| Обратная связь | Нахождение момента инерции – вычислительная задача. Найдем моменты инерции для простейших геометрически правильных форм твердого тела, масса которого равномерно распределена по объему. Момент инерции обруча относительно оси перпендикулярно его плоскости и проходящей через его центр. Обруч будем считать бесконечно тонким, т. е. толщиной обода можно пренебречь по сравнению с радиусом R. Поскольку в этой системе все массы находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, R2 можно вынести из-под знака интеграла: где – полная масса обруча.
Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр. Диск будем считать бесконечно тонким, т. е. его толщина много меньше радиуса R. Момент инерции, согласно определению, величина аддитивная: момент инерции целого тела равен сумме моментов инерции его частей. Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца радиусом г и шириной Площадь выделенного кольца равна произведению его длины окружности на ширину кольца: 2πrdr. Поскольку масса m диска распределена равномерно, то масса единицы площади диска равна m/(πR2). Масса кольца: dm = 2πrdr(m/πR2) = (2m/πR2)rdr. Момент инерции кольца: dI = drm2 = (2m/πR2)r3dr. Просуммируем моменты инерций всех таких колец: . Момент инерции шара относительно его диаметра.
Объем диска dVz равен его площади, умноженной на толщину: dVz = πr2dz. Массу выделенного диска dm находим, разделив массу шара т на его объем 4πR3/3 и умножив на объем диска: . Момент инерции диска в данном случае: . Момент инерции шара находится интегрирование по всем таким дискам: . Момент инерции тонкого стержня Пусть стержень имеет длину l. Направим ось х вдоль стержня. Начало координат пусть находится на середине стержня. Возьмем элемент стержня длиной dx, находящийся на расстоянии х от оси вращения. Его масса равна dm = (m/l)dx, а момент инерции стержня – dI = dmx2 = (m/l)x2dx Отсюда находим момент инерции стержня:
Маятник Максвелла Для определения момента инерции тел с вращательной симметрией используется маятник Максвелла. В нем исследуемое тело совершает сложное плоско-параллельное движение. Небольшой диск (маховичок), насаженный туго на ось, опускается под действием силы тяжести на двух нитях, предварительно намотанных на ось маховичка. Нити во время движения разматываются до полной длины, раскрутившийся маховичок продолжает вращательное движение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять опускается вниз и т. д. Маховичок будет совершать колебания вверх и вниз, поэтому устройство называют маятником. Движение маятника Максвелла можно рассматривать как сложное, состоящее из поступательного движения вниз и вращательного вокруг своей оси симметрии. Поступательное движение описывается соответствующим уравнением динамики, которое мы запишем в проекциях на вертикальную ось, совпадающей по направлению с вектором g, где g – ускорение свободного падения: mа = mg — 2Т. Уравнение динамики для вращательной составляющей этого движения имеет следующий вид в проекциях на горизонтальную ось, совпадающей по направлению с вектором М: Iε = M, где m – масса маятника, 2T – суммарное натяжение нитей подвеса, I – момент инерции маятника относительно горизонтальной оси, ε – угловое ускорение, М – момент натяжения нитей, равный Взаимосвязь между поступательным и вращательным движениями: а =εR, а=2h/t2, где h – путь, проходимый маятником от верхней точки до нижней, t – время движения маятника при прохождении пути h. Из написанных выше уравнений получаем следующее: I = mR2*(gt2/2h – 1) = md2/4*(gt2/2h – 1) Эта формула выражает момент инерции маятника Максвелла, который состоит из оси, диска и кольца. Таким образом, момент инерции маятника Максвелла можно записать в виде: I = Iо где I – момент инерции маятника Максвелла, Iо – момент инерции оси подвеса, Iд – момент инерции диска, Iк – момент инерции накладного кольца. Аналогично можно записать и массу маятника Максвелла: m = mо + mд + mк, где m – масса маятника Максвелла, mо – масса оси подвеса, mд – масса диска, mк – масса съемного кольца. Выразим момент инерции кольца: Iк = I — I Для исключения неизвестных величин проведем эксперимент с кольцами разной массы. Запишем для каждого кольца выражение Iк1 = I1 — Iо — Iд, Iк2 = I2 — Iо — Iд Так как внешние и внутренние радиусы колец одинаковы, то: . Решив систему уравнений, получим: , . Для третьего кольца момент инерции будет равен: . Таблица 1Формулы расчета момента инерции
где кг/м3 – плотность материала, из которого изготовлена ось и диск; кг/м3 – плотность материала кольца; Ro – радиус оси; Rд – радиус диска; Rвнеш и Rвн – внешний и внутренний радиусы кольца; λ – длина оси; bд – толщина диска; bк – толщина накладного кольца.
Экспериментальная часть Для определения момента инерции тел вращения будем использовать специальную установку – маятник Максвелла. 1 – основание, 2 – стойка, 3 – неподвижный верхний кронштейн, 4 – подвижный кронштейн, 5 – электромагнит, 6 – вороток с фиксатором, 7 – фотодатчик, 8 – ось с закрепленным на ней диском, 9 – бифилярный подвес, 10 – сменное металлическое кольцо, 11 – миллисекундомер.
Упражнение 1. Определение момента инерции маятника Максвелла. 1. Включаем в сеть шнур питания миллисекундомера и нажимаем на кнопку «сеть», расположенную на лицевой панели секундомера. При этом загораются лампочки фотодатчика и цифровые индикаторы миллисекундомера. 2. Устанавливаем на диске маятника кольцо с массой m
3. По шкале на стойке 2 определяем ход маятника h от верхней точки до нижней. h = 23,2 см = 0,232 м 4. Вращая маятник, зафиксируем его в верхнем положении при помощи электромагнита, следя за тем, чтобы нить наматывалась на ось виток к витку. Нажимаем на кнопку «сброс» и убеждаемся, что индикатор секундомера обнулился. 5. Плавно нажимаем кнопку «пуск» на милисекундомере и измеряем время хода маятника t. Измерения повторяем 10 раз. Находим среднее значение хода маятника tср. 6. Проделываем пп. 2-5 с кольцами массой mк2 и mк3. 7. Измеряем штангенциркулем радиус оси Ro 8. Результаты всех измерений оформляем в виде таблицы.
9. По формулам рассчитаем экспериментальные значение момента инерции маятника Максвелла с первым, вторым и третьим кольцом. I = mR2*(gt2/2h – 1)
10. Вычислим доверительный интервал в определении момента инерции маятника и относительную ошибку согласно теории погрешности для всех трех случаев.
11. Запишем конечные результаты для моментов инерции маятника Максвелла с первым, вторым и третьим кольцом с учетом доверительного интервала и относительной погрешности.
12. По формулам рассчитаем теоретические значения момента инерции маятника Максвелла с первым, вторым и третьим кольцом.
13. Вычислим относительную ошибку измерения: Е = ∆ х / хист. * 100%
Упражнение 2. Определение момента инерции накладных колец. 1. Включаем в сеть шнур питания миллисекундомера и нажимаем на кнопку «сеть», расположенную на лицевой панели секундомера. При этом загораются лампочки фотодатчика и цифровые индикаторы миллисекундомера. 2. Устанавливаем на диске маятника кольцо с массой mк1. 3. По шкале на стойке 2 определяем ход маятника h от верхней точки до нижней. h = 23,2 см = 0,232 м 4. Вращая маятник, зафиксируем его в верхнем положении при помощи электромагнита, следя за тем, чтобы нить наматывалась на ось виток к витку. Нажимаем на кнопку «сброс» и убеждаемся, что индикатор секундомера обнулился. 5. Плавно нажимаем кнопку «пуск» на милисекундомере и измеряем время хода маятника t. Измерения повторяем 10 раз. Находим среднее значение хода маятника tср. 6. Проделываем пп. 2-5 с кольцами массой mк2 и mк3. 7. Измеряем штангенциркулем радиус оси Ro, радиус диска Rд, внешний Rвнеш и внутренний Rвн радиусы трех колец с разной массой. Измерения выполнены с учетом поправки на 9,9 мм. 8. Результаты всех измерений оформляем в виде таблицы.
9. По формулам рассчитаем экспериментальные значения момента инерции маятника Максвелла с первым, вторым и третьим кольцом. , . .
10. Вычислим доверительный интервал в определении момента инерции маятника и относительную ошибку согласно теории погрешности для всех трех случаев.
11. Запишем конечные результаты для моментов инерции маятника Максвелла с первым, вторым и третьим кольцом с учетом доверительного интервала и относительной погрешности.
12. По формуле рассчитаем теоретические значения момента инерции первого, второго и третьего кольца: .
13. Вычислим относительную ошибку измерения: Е = ∆ х / хист. * 100%
Вывод: | |
Не удается найти страницу | Autodesk Knowledge Network
(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})
{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}}*
{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}
{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}}/500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$item}} {{l10n_strings.PRODUCTS}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}
{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$select.selected.display}}{{article.content_lang.display}}
{{l10n_strings.AUTHOR}}{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}
{{$select.selected.display}} {{l10n_strings.CREATE_AND_ADD_TO_COLLECTION_MODAL_BUTTON}} {{l10n_strings.CREATE_A_COLLECTION_ERROR}}Расчет моментов инерции | Онлайн калькулятор
При выполнении расчетов часто приходится вычислять моменты инерции сложных сечений относительно различных осей, лежащих в плоскости фигуры. Для стандартных поперечных сечений стержней моменты инерции даны в таблицах ГОСТ 8509-93, ГОСТ 8510-86, ГОСТ 57837-2017, ГОСТ 8240-97. В остальных случаях, для выполнения онлайн расчета момента инерции круга, кольца, треугольника, прямоугольного контура, нестандартных сварных швеллера, уголка и двутавра можно воспользоваться данной страницей нашего сайта.
Момент инерции треугольника
Момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной одной из его сторон вычисляется по формуле:
Ix0 = b×h 3 / 36;
Момент инерции треугольника относительно оси, совпадающей с одной из его сторон:
Ix1 = b×h 3 / 12;
Момент инерции треугольника относительно оси, параллельной одной из его сторон и проходящей через противоположную вершину:
Ix2 = b×h 3 / 4.
Момент инерции кольца относительно главной центральной оси:
Ix = π×D 4/64 — π×d 4/64;
Полярный момент инерции кольца:
Ip = π×D 4/32 — π×d 4/32.
Момент инерции прямоугольника относительно главных центральных осей:
Ix = (b×h 3 — b1×h2 3)/12;
Iy = (h×b 3 — h2×b1 3)/12.
Моменты инерции двутавра относительно главных центральных осей:
Ix = (B×H 3 — (B — s)×(H — 2t) 3) / 12;
Iy = (2t×B3 + (H — 2t)×s3) / 12.
Моменты инерции уголка относительно центральных осей:
Ix = (d×(H — y)3 + B×y3 — (B — d)×(y — d)3) / 3;
Iy = (d×(B — x)3 + H×x3 — (H — d)×(x — d)3) / 3,
где x и y — расстояния от наружных сторон уголка до центральных осей Y и X соответственно.
Моменты инерции швеллера относительно главных центральных осей:
Ix = (B×H 3 — (B — s)×(H-2d)3) / 12;
Iy = (H×x 3 — (H — 2d)×(x — s)3 + d×(B — x) 3)/3,
где x — расстояния от наружной сторон швеллера до центральной оси Y.
Расчеты моментов инерции по умолчанию выполнены относительно центральных и главных центральных осей сечения. Моменты инерции относительно осей, параллельных главным центральным осям можно вычислить, прибавив к полученному результату произведение квадрата расстояния между соответствующими осями на площадь сечения.
©ООО»Кайтек», 2020. Любое использование либо копирование материалов или подборки материалов сайта, может осуществляться лишь с разрешения автора (правообладателя) и только при наличии ссылки на сайт www.caetec.ru
Вычисление момента инерции некоторых тел
J = ;
1. Момент инерции однородного обруча относительно оси, перпендикулярной к плоскости обруча и проходящей через его центр.
Будем считать толщину обруча постоянной, разобьем обруч на малые элементы mi;. Момент инерции относительно оси выразится выражениями ,
;
2. Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс и через один из концов стержня.
Разобьем стержень на малые элементы. Момент инерции относительно оси одной половины стержня равен , а всего стержня,.
Если S — сечение стержня, — плотность материала, то m = Sr;
JC=2Sri2r=2Sri2r в пределе операция суммирования переходит в интегрирование ;
Так как m = Sl — масса стержня, то момент инерции стержня относительно центра
JC = ;
Момент инерции шара
Момент инерции сплошного цилиндра или диска
Момент инерции тела зависит от формы тела, относительно какой оси вращается тело и от распределения массы по объему тела.
Теорема Штейнера: Момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту инерции JC относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела m на квадрат расстояния между осями d.
Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.
Работа внешних сил при вращении твердого тела.
Рассмотрим теперь вращение тела с энергетической точки зрения. Допустим, что в некоторой точке тела приложена сила (в плоскости, перпендикулярной оси вращения), направление которой совпадает с вектором линейной скорости этой точки. Поэтому речь идет о силе = .
Элементарная работа этой силы равна
dA = Fds,
где ds — элемент дуги окружности, связанный, как известно, с ее радиусом и углом поворота следующим образом:
dS = rd;
Тогда
dA = Frd или
dA = Md .
Если М = const, то при повороте тела на конечный угол , формула для работы имеет вид
A = M;
Найдем теперь кинетическую энергию вращающегося тела. Очевидно, эта энергия должна быть равна сумме кинетических энергий отдельных материальных точек, т.е.
WК = ,
i = ri и, принимая во внимание, что момент инерции тела относительно оси вращения
WK =
Сравнивая полученное выражение с выражением для кинетической энергии тела, движущегося поступательно WK = , приходим к выводу, что момент инерции вращательного движения — мера инертности тела.
Работа А, совершенная моментом внешних сил на протяжении угла поворота = 2 — 1, связана с изменением кинетической энергии вращения тела следующим образом
A = ;
где 2 и 1— угловые скорости тела в моменты, когда его угловые координаты равны соответственно 2 и 1.
В случае, например, скатывающегося цилиндра с наклонной плоскости без скольжения энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения
WK = +
где т — масса катящегося тела; C — скорость центра масс тела;
Jc — момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс; — угловая скорость тела.
Элементы механики жидкостей и газов.
Давление в жидкости и газе.
Молекулы газа, совершая беспорядочное, хаотическое движение, не связаны или слабо связаны силами взаимодействия, поэтому они движутся свободно и в результате соударений стремятся разлететься во все стороны, заполняя весь предоставленный им объем, т.е. объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает.
Как и газ, жидкость принимает форму того сосуда, в который она заключена. Но в жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом.
Хотя свойства жидкостей и газов во многом отличаются, в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому гидроаэромеханика — раздел механики, изучающий равновесие и движение жидкостей и газов, их взаимодействие между собой и обтекаемыми или твердыми телами — использует единый подход к изучению жидкостей и газов.
В механике жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные тела в занятой ими части пространства.
Плотность жидкости мало зависит от давления и во многих задачах можно пользоваться понятием несжимаемой жидкости — жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем.
Жидкости имеют следующие наиболее характерные свойства.
Типичные жидкости (вода, бензин, спирт и т.п.) не имеют трения покоя, частицы их очень подвижны. В других жидкостях имеется вязкость (внутреннее трение) — это мед, масло, вар и т.п. Однако при продолжительном действии силы частицы вязкой жидкости тоже становятся подвижными. Это свойство выражается так: жидкости не имеют упругости формы, для них модуль сдвига равен нулю.
Практически все жидкости несжимаемы. Это значит, что для них коэффициенты сжатия имеют очень малые значения. Следовательно,
приближенно можно считать все жидкости невязкими и несжимаемыми: такие жидкости называются идеальными.
[P]=Па=н/м2
Действие силы тяжести приводит к возникновению разности давлений между горизонтальными слоями жидкости находящимися на различной глубине. Разность сил давления в слоях АВ и СД (рис. 1.27) равна весу вертикального столба жидкости с основанием S и высотой h1. При поперечном сечении S столба жидкости, его высоте h и плотности сила давления на слой находящийся на глубине h находится по формуле:
F =ghS, а давление на нижнее основание
давление столба жидкости
(1.2)
Если давление на поверхности P0, то в любом горизонтальном слое давление постоянно и будет зависеть от глубины слоя АВ:
(1.2)
Согласно формуле (1.82) сила давления на нижние слои жидкости будет больше, чем на верхние, поэтому на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны этой жидкости (газа) направленная вверх выталкивающая сила, равная весу жидкости (газа) вытесненной телом.
(1.2)
где — плотность жидкости,V — объем погруженного в жидкость тела.
Выведите формулу момента инерции кольца
Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла
, (4.14)
в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.
Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).
Для момента инерции можно написать IA = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m(l/2) 2 . Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, IC = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим
,
откуда k = 1/3. В результате находим
(4.15)
(4.16)
Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен
где R – радиус кольца. Ввиду симметрии IX = IУ.
Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.
Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dIz = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим
(4.18)
Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.
Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.
Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей
Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому
Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.
Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.
Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии IX = IY = IZ = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра
. (4.20)
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9006 – | 7249 – или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
Осевые моменты инерции некоторых тел
Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Материальная точка массы m
На расстоянии r от точки, неподвижная
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1
Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
Прямой тонкий стержень длины l и массы m
Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m
Ось проходит через центр сферы
Шар радиуса r и массы m
Ось проходит через центр шара
Конус радиуса r и массы m
Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m
Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
Правильный треугольник со стороной a и массой m
Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
Квадрат со стороной a и массой m
Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Сплошной однородный шар
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Как вывести формулу момента инерции
Осевые моменты инерции некоторых тел
Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения
Материальная точка массы m
На расстоянии r от точки, неподвижная
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r2 и внутренним радиусом r1
Сплошной цилиндр длины l, радиуса r и массы m
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l, радиуса r и массы m
Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс
Прямой тонкий стержень длины l и массы m
Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m
Ось проходит через центр сферы
Шар радиуса r и массы m
Ось проходит через центр шара
Конус радиуса r и массы m
Равнобедренный треугольник с высотой h, основанием a и массой m
Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину
Правильный треугольник со стороной a и массой m
Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс
Квадрат со стороной a и массой m
Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJi. Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R, внутренним радиусом R1, толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh, перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Сплошной однородный шар
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR.
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l/2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Момент инерции тела относительно какой-либо оси можно найти вычислением. Если вещество в теле распределено непрерывно, то вычисление момента инерции его сводится к вычислению интеграла
, (4.14)
в котором r – расстояние от элемента массы dm до оси вращения.
Момент инерции тонкого однородного стержня относительно перпендикулярной оси. Пусть ось проходит через конец стержня А (рис. 4.4).
Для момента инерции можно написать IA = kml 2 , где l – длина стержня, k – коэффициент пропорциональности. Центр стержня С является его центром масс. По теореме Штейнера IA = IC + m(l/2) 2 . Величину IC можно представить как сумму моментов инерции двух стержней, СА и СВ, длина каждого из которых равна l/2, масса m/2, а следовательно, момент инерции равен Таким образом, IC = km(l/2) 2 . Подставляя эти выражения в формулу для теоремы Штейнера, получим
,
откуда k = 1/3. В результате находим
(4.15)
(4.16)
Момент инерции бесконечно тонкого круглого кольца (окружности). Момент инерции относительно оси Z (рис. 4.5) равен
где R – радиус кольца. Ввиду симметрии IX = IУ.
Формула (4.17) очевидно, дает также момент инерции полого однородного цилиндра с бесконечно тонкими стенками относительно его геометрической оси.
Момент инерции бесконечно тонкого диска и сплошного цилиндра. Предполагается, что диск и цилиндр однородны, т. е. вещество распределено в них с постоянной плотностью. Пусть ось Z проходит через центр диска С перпендикулярно к его плоскости (рис. 4.6). Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо с внутренним радиусом r и наружным радиусом r + dr. Площадь такого кольца dS = 2prdr. Его момент инерции найдется по формуле (4.17), он равен dIz = r 2 dm. Момент инерции всего диска определяется интегралом Ввиду однородности диска dm = , где S = pR 2 – площадь всего диска. Вводя это выражение под знак интеграла, получим
(4.18)
Формула (4.18) дает также момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его продольной геометрической оси.
Вычисление момента инерции тела относительно оси часто можно упростить, вычислив предварительно момент инерции его относительно точки. Сам по себе момент инерции тела относительно точки не играет никакой роли в динамике. Он является чисто вспомогательным понятием, служащим для упрощения вычислений. Моментом инерции тела относительно точки О называется сумма произведений масс материальных точек, из которых тело состоит, на квадраты их расстояний R до точки О: q = ΣmR 2 . В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу q = ∫R 2 dm. Само собой понятно, что момент θ не следует смешивать с моментом инерции I относительно оси. В случае момента I массы dm умножаются на квадраты расстояний до этой оси, а в случае момента θ – до неподвижной точки.
Рассмотрим сначала одну материальную точку с массой m и с координатами x, у, z относительно прямоугольной системы координат (рис. 4.7). Квадраты расстояний ее до координатных осей Х, Y, Z равны соответственно у 2 + z 2 , z 2 + x 2 , x 2 + у 2 , а моменты инерции относительно тех же осей
Но х 2 + у 2 + z 2 = R 2 , где R – расстояние точки m от начала координат О. Поэтому
Это соотношение справедливо не только для одной материальной точки, но и для произвольного тела, так как тело можно рассматривать как совокупность материальных точек. Таким образом, сумма моментов инерции тела относительно трех взаимно перпендикулярных осей, пересекающихся в одной точке О, равна удвоенному моменту инерции того же тела относительно этой точки.
Момент инерции полого шара с бесконечно тонкими стенками.
Сначала найдем момент инерции θ относительно центра шара. Очевидно, он равен θ = mR 2 . Затем применяем формулу (4.19). Полагая в ней ввиду симметрии IX = IY = IZ = I. В результате находим момент инерции полого шара относительно его диаметра
. (4.20)
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9812 — | 7680 — или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.
Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.
Что такое инерция
Согласно определению инерция в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.
Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то момент инерции – отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции».
Определение момента инерции
Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.
По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.
Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J и в системе СИ измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.
Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.
Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m, вращающейся вокруг оси на расстоянии r от нее, данная формула принимает вид:
Теорема Штейнера
От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.
Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.
Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы
Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:
Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.
Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:
Пример решения задачи на нахождение момента инерции
Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.
Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.
Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от до R и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r, а масса – dm. Тогда момент инерции кольца:
Массу кольца можно представить в виде:
Здесь dz – высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:
В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.
Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.
Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:
Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач.
Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.
Уравнения движения. Момент инерции автомобиля — Эксперт Никонов Владимир Николаевич — Статьи
Это – вторая лекция из цикла, посвященного экспертному анализу движения автомобилей в ДТП. Вспомните, как фигуристка, обладая некоторым количеством вращательного движения, прижимает руки к телу и ее вращение ускоряется, так как ее момент инерции стал меньше, а количество движения неизменно. Для расчета же вращения автомобиля в плоскости необходимо знать его момент инерции относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести. В автомобильных справочниках, как правило, нет величины моментов инерции. Поэтому эксперты не мудрят — если им надо, они рассчитывают момент инерции упрощенно, как для плиты тех же габаритных размеров. Но правильно ли это? Знать ответ на этот вопрос полезно как адвокатам, так и экспертам.Момент инерции – это физическая величина, являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси. Момент инерции подобен массе тела, которая тоже является мерой его инертности, но в поступательном движении. Момент инерции характеризуется распределением масс в теле. Он равен сумме произведений элементарных масс, составляющих тело, на квадрат их расстояний до оси вращения.
Если массу автомобиля достаточно просто рассчитать, зная массы всех его деталей, или измерить на весах, то произвести расчет момента инерции автомобиля гораздо сложнее из-за сложной геометрической формы его деталей. Поэтому момент инерции автомобиля проще измерить на специальном стенде, работающего по принципу крутильного маятника, как, например, показано на рисунке выше.
Вычисление момента инерции автомобиля
Для простейших вычислений с использованием ньютоновской механики полагается, что масса транспортного средства сосредоточена в его центре тяжести. Это предположение правильно для центральных или для близких к нему ударов, когда линия силы удара проходит через центр тяжести автомобиля или близко к нему. Когда столкновение автомобилей имеют эксцентричный характер, с последующим вращением в результате удара, что является наиболее распространенным случаем ДТП, то простая модель центрального удара является неадекватной, и в таких случаях должно быть учтено распределение массы автомобиля относительно его центра тяжести.
Сопротивление объекта вращению прямо зависит от массы объекта и расположения этой массы по отношению к центру вращения, или от его момента инерции. Идеализированное транспортное средство может рассматриваться твердая однородная плита массойm (в килограммах) с длиной a (в метрах) и шириной b (в метрах). Тогда момент инерции этой однородной плиты относительно вертикальной оси, проходящей через ее центр тяжести, находится по формуле (в кг*м2):
Реальное транспортное средство – это не однородная плита. Оно имеет такие концентрированные массы, как, например, двигатель, трансмиссия, элементы подвески. Поэтому фактический момент инерции автомобиля всегда меньше момента инерции однородной плиты тех же геометрических размеров и массы.
Из специальной литературы известно несколько попыток предложить универсальный способ расчета момента инерции автомобиля в виде соотношения, связывающего массу автомобиля, его геометрические размеры и расположение центра тяжести. Однако все подобные исследования были произведены до 1997 года, и, в связи с изменяющимися стандартами и тенденциями развития автомобилестроения, результаты таких исследований быстро устаревают.
С целью получения актуальной информации из базы данных DSD, входящей в специальную компьютерную программу PC-Crash, была произведена выборка 73 наиболее распространенных в России моделей автомобилей 2009-2014 годов. Выборка производилась произвольно, для каждого производителя в выборку не включались автомобили сходных по габаритам и массе моделей. В таблицах ниже для каждой модели из выборки указаны наименование, масса снаряженного автомобиля, габаритная длина, габаритная ширина, расчетное значение момента инерции по приведенной выше формуле для однородной плиты, фактическое значение момента инерции, превышение расчетного значения момента инерции над фактическим в процентах.
Автомобили особо малого класса «A»
Автомобили малого класса «B»
Автомобили малого среднего класса «С»
Автомобили среднего класса «D»
Автомобили бизнес-класса «E»
Автомобили представительского класса «F»
Как видно из представленной выборки, расчетное значение момента инерции превышает его фактическое от 16% до 34%. Следовательно, можно ожидать, что аппроксимация линейной зависимостью значения фактического момента инерции как функции расчетного значения момента инерции даст приемлемые для использования результаты.
На графике на рисунке ниже ось абсцисс – расчетный момент инерции, ось ординат –фактический момент инерции, точками показаны фактические данные из таблиц выше. Методом наименьших квадратов была получена линейная зависимость фактического значения момента инерции от расчетного значения в виде
которая показана на рисунке ниже в виде сплошной прямой. Пунктиром показаны линии превышения момента инерции на плюс-минус 10%.
Видно, что на графике выше все фактические точки лежат в приемлемой области возможной погрешности значения момента инерции плюс-минус 10%.
Таким образом, с погрешностью не более 10% момент инерции автомобиля относительно вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести, может быть определен по графику выше или рассчитан по формуле
где m – масса снаряженного автомобиля, a – длина автомобиля, b – ширина автомобиля.
Для учета загрузки автомобиля водителем, пассажирами и грузом, согласно теореме Гюйгенса, для каждого из них можно прибавить к полученной величине момента инерции снаряженного автомобиля значение произведения массы каждого объекта на квадрат расстояния от центра тяжести этого объекта до центра тяжести автомобиля.
Резюме
Таким образом, данная лекция полезна не только для экспертов по ДТП, но и для адвокатов, осуществляющих защиту по ст.264 УК РФ. Адвокатам — тем, что можно легко проверить исходные данные эксперта, чтобы он не «накормил севрюжиной с хреном» как адвоката, так и его клиента, тихо увеличив в десяток-другой раз момент инерции одного из автомобилей, участвовавших в ДТП.Литература:
1. MacInnis, D., Cliff, W., and Ising, K., A Comparison of Moment of Inertia Estimation Techniques for Vehicle Dynamics Simulation. // SAE Technical Paper 970951, 1997, doi:10.4271/970951.Предыдущая лекция «Уравнения движения. Движение заторможенного автомобиля».
Все статьи автора на Праворубе.
Как рассчитать момент инерции
Как рассчитать момент инерции (MOI) в реальном мире
Первым шагом для расчета момента инерции массы является определение местоположения осей X, Y и Z. Точность расчетов (и измерений для проверки расчетов) будет во многом зависеть от того, насколько хорошо определены оси. Теоретически эти оси могут находиться в любом месте относительно рассматриваемого объекта при условии, что оси взаимно перпендикулярны.Однако в реальной жизни, если оси не определены четко и не могут быть точно привязаны, вычисления момента инерции бессмысленны.
Момент инерции аналогичен инерции, за исключением того, что он применяется к вращению, а не к линейному движению. Инерция — это тенденция объекта оставаться в покое или продолжать движение по прямой с той же скоростью. Инерцию можно рассматривать как другое слово для обозначения массы. Следовательно, момент инерции — это масса вращения. В отличие от инерции, MOI также зависит от распределения массы в объекте.Чем больше расстояние между массой от центра вращения, тем больше момент инерции.
Формула, аналогичная второму закону движения Ньютона, может быть записана для вращения:
F = Ma (F = сила; M = масса; a = линейное ускорение)
T = IA (T = крутящий момент; I = момент инерции; A = ускорение вращения)
Выбор местоположения опорной оси даже для сложной формы
Три опорные оси необходимы для вычисления центра тяжести, но только одна ось необходима для определения момента инерции.Хотя в качестве опорной можно выбрать любую ось, обычно желательно выбрать ось вращения объекта. Если объект установлен на подшипниках, то эта ось определяется средней линией подшипников. Если объект летит в пространстве, то эта ось является «главной осью» (ось, проходящая через центр тяжести и ориентированная таким образом, что произведение инерции относительно этой оси равно нулю (см. Обсуждение произведения инерции). будет использоваться для расчета момента инерции сложной формы, выберите ось симметрии, чтобы упростить расчет.Затем эту ось при желании можно переместить на другую ось, используя правила, изложенные в разделе «Теорема о параллельной оси».
Полярность момента инерции
Значения центра тяжести могут быть как положительными, так и отрицательными, и фактически их полярность зависит от выбора местоположения опорной оси. Значения момента инерции могут быть только положительными, так же как масса может быть только положительной.
Единицы момента инерции
В Соединенных Штатах слово «фунт» часто неправильно используется для обозначения как массы, так и веса.Если единицей веса является фунт, то единицей массы также не может быть фунт, поскольку это нарушит второй закон Ньютона. Однако по причинам, которые были потеряны в древности, в США объект весом 1 фунт часто упоминается как имеющий массу 1 фунт. Это приводит к единицам момента инерции, таким как фунт-дюйм 2 , где «фунт» относится к весу объекта, а не к его массе. Правильные единицы измерения момента инерции (а также произведения инерции): МАССА x РАССТОЯНИЕ 2 .Когда фунт-дюйм 2 или фунт-фут 2 используются для определения MOI или POI, величина ДОЛЖНА быть разделена на соответствующее значение «g», чтобы обеспечить правильность размеров в инженерных расчетах. Опять же, анализ размеров подтвердит, используются ли правильные единицы измерения. В следующей таблице показаны некоторые из используемых в настоящее время единиц для момента инерции и произведения инерции:
УСТРОЙСТВО КОММЕНТАРИИ
фунт-дюйм 2 фунт = вес; нужно разделить на g = 386.088 дюйм / сек 2
фунт-дюйм-сек 2 фунт-дюйм-сек 2 = расстояние 2 x вес / г; вес / г = масса; правильные размеры
slug-ft 2 slug = масса; безразмерно
кг-м 2 кг = масса; правильные размеры
Наиболее распространенными единицами измерения в США являются фунт-дюйм 2 , даже если это неверно по размерам.
ПРАВИЛО 1 . Если момент инерции или произведение инерции выражены в следующих единицах, то их значения могут использоваться в инженерных расчетах как есть:
Снаряд-фут 2 , фунт-дюйм-сек 2 , кг-м 2 , фунт-фут-сек 2 , унция-дюйм 2
ПРАВИЛО 2 .Если момент инерции или произведение инерции выражены в следующих единицах, то их значения должны быть разделены на соответствующее значение «g», чтобы сделать их размерно правильными.
фунт-фут 2 , фунт-дюйм 2 , унция-дюйм 2
Значение g: 32,17405 фут / сек 2 или 386,088 дюйм / сек 2
Не использовать местное значение г, чтобы преобразовать в массу!
Что такое формула момента инерции?
MOI, иногда называемый вторым моментом, для точечной массы вокруг любой оси: I = Mr 2
, где I = MOI (снаряд-фут 2 или другая масса-длина 2 единиц)
M = масса элемента (пули или другая единица массы)
r = расстояние от точечной массы до исходной оси
Определение радиуса вращения
Момент инерции любого объекта относительно оси через его ЦТ можно выразить следующим образом: формула: I = Mk 2 , где I = момент инерции
M = масса (снаряд) или другая правильная единица массы
k = длина (радиус вращения) (футы) или любая другая единица длины
Расстояние (k) называется радиусом вращения.Метод расчета радиуса инерции описан в следующих разделах. Рассмотрим сначала тело, состоящее из двух точечных масс, каждая с массой M / 2, разделенных расстоянием 2r. Ось отсчета проходит через точку, равноудаленную от двух масс. У каждой массы есть MOI Mr 2 /2. Таким образом, их объединенный MOI — Mr 2 . Второй пример показывает тонкостенную трубку радиуса r. По симметрии ЦТ лежит на средней линии трубы. Опять же, вся масса расположена на расстоянии r от оси отсчета, поэтому ее MOI = Mr 2 .В этих примерах радиус вращения k = r. Это приводит к определению: «Радиус вращения объекта относительно оси, проходящей через ЦТ, — это расстояние от оси, на котором вся масса объекта может быть сосредоточена без изменения его момента инерции. Радиус вращения всегда отсчитывается от центра тяжести ».
Теорема о параллельной оси для вычисления момента инерции
Если в приведенном выше примере мы хотели определить MOI объекта относительно оси X a , а не оси X, через CG, то значение можно определить с помощью теорема о параллельной оси:
Ia = I + d 2 M, Поскольку I = k 2 M, тогда Ia = M (d 2 + k 2 )
, где k — радиус вращения.
Эта теорема о параллельных осях часто используется при вычислении MOI ракеты или другого аэрокосмического объекта. MOI каждого компонента в ракете сначала измеряется или вычисляется вокруг оси через ее CG, а затем используется теорема о параллельных осях для определения MOI всего транспортного средства с этими компонентами, установленными в их надлежащем месте. Смещение «d» — это расстояние от центра тяжести компонента до центральной линии ракеты.
Полезные приближения
Поскольку момент инерции объекта, смещенного относительно его базовой оси, пропорционален (d 2 + k 2 ), мы можем сделать два наблюдения, которые упростят вычисление MOI:
ПРАВИЛО 1.Если радиус вращения объекта составляет менее 1% от его расстояния смещения «d», то MOI объекта вокруг его центра тяжести может быть проигнорирован при вычислении общего MOI, и значение станет d 2 M. Например если гироскоп с массой 0,1 снаряда расположен около внешней поверхности ракеты и смещение к центру тяжести гироскопа составляет 3 фута, в то время как радиус вращения гироскопа составляет всего 0,02 фута, то MOI относительно центра Линия движения ракеты за счет гироскопа составляет d 2 M = 0,9 снаряда-фут 2 .Погрешность при использовании этого приближения составляет менее 0,01%.
ПРАВИЛО 2. Если радиус вращения объекта более чем в 100 раз превышает расстояние смещения «d», то смещение объекта можно игнорировать при вычислении общего MOI, и значение становится равным k 2 M. Для Например, если ракетный двигатель массой 100 фунтов расположен рядом с центральной линией ракеты, а смещение к центру тяжести ракетного двигателя составляет 0,100 дюйма, а радиус вращения ракетного двигателя составляет 12 дюймов, тогда MOI около центральной линии ракеты из-за ракетного двигателя k 2 M = 14400 фунт-дюйм 2 (точнее 37.3 фунта в секунду 2 ). Опять же, ошибка аппроксимации составляет менее 0,01%. Правило 2 также может применяться к ошибкам выравнивания при вычислении или измерении MOI. Если смещение или несоосность меньше 1% радиуса инерции, то ошибка центровки несущественна.
Эта страница представляет собой отрывок из статьи Ричарда Бойнтона и Курта Вайнера из Space Electronics в 2001 году, которая четыре раза цитировалась в других статьях .
Щелкните здесь, чтобы получить доступ к полной статье Как рассчитать массовые характеристики — практическое руководство инженера НЕ ТРЕБУЕТСЯ ВХОД
Дополнительную информацию можно увидеть в полном PDF-документе:
- Объединение момента инерции двух объектов
- Основная формула с использованием дифференциальных элементов массы
- Объединение осевых значений MOI
- Объединение поперечных значений MOI
- Пример составного MOI
- Влияние несоосности
Расчет продукта инерции 9019 Преобразование прямоугольной формы в полярную
- Разница между смещением ЦТ и произведением инерции
- Теорема POI о параллельной оси
- Сравнение между MOI и POI И еще 13 страниц после этого
Как рассчитать массовый момент Инерция при выборе ограничителей крутящего момента
РАСЧЕТ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ
Как производитель предохранительных муфт и ограничителей крутящего момента, нас часто просят оказать некоторую помощь в вычислении момента инерции различных нагрузок, чтобы помочь в выборе соответствующих настроек крутящего момента расцепления.После того, как значения инерции ведущего и ведомого известны, значения ускорения и замедления используются для оценки диапазонов регулировки крутящего момента предохранительной муфты.
Момент инерции можно описать как механическое свойство массы твердого объекта, которое количественно определяет крутящий момент, необходимый для изменения угловой скорости объекта вокруг оси. Эта инерция также известна как момент инерции массы, первый момент или инерция вращения. Этот момент можно использовать для расчета энергии, необходимой для вращения объекта, что особенно полезно в механических приводных линиях с двигателями и двигателями.При выборе ограничителя крутящего момента или предохранительной муфты важно, чтобы значение крутящего момента отключения было установлено на значение выше, чем требуется для ускорения нагрузки до скорости. Также полезно знать уровни крутящего момента, возникающие в результате резкого замедления вращающейся массы, именно здесь вступают в действие ограничители крутящего момента и предохранительные муфты, защищающие компоненты трансмиссии от чрезмерных крутящих моментов, возникающих в результате непреднамеренной блокировки, приводящей к слишком быстрой остановке машины. Момент инерции, часто обозначаемый как ( I ), представляет собой единицу массы, умноженную на квадрат площади ( M * A 2 ).В случае вращающегося вала диаметром два дюйма и массой в сто фунтов момент инерции можно рассчитать в соответствии с приведенным ниже примером.
Расчет момента инерции для вала диаметром 0,1 метра и массой 1000 кг выполняется точно таким же образом.
Определение момента инерции для трубы или полого вала очень похоже. В следующем примере мы найдем значение для трубы с внешним диаметром 0,5 метра и внутренним диаметром 0,3 метра.Масса трубки 500 кг.
Также может быть полезно вычисление момента квадратного или прямоугольного вала или формы. В этом примере будет найден момент квадратного вала размером один дюйм на один дюйм с массой 1000 фунтов.
Приведенные выше примеры удобны для расчета размеров компонентов механического привода, а не только предохранительных муфт. Отношения инерции вращающихся валов и роторов двигателей имеют решающее значение для правильной работы многих приводов.Все эти расчеты производятся относительно оси обычного вращения вала и не могут использоваться для другой оси. Важно отметить, что это момент массы, и расчет дает нам свойство массы на расстоянии от оси вращения. Как и во всех вращающихся объектах, момент экспоненциально увеличивается по мере удаления массы от оси вращения. Эти основные факты физики имеют решающее значение для проектирования машин и являются основным руководящим принципом на протяжении веков машиностроения.
Как рассчитать момент инерции балки?
размер шрифта: 15 пикселей;}
]]> Как рассчитать момент инерции секции балки
(второй момент площади)
Прежде чем мы найдем момент инерции (или второй момент площади) сечения балки, необходимо знать ее центроид (или центр масс). Например, если требуется момент инерции секции относительно ее горизонтальной (XX) оси, тогда сначала потребуется вертикальный (y) центроид (пожалуйста, просмотрите наше Учебное пособие о том, как рассчитать центроид секции балки).
Прежде чем мы начнем, если вы искали наш калькулятор свободного момента инерции, щелкните ссылку, чтобы узнать больше. Это вычислит центроид, moi и другие результаты и даже покажет вам пошаговые вычисления! А пока давайте посмотрим на пошаговое руководство и пример того, как рассчитать момент инерции:
Шаг 1. Разделите секцию балки на частиПри вычислении момента инерции площади мы должны вычислить момент инерции меньших сегментов.Попробуйте разбить их на простые прямоугольные секции. Например, рассмотрим секцию двутавровой балки ниже, которая также была представлена в нашем руководстве по Centroid. Мы решили разделить эту секцию на 3 прямоугольных сегмента:
Шаг 2: Расчет нейтральной оси (NA)Нейтральная ось (NA) или горизонтальная ось XX расположена в центре тяжести или центре масс. В нашем руководстве по центроидам центр тяжести этой секции ранее находился на расстоянии 216,29 мм от нижней части секции.
Попробуйте наш бесплатный калькулятор момента инерции:
Калькулятор свободного момента инерции
Шаг 3: Расчет момента инерцииДля расчета полного момента инерции секции нам необходимо использовать «Теорему о параллельной оси»:
Поскольку мы разделили его на три прямоугольные части, мы должны вычислить момент инерции каждой из этих частей. Широко известно, что уравнение момента инерции прямоугольника относительно его центральной оси имеет простой вид:
Момент инерции других форм часто указывается на лицевой / оборотной стороне учебников или в этом руководстве по формам момента инерции.Однако прямоугольная форма очень характерна для сечений балок, поэтому, наверное, стоит запомнить.
Теперь у нас есть вся информация, необходимая для использования «теоремы о параллельной оси» и определения полного момента инерции двутавровой балки. В нашем примере момента инерции:
Итак, у вас есть руководство по расчету площади момента для секций балки. Этот результат имеет решающее значение при проектировании конструкций и является важным фактором отклонения балки.Мы надеемся, что вам понравилось это руководство, и с нетерпением ждем ваших комментариев.
БОНУС: Использование нашего калькулятора момента инерции Учетная записьSkyCiv показывает полные расчеты момента инерции. Этот интерактивный модуль покажет вам пошаговые расчеты того, как найти момент инерции:
Вы также можете просмотреть результаты нашего калькулятора свободного момента инерции, чтобы проверить свою работу. Это позволит рассчитать все свойства вашего поперечного сечения и является полезным справочным материалом для расчета центроида, площади и момента инерции сечений вашей балки!
Калькулятор свободного момента инерции
Что такое момент инерции и как его вычислить для стержня »Наука ABC
Инерция — это мера сопротивления, которое тело определенной массы оказывает, когда оно приводится в движение или, наоборот, останавливается. внешняя сила.Инерция, или тенденция объектов сопротивляться изменениям, зависит от массы. Более тяжелые объекты трудно разогнать, когда они находятся в состоянии покоя, и так же трудно остановить при движении, чем более легкие объекты.
Префикс «момент» в физике используется для обозначения вращательного эквивалента линейной величины. Таким образом, «момент инерции» — это вращательный эквивалент массы для линейного движения. Обозначается он ‘I’ . Точно так же «момент силы» является вращательным эквивалентом линейной силы, также известной как крутящий момент , .
Как рассчитать момент инерции?
Момент инерции «I» вращающегося объекта относительно его оси вращения определяется произведением его массы на квадрат расстояния от оси вращения. Однако это верно только для однородных или обычных объектов, таких как шар, прикрепленный к струне, вращающейся с определенной угловой скоростью.
Для неоднородных объектов момент инерции рассчитывается как сумма произведений отдельных масс точек и их соответствующего расстояния от оси вращения.Это обобщенное соотношение может быть использовано для вычисления момента инерции любой системы, поскольку любой объект может быть составлен как совокупность схожих масс точек и точек.
Чтобы вычислить момент инерции такого непрерывного распределения массы на различных расстояниях, мы используем математический анализ из-за его способности работать с непрерывными переменными.
Мы используем дифференциал элемент массы, бесконечно малый кусок массы дм . Тогда дифференциальный момент инерции равен dI = r²dm .Чтобы вычислить момент инерции ‘I’ всей массы ‘M’, , мы суммируем дифференциальный момент инерции dI , вносимый дм по всей поверхности. Или просто интегрируемся.
Момент инерции стержня
Рассмотрим стержень с массой «M» и длиной «L», такой, что его линейная плотность λ составляет M / л. В зависимости от положения оси вращения стержень демонстрирует два момента: первый, когда ось проходит перпендикулярно через центр масс стержня, точно через середину; и второй, когда ось расположена перпендикулярно одному из двух ее концов.
Ось, проходящая через центр масс
Подобно бесконечно малому элементу массы дм, рассмотрим бесконечно малый элемент длиной дл , соответствующий ему . Рисуя начало координат в центре масс, лежащем на линии оси, мы понимаем, что расстояние стержня слева от начала координат до его конца составляет -L / 2, , а расстояние от начала координат до другой конец справа + L / 2.
Предполагая, что стержень однороден, линейная плотность остается постоянной, так что:
Подставляя значение дм в наше выражение для расчета момента инерции, мы получаем:
Поскольку переменная интегрирования теперь длина (дл), пределы изменились с ранее изображенной M на требуемую долю L.
Ось через конец
Чтобы вычислить момент инерции стержня, когда ось находится на одном из его концов, мы рисуем начало координат на этом конце.
Статьи по теме
Статьи по теме
Теперь мы должны использовать то же выражение, но с другим пределом. Поскольку ось упирается в конец, предел, по которому мы интегрируем, теперь равен от нуля (начало координат) до L (противоположный конец).
После интегрирования мы получаем:
Мы также можем получить тот же результат для момента инерции относительно конца, используя теорему о параллельности оси, , согласно которой:
As L (com, end) равно L / 2, мы находим, что:
Это согласуется с полученным нами ранее результатом.
Момент инерции
Момент инерции системы Частицы
Первый закон движения Ньютона гласит: «Тело поддерживает ток состояние движения, если на него не действует внешняя сила ». Мера инерции в поступательном движении масса системы и ее угловой аналогом является так называемый момент инерции .Момент инерции тела не связано только с его массой, но также и с распределением массы по всему телу. Итак, два тела одинаковой массы могут обладать разными моментами инерции.
Твердое тело можно рассматривать как систему частиц, в которой взаимное расположение частиц не меняется. Момент инерции одиночного частица ( I ) может быть выражена как
[1]
, где м = масса частицы, а r = кратчайшее расстояние от оси вращения до частицы (рис. 1).
Рисунок 1
Как показано в [1], момент инерции равен равна массе, умноженной на квадрат расстояния, и также обозначается как второй массовый момент . Массу, умноженную на расстояние, м r , называется первым моментом массы . Эта концепция первого массового момента такова: обычно используется для определения центра масс системы частиц или твердого тела. См. Центр масс-система частиц для Детали.
Расширение [1] для системы частиц:
[2]
Верх
Момент инерции жесткого тела
На основании [2] можно получить момент инерции жесткой конструкции, показанной на рисунке 2:
Рисунок 2
[3]
где r i = положение частица i и n = единичный вектор оси вращения.Обратите внимание, что ось вращения проходит через локальную систему отсчета, OXYZ система. Пусть
[4]
и
[5]
где cos a , cos b & cos g = три направляющих косинуса вектора n в систему XYZ . Подстановка [4] и [5] в [3] приводит к
[6]
где
[7]
I xx , I yy и I zz называются моментами инерции , а I xy , I yx , I yz , I zy , I zx , и I xz произведений инерции .Для твердого тела относительное положение частицы не изменяются, и можно записать [7] как:
[8]
Когда форма и распределение плотности твердого тела точно известно, можно использовать [8] для вычисления моментов и продукты инерции. (См. Уравнения BSP для MOI уравнения типичных геометрических форм, обычно используемых при моделировании человеческого тела.) В противном случае их сложно вычислить путем интеграции.Скорее, момент инерцию необходимо измерять непосредственно от объекта. См. Раздел Измерение MOI. для подробностей.
Верх
Эллипсоид инерции
Моменты и произведения инерции, показанные в [7] и [8] в основном относятся к локальной системе отсчета определены и отражают распределение массы внутри тела по отношению к локальному система отсчета. Как показано в [6], реальный момент инерция твердого тела относительно оси вращения зависит не только от моментов и произведения инерции для данной системы отсчета, а также ориентацию оси вращения, a , b и g .Таким образом, правильнее было бы сказать, что момент инерции твердое тело отражает распределение массы внутри тела относительно оси вращение.
При изменении оси вращения изменяется и момент инерции. К ясно покажите этот момент, пусть
[9]
Подставляя [9] в [6], получаем
[10]
Интересно, что [10] достаточно общая форма эллипсоида с центром в начале координат система отсчета.Когда I xy = I yz = I zx = 0, эллипсоид, определенный в [10], однозначно принимает вид симметрично относительно трех осей.
с
[11]
расстояние от центра эллипсоида до поверхности равно 1 деленное на квадратный корень из момента инерции твердого тела для данного ориентация, a , b и g .Эллипсоид, определенный в [10], называется эллипсоид инерции , поскольку он описывает момент инерции объекта как функция ориентации оси вращения.
Верх
Введение, определение, формула, единицы измерения, применение — что такое трубопровод
Момент инерции — очень полезный термин для машиностроения и анализа напряжений в трубопроводах. Он представляет собой инерцию вращения объекта. Момент инерции показывает, насколько сложно повернуть объект.В этой статье мы подробнее рассмотрим момент инерции, его определение, формулы, единицы измерения, уравнения и приложения.
Что такое момент инерции?
Есть два типа момента инерции; момент инерции массы и момент инерции площади.
Момент инерции массы (I) определяется как сумма произведений массы (m) каждой частицы тела и квадрата ее перпендикулярного расстояния (r) от оси и математически представляется как
I = mr²
Распределение массы тела вращающихся частиц относительно оси вращения представлено моментом инерции.Значение момента инерции не зависит от действующих сил и зависит только от геометрии тела и положения относительно оси вращения. Момент инерции массы для вращения аналогичен массе при линейном движении. Таким образом, момент инерции массы для вращения обрабатывается так же, как масса при линейном движении с такими характеристиками, как
- Угловой момент тела задается I.ω. Второй закон Ньютона, примененный к вращающимся телам, гласит, что крутящий момент прямо пропорционален скорости изменения углового момента.
- Когда тело с массовым моментом инерции (I) вращается вокруг любой заданной оси с угловой скоростью ω, тогда оно обладает некоторой кинетической энергией вращения, равной = 1/2 Iω 2
Момент инерции области (I) представляет собой распределение точек в области поперечного сечения относительно оси. Он также известен как второй момент площади. Для элементарной площади dA в плоскости XY момент инерции площади математически определяется как I x и I y , как показано на рис.1 ниже.
Рис. 1: Момент инерции относительно осей X и YФормула для момента инерции
В теории балок очень важна формула момента инерции. В зависимости от поперечного сечения объекта уравнение момента инерции меняется. Обратите внимание, что момент инерции всегда положительный. В этом разделе мы узнаем формулу момента инерции для нескольких общих геометрических сечений.
Формула момента инерции для квадратного поперечного сечения:
Уравнение момента инерции для квадрата задается следующим образом: I x = I y = a 4 /12, где a = длина стороны.
Уравнение момента инерции для круглого поперечного сечения:
Момент инерции для круглого поперечного сечения определяется как I = π d 4 /64, где d = диаметр окружности. Аналогичным образом, момент площади трубы определяется как I = π (D 4 -d 4 ) / 64, где D = наружный диаметр трубы и d = внутренний диаметр трубы.
На следующем изображении представлена формула момента инерции площади для нескольких более распространенных форм.
Рис. 2: Момент инерции обычных геометрических формЕдиницы момента инерции
Момент инерции массы в системе единиц СИ — кг.м 2 , а в системе единиц FPS — фунт-сила · фут · с 2
Момент инерции площади в единицах СИ составляет м 4 , а в системе единиц FPS — дюймы 4 .
Полярный момент инерции
Полярный момент инерции определяется относительно оси, перпендикулярной рассматриваемой области. Это обеспечивает устойчивость балки к скручиванию или скручиванию. Полярный момент инерции (J) круговой области равен J = π d 4 /32.
Приложения момента инерции
- Момент инерции массы позволяет измерить сопротивление объекта изменению направления вращения.
- Момент инерции площади — это свойство геометрической формы, которое помогает в вычислении напряжений, изгиба и прогиба в балках.
- Полярный момент инерции требуется при расчете касательных напряжений, подверженных скручиванию или крутящему моменту.
- Момент инерции «I» — очень важный член при расчете критической нагрузки в уравнении потери устойчивости Эйлера.Критическая осевая нагрузка Pcr определяется как P cr = π 2 EI / L 2 .
- Момент инерции требуется для расчета модуля сечения любого поперечного сечения, которое дополнительно требуется для расчета напряжения изгиба балки. Напряжения изгиба обратно пропорциональны моменту инерции. Чем больше момент инерции, тем больше момент сопротивления изгибу.
Модуль упругости сечения
Модуль упругости сечения определяется как отношение момента инерции (I) к расстоянию (y) крайнего волокна от нейтральной оси в этом сечении.Модуль сечения обозначается буквой «Z» и математически выражается как
Z = I / y
В системах единиц СИ единицей модуля сечения является м 3 , а в системе единиц США — дюймы 3 . В таблице на рис. 3 приведены формулы момента инерции и модуля сечения для обычных геометрических форм. (Здесь Z c и Z t — это модули сечения при сжатии и растяжении)
Рис. 3: Уравнения момента инерции и модуля сеченияМы не можем найти эту страницу
(* {{l10n_strings.REQUIRED_FIELD}})
{{l10n_strings.CREATE_NEW_COLLECTION}} *
{{l10n_strings.ADD_COLLECTION_DESCRIPTION}}
{{l10n_strings.COLLECTION_DESCRIPTION}} {{addToCollection.description.length}} / 500 {{l10n_strings.TAGS}} {{$ item}} {{l10n_strings.ПРОДУКТЫ}} {{l10n_strings.DRAG_TEXT}}{{l10n_strings.DRAG_TEXT_HELP}}
{{l10n_strings.LANGUAGE}} {{$ select.selected.display}}{{article.content_lang.display}}
{{l10n_strings.AUTHOR}}{{l10n_strings.AUTHOR_TOOLTIP_TEXT}}
{{$ select.selected.display}} {{l10n_strings.