Site Loader

Содержание

Векторное произведение векторов, онлайн калькулятор

Наш онлайн калькулятор позволяет найти векторное произведение двух векторов всего за пару минут. Для вычисления векторного произведения выберите форму представления векторов (через координаты или по точкам), заполните все элементы и нажмите кнопку «Вычислить», калькулятор выдаст пошаговое решение и ответ! Каждый шаг будет детально расписан, это поможет вам понять, как был получен ответ и, при необходимости, проверить свое решение.

Введите данные, чтобы найти векторное произведение векторов  

Форма представления векторов:

координатами точками

Формула :

Решили сегодня: раз, всего раз
Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Найти смешанное произведение векторов онлайн калькулятор. Смешанное произведение векторов

Для того, чтобы подробно рассмотреть такую тему, нужно охватить еще несколько разделов. Тема напрямую связана с такими терминами, как скалярное и векторное произведение. В этой статье мы постарались дать точное определение, указать формулу, которая поможет определить произведение, используя координаты векторов. Помимо этого, статья включает в себя разделы с перечислением свойств произведения и представлены подробный разбор типовых равенств и задач.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Термин

Для того, чтобы определить, в чем заключается данный термин, нужно взять три вектора.

Определение 1

Смешанным произведением a → , b → и d → является та величина, которая равняется скалярному произведению a → × b → и d → , где a → × b → — умножение a → и b → . Операцию умножения a → , b → и d → зачастую обозначают a → · b → · d → . Можно преобразовать формулу так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Умножение в системе координат

Мы можем умножить вектора, если они указаны на координатной плоскости.

Возьмем i → , j → , k →

Произведение векторов в данном конкретном случае будет иметь следующий вид: a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Определение 2

Для выполнения скалярного произведения в системе координат необходимо сложить результаты, полученный во время умножения координат.

Из этого следует:

a → × b → = (a y · b z — a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y + a y · b x) · k → = a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k →

Мы также можем определить смешанное произведение векторов, если в заданной системе координат указаны координаты векторов, которые умножаются.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → — a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b z · d x — a x a z b x b z · d y + a x a y b x b y · d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Таким образом, можно сделать вывод, что:

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Определение 3

Смешанное произведение можно приравнять к определителю матрицы, в качестве строк которой использованы векторные координаты. Наглядно это выглядит так: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Свойства операции над векторами Из особенностей, которые выделяются в скалярном или векторном произведении, можно вывести особенности, которые характеризуют смешанное произведение. Ниже мы приведем основные свойства.

  1. (λ · a →) · b → · d → = a → · (λ · b →) · d → = a → · b → · (λ · d →) = λ · a → · b → · d → λ ∈ R ;
  2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
  3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → · b → · d (2) → + a → · b → · d (2) →

Помимо приведенных свойств, следует уточнить, что если множитель нулевой, то результатом умножения также станет нуль.

Результатом умножения также будет нуль в том случае, если два или больше множителей равны.

Действительно, если a → = b → , то, следуя определению векторного произведения [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0 , следовательно, смешанное произведение равно нулю, так как ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Если же a → = b → или b → = d → , то угол между векторами [ a → × b → ] и d → равен π 2 . По определению скалярного произведения векторов ([ a → × b → ] , d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Свойства операции умножения чаще всего требуются во время решения задач.
Для того, чтобы подробно разобрать данную тему, возьмем несколько примеров и подробно их распишем.

Пример 1

Докажите равенство ([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) , где λ — некоторое действительное число.

Для того, чтобы найти решение этого равенства, следует преобразовать его левую часть. Для этого необходимо воспользоваться третьим свойством смешанного произведения, которое гласит:

([ a → × b → ] , d → + λ · a → + b →) = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ · a →) + ([ a → × b → ] , b →)
Мы разобрали, что (([ a → × b → ] , b →) = 0 . , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 · d → · 1 = a → · b → · d →

Неравенство доказано.

Разбор типовых задач

Для того, чтобы определить, чему равно произведение векторов, следует знать координаты умножаемых векторов. Для операции можно использовать такую формулу a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Пример 3

В прямоугольной системе координат представлены 3 вектора с такими координатами: a → = (1 , — 2 , 3) , b → (- 2 , 2 , 1) , d → = (3 , — 2 , 5) . Необходимо определить, чему равно произведение указанных векторов a → · b → · d → .

Исходя из теории, представленной выше, мы можем воспользоваться правилом, которое гласит, что смешанное произведение может быть вычислено через определитель матрицы. Это будет выглядеть так: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 — 2 3 — 2 2 1 3 — 2 5 = = 1 · 2 · 5 + (- 1) · 1 · 3 + 3 · (- 2) · (- 2) — 3 · 2 · 3 — (- 1) · (- 2) · 5 — 1 · 1 · (- 2) = — 7

Пример 4

Необходимо найти произведение векторов i → + j → , i → + j → — k → , i → + j → + 2 · k → , где i → , j → , k → — орты прямоугольной декартовой системы координат.

Исходя из условия, которое гласит, что вектора расположены в данной системе координат, можно вывести их координаты: i → + j → = (1 , 1 , 0) i → + j → — k → = (1 , 1 , — 1) i → + j → + 2 · k → = (1 , 1 , 2)

Используем формулу, которая использовалась выше
i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 1 1 0 1 1 — 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → — k → , (i → + j → + 2 · k →) = 0

Смешанное произведение также возможно определить с помощью длины вектора, которая уже известна, и угла между ними. Разберем этот тезис в примере.

Пример 5

В прямоугольной системе координат расположены три вектора a → , b → и d → , которые перпендикулярны между собой. Они представляют собой правую тройку, их длины составляют 4 , 2 и 3 . Необходимо умножить вектора.

Обозначим c → = a → × b → .

Согласно правилу, результатом умножения скалярных векторов является число, которое равно результату умножения длин используемых векторов на косинус угла между ними.) = c → · n p c → d → , где n p c → d → — числовая проекция вектора d → на направление вектора c → = [ a → × b → ] .

Абсолютная величина n p c → d → равняется числу, которое также является равно высоте фигуры, для которого использованы вектора a → , b → и d → в качестве сторон. Исходя из этого, следует уточнить, что c → = [ a → × b → ] перпендикулярен a → и вектору и вектору согласно определению умножения векторов. Величина c → = a → x b → равняется площади параллелепипеда, построенного на векторах a → и b → .

Делаем вывод, что модуль произведения a → · b → · d → = c → · n p c → d → равен результату умножения площади основания на высоту фигуры, которая построена на векторах a → , b → и d → .

Определение 4

Абсолютная величина векторного произведения является объемом параллелепипеда : V п а р а л л е л е п и п и д а = a → · b → · d → .

Данная формула и является геометрическим смыслом.

Определение 5

Объем тетраэдра , который построен на a → , b → и d → , равняется 1 / 6 объема параллелепипеда Получаем, V т э т р а э д а = 1 6 · V п а р а л л е л е п и п и д а = 1 6 · a → · b → · d → .

Для того, чтобы закрепить знания, разберем несколько типичных примеров

Пример 6

Необходимо найти объем параллелепипеда, в качестве сторон которого используются A B → = (3 , 6 , 3) , A C → = (1 , 3 , — 2) , A A 1 → = (2 , 2 , 2) , заданные в прямоугольной системе координат. Объем параллелепипеда можно найти, используя формулу об абсолютной величине. Из этого следует: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 — 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 — 3 · 3 · 2 — 6 · 1 · 2 — 3 · (- 2) · 2 = — 18

Тогда, V п а р а л л е л е п и п е д а = — 18 = 18 .

V п а р а л л е л е п и п и д а = 18

Пример 7

В системе координат заданы точки A (0 , 1 , 0) , B (3 , — 1 , 5) , C (1 , 0 , 3) , D (- 2 , 3 , 1) . Следует определить объем тетраэдра, который расположен на этих точках.

Воспользуемся формулой V т э т р а э д р а = 1 6 · A B → · A C → · A D → . Мы можем определить координаты векторов по координатам точек: A B → = (3 — 0 , — 1 — 1 , 5 — 0) = (3 , — 2 , 5) A C → = (1 — 0 , 0 — 1 , 3 — 0) = (1 , — 1 , 3) A D → = (- 2 — 0 , 3 — 1 , 1 — 0) = (- 2 , 2 , 1)

Дальше определяем смешанное произведение A B → · A C → · A D → по координатам векторов: A B → · A C → · A D → = 3 — 2 5 1 — 1 3 — 2 2 1 = 3 · (- 1) · 1 + (- 2) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 — 5 · (- 1) · (- 2) — (- 2) · 1 · 1 — 3 · 3 · 2 = — 7 Объем V т э т р а э д р а = 1 6 · — 7 = 7 6 .

V т э т р а э д р а = 7 6 .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc .

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

  1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
    Вытекает из геометрического смысла.
  2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
    Вытекает из определения смешанного произведения.
  3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
    Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
  4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

([ab ],c )=([bc ],a ) (3)

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

. (7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a .

Произведение векторов — презентация онлайн

5.4. Декартова система координат (продолжение)
Пример на линейную комбинацию векторов
3a
Найти вектор c = 3a — 2b, где a = (2; 3; 1), b = (4; -2; 7)
3a-2b
a
b
2b
c = 3a — 2b = 3*(2; 3; 1) — 2*(4; -2; 7) = (6; 9; 3) + (-8; 4; -14) = (-2; 13; -11)
Пример на модуль вектора
z
z
Найти модуль вектора AB, где A (2; 1; 0), B (3; 4; -5)
В
A
B
AB = (3-2; 4-1; -5-0) = (1; 3; -5)
AB 12 32 ( 5)2 35
А
или
AB (3 2) (4 1) ( 5 0) 35
2
2
2
ko
x
x
iО j
y
y
Пример на направляющие косинусы
Модуль вектора a равен 5. С осями координат Ox, Oy он образует углы
60 и 90 градусов соответственно. Найти его координаты.
cos2 cos2 cos2 1
2
1
2 1 2
2
a 5, 60 , 45 ,cos ,cos
,
cos 1
2
2 2 2
1 1 1
1
2
z
cos 1 cos
4 2 4
2
z
2
0
0
1
ax a cos 5 2,5;
2
2
a y a cos 5
2,5 2;
2
1
az a cos 5 2,5
2
М
x
x
О
y
y
Пример на деление отрезков
Найти длину медианы CD треугольника, заданного вершинами
A(-1;2;5), B(3;0;1), C(2;3;4).
x A x B 1 3
xD
1
2
2
y yB 2 0
yD A
1
2
2
z A zB 5 1
zD
3
2
2
D(1;1;3)
С
CD (1 2;1 3; 3 4) ( 1; 2; 1)
CD 1 4 1 6
В
А
D

4. 6.1. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное
произведению модулей векторов на косинус угла между ними.
a b a b cos ab
a
b
Скалярное произведение векторов в координатной форме
a xa , ya , za ,
b xb , yb , zb
Докажем для двумерного случая
a b xa xb ya yb za zb
cos cos cos sin sin
cos cos cos cos 90o cos 90o
ya
xa xb ya yb
cos ab cos
a b a b
yb
xa xb ya yb
a b cos ab a b
a b a b
xa
xb
Таблица скалярного умножения в декартовых координатах
.
i
j
k
i
1
0
0
j
0
1
0
k
0
0
1
Запишем векторы a и b в виде суммы компонент:
a ax i a y j az k ; b bx i by j bz k
Тогда, используя свойство 3
(будет дальше):
ab axbx ii + axby ij + axbz ik +
+ a y bx ji + a y by jj + a ybz jk +
+ az bx ki + az by kj + az bz kk
И, используя таблицу, получим:
ab axbx + a yby + az bz
Свойства скалярного произведения.
1. a b b a
2. ( a) b (a b)
a b
5. cos
a b
Из определения скалярного произведения
3. a (b c) a b a c
4. a b a прa b b прb a
Из свойств скалярной проекции
2
6. a a a a
2
7. a b a b 0
Некоторые из свойств в декартовых координатах (пригодится в задачках)
Условие ортогональности (из свойства 7):
axbx a yby az bz 0
Или, в двумерном случае:
axbx a yby 0
Модуль вектора (из свойства 6):
a a ax2 a y2 az2
2
2
a ax2 a y2 az2
Угол между двумя векторами (из свойства 5):
axbx a y by az bz
ab
cos
ab
ax2 a y2 az2 bx2 by2 bz2
Проекция вектора на вектор (из свойства 4):
ab ab axbx a y by az bz
ï ðba a cos a
ab
b
bx2 by2 bz2
Где используется скалярное произведение:
(1) нахождение модуля вектора или отрезка;
(2) нахождение угла между векторами;
(3) использование условия ортогональности двух векторов;
(4) нахождение проекции вектора на вектор;
(5) различные задачи физического содержания.
Физические приложения
Вычисление работы:
A F s F s cos
← В чём ошибка?
Правильно:
ï ðs F ð ï ðs F ù ï ðs F ë 0
или:
F ð cos ð F ù cos ù F ë cos ë 0
6.2. Векторное произведение
упорядоченная тройка векторов указан порядок следования
с
с
а
b
а
правая
Векторным произведением двух векторов
такой, что
b
левая
a и b называется вектор a b
a b a b sin
a b a и a b b
a, b, a b правая
a b
b
a
a b [ a, b]
Векторное произведение векторов в координатной форме
a xa , ya , za ,
i j k
b xb , yb , zb c a b x y z
a
a a
a b a xa xc ya yc za zc 0
xb yb zb
a b b xb xc yb yc zb zc 0
xa yb xb ya
xc
yc
xc z a yb z b y a
xa ya
za
x
y
z
a
a
a
zc
zc
zc
xc
yc
x
y
z
b
b
b
xb yb
zb
yc xa zb xb za
zc
zc
zc
xc za yb zb ya yc xa zb xb za
,
zc
xa yb xb ya zc
xa yb xb ya
xc za yb zb ya ,
yc xa zb xb za
zc xa yb xb ya
Получим то же самое, пользуясь таблицей векторного умножения:
x
i
j
k
i
0
k
-j
j
-k
0
i
k
j
-i
0
Запишем векторы a и b в виде суммы компонент:
a ax i a y j az k ; b bx i by j bz k
Тогда, используя свойство 3
(будет дальше):
a b ax i a y j az k bx i by j bz k
ax bx i i + ax by i j + ax bz i k +
+ a y bx j i + a y by j j + a y bz j k +
И, используя таблицу,
получим:
+ az bx k i + az by k j + az bz k k
a b a y bz az by i — ax bz az bx j + ax by a y bx k
Что, в свою очередь, сворачивается в сумму миноров:
a b
ay
az
by
bz
i-
ax
az
bx
bz
j+
ax
ay
bx
by
k
которая является разложением определителя 3-го порядка, т.е.
i
j
k
a b ax
ay
az
bx
by
bz
Свойства векторного произведения.
1. a b b a
2. ( a) b (a b)
3. a (b c) a b a c
b
4.
a b Sab
5. a || b a b 0
6. a a 0
a
Некоторые из свойств в декартовых координатах (пригодится в задачках)
Условие колинеарности двух векторов (из свойства 5):
a || b a b 0
Это означает, что все координаты равны нулю:
a y bz az by 0; ax bz az bx 0; ax by a y bx 0
a y bz az by ; ax bz az bx ; ax by a y bx
ay
a
z;
by bz
ax az
;
bx bz
ax a y
bx by
или
ax a y az
bx by bz
т.е. координаты колинеарных векторов пропорциональны.
Вычисление площади параллелограмма и треугольника (из свойства 4):
Sï àð a b
b
S òð
a
a b
ay
az
by
bz
i
ax
az
bx
bz
j
1
a b
2
ax
ay
bx
by
k M 11i M 12 j M 13 k
Тогда:
Sï àð M M M
2
11
2
12
2
13
S òð
1
M 112 M 122 M 132
2
Где используется векторное произведение:
(1) вычисление площади параллелограмма, треугольника и фигур,
которые можно на них разбить;
(2) нахождение модуля вектора или длины отрезка;
(3) различные геометрические задачи, связанные с площадью,
например, вычисление высоты параллелограмма или треугольника;
(4) использование условия колинеарности двух векторов;
(5) различные задачи физического содержания, связанные с моментом
силы и т.п.
Пример на нахождение площади треугольника
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах p и q:
p = 2a+b, q = 3a — 2b, |a| = 2, |b| = 3, угол (a, b) = π/3.
1
p q
2
p q (2a b) (3a 2b) 6a a 4a b 3b a 2b b
S
4a b 3a b 7a b
p q 7 a b 7 a b sin / 3 7 2 3
S
1
p q 10,5 3
2
3
21 3
2
Пример на нахождение площади треугольника в декартовых координатах
Вычислить площадь треугольника с вершинами в точках
A(1; 2; 1), B(-3; 2; 5), C(2; 0; 4).
S
1
AB AC
2
AB ( 3 1)i (2 2) j (5 1)k = 4i 4k
AC (2 1)i (0 2) j (4 1)k i 2 j 3k
i
AB AC 4
1
j
k
0
4 4 1
2 3
i
1
j
k
0
1
2 3
0
1
2 3
i
1 1
1
3
4(2i 4 j 2k ) 8(i 2 j k )
AB AC 8 1 4 1 8 6
1
S 8 6 4 6
2
j
1
0
1
2
k
6.3. Смешанное произведение векторов c
Смешанным произведением трех векторов называется
векторное произведение первых двух векторов, умноженное
скалярно на третий вектор
b
abc (a b) c
Смешанное произведение векторов в координатной форме:
xa y a z a
i j k
a b c x a y a z a xc y c z c
abc xb yb zb
xb yb zb
xc yc zc
y a z a xa z a x a y a
xc yc zc
a b c
,
,
y
z
x
z
x
y
b b
b
b
b b
xc
ya z a
yb zb
yc
xa za
xb zb
a
zc
xa ya
xb yb
Свойства смешанного произведения.
1. abc cab bca bac acb cba
2. abc abc a bc ab c
3.
abc Vпараллелепипеда
abc 0 левая тройка
abc 0 правая тройка
4. abc 0 a, b, c компланарны
Подробнее…
Вычисление объёма параллелепипеда, призмы и пирамиды (свойство 3):
Даны некомпланарные векторы b, c, a.
Построим на них параллелепипед:
Из свойств векторного произведения:
b c Sbc
Высота параллелепипеда:
h a cos
Vï àð Sbc h b c a cos
b c a bca
С учётом возможной ситуации cosα
Vï àð bca
Соответственно, для треугольной призмы:
V3ï ð
1
1
Vï àð bca
2
2
и для тетраэдра:
Vò åò ð
1
1
Vï àð bca
6
6
Условие компланарности трёх векторов (свойство 4):
Пусть даны:
a ax , a y , az , b bx , by , bz , c cx , c y , cz
a, b, c компланарны, если abc = 0. В самом деле:
ax
ay
az
abc bx
by
bz
cx
cy
cz
ax
ay
az
bx
by
bz 0
cx
cy
cz
С другой стороны,
a, b, c — компланарны c = xa + yb
Кроме того, это ясно из свойства 3.
Для компланарных векторов:
Vï àð 0 bca bca
Где используется смешанное произведение:
(1) вычисление объёмов геометрических тел, ограниченных плоскими
гранями;
(2) решение геометрических задач, связанных с объёмом геометрических
тел, например, нахождение высоты, площади основания, углов между
рёбрами;
(3) использование условия компланарности, или линейной зависимости,
трёх векторов;
(4) решение различных физических задач.
Пример на вычисление объёма фигуры (смешанное произведение)
Даны точки: A(2; 1; 3), B(1; 1; 4), C(3; 5; 2), D(-1; 0; 3). Найти объём тетраэдра
с вершинами в этих точках.
V
D
1
AB AC AD
6
AB (1 2;1 1; 4 3) ( 1; 0;1)
C
A
AC (3 2; 5 1; 2 3) (1; 4; 1)
AD ( 1 2; 0 1; 3 3) ( 3; 1; 0)
B
1
AB AC AD 1
0
1
4
1 12
3 1
0
1
V 12 2
6
Задача на разложение вектора по базису
Даны три вектора a = (2, -1), b = (1, 2), c = (4, 3). Найти разложение вектора
m = a + b + c по векторам b и c.
Решение:
Пусть m = xb + yc.
Тогда m = a + b + c = xb + yc, или для координат:
(2+1+4, -1+2+3) = (x*1+y*4, x*2+y*3), откуда после упрощения:
(7, 4) = (x+4y, 2x+3y)
Получаем систему уравнений на x и y:
x 4 y 7
2 x 3 y 4
=> x = -1, y = 2
=> m = -b + 2c
Пример на вычисление скалярного произведения
Дано: |a| = 3, |b| = 4,
(а) a2;
(б) (3a — 2b)(a + 2b).
Решение:
(а) a2 = |a|2 = 9
(б) (3a — 2b)(a + 2b) = 3a2 — 2ba + 6ab — 4b2 = 3a2 + 4ab — 4b2 =
= 3|a|2 + 4|a||b|cos1200 — 4|b|2 = 3*9 + 4*3*4*(-1/2) — 4*16 =
= 27 — 24 — 64 = -61
Пример на вычисление векторного произведения
Упростить выражение: i x (j + k) — j x (i + k) + k x (i + j + k).
Решение:
i x (j + k) — j x (i + k) + k x (i + j + k) =
=ixj+ixk-jxi-jxk+kxi+kxj+kxk=
k
j
i
ixj=k
i x k = -j
j x i = -k
jxk=i
kxi=j
k x j = -i
kxk=0
= k — j + k — i + j — i + 0 = 2k — 2i = 2(k — i)

Как вычислить векторное произведение, если есть мнимые числа, в Prolog?



Я пытаюсь умножить два вектора в Prolog, но если эти векторы содержат мнимые числа, я не могу заставить его работать. Мой код до сих пор:

vector_product([X|Xs],[Y|Ys],OP) :-
    inner(Xs,Ys,OP1),
    OP is X*Y+OP1.
vector_product([],[],0).
vector prolog
Поделиться Источник Karan Gurnani     22 января 2013 в 01:41

1 ответ


  • Вычислить скалярное произведение двух векторов

    Я должен создать предикат в prolog таким образом, чтобы iprod(List1, List2, Result) принимал два списка одинаковой длины и каждый содержал целые числа. В результате получается точечное произведение двух векторов. Например, List1 = [1,2,3] , List2 = [4,5,6] , тогда результат будет 1*4 + 2*5 + 3*6 ….

  • Сумма четных, произведение нечетных чисел в Prolog

    У меня есть список чисел, мне нужно вычислить сумму четных чисел списка и произведение нечетных чисел того же списка. Я новичок в Prolog году, и мои поиски до сих пор не увенчались успехом. Может ли кто-нибудь помочь мне решить эту проблему ? l_odd_even([]). l_odd_even([H|T], Odd, [H|Etail]) :- H…



3

Посмотрим, может ли это вам помочь…

Формулы из Википедии :

% (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
c_sum((A,B), (C,D), (E,F)) :- E is A+C, F is B+D.

% (a+bi) (c+di) = (ac-bd) + (bc+ad)i
c_mul((A,B), (C,D), (E,F)) :- E is A*C - B*D, F is B*C + A*D.

Числа представлены в виде (Real, Imaginary) .

vector_product([X|Xs], [Y|Ys], OP) :-
    vector_product(Xs, Ys, OP1),
    c_mul(X, Y, M),
    c_sum(M, OP1, OP).
vector_product([], [], (0,0)).

Поделиться CapelliC     22 января 2013 в 08:18


Похожие вопросы:


Не могу ввести мнимые числа в SageMathCloud

Я пытаюсь просто ввести символ i в SageMathCloud, чтобы построить мнимые числа, это мой синтаксис: ran40 = matrix(QQ,2,2,[[2*i,-2],[3,4]]) show(ran40) Я строю матрицу, чтобы вычислить форму эшелона…


Как я могу вычислить декартово произведение итеративно?

Этот вопрос задает вопрос о том, как вычислить декартово произведение заданного числа векторов. Поскольку число векторов известно заранее и довольно мало, решение легко получается с вложенными…


Комплексные / мнимые числа в elisp?

Поддерживает ли elisp мнимые числа каким-либо образом? Я пытаюсь следовать онлайн-курсу математики с включенным буфером режима взаимодействия lisp. Существуют ли higher math модулей/библиотек для…


Вычислить скалярное произведение двух векторов

Я должен создать предикат в prolog таким образом, чтобы iprod(List1, List2, Result) принимал два списка одинаковой длины и каждый содержал целые числа. В результате получается точечное произведение…


Сумма четных, произведение нечетных чисел в Prolog

У меня есть список чисел, мне нужно вычислить сумму четных чисел списка и произведение нечетных чисел того же списка. Я новичок в Prolog году, и мои поиски до сих пор не увенчались успехом. Может ли…


Векторное произведение с использованием map и reduce in scala

Я пытаюсь вычислить векторное произведение между двумя векторами, используя функции map и reduce. Давайте посмотрим, что происходит в REPL из Scala: Прежде всего я определяю 2 вектора одинаковой…


Теплицева Матрица-векторное умножение в R

У меня есть n x n симметричной теплицевой матрицы T , вектор v длины n, и я хотел бы быстро вычислить матрично-векторное произведение T%*%v . Есть ли в R пакет, который может использовать метод…


Как вычислить векторное произведение 3D с помощью la4j?

Как вычислить векторное (перекрестное) произведение с помощью la4j? Векторное произведение-это и берет два вектора и возвращает вектор. Но у них есть продукт scalar, продукт всех элементов , даже…


Как вычислить векторное точечное произведение в Keras?

Я надеюсь вычислить векторное точечное произведение в Keras. В деталях я имею в виду, что если у меня есть два тензора A и B , оба с формой (None, 30, 100) , я хочу вычислить результат C с формой…


Как сделать множественное векторное точечное произведение во вложенном списке?

Я попытался получить векторное точечное произведение во вложенном списке Например : A = np.array([[1,2,1,3],[2,1,2,3],[3,1,2,4]]) И я попытался добраться до него.: B = [[15], [19, 23]] Где 15 =…

Построить параллелограмм на векторах онлайн. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на угол угла, который лежит между ними.

Хорошо, когда по условиям даны длины этих самых векторов. Однако бывает и так, что применить формулу площади параллелограмма, построенного на векторах можно только после расчетов по координатам.
Если повезло, и по условиям даны длины векторов, то нужно просто применить формулу, которую мы уже подробно разбирали в статье . Площадь будет равняться произведению модулей на синус угла между ними:

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма построенного на векторах.

Задача: параллелограмм построен на векторах и . Найдите площадь, если , а угол между ними 30°.
Выразим вектора через их значения:

Возможно, у вас возник вопрос – откуда взялись нули? Стоит вспомнить, что мы работаем с векторами, а для них . также обратите внимание, что если в результате мы получаем выражение ,то оно будет преобразовано в. Теперь проводим итоговые вычисления:

Вернемся к проблеме, когда длины векторов не указаны в условиях. Если ваш параллелограмм лежит в декартовой системе координат, то потребуется сделать следующее.

Расчет длин сторон фигуры, заданной координатами

Для начала находим координаты векторов и отнимаем от координат конца соответствующие координаты начала. Допустим координаты вектора a (x1;y1;z1), а вектора b (x3;y3;z3).
Теперь находим длину каждого вектора. Для этого каждую координату необходимо возвести в квадрат, потом сложить полученные результаты и из конечного числа извлечь корень. По нашим векторам будут следующие расчеты:


Теперь потребуется найти скалярное произведение наших векторов. Для этого их соответствующие координаты множатся и складываются.

Имея длины векторов и их скалярное произведение, мы можем найти косинус угла, лежащего между ними .
Теперь можем найти синус этого же угла:
Теперь у нас есть все необходимые величины, и мы можем запросто найти площадь параллелограмма построенного на векторах по уже известной формуле.

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Площадь параллелограмма , построенного на векторах , вычисляется как произведение длин этих векторов на синус угла между ними. Если известны только координаты векторов, то для вычисления нужно применять координатные методы, в том числе и для определения угла между векторами.

Вам понадобится

  • — понятие вектора;
  • — свойства векторов;
  • — декартовы координаты;
  • — тригонометрические функции.

Инструкция

  • В том случае, если известны длины векторов и угол между ними, то для того, чтобы найти площадь параллелограмма , построенного на векторах , найдите произведение их модулей (длин векторов), на синус угла между ними S=│a│ │ b│ sin(α).
  • Если векторы заданы в декартовой системе координат, то для того, чтобы найти площадь параллелограмма , построенного на них, проделайте следующие действия:
  • Найдите координаты векторов, если они не даны сразу, отняв от соответствующих координат концов векторов, координаты из начал. Например, если координаты начальной точки вектора (1;-3;2), а конечной (2;-4;-5), то координаты вектора будут (2-1;-4+3;-5-2)=(1;-1;-7). Пусть координаты вектора а(x1;y1;z1), вектора b(x2;y2;z2).
  • Найдите длины каждого из векторов. Возведите каждую из координат векторов в квадрат, найдите их сумму x1²+y1²+z1². Из получившегося результата извлеките корень квадратный. Для второго вектора проделайте ту же процедуру. Таким образом, получится │a│и│ b│.
  • Найдите скалярное произведение векторов. Для этого перемножьте их соответствующие координаты и сложите произведения │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
  • Определите косинус угла между ними для чего скалярное произведение векторов, получившееся в п.3 поделите на произведение длин векторов, которые были рассчитаны в п. 2 (Cos(α)= │a b│/(│a│ │ b│)).
  • Синус полученного угла будет равен корню квадратному из разности числа 1, и квадрата косинуса того же угла, рассчитанного в п. 4 (1-Cos²(α)).
  • Рассчитайте площадь параллелограмма , построенного на векторах найдя произведение их длин, вычисленное в п. 2, а результат умножьте на число, получившееся после расчетов в п.5.
  • В том случае, если координаты векторов заданны на плоскости, при расчетах координата z просто отбрасывается. Данный расчет является числовым выражением векторного произведения двух векторов.

Площадь параллелограмма на векторах онлайн калькулятор. Векторное произведение векторов. Смешанное произведение векторов. Расчет длин сторон фигуры, заданной координатами

Площадь параллелограмма, построенного на векторах, равняется произведению длин этих векторов на угол угла, который лежит между ними.

Хорошо, когда по условиям даны длины этих самых векторов. Однако бывает и так, что применить формулу площади параллелограмма, построенного на векторах можно только после расчетов по координатам.
Если повезло, и по условиям даны длины векторов, то нужно просто применить формулу, которую мы уже подробно разбирали в статье . Площадь будет равняться произведению модулей на синус угла между ними:

Рассмотрим пример расчета площади параллелограмма построенного на векторах.

Задача: параллелограмм построен на векторах и . Найдите площадь, если , а угол между ними 30°.
Выразим вектора через их значения:

Возможно, у вас возник вопрос – откуда взялись нули? Стоит вспомнить, что мы работаем с векторами, а для них . также обратите внимание, что если в результате мы получаем выражение ,то оно будет преобразовано в. Теперь проводим итоговые вычисления:

Вернемся к проблеме, когда длины векторов не указаны в условиях. Если ваш параллелограмм лежит в декартовой системе координат, то потребуется сделать следующее.

Расчет длин сторон фигуры, заданной координатами

Для начала находим координаты векторов и отнимаем от координат конца соответствующие координаты начала. Допустим координаты вектора a (x1;y1;z1), а вектора b (x3;y3;z3).
Теперь находим длину каждого вектора. Для этого каждую координату необходимо возвести в квадрат, потом сложить полученные результаты и из конечного числа извлечь корень. По нашим векторам будут следующие расчеты:


Теперь потребуется найти скалярное произведение наших векторов. Для этого их соответствующие координаты множатся и складываются.

Имея длины векторов и их скалярное произведение, мы можем найти косинус угла, лежащего между ними .
Теперь можем найти синус этого же угла:
Теперь у нас есть все необходимые величины, и мы можем запросто найти площадь параллелограмма построенного на векторах по уже известной формуле.

Вспомним в начале, что такое векторное произведение.

Замечание 1

Векторным произведением для $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является $\vec{c}$, представляющий собой некоторый третий вектор $\vec{c}= ||$, причём этот вектор обладает особенными свойствами:

  • Cкаляр полученного вектора — произведение $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ на синус угла $\vec{c}= ||= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}|\cdot \sin α \left(1\right)$;
  • Все $\vec{a}, \vec{b}$ и $\vec{c}$ образуют правую тройку;
  • Полученный вектор ортогонален к $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Если для векторов присутствуют некоторые координаты ($\vec{a}=\{x_1; y_1; z_1\}$ и $\vec{b}= \{x_2; y_2; z_2\}$), то их векторное произведение в декартовой системе координат можно определить по формуле:

$ = \{y_1 \cdot z_2 – y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 – z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 – x_2 \cdot y_1\}$

Легче всего запомнить эту формулу записав в форме определителя:

$ = \begin{array} {|ccc|} i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{array}$.

Эта формула весьма удобна для использования, но чтобы понимать, как её использовать, для начала следует ознакомиться с темой матриц и их определителей.

Площадь параллелограмма , стороны которого определяются двумя векторами $\vec{a}$ и $vec{b}$ равна скаляру векторного произведения данных двух векторов.

Это соотношение совсем несложно вывести.

Вспомним формулу для нахождения площади обычного параллелограмма, который можно охарактеризовать образующими его отрезками $a$ и $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

При этом длины сторон равны скалярным значениям векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, что вполне себе подходит нам, то есть, скаляр векторного произведения данных векторов и будет площадью рассматриваемой фигуры.

Пример 1

Даны векторы $\vec{c}$ c координатами $\{5;3; 7\}$ и вектор $\vec{g}$ с координатами $\{3; 7;10 \}$ в декартовой системе координат. Найти, чему равна площадь параллелограмма, образованного $\vec{c}$ и $\vec{g}$.2} = \sqrt{1878} ≈ 43, 34$.

Данный ход рассуждений справедлив не только для нахождения площади в 3-хмерном пространстве, но и для двухмерного. Познакомьтесь со следующей задачкой на эту тему.

Пример 2

Вычислить площадь параллелограмма, если его образующие отрезки задаются векторами $\vec{m}$ с координатами $\{2; 3\}$ и $\vec{d}$ с координатами $\{-5; 6\}$.

Решение:

Эта задача представляет собой частный пример задачки 1, решённой выше, но при этом оба вектора лежат в одной плоскости, а это значит, что третью координату, $z$, можно принять за нуль.

Подведём итоги по всему вышесказанному, площадь параллелограмма составит:

$S = \begin{array} {||cc||} 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end{array} = \sqrt{12 + 15} =3 \sqrt3$.

Пример 3

Даны векторы $\vec{a} = 3i – j + k; \vec{b}= 5i$. Определите площадь образуемого ими параллелограмма.

$[ \vec{a} \times \vec{b}] = (3i – j + k) \times 5i = 15 – 5 + $

Упростим согласно приведённой таблице для единичных векторов:

Рисунок 1.2} = 5\sqrt{2}$.

Предыдущие задачи были о векторах, координаты которых заданы в декартовой системе координат, но рассмотрим также случай, если угол между базисными векторами отличается от $90°$:

Пример 4

Вектор $\vec{d} = 2a + 3b$, $\vec{f}= a – 4b$, длины $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равны между собой и равны единице, а угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен 45°.

Решение:

Вычислим векторное произведение $\vec{d} \times \vec{f}$:

$[\vec{d} \times \vec{f} ]= (2a + 3b) \times (a – 4b) = 2 – 8 + 3 – 12 $.

Для векторных произведений согласно их свойствам справедливо следующее: $$ и $$ равны нулю, $ = — $.

Используем это для упрощения:

$[\vec{d} \times \vec{f} ]= -8 + 3 = -8 — 3 =-11$.

Теперь воспользуемся формулой $(1)$ :

$[\vec{d} \times \vec{f} ] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то и . Обратите внимание, что само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно тоже равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Вычислить смешанное произведение векторов a b c. Смешанное произведение векторов. Онлайн калькулятор

Данный онлайн калькулятор вычисляет смешанное произведение векторов. Дается подробное решение. Для вычисления смешанного произведения векторов выберите способ представления векторов (по координатам или по двум точкам) введите данные в ячейки и нажимайте на кнопку «Вычислить.»

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть Очистить

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Смешанное произведение векторов (теория)

Смешанное произведение трех векторов это число, которое получается при скалярном произведении результата векторного произведения первых двух векторов на третьий вектор. Другими словами, если заданы три вектора a, b и c , то для получения смешанного произведения этих векторов, сначала векторно умножаются первые два вектора и полученный вектор [ab ] скалярно умножается на вектор c .

Смешанное произведение трех векторов a, b и c обозначается так: abc или так (a,b,c ). Тогда можно записать:

Прежде чем сформулировать теорему, представляющую геометрический смысл смешанного произведения, ознакомьтесь с понятиями правая тройка, левая тройка, правая система координат, левая система координат (определения 2, 2″ и 3 на странице векторное произведение векторов онлайн).

Для определенности, в дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Теорема 1. Смешанное произведение векторов ([ab ],c ) равно объему параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если тройка a, b, c правая, и со знаком минус, если тройка a, b, c левая. Если векторы a, b, c компланарны, то ([ab ],c ) равно нулю.

Следствие 1. Имеет место следующее равенство:

Следовательно нам достаточно доказать, что

([ab ],c )=([bc ],a ) (3)

Из выражения (3) видно, что левая и правая часть равны объему параллелипеда. Но и знаки правой и левой частей совпадают, так как тройки векторов abc и bca имеют одинаковую ориентацию.

Доказанное равенство (1) позволяет записать смешанное произведение трех векторов a, b, c просто в виде abc , не указывая, какие именно два вектора перемножаются векторно первые два или последние два.

Следствие 2. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Доказательство вытекает из теоремы 1. Действительно, если векторы компланарны, то смешанное произведение этих векторов равно нулю. Обратное, если смешанное произведение равно нулю, то из теоремы 1 вытекает компланарность этих векторов (так как объем параллелипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах равно нулю).

Следствие 3. Смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю.

Действительно. Если два вектора из трех совпадают, то они компланарны. Следовательно, смешанное произведение этих векторов равно нулю.

Смешанное произведение векторов в декартовых координатах

Теорема 2. Пусть три вектора a, b и c определены своими декартовыми прямоугольными координатами

Доказательство. Смешанное произведение abc равно скалярному произведению векторов [ab ] и c . Векторное произведение векторов [ab ] в декартовых координатах вычисляется формулой ():

Последнее выражение можно записать, используя определители второго порядка:

необходимо и достаточно равенство нулю определителя, строки которой заполнены координатами этих векторов, т.е:

. (7)

Для доказательства следствия достаточно рассмотреть формулу (4) и следствие 2.

Смешанное произведение векторов на примерах

Пример 1. Найти смешанное произведение векторов abс , где

Смешанное произведение векторов a, b, c равен определителю матрицы L . Вычислим определитель матрицы L , разложив определитель по строке 1:

Конечная точка вектора a .

Смешанным (или векторно-скалярным) произведением трех векторов a, b, c (взятых в указанном порядке) называется скалярное произведение вектора a на векторное произведение b x c , т. е. число a(b x c), или, что то же, (b x c)a.
Обозначение: abc .

Назначение . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления смешанного произведения векторов. Полученное решение сохраняется в файле Word . Дополнительно создается шаблон решения в Excel .

Признаки компланарности векторов

Три вектора (или большее число) называются компланарными, если они, будучи приведены к общему началу, лежат в одной плоскости.
Если хотя бы один из трех векторов – нулевой, то три вектора тоже считаются компланарными.

Признак компланарности . Если система a, b, c – правая, то abc>0 ; если левая, то abcГеометрический смысл смешанного произведения . Смешанное произведение abc трех некомпланарных векторов a, b, c равно объему параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c , взятому со знаком плюс, если система a, b, c – правая, и со знаком минус, если эта система левая.

Свойства смешанного произведения

  1. При круговой перестановке сомножителей смешанное произведение не меняется, при перестановке двух сомножителей – меняет знак на обратный: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb)
    Вытекает из геометрического смысла.
  2. (a+b)cd=acd+bcd (распределительное свойство). Распространяется на любое число слагаемых.
    Вытекает из определения смешанного произведения.
  3. (ma)bc=m(abc) (сочетательное свойство относительно скалярного множителя).
    Вытекает из определения смешанного произведения. Эти свойства позволяют применять к смешанным произведениям преобразования, отличающиеся от обычных алгебраических лишь тем, что менять порядок сомножителей можно только с учетом знака произведения.
  4. Смешанное произведение, имеющее хотя бы два равных сомножителя, равно нулю: aab=0 .

Пример №1 . Найти смешанное произведение. ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Пример №2 . (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+aba+bcc+bca . Все члены, кроме двух крайних, равны нулю. Кроме того, bca=abc . Поэтому (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .

Пример №3 . Вычислить смешанное произведение трех векторов a=15i+20j+5k, b=2i-4j+14k, c=3i-6j+21k .
Решение . Чтобы вычислить смешанное произведение векторов, необходимо найти определитель системы, составленной из координат векторов. Запишем систему в виде.

На данном уроке мы рассмотрим ещё две операции с векторами: векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов (сразу ссылка, кому нужно именно оно) . Ничего страшного, так иногда бывает, что для полного счастья, помимо скалярного произведения векторов , требуется ещё и ещё. Такая вот векторная наркомания. Может сложиться впечатление, что мы залезаем в дебри аналитической геометрии. Это не так. В данном разделе высшей математики вообще мало дров, разве что на Буратино хватит. На самом деле материал очень распространенный и простой – вряд ли сложнее, чем то же скалярное произведение , даже типовых задач поменьше будет. Главное в аналитической геометрии, как многие убедятся или уже убедились, НЕ ОШИБАТЬСЯ В ВЫЧИСЛЕНИЯХ. Повторяйте как заклинание, и будет вам счастье =)

Если векторы сверкают где-то далеко, как молнии на горизонте, не беда, начните с урока Векторы для чайников , чтобы восстановить или вновь приобрести базовые знания о векторах. Более подготовленные читатели могут знакомиться с информацией выборочно, я постарался собрать максимально полную коллекцию примеров, которые часто встречаются в практических работах

Чем вас сразу порадовать? Когда я был маленьким, то умел жонглировать двумя и даже тремя шариками. Ловко получалось. Сейчас жонглировать не придётся вообще, поскольку мы будем рассматривать только пространственные векторы , а плоские векторы с двумя координатами останутся за бортом. Почему? Такими уж родились данные действия – векторное и смешанное произведение векторов определены и работают в трёхмерном пространстве. Уже проще!

В данной операции, точно так же, как и в скалярном произведении, участвуют два вектора . Пусть это будут нетленные буквы .

Само действие обозначается следующим образом: . Существуют и другие варианты, но я привык обозначать векторное произведение векторов именно так, в квадратных скобках с крестиком.

И сразу вопрос : если в скалярном произведении векторов участвуют два вектора, и здесь тоже умножаются два вектора, тогда в чём разница ? Явная разница, прежде всего, в РЕЗУЛЬТАТЕ:

Результатом скалярного произведения векторов является ЧИСЛО:

Результатом векторного произведения векторов является ВЕКТОР : , то есть умножаем векторы и получаем снова вектор. Закрытый клуб. Собственно, отсюда и название операции. В различной учебной литературе обозначения тоже могут варьироваться, я буду использовать букву .

Определение векторного произведения

Сначала будет определение с картинкой, затем комментарии.

Определение : Векторным произведением неколлинеарных векторов , взятых в данном порядке , называется ВЕКТОР , длина которого численно равна площади параллелограмма , построенного на данных векторах; вектор ортогонален векторам , и направлен так, что базис имеет правую ориентацию:

Разбираем определение по косточкам, тут много интересного!

Итак, можно выделить следующие существенные моменты:

1) Исходные векторы , обозначенные красными стрелками, по определению не коллинеарны . Случай коллинеарных векторов будет уместно рассмотреть чуть позже.

2) Векторы взяты в строго определённом порядке : – «а» умножается на «бэ» , а не «бэ» на «а». Результатом умножения векторов является ВЕКТОР , который обозначен синим цветом. Если векторы умножить в обратном порядке, то получим равный по длине и противоположный по направлению вектор (малиновый цвет). То есть, справедливо равенство .

3) Теперь познакомимся с геометрическим смыслом векторного произведения. Это очень важный пункт! ДЛИНА синего вектора (а, значит, и малинового вектора ) численно равна ПЛОЩАДИ параллелограмма, построенного на векторах . На рисунке данный параллелограмм заштрихован чёрным цветом.

Примечание : чертёж является схематическим, и, естественно, номинальная длина векторного произведения не равна площади параллелограмма.

Вспоминаем одну из геометрических формул: площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними . Поэтому, исходя из вышесказанного, справедлива формула вычисления ДЛИНЫ векторного произведения:

Подчёркиваю, что в формуле речь идёт о ДЛИНЕ вектора, а не о самом векторе . Каков практический смысл? А смысл таков, что в задачах аналитической геометрии площадь параллелограмма часто находят через понятие векторного произведения:

Получим вторую важную формулу. Диагональ параллелограмма (красный пунктир) делит его на два равных треугольника. Следовательно, площадь треугольника, построенного на векторах (красная штриховка), можно найти по формуле:

4) Не менее важный факт состоит в том, что вектор ортогонален векторам , то есть . Разумеется, противоположно направленный вектор (малиновая стрелка) тоже ортогонален исходным векторам .

5) Вектор направлен так, что базис имеет правую ориентацию. На уроке о переходе к новому базису я достаточно подробно рассказал об ориентации плоскости , и сейчас мы разберёмся, что такое ориентация пространства. Объяснять буду на пальцах вашей правой руки . Мысленно совместите указательный палец с вектором и средний палец с вектором . Безымянный палец и мизинец прижмите к ладони. В результате большой палец – векторное произведение будет смотреть вверх. Это и есть правоориентированный базис (на рисунке именно он). Теперь поменяйте векторы (указательный и средний пальцы ) местами, в результате большой палец развернётся, и векторное произведение уже будет смотреть вниз. Это тоже правоориентированный базис. Возможно, у вас возник вопрос: а какой базис имеет левую ориентацию? «Присвойте» тем же пальцам левой руки векторы , и полУчите левый базис и левую ориентацию пространства (в этом случае большой палец расположится по направлению нижнего вектора) . Образно говоря, данные базисы «закручивают» или ориентируют пространство в разные стороны. И это понятие не следует считать чем-то надуманным или абстрактным – так, например, ориентацию пространства меняет самое обычное зеркало, и если «вытащить отражённый объект из зазеркалья», то его в общем случае не удастся совместить с «оригиналом». Кстати, поднесите к зеркалу три пальца и проанализируйте отражение;-)

…как всё-таки хорошо, что вы теперь знаете о право- и левоориентированных базисах, ибо страшнЫ высказывания некоторых лекторов о смене ориентации =)

Векторное произведение коллинеарных векторов

Определение подробно разобрано, осталось выяснить, что происходит, когда векторы коллинеарны. Если векторы коллинеарны, то их можно расположить на одной прямой и наш параллелограмм тоже «складывается» в одну прямую. Площадь такого, как говорят математики, вырожденного параллелограмма равна нулю. Это же следует и из формулы – синус нуля или 180-ти градусов равен нулю, а значит, и площадь нулевая

Таким образом, если , то . Строго говоря, само векторное произведение равно нулевому вектору, но на практике этим часто пренебрегают и пишут, что оно просто равно нулю.

Частный случай – векторное произведение вектора на самого себя:

С помощью векторного произведения можно проверять коллинеарность трёхмерных векторов, и данную задачу среди прочих мы тоже разберём.

Для решения практических примеров может потребоваться тригонометрическая таблица , чтобы находить по ней значения синусов.

Ну что же, разжигаем огонь:

Пример 1

а) Найти длину векторного произведения векторов , если

б) Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах , если

Решение : Нет, это не опечатка, исходные данные в пунктах условия я намеренно сделал одинаковыми. Потому что оформление решений будет отличаться!

а) По условию требуется найти длину вектора (векторного произведения). По соответствующей формуле:

Ответ :

Коль скоро спрашивалось о длине, то в ответе указываем размерность – единицы.

б) По условию требуется найти площадь параллелограмма, построенного на векторах . Площадь данного параллелограмма численно равна длине векторного произведения:

Ответ :

Обратите внимание, что в ответе о векторном произведении речи не идёт вообще, нас спрашивали о площади фигуры , соответственно, размерность – квадратные единицы.

Всегда смотрим, ЧТО требуется найти по условию, и, исходя из этого, формулируем чёткий ответ. Может показаться буквоедством, но буквоедов среди преподавателей хватает, и задание с хорошими шансами вернётся на доработку. Хотя это не особо натянутая придирка – если ответ некорректен, то складывается впечатление, что человек не разбирается в простых вещах и/или не вник в суть задания. Этот момент всегда нужно держать на контроле, решая любую задачу по высшей математике, да и по другим предметам тоже.

Куда подевалась большая буковка «эн»? В принципе, её можно было дополнительно прилепить в решение, но в целях сократить запись, я этого не сделал. Надеюсь, всем понятно, что и – это обозначение одного и того же.

Популярный пример для самостоятельного решения:

Пример 2

Найти площадь треугольника, построенного на векторах , если

Формула нахождения площади треугольника через векторное произведение дана в комментариях к определению. Решение и ответ в конце урока.

На практике задача действительно очень распространена, треугольниками вообще могут замучить.

Для решения других задач нам понадобятся:

Свойства векторного произведения векторов

Некоторые свойства векторного произведения мы уже рассмотрели, тем не менее, я их включу в данный список.

Для произвольных векторов и произвольного числа справедливы следующие свойства:

1) В других источниках информации данный пункт обычно не выделяют в свойствах, но он очень важен в практическом плане. Поэтому пусть будет.

2) – свойство тоже разобрано выше, иногда его называют антикоммутативностью . Иными словами, порядок векторов имеет значение.

3) – сочетательные или ассоциативные законы векторного произведения. Константы безпроблемно выносятся за пределы векторного произведения. Действительно, чего им там делать?

4) – распределительные или дистрибутивные законы векторного произведения. С раскрытием скобок тоже нет проблем.

В качестве демонстрации рассмотрим коротенький пример:

Пример 3

Найти , если

Решение: По условию снова требуется найти длину векторного произведения. Распишем нашу миниатюру:

(1) Согласно ассоциативным законам, выносим константы за переделы векторного произведения.

(2) Выносим константу за пределы модуля, при этом модуль «съедает» знак «минус». Длина же не может быть отрицательной.

(3) Дальнейшее понятно.

Ответ :

Пора подбросить дров в огонь:

Пример 4

Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах , если

Решение : Площадь треугольника найдём по формуле . Загвоздка состоит в том, что векторы «цэ» и «дэ» сами представлены в виде сумм векторов. Алгоритм здесь стандартен и чем-то напоминает примеры № 3 и 4 урока Скалярное произведение векторов . Решение для ясности разобьём на три этапа:

1) На первом шаге выразим векторное произведение через векторное произведение , по сути, выразим вектор через вектор . О длинах пока ни слова!

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Используя дистрибутивные законы, раскрываем скобки по правилу умножения многочленов.

(3) Используя ассоциативные законы, выносим все константы за пределы векторных произведений. При маломальском опыте действия 2 и 3 можно выполнять одновременно.

(4) Первое и последнее слагаемое равно нулю (нулевому вектору) благодаря приятному свойству . Во втором слагаемом используем свойство антикоммутативности векторного произведения:

(5) Приводим подобные слагаемые.

В результате вектор оказался выражен через вектор, чего и требовалось достичь:

2) На втором шаге найдем длину нужного нам векторного произведения. Данное действие напоминает Пример 3:

3) Найдём площадь искомого треугольника:

Этапы 2-3 решения можно было оформить и одной строкой.

Ответ :

Рассмотренная задача достаточно распространена в контрольных работах, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 5

Найти , если

Краткое решение и ответ в конце урока. Посмотрим, насколько вы были внимательны при изучении предыдущих примеров;-)

Векторное произведение векторов в координатах , заданных в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Формула и правда простецкая: в верхнюю строку определителя записываем координатные векторы, во вторую и третью строки «укладываем» координаты векторов , причём укладываем в строгом порядке – сначала координаты вектора «вэ», затем координаты вектора «дубль-вэ». Если векторы нужно умножить в другом порядке, то и строки следует поменять местами:

Пример 10

Проверить, будут ли коллинеарны следующие векторы пространства:
а)
б)

Решение : Проверка основана на одном из утверждений данного урока: если векторы коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю (нулевому вектору): .

а) Найдём векторное произведение:

Таким образом, векторы не коллинеарны.

б) Найдём векторное произведение:

Ответ : а) не коллинеарны, б)

Вот, пожалуй, и все основные сведения о векторном произведении векторов.

Данный раздел будет не очень большим, так как задач, где используется смешанное произведение векторов, немного. Фактически всё будет упираться в определение, геометрический смысл и пару рабочих формул.

Смешанное произведение векторов – это произведение трёх векторов :

Вот так вот они выстроились паровозиком и ждут, не дождутся, когда их вычислят.

Сначала опять определение и картинка:

Определение : Смешанным произведением некомпланарных векторов , взятых в данном порядке , называется объём параллелепипеда , построенного на данных векторах, снабжённый знаком «+», если базис правый, и знаком «–», если базис левый.

Выполним рисунок. Невидимые нам линии прочерчены пунктиром:

Погружаемся в определение:

2) Векторы взяты в определённом порядке , то есть перестановка векторов в произведении , как вы догадываетесь, не проходит без последствий.

3) Перед тем, как прокомментировать геометрический смысл, отмечу очевидный факт: смешанное произведение векторов является ЧИСЛОМ : . В учебной литературе оформление может быть несколько другим, я привык обозначать смешанное произведение через , а результат вычислений буквой «пэ».

По определению смешанное произведение – это объем параллелепипеда , построенного на векторах (фигура прочерчена красными векторами и линиями чёрного цвета). То есть, число равно объему данного параллелепипеда.

Примечание : чертёж является схематическим.

4) Не будем заново париться с понятием ориентации базиса и пространства. Смысл заключительной части состоит в том, что к объёму может добавляться знак минус. Простыми словами, смешанное произведение может быть отрицательным: .

Непосредственно из определения следует формула вычисления объема параллелепипеда, построенного на векторах .

Калькулятор журналов

— примеры, онлайн-калькулятор журналов

Log Calculator — это онлайн-инструмент, который помогает вычислить значение журнала для заданного основания и аргумента. Это можно рассматривать как функцию, обратную возведению в степень. Логарифмические функции помогают упростить вычисления.

Что такое калькулятор журнала?

Калькулятор журнала

поможет вам вычислить значение журнала данного выражения. Журналы — это еще один способ представления или записи экспоненциальных выражений. Журналы широко используются для измерения силы землетрясений, яркости звезд и т. Д.Чтобы использовать калькулятор журнала , введите значения в указанные поля ввода.

Калькулятор журнала

ПРИМЕЧАНИЕ: вводите только значения до трех цифр

Как пользоваться калькулятором журнала?

Выполните следующие шаги, чтобы найти значение журнала с помощью онлайн-калькулятора журнала:

  • Шаг 1: Откройте онлайн-калькулятор журнала Cuemath.
  • Шаг 2: Введите положительные числа в данное поле ввода.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти значение журнала.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор журнала?

Мы можем сказать, что логарифм числа (скажем, a) — это показатель степени или степени, до которой необходимо возвести основание (скажем, b), чтобы получить само число.

В экспоненциальной форме это можно записать следующим образом

б х = а

Здесь b — база.Он возведен в степень x. Значение этого выражения дается a. Теперь, если мы преобразуем это уравнение, используя логарифмическую запись, мы получим

\ (log_ {b} a = x \)

a, b и x — положительные действительные числа. a известен как аргумент, а b — основание.

Существуют различные категории логарифмических функций в зависимости от значения основания. Их:

Общие логарифмические функции: Если логарифмические функции имеют основание, равное 10, они известны как общие логарифмические функции.Обычно такие журналы не имеют 10 записанных в качестве основы.

10 2 = 100 \ ({\ Rightarrow} \) журнал 100 = 2

Если у логарифма нет основания, мы можем принять его равным 10.

Натуральные логарифмические функции : Такие типы журналов имеют основание e. e — математическая константа, приблизительно равная 2,718. Натуральные журналы обычно представлены ln.

e x = m \ ({\ Rightarrow} \) ln m = x

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов.С Cuemath находите решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенных примеров в журналах

Пример 1: Найдите значение логарифма \ (log_ {2} 4 \) и проверьте его с помощью калькулятора журнала.

Решение:

\ (log_ {b} a \) = x ⇔ b x = a

\ (log_ {2} 4 \) = x

2 x = 4

х = 2

Следовательно, значение логарифма \ (log_ {2} 4 \) равно 2

Пример 2: Найдите значение логарифма \ (log_ {3.2} 1 \) и проверьте это с помощью калькулятора журнала.

Решение:

\ (log_ {b} a \) = x ⇔ b x = a

\ (log_ {3.2} 1 \) = x

3,2 x = 1

х = 0

Следовательно, значение логарифма \ (log_ {3.2} 1 \) равно 0

Точно так же вы можете попробовать калькулятор журнала, чтобы найти значение логарифма

.
  • \ (log_ {5.1} 25 \)
  • \ (лог_ {15} 45 \)

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор длинного деления

— Онлайн-калькулятор длинного деления

Калькулятор

Long Division Calculator — это бесплатный онлайн-инструмент, который делит одно число на другое с помощью длинного деления.Когда мы делим большое число, чтобы упростить процесс, мы разбиваем его на несколько этапов. Это называется длинным делением.

Что такое калькулятор длинного деления?

Калькулятор деления в столбик помогает вычислить частное и остаток, когда нам даны делитель и делимое, используя метод деления в столбик. Деление в длину выгодно, поскольку оно помогает решить проблему деления с помощью ряда более простых шагов. Чтобы использовать калькулятор деления l ong , введите значения в поля ввода.

Калькулятор длинного деления

Примечание. Введите число до 6 цифр для делимого и до 2 цифр для делителя.

Как пользоваться калькулятором длинного деления?

Следуйте инструкциям ниже, чтобы выполнить деление в столбик с помощью калькулятора деления в столбик:

  • Шаг 1: Воспользуйтесь онлайн-калькулятором длинных делений Cuemath.
  • Шаг 2: Введите делимое и делитель в соответствующие поля ввода.
  • Шаг 3: Щелкните «Разделить» , чтобы получить пошаговое решение для деления в столбик.
  • Шаг 4: Щелкните «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор деления в столбик?

Деление — это одна из основных арифметических операций, включая сложение, вычитание и умножение. Вот некоторые из важных терминов, связанных с длинным разделением:

  • Дивиденды — Число, которое делится.
  • Делитель — Число, на которое делится дивиденд.
  • Частное — Результат, который мы получаем после деления.
  • Остаток — Если дальнейшее деление не может быть выполнено, оставшаяся часть числа называется остатком.

Шаги для выполнения длинного деления следующие:

  1. Берем первую цифру делимого. Сравним это с делителем.
  2. Если число больше делителя, то делим его и пишем сверху ответ.Это становится частным. Затем переходим к шагу 4.
  3. Если число меньше делителя, мы пишем ноль вместо частного. Затем мы включаем следующую цифру делимого и повторяем шаги 1, 2 и 3.
  4. Затем результат, полученный на шаге 2, вычитается из цифр делимого (которые находились на рассмотрении).
  5. Если есть другой номер, он сбивается.
  6. Затем мы повторяем шаги с 1 по 5 до тех пор, пока дальнейшее деление не станет возможным.

Отличное обучение в старшей школе по простым подсказкам

Занимаясь заучиванием наизусть, вы, вероятно, забудете концепции. С Cuemath вы будете учиться наглядно и будете удивлены результатами.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенных примеров на длинное деление

Пример 1: Разделите: 75 ÷ 4 и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора длинных делений.

Решение:

Деление 75 ÷ 4 в столбик можно сделать следующим образом.

Следовательно, при делении 75 на 4 Частное = 18, остаток = 3

Пример 2: Разделите: 735 ÷ 9 и проверьте его с помощью онлайн-калькулятора длинных делений.

Решение:

Деление 735 ÷ 9 в столбик можно сделать следующим образом.

Следовательно, при делении 735 на 9 Частное = 81, Остаток = 6

Теперь вы можете попробовать калькулятор деления в столбик и решить следующую задачу:

  • 304 ÷ 2
  • 112 ÷ 8
  • 657 ÷ 12

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор соотношения

— Примеры, онлайн-калькулятор соотношения

Калькулятор соотношения

используется для вычисления соотношения между двумя величинами.Соотношение — это математическая концепция, которая используется для сравнения двух величин. Другими словами, он показывает, сколько раз одно количество содержится в другом.

Что такое калькулятор коэффициентов?

Калькулятор коэффициентов

— это онлайн-инструмент, используемый для расчета коэффициентов в наиболее упрощенной форме. В соотношении нет необходимости, чтобы две величины были одного и того же вида. Например, мы можем найти соотношение 10 лимонов к 5 апельсинам. Это будет 10: 5 или 2: 1. Чтобы использовать калькулятор соотношения , введите значения в поле ввода.

Калькулятор соотношения

* Используйте только 3 цифры.

Как пользоваться калькулятором коэффициентов?

Выполните следующие простые шаги и узнайте, как использовать калькулятор соотношений для расчета количества объектов:

  • Шаг 1: Откройте онлайн-калькулятор соотношений Cuemath.
  • Шаг 2: Введите числа в поле ввода калькулятора коэффициента.
  • Шаг 3: Нажмите кнопку «Рассчитать» , чтобы найти соотношение данных объектов.
  • Шаг 4: Нажмите кнопку «Сброс» , чтобы очистить поля и ввести новые значения.

Как работает калькулятор коэффициентов?

Когда две величины сравниваются по их соотношению, мы, по сути, пытаемся судить, насколько одна величина велика или мала по отношению к другой. Деление используется для сравнения двух величин. Таким образом, числа в соотношении можно выразить дробью. Предположим, мы хотим найти соотношение между двумя числами, скажем, a и b (здесь a называется антецедентом, а b называется консеквентом).Мы можем сделать это, выполнив следующие шаги:

  1. Соотношение a и b выражается как a: b.
  2. Мы представим a: b в дробной форме. Дается a / b .
  3. Мы найдем GCF (наибольший общий множитель) a и b.
  4. Затем мы делим a (числитель) и b (знаменатель) на GCF. Это даст нам дробь в самом упрощенном виде.
  5. Наконец, мы используем представление отношения дроби, полученной на шаге 4, чтобы получить наш результат.

Когда мы сложим числа a и b, мы получим общее количество обоих объектов.

Хотите найти сложные математические решения за секунды?

Воспользуйтесь нашим бесплатным онлайн-калькулятором для решения сложных вопросов. С Cuemath находите решения простым и легким способом.

Забронируйте бесплатную пробную версию Класс

Решенных примеров для отношения

Пример 1: Найдите соотношение молока и воды, если в рецепт добавлены 24 стакана молока и 18 стаканов воды, и проверьте его с помощью калькулятора соотношения.

Решение:

Количество молока = 24 стакана

Количество воды = 18 чашек

Соотношение молока и воды 24:18.

Выражая это в дробной форме, получаем 24/18

GCF (24, 18) = 6

24/6 = 4 и 18/6 = 3

Это даст 4/3.

Таким образом, соотношение молока к воде в рецепте 4: 3

Пример 2: Найдите соотношение муки и сахара, если нам требуется 20 столовых ложек муки и 4 столовые ложки сахара, и проверьте его с помощью калькулятора соотношений.

Решение:

Количество муки = 20 стаканов

Количество сахара = 4 стакана

Соотношение муки и сахара составляет 20: 4.

Выражая это в дробной форме, получаем 20/4

GCF (20, 4) = 4

20/4 = 5 и 4/4 = 1

Это даст 5/1

Таким образом, соотношение муки к сахару составляет 5: 1.

Теперь воспользуйтесь калькулятором соотношений, чтобы найти соотношение следующих величин:

  • Первое количество = 34 и Второе количество = 89
  • Первое количество = 4 и Второе количество = 57

☛ Математические калькуляторы:

Калькулятор векторного произведения векторов

— [100% бесплатно]

В математике вы можете выполнять вычисления, чтобы получить перекрестное произведение двух произвольных векторов.Чтобы упростить вам задачу, этот калькулятор кросс-произведений выполнит расчеты за вас. Вместо того, чтобы выполнять вычисления самостоятельно, что может быть очень утомительным процессом, этому калькулятору требуются только некоторые значения для получения окончательных результатов. Читайте дальше, чтобы узнать больше об этом калькуляторе векторных кросс-произведений и некоторых общих вопросах по той же теме.

Как использовать калькулятор кросс-продукта?

Как и большинство онлайн-калькуляторов, этот простой и легкий в использовании.Вместо ручных вычислений этот калькулятор умножения векторов предоставит вам перекрестные произведения за считанные секунды. Вот шаги для его использования:

  • Сначала введите 3 значения для вектора a (x, y, z).
  • Затем введите 3 значения для вектора b (x, y, z).
  • После ввода всех значений вы автоматически получите перекрестные произведения вектора c (x, y, z)

Что такое метод перекрестного произведения?


Как ручное вычисление, так и калькулятор перекрестного произведения используют процесс, отличный от метода перекрестного произведения.Этот метод предполагает сравнение двух фракций. В этом методе вы умножаете числитель первой дроби на знаменатель второй и наоборот. Затем вы сравниваете свои ответы, чтобы увидеть, равны ли дроби или нет.

Метод перекрестного произведения — это вид быстрого доступа, который позволяет вам найти общий знаменатель, не меняя значения дробей. Конечно, использование этого метода означает, что вы можете сравнивать только две дроби за раз. Если вам нужно больше сравнивать, вам придется повторять этот процесс.

Что такое векторное произведение двух векторов?

Перекрестное произведение двух векторов, которые не являются коллинеарными и произвольными, вектор a и вектор b — это вектор c, который имеет перпендикулярные отношения с обоими векторами. Следовательно, если у вас есть плоскость, на которой опираются вектор a и вектор b, вектор c будет перпендикулярно указанной плоскости.

Направление вектора c можно определить рукой и правилом правой руки. Если средний и указательный пальцы вашей правой руки указывают в направлении вектора a и вектора b, ваш большой палец покажет направление вектора c.Помимо использования этого векторного калькулятора перекрестного произведения, вы можете вычислить вручную по следующей формуле:

c = a × b = | a | * | b | * sinθ * n,

где:

a и b относятся к произвольным векторам

| a | и | b | обозначает величины произвольных векторов

c обозначает результирующий вектор векторного произведения

θ обозначает угол между векторами

n обозначает единичный вектор, перпендикулярный плоскости и определяемый по вектору a и вектору b

При выполнении вычислений вручную также можно использовать эту формулу:

a × b = (a₂b₃ — a₃b₂) * i + (a₃b₁ — a₁b₃) * j + (a₁b₂ — a₂b₁) * k

Как определить направление перекрестного произведения?

Точечное произведение означает подобие вектора с одним числом.Рассчитайте скалярное произведение по следующей формуле:

скалярное произведение = (a x , a y , a z ) * (b x , b y , b z ) = a x b x + a y b y + a z b z = || vec {a} || || vec {b} || cos (ϴ)

Чтобы вычислить кандидата на перекрестное произведение, используйте следующую формулу:

кандидат на перекрестное произведение = сумма разницы = || vec {a} || || vec {b} || sin (ϴ)

Но, глядя на эти формулы, вы поймете, что есть некоторые недостающие детали.Следовательно, вам необходимо выразить эти различия в виде вектора, помня об этих моментах:

  • Размер векторного произведения относится к числовому значению «количества разницы», а sin (θ) — это процент.
  • В основе направления кросс-продукта лежат оба исходных параметра, что означает, что он не поддерживает ни один из них.
  • Результирующий вектор отдельно представляет x * y и x * z, хотя оба они отличаются от x.
  • Вы можете определить плоскость, используя 2 вектора, и результирующее векторное произведение будет указывать в направлении, отличном от этих векторов.

Теперь, чтобы определить направление результирующего вектора, вы можете использовать правило правой руки. Для этого вытяните большой и два первых пальца наружу. Ваши два пальца указывают направление векторов, а большой палец указывает направление полученной точки пересечения.

Что такое кросс-произведение в физике?

Прежде чем мы обсудим, что такое кросс-произведение в физике, давайте кратко изложим все, что мы обсуждали до сих пор. Перекрестное произведение, также известное в физике как вектор a и вектора be, можно символически записать как:

𝑎 × 𝑏 или 𝑎 ∧ 𝑏.

По определению, векторное произведение — это вектор с величиной:

| 𝑎 × 𝑏 | = | 𝑎 | | 𝑏 | sin𝜃

где:

𝜃 обозначает угол между вектором 𝑎 и вектором 𝑏

Направление 𝑎 × 𝑏 — это вектор, перпендикулярный как вектору a, так и вектору b. Лучший способ определить это направление — использовать правило правой руки. Вы также можете увидеть эту концепцию в физике, например, в том, как вращается винт.Если выкрутить винт из, то он начнет двигаться вперед.

В качестве альтернативы, если вы протянете большой палец и первые два пальца и расположите их под прямым углом друг к другу, формула изменится. На этот раз ваш большой и первый пальцы будут указывать в одном направлении, а второй — в другом направлении или направлении 𝑎 × 𝑏. Перекрестные произведения или векторные произведения часто встречаются в физике.

Вы даже можете использовать физику, чтобы помочь вам определить направление перекрестного произведения, как мы проиллюстрировали в наших двух примерах:

  • Если вы закрутите винт от 𝑎 до, он сдвинется вверх
  • Если вы разместите Первые три пальца вашей руки под прямым углом, направление от 𝑎 до 𝑏 будет направлением вашего второго пальца

Калькулятор перекрестного произведения

Этот калькулятор векторного умножения, также известный как калькулятор перекрестного умножения, помогает найти результирующий вектор двух заданных векторов.Вы можете нажать на опцию «показать больше», чтобы увидеть пошаговое решение.

Этот векторный калькулятор позволяет вводить информацию в виде координат, а также точек вектора.

Что такое перекрестное произведение двух векторов?

Векторы можно умножить, чтобы найти результирующий вектор. Есть два способа умножить пару векторов.

  • Скалярное произведение или скалярное произведение (результирующая величина является скалярной).
  • Вектор или кросс-произведение (результирующая величина — вектор).

Перекрестное произведение определяется как:

«Перекрестное произведение работает только в 3D. Он измеряет, насколько два вектора указывают в разных направлениях ».

Обозначается буквами A x B (читается как A крест B).

Где,

A x B = A * B sin

Формула перекрестного произведения

Формула, используемая для векторного произведения перекрестного произведения, немного сложна. Во-первых, векторы записываются в виде матрицы. Первая строка матрицы состоит из единичных векторов.

i j k

a x a y a z

b x b y b z

После этого шага эта матрица расширяется.

Свойства перекрестного произведения

Существуют определенные свойства перекрестного произведения, которые отличают его от скалярного произведения.

  • Коммутативность не выполняется (то есть A x B ≠ B x A).
  • Максимально, когда векторы перпендикулярны (угол 90).
  • Самостоятельное перекрестное произведение дает нулевой вектор (т. Е. A x A = 0).
  • Перекрестное произведение двух единичных векторов дает третий единичный вектор. (I x j = k, j x k = i, k x i = j)

Как произвести перекрестное произведение?

Процесс умножения векторов легче понять на примере.

Пример:

Найдите векторное произведение следующих векторов.

A = 3 i + 2 j + 1 k

B = 1 i + 2 j + 3 k

Шаг решения:

:

Запишите векторы в виде координат.

A = (3,2,1)

B = (1,2,3)

Шаг 2: Сформируйте матрицу.

i j k

3 2 1

1 2 3

Шаг 3: Разверните матрицу.

= i [(2). (3) — (1). (2)] — j [(3). (3) — (1). (1)] + k [(3). ( 2) — (2). (1)]

= i [(6) — (2)] — j [(9) — (1)] + k [(6) — (2)]

= 4i — 8j + 4k

Калькулятор перекрестных произведений | Найти пересечение двух векторов

1. Что вы подразумеваете под перекрестным произведением?

Перекрестное произведение — это двоичная операция двух векторов в трехмерном пространстве.Его также называют векторным произведением. Формула для нахождения векторного произведения векторов: a x b = │a││b│ sin (θ) n

Где a, b — два вектора

θ — угол между двумя векторами

││ — это величина

.

n — единичный вектор.


2. Что произойдет, если скрестить произведение идентичных векторов?

Когда вы вычисляете перекрестное произведение идентичных векторов, получается вырожденный параллелограмм без площади.Перекрестное произведение станет нулевым.


3. Вычислите площадь параллелограмма, образованного векторами a = (3, −3,1) и c = (- 12,12, −4).

Векторы

a = (3, −3,1) и c = (- 12,12, −4)

│a x c│ = i j k

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3 — 3 1

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp -12 12-4

= i (-3x-4 -12×1) + j (-12×1 — 3x-4) + k (3×12 — (-3) x (-12)

= я (12-12) + j (-12 + 12) + k (36-36)

= (0,0,0)

Величина нулевого вектора равна нулю, поэтому площадь параллелограмма равна нулю.


4. Для чего используется перекрестное произведение?

Перекрестное произведение используется для нахождения вектора, перпендикулярного плоскости, натянутой на два разных вектора. Он имеет множество приложений в физике при работе с вращающимися телами.


5. Найдите угол между двумя векторами a и b, где a = (- 4, 3, 0) и b = (2, 0, 0)?

Формула для получения угла между двумя векторами:

sin (θ) = a x b / │a││b│

θ = sin -1 (a x b / │a││b│)

Сначала вычислите a x b

а х Ь = я (0) -j (0) + к (-6)

= -6 тыс.

│a│ = √-4 2 +3 2 +0 2

= √16 + 9 = √25 = 5

│b│ = √2 2 +0 2 +0 2

= 2

Мы знаем, что θ = sin -1 (a x b / │a││b│)

θ = грех -1 (-6 / 5×2)

= грех -1 (3/5) = 36.87 °

Следовательно, угол равен 36,87 °.


Калькулятор величин перекрестного произведения

Разместите ваши комментарии?

Калькулятор перекрестных произведений (вектор) Stepbystep Solution

5 часов назад Калькулятор перекрестных произведений векторов довольно прост в использовании. Следуйте приведенным ниже инструкциям, чтобы найти перекрестное произведение . : Шаг 1: Введите заданные коэффициенты векторов X и Y; в полях ввода. Шаг 2: Нажмите кнопку «Получить расчет», чтобы получить значение перекрестного произведения .Шаг 3: Наконец, вы получите значение перекрестного произведения между двумя векторами вместе с подробным пошаговым решением.

Веб-сайт: Crossproductcalculator.org