Обсуждение

Таким образом, умеренно большой ток создает значительное магнитное поле на расстоянии 5,0 см от длинного прямого провода. Обратите внимание, что ответ указан только с двумя цифрами, поскольку в этом примере поле Земли указано только с двумя цифрами.

Магнитное поле длинного прямого провода имеет больше значений, чем вы можете предположить на первый взгляд. Каждый отрезок тока создает магнитное поле, подобное магнитному полю длинного прямого провода, а полное поле тока любой формы представляет собой векторную сумму полей, создаваемых каждым отрезком. Формальная формулировка направления и величины поля, обусловленного каждым сегментом, называется законом Био-Савара . Интегральное исчисление необходимо для суммирования поля для тока произвольной формы. Это приводит к более полному закону, называемому законом Ампера , который связывает магнитное поле и ток в общем виде. Закон Ампера, в свою очередь, является частью Уравнения Максвелла , которые дают полную теорию всех электромагнитных явлений. Рассмотрение того, как уравнения Максвелла кажутся разным наблюдателям, привело к современной теории относительности и осознанию того, что электрические и магнитные поля — это разные проявления одного и того же явления. Большая часть этого выходит за рамки этого текста как на математическом уровне, требующем исчисления, так и на том количестве места, которое может быть уделено этому. Но для заинтересованных студентов, и особенно для тех, кто продолжает заниматься физикой, инженерией или подобными занятиями, дальнейшее углубление в эти вопросы откроет описания природы, которые будут элегантными и глубокими. В этом тексте мы будем помнить об общих особенностях, таких как RHR-2 и правила для линий магнитного поля, перечисленные в Главе 22.3 Магнитные поля и силовые линии магнитного поля, концентрируясь на полях, создаваемых в некоторых важных ситуациях.

Установление связей: теория относительности

Слушая все, что мы делаем об Эйнштейне, иногда создается впечатление, что он изобрел теорию относительности из ничего. Напротив, одним из мотивов Эйнштейна было решить трудности, связанные с пониманием того, как разные наблюдатели видят магнитные и электрические поля.

Магнитное поле вблизи проволочной петли с током показано на рисунке 2. Как направление, так и величина магнитного поля, создаваемого петлей с током, являются сложными. RHR-2 можно использовать для задания направления поля вблизи контура, но для получения более подробной информации необходимо картографирование с помощью компаса и правил относительно силовых линий, приведенных в главе 22.3 «Магнитные поля и силовые линии магнитного поля». Есть простая формула для напряженность магнитного поля в центре круглой петли. Это

[латекс]\boldsymbol{B =}[/латекс] [латекс]\boldsymbol{\frac{\mu _0I}{2R}}[/латекс] [латекс]\textbf{(в центре петли)}[/ латекс]

, где [латекс]\boldsymbol{R}[/латекс] — радиус петли. Это уравнение очень похоже на уравнение для прямого провода, но оно действительно только в центре круглой петли из проволоки. Сходство уравнений указывает на то, что аналогичная напряженность поля может быть получена в центре контура. Один из способов получить большее поле — это [латекс]\boldsymbol{N}[/латекс] петель; тогда поле равно [латекс]\boldsymbol{B = N \mu _0I/(2R)}[/латекс]. Обратите внимание, что чем больше петля, тем меньше поле в ее центре, поскольку ток проходит дальше.

Соленоид представляет собой длинную катушку провода (с множеством витков или петель, в отличие от плоской петли). Из-за своей формы поле внутри соленоида может быть очень однородным, а также очень сильным. Поле сразу за катушками почти равно нулю. На рис. 3 показано, как выглядит поле и как его направление задается RHR-2.

Магнитное поле внутри соленоида с током очень однородно по направлению и величине. Лишь ближе к концам он начинает ослабевать и менять направление. Поле снаружи имеет такую ​​же сложность, как и плоские петли и стержневые магниты, но напряженность магнитного поля внутри соленоида просто

[латекс]\boldsymbol{B = \mu _0nI \; (\textbf{внутри соленоида})},[/latex]

, где [латекс]\boldsymbol{n}[/латекс] — количество петель на единицу длины соленоида ([латекс]\жирныйсимвол{n = N/l}[/латекс], где [латекс]\жирныйсимвол{ N}[/latex] — количество петель, а [latex]\boldsymbol{l}[/latex] — длина). Обратите внимание, что [латекс]\boldsymbol{B}[/латекс] — это напряженность поля в любом месте внутри однородной области, а не только в центре. Большие однородные поля, распределенные по большому объему, возможны с соленоидами, как следует из примера 2.

Пример 2: Расчет напряженности поля внутри соленоида

Каково поле внутри соленоида длиной 2,00 м, который имеет 2000 витков и пропускает ток силой 1600 А?

Стратегия

Чтобы найти напряженность поля внутри соленоида, мы используем [латекс]\boldsymbol{B = \mu _0nI}[/латекс]. {-1}}.[/latex] 9{-1}) \; (1600 \;\textbf{A})} \\[1em] & \boldsymbol{2.01 \;\textbf{T}}. \end{array}[/latex]

Обсуждение

Это большая напряженность поля, которая может быть установлена ​​на соленоиде большого диаметра, например, при медицинском использовании магнитно-резонансной томографии (МРТ). Однако очень большой ток указывает на то, что поля такой силы получить нелегко. Такой большой ток через 1000 витков, втиснутых в длину метра, произвел бы значительный нагрев. Более высокие токи могут быть достигнуты с помощью сверхпроводящих проводов, хотя это дорого. Существует верхний предел тока, поскольку сверхпроводящее состояние нарушается очень большими магнитными полями.

Есть интересные варианты плоской катушки и соленоида. Например, тороидальная катушка, используемая для удержания реактивных частиц в токамаках, очень похожа на соленоид, согнутый в окружность. Поле внутри тороида очень сильное, но круглое. Заряженные частицы движутся по кругу, следуя линиям поля, и сталкиваются друг с другом, возможно, вызывая синтез. Но заряженные частицы не пересекают силовые линии и не покидают тороид. Целый ряд форм катушек используется для создания всевозможных форм магнитного поля. Добавление ферромагнитных материалов увеличивает напряженность поля и может существенно повлиять на форму поля. Ферромагнитные материалы имеют тенденцию улавливать магнитные поля (силовые линии изгибаются в ферромагнитном материале, оставляя более слабые поля вне его) и используются в качестве экранов для устройств, на которые неблагоприятно влияют магнитные поля, в том числе магнитное поле Земли.

PhET Исследования: Генератор

Генерация электричества с помощью стержневого магнита! Откройте для себя физику этого явления, исследуя магниты и то, как вы можете использовать их, чтобы зажечь лампочку.

• Сила магнитного поля, создаваемого током в длинном прямом проводе, равна

[латекс]\boldsymbol{B=}[/латекс] [латекс]\boldsymbol{\frac{\mu _0I}{2 \pi r}}[/латекс] [латекс]\textbf{(длинная прямая проволока) },[/латекс]

• Направление магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом, определяется правилом правой руки 2 (RHR-2): Направьте большой палец правой руки в направлении тока, а остальные пальцы согните в направлении создаваемые им петли магнитного поля .
• Магнитное поле, создаваемое током, следующим по любому пути, является суммой (или интегралом) полей, создаваемых сегментами вдоль пути (величина и направление, как для прямого провода), что приводит к общей зависимости между током и полем, известной как закон Ампера. .
• Напряженность магнитного поля в центре круглой петли определяется как

[латекс]\boldsymbol{B =}[/латекс] [латекс]\boldsymbol{\frac{\mu _0I}{2R}}[/латекс] [латекс]\textbf{(в центре петли)}[ /латекс]

• где [латекс]\boldsymbol{R}[/латекс] — радиус петли. Это уравнение принимает вид [латекс]\boldsymbol{B = \mu _0nI/(2R)}[/латекс] для плоской катушки из [латекса]\boldsymbol{N}[/латекс] петель. РХР-2 дает направление поля вокруг петли. Длинная катушка называется соленоидом.
• Напряженность магнитного поля внутри соленоида равна
.

[латекс]\boldsymbol{B = \mu _0nI \; (\textbf{внутри соленоида})},[/latex]

• где [латекс]\boldsymbol{n}[/латекс] — количество петель на единицу длины соленоида. {-7} \;\textbf{T} \cdot \;\textbf{m/A}}[/latex]

  напряженность магнитного поля в центре круглой петли

  определяется как [латекс]\жирныйсимвол{B = \frac{\mu _0I}{2R}}[/латекс], где [латекс]\жирныйсимвол{R}[/латекс] — радиус петли

  соленоид

  тонкая проволока, свернутая в катушку, создающую магнитное поле при пропускании через нее электрического тока

  напряженность магнитного поля внутри соленоида

  определяется как [латекс]\boldsymbol{B = \mu _0nI}[/латекс], где nn — количество петель на единицу длины соленоида ([латекс]\boldsymbol{n = N/l}[/латекс], где [latex]\boldsymbol{N}[/latex] — количество петель, а [latex]\boldsymbol{l}[/latex] — длина)

  Закон Био-Савара

  физический закон, описывающий магнитное поле, создаваемое электрическим током, с помощью специального уравнения

  Закон Ампера

  физический закон, утверждающий, что магнитное поле вокруг электрического тока пропорционально току; каждый отрезок тока создает магнитное поле, как у длинного прямого провода, а полное поле тока любой формы представляет собой векторную сумму полей, создаваемых каждым отрезком

  Уравнения Максвелла

  набор из четырех уравнений, описывающих электромагнитные явления

  12.

  2 Магнитное поле, создаваемое тонким прямым проводом – University Physics Volume 2

  Глава 12. Источники магнитных полей

  Цели обучения

  К концу этого раздела вы сможете:

  • Объяснять, как закон Био-Савара используется для определения магнитного поля, создаваемого тонким прямым проводом.
  • Определить зависимость магнитного поля от тонкого прямого провода в зависимости от расстояния до него и тока, протекающего в проводе.
  • Нарисуйте магнитное поле, создаваемое тонким прямым проводом, используя второе правило правой руки.

  Какой ток необходим для создания значительного магнитного поля, возможно, такого же сильного, как поле Земли? Геодезисты скажут вам, что воздушные линии электропередач создают магнитные поля, которые мешают показаниям их компаса. Действительно, когда в 1820 году Эрстед обнаружил, что ток в проводе влияет на стрелку компаса, он не имел дело с чрезвычайно большими токами. Как форма проводов, по которым течет ток, влияет на форму создаваемого магнитного поля? В главе 28 мы отмечали, что токовая петля создает магнитное поле, подобное магнитному стержню, но как насчет прямого провода? Мы можем использовать закон Био-Савара, чтобы ответить на все эти вопросы, включая определение магнитного поля длинного прямого провода.

  На рис. 12.5 показан участок бесконечно длинного прямого провода, по которому течет ток I . Чему равно магнитное поле в точке P , расположенной на расстоянии R от провода?

  Рисунок 12.5  Участок тонкого прямого провода с током. Независимая переменная [латекс]\тета[/латекс] имеет пределы [латекс]{\тета}_{1}[/латекс] и [латекс]{\тета}_{2}.[/латекс]

  Начнем с рассмотрения магнитного поля, создаваемого элементом тока [latex]I\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}d\stackrel{\to }{\textbf{x}}[/latex], расположенным в позиция х . Используя правило правой руки 1 из предыдущей главы, [латекс]d\stackrel{\to }{\textbf{x}}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\hat{\textbf{r}}[/latex] указывает за пределы страницы для любого элемента вдоль проводника. Таким образом, в точке P магнитные поля, обусловленные всеми элементами тока, имеют одинаковое направление. Это означает, что мы можем вычислить там чистое поле, оценивая скалярную сумму вкладов элементов. {2}}}.\hfill \end {массив}[/латекс] 9{\infty}.[/латекс]

  Подстановка пределов дает нам решение

  [латекс] B = \ frac {{\ mu } _ {o} I} {2 \ pi R}. [/latex]

  Силовые линии магнитного поля бесконечного провода имеют круглую форму с центром в проводе (рис. 12.6) и идентичны во всех плоскостях, перпендикулярных проводу. Поскольку поле уменьшается с расстоянием от провода, расстояние между линиями поля должно соответственно увеличиваться с расстоянием. Направление этого магнитного поля можно найти с помощью второй формы правила правой руки (показано на рис. 12.6). Если вы держите провод правой рукой так, чтобы большой палец был направлен вдоль тока, то ваши пальцы обхватывают провод в том же смысле, что и [латекс]\stackrel{\to }{\textbf{B}}.[/latex ]

  Рисунок 12.6  Некоторые силовые линии магнитного поля бесконечной проволоки. Направление [латекс]\stackrel{\to }{\textbf{B}}[/латекс] можно найти с помощью правила правой руки.

  Направление силовых линий можно наблюдать экспериментально, поместив несколько маленьких стрелок компаса на окружность рядом с проводом, как показано на рис. 12.7. Когда в проводе нет тока, иглы выравниваются с магнитным полем Земли. Однако, когда по проводу проходит большой ток, все стрелки компаса касаются окружности. Железные опилки, разбросанные по горизонтальной поверхности, также очерчивают линии поля, как показано на рис. 12.7.

  Рисунок 12.7  Форму линий магнитного поля длинного провода можно увидеть с помощью (а) маленькой стрелки компаса и (б) железных опилок.

  Пример

  Расчет магнитного поля, обусловленного тремя проводами

  Три провода расположены по углам квадрата, и все они передают на страницу ток силой 2 ампера, как показано на рис. 12.8. Вычислите величину магнитного поля в другом углу квадрата, точке P , если длина каждой стороны квадрата равна 1 см.

  Рисунок 12.8  По трем проводам на страницу течет ток. Магнитное поле определяется в четвертом углу квадрата.

  Стратегия

  Рассчитывается магнитное поле каждого провода в нужной точке. Диагональное расстояние рассчитывается по теореме Пифагора. Затем направление вклада каждого магнитного поля определяется путем рисования круга с центром в точке провода и в направлении желаемой точки. Направление вклада магнитного поля от этого провода тангенциально к кривой. Наконец, работая с этими векторами, вычисляется результирующая. 9{\text{−5}}\text{T}.\end{массив}[/latex]

  Значение

  Геометрия в этой задаче приводит к тому, что вклады магнитного поля в направлениях x и y имеют одинаковую величину. Это не обязательно так, если бы токи были разных значений или если бы провода располагались в разных положениях. Независимо от численных результатов, работа с компонентами векторов даст результирующее магнитное поле в нужной точке.

  Проверьте свое понимание

  Используя пример 12.3, сохраняя одинаковые токи в проводах 1 и 3, какой должен быть ток в проводе 2, чтобы противодействовать магнитным полям от проводов 1 и 3, чтобы в точке P не было результирующего магнитного поля. ?

  Show Solution

  4 ампера, вытекающие из страницы

  Резюме

  • Сила магнитного поля, создаваемого током в длинном прямом проводе, определяется выражением [latex]B=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}[/latex] (длинный прямой провод), где 9{\text{−7}}\phantom{\rule{0. 2em}{0ex}}\text{T}\cdot \text{м/с}[/latex] — проницаемость свободного пространства.
  • Направление магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводом, задается правилом правой руки 2 (RHR-2): Направьте большой палец правой руки в направлении тока, а пальцы согните в направлении магнитного поля. петли поля, созданные им.

  Концептуальные вопросы

  Как бы вы расположили два длинных прямых провода с током так, чтобы между ними не было результирующей магнитной силы? ( 9{4}[/latex] A. Оцените магнитное поле на расстоянии 1 м от болта.

  Величина магнитного поля на расстоянии 50 см от длинного тонкого прямого провода составляет [латекс]8,0\фантом{\правило{0,2em}{0ex}}\текст{мкТл}.[/латекс] Какова сила тока по длинному проводу?

  Показать раствор

  20 А

  По линии электропередачи, натянутой на высоте 7,0 м над землей, протекает ток силой 500 А. Каково магнитное поле на земле непосредственно под проводом? Сравните свой ответ с магнитным полем Земли. 9{\text{−5}}\text{T}.[/latex]

  По двум длинным параллельным проводам, показанным на прилагаемом рисунке, текут токи в одном направлении. Если [латекс]{I}_{1}=\text{10 A}[/latex] и [латекс]{I}_{2}=20\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text {A},[/latex] каково магнитное поле в точке P?

  На прилагаемом рисунке показаны два длинных прямых горизонтальных провода, расположенных параллельно и на расстоянии 2 a друг от друга. Если по обоим проводам течет ток I в одном и том же направлении, (а) каково магнитное поле в точке [латекс]{P}_{1}?[/латекс] (б) [латекс]{P}_{2} ?[/латекс]

  Показать решение

  В точке P1 чистое магнитное поле равно нулю. В P2 [латекс]B=\frac{3{\mu }_{o}I}{8\pi a}[/latex] на страницу.

  Повторите расчеты предыдущей задачи с обратным направлением тока в нижнем проводе.

  Рассмотрим область между проводами предыдущей задачи. На каком расстоянии от верхнего провода суммарное магнитное поле минимально? Предположим, что токи равны и текут в противоположных направлениях.