Алгебраические моменты сил и пар сил — КиберПедия

Рассмотрим плоскую систему сил, лежащих в координатной плоскости Oxy. Векторные моменты таких сил M_O= r F относительно точки O (или относительно любой другой точки, находящейся в плоскости Oxy), будут перпендикулярны этой плоскости, т.е. будут направлены вдоль оси Oz. Направления этих моментов можно отмечать знаком и определять моменты сил как алгебраические величины, равные проекциям векторных моментов на ось Oz.

Правило знаков алгебраических моментов сил (в правой системе координат, принятой в механике): момент считается положительным, если сила стремится повернуть тело относительно точки О против хода часовой стрелки, и отрицательной — по ходу часовой стрелки.

На практике применяют геометрический и аналитический методы вычисления алгебраических моментов сил.

Алгебраический момент пары сил

Векторный момент пары сил, лежащих в плоскости Oxy, также направлен вдоль оси Oz, поскольку он равен векторному моменту одной из сил относительно точки приложения другой силы. Поэтому момент пары сил в этом случае также можно рассматривать как алгебраическую величину.

Алгебраический момент пары сил равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары: M=±F·d.

Правило знаков моментов пар сил аналогично правилу для моментов сил.

Для показанных на рисунке пар сил (P,P’) и (Q,Q’) их моменты имеют противоположные знаки: M₁=P·d₁; M₂=-Q·d₂.
Поскольку действие пары сил на тело полностью характеризуется ее моментом, на рисунках пару сил принято изображать дуговой стрелкой, показывающей направление действия момента.

Решение вопроса упрощает теорема Вариньона, согласно которой момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен геометрической сумме моментов составляющих систему сил относительно того же центра.

Рисунок 1.17

Например, момент силы F относительно точки O можно определить как алгебраическую сумму моментов сил F_xи F_y (на которые можно разложить силу F) относительно той же точки O

(рисунок 1.17). То есть

M_O(F)= -Fh = -F_x y + F_y x, (1.8)

где F_x ,F_y , x и y – проекции на оси координат силы F и радиуса-вектора r.

Момент силы относительно оси. Способы вычисления момента силы относительно оси. Аналитические формулы для моментов силы относительно координатных осей.

Момент относительно оси

Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси – алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рисунок 1.3).

Рисунок 1.3

Правило знаков

Момент считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную к оси, стремится вращать тело вокруг положительного направления оси против движения часовой стрелки, и отрицательным, если она стремится вращать тело по движению часовой стрелки:

M_z(F) = M_О(F_П) = ± h F_П,

где F_П – вектор проекции силы F на плоскость

П, перпендикулярную к оси Oz, точка O – точка пересечения оси Oz с плоскостью П, h — плечо силы.

Свойства

Момент силы относительно оси обладает следующими свойствами:

1. момент равен нулю, если сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси;
2. момент равен нулю, если линия действия силы пересекается с осью. В этом случае равно нулю плечо силы.

Другими словами, момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости.

Момент силы относительно точки и оси. Теория пар сил. Приведение произвольной системы сил к заданному центру. Теорема Вариньона

1. Лекция 3

1.
2.
Момент силы относительно точки на плоскости.
Пара сил. Момент пары сил.
F
Момент силы относительно точки на плоскости – алгебраическая величина, равная
произведению модуля силы на плечо, взятая со знаком + (плюс), если вращение плоскости
под действием силы происходит против часовой стрелки,
и со знаком – (минус) в противном случае.
Плечо силы – длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы.
h
Пара сил – совокупность двух параллельных друг другу сил, равных по величине и направленных
в противоположные стороны. Пара сил более не может быть упрощена (не может быть заменена одной
силой) и представляет собой новую силовую характеристику механического взаимодействия.

Момент пары сил на плоскости (теорема о моменте пары сил) – не зависит от выбора центра
приведения (полюса) и равен произведению модуля любой из сил пары на плечо пары, взятым со
знаком + (плюс), если вращение плоскости под действием пары сил происходит против часовой
стрелки, и со знаком – (минус) в противном случае.
Плечо пары сил – длина перпендикуляра, опущенного из любой точки на линии действия одной из
сил пары на линию действия другой силы этой пары.
В независимости момента пары от выбора полюса можно убедиться вычислением суммы моментов
от каждой из сил относительно любого центра.
M A ( F , F ) F (a b) F a Fb Fd
F F
F
b
d
a
A
F
M A ( F , F ) F h
Теоремы о парах: (Теоремы приводятся без доказательств. Подробные доказательства с графической анимацией см.
демонстрационную программу автора по теории пар “Теория пар” на сайте МИИТа. Посмотреть… )
О переносе пары сил в плоскости ее действия – Пару сил можно перенести в любое место в плоскости ее действия.
Кинематическое состояние тела не изменится.
Об эквивалентности пар сил – Пару сил можно заменить другой парой сил, если их моменты алгебраически равны. Кинематическое
состояние тела не изменится.
M ( F1 , F1 ) F1d1 , M ( F2 , F2 ) F2 d 2 ;
M A (F ) F h
A
F1d1 F2 d 2 ( F1 , F1 ) ( F2 , F2 )
О сложении пар сил на плоскости – Систему пар сил на плоскости можно заменить одной парой, момент которой равен
алгебраической сумме моментов исходных пар. Кинематическое состояние тела не изменится.
Условие равновесия системы пар сил M Mi 0
7

2. Лекция 3 (продолжение – 3.3)

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей – Если система сил имеет равнодействующую, то момент этой
равнодействующей относительно любого центра равен алгебраической сумме моментов сил системы относительно того же центра.
Доказательство: Пусть система сил F1, F2, F3 … приводится к равнодействующей,
приложенной в точке O.
F3
F2
Такая система не находится в равновесии (R ≠ 0). Уравновесим эту систему силой R’, равной
равнодействующей R, направленной по линии ее действия в противоположную сторону
(аксиома о двух силах).
R
O
R
Таким образом, система исходных сил F1, F2, F3 … и уравновешивающей силы R’ находится
в равновесии и должна удовлетворять уравнениям равновесия, например:
M iA M A (R ) 0
R R
A
Поскольку сила R’, равна равнодействующей R и направлена по линии ее действия
в противоположную сторону, то MA(R’) = — MA(R). Подстановка этого равенства в уравнение
равновесия дает:
M iA M A (R) 0 или M A ( R) M iA
F1
Примеры использования теоремы о моменте равнодействующей:
1. Определение момента силы относительно точки, когда сложно вычислять плечо силы. Например:
F2
F
F1
b
a
A
Силу F разложим на составляющие F1 и F2. Тогда момент силы F относительно точки A
можно вычислить как сумму моментов каждой из сил относительно этой точки:
M A ( F ) F1b F2 a ( F cos )b ( F sin )a
2. Доказательство необходимости ограничений для II и III форм уравнений равновесия:
Если
M 0 , то система приводится к равнодействующей, при этом она проходит через
h
Если при этом
iA
точку A, т.к. ее момент относительное этой точки должен быть равен нулю (теорема Вариньона).
M iB 0
x
, то равнодействующая должна также проходить через точку B.
Тогда проекция равнодействующей на ось, перпендикулярную AB, и момент равнодействующей относительно

точки, лежащей на AB, будут тождественно равны нулю при любом значении равнодействующей.
R
A
С
B
9
Лекция 6
1.
2.
3.
Момент силы относительно центра в пространстве.
Момент силы относительно оси.
Момент пары сил в пространстве.
Момент силы относительно центра в пространстве – векторная величина, равная
M O (F ) r F
векторному произведению радиуса-вектора, проведенного из центра к точке приложения силы, и вектора силы.
По определению векторного произведения вектор момента силы направлен перпендикулярно плоскости, проведенной через центр и силу,
в ту сторону, откуда поворот радиуса-вектора к вектору силы на наименьший угол представляется происходящим по часовой стрелке.
Модуль вектора момента силы относительно центра равен:
M O (F )
M O ( F ) rF sin( r , F ) Fh
A
Модуль вектора момента силы относительно центра численно равен удвоенной площади
треугольника OAB.
Момент силы относительно оси – алгебраическая величина, равная
произведению проекции вектора силы на плоскость, перпендикулярную оси, на плечо
этой проекции относительно точки пересечения оси с плоскостью, взятая со знаком +
(плюс), если вращение плоскости под действием силы представляется при взгляде
навстречу оси происходящим против часовой стрелки, и со знаком – (минус)
M z ( F ) F1h2
в противном случае.
Момент силы относительно оси численно равен удвоенной площади
треугольника Oab.
Связь момента силы относительно центра и относительно оси.
Модуль вектора момента силы относительно центра, лежащего на оси z, равен удвоенной
площади треугольника OAB:
F
z
F1
b
M O ( F ) Fh 2S OAB
z
F
M z ( F ) F1h2 2S Oab
OAB
O
h2
A
Момент силы относительно оси z, равен удвоенной площади треугольника Oab:
Oab
M z (F )
a
Треугольник Oab получен проекцией треугольника OAB на плоскость, перпендикулярную
оси z, и его площадь связана с площадью треугольника OAB соотношением:
S
S
cos , где — двугранный угол между плоскостями треугольников.
O
h
F
B
r
h
B
b
Поскольку вектор момента силы относительно точки перпендикулярен плоскости
треугольника OAB, то угол между вектором и осью равен углу .
Таким образом, момент силы относительно оси есть проекция
M z ( F ) M 0 ( F ) cos
вектора момента силы относительно центра на эту ось:
F
M z (F )
a
h2
O
M O (F )
18
Лекция 6 (продолжение – 6.2)
Момент пары сил в пространстве – вектор, перпендикулярный плоскости действия пары, направленный
в ту сторону, откуда вращение плоскости под действием пары представляется происходящим против часовой стрелки.
Модуль вектора момента пары равен произведению одной из сил пары на плечо пары:
M Fd F d
M ( F , F )
F
d
Теоремы о парах: (Теоремы приводятся без доказательств. Подробные доказательства с графической анимацией см.
демонстрационную программу автора по теории пар “Теория пар” на сайте МИИТа. Посмотреть… )
О переносе пары сил в плоскость, параллельную плоскости ее действия – Пару сил можно перенести в любую плоскость,
параллельную плоскости ее действия. Кинематическое состояние тела не изменится.
Об эквивалентности пар сил – Пару сил можно заменить другой парой сил, если их моменты геометрически (векторно)
равны. Кинематическое состояние тела не изменится.
О сложении пар сил на плоскости – Систему пар сил на плоскости можно заменить одной парой, момент которой равен
геометрической (векторной) сумме моментов исходных пар. Кинематическое состояние тела не изменится.
Условие равновесия системы пар сил M Mi 0
F
Далее будем по-прежнему придерживаться общего плана исследования системы сил, последовательно решая три вопроса :
1. Как упростить систему?
2. Каков простейший вид системы?
3. Каковы условия равновесия системы?
Приведение плоской произвольной системы сил к заданному центру – выбираем произвольную точку на плоскости и каждую из сил
переносим по методу Пуансо в эту точку. Вместо исходной произвольной системы получим сходящуюся систему сил и систему пар.
В отличие от ранее рассмотренной плоской произвольной системы сил теперь при использовании метода Пуансо присоединенные пары
сил характеризуются векторами.
Сходящаяся система сил приводится к одной силе, приложенной в центре приведения.
F2
случае
сил
Система пар приводится к одной паре (теоремаВообщем
сложении
пар),произвольная
момент которойсистема
равен векторной
приводится
к
одной
силе,
называемой
главным
сумме моментов исходных сил относительно центра приведения.
вектором и к паре с моментом, равным главному
F1
моменту всех сил системы относительно центра
h h3
MO
приведения:
F3 1
F3
*
h4
R
F1
— главный вектор,
R * Fi
F2
F2
M M A M iA — главный момент.
F1
A
A
F3
19

Теорема о сумме моментов сил пары

Содержание:

Теорема о сумме моментов сил пары

• Сумма векторных моментов сил, составляющих пару для любой точки, не зависит от выбора точек и равна векторным моментам этой пары сил, то есть паре сил F pairF2. Мо + Мо Р2 = М П1, П2 3. Где 0 любая точка рис. 30. Докажите эту теорему, вычисляя левую часть уравнения 3: M0 F1 + M0 F2 = r1 xFl + r2xF2 = r2 rl xF2 Р2 Р АБ. Это зависит от выбора точки O.

Давайте выясним, какие кривые C соединяют эти две точки, чтобы тяжелая материальная точка начиналась из точки A без начальной скорости. Людмила Фирмаль

Для этого Л О А + A7o Г2 = JavxP2. Он совпадает с векторным моментом силовой пары A по формуле 2. Таким образом, M0 + 0 2 =. Уравнение 3 возвращает точки A и B для точки O. 4 То есть векторный момент 1 набора сил равен векторному моменту 1 набора сил относительно точки действия другого набора сил. Эта теорема важна при решении задачи, когда необходимо вычислить сумму моментов парных сил в терминах любой точки.

• Для этого достаточно взять 2 силовых момента. Это относится к любой точке. В качестве частного случая, если точка момента O выбирается в терминах действия сил пары, то выполняется теорема о сумме алгебраических моментов сил пары. Поэтому он не зависит от выбора момента точки. Единица Измерения + L 0 T2 = L L, P2. 5. Если вы выберете точки A и B на данный момент на линии действия силы пары, вы получите: Л почтовый индекс dg2 = л в Г1 = л Г1, Р2 6. 

После того как Ньютон сформулировал основные законы классической механики, их применение к несвободным твердым и механическим системам стало затруднительным до тех пор, пока не были сформулированы аксиомы связи. Людмила Фирмаль

То есть, алгебраический момент пары сил равен одному из алгебраических моментов сил пары относительно точки, расположенной на линии действия другой силы этой пары.

Смотрите также:

Теоретическая механика — задачи с решением и примерами

Если вам потребуется заказать теоретическую механику вы всегда можете написать мне в whatsapp.

Момент силы относительно центра. Пара сил

Механика Момент силы относительно центра. Пара сил

просмотров — 346

5.1 Момент силы относительно центра (или точки)

Введем важное понятие о моменте силы относительно точки. Точку, относительно которой берется момент, называют центром момента, а момент силы относительно этой точки – моментом относительно центра.

В случае если под действием приложенной силы тело может вращаться вокруг некоторой закрепленной точки, то момент силы относительно этой точки будет характеризовать вращательный эффект силы. Вращательное действие силы на тело будет зависеть от модуля силы, расстояния линии действия силы до точки закрепления и от направления вращения в этой плоскости.

Так, к примеру, если к телу, закрепленному неподвижно в точке О (рисунок 5.1), приложена в точке A₁ сила , то тело будет вращаться вокруг оси OZ₁, перпендикулярно плоскости треугольника OA₁B₁, в направлении, указанном на рисунке. В случае если к этому же телу приложена сила в точке A₂, то тело будет вращаться вокруг оси OZ₂, перпендикулярно к плоскости треугольника OA₂B₂.

Мерой вращательного действия силы на тело с закрепленной точкой является момент силы относительно точки.

Алгебраическая величина момента силы относительно точки, определяется произведением модуля силы на ее плечо.

Рассмотрим силу F, приложенную в точке А (рисунок 5.2). Из некоторого центра О опустим перпендикуляр на линию действия силы ; длину h этого перпендикуляра называют плечом силы относительно центра О.

Рисунок 5.2

Момент силы относительно центра О определяется:

1) модулем момента͵ равным произведению F·h;

2) положением в пространстве плоскости ОАВ («плоскости поворота»), проходящей через центр О и силу ;

3) направлением поворота в этой плоскости.

Из геометрии известно, что положение плоскости в пространстве определяется направлением нормали «n» (перпендикуляра) к этой плоскости. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, момент силы относительно центра характеризуется не только его числовым значением, но и направлением в пространстве, ᴛ.ᴇ. является величиной векторной.

Моментом силы F относительно центра О принято называть приложенный в центре О вектор , модуль которого равен произведению модуля силы на ее плечо h и который направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и силу, в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки (рисунок 5.3).

Согласно этому определœению

(5.1)

Этот результат следует из того, что пл. Δ ОАВ= АВ·h/2=Fh/2. Измеряется момент силы в Ньютон-метрах (Нм). Выведем формулу, для вектора-момента силы относительно точки О. Для этого рассмотрим векторное произведение векторов и (рисунок 5.3). Как известно из векторной алгебры, это будет вектор, перпендикулярный к плоскости, в которой расположены векторы и , и направленный в такую сторону, чтобы с его конца видеть поворот от к кратчайшим путем против хода часовой стрелки. Модуль этого вектора или .

По этой причине

или , (5.2)

где – радиус-вектор точки А, проведенный из центра О.

Таким образом, вектор-момент силы относительно точки равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы на вектор силы.

Обозначая алгебраическое значение момента силы относительно точки О через , будет иметь

(5.3)

Из формулы (5.3) следует, момент силы относительно точки, лежащей на линии действия этой силы, равен нулю (т.к. h=0).

Пример.

Вычислить моменты сил , относительно точки O.

Решение

Вектор направлен перпендикулярно плоскости OAEN, ᴛ.ᴇ. по прямой OL. , т.к. линия действия силы проходит через точку O.

Векторы и перпендикулярны к плоскости ОВDN, но направлены в противоположные стороны. Вектор перпендикулярен к плоскости ОАВL и направлен по прямой ON.

5.2 Пара сил. Момент пары сил

Парой сил принято называть система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на абсолютно твердое тело (рисунок 5.3, а).

а) б)

Рисунок 5.3

Система сил , , образующих пару, не находится в равновесии (эти силы не направлены вдоль одной прямой). В то же время пара сил не имеет равнодействующей, т.к. равнодействующая любой системы сил равна ее главному вектору , ᴛ.ᴇ. сумме этих сил, но для пары сил , в связи с этим свойства пары сил, как особой меры механического взаимодействия тел, рассмотрим отдельно.

Плоскость, проходящая через линии действия пары сил принято называть плоскостью действия пары. Расстояние d между линиями действия сил пары принято называть плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к вращательному эффекту, который характеризуется величиной, называемой моментом пары. Этот момент определяется:

1) Его модулем, равным произведению F·d;

2) положением в пространстве плоскости действия пары;

3) направлением поворота пары в этой плоскости.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, как и момент силы относительно центра, это величина векторная. По этой причине моментом пары сил принято называть вектор (или ), модуль которого равен произведению модуля одной из сил пары на ее плечо и который направлен перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (рисунок 5.3, б).

Следует отметить, что так как плечо силы относительно точки А равно d (рисунок 5.3, а), а плоскость, проходящая через точку А и силу , совпадает с плоскостью действия пары, то одновременно .

В отличие от момента силы может быть приложен в любой точке (такой вектор принято называть свободным). Измеряется момент пары, как и момент силы, в Н·м.

Покажем, что моменту пары можно дать другое выражение: момент пары равен сумме моментов относительно любого центра О сил, образующих пару, ᴛ.ᴇ.

(5.4)

Для доказательства проведем из произвольной точки О (рисунок 5.4) радиусы-векторы и .

Тогда согласно формуле (5.2), учитывая, что , получим ;

и, следовательно,

Так как , то справедливость (5.4) доказана. Отсюда следует, что или (5.5)

ᴛ.ᴇ. момент пары равен моменту одной из ее сил относительно точки приложения другой силы. Отметим еще, что модуль момента пары

(5.5^/)

Так как действие пары сил на твердое тело определяется значением суммы моментов сил пары относительно любого центра О, то из формулы (5.4) следует, что две пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны, ᴛ.ᴇ. оказывают на тело одинаковое механическое действие. Это означает, что две пары сил, независимо от того, где каждая из них расположена в данной плоскости (или в параллельных плоскостях) и чему равны в отдельности модули их сил и их плечи, если моменты имеют одно и то же значение , будут эквивалентны. Так как выбор центра О произволен, то вектор можно считать приложенным в любой точке, ᴛ.ᴇ. это свободный вектор.

В дальнейшем будем на чертеже вместо пары изображать полностью ее характеризующий вектор . При этом модуль определяет модуль момента пары [формула (5.5)], а направление определяет плоскость действия пары и направление поворота в этой плоскости.

Из формулы (5.4) следует, еще, что если на тело действует несколько пар с моментами ; …. , то сумма моментов всœех сил, образующих эти пары относительно любого центра будет равна + +…+ , а следовательно, вся совокупность этих пар эквивалентна одной паре с моментом

(5.6)

Этот результат выражает теорему о сложении пар.

Из формулы (5.6) следует, при равновесии системы пар, действующих на твердое тело, должно быть

или (5.6^/)

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, отметим следующие свойства пар сил:

1) Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.

2) Пару сил, не изменяя ее действия на твердое тело, можно переносить в любое место в плоскости ее действия, поворачивать ее плечо на любой угол, не изменяя величины ее момента и направления вращения.

3) Пары сил в пространстве эквивалентны, если их моменты геометрически равны.

4) Не изменяя действия пары сил на твердое тело, пару сил можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости ее действия, а также изменять ее силы и плечо, сохраняя неизменным модуль и направление ее момента. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, вектор-момент пары можно переносить в любую точку, ᴛ.ᴇ. вектор-момент пары сил является свободным вектором.

5) Геометрическая сумма моментов составляющих пар равна моменту эквивалентной им пары сил:

или

(5.7)

6) Пары сил, произвольно расположенные в пространстве, взаимно уравновешиваются в том случае, если геометрическая сумма их моментов равна нулю, ᴛ.ᴇ. условие равновесия пар сил в пространстве имеет вид:

(5.8)

7) Момент пары сил эквивалентной системе пар сил на плоскости, равен алгебраической сумме моментов составляющих пар:

(5.9)

8) Пары сил, расположенные в одной плоскости, взаимно уравновешиваются, если алгебраическая сумма их моментов равна нулю.

(5.10)

Т.е. выражение 5.10 является условием равновесия пар сил на плоскости, а (5.8) – в пространстве.

Вопросы для самоконтроля

Момент силы относительно точки

1. Что принято называть моментом силы относительно точки?

2. Как направлен вектор момента силы относительно точки?

3. Запишите формулу, по которой определяется алгебраический момент силы относительно точки.

4. Какой площадью можно определить числовое значение момента силы относительно заданной точки?

5. Изменится ли момент силы относительно данной точки при переносœе силы вдоль линии ее действия?

6. В каком случае момент силы относительно данной точки равен нулю?

7. Определите геометрическое место точек пространства, относительно которых моменты данной силы:

a. геометрически равны;

b. равны по модулю.

8. Определите момент силы относительно точки O, если F=200H; OA=0.5м (рисунок 5.5).

Рисунок 5.5

9. Определить моменты сил и относительно координатных осœей, если КН, КН, ОА = 0,4 м; ОВ = 0,6 м; ОС = 0,3 м (рисунок 5.5).

Вся статика — теоретическая механика

Определение и роль статики в теоретической механике

Статика

– это раздел теоретической механики, в котором изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил, а также методы преобразования сил в эквивалентные системы.

Основной задачей статики является установление законов преобразования системы сил в эквивалентные системы. Методы статики применяются не только при изучении тел, находящихся в равновесии, но и в динамике твердого тела, при преобразовании сил в более простые эквивалентные системы.

Под состоянием равновесия, в статике, понимается состояние, при котором все части механической системы покоятся относительно некоторой инерциальной системы координат. Одним из базовых объектов статики являются силы и точки их приложения.

Понятие силы

Сила

, действующая на материальную точку с радиус-вектором со стороны других точек – это мера воздействия других точек на рассматриваемую точку, в результате которой она получает ускорение относительно инерциальной системы отсчета. Величина силы определяется по формуле:
,
где m – масса точки – величина, зависящая от свойств самой точки. Эта формула называется вторым законом Ньютона.

Подробнее, см. «Силы в теоретической механике».

Единицей измерения силы является один Ньютон:
.
В технике широко используется килоньютон:
.

Как следует из определения, сила – это векторная величина, которая, в трехмерном пространстве, имеет три проекции на оси координат. Также задать силу можно с помощью абсолютной величины (модуля) и направления. Для материальной точки, сила приложена к самой точке. Но если мы рассматриваем твердое тело, то кроме вектора силы нам нужно еще указать и точку ее приложения. Таким образом, действие силы на твердое тело характеризуется вектором силы и точкой ее приложения. Если выбрать систему отсчета, то действие силы на твердое тело определяется двумя векторами. Это вектор силы, и вектор, проведенный из начала системы отсчета в точку приложения силы.

Система сил,

действующих на тело – это совокупность векторов сил, приложенных к телу, и точек их приложения.

Эквивалентные системы сил

Две системы сил являются эквивалентными, если законы движения любых точек твердого тела совпадают при действии любой из этих систем.

Эквивалентное преобразование системы сил

– это переход от одной системы сил к эквивалентной ей системе.

Система взаимно уравновешивающихся сил

– это система сил, не меняющая уравнений движения или уравнений равновесия твердого тела. То есть это система, эквивалентная отсутствию сил.

Равнодействующая

– это одна сила, действие которой эквивалентно действию данной системы сил.

Закрепленные, скользящие и свободные векторы

Поскольку действие силы на твердое тело определяется двумя векторами, то часто под силой подразумевают множество, состоящее из двух векторов – вектора силы, и вектора точки ее приложения относительно выбранной системы координат. Такие множества подразделяются на три класса, для которых вводят специальные термины.

Закрепленный вектор

– это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два закрепленных вектора считаются равными только в том случае, если равны их образующие векторы и совпадают точки приложения. Закрепленный вектор также называют связанным или фиксированным вектором.

Скользящий вектор

– это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения, обладающее тем свойством, что точку приложения можно перемещать вдоль прямой, параллельно образующему вектору. То есть два скользящих вектора считаются равными, если равны образующие векторы и точки их приложения расположены на одной прямой, параллельной образующему вектору.

Свободный вектор

– это множество, состоящее из образующего вектора и точки его приложения. Два свободных вектора считаются равными, если равны образующие векторы, не зависимо от точек приложения.

Линия действия силы

– это прямая, проведенная через точку приложения силы параллельно ее направлению.

Если мы рассматриваем упругое тело, то сила – это закрепленный вектор. Деформации зависят не только от величин и направлений сил, но и от точек их приложения. Если мы рассматриваем движение или равновесие абсолютно твердого тела, то действующая сила является скользящим вектором. Перемещение ее точки приложения вдоль линии ее действия не меняет уравнений движения или уравнений равновесия. Угловая скорость вращения абсолютно твердого тела является свободным вектором. Она характеризует движение в целом, и ее значение одинаково во всех точках тела.

С математической точки зрения, статика – это алгебра скользящих векторов.

Проекции силы на оси координат

Сила в трехмерном пространстве

Вектор силы и ее проекции на оси пространственной системы координат.

Пусть у нас есть декартова система координат Oxyz. И пусть – единичные векторы, направленные вдоль ее осей , и , соответственно. Пусть – проекции вектора силы на оси координат. Тогда разложение силы на составляющие вдоль координатных осей имеет вид:
.
Абсолютное значение (модуль) силы:
.

Введем единичный вектор , направленный вдоль вектора силы . Тогда
.
Эта формула выражает тот факт, что вектор силы можно задать, указав ее модуль F и направление . Вектор имеет три проекции на оси координат: . Поскольку его длина равна единице: , то они связаны соотношением:
.
То есть единичный вектор имеет только две независимые компоненты. Таким образом, для задания вектора силы нужно знать три величины:
либо три проекции на оси координат ;
либо модуль F и направление , которое задается двумя независимыми величинами.

Введем углы между вектором силы и осями координат , и . Тогда проекции силы на оси координат определяются по формулам:
;
.
Косинусы углов называются направляющими косинусами.

Направляющие косинусы

вектора – это косинусы углов между вектором и осями координат. Они являются проекциями единичного вектора , сонаправленного с :
,
и связаны соотношением:
.

Сила на плоскости

Вектор силы и ее проекции на оси плоской системы координат.

Результаты, приведенные выше, можно применить и для плоской декартовой системы координат Oxy. В этом случае имеем:
;
;
;
;
;
;
.
Поскольку , то   . Последнее уравнение представляет собой известную тригонометрическую формулу:
.
Для задания вектора силы , необходимо знать две независимые величины:
либо проекции вектора на оси координат ;
либо модуль F и направление , которое задается одним углом .

Аксиомы статики

Часть аксиом являются основными законами механики. Другая часть относится к законам преобразования сил, действующих на абсолютно твердое тело, и применяется только к задачам теоретической механики. По своей сути, они выражают собой тот факт, что действие силы на тело является скользящим вектором.

1. Аксиома инерции (закон инерции Галилея)
Существуют такие системы отсчета, в которых любая материальная точка, не взаимодействующая с другими телами и точками, движется прямолинейно и равномерно. В частности, если тело покоилось в определенный момент времени, то оно будет покоиться и в последующие моменты.

Такие системы отсчета называются инерциальными. В механике, если это особо не оговорено, под системой отсчета подразумевается именно инерциальная система отсчета. Аксиому инерции иногда формулируют так.

1′. Аксиома инерции
В инерциальной системе отсчета, под действием взаимно уравновешивающихся сил, материальная точка находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно, а первоначально покоившееся тело продолжает покоиться и в последующие моменты времени.

2. Аксиома равновесия двух сил
Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, являются уравновешенными тогда и только тогда, когда они равны по модулю, направлены в противоположные стороны и их линии действия совпадают.

3. Аксиома присоединения и исключения уравновешивающихся сил
Кинематическое состояние твердого тела не изменится, если к действующей на него системе сил прибавить или отнять уравновешенную систему сил.

То есть, прибавляя или исключая уравновешенную систему сил, мы получаем эквивалентную систему сил.

Следствие аксиом 2 и 3
Действие силы на твердое тело не изменится, если точку приложения силы перенести вдоль ее линии действия. То есть сила, приложенная к твердому телу, является скользящим вектором. Доказательство

4. Аксиома параллелограмма сил
Две силы, приложенные к телу в одной точке, можно заменить их равнодействующей силой, равной векторной сумме этих сил и приложенной к той же точке.
Верно и обратное. Любую силу можно разложить на две (и более) силы по правилу векторной суммы (по правилу параллелограмма), приложенных в той же точке, что и исходная сила.

То есть, если силы и приложены в одной точке, то их можно заменить равнодействующей , приложенной к той же точке. Сумму векторов можно найти двумя способами.
1) Можно вычислить проекции сил на оси прямоугольной системы координат:
.

Сложение сил по правилу параллелограмма

2) Можно сложить векторы по правилу параллелограмма (см. рисунок).
;
.
Здесь – угол между векторами и . Точкой обозначено скалярное произведение векторов.

5. Аксиома равенства действия и противодействия (3-й закон Ньютона)
Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

То есть если мы возьмем все силы, действующие на тело 2 со стороны тела 1, и объединим их с силами, действующими на тело 1 со стороны тела 2, то получим уравновешенную систему сил.

6. Принцип отвердевания
Если деформируемое тело находится в равновесии, то его равновесие не нарушится, если тело считать абсолютно твердым.

Подробнее, см. «Аксиомы статики».

Система сходящихся сил

Сходящиеся силы

– это силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

Система сходящихся сил всегда имеет равнодействующую , равную векторной сумме этих сил:
,
и приложена в точке их пересечения.

Таким образом, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на оси координат:
;
.

Условия равновесия системы сходящихся сил
Если тело или система тел, на которые действует сходящаяся система сил, находится в покое, то равнодействующая этих сил равна нулю:
.
Это дает три уравнения равновесия:
.

Теорема о трех непараллельных силах
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех сил, линии действия двух из которых пересекаются в одной точке, то все силы лежат в одной плоскости и являются сходящимися.

Следствие
Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то эти силы являются сходящимися.

Параллельные силы

Ранее мы отмечали, что система сходящихся сил имеет равнодействующую. То есть такую систему можно заменить одной силой. Приведем еще важные примеры систем сил, имеющих равнодействующую.

Две силы одного направления

Две параллельные силы F₁ и F₂ имеют равнодействующую R.

Пусть мы имеем две однонаправленные параллельные силы и . Переместим точки их приложения вдоль линий их действия в точки A и B так, чтобы отрезок AB был перпендикулярен силам. Тогда система сил и имеют равнодействующую , приложенную в точке C. Направление равнодействующей совпадает с направлениями и . Абсолютная величина равна сумме сил:
.
Точка приложения C находится между A и B и делит отрезок AB обратно пропорционально модулям сил:
.

Две противоположно направленные силы

Две не равные противоположно направленные силы F₁ и F₂ имеют равнодействующую R.

Теперь рассмотрим противоположно направленные силы и , различающиеся по величине, . Пусть . Эта система также имеет равнодействующую , направление которой совпадает с направлением большей по модулю силы, а абсолютное значение равно абсолютному значению разности модулей сил:
.
Точка приложения C равнодействующей находится на продолжении отрезка AB, ближе к наибольшей по модулю силе . Расстояния до точек A и B также обратно пропорциональны и :
.

Момент силы относительно точки

Определение

Моментом силы

, приложенной к телу в точке A, относительно точки O, называется вектор , равный векторному произведению векторов и :
(2)   .

Плечом силы

относительно точки O, называется кратчайшее расстояние между линией действия этой силы и точкой O. Другими словами, плечо силы – это длина перпендикуляра, опущенного из точки O на линию действия силы.

Абсолютное значение момента силы относительно точки O равно произведению силы на плечо этой силы относительно выбранной точки O. Направление момента перпендикулярно плоскости, проходящей через точку O и линию действия силы.
Доказательство

Геометрическая интерпретация

Момент силы равен произведению силы F на плечо OH.

Пусть векторы  и  расположены в плоскости рисунка. Согласно свойству векторного произведения, вектор перпендикулярен векторам  и  , то есть перпендикулярен плоскости рисунка. Его направление определяется правилом правого винта. На рисунке вектор момента направлен на нас. Пусть α – угол между векторами и . Абсолютное значение момента:
.

Из точки O проведем перпендикуляр OH к линии действия силы . Из прямоугольника OAH имеем: . Тогда
.
То есть абсолютное значение момента силы относительно точки O равно произведению силы F на плечо |OH| этой силы относительно точки O.

Компоненты момента силы в декартовой системе координат

Выберем декартову систему координат Oxyz с началом в точке O. Найдем компоненты вектора момента силы в этой системе координат относительно ее начала.

.
Здесь – единичные векторы в направлении осей ; – координаты точки A в выбранной системе координат: .

Таким образом, момент силы имеет следующие компоненты:
(М.1)   ;
(М.2)   ;
(М.3)   .
Компоненты представляют собой значения момента силы относительно осей , соответственно.

Свойства момента силы относительно центра

Момент относительно центра O, от силы, проходящей через этот центр, равен нулю.
Доказательство

Если точку приложения силы переместить вдоль линии, проходящей через вектор силы, то момент, при таком перемещении, не изменится.
Доказательство

Момент от векторной суммы сил, приложенных к одной точке тела, равен векторной сумме моментов от каждой из сил, приложенных к этой же точке:
.
Доказательство

То же самое относится и к силам, чьи линии продолжения пересекаются в одной точке.

Если векторная сумма сил равна нулю:
,
то сумма моментов от этих сил не зависит от положения центра, относительно которого вычисляются моменты:
.
Доказательство

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей
Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любой точки равен векторной сумме моментов сил системы относительно той же точки.

Пара сил

Из предыдущих формул ⇑ видно, что если противоположно направленные силы имеют равные модули: , то система сил не имеет равнодействующей. Действительно, в этом случае . Пытаясь использовать предыдущие формулы, мы получим деление на нуль. Такую систему сил называют парой сил.

Пара сил

– это система из двух сил , равных по абсолютной величине, имеющих противоположные направления, приложенных к разным точкам тела и не лежащих на одной прямой.

Плечо пары сил

– это кратчайшее расстояние h между линиями действия сил, входящих в пару.

Момент пары сил

– это векторная сумма моментов сил, входящих в пару, вычисленная относительно любой точки. Абсолютное значение момента пары равно произведению силы на плечо пары:
.

Теорема о независимости выбора центра при вычислении момента пары
Векторная сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от выбора точки, относительно которой вычисляются моменты.
Теорема об эквивалентности пар
Две пары, имеющие равные векторы моментов, эквивалентны. То есть у пары можно менять модуль силы и длину плеча, оставляя неизменным ее момент.
Теорема о возможности перемещения пары
Пару сил можно переносить в любом направлении. Другими словами, если пару сил переместить параллельным переносом в любое положение, то она будет эквивалентна исходной паре.
Теорема о сложении нескольких пар
Система нескольких пар сил эквивалентна одной паре, вектор момента которой равен векторной сумме моментов исходных пар.
Условие равновесия пар
Система, состоящая только из нескольких пар, является уравновешенной, если векторная сумма моментов пар равна нулю:
.

Момент силы относительно оси

Часто встречаются случаи, когда нам нужно знать не все компоненты момента силы относительно выбранной точки, а только проекцию момента на выбранное направление.

Момент силы относительно оси,

проходящей через точку O – это проекция вектора момента силы относительно точки O, на направление оси.

Свойства момента силы относительно оси

Момент относительно оси от силы, линия действия которой проходит через эту ось, равен нулю.
Доказательство

Момент относительно оси от силы, параллельной этой оси равен нулю.
Доказательство

Вычисление момента силы относительно оси

Момент силы относительно оси.

Пусть на тело, в точке A действует сила . Найдем момент этой силы относительно оси O′O′′.

Построим прямоугольную систему координат. Направим ось z вдоль O′O′′. Из точки A опустим перпендикуляр AO на O′O′′. Через точки O и A проводим ось Ox. Перпендикулярно Ox и Oz проводим ось Oy. Разложим силу на составляющие вдоль осей системы координат:
.
Сила пересекает ось O′O′′. Поэтому ее момент равен нулю. Сила параллельна оси O′O′′. Поэтому ее момент также равен нулю. По формуле (М.3) находим:
.

Заметим, что компонента направлена по касательной к окружности, центром которой является точка O. Направление вектора определяется правилом правого винта.

Условия равновесия

Главный вектор и главный момент

Главный вектор

– это векторная сумма всех сил, приложенных к телу.

Главный момент

относительно данного центра – это векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно выбранного центра.

Подчеркнем, что величина главного момента зависит от выбора центра, относительно которого вычисляются моменты.

Пространственная система сил

Основная форма условий равновесия

Условия равновесия системы сил
Для того, чтобы твердое тело под действием произвольной системы сил находилось в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент, относительно произвольной точки C, равнялись нулю:
;
.
Здесь – точка приложения силы , .
Доказательство

Это основная форма условий равновесия. Точка C может, как принадлежать телу, так и находится за его пределами. Обычно центр C выбирают так, чтобы сделать вычисления более простыми. Спроектировав каждое из этих векторных уравнений на три направления, получим шесть уравнений, из которых можно определить шесть неизвестных величин.

Вторая форма условий равновесия

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и равнялась нулю, и чтобы сумма проекций сил на произвольное направление, не перпендикулярное направлению , равнялась нулю:
;
;
.
Доказательство

Третья форма условий равновесия

Для равновесия твердого тела необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов внешних сил, действующих на тело, относительно произвольным образом выбранных точек и , не лежащих на одной прямой, равнялась нулю:
;
;
;
.
Доказательство

Плоская система сил

Плоская система сил

– это система сил, расположенных в одной плоскости. То есть точки приложения всех сил расположены в одной плоскости, а направления сил параллельны этой плоскости.

Все изложенное для пространственной системы сил является применимым и для плоской системы. Направим оси x и y декартовой системы координат в плоскости действия сил, а ось z – перпендикулярно. Тогда z компоненты координат точек и сил равны нулю: . Также равны нулю x, y компоненты моментов сил относительно произвольной точки C: . То есть момент может иметь отличное от нуля значение только для z компоненты. Поскольку z компонента не входит в плоскую систему координат xy, то, в двумерном пространстве, момент силы уже не является вектором, а является скаляром (точнее псевдоскаляром). Его называют алгебраическим моментом силы относительно центра C (или просто моментом силы относительно центра C), и обозначают символом с маленькой буквы без знака вектора:
.

Величина является моментом силы относительно оси, проходящей через точку C перпендикулярно плоскости действия сил. Момент вычисляют как произведение модуля силы на плечо со знаком плюс или минус:
.
Если, при неподвижном центре C, сила стремится повернуть систему против часовой стрелки, то момент положителен . В противном случае – отрицательный: .

Величину момента от силы , приложенной в точке A, относительно центра C, также можно выразить через компоненты векторов по формуле:
,
где и – координаты точек A и C, соответственно.

Условия равновесия плоского тела

Для плоской системы сил можно составить три уравнения, из которых можно определить три неизвестных величины. Считаем, что сила приложена в точке .

Основная форма условий равновесия
;
;
.

Вторая форма условий равновесия
;
;
.

Третья форма условий равновесия
;
;
;
.

Связи и их реакции

Определения и свойства

Свободное тело

Тело называется свободным, если его перемещения ничем не ограничены.

Несвободное тело

Тело, перемещение которого ограничено другими телами, называется несвободным.

Связи

Тела, ограничивающие перемещения данного тела, называются связями.

Реакции связей

Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей.

Принцип освобождаемости
Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить их реакциями, приложенными к телу.

Основные типы связей и их реакции

Плоские и пространственные задачи

Две гладкие не острые поверхности. Через точку соприкосновения проводим касательную плоскость к этим поверхностям. Реакция является силой, направленной перпендикулярно этой плоскости, то есть, направлена по нормали к обеим поверхностям в точке их соприкосновения.

Одна из гладких поверхностей является острием. Реакция является силой, направленной вдоль нормали не острой поверхности в точке соприкосновения.

Две шероховатые поверхности. То же самое, что и для гладких поверхностей, только в точке соприкосновения добавляем силу трения, лежащую в плоскости касания.

Невесомая нить и стержень. Реакция направлена вдоль нити или стержня. При этом на нить всегда действует сила растяжения. На стержень может действовать как растягивающая, так и сжимающая сила.

Плоские задачи

Следующие связи применяют только в плоских задачах.

Неподвижный шарнир. Реакция является силой, проходящей через ось шарнира. Обычно ее раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.

Подвижный шарнир, или опора на катках. Реакция является силой, которая проходит через ось шарнира перпендикулярно опорной поверхности.

Заделка. Реакция состоит из силы, проходящей через точку соединения и момента относительно оси, проходящей через точку соединения перпендикулярно плоскости фигуры. Силу обычно раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.

Пространственные задачи

Цилиндрический шарнир или петля. Реакция является силой, проходящей через ось шарнира, перпендикулярно направлению оси. Обычно ее раскладывают на две составляющие параллельно осям координат.

Сферический подшипник или подпятник. Реакция является силой, проходящей через центр подшипника. Обычно ее раскладывают на три составляющие параллельно осям координат.

Заделка. Реакция состоит из силы, проходящей через точку соединения и момента относительно этой точки. Силу и момент обычно раскладывают на три составляющие параллельно осям координат.

Силы трения

Сила трения

Пусть два тела находятся в соприкосновении. Сила трения – это сила, параллельная плоскости соприкосновения тел, которая возникает между телами при попытке сместить одно тело относительно другого, препятствующая их относительному смещению.

Трение скольжения

Сила трения скольжения F_тр = f·N.

Рассмотрим тело, которое скользит по поверхности другого тела с отличной от нуля скоростью v под действием внешней силы . Если поверхности абсолютно гладкие, то в точках соприкосновения тел возникает только сила давления N, перпендикулярная плоскости соприкосновения тел. Для шероховатых поверхностей, возникает еще сила трения , параллельная плоскости соприкосновения, направленная в сторону, противоположную скорости движения. Величина силы трения пропорциональна силе давления и не зависит от площади соприкосновения поверхностей:
(Т1)   .
Здесь f – безразмерный коэффициент, который называется динамическим коэффициентом трения, или коэффициентом трения скольжения. Он зависит от материалов и обработки соприкасаемых поверхностей и почти не зависит от скорости относительного движения. При расчетах его считают постоянной.

Сила трения скольжения

– это сила трения, приложенная к точкам соприкосновения движущихся тел и параллельная плоскости их соприкосновения. То есть это сила, препятствующая скольжению одного тела по поверхности другого. При расчетах, под силой трения скольжения понимают равнодействующую всех сил трения, возникающих в точках соприкосновения тел.

Закон Амонта – Кулона
Сила трения скольжения направлена параллельно плоскости соприкосновения тел в сторону, противоположную их движению, которое возникло бы при отсутствии трения. Она не зависит от площади соприкосновения поверхностей, а зависит от силы давления N одной поверхности на другую, перпендикулярную плоскости соприкосновения тел:
.

Трение сцепления

Сила трения сцепления. Движение возможно при tg φ > f₀.

Теперь рассмотрим статическую задачу. Пусть тело покоится, и на него действуют внешние силы с равнодействующей , приложенной под углом φ к нормали поверхности. Разложим ее на две составляющие: параллельную поверхности, и перпендикулярную . На тело также действуют сила реакции , перпендикулярная плоскости соприкосновения тел, и сила трения , которую при отсутствии скольжения называют силой сцепления. Сила сцепления направлена параллельно поверхности, препятствуя движению. Она может принимать значения от нуля до максимальной величины , определяемой аналогично (Т1):
(Т2)   .
Здесь – статический коэффициент трения, который еще называют коэффициентом сцепления. Он не может быть меньше динамического коэффициента трения: .

Если , тело покоится. При этом сила трения сцепления меньше максимальной величины: . При , возникает движение. Когда , сила трения достигает предельной величины, возникает состояние предельного равновесия. Дальнейшее увеличение приводит к потере равновесия.

Сила трения сцепления

– это сила трения скольжения, когда относительное перемещение соприкасающихся тел отсутствует.

Предельная сила трения

– это максимальное значение силы трения сцепления.

Предельное равновесие

– это состояние равновесия, при котором значение силы трения сцепления равно ее максимальному значению.

Из условий равновесия имеем: . Подставим в (Т2):
.
Отсюда получаем, что система будет находиться в равновесии, если
.
Видно, что условие равновесия зависит от угла φ, под которым приложена равнодействующая внешних сил, и не зависит от ее величины. Введем предельный угол трения: . Эту величину также называют просто углом трения. Тогда, условие равновесия можно записать так:
.
Это неравенство определяет конус в пространстве, который называется предельным конусом трения, конусом трения, или конусом сцепления. Если направление силы выходит за пределы этого конуса, то система начинает движение. Если направление силы попадает в конус сцепления, то система остается в состоянии покоя. Такое явление называется заклиниванием механизма.

Заклинивание механизма

– это явление в механике, при котором система остается в состоянии покоя при любом, сколь угодно большом увеличении модуля внешней силы.

Условие возникновения движения при наличии трения
Для того чтобы тело начало движение, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая внешних сил находилась вне конуса трения.

Трение качения

Силы, возникающие при деформации, препятствуют качению тела круглой формы по плоской поверхности.

Рассмотрим случай, когда одно из тел круглой формы катится без проскальзывания по поверхности другого. С точки зрения механики, такие тела соприкасаются в одной точке A. Площадь их соприкосновения бесконечно мала, в результате чего возникает бесконечно большое давление, которое не могут выдержать реальные материалы. Поэтому вблизи точки соприкосновения тел возникает деформация, которая имеет место только в небольшом участке соприкасающихся тел. В основной части тел, удаленных от точек соприкосновения, деформация практически отсутствует, и их можно рассматривать как абсолютно твердые тела. Тогда систему сил, возникающую в результате соприкосновения, можно привести к некоторой равнодействующей силе . При этом оказывается, что точка ее приложения смещена относительно оси симметрии катящегося тела. Это приводит к появлению момента сил относительно точки A, расположенной на оси симметрии круглого тела. Изучение деформированного состояния выходит за рамки теоретической механики. Поэтому мы приводим лишь результаты, применяемые в расчетах.

Расчетная схема трения качения.

1. Поскольку деформации, для небольших значений внешних сил малы, то, считают, что они не влияют на геометрические характеристики тел. То есть считают, что тела округлой формы соприкасаются в одной точке.
2. В точке соприкосновения, на тело действуют:
сила давления , перпендикулярная соприкасающимся поверхностям;
сила сцепления , лежащая в касательной плоскости, проходящей через точку соприкосновения поверхностей;
момент силы трения , препятствующий движению.
Максимальное значение момента силы трения определяется по формуле:
,
где δ – коэффициент трения качения, который имеет размерность длины.
3. Коэффициент трения качения зависит от соприкасающихся материалов и состояния их поверхностей. Он не зависит от кривизны поверхностей и угловой скорости вращения тела. А при движении с проскальзыванием, не зависит от скорости скольжения.

Центр тяжести тела

Центр тяжести в пространстве

Пусть тело состоит из n материальных точек. И пусть на каждую точку B_i действует сила тяжести , . Все силы тяжести, действующие на точки, параллельны. Поэтому мы имеем дело с параллельной системой сил. Как и для системы из двух однонаправленных сил, такая система сил имеет равнодействующую. Найдем ее.

Пусть – главный вектор. Поскольку все силы имеют одинаковое направление, то введем единичный вектор , направленный вдоль сил:
. Отсюда .

Найдем момент сил тяжести относительно произвольно расположенного центра O.
,
где
(ЦТ1)   .

Отсюда видно, что формула вычисления момента имеет вид формулы момента от одной силы , приложенной в точке C. Точка C, положение которой определяется формулой (ЦТ1), называется центром тяжести тела. Таким образом, равнодействующая отдельных сил тяжести точек тела равна главному вектору силы тяжести, приложенному в центре тяжести. Модуль P равнодействующей называют весом тела.

Если бы мы находили равнодействующую сил тяжести, выполняя эквивалентные преобразования сил, то мы бы нашли только линию действия равнодействующей. Далее, если повернуть тело на некоторый угол, то можно найти другую линию действия равнодействующей. При этом все, подобным образом построенные линии, пересекаются в одной точке, которая и является центром тяжести тела.

Центр тяжести твердого тела

– это точка, связанная с телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела, при любом положении тела в пространстве.

Вес тела

– это абсолютное значение равнодействующей сил тяжести частиц, составляющих тело.

Координаты центра тяжести определяются по формулам:
(ЦТ2)   .
Здесь – абсолютное значение равнодействующей сил тяжести, или вес тела. – координаты точек тела. Эти формулы также можно записать в векторном виде.
.
Центр тяжести C связан с телом. Однако его положение может находиться за его пределами. Например, при наличии полости.

В случае, когда силы имеют другое происхождение, но также имеют одинаковое направление, то мы имеем дело с системой параллельных сил. В этом случае, точка C называется центром параллельных сил.

Для сплошного однородного тела, мы от суммирования переходим к интегрированию. Элементарная сила тяжести выражается через плотность ρ_i элементарной частицы тела, массой , и занимающей объем :
.
Здесь g – ускорение свободного падения. Переходя от суммированию к интегрированию, имеем:
(ЦТ3)   .

Центр тяжести плоской фигуры

Рассмотрим плоскую фигуру. Выберем двумерную систему координат Oxy. Тогда положение центра тяжести определяется по тем же формулам (ЦТ2) и (ЦТ3), из которых нужно убрать переменную z.

Однородная фигура

Рассмотрим плоскую однородную фигуру. Для такой фигуры, плотность ρ является постоянной; сила тяжести Δp_i элементарной частицы пропорциональна площади ΔA_i этой частицы: Δp_i = ρΔA_ig. Вес P фигуры пропорционален площади A всей фигуры: P = ρAg.

Подставляя эти величины в формулы, определяющие положение центра тяжести находим:
.
Переходим от суммирования к интегрированию:
.
Мы видим, что сюда не входят плотность ρ и ускорение свободного падения g. Остались величины, зависящие только от геометрии сечения. Таким образом, для тела с постоянной плотностью, центр тяжести является геометрической характеристикой.

В этих формулах, y_C есть алгебраическое расстояние от центра тяжести до оси x; y_k или y – алгебраическое расстояние элементарного участка до той же оси. x_C, x_k и x – соответствующие алгебраические расстояния до оси y. В этой связи вводят новую геометрическую характеристику сечения, которую называют статическим моментом.

Статический момент относительно некоторой оси

– это сумма произведений элементарных площадей , входящих в состав фигуры, на алгебраические значения их расстояний до этой оси.

В рассматриваемом нами случае, статические моменты относительно осей x, y определяются по формулам:
.
Статические моменты широко используются при расчете конструкций. Для стандартных профилей, их значения указываются в соответствующих справочниках.

Центры тяжести простейших фигур

Параллелограмм, прямоугольник, квадрат: в точке пересечения диагоналей.
Треугольник: в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в соотношении 1:2.
Дуга окружности с центральным углом 2α: .
Круговой сектор: .

Теоремы, применяемые при расчете центра тяжести

Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Центр тяжести фигуры, составленной из n более простых фигур, определяется по формуле:
(ЦТ4)   .
Здесь – площадь всей фигуры; – площадь и координаты центра тяжести простой фигуры, входящей в состав сложной.

Способ отрицательных площадей (объемов)
Если k — я фигура вырезана из объемлющей ее части, то, в формуле (ЦТ4), соответствующая ей площадь считается отрицательной: .

Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести: . Площадь поверхности вращения A, полученной вращением плоской кривой L вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой L на длину окружности, описанной ее центром тяжести: .

Распределенная нагрузка

Равномерно (А) и линейно (Б) распределенная нагрузка.

Силу тяжести протяженных тел, на схемах, изображают в виде эпюр. Также встречаются подобные силе тяжести параллельные силы, приложенные не в определенных точках тела, а непрерывно распределенные по его поверхности или объему. Такие силы называют распределенными силами или распределенными нагрузками.

Равномерно распределенная нагрузка q (рисунок А). Ее можно заменить равнодействующей силой величины , приложенной в центре тяжести эпюры. Поскольку, на рисунке А, эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в центре основания эпюры – в точке C: |AC| = |CB|.

Линейно распределенная нагрузка q (рисунок В). Ее также можно заменить равнодействующей. Величина равнодействующей равна площади эпюры:
.
Точка приложения находится в центре тяжести эпюры. Центр тяжести треугольника, высотой h, находится на расстоянии от основания. Поэтому .

Приведение системы сил к центру

Теорема о параллельном переносе силы (лемма Пуансо)
Сила, действующая на данное тело, эквивалентна силе, полученной параллельным переносом исходной силы в любую точку тела и паре сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно новой точки ее приложения.

Теорема о приведении системы сил к заданному центру
Любую систему сил, действующих на данное тело, можно привести к заданному центру O – то есть заменить одной силой, равной главному вектору, приложенной к точке приведения O, и парой сил с моментом M_O, равным главному моменту относительно центра O.

Статические инварианты

Статические инварианты

пространственной системы сил – это такие величины, которые не зависят от центра приведения.

Такими инвариантами являются:
1) главный вектор ;
2) скалярное произведение главного вектора на главный момент .
Главный вектор равен векторной сумме всех сил и поэтому не зависит от центра приведения O. Главный момент зависит от положения центра O, относительно которого вычисляются моменты. Но величина его скалярного произведения на главный вектор не зависит от того, относительно какой точки вычисляется главный момент.

Хотя главный вектор не зависит от положения центра O, но величины его проекций на оси координат зависят от выбора системы координат. Поэтому они также не являются инвариантами. По той же причине и направление главного вектора не является инвариантом. Единственной численной величиной, которая не зависит от выбора системы координат, является модуль главного вектора. Но, в математическом отношении, проще иметь дело с квадратом модуля. Поэтому мы выберем его в качестве основного инварианта.

Итак, статическими инвариантами являются следующие величины:
– квадрат модуля главного вектора;
– скалярное произведение главного вектора на главный момент. Инвариантами также являются функции от инвариантов. Например, проекция главного момента на направление главного вектора является инвариантом:
.

Динама

Разложим главный момент на компоненту , параллельную главному вектору , и на компоненту , перпендикулярную :
(П1)   .
Тогда .
Отсюда получаем упомянутый выше результат, что инвариантом является алгебраическая величина проекции главного момента на направление главного вектора:
.

Динама – одна из простейших систем сил.

То есть, при изменении положения центра O, меняется вектор , в то время как вектор остается постоянным. Выбором центра приведения O, можно обратить в нуль. Тогда мы получим систему, состоящую из главного вектора и пары сил с моментом , лежащих в плоскости, перпендикулярной главному вектору. Такая система называется динамой или силовым винтом. Система приводится к динаме, если второй статический инвариант не равен нулю.

Динама

– это простейшая система сил, состоящая из силы , приложенной к некоторой точке C, и паре сил, перпендикулярных . При этом момент пары параллелен линии действия силы. Динаму также называют силовым винтом, динамическим винтом, или статическим винтом.

Ось винта

– это линия действия силы динамического винта.

Из (П1) мы находим, что минимальное значение модуля момента равно модулю его проекции на направление главного вектора:
.

Центральная ось системы сил

Пусть и – главный вектор и главный момент относительно некоторого центра O, который выберем за начало координат. И пусть второй инвариант отличен от нуля:
.
Найдем положение такой точки C, относительно которой система сил приводится к динаме. Для этого преобразуем главный момент от центра O к C:

.
Отсюда
(П2)   .
Для динамы, векторы и направлены вдоль одной прямой. Поэтому
, где λ – некоторое число. Отсюда получаем два уравнения:
(П3)   .
Пусть – компоненты вектора . Тогда подставив (П2) в (П3), имеем:
.
Это уравнение прямой в пространстве, которую называют центральной осью системы сил. Относительно точек этой прямой, система сил приводится к динаме, а главный момент имеет наименьшее по модулю значение.

Центральная ось системы сил

– это прямая, обладающая тем свойством, что при приведении системы сил к любой из ее точек, система сил является динамой. При этом главный вектор и главный момент динамы параллельны этой прямой, а главный момент имеет наименьшее по модулю значение.

Приведение системы сил к простейшему виду

Пара сил

Пусть .
Тогда . Второй инвариант также равен нулю: . В этом случае, вектор главного момента не зависит от положения центра O. Система сил приводится к паре с моментом .

Если и , то это уравновешенная система сил. Она эквивалентна отсутствию сил.

Равнодействующая сила

Пусть .
В этом случае существует прямая, относительно точек которой главный момент равен нулю:
.
То есть система приводится к одной силе – равнодействующей, равной главному вектору приложенному к любой из точек упомянутой выше прямой. Эта прямая является линией действия главного вектора. Примеры: система сходящихся сил, система параллельных сил. Это системы, которые имеют равнодействующую.

Динама

При , как показано выше, система сил приводится к динаме.

Использованная литература:
А. А. Яблонский, В.М. Никифорова. Курс теоретической механики, часть 1, статика, кинематика. Москва, «Высшая школа», 1966.
С. М. Тарг, Краткий курс теоретической механики, «Высшая школа», 2010.

Автор: Олег Одинцов.     Опубликовано: 03-10-2017   Изменено: 07-05-2020

Как найти момент силы формула. Момент силы, формулы

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью

Момент относительно оси положителен, если сила стремится вращать плоскость перпендикулярную оси против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси.

Момент силы относительно оси равен 0 в двух случаях:

Если сила параллельна оси

Если сила пересекает ось

Если линия действия и ось лежат в одной плоскости, то момент силы относительно оси равен 0.

27. Связь между моментом силы относительно оси и векторным моментом силы относительно точки.

Mz(F)=Mo(F)*cosαМомент силы, относительно оси равен прекции вектора момента сил, относительно точки оси на эту ось.

28. Основная теорема статики о приведении системы сил к заданному центру (теорема Пуансо). Главный вектор и главный момент системы сил.

Всякую пространственную систему сил в общем случае можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы, прило­женной в какой-либо точке тела (центре приведения) и равной глав­ному вектору данной системы сил, и одной пары сил, момент которой равен главному моменту всех сил относительно выбранного центра приведения.

Главным вектором системы сил называется вектор R , равный векторной сумме этих сил:

R = F 1 + F 2 + … + F n = F i .

Для плоской системы сил ее главный вектор лежит в плоскости действия этих сил.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L O , равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L O = M O (F 1) + M O (F 2) + … + M O (F n) = M O (F i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Теорема Пуансо: Произвольную пространственную систему сил можно заменить одной силой главным вектором системы сил и парой сил с главным моментом не нарушая состояния твердого тела. Главный вектор представляет собой геометрическую сумму всех сил действующих на твердое тело и расположен в плоскости действия сил. Главный вектор рассматривается через его проекции на оси координат.

Чтобы привести силы к заданному центру приложенному в некоторой точке твердого тела необходимо: 1) перенести параллельно силу самой себе к заданному центру не изменяя модуля силы; 2) в заданном центре приложить пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту перенесенной силы относительного нового центра, эту пару называют присоединенной парой.

Зависимость главного момента от выбора центра приведения. Главный момент относительно нового центра приведения равен геометрической сумме главного момента относительно старого центра приведения и векторного произведения радиуса-вектора, соединяющего новый центр приведения со старым, на главный вектор.

29 Частные случаи приведения пространственной системы сил

	Значения главного вектора и главного момента	Результат приведения
		Система сил приводится к паре сил, момент которой равен главному моменту (главный момент системы сил не зависит от выбора центра приведения О).
		Система сил приводится к равнодействующей, равной , проходящей через центр О.
		Система сил приводится к равнодействующей , равной главному векторуи параллельной ему и отстоит от него на расстоянии. Положение линии действия равнодействующей должно быть таким, чтобы направление ее момента относительно центра приведения О совпадало с направлениемотносительно центра О.
	, причем векторы ине перпендикулярны	Система сил приводится к динаме (силовому винту) – совокупности силы и пары сил, лежащей в плоскости, перпендикулярной к этой силе.
		Система сил, приложенных к твердому телу, является уравновешивающейся.

30. Приведение к динаме. Динамой в механике называют такую совокупность силыи пары сил () действующих на твердое тело, у которой сила перпендикулярна плоскости действия пары сил. Используя векторный моментпары сил, можно также определить динаму как совокупность силы и пары, у которы сила параллельна векторному моменту пары сил.

Уравнение центральной винтовой оси Предположим, что в центре приведения, принятом за начало координат, получены главный вектор с проекциями на оси координат и главный момент с проекциями При приведении системы сил к центру приведения О 1 (рис. 30) получается динама с главным вектором и главным моментом , Векторы и как образующие линаму. параллельны и поэтому могут отличаться только скалярным множителем k 0. Имеем, так как .Главные моменты и , удовлетворяют соотношению

Которая равна произведению силы на ее плечо.

Момент силы вычисляют при помощи формулы:

где F — сила, l — плечо силы.

Плечо силы — это самое короткое расстояние от линии действия силы до оси вращения тела. На рисунке ниже изображено твердое тело, которое может вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела является перпендикулярной к плоскости рисунка и проходит через точку, которая обозначена как буква О. Пле-чом силы F t здесь оказывается расстояние l , от оси вращения до линии действия силы. Определяют его таким образом. Первым шагом проводят линию действия силы, далее из т. О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра оказывается плечом данной силы.

Момент силы характеризует вращающее действие силы . Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу необходимо приложить, чтобы получить желаемый результат, то есть один и тот же момент силы (см. рис. выше). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, намного сложнее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть намного легче длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н , плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н · м).

Правило моментов.

Твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М 1 вращающей его по часовой стрелке, равняется моменту силы М 2 , которая вращает его против часовой стрелки:

Правило моментов есть следствие одной из теорем механики , которая была сформулирована французским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Пара сил.

Если на тело действуют 2 равные и противоположно направленные силы, которые не лежат на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, так как результирующий момент этих сил относительно любой оси не равняется нулю, так как обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил . Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена «свободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси. проходящей через центр тяжести тела, рисунке б .

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние l между силами, которое называется плечом пары , независимо от того, на какие отрезки l , и разделяет положение оси плечо пары:

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи-тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме нить действием одной пары сил с тем же моментом.

Моментом силы относительно оси вращения называется физическая величина, равная про­изведению силы на ее плечо.

Момент силы определяют по формуле:

М — FI , где F — сила, I — плечо силы.

Плечом силы называется кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси вращения тела.

На рис. 1.33, а изображено твердое тело, способное вращаться вокруг оси. Ось вращения этого тела перпендикулярна плоскости рисунка и проходит через точку, обозначенную буквой О. Пле­чом силы F здесь является расстояние 1Хот оси вращения до линии действия силы. Находят его следующим образом. Сначала проводят линию действия силы. Затем из точки О, через которую проходит ось вращения тела, опускают на линию действия силы перпендикуляр. Длина этого перпендикуляра является плечом данной силы.

Момент силы характеризует вращающее действие силы. Это действие зависит как от силы, так и от плеча. Чем больше плечо, тем меньшую силу надо приложить, чтобы получить желаемый результат, т. е. один и тот же момент силы (см. (1.33)). Именно поэтому открыть дверь, толкая ее возле петель, гораздо труднее, чем берясь за ручку, а гайку отвернуть гораздо проще длинным, чем коротким гаечным ключом.

За единицу момента силы в СИ принимается момент силы в 1 Н, плечо которой равно 1м — ньютон-метр (Н м).

Правило моментов

Твердое тело, способное вращаться вокруг неподвижной оси, находится в равновесии, если момент силы М, вращающей его по часовой стрелке, равен моменту силы М2, вращающей его против часовой стрелки:

М1 = -М2 или F 1 ll = — F 2 l 2 .

Правило моментов является следствием одной из теорем механики, сформулированной фран­цузским ученым П. Вариньоном в 1687 г.

Если на тело действуют две равные и противоположно направленные силы, не лежащие на одной прямой, то такое тело не находится в равновесии, поскольку результирующий момент этих сил относительно любой оси не равен нулю, т. к. обе силы имеют моменты, направленные в одну сторону. Две такие силы, одновременно действующие на тело, называют парой сил. Если тело закреплено на оси, то под действием пары сил оно будет вращаться. Если пара сил приложена ксвободному телу, то оно будет вращаться вокруг оси, проходящей через центр тяжести тела, рис. 1.33, б.

Момент пары сил одинаков относительно любой оси, перпендикулярной к плоскости пары. Суммарный момент М пары всегда равен произведению одной из сил F на расстояние I между силами, которое называется плечом пары,независимо от того, на какие отрезки и /2 разделяет положение оси плечо пары:

M = Fll + Fl2=F(l1 + l2) = Fl.

Момент нескольких сил, равнодействующая которых равна нулю, будет одинаковым относи­тельно всех осей, параллельных друг другу, поэтому действие всех этих сил на тело можно заме­нить действием одной пары сил с тем же моментом.

Определение 1

Моментом силы представляется крутящий или вращательный момент, являясь при этом векторной физической величиной.

Она определяется как векторное произведение вектора силы, а также радиус-вектора, который проведен от оси вращения к точке приложения указанной силы.

Момент силы выступает характеристикой вращательного воздействия силы на твердое тело. Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты не будут считаться при этом тождественными, поскольку в технике понятие «вращающий» момент рассматривают как внешнее, прикладываемое к объекту, усилие.

В то же время, понятие «крутящий» рассматривается в формате внутреннего усилия, возникающего в объекте под воздействием определенных приложенных нагрузок (подобным понятием оперируют при сопротивлении материалов).

Понятие момента силы

Момент силы в физике может рассматриваться в виде так называемой «вращающей силы». В СИ за единицу измерения принимают ньютон-метр. Момент силы также может называться «моментом пары сил», что отмечено в работах Архимеда над рычагами.

Замечание 1

В простых примерах, при приложении силы к рычагу в перпендикулярном отношении к нему, момент силы будет определяться в виде произведения величины указанной силы и расстояния до оси вращения рычага.

К примеру, сила в три ньютона, приложенная на двухметровом расстоянии от оси вращения рычага, создает момент, равнозначный силе в один ньютон, приложенной на 6-метровом расстоянии к рычагу. Более точно момент силы частицы определяют в формате векторного произведения:

$\vec {M}=\vec{r}\vec{F}$, где:

• $\vec {F}$ представляет силу, воздействующая на частицу,
• $\vec {r}$ является радиусом вектора частицы.

В физике следует понимать энергию как скалярную величину, в то время как момент силы будет считаться величиной (псевдо) векторной. Совпадение размерностей подобных величин не будет случайным: момент силы в 1 Н м, который приложен через целый оборот, совершая механическую работу, сообщает энергию в 2 $\pi$ джоулей. Математически это выглядит так:

$E = M\theta $, где:

• $E$ представляет энергию;
• $M$ считается вращающимся моментом;
• $\theta $ будет углом в радианах.

Сегодня измерение момента силы осуществляют посредством задействования специальных датчиков нагрузки тензометрического, оптического и индуктивного типа.

Формулы расчета момента силы

Интересным в физике является вычисление момента силы в поле, производимого по формуле:

$\vec{M} = \vec{M_1}\vec{F}$, где:

• $\vec{M_1}$ считается моментом рычага;
• $\vec{F}$ представляет величину действующей силы.

Недостатком такого представления будет считаться тот факт, что оно не определяет направление момента силы, а только лишь его величину. При перпендикулярности силы вектору вектору $\vec{r}$ момент рычага будет равен расстоянию от центра до точки приложенной силы. При этом момент силы окажется максимальным:

$\vec{T}=\vec{r}\vec{F}$

При совершении силой определенного действия на каком-либо расстоянии, она совершит механическую работу. Точно также и момент силы (при выполнении действия через угловое расстояние) совершит работу.

$P = \vec {M}\omega $

В существующей международной системе измерений мощность $P$ будет измеряться в Ваттах, а непосредственно момент силы- в ньютон-метрах. При этом угловая скорость определяется в радианах в секунду.

Момент нескольких сил

Замечание 2

При воздействии на тело двух равных, а также противоположно направленных сил, не лежащих при этом на одной и той же прямой, наблюдается отсутствие пребывания этого тела в состоянии равновесия. Это объясняется тем, что результирующий момент указанных сил относительно любой из осей не имеет нулевого значения, поскольку обе представленные силы имеют направленные в одну сторону моменты (пара сил).

В ситуации, когда тело закрепляется на оси, произойдет его вращение под воздействием пары сил. Если пара сил будет приложенной в отношении свободного тела, оно в таком случае станет вращаться вокруг проходящей сквозь центр тяжести тела оси.

Момент пары сил считается одинаковым в отношении любой оси, которая перпендикулярна плоскости пары. При этом суммарный момент $М$ пары всегда будет равным произведению одной из сил $F$ на расстояние $l$ между силами (плечо пары) в независимости от типов отрезков, на которые оно разделяет положение оси.

$M={FL_1+FL-2} = F{L_1+L_2}=FL$

В ситуации, когда равнодействующая момента нескольких сил равнозначна нулю, он будет считаться одинаковым относительно всех параллельных друг другу осей. По этой причине воздействие на тело всех этих сил возможно заменить действием всего лишь одной пары сил с таким же моментом.

Момент силы (синонимы: крутящий момент, вращательный момент, вертящий момент, вращающий момент ) — векторная физическая величина , равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого от оси вращения к точке приложения силы, на вектор этой силы. Характеризует вращательное действие силы на твёрдое тело .

Понятия «вращающий» и «крутящий» моменты в общем случае не тождественны, так как в технике понятие «вращающий» момент рассматривается как внешнее усилие, прикладываемое к объекту, а «крутящий» — внутреннее усилие, возникающее в объекте под действием приложенных нагрузок (этим понятием оперируют в сопротивлении материалов).

Общие сведения

Специальные случаи

Формула момента рычага

Очень интересен особый случай, представляемый как определение момента силы в поле:

\left|\vec M\right| = \left|\vec{M}_1\right| \left|\vec F\right|, где: \left|\vec{M}_1\right| — момент рычага, \left|\vec F\right| — величина действующей силы.

Проблема такого представления в том, что оно не дает направления момента силы, а только его величину. Если сила перпендикулярна вектору \vec r, момент рычага будет равен расстоянию до центра и момент силы будет максимален:

\left|\vec{T}\right| = \left|\vec r\right| \left|\vec F\right|

Сила под углом

Если сила \vec F направлена под углом \theta к рычагу r, то M = r F \sin\theta.

Статическое равновесие

Для того чтобы объект находился в равновесии, должна равняться нулю не только сумма всех сил, но и сумма всех моментов силы вокруг любой точки. Для двумерного случая с горизонтальными и вертикальными силами: сумма сил в двух измерениях ΣH=0, ΣV=0 и момент силы в третьем измерении ΣM=0.

Момент силы как функция от времени

\vec M = \frac{d\vec L}{dt},

где \vec L — момент импульса.

Возьмём твердое тело. Движение твёрдого тела можно представить как движение конкретной точки и вращения вокруг неё.

Момент импульса относительно точки O твёрдого тела может быть описан через произведение момента инерции и угловой скорости относительно центра масс и линейного движения центра масс.

\vec{L_o} = I_c\,\vec\omega +

Будем рассматривать вращающиеся движения в системе координат Кёнига , так как описывать движение твёрдого тела в мировой системе координат гораздо сложнее.

Продифференцируем это выражение по времени. И если I — постоянная величина во времени, то

\vec M = I\frac{d\vec\omega}{dt} = I\vec\alpha,

Отношение между моментом силы и работой

A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \left|\vec M\right| \mathrm{d}\theta

В случае постоянного момента получаем:

A = \left|\vec M\right|\theta

Обычно известна угловая скорость \omega в радианах в секунду и время действия момента t.

Тогда совершённая моментом силы работа рассчитывается как:

A = \left|\vec M\right|\omega t

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка O_F, к которой приложена сила \vec F, то момент силы относительно точки O равен векторному произведению радиус-вектора \vec r, соединяющего точки O и O_F, на вектор силы \vec F:

\vec{M_O} = \left[\vec r \times \vec F\right].

Момент силы относительно оси

Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную этой оси относительно точки пересечения оси с плоскостью, то есть M_z(F) = M_o(F») = F»h».

Единицы измерения

Момент силы измеряется в ньютон-метрах . 1 Н·м — это момент, который производит сила 1 Н на рычаг длиной 1 м, приложенная к концу рычага и направленная перпендикулярно ему.

Измерение момента

На сегодняшний день измерение момента силы осуществляется с помощью тензометрических, оптических и индуктивных датчиков нагрузки .

См. также

Напишите отзыв о статье «Момент силы»

Отрывок, характеризующий Момент силы

Но хотя уже к концу сражения люди чувствовали весь ужас своего поступка, хотя они и рады бы были перестать, какая то непонятная, таинственная сила еще продолжала руководить ими, и, запотелые, в порохе и крови, оставшиеся по одному на три, артиллеристы, хотя и спотыкаясь и задыхаясь от усталости, приносили заряды, заряжали, наводили, прикладывали фитили; и ядра так же быстро и жестоко перелетали с обеих сторон и расплюскивали человеческое тело, и продолжало совершаться то страшное дело, которое совершается не по воле людей, а по воле того, кто руководит людьми и мирами.
Тот, кто посмотрел бы на расстроенные зады русской армии, сказал бы, что французам стоит сделать еще одно маленькое усилие, и русская армия исчезнет; и тот, кто посмотрел бы на зады французов, сказал бы, что русским стоит сделать еще одно маленькое усилие, и французы погибнут. Но ни французы, ни русские не делали этого усилия, и пламя сражения медленно догорало.
Русские не делали этого усилия, потому что не они атаковали французов. В начале сражения они только стояли по дороге в Москву, загораживая ее, и точно так же они продолжали стоять при конце сражения, как они стояли при начале его. Но ежели бы даже цель русских состояла бы в том, чтобы сбить французов, они не могли сделать это последнее усилие, потому что все войска русских были разбиты, не было ни одной части войск, не пострадавшей в сражении, и русские, оставаясь на своих местах, потеряли половину своего войска.
Французам, с воспоминанием всех прежних пятнадцатилетних побед, с уверенностью в непобедимости Наполеона, с сознанием того, что они завладели частью поля сраженья, что они потеряли только одну четверть людей и что у них еще есть двадцатитысячная нетронутая гвардия, легко было сделать это усилие. Французам, атаковавшим русскую армию с целью сбить ее с позиции, должно было сделать это усилие, потому что до тех пор, пока русские, точно так же как и до сражения, загораживали дорогу в Москву, цель французов не была достигнута и все их усилия и потери пропали даром. Но французы не сделали этого усилия. Некоторые историки говорят, что Наполеону стоило дать свою нетронутую старую гвардию для того, чтобы сражение было выиграно. Говорить о том, что бы было, если бы Наполеон дал свою гвардию, все равно что говорить о том, что бы было, если б осенью сделалась весна. Этого не могло быть. Не Наполеон не дал своей гвардии, потому что он не захотел этого, но этого нельзя было сделать. Все генералы, офицеры, солдаты французской армии знали, что этого нельзя было сделать, потому что упадший дух войска не позволял этого.
Не один Наполеон испытывал то похожее на сновиденье чувство, что страшный размах руки падает бессильно, но все генералы, все участвовавшие и не участвовавшие солдаты французской армии, после всех опытов прежних сражений (где после вдесятеро меньших усилий неприятель бежал), испытывали одинаковое чувство ужаса перед тем врагом, который, потеряв половину войска, стоял так же грозно в конце, как и в начале сражения. Нравственная сила французской, атакующей армии была истощена. Не та победа, которая определяется подхваченными кусками материи на палках, называемых знаменами, и тем пространством, на котором стояли и стоят войска, – а победа нравственная, та, которая убеждает противника в нравственном превосходстве своего врага и в своем бессилии, была одержана русскими под Бородиным. Французское нашествие, как разъяренный зверь, получивший в своем разбеге смертельную рану, чувствовало свою погибель; но оно не могло остановиться, так же как и не могло не отклониться вдвое слабейшее русское войско. После данного толчка французское войско еще могло докатиться до Москвы; но там, без новых усилий со стороны русского войска, оно должно было погибнуть, истекая кровью от смертельной, нанесенной при Бородине, раны. Прямым следствием Бородинского сражения было беспричинное бегство Наполеона из Москвы, возвращение по старой Смоленской дороге, погибель пятисоттысячного нашествия и погибель наполеоновской Франции, на которую в первый раз под Бородиным была наложена рука сильнейшего духом противника.

Для человеческого ума непонятна абсолютная непрерывность движения. Человеку становятся понятны законы какого бы то ни было движения только тогда, когда он рассматривает произвольно взятые единицы этого движения. Но вместе с тем из этого то произвольного деления непрерывного движения на прерывные единицы проистекает большая часть человеческих заблуждений.
Известен так называемый софизм древних, состоящий в том, что Ахиллес никогда не догонит впереди идущую черепаху, несмотря на то, что Ахиллес идет в десять раз скорее черепахи: как только Ахиллес пройдет пространство, отделяющее его от черепахи, черепаха пройдет впереди его одну десятую этого пространства; Ахиллес пройдет эту десятую, черепаха пройдет одну сотую и т. д. до бесконечности. Задача эта представлялась древним неразрешимою. Бессмысленность решения (что Ахиллес никогда не догонит черепаху) вытекала из того только, что произвольно были допущены прерывные единицы движения, тогда как движение и Ахиллеса и черепахи совершалось непрерывно.
Принимая все более и более мелкие единицы движения, мы только приближаемся к решению вопроса, но никогда не достигаем его. Только допустив бесконечно малую величину и восходящую от нее прогрессию до одной десятой и взяв сумму этой геометрической прогрессии, мы достигаем решения вопроса. Новая отрасль математики, достигнув искусства обращаться с бесконечно малыми величинами, и в других более сложных вопросах движения дает теперь ответы на вопросы, казавшиеся неразрешимыми.
Эта новая, неизвестная древним, отрасль математики, при рассмотрении вопросов движения, допуская бесконечно малые величины, то есть такие, при которых восстановляется главное условие движения (абсолютная непрерывность), тем самым исправляет ту неизбежную ошибку, которую ум человеческий не может не делать, рассматривая вместо непрерывного движения отдельные единицы движения.
В отыскании законов исторического движения происходит совершенно то же.
Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине. Но как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что допущение единицы, отделенной от другой, допущение начала какого нибудь явления и допущение того, что произволы всех людей выражаются в действиях одного исторического лица, ложны сами в себе.
Всякий вывод истории, без малейшего усилия со стороны критики, распадается, как прах, ничего не оставляя за собой, только вследствие того, что критика избирает за предмет наблюдения большую или меньшую прерывную единицу; на что она всегда имеет право, так как взятая историческая единица всегда произвольна.
Только допустив бесконечно малую единицу для наблюдения – дифференциал истории, то есть однородные влечения людей, и достигнув искусства интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), мы можем надеяться на постигновение законов истории.
Первые пятнадцать лет XIX столетия в Европе представляют необыкновенное движение миллионов людей. Люди оставляют свои обычные занятия, стремятся с одной стороны Европы в другую, грабят, убивают один другого, торжествуют и отчаиваются, и весь ход жизни на несколько лет изменяется и представляет усиленное движение, которое сначала идет возрастая, потом ослабевая. Какая причина этого движения или по каким законам происходило оно? – спрашивает ум человеческий.
Историки, отвечая на этот вопрос, излагают нам деяния и речи нескольких десятков людей в одном из зданий города Парижа, называя эти деяния и речи словом революция; потом дают подробную биографию Наполеона и некоторых сочувственных и враждебных ему лиц, рассказывают о влиянии одних из этих лиц на другие и говорят: вот отчего произошло это движение, и вот законы его.
Но ум человеческий не только отказывается верить в это объяснение, но прямо говорит, что прием объяснения не верен, потому что при этом объяснении слабейшее явление принимается за причину сильнейшего. Сумма людских произволов сделала и революцию и Наполеона, и только сумма этих произволов терпела их и уничтожила.

МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА — презентация на Slide-Share.ru 🎓

1

Первый слайд презентации: МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА

1 Моментом силы относительно центра в пространстве (векторным моментом) называют вектор, приложенный в этой точке, с модулем, равным произведению модуля силы на плечо относительно данной точки и направленный перпендикулярно плоскости, содержащей линию действия силы и моментную точку в ту сторону, откуда поворот, вызываемый силой, кажется происходящим против движения часовой стрелки. Момент силы не изменяется при переносе силы по линии ее действия. 2) Момент силы равен нулю если плечо силы h=0. Момент силы относительно центра можно выразить в виде векторного произведения: 3) M o ( ) = h = 2 S OAB. F F

Изображение слайда

2

Слайд 2: МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ

2 Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, равная взятому со знаком «+» или «  » моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью. Правило знаков: момент силы относительно оси считают положительным, если, смотря навстречу оси, видят поворот, который стремится совершить сила, происходящим против хода часовой стрелки и отрицательным в про- тивном случае. Момент силы относительно оси не изменяется при переносе силы по линии ее действия. Момент силы относительно оси равен нулю: а) если плечо силы h=0; б) если сила коллинеарна оси. 3) M z ( ) = h = 2 S OAB. F F xy Свойства момента силы относительно оси

Изображение слайда

3

Слайд 3: СВЯЗЬ МЕЖДУ МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ И МОМЕНТОМ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЛЮБОГО ЦЕНТРА, ЛЕЖАЩЕГО НА ЭТОЙ ОСИ

3 F F x y A B B A θ M O 1 1 2 O O 1 O 1 M O 2 d z x y Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось момента силы относительно любого центра, лежащего на данной оси. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Изображение слайда

4

Слайд 4: АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ МОМЕНТА СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО КООРДИНАТНЫХ ОСЕЙ

4

Изображение слайда

5

Слайд 5: СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

5 1) Силы направлены в одну сторону Равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, им параллельна, направлена в ту же сторону и равна по модулю сумме модулей слагаемых сил, а ее линия действия проходит между линиями действия слагаемых сил и делит расстояние между ними на части обратно пропорциональные модулям этих сил.

Изображение слайда

6

Слайд 6: СЛОЖЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ

6 2) Силы направлены в противоположные стороны. Важно заметить, что при Равнодействующая двух антипараллельных сил равна по модулю разности модулей этих сил, им параллельна и направлена в ту же сторону большей силы, а ее линия действия делит расстояние между линиями действия слагаемых сил внешним образом на части обратно пропорциональные модулям этих сил. Таким образом, действие на тело двух равных по модулю антипараллельных сил не может быть заменено действием лишь одной силы. Вместе с тем эти силы не находятся в равнове- сии т.к. не удовлетворяют условию Аксиомы l статики. Следовательно, данная система сил должна изучаться особо, как самостоятельный элемент статики.

Изображение слайда

7

Слайд 7: ТЕОРИЯ ПАР

7 Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на АТТ. Плоскость, проходящая через линии действия сил пары, называется плоскостью действия пары. Плечом пары d называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары. Пара сил, действующая на твердое тело, может вызвать его вращение. Вращательный эффект, создаваемый парой, зависит от: величины момента пары, равного произведению модуля одной из сил пары на ее плечо; плоскости действия пары; направления поворота, вызываемого парой в плоскости ее действия. Все эти характеристики действия пары сил можно задать одновременно вводя вектор-момент пары, модуль которого равен моменту пары, направив его перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону откуда поворот, вызываемый парой кажется происходящим против хода часовой стрелки.

Изображение слайда

8

Слайд 8: ТЕОРИЯ ПАР

8 F F M B O A 1 d α Момент пары сил можно пред- ставить в виде векторного про- изведения: Теорема. Момент пары сил равен векторной сумме моментов сил пары относи- тельно любой точки пространства. Доказательство: здесь А, В – произвольные точки, лежащие на линиях действия сил пары. Замечание. Момент пары сил – вектор свободный. Замечание. Момент пары сил в отличие от момента силы не связан ни с какой точкой пространства.

Изображение слайда

9

Слайд 9: ТЕОРИЯ ПАР

9 ТЕОРИЯ ПАР ТЕОРЕМЫ ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ ПАР Теорема 1. Не изменяя механического действия пары сил на свободное АТТ ее можно переносить и как угодно поворачивать в плоскости действия. Теорема 2. Не изменяя механического действия пары сил на свободное АТТ ее можно переносить в любую плоскость параллельную плоскости действия пары. Теорема 3. Не изменяя механического действия пары сил на свободное АТТ можно произвольным образом изменять модули сил пары и ее плечо, сохранив неизменным их произведение (величину момента пары). Теорема 4. Действие системы пар сил на свободное АТТ эквивалентно действию одной пары с моментом равным векторной сумме моментов пар системы.

Изображение слайда

10

Последний слайд презентации: МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ЦЕНТРА: ТЕОРИЯ ПАР

10 УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ ПАР СИЛ Для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы геометрическая сумма моментов всех пар системы равнялась нулю. Для равновесия системы пар сил многоугольник, построенный на моментах пар системы, должен быть замкнут! геометрическая форма Условия равновесия системы пар сил: аналитическая форма

Изображение слайда

Coplanar Force — обзор

Поскольку тело жесткое и внутренняя виртуальная работа, следовательно, равна нулю, мы можем рассматривать тело как большую частицу. Отсюда следует, что если тело находится в равновесии под действием набора сил, F ₁ , F ₂ , … , F _k , … , F _r , общая виртуальная работа, выполняемая внешними силами во время произвольного виртуального перемещения тела, равна нулю.

Принцип виртуальной работы, по сути, является альтернативой формуле. (2.10) для задания необходимых условий равновесия системы компланарных сил. Чтобы проиллюстрировать это, мы рассмотрим расчет опорных реакций в некоторых простых балках.

Пример 15.1

Рассчитайте опорные реакции в консольной балке, показанной на рис. 15.4 (а).

Рисунок 15.4. Луч Ex. 15.1.

Сосредоточенная нагрузка W вызывает вертикальную реакцию R _A , а также момент, M _A , при A.Предположим, что лучу задано небольшое воображаемое, то есть виртуальное вращение, θ _{v, A} , в точке A, как показано на рис. 15.4 (b). Поскольку здесь нас интересуют только внешние силы, мы можем рассматривать балку как твердое тело, так что балка остается прямой, а B смещается к B ‘. Вертикальное смещение B, Δ _{v, B} , тогда определяется как

Δv, B = θv, AL

или

(i) θv, A = Δv, B / L

Общая виртуальная работа, Вт. _т , произведенное всеми силами, действующими на балку, определяется как

(ii) Wt = WΔv, B − MAθv, A

Обратите внимание, что вклад M _A в общую виртуальную работу равен отрицательное, поскольку предполагаемое направление M _A противоположно виртуальному смещению, θ _{v, A} .Также обратите внимание, что в точке A нет линейного перемещения балки, поэтому R _A не работает. Подставляя в уравнение. (ii) для θ _{v, A} из уравнения. (i) имеем

(iii) Wt = WΔv, B − MAΔv, B / L

Поскольку луч находится в равновесии, W _t = 0 из принципа виртуальной работы. Следовательно,

0 = WΔv, B — MAΔv, B / L

, так что

MA = WL

, что является результатом, который был бы получен при рассмотрении моментного равновесия балки относительно A.

Предположим теперь, что всей балке задано виртуальное смещение Δ _v , как показано на рис. 15.4 (c). Вращение балки отсутствует, поэтому M _A не работает. Общая проделанная виртуальная работа тогда равна

(iv) Wt = WΔv − RAΔv

Вклад R _A отрицательный, поскольку его направление противоположно направлению Δ _v . Луч находится в равновесии, так что W _t = 0. Следовательно, из уравнения.(iv)

RA = W

, что является результатом, который мы получили бы при разрешении сил по вертикали. Пример 15.2

Рассчитайте опорные реакции в консольной балке, показанной на рис. 15.5 (a).

Рисунок 15.5. Луч Ex. 15.2.

В этом случае мы получаем решение, одновременно задавая балке виртуальное смещение Δ _{v, A} , в точке A и виртуальное вращение, θ _{v, A} , в точке A _. Полное отклонение в точке B тогда составляет Δ _{v, A} + θ _{v, A} L , а на расстоянии x от A составляет Δ _{v, A} + θ _{v, A} x .Поскольку балка несет равномерно распределенную нагрузку, мы находим виртуальную работу, выполняемую нагрузкой, сначала рассматривая элементную длину, δ x , нагрузки на расстоянии x от A. Нагрузка на элемент составляет w δ. x , а виртуальная работа, выполняемая этой элементарной нагрузкой, определяется как

δW = wδx (Δv, A + θv, Ax)

Общая виртуальная работа, выполненная на балке, тогда составляет

Wt = ∫0Lw (Δv, A + θv, Ax) dx − MAθv, A − RAΔv, A

, который упрощается до

(i) Wt = (wL − RA) Δv, A + [(wL2 / 2) −MA] θv, A = 0

, поскольку балка находится в равновесии.Уравнение (i) действительно для всех значений Δ _{v, A} и θ _{v, A} , так что

wL − RA = 0 и (wL2 / 2) −MA = 0

Следовательно,

RA = wLandMA = wL2 / 2

, которые являются результатами, которые были бы получены при разрешении сил по вертикали и принятии моментов около A. Пример 15.3

Рассчитайте реакции на встроенном конце консольной балки, показанной на рис. 15.6.

Рисунок 15.6. Луч Ex. 15.3.

В этом примере нагрузка W вызывает реакции вертикальной силы, момента и крутящего момента на встроенном конце.Вертикальная реакция и момент такие же, как в Пр. 15.1. Чтобы определить реакцию крутящего момента, мы налагаем небольшое виртуальное смещение, Δ _{v, C} , вертикально вниз в точке C. Это заставляет балку AB вращаться как твердое тело на угол, θ _{v, AB} , что составляет задается формулой

(i) θv, AB = Δv, C / a

В качестве альтернативы мы могли бы наложить небольшое виртуальное вращение, θ _{v, AB} , на балку, которое привело бы к виртуальному смещению C равно aθ _{v, AB} : очевидно, что оба подхода дают идентичные результаты.

Общая виртуальная работа, проделанная с балкой, тогда определяется как

(ii) Wt = WΔv, C − TAθv, AB = 0

, поскольку балка находится в равновесии. Подставив θ _{v, AB} в уравнении. (ii) из уравнения. (i) у нас есть

TA = Wa

, что является результатом, который был бы получен с учетом статического равновесия балки. Пример 15.4

Рассчитайте опорные реакции в балке без опоры, показанной на рис. 15.7.

Рисунок 15.7. Использование принципа виртуальной работы для расчета опорных реакций.

К балке прикладывается только вертикальная нагрузка, поэтому возникают только вертикальные реакции, R _A и R _C .

Предположим, что лучу в точке C задано небольшое воображаемое, то есть виртуальное смещение, Δ _{v, C} , в направлении R _C , как показано на рис. 15.7 (b). Поскольку здесь нас интересуют только внешних сил , действующих на балку, мы можем рассматривать балку как твердое тело.Таким образом, луч вращается вокруг A, так что C перемещается в C ‘, а B перемещается в B’. Из аналогичных треугольников мы видим, что

(i) Δv, B = aa + bΔv, C = aLΔv, C

Затем задается общая виртуальная работа, W _t , выполненная всеми силами, действующими на балку. по

(ii) Wt = RCΔv, C − WΔv, B

Обратите внимание, что работа, выполняемая нагрузкой, W , отрицательна, поскольку Δ _{v, B} находится в направлении, противоположном его линии действия. Также обратите внимание, что опорная реакция, R _A , не работает, поскольку луч вращается только вокруг A.Теперь заменив Δ _{v, B} в уравнении. (ii) из уравнения. (i) мы имеем

(iii) Wt = RCΔv, C − WaLΔv, C

Поскольку луч находится в равновесии, W _t равно нулю из принципа виртуальной работы. Следовательно, из уравнения. (iii)

RCΔv, C — WaLΔv, C = 0

, что дает

RC = WaL

, что является результатом, который был бы получен при рассмотрении моментного равновесия балки около A. R _A следует аналогичным образом. Предположим теперь, что вместо одиночного смещения Δ _{v, C} всей балке дается виртуальное вертикальное смещение Δ _v вместе с виртуальным вращением θ _v , примерно на A, как показано на рис.15.7 (в). Общая виртуальная работа, Вт _т , выполненная силами, действующими на балку, теперь равна

(iv) Wt = RAΔv − W (Δv + aθv) + RC (Δv + Lθv) = 0

, поскольку балка находится в равновесии. Переставляя уравнение. (iv)

(v) (RA + RC − W) Δv + (RCL − Wa) θv = 0

Уравнение (v) действительно для всех значений Δ _v и θ _v , так что

RA + RC − W = 0RCL − Wa = 0

, которые представляют собой уравнения равновесия, которые мы получили бы, решая силы по вертикали и принимая моменты около A.

Здесь не предполагается, что применение уравнения. (2.10) следует отказаться в пользу принципа виртуальной работы. Цель примеров 15.1–15.4 — проиллюстрировать применение виртуального смещения и способ использования этого принципа.

Расчеты с участием сил — Сила и законы Ньютона — CCEA — Редакция GCSE Physics (Single Science) — CCEA

Результирующая сила — это единственная сила, которая имеет тот же эффект, что и две или более сил, действующих вместе.

Две силы в одном направлении

Две силы, действующие в одном направлении, создают результирующую силу, превышающую любую отдельную силу.

Вы можете легко вычислить результирующую силу двух сил, действующих по прямой линии в одном направлении, сложив их размеры.

Пример

Две силы, 3 Н и 2 Н, действуют справа. Рассчитайте результирующую силу.

Две силы, действующие в одном направлении

Результирующая сила F = 3 Н + 2 Н = 5 Н вправо.

Результирующая сила справа 5 Н.

Две силы в противоположных направлениях

Две силы, действующие в противоположных направлениях, создают результирующую силу, меньшую, чем каждая отдельная сила.

Чтобы найти равнодействующую силу, вычтите величину меньшей силы из величины большей силы.

Направление результирующей силы совпадает с направлением большей силы.

Пример

Сила 5 Н действует вправо, а сила 3 ​​Н — влево.

Рассчитайте равнодействующую силу.

Две силы, действующие в противоположных направлениях

Результирующая сила F

Результирующая сила F = 5 Н — 3 Н = 2 Н вправо.

Результирующая сила составляет 2 Н. вправо.

4,4 Третий закон движения Ньютона — Физика

Цели обучения раздела

К концу этого раздела вы сможете делать следующее:

• Устно и математически описать третий закон Ньютона
• Используйте третий закон Ньютона для решения проблем

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Цели обучения в этом разделе помогут вашим ученикам овладеть следующими стандартами:

• (4) Научные концепции.Учащийся знает и применяет законы движения в различных ситуациях. Ожидается, что студент:
  • (D) вычисляет влияние сил на объекты, включая закон инерции, соотношение между силой и ускорением и характер пар сил между объектами.

Раздел Основные термины

Третий закон движения Ньютона

нормальная сила

напряжение

тяга

Описание третьего закона движения Ньютона

Поддержка учителей

Поддержка учителей

[BL] [OL] Просмотрите первый и второй законы Ньютона.

[AL] Начните обсуждение действия и реакции с примеров. Представьте концепции интересующих систем и систем. Объясните, как силы можно классифицировать как внутренние или внешние по отношению к интересующей системе. Приведите примеры систем. Спросите студентов, какие силы являются внутренними, а какие внешними в каждом сценарии.

Если вы когда-либо наносили удар пальцем ноги, вы заметили, что, хотя палец ноги инициирует удар, поверхность, по которой вы наносите удар, оказывает на ваш палец силу обратно.Хотя первая мысль, которая приходит вам в голову, скорее всего, «ой, больно», а не «это прекрасный пример третьего закона Ньютона», оба утверждения верны.

Это именно то, что происходит, когда один объект оказывает силу на другой — каждый объект испытывает силу той же силы, что и сила, действующая на другой объект, но действующая в противоположном направлении. Повседневные переживания, такие как удар пальцем ноги или бросок мяча, — все это прекрасные примеры действия третьего закона Ньютона.

Третий закон движения Ньютона гласит, что всякий раз, когда первый объект оказывает силу на второй объект, первый объект испытывает силу, равную по величине, но противоположную по направлению силе, которую он оказывает.

Третий закон движения Ньютона гласит, что силы всегда возникают парами, и один объект не может воздействовать на другой, не испытав взамен такой же силовой силы. Мы иногда называем эти пары сил парами действие-противодействие , где прилагаемая сила — это действие, а сила, испытываемая в ответ, — это реакция (хотя это зависит от вашей точки зрения).

Третий закон Ньютона полезен для выяснения того, какие силы являются внешними по отношению к системе. Напомним, что определение внешних сил важно при постановке задачи, потому что внешние силы необходимо сложить вместе, чтобы найти результирующую силу.

Мы можем увидеть в действии третий закон Ньютона, посмотрев на то, как люди передвигаются. Представьте себе пловца, отталкивающегося от края бассейна, как показано на рис. 4.8. Она толкается ногами о стенку бассейна и ускоряется в направлении, противоположном ее толчку.Таким образом, стена оказывает на пловца силу равной величины, но в направлении, противоположном ее толчку. Вы можете подумать, что две силы равной величины, но действующие в противоположных направлениях, аннулируются, , но это не так, потому что они действуют на разные системы.

В этом случае есть две разные системы, которые мы можем выбрать для исследования: пловец или стена. Если мы выберем пловца в качестве интересующей нас системы, как показано на рисунке, тогда стена на ступнях является внешней силой для пловца и влияет на ее движения.Поскольку ускорение происходит в том же направлении, что и чистая внешняя сила, пловец движется в направлении стены на ногах. Поскольку пловец — это наша система (или объект интереса), а не стена, нам не нужно учитывать силу Ffeet на стенеFfeet на стене, потому что она исходит от от пловца, а не от , действующего на пловца. Следовательно, Ffeet on wallFfeet on wall не влияет напрямую на движение системы и не отменяет Fwall на ногах.Fwall на ногах. Обратите внимание, что пловчиха толкает в направлении, противоположном направлению, в котором она хочет двигаться.

Рис. 4.8. Когда пловец прикладывает силу Ffeet к стене Ffeet на стене на стене, он ускоряется в направлении, противоположном направлению ее толчка. Это означает, что чистая внешняя сила, действующая на нее, направлена ​​в направлении, противоположном Ffeet на стене. Ffeet на стене. Это противодействие является результатом третьего закона движения Ньютона, который гласит, что стена оказывает на пловца силу, равную по величине, но действующую в направлении, противоположном силе, которую пловец оказывает на стену. .

Легко найти другие примеры третьего закона Ньютона. Когда учитель шагает перед доской, он прикладывает силу к полу. Пол оказывает на учителя противодействующую силу в прямом направлении, которая заставляет его ускоряться вперед. Точно так же автомобиль ускоряется, потому что земля толкает колеса вперед в ответ на толчки колес автомобиля по земле. Вы можете увидеть свидетельства того, что колеса отталкиваются назад, когда колеса вращаются на гравийной дороге и отбрасывают камни назад.

Другой пример — сила бейсбольного мяча при контакте с битой. Вертолеты создают подъемную силу, выталкивая воздух вниз, создавая восходящую силу реакции. Птицы летают, создавая силу в воздухе в направлении, противоположном тому, в котором они хотят лететь. Например, крылья птицы заставляют воздух двигаться вниз и назад, чтобы подняться и двигаться вперед. Осьминог продвигается вперед в воде, выбрасывая воду назад через воронку в своем теле, что похоже на то, как движется водный мотоцикл.В этих примерах осьминог или водный мотоцикл толкают воду назад, а вода, в свою очередь, толкает осьминога или водный мотоцикл вперед.

Применение третьего закона Ньютона

Поддержка учителя

Поддержка учителя

[BL] Просмотрите понятие веса как силы.

[OL] Спросите студентов, что происходит, когда объект падает с высоты. Почему он останавливается, когда ударяется о землю? Введем термин «нормальная сила».

Демонстрация учителей

[BL] [OL] [AL] Продемонстрируйте концепцию напряжения, используя физические объекты.Подвесьте такой предмет, как ластик, на стержень с помощью резинки. Повесьте еще одну резинку рядом с первой, но без каких-либо предметов. Спросите студентов, в чем разница между ними. Какие силы действуют на первый стержень? Объясните, как резинка (т. Е. Соединитель) передает силу. Теперь спросите учащихся, в каком направлении действуют внешние силы, действующие на соединитель. Также поинтересуйтесь, какие внутренние силы действуют на разъем. Если удалить ластик, в каком направлении будет двигаться резинка? Это направление силы, приложенной резинкой к ластику.

Силы классифицируются и получают имена в зависимости от их источника, способа передачи или их воздействия. В предыдущих разделах мы обсуждали силы, называемые толчком , массой и трением . В этом разделе применение третьего закона движения Ньютона позволит нам изучить еще три силы: нормальную силу, натяжение и тягу. Однако, поскольку мы еще не рассмотрели векторы подробно, в этой главе мы будем рассматривать только одномерные ситуации.В другой главе мы рассмотрим силы, действующие в двух измерениях.

Гравитационная сила (или вес) действует на объекты всегда и везде на Земле. Из второго закона Ньютона мы знаем, что чистая сила вызывает ускорение; Итак, почему все не находится в постоянном состоянии свободного падения к центру Земли? Ответ — нормальная сила. Нормальная сила — это сила, которую поверхность прилагает к объекту, чтобы выдержать вес этого объекта; он действует перпендикулярно поверхности, на которой лежит объект.Если объект на плоской поверхности не ускоряется, чистая внешняя сила равна нулю, а нормальная сила имеет ту же величину, что и вес системы, но действует в противоположном направлении. В форме уравнения запишем, что

Обратите внимание, что это уравнение верно только для горизонтальной поверхности.

Слово напряжение происходит от латинского слова, означающего для растяжения . Натяжение — это сила по длине гибкого соединителя, такого как веревка, веревка, цепь или кабель.Независимо от типа соединителя, прикрепленного к интересующему объекту, необходимо помнить, что соединитель может тянуть (или прикладывать натяжение ) только в направлении параллельно его длине. Натяжение — это натяжение, которое действует параллельно соединителю и действует в противоположных направлениях на двух концах соединителя. Это возможно, потому что гибкий соединитель представляет собой просто длинную серию сил действия-противодействия, за исключением двух концов, где внешние объекты обеспечивают один член сил действия-противодействия.

Представьте человека, держащего гирю на веревке, как показано на рис. 4.9.

Рис. 4.9. Когда идеально гибкий соединитель (не требующий силы для его сгибания), такой как веревка, передает силу T , эта сила должна быть параллельна длине веревки, как показано. Такой гибкий соединитель создает натяжение. Обратите внимание, что веревка тянется с одинаковой силой, но в противоположных направлениях по отношению к руке и массе (без учета веса веревки).Это пример третьего закона Ньютона. Веревка — это среда, которая передает силы одинаковой величины между двумя объектами, но действуют в противоположных направлениях.

Натяжение веревки должно равняться весу поддерживаемой массы, как мы можем доказать, используя второй закон Ньютона. Если масса 5,00 кг на рисунке неподвижна, то ее ускорение равно нулю, поэтому Fnet = 0. Fnet = 0. Единственными внешними силами, действующими на массу, являются ее вес W и натяжение T , создаваемое веревкой.Суммируя внешние силы, мы получаем суммарную силу

Fnet = T − W = 0, Fnet = T − W = 0,

4,18

, где T и W — величины натяжения и веса, соответственно, и их знаки указывают направление, причем верхнее положительное значение. Если подставить м г вместо F _net и изменить уравнение, натяжение будет равно весу поддерживаемой массы, как и следовало ожидать

Для массы 5,00 кг (без учета массы веревки) мы видим, что

Т = мг = (5.00 кг) (9,80 м / с2) = 49,0 N.T = mg = (5,00 кг) (9,80 м / с2) = 49,0 N.

4,20

Другой пример действия третьего закона Ньютона — это толчок. Ракеты движутся вперед, выбрасывая газ назад с высокой скоростью. Это означает, что ракета прилагает большую силу назад к газу в камере сгорания ракеты, а газ, в свою очередь, в ответ оказывает большую силу вперед на ракету. Эта сила реакции называется тяги .

Советы для успеха

Распространенное заблуждение состоит в том, что ракеты двигаются сами по себе, ударяясь о землю или воздух позади них.На самом деле они лучше работают в вакууме, где им легче выводить выхлопные газы.

Ссылки на физику

Математика: стратегия решения проблем для законов движения Ньютона

Основы решения проблем, представленные ранее в этом тексте, сопровождаются здесь конкретными стратегиями применения законов движения Ньютона. Эти методы также укрепляют концепции, полезные во многих других областях физики.

Во-первых, определите задействованные физические принципы.Если проблема связана с силами, тогда задействованы законы движения Ньютона, и важно нарисовать тщательный набросок ситуации. Пример эскиза показан на рисунке 4.10. Затем, как показано на рисунке 4.10, используйте векторы для представления всех сил. Тщательно пометьте силы и убедитесь, что их длина пропорциональна величине сил, а стрелки указывают направление, в котором действуют силы.

Рис. 4.10 (а) Эскиз Тарзана, неподвижно свешивающегося на лозе.(b) Стрелки обозначают все силы. T — это напряжение, прилагаемое к Тарзану виноградной лозой, FTFT — это сила, прилагаемая Тарзаном к виноградной лозе, а W — это вес Тарзана (т. Е. Сила, действующая на Тарзана под действием силы тяжести Земли). Предполагается, что все другие силы, такие как легкий ветерок, незначительны. (c) Предположим, нам дали массу Тарзана и попросили найти напряжение в лозе. Мы определяем интересующую систему, как показано, и рисуем диаграмму свободного тела, как показано на (d).FTFT больше не отображается, потому что не влияет на интересующую систему; скорее FTFT действует во внешнем мире. (d) Диаграмма свободного тела показывает только внешние силы, действующие на Тарзана. Чтобы их сумма равнялась нулю, мы должны иметь T = W.T = W.

Затем составьте список известных и неизвестных и присвойте имена переменным количествам, указанным в задаче. Выясните, какие переменные необходимо вычислить; это неизвестные. Теперь тщательно определите систему: какие объекты представляют интерес для задачи.Это решение важно, потому что второй закон Ньютона включает только внешние силы. После идентификации системы можно увидеть, какие силы являются внешними, а какие — внутренними (см. Рисунок 4.10).

Если система воздействует на объект вне системы, то вы знаете, что внешний объект оказывает на систему силу равной величины, но в противоположном направлении.

Диаграмма, показывающая интересующую систему и все внешние силы, действующие на нее, называется диаграммой свободного тела.На диаграммах свободного тела показаны только внешние силы, а не ускорение или скорость. На рис. 4.10 показана диаграмма свободного тела интересующей системы.

Изобразив диаграмму свободного тела, примените второй закон Ньютона для решения проблемы. Это показано на рис. 4.10 для случая, когда Тарзан висит на лозе. Когда внешние силы четко определены на диаграмме свободного тела, переведите силы в форму уравнения и решите для неизвестных. Обратите внимание, что силы, действующие в противоположных направлениях, имеют противоположные знаки.По соглашению силы, действующие вниз или влево, обычно отрицательны.

Проверка захвата

Если проблема имеет более одной интересующей системы, требуется более одной диаграммы свободного тела для описания внешних сил, действующих на разные системы.

1. Истинно
2. Ложь

Watch Physics

Третий закон движения Ньютона

Это видео объясняет третий закон движения Ньютона на примерах, включающих толчок, нормальную силу и тягу (силу, которая приводит в движение ракету или реактивный самолет).

Проверка захвата

Если космонавт на видео хотел двигаться вверх, в каком направлении он должен бросить объект? Почему?

1. Он должен бросить объект вверх, потому что, согласно третьему закону Ньютона, объект будет оказывать на него силу в том же направлении (т. Е. Вверх).
2. Он должен бросить объект вверх, потому что, согласно третьему закону Ньютона, объект будет оказывать на него силу в противоположном направлении (то есть вниз).
3. Он должен бросить объект вниз, потому что, согласно третьему закону Ньютона, объект будет оказывать на него силу в противоположном направлении (т. Е. Вверх).
4. Он должен бросить объект вниз, потому что, согласно третьему закону Ньютона, объект будет оказывать на него силу в том же направлении (то есть вниз).

Рабочий пример

Тележка с ускоряющим оборудованием

Учитель физики толкает тележку с демонстрационным оборудованием в класс, как показано на рисунке 4.11. Масса 65,0 кг, масса тележки 12,0 кг, масса оборудования 7,0 кг. Чтобы толкнуть тележку вперед, ступня учителя прикладывает к полу силу 150 Н в противоположном направлении (назад). Рассчитайте ускорение, произведенное учителем. Сила трения, противодействующая движению, составляет 24,0 Н.

Рисунок 4.11

Стратегия

Поскольку они ускоряются вместе, мы определяем систему как учитель, тележку и оборудование. Учитель отталкивается назад с силой FfootFfoot 150 Н.Согласно третьему закону Ньютона, пол воздействует на систему передним усилием FfloorFloor равным 150 Н. Поскольку все движения горизонтальны, мы можем предположить, что в вертикальном направлении не действует никакая результирующая сила, и проблема становится одномерной. Как показано на рисунке, трение f противодействует движению и, следовательно, действует в направлении, противоположном направлению Ffloor.Floor.

Мы не должны включать силы FteacherFteacher, FcartFcart или FfootFfoot, потому что они применяются системой, а не системой.Мы находим чистую внешнюю силу, складывая внешние силы, действующие на систему (см. Диаграмму свободного тела на рисунке), а затем используем второй закон Ньютона, чтобы найти ускорение.

Решение

Второй закон Ньютона —

Чистая внешняя сила, действующая на систему, является суммой внешних сил: силы пола, действующей на учителя, тележку и оборудование (в горизонтальном направлении), и силы трения. Поскольку трение действует в противоположном направлении, мы присваиваем ему отрицательное значение.Таким образом, для чистой силы получаем

Fnet = Ffloor − f = 150 N − 24,0 N = 126 N.Fnet = Ffloor − f = 150 N − 24,0 N = 126 N.

4,22

Масса системы складывается из массы учителя, тележки , и оборудование.

m = (65,0 + 12,0 + 7,0) кг = 84 кг · m = (65,0 + 12,0 + 7,0) кг = 84 кг

4,23

Вставьте эти значения нетто F и m во второй закон Ньютона, чтобы получить ускорение системы. .

a = Fnetma = 126 N84 кг = 1,5 м / с2a = Fnetma = 126 N84 кг = 1,5 м / с2

4.24

Обсуждение

Ни одна из сил между компонентами системы, например, между руками учителя и тележкой, не влияет на чистую внешнюю силу, потому что они являются внутренними по отношению к системе. Другой способ взглянуть на это — отметить, что силы между компонентами системы компенсируются, потому что они равны по величине и противоположны по направлению. Например, сила, прикладываемая учителем к тележке, имеет равную величину, но в противоположном направлении силы, прикладываемой тележкой к учителю.В этом случае обе силы действуют на одну и ту же систему, поэтому они нейтрализуются. Определение системы имело решающее значение для решения этой проблемы.

Практические задачи

14.

Каково уравнение нормальной силы для тела массой м , покоящегося на горизонтальной поверхности?

1. N = м
2. N = мг
3. N = мВ
4. N = г

15.

Объект массой м покоится на полу.Какова величина и направление действующей на него нормальной силы?

1. N = мВ в направлении вверх
2. N = мг в направлении вверх
3. N = мВ в направлении вниз
4. N = мг в направлении вниз

Проверьте свое понимание

Поддержка учителей

Поддержка учителей

Используйте вопросы в разделе «Проверьте свое понимание», чтобы оценить, усвоили ли учащиеся учебные цели этого раздела.Если учащиеся не справляются с какой-либо конкретной целью, проверка «Проверьте свое понимание» поможет определить, какая цель вызывает проблему, и направит учащихся к соответствующему содержанию.

16.

Что такое третий закон движения Ньютона?

1. Всякий раз, когда первое тело оказывает силу на второе тело, первое тело испытывает силу, которая в два раза больше, и действует в направлении приложенной силы.
2. Каждый раз, когда первое тело оказывает силу на второе тело, первое тело испытывает силу, равную по величине и действующую в направлении приложенной силы.
3. Когда первое тело оказывает силу на второе тело, первое тело испытывает силу, которая в два раза больше, но действует в направлении, противоположном направлению приложенной силы.
4. Всякий раз, когда первое тело оказывает силу на второе тело, первое тело испытывает силу, равную по величине, но действующую в направлении, противоположном направлению приложенной силы.

17.

Учитывая третий закон Ньютона, почему две равные и противоположные силы не уравновешивают друг друга?

1. Поскольку две силы действуют в одном направлении
2. Потому что две силы имеют разную величину
3. Потому что две силы действуют на разные системы
4. Поскольку две силы действуют в перпендикулярных направлениях

Найдите момент около точки О.Пожалуйста, объясните. Спасибо 500 Н 5 3 4 1 м -1 м 2 м 500 Н 5 3 4 1 м -1 м 2 …

Определите (а) Момент F = 300 Н نقطتان около точки o 500 Н …

Определите: (a) Момент F = 300 N около точки o 500 N 300N (45 25m -2 m- 600N قطابتك نقطتان b) Момент F = 500 N около) точка o ابتك abä с) Момент F = 600 N около точка) O ابتك d) результирующий момент, созданный) силами вокруг точки o ابتك

Q4) Найдите момент, создаваемый силой Fi относительно точки B. Найдите момент, создаваемый…

Q4) Найдите момент, создаваемый силой Fi относительно точки B Найдите момент, создаваемый силой Fs относительно точки A Найдите результирующий момент относительно точки A (сумма всех моментов, создаваемых всеми силами вокруг точки A) F2 = 300 NF, = 250 N 3 4 м Fs 500 N

1. Найдите момент относительно точки O за счет силы P. 2. Найдите момент …

1. Найдите момент относительно точки O за счет силы P. 2. Найдите момент около точки O из-за комбинированного силы Q и R 3.Найдите момент около точки B из-за объединенные силы Q и R 4. Найдите момент около точки А из-за того, что объединенные силы Q и R 5. Одинаковы ли моменты относительно точек O, B, A из-за объединенные силы Q и R. Почему? 6. Не …

Помогите найти ответ Задача 1/2: Определите момент относительно точки A, если каждая секция представляет 1 …

Помогите найти ответ Задача 1/2: Определите момент относительно точки А, если каждая секция представляет собой 1 фут на 1 фут. 26 фунтов 12 5 15 фунтов 4 34 фунтов 8 15 A 30 фунтов <Задача 2/2: Определите момент относительно точки A.3 м 4 м 390 Н 5 12 200 Н 6 м

(1 балл) Если Y является биномиальным (n, p), найдите MGF Y. M (t) Если n = 13 и p = 0,2, дифференцируйте MGF, который вы нашли выше, чтобы найти первые 3 момента Y около 0. 1-й момент: 2-й момент: 3-й момент: мы …

(1 балл) Если Y является биномиальным (n, p), найдите MGF Y. M (t) Если n = 13 и p = 0,2, дифференцируйте MGF, который вы нашли выше, чтобы найти первые 3 момента Y около 0. 1-й момент: 2-й момент: 3-й момент: Используя моменты выше, вычислите дисперсию Y.var (Y) = (1 балл) Если Y является биномиальным (n, p), найдите MGF Y. M (t) Если n = 13 и p = 0,2, дифференцируйте MGF, который вы нашли …

Рисунок Определите результирующий момент, создаваемый силами относительно точки O. Предположим, Fi = 500 …

Рисунок Определите результирующий момент, создаваемый силами вокруг точки O. Предположим, Fi = 500 Н, F2 = 350 Н и F3 = 550 Н. (Рисунок 1) Выразите свой ответ тремя значащими цифрами и включите соответствующие единицы. (<1 из 1>? OCH Å M.= Значение 2 Единицы Отправить запрос Ответ № 45 ° 2,5 м под углом — 1 м + 2 м Оставить отзыв Далее>

Вычислите момент каждой силы относительно точки A. 260 Н 1,5 м 30 ° 2,5 м …

Вычислите момент каждой силы относительно точки A. 260 Н 1,5 м 30 ° 2,5 м 620 Н 1,5 м — 1,3 м + 500 Н

Определите момент каждой из трех сил относительно точки A. Fi 250 N 30 …

Определите момент каждой из трех сил относительно точки А.Fi 250 N 30 2300 N 60 ° 4 м F 500 N

Q3) Рассчитайте момент относительно точки A. (25 баллов) 40 Н 30 Н 200 Нм SON Q4) …

Q3) Рассчитайте момент относительно точки A. (25 баллов) 40 Н 30 Н 200 Нм SON Q4) Рассчитайте момент относительно точки A. (25 баллов) 9 кН / м 6 кН / м 3 кН / м -1,5 м + 3 м-. 5 мес.

Для каждого следующего случая определите момент сила около точки О. 50 Н 2 …

Для каждого следующего случая определите момент сила около точки О.50 Н 2 м 2 м 60 С 30 ° 3 м 20 С 40 С

Механика материалов: кручение »Механика тонких конструкций

---

Деформация при кручении

Крутящий момент — это момент, который скручивает структуру. В отличие от осевых нагрузок, которые создают равномерное или среднее напряжение по поперечному сечению объекта, крутящий момент создает распределение напряжения по поперечному сечению. Для простоты мы сосредоточимся на структурах с круглым поперечным сечением, часто называемых стержнями или валами.Когда к конструкции приложен крутящий момент, она будет закручиваться по длинной оси стержня, а ее поперечное сечение остается круглым.

Чтобы представить себе, о чем я говорю, представьте, что поперечное сечение стержня представляет собой часы с часовой стрелкой. Когда крутящий момент не применяется, часовая стрелка находится в положении «12 часов». Когда к стержню прилагается крутящий момент, он будет вращаться, и часовая стрелка повернется по часовой стрелке в новое положение (скажем, на 2 часа). Угол между 2 часами и 12 часами называется углом поворота и обычно обозначается греческим символом phi .Этот угол позволяет определить деформацию сдвига в любой точке поперечного сечения.

Прежде чем мы углубимся в детали этого уравнения, важно отметить, что, поскольку мы обсуждаем только круглые сечения , мы перешли с декартовых координат на цилиндрические. Отсюда и возник греческий символ rho — он обозначает расстояние по поперечному сечению, где rho = 0 в центре и rho = c на внешнем крае стержня.

Мы можем сразу узнать несколько вещей из этого уравнения. Первое может быть очевидным: чем больше угол скручивания, тем больше деформация сдвига (как и раньше, обозначается греческим символом gamma ). Во-вторых, и в этом большая разница между осевыми нагруженными конструкциями и нагруженными крутящим моментом, деформация сдвига неоднородна по поперечному сечению. Он равен нулю в центре скрученного стержня и имеет максимальное значение на краю стержня. Наконец, чем длиннее стержень, тем меньше деформация сдвига.

Пока что мы сосредоточили наше внимание на смещениях и деформациях. Чтобы обсудить напряжение внутри скрученного стержня, нам нужно знать, как связаны крутящий момент , и напряжение , напряжение . Поскольку скручивание вызывает деформацию сдвига, мы ожидаем, что крутящий момент будет прикладывать напряжение сдвига . Взаимосвязь между крутящим моментом и напряжением сдвига подробно описана в разделе 5.2 вашего учебника, и это приводит к следующему соотношению:

В этом уравнении Дж обозначает второй полярный момент площади поперечного сечения.Иногда это называют «вторым моментом инерции», но поскольку это уже имеет хорошо установленное значение в отношении динамического движения объектов, давайте не будем здесь путать вещи. Мы обсудим моменты площади более подробно позже, но они принимают очень простую форму для круглых поперечных сечений:

(Примечание: это одно и то же уравнение — твердые стержни имеют внутренний радиус c _i = 0).

Теперь у нас есть уравнения для нашей деформации сдвига и напряжения сдвига, все, что осталось сделать, это использовать закон Гука для сдвига, чтобы увидеть, как они связаны.Закон Гука позволяет нам записать красивое уравнение для угла скручивания — очень удобную вещь для измерения в лаборатории или в полевых условиях.

И, как мы видели для осевых смещений , мы можем использовать суперпозицию и для наших сдвиговых деформаций :

Это окончательное уравнение позволяет разделить крутящие моменты, приложенные к разным частям одной и той же конструкции. Давайте решим проблему и посмотрим, понимаем ли мы, что происходит с крутильными деформациями.

Трансмиссия

Одним из наиболее распространенных примеров кручения в инженерном проектировании является мощность, генерируемая трансмиссионными валами. Мы можем быстро понять, как скручивание генерирует мощность, просто выполнив простой анализ размеров. Мощность измеряется в единицах: Вт [Вт] , а 1 Вт = 1 Н · м · с ^-1 . В начале этого раздела мы отметили, что крутящий момент представляет собой крутящую пару, что означает, что он имеет единицы силы, умноженные на расстояние, или [Н · м].Итак, при осмотре, чтобы генерировать мощность с крутящим моментом, нам нужно что-то, что происходит с заданной частотой f , поскольку частота измеряется в герцах [Гц] или [с ^-1 ]. Таким образом, мощность на оборот (2 * пи) круглого стержня равна приложенному крутящему моменту, умноженному на частоту вращения, или:

В крайней правой части уравнения мы использовали соотношение, согласно которому угловая скорость, обозначаемая греческой буквой omega , равна частоте, умноженной на 2pi.

Статически неопределимые задачи

Одно уравнение, два неизвестных… мы шли по этому пути, прежде чем понадобилось что-то еще. Хотя типы нагрузки и деформации различны, статически неопределенные задачи , связанные с скручиванием стержней, решаются точно так же, как и с осевыми нагруженными конструкциями. Начнем со схемы свободного тела скрученного стержня. Возьмем, к примеру, стержень на рисунке ниже, застрявший между двумя стенами.

Сразу после осмотра вы должны заметить, что стержень прикреплен к двум стенкам, тогда как для статического равновесия требуется только одна. Больше опор, чем необходимо: статически неопределимых . Статическая неопределенность означает: нарисуйте диаграмму свободного тела, просуммируйте силы в направлении x —, и вы получите одно уравнение с двумя неизвестными силами реакции. Итак, нам нужно учитывать наши деформации — для кручения это означает, что давайте обратимся к нашему уравнению, которое описывает суперпозицию углов закручивания.Для этого уравнения мы должны отметить, что половина стержня сплошная, а другая половина — полая, что влияет на то, как мы вычисляем Дж для каждой половины. Самое главное, мы должны спросить себя: «Что мы знаем о деформации?» Ну, поскольку стержень прилипает к стене краем, скручивание на A и B должно быть равно нулю (точно так же, как смещение в последней секции). Посмотрите, сможете ли вы решить остальную проблему самостоятельно: каков крутящий момент в каждой половине стержня?

(ответ: T _a = 51.7 фунт-фут & T _b = 38,3 фунт-фут).

Сводка

В этом уроке мы узнали о крутящем моменте и торсионном . Этот другой тип нагрузки создает неравномерное распределение напряжений по поперечному сечению стержня — от нуля в центре до максимального значения на краю. На основе этого анализа мы можем установить взаимосвязь между углом скручивания в любой точке вдоль стержня и деформацией сдвига внутри всего стержня.Используя закон Гука, мы можем связать эту деформацию с напряжением внутри стержня. Мы также использовали метод анализа размеров для определения мощности, генерируемой трансмиссионным валом (т. Е. Стержнем), который вращается с заданной частотой под действием приложенного крутящего момента. Наконец, мы показали, что проблемы кручения также часто являются статически неопределенными , и даже несмотря на то, что нагрузка и деформация различаются, метод, который мы установили в предыдущем разделе для решения задач с осевой нагрузкой, представляет собой тот же метод решения проблем с крутящим моментом.

Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта № 1454153. Любые мнения, выводы, выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат авторам и не обязательно отражают точку зрения Национального научного фонда. Научный фонд.

Момент вокруг оси y

Момент силы вокруг оси Шарнир, подобный показанному выше, допускает вращение только вдоль оси шарнира.Поскольку это соответствует моментам вдоль оси шарнира, может быть полезно специально рассчитать момент силы, действующей вокруг оси шарнира.

22 июля 2008 г. · Найдите момент инерции I_x частицы a относительно оси x (то есть, если ось x является осью вращения), момент инерции I_y частицы a относительно оси y оси и момент инерции I_z частицы a относительно оси z (ось, которая проходит через начало координат перпендикулярно обеим осям x и y).

Ответ на вопрос-2 Найдите момент инерции относительно центральной оси X и центральной оси Y t-геометрии Рисунок: 2 60 мм 30 мм …

Определены вторые моменты площади относительно осей x и y. as: Вычисление интегралов упрощается, если выбрать dΑ как тонкую полоску, параллельную одной из осей координат. I x = ∫ydA I y = ∫xdA 2 2 Пример Найдите второй момент площади и радиусы вращения относительно оси x и оси y. Вторник, 17 ноября 2009 г. 23:01

17 апреля 2020 г. · С помощью такой числовой прямой можно найти и нанести на график любое число.Ось Y представляет собой такую ​​же числовую линию, только идущую вертикально и перпендикулярно первой. Назначив значение как для x, так и для y, можно нанести любую точку на двумерной плоскости. Эти значения для x и y называются координатами и задаются парами со значением x первым. Точка, расположенная на три единицы правее начала координат по оси x и на две единицы выше начала координат по оси y, находится в координатах (3,2).

Он может вращаться вокруг оси x, y или z, но он предпочтет вращаться вокруг оси с наибольшей инерцией.В этом случае собственные значения будут иметь разные значения, которые будут значениями членов инерции в ведущих значениях. Собственные векторы будут в направлении осей x, y и z.

4 июля 2019 г. · а. Найдите электрическое поле, перпендикулярное оси между зарядами диполя. Найдите приближение дальнего поля. б. Найти электрическое поле вдоль оси зарядов диполя. Сравните приближение дальнего поля для этого случая с приближением пункта а) выше. c. Найдите электрическое поле, перпендикулярное плоскости, которая включает в себя дипольные заряды

.