Числа и системы счисленияМ

Шестнадцатеричная система счисления

«Все есть число», — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности.

Известно множество способов представления чисел. Но в любом случае число изображается символом или группой символов (словом) некоторого алфавита. Такие символы называются цифрами, символические изображения чисел — кодами, а правила их получения — системами счисления (кодирования).

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков и соответствующие ему правила выполнения действий над числами.

Все системы счисления делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные.

Позиционные	Непозиционные
Это такие системы счисления, в которых величина, которую обозначает цифра в записи числа, зависит от положения цифры в этом числе.	Это такие системы счисления, в которых величина, которую обозначает цифра в записи числа, не зависит от положения цифры в этом числе.
Например: 10-, 2-, 3-, 8-, 16-чная и т.д.	Например: римская система счисления.

Алфавит системы счисления — это совокупность цифр и букв, с помощью которых записываются числа.

Основание системы счисления — это количество цифр в алфавите.

Наименьшее возможное основание позиционной системы счисления равно 2. Такая система называется двоичной.

НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ

Первая позиционная система счисления была придумана еще в

древнем Вавилоне, причем вавилонская нумерация (система счисления) была шестидесятеричной, т.е. в ней использовались шестьдесят цифр! Интересно, что до сих пор при измерении времени мы используем основание, равное 60 (в 1 минуте содержится 60 секунд, а в 1 часе — 60 минут).

Сегодня мы привыкли пользоваться в повседневной жизни десятичной системой счисления. Десятичными цифрами выражаются время, номера домов и телефонов, цены, бюджет, на них базируется метрическая система мер.

Арифметические действия над десятичными числами производятся с помощью достаточно простых операций, в основе которых лежат известные каждому школьнику таблицы умножения и сложения. Изучаемые в самом раннем возрасте, эти правила в результате повседневной практики усваиваются так прочно, что мы оперируем ими уже подсознательно. По этой причине сегодня многие люди даже не догадываются о существовании других систем счисления.

Так например, в некоторых областях Украины еще несколько десятков лет назад продавали яблоки, яйца и многое другое на «копы» — кучи по 60 штук.

До нашего времени дошли многие древние вавилонские глиняные таблички, на которых в шестидесятеричной системе счисления решены сложнейшие задачи, такие, как вычисление корней, отыскание объема пирамиды и другие. Для записи чисел использовалось всего два знака: клин вертикальный (единицы) и клин горизонтальный (десятки). Все числа от 1 до 59 записывались в десятичной непозиционной системе, а число в целом — в позиционной системе счисления с основанием 60. Например, число 1972 записывалось так:

_ _ _II_ _ _ _ _ _ II
32 · 60 + 52 = 1972

В Китае долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

Широкое распространение до первой трети ХХ века имели элементы двенадцатеричной системы счисления, некоторые отголоски которой дошли до нашего времени: в сутках две дюжины часов, час делится на 5 дюжин минут, круг содержит тридцать дюжин градусов и т.д. Влияние двенадцатеричной системы счисления ощущается сегодня хотя бы в том, что карандашей или фломастеров в наборе обычно бывает 6, 12, 24, количество приборов в сервизах равно 6, 12 и т.д.

Наиболее распространенными в настоящее время позиционными системами счисления являются: десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Каждая позиционная система имеет определенный алфавит цифр и основание.

Система счисления	Основание	Алфавит цифр
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Двоичная	2	0, 1
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А(10), В(11), С(12), D(13), E(14), F(15)

Десятичная система счисления

Наиболее распространенной позиционной системой счисления является десятичная система. Она характеризуется тем, что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего, старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

Так, например, в числе 555 цифры 5, находящиеся на разных позициях, имеют различные количественные значения —

5 сотен, 5 десятков, 5 единиц. При перемещении цифры на соседнюю позицию ее вес (количественный эквивалент) изменяется в 10 раз.

Число 555 — записано в свернутой форме и привычно для нас. Мы настолько привыкли к такой форме записи, что уже не замечаем, как в уме умножаем цифры числа на различные степени числа 10.

В развернутой форме записи числа такое умножение производится в явной форме:
55510 = 5· 102 + 5· 101 + 5· 100

Для записи десятичных дробей используются разряды с отрицательными значениями степеней основания.
555,5510 = 5· 102 + 5·1 + 5· 100 + 5· 10-1 + 5· 10-2

Двоичная система счисления

Из всех позиционных систем счисления особенно проста и поэтому интересна двоичная система счисления. В ней для записи чисел используются всего две цифры: 0 и 1. Основание равно 2.

Двоичное число 111012 записано в свернутой форме. Двоичное число 111012 в развернутой форме будет записано так:
11101,012 = 1· 24 + 1· 23 + 1· 22 + 0· 21 + 1· 20 + 0· 2-1 + 1· 2-2

Восьмеричная система счисления

Основание равно 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Восьмеричное число 237,018 записано в свернутой форме.

Восьмеричное число 237,018

в развернутой форме будет записано так:
237,018 = 2· 82 + 3· 81 + 7· 80 + 0· 8-1 + 1· 8-2

Шестнадцатеричная система счисления

Основание равно 16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, B, C, D, E, F

Шестнадцатеричное число 3А,С16 записано в свернутой форме.

Шестнадцатеричное число 3А,С16 в развернутой форме будет записано так:
3А,С16 = 3· 161 + 10· 160 + 12· 16-1

Яндекс.Реклама

Тест по информатике на тему «Системы счисления» (8 класс)

Тест «Системы счисления»

1. Системой счисления называют:

а) алфавит; б) способ представления чисел; в) способ представления чисел и соответствующие ему правила действия над числами;

г) набор чисел в определенной последовательности;

2. Системы счисления делятся на:

а) четные и нечетные; б) позиционные и непозиционные; в) троичные, семеричные, десятичные; г) двоичные, восьмеричные, шестнадцатеричные;

3. В восьмеричной системе счисления присутствуют символы:

а) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8; г) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F

4. В шестнадцатеричной системе счисления присутствуют символы:

а) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16; б) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; в

) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, E, F; г) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, А, В, С, D, E, F;

5. В двоичной системе счисления присутствуют символы:

а) 1, 2; б) 0, 1; в) а, в; в) все перечисленные

6. Числу 10010₂ соответствует число … в десятичной системе счисления:

а) 18; б) 17; в) 100; г) 36;

7. Числу 126₈ соответствует число … в десятичной системе счисления:

а) 15; б) 86; в) 688; г) 200;

8. Числу 243₁₀ соответствует число … в восьмеричной системе счисления:

а) 179; б) 342; в) 100110; г) 363;

9. Числу 823₁₀ соответствует число … в шестнадцатеричной системе счисления:

а) 10011; б) 337; в) АВ; г) 12С;

10. Римская система относится к:

а) непозиционной системе; б) позиционной системе; в) другой вариант;

11. Десятичная система относится к:

а) непозиционной системе; б) позиционной системе; в) другой вариант;

12. Числу МСХХ

    III соответствует десятичное число:

а) 34; б) 1117; в) 1123; г) 73;

13. Числу 1968 соответствует римское:

а) нет правильного ответа; б) MDCCCCLXIIIV; в) MMLXVIII; г) МСМLXVIII;

14. Числу CXIX соответствует десятичное число:

а) 119; б) 129; в) 69; г) 59;

15. Жители Древнего Египта использовали при счете:

а) позиционную систему счисления; б) непозиционную систему счисления;

16. Единичная система счисления относится к:

а) позиционной системе счисления; б) непозиционной системе счисления;

17. Самая древняя система записи чисел:

а) древнеегипетская; б) римская; в) единичная; г) десятичная;

18. ЭВМ выполняет арифметические расчеты в системе счисления:

а) десятичной; б) двоичной; в) единичной; г) шестнадцатеричной;

19. Самая древняя система счисления –

а) двоичная; б) римская; в) древнеегипетская; г) единичная;

20. В исчислении времени, в чередовании месяцев года сохранились остатки СС:

а) десятичной; б) двенадцатеричной; в) двоичной; г) восьмеричной.

Контрольная работа по теме «Системы счисления»

Контрольная работа по теме «Системы счисления»

Вариант 1

1. Запишите алфавит 13-ой системы счисления.

2. Переведите числа из 16-ой системы счисления в 8-ую систему счисления: 15A2; 549D; C3081; 4B3F6.

3. Переведите числа из 8-ой системы счисления в 16-ую систему счисления: 6004; 1207; 77531; 6012.

4. Вычислите в двоичной системе счисления:

А) 111000₂+10110₂ Б) 10111₂+1001₂

В) 110101₂ — 10011₂ Г) 10001₂ — 1011₂

7. Вычислите в восьмеричной системе счисления:

А) 1357₈+4564₈ Б) 1761₈+5557₈

В) 76511₈ — 45677₈ Г) 57413₈ — 6357₈

8. Вычислите в шестнадцатеричной системе счисления:

А) D453₁₆+56CC₁₆ Б) 4F3E₁₆+E4F5₁₆

В) D5A31₁₆ — 89577₁₆ Г) 12FB2₁₆ – 866D₁₆

Контрольная работа по теме «Системы счисления»

Вариант 2

1. Запишите алфавит 14-ой системы счисления.

2. Переведите числа из 16-ой системы счисления в 8-ую систему счисления: 25A7; 509A; D3091; 6B1E2.

3. Переведите числа из 8-ой системы счисления в 16-ую систему счисления: 7040; 2306; 66537; 5032.

4. Вычислите в двоичной системе счисления:

А) 101011₂+10101₂ Б) 11011₂+1101₂

В) 110001₂ — 11011₂ Г) 11001₂ — 10111₂

7. Вычислите в восьмеричной системе счисления:

А) 2464₈+7134₈ Б) 7136₈+6537₈

В) 74111₈ — 45567₈ Г) 64131₈ — 5437₈

8. Вычислите в шестнадцатеричной системе счисления:

А) D537₁₆+73CC₁₆ Б) 5F4E₁₆+E8F9₁₆

В) D3A12₁₆ — 79844₁₆ Г) 13FB1₁₆ – 755D₁₆

Ответы

Вариант1

1. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,А,В,С

2. 15A2₁₆= 12642₈

549D₁₆ =52235₈

C3081₁₆ = 3030201₈

4B3F6₁₆ =1131766₈

3.6004₈=С04₁₆

1207₈= 287₁₆

77531₈=7F59₁₆

6012₈=C0A₁₆

4. А) 1001110₂ Б) 100000₂

В) 100010₂ Г) 110₂

5. А) 6143₈ Б) 7540₈

В) 30612₈ Г) 51034₈

6. А) 12B1F₁₆ Б) 13433₁₆

В) 4С4ВА₁₆ Г) А945₁₆

Ответы

Вариант2

1. 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A.B.C.D

2. 25A7₁₆=22647₈

509A₁₆=50232₈

D3091₁₆=3230221₈

6B1E2₁₆=1530742₈

3. 7040₈=Е20₁₆

2306₈=4С6₁₆

66537₈=6D5F₁₆

5032₈=A1A₁₆

4. А) 1000000₂ Б) 101000₂

В) 10110₂ Г) 10₂

5. А) 11620₈ Б) 15675₈

В) 141700₈ Г) 56472₈

6. А) 14903₁₆ Б) 14847₁₆

В) 5А1СЕ₁₆ Г) СА54₁₆

История чисел и систем счисления

Непозиционные системы древности

В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: насечек, черточек, точек.

Изучение археологами «записок» времен палеолита на кости, камне, дереве показало, что люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Такая группировка облегчала счет. Люди учились считать не только единицами, но и тройками, пятерками и пр. Поскольку первым вычислительным инструментом у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.

В дальнейшем свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и т. д. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками — цифрами. Если при подсчете предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз — знак десятков и четыре раза знак единицы.

В таких системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает; поэтому они называются непозиционными системами счисления.

Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы древности.

Цифры майя

До нас дошла римская система записи чисел (римские цифры), которая в некоторых случаях применяется в нумерации (века, тома в собрании сочинений, главы книги). В римской системе в качестве цифр используются латинские буквы:

 I V  X   L   С    D     М

1 5 10 50 100 500 1000

На Руси вплоть до XVIII века использовалась непозиционная система славянских цифр. Буквы кириллицы (славянского алфавита) имели цифровое значение, если над ними ставился специальный знак ~ (титло). Например: