2. Векторы и операции над векторами

Вектором называется направленный отрезок в пространстве, имеющий определенную длину.

Обозначают или. Длина вектора — модуль,

обозначают ,.

Нуль-вектор — — вектор, не имеющий определенного направления, и модуль.

Вектора, расположенные на одной или параллельных прямых, называются коллинеарными.

Вектор (-) называютпротивоположным вектору , он коллинеарен векторуи направлен в противоположную сторону.

Сложение:

по правилу треугольника; по правилу параллелограмма.

++

Вычитание:

—

—

Произведением вектора на числоназывается вектор, модуль которого, и направление совпадает с направлением, если, и противоположно, если.

Вектора, лежащие на одной или параллельных плоскостях называются компланарными .

Система векторов называетсялинейно зависимой, если существуют числа λ₁, λ₂ , … , λ_nтакие, что хотя бы одно из них отлично от нуля и . В противном случае система называется

линейно независимой .

Максимальное число линейно независимых векторов в пространстве называется базисом .

Вектора — попарно перпендикулярны и, имеющие единичную длину, обозначают прямоугольный декартов базис. Всякий векторможет быть единственным образом представлен как

, где — называются координатами вектора в базисе () и представляют собой проекции векторана осиx, y, z .

а_z

a_y

a_x

Если вектора заданы координатами ,, то скалярное произведение.

Из формулы нахождения скалярного произведения можно находить косинус угла между двумя векторами

.

Векторное произведение векторов. Векторным произведением двух векторов иназывается вектор, определяемый тремя условиями :

1. модуль вектора численно равен площади параллелограмма , построенного на векторахи, как на сторонах;

2. вектор и;

3. вектора образуют правую тройку, т. е. если смотреть с конца векторана вектораи, то поворот от векторакпо кратчайшему расстоянию виден совершающимся против часовой стрелки.

Если вектора изаданы координатами,, то векторное произведение находится так

Пример.

Найти площадь треугольника с вершинами

А ( 1,1,1 ), В ( 2,5,7 ), С ( 3,2,4 ) .

Решение. Рассмотрим вектора .

Найдем их векторное произведение

.

Модуль векторного произведения векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах , как на сторонах

.

Тогда площадь ΔАВС будет равна половине площади параллелограмма S_Δ =.

Смешанное произведение . Смешанным произведением трех векторов называется число, равное векторно-скалярному произведению векторов. Геометрически смешанное произведение с точностью до знака численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , как на ребрах.Смешанное произведение через координаты векторов выражается в виде

.

Если три вектора компланарны, то их смешанное произведение=0 и наоборот.

Пример. Найти объем тетраэдра с вершинами

А ( 2,-3,5 ), В ( 0,2,1 ), С ( -2,-2,3 ), D( 3,2,4 ).

Решение. Рассмотрим три вектора :

.

Найдем смешанное произведение этих векторов:

Объем тетраэдра равен объема параллелепипеда, тогда

V_ABCD = .

Задание 2.1.

1. Дан равносторонний треугольник АВС. Найти построением векторы .

2. В треугольнике ОАВ проведена медиана ОС. Доказать, что .

3. При каких значениях α и β векторы иколлинеарны ?

4. По данным векторам ипостроить каждый из следующих:.

5. Заданы векторы ,,. Найти : координаты вектора; разложение векторапо базису () .

6. Дан треугольник АВС . На стороне ВС расположена точка М так, что . Найти, если.

7. В трапеции ABCD . Выразитьчерез .

8. Вне плоскости треугольника АВС взята точка О . Построить векторы .

9. ABCD — параллелограмм,

О — точка пересечения его диагоналей. Выразить через векторы.

10. По сторонам ОА и ОВ прямоугольника ОАСВ отложены единичные векторы и. Выразить черезивекторы.

11. Выразить векторы–медианы треугольника АВС через два вектора — стороны его.

12. ABCD— параллелограмм, О — точка пересечения его диагоналей , . Выразить черезвекторы.

13. ABCD — параллелограмм, . Выразить черезивекторы, где

М — точка пересечения диагоналей.

14. ABCD — параллелограмм, О — точка пересечения его диагоналей . Выразить через векторы.

15. В треугольнике АВС сторона АВ точками М и Р разделена на три части так, что . Найти вектор, если.

16. ABCDA₁B₁C₁D₁ — параллелепипед с основанием ABCD . Выразить векторы ВD₁ и DВ₁ через .

17. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD ( S — вершина ). Выразить через векторы , совпадающие с остальными ребрами пирамиды.

18. На основании треугольникаОАВ отложен отрезок . Выразить векторчерез векторы.

19. В прямой треугольной призме АВСА₁В₁С₁ дано: . Выразить черезвекторы, совпадающие с ребрами этой призмы.

20. Основание АВ треугольника разделено точкой М в соотношении

2 : 3 . Выразить вектор через.

21. Треугольник АВС построен на векторах итак, что. Выразить черезивекторы, совпадающие с медианами данного треугольника.

22. В ромбе АВСD даны диагонали . Разложить по этим векторам все векторы , совпадающие со сторонами ромба :.

23. — медианы треугольникаАВС . Доказать равенство .

24. Заданы векторы . Найти координаты вектора.

25. Заданы векторы . Найти координаты вектора.

26. Дан вектор . Найти вектор, если.

27. Найти длину вектора .

28. М – точка пересечения медиан треугольника АВС , О — произвольная точка пространства. Доказать равенство .

29. Даны векторы и. Проверить следующую формулу.

30. Проверить на рисунке следующие формулы : .

Задание 2.2.

Даны координаты вершин пирамиды ABCD . Требуется :

1) найти векторы и их модули ;

2) найти угол между векторами ;

3) найти площадь грани АВС ;

4) найти объем пирамиды .

1. А ( 2,-3,1 ) , В ( 6,1,-1 ) , С ( 4,8,-9 ) , D ( 2,-1,2 ).

2. А ( 5,-1,-4 ) , В ( 9,3,-6 ) , С ( 7,10,-14 ) , D ( 5,1,-3 ).

3. А ( 1,-4,0 ) , В ( 5,0,-2 ) , С ( 3,7,-10 ) , D ( 1,-2,1 ).

4. А ( -3,-6,2 ) , В ( 1,-2,0 ) , С ( -1,5,-8 ) , D ( -3,-4,3 ).

5. А ( -1,1,-5 ) , В ( 3,5,-7 ) , С ( 1,12,-15 ) , D ( -1,3,-4 ).

6. А ( -4,2,-1 ) , В ( 0,6,-3 ) , С ( -2,13,-11 ) , D ( -4,4,0 ).

7. А ( 0,4,3 ) , В ( 4,8,1 ) , С ( 2,15,-7 ) , D ( 0,6,4 ).

8. А ( -2,0,-2 ) , В ( 2,4,-4 ) , С ( 0,11,-12 ) , D ( -2,2,-1 ).

9. А ( 3,3,-3 ) , В ( 7,7,-5 ) , С ( 5,14,-13 ) , D ( 3,5,-2 ).

10. А ( 4,-2,5 ) , В ( 8,2,3 ) , С ( 6,9,-5 ) , D ( 4,0,6 ).

11. А ( -5,0,1 ) , В ( -4,-2,3 ) , С ( 6,2,11 ) , D ( 3,4,9 ).

12. А ( 1,-4,0 ) , В ( 2,-6,2 ) , С ( 12,-2,10 ) , D ( 9,0,8 ).

13. А ( -1,-2,-8 ) , В ( 0,-4,-6 ) , С ( 10,0,2 ) , D ( 7,2,0 ).

14. А ( 0,2,-10 ) , В ( 1,0,-8 ) , С ( 11,4,0 ) , D ( 8,6,-2 ).

15. А ( 3,1,-2 ) , В ( 4,-1,0 ) , С ( 14,3,8 ) , D ( 0,7,7 ).

16. А ( 8,3,-1 ) , В ( -7,1,1 ) , С ( 3,5,9 ) , D ( 0,7,7 ).

17. А ( 2,-1,-4 ) , В ( 3,-3,-2 ) , С ( 13,1,6 ) , D ( 10,3,4 ).

18. А ( 4,5,-5 ) , В ( -3,3,-3 ) , С ( 7,7,5 ) , D ( 4,9,3 ).

19. А ( -2,-3,2 ) , В ( -1,-5,4 ) , С ( 9,-1,12 ) , D ( 6,1,10 ).

20. А ( -3,4,-3 ) , В ( -2,2,-1 ) , С ( 8,6,7 ) , D ( 5,8,5 ).

21. А ( 3,2,-6 ) , В ( 0,-5,1 ) , С ( -2,1,0 ) , D ( 4,-1,3 ).

22. А ( 4,-1,0 ) , В ( -1,2,-3 ) , С ( 2,1,-2 ) , D ( 3,4,5 ).

23. А ( -3,6,3 ) , В ( 1,5,-7 ) , С ( -2,7,3 ) , D ( 1,-1,2 ).

24. А ( 1,1,-1 ) , В ( 2,3,1 ) , С ( 3,2,1 ) , D ( -3,-7,6 ).

25. А ( 2,3,1 ) , В ( 4,1,-2 ) , С ( 6,3,7 ) , D ( -5,-4,8 ).

26. А ( 2,3,8 ) , В ( 2,-2,4 ) , С ( -1,1,3 ) , D ( 1,1,2 ).

27. А ( 2,-1,2 ) , В ( 1,2,-1 ) , С ( 3,2,1 ) , D ( -5,3,7 ).

28. А ( -13,-8,16 ) , В ( 5,2,6 ) , С ( 3,0,-3 ) , D ( 1,2,0 ).

29. А ( 14,4,5 ) , В ( -5,-3,2 ) , С ( -2,-6,-3 ) , D ( -1,-8,7 ).

30. А ( -6,5,5 ) , В ( 4,-8,-4 ) , С ( -1,7,1 ) , D ( -2,0,-4 ).

Задание 2.3.

Даны три вектора ,,. Найти :

1. косинус угла между векторами и;

2. выяснить компланарны ли вектора ,,;

3. если вектора ,,компланарны, найти площадь параллелограмма, построенного на векторахи, как на сторонах, а если,,некомпланарны – найти объем параллелепипеда, построенного на векторах,,, как на ребрах.

1. ( 2,1,1 ) , ( 19,11,17 ) ,( 7,4,6 ) .

2. ( -2,4,-1 ) , ( 0,-2,-1 ) ,( -7,10,-5 ) .

3. ( -4,7,6 ) , ( -3,3,3 ) ,( 3,0,-1 ) .

4. ( 1,-2,1 ) , ( 3,3,1 ) ,( 1,1,1 ) .

5. ( 6,2,6 ) , ( 4,1,1 ) ,( -9,-4,-9 ) .

6. ( -2,-1,0 ) , ( 3,1,-1 ) ,( 5,2,-1 ) .

7. ( 4,3,1 ) , ( 2,2,2 ) ,( 1,-2,1 ) .

8. ( 6,7,4 ) , ( 4,3,1 ) ,( 4,0,-2 ) .

9. ( 1,2,3 ) , ( 3,2,1 ) ,( 1,-3,-7 ) .

10. ( 2,3,4 ) , ( 1,-1,-3 ) ,( 3,2,1 ) .

11. ( 1,5,2 ) , ( -1,1,-1 ) ,( 1,1,1 ) .

12. ( 2,3,4 ) , ( 3,1,-1 ) ,( 3,2,1 ) .

13. ( 2,3,1 ) , ( 2,2,2 ) ,( -1,0,-1 ) .

14. ( 3,1,3 ) , ( 4,1,1 ) ,( -9,-4,-9 ) .

15. ( 4,3,6 ) , ( -1,-2,-1 ) ,( 2,1,2 ) .

16. ( 4,-1,1 ) , ( 3,0,1 ) ,( 8,-3,1 ) .

17. ( -1,1,1 ) , ( 6,1,8 ) ,( 3,0,3 ) .

18. ( 0,1,3 ) , ( -5,-4,-5 ) ,( 2,1,2 ) .

19. ( -6,-1,4 ) , ( -7,-3,1 ) ,( -4,-1,2 ) .

20. ( 2,4,3 ) , ( 0,1,1 ) ,( 6,11,8 ) .

21. ( 4,3,5 ) , ( 3,3,4 ) ,( 8,5,9 ) .

22. ( 4,1,2 ) , ( 1,1,-1 ) ,( 9,2,5 ) .

23. ( 2,1,1 ) , ( -1,-1,-1 ) ,( 2,1,2 ) .

24. ( 1,0,-1 ) , ( 8,3,-2 ) ,( 3,1,-1 ) .

25. ( 4,3,1 ) , ( -2,-4,-3 ) ,( 6,7,4 ) .

26. ( 2,4,3 ) , ( -2,-2,-3 ) ,( 3,10,5 ) .

27. ( 4,2,4 ) , ( -2,0,-2 ) ,( 5,3,4 ) .

28. ( 4,7,5 ) , ( 2,3,2 ) ,( 2,0,-1 ) .

29. ( 7,3,4 ) , ( -1,-2,-1 ) ,( 4,2,4 ) .

30. ( 2,1,2 ) , ( 6,3,4 ) ,( -1,-2,-1 ) .

Выразить один вектор через другой : Чулан (М)

Leander	Выразить один вектор через другой 20. 06.2010, 17:57
20/06/10 3	Здравствуйте! Помогите пожалуйста с такой задачей: Используя определение и свойства векторного произведения, выразить через вектор , если известно, что — вектор единичной длины, направленный так же, как и вектор . (Также дано, что ). Я упростил выражение: А что делать дальше не знаю, как можно сюда вектор добавить?

gris	Re: Выразить один вектор через другой 20. 06.2010, 18:08
Заслуженный участник 13/08/08 14034	Надо найти длину вектора . Тогда PS Я, как обычно, прочитал только до конца строчки и подумал, что сонаправлен . Я рад, что случайно векторное произведение оказалось коллинеарно вектору , хотя и направлено в другую сторону. Из-за этого ошибка была только в знаке. Но я уверен, что автор заметил бы ошибку и вместо написал бы проекцию этого вектора на векторное произведение.

Leander	Re: Выразить один вектор через другой 20. 06.2010, 18:38
20/06/10 3	gris , спасибо! Длина вектора тогда получается такой: То есть . Правильно у меня получилось?

La|Verd	Re: Выразить один вектор через другой 20. 06.2010, 19:40
15/02/07 67 Киев	Кажется, таки есть маленькая ошибка. Получается . Дело в том, что вектор направлен противоположно вектору . Да и вообще, я бы делал задачу чуть иначе. Было получено, что . Далее знаем, что сонаправлен с . Тогда (учитывая, что вектор — единичной длины, направляющий для ): . Откуда .

Leander	Re: Выразить один вектор через другой 20. 06.2010, 20:05
20/06/10 3	La|Verd , спасибо за исправление! У меня как раз были сомнения насчёт минуса, когда я его под знак модуля убирал

Показать сообщения за: Все сообщения1 день7 дней2 недели1 месяц3 месяца6 месяцев1 год Поле сортировки АвторВремя размещенияЗаголовокпо возрастаниюпо убыванию

Страница 1 из 1

[ Сообщений: 5 ]

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы

Выражение вектора в компонентной форме

Все ресурсы для предварительного исчисления

12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Precalculus Help » Матрицы и векторы » Алгебраические векторы и параметрические уравнения » Выразите вектор в компонентной форме

Выразите следующий вектор в компонентной форме:

Возможные ответы:

Ни один из других ответов

Правильный ответ:

Объяснение:

При разделении вектора на составляющие его формы мы, по сути, создаем прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является вектор.

Следовательно, мы можем найти каждый компонент, используя функции cos (для компонента x) и sin (для компонента y):

Теперь мы можем представить эти два компонента вместе, используя обозначения i (для компонента x) и j (для компонента y).

Сообщить об ошибке

Найдите , затем найдите его величину. и оба являются векторами.

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

При сложении векторов вы просто добавляете каждый компонент вектора друг к другу.

x компонент: .

компонент y: .

z компонент: .

Новый вектор:

.

, чтобы найти величину, которую мы используем формулу,

Таким образом, ее величина составляет 5.

Отчет о ошибке

Найдите форму компонента вектора с

Начальная точка

и

точка .

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти вектор в компонентной форме, зная начальную и конечную точки, просто вычтите начальную точку из конечной точки.

Отчет о ошибке

Найдите форму компонента вектора с

Начальная точка

и

Терминальная точка

Возможные ответы:

Правильный ответ:

9005

. Объяснение:

Чтобы найти вектор в компонентной форме с учетом начальной и конечной точек, просто вычтите начальную точку из конечной точки.

Сообщить об ошибке

Птица летит со скоростью 15 миль в час под углом 45 градусов к горизонтали. Какова скорость птицы в компонентной форме?

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Пояснение:

Напишите формулу для нахождения компонентов x и y вектора.

Подставьте значения скорости и тета в уравнения.

Вектор:

Отчет о ошибке

Напишите этот вектор в форме компонента:

Возможные ответы:

Правильный ответ:

Объяснение:

Чтобы найти горизонтальную составляющую, составим уравнение, включающее косинус с 7 в качестве гипотенузы, поскольку сторона в подразумеваемом треугольнике, представляющая горизонтальную составляющую, примыкает к углу в 22 градуса:

Сначала найдите косинус числа 22, а затем умножьте на 7

Чтобы найти вертикальную составляющую, составьте уравнение, включающее синус, поскольку сторона в подразумеваемом треугольнике, представляющая вертикальную составляющую, противоположна углу в 22 градуса. :

Сначала найдите синус 22, затем умножьте на 7

Мы почти закончили, но нам нужно сделать небольшую корректировку. На рисунке показано, что вектор направлен вверх и влево, поэтому горизонтальная составляющая 6,49., должно быть отрицательным:

Сообщить об ошибке

Уведомление об авторских правах

Все ресурсы Precalculus

12 диагностических тестов 380 практических тестов Вопрос дня Карточки Learn by Concept

Выражение вектора в новом базисе

$\begingroup$

Это первый раз, когда я пытался решить такую ​​задачу и решал ее все утро. Я пытался использовать одновременные уравнения для решения переменных, но, похоже, это не работает, так что, возможно, это не тот путь…

$$\hat{\bf a} = \dfrac{1}{\sqrt{14}}({\bf i}+2{\bf j}+3{\bf k})$$ $$\шляпа{\bf b} = \dfrac{1}{\sqrt{5}}(2{\bf i}-{\bf j})$$ $$\hat{\bf c} = \dfrac{1}{\sqrt{70}}(3{\bf i}+6{\bf j}-5{\bf k})$$

Выразите вектор ${\bf d} = 5{\bf i}+3{\bf j}+2{\bf k}$ в новых $(\hat{\bf a},\hat{\bf b}, \hat{\bf c})$ базис.

Мое решение можно увидеть здесь: https://drive.google.com/file/d/0B8CnEriPXOd1T3Z1amU4UGlMVU0/view

В моей попытке ответа есть основная арифметическая ошибка, поэтому я ответил на свой вопрос ниже. Извините за потраченное впустую чье-то время; Я постараюсь быть более осторожным.

• вектор-пространства
• векторов

$\endgroup$

3

$\begingroup$

мы сначала займемся выражением в виде линейной комбинации $\sqrt{14}\hat a, \sqrt 5\hat b,$ и $\sqrt{70}\hat c.$
нам нужно число $x, y, z$ так, что $$x(i+2j+3k)+y(2i-j)+z(3i+6j-5k)=5i+3j+2k \tag 1 $$ в матричной форме мы имеем $$\pmatrix{1&2&3&|&5\\2&-1&6&|&3\\3&0&-5&|&2}\to \pmatrix{1&0&0&|&1.21428\\0&1&0&|&1.40000\\0&0&1&|&0.32857}$$ решения $\pmatrix{x\\y\\z}$ — последний столбец во второй матрице. теперь, умножив $x,y,z$ на $\sqrt{14}, \sqrt{5}, \sqrt{70}$, вы получите ответ.

$\endgroup$

1

$\begingroup$

Ничего себе, после всего этого и того, что я считал тщательным изучением своей работы, я перепроверил ее утром после освежающего сна и нашел элементарную арифметическую ошибку. Тета должна была быть (17 x rt(14))/14. Извините, что потратил впустую чье-то время!

$\endgroup$

$\begingroup$

Вы ищете $[r,s,t]$, где $r\hat{\bf a}+s\hat{\bf b}+t\hat{\bf c}=5{\bf i }+3{\bf j}+2{\bf k}$.

Это означает, что $\dfrac{r}{\sqrt{14}}+\dfrac{2s}{\sqrt{5}}+\dfrac{3t}{\sqrt{70}}=5$ (коэффициенты ${\bf i}$). То же самое для коэффициентов ${\bf j}$ и ${\bf k}$. Тогда остается просто разобраться с этой довольно непривлекательной системой уравнений. 🙁

$\endgroup$

1

$\begingroup$

, поэтому вы ищете [$\alpha, \beta, \gamma$], где $\vec b = \alpha \hat a + \beta \hat b + \gamma \hat c =5\hat i+3\ шляпа j+2\шляпа k$.