — знака «плюс» или «минус».
Обозначение векторных величин
Главное запомнить
1) Что такое векторная величина;
3) Векторные физические величины;
4) Обозначение векторной величины
Векторные величины
В физике имеются многие величины, для знания которых недостаточно знать, чему равна эта величина. Рассмотрим простую задачу. Пусть идет пешеход с постоянной скоростью 5 км/ч. Известно, что в 12 часов дня он находился в пункте А. Требуется определить, где будет находиться пешеход в 14 часов. Зная только величину скорости пешехода, мы можем только сказать, что в 14 часов он будет находиться на расстоянии 10 км от пункта А. Но все возможные точки нахождения пешехода будут находиться на окружности радиусом 10 км с центром в точке А. Для определения точного положения пешехода нам нужно еще знать в какую сторону он идет. Значит, для практических целей нам недостаточно знать величину скорости тела. Требуется еще знать, куда эта скорость направлена. Имеется еще очень много физических величин, для характеристики которых требуется знание, как размера этой величины так и ее направления.
Физические величины, характеризуемые размером величины и ее направлением, называются векторными. Размер векторной величины чаще называется ее модулем. В отличие от векторных, величины, характеризующиеся только своим значением, называются
Векторные величины на рисунках принято изображать в виде стрелок. Причем направление стрелки указывает направление векторной величины, а длина стрелки определяется ее модулем. Обозначаются векторные величины буквами. Причем на рисунках над буквой, обозначающей векторную величину рисуется стрелочка, а в печатном тексте эти буквы печатаются жирным шрифтом.
Пусть при своем движении тело переместилось из точки А в точку В. Величину изменения положения тела можно определить как расстояние от точки А до точки В. Расстоянием между двумя точками называется длина отрезка прямой, соединяющего эти точки. Определяемое таким образом пройденное расстояние называется перемещением. Причем, перемещение – векторная величина. Перемещением — Δr — называется вектор, начало которого совпадает с начальным положением тела (точка А), а конец — с конечным положением (точка В). Однако, тело из начальной точки в конечную перемещалось не обязательно по прямолинейной траектории. Поэтому существует еще одна величина, характеризующая величину изменения положения тела –
Векторные величины можно складывать. Так пусть, например, тело сначала переместилось из точки А в точку В, а затем еще переместилось в точку С. Суммарное перемещение
Вектора можно вычитать. Для того, чтобы из вектора а вычесть вектор b надо к вектору а прибавить вектор противоположный вектору b: c = a – b = a + (-b). Заметим, что –b – это не отрицательный вектор, а вектор противоположный вектору b, то есть вектор по модулю равный вектору b, а по направлению противоположный ему. Кстати, введенный выше вектор перемещения равен разности конечного и начального радиус – векторов, определяющих положения тела:
Вектор можно умножать на скаляр. Если вектор а умножить на скаляр α, то получится вектор с = α·а, направление которого совпадает с направлением вектора а, а модуль в α раз больше.
Вектора можно скалярно умножать друг на друга. Скалярным произведением векторов а и b называется скаляр , где и — модули векторов а и b, а α – угол между ними. Замети, что результатом скалярного произведения двух векторов является скаляр. Причем знак этого произведения может быть как положительный, так и отрицательный. Это определяется знаком косинуса. Если угол между векторами острый, то их скалярное произведение положительно, а если тупой – то отрицательно.
Пусть есть вектор а и координатная ось Х. Из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на координатную ось. Длина отрезка на координатной оси между основаниями этих перпендикуляров – ах — является проекцией вектора а на ось Х. Проекция вектора на ось – величина скалярная. При этом она может быть положительной и отрицательной. Если вектор и ось направлены преимущественно в одну сторону, то проекция вектора на ось положительна, а если вектор и ось направлены в противоположные стороны, то отрицательна. Так проекция вектора а на ось Х положительная, а проекция вектора b на ту же ось отрицательная. Если вектор и ось взаимно перпендикулярны, то проекция вектора на ось равна нулю. Если угол между вектором а и осью Х равен α, то проекция вектора на ось равна: . На рисунке изображен вектор а и система координат XY. Если угол между вектором и осью Х равен α, то угол между вектором и осью Y равен 90° — α. При этом проекция вектора а на ось Х равна , а на ось Y -. Если известны проекции вектора на оси прямоугольной декартовой системы координат, то модуль вектора можно выразить как .
Если , то . Аналогично в проекции на ось Y.
Скалярное произведение векторов а и b можно выразить через их проекции: .
Любой вектор можно представить в виде суммы двух или более векторов. Часто вектора представляют в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов, направленных вдоль координатных осей X и Y. На рисунке представлено разложение вектора а на два взаимно перпендикулярных вектора ах и аy. Вектора ах и аy называются составляющими вектора а по направлениям Х и Y.
РАЗНИЦА МЕЖДУ СКАЛЯРНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ И ВЕКТОРНОЙ ВЕЛИЧИНОЙ | СРАВНИТЕ РАЗНИЦУ МЕЖДУ ПОХОЖИМИ ТЕРМИНАМИ — НАУКА
Скалярное количество по сравнению с векторным количеством Математика и физика — два предмета, изобретенные нами для описания различных явлений вокруг нас. Это идеально подходит для величин, которые и
Скалярное количество по сравнению с векторным количеством
Математика и физика — два предмета, изобретенные нами для описания различных явлений вокруг нас. Это идеально подходит для величин, которые измеряются с помощью математики и физики. Скалярная и векторная классификация величин в физике. У некоторых величин есть только одно измерение, которое является присвоенным им числом, тогда как есть другие, которым также присвоено измерение направления. Примерами первого типа являются длина, площадь, давление, температура, энергия, работа и мощность, тогда как примерами типа, требующего указания направления, являются скорость, смещение, ускорение, импульс, сила и т. Д. Между этими двумя типами есть разница. количества, о которых пойдет речь в этой статье.
Основное различие, которое также является единственным различием между скалярными и векторными величинами, состоит в том, что скалярные величины имеют только величину, тогда как векторные величины имеют величину, а также направление, связанное с ними. Давайте разберемся в этом с помощью нескольких примеров.
Если вы описываете площадь комнаты, вам не нужно указывать ее направление, не так ли? Это выглядит абсурдно, говоря о направлении площади комнаты. Но да, есть концепции, требующие направления, и без упоминания направления они бессмысленны, такие как скорость и смещение. Если мальчик бежит по круговой дорожке окружностью 500 метров, вы правы, когда говорите, что он преодолел дистанцию 500 метров, когда сделает один круг. Но с тех пор, как он возвращается в исходную точку, он не зарегистрировал никакого смещения. То же самое можно сказать о камне, который подбрасывается прямо в небо и возвращается в исходную точку. Смещения нет, хотя он преодолел значительный путь в своем путешествии.
Если вы говорите об объеме стакана, вам не нужно указывать его направление, но что вы будете делать, если вас спросят о местонахождении стакана? Направление позволяет нам узнать, где находится стекло. Одна величина, которая является векторной величиной, — это скорость движущегося объекта. Хотя вы можете уйти, когда говорите, что скорость движущегося автомобиля составляет 50 миль в час, этого нельзя сказать, когда вы говорите о его скорости. Скорость требует направления, и поэтому вы должны включить его при описании скорости. Итак, вы должны сказать, что машина развивает скорость 50 миль в час в северном направлении. Концепция скорости является чрезвычайно важной, поскольку она ведет к пониманию ускорения, основы понимания движения наших планет, самолетов и космических аппаратов.
Вкратце: Скалярная величина и векторная величина • Большинство величин делятся на скалярные и векторные величины. • Скалярные величины имеют только величину, в то время как векторные величины имеют как величину, так и направление. • Примеры скалярных величин: длина, скорость, работа, энергия, температура и т. Д., А примерами векторных величин являются скорость, смещение, ускорение, сила, вес и т. Д. |
12. Основные понятия — Контрольные работы по математике и другим предметам!
Основные понятия:
Скалярная величина; векторная величина; коллинеарные векторы; компланарные векторы; единичный вектор; сложение векторов; проекция вектора; линейная комбинация векторов; линейная зависимость векторов; базис; координаты вектора; базисные орты; правая система координат; направляющие косинусы; скалярное произведение; векторное произведение; смешанное произведение.
Понятие вектора широко применяется в экономике, математике, физике и других науках, при этом одинаково широко используется как алгебраическая концепция изложения векторного анализа, так и его геометрическая интерпретация, в рамках которой различаются величины двух видов: скалярные и векторные.
Скалярной величиной или скаляром называется величина, которая полностью определяется одним числом, выражающим отношение этой величины к соответствующей единице измерения, например, цена, количество проданного товара, стоимость и т. д.
Векторной величиной или вектором называется величина, для задания которой кроме численного значения необходимо указать и ее направление в пространстве, например, изменение темпов производства (рост или падение), колебание курса акций на бирже и т. д.
Векторная величина графически обычно изображается как Связанный вектор или Направленный отрезок, т. е. отрезок прямой, у которого указано, какая из ограничивающих точек является его началом, а какая концом. Но в отличие от направленного отрезка, для описания которого необходимо указать начальную точку, длину и направление, Свободный вектор или просто Вектор представляет собой множество всех эквивалентных между собой связанных векторов и вполне характеризуется:
· направлением;
· длиной (модулем).
Для задания такого множества достаточно указать какой-либо один из связанных векторов этого множества – Представитель вектора, в качестве которого обычно выбирается связанный вектор с началом, совпадающим с началом координат.
Вектор обозначается одной маленькой буквой со стрелкой сверху, например, , или двумя буквами со стрелкой , где точка есть начало вектора (его точка приложения), а ‑ его конец.
Длина вектора называется его Модулем, обозначается или и равна длине любого его представителя, т. е. расстоянию между начальной и конечной точками связного вектора . Вектор, длина которого равна нулю, называется Нуль-вектором и обозначается .
Два вектора называются равными, если:
1. равны их длины;
2. они параллельны;
3. они направлены в одну сторону.
Иными словами, равные векторы получаются один из другого параллельным переносом в пространстве.
Векторы называются Коллинеарными, если они расположены на одной или на параллельных прямых, и Компланарными, если они лежат на одной или на параллельных плоскостях.
Вектор, длина которого равна единице, называется Единичным вектором Или Ортом. Орт обозначатся .
| < Предыдущая | Следующая > |
|---|
Сила — векторная величина — Справочник химика 21
Допустим, что в мембране одновременно происходят два необратимых и взаимосвязанных процесса, движущие силы которых и Х2. Величина Х1 соответствует движущей силе векторного процесса транспорта -го компонента газовой смеси, в качестве которой принимают отрицательную разность химических потенциалов на границе мембран ( 1 = —Ац,). Сопряженный процесс с движущей силой Ха может быть векторным, как например, перенос у-го компонента, или скалярным, как процессы сорбции и химические превращения. Феноменологическое описание этих процессов идентично, сорбцию можно рассматри-вать как отток массы диффундирующего компонента из аморфной фазы в кристаллическую, где миграция вещества незначительна. В качестве движущей силы скалярного процесса примем химическое сродство Х2=Аг. Заметим, что, согласно принципу Кюри — Пригожина, сопряжение скалярных и векторных процессов при линейных режимах возможно в анизотропных средах (например, в мембранах гетерофазной структуры) или даже в локально-изотропных, но имеющих неоднородное распределение реакционных параметров [1, 5]. [c.17]Сила — векторная величина [c.10]
В термодинамике теплота и работа представляют собой алгебраические величины, которые могут быть положительными или отрицательными. Сила — векторная величина, т. е. имеет как численное значение, так и направление. Будем обозначать векторы жирным шрифтом. [c.16]
Из этого следует вывод сила характеризуется не только численным значением, но и направлением. В математике и физике величины, которые характеризуются как численным значением, так и направлением, называются векторами. Поэтому сила — векторная величина. [c.11]
Существенно, что значения могут быть отличны от нуля лишь в ситуации, когда взаимодействующие силы XJ имеют одинаковую тензорную размерность (являются, например, либо скалярными, либо векторными величинами). [c.324]
Напомним, что напряженность электрического поля есть векторная величина, выражающая собой силу, действующую в какой-либо точке пространства на единицу количества электричества. Практическая единица напряженности в ЛI . [c.96]
Перенос импульса описывается более сложными уравнениями (системой уравнений Навье — Стокса), чем перенос энергии и массы, поскольку, во-первых, импульс является векторной величиной (в отличие от скаляров температуры и концентрации) и, во-вторых, на перенос импульса в большой степени влияют силы давления и тяжести [составляющие —др/дх, —др/ду, —др/дг, —рд в системе уравнений (3.58)]. [c.61]
В общем случае распорное усилие является векторной величиной и может быть охарактеризовано модулем, направлением и точкой приложения (см. рис. 5.4). Модуль распорного усилия подсчитывается как произведение суммы проекций на плоскость yz элементарных сил давления и напряжений сдвига, умноженных на площадь поверхности, по которой эти силы действуют. [c.122]
Понятие вес используют только как понятие силы, возникающей при взаимодействии вещества с гравитационным полем. Вес пропорционален ускорению свободного падения, равен mg и представляет собой векторную величину. Как и любая другая сила, вес выражается в ньютонах и определяется специальными силоизмерительными приборами. [c.118]
Все векторные величины напечатаны жирным шрифтом, за исключением оператора V-Для изображения произведения векторов употребляются и точка, и крестик. Из скалярных величин жирным шрифтом напечатаны только три—Е, Г и N. выражающие электродвижущую силу, число Фарадея и число эквивалентов. [c.5]
Напряженность электрического поля E-i — векторная величина, равная отношению силы dF электрического поля, действующей на точечный пробный электрический заряд dQ, к этому заряду [c.401]
Плотность электрического тока J- векторная величина, равная пределу отношения силы тока сквозь некоторый элемент поверхности, нормальный к направлению движения носителей заряда, к [c.407]
Единичная массовая сила — сила, действующая на жидкость со стороны внешнего силового поля, отнесенная к ее массе. Если течение происходит в гравитационном поле, то единичная массовая сила F = , где g — ускорение свободного падения. Единичная массовая сила, как всякая векторная величина, может быть представлена в виде [c.65]
Рассмотрим плоский элемент граничной. поверхности AF, ориентация которого в пространстве определяется направлением внешней нормали. Остальная часть тела действует на площадку с силой Р. Тогда при АР—>-0 векторная величина р называется напряжением в точке, к которой стягивается площадка АР [c.21]
Поскольку изменением силы в пределах бесконечно малой площади можно пренебречь, напряжение определяют как силу, отнесенную к бесконечно малому элементу площади, на которой находится данная точка. Однако через каждую точку можно провести бесконечное множество различно ориентированных сечений. Поэтому при данном способе нагружения компоненты напряжения будут зависеть от ориентации выбранного сечения. Поскольку сила и нормаль к элементарной площадке являются векторными величинами, напряжение в данной точке тела характеризуется векторной функцией от векторного аргумента. Каждому вектору-нормали к выбранному сечению соответствует определенное напряжение. При известных допущениях такая векторная функция однозначно характеризуется шестью скалярными коэффициентами. Она называется тензором напряжения [1, с. 519 3, с. 39 19—20). Изучение сложных напряженных состояний в терминах тензорного исчисления имеет большое значение при аналитическом описании этих состояний. [c.13]
Подобие векторных величин сил, скоростей и потоков какой-либо субстанции (массы, теплоты, импульса) / [c.79]
Сила F является векторной величиной, и ее составляющие могут быть определены сложением векторов. Распределение потока [c.140]
Если принять для всех направленных вниз векторных величин знак плюса, то действующая на частицу движущая сила будет равна стоксов-ской силе сопротивления [c.166]
Для структур, в которых отсутствует центральная симметрия, это уравнение сохраняет свою силу, но величины векторов с фазовыми углами не ограничены больше значениями 0° или 180°, Векторное уравнение можно решить для фазовых углов, но остается неопределенным знак угла. Эту трудность преодолевают различными путями, однако уравнение решается полностью только при условии, что можно получить третье изоморфное производное исходного кристалла. [c.51]
Закон количества движения может быть прочитан так прир ащение суммы количества движения материальных точек данной системы за данный промежуток времени равно сумме импульсов всех внешних сил за тот же промежуток времени. Так как скорость и и сила iR являются векторными величинами, то и количество движения ти, а также и импульс силы PAt будут векторными величинами, поэтому уравнение (3-45) может быть записано и в координатной форме. Для любой оси проекций, например для оси Ох, это уравнение будет иметь вид [c.29]
Выше мы предполагали, что векторные величины (моменты) жестко связаны с кристаллографическими направлениями. Другими словами, мы считали спин-орбитальные силы определяющими для магнитной структуры. [c.54]
Выполнив указанные операции выбрав масштаб, определив длину отрезка прямой, выражающей численное значение вектора, определив направление действия вектора, мы получаем графическое изображение векторной величины. На рис. 3 показан вектор силы, с которой тянут динамометр. [c.12]
Во время опытов было также установлено, что всегда направление ускорения совпадает с направлением действующей силы. Масса тела является скалярной величиной. Численное значение массы полностью характеризует инертность тела. Поэтому формулу (46) можно переписать в более общем виде, учитывая, что сила и ускорение являются векторными величинами [c.160]
Следовательно, должен быть третий эффект, который определяет вандерваальсовы силы притяжения. Этот эффект должен быть применим, в частности, к атомам и неполярным молеку-лам, а также, конечно, и к полярным молекулам см. выше (а) и (б)]. Лондон (1930) объяснил этот эффект следующим образом в соответствии с современными теориями атомно-молеку-лярного строения все частицы обладают энергией при абсолютном нуле, т. е. определенным количеством энергии, которая сохраняется даже при самой низкой возможной температуре (разд. 6.6). Это в свою очередь требует, чтобы орбитальные электроны постоянно находились в состоянии движения относительно ядра, так что в любом атоме центры положительного и отрицательного зарядов не совпадают и возникает диполь. Направление этого диполя (векторная величина) быстро меняется в зависимости от осцилляции орбитальных электронов, и в среднем для очень большого числа атомов, имеющегося в любом данном образце, предпочтительного направления разделения зарядов не будет, и поэтому результирующий общий диполь будет равен нулю. Однако электрическое поле временного диполя каждого атома может индуцировать диполь в соседнем атоме, и эти диполи могут затем взаимодействовать, как и в случае эффекта Дебая, давая энергию Лондона [c.102]
По ряду соображений электромагнитное излучение удобно представить в виде электрического силового поля, колеблющегося перпендикулярно направлению распространения волны. Сила электрического поля — векторная величина ее можно представить стрелкой, длина которой в каждый данный момент пропорциональна значению силы, а направление совпадает с ее направлением. Как видно из рис. 22-1, график зависимости этого вектора от расстояния вдоль оси, указывающей направление распространения волны, носит синусоидальный характер. Сила электрического поля обусловливает такие явления, как пропускание, отражение, преломление и поглощение излучения веществом. [c.97]
Рассмотрим некоторую область в пространстве, занятом движущейся вязкой жидкостью. Плотность жидкости р, давление Р и температура Т являются скалярными величинами скорость жидкости и является векторной величиной, в то время как величина т, представляющая собой результат действия вязких сил, есть симметричный тензор второго ранга . В дальнейшем эти величины рассматриваются как функции времени и пространственных координат. [c.15]
Понятие веса, которое раньше отождествляли с понятием массы, теперь используют только в тех случаях, когда имеется в виду сила, возникающая при взаимодействии вещества с гравитационным полем. Вес пропорционален ускорению свободного падения imф и представляет собой векторную величину. Как и любая другая сила, вес выражается в ньютонах и определяется специальными силоизмерительными машинами и динамометрами. Поэтому термин вес исключают из всех понятий, связанных с массой вещества. [c.11]
Электронная поляризация обусловлена смещением упруго связанного электронного облака атомов, молекул и ионов относительно ядер под действием сил электрического поля на расстояния, меньшие размеров атомов и молекул во всех газообразных, жидких и твердых диэлектриках. Время установления электронной поляризации—10 —10 с, т. е. она возможна практически при всех частотах от О до 10 Гц и выше. Деформированный атом (молекула) становится квазиупругим диполем и приобретает электрический момент, равный произведению заряда q на длину смещения d. Степень поляризации диэлектрика характеризуется векторной величиной, называемой поляризованностью или интенсивностью поляризации [c.7]
Векторную величину (Хп, п), которая входит как вынуждающая сила в (9.10.4), легко рассчитать с учетом свойства (6.13.4) ортогональности нормальных мод. Так, если равенство (9.10.3) умножить на Рт(г) и проинтегрировать по глубине, то для Х получится [c.38]
Напряженность поля, создаваемого точечным зарядом, убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от места локализации этого заряда. Знак заряда определяется по знаку силы в уравнении (3.9.1), исходя из того, что одноименные по знаку заряды отталкиваются, а разноименные — притягиваются. Один из наиболее доступных носителей заряда для разных опытов — это электрон. Ему приписан заряд отрицательного знака величиной 1,6 10 ЬСл. Напряженность поля Е также может быть 1Юложительной и отрицательной. Согласно формуле (3.9.2), напряженность поля положительна, если его источником является положргтельный заряд. Напряженность поля — векторная величина, т. е. характеризуется не только силой воздействия на единичный положительный заряд, но и направлением этой силы. Направление силы — это направление движения объекта, на который она воздействует. Направление всегда, связано с выбором системы координат. Поскольку такой выбор может быть хфоизвольным, то направление (знак) напряженности поля не определяется только знаком источников поля. [c.646]
Для наглядного изображения магнитного поля, как и электрического, используются его силовые линии. Это линии, направление которых совпадает с направлением сршы, действующей на положительный заряд. Густота линий качественно характеризует интенсивность поля. Магнитная индукция В, как и скорость, является векторной величиной. Сила также является вектором, а взаимная ориентация этих трех векторов определяется правилом левой руки (точнее — ладони). Если ладонь ориентирована так, что силовые линии магнитного поля входят в ладонь, а вытянутые пальцы указывают направление движения положительного заряда, то отставленный большой палец левой руки укажет направление действующей на заряд силы. Более практично и эквивалентно индукция определяется как сила, действующая на единицу длины проводника, по которому течет ток с силой 1 А, при взаимно перпендикулярной ориентации всех трех векторов силы, тока и индукции (рис. 3.61) по тому же правилу левой руки. [c.654]
Теория такого рода взаимодействия была дана Лондоном [10—12], исходивщим из положений квантовой механики. Согласно этой теории, при непрерывном движении орбитальных электронов относительно ядра атомов, молекул может иметь место временное смещение некоторых электронных орбит, обусловливающее флуктуации плотности электронного облака. Вследствие этого в атоме центры положительного и отрицательного зарядов не совпадают и возникает диполь, направление которого (векторная величина) быстро меняется в зависимости от осцилляции орбитальных электронов. Каждый такой диполь неизбежно будет влиять своим зарядом на ориентацию себе подобного временного диполя или индуцировать диполь в соседнем атоме. Сила притяжения между такими кратковременными диполями [c.16]
L — полный орбитальный угловой момент, а S —полный спиновый угловой момент (в единицах k /2я) набора электронов в атоме (стрелка показывает, что это векторные величины единицей магнитного момента является здесь магнетон Бора=0,927-10″ эрг1гаусс). Наличие Набора таких магнитных диполей придает парамагнитному веществу его характерное свойство на него действует сила в направлении магнитного поля, т. е. в направлении, противоположном действию силы на диамагнитное вещество. Это приводит также к закону Кюри — Вейсса для зависимости восприимчивости (х) парамагнетика от температуры X ос1/7. Ферромагнетизм и антиферромагнетизм возникают вследствие взаимодействий между диполями соседних атомов [83, 111]. Следует указать, что, поскольку и спиновые и орбитальные угловые моменты электронов заполненных оболочек компенсируют друг друга, вследствие чего суммарные моменты равны нулю, такая система не обладает парамагнетизмом, но у нее остаются только диамагнитные эффекты именно по этой причине парамагнетизм обнаруживается только в рядах ионов переходных металлов и лантанидов. [c.371]
Особое внимание следует обратить па то, что кило-грам.м (кг), грамм (г), тонна (т) являются единицами массы, а не веса или силы тяжести, а килограмм на кубический метр (кг/м- ), грамм на кубический сантиметр (г/см- ) — единицами плотпостп (в том числе средней и насыпной), а не единицами удельного веса (насыпного или объемного веса). Масса тела — скалярная величина — в технике оиределяется как результат взвешивания тела на весах. Значение массы не зависит от значения ускорения свободного падения в пункте измерения или оиределения. Сила тяжести и вес тела — векторные величины и в общем случае не являются си-ноннмамн. Сила тяжести тела определяется в соответствии со вторым законом Ньютона Г — тд, где т — масса тела в кг (в СИ), g — ускорение свободного падения в м/с- (в СИ), Г — сила тяжести в Н (в СИ). Зна-ченпе силы тяжести зависит от значения ускорения свободного падения в пункте измерения илн определения. Вес тела — сила, действующая на опору пли па нить подвеса. Вес тела м. б. определен по ф-ле Р — = п(ё а), где а — ускорение, сообщаемое телу. Т. обр., вес тела зависит и от ускорения свободного падения g и от ускорения тела а. Еслп ускорение, сообщаемое телу, равно нулю (а = 0), вес тела равен силе тяжести. Сплу тяжести и вес тела определяют с помощью динамометрпч. приборов в условиях относительного покоя тела н динамометра. [c.81]
Изображая векторную величину, сначала находят ее численное значение, затем ее направление. Численное значение вектора обозначают теми же буквами, но светлыми и без черточки (стрелочки) наверху. Например, величина вектора силы Р обозначается просто Р, величина вектора АВ — просто АВ. [c.13]
Несмотря на то, что й сиЛа, И перемещение являютсй векторными величинами, их произведение есть скалярная величина. [c.200]
Силы 8 и Рк, фигурируюпще в разделе 2-6, фактически являются векторными величинами. Как должно видоизмениться уравнение (2.107), если направление течения жидкости не прямо противоположно направлению силы тяжести [c.67]
В органических соединениях, молекулы которых имеют несколько поляризованных связей, суммарная поляризация молекулы, или р е -зультирующий дипольный момент, следует рассматривать как величину, получающуюся в результате сложения всех дипольных моментов отдельных связей по правилу параллелограмма сил, так как дипольный момент является векторной величиной. Например, дипольные моменты в ряду хлорзамещенных метана изменяются следующим образом у СН4 он равен нулю, у СНдС — 1,86, СНзС , — 1,55, а у СНС1з— 1,100. [c.38]
Одна пз констант в (3.4.26) прожзво.льна в силу линейности задачи, четыре другие определяются пз граничных условий при у = 0. Остается произвольной одна константа. Смысл этого произвола заключается в следующем. Решения с Я1 = (/ >0) описывают волпы завихренности,, и, поскольку завихренность является векторной величиной, необходимо указать ее ориентацию вне пограничного слоя, чтобы ]толностью определить задачу. [c.71]
К тензорам первого ранга относятся векторные величины. Векторами являются градиенты скаляров, в частности градиенты интенсиалов — температуры, давления, электрического и химического потенциалов и т. д. Следовательно, сила [c.154]
В простейшем случае одномерных (однонаправленных) потоков при составлении уравнений можно в равной мере использовать как скалярные, так и векторные величины. Если речь идет о двухмерной или трехмерной задаче, тогда приходится обращаться к векторным потокам и силам их суммирование, включая взаимное влияние, подчиняется правилам оперирования с векторными величинами. [c.158]
Чем отличается векторная величина от скалярной
В физике выделяют 2 категории величин — векторные и скалярные. Что представляют собой те и другие?
Что представляет собой векторная величина?
Под векторной принято понимать величину, имеющую 2 основные характеристики:
- модуль;
- направление.
Так, два вектора признаются равными, если модули, а также направления обоих совпадают. Записывается рассматриваемая величина чаще всего как буква, над которой прорисовывается стрелка.
В числе самых распространенных величин соответствующего типа — скорость, сила, а также, например, ускорение.
С геометрической точки зрения вектор может представлять собой направленный отрезок, длина которого соотносится с его модулем.
Если рассматривать векторную величину обособленно от направления, то ее принципиально можно измерить. Правда, это будет, так или иначе, частичная характеристика соответствующей величины. Полная — достигается только в случае ее дополнения параметрами направленного отрезка.
к содержанию ↑Что представляет собой скалярная величина?
Под скалярной принято понимать величину, которая имеет только 1 характеристику, а именно — численное значение. При этом рассматриваемая величина может принимать положительное или же отрицательное значение.
К распространенным скалярным величинам можно отнести массу, частоту, напряжение, температуру. С ними возможно производить различные математические действия — сложение, вычитание, умножение, деление.
Направление (как характеристика) не свойственно для скалярных величин.
к содержанию ↑Сравнение
Главное отличие векторной величины от скалярной заключается в том, что у первой ключевые характеристики — модуль и направление, у второй — численное значение. Стоит отметить, что векторную величину, как и скалярную, принципиально можно измерить, правда, в этом случае ее характеристики определятся только частично, поскольку будет недоставать направления.
Определив,в чем разница между векторной и скалярной величиной, отразим выводы в небольшой таблице.
к содержанию ↑Таблица
| Векторная величина | Скалярная величина |
| Что общего между ними? | |
| Векторная и скалярная величины — принципиально измеряемы | |
| В чем разница между ними? | |
| Имеет две характеристики — модуль и направление | Имеет одну характеристику — численное значение |
6. Векторная алгебра
Подборка по базе: №1 бжб 11 с Алгебра ЖМБ.docx, 8 алгебра.doc, ~$нып 11 алгебрасы 2019-2020.docx, 7сынып олкылык алгебра.docx, К.р. Алгебра.docx, 10 ЖМБ Алгебра 21-22 Н. Халықов.docx, Линейная алгебра.docx, КТП Алгебра 10 класс 2020-2021 уч.г Середкин (2).docx, 1 — Линейная алгебра.doc, Линейная алгебра.docx
6. Векторная алгебра
В математике исследуются различные объекты. К числу основных относятся скалярные и векторные величины. Знакомство с ними состоялось еще в средней школе.
Известно, что скалярная величина (скаляр) определяется одним параметром – величиной, например, 3, -5, 3.14 и так далее. В дальнейшем скаляры будем обозначать буквами и так далее.
Вектор – это направленный отрезок, характеризуемый двумя параметрами – длиной и направлением. Чтобы отличать векторы от скаляров, их будем задавать следующим образом , в последнем случае начальная, конечная точки вектора. Иногда их обозначают жирным шрифтом a.
Исторически сложилось, что геометрия оперирует со свободными векторами. Два вектора считаются равными, если одинаковы их длины и они сонаправлены (параллельны и направлены в одну сторону). Другими словами, действие вектора на объект не зависит от точки его приложения.
Э
то не всегда верно, в частности, в теоретической механике, изучающей движение тел, вектор (сила) является скользящим, он может свободно перемещаться вдоль линии действия, но два параллельных вектора не равны, то есть их действие на объект различное.
Итак, векторная алгебра строится для свободных векторов, что значительно упрощает теорию. При переходе к силам, действующим на тело, делаются определенные поправки (вводятся моменты сил), чем устраняется указанное противоречие.
Введем понятие орта — единичного вектора, то есть вектора, длина которого равна единице. Обозначим длину, или модуль вектора , тогда единичный вектор .
Проекцией вектора на направление , где единичный вектор, показывающий направление от к , является скалярная величина . В соответствии с рисунком , следовательно, если угол между векторами и острый, , в противном случае проекция отрицательна.
Рисунок 1.
Векторы называются коллинеарными, если лежат на параллельных прямых.
Векторы называются ортогональными, если угол между ними прямой.
Векторы, лежащие в некоторой плоскости или параллельные плоскости, называются компланарными. Компланарные векторы могут быть перемещены в одну плоскость, сто следует из определения свободных векторов.
Линейными операциями над векторами называются сложение векторов, их вычитание, умножение на число (скаляр).
Правило параллелограмма.
Сложение двух векторов осуществляется следующим образом. В силу того, что векторы свободны, с помощью параллельного переноса совмещаются их начальные точки, затем на этих векторах, как на сторонах, строится параллелограмм. Диагональ параллелограмма, идущая из общей начальной точки является суммарным вектором этих дух векторов.
Рисунок 2.
Это правило установлено еще в древности путем наблюдений за передвижением предметов под действием двух сил.
Из правила параллелограмма можно получить правило треугольника суммирования двух векторов. Сумму векторов можно получить, построив вначале вектор , затем из его конца провести вектор . Вектор, идущий из начала первого вектора в конец второго является суммой этих двух векторов, что непосредственно следует из рисунка 2.
Сложение большего количества векторов осуществляется по правилу многоугольника. Заключается оно в следующем. Строится первый вектор, из его конца проводится второй вектор, из конца второго третий и так далее, затем соединяется начальная точка первого вектора с концом второго это и будет суммарным вектором.
Правило доказывается с помощью несколько раз примененного правила треугольника.
Рисунок 3.
Правило вычитания векторов
Разностью векторов является вторая диагональ параллелограмма, проведенная из конца вычитаемого вектора в конец уменьшаемого. Это правило доказывается с помощью рисунка 4.
Рисунок 4.
Представим вектор как сумму вектора с вектором, обратным вектору , то есть с . Очевидно, , но эта сумма 0 — есть диагональ нижнего параллелограмма. Из среднего параллелограмма видно, полученный вектор совпадает с вектором, являющимся второй диагональю исходного (верхнего) параллелограмма, что требовалось доказать.
Правило умножения вектора на число
Вектор , где скаляр, представляет собой вектор, длина которого в раз больше длины вектора , и направлен он вдоль вектора при и в противоположном направлении при отрицательном.
Примечание. Приведенные выше правила требуют решения соответствующих задач построением, то есть с помощью чертежей, что не всегда удобно ввиду неизбежных погрешностей построения.
Встает вопрос, как свести эти ошибки к минимуму. Одним из решений этого вопроса явилось введение базисов, о чем пойдет речь ниже.
Базисы на плоскости и в трехмерном пространстве
Определение 1. Любые два неколлинеарных вектора могут быть выбраны в качестве базиса на плоскости.
Определение 2. Любые три некомпланарных вектора могут быть выбраны в качестве базиса в трехмерном пространстве.
Определение 3. Базис называется ортогональным, если углы между базисными векторами прямые.
Определение 4. Базис называется нормированным, если базисные векторы единичные.
Определение 5. Базис называется ортонормированным, если он ортогональный и нормированный. Векторы ортонормированного базиса в соответствии с существующими традициями обозначаются .
Определение 6. Линейной комбинацией векторов называется выражение , где некоторые числа (скаляры).
Теорема 1. Любой вектор плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов : .
Доказательство. Совместим начальные точки базисных векторов и вектора , назовем эту точку , из конца вектора (точка ) проведем прямые, параллельные векторам до пересечения их с продолжениями векторов , точки пересечения прямых обозначим и . В результате получен параллелограмм (рисунок 5). Из правила сложения векторов следует
.
Поскольку векторы и коллинеарны, можно записать , где . Аналогично , где , причем и могут быть как положительными, так и отрицательными числами в зависимости от направлений базисных векторов и вектора . Теорема доказана.
Рисунок 5.
Очевидно, векторы и являются проекциями вектора на направления соответственно. Если базис нормированный, то числа и называют координатами (компонентами) вектора в данном базисе.
Теорема 2. Любой вектор трехмерного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов.
Докажем теорему для ортонормированного базиса, то есть, что
.
Пусть точка начальная точка векторов , конечная точка вектора , основание перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость . Из треугольника , изображенного на рисунке 6, следует . Из первой теоремы следует , из коллинеарности векторов и следует , очевидно, .
Рисунок 6.
Следствие. Векторы считаются равными, если равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе. То есть
, если .
Вместо обозначения можно использовать сокращенную запись , если базисные векторы заданы ранее.
Имеют место две теоремы о проекциях векторов:
1. ,
2. где число (скаляр).
Из этих теорем следуют правила сложения, вычитания векторов, заданных в базисе, умножения вектора на скаляр. Итак,
Пусть , , тогда
, или
Таким образом, чтобы просуммировать два, или большее количество векторов, заданных в едином базисе, необходимо просуммировать их одноименные проекции.
Аналогично
,
(скаляр),
или .
Скалярное произведение векторов
Определение. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.
.
Знак скалярного произведения определяется знаком косинуса.
Очевидно, скалярное произведение можно представить в виде
.
Как уже говорилось ранее, правило суммирования векторов было получено еще в древности из наблюдений за движением тел под действием нескольких сил. Правило вычитания векторов следовало из правила их суммирования. Правило умножения вектора на число также следовало из наблюдений за действием на тело сил.
Скалярное произведение также следует из практических потребностей. В самом деле, если тело под действием силы движется в направлении , то работу совершает только проекция этой силы на направление , перпендикулярная ей проекция работы не совершает. Тогда работа, совершаемая силой на пути , вычисляется по формуле
,
то есть совершаемая работа вычисляется посредством скалярного произведения. Если угол острый, работа положительная (активная). При тупом угле между векторами, работа отрицательная, то есть совершается силами, противодействующими движению (например, силой трения).
Свойства скалярного произведения
1. . Поскольку угол между первым и вторым векторами произведения, в левом и правом произведениях эти углы отличаются знаком, и в силу четности косинуса не влияют на величину произведения.
2. , если скаляр. Для это свойство очевидно: поскольку и в этом случае сонаправлены,
.
Доказательство для случая не приводится.
3. .
Доказательство. .
4. , когда . Если исключить из рассмотрения нуль-векторы, то скалярное произведение равно нулю при , то есть при .
5. , то есть квадрат длины вектора равен скалярному произведению вектора на себя.
Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе
Пусть , , тогда , то есть скалярное произведение векторов в этом случае – есть сумма произведений одноименных проекций перемножаемых векторов.
Доказательство.
Данный результат следует из 3 – го свойства скалярного произведения.
Поскольку базис — ортонормированный, векторы, входящие во второе, третье, четвертое, шестое, седьмое и восьмое скалярные произведения, ортогональны, следовательно, эти произведения равны нулю (четвертое свойство). Кроме того, из второго и пятого свойств имеем , , . Теорема доказана.
Приложения скалярного произведения
1. Условие ортогональности векторов: из следует .
2. Длина вектора .
3. Угол между векторами. Из определения скалярного произведения следует
.
4. Расстояние между точками. Для получения этого результата введем декартову систему координат, которая известна еще со школы.
Осью координат (координатной осью) называют прямую, на которой выбрана начальная точка (начало отсчета), положительное направление и единица масштаба. Совместим начальные точки векторов ортонормированного базиса , назовем эту точку началом координат, проведем три прямые в направлении базисных векторов. Поскольку положительное направление каждой прямой и масштаб определены направлением базисного вектора и его длиной, точка отсчета совпадает с началом координат, имеем систему трех взаимно перпендикулярных осей. Ее называют прямоугольной декартовой системой координат . Базисный вектор направлен вдоль оси абсцисс , вектор — по оси ординат , вектор по оси аппликат .
Введение системы координат дает возможность применить, так называемый, координатный метод, увязывающий точку, как геометрический объект, с тройкой чисел, называемых координатами точки. Тройка называется упорядоченной, поскольку взаиморасположение чисел зафиксировано. Первое число — есть координата вдоль оси , второе – вдоль , третье – расстоянии вдоль оси . Меняя местами любые из этих чисел, получаем другую точку пространства. Например, и — разные точки пространства. Начало координат соответствует тройке .
Любой объект теперь можно считать множеством точек.
Введем понятие радиуса-вектора точки – это вектор, начальной точкой которого является начало координат, конечной – точка . Если точке соответствуют координаты , нетрудно заметить, что радиус-вектор точки может быть представлен в виде .
Пусть даны две точки и . Вместе с вектором радиусы-векторы точек и представляют треугольник , причем
.
Таким образом, длина вектора , совпадающая с расстоянием между точками и , вычисляется по формуле
.
Пример.
1. Задан треугольник с вершинами . Определить длину стороны и угол при вершине .
Длину стороны определяем как расстояние между вершинами, тогда
.
Определим векторы ,
.
Угол между этими векторами есть угол при вершине . Очевидно,
.
Угол теперь определяется с помощью таблиц или калькулятора рад.
Векторное произведение
Как уже говорилось выше, скалярное произведение векторов имеет практическое значение. В частности, с его помощью определяется работа силы на участке пути.
Векторное произведение также имеет практический смысл. С его помощью определяют моменты сил, придающие телам вращение.
Правая и левая тройки векторов
Определение 1. Тройка некомпланарных векторов называется правой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму виден против часовой стрелки.
Определение 2. Тройка некомпланарных векторов называется левой, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму видится по часовой стрелке.
Можно проверить, что правая тройка векторов связана на практике с правой резьбой, левая тройка – с левой резьбой.
Это обстоятельство привело к тому, что до середины XX века наука о движении (механика) излагалась как в правой, так и в левой декартовых системах координат, что затрудняло изучение литературы по предмету. В середине XX века договорились использовать только правую тройку векторов, а, следовательно, правую декартову систему координат. На рисунке 7 тройка базисных векторов — правая, левая.
Рисунок 7.
Определение векторного произведения, его свойства.
Векторным произведением двух векторов называется третий вектор, длина которого равна произведению модулей перемножаемых векторов на синус угла между ними, направлен этот вектор перпендикулярно плоскости, в которой расположены перемножаемые векторы, образуя с ними правую тройку.
Обозначения векторного произведения или .
Свойства векторного произведения
1. . Доказательство этого свойства следует из того, что если поворот от к с некоторой точки виден против часовой стрелки, поворот от к с этой же точки, очевидно, видится по часовой стрелке, то есть направление векторного произведения по сравнению с меняется на противоположное, что и доказывает свойство.
2. , где число.
3. .
4. , если и коллинеарны. Доказательство следует из того, что между коллинеарными векторами угол 0 или , но .
Векторное произведение векторов в ортонормированном базисе
Если , , векторное произведение векторов вычисляется с помощью формулы
.
Доказательство.
Рассмотрим векторные произведения базисных векторов.
как произведения коллинеарных векторов, , в самом деле, , то есть равен длине вектора , и тройка векторов — правая. Из первого свойства векторного произведения следует . Аналогично . Действительно длина векторного произведения равна единице, как и длина вектора , с конца вектора кратчайший поворот от вектора к вектору видится против часовой стрелки, что следует из рисунка 7. Из первого свойства имеем . Так же доказывается, что .
Вычислим
Этот результат следует из 3 – го свойства скалярного произведения.
Очевидно первое, пятое и девятое слагаемые в правой части формулы равны нулю как произведения коллинеарных векторов.
Далее
,
,
.
Итак,
,
что и требовалось доказать.
Замечание 1. Определитель третьего порядка в этой формуле называют иногда символическим, поскольку не все свойства обычных определителей для него справедливы. Это связано с тем, что одна из строк состоит из векторов, элементы двух других — скаляры. Его использование оправдано тем, что после записания векторного произведения его легко представить в обычном виде, разложив определитель по элементам, скажем, первой строки.
Замечание 2. Условием коллинеарности векторов является равенство нулю их векторного произведения. Следовательно, символический определитель должен быть равен нулю, для этого достаточно, чтобы любые две его строки, или два столбца были пропорциональны. Столбцы пропорциональными быть не могут, так как базисные векторы не коллинеарны, а значит не пропорциональны, строка из векторов не может быть пропорциональна строке из скаляров по той же причине. Остается пропорциональность двух последних строк определителя. Итак, условием коллинеарности векторов , является
.
Пример.
Определить площадь треугольника, заданного вершинами , .
Поскольку площадь параллелограмма, построенного на векторах , равна , то есть длине векторного произведения этих векторов, площадь заданного треугольника равна половине площади параллелограмма, то .
Вычислим
.
В итоге .
Смешанное произведение трех векторов
Смешанным произведением трех векторов называется число, равное векторному произведению , умноженному скалярно на вектор , то есть .
Модуль смешанного произведения равен объему параллелепипеда построенного на этих векторах. Если векторы компланарны, то смешанное произведение , что следует из определений векторного, скалярного и смешанного произведений.
Для векторов , , ,
смешанное произведение определяется формулой
.
Доказательство. Так как ,
.
Правая часть последней формулы является разложением приведенного выше определителя по элементам третьей строки, что доказывает формулу.
Пример.
Вычислить объем параллелепипеда, заданного векторами , , .
Вычислим ,
Объем этого параллелепипеда равен 10.
Примеры для самоподготовки.
6.1. Вычислить вектор , если , .
.
6.2. Определить скалярное произведение векторов , если , угол между ними ? .
6.3 Определить скалярное произведение векторов , . .
6.4. Определить длину векторного произведения векторов и
. .
6.5. Определить длину векторного произведения , если , угол между ними . .
6.6 Установить, при каком значении векторы , ортогональны? .
6.7. Проверить коллинеарность векторов , .
6.8. Проверить при каком векторы , , компланарны? .
2} $$ Обратите внимание, что длина по определению является положительным вещественным числом. Для двух точек $ \ mathbf x_1 = (x_1, y_1, z_1) $ и $ \ mathbf x_2 = (x_2, y_2, z_2) $ вектор смещения , указывающий из точки $ 1 $ в точку $ 2 $, определяется как $$ \ mathbf x_ {21} = \ mathbf x_2 — \ mathbf x_1 = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) $$ Длина вектора смещения называется расстоянием между двумя точками и поэтому определяется выражением $$ d (\ mathbf x_1, \ mathbf x_2) = | \ mathbf x_ {21} | = \ sqrt {(x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2} $$ Примечание .Я слышал, как некоторые используют термины «расстояние» и «смещение» как взаимозаменяемые, или термин «смещение» используется для обозначения того, что я назвал расстоянием, и использует расстояние для обозначения общей длины пути, по которому движется объект.Сказав все это, на самом деле существует продукт, который позволяет строить векторы площадей по двум векторам положения. Это называется перекрестным произведением . Если вы возьмете кросс-произведение $$ \ mathbf x_1 \ раз \ mathbf x_2 $$ двух векторов положения, то вы получите вектор, длина которого равна площади параллелограмма, натянутого на эти векторы, и направление которого перпендикулярно этому параллелограмму.
Какие из следующих векторов и какие скаляры: расстояние, масса, время, вес, объем, плотность, скорость, скорость, ускорение, сила, температура и энергия?
Величины Vector имеют как величину, так и направление .
Скалярные величины имеют величину только .
Расстояние — это скалярная величина. Это относится только к тому, как далеко продвинулся объект. Например, 4 фута — это расстояние; он не дает информации о направлении.Сказать, что объект прошел 4 фута, несколько двусмысленно. Сказать, что объект переместился на 4 фута на западнее , например, будет смещения , а затем будет векторной величиной. Это дает более полную картину произошедшего.
Масса — скалярная величина. Проще говоря, это относится к тому, из какого вещества состоит объект. Он имеет величину, но ни в каком смысле не указывает направление. Векторный аналог массы — это вес.
Вес — векторная величина.Вес — это сила, а силы — это векторы, то есть имеющие как величину, так и направление. Воспринимаемый вес покоящегося на Земле объекта определяется выражением # W = vecF_g = mg #, произведением массы объекта и константы ускорения свободного падения, # g #, или просто равным силе тяжести, действующей на объект. Сила тяжести действует вниз.
Время — это скалярная величина (для нас на этом уровне). Он дает информацию о звездной величине, то есть как , сколько времени, но не дает информации о направлении.
Объем — скалярная величина. Он относится к объему пространства, которое занимает объект и, следовательно, имеет величину, но не дает информации о направлении.
Плотность — это скалярная величина, имеющая только величину и не дающая информации о направлении. Мы также можем предположить, что, поскольку плотность равна массе, деленной на объем, а масса и объем являются скалярными величинами, плотность также должна быть скалярной величиной.
Скорость — это скалярная величина, имеющая только величину и не дающая информации о направлении.2 # по вертикали — это ускорение.
Сила — векторная величина. Сила имеет как величину, так и направление. Вес — это приведенный выше пример силы. Другой — сила трения, которая имеет некоторую величину и действует в направлении, противоположном движению.
Температура — скалярная величина. Измерение температуры имеет величину, но не дает информации о направлении.
Энергия — скалярная величина. Он дает информацию о величине, т.е.грамм. сколько энергии имеет объект, но не о направлении.
Обратите внимание, что некоторые величины, которые являются скалярами, могут быть представлены в виде векторов, когда мы обсуждаем интервалы или то, как величины меняются (например, мера увеличения или уменьшения).
Положение и перемещение
Положение и перемещениеПоложение и перемещение
Многие предметы, с которыми мы сталкиваемся в повседневной жизни, находятся в движении или состоят из частей. которые находятся в движении. Движение — это правило, а не исключение.Физические законы, управляющие движением этих объектов универсальны, т.е. все объекты движутся по одним и тем же правилам, и одна из целей этого класса — понять эти правила.
Когда объект движется, его позиция изменяется как функция времени.
Положение объекта дано относительно некоторой согласованной точки отсчета. Недостаточно просто укажите расстояние от ориентир.Также необходимо указать направление . Расстояние — это скаляр количество, это число, указанное в каких-то единицах . Позиция — это вектор количество. У него тоже есть величина как направление. Величина векторной величины — это число (в единицах измерения). сообщая вам, сколько существует количества, и направление сообщает вам, какие как он указывает. Единичный вектор — направление показатель.Это безразмерный вектор с величиной 1, используемый для определения направление. В тексте векторные величины обычно выделяются жирным шрифтом. введите или со стрелкой над символом. Таким образом, в то время как d = расстояние, d = смещение.
Ссылки:
Скаляры и векторы
(Пожалуйста, исследуйте!)
Направление вектора
Позиция
Удобный способ указать позицию объекта с помощью системы координат . Мы выбираем фиксированную точку, которая называется исходной точкой и три направленные линии, которые проходят через начало координат и являются перпендикулярны друг другу. Эти линии называются осями координат . трехмерной прямоугольной (декартовой) системы координат и помечены оси x, y и z. Три числа с единицами определяют положение точка P. Эти числа представляют собой координаты x, y и z точки P. Координаты точки P в На диаграмме справа находятся (a, b, c).
Координаты точки P — это компонентов вектора положения. Единичный вектор указание в направлении x имеет x-компоненту 1 и y- и z- компоненты нуль. Обозначается он i . Аналогично единичный вектор указывающий в направлении y, обозначается j , а единичный вектор направление в направлении z обозначается k .Единичные векторы указатели поворота.
Компоненты любого вектора складываются, чтобы сформировать
вектор.
Вектор положения точки P с координатами (a, b, c)
может быть записано в терминах его компонентов как r = a i + b j +
c к .
| Величина вектора положения равна его длине r. Это
зависит от выбора начала системы координат.Это
расстояние по прямой от точки P до начала координат.
Ниже приведено трехмерное представление вектора положения. r = a i + b j + c k . Пожалуйста, нажмите
на изображении!
(Используйте современный браузер. 3D-приложения не работают в Internet Explorer.
или более старые браузеры.)
Чтобы получить наилучший вид, измените область просмотра, перетащив мышь и
увеличивайте или уменьшайте масштаб по мере необходимости.
Нажмите кнопки, чтобы выбрать другой вектор
или другая схема добавления составляющих векторов.
Пример:
Вектор положения здания Nielsen Physics Building на небольшой карте с левым нижним углом в качестве начала координат.
Рабочий объем
Изменение положения называется смещением . На диаграмме ниже показан позиции P 1 и P 2 игрока в два разных момента времени.
Стрелка, указывающая от P 1 к P 2 , — это вектор смещения .
Его величина прямолинейная. расстояние между P 1 и P 2 .
Составляющие перемещения
вектор от P 1 до
P 2 — это (x 2 — x 1 ) вдоль оси x, (y 2 —
y 1 ) по оси y.
Вектор смещения d от P 1 до P 2 май
можно записать как d = (x 2 — x 1 ) i + (y 2 — y 1 ) j .
Смещение d — это (x 2 — x 1 ) единиц в
Направление x плюс (y 2 — y 1 ) единиц в направлении y.
Величина смещения
равно d = ((x 2 — x 1 ) 2 + (y 2 — y 1 ) 2 ) ½ .Этот
следует из
Пифагорейский
теорема.
Расстояние между двумя точками P 1 с координатами (x 1 ,
y 1 ,
z 1 ) и P 2 с координатами (x 2 , y 2 , z 2 ) равно
d =
((х 2 — х 1 ) 2 + (у 2 — у 1 ) 2 + (z 2 — z1) 2 ) ½ .
- Расстояние d — это величина вектора смещения d .
- Направление вектора смещения d — это направленный отрезок от P 1 к P 2 .
- Мы называем этот направленный отрезок геометрической или графической представление вектора d .
- Нарисуем острие стрелки на P 2 , чтобы указать что сегмент линии начинается в точке P 1 и заканчивается в точке P 2 .
Тройка действительных чисел d x = (x 2 — x 1 ), d y = (y 2 — y 1 ), d z = (z 2 — z 1 ) называются декартовыми компонентами d .
Ссылка: Расстояние и смещение (пожалуйста, исследуйте!)
Проблема:
Футбольный защитник пробежал 15.0 мес. прямо по игровому полю (в положительное направление x) за 2,50 с. Затем его ударили и толкнули на 3,00 м. прямо назад за 1,75 с. Он ломает подкат и бежит прямо вперед еще 21,0 м за 5,20 с. Рассчитайте его вектор смещения и общее пройденное расстояние.
Решение:
- Рассуждение:
Выберите систему координат, чтобы вы могли отслеживать игрока. - Детали расчета:
Выберите свою систему координат, чтобы игрок начинает с x = 0. После 2,5 с, он попадает на х = 15 м.
Затем он отступает на 3 м и заканчивает вверх при x = 12 м еще через 1,75 с.
Он продвигается вперед на 21 метр в следующем 5,2 с и заканчивается на x = 12 м + 21 м. = 33 м.
Его смещение вектор d = (33 m) i , то есть 33 м вперед.
Его общее пройденное расстояние — 15 м. + 3 м + 21 м = 39 м.
Примечание: общее пройденное расстояние НЕ ЯВЛЯЕТСЯ расстоянием по прямой. от начальной до конечной точки, если объект не движется по прямой линия без изменения направления.
Проблема:
Путешествуя по прямой автомагистрали между штатами, вы обратите внимание, что отметка мили показывает 260. Вы путешествуете, пока не достигнете отметки в 150 миль. маркер, а затем вернитесь к маркеру длиной 175 миль.Что величина вашего результирующего смещения от 260-мильной отметки?
Решение:
- Рассуждение:
Результирующее смещение — это вектор d , сумма двух векторов д 1 и d 2 , которые указывают в противоположных направлениях. - Детали расчета:
Результирующее смещение — это вектор d , сумма двух векторов д 1 и d 2 , которые указывают в противоположных направлениях.
Проблема:
Острие лопасти вертолета 5,00 м от центра вращения. За один оборот лезвия вычислить вектор смещения и общее расстояние, пройденное наконечником лезвия.
Решение:
- Рассуждение:
После одного оборота наконечник возвращается в исходное положение. Его вектор смещения d = 0. - Детали расчета:
Общее пройденное расстояние на кончике равна окружности окружности радиуса r = 5 м.
Окружность = 2πr = 31,42 м.
Общее расстояние, пройденное наконечник 31,42 м.
Вектор смещения имеет одинаковую величину и направление, независимо от выбор начала координат системы координат. Величина и направление вектор смещения, однако, зависит от системы отсчета , в которой система координат закреплена и находится в состоянии покоя.
Пример:
Автомобиль двинулся вперед расстояние 6 м, при этом ребенок переместился с заднего сиденья вперед сиденье на расстоянии 1 м.
- Использование автомобиля в качестве системы отсчета и привязка системы координат в машине водоизмещение ребенка d (автомобиль) = (1 м) i .
- Использование дороги в качестве опорной системы и привязка системы координат в дороге перемещение ребенка d (дорога) = (6 м) i + (1 м) i = (7 м) i .
Объяснитель урока: скаляры и векторы
В этом объяснителе мы узнаем, как определять физические величины как скаляры или векторы в зависимости от того, имеют ли они направление.
Физическая величина — это то, что можно измерить. Когда мы производим измерение физической величины, мы можем выразить результат этого измерения как числовое значение и единица измерения.
Например, предположим, что мы хотим измерить температуру стакана воды.В этом случае физическая величина, которую мы пытаемся измерить, равна величина «температура».
Эту температуру можно измерить термометром. На схеме ниже показан термометр в стакане с водой.
Термометр дает нам значение 40, и мы можем видеть по шкале на термометре, что измеренное значение имеет единицы измерения. градусов Цельсия (∘C). Таким образом, можно сказать, что мы измерили температуру воды, равную 40∘C.
Многие физические величины можно полностью описать, используя только значение или величину вместе с единицей измерения.Температура — это один из примеров физической величины что полностью описано таким образом.
Такие величины не имеют никакого связанного с ними направления. В самом деле, бессмысленно пытаться говорить о направлении температуры.
Рассмотрим следующую схему, на которой показаны два термометра в одном стакане воды, который мы рассматривали ранее.
Один из термометров (термометр A) ориентирован вертикально, как на предыдущей диаграмме. Другой (градусник В) находится под углом.
Предположим, что мы измеряем температуру воды с помощью термометра A и получаем значение 40∘C. Если затем мы прочитаем температуру по шкале термометра B, мы получим тот же результат — 40∘C. Оба термометра измеряют одну и ту же воду, и, поскольку направление не является частью определения температуры, угол термометра не может влияют на измеренное значение.
Физические величины, такие как температура, которые полностью описываются только величиной (вместе с единицей измерения), называются скалярными величинами.
Определение: скалярная величина
Скалярная величина — это величина, которая полностью определяется величиной.
В примере с двумя термометрами мы увидели, что направление измерительного устройства не имело отношения к результату измерения. Это верно для любой скалярной величины.
Важно понимать, что для скалярных величин вообще бессмысленно говорить о направлении. Это не просто скаляр Для количеств необязательно, чтобы имело направление, чтобы их можно было определить; на самом деле не существует такой вещи, как направление для скалярной величины.
Другая скалярная величина — время. Время имеет величину, которую мы обычно измеряем в секундах, минут или часов. Однако, если кто-то сказал нам что на выполнение определенного действия потребовалось 30 секунд, это явно бессмысленный вопрос. в каком направлении были эти секунды. Нет такой вещи, как направление времени; у него есть только величина.
Давайте теперь рассмотрим пример задачи, связанной со временем.
Пример 1. Понимание того, что время является скалярной величиной
Два часа смотрят в разные стороны.Часы показывают одинаковые или разные измерения времени?
Ответ
Вопрос показывает нам два часа. Левосторонние часы ориентированы вертикально, а правые повернуты набок. Нас спрашивают, являются ли эти два часа показывают одинаковые или разные измерения времени.
Физическая величина «время» не имеет связанного с ней направления. У него есть только величина. Другими словами, время — это скалярная величина.
Напомним, что при измерении физической величины, не имеющей направления, угол измерительного устройства не может повлиять на результат измерения.
Это означает, что угол часов не может повлиять на измеренное время.
В этом случае на обоих часах часовая стрелка указывает на 3, а минутная — на 12. Это означает, что оба часа показывают время 3:00. Мы можем заметить, что этот процесс считывания времени с часов не зависел от угла, под которым находились часы.
Таким образом, наш ответ на вопрос состоит в том, что часы показывают одно и то же измерение времени.
Рассмотрим теперь физическую величину «расстояние.«Когда мы говорим о расстоянии, пройденном объектом, мы имеем в виду — длина пути, по которому движется объект.
Представьте, что у нас есть два пешехода, которые начинают с одной и той же позиции и идут, как показано на схеме ниже.
Теперь мы можем определенно говорить о направлении, в котором движется каждый из пешеходов. Из диаграммы мы можем видеть, что шагающий A движется на запад, в то время как ходок B отправляется на восток.
Однако это направление не входит в наше определение расстояния, пройденного каждым пешеходом.Напомним, что расстояние определяется как длина пути. Для каждого из двух ходунков эта длина составляет 40 м. Таким образом, расстояние, пройденное каждым пешеходом 40 м.
Это значение полностью определяет пройденное расстояние. Поскольку расстояние полностью определяется величиной и единицей измерения, то расстояние должно быть скалярной величиной.
Помимо общей длины пути, детали маршрута, пройденного движущимся объектом, не влияют на измерение пройденного расстояния.Выбранный путь мог быть прямой линией, или он может ходить по кругу или любой другой вообразимой форме; единственное, что имеет значение — это длина пути.
Например, мы могли бы также рассмотреть третьего пешехода, которого мы назовем пешеходом C. Маршрут, пройденный пешеходом C, показан на диаграмме ниже. вместе с маршрутами пешехода A и пешехода B.
Из диаграммы видно, что пешеход C идет по маршруту, состоящему из двух отрезков прямых линий, каждый длиной 20 м.Расстояние, пройденное пешеходом C, составляет длину этого пути, которая составляет 20 + 20 = 40 мм.
Walker C движется в двух разных направлениях на протяжении своего маршрута. Однако они проходят такое же расстояние — 40 м. как расстояние, пройденное как пешеходом A, так и пешеходом B. Это возможно, потому что пройденное расстояние является скалярной величиной, не зависящей от направления.
Теперь давайте посмотрим на величину «скорость». Напомним, что скорость определяется как расстояние, пройденное за единицу времени.
Поскольку мы видели, что расстояние и время являются скалярными величинами, мы знаем, что ни одна из этих величин не имеет связанного с ними направления.Поскольку скорость определяется двумя величинами, не имеющими направления, возможно, неудивительно, что скорость не имеет направления. либо — то есть скорость также является скалярной величиной.
Рассмотрим тех же трех ходунков, что были раньше. Предположим, что каждый из них проходит свой 40-метровый маршрут. за время 40 с.
Все три пешехода преодолевают 40 м за 40 с, что означает, что все ходунки имеют одинаковую скорость 4040 = 1 / мсек.
Скорость каждого пешехода полностью определяется этим значением и не зависит от каких-либо деталей маршрута, кроме расстояния.Это означает, что скорость имеет величина, но без связанного направления, и поэтому должна быть скалярной величиной.
Мы видели, что и расстояние, и скорость полностью определяются величиной и единицей; у них нет ассоциированного направления. Однако есть некоторые физические величины, у которых есть направление. И на самом деле, такие количества фактически требуют указания направления, чтобы быть полностью определенным. Мы называем эти величины, которые требуют полного определения как величины, так и направления, векторные величины.
Определение: векторная величина
Векторная величина — это величина, которая полностью определяется величиной и направлением.
Давайте рассмотрим несколько примеров вопросов, которые помогут прояснить разницу между скалярными величинами и векторными величинами.
Пример 2: Определение того, что является общим для скалярных величин и векторных величин
Что должно иметь векторная величина, что также должна иметь скалярная величина?
- Величина
- Направление
Ответ
Этот вопрос задает нам вопрос, что должно иметь векторная величина, которую также должна иметь скалярная величина.Итак, давайте начнем с того, что вспомним, что должно быть у векторной величины.
Мы можем вспомнить, что векторная величина — это величина, которая полностью описывается величиной и направлением. Другими словами, векторная величина должна иметь и величина, и направление.
Мы можем заметить, что «величина» и «направление» являются возможными ответами на вопрос. Нам нужно работать какие из них должна иметь скалярная величина.
Напомним, что скалярная величина полностью описывается величиной.Следовательно, скалярная величина должна иметь величину, но не иметь направления.
Тогда наш ответ на вопрос состоит в том, что и векторная величина, и скалярная величина должны иметь величину. Это ответ, указанный в варианте A.
Пример 3: Понимание разницы между скалярными и векторными величинами
Что должно иметь векторная величина, чего не может иметь скалярная величина?
- Величина
- Направление
Ответ
Этот вопрос задает нам вопрос, что должно иметь векторная величина, чего не может иметь скалярная величина.Мы можем начать с того, что вспомним, что должно быть у векторной величины.
Мы можем вспомнить, что векторные величины полностью определяются величиной и направлением. Это означает, что векторная величина должна иметь как величину, так и направление.
Мы можем заметить, что «величина» и «направление» являются возможными ответами, данными нам в вопросе. Нам нужно выяснить, какой из этих ответов не может иметь скалярная величина.
Напомним, что скалярные величины полностью описываются величиной.Следовательно, скалярная величина должна иметь величину, но не может иметь направления, поскольку он полностью описывается только величиной.
Тогда наш ответ на вопрос состоит в том, что это направление должно иметь векторная величина, а скалярная величина — не может. Это ответ, приведенный в варианте B.
Когда мы говорим о направлении векторной величины, важно четко понимать, что это означает.
Рассмотрим две линии, показанные на диаграмме ниже.
Можно сказать, что эти две линии имеют разные направления, так как они расположены под разными углами друг к другу.
Теперь вместо этого рассмотрим две линии на следующей диаграмме.
Можно сказать, что эти две линии имеют одинаковое направление, поскольку обе они ориентированы горизонтально.
Направление может указывать, в каком направлении ориентирована линия, но также включает в себя то, какой конец линии считается «началом». Предположим, что вместо линий у нас есть стрелки. Это показано на схеме ниже.
Обе эти стрелки ориентированы горизонтально, как и две горизонтальные линии, которые мы рассматривали ранее.Однако, поскольку стрелки имеют наконечники, мы бы не описали эти две стрелки как имеющие одно и то же направление. Мы бы сказали, что красная стрелка указывает налево, а мы бы сказали, что синяя стрелка указывает вправо. В качестве альтернативы мы могли бы сказать, что направление красной стрелки — влево, а направление синей стрелки — вправо.
Стрелка показывает все, что имеется в виду, когда мы говорим о направлении. Угол, под которым нарисована стрелка, говорит нам об ориентации, в то время как голова стрелка указывает нам, в каком направлении по этой линии находится направление.По этой причине стрелки часто используются для визуального отображения векторных величин.
Мы сказали, что есть некоторые физические величины, которые имеют направление, а также величину, и что эти величины известны как векторные величины. Теперь давайте посмотрим на конкретный пример такой векторной величины: «сила».
Сила имеет величину — размер или силу этой силы. У него также есть направление — направление, в котором приложена сила. Давайте посмотрим на пример сценария, чтобы понять, почему направление силы является важной частью ее определения.
Представьте, что у нас есть большая коробка. Два человека могут толкать ящик, прикладывая к нему силу. Предположим, что эти два человека могут толкать равная сила — то есть силы, которые они прикладывают к коробке, будут иметь одинаковую величину.
Рассмотрим две ситуации, показанные на диаграмме ниже.
В левой половине диаграммы два человека стоят по разные стороны коробки и толкают ее в противоположных направлениях. В правой половине диаграммы два человека стоят на одной стороне коробки друг с другом и толкаются в одном направлении.
Силы, прилагаемые каждым человеком, показаны на диаграмме стрелками. Стрелки одинаковой длины использовались, чтобы показать, что силы имеют одинаковую величину. Направление каждой стрелки сообщает нам направление соответствующей силы.
Эти две ситуации не приведут к одинаковому движению коробки. Эффект от того, что двое людей толкают его, явно будет разным в зависимости от того, толкайте в одном направлении друг с другом или в противоположных направлениях. Следовательно, необходимо учитывать направления сил, чтобы понять действие этих сил.
Этот пример сценария подчеркивает важный момент, который применяется ко всем векторным величинам. Направление векторной величины — это не просто дополнительная, необязательная часть информации. Это важная часть определения количества — не зная направления, мы не можем полностью понять значение векторная величина.
Коробка в этом примере также имеет массу; Масса — это физическая величина, которая описывает, сколько силы требуется для ускорения объекта.Что немаловажно, масса коробки зависит от того, какое усилие необходимо, чтобы толкнуть коробку в любом горизонтальном направлении . Величина «масса» не имеет направления. Он имеет только величину, обычно выражаемую в килограммах. Следовательно, масса — это скалярная величина.
Важно не путать физические величины масса и вес. В повседневной речи мы можем услышать слово «масса». и «вес» используются как синонимы. Однако в физике это две различные физические величины.
В отличие от массы, у веса есть направление. Вес ящика — это сила, действующая на ящик под действием силы тяжести. Направление этой силы веса всегда вниз, к земле, независимо от движения коробки.
На приведенной ниже диаграмме показана нагрузка на коробку в трех случаях. На левой диаграмме ящик находится в состоянии покоя. На средней диаграмме ящик толкается Направо. На диаграмме справа поле сдвигается влево.Во всех трех случаях сила веса, обозначенная зеленой стрелкой, действует вниз.
Величина веса дает силу этой силы. Поскольку вес имеет как величину, так и направление, вес является векторной величиной.
Ранее мы видели, что расстояние — это скалярная величина, она полностью определяется величиной. Думая о расстоянии, мы использовали пример с ходунками. каждый из которых прошел разными маршрутами, начиная с одной и той же позиции. Мы увидели, что, несмотря на то, что они шли по разным маршрутам, все они прошли одинаковое расстояние. потому что длина каждого маршрута была одинаковой.
Давайте снова рассмотрим пешеходов, которых мы обозначили как пешехода А и пешехода Б. Маршруты, пройденные этими пешеходами, показаны на диаграмме ниже.
Ранее мы видели, что каждый шагающий проходит расстояние 40 м, но каждый идет в своем направлении. В частности, ходунок А едет на запад, а ходок В — на восток. Это показано на схеме стрелками, указывающими из начальной позиции. в конечное положение для каждого ходока.
Существует физическая величина, которая описывает движение пешеходов с учетом направления, в котором они шли.Эта величина и есть «смещение».
Смещение объекта может быть представлено стрелкой, указывающей от начального положения объекта к конечному положению объекта, так же, как мы показали для двух ходоков. Длина этой стрелки показывает величину смещения. Направление стрелки показывает направление смещения.
Смещение полностью определяется этой величиной и направлением, что означает, что смещение является векторной величиной.
В случае шагохода А мы бы сказали, что его смещение составляет 40 м к западу.Между тем, для ходока B, водоизмещение 40 м к востоку.
Важно понимать, что величина смещения объекта не обязательно имеет то же значение, что и расстояние, пройденное этим объектом.
В случае ходунков A и B, движение происходит по единой прямой линии. Следовательно, расстояние, пройденное каждым пешеходом, равно длине стрелки. от начальной позиции до конечной позиции. В общем, для движения по одной прямой пройденное расстояние равно величине смещения.
Однако это не относится к любому движению, кроме движения по одной прямой.
Ранее мы также рассматривали третьего ходока, обозначенного как ходунок C. Движение ходока C показано на диаграмме ниже.
Пунктирными линиями на схеме обозначен маршрут пешехода C. на 20 м к северу. Стрелка показывает перемещение ходока C. Напомним, что величина смещения определяется как длина стрелки от начальной до конечной позиции.В этом случае длина этой стрелки не совпадает с длиной пройденного маршрута. Длина пройденного маршрута 40 м, при этом длина стрелки от начальной позиции до конца позиция короче этой.
В общем, для любого движения, которое не происходит по одной прямой линии, величина смещения будет меньше пройденного расстояния.
Давайте взглянем на пару примеров вопросов, в которых рассматривается различие между расстоянием и смещением.
Пример 4: Расчет возможных конечных положений объекта, который перемещается на заданное расстояние
Показанный автомобиль находится в центре круга. Автомобиль движется на расстояние 30 метров. Каким может быть его окончательное положение?
- Любая точка внутри круга
- Только точки на окружности круга
Ответ
Вопрос показывает нам схему автомобиля, первоначально расположенного в центре круга радиусом 30 м.
Нам говорят, что автомобиль движется на расстояние 30 м, и просят определить его окончательное положение.
Напомним, что расстояние, на которое перемещается объект, определяется как длина пути, пройденного этим объектом. Расстояние — это скалярная величина; это означает, что это полностью определяется величиной, которая в данном случае является значением длины пути.
Тот факт, что расстояние является скалярной величиной, означает, что любые другие детали, кроме длины пути, никоим образом не являются частью определения расстояния. В ситуации, представленной в этом вопросе, это означает, что автомобиль может двигаться по любому маршруту по любой комбинации направлений, при условии, что общая длина этой тропы составляет 30 м.
Самая дальняя конечная позиция, которую может достичь автомобиль, — это проехать это расстояние по одной прямой. Это показано на диаграмме ниже.
Мы видим, что в этом случае машина заканчивается в 30 м от того места, где она стартовала. Конечное положение машины — затем по окружности круга. Автомобиль не может остановиться за пределами этого круга, так как нет пути с длиной 30 м от центра круга до любой точки вне круга.
Мы показали, что прямолинейный путь означает, что если автомобиль проехал расстояние 30 м, то он будет попадают на окружность круга. Однако мы также сказали, что возможен любой маршрут длиной 30 м, так что эта прямая линия — не единственный вариант.
Рассмотрим некоторые другие возможности, показанные на диаграмме ниже.
На левой диаграмме автомобиль движется в двух разных направлениях (15 м слева и 15 м вверх) на общую дистанцию 30 м.Автомобиль оказывается внутри круга.
На средней диаграмме автомобиль проезжает 15 м влево, а затем 15 м. вправо, что дает общее расстояние 30 м. Он заканчивается в той же позиции, в которой был начат.
На правой диаграмме автомобиль движется по изогнутому маршруту общей длиной 30 м, заканчиваясь на еще одна точка внутри круга.
Эти примеры — всего лишь три возможности из множества. Убедиться в том, что любая точка внутри круга может быть достигнута, должно быть несложно. пройдя расстояние 30 м, выбрав правильный путь.
Таким образом, наш ответ на вопрос состоит в том, что конечным положением автомобиля может быть любая точка внутри круга. Это ответ, указанный в варианте A.
Пример 5: Понимание взаимосвязи между расстоянием и величиной смещения
Показанный автомобиль находится в центре круга. Автомобиль движется на расстояние 30 метров, и его конечная позиция находится в 30 метрах от начальной позиции. Машина двигалась в одном направлении?
- Да
- Нет
Ответ
Вопрос показывает нам диаграмму с автомобилем в центре круга радиусом 30 м и просит проработать движется ли эта машина в одном направлении.
Нам говорят, что машина движется на расстояние 30 м.
Начнем с того, что вспомним, что расстояние определяется как длина пройденного пути. Расстояние — это скалярная величина; это означает, что он полностью определяется этой длиной, что является величиной.
Итак, о машине, о которой идет речь, мы знаем, что она двигалась по тропе длиной 30 м.
Нам также сообщили, что конечная позиция автомобиля находится в 30 м от начальной позиции. Это значит что если мы нарисуем прямую стрелку, указывающую от начального положения к конечному положению, длина этой стрелки будет 30 м.
Такая стрелка показана на схеме ниже.
Эта стрелка показывает перемещение автомобиля. Указав, что конечная позиция автомобиля — 30 м. от исходного положения вопрос говорит нам, что величина смещения автомобиля составляет 30 м. В этом случае величина смещения равна пройденному расстоянию.
Обратите внимание, что в каком бы направлении ни была нарисована стрелка, она будет проходить от центра круга до точки на окружности круга.Все такие точки находятся в 30 м от центра. Другими словами, потому что машина заканчивается 30 м от исходного положения, его конечное положение должно быть где-то на этой окружности.
Рассмотрим конкретную точку на этой окружности — мы представим, что это конечное положение автомобиля. На диаграмме ниже показаны некоторые возможные маршруты от исходного положения автомобиля в центре круга до этого конечного положения.
Маршрут A показывает автомобиль, движущийся в одном направлении.В этом случае маршрут пролегает по стрелке, которая будет обозначать смещение автомобиля. а пройденное расстояние равно 30 м, что и величина смещения.
Если выбран любой из других маршрутов, по которым автомобиль движется в нескольких разных направлениях, то пройденное расстояние должно быть больше. чем 30 м. Маршрут A — это расстояние по прямой между начальной и конечной точками, а также любой другой маршрут. чем это расстояние по прямой линии должно быть больше.То же самое верно и для любого другого маршрута, который мы только могли придумать.
Следовательно, для расстояния, пройденного автомобилем, и величины смещения конечного положения автомобиля от его исходного положения, чтобы иметь то же значение, автомобиль должен двигаться в одном направлении.
Итак, наш ответ на вопрос, двигалась ли машина в одном направлении — «да». Это ответ, указанный в варианте A.
Мы видели, что смещение — это векторная величина, которая связана со скалярной величиной расстояния.Аналогичным образом существует векторная величина, связанная с к скалярной количественной скорости. Эта векторная величина и есть скорость.
Скорость объекта — это скорость изменения смещения этого объекта. Другими словами, скорость определяется как смещение в единицу времени. Поскольку смещение является векторной величиной и, следовательно, имеет направление, имеет смысл, что скорость также будет иметь направление.
Давайте посмотрим, как это работает, снова рассмотрев двух ходунков, ходока A и ходока B.Ранее мы обнаружили, что если каждый ходящий преодолеет расстояние 40 м за время 40 с, то средняя скорость каждого шагающего составляет 1 м / с.
Однако при рассмотрении смещения мы также должны были учитывать направление, в котором двигался каждый шагающий. Уокер А отправился на Запад, дав им окончательное смещение на 40 м к западу от исходной позиции. Тем временем ходок Б отправился на Восток, давая им окончательное смещение на 40 м к востоку. Движение двух пешеходов показано на диаграмме ниже.
На диаграмме мы также указали скорость каждого шагающего. Скорость определяется величиной, равной их скорости, а также направлением, равным по направлению движения. На диаграмме это показано значением 1 м / с, что дает величину скорости вместе со стрелкой, указывающей направление.
Можно сказать, что скорость пешехода A составляет 1 м / с на запад, а скорость пешехода B находится в 1 м / с к востоку.
Последней физической величиной, которую мы рассмотрим в этом пояснении, является ускорение.
Мы могли ранее сталкиваться с ускорением, определяемым как скорость изменения скорости объекта. Однако, строго говоря, ускорение объект следует определять как скорость изменения скорости этого объекта.
Поскольку скорость имеет направление, то и ускорение должно иметь направление. Следовательно, ускорение должно быть векторной величиной. Величина Ускорение объекта говорит нам, насколько быстро изменяется его скорость, а направление ускорения говорит нам, в каком направлении это изменение в.
Давайте рассмотрим конкретный сценарий, в котором мы увидим, почему направление ускорения является фундаментальной частью определения.
Предположим, у нас есть автомобиль, движущийся с постоянной скоростью по прямой дороге. Затем предположим, что нам говорят, что автомобиль ускоряется с некоторой величиной, равной обозначим как.
Два возможных результата показаны на диаграмме ниже.
Напомним, что ускорение — это векторная величина, но нам сообщили только величину, а не направление.Если ускорение в том же направлении в качестве начальной скорости автомобиля, как показано в левой половине диаграммы, она будет увеличивать величину скорости автомобиля.
Однако также может быть случай, когда ускорение происходит в направлении, противоположном начальной скорости автомобиля. Это показано в правой половине диаграммы. В этом случае ускорение снижает величину скорости — другими словами, автомобиль замедляется. Когда ускорение снижает величину скорости объекта, это часто называют отрицательным ускорением или замедлением.
Мы видели, что знание величины ускорения не является достаточной информацией, чтобы сказать нам, что произойдет с автомобилем. В зависимости от направления из-за этого ускорения автомобиль может либо ускориться, либо замедлиться. Следовательно, направление — это фундаментальная часть определения ускорения.
Давайте подведем итоги тому, что мы узнали.
Ключевые моменты
- Физическая величина — это то, что можно измерить.
- Физические величины, которые полностью определяются величиной (вместе с единицей измерения), называются скалярными величинами.
- Примеры скалярных величин включают температуру, время, массу, расстояние и скорость.
- Физические величины, которые полностью определяются направлением и величиной (вместе с единицей измерения), называются векторными величинами.
- Примеры векторных величин включают смещение, скорость, силу, ускорение и вес.
скаляров и векторов | bartleby
Какие бывают типы векторов?
Так как вектор — это фактическая физическая величина, типы следующие:
Единичные векторы
Векторы также идут с соответствующими единицами измерения.’Будет добавлен для обозначения вектора, движущегося в направлении z.
Коллинеарные векторы
В коллинеарных векторах существует линия действия, которая является общей для существующих векторов. Коллинеарные векторы далее делятся на два типа:
- Параллельные векторы
- Антипараллельные векторы
Параллельные векторы
Когда два или несколько векторов параллельны в соответствии с одной линией и имеют одинаковое направление, тогда соответствующие векторы параллельны друг другу.Короче угол между ними равен нулю. В параллельных векторах величина отдельных векторов не имеет значения.
Антипараллельные векторы
Когда два или несколько векторов параллельны в соответствии с одной линией, но имеют противоположные направления, то эти векторы можно назвать антипараллельными векторами. Здесь также значения отдельных векторов не имеют значения.
Равные векторы
Среди двух или нескольких векторов, если их направление и величина одинаковы, то считается, что соответствующие векторы равны по природе.
Отрицательные векторы
Отрицательные векторы имеют одинаковую величину между собой. Однако их направление противоположно друг другу. В такой паре векторов один вектор называется отрицательным по отношению к другому вектору.
Нулевые векторы
Если векторная величина имеет произвольное направление и если величина равна нулю, то этот вектор называется нулевым вектором или нулевым вектором. В таком векторе расстояние между начальной и конечной точкой равно нулю, или они оба лежат в одной точке.Следовательно, направление тоже не может быть определено.
Даже если концепция нулевых векторов является гипотетической, она используется при сложении и вычитании векторов. Излишне говорить, что вектор, добавленный или вычитаемый с нулевым вектором, сохраняет свою величину и направление.
Инвариантность вектора
Если векторная величина может быть перемещена куда угодно без каких-либо изменений ее направления или величины, то вектор называется инвариантным.
Копланарные векторы
Векторы, лежащие в одной плоскости, называются копланарными векторами.В копланарных векторах направления отдельных векторов не имеют значения.
Локализованные и нелокализованные векторы
Любой вектор, который имеет фиксированную или локализованную начальную точку, называется локализованным вектором. Точно так же, если начальная точка вектора не фиксирована, это нелокализованный вектор. Нелокализованные векторы также известны как свободные векторы.
Разница между скалярной величиной и векторной величиной
Каждое научное объяснение реализуется с помощью ряда физических величин, каждая из которых выражает особое значение и значение в этом контексте.По определению, физическая величина — это физическое свойство, поддающееся измерению и количественной оценке, которое несет с собой уникальную информацию. По характеру зависимости такие величины могут быть двух типов — фундаментальные и производные. Фундаментальная величина — это та величина, которая не зависит от других свойств; в то время как производная величина зависит от других основных или производных свойств. Некоторые из этих фундаментальных и производных величин несут в себе определенное направление его применения; в то время как для других не добавляется никакого конкретного направления.В зависимости от направления физические величины можно разделить на две категории — скалярные и векторные. Скалярная величина — это величина, которая имеет только величину и не имеет направления; так что это просто число, сопровождаемое соответствующей единицей. Например, длина, масса, продолжительность, скорость и т. Д. Являются скалярами, поэтому у них нет направления. Во всех направлениях его ценность будет одинаковой. Итак, каждый скаляр — это одномерный параметр. Следовательно, любое изменение скалярной величины отражает только изменение величины, поскольку с ней не связано никакого направления.
Векторная величина , с другой стороны, обязательно имеет величину с единицей измерения и определенное направление. Таким образом, указание направления действия вместе с его значением или величиной является обязательным при определении или указании векторной величины. Смещение, вес, сила, скорость и т. Д. Являются векторами и, следовательно, имеют определенное направление своего приложения. Таким образом, векторные величины могут быть одномерными, двумерными или трехмерными параметрами. Любое изменение векторной величины отражает либо изменение величины, либо изменение направления, либо изменение того и другого.Поскольку каждый вектор имеет определенное направление своего приложения, чтобы узнать его интенсивность в другом направлении, вектор можно разрешить с помощью синуса или косинуса смежных углов (разрешение вектора). Поскольку у скаляра нет определенного направления применения, во всех направлениях его значение будет одинаковым (в принципе, нет необходимости его разрешать). Различные сходства и различия между скалярной величиной и векторной величиной приведены ниже в табличном формате.
- Как скалярная величина, так и векторная величина выражают определенную физическую величину.
- Как скалярные, так и векторные величины можно измерить (можно измерить с помощью подходящего инструмента) и измерить (можно выразить как числовую величину с соответствующей единицей измерения).
- Как скалярные, так и векторные величины имеют определенную конечную величину.
- Как скалярные, так и векторные величины имеют определенную размерность и единицу.
| Скалярная величина | Число векторов |
|---|---|
| Скалярная величина имеет только величину, но не направление. | Векторная величина имеет как величину, так и направление. |
| Каждая скалярная величина одномерна. | Векторная величина может быть одно-, двух- или трехмерной. |
| Любое изменение скалярной величины является отражением изменения величины. | Любое изменение в векторной величине может отражать либо изменение направления, либо изменение величины, либо изменения и того, и другого. |
| Скалярная величина не может быть определена, поскольку она имеет одно и то же значение независимо от направления. | Величина вектора может быть разрешена в любом направлении с помощью синуса или косинуса соседнего угла. |
| Любая математическая операция, выполняемая между двумя или более скалярными величинами, даст только скаляр. Однако, если скаляр работает с вектором, результатом будет вектор. | Результат математических операций между двумя или более векторами может давать скаляр или вектор. Например, скалярное произведение двух векторов дает только скаляр; в то время как перекрестное произведение, суммирование или вычитание между двумя векторами приводит к вектору. |
Несколько примеров скалярной величины:
| Несколько примеров векторной величины:
|
Разница между векторной и скалярной величинами
Сравнение количества векторов и скалярных чисел
Это хорошо известный факт, что большинство физических величин, с которыми вы обязательно столкнетесь в физике, делятся на две категории.Это либо векторные величины, либо скалярные величины. Чтобы понять, что такое скалярная величина, полезно перечислить несколько примеров. Время, скорость, температура и объем — лишь некоторые примеры скалярной величины.
Если учесть единицы, определяющие время; часы, минуты и секунды, они просто представляют время. У них нет возможности определить направление, в котором движется время. Этот компонент полностью отсутствует. С другой стороны, когда вы работаете с векторной величиной, вам необходимо иметь возможность представить ее в терминах направления.
Векторные и скалярные величины уже много лет являются предметом многочисленных споров среди ученых. Чтобы выявить четкие различия между этими двумя сущностями, потребовались многочисленные исследования и статьи. В настоящее время легко определить, что такое скалярная величина из векторной величины. Чтобы вы могли работать с векторами, вы должны уметь представлять их с точки зрения направления.
Разница между векторной величиной и скалярной величиной довольно очевидна. Благодаря развитию технологий информационный поток стал довольно простым и доступным для всех, кому это интересно.Если вам нужно что-то узнать, все, что вам нужно сделать, это ввести ключевое слово, и информация отобразится для вас.
Есть два элемента, которые определяют, что такое векторная величина, без которой она не может быть определена как таковая. Точно так же скалярная величина определяется одним элементом. Если его нет, значит, нет скалярной величины. Величина — единственное, что может определять скалярную величину.
Следовательно, основное различие между векторной величиной и скалярной величиной состоит в том, что векторная величина имеет как величину, так и направление, в то время как скалярная величина имеет только величину и не имеет направления.Некоторые дополнительные скалярные величины: энергия, масса и плотность. Они также отображают величину, но не могут определять конкретное направление.
Разница между векторной величиной и скалярной величиной состоит в том, что величина вектора должна иметь возможность перемещаться в заданном направлении. Если он не может двигаться в данном направлении, наука лишает его возможности быть векторной величиной. В то же время скалярная величина имеет только ту величину, с которой она квалифицируется как скалярная величина. Как только он начинает двигаться в заданном направлении, параметры меняются, и это больше не является скалярной величиной.
Разница между векторной величиной и скалярной величиной состоит в том, что в векторной величине длина вектора отображает величину. Стрелка же показывает направление, в котором движется величина.
Резюме:
1.Различия между векторным количеством и скалярным количеством составляют:
2. Количество векторов имеет как величину, так и направление.
3. Скалярная величина имеет только величину, а не направление.
: Если вам понравилась эта статья или наш сайт.Пожалуйста, расскажите об этом. Поделитесь им с друзьями / семьей.
Cite
APA 7
P, B. (5 июля 2011 г.). Разница между величиной вектора и скалярной величиной. Разница между похожими терминами и объектами. http://www.differencebetween.net/science/difference-between-vector-quantity-and-scalar-quantity/.
MLA 8
P, Бенжи. «Разница между величиной вектора и скалярной величиной». Разница между похожими терминами и объектами, 5 июля 2011 г.
