Site Loader

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅

силы ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

силы ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π΅Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹[Π°Π²Π³. 24, 2014|09:54 am]

Anatoly Vorobey


Π’ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½ΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ (Π² школС, Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ унивСрситСтском курсС) силу ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ. Π’ΠΎΡ‚ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ, Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ дСйствуСт сила, Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ этого дСйствия ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π§Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — Π² контСкстС ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ эвклидового пространства, Π½Π΅ входя Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ высокиС ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠΈ? Π‘ матСматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния это просто Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° пространства, Ρƒ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹. Π—Π°Π΄Π°Π² Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΡƒΡŽ систСму ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚, ΠΌΡ‹ для Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹, Π½ΠΎ сама Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π½Π΅ измСнится.

Π€ΠΈΠ·ΠΈΠΊ нарисуСт стрСлку Π² пространствС ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ B ΠΈ скаТСт: это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π•Π³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ — ΠΎΡ‚ A ΠΊ B, Π΅Π³ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° — расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ A ΠΈ B. Но Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ A,B Π½Π΅ ΠΈΠ³Ρ€Π°ΡŽΡ‚ Ρ€ΠΎΠ»ΠΈ: эту стрСлку ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π² пространствС ΠΊΡƒΠ΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, ΠΈ это останСтся Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

Π’ΠΎΡ‚ я Π΅Π΅ сдвинул Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½Π° Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΈΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ C ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ D, ΠΈ это всС Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Если Ρƒ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ систСма ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ O, Ρ‚ΠΎ я всСгда ΠΌΠΎΠ³Ρƒ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ стрСлку Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½Π° Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² O, Π° ΠΊΠΎΠ½Ρ‡Π°Π»Π°ΡΡŒ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ V, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ OV, AB, CD — это всС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π‘ матСматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния этот Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° V (Ρ‚.Π΅. ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† стрСлки, Ссли ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π΅ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π² Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚), ΠΈ Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ — ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Ρ‹ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ V.

Пока ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Π΅ΠΌ Π΄Π΅Π»ΠΎ с Ρ‚Π΅Π»Π°ΠΌΠΈ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ с массой, Π½Π΅Ρ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ‹ ΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Π½Π° силу ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€. Π’ΠΎΡ‚ Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ A, Π½Π° Π½Π΅Π³ΠΎ дСйствуСт сила, ΠΌΡ‹ прСдставляСм Π΅Π΅ Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° AB. Π’ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ говоря Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ это Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‡Ρ‚ΠΎ CD ΠΈ OV, Π½ΠΎ Π½Π°ΠΌ это Π½Π΅ ΠΌΠ΅ΡˆΠ°Π΅Ρ‚, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ ΠΏΡƒΡ‚Π°Π΅ΠΌ эту силу с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ силой, которая дСйствуСт Π½Π° Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ C (ΠΏΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°ΠΆΠ΅ с Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ). ΠœΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ рассматриваСм силы Π² A, Π° ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π² C.

Но Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ прСдствим сСбС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ наши (Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄Ρ‹Π΅) Ρ‚Π΅Π»Π° ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΌ нСльзя ΠΏΡ€Π΅Π½Π΅Π±Ρ€Π΅Ρ‡ΡŒ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π² Ρ€Π΅Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΆΠΈΠ·Π½ΠΈ. НапримСр, прСдставим сСбС ΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ ΠΊΡƒΠ± Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ Π½Π° ΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€. МоТно ΠΏΡ€Π΅Π΄ΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ висящим Π² пустом пространствС (Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π½Π΅ Π·Π°Π½ΠΈΠΌΠ°Ρ‚ΡŒΡΡ силой тяТСсти ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ), ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌ Π½Π° ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ лСдяной повСрхности, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΎΠ½ свободно ΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΈΡ‚ Π±Π΅Π· трСния. Если я Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°ΡŽ (ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π°Π³Π°ΡŽ силу) Π² Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ пСрпСндикулярно, Ρ‚ΠΎ ΠΊΡƒΠ± Π½Π°Ρ‡Π½Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ прямо. Если я Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ½Ρƒ Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ пСрпСндикулярно Π΅Π³ΠΎ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈ, Π½ΠΎ рядом с ΠΊΡ€Π°Π΅ΠΌ, ΠΎΠ½ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π΅Ρ‚ ΠΈ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ, ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒΡΡ. Если Π½Π° ΠΊΡƒΠ± Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ всяких сил — я Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°ΡŽ Π΅Π³ΠΎ с ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ стороны, Π²Ρ‹ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ, Π΅Ρ‰Π΅ с ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ стороны ΠΎΠ½ удСрТиваСтся Π²Π΅Ρ€Π΅Π²ΠΊΠΎΠΉ с Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ силой, ΠΈ Ρ‚Π°ΠΊ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ — Ρ‚ΠΎ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡƒΠ±Π°, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ для ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ силы ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π΅ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ, Π½ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ прилоТСния.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Ρƒ мСня Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΊΡƒΠ± (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ), Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ силы: Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ A сила, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ описываСт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ C Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ CD, Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ E Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ EF. Для простоты ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС силы Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€: ΠΌΡ‹ тянСм ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°Π΅ΠΌ ΠΊΡƒΠ± Π½Π° Π»ΡŒΠ΄Ρƒ Π² Π΄Π²ΡƒΡ… Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… направлСниях ΠΈ ΠΈΡ… комбинациях).

МоТно всС эти силы «ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ» вмСстС Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ ΠΎΠ΄Π½Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ сила (resultant force), которая ΠΈ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΡƒΠ±Π°. Как это ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ? ГСомСтричСски это дСлаСтся Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΌΡ‹ сдвигаСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AB ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ прилоТСния, ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ CD ΠΏΠΎ Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ прилоТСния, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ пСрСсСкутся Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ M, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ нас ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° MA’ ΠΈ MD’, ΠΈΠ΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ исходным — ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈ этом Π½Π΅ просто ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΠΈΠΌ, Π° Π΄Π°ΠΆΠ΅
Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ прямой
. ΠœΡ‹ складываСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ MA’ ΠΈ MD’ ΠΏΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎΠΌΡƒ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρƒ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°), ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ MH. Π•Π³ΠΎ ΠΌΡ‹ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Π΅ΠΌ вмСстС с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ EF ΠΏΠΎ ΠΈΡ… линиям прилоТСния, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄ΡƒΡ‚ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΈ Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ складываСм. ΠŸΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΠΌ эту ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΠΌ всС силы, Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π° ΠΊΡƒΠ±, ΠΈ Π² ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ KL ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, это ΠΈ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ сила; ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠΈΠ² KL Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π³Π΄Π΅ ΠΎΠ½ пСрСсСкаСтся с ΠΊΡƒΠ±ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΌ мСстС ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прилагаСтся Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π°Ρ сила.

(я ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ ΡƒΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°ΡŽ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ слоТности, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°ΡŽΡ‚ Π² этой ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π΅, Ссли Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ ΠΈΠ· сил ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ; ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚ΠΈ всСгда ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Ρ€Π΅ΡˆΠΈΡ‚ΡŒ, Π° ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° нСльзя, ΠΎΠ½ΠΈ Ρ€Π΅ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ Π΄ΠΎΠ±Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΉ ΠΏΠ°Ρ€Ρ‹ сил, Π½ΠΎ я Π½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‡Ρƒ ΡƒΠ³Π»ΡƒΠ±Π»ΡΡ‚ΡŒΡΡ сСйчас Π² эти тонкости)

Если ΠΏΡ€ΠΈΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒΡΡ, Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ выполняСм Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ слоТСния сил, ΠΏΡ€ΠΈΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… ΠΊ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ, ΠΌΡ‹ Π½Π΅ выполняСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ слоТСниС. Π‘ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ слоТСния любой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΡƒΠ΄Π° ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ, ΠΈ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ AB, CD, EF достаточно, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π°Ρ‡ΠΈΠ½Π°Π»ΠΈΡΡŒ Π² A, ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅-Ρ‚ΠΎ AB, AD’, AF’, послС Ρ‡Π΅Π³ΠΎ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌ способом ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ всС Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Если ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ эту ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Ρƒ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AL’, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅Π½ Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ KL, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π½ΡŒΡˆΠ΅, ΠΈ даст ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы,

Π½ΠΎ Π½Π΅ Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ прилоТСния. Π’ ΠΈΡ‚ΠΎΠ³Π΅ ΠΌΡ‹ Π½Π΅ смоТСм ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌ способом, ΠΊΠ°ΠΊ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΊΡƒΠ±.

(Π΅ΡΡ‚ΡŒ способ ΠΎΠ±ΠΎΠΉΡ‚ΠΈ эту ΡΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡΡΡŒ понятиСм «ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ силы», ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Ссли Π²Ρ‹ Π·Π½Π°Π΅Ρ‚Π΅ — Ρ‚ΠΎ Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΠΎ, Π½ΠΎ я Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Ρƒ сСйчас ΠΏΠΎΠ΄Ρ€ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ. ΠœΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ силы описываСт Ρ‚ΠΎ, насколько данная сила стрСмится Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ Π²ΠΎΠΊΡ€ΡƒΠ³ Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ O. Если ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ O, ΠΈ просуммируСм ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ всСх исходных сил, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰Π΅ΠΉ силы; эта Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π° ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ, насколько Π½Π°Π΄ΠΎ ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ AL’, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ линию прилоТСния силы KL. Но это Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ смыслС ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΉ «Ρ‚Ρ€ΡŽΠΊ», ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½Π°ΠΌ ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ силы ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, Π½Π΅ обращая внимания Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ прилоТСния, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ всС «ΠΏΠΎΠ΄ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ»).

Если ΠΌΡ‹, складывая силы описанным Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ «ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ» способом — сдвигая ΠΈΡ… Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ вдоль ΠΈΡ… Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΉ прилоТСния, ΠΏΠΎΠΊΠ° ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π΅ пСрСсСкутся — Π½Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ слоТСниС, Ρ‚ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΠΌ? Π’Ρ‹Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ силы с матСматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния Π½Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅, Π½ΠΎ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅ ΠΎΠ½ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°? Когда я Π·Π°Π΄Π°Π» этот вопрос Π½Π° физичСском Ρ„ΠΎΡ€ΡƒΠΌΠ΅, сначала нСсколько Ρ‡Π΅Π»ΠΎΠ²Π΅ΠΊ Π½Π΅ поняли, ΠΎ Ρ‡Π΅ΠΌ я Π²ΠΎΠΎΠ±Ρ‰Π΅ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΡŽ, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΊΡ‚ΠΎ-Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π» ΠΌΠ½Π΅ Π½Π° понятиС «line vector» (Π½Π΅ знаю, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠΎ-русски), ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ являСтся ΠΊΠ°ΠΊ Ρ€Π°Π· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, «ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΡΠ·Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌ» ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ прямой Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ, которая Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Π° Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π΅ΠΌΡƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Π°: скаТСм, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠΉ (L, AB), Π³Π΄Π΅ L — прямая Π² Ρ‚Ρ€Π΅Ρ…ΠΌΠ΅Ρ€Π½ΠΎΠΌ пространствС, AB — ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с матСматичСской Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ этой прямой, ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° это ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚ стрСлку, которая получится, Ссли AB ΡΠ΄Π²ΠΈΠ½ΡƒΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΠ½ Π»Π΅ΠΆΠ°Π» Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€ΠΈ прямой L.

Π­Ρ‚Ρƒ стрСлку Π΅Ρ‰Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΡƒΠ΄Π°-сюда вдоль прямой, ΠΈ это Π½Π΅ мСняСт сущности «line vector»; это ΠΎΠ±ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ соотвСтствуСт Ρ‚ΠΎΠΌΡƒ физичСскому Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρƒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π² ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ «Π΄Π²ΠΈΠ³Π°Ρ‚ΡŒ» Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ силы вдоль Π΅Π³ΠΎ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ прилоТСния, Π½Π΅ мСняя ситуации.

Если ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ°Ρ‚ΡŒ «line vector» Π² Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ…, Ρ‚ΠΎ это понятиС находится Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΈΡ… ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ… ΠΎ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ΅, написанных для ΠΈΠ½ΠΆΠ΅Π½Π΅Ρ€ΠΎΠ², Π° Π½Π΅ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎΠ² — Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° для Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΎΠ², Π½ΠΎ Π² старых ΠΊΠ½ΠΈΠ³Π°Ρ…, 50 ΠΈ 100 Π»Π΅Ρ‚ Π½Π°Π·Π°Π΄. БСйчас ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ обходятся Π±Π΅Π· Π½Π΅Π³ΠΎ, ΠΈ ΠΌΠ½Π΅ Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, ΠΏΠΎΡ‡Π΅ΠΌΡƒ ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ. Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ Π»ΠΈ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½ΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ° Π² Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠ΅ ΠΏΠΎ сути Π΄Π΅Π»Π° Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ этого понятия, Ρ‚.Π΅. Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΠ΅Ρ‚ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ сила Π±Ρ‹Π»Π° Π½Π΅ просто Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ, привязанным ΠΊ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ прямой? НавСрноС, ΠΈ Π΄Π° ΠΈ Π½Π΅Ρ‚. На ΠΏΡ€Π°ΠΊΡ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ быстро вводят понятия ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° сил ΠΈ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Π° масс; с ΠΈΡ… ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π»ΡŽΠ±ΡƒΡŽ силу, ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡƒΡŽ ΠΊ Ρ‚Π΅Π»Ρƒ Π² ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Ρ‚ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, Ρ€Π°Π·Π±ΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ — «Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ», ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊ Ρ†Π΅Π½Ρ‚Ρ€Ρƒ масс, ΠΈ «Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ», которая описываСтся с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° сил.

И Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡΡ‚ΡŒ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ лишь Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ с массой, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΡƒΡŽ дСйствуСт Ρ‚ΠΎΠ»ΠΊΠ°ΡŽΡ‰Π°Ρ сила-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΌΠ΅Π½Ρ‚. ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, с ΠΏΡ€ΠΈΠ½Ρ†ΠΈΠΏΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ зрСния ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ всСгда Π·Π°ΡΠ²ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π²Π΅Ρ€Π΄ΠΎΠ΅ Ρ‚Π΅Π»ΠΎ это Π½Π°Π±ΠΎΡ€ частиц, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ связаны Π΄Ρ€ΡƒΠ³ с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΌ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠΌΠΈ силами. Если частицы достаточно ΠΌΠ°Π»Ρ‹, Ρ‚ΠΎ любая сила прилагаСтся Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ ΠΊΠΎ всСму Ρ‚Π΅Π»Ρƒ, Ссли Ρ‚Π΅Π»ΠΎΠΌ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ ΠΌΠ°Π»ΡƒΡŽ частицу, ΠΈ бСссмыслСнно Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ силы «Ρƒ края» Ρ‚Π΅Π»Π°. Вакая Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° зрСния Π½Π΅ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ мост ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ΄ΡŠΠ΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€Π°Π½, Π½ΠΎ Π΅Π΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎΠ΅, Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ„ΡƒΠ½Π΄Π°ΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ для описания Π½ΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ.

НавСрноС (?) ΠΏΠΎ этим ΠΏΡ€ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌ, Π² ΡˆΠΊΠΎΠ»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… курсах Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π² унивСрситСтских курсах ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠΈ для Ρ„Π°ΠΊΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π΅Ρ‚ΠΎΠ² Ρ‚ΠΎΡ‡Π½Ρ‹Ρ… Π½Π°ΡƒΠΊ Π½Π΅ рассматриваСтся (ΠΏΠΎ ΠΊΡ€Π°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅Ρ€Π΅ ΠΏΠΎ ΠΌΠΎΠ΅ΠΌΡƒ ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Ρƒ) этот Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Π»ΠΈΠ·ΠΌ «line vectors», ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ‹ Π½Π΅ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‰Π°ΡŽΡ‚ особого внимания Π½Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ/линию прилоТСния силы, прСдпочитая ΡΡ‡ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅Π»Π° Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅Ρ‡Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Π° силы — Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Но ΠΌΠ½Π΅ Π»ΠΈΡ‡Π½ΠΎ каТСтся, Ρ‡Ρ‚ΠΎ я Π±Ρ‹ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π» ΠΏΡ€ΠΎΡΡ‚Π΅ΠΉΡˆΡƒΡŽ Π½ΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΡƒΡŽ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΡƒ Ρ‚Π΅Π» ΠΈ сил, Ссли Π±Ρ‹ ΠΌΠ½Π΅ Π² своС врСмя ΠΏΡ€Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π°Π²Π°Π»ΠΈ Π΅Π΅, обращая Π²Π½ΠΈΠΌΠ°Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° эти ΠΎΠ±ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π°.

И Π΅Ρ‰Π΅ — ΠΌΠ½Π΅ Ρ‚Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ Π»ΡŽΠ±ΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π½ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π»Π°ΡΡŒ Π½ΡŒΡŽΡ‚ΠΎΠ½ΠΎΠ²ΡΠΊΠ°Ρ ΠΌΠ΅Ρ…Π°Π½ΠΈΠΊΠ°, ΠΈ ΠΊΠ°ΠΊ Π΅Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ ΠΏΠΎΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΠΈ люди, Π΄ΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, ΠΊΠ°ΠΊ Π² 19-ΠΌ Π²Π΅ΠΊΠ΅ Π²ΠΎΡ†Π°Ρ€ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ атомарная тСория. ΠšΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ΡΡ, Ссли Π½Π΅Ρ‚ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎΠΉ автоматичСской ΠΊΠ°Ρ€Ρ‚ΠΈΠ½ΠΊΠΈ Π² Π³ΠΎΠ»ΠΎΠ²Π΅ «Π²ΡΠ΅ дСлится Π½Π° Π°Ρ‚ΠΎΠΌΡ‹ ΠΈ Π²Π½ΡƒΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΠΈΠ΅ силы ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ», Ρ‚ΠΎ Π½Π΅ΠΈΠ·Π±Π΅ΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π΄ΠΎ ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ прилоТСния сил Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π² самых простых описаниях. Π₯отя, с Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠΉ стороны, Π΄ΠΎ 19 Π²Π΅ΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ Π½Π΅ сущСствовало, Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΈ Π΅Ρ‰Π΅ ΠΏΠΎΠΉΠΌΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π° самом Π΄Π΅Π»Π΅ это прСдставляли (Π° Ρ…ΠΎΡ‚Π΅Π»ΠΎΡΡŒ Π±Ρ‹ ΠΏΠΎΠ½ΡΡ‚ΡŒ!).

ΠŸΠΎΠΏΡ€Π°Π²ΠΊΠΈ ΠΈ замСчания ΠΎΡ‚ Π·Π½Π°ΡŽΡ‰ΠΈΡ… людСй ΠΏΡ€ΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΎΠ±Ρ‹Ρ‡Π½ΠΎ, с Π±Π»Π°Π³ΠΎΠ΄Π°Ρ€Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ.

(P.S. я понимаю, Ρ‡Ρ‚ΠΎ эта запись Π±Ρ‹Π»Π° Π±Ρ‹ Π½Π°ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ понятной, Ссли Π±Ρ‹ Π² Π½Π΅ΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΠ»ΠΎΡΡŒ нСсколько рисунков ΠΈ Π΄ΠΈΠ°Π³Ρ€Π°ΠΌΠΌ, ΠΈ соТалСю, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ρƒ мСня сСйчас Π½Π΅Ρ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ ΠΈ сил ΠΈΡ… ΡΠ΄Π΅Π»Π°Ρ‚ΡŒ).

ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Ρ‹ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΈ свойства

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ – это ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ прямой, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΉΡΡ числСнным Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ обозначаСтся строчной латинской Π±ΡƒΠΊΠ²ΠΎΠΉ со стрСлкой свСрху. ΠŸΡ€ΠΈ Π½Π°Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… Ρ‚ΠΎΡ‡Π΅ΠΊ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ† ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° выглядит ΠΊΠ°ΠΊ Π΄Π²Π΅ прописныС латинскиС Π±ΡƒΠΊΠ²Ρ‹ (ΠΌΠ°Ρ€ΠΊΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π³Ρ€Π°Π½ΠΈΡ†Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°) Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ со стрСлкой свСрху.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ — Π²ΠΈΠ΄ прСдставлСния Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π΄ΠΎ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ трСбуСтся Π΄ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ· Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

Π‘ΠΎΠ΄Π΅Ρ€ΠΆΠ°Π½ΠΈΠ΅:

  1. ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°
  2. РавСнство Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  3. Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  4. ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  5. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  6. Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число
  7. БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²
  8. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅

ΠŸΠΎΠ½ΡΡ‚ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ β€” это ΠΎΡ‡Π΅Π½ΡŒ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ понятиС, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΡˆΠΈΡ€ΠΎΠΊΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ°ΠΌΠΈ.

ΠŸΡ€Π΅ΠΆΠ΄Π΅ всСго, понятиС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° тСсно связано с ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½.

НСкоторыС Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ расстояниС, ΠΏΠ»ΠΎΡ‰Π°Π΄ΡŒ, объСм, Ρ‚Π΅ΠΌΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΡƒΡ€Π°, Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°, масса, Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² процСссС ΠΈΡ… измСрСния Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ числом, ΠΏΡ€ΠΈ этом такая характСристика полная. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π² ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ скалярными. ЗначСния скалярных Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π½ΠΎ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ Π½Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ прямой ΠΈΠ»ΠΈ шкалС.

Но Π΅ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ достаточно ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½, Ρ‚Π°ΠΊΠΈΡ…, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅, ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ, ускорСниС, сила, напряТСниС ΠΈ Π΄Ρ€., для характСристики ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… числа (числового значСния) ΠΌΠ°Π»ΠΎ. НСобходимо Π·Π½Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅, Π² ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ осущСствляСтся дСйствиС этой Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ всС Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ относятся ΠΊ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Π°ΠΌ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ числСнным Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΈΠ΄ΡƒΠΌΠ°Π»ΠΈ для Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹.

Рассмотрим ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€.

ΠŸΠΎΠ΄ΡŠΠ΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΊΡ€Π°Π½ Π€ Π·Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΏΡ€ΠΎΠΌΠ΅ΠΆΡƒΡ‚ΠΎΠΊ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ смСстился Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° расстояниС 40 ΠΌ (рис. 2.474). Π­Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ всС Π΅Π³ΠΎ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΡΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠ»ΠΈΡΡŒ Π²ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎ Π½Π° 40 ΠΌ. На рисункС это ΠΏΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ стрСлками: двумя, выходящими ΠΈΠ· Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½Ρ‹ ΠΊΡ€Π°Π½Π° Π’Β ΠΈ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΊΡ€Π°Π½Π° А, ΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΉ стрСлкой Π²Π½ΠΈΠ·Ρƒ рисунка. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€Π° Π€ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠΌ пСрСносС Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ Π»ΡƒΡ‡Π° Π½Π° расстояниС ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡˆΠ»Π° Π² Ρ„ΠΈΠ³ΡƒΡ€ΡƒΒ , Π° Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° А ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡˆΠ»Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ , Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π’ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡˆΠ»Π° Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ ΠΈ Ρ‚. Π΄.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ,

1)Β Β  Β Π»ΡƒΡ‡ΠΈ , сонаправлСнныС;

2)Β Β   расстояния , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, .

Π’ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ ΠΈ Ρ„ΠΈΠ·ΠΈΠΊΠ΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ принято Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, это ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π»ΠΎ ΠΊ появлСнию понятия Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ, Π½Π° ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ…).

ΠšΡ€Π°Ρ‚ΠΊΠΎ говорят: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ β€” это Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ. ΠŸΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ ΠΏΠΎ этому Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (ΠΈΠ»ΠΈ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ прилоТСния), Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ β€” Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ записываСтся обозначСниями Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Ρ†Π° слСва Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²ΠΎΒ (рис. 2.475), Π° свСрху ставится Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°: .

На рисункС 2.476 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΎ нСсколько Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:Β  НаправлСния этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Π½Ρ‹ стрСлками. Иногда Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ просто ΠΌΠ°Π»Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΆΠΈΡ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π½Π°Π΄ Π±ΡƒΠΊΠ²Π°ΠΌΠΈ Ρ‚ΠΎΠΆΠ΅ ставят Ρ‡Π΅Ρ€Ρ‚Ρƒ (рис. 2.477).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π”Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой.

ΠšΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹, Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹.

На рисункС 2.478 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅, Π° Π½Π° рисункС 2.479 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Π΅.

ΠšΡ€ΠΎΠΌΠ΅ понятия коллинСарности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², вводится понятиС компланарности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Ρ€ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… плоскостях ΠΈΠ»ΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости.

На рисункС 2.480 Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О, А, Π’ ΠΈ Π‘ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Β  Π½Π΅ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Π’, D ΠΈ О Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости.

РавСнство Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π”Π°Π΄ΠΈΠΌ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ , Ссли Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² ΠΈ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ (сонаправлСнныС).

РавСнство Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ записываСтся Ρ‚Π°ΠΊ:Β . Π­Ρ‚Π° запись ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°Π΅Ρ‚, Ρ‡Ρ‚ΠΎ:

1)Β Β  Β Π»ΡƒΡ‡ АВ сонаправлСн Π»ΡƒΡ‡Ρƒ CD;

2)Β Β  Β Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² АВ ΠΈ CD Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ (рис. 2.481).

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π”Π»ΠΈΠ½Ρƒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ° β€”Β Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° β€” Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»Π΅ΠΌ ΠΈΠ»ΠΈ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡŽΡ‚Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Для модуля Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² употрСбляСтся Ρ‚ΠΎΡ‚ ΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΈ для модуля чисСл. Π—Π°ΠΏΠΈΡΡŒ = 5 читаСтся: ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ (ΠΈΠ»ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ 5.

ΠŸΡ€ΠΎΡ†Π΅ΡΡ изобраТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² часто Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ.

ΠžΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ с Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌ Π² этой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅, ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€.

На рисункС 2.482 ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 1 (ΠΎΠ± ΠΎΡ‚ΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°). ΠžΡ‚ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌΡƒ, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΈΡ‚ΠΎΠΌ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Если Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° совпадаСт с Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½Ρ†ΠΎΠΌ, Ρ‚ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌ.

НулСвой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ обозначаСтся Π½ΡƒΠ»Π΅ΠΌ с чСрточкой свСрху: . Из опрСдСлСния слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΠΎΠ΄ΡƒΠ»ΡŒ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ Π½ΡƒΠ»ΡŽ, Π° направлСния ΠΎΠ½ Π½Π΅ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚. НулСвой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ. Π˜Π·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ΡΡ Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ любой Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΎΠΉ, которая рассматриваСтся ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† этого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

Π‘Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠŸΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΉ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠ΅ΠΉ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ являСтся слоТСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Если ΠΌΠ°Ρ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Π°Ρ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π’, Π° ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘, Ρ‚ΠΎ Π² Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚Π΅ ΠΎΠ½Π° ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΉΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Π‘. ΠŸΠΎΡΡ‚ΠΎΠΌΡƒ, СстСствСнно, говорят, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ , Ρ…Π°Ρ€Π°ΠΊΡ‚Π΅Ρ€ΠΈΠ·ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ эти пСрСмСщСния, ΡΠΊΠ»Π°Π΄Ρ‹Π²Π°ΡΡΡŒ, Π΄Π°ΡŽΡ‚ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊ (рис. 2.483). Π­Ρ‚ΠΎ записываСтся Ρ‚Π°ΠΊ:

Π’ этом случаС ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ процСсс слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² происходит Ρ‚Π°ΠΊ: ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎΒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° являСтся Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎΠΌΒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ , Π° суммарный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ соСдиняСт Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ† Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ.

НапримСр, Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , Π·Π°Π΄Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ силы (рис. 2.484). Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ:

1.Β Β  Β Π’Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈΡΡ…ΠΎΠ΄Π½ΡƒΡŽ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А (Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‚Ρƒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ, ΠΊ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π° заданная сила).

2.Β Β  Β ΠžΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ,

3.Β Β  Β ΠžΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ Π’ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ,Β 

4.Β Β  Β ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ΠΉ ( β€” сумма Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Β ΠΈ . (рис. 2.485)).

Π’Π΅ΠΏΠ΅Ρ€ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ (рис. 2.486). Π’ этом случаС Π² качСствС суммы Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Β ΠΈ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . МоТно Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΒ Β Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚. Π΅.Β 

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, ΠΌΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ° для слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

МоТно Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ, двигаясь Π³ΠΎΡ€ΠΈΠ·ΠΎΠ½Ρ‚Π°Π»ΡŒΠ½ΠΎ со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ , ΠΊΡ€Π°Π½ ΠΏΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌΠ°Π΅Ρ‚ ящик со ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ . На рисункС 2.487 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π² ΠΌΠ°ΡΡˆΡ‚Π°Π±Π΅ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ящика ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ ΠΊΡ€Π°Π½Π°Β , направлСнная Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π²Π΅Ρ€Ρ…, ΠΈ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ двиТСния ΠΊΡ€Π°Π½Π° , Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ совпадаСт с Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ двиТСния ΠΊΡ€Π°Π½Π°. Π‘ΡƒΠΌΠΌΠ° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈΒ  β€” Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°Π΅Ρ‚ ΡΠΊΠΎΡ€ΠΎΡΡ‚ΡŒ ящика ΠΎΡ‚Π½ΠΎΡΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ΄Π²ΠΈΠΆΠ½ΠΎΠΉ систСмы отсчСта:

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π½Π°ΠΌ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈ-Π½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой (рис. 2.488). ΠžΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉΒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ А, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ (рис. 2.489).

Π’ΠΎΠ³Π΄Π° суммарный Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ изобразится диагональю ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° ABCD, построСнного Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…Β 

ΠœΡ‹ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² β€” ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°: Ссли Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… сумма прСдставляСтся диагональю построСнного Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°.

Для ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ слоТСния ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ свойства.

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 2 (ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½, ΠΈΠ»ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠΌΡƒΡ‚Π°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния). Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 3 (ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½, ΠΈΠ»ΠΈ Π°ΡΡΠΎΡ†ΠΈΠ°Ρ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ слоТСния). Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π­Ρ‚ΠΈ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΠΈ для ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

Из ΡΠΎΡ‡Π΅Ρ‚Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΈ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΠΌΠ΅ΡΡ‚ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠ² слСдуСт, Ρ‡Ρ‚ΠΎ, складывая любоС число Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΊΠ°ΠΊ ΡƒΠ³ΠΎΠ΄Π½ΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡ‚ΡŒ ΠΈ Π³Ρ€ΡƒΠΏΠΏΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ слагаСмыС. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ нСсколько Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²,

Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ , ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΡ‚ΡŒΒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΡƒΡŽ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΡƒΡŽ (рис. 2.490). Π­Ρ‚Π° ломаная состоит ΠΈΠ· Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π² Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΎΠ² Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΉ Π½Π°Ρ‡Π°Π»ΠΎ Π»ΠΎΠΌΠ°Π½ΠΎΠΉ ABCDE ΠΈ Π΅Π΅ ΠΊΠΎΠ½Π΅Ρ†, ΠΈ являСтся суммой

Если ломаная ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»Π°ΡΡŒ Π·Π°ΠΌΠΊΠ½ΡƒΡ‚ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ сумма Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ (рис. 2.491), Ρ‚. Π΅.

ΠžΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΠΌ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ свойство Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°: для любого Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° выполняСтся равСнство

ΠŸΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Ρ‹ Ρ‚Ρ€ΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° , Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости (ΠΈΡ… Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ»Π°Π½Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΠΈ) (рис. 2.492).

Π’Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠΌ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ построСния.

1.Β Β  Β ΠžΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Β Β (построСниС) (рис. 2.493).

2.Β Β  Β ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄ Ρ‚Π°ΠΊ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ OA, ΠžΠ’, ОБ Π±Ρ‹Π»ΠΈ Π΅Π³ΠΎ Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°ΠΌΠΈ (построСниС) (рис. 2.494).

3.Β Β  (2, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°).

4.Β Β  Β  (2, ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ равСнства Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²).

5.Β Β  Β  (3, 4, ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ°).

Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ, сумма Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π½Π΅ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости, прСдставляСтся диагональю ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π°, построСнного Π½Π° Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…, ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Ρ… ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° Ρ€Π΅Π±Ρ€Π°Ρ… (рис. 2.494).

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠ»ΠΈ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»Π΅ΠΏΠΈΠΏΠ΅Π΄Π° для слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² пространствС.

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π’Π²Π΅Π΄Π΅ΠΌ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΡŽ разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ². Π­Ρ‚Π° опСрация вводится Ρ‚Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ для чисСл.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²Β  Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , Ρ‡Ρ‚ΠΎ .

Π Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² обозначаСтся, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ для чисСл, .

ΠŸΠΎΡΡ‚Ρ€ΠΎΠΈΠΌ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² (рис. 2.495).

ΠžΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΡ‚ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ : (рис. 2.496). Рассмотрим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΌΡ‹ Π²ΠΈΠ΄ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ (ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°). Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒΡŽ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ , Ρ‚. Π΅.  Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ΡŒ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· , Ρ‚ΠΎ .

РавСнство ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»ΠΎΠΌ нахоТдСния разности Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π”Π²Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ, Ссли ΠΈΡ… Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹ ΠΈ ΠΎΠ½ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Ρ‹ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ.

На рисункС 2.497 ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Ρ… Π΄Ρ€ΡƒΠ³ Π΄Ρ€ΡƒΠ³Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°.

ΠΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ считаСтся ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ самому сСбС.

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ , обозначаСтся (читаСтся: «минус Π°Β»).

Для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹ΠΌ Π΅ΠΌΡƒ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ .

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 4. Если ΡΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ (ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°), Ρ‚ΠΎ Π² суммС получится Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ .

Π’Π΅Ρ€Π½ΠΎ ΠΈ ΠΎΠ±Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ΅ ΡƒΡ‚Π²Π΅Ρ€ΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅: Ссли сумма Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π²Π½Π° Π½ΡƒΠ»ΡŒ-Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ, Ρ‚ΠΎ ΠΎΠ½ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹.

Π£ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число

Π’ Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ части Π²ΠΎΠ·Π½ΠΈΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π±Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π² слоТСнии Π΄Π²ΡƒΡ…, Ρ‚Ρ€Π΅Ρ… ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²: ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π’Π°ΠΊΠΈΠ΅ суммы, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Π΅, ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ Π·Π°ΠΏΠΈΡΡ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΈ Ρ‚. Π΄. Π­Ρ‚Π° ΠΏΡ€ΠΎΡ†Π΅Π΄ΡƒΡ€Π° подсказываСт ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π΄Π°Π½Ρ‹ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ число . ΠŸΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число Ρ… Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ , ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ΠΉ, Π²ΠΎ-ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹Ρ…, ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈ, Π²ΠΎ-Π²Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ…, сонаправлСн с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ , Ссли Ρ… > 0, ΠΈ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ , Ссли Ρ… < 0.

Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, Ссли, ΠΏΡ€ΠΈΡ‡Π΅ΠΌ , Ρ‚ΠΎ:

1)

2)  сонаправлСн с , Ссли Ρ… > 0, ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ с , Ссли Ρ… < 0 (рис. 2.498).

3) Если ΠΈΠ»ΠΈ Ρ… = 0, Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ . Для ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° число Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ свойства:

Β 

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ часто ΠΏΠΎΠΌΠΎΠ³Π°ΡŽΡ‚ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ гСомСтричСскиС Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹; для этого Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΡƒΡ‡ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ΡŒ гСомСтричСскиС Ρ„Π°ΠΊΡ‚Ρ‹ Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹ΠΉ язык, ΠΈ Π½Π°ΠΎΠ±ΠΎΡ€ΠΎΡ‚, ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ пСрСвСсти Π½Π° язык Π³Π΅ΠΎΠΌΠ΅Ρ‚Ρ€ΠΈΠΈ.

ΠŸΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π½Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямыС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ (рис. 2.499). Рассмотрим Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΒ , ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠ΅ соотвСтствСнно прямым (рис. 2.500) (Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΒ  ΠΌΠΎΠ³ΡƒΡ‚ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½Ρ‹Π΅ направлСния).

Β  Β  Β Β 

Если ΠΌΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈΒ  ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡŽ коллинСарности Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ прямыС ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹. МоТно Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΡƒ ΠΎ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅-Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ….

Π’Π΅ΠΎΡ€Π΅ΠΌΠ° 5. Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π΅Π½ Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΌΡƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°Β 

БлСдствиС (ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… Π½Π° прямой). Π”Π²Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°, ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠΉ ΠΆΠ΅ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π½ΠΈΡ… получаСтся ΠΈΠ· Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° число.

Π”Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ словами, Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° X Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚Β Π½Π° прямой АВ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° (рис. 2.501).

Π•ΡΡ‚ΡŒ Π΅Ρ‰Π΅ Π΄Π²Π° Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ слоТных свойства ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΉ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ относятся ΡƒΠΆΠ΅ ΠΊ Π΄Π²ΡƒΠΌ опСрациям Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ: слоТСниСм ΠΈ ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π½Π° число. Π­Ρ‚ΠΎ Π΄Π²Π° Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… (ΠΈΠ»ΠΈ дистрибутивных) Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Π°.

Оба эти свойства относятся ΠΊ плоскости, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π² Π½ΠΈΡ… дСйствия производятся с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости (ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости). Если ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ эти Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΎΡ‚ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΠ·ΠΎΠ±Ρ€Π°ΠΆΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ ΠΈΡ… Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠΈ окаТутся Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΠΌΠΈ Π² ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ плоскости. Π‘ΠΎΠ»Π΅Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎ, свойство 6 касаСтся лишь Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой (ΠΈΠ»ΠΈ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‰ΠΈΡ… Π½Π° ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ прямой). Оно нСпосрСдствСнно Π²Ρ‹Ρ‚Π΅ΠΊΠ°Π΅Ρ‚ ΠΈΠ· ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠΉ слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ умноТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° число.

БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Если Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π° Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (рис. 2.502), Ρ‚ΠΎ ΡƒΠ³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ этими Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ , ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О (рис. 2.503).

ΠŸΡ€ΠΈ этом Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹ΠΉ Π²Ρ‹ΠΏΡƒΠΊΠ»Ρ‹ΠΉ ΡƒΠ³ΠΎΠ» (ΡƒΠ³ΠΎΠ», ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΠΉ ΠΌΠ΅Π½ΡŒΡˆΡƒΡŽ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρƒ). Π˜Π½ΠΎΠ³Π΄Π°Β ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΠΎΠ·Π½Π°Ρ‡Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊ: (a ΠΈΒ Πͺ) = 30Β° Ρ‡ΠΈΡ‚Π°ΡŽΡ‚: ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 30Β°. ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π£Π³Π»ΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΡΠΎΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ ΠΈΠΌ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΊΠ°ΠΌΠΈ, исходящими ΠΈΠ· ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ. Π£Π³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²ΠΎΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ 180Β°, Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ сонаправ Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ β€” 0Β°.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Бкалярным ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΄Π²ΡƒΡ… Π½Π΅Π½ΡƒΠ»Π΅Π²Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½ этих Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½Π° косинус ΡƒΠ³Π»Π° ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π½ΠΈΠΌΠΈ. Если хотя Π±Ρ‹ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π½ΡƒΠ»Π΅Π²ΠΎΠΉ, Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ 0.

Если ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ‚ΠΎ ΠΈΡ… скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅

1. Если Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Ρ€Π°Π²Π½Ρ‹, Ρ‚. Π΅. , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΈΡˆΡƒΡ‚ ΠΈ говорят ΠΎ скалярном ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°. Π’ этом случаС , Ρ‚. Π΅. . Π˜Ρ‚Π°ΠΊ, скалярный ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° совпадаСт с ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹:

2.Β Β   Если , Ρ‚ΠΎ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π°Π΅ΠΌ . ΠœΠΎΠΆΠ½ΠΎΒ ΡΡ„ΠΎΡ€ΠΌΡƒΠ»ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠΉ ΠΏΡ€ΠΈΠ·Π½Π°ΠΊ: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ пСрпСндикулярны Π² Ρ‚ΠΎΠΌ ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Π² Ρ‚ΠΎΠΌ случаС, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈΡ… скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ Π½ΡƒΠ»ΡŽ.

3.Β Β  Β ; ΠΏΡ€ΠΈ этом ΠΈΠ· слСдуСт Π­Ρ‚ΠΎ свойство слСдуСт ΠΈΠ· ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ³ΠΎ свойства.

4.Β Β  Β 

5.Β Β   БкалярноС ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ связано со слоТСниСм Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°ΡΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ (дистрибутивным) Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌ:

Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅

ΠŸΡ€ΠΈ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈ использовании Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² часто приходится Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΎ Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΠΎΠΌ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅.

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅. Π‘ΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, сумма ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Ρ… Ρ€Π°Π²Π½Π° этому Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρƒ.

Π”Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ «составляСтся» ΠΈΠ· ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ сумма слагаСмых ΠΈ разлагаСтся Π½Π° Π½ΠΈΡ… ΠΊΠ°ΠΊ Π½Π° слагаСмыС, поэтому говорят ΠΎ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π½Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠ΅.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ Π² плоскости Π΄Π°Π½Ρ‹ Π΄Π²Π΅ прямыС , ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠ΅ΡΡ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ΅ О. Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ ΠΊΠ°ΠΊΠΎΠΉ-Π½ΠΈΠ±ΡƒΠ΄ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΈ ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О (рис. 2.504),

Если Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ° V Π½Π΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚Β Π½ΠΈ Π½Π° прямой , Π½ΠΈ Π½Π° прямой , Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ V прямыС VA || ΠΈ VB || ΠΈ построим ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌ OAVB. Π•Π³ΠΎ диагональю Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π·ΠΎΠΊΒ OV, Π° Π΅Π³ΠΎ стороны OA ΠΈ ΠžΠ’ Π»Π΅ΠΆΠ°Ρ‚ соотвСтствСнно Π½Π° прямых ΠΈ . По ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΠ»Ρƒ ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° для слоТСния Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡ΠΈΠΌ

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ прямым

Если Π° ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²Π»ΡΡŽΡ‰Π°Ρ ΠΏΠΎ нулСвая: Аналогично Π² случаС,Β ΠΊΠΎΠ³Π΄Π°

ΠœΡ‹ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΠ»ΠΈ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΠΈΠΌΡΡ прямым.

МоТно Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΏΠΎ Π΄Π²ΡƒΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌΒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ.

Π’ΠΎΠ·ΡŒΠΌΠ΅ΠΌ Π΄Π²Π° Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΈΡ… ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О (рис. 2.505). ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ β€” Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Β ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ плоскости ΠžΠ’Π‘; ΠΎΡ‚Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠΈ О, Π§Π΅Ρ€Π΅Π· Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ А ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅ΠΌ прямыС, ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ , Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹, Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚,

Π’Π°ΠΊΠΎΠ΅ прСдставлСниС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ΠΈ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‚ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΠ»Π»ΠΈΠ½Π΅Π°Ρ€Π½Ρ‹ΠΌ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌ.

МоТно Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΎΠ³ΠΎ разлоТСния.

Если Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΡ‚ΠΈΡ‚ΡŒ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΎΠ΅ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅: Ρ‚ΠΎ Π΅ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ‚ΠΎ ΠΆΠ΅.

Β 

Β 

Π­Ρ‚Π° лСкция взята со страницы ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΎΠ³ΠΎ курса Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΉ ΠΏΠΎ ΠΈΠ·ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΡŽ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚Π° «ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°»:

  • ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ° Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π·Π°Π΄Π°Π½ΠΈΠΉ ΠΈ Π·Π°Π΄Π°Ρ‡

Π‘ΠΌΠΎΡ‚Ρ€ΠΈΡ‚Π΅ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π»Π΅ΠΊΡ†ΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΌΠ΅Ρ‚ΡƒΒ «ΠœΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ°»:

ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹ ΠΈ Ρ‚ΠΈΠΏΡ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… R: Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹

Π―Π·Ρ‹ΠΊ R ΠΏΡ€ΠΈΠ½Π°Π΄Π»Π΅ΠΆΠΈΡ‚ ΠΊ сСмСйству Ρ‚Π°ΠΊ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅ΠΌΡ‹Ρ… высокоуровнСвых ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π½ΠΎ-ΠΎΡ€ΠΈΠ΅Π½Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… языков программирования. Для нСспСциалиста строгоС опрСдСлСниС понятия Β«ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Β» являСтся достаточно абстрактным. Однако для простоты ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°Π·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ всС, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΌΡ‹ создаСм Π² Ρ…ΠΎΠ΄Π΅ Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ с R. Π˜Ρ… Π²Ρ‹Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ Π΄Π²Π° основных Ρ‚ΠΈΠΏΠ°:Β 

  1. ΠžΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Ρ‹, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ для хранСния Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… (Β«data objectsΒ») – это Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹ ΠΈ массивы, списки, Ρ„Π°ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ†Ρ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ…;Β 
  2. Π€ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ (Β«function objectsΒ») – это ΠΏΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΡ‹, ΠΏΡ€Π΅Π΄Π½Π°Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½Π½Ρ‹Π΅ для выполнСния ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹Ρ… дСйствий Π½Π°Π΄ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°ΠΌΠΈ.

Π’ этом сообщСнии расмотрСны Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, способы ΠΈΡ… создания Π² R, Π° Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ основныС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π½ΠΈΠΌΠΈ.


Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прСдставляСт собой ΠΏΠΎΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΎΠ²Π°Π½Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚, содСрТащий Π½Π°Π±ΠΎΡ€ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΡ‚ΠΈΠΏΠ½Ρ‹Ρ… элСмСнтов (числовыС, логичСскиС, Π»ΠΈΠ±ΠΎ тСкстовыС значСния — Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΠ΅ сочСтания Β Π½Π΅ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡΠΊΠ°ΡŽΡ‚ΡΡ). Для создания Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² нСбольшой Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ‹ Π² R ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅Ρ‚ΡΡ Ρ‚.Π½. функция ΠΊΠΎΠ½ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π½Π°Ρ†ΠΈΠΈ c() (ΠΎΡ‚ «concatenate» – ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡ‚ΡŒ, ΡΠ²ΡΠ·Ρ‹Π²Π°Ρ‚ΡŒ). Π’ качСствС Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠ² этой Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Π·Π°ΠΏΡΡ‚ΡƒΡŽ ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Ρ‡ΠΈΡΠ»ΡΡŽΡ‚ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ значСния, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€:

my.vector <- c(1, 2, 3, 4, 5)
my.vector
[1] 1 2 3 4 5

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ scan(), которая «ΡΡ‡ΠΈΡ‚Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚» ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ Π²Π²ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΡ‹Π΅ с ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ значСния:


X <- scan()
1: 2. 9 # послС ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠ³ΠΎ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ значСния Π½Π°ΠΆΠ°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΡˆΡƒ "Π’Π²ΠΎΠ΄"
2: 3.1
3: 3.4
4: 3.4
5: 3.7
6: 3.7
7: 2.8
8: 2.5 
9: # Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹ scan Π·Π°Π²Π΅Ρ€ΡˆΠ°ΡŽΡ‚ Π²Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ пустой строки
Read 8 items  # ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° сообщаСт ΠΎ считывании 8 Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ
X
[1] 2.9 3.1 3.4 3.4 3.7 3.7 2.8 2.5

Один ΠΈΠ· нСдостатков создания Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ scan() состоит Π² Ρ‚ΠΎΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Ссли ΠΏΡ€ΠΈ Π²Π²ΠΎΠ΄Π΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ с ΠΊΠ»Π°Π²ΠΈΠ°Ρ‚ΡƒΡ€Ρ‹ Π΄ΠΎΠΏΡƒΡ‰Π΅Π½Π° ошибка, Ρ‚ΠΎ придСтся Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π½Π°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π²Π²ΠΎΠ΄ Π·Π°Π½ΠΎΠ²ΠΎ, Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠΏΠ΅Ρ†ΠΈΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌΠΈ инструмСнтами ΠΊΠΎΡ€Ρ€Π΅ΠΊΡ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²ΠΊΠΈ (Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ fix();  здСсь эти способы Π½Π΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ).

Для создания Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², содСрТащих ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Π° функция seq() (ΠΎΡ‚ «sequence» – ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ). Π’Π°ΠΊ, Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с ΠΈΠΌΠ΅Π½Π΅ΠΌ S, содСрТащий ΡΠΎΠ²ΠΎΠΊΡƒΠΏΠ½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Ρ†Π΅Π»Ρ‹Ρ… чисСл ΠΎΡ‚ 1 Π΄ΠΎ 7, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ:

S <- seq(1,7)
S
[1] 1 2 3 4 5 6 7

Π˜Π΄Π΅Π½Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρ‹

S <- 1:7
S
[1] 1 2 3 4 5 6 7

Π’ качСствС Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π° Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ seq() ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π·Π°Π΄Π°Ρ‚ΡŒ шаг приращСния чисСл:

S <- seq(from = 1, to = 5, by = 0. 5)
S
[1] 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹, содСрТащиС ΠΎΠ΄ΠΈΠ½Π°ΠΊΠΎΠ²Ρ‹Π΅ значСния, ΡΠΎΠ·Π΄Π°ΡŽΡ‚ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠΈ rep() (ΠΎΡ‚ «repeat» – ΠΏΠΎΠ²Ρ‚ΠΎΡ€ΡΡ‚ΡŒ). НапримСр, для формирования тСкстового Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Text, содСрТащСго ΠΏΡΡ‚ΡŒ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ «test», слСдуСт Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρƒ

Text <- rep(«test», 5)

Text
[1] "test" "test" "test" "test" "test"

БистСма R способна Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ самыС Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠΎΠ±Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ Π½Π°Π΄ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ. Π’Π°ΠΊ, нСсколько Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ Π² ΠΎΠ΄ΠΈΠ½, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡƒΠΆΠ΅ Ρ€Π°ΡΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π½Π°Ρ†ΠΈΠΈ


v1 <- c(1, 2, 3)
v2 <- c(4, 5, 6)
V <- c(v1, v2)
V
[1] 1 2 3 4 5 6

Если ΠΏΠΎΠΏΡ‹Ρ‚Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΠΎΠ±ΡŠΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, тСкстовый Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ с числовым, сообщСниС ΠΎΠ± ошибкС Π½Π΅ появится – ΠΏΡ€ΠΎΠ³Ρ€Π°ΠΌΠΌΠ° просто ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ всС значСния Π² тСкстовыС:

# создаСм тСкстовый Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ text.vect:
text.vect <- c("a", "b", "c")
# объСдиняСм числовой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ v1 (см. Π²Ρ‹ΡˆΠ΅) с тСкстовым Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ text. vect:
# new.vect <- c(v1, text.vect)
# просмотр содСрТимого Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° new.vect:
new.vect
[1] "1" "2" "3" "a" "b" "c"
# всС значСния Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° взяты Π² ΠΊΠ°Π²Ρ‹Ρ‡ΠΊΠΈ,
# Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Ρ‹Π²Π°Π΅Ρ‚ Π½Π° ΠΈΡ… Ρ‚Π΅ΠΊΡΡ‚ΠΎΠ²ΡƒΡŽ ΠΏΡ€ΠΈΡ€ΠΎΠ΄Ρƒ;
# для подтвСрТдСния этого Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡΡ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄ΠΎΠΉ mode():
mode(new.vect)
[1] "character" # всС Π²Π΅Ρ€Π½ΠΎ: "character" Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ "тСкстовый"

Для Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Ρ‹ c ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌ элСмСнтом Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π»ΠΈΡ‡Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΎΡ‚ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΏΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΡ… элСмСнтов. Для этого ΠΏΡ€ΠΈ создании Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° всСм Π΅Π³ΠΎ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π°ΠΌ автоматичСски ΠΏΡ€ΠΈΡΠ²Π°ΠΈΠ²Π°ΡŽΡ‚ΡΡ индСксныС Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°, начиная с 1. Π§Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ обратится ΠΊ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΡ€Π΅Ρ‚Π½ΠΎΠΌΡƒ элСмСнту Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΡƒΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ имя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΈ индСкс этого элСмСнта Π² ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹Ρ… скобках:


# создадим числовой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ y, содСрТащий 5 числовых Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ:
y <- c(5, 3, 2, 6, 1)
# ΠΏΡ€ΠΎΠ²Π΅Ρ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Π΅ΠΌΡƒ Ρ€Π°Π²Π΅Π½ Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ элСмСнт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° y:
y[3]
[1] 2

Π˜ΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ индСксныС Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ€Π°, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΡΡ‚ΡŒ Ρ€Π°Π·Π»ΠΈΡ‡Π½Ρ‹Π΅ ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ†ΠΈΠΈ с ΠΈΠ·Π±Ρ€Π°Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ элСмСнтами Ρ€Π°Π·Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²:


# создадим Π΅Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ числовой Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ z, содСрТащий 3 значСния:
z <- c(0. 5, 0.1, 0.6)
# ΡƒΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ элСмСнт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° y Π½Π° Ρ‚Ρ€Π΅Ρ‚ΠΈΠΉ элСмСнт Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° z (Ρ‚.Π΅. 5*0.6):
y[1]*z[3]
[1] 3 

Π˜Π½Π΄Π΅ΠΊΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΌΠΎΡ‰Π½Ρ‹ΠΌ инструмСнтом, ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΡŽΡ‰ΠΈΠΌ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ совокупности Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π² соотвСтствии с ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΌΠΈ критСриями. НапримСр, для Π²Ρ‹Π²ΠΎΠ΄Π° Π½Π° экран 3-Π³ΠΎ, 4-Π³ΠΎ ΠΈ 5-Π³ΠΎ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° yΒ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ…ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π²Ρ‹ΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠ°Π½Π΄Ρƒ


y[3:5]
[1] 2 6 1

Из этого ΠΆΠ΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ Π²Ρ‹Π±Ρ€Π°Ρ‚ΡŒ, Π½Π°ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ΅ значСния, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡƒΠΆΠ΅ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡ‚Π½ΡƒΡŽ Π½Π°ΠΌ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π½Π°Ρ†ΠΈΠΈ с():Β 

y[с(1, 4)]
[1] 5 6

ΠŸΠΎΡ…ΠΎΠΆΠΈΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅ΠΌ ΡƒΠ΄Π°Π»ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠ΅ ΠΈ Ρ‡Π΅Ρ‚Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΎΠ΅ значСния ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° y, ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠ² Π·Π½Π°ΠΊ «ΠΌΠΈΠ½ΡƒΡ» ΠΏΠ΅Ρ€Π΅Π΄ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠ½ΠΊΠ°Ρ‚Π΅Π½Π°Ρ†ΠΈΠΈ:

y[-с(1, 4)]
[1] 3 2 1

Π’ качСствС критСрия для Π²Ρ‹Π±ΠΎΡ€Π° Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ ΡΠ»ΡƒΠΆΠΈΡ‚ΡŒ логичСскоС Π²Ρ‹Ρ€Π°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅. Для ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π° Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΈΠ· Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° y всС значСния >2:

y[y>2]
[1] 5 3 6

НиТС пСрСчислСны всС ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΠ΅ΠΌΡ‹Π΅ Π² R логичСскиС ΠΎΠΏΠ΅Ρ€Π°Ρ‚ΠΎΡ€Ρ‹:

  • «Π Π°Π²Π½ΠΎ» Β Β ==
  • «ΠΠ΅ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ» Β Β !=
  • «ΠœΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅» Β <
  • «Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅» Β Β >
  • «ΠœΠ΅Π½ΡŒΡˆΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ» Β Β <=
  • «Π‘ΠΎΠ»ΡŒΡˆΠ΅ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ» Β Β >=
  • «Π›ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ И» Β Β &
  • «Π›ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ Π˜Π›Π˜» Β Β |
  • «Π›ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π΅ΡΠΊΠΎΠ΅ НЕ» Β Β !

Π˜Π½Π΄Π΅ΠΊΡΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ являСтся Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ ΡƒΠ΄ΠΎΠ±Π½Ρ‹ΠΌ инструмСнтом для внСсСния исправлСний Π² ΠΈΠΌΠ΅ΡŽΡ‰ΠΈΡ…ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ…. НапримСр, Ρ‚Π°ΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ созданного Π½Π°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π½Π΅Π΅ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° z с 0.1 Π½Π° 0.3:


z[2] <- 0.3
z
[1] 0.5 0.3 0.6

Для упорядочСния Π·Π½Π°Ρ‡Π΅Π½ΠΈΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° ΠΏΠΎ Π²ΠΎΠ·Ρ€Π°ΡΡ‚Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΈΠ»ΠΈ ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°Π½ΠΈΡŽ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡŽΡ‚ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ sort() Π² сочСтании с Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚ΠΎΠΌ decreasing = FALSE ΠΈΠ»ΠΈ decreasing = TRUE соотвСтствСнно («decreasing» Π·Π½Π°Ρ‡ΠΈΡ‚ Β«ΡƒΠ±Ρ‹Π²Π°ΡŽΡ‰ΠΈΠΉΒ»):

sort(z, decreasing = FALSE)
[1] 0.3 0.5 0.6
sort(z, decreasing = TRUE)
[1] 0.6 0.5 0.3

Π”ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΈΠ½Ρ„ΠΎΡ€ΠΌΠ°Ρ†ΠΈΡŽ Π½Π° русском языкС ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°Ρ… ΠΈ Π΄Ρ€ΡƒΠ³ΠΈΡ… ΠΎΠ±ΡŠΠ΅ΠΊΡ‚Π°Ρ… R ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π½Π°ΠΉΡ‚ΠΈ здСсь ΠΈ здСсь.

--

Π‘ΠΎΠ·Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΠΈ Pretty R Π½Π° сайтС inside-R.org

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ Π² R n

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ свойства

ΠœΡ‹ ΠΏΡ€Π΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠΆΠ΅ Π·Π½Π°ΠΊΠΎΠΌΡ‹ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ Π² R 2 ΠΈ R 3 , Ρ‚Π°ΠΊ Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Ρ‹ ΡƒΠ²ΠΈΠ΄ΠΈΡ‚Π΅, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΠ΅Ρ‚ΡΡ СстСствСнным ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ.

А Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Ρ€ ΠΏ являСтся n x 1 ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Π΅ΠΉ.

Π½Π°Π±ΠΎΡ€ всСх Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² R ΠΏ называСтся n-space .

ΠœΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΡŽΡ‚ сумму ΠΈ Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΡΡ‚ΡŒ Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ скаляра Π½Π° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, просто поняв, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ β€” это ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρ‹.

Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ

Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°


ΠΠ΅Π΄Π²ΠΈΠΆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌΠΈ свойствами.

Если ΠΈ , v ΠΈ w ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ c ΠΈ Π΄ скаляры, Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ

Β 

  1. ΠΈ + v Β  =Β  v + u
  2. ΠΈ + ( v + w )Β  =Β  ( u + v ) + w
  3. Π•ΡΡ‚ΡŒ это 0 с Ρƒ + 0Β  = 0 + u Β  =Β  u для всСх Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² u .
  4. Для Π»ΡŽΠ±Ρ‹Π΅ ΠΈ Ρ‚Π°ΠΌ это -Ρƒ с u + ( -u ) = 0 .
  5. Π² ΠΈ являСтся Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΌ Π² R n .
  6. с( и + v )  =  c u + c v
  7. (с +г) u   =  c u + d u
  8. с(д и ) = (кд) u
  9. 1 ΠΈ = u

Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° всСго этого исходят ΠΈΠ· свойств Π΄Π΅ΠΉΡΡ‚Π²ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… чисСл, ΠΏΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ Π΄Π°Π½ΠΎ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ слоТСния вычитания ΠΈ скалярного умноТСния ΠΏΠΎΠΊΠΎΠΌΠΏΠΎΠ½Π΅Π½Ρ‚Π½ΠΎ. НапримСр, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚ΡŒ число 6, Ρƒ нас Π΅ΡΡ‚ΡŒ

.

[(с + г) и ] i   =  (c + d)[ u ] i = c[ u ] i + d[ u ] i   =  [c u ] i + [д и ] я  


БкалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈ Π΄Π»ΠΈΠ½Π°

Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΡ‹ ΠΎΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΠΈΠ»ΠΈ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² R 2 ΠΈ Π  3 , Π°Π½Π°Π»ΠΎΠ³ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΌ ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΠΎΠΌ ΠΌΡ‹ опрСдСляСм скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ для Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Π² Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ R n .

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ

Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ (ΠΈΠ»ΠΈ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅) u ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² опрСдСляСтся

Ρƒ . v Β  =Β  S ΠΈ ΠΈ Π² я

ΠžΠΏΡ€Π΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΈΠ»ΠΈ Π·Π²Π΅Π·Π΄Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡ‡ΠΈΠ½Ρ‹ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ ΠΊΠ°ΠΊ

А Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ прСдставляСт собой Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ссли ΠΎΠ½ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρƒ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½. Π‘Π»ΠΎΠΊ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ u Π΄Π°Π½ΠΎ

ΠΈ

|| ΠΈ ||

ΠΈ расстояниС ΠΎΡ‚ Π΄ΠΎ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΠΏΠΎ

РасстояниС  =Β  || ΠΈ v ||

ΡƒΠ³ΠΎΠ» q ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ опрСдСляСтся

Ρƒ. Π²
ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ q =Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β Β 
|| ΠΈ || || v||

ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΠΎΡ€Ρ‚ΠΎΠ³ΠΎΠ½Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Ссли

ΠΈ . v = 0

Β Β Β Β Β Β Β Β 

ΠŸΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ

ΠΊΠ°ΠΊ Π² ΠΏΠ΅Ρ€Π²ΠΎΠΌ ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π΅ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

Ρƒ . v Β  =Β  (1)(-4) + (4)(2) + (3)(0) + (2)(4)Β  =Β  12

ΠΈ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ u ΠΈ v это

Π΅Π΄ΠΈΠ½ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π² Π½Π°ΠΏΡ€Π°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ u это

ΡƒΠ³ΠΎΠ» ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ u ΠΈ v опрСдСляСтся

ΠΈ


ΠΠ΅Π΄Π²ΠΈΠΆΠΈΠΌΠΎΡΡ‚ΡŒ скалярного ΠΏΡ€ΠΎΠ΄ΡƒΠΊΡ‚Π°

Π”Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΡ‹ Π΄Π°Π΅ΠΌ Π½Π΅ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹Π΅ основныС свойства скалярного произвСдСния.

ΠŸΡƒΡΡ‚ΡŒ ΠΈ , ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² , ΠΈ с Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ ΠΈ c Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ скаляром, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

  1. Ρƒ . u Β  > 0; Ρƒ . ΠΈ Β  = 0 Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΠΈ = 0,
  2. Ρƒ . v = v . ΠΈ .
  3. ( ΠΈ + v ) . w Β  =Β  u . с + ΠΏΠΎ ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с . с .
  4. (с ΠΈ ) . v Β  =Β  u . (с ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ) = c( u . v) .

Β 

ΠœΡ‹ Π΄ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅Ρ‚ свойство 2 ΠΈ оставит ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²Π° Π²Π°ΠΌ.

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ ΠΈΠ· 2

Β Β Β  Ρƒ . v = S Ρ‚Ρ‹ i v i Β  =Β  S v i u i Β  = Β  v . Ρƒ


Π•Ρ‰Π΅ ΠΎΠ΄Π½ΠΎ Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎΠ΅ свойство ΠΏΠΎΠ΄ Π½Π°Π·Π²Π°Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Коши-Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†Π° нСравСнство достаточно Π²Π°ΠΆΠ½ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎΠ±Ρ‹ ΡΡ‚ΠΎΡΡ‚ΡŒ ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ.

НСравСнство Коши-Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†Π°

Если ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΡΠ²Π»ΡΡŽΡ‚ΡΡ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π°

Β Β Β Β Β Β Β  | Ρ‚Ρ‹ . v| < Β  ||Ρƒ|| ||Π²||

Если выполняСтся равСнство, ΠΌΡ‹ Π³ΠΎΠ²ΠΎΡ€ΠΈΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ u ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ΠΏΠ°Ρ€Π°Π»Π»Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ . Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ‚, Ρ‚ΠΎΠ»ΡŒΠΊΠΎ Ссли u ΠΊΡ€Π°Ρ‚Π½ΠΎ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² .

Β 

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ довольно слоТноС. ΠœΡ‹ позволяСм Ρ… Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ скаляром ΠΈ ΠΎΡ‚ΠΌΠ΅Ρ‚ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΈΠ· свойства 1, Ρ‡Ρ‚ΠΎ

Β Β Β Β Β Β Β  0 < (x u + v ) . (Ρ… ΠΈ + ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² )

=Β Β  u . Ρ… x 2 + 2 Ρ… . v Ρ… + v . ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²

ΠŸΠΎΡΠΊΠΎΠ»ΡŒΠΊΡƒ скалярноС ΠΏΡ€ΠΎΠΈΠ·Π²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π°Π΅Ρ‚ скаляр, ΠΏΡ€ΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ΅ Π²Ρ‹ΡˆΠ΅ ΡƒΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ являСтся ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½Ρ‹ΠΌ Π² Икс. ΠšΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ΠΈΡ‡Π½Ρ‹ΠΉ всСгда ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ‚ Π½Π΅ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ дискриминант. ΠžΡ‚ΡΡŽΠ΄Π°

Β Β Β Β Β Β Β  (2 u . v ) 2 — 4( u . u )( v . v )Β  < 0

Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° 4 Π΄Π°Π΅Ρ‚

Β Β Β Β Β Β Β  ( ΠΈ . v ) 2 — ( u . u )( v . v )Β  < 0

ΠΈΠ»ΠΈ

( u . v ) 2 Β  < Β Β  ( ΠΈ . ΠΈ )( Π² . ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² )Β Β 

ΠŸΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚Π½ΠΎΠ³ΠΎ корня ΠΈΠ· ΠΎΠ±Π΅ΠΈΡ… сторон Π΄Π°Π΅Ρ‚ Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚Π°Ρ‚.


ПослСднСС свойство скалярного произвСдСния, ΠΊΠΎΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ΅ ΠΌΡ‹ обсудим, исходит ΠΈΠ· гСомСтрия. ВсС ΠΌΡ‹ Π·Π½Π°Π΅ΠΌ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ ΠΊΡ€Π°Ρ‚Ρ‡Π°ΠΉΡˆΠ΅Π΅ расстояниС ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρƒ двумя Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΠ°ΠΌΠΈ Ρ€Π°Π²Π½ΠΎ прямая линия. Если ΠΌΡ‹ Ρ…ΠΎΡ‚ΠΈΠΌ ΠΎΡ‚ΠΏΡ€Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒΡΡ ΠΈΠ· Π½Π°Ρ‡Π°Π»Π° ΠΊΠΎΠΎΡ€Π΄ΠΈΠ½Π°Ρ‚ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ P, быстрСС ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ ΠΏΠΎ прямому ΠΏΡƒΡ‚ΠΈ, Ρ‡Π΅ΠΌ ΠΈΠ΄Ρ‚ΠΈ Π² Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ Q сначала, Π° Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ Π² P. Если ΠΌΡ‹ Π²Ρ‹Π±Π΅Ρ€Π΅ΠΌ Ρ‚ΠΎΡ‡ΠΊΡƒ P Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° u + v, Π° Q β€” Π²Π΅Ρ€ΡˆΠΈΠ½ΠΎΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° Ρ‚Ρ‹, Ρ‚ΠΎΠ³Π΄Π° ΠΌΡ‹ ΠΈΠΌΠ΅Ρ‚ΡŒ ΡΠ»Π΅Π΄ΡƒΡŽΡ‰ΡƒΡŽ схСму.

Β Β Β Β Β Β Β 

Π­Ρ‚ΠΎ ΠΏΡ€ΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ‚ нас ΠΊ нСравСнству Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°.

Β 

НСравСнство Ρ‚Ρ€Π΅ΡƒΠ³ΠΎΠ»ΡŒΠ½ΠΈΠΊΠ°

Если ΠΈ ΠΈ ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ², Π·Π°Ρ‚Π΅ΠΌ

Β Β Β Β Β Β Β  || ΠΈ + ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² || < Β  || ΠΈ || + || ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² ||

Β 

Π”ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΡΡ‚Π²ΠΎ

Β  Π‘Π΅Ρ€Π΅ΠΌ ΠΊΠ²Π°Π΄Ρ€Π°Ρ‚ Π»Π΅Π²ΠΎΠΉ стороны

Β Β Β Β Β Β Β  || ΠΈ + ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² || 2 Β  =Β  ( u + v ) . ( ΠΈ + v )Β  =Β  u . ΠΈ + 2 ΠΈ . Π’ + Π’ . ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ²

Β Β Β Β Β Β Β  =Β  || ΠΈ || 2 + 2( u . v ) + || ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² || 2 Β Β  < || ΠΈ || 2 + 2|| ΠΈ || || ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² || + || ΠΏΡ€ΠΎΡ‚ΠΈΠ² || 2 Коши-Π¨Π²Π°Ρ€Ρ†

Β Β Β Β Β Β Β  =Β  (|| u || + || v ||) 2 Β 



Назад Π½Π° домашнюю страницу Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Назад Π½Π° домашнюю страницу Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠΉ Π°Π»Π³Π΅Π±Ρ€Ρ‹

Назад ΠΊ ΠΌΠ°Ρ‚Π΅ΠΌΠ°Ρ‚ΠΈΠΊΠ΅ Π”ΠΎΠΌΠ°ΡˆΠ½ΡΡ страница ΠΎΡ‚Π΄Π΅Π»Π°

элСктронная ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Π° Вопросы ΠΈ прСдлоТСния

Β 

Ρ€ — Уникальная комбинация всСх элСмСнтов ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… (ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅) Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ²

Π—Π°Π΄Π°Π²Π°Ρ‚ΡŒ вопрос

Бпросил

ИзмСнСно 2 Π³ΠΎΠ΄Π°, 11 мСсяцСв Π½Π°Π·Π°Π΄

ΠŸΡ€ΠΎΡΠΌΠΎΡ‚Ρ€Π΅Π½ΠΎ 124k Ρ€Π°Π·

Π― ΠΏΡ‹Ρ‚Π°ΡŽΡΡŒ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ всСх элСмСнтов ΠΈΠ· Π΄Π²ΡƒΡ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ² Ρ€Π°Π·Π½ΠΎΠ³ΠΎ Ρ€Π°Π·ΠΌΠ΅Ρ€Π° Π² R.

НапримСр, ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

 a <- c("ABC", "DEF", "GHI ")
 

, Π° Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠΉ - Π΄Π°Ρ‚Ρ‹, хранящиСся Π² Π²ΠΈΠ΄Π΅ строк Π² настоящСС врСмя

 b <- c("01.05.2012", "02.05.2012", "03.05.2012", "04.05.2012", "05.05.2012")
 

МнС Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΠ·Π΄Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„Ρ€Π΅ΠΉΠΌ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ… с двумя Ρ‚Π°ΠΊΠΈΠΌΠΈ столбцами

 > Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅
    Π° Π±
1 Азбука 2012-05-01
2 Азбука 2012-05-02
3 Азбука 2012-05-03
4 Азбука 2012-05-04
5 Азбука 2012-05-05
6 Π”Π•Π€ 2012-05-01
7 Π”Π­Π€ 2012-05-02
8 Π”Π•Π€ 2012-05-03
9 Π”Π­Π€ 2012-05-04
10 Π”Π•Π€ 2012-05-05
11 GHI 2012-05-01
12 GHI 2012-05-02
13 GHI 2012-05-03
14 GHI 2012-05-04
15 GHI 2012-05-05
 

Π’ ΠΎΠ±Ρ‰Π΅ΠΌ, я ΠΈΡ‰Ρƒ ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½ΡƒΡŽ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΡŽ, рассматривая всС элСмСнты ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (a) рядом со всСми элСмСнтами Π²Ρ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ³ΠΎ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π° (b).

Π˜Π΄Π΅Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ Ρ€Π΅ΡˆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π±Ρ‹Π»ΠΎ Π±Ρ‹ ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π½Π° большСС количСство Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ΠΎΠ².


Π‘ΠΌ. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅:
Как ΡΠΎΡΡ‚Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΌΠ°Ρ‚Ρ€ΠΈΡ†Ρƒ ΠΊΠΎΠΌΠ±ΠΈΠ½Π°Ρ†ΠΈΠΉ

  • r
  • r-faq

0

это ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Π±Ρ‹Ρ‚ΡŒ Ρ‚ΠΎ, Ρ‡Ρ‚ΠΎ Π²Π°ΠΌ Π½ΡƒΠΆΠ½ΠΎ

 > expand. grid(a,b)
   Π’Π°Ρ€1 Π’Π°Ρ€2
1 Азбука 2012-05-01
2 Π”Π­Π€ 2012-05-01
3 GHI 2012-05-01
4 Азбука 2012-05-02
5 Π”Π­Π€ 2012-05-02
6 GHI 2012-05-02
7 Азбука 2012-05-03
8 Π”Π•Π€ 2012-05-03
9GHI 2012-05-03
10 Азбука 2012-05-04
11 Π”Π•Π€ 2012-05-04
12 GHI 2012-05-04
13 АВБ 2012-05-05
14 Π”Π­Π€ 2012-05-05
15 GHI 2012-05-05
 

Если ΠΏΠΎΠ»ΡƒΡ‡Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π·Π°ΠΊΠ°Π· Π½Π΅ соотвСтствуСт вашим оТиданиям, Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΎΡ‚ΡΠΎΡ€Ρ‚ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Π΅Π³ΠΎ ΠΏΠΎΠ·ΠΆΠ΅. Если Π²Ρ‹ Π½Π°Π·ΠΎΠ²Π΅Ρ‚Π΅ Π°Ρ€Π³ΡƒΠΌΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ expand.grid , ΠΎΠ½ΠΈ станут ΠΈΠΌΠ΅Π½Π°ΠΌΠΈ столбцов:

 df = expand.grid(a = a, b = b)
df[порядок(df$a), ]
 

И expand.grid ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ любоС количСство Π²Ρ…ΠΎΠ΄Π½Ρ‹Ρ… столбцов.

4

9ΠŸΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚ 0749 tidyr прСдоставляСт Ρ…ΠΎΡ€ΠΎΡˆΡƒΡŽ Π°Π»ΡŒΡ‚Π΅Ρ€Π½Π°Ρ‚ΠΈΠ²Ρƒ , ΠΏΠ΅Ρ€Π΅ΡΠ΅ΠΊΠ°ΡŽΡ‰ΡƒΡŽ , которая Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ Π»ΡƒΡ‡ΡˆΠ΅, Ρ‡Π΅ΠΌ классичСская функция expand.grid , ΠΏΠΎΡ‚ΠΎΠΌΡƒ Ρ‡Ρ‚ΠΎ (1) строки Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΡŽΡ‚ΡΡ Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ ΠΈ (2) сортировка Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ½Ρ‚ΡƒΠΈΡ‚ΠΈΠ²Π½ΠΎ понятна: Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ°

 (Ρ‚ΠΈΠ΄Ρ‹Ρ€)
а <- с ("ABC", "DEF", "GHI")
b <- c("01. 05.2012", "02.05.2012", "03.05.2012", "04.05.2012", "05.05.2012")
пСрСсСчСниС (Π°, Π±)
# Π’Π°Π±Π»Π΅Ρ‚ΠΊΠ°: 15 x 2
       Π° Π±
   <Ρ…Ρ€> <Ρ…Ρ€>
 1 Азбука 2012-05-01
 2 Азбука 2012-05-02
 3 Азбука 2012-05-03
 4 Азбука 2012-05-04
 5 Азбука 2012-05-05
 6 Π”Π•Π€ 2012-05-01
 7 Π”Π­Π€ 2012-05-02
 8 Π”Π•Π€ 2012-05-03
 9Π”Π•Π€ 2012-05-04
10 Π”Π•Π€ 2012-05-05
11 GHI 2012-05-01
12 GHI 2012-05-02
13 GHI 2012-05-03
14 GHI 2012-05-04
15 GHI 2012-05-05
 

Π’ этом ΠΎΠ±Π·ΠΎΡ€Π΅ r-faq отсутствуСт функция CJ ΠΈΠ· ΠΏΠ°ΠΊΠ΅Ρ‚Π° data.table. ИспользованиС: Π±ΠΈΠ±Π»ΠΈΠΎΡ‚Π΅ΠΊΠ°

 (data.table)
CJ(a, b, ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ = ИБВИНА)
 

Π΄Π°Π΅Ρ‚:

 Π° Π±
 1: Азбука 2012-05-01
 2: Азбука 2012-05-02
 3: Азбука 2012-05-03
 4: Азбука 2012-05-04
 5: Азбука 2012-05-05
 6: Π”Π•Π€ 2012-05-01
 7: Π”Π•Π€ 2012-05-02
 8: Π”Π•Π€ 2012-05-03
 9: DEF 2012-05-04
10: Π”Π•Π€ 2012-05-05
11: GHI 2012-05-01
12: GHI 2012-05-02
13: GHI 2012-05-03
14: GHI 2012-05-04
15: GHI 2012-05-05
 

ΠŸΠ Π˜ΠœΠ•Π§ΠΠΠ˜Π•: начиная с вСрсии 1. 12.2 CJ автоматичСски присваиваСт ΠΈΠΌΠ΅Π½Π° Ρ€Π΅Π·ΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΠΈΡ€ΡƒΡŽΡ‰ΠΈΠΌ столбцам (см. Ρ‚Π°ΠΊΠΆΠ΅ здСсь ΠΈ здСсь).

Начиная с вСрсии 1.0.0, Ρ‚Π°ΠΉΠ΄Ρ‹Ρ€ ΠΏΡ€Π΅Π΄Π»Π°Π³Π°Π΅Ρ‚ ΡΠΎΠ±ΡΡ‚Π²Π΅Π½Π½ΡƒΡŽ Π²Π΅Ρ€ΡΠΈΡŽ expand.grid() . Он дополняСт ΡΡƒΡ‰Π΅ΡΡ‚Π²ΡƒΡŽΡ‰Π΅Π΅ сСмСйство expand() , влоТСнности() ΠΈ crossing() Π½ΠΈΠ·ΠΊΠΎΡƒΡ€ΠΎΠ²Π½Π΅Π²ΠΎΠΉ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΠ΅ΠΉ, которая Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‚Π°Π΅Ρ‚ с Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π°ΠΌΠΈ.

По ΡΡ€Π°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡŽ с base::expand.grid() :

БыстрСС всСго мСняСтся ΠΏΠ΅Ρ€Π²Ρ‹ΠΉ элСмСнт. Никогда Π½Π΅ ΠΏΡ€Π΅ΠΎΠ±Ρ€Π°Π·ΡƒΠ΅Ρ‚ строки Π² ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡ‚Π΅Π»ΠΈ. НС добавляСт Π½ΠΈΠΊΠ°ΠΊΠΈΡ… Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Ρ… Π°Ρ‚Ρ€ΠΈΠ±ΡƒΡ‚ΠΎΠ². Π’ΠΎΠ·Π²Ρ€Π°Ρ‰Π°Π΅Ρ‚ Ρ‚Π°Π±Π»ΠΈΡ‡ΠΊΡƒ, Π° Π½Π΅ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Π΅ Π Π°ΠΌΠΊΠ°. ΠœΠΎΠΆΠ΅Ρ‚ Ρ€Π°ΡΡˆΠΈΡ€ΡΡ‚ΡŒ любой ΠΎΠ±ΠΎΠ±Ρ‰Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€, Π²ΠΊΠ»ΡŽΡ‡Π°Ρ Ρ„Ρ€Π΅ΠΉΠΌΡ‹ Π΄Π°Π½Π½Ρ‹Ρ….

 а <- с ("ABC", "DEF", "GHI")
b <- c("01.05.2012", "02.05.2012", "03.05.2012", "04.05.2012", "05.05.2012")
tyr::expand_grid(Π°, Π±)
   Π° Π±
   <Ρ…Ρ€> <Ρ…Ρ€>
 1 Азбука 2012-05-01
 2 Азбука 2012-05-02
 3 Азбука 2012-05-03
 4 Азбука 2012-05-04
 5 Азбука 2012-05-05
 6 Π”Π•Π€ 2012-05-01
 7 Π”Π­Π€ 2012-05-02
 8 Π”Π•Π€ 2012-05-03
 9Π”Π•Π€ 2012-05-04
10 Π”Π•Π€ 2012-05-05
11 GHI 2012-05-01
12 GHI 2012-05-02
13 GHI 2012-05-03
14 GHI 2012-05-04
15 GHI 2012-05-05
 

Π²Ρ‹ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ‚Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ Ρ„ΡƒΠ½ΠΊΡ†ΠΈΡŽ порядка для сортировки любого количСства столбцов. для вашСго ΠΏΡ€ΠΈΠΌΠ΅Ρ€Π°

 df <- expand.grid(a,b)
> Π΄Ρ„
   Π’Π°Ρ€1 Π’Π°Ρ€2
1 Азбука 2012-05-01
2 Π”Π­Π€ 2012-05-01
3 GHI 2012-05-01
4 Азбука 2012-05-02
5 Π”Π­Π€ 2012-05-02
6 GHI 2012-05-02
7 Азбука 2012-05-03
8 Π”Π•Π€ 2012-05-03
9 GHI 2012-05-03
10 Азбука 2012-05-04
11 Π”Π•Π€ 2012-05-04
12 GHI 2012-05-04
13 АВБ 2012-05-05
14 Π”Π­Π€ 2012-05-05
15 GHI 2012-05-05
> Π΄Ρ„[порядок(Π΄Ρ„[1], Π΄Ρ„[2]),]
   Π’Π°Ρ€1 Π’Π°Ρ€2
1 Азбука 2012-05-01
4 Азбука 2012-05-02
7 Азбука 2012-05-03
10 Азбука 2012-05-04
13 АВБ 2012-05-05
2 Π”Π­Π€ 2012-05-01
5 Π”Π­Π€ 2012-05-02
8 Π”Π•Π€ 2012-05-03
11 Π”Π•Π€ 2012-05-04
14 Π”Π­Π€ 2012-05-05
3 GHI 2012-05-01
6 GHI 2012-05-02
9GHI 2012-05-03
12 GHI 2012-05-04
15 GHI 2012-05-05`
 

0

Π’Π²ΠΎΠΉ ΠΎΡ‚Π²Π΅Ρ‚

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈΠ»ΠΈ Π²ΠΎΠΉΠ΄ΠΈΡ‚Π΅ Π² систСму

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ с ΠΏΠΎΠΌΠΎΡ‰ΡŒΡŽ Google

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒΡΡ Ρ‡Π΅Ρ€Π΅Π· Facebook

Π—Π°Ρ€Π΅Π³ΠΈΡΡ‚Ρ€ΠΈΡ€ΡƒΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡŒΠ·ΡƒΡ ΡΠ»Π΅ΠΊΡ‚Ρ€ΠΎΠ½Π½ΡƒΡŽ ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Ρƒ ΠΈ ΠΏΠ°Ρ€ΠΎΠ»ΡŒ

ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ЭлСктронная ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Π°

ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½ΠΎ, Π½ΠΎ Π½Π΅ отобраТаСтся

ΠžΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Ρ‚ΡŒ ΠΊΠ°ΠΊ Π³ΠΎΡΡ‚ΡŒ

ЭлСктронная ΠΏΠΎΡ‡Ρ‚Π°

ВрСбуСтся, Π½ΠΎ Π½Π΅ отобраТаСтся

БСсплатныС Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Π½Ρ‹Π΅ изобраТСния графичСского Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½Π° ΡΠΊΠ°Ρ‡Π°Ρ‚ΡŒ

Π Π°ΡΡˆΠΈΡ€Π΅Π½Π½Ρ‹ΠΉ поиск Π—Π°ΠΏΡ€ΠΎΡΠΈΡ‚ΡŒ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] шаблон роТдСствСнского Π±Π°Π½Π½Π΅Ρ€Π° ΠΌΠΈΠ»Ρ‹ΠΉ стилизованный Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ снСТинки ( . ai .eps .svg 2.42MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] шаблон роТдСствСнского Π±Π°Π½Π½Π΅Ρ€Π° висит снСТинки динамичСский силуэт олСнь Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ элСгантный Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ ( .ai .eps .svg 2.58MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] всС Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, Ссли Π²Ρ‹ ΠΏΠΎΠΏΡ€ΠΎΠ±ΡƒΠ΅Ρ‚Π΅ шаблон Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ плоский классичСский Ρ‡Π΅Ρ€Π½Ρ‹ΠΉ Π±Π΅Π»Ρ‹ΠΉ тСкст динамичСский симмСтричный Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ ( .ai .eps .svg 909.99KB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] Π±ΡƒΠ΄ΡŒ собой всС ΠΎΡΡ‚Π°Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ ΡƒΠΆΠ΅ заняты Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° шаблон элСгантный плоский тСкст элСмСнты Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€Π° эскиз ( .ai .eps .svg 863.25KB )

All-free-download. com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] Π― Π±Ρ‹Π» создан для создания шаблона Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π½ΠΎΠΉ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ плоского классичСского каллиграфичСского тСкста с Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ΠΎΠΌ ( .ai .eps .svg 1.67MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] шаблон Ρ„ΠΎΠ½Π° роТдСствСнской ΠΎΡ‚ΠΊΡ€Ρ‹Ρ‚ΠΊΠΈ элСгантный Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹Ρ‚Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ снСТинки ( .ai .eps .svg 3.57MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] РоТдСствСнский Π±Π°Π½Π½Π΅Ρ€ шаблон элСгантный Ρ‚Π΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ снСТинки ΠΊΡ€ΠΈΠ²Ρ‹Π΅ Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ ( .ai .eps .svg 3.73MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] Ссли Π½Π΅ сСйчас Ρ‚ΠΎ ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° шаблон плоский классичСский тСкст Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ ( . ai .eps .svg 1.43MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] Π²Π΅Π»ΠΈΠΊΠΈΠ΅ Π΄Π΅Π»Π° Ρ‚Ρ€Π΅Π±ΡƒΡŽΡ‚ Π²Ρ€Π΅ΠΌΠ΅Π½ΠΈ Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° шаблон элСгантный соврСмСнный плоский тСкст Π² Π²Π΅Ρ€Ρ…Π½Π΅ΠΌ рСгистрС Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ ( .ai .eps .svg 810.34KB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] офисная Π΄Π΅Π²ΡƒΡˆΠΊΠ° Π·Π½Π°Ρ‡ΠΎΠΊ ΠΌΡƒΠ»ΡŒΡ‚ΡΡˆΠ½Ρ‹ΠΉ пСрсонаТ эскиз элСмСнты Ρ€Π°Π±ΠΎΡ‡Π΅Π³ΠΎ мСста ΠΊΠΎΠ½Ρ‚ΡƒΡ€ ( .ai 1.52MB )

Π˜Ρ€Ρ„Π°Π½ ΠœΠΎΡ…Π°ΠΌΠΌΠ΅Π΄

вСкторная Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Π³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° Ρ„ΠΎΠ½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Ρ„ΠΎΠ½ компания Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ искусство худоТСствСнная школа ΠΊΠ»ΠΈΠΏΠ°Ρ€Ρ‚ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ Π»ΠΎΠ³ΠΎΡ‚ΠΈΠΏ аннотация Ρ„ΠΎΠ½ Ρ„ΠΎΠ½ тСкстура рисунок рисунок Π»ΠΎΠ³ΠΎΡ‚ΠΈΠΏ с Π΄Π½Π΅ΠΌ ​​благодарСния с Π΄Π½Π΅ΠΌ ​​роТдСния Ρ€ΡƒΠΊΠ° Π²Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] РоТдСствСнский ΡƒΠ·ΠΎΡ€ шаблон элСгантный Ρ‚Π΅ΠΌΠ½ΠΎ красный Π±ΠΎΠΊΠ΅ снСТинки Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ ( . ai .eps .svg 5.42MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] шаблон мСню рСсторана элСгантный Ρ‚Π΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ Ρ€Π°Π·ΠΌΡ‹Ρ‚Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ ( .ai .eps .svg 12.28MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] ΠΊΠ°ΠΆΠ΄Ρ‹ΠΉ дСнь создавайтС Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΉ шаблон Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠΈ Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ плоскиС динамичСскиС нарисованныС ΠΎΡ‚ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ тСксты Π»Π°ΠΌΠΏΠΎΡ‡ΠΊΠ° Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ ( .ai .eps .svg 1.14MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] Тизнь - это всС ΠΎ балансировщикС Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° шаблон плоский классичСский вСлосипСдный тСкст эскиз ( .ai .eps .svg 1.48MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] Π°ΠΏΡ‚Π΅ΠΊΠ° шаблон ΠΏΠ»Π°ΠΊΠ°Ρ‚Π° Π°ΠΏΡ‚Π΅ΠΊΠ° Π°Ρ€Ρ…ΠΈΡ‚Π΅ΠΊΡ‚ΡƒΡ€Π° эскиз элСгантный плоский Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ ( . ai .eps .svg 1.98MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] счастливого роТдСства с Π½ΠΎΠ²Ρ‹ΠΌ Π³ΠΎΠ΄ΠΎΠΌ Π±Π°Π½Π½Π΅Ρ€ плоский висит снСТинки Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ элСгантный Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ ( .ai .eps .svg 2.41MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] шаблон мСню рСсторана плоский классичСский ΠΈΠ½Π³Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ ΠΏΠΈΡ‰Π΅Π²ΠΎΠΉ эскиз ( .ai .eps .svg 3.79MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] мСньшС Π±Π΅ΡΠΏΠΎΠΊΠΎΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ ΠΈ всСгда ΡƒΠ»Ρ‹Π±Π°ΠΉΡ‚Π΅ΡΡŒ часто Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Π° Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΊΠ° шаблон плоский элСгантный классичСский тСкст Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ ( .ai .eps .svg 834.76KB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] Π½ΠΈΡ‡Π΅Π³ΠΎ особСнного Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π±Ρ‹Π»ΠΎ, этот простой типографичСский шаблон Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚Ρ‹ динамичСский Ρ€Π΅Ρ‚Ρ€ΠΎ-Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ тСксты Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ ( . ai .eps .svg 1.47MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] шаблон ΠΏΠ»Π°ΠΊΠ°Ρ‚Π° Π°ΠΏΡ‚Π΅ΠΊΠ° ΠΌΠ΅Π΄ΠΈΡ†ΠΈΠ½Π° мСдицинская змСя эскиз символа ( .ai .eps .svg 1.89MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] Π‘ РоТдСством Π₯ристовым Π±Π°Π½Π½Π΅Ρ€ элСгантный Ρ‚Π΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄Π΅ΠΊΠΎΡ€ снСТинки ( .ai .eps .svg 4.21MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] мСню рСсторана шаблон плоский классичСский Ρ‚Π΅ΠΌΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ ΠΈΠ½Π³Ρ€Π΅Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ‚Ρ‹ Π΅Π΄Π° посуда эскиз ( .ai .eps .svg 4.23MB )

All-free-download.com

[ Π’Π΅ΠΊΡ‚ΠΎΡ€Ρ‹ ] просто Π±ΡƒΠ΄ΡŒ вашим собствСнным ΡƒΠ½ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΌ красивым шаблоном Ρ‚ΠΈΠΏΠΎΠ³Ρ€Π°Ρ„ΠΈΠΈ с Ρ†ΠΈΡ‚Π°Ρ‚ΠΎΠΉ с плоским классичСским нарисованным ΠΎΡ‚ Ρ€ΡƒΠΊΠΈ тСкстом Π²Π΅Ρ€Ρ‚ΠΈΠΊΠ°Π»ΡŒΠ½Ρ‹ΠΉ Π΄ΠΈΠ·Π°ΠΉΠ½ ( .

alexxlab

Π”ΠΎΠ±Π°Π²ΠΈΡ‚ΡŒ ΠΊΠΎΠΌΠΌΠ΅Π½Ρ‚Π°Ρ€ΠΈΠΉ

Π’Π°Ρˆ адрСс email Π½Π΅ Π±ΡƒΠ΄Π΅Ρ‚ ΠΎΠΏΡƒΠ±Π»ΠΈΠΊΠΎΠ²Π°Π½. ΠžΠ±ΡΠ·Π°Ρ‚Π΅Π»ΡŒΠ½Ρ‹Π΅ поля ΠΏΠΎΠΌΠ΅Ρ‡Π΅Π½Ρ‹ *