Колебательный контур. Формула Томсона
Основным устройством, определяющим рабочую частоту любого генератора переменного тока, является колебательный контур. Колебательный контур (рис.1) состоит из катушки индуктивности L (рассмотрим идеальный случай, когда катушка не обладает омическим сопротивлением) и конденсатора C и называется замкнутым. Характеристикой катушки является индуктивность, она обозначается L и измеряется в Генри (Гн), конденсатор характеризуют емкостью C, которую измеряют в фарадах (Ф).
Пусть в начальный момент времени конденсатор заряжен так (рис.1), что на одной из его обкладок имеется заряд +Q0, а на другой – заряд —Q0. При этом между пластинами конденсатора образуется электрическое поле, обладающее энергией
, (1)
где – амплитудное
(максимальное) напряжение или разность
потенциалов на обкладках конденсатора.
После замыкания контура конденсатор начинает разряжаться и по цепи пойдет электрический ток (рис.2), величина которого увеличивается от нуля до максимального значения . Так как в цепи протекает переменный по величине ток, то в катушке индуцируется ЭДС самоиндукции, которая препятствует разрядке конденсатора. Поэтому процесс разрядки конденсатора происходит не мгновенно, а постепенно. В каждый момент времени разность потенциалов на обкладках конденсатора
(2)
(где – заряд конденсатора в данный момент времени) равна разности потенциалов на катушке, т.е. равна ЭДС самоиндукции
. (3)
Рис. | Рис.2 |
1Когда конденсатор полностью разрядится и , сила тока в катушке достигнет максимального значения (рис.3). Индукция магнитного поля катушки в этот момент также максимальна, а энергия магнитного поля будет равна
. (4)
Затем сила тока начинает уменьшаться, а заряд будет накапливаться на пластинах конденсатора (рис.4). Когда сила тока уменьшится до нуля, заряд конденсатора достигнет максимального значения Q0, но обкладка, прежде заряженная положительно, теперь будет заряжена отрицательно (рис.5). Затем конденсатор вновь начинает разряжаться, причем ток в цепи потечет в противоположном направлении. Так процесс перетекания заряда с одной обкладки конденсатора на другую через катушку индуктивности повторяется снова и снова. Говорят, что в контуре происходят
Этот процесс связан не только с
колебаниями величины заряда и напряжения
на конденсаторе, силы тока в катушке,
но и перекачкой энергии из электрического
поля в магнитное и обратно.Рис.3 | Рис.4 |
Перезарядка конденсатора до максимального напряжения произойдет только в том случае, когда в колебательном контуре нет потерь энергии. Такой контур называется идеальным. В реальных контурах имеют место следующие потери энергии: 1) тепловые потери, т.к. R 0; 2) потери в диэлектрике конденсатора; 3) гистерезисные потери в сердечнике катушке; 4) потери на излучение и др. Если пренебречь этими потерями энергии, то можно написать, что , т.е.
. (5)
Колебания, происходящие в идеальном колебательном контуре, в котором выполняется это условие, называются свободными
В этом случае напряжение U (и заряд Q) на конденсаторе изменяется по гармоническому закону:
, (6)
где — собственная частота колебательного контура, 0 = 2 — собственная (круговая) частота колебательного контура. Частота электромагнитных колебаний в контуре определяется как
или . (7)
Период T – время, в течение которого совершается одно полное колебание напряжения на конденсаторе и тока в контуре, определяется
. (8)
Сила тока в контуре также изменяется по гармоническому закону, но отстает от напряжения по фазе на . Поэтому зависимость силы тока в цепи от времени будет иметь вид
. (9)
На рис.
6 представлены
графики изменения напряжения U на конденсаторе и тока I в катушке для идеального колебательного
контура.
В реальном контуре энергия с каждым колебанием будет убывать. Амплитуды напряжения на конденсаторе и тока в контуре будут убывать, такие колебания называются затухающими. В задающих генераторах их применять нельзя, т.к. прибор будет работать в лучшем случае в импульсном режиме.
Рис.5 | Рис.6 |
Для получения незатухающих колебаний необходимо компенсировать потери энергии при самых разнообразных рабочих частотах приборов, в том числе и применяемых в медицине.
или (но при этом начальная фаза, т. е. значение фазы в момент времени t=0, равна не 0, а ) . Но так как обычно колебания в контуре возбуждаются при зарядке конденсатора, т.е. когда заряд максимальный, то лучше использовать формулу с Cosqm – амплитуда гармонических колебаний, в данном случае – заряда (это модуль наибольшего значения колеблющейся величины). Определяется начальными условиямиT – период колебаний – минимальный промежуток времени Т, через который процесс полностью повторяется – формула Томсона (измеряется в Гц) – (фи) – фаза колебаний – величина, стоящая под знаком Sin или Cos. (при , т.е. через четверть периода ; при , т.е. через период ) Определение силы тока в любой момент времени:Im – амплитуда силы тока c – разность (сдвиг) фаз между колебаниями силы тока и напряженияПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ (выполняется с помощью курса «Открытая физика», версии 1. 1; CD-диск фирмы 1С )Основные рекомендации выполнения лабораторной работы с использованием программы «Открытая физика»:
Рисунок 1
Ход решения: МикроФарад милиГенри на калькуляторе: 1,6 Inv x2 1/x x 10000 = 0 =7905,69 рад/сек Используя полученный график модели процесса, сравните правильность расчёта.Ход решения: а) 0t = 7,905,69x 0 = 0 2,0*10 –6* Cos 0 =2,0*10 –6*1 = 2,0*10 –6 Кл (2,0 мкКл) б) милисек (при вычислении Сos выбрать радиокнопку Radians)
Ответ:
0 = 0 =8164,97 рад/сек 0t = 7905,69 x 2 x 10-3 = 8164,97 x 2 x 1000= 16329,93 *10 –3 = 16,329 (-0,81)(см. рисунок 2) Рисунок 2
Например: L = 8,5 мГн С = 3 мкФ Q = 1,5 мкКл (см. рисунок 3) Рисунок 3
(см. рисунок 4) Рисунок 4
(см. рисунок 5) Рисунок 5
Данные для расчёта: w = 2 П v = 2 П 1/T w = 2 П 1/T Вывод формулы для Im: С=Q/U => U= Q/ С Рисунок 6 Im= Для нашей задачи t = T => φс= 2П Ответ: (см. рисунок 6)
Ответ:
Ответ: φ=0 φ=2П 14.По графику установить, где сконцентрирована энергия в момент, когда:а) φ=0 Ответ: на конденсаторе б) φ=П/2 Ответ: на катушке индуктивности в) φ=П Ответ: на конденсаторе 15.Исследовать затухающие колебания. Что необходимо включить в контур, чтобы колебания были затухающими. Каковы причины затухания?Ответ:В контур необходимо включить сопротивление, тогда часть энергии будет тратиться на него и колебания будут постепенно затухать.16.Установите значение L=10 мГн и C= 10 мкФ в идеальном колебательном контуре (R=0). Рассчитайте период свободных колебаний и проверьте правильность расчётов с помощью компьютерного эксперимента. Ответ: Т==2.10-3c 17.Увеличивая величины L и C в 2, а в следующем эксперименте в 4 раза, установите, во сколько раз увеличивается период свободных колебаний.Ответ: в 2 и в 4 раза соответственно. 18.Проведите качественное наблюдение зависимости времени затухания от величины активного сопротивления. Во сколько раз увеличивается время t затухания при замене R=2 Ом на R=1 Ом?Ответ: время затухания увеличится в 2 раза19.Решите задачу:Конденсатор ёмкости С=2,0 мкФ, заряженный зарядом Q0=2,0* 10-2 Кл замыкается на катушку с индуктивностью L=8,0* 10-3Гн. Какой ток будет протекать в цепи через периода свободных колебаний? Ответ: 1,58 * 10-2 А Каталог: articles жүктеу/скачать 148 Kb. Достарыңызбен бөлісу: |
Какой параметр нужно изменить? 
Сравните её с расчётной, для чего решите уравнение, полученное выше. 
I(t), а галочку напротив Q(t) – сбросить)
Сравните полученное значение со значением в данной фазе по графику.
Тест12.6: коэффициенты Джоуля и Джоуля-Томсона
- Последнее обновление
- Сохранить как PDF
- Идентификатор страницы
- 8633
- Джереми Татум
- Университет Виктории
В главе 10 мы изучили эксперименты Джоуля и Джоуля-Томсона и рассчитали коэффициенты Джоуля и Джоуля-Томсона. Теперь, когда мы знакомы с функциями Гельмгольца и Гиббса и, в частности, с двумя соотношениями Максвелла, которые можно вывести из них, мы можем получить альтернативные выводы для этих двух коэффициентов.
Это может быть проще, чем выводы, которые мы дали в главе 10. Я в долгу перед доктором Грегом Трейлингом за вывод коэффициента Джоуля; вывод коэффициента Джоуля-Томсона следует параллельному рассуждению.
Начнем с коэффициента Джоуля . Здесь нас интересует, как изменяется температура с объемом в эксперименте, в котором внутренняя энергия постоянна. То есть мы хотим получить коэффициент Джоуля, η = (∂ T /∂ V ) U .
Теперь энтропия является функцией состояния, то есть интенсивных переменных состояния P , V и T . ( V = молярный объем.) Но интенсивные переменные состояния для конкретного вещества связаны уравнением состояния, поэтому нам нужно выразить энтропию как функцию только двух из P, V или T , и поскольку мы ищем связь между V и T , давайте выразим S как функцию V и T , так что
\[d S=\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T} d V+\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{ В} д Т.
\]
Давайте рассмотрим эти три термина по очереди.
Первый, дС . В опыте Джоуля внутренняя энергия газа постоянна, так что
\[T d S-P d V=0.\]
То есть
\[d S=\frac{P d V}{T}.\]
Для первого члена в правой части уравнения 12.7.1 мы используем соотношение Максвелла, уравнение 12.6.15, которое мы получили из функции Гельмгольца:
\[\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{T}=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}.\ ]
Для второго члена в правой части получаем
\[\ влево (\ гидроразрыва {\ парциальное S} {\ парциальное T} \ вправо) _ {V} = \ влево (\ гидроразрыва {\ парциальное S} {\ парциальное U} \ вправо) _ {v} \ влево (\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V}=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_{V} /\left(\frac{ \partial U}{\partial S}\right)_{V}=\frac{C_{v}}{T}.\]
Таким образом, уравнение 12.7.1 становится
\[\frac{P d V}{T}=\left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V} d V+\frac{C_{V} d T}{T }.
\]
Умножаем на T и делим на dV , принимая бесконечно малый предел как dV → 0, напоминая, что мы имеем дело с экспериментом, в котором внутренняя энергия постоянна, и мы получаем
\[P=T\влево(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_{V}+C_{V}\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right )_{U},\]
из которого сразу получаем
\[\ влево (\ гидроразрыва {\ парциальное Т} {\ парциальное V} \ вправо) _ {U} = \ гидроразрыва {1} {C_ {V}} \ влево [PT \ влево (\ гидроразрыва {\ парциальное Р {\partial T}\right)_{V}\right],\]
quod erat demostrandum .
Рассмотрим теперь коэффициент Джоуля-Томсона . Здесь нас интересует, как изменяется температура с давлением в эксперименте, в котором энтальпия постоянна. То есть мы хотим получить коэффициент Джоуля-Томсона, µ = (∂ T /∂ P ) H .
Теперь энтропия является функцией состояния, то есть интенсивных переменных состояния P, V и T .
( V = молярный объем.) Но интенсивные переменные состояния для конкретного вещества связаны уравнением состояния, поэтому нам нужно выразить энтропию как функцию только двух из P, V или T , и, поскольку мы ищем связь между P и T , давайте выразим S как функцию P и T , так что
\[d S=\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T} d P+\left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{ П} д Т.\]
Давайте рассмотрим эти три термина по очереди.
Первый, дС . В эксперименте Джоуля-Томсона энтальпия газа постоянна, так что
\[T d S+V d P=0.\]
То есть
\[d S=-\frac{V d P}{T}.\]
Для первого члена в правой части уравнения 12.7.9 мы используем соотношение Максвелла, уравнение 12.6.16, которое мы получили из функции Гиббса:
\[\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}. \]
Для второго члена в правой части получаем
\[ \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}=\left(\frac{\partial S}{\partial H}\right)_{P}\left (\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}=\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P} /\left(\frac{ \partial H}{\partial S}\right)_{P}=\frac{C_{P}}{T}.
\]
Таким образом, уравнение 12.7.9 становится
\[ -\frac{V d P}{T}=-\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} d P+\frac{C_{P} d T} {Т}.\]
Умножаем на T и делим на dP , принимая бесконечно малый предел как dP → 0, напоминая, что мы имеем дело с экспериментом, в котором энтальпия постоянна, и мы получаем
\[-V=-T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P}+C_{P}\left(\frac{\partial T}{\partial P} \право)_{Н},\]
из которого сразу получаем
\[\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_{H}=\frac{1}{C_{P}}\left[T\left(\frac{\partial V {\partial T}\right)_{P}-V\right],\]
quod erat demostrandum .
- Наверх
- Была ли эта статья полезной?
- Тип изделия
- Раздел или Страница
- Автор
- Джереми Татум
- Лицензия
- CC BY-NC
- Показать оглавление
- нет
- Теги
Томсоновский вывод формулы Лармора
###Общие сведения
Формула Лармора представляет собой аккуратное маленькое выражение, которое используется для расчета полной мощности, излучаемой ускоряющим точечным зарядом в нерелятивистском режиме. Я видел, как эта формула выводится несколькими способами: первый с использованием уравнений Максвелла в сочетании с опережающими/запаздывающими потенциалами (Гриффитс, глава 11), а второй — с использованием потенциала Лиенара-Вихерта (Джексон, глава 9). Да, честно говоря, это почти один и тот же метод; мы просто любим использовать термин «потенциал Линарда-Вихерта» в аспирантуре, чтобы произвести впечатление на людей.
Вчера я имел удовольствие встретиться за чашечкой кофе с одним из моих студентов. Он показал мне простое геометрическое доказательство вывода уравнения Лармора, впервые предложенное Дж.Дж. Томсон. Описание вывода Томсона можно найти во многих онлайн-источниках и в книге Перселла.
Когда я просмотрел некоторые ресурсы в Интернете, я обнаружил, что многие инструкторы публикуют слегка сокращенные схемы со своими выводами. Это может затруднить понимание того, откуда берется каждая переменная. Я собираюсь подробно рассмотреть вывод, ссылаясь на исходную диаграмму Перселла в Приложении B к его книге. И Чайтанья, если ты это читаешь, спасибо за идею для поста!
###Диаграмма Парселла
Рассмотрим точечный заряд q в состоянии покоя. Линии электрического поля от точечного заряда имеют простую радиальную конфигурацию, показанную на рисунке ниже.
Теперь предположим, что точечный заряд первоначально движется в направлении \(+\hat{x}\) со скоростью \(v_o\). Когда он проходит начало нашей системы координат, он останавливается на короткое время \(\tau\). Затем мы измеряем силовые линии электрического поля в некоторый момент времени \(T\) в будущем, где \(T \gg \tau\).
Мы можем визуализировать форму силовых линий электрического поля, используя схему ниже:
Давайте рассмотрим эту картинку более подробно.
Скорость света в вакууме является универсальным «пределом скорости». Никакая информация не может распространяться быстрее скорости света. Таким образом, силовые линии электрического поля не могут мгновенно измениться во всех областях пространства — вместо этого информация об ускорении частицы распространяется по этим силовым линиям со скоростью с.
Выражение \(R = cT\) представляет собой расстояние, которое импульс света прошел бы от начала координат за время \(T\). Выражение \(R = c(T-\tau)\) представляет собой расстояние, которое пройдет световой импульс, когда частица движется от начала координат к точке A, а затем излучает свет. Обратите внимание, что разница между этими двумя импульсами создает крошечную оболочку в пространстве. Эта оболочка делит пространство на две области.
В Области I линии электрического поля еще не получили информацию о замедлении, поэтому они будут выглядеть так, как будто частица все еще движется со скоростью \(v_o\) и ничего не изменилось.
Однако линии поля в Области II получили информацию о том, что частица замедлилась, поэтому они совпадут с конечным положением частицы (точка А). Положение точки А исходит из кинематики. Решение для ускорения дает:
Угол между AB и осью x такой же, как угол между CD и осью x, назовем его \(\theta\). Поскольку частица дошла бы до конечного положения \(x = v_o T\), если бы не замедлилась, перпендикулярное расстояние между AB и CD равно \(v_oT sin\theta\).
Линии электрического поля должны быть непрерывными, поэтому их окончательная форма задается серией отрезков ABCD. Этот «перегиб» силовых линий представляет собой электромагнитную волну, которая распространяется в пространстве.
